Arvu ruutjuure eraldamine. Mis on ruutjuur

11.10.2019

Enne kalkulaatorite tulekut arvutasid õpilased ja õpetajad ruutjuuri käsitsi. Arvutamiseks on mitu võimalust ruutjuur numbrid käsitsi. Mõned neist pakuvad vaid ligikaudset lahendust, teised annavad täpse vastuse.

Sammud

Peamine faktoriseerimine

Tegutsege juurarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt juurnumbrist saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Tegurid on arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutarvud. Esiteks proovige juurarv ruututeguriteks faktoriseerida.

Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, st jagub 25-ga - see on ruutarv. Jagades 400 25-ga, saad 16. Arv 16 on samuti ruutarv. Seega saab 400 arvestada ruutteguriteks 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.
Selle saab kirjutada järgmiselt: √400 = √(25 x 16).

Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne korrutisega ruutjuured igast liikmest, st √(a x b) = √a x √b. Kasutage seda reeglit ja võtke iga ruutteguri ruutjuur ja korrutage vastuse leidmiseks tulemused.
- Meie näites võtke 25 ja 16 ruutjuur.
  - √ (25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Kui juurarv ei muutu kaheks ruutteguriks (ja teeb seda enamikul juhtudel), ei saa te täpset vastust täisarvu kujul leida. Kuid saate ülesannet lihtsustada, kui jagate juurarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja hariliku teguri juure.
- Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kahe ruutteguriga, kuid selle saab arvestada järgmiste teguritega: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:
  - = √ (49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Vajadusel hinnake juure väärtust. Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda ruutarvude juurte väärtustega, mis on juurarvule kõige lähemal (mõlemal pool arvjoont). Saate juure väärtuse kui kümnendmurd, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.
- Läheme tagasi meie näite juurde. Juurarv on 3. Sellele lähimad ruuduarvud on arvud 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Seega jääb √3 väärtus 1 ja 2 vahele. Kuna √3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: √3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgi numbriga: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Kui teete arvutused kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.
  - See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Võtke näiteks √35. Juurearv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Seega jääb √35 väärtus 5 ja 6 vahele. Kuna √35 väärtus on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on ainult 1 võrra väiksem kui 36), võime väita, et √35 on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollides saame vastuseks 5,92 - meil oli õigus.
Teine võimalus on jagada juurarv algteguriteks. Algtegurid on arvud, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjuta üles peamised tegurid reas ja leidke identsete tegurite paarid. Selliseid tegureid saab juure märgist välja võtta.
- Näiteks arvutage ruutjuur 45-st. Jaotame juurarvu algteguriteks: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Seega √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 saab juurmärgist välja võtta: √45 = 3√5. Nüüd saame hinnata √5.
- Mõelge veel ühele näitele: √88.
  - = √ (2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Teil on kolm kordajat 2; võta paar tükki ja võta juure märgist välja.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nüüd saame hinnata √2 ja √11 ning leida ligikaudse vastuse.
Ruutjuure käsitsi arvutamine

Veergude jaotuse kasutamine
1. See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab lehe kaheks pooleks, ja seejärel tõmmake horisontaaljoon paremale ja veidi alla lehe ülaserva vertikaaljooneni. Nüüd jaga juurarv arvupaarideks, alustades komajärgsest murdosast. Seega on number 79520789182.47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Näiteks arvutame ruutjuure arvust 780.14. Tõmmake kaks joont (nagu on näidatud pildil) ja kirjutage vasakus ülanurgas olevaks numbriks "7 80, 14". On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Vastus (antud arvu juur) kirjutatakse üleval paremale.
2. Arvestades vasakult esimest arvupaari (või ühte numbrit), leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem või võrdne kõnealuse arvupaariga (või ühe arvuga). Teisisõnu leidke ruutnumber, mis on vasakult esimesele numbripaarile (või ühele arvule) kõige lähemal, kuid väiksem kui sellest, ja võtke selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage leitud n paremasse ülaossa ja kirjutage üles ruut n all paremale.
  - Meie puhul on esimene number vasakul number 7. Järgmiseks 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Lahutage äsja leitud arvu n ruut vasakult esimesest numbripaarist (või ühest numbrist). Arvutuse tulemus kirjuta alamjaotuse alla (arvu n ruut).
  - Meie näites lahutage 7-st 4, et saada 3.
4. Võtke teine numbripaar maha ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse kõrvale. Seejärel kahekordistage number paremas ülanurgas ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".
  - Meie näites on teine numbripaar "80". Kirjutage "80" pärast 3. Seejärel kahekordistades ülalt paremalt numbrit annab 4. Kirjutage "4_×_=" all paremalt.
5. Täitke paremal pool olevad lüngad.
  - Meie puhul, kui paneme sidekriipsude asemele arvu 8, siis 48 x 8 \u003d 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 on hea. Kirjutage kriipsude asemel 7 ja saage: 47 x 7 \u003d 329. Kirjutage ülalt paremalt 7 - see on numbri 780.14 soovitud ruutjuure teine koht.
6. Lahutage saadud arv vasakul olevast praegusest arvust. Kirjutage eelmise sammu tulemus vasakul oleva praeguse arvu alla, leidke erinevus ja kirjutage see lahutatud numbri alla.
  - Meie näites lahutage 380-st 329, mis võrdub 51-ga.
7. Korrake 4. sammu. Kui lammutatud arvupaar on algarvu murdosa, siis asetage täisarvu ja murdosa eraldaja (koma) ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Vasakul kandke järgmine numbripaar alla. Kahekordistage number paremas ülanurgas ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".
  - Meie näites on järgmine lammutatav arvupaar arvu 780.14 murdosa, seega asetage täisarvu ja murdosa eraldaja ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Lammutage 14 ja kirjutage alla vasakus servas. Topelt ülemine parem (27) on 54, nii et kirjutage "54_×_=" all paremale.
8. Korrake samme 5 ja 6. Leidke parempoolsete kriipsude asemel suurim arv (kriipsude asemel tuleb asendada sama arv), et korrutamistulemus oleks väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse arvuga.
  - Meie näites on 549 x 9 = 4941, mis on väiksem kui praegune arv vasakul (5114). Kirjutage üleval paremale 9 ja lahutage vasakpoolsest praegusest arvust korrutamise tulemus: 5114 - 4941 = 173.
9. Kui teil on vaja ruutjuure jaoks leida rohkem komakohti, kirjutage praeguse numbri kõrvale vasakul nullipaar ja korrake samme 4, 5 ja 6. Korrake samme, kuni saate vajaliku vastuse täpsuse (number kümnendkohad).
Protsessi mõistmine
1. Vaatleme arvu S esimest numbripaari Sa (meie näites Sa = 7) ja leidke selle ruutjuur. Sel juhul on ruutjuure otsitava väärtuse esimene number A selline number, mille ruut on väiksem või võrdne S a (st otsime sellist A, mis rahuldab ebavõrdsust A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Oletame, et peame jagama 88962 7-ga; siin on esimene samm sarnane: arvestame jaguva arvu 88962 esimest numbrit (8) ja valime suurima arvu, mis 7-ga korrutades annab väärtuse, mis on väiksem või võrdne 8-ga. See tähendab, et me otsime arv d, mille võrratus on tõene: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Kujutage vaimselt ette ruutu, mille pindala peate arvutama. Otsite L-i, st ruudu külje pikkust, mille pindala on S. A, B, C on arvud L. Võite selle kirjutada erinevalt: 10A + B \u003d L (kahe jaoks -kohaline number) või 100A + 10B + C \u003d L (kolmekohalise numbri jaoks) ja nii edasi.
  - Las olla (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pidage meeles, et 10A+B on arv, mille B tähistab ühtesid ja A kümneid. Näiteks kui A=1 ja B=2, siis 10A+B võrdub arvuga 12. (10A+B)² on kogu ruudu pindala, 100A² on suure sisemise ruudu pindala, B² on väikese sisemise ruudu pindala, 10A × B on kummagi kahe ristküliku pindala. Lisades kirjeldatud jooniste pindalad, leiate algse ruudu pindala.

Fakt 1.
\(\bullet\) Võtke mõned mitte negatiivne arv\(a\) (st \(a\geqslant 0\) ). Siis (aritmeetika) ruutjuur arvust \(a\) kutsutakse selline mittenegatiivne arv \(b\), selle ruudustamisel saame arvu \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama mis )\quad a=b^2\] Definitsioonist tuleneb, et \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Need piirangud on ruutjuure olemasolu oluline tingimus ja neid tuleks meeles pidada!
Tuletage meelde, et iga arv ruudus annab mittenegatiivse tulemuse. See tähendab, \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mis on \(\sqrt(25)\)? Teame, et \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Kuna definitsiooni järgi peame leidma mittenegatiivse arvu, siis \(-5\) ei sobi, seega \(\sqrt(25)=5\) (kuna \(25=5^2\) ).
Väärtuse \(\sqrt a\) leidmist nimetatakse arvu \(a\) ruutjuure võtmiseks ja arvu \(a\) nimetatakse juuravaldiseks.
\(\bullet\) Definitsiooni põhjal on avaldised \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. pole mõtet.

2. fakt.
Kiirete arvutuste jaoks on kasulik õppida naturaalarvude ruutude tabelit vahemikus \(1\) kuni \(20\): \[\begin(massiiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiivi)\]

Fakt 3.
Mida saab teha ruutjuurtega?
\(\bullet\) Ruutjuurte summa või vahe EI VÕRDNE summa või vahe ruutjuurega, s.t. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Seega, kui on vaja arvutada näiteks \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , siis esialgu tuleb leida väärtused \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja seejärel liita need kokku. Seega \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kui \(\sqrt a\) või \(\sqrt b\) väärtusi \(\sqrt a+\sqrt b\) lisades ei leita, siis sellist avaldist edasi ei teisendata ja see jääb samaks. Näiteks summas \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) leiame \(\sqrt(49)\) - see on \(7\) , kuid \(\sqrt 2\) ei saa olla mis tahes viisil teisendatud, sellepärast \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisaks ei saa seda väljendit kahjuks kuidagi lihtsustada.\(\bullet\) Ruutjuurte korrutis/jagatis võrdub korrutise/jagatise ruutjuurega, st. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eeldusel, et võrdsuse mõlemad osad on mõistlikud)
Näide: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Neid omadusi kasutades on mugav leida ruutjuured suured numbrid neid arvesse võttes.
Kaaluge näidet. Otsige üles \(\sqrt(44100)\) . Alates \(44100:100=441\) , siis \(44100=100\cdot 441\) . Jaguvuse kriteeriumi kohaselt jagub arv \(441\) arvuga \(9\) (kuna selle numbrite summa on 9 ja jagub 9-ga), seega \(441:9=49\) , see tähendab \(441=9\ cdot 49\) .
Seega saime: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vaatame teist näidet: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näitame, kuidas sisestada ruutjuure märgi alla numbreid avaldise \(5\sqrt2\) näitel (lühend väljendist \(5\cdot \sqrt2\) ). Kuna \(5=\sqrt(25)\) , siis \ Pange tähele ka seda, et näiteks
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miks nii? Selgitame näitega 1). Nagu te juba aru saite, ei saa me arvu \(\sqrt2\) kuidagi teisendada. Kujutage ette, et \(\sqrt2\) on mingi arv \(a\) . Vastavalt sellele pole avaldis \(\sqrt2+3\sqrt2\) midagi muud kui \(a+3a\) (üks arv \(a\) pluss veel kolm sama arvu \(a\) ). Ja me teame, et see on võrdne nelja sellise arvuga \(a\) , see tähendab \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Tihti öeldakse "juurt ei saa eraldada", kui mõne arvu väärtuse leidmisel pole võimalik juure (radikaali) märgist \(\sqrt () \ \) lahti saada. Näiteks võite juurutada arvu \(16\), kuna \(16=4^2\) , seega \(\sqrt(16)=4\) . Kuid arvust \(3\) juure eraldamine, st \(\sqrt3\) leidmine on võimatu, sest pole sellist arvu, mis ruudus annaks \(3\) .
Sellised arvud (või selliste arvudega avaldised) on irratsionaalsed. Näiteks numbrid \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. on irratsionaalsed.
Irratsionaalsed on ka arvud \(\pi\) (arv "pi", ligikaudu võrdne \(3,14\) ), \(e\) (seda arvu nimetatakse Euleri arvuks, ligikaudu võrdne \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Pange tähele, et iga arv on kas ratsionaalne või irratsionaalne. Ja koos kõik ratsionaalne ja kõik irratsionaalsed arvud moodustavad komplekti nimega reaal(reaal)arvude komplekt. Seda komplekti tähistatakse tähega \(\mathbb(R)\) .
See tähendab, et kõik arvud, mis on Sel hetkel me teame, et neid nimetatakse reaalarvudeks.

Fakt 5.
\(\bullet\) Reaalarvu moodul \(a\) on mittenegatiivne arv \(|a|\), mis võrdub kaugusega reaalarvu punktist \(a\) kuni \(0\) rida. Näiteks \(|3|\) ja \(|-3|\) on 3, kuna kaugused punktidest \(3\) ja \(-3\) kuni \(0\) on sama ja võrdne \(3 \) .
\(\bullet\) Kui \(a\) on mittenegatiivne arv, siis \(|a|=a\) .
Näide: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kui \(a\) on negatiivne arv, siis \(|a|=-a\) .
Näide: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Nad ütlevad, et negatiivsete arvude puhul "sööb" moodul miinuse ja positiivsed arvud, aga ka arv \(0\) , jätab moodul muutmata.
AGA see reegel kehtib ainult numbrite kohta. Kui teil on mooduli märgi all tundmatu \(x\) (või mõni muu tundmatu), näiteks \(|x|\) , mille kohta me ei tea, kas see on positiivne, võrdne nulliga või negatiivne, siis me ei saa moodulist lahti saada. Sel juhul jääb see avaldis selliseks: \(|x|\) . \(\bullet\) Kehtivad järgmised valemid: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tingimusel ) a\geqslant 0\] Tihti tehakse järgmist viga: öeldakse, et \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) on sama asi. See kehtib ainult siis, kui \(a\) on positiivne arv või null. Aga kui \(a\) on negatiivne arv, siis see pole tõsi. Piisab, kui vaadelda sellist näidet. Võtame \(a\) asemel arvu \(-1\). Siis \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , kuid avaldist \((\sqrt (-1))^2\) pole üldse olemas (sest see on võimatu juurmärgi alla pane negatiivsed arvud!).
Seetõttu juhime teie tähelepanu asjaolule, et \(\sqrt(a^2)\) ei ole võrdne \((\sqrt a)^2\) ! Näide: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), sest \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kuna \(\sqrt(a^2)=|a|\) , siis \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (avaldis \(2n\) tähistab paarisarvu)
See tähendab, et juure eraldamisel arvust, mis on mingil määral, väheneb see aste poole võrra.
Näide:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (pange tähele, et kui moodul pole määratud, siis selgub, et arvu juur on võrdne \(-25) \) ; aga me mäletame , mis juure definitsiooni järgi see olla ei saa: juure eraldamisel peaksime alati saama positiivse arvu või nulli)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kuna iga paarisastme arv ei ole negatiivne)

Fakt 6.
Kuidas võrrelda kahte ruutjuurt?
\(\bullet\) Ruutjuurte puhul tõene: kui \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aNäide:
1) võrrelge \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Esiteks teisendame teise avaldise järgmiseks \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seega, kuna \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Milliste täisarvude vahel on \(\sqrt(50)\) ?
Alates \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Võrrelge \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletame, et \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(joondatud) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisage üks mõlemale poole))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mõlemad osad ruut))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(joondatud)\] Näeme, et oleme saanud vale ebavõrdsuse. Seetõttu oli meie oletus vale ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Pange tähele, et teatud arvu lisamine ebavõrdsuse mõlemale poolele ei mõjuta selle märki. Võrratuse mõlema osa korrutamine/jagamine positiivse arvuga ei mõjuta samuti selle märki, kuid negatiivse arvuga korrutamine/jagamine muudab võrratuse märgi ümber!
Võrrandi/võrratuse mõlemat poolt saab ruutu panna AINULT KUI mõlemad pooled on mittenegatiivsed. Näiteks eelmise näite ebavõrdsuses saab ruudustada mõlemad pooled, ebavõrdsuses \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Pange tähele \[\begin(joondatud) &\sqrt 2\umbes 1,4\\ &\sqrt 3\umbes 1,7 \end(joondatud)\] Nende numbrite ligikaudse tähenduse teadmine aitab numbrite võrdlemisel! \(\bullet\) Selleks, et eraldada juur (kui see on eraldatud) mõnest suurest arvust, mida ruutude tabelis ei ole, peate esmalt määrama, milliste "sadade" vahel see on, seejärel milliste "kümnete" vahel. ja seejärel määrake selle numbri viimane number. Näitame näitega, kuidas see toimib.
Võtke \(\sqrt(28224)\) . Teame, et \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja nii edasi. Pange tähele, et \(28224\) on vahemikus \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Seetõttu on \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(100\) ja \(200\) .
Nüüd teeme kindlaks, milliste “kümnete” vahel on meie arv (see on näiteks vahemikus \(120\) ja \(130\) ). Samuti teame ruutude tabelist, et \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne, siis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Seega näeme, et \(28224\) on \(160^2\) ja \(170^2\) vahel. Seetõttu on arv \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(160\) kuni \(170\) .
Proovime määrata viimase numbri. Tuletagem meelde, millised ühekohalised numbrid ruudustamisel annavad lõpus \ (4 \) ? Need on \(2^2\) ja \(8^2\) . Seetõttu lõpeb \(\sqrt(28224)\) numbriga 2 või 8. Kontrollime seda. Otsige üles \(162^2\) ja \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Seega \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matemaatika eksami adekvaatseks lahendamiseks on vaja kõigepealt tutvuda teoreetilise materjaliga, mis tutvustab arvukalt teoreeme, valemeid, algoritme jne. Esmapilgul võib tunduda, et see on üsna lihtne. Kuid allika leidmine, kus matemaatika ühtse riigieksami teooria esitatakse lihtsalt ja arusaadavalt mis tahes haridustasemega õpilastele, on tegelikult üsna keeruline ülesanne. Kooliõpikuid ei saa alati käepärast hoida. Ja matemaatika eksami põhivalemite leidmine võib isegi Internetis olla keeruline.

Miks on matemaatika teooria õppimine nii oluline, mitte ainult eksami sooritajatele?

Sest see avardab teie silmaringi. Matemaatika teoreetilise materjali õppimine on kasulik kõigile, kes soovivad saada vastuseid väga paljudele maailma tundmisega seotud küsimustele. Looduses on kõik korrastatud ja selge loogikaga. Just see peegeldub ka teaduses, mille kaudu on võimalik maailma mõista.
Sest see arendab intellekti. Matemaatika eksami teatmematerjale õppides, samuti erinevaid ülesandeid lahendades õpib inimene loogiliselt mõtlema ja arutlema, mõtteid õigesti ja selgelt sõnastama. Ta arendab analüüsi-, üldistus-, järelduste tegemise oskust.

Kutsume teid isiklikult hindama kõiki meie lähenemisviisi eeliseid õppematerjalide süstematiseerimisel ja esitamisel.

Kuidas juuri välja tõmmata numbrist. Sellest artiklist õpime, kuidas võtta nelja- ja viiekohaliste arvude ruutjuur.

Võtame näiteks 1936. aasta ruutjuure.

Seega .

1936. aasta viimane number on 6. Ruut 4 ja 6 lõppevad 6-ga. Seetõttu võib 1936 olla ruut 44 või 46. Seda tuleb veel korrutamise abil kontrollida.

Tähendab,

Eraldame arvu 15129 ruutjuure.

Seega .

15129 viimane number on 9. 9 lõpeb ruuduga 3 ja 7. Seetõttu võib 15129 olla 123 või 127 ruut. Kontrollime korrutamisega.

Tähendab,

Kuidas juurutada - video

Ja nüüd soovitan teil vaadata Anna Denisova videot - "Kuidas juuri välja tõmmata ", saidi autor" lihtne füüsika", milles ta selgitab, kuidas eraldada ruut- ja kuupjuuri ilma kalkulaatorita.

Video käsitleb mitmeid juurte eraldamise viise:

1. Lihtsaim viis ruutjuure eraldamiseks.

2. Sobitamine summa ruudu abil.

3. Babüloonia viis.

4. Ruutjuure eraldamise meetod veerus.

5. Kiire viis kuubiku juure eraldamiseks.

6. Kuupjuure veerus ekstraheerimise meetod.

Juure eraldamine on astendamise pöördtehing. See tähendab, et eraldades arvu X juure, saame arvu, mis ruudus annab sama arvu X.

Juure eemaldamine on üsna lihtne toiming. Ruudude tabel võib ekstraheerimist hõlbustada. Sest kõiki ruute ja juuri on võimatu peast meelde jätta ning numbrid võivad olla suured.

Arvu juure eraldamine

Arvu ruutjuure eraldamine on lihtne. Pealegi saab seda teha mitte kohe, vaid järk-järgult. Võtke näiteks avaldis √256. Esialgu on teadmatul inimesel raske kohe vastust anda. Siis astume samme. Esiteks jagame lihtsalt arvuga 4, millest võtame juurena välja valitud ruudu.

Loosimine: √(64 4), siis võrdub see väärtusega 2√64. Ja nagu teate, korrutustabeli järgi 64 = 8 8. Vastus on 2*8=16.

Registreeruge kursusele "Kiirendada peast loendamist, MITTE peast aritmeetikat", et õppida kiiresti ja õigesti liitma, lahutama, korrutama, jagama, ruutarvud ja isegi juurduma. 30 päeva jooksul õpid kasutama lihtsaid nippe aritmeetiliste toimingute lihtsustamiseks. Iga tund sisaldab uusi võtteid, selgeid näiteid ja kasulikke ülesandeid.

Kompleksne juurte ekstraheerimine

Ruutjuurt ei saa arvutada negatiivsetest arvudest, sest iga ruudus on positiivne arv!

Kompleksarv on arv i, mille ruudus on -1. See on i2=-1.

Matemaatikas on arv, mis saadakse, võttes arvu -1 juure.

See tähendab, et on võimalik arvutada negatiivse arvu juur, kuid see kehtib juba kõrgema matemaatika, mitte kooli kohta.

Vaatleme sellise juure eraldamise näidet: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Juurkalkulaator Internetis

Meie kalkulaatori abil saate arvutada ruutjuurest arvu eraldamise:

Avaldiste teisendamine, mis sisaldavad juure eraldamise operatsiooni

Radikaalavaldiste teisendamise olemus seisneb radikaalarvu lammutamises lihtsamateks, millest saab välja võtta juure. Näiteks 4, 9, 25 ja nii edasi.

Võtame näite, √625. Jagame radikaalavaldise arvuga 5. Saame √(125 5), kordame toimingut √(25 25), kuid me teame, et 25 on 52. Seega on vastus 5*5=25.

Kuid on numbreid, mille juurt ei saa selle meetodiga arvutada ja peate lihtsalt teadma vastust või omama käepärast ruutude tabelit.

√289=√(17*17)=17

Tulemus

Matemaatika paremaks mõistmiseks oleme kaalunud ainult jäämäe tippu - registreeruge meie kursusele: kiirendage peast loendamist - MITTE peast aritmeetikat.

Kursusel ei õpi sa mitte ainult kümneid nippe lihtsustatud ja kiireks korrutamiseks, liitmiseks, korrutamiseks, jagamiseks, protsentide arvutamiseks, vaid ka töötad need välja spetsiaalsetes ülesannetes ja õppemängudes! Ka vaimne loendamine nõuab palju tähelepanu ja keskendumist, mida treenitakse aktiivselt huvitavate probleemide lahendamisel.

Matemaatika sündis siis, kui inimene teadvustas ennast ja hakkas positsioneerima maailma autonoomse üksusena. Soov mõõta, võrrelda, arvutada seda, mis teid ümbritseb, on meie päeva ühe fundamentaalteaduse aluseks. Alguses olid need elementaarmatemaatika osakesed, mis võimaldasid numbreid nende füüsikaliste avaldistega ühendada, hiljem hakati järeldusi esitama ainult teoreetiliselt (nende abstraktsuse tõttu), kuid mõne aja pärast, nagu üks teadlane ütles, " matemaatika jõudis keerukuse laeni, kui kõik numbrid. Mõiste "ruutjuur" ilmus ajal, mil seda sai hõlpsasti toetada empiiriliste andmetega, väljudes arvutustasandist.

Kuidas see kõik algas

Esimest korda mainiti juurt, mida praegu tähistatakse kui √, registreeriti Babüloonia matemaatikute kirjutistes, kes panid aluse kaasaegsele aritmeetikale. Muidugi nägid need välja veidi praegusel kujul – nende aastate teadlased kasutasid esmalt mahukaid tablette. Kuid teisel aastatuhandel eKr. e. nad mõtlesid välja ligikaudse arvutusvalemi, mis näitas, kuidas ruutjuurt võtta. Alloleval fotol on kivi, millele Babüloonia teadlased nikerdasid väljundprotsessi √2 ja see osutus nii õigeks, et vastuses leiti lahknevus vaid kümnenda kümnendkoha täpsusega.

Lisaks kasutati juurt, kui oli vaja leida kolmnurga külg, eeldusel, et teised kaks olid teada. No ruutvõrrandite lahendamisel pole pääsu juure väljavõtmisest.

Koos Babüloonia teostega uuriti artikli objekti ka hiina teoses "Matemaatika üheksas raamatus" ja vanad kreeklased jõudsid järeldusele, et iga arv, millest juurt ilma jäägita ei eraldata, annab irratsionaalse tulemuse. .

Selle termini päritolu seostatakse numbri araabiakeelse esitusega: iidsed teadlased uskusid, et suvalise arvu ruut kasvab juurest nagu taim. Ladina keeles kõlab see sõna nagu radix (võib jälgida mustrit - kõik, millel on "juure" semantiline koormus, on kaashäälik, olgu see siis redis või ishias).

Järgmiste põlvkondade teadlased võtsid selle idee üles ja nimetasid selle Rx-ks. Näiteks 15. sajandil kirjutasid nad selleks, et näidata, et ruutjuur on võetud suvalisest arvust a, R 2 a. Moodsa välimusega tuttav “puuk” √ ilmus tänu Rene Descartes’ile alles 17. sajandil.

Meie päevad

Matemaatiliselt on y ruutjuur arv z, mille ruut on y. Teisisõnu, z 2 =y on samaväärne √y=z-ga. See määratlus on aga asjakohane ainult aritmeetilise juure puhul, kuna see eeldab avaldise mittenegatiivset väärtust. Teisisõnu, √y=z, kus z on suurem kui 0 või sellega võrdne.

Üldiselt, mis kehtib algebralise juure määramisel, võib avaldise väärtus olla kas positiivne või negatiivne. Seega tänu sellele, et z 2 =y ja (-z) 2 =y, saame: √y=±z või √y=|z|.

Kuna armastus matemaatika vastu on teaduse arenguga ainult suurenenud, ilmneb selle vastu mitmesuguseid kiindumuse ilminguid, mis ei väljendu kuivades arvutustes. Näiteks koos selliste huvitavate sündmustega nagu pii päev tähistatakse ka ruutjuure pühi. Neid tähistatakse üheksa korda saja aasta jooksul ja nende määramisel järgitakse järgmist põhimõtet: päeva ja kuud tähistavad numbrid peavad olema aasta ruutjuur. Seega järgmine kord tähistatakse seda püha 4. aprillil 2016.

Ruutjuure omadused väljal R

Peaaegu kõigil matemaatilistel avaldistel on geomeetriline alus, see saatus ei läinud mööda ja √y, mis on defineeritud kui ruudu külg pindalaga y.

Kuidas leida arvu juur?

Arvutusalgoritme on mitu. Lihtsaim, kuid samal ajal üsna tülikas on tavaline aritmeetiline arvutus, mis on järgmine:

1) arvust, mille juurt vajame, lahutatakse omakorda paarituid arve - kuni väljundi jääk on väiksem kui lahutatud üks või võrdub isegi nulliga. Käikude arv muutub lõpuks soovitud arvuks. Näiteks 25 ruutjuure arvutamine:

Järgmine paaritu arv on 11, ülejäänu on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Sellistel juhtudel on Taylori seeria laiendus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kus n võtab väärtused vahemikus 0 kuni

+∞ ja |y|≤1.

Funktsiooni z=√y graafiline esitus

Vaatleme reaalarvude väljal R elementaarfunktsiooni z=√y, kus y on nullist suurem või sellega võrdne. Tema diagramm näeb välja selline:

Kõver kasvab lähtepunktist ja ületab tingimata punkti (1; 1).

Funktsiooni z=√y omadused reaalarvude väljal R

1. Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkond on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on kaasatud).

2. Vaadeldava funktsiooni väärtuste vahemik on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on jälle kaasatud).

3. Funktsioon võtab minimaalse väärtuse (0) ainult punktis (0; 0). Maksimaalset väärtust pole.

4. Funktsioon z=√y ei ole paaris ega paaritu.

5. Funktsioon z=√y ei ole perioodiline.

6. Funktsiooni z=√y graafikul on ainult üks lõikepunkt koordinaattelgedega: (0; 0).

7. Funktsiooni z=√y graafiku lõikepunkt on ühtlasi selle funktsiooni null.

8. Funktsioon z=√y kasvab pidevalt.

9. Funktsioon z=√y võtab ainult positiivseid väärtusi, mistõttu selle graafik hõivab esimese koordinaatnurga.

Funktsiooni z=√y kuvamise võimalused

Matemaatikas kasutatakse keeruliste avaldiste arvutamise hõlbustamiseks mõnikord ruutjuure kirjutamise astmevormi: √y=y 1/2. See valik on mugav näiteks funktsiooni tõstmisel astmeks: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . See meetod sobib hästi ka integreerimisega diferentseerimiseks, kuna tänu sellele on ruutjuur esindatud tavalise astmefunktsiooniga.

Ja programmeerimises on sümboli √ asenduseks tähtede kombinatsioon sqrt.

Väärib märkimist, et selles piirkonnas on ruutjuur suur nõudlus, kuna see on osa enamikust arvutusteks vajalikest geomeetrilistest valemitest. Loendusalgoritm ise on üsna keeruline ja põhineb rekursioonil (funktsioon, mis kutsub ennast ise).

Ruutjuur kompleksväljal C

Üldiselt oli selle artikli teema see, mis stimuleeris kompleksarvude välja C avastamist, kuna matemaatikuid kummitas küsimus, kuidas saada negatiivsest arvust paaris kraadijuur. Nii tekkis kujuteldav ühik i, mida iseloomustab väga huvitav omadus: selle ruut on -1. Tänu sellele said ruutvõrrandid ja negatiivse diskriminandiga lahenduse. C-s on ruutjuure jaoks olulised samad omadused, mis R-is, ainus asi on see, et juuravaldise piirangud eemaldatakse.