Kuidas leida teine jalg ja hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga lahendus. Trigonomeetrilised seosed täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks
Kasutage kalkulaatorit, et leida ruutjuur ruudukujulise hüpotenuusi ja teadaoleva jala erinevusest, samuti ruudus. Jalg nimetatakse täisnurkse kolmnurga küljeks, mis külgneb täisnurgaga. See avaldis on tuletatud Pythagorase teoreemist, mis väidab, et kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.
Enne kui vaatleme erinevaid viise täisnurksest kolmnurgast jala leidmiseks, tehkem mõned tähistused. Kontrollige, milline loetletud juhtudest vastab teie probleemi olukorrale, ja järgige sellest sõltuvalt vastavat lõiku. Uuri välja, millised suurused vaadeldavas kolmnurgas on sulle teada. Kasutage jala arvutamiseks järgmist avaldist: a=sqrt(c^2-b^2), kui teate hüpotenuusi ja teise jala väärtusi.
Selle geomeetrilise kujundi külgede ja nurkade vahelisi seoseid käsitletakse üksikasjalikult trigonomeetria matemaatilises distsipliinis. Selle võrrandi rakendamiseks peate teadma täisnurkse kolmnurga mis tahes kahe külje pikkust.
Arvutage ühe jala pikkus, kui hüpotenuusi ja teise jala mõõtmed on teada. Kui ülesandes on antud hüpotenuus ja üks sellega külgnevatest teravnurkadest, kasutage Bradyse tabeleid.
Sisemine kolmnurk on sarnane välimise kolmnurgaga, kuna mediaanjooned on paralleelsed jalgade ja hüpotenuusiga ning võrdsed vastavalt nende pooltega. Kuna hüpotenuus on teadmata, tuleb keskjoone M_c leidmiseks asendada Pythagorase teoreemi radikaal.
Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga pikim külg. See asub õige nurga vastas. Hüpotenuusi pikkust saab leida mitmel viisil. Kui mõlema jala pikkus on teada, siis arvutatakse selle suurus Pythagorase teoreemi järgi: kahe jala ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. Teades, et kõigi nurkade summa on 180 °, lahutame õige nurga ja juba teadaoleva nurga.
Täisnurkse kolmnurga parameetrite arvutamisel on oluline pöörata tähelepanu teadaolevatele väärtustele ja lahendada probleem lihtsaima valemi abil. Kõigepealt tuletagem meelde, mis on täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad punkte, mis ei asu samal sirgel, ja selle kujundi üks nurkadest on 90 kraadi. Jala pikkuse väljaselgitamiseks on mitu võimalust.
Valem: c²=a²+b², kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad
Kui teame hüpotenuusi ja jalga, saame Pythagorase teoreemi abil leida tundmatu jala pikkuse. See kõlab järgmiselt: "Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga." Jala leidmiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil on neli võimalust: siinus, koosinus, puutuja, kotangens. Nurga siinus (sin) on vastasjala ja hüpotenuusi suhe. Valem: sin \u003d a / c, kus a on antud nurga vastas olev jalg ja c on hüpotenuus.
Täisnurksete kolmnurkade ebatavalised omadused avastas Vana-Kreeka teadlane Pythagoras, kes avastas, et hüpotenuusi ruut sellistes kolmnurkades on võrdne jalgade ruutude summaga.
Kõrgus on risti kolmnurga mis tahes tipust vastasküljele (või selle pikendusele, nürinurgaga kolmnurga puhul). Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse ortotsentriks. Kui see on suvaline täisnurkne kolmnurk, siis pole piisavalt andmeid.
Samuti on kasulik teada trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi kõige tüüpilisemate nurkade 30, 45, 60, 90, 180 kraadi jaoks. Kui tingimused määravad jalgade mõõtmed, leidke hüpotenuusi pikkus. Elus tuleb sageli silmitsi seista matemaatikaprobleemidega: koolis, ülikoolis ja siis lapse abistamisel kodutööde tegemisel.
Järgmiseks teisendame valemi ja saame: a=sin*c
Probleemide lahendamiseks aitab meid allolev tabel. Vaatleme neid võimalusi. Huvitav erijuhtum on see, kui üks teravnurkadest on võrdne 30 kraadiga.
Teatud elukutsete esindajad puutuvad matemaatikaga iga päev kokku.
Samuti on võimalik leida tundmatu jalg, kui on teada täisnurkse kolmnurga mõni teine külg ja mõni teravnurk. Otsige Pythagorase teoreemi abil täisnurkse kolmnurga külg. Samuti saab täisnurkse kolmnurga külgi leida erinevate valemite abil, olenevalt teadaolevate muutujate arvust.
Esimesed on segmendid, mis külgnevad täisnurgaga, ja hüpotenuus on joonise pikim osa ja asub 90-kraadise nurga vastas. Pythagorase kolmnurk on selline, mille küljed on võrdsed naturaalarvudega; nende pikkusi nimetatakse sel juhul "Pythagorase kolmikuks".
egiptuse kolmnurk
Selleks, et praegune põlvkond saaks õppida geomeetriat sellisel kujul, nagu seda praegu koolis õpetatakse, on seda arendatud juba mitu sajandit. Põhimõte on Pythagorase teoreem. Ristküliku küljed on kogu maailmale teada) on 3, 4, 5.
Vähesed inimesed ei tunne fraasi "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed". Tegelikult kõlab teoreem aga järgmiselt: c 2 (hüpotenuusi ruut) \u003d a 2 + b 2 (jalgade ruutude summa).
Matemaatikute seas nimetatakse kolmnurka, mille küljed on 3, 4, 5 (cm, m jne), "Egiptuse". Huvitav on see, et joonisel olev on võrdne ühega. Nimi tekkis umbes 5. sajandil eKr, kui Kreeka filosoofid reisisid Egiptusesse.
Püramiidide ehitamisel kasutasid arhitektid ja geodeetid vahekorda 3:4:5. Sellised konstruktsioonid osutusid proportsionaalseks, silmale meeldivaks ja ruumikaks ning kukkusid ka harva kokku.
Täisnurga ehitamiseks kasutasid ehitajad köit, millele seoti 12 sõlme. Sel juhul kasvas täisnurkse kolmnurga konstrueerimise tõenäosus 95%-ni.
Figuuride võrdsuse märgid
- Täisnurkse kolmnurga teravnurk ja suur külg, mis on võrdsed teise kolmnurga samade elementidega, on kujundite võrdsuse vaieldamatu märk. Võttes arvesse nurkade summat, on lihtne tõestada, et ka teised teravnurgad on võrdsed. Seega on kolmnurgad teises kriteeriumis identsed.
- Kui kaks kujundit on üksteise peale asetatud, pöörame neid nii, et kombineerituna muutuvad need üheks võrdhaarseks kolmnurgaks. Selle omaduse järgi on küljed või pigem hüpotenuusid võrdsed, samuti nurgad aluses, mis tähendab, et need arvud on samad.
Esimese märgiga on väga lihtne tõestada, et kolmnurgad on tõesti võrdsed, peaasi, et kaks väiksemat külge (ehk jalad) oleksid omavahel võrdsed.
Kolmnurgad on samad vastavalt II märgile, mille olemus on jala ja teravnurga võrdsus.
Täisnurga kolmnurga omadused
Täisnurga all langetatud kõrgus jagab figuuri kaheks võrdseks osaks.
Täisnurkse kolmnurga külgi ja selle mediaani on lihtne ära tunda reegli järgi: mediaan, mis on langetatud hüpotenuusile, on võrdne poolega sellest. võib leida nii Heroni valemi kui ka väitega, et see võrdub poolega jalgade korrutisest.
Täisnurkses kolmnurgas kehtivad nurkade 30 o, 45 o ja 60 o omadused.
- 30 ° nurga all tuleb meeles pidada, et vastasjalg on 1/2 suurimast küljest.
- Kui nurk on 45o, siis on ka teine teravnurk 45o. See viitab sellele, et kolmnurk on võrdhaarne ja selle jalad on samad.
- 60-kraadise nurga omadus on see, et kolmanda nurga mõõt on 30 kraadi.
Piirkonda on lihtne leida ühe kolmest valemist:
- läbi kõrguse ja külje, millel see laskub;
- vastavalt Heroni valemile;
- mööda külgi ja nende vahelist nurka.
Täisnurkse kolmnurga küljed või õigemini jalad koonduvad kahe kõrgusega. Kolmanda leidmiseks on vaja arvestada saadud kolmnurgaga ja seejärel Pythagorase teoreemi abil arvutada vajalik pikkus. Lisaks sellele valemile on olemas ka kahekordse ala ja hüpotenuusi pikkuse suhe. Kõige levinum väljend õpilaste seas on esimene, kuna see nõuab vähem arvutusi.
Täisnurksele kolmnurgale kehtivad teoreemid
Täisnurkse kolmnurga geomeetria hõlmab selliste teoreemide kasutamist nagu:
Arvukate arvutuste hulgas, mis on tehtud erinevate koguste arvutamiseks, on kolmnurga hüpotenuusi leidmine. Tuletame meelde, et kolmnurk on kolme nurgaga hulktahukas. Allpool on mitu võimalust erinevate kolmnurkade hüpotenuusi arvutamiseks.
Kõigepealt vaatame, kuidas leida täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Neile, kes on unustanud, on täisnurkne kolmnurk kolmnurk, mille nurk on 90 kraadi. Kolmnurga külge, mis asub täisnurga vastasküljel, nimetatakse hüpotenuusiks. Lisaks on see kolmnurga pikim külg. Sõltuvalt teadaolevatest väärtustest arvutatakse hüpotenuusi pikkus järgmiselt:
- Jalgade pikkused on teada. Hüpotenuus arvutatakse sel juhul Pythagorase teoreemi abil, mis on järgmine: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Kui vaadelda täisnurkset kolmnurka BKF, kus BK ja KF on jalad ning FB on hüpotenuus, siis FB2= BK2+ KF2. Eelnevast järeldub, et hüpotenuusi pikkuse arvutamisel on vaja iga jala väärtus kordamööda ruudustada. Seejärel liidage numbrid kokku ja võtke tulemuse ruutjuur.
Vaatleme näidet: antud täisnurgaga kolmnurk. Üks jalg on 3 cm, teine 4 cm. Leidke hüpotenuus. Lahendus näeb välja selline.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Tõmmake välja ja saate FB=5 cm.
- Tuntud jalg (BK) ja sellega külgnev nurk, mille moodustavad hüpotenuus ja see jalg. Kuidas leida kolmnurga hüpotenuus? Tähistame teadaolevat nurka α-ga. Vastavalt omadusele, mis ütleb, et jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe on võrdne selle jala ja hüpotenuusi vahelise nurga koosinusega. Kolmnurka arvestades saab selle kirjutada järgmiselt: FB= BK*cos(α).
- Jalg (KF) ja sama nurk α on teada, ainult nüüd on see juba vastand. Kuidas sel juhul hüpotenuusi leida? Pöördume täisnurkse kolmnurga samade omaduste juurde ja leiame, et jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe on võrdne jala vastasnurga siinusega. See tähendab, et FB= KF * sin (α).
Vaatame näidet. Antud on sama täisnurkne kolmnurk BKF hüpotenuusiga FB. Olgu nurk F 30 kraadi, teine nurk B vastab 60 kraadile. Tuntud on ka jalg BK, mille pikkus vastab 8 cm. Soovitud väärtuse saad arvutada järgmiselt:
FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.
- Tuntud kui (R), ümbritsetud täisnurgaga kolmnurga ümber. Kuidas leida hüpotenuus sellise probleemi kaalumisel? Täisnurgaga kolmnurga ümber piiratud ringi omaduste põhjal on teada, et sellise ringi keskpunkt langeb kokku hüpotenuusi punktiga, mis jagab selle pooleks. Lihtsamalt öeldes vastab raadius poolele hüpotenuusist. Seega on hüpotenuus võrdne kahe raadiusega. FB=2*R. Kui on antud sarnane ülesanne, mille puhul on teada mitte raadius, vaid mediaan, siis tuleks tähelepanu pöörata täisnurgaga kolmnurga ümber piiratud ringi omadusele, mis ütleb, et raadius on võrdne joonistatud mediaaniga. hüpotenuusile. Kõiki neid omadusi kasutades lahendatakse probleem samamoodi.
Kui küsimus on selles, kuidas leida võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, siis tuleb pöörduda sama Pythagorase teoreemi poole. Kuid kõigepealt pidage meeles, et võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks identset külge. Täisnurkse kolmnurga puhul on jalad samad. Meil on FB2= BK2+ KF2, aga kuna BK= KF on meil järgmised: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Nagu näete, on Pythagorase teoreemi ja täisnurkse kolmnurga omadusi teades ülesannete lahendamine, mille puhul on vaja arvutada hüpotenuusi pikkus, väga lihtne. Kui kõiki omadusi on raske meeles pidada, õppige valmis valemeid, asendades teadaolevad väärtused, millesse saate arvutada hüpotenuusi vajaliku pikkuse.
Juhend
Jalgade a ja b vastas olevaid nurki tähistatakse vastavalt A ja B. Hüpotenuus on definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga külg, mis on täisnurga vastas (samal ajal moodustab hüpotenuus terava nurga nurgad kolmnurga teiste külgedega). Tähistame hüpotenuusi pikkust s-ga.
Sa vajad:
Kalkulaator.
Kasutage jala jaoks järgmist avaldist: a=sqrt(c^2-b^2), kui teate hüpotenuusi ja teise jala väärtusi. See avaldis on tuletatud Pythagorase teoreemist, mis väidab, et kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Operaator sqrt tähistab ruutjuure võtmist. Märk "^2" tähendab teise astmeni tõstmist.
Kasutage valemit a=c*sinA, kui teate hüpotenuusi (c) ja soovitud jala vastas olevat nurka (nimetasime selle nurga A-ks).
Kasutage jala leidmiseks avaldist a=c*cosB, kui teate hüpotenuusi (c) ja soovitud jalaga külgnevat nurka (nimetasime selle nurga B-ks).
Arvutage jalg valemiga a = b * tgA juhul, kui on antud jalg b ja soovitud jala vastas olev nurk (leppisime kokku, et tähistame seda nurka A).
Märge:
Kui teie ülesandes ei leita jalga ühegi kirjeldatud meetodi abil, saab selle tõenäoliselt taandada ühele neist.
Kasulikud näpunäited:
Kõik need avaldised on saadud trigonomeetriliste funktsioonide tuntud definitsioonidest, nii et isegi kui olete ühe neist unustanud, saate selle alati lihtsate toimingutega kiiresti tuletada. Samuti on kasulik teada trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi kõige tüüpilisemate nurkade 30, 45, 60, 90, 180 kraadi jaoks.
Kolmnurk on geomeetriline arv, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurga moodustavaid punkte nimetatakse selle punktideks ja lõigud on kõrvuti.
Olenevalt kolmnurga tüübist (ristkülikukujuline, ühevärviline jne) saate kolmnurga külge arvutada erineval viisil, olenevalt sisendandmetest ja ülesande tingimustest.
Kiire navigeerimine artikli jaoks
Täisnurkse kolmnurga külgede arvutamiseks kasutatakse Pythagorase teoreemi, mille kohaselt hüpotenuusi ruut võrdub jala ruutude summaga.
Kui märgistada jalad tähega "a" ja "b" ning hüpotenuus "c"-ga, siis võib leida lehti järgmiste valemitega:
Kui täisnurkse kolmnurga (a ja b) teravnurgad on teada, saab selle küljed leida järgmiste valemitega:
kärbitud kolmnurk
Kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks kolmnurgaks, mille mõlemad küljed on ühesugused.
Kuidas leida hüpotenuus kahest jalast
Kui täht "a" on identne sama leheküljega, "b" on alus, "b" on aluse vastas nurk, "a" on külgnev nurk, saab lehekülgede arvutamiseks kasutada järgmisi valemeid:
Kaks nurka ja külg
Kui on teada mis tahes kolmnurga üks leht (c) ja kaks nurka (a ja b), kasutatakse ülejäänud lehtede arvutamiseks siinuse valemit:
Peate leidma kolmanda väärtuse y = 180 - (a + b), sest
kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°; 
Kaks külge ja nurk
Kui kolmnurga kaks külge (a ja b) ja nendevaheline nurk (y) on teada, saab kolmanda külje arvutamiseks kasutada koosinusteoreemi.
Kuidas määrata täisnurkse kolmnurga ümbermõõt
Kolmnurkne kolmnurk on kolmnurk, millest üks on 90 kraadi ja ülejäänud kaks on terav. arvutus ümbermõõt selline kolmnurk sõltuvalt selle kohta teadaoleva teabe hulgast.
Sul läheb seda vaja
- Olenevalt olukorrast, oskused 2 kolmnurga kolmest küljest, samuti üks selle teravatest nurkadest.
juhiseid
esiteks Meetod 1. Kui kõik kolm lehekülge on teada kolmnurk Seejärel arvutatakse ümbermõõt, olgu see siis risti või mitte kolmnurkne, järgmiselt: P = A + B + C, kus võimalik, c on hüpotenuus; a ja b on jalad.
teiseks 2. meetod.
Kui ristkülikul on ainult kaks külge, siis kasutades Pythagorase teoreemi, kolmnurk saab arvutada valemiga: P = v (a2 + b2) + a + b või P = v (c2 - b2) + b + c.
kolmas Meetod 3. Olgu hüpotenuus c ja teravnurk? Täisnurkse kolmnurga korral on perimeetrit võimalik leida järgmiselt: P = (1 + sin?
neljas Meetod 4. Nad ütlevad, et täisnurkses kolmnurgas on ühe jala pikkus võrdne a-ga ja vastupidi, sellel on teravnurk. Siis arvuta ümbermõõt See kolmnurk viiakse läbi vastavalt valemile: P = a * (1 / tg?
1 / poeg? + 1)
viies 5. meetod.
Kolmnurga võrguarvutus
Olgu meie jalg juhtima ja kaasatud sellesse, siis vahemik arvutatakse järgmiselt: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
Sarnased videod
Pythagorase teoreem on igasuguse matemaatika alus. Määrab tõelise kolmnurga külgede vahelise suhte. Nüüd on sellel teoreemil 367 tõestust.
juhiseid
esiteks Pythagorase teoreemi klassikaline koolkondlik sõnastus kõlab nii: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.
Hüpotenuusi leidmiseks kahest katetist koosnevas täisnurkses kolmnurgas peate pöörama jalgade pikkuse ruutu, panema need kokku ja võtma summa ruutjuure. Tema väite algses sõnastuses põhineb turg hüpotenuusil, mis on võrdne Catete'i toodetud kahe ruudu ruutude summaga. Kaasaegne algebraline formuleering ei nõua aga domeeni esituse kasutuselevõttu.
teiseks Näiteks täisnurkne kolmnurk, mille jalad on 7 cm ja 8 cm.
Siis on Pythagorase teoreemi järgi ruudukujuline hüpotenuus R + S = 49 + 64 = 113 cm Hüpotenuus võrdub 113 ruutjuurega.
Täisnurkse kolmnurga nurgad
Tulemuseks oli ebamõistlik arv.
kolmas Kui kolmnurgad on jalad 3 ja 4, siis hüpotenuus = 25 = 5. Kui võtate ruutjuure, saate naturaalarvu. Arvud 3, 4, 5 moodustavad Pygagorase kolmiku, kuna need rahuldavad seost x? +Y? = Z, mis on loomulik.
Teised Pythagorase kolmiku näited on: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
neljas Sel juhul, kui jalad on üksteisega identsed, muutub Pythagorase teoreem primitiivsemaks võrrandiks. Näiteks olgu selline käsi võrdne arvuga A ja hüpotenuus on defineeritud C jaoks ja siis c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Sel juhul pole A-d vaja.
viies Pythagorase teoreem on erijuhtum, mis on suurem kui üldine koosinusteoreem, mis loob seose kolmnurga kolme külje vahel nende kahe vahelise mis tahes nurga korral.
Näpunäide 2: kuidas määrata jalgade ja nurkade hüpotenuus
Hüpotenuusiks nimetatakse täisnurkse kolmnurga külge, mis on 90-kraadise nurga vastas.
juhiseid
esiteks Tuntud kateetrite ja täisnurkse kolmnurga teravnurga korral võib hüpotenuusi suurus olla võrdne jala ja selle nurga koosinuse / siinuse suhtega, kui nurk oli vastupidine / e hõlmavad järgmist: H = C1 (või C2) / sin, H = C1 (või С2 ?) / cos ?. Näide: Olgu ABC antud ebakorrapärane kolmnurk hüpotenuusiga AB ja täisnurgaga C.
Olgu B 60 kraadi ja A 30 kraadi. Tüve BC pikkus on 8 cm Tuleks leida hüpotenuusi AB pikkus. Selleks võite kasutada ühte ülaltoodud meetoditest: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.
Hüpotenuus on ristküliku pikim külg kolmnurk. See asub täisnurga all. Ristküliku hüpotenuusi leidmise meetod kolmnurk sõltuvalt lähteandmetest.
juhiseid
esiteks Kui teie jalad on risti kolmnurk, siis ristküliku hüpotenuusi pikkus kolmnurk võib leida Pythagorase analoogiga - hüpotenuusi pikkuse ruut võrdub jalgade pikkuste ruutude summaga: c2 = a2 + b2, kus a ja b on parema jala pikkus kolmnurk .
teiseks Kui see on teada ja üks jalg on terava nurga all, sõltub hüpotenuusi leidmise valem teadaoleva jala suhtes teatud nurga all olevast või puudumisest - külgneb (jalg asub lähedal) või kruustang. vastupidi (vastupidine juhtum asub määratud nurga nego.V on võrdne jala hüpotenuusi murdosaga koosinusnurgas: a = a / cos; E, vastupidi, hüpotenuus on sama, mis siinusnurkade suhe: da = a / sin.
Sarnased videod
Kasulikud näpunäited
Nurgakujuline kolmnurk, mille küljed on omavahel ühendatud kui 3:4:5, mida nimetatakse Egiptuse deltaks, kuna Vana-Egiptuse arhitektid kasutasid neid kujundeid laialdaselt.
See on ka kõige lihtsam näide Jeroni kolmnurkadest, kus leheküljed ja pindala on kujutatud täisarvudena.
Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, mille nurk on 90°. Parema nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks, teist poolt jalgadeks.
Kui soovite teada saada, kuidas täisnurkne kolmnurk moodustub tavaliste kolmnurkade teatud omadustest, nimelt sellest, et teravnurkade summa on 90°, mida kasutatakse, ja asjaolu, et vastasjala pikkus on pool hüpotenuusist. on 30°.
Kiire navigeerimine artikli jaoks
kärbitud kolmnurk
Võrdse kolmnurga üks omadusi on see, et selle kaks nurka on ühesugused.
Täisnurkse võrdkülgse kolmnurga nurga arvutamiseks peate teadma, et:
- See pole halvem kui 90°.
- Teravnurkade väärtused määratakse järgmise valemiga: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, s.o.
Nurgad α ja β on 45°.
Kui ühe teravnurga teadaolev väärtus on teada, saab teise leida valemiga: β = 180º-90º-α või α = 180º-90º-β.
Seda suhet kasutatakse kõige sagedamini, kui üks nurkadest on 60° või 30°.
Põhimõisted
Kolmnurga sisenurkade summa on 180°.
Kuna see on üks tase, siis kaks jäävad teravaks.
Arvutage kolmnurk Internetis
Kui soovite neid leida, peate teadma järgmist:
muud meetodid
Täisnurkse kolmnurga teravnurga väärtusi saab arvutada keskmisest - joonega kolmnurga vastasküljel asuvast punktist ja kõrgusest - joon on risti, mis on tõmmatud hüpotenuusist täisnurga all.
Mediaan ulatub paremast nurgast hüpotenuusi keskkohani ja h on kõrgus. Sel juhul selgub, et: 
- sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
- cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
- sinα = h/b; sin β = h / a.
Kaks lehekülge
Kui hüpotenuusi ja ühe jala pikkused on teada täisnurkses kolmnurgas või kahest küljest, kasutatakse teravnurkade väärtuste määramiseks trigonomeetrilisi identiteete:
- α = arcsiin (a/c), β = arcsiin (b/c).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α = arctaan (a / b), β = arctan (b / a).
Täisnurkse kolmnurga pikkus
Kolmnurga pindala ja pindala
ümbermõõt
Iga kolmnurga ümbermõõt on võrdne kolme külje pikkuste summaga. Kolmnurkse kolmnurga leidmise üldvalem on järgmine:
kus P on kolmnurga ümbermõõt, a, b ja c on selle küljed.
Võrdse kolmnurga ümbermõõt saab leida, kombineerides järjestikku selle külgede pikkuseid või korrutades külje pikkuse 2-ga ja lisades tootele aluse pikkuse.
Tasakaalukolmnurga leidmise üldvalem näeb välja järgmine:
kus P on võrdse kolmnurga ümbermõõt, kuid kas b, b on alus.
Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt selle saab leida, kombineerides järjestikku selle külgede pikkusi või korrutades mis tahes lehe pikkuse 3-ga.
Võrdkülgsete kolmnurkade serva leidmise üldvalem näeks välja järgmine:
kus P on võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt, a on selle mis tahes külg.
piirkond
Kui soovite mõõta kolmnurga pindala, saate seda võrrelda rööpkülikuga. Vaatleme kolmnurka ABC:
Kui võtame sama kolmnurga ja fikseerime selle nii, et saame rööpküliku, saame selle kolmnurgaga sama kõrguse ja alusega rööpküliku:
Sel juhul volditakse kolmnurkade ühine külg piki vormitud rööpküliku diagonaali kokku.
Rööpküliku omadustest. Teadaolevalt jagatakse rööpküliku diagonaalid alati kaheks võrdseks kolmnurgaks, siis on iga kolmnurga pind võrdne poolega rööpküliku vahemikust.
Kuna rööpküliku pindala on selle aluse kõrguse korrutis, on kolmnurga pindala sellest korrutisest pool. Seega on ΔABC pindala sama
Nüüd kaaluge täisnurkset kolmnurka:
Kaks identset täisnurkset kolmnurka saab painutada ristkülikuks, kui see toetub nende vastu, mis on iga teine hüpotenuus.
Kuna ristküliku pind langeb kokku külgnevate külgede pinnaga, on selle kolmnurga pindala sama:
Sellest võime järeldada, et iga täisnurkse kolmnurga pind on võrdne jalgade korrutisega, mis on jagatud 2-ga.
Nendest näidetest võime järeldada, et iga kolmnurga pind on sama, mis pikkuse korrutis, ja kõrgust vähendatakse 2-ga jagatud alusele.
Kolmnurga pindala leidmise üldvalem näeb välja selline:
kus S on kolmnurga pindala, kuid selle alus, kuid kõrgus langeb põhja a.