Matemaatilised probleemid leiavad rakendust paljudes teadustes. Nende hulka ei kuulu mitte ainult füüsika, keemia, tehnika ja majandus, vaid ka meditsiin, ökoloogia ja muud erialad. Üks olulisi mõisteid, mida tuleks valdada, et olulistele dilemmadele lahendusi leida, on funktsiooni tuletis. Selle füüsilist tähendust pole sugugi nii raske seletada, kui asja sisuliselt asjatundmatule võib tunduda. Piisab, kui leiate siit sobivad näited päris elu ja tavalistes igapäevastes olukordades. Tegelikult tuleb iga autojuht sarnase ülesandega toime iga päev, kui ta vaatab spidomeetrit, määrates oma auto kiiruse kindlal kindlal hetkel. Lõppude lõpuks peitub tuletise füüsilise tähenduse olemus selles parameetris.

Kuidas kiirust leida

Iga viies klassi õpilane saab hõlpsasti kindlaks teha teel liikuva inimese kiiruse, teades läbitud vahemaad ja sõiduaega. Selleks jagatakse esimene antud väärtustest teisega. Kuid mitte iga noor matemaatik ei tea seda Sel hetkel leiab funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhte. Tõepoolest, kui kujutame ette liikumist graafiku kujul, rajades tee piki y-telge ja aega piki abstsissit, on see just nii.

Jalakäija või mõne muu objekti kiirus, mille me suurel teelõigul liikumist ühtlaseks pidades määrame, võib aga hästi muutuda. Füüsikas on palju liikumisvorme. Seda saab sooritada mitte ainult pideva kiirendusega, vaid suvaliselt aeglustada ja suurendada. Tuleb märkida, et sel juhul ei ole liikumist kirjeldav joon enam sirge. Graafiliselt võib see võtta kõige keerukamaid konfiguratsioone. Kuid graafiku mis tahes punkti jaoks saame alati joonistada puutuja, mida kujutab lineaarfunktsioon.

Ajast sõltuva nihke muutumise parameetri täpsustamiseks on vaja mõõdetud segmente vähendada. Kui need muutuvad lõpmatult väikeseks, on arvutatud kiirus hetkeline. See kogemus aitab meil tuletist määratleda. Sellisest arutlusest tuleneb loogiliselt ka selle füüsiline tähendus.

Geomeetria poolest

On teada, et mida rohkem kiirust keha, seda järsem on nihke ajast sõltuvuse graafik ja sellest tulenevalt ka graafiku puutuja kaldenurk teatud punktis. Selliste muutuste indikaator võib olla x-telje ja puutuja vahelise nurga puutuja. See on see, kes määrab tuletise väärtuse ja arvutatakse vastandi ja külgneva jala pikkuste suhte järgi. täisnurkne kolmnurk, mille moodustab mingist punktist x-teljele langenud risti.

See on geomeetriline tähendus esimene tuletis. Füüsiline avaldub selles, et vastasjala väärtus on meie puhul läbitud vahemaa ja kõrvaljala väärtus aeg. Nende suhe on kiirus. Ja jälle jõuame järeldusele, et hetkekiirus, mis määratakse siis, kui mõlemad vahed kipuvad lõpmatult väikeseks jääma, on sisuliselt, osutades selle füüsilisele tähendusele. Teine tuletis selles näites on keha kiirendus, mis omakorda näitab kiiruse muutumise astet.

Näiteid tuletiste leidmisest füüsikas

Tuletis on mis tahes funktsiooni muutumise kiiruse näitaja, isegi kui me ei räägi liikumisest selle sõna otseses tähenduses. Selle selgeks demonstreerimiseks toome mõned konkreetsed näited. Oletame, et voolutugevus muutub sõltuvalt ajast vastavalt järgmisele seadusele: ma= 0,4t2. On vaja leida selle parameetri muutumise kiiruse väärtus protsessi 8. sekundi lõpus. Pange tähele, et soovitud väärtus ise, nagu võrrandist järeldada, kasvab pidevalt.

Lahenduseks on vaja leida esimene tuletis, mille füüsikalist tähendust käsitleti varem. Siin dI/ dt = 0,8 t. Järgmisena leiame selle aadressilt t=8 , saame, et voolutugevuse muutumise kiirus on võrdne 6,4 A/ c. Siin arvestatakse, et voolutugevust mõõdetakse amprites ja aega vastavalt sekundites.

Kõik on muutlik

Nähtav maailm, mis koosneb ainest, on pidevas muutumises, olles selles voolavas liikumises erinevaid protsesse. Nende kirjeldamiseks saate kasutada kõige rohkem erinevaid valikuid. Kui neid ühendab sõltuvus, siis on nad matemaatiliselt kirjutatud funktsioonina, mis näitab selgelt nende muutusi. Ja seal, kus on liikumine (ükskõik millises vormis see väljendub), eksisteerib ka tuletis, mille füüsilist tähendust me praegu vaatleme.

Sellega seoses järgmine näide. Oletame, et kehatemperatuur muutub vastavalt seadusele T=0,2 t 2 . Selle kuumenemise kiiruse peaksite leidma 10. sekundi lõpus. Probleem lahendatakse sarnaselt eelmisel juhul kirjeldatule. See tähendab, et leiame tuletise ja asendame selle väärtusega t= 10 , saame T= 0,4 t= 4. See tähendab, et lõplik vastus on 4 kraadi sekundis ehk täpselt sellise kiirusega toimub kütteprotsess ja kraadides mõõdetud temperatuurimuutus.

Praktiliste probleemide lahendamine

Muidugi on päriselus kõik palju keerulisem kui teoreetilistes probleemides. Praktikas määratakse suuruste väärtus tavaliselt katse käigus. Sel juhul kasutatakse instrumente, mis annavad mõõtmiste ajal näidud teatud veaga. Seetõttu tuleb arvutustes tegeleda parameetrite ligikaudsete väärtustega ja kasutada ebamugavate arvude ümardamist ning muid lihtsustusi. Seda arvesse võttes jätkame taas tuletise füüsikalise tähenduse probleemidega, kuna need on vaid omamoodi matemaatilised mudelid kõige keerulisematest looduses toimuvatest protsessidest.

Purse

Kujutage ette, et vulkaan purskab. Kui ohtlik ta võib olla? Sellele küsimusele vastamiseks tuleb arvestada paljude teguritega. Püüame ühte neist arvesse võtta.

"Tulise koletise" suust loobitakse kive vertikaalselt ülespoole, omades algkiirust alates välja minekust.Tuleb arvutada, kui kõrgele nad võivad ulatuda.

Soovitud väärtuse leidmiseks koostame võrrandi meetrites mõõdetud kõrguse H sõltuvuse kohta muudest suurustest. Nende hulka kuuluvad algkiirus ja aeg. Kiirenduse väärtus loetakse teadaolevaks ja ligikaudu võrdne 10 m/s 2 .

Osaline tuletis

Vaatleme nüüd funktsiooni tuletise füüsikalist tähendust veidi teise nurga alt, sest võrrand ise võib sisaldada mitte ühte, vaid mitut muutujat. Näiteks eelmises ülesandes määrati vulkaani tuulutusavast välja paiskunud kivide tõusu kõrguse sõltuvus mitte ainult ajakarakteristiku muutumisest, vaid ka väärtusest. algkiirus. Viimast peeti püsivaks fikseeritud väärtuseks. Kuid teistes täiesti erinevate tingimustega ülesannetes võib kõik olla teisiti. Kui suurusi, millest kompleksfunktsioon sõltub, on mitu, tehakse arvutused allolevate valemite järgi.

Sagedase tuletise füüsiline tähendus tuleks kindlaks määrata nagu tavaliselt. See on kiirus, millega funktsioon muutub teatud punktis muutuja parameetri kasvades. See arvutatakse nii, et kõik muud komponendid võetakse konstantidena, muutujaks loetakse ainult ühte. Siis toimub kõik tavapäraste reeglite järgi.

Mõistes tuletise füüsikalist tähendust, ei ole raske tuua näiteid keeruliste ja keeruliste probleemide lahendamisest, millele selliste teadmistega vastuse saab leida. Kui meil on funktsioon, mis kirjeldab kütusekulu sõltuvalt auto kiirusest, saame arvutada, millistel viimase parameetritel on bensiinikulu kõige väiksem.

Meditsiinis saate ennustada, kuidas see reageerib Inimkeha arsti poolt määratud ravimile. Ravimi võtmine mõjutab mitmesuguseid füsioloogilisi parameetreid. Nende hulka kuuluvad muudatused vererõhk, pulss, kehatemperatuur ja palju muud. Kõik need sõltuvad võetud annusest. ravimtoode. Need arvutused aitavad prognoosida ravi kulgu nii soodsate ilmingute kui ka soovimatute õnnetuste korral, mis võivad patsiendi kehas surmavalt mõjutada.

Kahtlemata on oluline mõista tuletise füüsikalist tähendust tehnilistes küsimustes, eelkõige elektrotehnikas, elektroonikas, projekteerimises ja ehituses.

Pidurdusteekonnad

Vaatleme järgmist probleemi. Pideva kiirusega liikudes pidi sillale lähenev auto 10 sekundit enne sissepääsu aeglustama, kuna juht märkas liiklusmärk, mis keelab liikumise kiirusega üle 36 km/h. Kas juht rikkus reegleid, kui pidurdusteekonda saab kirjeldada valemiga S = 26t - t 2 ?

Olles arvutanud esimese tuletise, leiame kiiruse valemi, saame v = 28 - 2t. Järgmisena asendame määratud avaldisega väärtuse t=10.

Kuna seda väärtust väljendati sekundites, osutus kiiruseks 8 m / s, mis tähendab 28,8 km / h. See võimaldab aru saada, et juht hakkas õigel ajal hoo maha võtma ega rikkunud liikluseeskirju ega sellest ka kiirusmärgile märgitud piirnormi.

See tõestab tuletise füüsilise tähenduse tähtsust. Selle probleemi lahendamise näide näitab selle kontseptsiooni kasutamise ulatust erinevates eluvaldkondades. Kaasa arvatud igapäevastes olukordades.

Tuletis majandusteaduses

Enne 19. sajandit tegelesid majandusteadlased enamasti keskmiste näitajatega, olgu selleks siis tööviljakus või toodangu hind. Kuid mõnest hetkest alates muutusid piirväärtused selles valdkonnas tõhusate prognooside tegemiseks vajalikumaks. Nende hulka kuuluvad piirkasulikkus, sissetulek või kulu. Selle mõistmine andis tõuke täiesti uue tööriista loomisele majandusuuringud mis on eksisteerinud ja arenenud enam kui sada aastat.

Selliste arvutuste tegemiseks, kus sellised mõisted, nagu miinimum ja maksimum, domineerivad, on lihtsalt vaja mõista tuletise geomeetrilist ja füüsikalist tähendust. Loojate hulgas teoreetiline alus Neid erialasid võib nimetada sellisteks väljapaistvateks Inglise ja Austria majandusteadlasteks nagu W. S. Jevons, K. Menger jt. Loomulikult ei ole majanduslikes arvutustes piirväärtusi alati mugav kasutada. Ja näiteks kvartaliaruanded ei pruugi sisse mahtuda olemasolev skeem, kuid siiski on sellise teooria rakendamine paljudel juhtudel kasulik ja tõhus.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

• Luua tingimused tuletise füüsilise tähenduse tähenduslikuks assimilatsiooniks õpilaste poolt.
• Soodustada tuletise praktilise kasutamise oskuste ja vilumuste kujunemist erinevate kehaliste probleemide lahendamiseks.

Arendamine:

• Edendada õpilaste matemaatilise silmaringi, kognitiivse huvi arengut läbi teema praktilise vajalikkuse ja teoreetilise tähtsuse avalikustamise.
• Luua tingimused õpilaste vaimsete oskuste parandamiseks: võrrelda, analüüsida, üldistada.

Hariduslik:

• Edendada huvi matemaatika vastu.

Tunni tüüp: Uute teadmiste omandamise õppetund.

Töö vormid: frontaalne, individuaalne, rühm.

Varustus: Arvuti, interaktiivne tahvel, esitlus, õpik.

Tunni struktuur:

1. Aja organiseerimine tunni eesmärgi seadmine
2. Uue materjali õppimine
3. Uue materjali esmane fikseerimine
4. Iseseisev töö
5. Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus.

Tundide ajal

ma Korraldusmoment, tunni eesmärgi seadmine (2 min.)

II. Uue materjali õppimine (10 min)

Õpetaja: Eelmistes tundides tutvusime tuletiste arvutamise reeglitega, õppisime leidma tuletisi lineaarsest, astmest, trigonomeetrilised funktsioonid. Saime teada, mis on tuletise geomeetriline tähendus. Tänases tunnis õpime, kus seda mõistet füüsikas rakendatakse.

Selleks tuletame meelde tuletise määratlust (Slaid 2)

Nüüd pöördume füüsika kursuse poole (Slaid 3)

Õpilased arutavad ja meenutavad füüsikalised mõisted ja valemid.

Laske kehal liikuda vastavalt seadusele S(t)=f(t) Vaatleme keha läbitud teekonda aja jooksul t 0 kuni t 0 + Δ t, kus Δt on argumendi juurdekasv. Ajahetkel t 0 läbis keha tee S(t 0), hetkel t 0 +Δt - tee S(t 0 +Δt). Seetõttu on keha aja Δt jooksul läbinud tee S(t 0 +Δt) –S(t 0), st. saime funktsiooni juurdekasvu. Keha keskmine kiirus sellel ajavahemikul υ==

Mida lühem on ajavahemik t, seda täpsemalt saame teada, millise kiirusega keha hetkel t liigub. Lases t → 0, saame hetkekiiruse - arvväärtus kiirus selle liikumise hetkel t.

υ= , Δt → 0 juures kiirus on vahemaa tuletis aja suhtes.

slaid 4

Tuletage meelde kiirenduse määratlust.

Kasutades ülaltoodud materjali, võime järeldada, et hetkel t a(t)= υ’(t) kiirendus on kiiruse tuletis.

Lisaks ilmuvad interaktiivsele tahvlile valemid voolutugevuse, nurkkiiruse, EMF jne kohta. Õpilased täidavad nende füüsikaliste suuruste hetkväärtusi tuletise kontseptsiooni kaudu. (Koos puudumisega interaktiivne tahvel kasuta esitlust)

Slaidid 5-8

Järelduse teevad õpilased.

Järeldus:(Slaid 9) Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus. (Tee, koordinaatide, kiiruse, magnetvoo jne funktsioonid)

υ (x) \u003d f '(x)

Õpetaja: Näeme, et suhe kvantitatiivsed omadused lai valik protsesse, mida füüsika uurib, tehnikateadused, keemia, on analoogne tee ja kiiruse vahelise suhtega. Saate anda palju ülesandeid, mille lahendamiseks on vaja leida ka teatud funktsiooni muutumise kiirus, näiteks: lahuse kontsentratsiooni leidmine teatud hetkel, vedeliku voolukiiruse leidmine, keha pöörlemise nurkkiirus, joontihedus punktis jne. Nüüd lahendame mõned neist probleemidest.

III. Omandatud teadmiste kinnistamine (töö rühmades) (15 min.)

Järgneva analüüsiga tahvlil

Enne ülesannete lahendamist tee selgeks füüsikaliste suuruste mõõtühikud.

Kiirus – [m/s]
Kiirendus – [m/s 2]
Tugevus – [N]
Energia – [J]

Ülesanne 1 rühm

Punkt liigub vastavalt seadusele s(t)=2t³-3t (s on vahemaa meetrites, t on aeg sekundites). Arvutage punkti kiirus, selle kiirendus ajahetkel 2s

Ülesande 2 rühm

Hooratas pöörleb ümber telje vastavalt seadusele φ(t)= t 4 -5t. Leidke selle nurkkiirus ω ajahetkel 2s (φ on pöördenurk radiaanides, ω on nurkkiirus rad/s)

Ülesande 3 rühm

Keha massiga 2 kg liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Leia keha kiirus ja selle kineetiline energia 3 s pärast liikumise algust. Milline jõud mõjutab keha sellel ajahetkel? (t mõõdetakse sekundites, x on meetrites)

4. ülesanne

Dot Commits võnkuvad liigutused seaduse järgi x(t)=2sin3t. Tõesta, et kiirendus on võrdeline x-koordinaadiga.

IV.Ülesannete nr 272, 274, 275, 277 iseseisev lahendamine

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov jt "Algebra ja analüüsiklasside algus 10-11"] 12 min

Arvestades:	Lahendus:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t = 6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Vastus: t=6c; υ(6)= 18m/s

Funktsiooni f (x) tuletis punktis x0 on punktis x0 oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi Δx juurdekasvu suhte piir (kui see on olemas), kui argumendi juurdekasv kaldub null ja seda tähistatakse f '(x0). Funktsiooni tuletise leidmise tegevust nimetatakse diferentseerimiseks.
Funktsiooni tuletisel on järgmine füüsiline tähendus: funktsiooni tuletis in antud punkt- funktsiooni muutumise kiirus antud punktis.

Tuletise geomeetriline tähendus. Tuletis punktis x0 on võrdne funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja kaldega selles punktis.

Tuletise füüsikaline tähendus. Kui punkt liigub piki x-telge ja selle koordinaat muutub vastavalt x(t) seadusele, siis punkti hetkekiirus:

Diferentsiaali mõiste, selle omadused. Eristamise reeglid. Näited.

Definitsioon. Funktsiooni diferentsiaal mingil punktil x on põhiline, lineaarne osa funktsiooni juurdekasvust Funktsiooni diferentsiaal y = f(x) on võrdne tema tuletise ja sõltumatu muutuja x ( inkrementi) korrutisega. argument).

See on kirjutatud nii:

või

Või


Diferentsiaalomadused
Diferentsiaalil on tuletisega sarnased omadused:





To eristamise põhireeglid sisaldab:
1) konstantteguri väljavõtmine tuletise märgist
2) summa tuletis, vahe tuletis
3) funktsioonide korrutise tuletis
4) kahe funktsiooni jagatise tuletis (murru tuletis)

Näited.
Tõestame valemit: Tuletise definitsiooni järgi on meil:

Piirile ülemineku märgist võib välja võtta suvalise teguri (seda teatakse piiri omaduste järgi), mistõttu

Näiteks: Leia funktsiooni tuletis
Lahendus: Kasutame reeglit, et tuletise märgist võetakse kordaja välja :

Üsna sageli tuleb esmalt lihtsustada diferentseeruva funktsiooni vormi, et kasutada tuletiste tabelit ja tuletiste leidmise reegleid. Järgmised näited kinnitavad seda selgelt.

Diferentseerimisvalemid. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes. Näited.

Diferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes võimaldab kasutada diferentsiaali funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks.
Näited.
Arvutage diferentsiaali abil ligikaudu
Arvutada antud väärtus rakenda teooriast saadud valemit
Tutvustame funktsiooni ja esitame antud väärtuse kujul
siis arvuta

Asendades kõik valemis, saame lõpuks
Vastus:

16. L'Hopitali reegel määramatuste avaldamiseks kujul 0/0 või ∞/∞. Näited.
Kahe lõpmatult väikese või kahe lõpmatult suure suuruse suhte piir on võrdne nende tuletiste suhte piiriga.

1)

17. Suurenev ja vähenev funktsioon. funktsiooni äärmus. Monotoonsuse ja ekstreemumi funktsiooni uurimise algoritm. Näited.

Funktsioon suureneb intervallil, kui selle intervalli mis tahes kahe punkti puhul, seotud suhe, ebavõrdsus on tõsi. St suurem väärtus argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele ja selle graafik läheb "alt üles". Demofunktsioon kasvab intervalli jooksul

Samamoodi funktsioon väheneb on intervall, kui iga kahe punkti antud intervalli, nii et , Ebavõrdsus on tõsi. See tähendab, et argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele ja selle graafik läheb "ülevalt alla". Meie oma väheneb intervallidega, väheneb intervallidega .

Äärmused Punkti nimetatakse funktsiooni y=f(x) maksimumpunktiks, kui ebavõrdsus on tõene kõigi x-ide jaoks selle lähedusest. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .
Punkti nimetatakse funktsiooni y=f(x) miinimumpunktiks, kui ebavõrdsus on tõene kõigi x-ide jaoks selle lähedusest. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .
Punkti naabrusena mõistetakse intervalli , kus on piisavalt väike positiivne arv.
Miinimum- ja maksimumpunkte nimetatakse äärmuspunktideks ning äärmuspunktidele vastavaid funktsiooni väärtusi nimetatakse funktsiooni äärmus.

Funktsiooni uurimiseks monotoonsuse pärast kasutage järgmist diagrammi:
- Leia funktsiooni ulatus;
- Leia funktsiooni tuletis ja tuletise valdkond;
- Leia tuletise nullid, s.o. argumendi väärtus, mille korral tuletis on võrdne nulliga;
- Märkige numbrireal üldosa funktsiooni domeen ja selle tuletise domeen ning sellel - tuletise nullid;
- Määrake tuletise märgid igal saadud intervallil;
- Määrake tuletise märkide järgi, milliste intervallidega funktsioon suureneb ja millal väheneb;
- Märgistage semikooloniga eraldatuna vastavad lüngad.

Algoritm pideva funktsiooni y = f(x) uurimiseks monotoonsuse ja ekstreemsuse korral:
1) Leidke tuletis f ′(x).
2) Leidke funktsiooni y = f(x) statsionaarsed (f ′(x) = 0) ja kriitilised (f ′(x) punktid.
3) Märgi arvjoonele statsionaarsed ja kriitilised punktid ning määra saadud intervallidel tuletise märgid.
4) Tee järeldused funktsiooni monotoonsuse ja selle äärmuspunktide kohta.

18. Funktsiooni kumerus. Käändepunktid. Funktsiooni kumeruse (nõgusus) uurimise algoritm Näited.

allapoole kumer X-intervallil, kui selle graafik ei asu X-intervalli mis tahes punktis selle puutujast madalamal.

Diferentseeruvat funktsiooni nimetatakse kumer üles X-intervallil, kui selle graafik ei asu X-intervalli mis tahes punktis tema puutujast kõrgemal.

Punkti valemit nimetatakse graafiku pöördepunkt funktsioon y \u003d f (x), kui antud punktis on funktsiooni graafiku puutuja (see võib olla paralleelne Oy teljega) ja on olemas selline punkti valemi naabrus, mille sees graafik funktsioonil on erinevad kumerussuunad punktist M vasakule ja paremale.

Kumeruse intervallide leidmine:

Kui funktsioonil y=f(x) on intervallil X lõplik teine ​​tuletis ja kui ebavõrdsus (), siis on funktsiooni graafikul kumerus, mis on suunatud X-le alla (üles).
See teoreem võimaldab leida funktsiooni nõgususe ja kumeruse intervallid, tuleb lahendada ainult ebavõrdsused ja vastavalt algfunktsiooni definitsioonipiirkonnas.

Näide: saate teada intervallid, mille korral funktsiooni graafikTutvuge intervallidega, mille korral funktsiooni graafik on kumerus suunatud ülespoole ja kumerus allapoole. on kumerus suunatud ülespoole ja kumerus allapoole.
Lahendus: Selle funktsiooni domeeniks on kogu reaalarvude komplekt.
Leiame teise tuletise.

Teise tuletise definitsioonipiirkond ühtib algfunktsiooni definitsioonipiirkonnaga, seetõttu piisab nõgususe ja kumeruse intervallide väljaselgitamiseks vastavalt lahendada ja. Seetõttu on funktsioon intervallvalemis allapoole kumer ja intervallvalemis üleskumer.

19) Funktsiooni asümptoodid. Näited.

Otse kutsutud vertikaalne asümptoot funktsiooni graafik, kui vähemalt üks piirväärtustest või on võrdne või .

kommenteerida. Rida ei saa olla vertikaalne asümptoot, kui funktsioon on pidev . Seetõttu tuleks funktsiooni katkestuspunktides otsida vertikaalseid asümptoote.

Otse kutsutud horisontaalne asümptoot funktsiooni graafik, kui vähemalt üks piirväärtustest või on võrdne .

kommenteerida. Funktsioonigraafikul võib olla ainult parempoolne horisontaalne asümptoot või ainult vasakpoolne asümptoot.

Otse kutsutud kaldus asümptoot funktsiooni if ​​graafik

NÄIDE:

Harjutus. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid

Lahendus. Funktsiooni ulatus:

a) vertikaalsed asümptoodid: sirgjoon on vertikaalne asümptoot, kuna

b) horisontaalsed asümptoodid: funktsiooni piiri leiame lõpmatuses:

see tähendab, et horisontaalseid asümptoote pole.

c) kaldus asümptoodid:

Seega on kaldus asümptoot: .

Vastus. Vertikaalne asümptoot on sirgjoon.

Kaldus asümptoot on sirgjoon.

20) Üldskeem funktsiooniuuringud ja joonistamine. Näide.

a.
Leidke funktsiooni ODZ ja katkestuspunktid.

b. Leia funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

2. Viia läbi funktsiooni uuring kasutades esimest tuletist, st leida funktsiooni äärmuspunktid ning suurenemise ja kahanemise intervallid.

3. Uurige funktsiooni teist järku tuletise abil ehk leidke funktsiooni graafiku käändepunktid ning selle kumeruse ja nõgususe intervallid.

4. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid: a) vertikaalne, b) kaldu.

5. Koostage uuringu põhjal funktsiooni graafik.

Pange tähele, et enne joonistamist on kasulik kindlaks teha, kas antud funktsioon on paaris või paaritu.

Tuletage meelde, et funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui funktsiooni väärtus argumendi märgi muutumisel ei muutu: f(-x) = f(x) ja funktsiooni nimetatakse paarituks, kui f(-x) = -f(x).

Sel juhul piisab funktsiooni uurimisest ja selle graafiku joonistamisest positiivsed väärtused ODZ-le kuuluv argument. Kell negatiivsed väärtused argument, graafik valmib selle alusel, et paarisfunktsiooni korral on see telje suhtes sümmeetriline Oy, ja päritolu suhtes paaritu jaoks.

Näited. Uurige funktsioone ja koostage nende graafikud.

Funktsiooni ulatus D(y)= (–∞; +∞). Murdepunkte pole.

Telje ristmik Ox: x = 0,y= 0.

Funktsioon on paaritu, seetõttu saab seda uurida ainult intervallil ja selle argument on ühikutes [x], siis tuletist (kiirust) mõõdetakse ühikutes.

6. ülesanne

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, kus x t t= 9 s.

Tuletise leidmine
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Seega oleme saanud kiiruse sõltuvuse ajast. Kiiruse leidmiseks antud ajahetkel peate asendama selle väärtuse saadud valemis:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Vastus: 60

Kommentaar: Vaatame, et me koguste mõõtmetega ei eksinud. Siin on kauguse ühik (funktsioon) [x] = meeter, ajaühik (funktsiooni argument) [t] = sekund, seega tuletise ühik = [m/s], s.o. tuletis annab kiiruse just neis ühikutes, mis on ülesande küsimuses mainitud.

Ülesanne 7

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) sel ajal t= 3 s.

Tuletise leidmine
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Asendame saadud valemis antud ajahetke
x"(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

Vastus: 59

Ülesanne 8

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t) = t 2 − 13t+ 23, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli tema kiirus 3 m/s?

Tuletise leidmine
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Saadud valemiga antud kiiruse võrdsustame väärtusega 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Selle võrrandi lahendamisel määrame kindlaks, mis ajahetkel on võrdsus tõene.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Vastus: 8

Ülesanne 9

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli tema kiirus 2 m/s?

Tuletise leidmine
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Teeme ka võrrandi:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
See on ruutvõrrand, mida saab lahendada diskriminandi või Vieta teoreemi abil. Siin on minu arvates teine ​​viis lihtsam:
t 1 + t 2 = 6; tüks · t 2 = −7.
Seda on lihtne ära arvata t 1 = −1; t 2 = 7.
Me paneme vastusesse ainult positiivse juure, sest aeg ei saa olla negatiivne.

Vaatleme suvalist sirget, mis läbib funktsiooni graafiku punkti - punkti A (x 0, f (x 0)) ja lõikuvad graafikuga mingis punktis B(x; f(x )). Sellist sirget (AB) nimetatakse sekantiks. Alates ∆ABC: ​​AC = ∆ x; eKr \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Kuna AC || Ox , siis Р ALO = Р BAC = β (vastavalt paralleelile). AgaÐ ALO on sekandi AB kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes. Tähendab, tgβ = k - kalle otsene AB.

Nüüd vähendame ∆x, s.o. ∆x→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend ∆х→ 0 on sirgjoon ( a ), mida nimetatakse funktsiooni y = graafiku puutujaks f(x) punktis A.

Kui läheme võrdsuses üle piirini ∆х → 0 tg β =∆ y /∆ x , siis saame

või tg a \u003d f "(x 0), kuna
a - Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk

, tuletise määratluse järgi. Aga tg a = k on puutuja kalle, seega k = tg a \u003d f "(x 0).

Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:

Funktsiooni tuletis punktis x 0 on võrdne tõusuga abstsissiga x 0 punktis joonestatud funktsiooni graafiku puutuja.

Tuletise füüsikaline tähendus.

Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t ). On teada (füüsika kursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul [ t0; t0 + ∆t ] on võrdne selle ajaperioodi jooksul läbitud vahemaa ja aja suhtega, s.o.

Vav = ∆x /∆t . Liigume viimases võrduses oleva piirini ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) – hetkekiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.

ja lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (tuletise määratluse järgi).

Niisiis, n(t) = x "(t).

Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletis y = f( x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirus f(x) punktisx 0

Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide funktsioonist ajast, kiirenduse leidmiseks teadaolevast kiiruse funktsioonist ajast.

u (t) \u003d x "(t) - kiirus,

a(f) = n "(t ) - kiirendus või

a (t) \u003d x "(t).

Kui on teada materiaalse punkti piki ringjoont liikumise seadus, siis on võimalik leida nurkkiirus ja nurkkiirendus pöörleva liikumise ajal:

φ = φ (t ) - nurga muutus ajast,

ω = φ "(t ) - nurkkiirus,

ε = φ "(t ) - nurkiirendus võiε \u003d φ "(t).

Kui on teada mittehomogeense varda massi jaotusseadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:

m \u003d m (x) - mass,

x н , l - varda pikkus,

p = m "(x) - lineaarne tihedus.

Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Jah, vastavalt Hooke'i seadusele

F = - kx , x - muutuv koordinaat, k - vedru elastsuse koefitsient. Panekω 2 = k/m , saame diferentsiaalvõrrand vedru pendel x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

kus ω = √k /√m võnkesagedus ( l/c ), k - vedru jäikus ( H/m).

Võrrand kujul y" +ω 2 a = 0 nimetatakse harmooniliste (mehaaniliste, elektriliste, elektromagnetiliste) võnkumiste võrrandiks. Selliste võrrandite lahendus on funktsioon

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) või y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), kus

A on võnkumiste amplituud,ω - tsükliline sagedus,

φ 0 - algfaas.