¿En qué cuadrantes la cotangente es positiva? Propiedades básicas de las funciones trigonométricas: igualdad, imparidad, periodicidad. Signos de los valores de funciones trigonométricas por cuartos

11.10.2019

Contar ángulos en un círculo trigonométrico.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Es casi lo mismo que en la lección anterior. Hay hachas, un círculo, un ángulo, todo es chin-china. Números agregados de cuartos (en las esquinas de un cuadrado grande), desde el primero hasta el cuarto. Y entonces, de repente, ¿quién no lo sabe? Como puedes ver, los cuartos (también se les llama hermosa palabra"cuadrantes") están numerados contra el movimiento agujas del reloj. Se agregaron valores de ángulo en los ejes. Todo está claro, sin lujos.

Y agregó una flecha verde. Con un plus. ¿Qué quiere decir ella? Déjame recordarte que el lado fijo de la esquina siempre clavado al eje positivo OH. Entonces, si giramos el lado móvil de la esquina más flecha, es decir. en cuartos ascendentes, el ángulo se considerará positivo. Por ejemplo, la imagen muestra un ángulo positivo de +60°.

Si posponemos las esquinas en reverso, agujas del reloj, el ángulo se considerará negativo. Pase el cursor sobre la imagen (o toque la imagen en la tableta), verá una flecha azul con un signo menos. Esta es la dirección de la lectura negativa de los ángulos. Un ángulo negativo (-60°) se muestra como ejemplo. Y también verás como han cambiado los números de los ejes... También los traduje a ángulos negativos. La numeración de los cuadrantes no cambia.

Aquí, por lo general, comienzan los primeros malentendidos. ¿¡Cómo es eso!? ¿¡Y si el ángulo negativo en el círculo coincide con el positivo!? Y, en general, resulta que la misma posición del lado móvil (o un punto en el círculo numérico) se puede llamar tanto ángulo negativo como positivo.

Sí. Exactamente. Digamos que un ángulo positivo de 90 grados toma un círculo exactamente lo mismo posición como un ángulo negativo de menos 270 grados. Un ángulo positivo, por ejemplo +110° grados, toma exactamente lo mismo posición ya que el ángulo negativo es -250°.

No hay problema. Todo es correcto.) La elección de un cálculo positivo o negativo del ángulo depende de la condición de la asignación. Si la condición no dice nada Texto sin formato sobre el signo del ángulo, (como "determinar el menor positivoángulo", etc.), luego trabajamos con valores que nos convengan.

Una excepción (¡¿y cómo sin ellas?!) son las desigualdades trigonométricas, pero ahí dominaremos este truco.

Y ahora una pregunta para ti. ¿Cómo sé que la posición del ángulo de 110° es la misma que la posición del ángulo de -250°?
Insinuaré que esto se debe a la rotación completa. En 360°... ¿No está claro? Luego dibujamos un círculo. Dibujamos en papel. marcando la esquina sobre 110°. Y creer cuanto queda hasta una vuelta completa. Solo quedan 250°...

¿Entiendo? Y ahora, ¡atención! Si los ángulos 110° y -250° ocupan el círculo mismo posición, ¿entonces qué? Sí, el hecho de que los ángulos sean de 110° y -250° exactamente lo mismo seno, coseno, tangente y cotangente!
Aquellos. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) y así sucesivamente. ¡Ahora esto es realmente importante! Y en sí mismo, hay muchas tareas en las que es necesario simplificar expresiones y como base para el desarrollo posterior de fórmulas de reducción y otras complejidades de la trigonometría.

Por supuesto, tomé 110 ° y -250 ° al azar, puramente por ejemplo. Todas estas igualdades funcionan para cualquier ángulo que ocupe la misma posición en el círculo. 60° y -300°, -75° y 285°, y así sucesivamente. Noto de inmediato que las esquinas en estas parejas: varios. Pero tienen funciones trigonométricas - lo mismo.

Creo que entiendes lo que son los ángulos negativos. Es bastante simple. En sentido contrario a las agujas del reloj es un conteo positivo. En el camino, es negativo. Considere el ángulo positivo o negativo depende de nosotros. De nuestro deseo. Bueno, y más de la tarea, claro… Espero que entiendas cómo moverte en funciones trigonométricas de ángulos negativos a positivos y viceversa. Dibuje un círculo, un ángulo aproximado y vea cuánto falta antes de una vuelta completa, es decir. hasta 360°.

Ángulos mayores de 360°.

Tratemos con ángulos que son mayores a 360°. ¿Y esas cosas pasan? Los hay, por supuesto. ¿Cómo dibujarlos en un círculo? ¡No es un problema! Supongamos que necesitamos entender en qué cuarto caerá un ángulo de 1000 °. ¡Fácilmente! Damos una vuelta completa en sentido antihorario (¡el ángulo nos fue dado positivo!). Rebobinar 360°. Bueno, ¡sigamos adelante! Otro giro: ya ha resultado 720 °. ¿Cuanto queda? 280°. No es suficiente para un giro completo ... Pero el ángulo es de más de 270 °, y este es el límite entre el tercer y cuarto cuarto. Entonces nuestro ángulo de 1000° cae en el cuarto cuarto. Todo.

Como puedes ver, es bastante simple. Permítanme recordarles una vez más que el ángulo de 1000° y el ángulo de 280°, que obtuvimos al descartar las vueltas completas "extra", son, estrictamente hablando, varios esquinas Pero las funciones trigonométricas de estos ángulos exactamente lo mismo! Aquellos. sen1000° = sen280°, cos1000° = cos280° etc. Si yo fuera un seno, no notaría la diferencia entre estos dos ángulos...

¿Por qué es necesario todo esto? ¿Por qué necesitamos trasladar ángulos de uno a otro? Sí, todo por lo mismo.) Para simplificar expresiones. La simplificación de expresiones, de hecho, es la tarea principal de las matemáticas escolares. Bueno, en el camino, la cabeza está entrenando).

Bueno, ¿practicamos?)

Respondemos preguntas. Sencillo al principio.

1. ¿En qué cuarto cae el ángulo -325°?

2. ¿En qué cuarto cae el ángulo de 3000°?

3. ¿En qué cuarto cae el ángulo -3000°?

¿Hay un problema? ¿O la inseguridad? Pasamos a la Sección 555, Trabajo práctico con un círculo trigonométrico. Allí, en la primera lección de este mismo " trabajo practico..." todo está detallado ... En tal preguntas de incertidumbre ¡no debería!

4. ¿Cuál es el signo de sin555°?

5. ¿Cuál es el signo de tg555°?

¿Determinado? ¡Excelente! ¿Duda? Es necesario la Sección 555 ... Por cierto, allí aprenderá a dibujar tangentes y cotangentes en un círculo trigonométrico. Una cosa muy útil.

Y ahora las preguntas más inteligentes.

6. Lleve la expresión sin777° al seno del ángulo positivo más pequeño.

7. Lleva la expresión cos777° al coseno del ángulo negativo más grande.

8. Convierte la expresión cos(-777°) al coseno del ángulo positivo más pequeño.

9. Lleva la expresión sin777° al seno del ángulo negativo más grande.

¿Qué, las preguntas 6-9 desconcertadas? Acostúmbrate, no hay tales formulaciones en el examen ... Que así sea, lo traduciré. ¡Solo para ti!

Las palabras "reducir la expresión a..." significan transformar la expresión para que su valor no ha cambiado a apariencia cambiado de acuerdo con la tarea. Entonces, en las tareas 6 y 9, debemos obtener un seno, dentro del cual está el ángulo positivo más pequeño. Todo lo demás no importa.

Daré las respuestas en orden (en violación de nuestras reglas). Pero qué hacer, solo hay dos signos y solo cuatro cuartos ... No se dispersará en las opciones.

6. sen57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-pecado(-57°)

Supongo que las respuestas a las preguntas 6-9 confundieron a algunas personas. Especialmente -pecado(-57°), ¿verdad?) De hecho, en las reglas elementales para contar ángulos hay lugar para errores ... Es por eso que tuve que hacer una lección: "¿Cómo determinar los signos de funciones y dar ángulos en un círculo trigonométrico?" En la Sección 555. Allí se resuelven las tareas 4 - 9. Bien ordenado, con todas las trampas. Y están aquí.)

En la próxima lección, trataremos los misteriosos radianes y el número "Pi". Aprende cómo convertir fácil y correctamente grados a radianes y viceversa. Y nos sorprenderá encontrar que esta información elemental en el sitio basta ya para resolver algunos acertijos de trigonometría no estándar!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Tipo de lección: sistematización de conocimientos y control intermedio.

Equipo: círculo trigonométrico, pruebas, tarjetas con tareas.

Objetivos de la lección: sistematizar lo estudiado material teorico según las definiciones de seno, coseno, tangente de un ángulo; comprobar el grado de asimilación de los conocimientos sobre este tema y su aplicación en la práctica.

Tareas:

Generalizar y consolidar los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo.
Formar una idea compleja de las funciones trigonométricas.
Contribuir al desarrollo en los estudiantes del deseo y necesidad de estudiar materia trigonométrica; cultivar la cultura de la comunicación, la capacidad de trabajo en grupo y la necesidad de autoformación.

“El que hace y piensa desde su juventud,
se vuelve entonces, más confiable, más fuerte, más inteligente.

(V. Shukshin)

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizacional

La clase está representada por tres grupos. Cada grupo tiene un consultor.
El maestro informa el tema, las metas y los objetivos de la lección.

II. Actualización de conocimientos (trabajo frontal con la clase)

1) Trabajar en grupos en tareas:

1. Formule la definición del ángulo del seno.

– ¿Qué signos tiene sen α en cada cuarto de coordenadas?
– ¿A qué valores tiene sentido la expresión sin α y qué valores puede tomar?

2. El segundo grupo son las mismas preguntas para cos α.

3. El tercer grupo prepara respuestas sobre las mismas preguntas tg α y ctg α.

En este momento, tres estudiantes trabajan de forma independiente en la pizarra con tarjetas (representantes de diferentes grupos).

Número de tarjeta 1.

Trabajo practico.
Usando el círculo unitario, calcule los valores de sen α, cos α y tg α para el ángulo 50, 210 y -210.

Número de tarjeta 2.

Determine el signo de la expresión: tg 275; porque 370; pecado 790; tg 4.1 y sen 2.

Número de tarjeta 3.

1) Calcular:
2) Compara: cos 60 y cos 2 30 - sen 2 30

2) Oralmente:

a) Se proponen una serie de números: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Algunos de ellos son redundantes. ¿Qué propiedad sen α o cos α puede expresar estos números (puede sen α o cos α tomar estos valores).
b) ¿Tiene sentido la expresión: cos (-); pecado2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). ¿Por qué?
c) ¿Hay un mínimo y valor más alto sen o cos, tg, ctg.
d) ¿Es cierto?
1) α = 1000 es el ángulo del cuarto II;
2) α \u003d - 330 es el ángulo del IV cuarto.
e) Los números corresponden al mismo punto en el círculo unitario.

3) Trabajo de pizarra

#567 (2; 4) - Encuentra el valor de una expresión
#583 (1-3) Determina el signo de la expresión

Tareas para el hogar: tabla en un cuaderno. N° 567(1, 3) N° 578

tercero Adquisición de conocimientos adicionales. Trigonometría en la palma de tu mano

Maestro: Resulta que los valores de los senos y cosenos de los ángulos "están" en tu palma. Extienda la mano (cualquiera) y separe los dedos lo más posible (como en el póster). Se invita a un estudiante. Medimos los ángulos entre nuestros dedos.
Se toma un triángulo, donde hay un ángulo de 30, 45 y 60 90 y aplicamos la parte superior del ángulo al montículo de la Luna en la palma de nuestra mano. El Monte de la Luna está ubicado en la intersección de las extensiones del dedo meñique y pulgar. Combinamos un lado con el dedo meñique, y el otro lado con uno de los otros dedos.
Resulta que el ángulo entre el dedo meñique y el pulgar es 90, entre el dedo meñique y el anular - 30, entre el dedo meñique y el dedo medio - 45, entre el dedo meñique y el índice - 60. Y esto es para todas las personas sin excepcion

dedo meñique número 0 - corresponde a 0,
número sin nombre 1 - corresponde a 30,
número medio 2 - corresponde a 45,
número de índice 3 - corresponde a 60,
gran número 4 - corresponde a 90.

Así, tenemos 4 dedos en nuestra mano y recordamos la fórmula:

número de dedo	Esquina	Sentido

Esta es solo una regla mnemotécnica. En general, el valor de sen α o cos α debe saberse de memoria, pero a veces esta regla ayudará en tiempos difíciles.
Piensa en una regla para cos (ángulos sin cambio, pero contando desde el pulgar). Una pausa física asociada a los signos sen α o cos α.

IV. Comprobación de la asimilación de ZUN

Trabajo independiente con retroalimentación.

Cada alumno recibe un test (4 opciones) y la hoja de respuestas es la misma para todos.

Prueba

Opción 1

1) ¿En qué ángulo de rotación tomará el radio la misma posición que cuando se gira en un ángulo de 50?
2) Encuentra el valor de la expresión: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Cuál de los números es menor que cero: sen 140, cos 140, sen 50, tg 50.

opcion 2

1) ¿En qué ángulo de rotación tomará el radio la misma posición que cuando se gira en un ángulo de 10?
2) Encuentra el valor de la expresión: 4cos 90 - 6sin 30.
3) ¿Cuál de los números es mayor que cero: sen 340, cos 340, sen 240, tg (- 240).

Opción 3

1) Encuentra el valor de la expresión: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Cuál de los números es menor que cero: sen 40, cos (- 10), tg 210, sen 140.
3) El ángulo cuyo cuarto es el ángulo α, si sen α > 0, cos α< 0.

Opción 4

1) Encuentra el valor de la expresión: tg 60 - 6ctg 90.
2) Cuál de los números es menor que cero: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) El ángulo de qué cuarto es el ángulo α, si ctg α< 0, cos α> 0.

PERO 0	B pecado50	A 1	GRAMO – 350	D – 1	mi Porque(– 140)
Y 3	W 310	Y Porque 140		L 350	METRO 2
H Porque 340	O – 3	PAGS porque 250	R	DE pecado 140	T – 310
A – 2	F 2	X Tg50	W Tg 250	YU pecado 340	yo 4

(la palabra es trigonometría es la clave)

V. Información de la historia de la trigonometría

Maestro: La trigonometría es una rama bastante importante de las matemáticas para la vida humana. aspecto moderno la trigonometría fue impartida por el más grande matemático del siglo XVIII, Leonhard Euler, un suizo de nacimiento largos años quien trabajó en Rusia y fue miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. El introdujo definiciones famosas funciones trigonométricas fórmulas bien conocidas formuladas y probadas, las aprenderemos más adelante. La vida de Euler es muy interesante y le aconsejo que se familiarice con ella del libro de Yakovlev "Leonard Euler".

(Mensaje chicos sobre este tema)

VI. Resumiendo la lección

Juego de tres en raya

Participan los dos alumnos más activos. Son apoyados por grupos. La solución de tareas se registra en un cuaderno.

Tareas

1) Encuentra el error

a) sen 225 = - 1.1 c) sen 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Expresar el ángulo en grados
3) Expresar en radianes el ángulo 300
4) ¿Cuál es el más grande y valor más pequeño puede tener la expresión: 1+ sin α;
5) Determinar el signo de la expresión: sen 260, cos 300.
6) ¿En qué cuarto del círculo numérico está el punto
7) Determinar los signos de la expresión: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Calcular:
9) Compara: sen 2 y sen 350

VIII. Reflexión de la lección

Maestro:¿Dónde podemos encontrarnos con la trigonometría?
¿En qué lecciones en el grado 9, e incluso ahora, usa los conceptos de sen α, cos α; tga; ctg α y con qué propósito?

El signo de la función trigonométrica depende únicamente del cuarto de coordenadas en el que se encuentra el argumento numérico. La última vez aprendimos cómo traducir argumentos de una medida en radianes a una medida en grados (ver la lección " Medida en radianes y grados de un ángulo"), y luego determinar este mismo cuarto de coordenadas. Ahora tratemos, de hecho, con la definición del signo del seno, coseno y tangente.

El seno del ángulo α es la ordenada (coordenada y) de un punto en un círculo trigonométrico, que ocurre cuando el radio se gira a través del ángulo α.

El coseno del ángulo α es la abscisa (coordenada x) de un punto en un círculo trigonométrico, que ocurre cuando el radio gira a través del ángulo α.

La tangente del ángulo α es la razón del seno al coseno. O, de manera equivalente, la relación entre la coordenada y y la coordenada x.

Notación: sen α = y ; cosα = x; tga = y : x .

Todas estas definiciones te son familiares del curso de álgebra de la escuela secundaria. Sin embargo, no nos interesan las definiciones en sí, sino las consecuencias que surgen sobre el círculo trigonométrico. Echar un vistazo:

El color azul indica la dirección positiva del eje OY (eje de ordenadas), el color rojo indica la dirección positiva del eje OX (eje de abscisas). En este "radar" se hacen evidentes los signos de las funciones trigonométricas. En particular:

sen α > 0 si el ángulo α está en el cuarto de coordenadas I o II. Esto se debe a que, por definición, un seno es una ordenada (coordenada y). Y la coordenada y será positiva precisamente en los cuartos de coordenadas I y II;
cos α > 0 si el ángulo α está en el cuarto de coordenadas I o IV. Porque solo ahí la coordenada x (también es la abscisa) será mayor que cero;
tg α > 0 si el ángulo α se encuentra en el cuadrante de coordenadas I o III. Esto se deduce de la definición: después de todo, tg α = y : x , por lo que es positivo solo donde coinciden los signos de xey. Esto sucede en el primer trimestre de coordenadas (aquí x > 0, y > 0) y el tercer trimestre de coordenadas (x< 0, y < 0).

Para mayor claridad, anotamos los signos de cada función trigonométrica (seno, coseno y tangente) en un "radar" separado. Obtenemos la siguiente imagen:

Nota: en mi razonamiento, nunca hablé de la cuarta función trigonométrica: la cotangente. El hecho es que los signos de la cotangente coinciden con los signos de la tangente; allí no hay reglas especiales.

Ahora propongo considerar ejemplos similares a los problemas B11 de examen de prueba en matemáticas, que tuvo lugar el 27 de septiembre de 2011. Después de todo La mejor manera entender la teoría es práctica. Preferiblemente mucha práctica. Por supuesto, las condiciones de las tareas cambiaron ligeramente.

Una tarea. Determine los signos de las funciones y expresiones trigonométricas (no es necesario considerar los valores de las funciones en sí):

pecado(3π/4);

cos(7π/6);

bronceado (5π/3);

sen(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sen(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

El plan de acción es el siguiente: primero, convertimos todos los ángulos de medida en radianes a medida en grados (π → 180°), y luego observamos en qué cuarto de coordenadas se encuentra el número resultante. Conociendo los cuartos, podemos encontrar fácilmente los signos, de acuerdo con las reglas que acabamos de describir. Tenemos:

sen (3π/4) = sen (3 180°/4) = sen 135°. Dado que 135° ∈ , este es un ángulo desde el cuadrante de coordenadas II. Pero el seno en el segundo cuarto es positivo, entonces sen (3π/4) > 0;
coseno (7π/6) = coseno (7 180°/6) = coseno 210°. Porque 210° ∈ , este es un ángulo del cuadrante de coordenadas III en el que todos los cosenos son negativos. Por lo tanto, cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Como 300° ∈ , estamos en el cuarto cuadrante, donde la tangente toma valores negativos. Por lo tanto tg (5π/3)< 0;
sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Tratemos con el seno: porque 135° ∈ , este es el segundo cuarto, en el que los senos son positivos, es decir sin (3π/4) > 0. Ahora trabajamos con el coseno: 150° ∈ - nuevamente el segundo cuarto, los cosenos son negativos. Por lo tanto cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Nos fijamos en el coseno: 120° ∈ es el cuarto de coordenadas II, entonces cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Nuevamente obtuvimos un producto en el que factores de diferentes signos. Como “un menos por un más da un menos”, tenemos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabajamos con el seno: desde 150° ∈ , estamos hablando sobre el cuarto de coordenadas II, donde los senos son positivos. Por lo tanto, sen (5π/6) > 0. De manera similar, 315° ∈ es el cuarto de coordenadas IV, los cosenos allí son positivos. Por lo tanto, cos (7π/4) > 0. Obtuvimos el producto de dos números positivos, tal expresión siempre es positiva. Concluimos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Pero el ángulo 135° ∈ es el segundo cuarto, es decir bronceado (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Como “un menos más da un signo menos”, tenemos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos el argumento de la cotangente: 240° ∈ es el cuarto de coordenadas III, por lo tanto ctg (4π/3) > 0. De manera similar, para la tangente tenemos: 30° ∈ es el cuarto de coordenadas I, es decir esquina más fácil. Por lo tanto, tg (π/6) > 0. Nuevamente, obtuvimos dos expresiones positivas: su producto también será positivo. Por lo tanto ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Por último, echemos un vistazo a algunos más tareas desafiantes. Además de averiguar el signo de la función trigonométrica, aquí tienes que hacer un pequeño cálculo, tal como se hace en los problemas reales B11. En principio, estas son tareas casi reales que realmente se encuentran en el examen de matemáticas.

Una tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0.64 y α ∈ [π/2; π].

Como sen 2 α = 0,64, tenemos: sen α = ±0,8. Queda por decidir: ¿más o menos? Por suposición, el ángulo α ∈ [π/2; π] es el cuarto de coordenadas II, donde todos los senos son positivos. Por lo tanto, sen α = 0.8 - se elimina la incertidumbre con signos.

Una tarea. Encuentre cos α si cos 2 α = 0.04 y α ∈ [π; 3π/2].

Actuamos de manera similar, es decir, extracto Raíz cuadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por suposición, el ángulo α ∈ [π; 3π/2], es decir estamos hablando del cuarto de coordenadas III. Allí, todos los cosenos son negativos, entonces cos α = −0.2.

Una tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0.25 y α ∈ .

Tenemos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Nuevamente nos fijamos en el ángulo: α ∈ es el cuarto de coordenadas IV, en el que, como sabes, el seno será negativo. Por lo tanto, concluimos: sen α = −0.5.

Una tarea. Encuentre tg α si tg 2 α = 9 y α ∈ .

Todo es igual, solo por la tangente. Sacamos la raíz cuadrada: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Pero por la condición, el ángulo α ∈ es el cuadrante de coordenadas I. Todas las funciones trigonométricas, incl. tangente, son positivos, entonces tg α = 3. ¡Eso es todo!

En el siglo V aC, el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. En el tiempo que tarda Aquiles en correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, para llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas Comunidad cientifica hasta ahora no ha sido posible… análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos intervinieron en el estudio del tema; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:

En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.

En esta aporía paradoja lógica se supera de manera muy simple, basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora reposa en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). en que me quiero enfocar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades de exploración.

miércoles, 4 de julio de 2018

Muy bien, las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.

Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Lógica similar del absurdo seres sensibles nunca entiende. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

Por mucho que los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjate, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.

En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes diferentes, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar convulsivamente la física: diferentes monedas disponible cantidad diferente la suciedad, la estructura cristalina y la disposición atómica de cada moneda es única...

Y ahora tengo más interés Preguntar: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.

3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. DE un número grande 12345 No quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si obtuvieras resultados completamente diferentes al determinar el área de un rectángulo en metros y centímetros.

El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlos, entonces no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

firmar en la puerta Abre la puerta y dice:

¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?

Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.

Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.

1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es un "hombre cagando" o el número "veintiséis" en sistema hexadecimal estimación. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.

Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos en serie. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.

Definición geométrica

|BD| - la longitud del arco de un círculo con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.

tangente ( tga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .

cotangente ( ctga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .

Tangente

Dónde norte- entero.

A literatura occidental tangente se define como sigue:
.
;
;
.

Gráfica de la función tangente, y = tg x

Cotangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se ha adoptado la siguiente notación:
;
;
.

Gráfica de la función cotangente, y = ctg x

Propiedades de tangente y cotangente

Periodicidad

Funciones y= tg x y y= control x son periódicas con periodo π.

Paridad

Las funciones tangente y cotangente son impares.

Dominios de definición y valores, ascendente, descendente

Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver la prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).

	y= tg x	y= control x
Alcance y continuidad
Rango de valores	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
ascendente		-
Descendente	-
extremos	-	-
ceros, y= 0
Puntos de intersección con el eje y, x = 0	y= 0	-

Fórmulas

Expresiones en términos de seno y coseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente y cotangente de suma y diferencia

El resto de fórmulas son fáciles de obtener, por ejemplo

Producto de tangentes

La formula de la suma y diferencia de tangentes

Esta tabla muestra los valores de tangentes y cotangentes para algunos valores del argumento.

Expresiones en términos de números complejos

Expresiones en términos de funciones hiperbólicas

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de orden n con respecto a la variable x de la función:
.
Derivación de fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrales

Expansiones en serie

Para obtener la expansión de la tangente en potencias de x, necesitas tomar varios términos de la expansión en serie de potencia para funciones pecado x y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto da como resultado las siguientes fórmulas.

A .

a .
dónde segundo norte- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
dónde .
O según la fórmula de Laplace:

funciones inversas

Las funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.

Arcotangente, arctg

, dónde norte- entero.

Arco tangente, arcctg