Cuartos de cosenos de senos de tangentes. círculo trigonométrico. Valores básicos de las funciones trigonométricas
Si ya estás familiarizado con círculo trigonométrico , y solo desea refrescar elementos individuales en su memoria, o está completamente impaciente, entonces aquí está:
Aquí analizaremos todo en detalle paso a paso.
El círculo trigonométrico no es un lujo, sino una necesidad
Trigonometría
muchos están asociados con un matorral infranqueable. Tantos significados de repente se acumulan funciones trigonométricas, tantas fórmulas... Pero es como, - no funcionó al principio, y... de vez en cuando... puro malentendido...
Es muy importante no agitar la mano valores de funciones trigonométricas, - dicen, siempre puedes mirar el espolón con una tabla de valores.
Si miras constantemente la tabla con los valores de las fórmulas trigonométricas, ¡deshagámonos de este hábito!
¡Nos salvará! Trabajarás con él varias veces y luego aparecerá en tu cabeza por sí solo. ¿Por qué es mejor que una mesa? Sí, en la tabla encontrará un número limitado de valores, pero en el círculo, ¡TODO!
Por ejemplo, digamos, mirando tabla estándar de valores de fórmulas trigonométricas , que es el seno de, digamos, 300 grados o -45.
¿De ninguna manera? .. puedes, por supuesto, conectarte fórmulas de reducción... Y mirando el círculo trigonométrico, puede responder fácilmente a tales preguntas. ¡Y pronto sabrás cómo!
Y al resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas sin un círculo trigonométrico, en ninguna parte.
Introducción al círculo trigonométrico
Vamos en orden.
Primero, escribe la siguiente serie de números:
Y ahora esto:
Y finalmente este:
Eso sí, está claro que, de hecho, en primer lugar está, en segundo lugar está, y en último -. Es decir, nos interesará más la cadena.
¡Pero qué bonito quedó! En cuyo caso, restauraremos esta “escalera maravillosa”.
¿Y por qué lo necesitamos?
Esta cadena son los principales valores de seno y coseno en el primer trimestre.
Dibujemos un círculo de radio unitario en un sistema de coordenadas rectangulares (es decir, tomamos cualquier radio a lo largo de la longitud y declaramos que su longitud es la unidad).
Desde el haz "0-Start", apartamos las esquinas en la dirección de la flecha (ver Fig.).
Obtenemos los puntos correspondientes en el círculo. Entonces, si proyectamos los puntos en cada uno de los ejes, obtendremos exactamente los valores de la cadena anterior.
¿Porque preguntas?
No desmontemos todo. Considerar principio, que le permitirá hacer frente a otras situaciones similares.
El triángulo AOB es un triángulo rectángulo con . Y sabemos que frente al ángulo en se encuentra un cateto dos veces más pequeño que la hipotenusa (nuestra hipotenusa = el radio del círculo, es decir, 1).
Por lo tanto, AB= (y por lo tanto OM=). Y por el teorema de Pitágoras
Espero que algo quede claro ahora.
Entonces el punto B corresponderá al valor, y el punto M corresponderá al valor
De igual forma con el resto de valores del primer trimestre.
Como comprenderá, el eje que nos es familiar (buey) será eje del coseno, y el eje (oy) - eje sinusal . luego.
A la izquierda de cero en el eje del coseno (por debajo de cero en el eje del seno) estará, por supuesto, valores negativos.
Entonces, aquí está, el TODOPODEROSO, sin el cual no hay nada en trigonometría.
Pero hablaremos sobre cómo usar el círculo trigonométrico.
Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos en serie. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica
|BD| - la longitud del arco de un círculo con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.
tangente ( tga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
cotangente ( ctga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .
Tangente
Donde norte- todo.
EN literatura occidental tangente se define como sigue:
.
;
;
.
Gráfica de la función tangente, y = tg x
Cotangente
Donde norte- todo.
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se ha adoptado la siguiente notación:
;
;
.
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x
Propiedades de tangente y cotangente
Periodicidad
Funciones y= tg x y y= control x son periódicas con periodo π.
Paridad
Las funciones tangente y cotangente son impares.
Dominios de definición y valores, ascendente, descendente
Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver la prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).
| y= tg x | y= control x | |
| Alcance y continuidad | ||
| Rango de valores | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| ascendente | - | |
| Descendente | - | |
| extremos | - | - |
| ceros, y= 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje y, x = 0 | y= 0 | - |
fórmulas
Expresiones en términos de seno y coseno
;
;
;
;
;
Fórmulas para tangente y cotangente de suma y diferencia
El resto de fórmulas son fáciles de obtener, por ejemplo
Producto de tangentes
La formula de la suma y diferencia de tangentes
Esta tabla muestra los valores de tangentes y cotangentes para algunos valores del argumento. 
Expresiones en términos de números complejos
Expresiones en términos de funciones hiperbólicas
;
;
Derivados
; .
.
Derivada de orden n con respecto a la variable x de la función:
.
Derivación de fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >
Integrales
Expansiones en serie
Para obtener la expansión de la tangente en potencias de x, necesitas tomar varios términos de la expansión en serie de potencia para funciones pecado x y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto da como resultado las siguientes fórmulas.
En .
en .
donde segundo norte- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
donde .
O según la fórmula de Laplace: 
funciones inversas
Las funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arcotangente, arctg
, donde norte- todo.
Arco tangente, arcctg
, donde norte- todo.
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de Matemáticas para Investigadores e Ingenieros, 2012.
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Contar ángulos en un círculo trigonométrico.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
Es casi lo mismo que en la lección anterior. Hay hachas, un círculo, un ángulo, todo es chin-china. Números agregados de cuartos (en las esquinas de un cuadrado grande), desde el primero hasta el cuarto. Y entonces, de repente, ¿quién no lo sabe? Como puedes ver, los cuartos (también se les llama hermosa palabra"cuadrantes") están numerados contra el movimiento agujas del reloj. Se agregaron valores de ángulo en los ejes. Todo está claro, sin lujos.
Y agregó una flecha verde. Con un plus. ¿Qué quiere decir ella? Déjame recordarte que el lado fijo de la esquina siempre clavado al eje positivo OH. Entonces, si giramos el lado móvil de la esquina más flecha, es decir. en cuartos ascendentes, el ángulo se considerará positivo. Por ejemplo, la imagen muestra un ángulo positivo de +60°.
Si posponemos las esquinas en reverso, agujas del reloj, el ángulo se considerará negativo. Pase el cursor sobre la imagen (o toque la imagen en la tableta), verá una flecha azul con un signo menos. Esta es la dirección de la lectura negativa de los ángulos. Un ángulo negativo (-60°) se muestra como ejemplo. Y también verás como han cambiado los números de los ejes... También los traduje a ángulos negativos. La numeración de los cuadrantes no cambia.
Aquí, por lo general, comienzan los primeros malentendidos. ¿¡Cómo es eso!? ¿¡Y si el ángulo negativo en el círculo coincide con el positivo!? Y, en general, resulta que la misma posición del lado móvil (o un punto en el círculo numérico) puede llamarse ángulo negativo y positivo.
Sí. Exactamente. Digamos que un ángulo positivo de 90 grados toma un círculo exactamente lo mismo posición como un ángulo negativo de menos 270 grados. Un ángulo positivo, por ejemplo +110° grados, toma exactamente lo mismo posición ya que el ángulo negativo es -250°.
No hay problema. Todo es correcto.) La elección de un cálculo positivo o negativo del ángulo depende de la condición de la asignación. Si la condición no dice nada Texto sin formato sobre el signo del ángulo, (como "determinar el menor positivoángulo", etc.), luego trabajamos con valores que nos convengan.
Una excepción (¡¿y cómo sin ellas?!) son las desigualdades trigonométricas, pero ahí dominaremos este truco.
Y ahora una pregunta para ti. ¿Cómo sé que la posición del ángulo de 110° es la misma que la posición del ángulo de -250°?
Insinuaré que esto se debe a la rotación completa. En 360°... ¿No está claro? Luego dibujamos un círculo. Dibujamos en papel. marcando la esquina acerca de 110°. Y creer cuanto queda hasta una vuelta completa. Solo quedan 250°...
¿Entiendo? Y ahora, ¡atención! Si los ángulos 110° y -250° ocupan el círculo mismo
posición, ¿entonces qué? Sí, el hecho de que los ángulos sean de 110° y -250° exactamente lo mismo
seno, coseno, tangente y cotangente!
Aquellas. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) y así sucesivamente. ¡Ahora esto es realmente importante! Y en sí mismo, hay muchas tareas en las que es necesario simplificar expresiones y como base para el desarrollo posterior de fórmulas de reducción y otras complejidades de la trigonometría.
Por supuesto, tomé 110 ° y -250 ° al azar, puramente por ejemplo. Todas estas igualdades funcionan para cualquier ángulo que ocupe la misma posición en el círculo. 60° y -300°, -75° y 285°, y así sucesivamente. Noto de inmediato que las esquinas en estas parejas: varios. Pero tienen funciones trigonométricas - lo mismo.
Creo que entiendes lo que son los ángulos negativos. Es bastante simple. En sentido contrario a las agujas del reloj es un conteo positivo. En el camino, es negativo. Considere el ángulo positivo o negativo depende de nosotros. De nuestro deseo. Bueno, y más de la tarea, por supuesto... Espero que entiendas cómo moverte en funciones trigonométricas de ángulos negativos a positivos y viceversa. Dibuje un círculo, un ángulo aproximado y vea cuánto falta antes de una vuelta completa, es decir. hasta 360°.
Ángulos mayores de 360°.
Tratemos con ángulos que son mayores a 360°. ¿Y esas cosas pasan? Los hay, por supuesto. ¿Cómo dibujarlos en un círculo? ¡No es un problema! Supongamos que necesitamos entender en qué cuarto caerá un ángulo de 1000 °. ¡Fácilmente! Damos una vuelta completa en sentido antihorario (¡el ángulo nos fue dado positivo!). Rebobinar 360°. Bueno, ¡sigamos adelante! Otro giro: ya ha resultado 720 °. ¿Cuanto queda? 280°. No es suficiente para un giro completo ... Pero el ángulo es de más de 270 °, y este es el límite entre el tercer y cuarto cuarto. Entonces nuestro ángulo de 1000° cae en el cuarto cuarto. Todo.
Como puedes ver, es bastante simple. Permítanme recordarles una vez más que el ángulo de 1000° y el ángulo de 280°, que obtuvimos al descartar las vueltas completas "extra", son, estrictamente hablando, varios esquinas Pero las funciones trigonométricas de estos ángulos exactamente lo mismo! Aquellas. sen1000° = sen280°, cos1000° = cos280° etc. Si yo fuera un seno, no notaría la diferencia entre estos dos ángulos...
¿Por qué es necesario todo esto? ¿Por qué necesitamos trasladar ángulos de uno a otro? Sí, todo por lo mismo.) Para simplificar expresiones. La simplificación de expresiones, de hecho, es la tarea principal de las matemáticas escolares. Bueno, en el camino, la cabeza está entrenando).
Bueno, ¿practicamos?)
Respondemos preguntas. Sencillo al principio.
1. ¿En qué cuarto cae el ángulo -325°?
2. ¿En qué cuarto cae el ángulo de 3000°?
3. ¿En qué cuarto cae el ángulo -3000°?
¿Hay un problema? ¿O la inseguridad? Pasamos a la Sección 555, Trabajo práctico con un círculo trigonométrico. Allí, en la primera lección de este mismo " trabajo practico..." todo está detallado ... En tal preguntas de incertidumbre ¡no debería!
4. ¿Cuál es el signo de sin555°?
5. ¿Cuál es el signo de tg555°?
¿Determinado? ¡Bien! ¿Duda? Es necesario la Sección 555 ... Por cierto, allí aprenderá a dibujar tangentes y cotangentes en un círculo trigonométrico. Una cosa muy útil.
Y ahora las preguntas más inteligentes.
6. Lleve la expresión sin777° al seno del ángulo positivo más pequeño.
7. Lleva la expresión cos777° al coseno del ángulo negativo más grande.
8. Convierte la expresión cos(-777°) al coseno del ángulo positivo más pequeño.
9. Lleva la expresión sin777° al seno del ángulo negativo más grande.
¿Qué, las preguntas 6-9 desconcertadas? Acostúmbrate, no hay tales formulaciones en el examen ... Que así sea, lo traduciré. ¡Solo para ti!
Las palabras "reducir la expresión a..." significan transformar la expresión para que su valor no ha cambiado un apariencia cambiado de acuerdo con la tarea. Entonces, en las tareas 6 y 9, debemos obtener un seno, dentro del cual está el ángulo positivo más pequeño. Todo lo demás no importa.
Daré las respuestas en orden (en violación de nuestras reglas). Pero qué hacer, solo hay dos signos y solo cuatro cuartos ... No se dispersará en las opciones.
6. sen57°.
7.cos(-57°).
8.cos57°.
9.-pecado(-57°)
Supongo que las respuestas a las preguntas 6-9 confundieron a algunas personas. Especialmente -pecado(-57°), ¿verdad?) De hecho, en las reglas elementales para contar ángulos hay lugar para errores ... Es por eso que tuve que hacer una lección: "¿Cómo determinar los signos de funciones y dar ángulos en un círculo trigonométrico?" En la Sección 555. Allí se resuelven las tareas 4 - 9. Bien ordenado, con todas las trampas. Y están aquí.)
En la próxima lección, trataremos los misteriosos radianes y el número "Pi". Aprende cómo convertir fácil y correctamente grados a radianes y viceversa. Y nos sorprenderá encontrar que esta información elemental en el sitio ya basta para resolver algunos acertijos de trigonometría no estándar!
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
El signo de la función trigonométrica depende únicamente del cuarto de coordenadas en el que se encuentra el argumento numérico. La última vez aprendimos cómo traducir argumentos de una medida en radianes a una medida en grados (ver la lección " Medida en radianes y grados de un ángulo"), y luego determinar este mismo cuarto de coordenadas. Ahora tratemos, de hecho, con la definición del signo del seno, coseno y tangente.
El seno del ángulo α es la ordenada (coordenada y) de un punto en un círculo trigonométrico, que ocurre cuando el radio se gira a través del ángulo α.
El coseno del ángulo α es la abscisa (coordenada x) de un punto en un círculo trigonométrico, que ocurre cuando el radio gira a través del ángulo α.
La tangente del ángulo α es la razón del seno al coseno. O, de manera equivalente, la relación entre la coordenada y y la coordenada x.
Notación: sen α = y ; cosα = x; tga = y : x .
Todas estas definiciones te son familiares del curso de álgebra de la escuela secundaria. Sin embargo, no nos interesan las definiciones en sí, sino las consecuencias que surgen sobre el círculo trigonométrico. Echar un vistazo:
El color azul indica la dirección positiva del eje OY (eje de ordenadas), el color rojo indica la dirección positiva del eje OX (eje de abscisas). En este "radar" se hacen evidentes los signos de las funciones trigonométricas. En particular:
- sen α > 0 si el ángulo α está en el cuarto de coordenadas I o II. Esto se debe a que, por definición, un seno es una ordenada (coordenada y). Y la coordenada y será positiva precisamente en los cuartos de coordenadas I y II;
- cos α > 0 si el ángulo α está en el cuarto de coordenadas I o IV. Porque solo ahí la coordenada x (también es la abscisa) será mayor que cero;
- tg α > 0 si el ángulo α se encuentra en el cuadrante de coordenadas I o III. Esto se deduce de la definición: después de todo, tg α = y : x , por lo que es positivo solo donde coinciden los signos de xey. Esto sucede en el primer trimestre de coordenadas (aquí x > 0, y > 0) y el tercer trimestre de coordenadas (x< 0, y < 0).
Para mayor claridad, anotamos los signos de cada función trigonométrica (seno, coseno y tangente) en un "radar" separado. Obtenemos la siguiente imagen:
Nota: en mi razonamiento, nunca hablé de la cuarta función trigonométrica: la cotangente. El hecho es que los signos de la cotangente coinciden con los signos de la tangente; allí no hay reglas especiales.
Ahora propongo considerar ejemplos similares a los problemas B11 de examen de prueba en matemáticas, que tuvo lugar el 27 de septiembre de 2011. Después de todo La mejor manera entender la teoría es práctica. Preferiblemente mucha práctica. Por supuesto, las condiciones de las tareas cambiaron ligeramente.
Tarea. Determine los signos de las funciones y expresiones trigonométricas (no es necesario considerar los valores de las funciones en sí):
- pecado(3π/4);
- cos(7π/6);
- bronceado (5π/3);
- sen(3π/4) cos(5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sen(5π/6) cos(7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
El plan de acción es el siguiente: primero, convertimos todos los ángulos de medida en radianes a medida en grados (π → 180°), y luego observamos en qué cuarto de coordenadas se encuentra el número resultante. Conociendo los cuartos, podemos encontrar fácilmente los signos, de acuerdo con las reglas que acabamos de describir. Tenemos:
- sen (3π/4) = sen (3 180°/4) = sen 135°. Dado que 135° ∈ , este es un ángulo desde el cuadrante de coordenadas II. Pero el seno en el segundo cuarto es positivo, entonces sen (3π/4) > 0;
- coseno (7π/6) = coseno (7 180°/6) = coseno 210°. Porque 210° ∈ , este es un ángulo del cuadrante de coordenadas III en el que todos los cosenos son negativos. Por lo tanto, cos (7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Como 300° ∈ , estamos en el cuadrante IV, donde la tangente toma valores negativos. Por lo tanto tg (5π/3)< 0;
- sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Tratemos con el seno: porque 135° ∈ , este es el segundo cuarto, en el que los senos son positivos, es decir sin (3π/4) > 0. Ahora trabajamos con el coseno: 150° ∈ - nuevamente el segundo cuarto, los cosenos son negativos. Por lo tanto cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Nos fijamos en el coseno: 120° ∈ es el cuarto de coordenadas II, entonces cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Nuevamente obtuvimos un producto en el que factores de diferentes signos. Como “un menos por un más da un menos”, tenemos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabajamos con el seno: desde 150° ∈ , estamos hablando sobre el cuarto de coordenadas II, donde los senos son positivos. Por lo tanto, sen (5π/6) > 0. De manera similar, 315° ∈ es el cuarto de coordenadas IV, los cosenos allí son positivos. Por lo tanto, cos (7π/4) > 0. Obtuvimos el producto de dos números positivos, tal expresión siempre es positiva. Concluimos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Pero el ángulo 135° ∈ es el segundo cuarto, es decir bronceado (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Como “un menos más da un signo menos”, tenemos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos el argumento de la cotangente: 240° ∈ es el cuarto de coordenadas III, por lo tanto ctg (4π/3) > 0. De manera similar, para la tangente tenemos: 30° ∈ es el cuarto de coordenadas I, es decir esquina más fácil. Por lo tanto, tg (π/6) > 0. Nuevamente, obtuvimos dos expresiones positivas: su producto también será positivo. Por lo tanto ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.
Por último, echemos un vistazo a algunos más tareas desafiantes. Además de averiguar el signo de la función trigonométrica, aquí tienes que hacer un pequeño cálculo, tal como se hace en los problemas reales B11. En principio, estas son tareas casi reales que realmente se encuentran en el examen de matemáticas.
Tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0.64 y α ∈ [π/2; π].
Como sen 2 α = 0,64, tenemos: sen α = ±0,8. Queda por decidir: ¿más o menos? Por suposición, el ángulo α ∈ [π/2; π] es el cuarto de coordenadas II, donde todos los senos son positivos. Por lo tanto, sen α = 0.8 - se elimina la incertidumbre con signos.
Tarea. Encuentre cos α si cos 2 α = 0.04 y α ∈ [π; 3π/2].
Actuamos de manera similar, es decir, extracto Raíz cuadrada: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por suposición, el ángulo α ∈ [π; 3π/2], es decir estamos hablando del cuarto de coordenadas III. Allí, todos los cosenos son negativos, entonces cos α = −0.2.
Tarea. Encuentre sen α si sen 2 α = 0.25 y α ∈ .
Tenemos: sen 2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5. Nuevamente nos fijamos en el ángulo: α ∈ es el cuarto de coordenadas IV, en el que, como sabes, el seno será negativo. Por lo tanto, concluimos: sen α = −0.5.
Tarea. Encuentre tg α si tg 2 α = 9 y α ∈ .
Todo es igual, solo por la tangente. Sacamos la raíz cuadrada: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Pero por la condición, el ángulo α ∈ es el cuadrante de coordenadas I. Todas las funciones trigonométricas, incl. tangente, son positivos, entonces tg α = 3. ¡Eso es todo!