En la práctica, a menudo no es tan importante encontrar la suma de una serie como responder a la pregunta de la convergencia de la serie. Para ello se utilizan criterios de convergencia basados ​​en las propiedades del término común de la serie.

Un criterio necesario para la convergencia de una serie

TEOREMA 1

si la filaconverge, entonces su término común tiende a cero en
, aquellas.
.

Brevemente: si la serie converge, entonces su término común tiende a cero.

Prueba. Dejemos que la serie converja y su suma sea igual a . Para cualquiera suma parcial

.

Entonces . 

Del criterio necesario probado para la convergencia se sigue un criterio suficiente para la divergencia de la serie: Estoy gordo
el término común de la serie no tiende a cero, entonces la serie diverge.

Ejemplo 4

Para esta serie, el término común
y
.

Por lo tanto, esta serie diverge.

Ejemplo 5 Investigar para series de convergencia

Es obvio que el término común de esta serie, cuya forma no se indica por lo engorrosa de la expresión, tiende a cero en
, es decir. se cumple el criterio necesario para la convergencia de la serie, pero esta serie diverge, ya que su suma tiende al infinito.

Serie de signos positivos

Una serie de números cuyos miembros son todos positivos se llama signo positivo.

TEOREMA 2 (Criterio de convergencia de una serie positiva)

Para que una serie positiva converja es necesario y suficiente que todas sus sumas parciales estén acotadas superiormente por el mismo número.

Prueba. Ya que para cualquier
, entonces, es decir subsecuencia
- monótonamente creciente, por lo tanto, para la existencia de un límite, es necesario y suficiente restringir la secuencia desde arriba en algún número.

Este teorema es más teórico que práctico. Los siguientes son otros criterios de convergencia que son de mayor utilidad.

Condiciones suficientes para la convergencia de series de signo positivo

TEOREMA 3 (Primera prueba de comparación)

Sean dadas dos series positivas:

(1)

(2)

y, a partir de algún número
, para cualquiera
la desigualdad
Entonces:

Notación esquemática del primer signo de comparación:

descenso. descenso.

flujoflujo

Prueba. 1) Como la eliminación de un número finito de términos de la serie no afecta su convergencia, probaremos el teorema para el caso
. Deja para cualquiera
tenemos

, (3)

donde
y
son las sumas parciales de las series (1) y (2), respectivamente.

Si la serie (2) converge, entonces hay un número
. Dado que la secuencia
- creciente, su límite es mayor que cualquiera de sus miembros, es decir
para cualquiera . Por tanto, de la desigualdad (3) se sigue
. Por tanto, todas las sumas parciales de la serie (1) están acotadas superiormente por el número . De acuerdo con el Teorema 2, esta serie converge.

2) De hecho, si la serie (2) convergiera, entonces la serie (1) también convergería por comparación. 

Para aplicar esta característica, a menudo se utilizan series estándar, cuya convergencia o divergencia se conoce de antemano, por ejemplo:

3) - Serie de Dirichlet (converge en
y diverge en
).

Además, a menudo se usan series, que se pueden obtener usando las siguientes desigualdades obvias:

,

,
,
.

Considere, usando ejemplos específicos, un esquema para estudiar una serie de signo positivo para la convergencia usando el primer criterio de comparación.

Ejemplo 6 Explora un número
para la convergencia.

Paso 1. Comprobemos el signo positivo de la serie:
por

Paso 2. Comprobemos el cumplimiento del criterio necesario para la convergencia de la serie:
. Como
, entonces

(Si calcular el límite es difícil, entonces este paso se puede omitir).

Paso 3. Usamos el primer signo de comparación. Para ello, seleccionamos una serie estándar para esta serie. Como
, entonces como estándar podemos tomar la serie
, es decir. Fila de Dirichlet. Esta serie converge porque el exponente
. Por tanto, según el primer criterio de comparación, la serie objeto de estudio también es convergente.

Ejemplo 7 Explora un número
para la convergencia.

1) Esta serie es de signo positivo, ya que
por

2) Se cumple el criterio necesario para la convergencia de la serie, porque

3) Seleccionemos una serie-estándar. Como
, entonces como estándar podemos tomar la serie geométrica

. Esta serie converge, por lo tanto, la serie en estudio también converge.

TEOREMA 4 (Segunda prueba de comparación)

Si para series de signo positivo y hay un límite finito distinto de cero
, entonces filas convergen o divergen al mismo tiempo.

Prueba. Deje que la serie (2) converja; Probemos que entonces la serie (1) también converge. Escojamos algún número , más que . de la condición
la existencia de tal número eso para todos
la desigualdad
, o, lo que es lo mismo,

(4)

Descartando en las filas (1) y (2) la primera (lo que no afecta la convergencia), podemos suponer que la desigualdad (4) es válida para todos
Pero una serie con un término común
converge debido a la convergencia de la serie (2). Según el primer criterio de comparación, la desigualdad (4) implica la convergencia de la serie (1).

Ahora permita que la serie (1) converja; Probemos la convergencia de la serie (2). Para hacer esto, simplemente invierta los roles de las filas dadas. Como

entonces, por lo probado anteriormente, la convergencia de la serie (1) debe implicar la convergencia de la serie (2). 

si un
en
(un criterio necesario para la convergencia), entonces de la condición
, se sigue que y son infinitesimales del mismo orden de pequeñez (equivalentes en
). Por lo tanto, si se da una serie , donde
en
, entonces para esta serie podemos tomar la serie estándar , donde el término común tiene el mismo orden de pequeñez que el término común de la serie dada.

Al elegir una serie de referencia, puede usar la siguiente tabla de infinitesimales equivalentes para
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Ejemplo 8 Investigar para series de convergencia

.

para cualquiera
.

Como
, entonces tomamos como serie de referencia la serie armónica divergente
. Dado que el límite de la razón de términos comunes y es finita y diferente de cero (es igual a 1), entonces en base al segundo criterio de comparación, esta serie diverge.

Ejemplo 9
por dos motivos de comparación.

Esta serie es positiva, porque
, y
. En la medida en
, entonces la serie armónica se puede tomar como serie de referencia . Esta serie diverge y, por tanto, según el primer signo de comparación, la serie en estudio también diverge.

Dado que para la serie dada y la serie de referencia, la condición
(aquí se usa el 1er límite notable), luego con base en el segundo criterio de comparación, la serie
- diverge.

TEOREMA 5 (Prueba de D'Alembert)

hay un limite finito
, entonces la serie converge en
y diverge en
.

Prueba. Permitir
. Tomemos cualquier número , concluido entre y 1:
. de la condición
se sigue que a partir de algún número la desigualdad

;
;
(5)

Considere la serie

De acuerdo con (5), todos los términos de la serie (6) no exceden los términos correspondientes de una progresión geométrica infinita
En la medida en
, esta progresión es convergente. De aquí, en virtud del primer signo de comparación, se sigue la convergencia de la serie

Sucediendo
considera por ti mismo.

Observaciones :

se sigue que el resto de la serie

.

La prueba de d'Alembert es conveniente en la práctica cuando el término común de la serie contiene una función exponencial o un factorial.

Ejemplo 10 Investigar para series de convergencia Según d'Alembert.

Esta serie es positiva y

.

(Aquí, en el cálculo, se aplica dos veces la regla de L'Hopital).

entonces esta serie converge por el criterio de d'Alembert.

Ejemplo 11..

Esta serie es positiva y
. En la medida en

entonces la serie converge.

TEOREMA 6 (Prueba de Cauchy)

Si para una serie de signo positivo hay un limite finito
, entonces en
la serie converge y
la fila diverge.

La demostración es similar al Teorema 5.

Observaciones :

Ejemplo 12. Investigar para series de convergencia
.

Esta serie es positiva, porque
para cualquiera
. Dado que el cálculo del límite
causa ciertas dificultades, omitimos la verificación de la factibilidad del criterio necesario para la convergencia de las series.

entonces la serie dada diverge según el criterio de Cauchy.

TEOREMA 7 (Prueba integral para la convergencia de Maclaurin-Cauchy)

Que se dé una fila

cuyos términos son positivos y no aumentan:

dejar más
es una función que está definida para todo real
, es continua, no crece y

Antes de comenzar a trabajar con este tema, le aconsejo que mire la sección con terminología para series de números. Vale la pena prestar especial atención al concepto de término común de una serie. Si tienes dudas sobre la elección correcta del signo de convergencia, te aconsejo que mires el tema "Eligiendo el signo de convergencia de series numéricas".

Criterio necesario para la convergencia serie de números tiene una formulación simple: el término común de la serie convergente tiende a cero. Puedes escribir esta función de manera más formal:

Si la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ converge, entonces $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

A menudo en la literatura, en lugar de la frase "un criterio necesario para la convergencia" escriben "una condición necesaria para la convergencia". Pero vayamos al grano: ¿qué significa este signo? Y significa lo siguiente: si $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, entonces la serie quizás converger. Si $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (o el límite simplemente no existe), entonces la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.

Vale la pena señalar que la igualdad $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ no significa que la serie converja en absoluto. Una serie puede converger o divergir. Pero si $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, entonces se garantiza que la serie diverge. Si estos matices requieren explicaciones detalladas, abra la nota.

¿Qué significa la frase "condición necesaria"? mostrar ocultar

Aclaremos la noción de condición necesaria con un ejemplo. Para comprar un bolígrafo para un estudiante necesario tener 10 rublos. Esto se puede escribir de la siguiente manera: si un estudiante compra un bolígrafo, entonces tiene 10 rublos. La presencia de diez rublos es la condición necesaria para comprar un bolígrafo.

Que se cumpla esta condición, es decir El estudiante tiene diez. ¿Significa esto que comprará un bolígrafo? De nada. Puede comprar un bolígrafo o puede guardar el dinero para más tarde. O comprar otra cosa. O dárselos a alguien, hay muchas opciones :) En otras palabras, cumplir con la condición necesaria para comprar un bolígrafo (es decir, tener dinero) no garantiza la compra de este bolígrafo.

De manera similar, la condición necesaria para la convergencia de la serie numérica $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ no garantiza en absoluto la convergencia de esta serie en sí. Una simple analogía: si hay dinero, un estudiante puede o no comprar un bolígrafo. Si $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, la serie puede converger o divergir.

Sin embargo, ¿qué sucede si no se cumple la condición necesaria para comprar un bolígrafo, es decir, ¿Sin dinero? Entonces el estudiante definitivamente no comprará un bolígrafo. Lo mismo es cierto para las series: si la condición de convergencia necesaria no se cumple, es decir, $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, entonces la serie definitivamente divergirá.

En resumen, si se cumple la condición necesaria, entonces la consecuencia puede ocurrir o no. Sin embargo, si no se cumple la condición necesaria, la consecuencia definitivamente no ocurrirá.

Para mayor claridad, daré un ejemplo de dos series: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ y $\sum\limits_(n=1)^(\ infinito)\frac( 1)(n^2)$. El término común de la primera serie $u_n=\frac(1)(n)$ y el término común de la segunda serie $v_n=\frac(1)(n^2)$ tienden a cero, es decir

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Sin embargo, la serie armónica $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ diverge, mientras que la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1)(n^2)$ converge. El cumplimiento de la condición de convergencia necesaria no garantiza en absoluto la convergencia de la serie.

Con base en la condición necesaria para la convergencia de la serie, podemos formular señal suficiente de divergencia numero de linea:

Si $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, entonces la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ diverge.

La mayoría de las veces, en ejemplos estándar, el criterio de convergencia necesario se verifica si el término común de la serie está representado por una fracción, cuyo numerador y denominador son algunos polinomios. Por ejemplo, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (ver ejemplo #1). O puede haber raíces de polinomios (ver ejemplo No. 2). Hay ejemplos que están algo fuera de este esquema, pero esto es raro para las pruebas estándar (ver ejemplos en la segunda parte de este tema). Destaco lo principal: con la ayuda del criterio necesario, es imposible probar la convergencia de la serie. Este criterio se utiliza cuando es necesario probar que la serie diverge.

Ejemplo 1

Investiga la convergencia de la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Como el límite inferior de suma es 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Encuentre el límite del término común de la serie:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"El límite de la razón de dos polinomios". Dado que el límite del término común de la serie no es igual a cero, es decir $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, entonces no se satisface el criterio necesario para la convergencia. Por lo tanto, la serie diverge.

La solución ha terminado, sin embargo, creo, el lector tendrá una pregunta bastante razonable: ¿cómo vimos que es necesario verificar el cumplimiento de la condición de convergencia necesaria? Hay muchos signos de convergencia de series numéricas, entonces, ¿por qué tomaron este? Esta pregunta no es para nada ociosa. Pero como la respuesta puede no ser de interés para todos los lectores, la he escondido debajo de una nota.

¿Por qué empezamos a utilizar el necesario criterio de la convergencia? mostrar ocultar

Hablando libremente, la cuestión de la convergencia de esta serie se decide incluso antes de un estudio formal. No tocaré un tema como el orden de crecimiento, simplemente daré un razonamiento general. Echemos un vistazo más de cerca al término común de $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Veamos primero el numerador. El número (-1) ubicado en el numerador se puede descartar inmediatamente: si $n\to\infty$, entonces este número será insignificante en comparación con el resto de los términos.

Veamos las potencias $n^2$ y $n$ en el numerador. Pregunta: ¿Qué elemento ($n^2$ o $n$) crecerá más rápido que otros?

La respuesta aquí es simple: es $n^2$ el que aumentará sus valores más rápido. Por ejemplo, cuando $n=100$, entonces $n^2=10\;000$. Y esta brecha entre $n$ y $n^2$ se hará cada vez más grande. Por lo tanto, descartaremos mentalmente todos los términos, excepto aquellos que contengan $n^2$. Después de tal "caída", el numerador tendrá $3n^2$. Y después de realizar un procedimiento similar para el denominador, $5n^2$ quedarán allí. Y la fracción $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ ahora será: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Aquellas. en el infinito, el término común obviamente no tenderá a cero. Solo queda mostrar esto formalmente, lo que se hizo anteriormente.

A menudo, en el registro de un miembro común de una serie, se utilizan elementos como, por ejemplo, $\sin\alpha$ o $\arctg\alpha$ y similares. Solo debe recordar que los valores de tales cantidades no pueden ir más allá de ciertos límites numéricos. Por ejemplo, cualquiera que sea el valor de $\alpha$, el valor de $\sin\alpha$ permanecerá dentro de $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Es decir, por ejemplo, podemos escribir que $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Ahora imagina que la notación para el término común de la serie contiene una expresión como $5n+\sin(n!e^n)$. ¿El seno, que puede "oscilar" solo de -1 a 1, jugará algún papel importante? Después de todo, los valores de $n$ se precipitan al infinito, ¡y el seno ni siquiera puede exceder uno! Por lo tanto, en una consideración preliminar de la expresión $5n+\sin(n!e^n)$, el seno simplemente puede descartarse.

O, por ejemplo, tomemos el arco tangente. Cualquiera que sea el valor del argumento $\alpha$, los valores de $\arctg\alpha$ satisfarán la desigualdad $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Para determinar qué elementos se pueden "descartar" y cuáles no, se necesita un poco de habilidad. La mayoría de las veces, la cuestión de la convergencia de una serie se puede resolver incluso antes de un estudio formal. Y un estudio formal en ejemplos estándar sirve solo como una confirmación del resultado obtenido intuitivamente.

Responder: la serie diverge.

Ejemplo #2

Examine la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ para determinar la convergencia.

Como el límite inferior de suma es igual a 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Encuentre el límite del término común de la serie:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ izquierda|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Si el método para resolver este límite genera dudas, le aconsejo que consulte el tema "Límites con irracionalidad. La tercera parte" (ejemplo No. 7). Dado que el límite del término común de la serie no es igual a cero, es decir $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, entonces no se cumple el criterio necesario para la convergencia. Por lo tanto, la serie diverge.

Hablemos un poco desde la posición del razonamiento intuitivo. En principio, aquí es cierto todo lo que se dijo en la nota a la solución del ejemplo No. 1. Si "descartamos" mentalmente todos los términos "irrelevantes" en el numerador y el denominador del término común de la serie, entonces la fracción $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ tomará la forma: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Aquellas. incluso antes de un estudio formal, queda claro que para $n\to\infty$ el término común de la serie no tenderá a cero. Hasta el infinito - se convertirá, hasta cero - no. Por lo tanto, solo queda mostrar esto estrictamente, lo que se hizo anteriormente.

Responder: la serie diverge.

Ejemplo #3

Investiga la convergencia de la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Como el límite inferior de suma es igual a 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Encuentre el límite del término común de la serie:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(alineado)&\frac(8)(3^n)\a 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(alineado)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

Dado que el límite del término común de la serie no es igual a cero, es decir $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, entonces no se cumple el criterio necesario para la convergencia. Por lo tanto, la serie diverge.

Algunas palabras sobre las transformaciones que se llevaron a cabo al calcular el límite. La expresión $5^n$ se colocó en el numerador para que las expresiones tanto en el numerador como en el denominador se vuelvan infinitesimales. Aquellas. para $n\to\infty$ tenemos: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ y $\frac(1)(5^n)\to 0$. Y si tenemos una razón infinitesimal, entonces podemos aplicar con seguridad las fórmulas indicadas en el documento "Funciones infinitesimales equivalentes" (ver la tabla al final del documento). Según una de estas fórmulas, si $x\to 0$, entonces $\sin x\sim x$. Y tenemos tal caso: desde $\frac(8)(3^n)\a 0$, entonces $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n ps En otras palabras, simplemente reemplazamos la expresión $\sin\frac(8)(3^n)$ con la expresión $\frac(8)(3^n)$.

Creo que puede surgir la pregunta de por qué transformamos la expresión $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ a la forma de una fracción, porque el reemplazo podría haberse hecho sin tal transformación. La respuesta aquí es esta: se puede hacer un reemplazo, pero ¿será legal? El teorema de funciones infinitesimales equivalentes da una indicación inequívoca de que tales reemplazos son posibles solo en expresiones de la forma $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (mientras que $\alpha(x)$ y $ \beta (x)$ - infinitesimal) ubicado debajo del signo de límite. Así que hemos transformado nuestra expresión a la forma de una fracción, ajustándola a los requisitos del teorema.

Responder: la serie diverge.

Ejemplo #4

Investiga la convergencia de la serie $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Como el límite inferior de suma es 1, el término común de la serie se escribe bajo el signo de suma: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. De hecho, la cuestión de la convergencia de esta serie se resuelve fácilmente utilizando el signo D "Alembert. Sin embargo, también se puede aplicar el signo de convergencia necesario.

Echemos un vistazo más de cerca al término común de la serie. El numerador contiene la expresión $3^n$, que aumenta mucho más rápido al aumentar $n$ que la del denominador $n^2$. Compáralo tú mismo: por ejemplo, si $n=10$, entonces $3^n=59049$ y $n^2=100$. Y esta brecha está creciendo rápidamente con el crecimiento de $n$.

Es bastante lógico suponer que si $n\to\infty$, entonces $u_n$ no tenderá a cero, es decir no se cumple la condición de convergencia necesaria. Solo queda probar esta plausible hipótesis y calcular $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Sin embargo, antes de calcular este límite, encontremos el límite auxiliar de la función $y=\frac(3^x)(x^2)$ como $x\to +\infty$, es decir calcular $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Por qué estamos haciendo esto: el hecho es que en la expresión $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ el parámetro $n$ toma solo valores naturales ($n=1,2,3, \ldots$) , y el argumento $x$ de la función $y=\frac(3^x)(x^2)$ toma valores reales. Al encontrar $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ podemos aplicar la regla de L'Hopital:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (aplicar L'Hopital's regla) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ izquierda|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(aplicar la regla de L'Hopital)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Como $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, entonces $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Dado que $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, la condición necesaria para la convergencia de la serie no se cumple, es decir la serie dada diverge.

Responder: la serie diverge.

Otros ejemplos de series, cuya convergencia se comprueba mediante la necesaria prueba de convergencia, se encuentran en la segunda parte de este tema.

Filas para teteras. Ejemplos de soluciones

¡Todos los sobrevivientes bienvenidos al segundo año! En esta lección, o mejor dicho, en una serie de lecciones, aprenderemos a administrar filas. El tema no es muy difícil, pero para dominarlo necesitará conocimientos desde el primer curso, en particular, debe comprender cual es el limite, y ser capaz de encontrar los límites más simples. Sin embargo, está bien, en el curso de las explicaciones daré los enlaces apropiados a las lecciones necesarias. Para algunos lectores, el tema de las series matemáticas, métodos de resolución, signos, teoremas puede parecer peculiar, y hasta pretencioso, absurdo. En este caso, no necesita "cargar" mucho, aceptamos los hechos tal como son y solo aprendemos a resolver tareas típicas y comunes.

1) Filas para teteras, y para samovares contenido inmediato :)

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El concepto de serie numérica.

En general serie de números se puede escribir asi:
Aquí:
- icono matemático de la suma;
– término común de la serie(recuerde este simple término);
- variable - "contador". El registro significa que la suma se lleva a cabo desde 1 hasta "más infinito", es decir, primero tenemos, luego, luego, y así sucesivamente, hasta el infinito. A veces se usa una variable o en lugar de una variable. La sumatoria no necesariamente comienza desde uno, en algunos casos puede comenzar desde cero, desde dos o desde cualquier número natural.

De acuerdo con la variable "contador", cualquier serie se puede pintar en detalle:
– y así hasta el infinito.

Términos - Este NÚMEROS, que se llaman miembros hilera. Si son todos no negativos (mayor que o igual a cero), entonces tal serie se llama recta numérica positiva.

Ejemplo 1

Por cierto, esto ya es una tarea de "combate": en la práctica, a menudo se requiere registrar a varios miembros de la serie.

Primero luego:
Luego luego:
Luego luego:

El proceso se puede continuar indefinidamente, pero de acuerdo a la condición, se requería escribir los tres primeros términos de la serie, por lo que anotamos la respuesta:

Tenga en cuenta la diferencia fundamental de secuencia numérica,
en el que los términos no se suman, sino que se tratan como tales.

Ejemplo 2

Escriba los tres primeros términos de la serie.

Este es un ejemplo de auto-resolución, la respuesta está al final de la lección.

Incluso para una serie aparentemente compleja, no es difícil describirla en forma ampliada:

Ejemplo 3

Escriba los tres primeros términos de la serie.

De hecho, la tarea se realiza oralmente: sustituir mentalmente en el término común de la serie primero , luego y . Eventualmente:

Deja la respuesta así es mejor no simplificar los términos obtenidos de la serie, es decir no cumplir acciones: , , . ¿Por qué? Responde en el formulario mucho más fácil y más conveniente para que el maestro verifique.

A veces hay un revés

Ejemplo 4

No hay un algoritmo de solución claro aquí. solo tienes que ver el patrón.
En este caso:

Para la verificación, la serie resultante se puede "repintar" en forma expandida.

Pero el ejemplo es un poco más difícil para una solución independiente:

Ejemplo 5

Escribe la suma en forma colapsada con un término común de la serie

Verifique nuevamente escribiendo la serie en forma expandida

Convergencia de series numéricas

Uno de los objetivos fundamentales del tema es examen de una serie para la convergencia. En este caso, dos casos son posibles:

1) Hileradiverge. Esto significa que una suma infinita es igual a infinito: cualquier suma en general no existe, como, por ejemplo, en la serie
(por cierto, aquí hay un ejemplo de una serie con términos negativos). Un buen ejemplo de una serie de números divergentes apareció al comienzo de la lección: . Aquí es bastante obvio que cada próximo término de la serie es mayor que el anterior y, por lo tanto, la serie diverge. Un ejemplo aún más trivial: .

2) Hileraconverge. Esto significa que una suma infinita es igual a algunos número final: . De nada: Esta serie converge y su suma es cero. Un ejemplo más significativo es infinitamente decreciente progresión geométrica, conocida por nosotros desde la escuela: . La suma de los miembros de una progresión geométrica infinitamente decreciente se calcula mediante la fórmula: , donde es el primer miembro de la progresión, y es su base, que, por regla general, se escribe como correcto fracciones En este caso: , . Así: Se obtiene un número finito, lo que significa que la serie converge, lo cual se requería probar.

Sin embargo, en la gran mayoría de los casos encontrar la suma de la serie no es tan simple y, por lo tanto, en la práctica, para estudiar la convergencia de una serie, se utilizan signos especiales, que han sido probados teóricamente.

Hay varios signos de convergencia de una serie: criterio necesario para la convergencia de una serie, criterio de comparación, criterio de d'Alembert, criterio de Cauchy, signo de leibniz y algunos otros signos. ¿Cuándo aplicar qué signo? Depende del término común de la serie, en sentido figurado, del "relleno" de la serie. Y muy pronto pondremos todo en los estantes.

! Para seguir aprendiendo, necesita entender bien, cuál es el límite y es bueno poder revelar la incertidumbre de la forma. Para repetición o estudio del material, consulte el artículo Límites. Ejemplos de soluciones.

Un criterio necesario para la convergencia de una serie

Si la serie converge, entonces su término común tiende a cero: .

Lo contrario no es cierto en el caso general, es decir, si , entonces la serie puede converger y divergir. Y entonces este signo se usa para justificar divergencia hilera:

Si el término común de la serie no llega a cero, entonces la serie diverge

O en resumen: si , entonces la serie diverge. En particular, una situación es posible cuando el límite no existe en absoluto, como, por ejemplo, límite. Aquí corroboraron de inmediato la divergencia de una serie :)

Pero mucho más a menudo el límite de la serie divergente es igual a infinito, mientras que en lugar de "x" actúa como una variable "dinámica". Refresquemos nuestro conocimiento: los límites con "x" se llaman límites de funciones, y los límites con una variable "en" - límites de secuencias numéricas. La diferencia obvia es que la variable "en" toma valores naturales discretos (discontinuos): 1, 2, 3, etc. Pero este hecho tiene poco efecto sobre los métodos para resolver los límites y los métodos para revelar incertidumbres.

Probemos que la serie del primer ejemplo diverge.
Miembro común de la serie:

Conclusión: hilera diverge

La característica necesaria se usa a menudo en tareas prácticas reales:

Ejemplo 6

Tenemos polinomios en el numerador y denominador. El que leyó atentamente y comprendió el método de divulgación de la incertidumbre en el artículo. Límites. Ejemplos de soluciones, ciertamente captó eso cuando las máximas potencias del numerador y del denominador igual, entonces el límite es número final .

Divide el numerador y el denominador por

Serie de investigación diverge, ya que no se cumple el criterio necesario para la convergencia de la serie.

Ejemplo 7

Examinar la serie para la convergencia

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Entonces, cuando nos dan CUALQUIER serie de números, ante todo comprobamos (mentalmente o en un borrador): ¿su término común tiende a cero? Si no se esfuerza, trazamos una solución siguiendo el ejemplo de los ejemplos No. 6, 7 y damos la respuesta de que la serie diverge.

¿Qué tipos de series aparentemente divergentes hemos considerado? Inmediatamente queda claro que las filas son similares o divergen. Las series de los ejemplos No. 6, 7 también divergen: cuando el numerador y el denominador contienen polinomios, y el grado más alto del numerador es mayor o igual que el grado más alto del denominador. En todos estos casos, al resolver y diseñar ejemplos, utilizamos el criterio necesario para la convergencia de la serie.

¿Por qué se llama el signo? necesario? Entiéndelo de la manera más natural: para que la serie converja, necesario por lo que su término común tiende a cero. Y todo estaría bien, pero esto no es suficiente. En otras palabras, si el término común de la serie tiende a cero, ESTO NO SIGNIFICA que la serie converge- ¡Puede converger y divergir!

Reunir:

Esta fila se llama serie armónica. ¡Atención - Recuerde! Entre la serie numérica, es una primera bailarina. Más precisamente, una bailarina =)

Es fácil ver eso , PERO. En la teoría del análisis matemático, se demuestra que la serie armónica diverge.

También debe recordar el concepto de una serie armónica generalizada:

1) Esta fila diverge en . Por ejemplo, la serie diverge, , .
2) Esta fila converge en . Por ejemplo, la serie , , . Recalco una vez más que en casi todas las tareas prácticas no nos importa en absoluto a qué es igual la suma de, por ejemplo, la serie, el hecho mismo de su convergencia es importante.

Estos son hechos elementales de la teoría de series que ya han sido probados, y al resolver algún ejemplo práctico, uno puede referirse con seguridad, por ejemplo, a la divergencia de la serie oa la convergencia de la serie.

En general, el material bajo consideración es muy similar a estudio de integrales impropias, y aquellos que han estudiado este tema lo encontrarán más fácil. Bueno, para los que no han estudiado, es doblemente más fácil :)

Entonces, ¿qué hacer si el término común de la serie VA a cero? En tales casos, para resolver ejemplos, necesita usar otros, suficiente signos de convergencia/divergencia:

Criterios de comparación para series de números positivos

llamo tu atencion que aquí estamos hablando solo de series numéricas positivas (con miembros no negativos).

Hay dos signos de comparación, uno de ellos lo llamaré simplemente signo de comparación, otro - signo limitante de comparación.

Primero considere signo de comparación, o más bien, la primera parte de la misma:

Considere dos series numéricas positivas y . Si se sabe, que la fila es converge, y, a partir de algún número , la desigualdad se cumple, entonces la serie también converge.

En otras palabras: La convergencia de una serie con términos más grandes implica la convergencia de una serie con términos más pequeños. En la práctica, la desigualdad suele satisfacerse en general para todos los valores de:

Ejemplo 8

Examinar la serie para la convergencia

Primero, comprobamos(mentalmente o en un borrador) ejecución:
, lo que significa que no fue posible “salir con poca sangre”.

Observamos el "paquete" de la serie armónica generalizada y, centrándonos en el grado más alto, encontramos una serie similar: se sabe por la teoría que converge.

Para todos los números naturales, la desigualdad obvia se cumple:

y los denominadores más grandes corresponden a fracciones más pequeñas:
, lo que significa que, según el criterio de comparación, la serie objeto de estudio converge junto con al lado de.

Si tiene alguna duda, ¡siempre se puede pintar la desigualdad en detalle! Escribamos la desigualdad construida para varios números "en":
si, entonces
si, entonces
si, entonces
si, entonces
….
y ahora está bastante claro que la desigualdad vale para todos los números naturales "en".

Analicemos el criterio de comparación y el ejemplo resuelto desde un punto de vista informal. Aun así, ¿por qué converge la serie? Este es el por qué. Si la serie converge, entonces tiene alguna final Monto : . Y como todos los miembros de la serie menor miembros correspondientes de la serie, entonces queda claro que la suma de la serie no puede ser mayor que el número , y más aún, ¡no puede ser igual a infinito!

De manera similar, podemos probar la convergencia de series "similares": , , etc.

! Nota que en todos los casos tenemos “más” en los denominadores. La presencia de al menos un menos puede complicar seriamente el uso del considerado función de comparación. Por ejemplo, si una serie se compara de la misma manera con una serie convergente (escriba varias desigualdades para los primeros términos), ¡entonces la condición no se cumplirá en absoluto! Aquí puede esquivar y elegir para comparar otra serie convergente, por ejemplo, , pero esto implicará reservas innecesarias y otras dificultades innecesarias. Por lo tanto, para probar la convergencia de una serie, es mucho más fácil usar criterio de comparación marginal(ver siguiente párrafo).

Ejemplo 9

Examinar la serie para la convergencia

Y en este ejemplo, le sugiero que considere por sí mismo la segunda parte de la función de comparación:

Si se sabe, que la fila es diverge, y a partir de algún número (a menudo desde el principio) la desigualdad se cumple, entonces la serie también diverge.

En otras palabras: La divergencia de la serie con términos menores implica la divergencia de la serie con términos mayores.

¿Lo que debe hacerse?
Es necesario comparar la serie en estudio con una serie armónica divergente. Para una mejor comprensión, construya algunas desigualdades específicas y asegúrese de que la desigualdad sea verdadera.

Solución y diseño de muestra al final de la lección.

Como ya se señaló, en la práctica, la función de comparación que acabamos de considerar rara vez se usa. El verdadero "caballo de batalla" de la serie numérica es criterio de comparación marginal, y en términos de frecuencia de uso, solo signo de d'Alembert.

Signo límite de comparación de series numéricas positivas

Considere dos series numéricas positivas y . Si el límite de la razón de los miembros comunes de estas series es igual a número finito distinto de cero: , entonces ambas series convergen o divergen al mismo tiempo.

¿Cuándo se utiliza el criterio de comparación límite? El signo límite de comparación se utiliza cuando el “relleno” de la serie son polinomios. O un polinomio en el denominador o polinomios tanto en el numerador como en el denominador. Opcionalmente, los polinomios pueden tener raíces.

Ocupémonos de la serie para la que se estancó el anterior signo de comparación.

Ejemplo 10

Examinar la serie para la convergencia

Compare esta serie con la serie convergente. Usamos la prueba límite de comparación. Se sabe que la serie converge. Si podemos demostrar que es final distinto de cero número, se probará que la serie también converge.

Se obtiene un número finito distinto de cero, lo que significa que la serie en estudio converge junto con al lado de.

¿Por qué se eligió la serie para la comparación? Si hubiéramos elegido cualquier otra serie del “clip” de la serie armónica generalizada, entonces no habríamos tenido éxito en el límite. final distinto de cero números (puedes experimentar).

Nota: cuando usamos la función de comparación marginal, irrelevante, en qué orden componer la relación de miembros comunes, en el ejemplo considerado, la relación podría dibujarse a la inversa: - esto no cambiaría la esencia del asunto.

Apéndice

El sitio de servicio en línea lo ayudará a encontrar la suma de una serie en línea tanto de una secuencia numérica como de una serie funcional. La suma de una serie para los matemáticos es algo especial para entender el análisis de cantidades numéricas y el paso al límite. Se han dicho y escrito muchos trabajos útiles sobre la solución general de series en los últimos siglos. Para cada docente personalmente, es un deber importante transmitir su conocimiento acumulado en matemáticas al oyente final, es decir, al estudiante. Es más fácil buscar tal suma de la serie 1/n. Se le presentará en una breve notación la suma de la serie 1/n ^ 2. Además de determinar la suma de una serie de una secuencia numérica en línea, el sitio puede encontrar la llamada suma parcial de una serie en línea. Esto definitivamente ayudará para las representaciones analíticas, cuando la suma de la serie en línea deba expresarse y encontrarse como una solución al límite de la secuencia numérica de sumas parciales de la serie. En esencia, la suma de una serie no es más que la operación inversa de expandir una función en una serie. Las operaciones son casi de naturaleza recíproca. Dio la casualidad de que la convergencia de una serie se estudia después de aprobar un curso de conferencias sobre análisis matemático después de los límites. La solución encontrada de la serie significa el resultado de su estudio por convergencia o divergencia. Este resultado está determinado de forma única. En comparación con los análogos, el sitio tiene sus ventajas innegables, ya que puede encontrar la suma de una serie en línea de una serie numérica y funcional, lo que le permite determinar sin ambigüedades el área de convergencia de la serie inicial inicial. , utilizando casi toda la metodología conocida para la ciencia. Con base en la teoría de series, la condición necesaria para la convergencia de una sucesión numérica en todo momento será la igualdad a cero del límite del término común de la serie numérica en el infinito. Pero esta condición no es suficiente a la hora de establecer la convergencia de una serie numérica en línea. Desviémonos un poco del problema apremiante y argumentemos desde una posición filosófica diferente sobre las series en matemáticas. Para ti, esta solución de serie online se convertirá en la mejor calculadora y asistente para todos los días. No es en absoluto un deseo de sentarse en los hermosos días de invierno para las lecciones, cuando la suma de la fila está en dos cuentas ante sus ojos. Si alguien necesita determinar el kilometraje de la fila, tomará unos segundos después de la entrada preliminar de los datos correctos. Si bien los sitios similares requieren una remuneración por sus servicios, tratamos de ser útiles para todos los que quieran intentar aprender a resolver ejemplos por su cuenta utilizando nuestro sencillo servicio. A su discreción, podemos presentar la solución de la serie en línea en cualquier dispositivo moderno, es decir, en cualquier navegador, por lo que encontrar y probar que la suma de la serie 1/n diverge en el infinito será una tarea sencilla. Recuerda siempre cómo la suma de la serie 1/n^2 converge y tiene un gran significado semántico en matemáticas. Pero la suma de la serie final suele determinarse después de usar, por ejemplo, el signo integral o el signo de Raabe, que pocas personas conocen en las universidades ordinarias. Al determinar la convergencia de las series en línea, los científicos han obtenido varios signos suficientes de convergencia o divergencia de las series. Los más conocidos y utilizados de estos métodos son los signos de D "Alembert, el signo de convergencia de Cauchy, el signo de convergencia de Raabe, el signo de comparación de series numéricas y el signo integral de la convergencia de una serie de números. Especial atención merecen las series, en las que los signos de los términos deben alternarse estrictamente uno tras otro de menos a más y viceversa, y los valores absolutos de estas series numéricas decrecen monótonamente, es decir, uniformemente. En la práctica, el estudio de serie resultó que para tales series numéricas, el criterio necesario para la convergencia de una serie alterna de signos en línea es suficiente, es decir, el término común límite es igual a la serie de números cero en el infinito. La suma de las series encontradas de esta manera es equivalente a otros métodos utilizados. La convergencia de la serie requiere una gran pérdida de tiempo, ya que el proceso en sí implica un estudio completo de la función. Hay muchos sitios diferentes que brindan servicios para calcular la suma de una serie en línea, como así como expandir funciones en una fila en dir tener en línea en cualquier punto del dominio de definición de la función objeto de estudio. Es fácil expandir una función en una serie en línea en estos servicios, ya que se usa el funcional para calcular la derivada, pero la operación inversa: para encontrar la suma de una serie funcional en línea, cuyos miembros no son números, sino funciones. , muchas veces es imposible en la práctica debido a las dificultades que surgen por la falta de los recursos informáticos necesarios. Utilice nuestro recurso para calcular la suma de series en línea, verifique y consolide sus conocimientos. Si la suma de la serie diverge, entonces no obtendremos el resultado esperado para acciones posteriores en alguna tarea común. Esto se puede evitar de antemano aplicando sus conocimientos como especialista. Finalmente, es imposible no mencionar cómo la suma de la serie 1/n es la más simple en la expresión y se cita a menudo como ejemplo. Incluso cuando quieren mostrar algún signo de convergencia en el caso, lo prueban para la suma de la serie 1/n^2, porque tal representación es transparente para los estudiantes y los estudiantes no se confunden. Como tenemos una expresión para el término general complejo de la serie, entonces la suma de la serie finita sería útil si se demuestra que la serie mayorista (con respecto a la original) converge. Por otro lado, la convergencia de la serie ocurrirá independientemente de las condiciones iniciales del problema. Solo nuestro sitio de servicio puede ofrecer la mejor solución de filas, porque solo nosotros garantizamos ahorrarle tiempo al comparar el costo del cálculo con la utilidad y precisión del resultado. Dado que la suma deseada de la serie se puede representar en la mayoría de los casos mediante una serie mayor, es más conveniente estudiarla. Por lo tanto, la convergencia de la serie del término general mayoritario indicará inequívocamente la convergencia de la expresión principal, y el problema se resolverá por sí solo de inmediato. Los profesores de instituciones de educación superior también pueden usar nuestra solución de la serie en línea y verificar la trabajo de sus cadetes. Para algún caso, la suma de la serie se puede calcular en un problema de física, química o una disciplina aplicada, sin quedarse en cálculos rutinarios, para no desviarse de la dirección principal al estudiar algún proceso natural. Para empezar, suelen anotar los más que no pueden comer una expresión simplificada en forma de suma de una serie de 1/n, y este planteamiento está justificado. El número Pi está presente en muchas operaciones computacionales, pero se puede decir que la suma de la serie 1/n^2 es un ejemplo clásico de la convergencia de una serie armónica en el infinito. ¿Qué significa la expresión "la suma de una serie finita" de todos modos? Y esto significa simplemente que converge y el límite de sus sumas parciales tiene un valor numérico específico. Si se confirma la convergencia de la serie y esto afectará la estabilidad final del sistema, entonces es posible cambiar los parámetros de entrada del problema e intentar hacerlo de nuevo. Finalmente, queremos darte un consejo implícito a primera vista, pero muy útil en la práctica. Incluso si tiene suficiente experiencia en resolver series y no necesita tales servicios para resolver series en línea, le sugerimos que comience a encontrar la suma de una serie determinando la convergencia de una serie. Dedique solo un minuto a esta acción, usando el sitio, para que durante el cálculo de la suma de la serie, solo tenga en cuenta este hecho. ¡No será redundante! Mucho se ha escrito sobre la suma de una serie en línea en sitios de matemáticas, se han adjuntado muchas ilustraciones, ya que en el siglo pasado, los científicos denotaron las expresiones para la suma de una serie con símbolos. En general, poco ha cambiado, pero hay momentos interesantes. Si la convergencia de la serie en línea parece imposible, simplemente verifique los datos ingresados ​​​​y repita la solicitud con calma. Aún así, es mejor verificar primero el término común de la serie. Y cualquier solución en línea de la serie aparecerá inmediatamente en el sitio, no tiene que hacer clic en enlaces adicionales para obtener una respuesta a la tarea. Lo mejor, según los expertos, hace que los estudiantes sean más exigentes a la hora de elegir una calculadora de solución en serie. El concepto de convergencia de series, es decir, la existencia de una suma finita, se invierte en la suma de una serie como servicio en línea. Junto con esta sección, se introducen temas básicos como integrales y derivadas, ya que todos están estrechamente relacionados. Hablemos con nosotros cómo la suma de la serie 1/n diverge cuando la variable tiende a infinito. Sin embargo, otra suma de una serie como 1/n^2, por el contrario, convergerá y tomará una expresión numérica finita. Es interesante estudiar casos en los que la suma de una serie finita se presenta gradualmente como sumas parciales intermedias de la serie con un incremento gradual de la variable en una, o quizás varias unidades a la vez. Le recomendamos que verifique la convergencia de la serie en línea después de sus propias soluciones a las tareas. Esto le permitirá comprender el tema en detalle y aumentar su nivel de conocimiento. No lo olvides nunca, lo estamos intentando solo para ti. Una vez en una lección, el profesor mostró la solución de series en línea usando tecnología informática. Debo decir que a todos les gustó bastante. Después de este incidente, la calculadora estuvo en demanda durante todo el curso de estudio de matemáticas. No será superfluo verificar cómo la calculadora en línea calcula la suma de la serie en unos segundos después de que solicite mostrar el resultado. Inmediatamente quedará claro en qué dirección vale la pena mantener el curso para resolver el problema. Dado que no hay mucho escrito sobre la convergencia de las series en algunos libros de texto costosos, es mejor descargar varios buenos informes de científicos eminentes de Internet y tomar un curso sobre su metodología. El resultado será bueno. Al resolver series, no se puede excluir el primer signo de convergencia, es decir, la tendencia a cero del límite de su término común. Aunque esta no es una condición suficiente, siempre es necesaria. La integridad del ejemplo resuelto produce una agradable sensación en el alumno cuando comprende que la suma de la serie ha sido calculada sin recurrir a pistas. Los libros de texto pretenden ser una guía para poner en práctica sus habilidades. A medida que olvida el material cubierto, debe dedicar al menos cinco minutos todos los jueves a una revisión superficial de las conferencias; de lo contrario, olvidará todo al comienzo de la sesión y olvidará aún más cómo se calcula la convergencia de la serie. . Comience con una vez y luego supere su pereza. No es de extrañar que los profesores se vean obligados a demostrar cómo diverge la suma de la serie 1/n. Pero si, sin embargo, la suma de la serie 1/n ^ 2 se presenta como una serie alterna, entonces no sucederá nada terrible; después de todo, ¡la serie absoluta converge! Y por supuesto, la suma de una serie finita puede resultarte de especial interés cuando estudies esta disciplina por tu cuenta. La mayor parte de los ejemplos se resuelve con el método de d'Alembert, y la solución de la serie en este caso se reduce a calcular los límites, como la razón de sus términos vecinos, es decir, el siguiente al anterior. Por lo tanto, le deseamos buena suerte en la resolución de matemáticas y que nunca cometa errores. Tomemos como base básica la llamada solución de serie en línea en la dirección del desacuerdo de investigación, la participación de principios fundamentales y direcciones científicas interdisciplinarias. Permítanos encontrarle la respuesta y decirle afirmativamente que la suma de la serie se resuelve mediante varios métodos fundamentalmente diferentes, pero al final el resultado es el mismo. La pista sobre la convergencia de la serie no siempre es obvia para los estudiantes, incluso si se les dice la respuesta de antemano, aunque, por supuesto, esto ciertamente los empuja a la solución correcta. La abstracción en matemáticas, aunque se destaca en la parte superior local, sin embargo, está respaldada por la teoría y prueba algunos hechos indiscutibles en un santiamén. Uno no puede pasar por alto un aspecto al resolver series en línea como la aplicabilidad o inaplicabilidad de los principios teóricos básicos de la convergencia de una serie de números y la representación de una suma compleja de una serie en alguna versión simplificada para una apariencia más agradable. Pero hay casos en los que la suma de la serie 1 / n convergerá y no te molestaremos con este incidente, porque todo lo que necesitas hacer es sustituir algún número entero en lugar del símbolo de infinito y luego la suma total se reducirá a la series aritméticas habituales. La serie armónica es la suma de la serie 1/n^2, entonces la red es a cualquier potencia elevada.