Durante mucho tiempo, los científicos y los pensadores han sido aficionados a entretenerse a sí mismos y a sus colegas planteando problemas irresolubles y formulando todo tipo de paradojas. Algunos de estos experimentos mentales siguen siendo relevantes durante miles de años, lo que indica la imperfección de muchos modelos científicos populares y "agujeros" en teorías generalmente aceptadas que durante mucho tiempo se han considerado fundamentales. Te invitamos a reflexionar sobre las paradojas más interesantes y sorprendentes, que, como dicen ahora, "volaron el cerebro" de más de una generación de lógicos, filósofos y matemáticos.

1. Aporía "Aquiles y la tortuga"

La paradoja de Aquiles y la tortuga es una de las paradojas (afirmaciones lógicamente correctas, pero contradictorias) formuladas por el antiguo filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a. Su esencia es la siguiente: el héroe legendario Aquiles decidió competir corriendo con una tortuga. Como saben, las tortugas no difieren en rapidez, por lo que Aquiles le dio al oponente una ventaja inicial de 500 m. Cuando la tortuga supera esta distancia, el héroe comienza a perseguir a una velocidad 10 veces mayor, es decir, mientras la tortuga se arrastra 50 m. , Aquiles logra correr los 500 m de ventaja dados . Luego el corredor supera los siguientes 50 m, pero en este momento la tortuga retrocede arrastrándose otros 5 m, parece que Aquiles está a punto de alcanzarla, pero el oponente sigue adelante y mientras él corre 5 m, ella logra avanzar otro medio metro y así sucesivamente. La distancia entre ellos se reduce infinitamente, pero en teoría, el héroe nunca logra alcanzar a la tortuga lenta, no es mucho, pero siempre por delante de él.

Por supuesto, desde el punto de vista de la física, la paradoja no tiene sentido: si Aquiles se mueve mucho más rápido, se adelantará de todos modos, sin embargo, Zeno, en primer lugar, quería demostrar con su razonamiento que los conceptos matemáticos idealizados de "punto en el espacio" y "momento de tiempo" no son demasiado adecuados para una correcta aplicación al movimiento real. La aporía revela la discrepancia entre la idea matemáticamente sólida de que los intervalos de espacio y tiempo distintos de cero se pueden dividir indefinidamente (por lo que la tortuga siempre debe ir por delante) y la realidad en la que el héroe, por supuesto, gana la carrera.

2. Paradoja del bucle temporal

Las paradojas que describen los viajes en el tiempo han sido durante mucho tiempo una fuente de inspiración para los escritores de ciencia ficción y los creadores de películas y programas de televisión de ciencia ficción. Hay varias variantes de las paradojas del bucle temporal, uno de los ejemplos más simples e ilustrativos de tal problema se da en su libro The New Time Travelers de David Toomey, profesor de la Universidad de Massachusetts.

Imagina que un viajero en el tiempo ha comprado una copia de Hamlet de Shakespeare en una librería. Luego fue a Inglaterra durante la época de la reina virgen Isabel I y, al encontrar a William Shakespeare, le entregó un libro. Lo reescribió y lo publicó como su propio trabajo. Pasan cientos de años, Hamlet es traducido a decenas de idiomas, reeditado sin fin, y uno de los ejemplares acaba en la misma librería donde el viajero del tiempo lo compra y se lo regala a Shakespeare, que hace un ejemplar, y así sucesivamente... ¿Quién debe ser contado en este caso, el autor de una tragedia inmortal?

3. La paradoja de una niña y un niño

En la teoría de la probabilidad, esta paradoja también se llama "Los hijos del Sr. Smith" o "Los problemas de la Sra. Smith". Fue formulado por primera vez por el matemático estadounidense Martin Gardner en uno de los números de la revista Scientific American. Los científicos han estado discutiendo sobre la paradoja durante décadas y hay varias formas de resolverla. Después de pensar en el problema, puedes ofrecer tu propia versión.

La familia tiene dos hijos y se sabe a ciencia cierta que uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo también sea varón? A primera vista, la respuesta es bastante obvia: 50 a 50, ya sea que sea un niño o una niña, las posibilidades deberían ser iguales. El problema es que para las familias de dos hijos, hay cuatro combinaciones posibles de los sexos de los niños: dos niñas, dos niños, un niño mayor y una niña más pequeña, y viceversa: una niña mayor y un niño más pequeño. La primera puede ser excluida, ya que uno de los hijos es definitivamente un niño, pero en este caso hay tres opciones posibles, no dos, y la probabilidad de que el segundo hijo también sea un niño es una posibilidad entre tres.

4. La paradoja de la carta de Jourdain

El problema propuesto por el lógico y matemático británico Philippe Jourdain a principios del siglo XX puede considerarse una de las variedades de la famosa paradoja del mentiroso.

Imagínese: tiene una postal en sus manos que dice: "La declaración en el reverso de la postal es verdadera". Voltear la tarjeta revela la frase "La afirmación del otro lado es falsa". Como comprenderá, existe una contradicción: si la primera afirmación es verdadera, entonces la segunda también lo es, pero en este caso la primera debe ser falsa. Si el primer lado de la postal es falso, entonces la frase del segundo tampoco puede considerarse verdadera, lo que significa que la primera afirmación vuelve a ser verdadera... Una versión aún más interesante de la paradoja del mentiroso se encuentra en el siguiente párrafo.

5. Sofisma "Cocodrilo"

Una madre con un niño está parada en la orilla del río, de repente un cocodrilo nada hacia ellos y arrastra al niño al agua. La madre desconsolada pide devolverle a su hijo, a lo que el cocodrilo responde que accede a devolverlo sano y salvo si la mujer responde correctamente a su pregunta: “¿Le devolverá a su hijo?”. Está claro que una mujer tiene dos respuestas: sí o no. Si ella afirma que el cocodrilo le dará al niño, entonces todo depende del animal: considerando que la respuesta es cierta, el secuestrador dejará ir al niño, pero si dice que la madre se equivocó, entonces ella no lo verá. el niño, de acuerdo con todas las reglas del contrato.

La respuesta negativa de la mujer complica considerablemente las cosas: si resulta ser cierta, el secuestrador debe cumplir con los términos del trato y liberar al niño, pero de esta manera la respuesta de la madre no se corresponderá con la realidad. Para asegurar la falsedad de tal respuesta, el cocodrilo necesita devolver el niño a la madre, pero esto es contrario al contrato, porque su error debería dejar al niño con el cocodrilo.

Cabe señalar que el trato ofrecido por el cocodrilo contiene una contradicción lógica, por lo que su promesa es incumplible. El orador, pensador y político Corax de Siracusa, que vivió en el siglo V a. C., es considerado el autor de este sofisma clásico.

6. Aporía "dicotomía"

Otra paradoja de Zenón de Elea, que demuestra la incorrección del modelo matemático idealizado del movimiento. El problema se puede plantear así: digamos que te dispusiste a recorrer alguna calle de tu ciudad de principio a fin. Para hacer esto, debe superar la primera mitad, luego la mitad de la mitad restante, luego la mitad del siguiente segmento, y así sucesivamente. En otras palabras, caminas la mitad de la distancia total, luego un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, el número de segmentos decrecientes del camino tiende a infinito, ya que cualquier parte restante se puede dividir en dos, lo que significa que es imposible ir todo el camino. Formulando una paradoja un tanto rebuscada a primera vista, Zeno quería demostrar que las leyes matemáticas contradicen la realidad, porque de hecho se puede recorrer fácilmente toda la distancia sin dejar rastro.

7. Aporía "Flecha voladora"

La famosa paradoja de Zenón de Elea toca las más profundas contradicciones en las ideas de los científicos sobre la naturaleza del movimiento y el tiempo. La aporía se formula de la siguiente manera: una flecha disparada con un arco permanece inmóvil, ya que en cualquier momento reposa sin moverse. Si en cada momento del tiempo la flecha está en reposo, entonces siempre está en reposo y no se mueve en absoluto, ya que no hay ningún momento en el tiempo en el que la flecha se mueva en el espacio.

Las mentes sobresalientes de la humanidad han estado tratando durante siglos de resolver la paradoja de una flecha voladora, pero desde un punto de vista lógico, es absolutamente correcto. Para refutarlo, es necesario explicar cómo un intervalo de tiempo finito puede consistir en un número infinito de momentos de tiempo; incluso Aristóteles, quien criticó convincentemente la aporía de Zenón, no pudo probar esto. Aristóteles señaló con razón que un período de tiempo no puede considerarse la suma de algunos momentos aislados e indivisibles, pero muchos científicos creen que su enfoque no difiere en profundidad y no refuta la existencia de una paradoja. Vale la pena señalar que al plantear el problema de una flecha voladora, Zenón no buscaba refutar la posibilidad del movimiento como tal, sino revelar las contradicciones en los conceptos matemáticos idealistas.

8. La paradoja de Galileo

En sus Conversaciones y pruebas matemáticas sobre dos nuevas ramas de la ciencia, Galileo Galilei propuso una paradoja que demuestra las curiosas propiedades de los conjuntos infinitos. El científico formuló dos juicios contradictorios. Primero, hay números que son los cuadrados de otros enteros, como 1, 9, 16, 25, 36, etc. Hay otros números que no tienen esta propiedad: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 y similares. Por lo tanto, el número total de cuadrados perfectos y números ordinarios debe ser mayor que el número de cuadrados perfectos solos. Segundo juicio: para todo número natural existe su cuadrado exacto, y para todo cuadrado existe una raíz cuadrada entera, es decir, el número de cuadrados es igual al número de números naturales.

Sobre la base de esta contradicción, Galileo concluyó que el razonamiento sobre el número de elementos se aplica solo a conjuntos finitos, aunque los matemáticos posteriores introdujeron el concepto de cardinalidad de un conjunto; con su ayuda, la corrección del segundo juicio de Galileo también se demostró para conjuntos infinitos. .

9. Paradoja del saco de patatas

Supongamos que cierto agricultor tiene una bolsa de papas que pesa exactamente 100 kg. Después de examinar su contenido, el agricultor descubre que la bolsa se almacenó en humedad: el 99% de su masa es agua y el 1% de las sustancias restantes contenidas en las papas. Decide secar un poco las papas para que su contenido de agua baje al 98% y mueve la bolsa a un lugar seco. Al día siguiente, resulta que realmente se evaporó un litro (1 kg) de agua, pero el peso de la bolsa disminuyó de 100 a 50 kg, ¿cómo puede ser esto? Calculemos: el 99% de 100 kg son 99 kg, lo que significa que la relación entre la masa de residuo seco y la masa de agua era originalmente 1/99. Después del secado, el agua contiene el 98% de la masa total de la bolsa, lo que significa que la relación entre la masa de residuo seco y la masa de agua es ahora de 1/49. Como la masa del residuo no ha cambiado, el agua restante pesa 49 kg.

Por supuesto, un lector atento detectará de inmediato un grave error matemático en los cálculos: la cómica imaginaria "paradoja de un saco de papas" puede considerarse un excelente ejemplo de cómo, a primera vista, usar "lógico" y "científicamente respaldado" razonamiento, literalmente puede construir una teoría desde cero que contradiga el sentido común.

10 Paradoja del cuervo

El problema también se conoce como la paradoja de Hempel: recibió su segundo nombre en honor al matemático alemán Carl Gustav Hempel, el autor de su versión clásica. El problema se formula de manera bastante simple: todos los cuervos son negros. De esto se sigue que cualquier cosa que no sea negra no puede ser un cuervo. Esta ley se llama contraposición lógica, es decir, si cierta premisa "A" tiene una consecuencia "B", entonces la negación de "B" es equivalente a la negación de "A". Si una persona ve un cuervo negro, esto refuerza su creencia de que todos los cuervos son negros, lo cual es bastante lógico, sin embargo, de acuerdo con la contraposición y el principio de inducción, es lógico argumentar que la observación de objetos no negros (digamos , manzanas rojas) también prueba que todos los cuervos están pintados de negro. En otras palabras, el hecho de que una persona viva en San Petersburgo prueba que no vive en Moscú.

Desde el punto de vista de la lógica, la paradoja parece perfecta, pero contradice la vida real: las manzanas rojas de ninguna manera pueden confirmar el hecho de que todos los cuervos son negros.

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¿QUÉ ES LA PARADOJA LÓGICA?

No existe una lista exhaustiva de paradojas lógicas, y es imposible.

Las paradojas consideradas son solo una parte de todas las descubiertas hasta ahora. Es probable que en el futuro se descubran muchos otros e incluso tipos completamente nuevos. El concepto mismo de una paradoja no es tan definido como para que sea posible compilar una lista de al menos paradojas ya conocidas.

“Las paradojas de la teoría de conjuntos son un problema muy serio, no para las matemáticas, sin embargo, sino para la lógica y la epistemología”, escribe el matemático y lógico austriaco K. Gödel. “La lógica es inconsistente. No hay paradojas lógicas, dice el matemático soviético D. Bochvar. - Tales discrepancias son a veces significativas, a veces verbales. El punto está en gran parte en lo que se entiende exactamente por "paradoja lógica".

Una característica necesaria de las paradojas lógicas es el diccionario lógico. Las paradojas que son lógicas deben formularse en términos lógicos. Sin embargo, en lógica no existen criterios claros para dividir los términos en lógicos y extralógicos. La lógica, que se ocupa de la corrección del razonamiento, trata de reducir al mínimo los conceptos de los que depende la corrección de las conclusiones aplicadas en la práctica. Pero este mínimo no está predeterminado sin ambigüedades. Además, las declaraciones no lógicas también se pueden formular en términos lógicos. Está lejos de ser siempre posible determinar sin ambigüedades si una paradoja particular usa solo premisas puramente lógicas.

Las paradojas lógicas no están rígidamente separadas de todas las demás paradojas, así como estas últimas no se distinguen claramente de todo lo que no es paradójico y es consistente con las ideas predominantes.

Al comienzo del estudio de las paradojas lógicas, parecía que podían distinguirse por la violación de alguna posición o regla de la lógica aún no explorada. El “principio del círculo vicioso” introducido por B. Russell fue especialmente activo al reclamar el papel de tal regla. Este principio establece que una colección de objetos no puede contener miembros definidos solo por la misma colección.

Todas las paradojas tienen una cosa en común: la autoaplicabilidad o la circularidad. En cada uno de ellos, el objeto en cuestión se caracteriza por algún conjunto de objetos a los que pertenece. Si destacamos, por ejemplo, a una persona como la más astuta de una clase, lo hacemos con la ayuda de un conjunto de personas a las que también pertenece esa persona (con la ayuda de "su clase"). Y si decimos: "Esta declaración es falsa", caracterizamos la declaración que nos interesa al referirnos a la totalidad de todas las declaraciones falsas que la incluyen.

En todas las paradojas tiene lugar la autoaplicabilidad, lo que significa que hay, por así decirlo, un movimiento en un círculo, que conduce al final al punto de partida. En un esfuerzo por caracterizar el objeto que nos interesa, nos dirigimos al conjunto de objetos que lo incluye. Sin embargo, resulta que, para su definición, él mismo necesita el objeto bajo consideración y no puede entenderse claramente sin él. En este círculo, tal vez, se encuentra la fuente de las paradojas.

Sin embargo, la situación se complica por el hecho de que tal círculo también existe en muchos argumentos completamente no paradójicos. Circular es una gran variedad de las formas de expresión más comunes, inofensivas y al mismo tiempo convenientes. Ejemplos como "la más grande de todas las ciudades", "el más pequeño de todos los números naturales", "uno de los electrones del átomo de hierro", etc., muestran que no todos los casos de autoaplicabilidad conducen a una contradicción y que es importante no sólo en el lenguaje ordinario, sino también en el lenguaje de la ciencia.

Una mera referencia al uso de conceptos autoaplicables es, por tanto, insuficiente para desacreditar las paradojas. Se necesita algún criterio adicional para separar la autoaplicabilidad, que conduce a una paradoja, de todos los demás casos de la misma.

Ha habido muchas propuestas en este sentido, pero no se ha encontrado ninguna aclaración exitosa de la circularidad. Resultó imposible caracterizar la circularidad de tal manera que todo razonamiento circular conduzca a una paradoja, y toda paradoja sea el resultado de algún razonamiento circular.

Un intento de encontrar algún principio específico de la lógica, cuya violación sería un rasgo distintivo de todas las paradojas lógicas, no condujo a nada definitivo.

Sin duda sería útil algún tipo de clasificación de las paradojas, subdividiéndolas en tipos y tipos, agrupando unas paradojas y oponiéndolas a otras. Sin embargo, tampoco se ha logrado nada sostenible en este caso.

El lógico inglés F. Ramsey, fallecido en 1930, cuando aún no tenía veintisiete años, propuso dividir todas las paradojas en sintácticas y semánticas. El primero incluye, por ejemplo, la paradoja de Russell, el segundo, las paradojas del "mentiroso", Grelling, etc.

Según F. Ramsey, las paradojas del primer grupo contienen solo conceptos pertenecientes a la lógica o las matemáticas. Estos últimos incluyen conceptos como "verdad", "definibilidad", "nombramiento", "lenguaje", que no son estrictamente matemáticos, sino más bien relacionados con la lingüística o incluso con la teoría del conocimiento. Las paradojas semánticas parecen deber su aparición no a algún error de lógica, sino a la vaguedad o ambigüedad de algunos conceptos no lógicos, por lo que los problemas que plantean conciernen al lenguaje y deben ser resueltos por la lingüística.

A F. Ramsey le parecía que los matemáticos y los lógicos no tenían por qué estar interesados ​​en las paradojas semánticas.

Más tarde resultó, sin embargo, que algunos de los resultados más significativos de la lógica moderna se obtuvieron precisamente en relación con un estudio más profundo de precisamente estas paradojas "no lógicas".

La división de paradojas propuesta por F. Ramsey fue muy utilizada al principio y aún hoy conserva cierto significado. Al mismo tiempo, cada vez es más claro que esta división es bastante vaga y se basa principalmente en ejemplos, y no en un análisis comparativo en profundidad de los dos grupos de paradojas. Los conceptos semánticos ahora están bien definidos y es difícil no reconocer que estos conceptos son de hecho lógicos. Con el desarrollo de la semántica, que define sus conceptos básicos en términos de teoría de conjuntos, la distinción hecha por F. Ramsey se vuelve cada vez más borrosa.

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Durante mucho tiempo, los científicos y los pensadores han sido aficionados a entretenerse a sí mismos y a sus colegas planteando problemas irresolubles y formulando todo tipo de paradojas. Algunos de estos experimentos mentales siguen siendo relevantes durante miles de años, lo que indica la imperfección de muchos modelos científicos populares y "agujeros" en teorías generalmente aceptadas que durante mucho tiempo se han considerado fundamentales.

Te invitamos a reflexionar sobre las paradojas más interesantes y sorprendentes, que, como dicen ahora, "volaron el cerebro" de más de una generación de lógicos, filósofos y matemáticos.

1. Aporía "Aquiles y la tortuga"

La paradoja de Aquiles y la tortuga es una de las paradojas (afirmaciones lógicamente correctas, pero contradictorias) formuladas por el antiguo filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a. Su esencia es la siguiente: el héroe legendario Aquiles decidió competir corriendo con una tortuga. Como saben, las tortugas no difieren en rapidez, por lo que Aquiles le dio al oponente una ventaja inicial de 500 m. Cuando la tortuga supera esta distancia, el héroe comienza a perseguir a una velocidad 10 veces mayor, es decir, mientras la tortuga se arrastra 50 m. , Aquiles logra correr los 500 m de ventaja dados . Luego el corredor supera los siguientes 50 m, pero en este momento la tortuga retrocede arrastrándose otros 5 m, parece que Aquiles está a punto de alcanzarla, pero el oponente sigue adelante y mientras él corre 5 m, ella logra avanzar otro medio metro y así sucesivamente. La distancia entre ellos se reduce infinitamente, pero en teoría, el héroe nunca logra alcanzar a la tortuga lenta, no es mucho, pero siempre por delante de él.

© www.student31.ru

Por supuesto, desde el punto de vista de la física, la paradoja no tiene sentido: si Aquiles se mueve mucho más rápido, se adelantará de todos modos, sin embargo, Zeno, en primer lugar, quería demostrar con su razonamiento que los conceptos matemáticos idealizados de "punto en el espacio" y "momento de tiempo" no son demasiado adecuados para una correcta aplicación al movimiento real. La aporía revela la discrepancia entre la idea matemáticamente sólida de que los intervalos de espacio y tiempo distintos de cero se pueden dividir indefinidamente (por lo que la tortuga siempre debe ir por delante) y la realidad en la que el héroe, por supuesto, gana la carrera.

2. Paradoja del bucle temporal

Los nuevos viajeros en el tiempo de David Toomey

Las paradojas que describen los viajes en el tiempo han sido durante mucho tiempo una fuente de inspiración para los escritores de ciencia ficción y los creadores de películas y programas de televisión de ciencia ficción. Hay varias variantes de las paradojas del bucle temporal, uno de los ejemplos más simples e ilustrativos de tal problema se da en su libro The New Time Travelers de David Toomey, profesor de la Universidad de Massachusetts.

Imagina que un viajero en el tiempo ha comprado una copia de Hamlet de Shakespeare en una librería. Luego fue a Inglaterra durante la época de la reina virgen Isabel I y, al encontrar a William Shakespeare, le entregó un libro. Lo reescribió y lo publicó como su propio trabajo. Pasan cientos de años, Hamlet es traducido a decenas de idiomas, reeditado sin fin, y uno de los ejemplares acaba en la misma librería donde el viajero del tiempo lo compra y se lo regala a Shakespeare, que hace un ejemplar, y así sucesivamente... ¿Quién debe ser contado en este caso, el autor de una tragedia inmortal?

3. La paradoja de una niña y un niño

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

En la teoría de la probabilidad, esta paradoja también se llama "Los hijos del Sr. Smith" o "Los problemas de la Sra. Smith". Fue formulado por primera vez por el matemático estadounidense Martin Gardner en uno de los números de la revista Scientific American. Los científicos han estado discutiendo sobre la paradoja durante décadas y hay varias formas de resolverla. Después de pensar en el problema, puedes ofrecer tu propia versión.

La familia tiene dos hijos y se sabe a ciencia cierta que uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo también sea varón? A primera vista, la respuesta es bastante obvia: 50 a 50, ya sea que sea un niño o una niña, las posibilidades deberían ser iguales. El problema es que para las familias de dos hijos, hay cuatro combinaciones posibles de los sexos de los niños: dos niñas, dos niños, un niño mayor y una niña más pequeña, y viceversa: una niña mayor y un niño más pequeño. La primera puede ser excluida, ya que uno de los hijos es definitivamente un niño, pero en este caso hay tres opciones posibles, no dos, y la probabilidad de que el segundo hijo también sea un niño es una posibilidad entre tres.

4. La paradoja de la carta de Jourdain

El problema propuesto por el lógico y matemático británico Philippe Jourdain a principios del siglo XX puede considerarse una de las variedades de la famosa paradoja del mentiroso.

Philippe Jourdain

Imagínese: tiene una postal en sus manos que dice: "La declaración en el reverso de la postal es verdadera". Voltear la tarjeta revela la frase "La afirmación del otro lado es falsa". Como comprenderá, existe una contradicción: si la primera afirmación es verdadera, entonces la segunda también lo es, pero en este caso la primera debe ser falsa. Si el primer lado de la postal es falso, entonces la frase del segundo tampoco puede considerarse verdadera, lo que significa que la primera afirmación vuelve a ser verdadera... Una versión aún más interesante de la paradoja del mentiroso se encuentra en el siguiente párrafo.

5. Sofisma "Cocodrilo"

Una madre con un niño está parada en la orilla del río, de repente un cocodrilo nada hacia ellos y arrastra al niño al agua. La madre desconsolada pide devolverle a su hijo, a lo que el cocodrilo responde que accede a devolverlo sano y salvo si la mujer responde correctamente a su pregunta: “¿Le devolverá a su hijo?”. Está claro que una mujer tiene dos respuestas: sí o no. Si ella afirma que el cocodrilo le dará al niño, entonces todo depende del animal: considerando que la respuesta es cierta, el secuestrador dejará ir al niño, pero si dice que la madre se equivocó, entonces ella no lo verá. el niño, de acuerdo con todas las reglas del contrato.

© Corax de Siracusa

La respuesta negativa de la mujer complica considerablemente las cosas: si resulta ser cierta, el secuestrador debe cumplir con los términos del trato y liberar al niño, pero de esta manera la respuesta de la madre no se corresponderá con la realidad. Para asegurar la falsedad de tal respuesta, el cocodrilo necesita devolver el niño a la madre, pero esto es contrario al contrato, porque su error debería dejar al niño con el cocodrilo.

Cabe señalar que el trato ofrecido por el cocodrilo contiene una contradicción lógica, por lo que su promesa es incumplible. El orador, pensador y político Corax de Siracusa, que vivió en el siglo V a. C., es considerado el autor de este sofisma clásico.

6. Aporía "dicotomía"

© www.student31.ru

Otra paradoja de Zenón de Elea, que demuestra la incorrección del modelo matemático idealizado del movimiento. El problema se puede plantear así: digamos que te dispusiste a recorrer alguna calle de tu ciudad de principio a fin. Para hacer esto, debe superar la primera mitad, luego la mitad de la mitad restante, luego la mitad del siguiente segmento, y así sucesivamente. En otras palabras, caminas la mitad de la distancia total, luego un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, el número de segmentos decrecientes del camino tiende a infinito, ya que cualquier parte restante se puede dividir en dos, lo que significa que es imposible ir todo el camino. Formulando una paradoja un tanto rebuscada a primera vista, Zeno quería demostrar que las leyes matemáticas contradicen la realidad, porque de hecho se puede recorrer fácilmente toda la distancia sin dejar rastro.

7. Aporía "Flecha voladora"

La famosa paradoja de Zenón de Elea toca las más profundas contradicciones en las ideas de los científicos sobre la naturaleza del movimiento y el tiempo. La aporía se formula de la siguiente manera: una flecha disparada con un arco permanece inmóvil, ya que en cualquier momento reposa sin moverse. Si en cada momento del tiempo la flecha está en reposo, entonces siempre está en reposo y no se mueve en absoluto, ya que no hay ningún momento en el tiempo en el que la flecha se mueva en el espacio.

© www.academia.ru

Las mentes sobresalientes de la humanidad han estado tratando durante siglos de resolver la paradoja de una flecha voladora, pero desde un punto de vista lógico, es absolutamente correcto. Para refutarlo, es necesario explicar cómo un intervalo de tiempo finito puede consistir en un número infinito de momentos de tiempo; incluso Aristóteles, quien criticó convincentemente la aporía de Zenón, no pudo probar esto. Aristóteles señaló con razón que un período de tiempo no puede considerarse la suma de algunos momentos aislados e indivisibles, pero muchos científicos creen que su enfoque no difiere en profundidad y no refuta la existencia de una paradoja. Vale la pena señalar que al plantear el problema de una flecha voladora, Zenón no buscaba refutar la posibilidad del movimiento como tal, sino revelar las contradicciones en los conceptos matemáticos idealistas.

8. La paradoja de Galileo

Galileo Galilei / © Wikimedia

En sus Conversaciones y pruebas matemáticas sobre dos nuevas ramas de la ciencia, Galileo Galilei propuso una paradoja que demuestra las curiosas propiedades de los conjuntos infinitos. El científico formuló dos juicios contradictorios. Primero, hay números que son los cuadrados de otros enteros, como 1, 9, 16, 25, 36, etc. Hay otros números que no tienen esta propiedad: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 y similares. Por lo tanto, el número total de cuadrados perfectos y números ordinarios debe ser mayor que el número de cuadrados perfectos solos. Segundo juicio: para todo número natural existe su cuadrado exacto, y para todo cuadrado existe una raíz cuadrada entera, es decir, el número de cuadrados es igual al número de números naturales.

Sobre la base de esta contradicción, Galileo concluyó que el razonamiento sobre el número de elementos se aplica solo a conjuntos finitos, aunque los matemáticos posteriores introdujeron el concepto de cardinalidad de un conjunto; con su ayuda, la corrección del segundo juicio de Galileo también se demostró para conjuntos infinitos. .

9. Paradoja del saco de patatas

© nieidealne-danie.blogspot.com

Supongamos que cierto agricultor tiene una bolsa de papas que pesa exactamente 100 kg. Después de examinar su contenido, el agricultor descubre que la bolsa se almacenó en humedad: el 99% de su masa es agua y el 1% de las sustancias restantes contenidas en las papas. Decide secar un poco las papas para que su contenido de agua baje al 98% y mueve la bolsa a un lugar seco. Al día siguiente, resulta que realmente se evaporó un litro (1 kg) de agua, pero el peso de la bolsa disminuyó de 100 a 50 kg, ¿cómo puede ser esto? Calculemos: el 99% de 100 kg son 99 kg, lo que significa que la relación entre la masa de residuo seco y la masa de agua era originalmente 1/99. Después del secado, el agua contiene el 98% de la masa total de la bolsa, lo que significa que la relación entre la masa de residuo seco y la masa de agua es ahora de 1/49. Como la masa del residuo no ha cambiado, el agua restante pesa 49 kg.

Por supuesto, un lector atento detectará de inmediato un grave error matemático en los cálculos: la cómica imaginaria "paradoja de un saco de papas" puede considerarse un excelente ejemplo de cómo, a primera vista, usar "lógico" y "científicamente respaldado" razonamiento, literalmente puede construir una teoría desde cero que contradiga el sentido común.

10 Paradoja del cuervo

Carlos Gustav Hempel / © Wikimedia

El problema también se conoce como la paradoja de Hempel: recibió su segundo nombre en honor al matemático alemán Carl Gustav Hempel, el autor de su versión clásica. El problema se formula de manera bastante simple: todos los cuervos son negros. De esto se sigue que cualquier cosa que no sea negra no puede ser un cuervo. Esta ley se llama contraposición lógica, es decir, si cierta premisa "A" tiene una consecuencia "B", entonces la negación de "B" es equivalente a la negación de "A". Si una persona ve un cuervo negro, esto refuerza su creencia de que todos los cuervos son negros, lo cual es bastante lógico, sin embargo, de acuerdo con la contraposición y el principio de inducción, es lógico argumentar que la observación de objetos no negros (digamos , manzanas rojas) también prueba que todos los cuervos están pintados de negro. En otras palabras, el hecho de que una persona viva en San Petersburgo prueba que no vive en Moscú.

Desde el punto de vista de la lógica, la paradoja parece perfecta, pero contradice la vida real: las manzanas rojas de ninguna manera pueden confirmar el hecho de que todos los cuervos son negros.

Aquí ya teníamos contigo una selección de paradojas -, así como en particular, y El artículo original está en el sitio web. InfoGlaz.rf Enlace al artículo del que se hace esta copia -

Se sabe que formular un problema suele ser más importante y más difícil que resolverlo. “En ciencia”, escribió el químico inglés F. Soddy, “un problema correctamente planteado está resuelto en más de la mitad. El proceso de preparación mental requerido para descubrir que hay una tarea particular a menudo toma más tiempo que la tarea misma.

Las formas en que se manifiesta y realiza la situación problema son muy diversas. Lejos de siempre, se revela en forma de una pregunta directa que surgió al comienzo del estudio. El mundo de los problemas es tan complejo como el proceso de cognición que los genera. La identificación de problemas es el núcleo del pensamiento creativo. Las paradojas son el caso más interesante de formas implícitas e incuestionables de plantear problemas. Las paradojas son comunes en las primeras etapas del desarrollo de las teorías científicas, cuando se dan los primeros pasos en un área aún inexplorada y se buscan a tientas los principios más generales de aproximación a la misma.

Paradojas y lógica

En un sentido amplio, una paradoja es una posición que diverge marcadamente de las opiniones ortodoxas generalmente aceptadas y establecidas. “Las opiniones generalmente aceptadas y lo que se considera un asunto decidido hace mucho tiempo, en la mayoría de los casos merecen investigación” (G. Lichtenberg). La paradoja es el comienzo de tal investigación.

Una paradoja en un sentido más estrecho y más especializado son dos afirmaciones opuestas e incompatibles, para cada una de las cuales existen argumentos aparentemente convincentes.

La forma más aguda de paradoja es la antinomia, un razonamiento que prueba la equivalencia de dos enunciados, uno de los cuales es la negación del otro.

Las paradojas son especialmente famosas en las ciencias más rigurosas y exactas: las matemáticas y la lógica. Y esto no es casualidad.

La lógica es una ciencia abstracta. No hay experimentos en él, ni siquiera hechos en el sentido habitual de la palabra. Al construir sus sistemas, la lógica procede en última instancia del análisis del pensamiento real. Pero los resultados de este análisis son sintéticos, indiferenciados. No son declaraciones de ningún proceso o evento separado que la teoría deba explicar. Obviamente, tal análisis no puede llamarse una observación: siempre se observa un fenómeno concreto.

Al construir una nueva teoría, el científico suele partir de los hechos, de lo que se puede observar en el experimento. Por muy libre que sea su imaginación creadora, debe contar con una circunstancia indispensable: una teoría sólo tiene sentido si está de acuerdo con los hechos que le pertenecen. Una teoría que no está de acuerdo con los hechos y las observaciones es exagerada y no tiene valor.

Pero si no hay experimentos en lógica, ni hechos, ni observación en sí misma, entonces, ¿qué frena la fantasía lógica? ¿Qué factores, si no hechos, se tienen en cuenta al crear nuevas teorías lógicas?

La discrepancia entre la teoría lógica y la práctica del pensamiento real se revela a menudo bajo la forma de una paradoja lógica más o menos aguda, ya veces incluso bajo la forma de una antinomia lógica, que habla de la inconsistencia interna de la teoría. Esto sólo explica la importancia que se concede a las paradojas en lógica, y la gran atención que gozan en ella.

Variantes de la paradoja del "mentiroso"

La más famosa y quizás la más interesante de todas las paradojas lógicas es la paradoja del mentiroso. Fue él quien glorificó el nombre de Eubulides de Mileto quien lo descubrió.

Hay variantes de esta paradoja, o antinomia, muchas de las cuales son solo aparentemente paradójicas.

En la versión más simple de "Mentiroso", una persona dice solo una frase: "Estoy mintiendo". O dice: "La declaración que estoy haciendo ahora es falsa". O: "Esta afirmación es falsa".

Si la declaración es falsa, entonces el hablante dijo la verdad y, por lo tanto, lo que dijo no es una mentira. Si la declaración no es falsa y el hablante afirma que es falsa, entonces esta declaración es falsa. Resulta, por tanto, que si el hablante miente, está diciendo la verdad, y viceversa.

En la Edad Media, la siguiente redacción era común:

“Lo que dijo Platón es falso”, dice Sócrates.

“Lo que dijo Sócrates es la verdad”, dice Platón.

Surge la pregunta, ¿cuál de ellos expresa la verdad y cuál es una mentira?

Y he aquí una paradoja moderna de esta paradoja. Supongamos que solo las palabras están escritas en el anverso de la tarjeta: "En el otro lado de esta tarjeta está escrita una declaración verdadera". Está claro que estas palabras representan una declaración significativa. Al dar la vuelta a la tarjeta, debemos encontrar la declaración prometida o no está allí. Si está escrito en la parte de atrás, entonces es cierto o no. Sin embargo, en el reverso están las palabras: "Hay una declaración falsa escrita en el otro lado de esta tarjeta", y nada más. Suponga que la declaración en el anverso es verdadera. Entonces el enunciado del reverso debe ser verdadero y, por lo tanto, el enunciado del frente debe ser falso. Pero si el enunciado del frente es falso, entonces el enunciado del reverso también debe ser falso y, por lo tanto, el enunciado del frente debe ser verdadero. El resultado es una paradoja.

La paradoja del mentiroso causó una gran impresión en los griegos. Y es fácil ver por qué. La pregunta que plantea a primera vista parece bastante sencilla: ¿miente quien sólo dice que miente? Pero la respuesta "sí" lleva a la respuesta "no", y viceversa. Y la reflexión no aclara la situación en absoluto. Detrás de la sencillez y hasta de la rutina de la pregunta, revela una profundidad oscura e inconmensurable.

Incluso existe la leyenda de que un tal Filit Kossky, desesperado por resolver esta paradoja, se suicidó. También se dice que uno de los famosos lógicos griegos antiguos, Diodorus Kronos, ya en sus últimos años, hizo un voto de no comer hasta encontrar la solución del "Mentiroso", y pronto murió sin lograr nada.

En la Edad Media, esta paradoja se remitió a las llamadas oraciones indecidibles y se convirtió en objeto de análisis sistemático.

En los tiempos modernos, el "Mentiroso" no llamó la atención durante mucho tiempo. No vieron ninguna dificultad, ni siquiera menor, en el uso de la lengua. Y solo en nuestros llamados tiempos modernos, el desarrollo de la lógica finalmente ha alcanzado un nivel en el que se ha vuelto posible formular los problemas que parecen estar detrás de esta paradoja en términos estrictos.

Ahora "mentiroso" - este antiguo sofisma típico - se refiere a menudo como el rey de las paradojas lógicas. Se le dedica una extensa literatura científica. Y, sin embargo, como en el caso de muchas otras paradojas, no queda del todo claro qué problemas se esconden detrás y cómo deshacerse de él.

Lenguaje y metalenguaje

Ahora bien, "El mentiroso" suele considerarse un ejemplo característico de las dificultades a las que conduce la confusión de dos idiomas: el idioma en que se habla de una realidad que está fuera de ella, y el idioma en que se habla de la misma. primer idioma.

En el lenguaje cotidiano no hay distinción entre estos niveles: hablamos el mismo lenguaje sobre la realidad y sobre el lenguaje. Por ejemplo, una persona cuyo idioma nativo es el ruso no ve mucha diferencia entre las afirmaciones: "El vidrio es transparente" y "Es cierto que el vidrio es transparente", aunque una de ellas habla de vidrio, y la otra de una afirmación sobre vidrio.

Si alguien tuviera una idea sobre la necesidad de hablar sobre el mundo en un idioma y sobre las propiedades de este idioma en otro, podría usar dos idiomas diferentes existentes, digamos ruso e inglés. En lugar de simplemente decir "La vaca es un sustantivo", diría "La vaca es un sustantivo", y en lugar de "La afirmación 'El vidrio no es transparente' es falsa", diría "La afirmación 'El vidrio no es transparente' es falsa ". Con este uso de dos lenguajes diferentes, lo que se dice del mundo sería claramente diferente de lo que se dice del lenguaje con el que se habla del mundo. De hecho, las primeras declaraciones se referirían al idioma ruso, mientras que la segunda se referiría al inglés.

Si además nuestro experto en idiomas quisiera hablar sobre algunas circunstancias que ya conciernen al idioma inglés, podría usar otro idioma. digamos alemán. Para hablar de esto último se podría recurrir, digamos, al idioma español, etc.

Resulta, por tanto, una especie de escalera, o jerarquía, de lenguajes, cada uno de los cuales se utiliza para un fin muy específico: en el primero se habla del mundo objetivo, en el segundo -de este primer lenguaje, en el tercero - sobre el segundo idioma, etc. Tal distinción entre idiomas según su área de aplicación es una ocurrencia rara en la vida cotidiana. Pero en las ciencias, que, como la lógica, se ocupan específicamente de los lenguajes, a veces resulta muy útil. El lenguaje que se utiliza para hablar del mundo suele denominarse lenguaje objeto. El lenguaje utilizado para describir el lenguaje sujeto se llama metalenguaje.

Es claro que si el lenguaje y el metalenguaje se delimitan de esta manera, el enunciado "Estoy mintiendo" ya no puede formularse. Habla de la falsedad de lo que se dice en ruso y, por tanto, pertenece al metalenguaje y debe expresarse en inglés. Específicamente, debería sonar así: "Todo lo que hablo en ruso es falso" ("Todo lo que digo en ruso es falso"); esta declaración en inglés no dice nada sobre sí misma, y ​​no surge ninguna paradoja.

La distinción entre lenguaje y metalenguaje permite eliminar la paradoja del "mentiroso". Así, se hace posible definir correctamente, sin contradicción, el concepto clásico de verdad: es verdadero un enunciado que corresponde a la realidad que describe.

El concepto de verdad, como todos los demás conceptos semánticos, tiene un carácter relativo: siempre puede atribuirse a un lenguaje particular.

Como mostró el lógico polaco A. Tarski, la definición clásica de verdad debe formularse en un lenguaje más amplio que el lenguaje al que está destinada. En otras palabras, si queremos indicar qué significa la frase “una afirmación verdadera en un idioma dado”, debemos, además de las expresiones de este idioma, también usar expresiones que no están en él.

Tarski introdujo el concepto de un lenguaje semánticamente cerrado. Tal lenguaje incluye, además de sus expresiones, sus nombres, y también, lo que es importante enfatizar, declaraciones sobre la verdad de las oraciones formuladas en él.

No hay límite entre lenguaje y metalenguaje en un lenguaje semánticamente cerrado. Sus medios son tan ricos que permiten no sólo afirmar algo sobre la realidad extralingüística, sino también evaluar la verdad de tales afirmaciones. Estos medios son suficientes, en particular, para reproducir la antinomia "Mentiroso" en el lenguaje. Un lenguaje semánticamente cerrado resulta así autocontradictorio. Todo lenguaje natural es obviamente semánticamente cerrado.

La única forma aceptable de eliminar la antinomia y, por lo tanto, la inconsistencia interna, según Tarski, es abandonar el uso de un lenguaje semánticamente cerrado. Este camino es aceptable, por supuesto, solo en el caso de lenguajes formales y artificiales que permitan una división clara en lenguaje y metalenguaje. En los lenguajes naturales, con su estructura oscura y la capacidad de hablar de todo en el mismo idioma, este enfoque no es muy realista. No tiene sentido plantear la cuestión de la consistencia interna de estos lenguajes. Sus ricas posibilidades expresivas también tienen su inconveniente: las paradojas.

Otras soluciones a la paradoja

Así que hay declaraciones que hablan de su propia verdad o falsedad. La idea de que este tipo de declaraciones no tienen sentido es muy antigua. Fue defendida por el antiguo lógico griego Crisipo.

En la Edad Media, el filósofo y lógico inglés W. Ockham afirmó que la afirmación “Todo enunciado es falso” no tiene sentido, ya que habla, entre otras cosas, de su propia falsedad. De esta afirmación se sigue directamente una contradicción. Si toda proposición es falsa, entonces también lo es la proposición misma; pero que sea falsa significa que no toda proposición es falsa. La situación es similar con la declaración "Toda declaración es verdadera". También debe clasificarse como sin sentido y también conduce a una contradicción: si todo enunciado es verdadero, entonces la negación de este enunciado mismo también es verdadera, es decir, el enunciado de que no todo enunciado es verdadero.

¿Por qué, sin embargo, una declaración no puede hablar significativamente de su propia verdad o falsedad?

Ya contemporáneo de Ockham, el filósofo francés del siglo XIV. J. Buridan no estuvo de acuerdo con su decisión. Desde el punto de vista de las ideas ordinarias sobre la falta de sentido, expresiones como "Estoy mintiendo", "Toda declaración es verdadera (falsa)", etc. bastante significativo. Lo que puedes pensar, lo que puedes decir: este es el principio general de Buridan. Una persona puede pensar sobre la verdad de la afirmación que pronuncia, lo que significa que puede hablar sobre ella. No todas las afirmaciones sobre sí mismos carecen de sentido. Por ejemplo, la afirmación "Esta oración está escrita en ruso" es verdadera, pero la afirmación "Hay diez palabras en esta oración" es falsa. Y ambos tienen perfecto sentido. Si se admite que un enunciado puede hablar de sí mismo, entonces ¿por qué no es capaz de hablar significativamente de una propiedad de sí mismo como la verdad?

El propio Buridan consideró que la declaración "Estoy mintiendo" no tiene sentido, sino que es falsa. Lo justificó así. Cuando una persona afirma una proposición, por lo tanto afirma que es verdadera. Si la oración dice de sí misma que es falsa, entonces es solo una formulación abreviada de una expresión más compleja que afirma tanto su verdad como su falsedad. Esta expresión es contradictoria y por lo tanto falsa. Pero de ninguna manera carece de sentido.

El argumento de Buridan todavía se considera a veces convincente.

Hay otras líneas de crítica a la solución de la paradoja del "mentiroso", que fue desarrollada en detalle por Tarski. ¿Realmente no hay antídoto para paradojas de este tipo en lenguajes semánticamente cerrados, y después de todo, todos los lenguajes naturales lo son?

Si este fuera el caso, entonces el concepto de verdad solo podría definirse de manera rigurosa en lenguajes formalizados. Solo en ellos es posible distinguir entre el lenguaje objetivo en el que las personas hablan sobre el mundo circundante y el metalenguaje en el que hablan sobre este lenguaje. Esta jerarquía de idiomas se basa en la adquisición de un idioma extranjero con la ayuda de un idioma nativo. El estudio de tal jerarquía llevó a muchas conclusiones interesantes, y en ciertos casos es esencial. Pero no existe en el lenguaje natural. ¿Lo desacredita? Y si es así, ¿en qué medida? Después de todo, el concepto de verdad todavía se usa en él y, por lo general, sin complicaciones. ¿Es la introducción de una jerarquía la única forma de eliminar paradojas como Liar?

En la década de 1930, las respuestas a estas preguntas parecían indudablemente afirmativas. Sin embargo, ahora no hay unanimidad anterior, aunque sigue predominando la tradición de eliminar paradojas de este tipo “estratificando” el lenguaje.

Recientemente, las expresiones egocéntricas han llamado cada vez más la atención. Contienen palabras como "yo", "esto", "aquí", "ahora", y su verdad depende de cuándo, por quién, dónde se usan.

En la declaración "Esta declaración es falsa", aparece la palabra "esto". ¿A qué objeto se refiere? "Mentiroso" puede indicar que la palabra "eso" no se refiere al significado de la declaración dada. Pero entonces, ¿a qué se refiere, qué significa? ¿Y por qué este significado todavía no puede ser denotado por la palabra "esto"?

Sin entrar en detalles aquí, solo vale la pena señalar que en el contexto del análisis de las expresiones egocéntricas, "Mentiroso" se llena con un contenido completamente diferente al anterior. Resulta que ya no advierte contra la confusión de lenguaje y metalenguaje, sino que señala los peligros asociados con el mal uso de la palabra "esto" y otras palabras egocéntricas similares.

Los temas que han asociado a lo largo de los siglos a "El Mentiroso" han cambiado radicalmente según se viera como un ejemplo de ambigüedad, o como una expresión que se presentaba exteriormente como un ejemplo de mezcla de lenguaje y metalenguaje, o, finalmente, como un ejemplo típico del mal uso de las expresiones egocéntricas. Y no hay certeza de que otros problemas no se asocien con esta paradoja en el futuro.

El conocido lógico y filósofo finlandés moderno G. von Wright escribió en su trabajo sobre El mentiroso que esta paradoja de ninguna manera debe entenderse como un obstáculo local aislado que puede eliminarse mediante un movimiento de pensamiento inventivo. Liar toca muchos de los temas más importantes de la lógica y la semántica. Esta es la definición de verdad, y la interpretación de contradicción y evidencia, y toda una serie de diferencias importantes: entre una oración y el pensamiento expresado por ella, entre el uso de una expresión y su mención, entre el significado de un nombre y el objeto que denota.

La situación es similar con otras paradojas lógicas. “Las antinomias de la lógica”, escribe von Wright, “nos han desconcertado desde su descubrimiento y probablemente siempre nos desconcertarán. Creo que deberíamos considerarlos no tanto como problemas que esperan ser resueltos, sino como materia prima inagotable para el pensamiento. Son importantes porque pensar en ellos toca las cuestiones más fundamentales de toda lógica y, por lo tanto, de todo pensamiento”.

Como conclusión de esta conversación sobre el "Mentiroso" podemos recordar un curioso episodio de la época en que todavía se enseñaba lógica formal en la escuela. En un libro de texto de lógica publicado a fines de la década de 1940, se pidió a los estudiantes de octavo grado como tarea para el hogar, como calentamiento, por así decirlo, que encontraran el error cometido en esta afirmación de apariencia simple: "Estoy mintiendo". Y, que no parezca extraño, se creía que la mayoría de los escolares hacían frente con éxito a esa tarea.

2. La paradoja de Russell

La más famosa de las paradojas descubiertas ya en nuestro siglo es la antinomia descubierta por B. Russell y comunicada por él en una carta a G. Ferge. La misma antinomia fue discutida simultáneamente en Göttingen por los matemáticos alemanes Z. Zermelo y D. Hilbert.

La idea estaba en el aire, y su publicación produjo la impresión de una bomba explotando. Esta paradoja provocó en las matemáticas, según Hilbert, el efecto de una catástrofe total. Los métodos lógicos más simples e importantes, los conceptos más comunes y útiles, están bajo amenaza.

Inmediatamente se hizo evidente que ni en la lógica ni en las matemáticas, en toda la larga historia de su existencia, se había resuelto nada decididamente que pudiera servir como base para eliminar la antinomia. Era evidente que era necesario apartarse de las formas habituales de pensar. Pero ¿de dónde y en qué dirección? ¿Qué tan radical se suponía que era el rechazo de las formas establecidas de teorizar?

Con un mayor estudio de la antinomia, creció constantemente la convicción de la necesidad de un enfoque fundamentalmente nuevo. Medio siglo después de su descubrimiento, los especialistas en los fundamentos de la lógica y las matemáticas L. Frenkel e I. Bar-Hillel ya afirmaron sin reservas: , hasta ahora invariablemente fallidos, son obviamente insuficientes para este propósito.

El lógico estadounidense moderno H. Curry escribió un poco más tarde acerca de esta paradoja: “En términos de la lógica conocida en el siglo XIX, la situación simplemente desafiaba la explicación, aunque, por supuesto, en nuestra era educada puede haber personas que ven (o creen que ven), ¿cuál es el error?

La paradoja de Russell en su forma original está relacionada con el concepto de conjunto o clase.

Podemos hablar de conjuntos de diferentes objetos, por ejemplo, del conjunto de todas las personas o del conjunto de los números naturales. Un elemento del primer conjunto será cualquier persona individual, un elemento del segundo, cada número natural. También es posible considerar los conjuntos como algunos objetos y hablar de conjuntos de conjuntos. Incluso se pueden introducir conceptos como el conjunto de todos los conjuntos o el conjunto de todos los conceptos.

Conjunto de conjuntos ordinarios

Con respecto a cualquier conjunto tomado arbitrariamente, parece razonable preguntarse si es su propio elemento o no. Los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento se llamarán ordinarios. Por ejemplo, el conjunto de todas las personas no es una persona, así como el conjunto de los átomos no es un átomo. Los conjuntos que son elementos propios serán inusuales. Por ejemplo, un conjunto que une a todos los conjuntos es un conjunto y por tanto se contiene a sí mismo como elemento.

Considere ahora el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. Dado que es un conjunto, también se puede preguntar si es ordinario o inusual. La respuesta, sin embargo, es desalentadora. Si es ordinario, entonces, por definición, debe contenerse a sí mismo como un elemento, ya que contiene todos los conjuntos ordinarios. Pero esto significa que es un conjunto inusual. La suposición de que nuestro conjunto es un conjunto ordinario conduce a una contradicción. Así que no puede ser normal. Por otro lado, tampoco puede ser inusual: un conjunto inusual se contiene a sí mismo como un elemento, y los elementos de nuestro conjunto son solo conjuntos ordinarios. Como resultado, llegamos a la conclusión de que el conjunto de todos los conjuntos ordinarios no puede ser ni ordinario ni extraordinario.

Así, el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos propios es un elemento propio si y sólo si no es tal elemento. Esta es una clara contradicción. Y se obtuvo sobre la base de las suposiciones más plausibles y con la ayuda de pasos aparentemente indiscutibles.

La contradicción dice que tal conjunto simplemente no existe. Pero ¿por qué no puede existir? Después de todo, consiste en objetos que satisfacen una condición bien definida, y la condición en sí misma no parece ser excepcional u oscura. Si un conjunto definido de manera tan simple y clara no puede existir, entonces, ¿cuál es, de hecho, la diferencia entre conjuntos posibles e imposibles? La conclusión sobre la inexistencia del conjunto considerado suena inesperada e inspira ansiedad. Hace que nuestra noción general de un conjunto sea amorfa y caótica, y no hay garantía de que no pueda dar lugar a nuevas paradojas.

La paradoja de Russell es notable por su extrema generalidad. Para su construcción no se necesitan conceptos técnicos complejos, como en el caso de algunas otras paradojas, los conceptos de "conjunto" y "elemento del conjunto" son suficientes. Pero esta simplicidad solo habla de su naturaleza fundamental: toca los fundamentos más profundos de nuestro razonamiento sobre conjuntos, ya que no habla de algunos casos especiales, sino de conjuntos en general.

Otras variantes de la paradoja

La paradoja de Russell no es específicamente matemática. Utiliza el concepto de conjunto, pero no toca ninguna propiedad especial asociada específicamente con las matemáticas.

Esto se hace evidente cuando la paradoja se reformula en términos puramente lógicos.

De toda propiedad se puede, con toda probabilidad, preguntar si es aplicable a sí misma o no.

La propiedad de ser caliente, por ejemplo, no se aplica a sí misma, ya que ella misma no es caliente; la propiedad de ser concreto tampoco se refiere a sí misma, pues es una propiedad abstracta. Pero la propiedad de ser abstracto, de ser abstracto, es aplicable a uno mismo. Llamemos a estas propiedades inaplicables a sí mismas inaplicables. ¿Se aplica la propiedad de ser inaplicable a uno mismo? Resulta que la inaplicabilidad es inaplicable solo si no lo es. Esto es, por supuesto, paradójico.

La versión lógica relacionada con propiedades de la antinomia de Russell es tan paradójica como la versión matemática relacionada con conjuntos.

Russell también propuso la siguiente versión popular de la paradoja que descubrió.

Imagine que el consejo de un pueblo definió los deberes de un barbero de la siguiente manera: afeitar a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, y solo a estos hombres. ¿Debería afeitarse él mismo? Si es así, se referirá a los que se afeitan, y los que se afeitan, no debe afeitarse. Si no, será de los que no se afeitan, y por tanto tendrá que afeitarse él mismo. Llegamos así a la conclusión de que este barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo. Esto, por supuesto, es imposible.

El argumento sobre el barbero se basa en la suposición de que tal barbero existe. La contradicción resultante significa que esta suposición es falsa, y no existe tal aldeano que afeitaría a todos aquellos y solo a aquellos aldeanos que no se afeitan a sí mismos.

Las funciones de un peluquero no parecen contradictorias a primera vista, por lo que la conclusión de que no puede haber una suena un tanto inesperada. Sin embargo, esta conclusión no es paradójica. La condición que debe cumplir el barbero del pueblo es, de hecho, contradictoria y, por lo tanto, imposible. No puede haber tal peluquero en un pueblo por la misma razón que no hay en él ninguna persona que sea mayor que él o que nazca antes de su nacimiento.

El argumento sobre el peluquero se puede llamar una pseudo-paradoja. En su curso, es estrictamente análoga a la paradoja de Russell, y esto es lo que la hace interesante. Pero todavía no es una verdadera paradoja.

Otro ejemplo de la misma pseudoparadoja es el conocido argumento del catálogo.

Cierta biblioteca decidió compilar un catálogo bibliográfico que incluiría todos aquellos y sólo aquellos catálogos bibliográficos que no contienen referencias a sí mismos. ¿Debería dicho directorio incluir un enlace a sí mismo?

Es fácil demostrar que la idea de crear un catálogo de este tipo no es factible; simplemente no puede existir, porque debe incluir simultáneamente una referencia a sí mismo y no incluir.

Es interesante notar que la catalogación de todos los directorios que no contienen referencias a sí mismos puede considerarse como un proceso interminable e interminable. Digamos que en algún momento se compiló un directorio, digamos K1, que incluye todos los demás directorios que no contienen referencias a sí mismos. Con la creación de K1, apareció otro directorio que no contiene un enlace a sí mismo. Dado que el objetivo es hacer un catálogo completo de todos los directorios que no se mencionan a sí mismos, es obvio que K1 no es la solución. Él no menciona uno de estos directorios: él mismo. Incluyendo esta mención de sí mismo en K1, obtenemos el catálogo de K2. Menciona K1, pero no K2 en sí. Al agregar dicha mención a K2, obtenemos KZ, que nuevamente no está completo debido al hecho de que no se menciona a sí mismo. Y sin fin.

3. Paradojas de Grelling y Berry

Los lógicos alemanes K. Grelling y L. Nelson (la paradoja de Grelling) descubrieron una paradoja lógica interesante. Esta paradoja se puede formular de manera muy simple.

Palabras autológicas y heterológicas

Algunas palabras que denotan propiedades tienen la misma propiedad que nombran. Por ejemplo, el adjetivo "ruso" es en sí mismo ruso, "polisílabo" es en sí mismo polisilábico y "cinco sílabas" en sí tiene cinco sílabas. Tales palabras que se refieren a sí mismas se llaman autosignificadas o autológicas.

No hay tantas palabras de este tipo, la gran mayoría de los adjetivos no tienen las propiedades que nombran. "Nuevo" no es, por supuesto, nuevo, "caliente" es caliente, "una sílaba" es una sílaba y "inglés" es inglés. Las palabras que no tienen la propiedad que denotan se llaman alias, o heterológicas. Obviamente, todos los adjetivos que denotan propiedades que no son aplicables a las palabras serán heterológicos.

Esta división de adjetivos en dos grupos parece clara e inobjetable. Puede extenderse a sustantivos: "palabra" es una palabra, "sustantivo" es un sustantivo, pero "reloj" no es un reloj, y "verbo" no es un verbo.

Una paradoja surge tan pronto como se hace la pregunta: ¿a cuál de los dos grupos pertenece el adjetivo "heterológico" en sí mismo? Si es autológico, tiene la propiedad que designa y debe ser heterológico. Si es heterológico, no tiene la propiedad que llama, y ​​por lo tanto debe ser autológico. Hay una paradoja.

Por analogía con esta paradoja, es fácil formular otras paradojas de la misma estructura. Por ejemplo, ¿es o no una persona suicida la que mata a toda persona no suicida y no mata a ninguna persona suicida?

Resultó que la paradoja de Grellig era conocida en la Edad Media como la antinomia de una expresión que no se nombra a sí misma. ¡Uno puede imaginarse la actitud hacia los sofismas y las paradojas en los tiempos modernos, si el problema que requería una respuesta y provocó un animado debate se olvidara repentinamente y se redescubriera solo quinientos años después!

Otra antinomia aparentemente simple fue indicada a principios de nuestro siglo por D. Berry.

El conjunto de los números naturales es infinito. El conjunto de esos nombres de estos números que están disponibles, por ejemplo, en el idioma ruso y contienen menos de, digamos, cien palabras, es finito. Esto significa que hay números naturales para los que no hay nombres en ruso que consten de menos de cien palabras. Entre estos números, obviamente, está el número más pequeño. No se puede llamar por medio de una expresión rusa que contenga menos de cien palabras. Pero la expresión: "El número natural más pequeño, para el cual su nombre complejo no existe en ruso, que consta de menos de cien palabras" ¡es solo el nombre de este número! Este nombre se acaba de formular en ruso y contiene solo diecinueve palabras. Una paradoja obvia: ¡el número mencionado resultó ser el que no tiene nombre!

4. Disputa irresoluble

En el corazón de una famosa paradoja se encuentra lo que parece ser un pequeño incidente que ocurrió hace más de dos mil años y que no se ha olvidado hasta el día de hoy.

El famoso sofista Protágoras, que vivió en el siglo V. BC, había un estudiante llamado Euathlus, que estudiaba derecho. Según el acuerdo concluido entre ellos, Euathlus debía pagar la capacitación solo si ganaba su primera demanda. Si pierde este proceso, no está obligado a pagar nada. Sin embargo, luego de culminar sus estudios, Evatl no participó en los procesos. Duró bastante tiempo, la paciencia del maestro se agotó y presentó una demanda contra su alumno. Por lo tanto, para Euathlus, esta fue la primera prueba. Protágoras justificó su demanda de la siguiente manera:

“Cualquiera que sea la decisión de la corte, Euathlus tendrá que pagarme. Ganará su primera prueba o perderá. Si gana, pagará en virtud de nuestro contrato. Si pierde, pagará de acuerdo con esta decisión.

Aparentemente, Euathlus era un estudiante capaz, ya que respondió a Protágoras:

- Efectivamente, o gano el proceso o lo pierdo. Si gano, la decisión judicial me liberará de la obligación de pagar. Si la decisión judicial no es a mi favor, perdí mi primer caso y no pagaré en virtud de nuestro contrato.

Soluciones a la paradoja de Protágoras y Euathlus

Perplejo por este giro del asunto, Protágoras dedicó un ensayo especial a esta disputa con Euathlus, "Litigación por pago". Lamentablemente, como la mayor parte de lo escrito por Protágoras, no nos llegó. No obstante, hay que rendir homenaje a Protágoras, quien inmediatamente intuyó un problema detrás de un simple incidente judicial que merece un estudio especial.

G. Leibniz, él mismo un abogado de formación, también tomó en serio esta disputa. En su tesis doctoral, "Un estudio de casos intrincados en derecho", trató de demostrar que todos los casos, incluso los más intrincados, como el litigio de Protágoras y Euathlus, deben encontrar una solución correcta sobre la base del sentido común. Según Leibniz, el tribunal debería rechazar a Protágoras por la presentación extemporánea de un reclamo, pero dejarle, sin embargo, el derecho de exigir el pago de dinero por parte de Evatl más tarde, es decir, después del primer proceso que ganó.

Se han propuesto muchas otras soluciones a esta paradoja.

Se refirieron, en particular, al hecho de que una decisión judicial debe tener mayor fuerza que un acuerdo privado entre dos personas. Se puede responder que sin este acuerdo, por insignificante que parezca, no existiría un tribunal ni su decisión. Después de todo, el tribunal debe tomar su decisión precisamente en su ocasión y sobre esta base.

También apelaron al principio general de que toda obra, y por tanto la obra de Protágoras, debe ser remunerada. Pero se sabe que este principio siempre ha tenido excepciones, especialmente en una sociedad esclavista. Además, simplemente no es aplicable a la situación específica de la disputa: después de todo, Protágoras, garantizando un alto nivel de educación, se negó a aceptar el pago en caso de que su alumno reprobara en el primer proceso.

A veces hablan así. Tanto Protágoras como Euathlus tienen razón en parte, y ninguno de ellos en general. Cada uno de ellos tiene en cuenta solo la mitad de las posibilidades que son beneficiosas para él. La consideración completa o exhaustiva abre cuatro posibilidades, de las cuales sólo la mitad es beneficiosa para uno de los litigantes. Cuál de estas posibilidades se realiza, no se decidirá por la lógica, sino por la vida. Si el veredicto de los jueces va a tener más fuerza que el contrato, Euathl tendrá que pagar sólo si pierde el proceso, es decir. en virtud de una sentencia judicial. Sin embargo, si un acuerdo privado se coloca por encima de la decisión de los jueces, entonces Protágoras recibirá el pago solo en caso de perder el proceso ante Evatlus, es decir. en virtud de un acuerdo con Protágoras.

Este llamado a la vida finalmente lo confunde todo. ¿Qué, sino la lógica, puede guiar a los jueces en condiciones en las que todas las circunstancias relevantes están completamente claras? ¿Y qué clase de liderazgo será si Protágoras, que reclama el pago a través de la justicia, lo logra sólo perdiendo el proceso?

Sin embargo, la solución de Leibniz, que en un principio parece convincente, es un poco mejor que la vaga oposición de la lógica y la vida. En esencia, Leibniz propone cambiar retroactivamente la redacción del contrato y estipular que el primer juicio que involucre a Euathlus, cuyo resultado decidirá la cuestión del pago, no debería ser el juicio de Protágoras. Este pensamiento es profundo, pero no relacionado con un tribunal en particular. Si hubiera habido tal cláusula en el acuerdo original, no habría habido necesidad de litigar en absoluto.

Si por la solución de esta dificultad se entiende la respuesta a la pregunta de si Euathlus debe pagar a Protágoras o no, entonces todas estas, como todas las demás soluciones concebibles, son, por supuesto, insostenibles. No son más que una desviación de la esencia de la disputa, son, por así decirlo, artimañas sofísticas y astucias en una situación desesperada e insoluble. Pues ni el sentido común ni ningún principio general relativo a las relaciones sociales puede resolver la disputa.

Es imposible realizar conjuntamente el contrato en su forma original y la decisión del tribunal, cualquiera que sea ésta. Para probar esto, los medios simples de la lógica son suficientes. Por los mismos medios, también se puede demostrar que el tratado, a pesar de su apariencia completamente inocente, es contradictorio en sí mismo. Requiere la realización de una proposición lógicamente imposible: Euathlus debe pagar por la educación y al mismo tiempo no pagar.

Reglas que conducen a un callejón sin salida

La mente humana, acostumbrada no sólo a su fuerza, sino también a su flexibilidad e incluso ingenio, encuentra difícil, por supuesto, reconciliarse con esta absoluta desesperanza y admitir que ha sido conducida a un callejón sin salida. Esto es especialmente difícil cuando el impasse es creado por la mente misma: ella, por así decirlo, tropieza de la nada y cae en sus propias redes. Sin embargo, hay que admitir que a veces, y dicho sea de paso, no tan raramente, los acuerdos y sistemas de reglas, formados espontáneamente o introducidos conscientemente, conducen a situaciones insolubles, desesperanzadoras.

Un ejemplo de la vida reciente del ajedrez confirmará una vez más esta idea.

Las reglas internacionales para las competiciones de ajedrez obligan a los ajedrecistas a registrar el juego jugada por jugada de forma clara y legible. Hasta hace poco, las reglas también establecían que un jugador de ajedrez que se perdiera el registro de varios movimientos debido a la falta de tiempo debe, "tan pronto como termine su problema de tiempo, inmediatamente complete su formulario, anotando los movimientos perdidos". Con base en esta instrucción, un juez de la Olimpiada de Ajedrez de 1980 (Malta) interrumpió el juego, que se desarrollaba con problemas de tiempo, y detuvo el reloj, declarando que se habían realizado los movimientos de control y, por lo tanto, era hora de poner. los registros de los juegos en orden.

“Pero disculpe”, exclamó el participante, que estuvo a punto de perder y contó solo con la intensidad de las pasiones al final del juego, “después de todo, aún no ha caído una sola bandera y nadie puede nunca (como también está escrito en las reglas) puede decir cuántos movimientos se han realizado.

Sin embargo, el árbitro fue apoyado por el árbitro principal, quien dijo que, de hecho, dado que los problemas de tiempo habían terminado, era necesario, siguiendo la letra de las reglas, comenzar a registrar las jugadas falladas.

No tenía sentido discutir en esta situación: las reglas mismas conducían a un callejón sin salida. Solo restaba cambiar su redacción de tal manera que no pudieran presentarse casos similares en el futuro.

Esto se hizo en el congreso de la Federación Internacional de Ajedrez, que se estaba llevando a cabo al mismo tiempo: en lugar de las palabras "tan pronto como termine el apuro de tiempo", las reglas ahora dicen: "tan pronto como la bandera indique el final". de tiempo".

Este ejemplo muestra claramente cómo lidiar con situaciones de interbloqueo. Es inútil discutir sobre qué lado tiene la razón: la disputa es insoluble y no habrá ganador en ella. Solo queda aceptar el presente y cuidar el futuro. Para hacer esto, es necesario reformular los acuerdos o reglas originales de tal manera que no lleven a nadie más a la misma situación desesperada.

Por supuesto, tal curso de acción no es una solución a una disputa insoluble o una salida a una situación desesperada. Es más bien una parada frente a un obstáculo insuperable y un camino a su alrededor.

Paradox "cocodrilo y madre"

En la antigua Grecia era muy popular la historia de un cocodrilo y una madre, coincidiendo en su contenido lógico con la paradoja "Protágoras y Euathlus".

El cocodrilo le arrebató a su hijo a una mujer egipcia que estaba de pie en la orilla del río. A su súplica de devolverle al niño, el cocodrilo, derramando, como siempre, una lágrima de cocodrilo, respondió:

“Tu desgracia me tocó y te daré la oportunidad de recuperar a tu hijo. Adivina si te lo doy o no. Si respondes correctamente, te devolveré al niño. Si no adivinas, no te lo devuelvo.

Pensando, la madre respondió:

No me darás el bebé.

“No lo entenderás”, concluyó el cocodrilo. O decías la verdad o no. Si es cierto que no entregaré al niño, entonces no lo entregaré, porque de lo contrario no será cierto. Si lo que se dijo no es cierto, entonces no lo adivinó, y no le daré al niño por acuerdo.

Sin embargo, este razonamiento no le pareció convincente a la madre.

- Pero si dijera la verdad, entonces me darás al niño, como acordamos. Si no adiviné que no me darás al niño, entonces debes dármelo, de lo contrario, lo que dije no será falso.

¿Quién tiene razón: la madre o el cocodrilo? ¿A qué obliga la promesa hecha al cocodrilo? ¿Para dar al niño o, por el contrario, para no darlo? Y a los dos a la vez. Esta promesa es autocontradictoria y, por lo tanto, no puede cumplirse en virtud de las leyes de la lógica.

El misionero se encontró con los caníbales y llegó justo a tiempo para la cena. Le dejan elegir cómo será comido. Para ello, debe pronunciar alguna declaración con la condición de que si esta declaración resulta ser cierta, la cocinarán, y si resulta ser falsa, la asarán.

¿Qué debe decir el misionero?

Por supuesto, debería decir: "Me vas a freír".

Si está realmente frito, resultará que dijo la verdad y, por lo tanto, debe hervirse. Si lo hierven, su declaración será falsa y solo debe ser frito. Los caníbales no tendrán salida: de “freír” sigue “cocinar”, y viceversa.

Este episodio del astuto misionero es, por supuesto, otra paráfrasis de la disputa entre Protágoras y Euathlus.

Paradoja de Sancho Panza

Una vieja paradoja conocida en la Antigua Grecia es reproducida en Don Quijote por M. Cervantes. Sancho Panza se ha convertido en gobernador de la isla de Barataria y administra la corte.

El primero que se acerca a él es un visitante y le dice: "Mayor, cierta propiedad está dividida en dos mitades por un río profundo ... Entonces, se arrojó un puente sobre este río, y justo allí en el borde se encuentra una horca y hay algo así como un tribunal, en el cual se sientan generalmente cuatro personas que juzgan, y juzgan con base en una ley emitida por el dueño del río, del puente y de toda la finca, ley que está redactada de esta manera: y cualquiera que mienta, sin ninguna indulgencia, envíalo a la horca que se encuentra allí mismo y ejecútalo. Desde que se promulgó esta ley con toda su severidad, muchos lograron cruzar el puente, y tan pronto como los jueces se convencieron de que los transeúntes decían la verdad, los dejaron pasar. Pero entonces un día un hombre que tomó juramento juró y dijo: él jura que vino para ser colgado en esta misma horca, y para nada más. Este juramento dejó perplejos a los jueces, y dijeron: “Si a este hombre se le permite proceder sin obstáculos, entonces esto significará que ha violado el juramento y, de acuerdo con la ley, está sujeto a muerte; si lo ahorcamos, entonces juró que vino solo para ser colgado en esta horca, por lo tanto, resulta que su juramento no es falso, y sobre la base de la misma ley es necesario dejarlo pasar. Y por eso le pregunto a usted, señor gobernador, qué deben hacer los jueces con este hombre, que todavía están perplejos y vacilantes...

Sancho propuso, quizás no sin astucia, que se dejara pasar la mitad del que decía la verdad, y se ahorcara al que mintiera, y de esta manera se observarían las reglas para cruzar el puente en todas sus formas. Este pasaje es interesante en varios aspectos.

En primer lugar, es una clara ilustración del hecho de que la situación desesperada descrita en la paradoja bien puede ser enfrentada -y no en pura teoría, sino en la práctica- si no es una persona real, al menos un héroe literario.

La salida propuesta por Sancho Panza no fue, por supuesto, una solución a la paradoja. Pero esta era solo la solución a la que solo quedaba recurrir en su posición.

Érase una vez, Alejandro Magno, en lugar de desatar el astuto nudo gordiano, que nadie ha logrado hacer todavía, simplemente lo cortó. Sancho hizo lo mismo. Intentar resolver el acertijo en sus propios términos fue inútil, simplemente era irresoluble. Quedaba descartar estas condiciones e introducir las tuyas propias.

Y un momento. Con este episodio, Cervantes condena claramente la escala exorbitantemente formal de la justicia medieval, impregnada del espíritu de la lógica escolástica. Pero ¡cuán extendida estaba en su tiempo -y esto fue hace unos cuatrocientos años- la información procedente del campo de la lógica! No sólo el propio Cervantes conoce esta paradoja. ¡El escritor encuentra posible atribuir a su héroe, un campesino analfabeto, la capacidad de comprender que se enfrenta a una tarea insoluble!

5. Otras paradojas

Las paradojas anteriores son argumentos, cuyo resultado es una contradicción. Pero hay otros tipos de paradojas en la lógica. También señalan algunas dificultades y problemas, pero lo hacen de una manera menos dura e intransigente. Tales, en particular, son las paradojas discutidas a continuación.

Paradojas de conceptos imprecisos

La mayoría de los conceptos no solo del lenguaje natural, sino también del lenguaje de la ciencia son inexactos o, como también se les llama, borrosos. A menudo, esto resulta ser la causa de malentendidos, disputas o simplemente conduce a puntos muertos.

Si el concepto es inexacto, el límite del área de objetos a los que se aplica está desprovisto de nitidez, borroso. Tomemos, por ejemplo, el concepto de "montón". Un grano (un grano de arena, una piedra, etc.) aún no es un montón. Mil granos ya es, obviamente, un montón. ¿Y tres granos? ¿Y diez? ¿Qué cantidad de granos se agregan para formar un montón? No muy claro. Del mismo modo, no está claro con la eliminación de qué grano desaparece el montón.

Inexactas son las características empíricas de "grande", "pesado", "estrecho", etc. Conceptos ordinarios como "hombre sabio", "caballo", "casa", etc. son inexactos.

No hay grano de arena que, al ser removido, podamos decir que con su remoción, lo que queda ya no puede llamarse hogar. Pero después de todo, esto parece significar que en ningún momento del desmantelamiento gradual de la casa -hasta su completa desaparición- ¡hay razón para declarar que no hay casa! La conclusión es claramente paradójica y desalentadora.

Es fácil ver que el argumento sobre la imposibilidad de formar un montón se lleva a cabo utilizando el conocido método de inducción matemática. Un grano no forma un montón. Si n granos no forman montones, entonces n+1 granos no forman montones. Por lo tanto, ningún número de granos puede formar montones.

La posibilidad de que esta y otras pruebas similares lleven a conclusiones absurdas significa que el principio de inducción matemática tiene un alcance limitado. No debe usarse en razonamientos con conceptos vagos e inexactos.

Un buen ejemplo de cómo estos conceptos pueden conducir a disputas irresolubles es un curioso juicio que tuvo lugar en 1927 en Estados Unidos. El escultor C. Brancusi acudió a los tribunales exigiendo que sus obras fueran reconocidas como obras de arte. Entre las obras enviadas a Nueva York para la exposición se encontraba la escultura "Pájaro", que ahora se considera un clásico del estilo abstracto. Se trata de una columna modulada de bronce pulido de aproximadamente un metro y medio de altura, que no tiene ningún parecido exterior con un pájaro. Los funcionarios de aduanas se negaron categóricamente a reconocer las creaciones abstractas de Brancusi como obras de arte. Los pusieron bajo el epígrafe "Utensilios metálicos para el hospital y el hogar" y les impusieron un fuerte arancel aduanero. Indignado, Brancusi demandó.

La costumbre fue apoyada por artistas, miembros de la Academia Nacional, que defendieron los métodos tradicionales en el arte. Ellos actuaron como testigos de la defensa en el juicio e insistieron categóricamente en que el intento de hacer pasar al "Pájaro" como una obra de arte era simplemente una estafa.

Este conflicto enfatiza vívidamente la dificultad de operar con el concepto de "obra de arte". La escultura se considera tradicionalmente una forma de bellas artes. Pero el grado de similitud de la imagen escultórica con el original puede variar dentro de límites muy amplios. ¿Y en qué momento una imagen escultórica, cada vez más alejada del original, deja de ser una obra de arte para convertirse en un “utensilio de metal”? Esta pregunta es tan difícil de responder como la pregunta de dónde está el límite entre una casa y sus ruinas, entre un caballo con cola y un caballo sin cola, etc. Por cierto, los modernistas generalmente están convencidos de que la escultura es un objeto de forma expresiva y no tiene que ser una imagen en absoluto.

Por lo tanto, el manejo de conceptos imprecisos requiere cierta precaución. ¿No sería mejor evitarlos por completo?

El filósofo alemán E. Husserl se inclinaba a exigir un rigor y una precisión tan extremos del conocimiento que no se encuentra ni siquiera en las matemáticas. En relación con esto, los biógrafos de Husserl recuerdan con ironía un incidente que le sucedió en la infancia. Se le presentó una navaja y, decidiendo hacer la hoja lo más afilada posible, la afiló hasta que no quedó nada de la hoja.

Los conceptos más precisos son preferibles a los imprecisos en muchas situaciones. El habitual deseo de aclarar los conceptos utilizados está bastante justificado. Pero debe, por supuesto, tener sus límites. Incluso en el lenguaje de la ciencia, una parte significativa de los conceptos es inexacta. Y esto no está relacionado con los errores subjetivos y aleatorios de los científicos individuales, sino con la naturaleza misma del conocimiento científico. En lenguaje natural, los conceptos imprecisos son abrumadores; esto habla, entre otras cosas, de su flexibilidad y fuerza latente. Cualquiera que exija la máxima precisión de todos los conceptos corre el riesgo de quedarse sin un lenguaje completo. “Privar a las palabras de toda ambigüedad, de toda incertidumbre”, escribió el esteticista francés J. Joubert, “transformarlas... en un solo dígito: el juego dejará el habla, y con ella la elocuencia y la poesía: todo lo que es móvil y cambiante en los afectos del alma, no pueden encontrar su expresión. Pero qué digo: privar ... diré más. Prive a la palabra de cualquier inexactitud, y perderá incluso los axiomas.

Durante mucho tiempo, tanto los lógicos como los matemáticos no prestaron atención a las dificultades asociadas con los conceptos borrosos y sus conjuntos correspondientes. La pregunta se planteó de la siguiente manera: los conceptos deben ser precisos, y cualquier vaguedad no merece un interés serio. En las últimas décadas, sin embargo, esta actitud demasiado estricta ha perdido su atractivo. Las teorías lógicas se construyen teniendo en cuenta específicamente la singularidad del razonamiento con conceptos inexactos.

La teoría matemática de los llamados conjuntos borrosos, colecciones de objetos indistintamente definidas, se encuentra en pleno desarrollo.

El análisis de los problemas de inexactitud es un paso para acercar la lógica a la práctica del pensamiento ordinario. Y podemos suponer que traerá muchos más resultados interesantes.

Paradojas de la lógica inductiva

No hay, quizás, ninguna sección de la lógica que no tenga sus propias paradojas.

La lógica inductiva tiene sus propias paradojas, que se han combatido activamente, aunque hasta ahora sin mucho éxito, durante casi medio siglo. De particular interés es la paradoja de la confirmación descubierta por el filósofo estadounidense K. Hempel. Es natural considerar que las proposiciones generales, en particular las leyes científicas, son confirmadas por sus ejemplos positivos. Si, por ejemplo, se considera la proposición "Todo A es B", entonces sus ejemplos positivos serán objetos que tienen propiedades A y B. En particular, los ejemplos que apoyan la proposición "Todos los cuervos son negros" son objetos que son tanto cuervos como negro. Sin embargo, esta afirmación equivale a la afirmación "Todo lo que no es negro no son cuervos", y una confirmación de la última debe ser también una confirmación de la primera. Pero "Todo lo que no es negro no es un cuervo" es confirmado por cada caso de un objeto no negro que no es un cuervo. Resulta, por tanto, que las observaciones "La vaca es blanca", "Los zapatos son marrones", etc. confirme la afirmación "Todos los cuervos son negros".

Un resultado paradójico inesperado se deriva de premisas aparentemente inocentes.

En la lógica de las normas, varias de sus leyes causan preocupación. Cuando se formulan en términos significativos, su inconsistencia con las nociones habituales de lo correcto y lo incorrecto se vuelve obvia. Por ejemplo, una de las leyes dice que a partir de la orden "¡Envía una carta!" sigue la orden “¡Envía la carta o quémala!”.

Otra ley establece que si una persona viola uno de sus deberes, tiene derecho a hacer lo que quiera. Nuestra intuición lógica no quiere tolerar este tipo de "leyes de obligación".

En la lógica del conocimiento, se discute mucho la paradoja de la omnisciencia lógica. Afirma que una persona conoce todas las consecuencias lógicas que se derivan de las posiciones que toma. Por ejemplo, si una persona conoce los cinco postulados de la geometría de Euclides, entonces, por lo tanto, conoce toda esta geometría, ya que se sigue de ellos. Pero no lo es. Una persona puede estar de acuerdo con los postulados y al mismo tiempo no ser capaz de probar el teorema de Pitágoras y por lo tanto dudar de que sea cierto en general.

6. ¿Qué es una paradoja lógica?

No existe una lista exhaustiva de paradojas lógicas, y es imposible.

Las paradojas consideradas son solo una parte de todas las descubiertas hasta ahora. Es probable que se descubran muchas otras paradojas en el futuro, e incluso tipos completamente nuevos de ellas. El concepto mismo de una paradoja no es tan definido como para que sea posible compilar una lista de al menos paradojas ya conocidas.

“Las paradojas de la teoría de conjuntos son un problema muy serio, no para las matemáticas, sin embargo, sino para la lógica y la epistemología”, escribe el matemático y lógico austriaco K. Gödel. “La lógica es inconsistente. No hay paradojas lógicas”, dice el matemático D. Bochvar. Tales discrepancias son a veces significativas, a veces verbales. El punto está en gran parte en qué se entiende exactamente por una paradoja lógica.

La peculiaridad de las paradojas lógicas.

Una característica necesaria de las paradojas lógicas es el diccionario lógico.

Las paradojas que son lógicas deben formularse en términos lógicos. Sin embargo, en lógica no existen criterios claros para dividir los términos en lógicos y no lógicos. La lógica, que se ocupa de la corrección del razonamiento, trata de reducir al mínimo los conceptos de los que depende la corrección de las conclusiones aplicadas en la práctica. Pero este mínimo no está predeterminado sin ambigüedades. Además, las declaraciones no lógicas también se pueden formular en términos lógicos. Está lejos de ser siempre posible determinar sin ambigüedades si una paradoja particular usa solo premisas puramente lógicas.

Las paradojas lógicas no están rígidamente separadas de todas las demás paradojas, así como estas últimas no se distinguen claramente de todo lo que no es paradójico y es consistente con las ideas predominantes.

Al comienzo del estudio de las paradojas lógicas, parecía que podían distinguirse por la violación de alguna posición o regla de la lógica aún no explorada. El principio del círculo vicioso introducido por B. Russell fue especialmente activo al reclamar el papel de tal regla. Este principio establece que una colección de objetos no puede contener miembros definidos solo por la misma colección.

Todas las paradojas tienen una cosa en común: la autoaplicabilidad o la circularidad. En cada uno de ellos, el objeto en cuestión se caracteriza por algún conjunto de objetos a los que pertenece. Si seleccionamos, por ejemplo, a la persona más astuta, lo hacemos con la ayuda de una población de personas a la que pertenece esa persona. Y si decimos: "Esta declaración es falsa", caracterizamos la declaración que nos interesa al referirnos a la totalidad de todas las declaraciones falsas que la incluyen.

En todas las paradojas, hay una autoaplicabilidad de los conceptos, lo que significa que hay, por así decirlo, movimiento en un círculo, que conduce al final al punto de partida. En un esfuerzo por caracterizar el objeto que nos interesa, nos dirigimos al conjunto de objetos que lo incluye. Sin embargo, resulta que, para su definición, él mismo necesita el objeto bajo consideración y no puede entenderse claramente sin él. En este círculo, tal vez, se encuentra la fuente de las paradojas.

Sin embargo, la situación se complica por el hecho de que tal círculo existe en muchos argumentos completamente no paradójicos. Circular es una gran variedad de las formas de expresión más comunes, inofensivas y al mismo tiempo convenientes. Ejemplos como "la más grande de todas las ciudades", "el más pequeño de todos los números naturales", "uno de los electrones del átomo de hierro", etc., muestran que no todos los casos de autoaplicabilidad conducen a una contradicción y que es importante no sólo en el lenguaje ordinario, sino también en el lenguaje de la ciencia.

Una mera referencia al uso de conceptos autoaplicados es, por lo tanto, insuficiente para desacreditar las paradojas. Se necesita algún criterio adicional para separar la autoaplicabilidad, que conduce a una paradoja, de todos los demás casos de la misma.

Ha habido muchas propuestas en este sentido, pero no se ha encontrado ninguna aclaración exitosa de la circularidad. Resultó imposible caracterizar la circularidad de tal manera que todo razonamiento circular conduzca a una paradoja, y toda paradoja sea el resultado de algún razonamiento circular.

Un intento de encontrar algún principio específico de la lógica, cuya violación sería un rasgo distintivo de todas las paradojas lógicas, no condujo a nada definitivo.

Sin duda sería útil algún tipo de clasificación de las paradojas, subdividiéndolas en tipos y tipos, agrupando unas paradojas y oponiéndolas a otras. Sin embargo, tampoco se ha logrado nada sostenible en este caso.

El lógico inglés F. Ramsey, fallecido en 1930, cuando no tenía ni veintisiete años, propuso dividir todas las paradojas en sintácticas y semánticas. El primero incluye, por ejemplo, la paradoja de Russell, el segundo, las paradojas del "Mentiroso", Grelling, etc.

Según Ramsey, las paradojas del primer grupo contienen solo conceptos pertenecientes a la lógica o las matemáticas. Estos últimos incluyen conceptos como "verdad", "definibilidad", "nombramiento", "lenguaje", que no son estrictamente matemáticos, sino más bien relacionados con la lingüística o incluso con la teoría del conocimiento. Las paradojas semánticas parecen deber su aparición no a algún error de lógica, sino a la vaguedad o ambigüedad de algunos conceptos no lógicos, por lo que los problemas que plantean conciernen al lenguaje y deben ser resueltos por la lingüística.

A Ramsey le parecía que los matemáticos y los lógicos no tenían por qué estar interesados ​​en las paradojas semánticas. Más tarde resultó, sin embargo, que algunos de los resultados más significativos de la lógica moderna se obtuvieron precisamente en relación con un estudio más profundo de precisamente estas paradojas no lógicas.

La división de paradojas propuesta por Ramsey fue muy utilizada al principio y conserva cierta importancia incluso ahora. Al mismo tiempo, cada vez es más claro que esta división es bastante vaga y se basa principalmente en ejemplos, y no en un análisis comparativo en profundidad de los dos grupos de paradojas. Los conceptos semánticos ahora están bien definidos y es difícil no reconocer que estos conceptos son de hecho lógicos. Con el desarrollo de la semántica, que define sus conceptos básicos en términos de teoría de conjuntos, la distinción hecha por Ramsey se vuelve cada vez más borrosa.

Paradojas y lógica moderna

¿Qué conclusiones para la lógica se derivan de la existencia de paradojas?

En primer lugar, la presencia de un gran número de paradojas habla de la fortaleza de la lógica como ciencia, y no de su debilidad, como podría parecer.

No fue casualidad que el descubrimiento de las paradojas coincidiera con el período de mayor desarrollo de la lógica moderna y de sus mayores éxitos.

Las primeras paradojas se descubrieron incluso antes del surgimiento de la lógica como ciencia especial. Muchas paradojas fueron descubiertas en la Edad Media. Más tarde, sin embargo, resultaron ser olvidados y redescubiertos ya en nuestro siglo.

Los lógicos medievales no conocían los conceptos de "conjunto" y "elemento del conjunto", introducidos en la ciencia solo en la segunda mitad del siglo XIX. Pero el talento para las paradojas se perfeccionó en la Edad Media hasta tal punto que ya en esa época se expresaron ciertas preocupaciones sobre conceptos autoaplicables. El ejemplo más simple de esto es la noción de "ser elemento propio" que aparece en muchas de las paradojas de hoy.

Sin embargo, tales temores, como todas las advertencias sobre paradojas en general, no fueron sistemáticos y definitivos hasta nuestro siglo. No dieron lugar a propuestas claras de revisión de las formas habituales de pensar y expresarse.

Sólo la lógica moderna ha sacado del olvido el problema mismo de las paradojas, descubierto o redescubierto la mayoría de las paradojas lógicas específicas. Mostró además que las formas de pensar tradicionalmente exploradas por la lógica son completamente insuficientes para eliminar las paradojas, e indicó métodos fundamentalmente nuevos para tratarlas.

Las paradojas plantean una pregunta importante: ¿dónde, de hecho, fallan algunos de los métodos habituales de formación de conceptos y razonamiento? Después de todo, parecían completamente naturales y convincentes, hasta que resultó que eran paradójicos.

Las paradojas socavan la creencia de que los métodos habituales de pensamiento teórico por sí mismos y sin ningún control especial sobre ellos proporcionan un progreso fiable hacia la verdad.

Las paradojas, que requieren un cambio radical en un enfoque excesivamente crédulo de la teorización, son una dura crítica de la lógica en su forma ingenua e intuitiva. Juegan el papel de un factor que controla y pone restricciones en la forma de construir sistemas lógicos deductivos. Y este papel de ellos se puede comparar con el papel de un experimento que prueba la corrección de las hipótesis en ciencias como la física y la química, y las obliga a realizar cambios en estas hipótesis.

Una paradoja en una teoría habla de la incompatibilidad de los supuestos que la sustentan. Actúa como un síntoma de la enfermedad detectado oportunamente, sin el cual podría haber pasado desapercibido.

Por supuesto, la enfermedad se manifiesta de muchas maneras y, al final, es posible revelarla sin síntomas tan agudos como las paradojas. Por ejemplo, los fundamentos de la teoría de conjuntos se analizarían y refinarían incluso si no se descubrieran paradojas en esta área. Pero no habría habido esa agudeza y urgencia con que las paradojas descubiertas en él plantearon el problema de revisar la teoría de conjuntos.

Se dedica una extensa literatura a las paradojas, se ha propuesto una gran cantidad de sus explicaciones. Pero ninguna de estas explicaciones es universalmente aceptada, y no existe un acuerdo completo sobre el origen de las paradojas y cómo deshacerse de ellas.

“Durante los últimos sesenta años, se han dedicado cientos de libros y artículos al objetivo de resolver paradojas, pero los resultados son sorprendentemente pobres en comparación con los esfuerzos invertidos”, escribe A. Frenkel. “Parece”, concluye H. Curry en su análisis de las paradojas, “que se requiere una reforma completa de la lógica, y la lógica matemática puede convertirse en la principal herramienta para llevar a cabo esta reforma”.

Eliminación y explicación de paradojas.

Cabe señalar una diferencia importante.

Eliminar paradojas y resolverlas no es lo mismo. Eliminar una paradoja de cierta teoría significa reestructurarla de tal manera que la afirmación paradójica resulte indemostrable en ella. Cada paradoja se basa en un gran número de definiciones, suposiciones y argumentos. Su conclusión en teoría es una cierta cadena de razonamiento. Hablando formalmente, uno puede cuestionar cualquiera de sus eslabones, descartarlo y así romper la cadena y eliminar la paradoja. En muchas obras, esto se hace y se limita a esto.

Pero esta no es todavía la resolución de la paradoja. No basta con encontrar la manera de excluirlo, hay que justificar de manera convincente la solución propuesta. La misma duda de que algún paso conduzca a una paradoja debe estar bien fundada.

En primer lugar, la decisión de abandonar algunos medios lógicos utilizados en la derivación de un enunciado paradójico debe vincularse a nuestras consideraciones generales sobre la naturaleza de la prueba lógica y otras intuiciones lógicas. De no ser así, la eliminación de la paradoja resulta desprovista de fundamentos sólidos y estables y degenera en una tarea predominantemente técnica.

Además, el rechazo de una suposición, incluso si elimina alguna paradoja en particular, no garantiza automáticamente la eliminación de todas las paradojas. Esto sugiere que las paradojas no deben ser "cazadas" una por una. La exclusión de una de ellas siempre debe estar tan justificada que exista cierta garantía de que otras paradojas serán eliminadas por el mismo paso.

Cada vez que se descubre una paradoja, escribe A. Tarsky, “debemos someter nuestra forma de pensar a una revisión exhaustiva, rechazar algunas suposiciones en las que creíamos y mejorar los métodos de argumentación que usamos. Hacemos esto en un esfuerzo no solo por deshacernos de las antinomias, sino también para prevenir la aparición de otras nuevas.

Y finalmente, un rechazo irreflexivo y descuidado de demasiados supuestos o demasiado fuertes puede llevar simplemente al hecho de que, aunque no contiene paradojas, resultará ser una teoría mucho más débil que solo tiene un interés particular.

¿Cuál puede ser el conjunto mínimo y menos radical de medidas para evitar las conocidas paradojas?

gramática lógica

Una forma es destacar, junto con las oraciones verdaderas y falsas, también las oraciones sin sentido. Este camino fue adoptado por B. Russell. Él declaró que el razonamiento paradójico carecía de sentido debido a que violaba los requisitos de la gramática lógica. No todas las oraciones que no violen las reglas de la gramática ordinaria son significativas; también deben satisfacer las reglas de una gramática lógica especial.

Russell construyó una teoría de tipos lógicos, una especie de gramática lógica, cuya tarea era eliminar todas las antinomias conocidas. Posteriormente, esta teoría se simplificó sustancialmente y se denominó teoría simple de los tipos.

La idea principal de la teoría de los tipos es la asignación de tipos de objetos lógicamente diferentes, la introducción de una especie de jerarquía o escalera de los objetos en consideración. El tipo más bajo, o nulo, incluye objetos individuales que no son conjuntos. El primer tipo incluye conjuntos de objetos de tipo cero, es decir individuos; al segundo: conjuntos de conjuntos de individuos, etc. En otras palabras, se hace una distinción entre objetos, propiedades de objetos, propiedades de propiedades de objetos, etc. Al mismo tiempo, se introducen ciertas restricciones a la construcción de propuestas. Las propiedades se pueden atribuir a los objetos, las propiedades de las propiedades a las propiedades, etc. Pero es imposible afirmar significativamente que los objetos tienen propiedades de propiedades.

Tomemos una serie de sugerencias:

Esta casa es roja.

El rojo es un color.

El color es un fenómeno óptico.

En estas oraciones, la expresión "esta casa" denota cierto objeto, la palabra "rojo" indica la propiedad inherente a este objeto, "ser un color" - a la propiedad de esta propiedad ("ser rojo") y " ser un fenómeno óptico" - indica la propiedad de la propiedad "ser un color" perteneciente a la propiedad "ser rojo". Aquí estamos tratando no solo con los objetos y sus propiedades, sino también con las propiedades de las propiedades ("la propiedad de ser rojo tiene la propiedad de ser un color"), e incluso con las propiedades de las propiedades de las propiedades.

Las tres oraciones de la serie anterior son, por supuesto, significativas. Se construyen de acuerdo con los requisitos de la teoría de tipos. Y digamos que la oración "Esta casa es un color" viola estos requisitos. Le atribuye a un objeto esa característica que sólo puede pertenecer a las propiedades, pero no a los objetos. Una violación similar está contenida en la oración "Esta casa es un fenómeno óptico". Ambas propuestas deben clasificarse como sin sentido.

Una simple teoría de tipos elimina la paradoja de Russell. Sin embargo, para eliminar las paradojas de Liar y Berry, simplemente dividir los objetos en consideración en tipos ya no es suficiente. Es necesario introducir algún orden adicional dentro de los propios tipos.

La eliminación de paradojas también se puede lograr evitando el uso de conjuntos demasiado grandes, similares al conjunto de todos los conjuntos. Este camino fue propuesto por el matemático alemán E. Zermelo, quien relacionó la aparición de paradojas con la construcción ilimitada de conjuntos. Los conjuntos admisibles fueron definidos por él por una lista de axiomas formulados de tal manera que no se deducirían de ellos las paradojas conocidas. Al mismo tiempo, estos axiomas eran lo suficientemente fuertes como para deducir de ellos los argumentos habituales de las matemáticas clásicas, pero sin paradojas.

Ni estas dos ni las otras formas propuestas de eliminar las paradojas son generalmente aceptadas. No existe la creencia común de que alguna de las teorías propuestas resuelva las paradojas lógicas, y no simplemente las descarte sin una explicación profunda. El problema de explicar las paradojas sigue abierto y sigue siendo importante.

El futuro de las paradojas

G. Frege, el más grande lógico del siglo pasado, lamentablemente tenía muy mal carácter. Además, fue sin reservas e incluso cruel con sus críticas a sus contemporáneos.

Quizás por eso su contribución a la lógica y fundamento de las matemáticas no recibió reconocimiento durante mucho tiempo. Y cuando la fama empezó a llegar a él, el joven lógico inglés B. Russell le escribió que surge una contradicción en el sistema publicado en el primer volumen de su libro Las leyes fundamentales de la aritmética. El segundo volumen de este libro ya estaba impreso, y Frege solo pudo agregarle un apéndice especial, en el que describió esta contradicción (más tarde llamada "la paradoja de Russell") y admitió que no pudo eliminarla.

Sin embargo, las consecuencias de este reconocimiento fueron trágicas para Frege. Experimentó el mayor shock. Y aunque entonces solo tenía 55 años, no publicó otro trabajo significativo sobre lógica, aunque vivió más de veinte años. Ni siquiera respondió a la animada discusión provocada por la paradoja de Russell, y no reaccionó de ninguna manera a las muchas soluciones propuestas para esta paradoja.

La impresión que las paradojas recién descubiertas causaron en matemáticos y lógicos fue bien expresada por D. Hilbert: “... El estado en que nos encontramos ahora en relación con las paradojas es insoportable durante mucho tiempo. Piénsalo: en las matemáticas -ese modelo de certeza y verdad- la formación de conceptos y el curso de las inferencias, como todos los estudian, enseñan y aplican, conduce al absurdo. ¿Dónde buscar la fiabilidad y la verdad, si incluso el propio pensamiento matemático falla?

Frege fue un típico representante de la lógica de finales del siglo XIX, libre de todo tipo de paradojas, lógica, segura de sí misma y que pretendía ser un criterio de rigor incluso para las matemáticas. Las paradojas demostraron que el rigor absoluto logrado por la supuesta lógica no era más que una ilusión. Sin lugar a dudas, demostraron que la lógica, en la forma intuitiva que tenía a principios de siglo, necesita una revisión profunda.

Ha pasado alrededor de un siglo desde que comenzó la animada discusión sobre las paradojas. La revisión de la lógica emprendida no condujo, sin embargo, a su resolución unívoca.

Y, al mismo tiempo, tal estado apenas preocupa a nadie hoy en día. Con el tiempo, las actitudes hacia las paradojas se han vuelto más tranquilas e incluso más tolerantes que en el momento en que se descubrieron. No es solo que las paradojas se hayan convertido en algo familiar. Y, por supuesto, tampoco es que los aguanten. Todavía permanecen en el centro de atención de los lógicos, la búsqueda de sus soluciones continúa activamente. La situación cambió principalmente porque las paradojas resultaron estar, por así decirlo, localizadas. Han encontrado su lugar definitivo, aunque problemático, en una amplia gama de estudios lógicos. Quedó claro que la austeridad absoluta, tal como fue retratada a fines del siglo pasado e incluso a veces a principios de este siglo, es, en principio, un ideal inalcanzable.

También se percibió que no existe un solo problema de paradojas que sea único. Los problemas asociados con ellos son de diferentes tipos y afectan, de hecho, a todas las secciones principales de la lógica. El descubrimiento de una paradoja nos obliga a analizar más profundamente nuestras intuiciones lógicas y a emprender una reelaboración sistemática de los fundamentos de la ciencia de la lógica. Al mismo tiempo, el deseo de evitar las paradojas no es la única tarea, ni siquiera, quizás, la principal. Aunque son importantes, son sólo una ocasión para reflexionar sobre los temas centrales de la lógica. Continuando con la comparación de paradojas con síntomas de enfermedad particularmente pronunciados, se podría decir que el deseo de eliminar inmediatamente las paradojas sería como un deseo de eliminar tales síntomas sin preocuparse demasiado por la enfermedad misma. Lo que se requiere no es solo la resolución de paradojas, sino su explicación, lo que profundiza nuestra comprensión de los patrones lógicos de pensamiento.

7. Algunas paradojas, o lo que se parece a ellas

Y para concluir esta breve discusión de paradojas lógicas, he aquí algunos problemas que el lector encontrará útil para reflexionar. Es necesario decidir si las afirmaciones y los razonamientos dados son realmente paradojas lógicas o solo lo parecen. Para hacer esto, obviamente, uno debería reestructurar de alguna manera el material de origen y tratar de derivar una contradicción de él: tanto la afirmación como la negación de lo mismo sobre lo mismo. Si se encuentra una paradoja, puede pensar qué causa su aparición y cómo eliminarla. Incluso puede intentar encontrar su propia paradoja del mismo tipo, es decir, construido según el mismo esquema, pero sobre la base de otros conceptos.

1. El que dice: "No sé nada" hace una afirmación aparentemente paradójica y autocontradictoria. Afirma, en esencia, "Sé que no sé nada". Pero el conocimiento de que no hay conocimiento sigue siendo conocimiento. Esto quiere decir que el hablante, por un lado, asegura que no tiene ningún conocimiento, y por otro lado, por la misma afirmación de esto dice que sí tiene algún conocimiento. ¿Qué pasa aquí?

Reflexionando sobre esta dificultad, se puede recordar que Sócrates expresó una idea similar con más cuidado. Él dijo: "Sólo sé que no sé nada". Por otro lado, otro griego antiguo, Metrodoro, afirmaba con total convicción: “No sé nada y ni siquiera sé que no sé nada”. ¿Hay una paradoja en esta afirmación?

2. Los eventos históricos son únicos. La historia, si se repite, es, según una conocida expresión, la primera vez como una tragedia, y la segunda como una farsa. De la singularidad de los hechos históricos se deriva a veces la idea de que la historia no enseña nada. “Quizás la mayor lección de la historia”, escribe O. Huxley, “realmente reside en el hecho de que nadie ha aprendido nunca nada de la historia”.

Es poco probable que esta idea sea correcta. El pasado es precisamente lo que se estudia principalmente para comprender mejor el presente y el futuro. Otra cosa es que las "lecciones" del pasado, por regla general, son ambiguas.

¿No es contradictoria la creencia de que la historia no enseña nada? Después de todo, se sigue de la historia como una de sus lecciones. ¿No sería mejor para los defensores de esta idea formularla de tal manera que no se aplique a ellos mismos: "La historia enseña la única cosa - no se puede aprender nada de ella" o "La historia no enseña nada más que esta lección de ella"?

3. "Probado que no hay prueba". Esto parece ser un enunciado internamente contradictorio: es una prueba, o presupone una prueba ya hecha (“ha sido probado que…”) y al mismo tiempo afirma que no hay prueba.

El conocido escéptico antiguo Sextus Empiricus propuso la siguiente solución: en lugar de la afirmación anterior, aceptar la afirmación "Se ha probado que no hay otra prueba que esta" (o: "Se ha probado que no hay otra prueba probada que esta"). que esto"). ¿Pero no es esta salida ilusoria? Después de todo, se afirma, en esencia, que solo hay una y única prueba: la prueba de la inexistencia de cualquier evidencia ("Hay una y única prueba: la prueba de que no hay otras pruebas"). ¿Cuál es entonces la operación de la prueba misma, si, a juzgar por esta afirmación, fue posible realizarla sólo una vez? En cualquier caso, la propia opinión de Sextus sobre el valor de la evidencia no era muy alta. Escribió, en particular: “Así como tienen razón los que obran sin pruebas, también los tienen los que, estando inclinados a dudar, presentan sin fundamento la opinión contraria”.

4. "Ningún enunciado es negativo", o más simplemente: "No hay enunciados negativos". Sin embargo, esta expresión en sí misma es una declaración y es precisamente negativa. Parece una paradoja. ¿Qué reformulación de esta afirmación podría evitar la paradoja?

El filósofo y lógico medieval Zh. El burro, como cualquier otro animal, se esfuerza por elegir lo mejor de dos cosas. Los dos brazos son completamente indistinguibles entre sí y, por lo tanto, no puede preferir ninguno de ellos. Sin embargo, este "burro de Buridan" no está en los escritos del propio Buridan. En lógica, Buridan es muy conocido, y en particular por su libro sobre los sofismas. Contiene la siguiente conclusión, relevante para nuestro tema: ningún enunciado es negativo; por lo tanto, hay una proposición negativa. ¿Está justificada esta conclusión?

5. La descripción de N.V. Gogol del juego de damas de Chichikov con Nozdrev es bien conocida. Su juego nunca terminó, Chichikov notó que Nozdryov estaba haciendo trampa y se negó a jugar por miedo a perder. Recientemente, un especialista en damas reconstruyó a partir de los comentarios de quienes jugaron el curso de este juego y mostró que la posición de Chichikov aún no era desesperada.

Supongamos que Chichikov, sin embargo, continuó el juego y finalmente ganó el juego, a pesar de las artimañas de su compañero. Según el acuerdo, el perdedor Nozdryov tenía que darle a Chichikov cincuenta rublos y "algún cachorro de clase media o un sello de oro por un reloj". Pero lo más probable es que Nozdryov se niegue a pagar, señalando que él mismo hizo trampa durante todo el juego, y que no seguir las reglas no es, por así decirlo, un juego. Chichikov podría haber objetado que hablar de fraude está fuera de lugar aquí: el propio perdedor engañó, lo que significa que debe pagar aún más.

De hecho, ¿tendría que pagar Nozdryov en tal situación o no? Por un lado, sí, porque perdió. Pero por otro lado, no, ya que un juego que no está de acuerdo con las reglas no es un juego en absoluto; No puede haber un ganador o un perdedor en tal “juego”. Si el propio Chichikov hubiera hecho trampa, Nozdryov, por supuesto, no se habría visto obligado a pagar. Pero, sin embargo, fue el perdedor Nozdryov quien engañó ...

Aquí se siente algo paradójico: “por un lado…”, “por otro lado…”, y, además, por ambos lados es igualmente convincente, aunque estos lados sean incompatibles.

¿Debe Nozdryov seguir pagando o no?

6. "Toda regla tiene excepciones". Pero esta afirmación es en sí misma una regla. Como todas las demás reglas, debe tener excepciones. Tal excepción sería obviamente la regla "Hay reglas que no tienen excepciones". ¿No hay una paradoja en todo? ¿Cuál de los ejemplos anteriores se parece a estas dos reglas? ¿Es permisible razonar así: toda regla tiene excepciones; ¿Significa eso que hay reglas sin excepciones?

7. "Toda generalización es incorrecta". Está claro que esta afirmación resume la experiencia de la operación mental de generalización y es en sí misma una generalización. Como todas las demás generalizaciones, debe estar equivocada. Entonces, debe haber verdaderas generalizaciones. Sin embargo, ¿es correcto argumentar así: toda generalización es incorrecta, por lo tanto, hay generalizaciones verdaderas?

8. Cierto escritor compuso un "Epitafio para todos los géneros" diseñado para probar que los géneros literarios, cuya distinción causó tanta controversia, están muertos y no pueden ser recordados.

Pero el epitafio, por su parte, también es un género en cierto modo, el género de las inscripciones en lápidas, que se desarrolló en la antigüedad y entró en la literatura como una especie de epigrama:

Aquí descanso: Jimmy Hogg.
Que Dios me perdone mis pecados,
¿Qué haría yo si fuera Dios?
Y él es el difunto Jimmy Hogg.

De modo que el epitafio de todos los géneros, sin excepción, peca como de incoherencia. ¿Cuál es la mejor forma de reformularlo?

9. "Nunca digas nunca". Prohibiendo el uso de la palabra "nunca", ¡tienes que usar esta palabra dos veces!

Lo mismo parece ocurrir con el consejo: "Ya es hora de que los que dicen 'ya es hora' digan algo más que 'ya es hora'".

¿Hay una inconsistencia peculiar en tal consejo, y puede evitarse?

10. En el poema "No creas", publicado, por supuesto, en la sección "Poesía irónica", su autor recomienda no creer en nada:

... No creas en el poder mágico del fuego:
Se quema mientras se le coloca leña.
No creas en el caballo de melena dorada
¡No para cualquier pan de jengibre dulce!
No creas que las manadas de estrellas
Corriendo en un torbellino sin fin.
Pero, ¿qué te quedará entonces?
No creas lo que dije.
No creas.

(V. Prudovsky)

Pero, ¿es real esta incredulidad general? Aparentemente, es contradictorio y, por tanto, lógicamente imposible.

11. Supongamos que, contrariamente a la creencia común, todavía hay personas poco interesantes. Reunámoslos mentalmente y elijamos entre ellos el más pequeño en altura, o el más grande en peso, o algún otro "más ...". Sería interesante mirar a esta persona, por lo que lo incluimos innecesariamente en la lista de personas sin interés. Habiéndolo excluido, volveremos a encontrar entre los restantes “el mismo…” en el mismo sentido, y así sucesivamente. Y todo esto hasta que solo quede una persona sin nadie con quien comparar. ¡Pero resulta que esto es exactamente lo que le interesa! Como resultado, llegamos a la conclusión de que no hay personas poco interesantes. Y el argumento comenzó con el hecho de que tales personas existen.

Uno puede, en particular, tratar de encontrar entre las personas poco interesantes a las menos interesantes de todas las que no lo son. En esto, sin duda, será interesante, y tendrá que ser excluido de las personas poco interesantes. Entre el resto, de nuevo, está el menos interesante, y así sucesivamente.

Definitivamente hay un toque de paradoja en estos argumentos. ¿Hay algún error aquí, y si es así, cuál es?

12. Digamos que le dan una hoja de papel en blanco y le piden que describa esta hoja en ella. Escribes: se trata de una hoja rectangular, blanca, de tales y tales dimensiones, hecha de fibras de madera prensadas, etc.

La descripción parece estar completa. ¡Pero está claramente incompleto! En el proceso de descripción, el objeto cambió: apareció texto en él. Por lo tanto, también es necesario agregar a la descripción: y además, en esta hoja de papel está escrito: esta es una hoja de forma rectangular, blanca ... etc. hasta el infinito.

Parece una paradoja aquí, ¿no?

Una conocida canción infantil:

el cura tenia un perro
El la amaba
Ella comió un trozo de carne.
El la mató.
Asesinado y enterrado
Y en la pizarra escribió:
"El cura tenía un perro..."

¿Podría este pop amante de los perros terminar su lápida? ¿No se asemeja la composición de esta inscripción a la descripción completa de una hoja de papel sobre sí misma?

13. Un autor da este "sutil" consejo: "Si los pequeños trucos no te permiten lograr lo que quieres, recurre a los grandes trucos". Este consejo se ofrece bajo el título "Trucos del oficio". ¿Pero es realmente uno de esos trucos? Después de todo, los "pequeños trucos" no ayudan, y solo por eso tienes que recurrir a este consejo.

14. Llamamos normal a un juego si termina en un número finito de movimientos. Ejemplos de juegos normales son el ajedrez, las damas, el dominó: estos juegos siempre terminan con la victoria de una de las partes o con un empate. El juego, que no es normal, continúa indefinidamente sin ningún resultado. Introduzcamos también la noción de un superjuego: el primer paso de un juego de este tipo es determinar qué juego debe jugarse. Si, por ejemplo, tú y yo tenemos la intención de jugar un súper juego y soy dueño del primer movimiento, puedo decir: "Juguemos al ajedrez". Luego, en respuesta, realiza el primer movimiento del juego de ajedrez, digamos, e2 - e4, y continuamos el juego hasta que finaliza (en particular, debido a la expiración del tiempo asignado por las reglas del torneo). Como mi primer paso, puedo sugerir jugar tres en raya y cosas por el estilo. Pero el juego que elija debe ser normal; no se puede elegir un juego que no es normal.

Surge un problema: ¿el superjuego en sí es normal o no? Supongamos que este es un juego normal. Dado que puede elegir cualquiera de los juegos normales como primer movimiento, puedo decir: "Juguemos al superjuego". Después de eso, el súper juego ha comenzado y el próximo movimiento es tuyo. Tienes derecho a decir: "Juguemos un súper juego". Puedo repetir: "Juguemos al súper juego" y así el proceso puede continuar indefinidamente. Por lo tanto, el superjuego no se aplica a los juegos normales. Pero debido al hecho de que el superjuego no es normal, no puedo sugerir un superjuego con mi primer movimiento en el superjuego; Tengo que elegir el juego normal. Pero la elección de un juego normal que tiene un final contradice el hecho probado de que el superjuego no pertenece a los normales.

Entonces, ¿el superjuego es un juego normal o no?

Al tratar de responder a esta pregunta, uno no debería, por supuesto, seguir el camino fácil de las distinciones puramente verbales. La forma más sencilla es decir que un juego normal es un juego y un súper juego es solo una broma.

¿A qué otras paradojas recuerda esta paradoja de que el superjuego es normal y anormal al mismo tiempo?

Literatura

Bayif J. K. Tareas de lógica. -M., 1983.

Bourbaki N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - M., 1963.

Gardner M. ¡Vamos, adivina! – M.: 1984.

Ivin A.A. Según las leyes de la lógica. -M., 1983.

Klini S.K. Lógica matemática. - M., 1973.

Smallian R.M. ¿Cuál es el nombre de este libro? – M.: 1982.

Smallian R.M. ¿Princesa o tigre? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Fundamentos de la teoría de conjuntos. - M., 1966.

preguntas de examen

¿Cuál es el significado de las paradojas para la lógica?

¿Qué soluciones se propusieron para la paradoja del mentiroso?

¿Cuáles son las características de un lenguaje semánticamente cerrado?

¿Cuál es la esencia de la paradoja de muchos conjuntos ordinarios?

¿Hay solución a la disputa entre Protágoras y Euathlus? ¿Qué soluciones se propusieron para esta disputa?

¿Cuál es la esencia de la paradoja de los nombres inexactos?

¿Cuál podría ser la peculiaridad de las paradojas lógicas?

¿Qué conclusiones para la lógica se derivan de la existencia de paradojas lógicas?

¿Cuál es la diferencia entre eliminar y explicar una paradoja? ¿Cuál es el futuro de las paradojas lógicas?

Temas de resúmenes e informes

El concepto de una paradoja lógica.

La paradoja del mentiroso

la paradoja de russell

Paradoja "Protágoras y Euathlus"

El papel de las paradojas en el desarrollo de la lógica.

Perspectivas para resolver paradojas

Distinción entre lenguaje y metalenguaje

Eliminación y resolución de paradojas

Se sabe que formular un problema suele ser más importante y más difícil que resolverlo. “En ciencia”, escribió el químico inglés F. Soddy, “un problema correctamente planteado está resuelto en más de la mitad. El proceso de preparación mental requerido para descubrir que hay una tarea particular a menudo toma más tiempo que la tarea misma.

Las formas en que se manifiesta y realiza la situación problema son muy diversas. Lejos de siempre, se revela en forma de una pregunta directa que surgió al comienzo del estudio. El mundo de los problemas es tan complejo como el proceso de cognición que los genera. La identificación de problemas es el núcleo del pensamiento creativo. Las paradojas son el caso más interesante de formas implícitas e incuestionables de plantear problemas. paradojas son comunes en las primeras etapas del desarrollo de las teorías científicas, cuando se dan los primeros pasos en un área aún inexplorada y se tantean los principios más generales de aproximación a la misma.

En un amplio sentido paradoja - esta posición está totalmente en desacuerdo con las opiniones ortodoxas generalmente aceptadas y establecidas. “Las opiniones generalmente aceptadas y lo que se considera una cuestión de decisión a largo plazo, en la mayoría de los casos merecen investigación” (G. Lichtenberg). La paradoja es el comienzo de tal investigación.

Paradoja en un sentido más estrecho y más especial - son dos afirmaciones opuestas e incompatibles, para cada una de las cuales existen argumentos aparentemente convincentes.

La forma más extrema de la paradoja es antinomia, un argumento que prueba la equivalencia de dos enunciados, uno de los cuales es la negación del otro.

Las paradojas son especialmente famosas en las ciencias más rigurosas y exactas: las matemáticas y la lógica. Y no es casualidad.

La lógica es una araña abstracta. No hay experimentos en él, ni siquiera hechos en el sentido habitual de la palabra. Construyendo sus sistemas, la lógica procede, en última instancia, del análisis del pensamiento real. Según los resultados de este análisis son sintéticos, indiferenciados. No son declaraciones de ningún proceso o evento separado que la teoría deba explicar. Obviamente, tal análisis no puede llamarse una observación: siempre se observa un fenómeno concreto.

Al construir una nueva teoría, el científico suele partir de los hechos, de lo que se puede observar en el experimento. Por muy libre que sea su imaginación creadora, debe contar con una circunstancia indispensable: una teoría sólo tiene sentido si está de acuerdo con los hechos que le pertenecen. Una teoría que no está de acuerdo con los hechos y las observaciones es exagerada y no tiene valor.

Pero si no hay experimentos en lógica, ni hechos, ni observación en sí misma, entonces, ¿qué frena la fantasía lógica? ¿Qué factores, si no hechos, se tienen en cuenta al crear nuevas teorías lógicas?

La discrepancia entre la teoría lógica y la práctica del pensamiento real se revela a menudo bajo la forma de una paradoja lógica más o menos aguda, ya veces incluso bajo la forma de una antinomia lógica, que habla de la inconsistencia interna de la teoría. Esto sólo explica la importancia que se concede a las paradojas en lógica, y la gran atención que gozan en ella.

"Rey de las paradojas lógicas"

La más famosa y quizás la más interesante de todas las paradojas lógicas es la paradoja del mentiroso. Fue él quien glorificó el nombre de Eubulides de Mileto quien lo descubrió.

Hay variantes de esta paradoja, o antinomia, muchas de las cuales son paradójicas solo en apariencia.

En la versión más simple de "Mentiroso", una persona dice solo una frase: "Estoy mintiendo". O dice: "La declaración que estoy haciendo ahora es falsa". O: "Esta afirmación es falsa".

Si la declaración es falsa, entonces el hablante dijo la verdad y, por lo tanto, lo que dijo no es una mentira. Si la declaración no es falsa y el hablante afirma que es falsa, entonces esta declaración es falsa. Resulta, por tanto, que si el hablante miente, está diciendo la verdad, y viceversa.

En la Edad Media, la siguiente redacción era común:

• - Lo que dijo Platón es falso, dice Sócrates.
• “Lo que dijo Sócrates es la verdad”, dice Platón. Surge la pregunta, ¿cuál de ellos expresa la verdad y cuál es una mentira?

Y he aquí una paradoja moderna de esta paradoja. Supongamos que solo las palabras están escritas en el anverso de la tarjeta: "Una declaración verdadera está escrita en el otro lado de esta tarjeta". Está claro que estas palabras representan una declaración significativa. Al dar la vuelta a la tarjeta, debemos encontrar la declaración prometida o no está allí. Si está escrito en la parte de atrás, entonces es cierto o no. Sin embargo, en el reverso están las palabras: "Hay una declaración falsa escrita en el otro lado de esta tarjeta", y nada más. Suponga que la declaración en el anverso es verdadera. Entonces el enunciado del reverso debe ser verdadero y, por lo tanto, el enunciado del frente debe ser falso. Pero si el enunciado del frente es falso, entonces el enunciado del reverso también debe ser falso y, por lo tanto, el enunciado del frente debe ser verdadero. El resultado es una paradoja.

La paradoja del mentiroso causó una gran impresión en los griegos. Y es fácil ver por qué. La pregunta que plantea a primera vista parece bastante sencilla: ¿es mentiroso quien sólo dice que miente? Pero la respuesta "sí" lleva a la respuesta "no", y viceversa. Y la reflexión no aclara la situación en absoluto. Detrás de la sencillez y hasta de la rutina de la pregunta, revela una profundidad oscura e inconmensurable.

Incluso existe la leyenda de que un tal Filit Kossky, desesperado por resolver esta paradoja, se suicidó. También se dice que uno de los famosos lógicos griegos antiguos, Diodorus Kronos, ya en sus últimos años, juró no comer hasta encontrar la solución del "Mentiroso", y pronto murió, sin haber logrado nada.

En la Edad Media, esta paradoja se remitió a las llamadas oraciones indecidibles y se convirtió en objeto de análisis sistemático.

Y durante mucho tiempo, "Liar" no llamó la atención durante mucho tiempo. No vieron ninguna dificultad, ni siquiera menor, en el uso de la lengua. Y solo en nuestros llamados tiempos modernos, el desarrollo de la lógica finalmente alcanzó un nivel en el que fue posible formular los problemas que parecen estar detrás de esta paradoja en términos estrictos.

Ahora "mentiroso" - este antiguo sofisma típico - se refiere a menudo como el rey de las paradojas lógicas. Se le dedica una extensa literatura científica. Y, sin embargo, como en el caso de muchas otras paradojas, no queda del todo claro qué problemas se esconden detrás y cómo deshacerse de él.