Fórmula de división de logaritmos con bases iguales. Solución de ecuaciones logarítmicas. Guía completa (2019)

El enfoque de este artículo es logaritmo. Aquí damos la definición del logaritmo, mostramos designación aceptada, dar ejemplos de logaritmos y hablar sobre logaritmos naturales y decimales. Después de eso, considere la identidad logarítmica básica.

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Definición de logaritmo

El concepto de logaritmo surge al resolver un problema en en cierto sentido inversa cuando necesitas encontrar el exponente valor conocido grado y base conocida.

Pero suficiente preámbulo, es hora de responder a la pregunta "¿qué es un logaritmo"? Demos una definición apropiada.

Definición.

Logaritmo de b en base a, donde a>0 , a≠1 y b>0 es el exponente al que debes elevar el número a para obtener b como resultado.

En esta etapa, observamos que la palabra hablada "logaritmo" debería plantear inmediatamente dos preguntas: "qué número" y "sobre qué base". En otras palabras, simplemente no hay logaritmo, sino solo el logaritmo de un número en alguna base.

Inmediatamente te presentaremos notación logarítmica: el logaritmo del número b en base a generalmente se denota como log a b . El logaritmo del número b en base e y el logaritmo en base 10 tienen sus propias designaciones especiales lnb y lgb respectivamente, es decir, no escriben log e b , sino lnb , y no log 10 b , sino lgb .

Ahora puedes traer: .
y los registros no tienen sentido, ya que en el primero de ellos bajo el signo del logaritmo es un numero negativo, en el segundo, un número negativo en la base, y en el tercero, tanto un número negativo bajo el signo del logaritmo como una unidad en la base.

Ahora hablemos de reglas para leer logaritmos. El registro de entrada a b se lee como "logaritmo de b en base a". Por ejemplo, log 2 3 es el logaritmo de tres en base 2, y es el logaritmo de dos punto dos tercios en base Raíz cuadrada de cinco El logaritmo en base e se llama logaritmo natural, y la notación lnb se lee como "el logaritmo natural de b". Por ejemplo, ln7 es el logaritmo natural de siete y lo leeremos como el logaritmo natural de pi. El logaritmo en base 10 también tiene un nombre especial: logaritmo decimal, y la notación lgb se lee como "logaritmo decimal b". Por ejemplo, lg1 es el logaritmo decimal de uno y lg2.75 es el logaritmo decimal de dos coma setenta y cinco centésimas.

Vale la pena detenerse por separado en las condiciones a>0, a≠1 yb>0, bajo las cuales se da la definición del logaritmo. Expliquemos de dónde vienen estas restricciones. Para hacer esto, nos ayudará una igualdad de la forma, llamada , que se sigue directamente de la definición del logaritmo dada arriba.

Comencemos con a≠1 . Dado que uno es igual a uno elevado a cualquier potencia, entonces la igualdad solo puede ser cierta para b=1, pero log 1 1 puede ser cualquier número real. Para evitar esta ambigüedad, se acepta a≠1.

Justifiquemos la conveniencia de la condición a>0. Con a=0, por la definición del logaritmo, tendríamos igualdad, lo cual es posible solo con b=0. Pero entonces log 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero a cualquier potencia distinta de cero es cero. Esta ambigüedad se puede evitar con la condición a≠0. y por un<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Finalmente, la condición b>0 se sigue de la desigualdad a>0 , ya que , y el valor del grado con base positiva a es siempre positivo.

En conclusión de este párrafo, decimos que la definición expresada del logaritmo le permite indicar inmediatamente el valor del logaritmo cuando el número debajo del signo del logaritmo es un cierto grado de base. De hecho, la definición del logaritmo nos permite afirmar que si b=a p , entonces el logaritmo del número b en base a es igual a p . Es decir, la igualdad log a a p =p es verdadera. Por ejemplo, sabemos que 2 3 =8 , luego log 2 8=3 . Hablaremos más sobre esto en el artículo.

Se dan las propiedades básicas del logaritmo natural, gráfico, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, desarrollo en serie de potencias y representación de la función lnx por medio de números complejos.

Definición

logaritmo natural es la función y = en x, inversa al exponente, x \u003d e y , y que es el logaritmo en base al número e: ln x = log e x.

El logaritmo natural se usa mucho en matemáticas porque su derivada tiene la forma más simple: (ln x)′ = 1/ x.

Basado definiciones, la base del logaritmo natural es el número mi:
mi ≅ 2.718281828459045...;
.

Gráfica de la función y = en x.

Gráfica del logaritmo natural (funciones y = en x) se obtiene a partir de la gráfica del exponente por reflexión especular sobre la recta y = x .

El logaritmo natural se define para valores positivos de x. Crece monótonamente en su dominio de definición.

Como x → 0 el límite del logaritmo natural es menos infinito ( - ∞ ).

Como x → + ∞, el límite del logaritmo natural es más infinito ( + ∞ ). Para x grande, el logaritmo aumenta con bastante lentitud. Cualquier función de potencia x a con un exponente positivo a crece más rápido que el logaritmo.

Propiedades del logaritmo natural

Dominio de definición, conjunto de valores, extremos, aumento, disminución

El logaritmo natural es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo natural se presentan en la tabla.

en valores de x

registro 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturales

Fórmulas derivadas de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo de base

Cualquier logaritmo se puede expresar en términos de logaritmos naturales utilizando la fórmula de cambio de base:

Las pruebas de estas fórmulas se presentan en la sección "Logaritmo".

Función inversa

El recíproco del logaritmo natural es el exponente.

si, entonces

Si, entonces.

Derivada ln x

Derivada del logaritmo natural:
.
Derivada del logaritmo natural del módulo x:
.
Derivada de orden n:
.
Derivación de fórmulas > > >

Integral

La integral se calcula por integración por partes:
.
Asi que,

Expresiones en términos de números complejos

Considere una función de una variable compleja z :
.
Expresemos la variable compleja z a través del módulo r y argumento φ :
.
Usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O
.
El argumento φ no está definido de manera única. si ponemos
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes n.

Por lo tanto, el logaritmo natural, en función de una variable compleja, no es función de un solo valor.

Expansión de la serie de potencia

Para , la expansión tiene lugar:

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

Con este video comienzo una larga serie de lecciones sobre ecuaciones logarítmicas. Ahora tiene tres ejemplos a la vez, en base a los cuales aprenderemos a resolver las tareas más simples, que se llaman así: protozoos.

registro 0,5 (3x - 1) = -3

largo (x + 3) = 3 + 2 largo 5

Déjame recordarte que la ecuación logarítmica más simple es la siguiente:

log a f(x) = b

Es importante que la variable x esté presente solo dentro del argumento, es decir, solo en la función f(x). Y los números a y b son solo números, y en ningún caso son funciones que contengan la variable x.

Métodos básicos de solución.

Hay muchas maneras de resolver este tipo de estructuras. Por ejemplo, la mayoría de los maestros en la escuela sugieren de esta manera: Expresar inmediatamente la función f ( x ) usando la fórmula F( x) = un segundo Es decir, cuando se encuentra con la construcción más simple, puede proceder inmediatamente a la solución sin acciones ni construcciones adicionales.

Sí, por supuesto, la decisión resultará ser correcta. Sin embargo, el problema con esta fórmula es que la mayoría de los estudiantes no entiendo, de dónde viene y por qué exactamente elevamos la letra a a la letra b.

Como resultado, a menudo observo errores muy ofensivos, cuando, por ejemplo, se intercambian estas cartas. Esta fórmula debe entenderse o memorizarse, y el segundo método conduce a errores en los momentos más inoportunos y cruciales: en exámenes, pruebas, etc.

Es por eso que sugiero a todos mis alumnos que abandonen la fórmula escolar estándar y usen el segundo enfoque para resolver ecuaciones logarítmicas, que, como probablemente adivinaron por el nombre, se llama forma canónica.

La idea de la forma canónica es simple. Miremos de nuevo nuestra tarea: a la izquierda tenemos log a , mientras que la letra a significa exactamente el número, y en ningún caso la función que contiene la variable x. Por tanto, esta letra está sujeta a todas las restricciones que se imponen sobre la base del logaritmo. a saber:

1 ≠ un > 0

Por otro lado, de la misma ecuación, vemos que el logaritmo debe ser es igual al numero b , y no se imponen restricciones a esta letra, porque puede tomar cualquier valor, tanto positivo como negativo. Todo depende de qué valores tome la función f(x).

Y aquí recordamos nuestra maravillosa regla de que cualquier número b puede representarse como un logaritmo en base a desde a elevado a b:

b = log a a b

¿Cómo recordar esta fórmula? Sí, muy sencillo. Escribamos la siguiente construcción:

segundo = segundo 1 = segundo iniciar sesión un un

Eso sí, en este caso surgen todas las restricciones que apuntábamos al principio. Y ahora usemos la propiedad básica del logaritmo e ingresemos el factor b como la potencia de a. Obtenemos:

segundo = segundo 1 = segundo iniciar sesión un a = iniciar sesión un segundo

Como resultado, la ecuación original se reescribirá de la siguiente forma:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Eso es todo. La nueva función ya no contiene un logaritmo y se resuelve mediante técnicas algebraicas estándar.

Por supuesto, alguien ahora objetará: ¿por qué fue necesario encontrar algún tipo de fórmula canónica, por qué realizar dos pasos adicionales innecesarios, si era posible pasar inmediatamente de la construcción original a la fórmula final? Sí, aunque solo sea porque la mayoría de los estudiantes no entienden de dónde viene esta fórmula y, como resultado, cometen errores regularmente al aplicarla.

Pero tal secuencia de acciones, que consta de tres pasos, le permite resolver la ecuación logarítmica original, incluso si no comprende de dónde proviene esa fórmula final. Por cierto, esta entrada se llama fórmula canónica:

log a f(x) = log a a b

La conveniencia de la forma canónica también radica en el hecho de que puede usarse para resolver una clase muy amplia de ecuaciones logarítmicas, y no solo las más simples que estamos considerando hoy.

Ejemplos de solución

Y ahora consideremos ejemplos reales. Así que decidamos:

registro 0,5 (3x - 1) = -3

Reescribámoslo así:

registro 0,5 (3x − 1) = registro 0,5 0,5 −3

Muchos estudiantes tienen prisa e intentan elevar inmediatamente el número 0,5 a la potencia que nos llegó del problema original. Y, de hecho, cuando ya esté bien capacitado para resolver tales problemas, puede realizar este paso de inmediato.

Sin embargo, si ahora recién está comenzando a estudiar este tema, es mejor no apresurarse a ningún lado para no cometer errores ofensivos. Entonces tenemos la forma canónica. Tenemos:

3x - 1 = 0,5 -3

Esta ya no es una ecuación logarítmica, sino lineal con respecto a la variable x. Para resolverlo, primero tratemos con el número 0.5 elevado a −3. Tenga en cuenta que 0,5 es 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Todos decimales convierte a normal cuando resuelves una ecuación logarítmica.

Reescribimos y obtenemos:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Todos tenemos la respuesta. La primera tarea está resuelta.

Segunda tarea

Pasemos a la segunda tarea:

Como puedes ver, esta ecuación ya no es la más simple. Aunque solo sea porque la diferencia está a la izquierda, y no un solo logaritmo en una base.

Por lo tanto, debe deshacerse de alguna manera de esta diferencia. En este caso, todo es muy simple. Echemos un vistazo más de cerca a las bases: a la izquierda está el número debajo de la raíz:

Recomendación general: en todas las ecuaciones logarítmicas, intente deshacerse de los radicales, es decir, las entradas con raíces, y pase a funciones de poder, simplemente porque los exponentes de estas potencias se quitan fácilmente del signo del logaritmo y, al final, tal notación simplifica y acelera enormemente los cálculos. Escribámoslo así:

Ahora recordamos la notable propiedad del logaritmo: del argumento, así como de la base, puedes sacar grados. En el caso de las bases sucede lo siguiente:

log a k b = 1/k loga b

En otras palabras, el número que estaba en el grado de la base se adelanta y al mismo tiempo se voltea, es decir, se convierte en el recíproco del número. En nuestro caso, había un grado de base con un indicador de 1/2. Por lo tanto, podemos sacarlo como 2/1. Obtenemos:

5 2 logaritmo 5 x − logaritmo 5 x = 18
10 logaritmo 5 x − logaritmo 5 x = 18

Tenga en cuenta: en ningún caso debe deshacerse de los logaritmos en este paso. Piense en las matemáticas de los grados 4-5 y el orden de las operaciones: primero se realiza la multiplicación, y solo luego se realizan la suma y la resta. En este caso, restamos uno de los mismos elementos de 10 elementos:

9 registro 5 x = 18
registro 5 x = 2

Ahora nuestra ecuación se ve como debería. Este es diseño más simple, y lo resolvemos con la forma canónica:

registro 5 x = registro 5 5 2
x = 5 2
x=25

Eso es todo. El segundo problema está resuelto.

Tercer ejemplo

Pasemos a la tercera tarea:

largo (x + 3) = 3 + 2 largo 5

Recuerda la siguiente fórmula:

logaritmo b = logaritmo 10 b

Si por alguna razón está confundido al escribir lg b , entonces al hacer todos los cálculos, simplemente puede escribir log 10 b . Puedes trabajar con logaritmos decimales de la misma manera que con los demás: sacar potencias, sumar y representar cualquier número como lg 10.

Son precisamente estas propiedades las que usaremos ahora para resolver el problema, ya que no es la más simple que escribimos al comienzo de nuestra lección.

Para empezar, tenga en cuenta que el factor 2 antes de lg 5 se puede insertar y se convierte en una potencia de base 5. Además, el término libre 3 también se puede representar como un logaritmo; esto es muy fácil de observar a partir de nuestra notación.

Juzgue usted mismo: cualquier número se puede representar como logaritmo en base 10:

3 = registro 10 10 3 = registro 10 3

Reescribamos el problema original teniendo en cuenta los cambios recibidos:

largo (x − 3) = largo 1000 + largo 25
largo (x − 3) = largo 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Ante nosotros está nuevamente la forma canónica, y la obtuvimos pasando por alto la etapa de transformaciones, es decir, la ecuación logarítmica más simple no apareció en ninguna parte con nosotros.

Eso es de lo que estaba hablando al principio de la lección. La forma canónica permite resolver una clase de problemas más amplia que la estándar. fórmula escolar dado por la mayoría de los maestros de escuela.

Eso es todo, nos deshacemos del signo del logaritmo decimal y obtenemos una construcción lineal simple:

x + 3 = 25.000
x = 24997

¡Todos! Problema resuelto.

Una nota sobre el alcance

Aquí me gustaría hacer una observación importante sobre el dominio de la definición. Seguro que ahora habrá alumnos y profesores que dirán: “¡Cuando resolvemos expresiones con logaritmos, es imprescindible recordar que el argumento f(x) debe ser mayor que cero!” Al respecto, surge una pregunta lógica: ¿por qué en ninguno de los problemas considerados requerimos que se satisfaga esta desigualdad?

No te preocupes. No aparecerán raíces adicionales en estos casos. Y este es otro gran truco que te permite acelerar la solución. Solo sepa que si en el problema la variable x aparece solo en un lugar (o más bien, en el único argumento del único logaritmo), y en ningún otro lugar en nuestro caso aparece la variable x, entonces escriba el dominio no es necesario porque se ejecutará automáticamente.

Juzgue usted mismo: en la primera ecuación, obtuvimos que 3x - 1, es decir, el argumento debe ser igual a 8. Esto automáticamente significa que 3x - 1 será mayor que cero.

Con el mismo éxito, podemos escribir que en el segundo caso, x debe ser igual a 5 2, es decir, ciertamente es mayor que cero. Y en el tercer caso, donde x + 3 = 25.000, es decir, de nuevo, evidentemente mayor que cero. En otras palabras, el alcance es automático, pero solo si x ocurre solo en el argumento de un solo logaritmo.

Eso es todo lo que necesitas saber para resolver problemas simples. Esta regla por sí sola, junto con las reglas de transformación, le permitirá resolver una clase muy amplia de problemas.

Pero seamos honestos: para finalmente tratar esta técnica, para aprender a aplicar la forma canónica ecuación logarítmica No basta con ver un video tutorial. Por lo tanto, descarga ahora mismo las opciones de solución independiente que se adjuntan a este videotutorial y comienza a resolver al menos uno de estos dos trabajos independientes.

Te llevará solo unos minutos. Pero el efecto de dicho entrenamiento será mucho mayor en comparación con si solo vieras este video tutorial.

Espero que esta lección te ayude a comprender las ecuaciones logarítmicas. Aplique la forma canónica, simplifique las expresiones usando las reglas para trabajar con logaritmos, y no tendrá miedo de ninguna tarea. Y eso es todo lo que tengo por hoy.

Consideración del alcance

Ahora hablemos sobre el dominio de la función logarítmica, y cómo esto afecta la solución de ecuaciones logarítmicas. Considere una construcción de la forma

log a f(x) = b

Tal expresión se llama la más simple: solo tiene una función, y los números a y b son solo números, y en ningún caso son una función que dependa de la variable x. Se resuelve de forma muy sencilla. Solo necesitas usar la fórmula:

b = log a a b

Esta fórmula es una de las propiedades clave del logaritmo y, al sustituirla en nuestra expresión original, obtenemos lo siguiente:

log a f(x) = log a a b

f(x) = un segundo

Esta ya es una fórmula familiar de los libros de texto escolares. Muchos estudiantes probablemente tendrán una pregunta: dado que la función f ( x ) en la expresión original está bajo el signo logarítmico, se le imponen las siguientes restricciones:

f(x) > 0

Esta restricción es válida porque el logaritmo de números negativos no existe. Entonces, tal vez debido a esta limitación, ¿debería introducir una verificación de respuestas? ¿Quizás necesitan ser sustituidos en la fuente?

No, en las ecuaciones logarítmicas más simples no es necesaria una verificación adicional. Y es por eso. Echa un vistazo a nuestra fórmula final:

f(x) = un segundo

El hecho es que el número a en cualquier caso es mayor que 0; este requisito también lo impone el logaritmo. El número a es la base. En este caso, no se imponen restricciones al número b. Pero esto no importa, porque no importa en qué grado elevemos un número positivo, aún obtendremos un número positivo en la salida. Así, el requisito f (x) > 0 se cumple automáticamente.

Lo que realmente vale la pena verificar es el alcance de la función bajo el signo de registro. Puede haber estructuras bastante complejas, y en el proceso de resolverlas, definitivamente debes seguirlas. Echemos un vistazo.

Primera tarea:

Primer paso: convertir la fracción de la derecha. Obtenemos:

Nos deshacemos del signo del logaritmo y obtenemos la ecuación irracional habitual:

De las raíces obtenidas, solo nos conviene la primera, ya que la segunda raíz es menor que cero. La única respuesta será el número 9. Eso es todo, el problema está resuelto. No se requieren verificaciones adicionales de que la expresión bajo el signo del logaritmo sea mayor que 0, porque no solo es mayor que 0, sino que por la condición de la ecuación es igual a 2. Por lo tanto, el requisito "mayor que cero" se cumple automáticamente. cumplido.

Pasemos a la segunda tarea:

Todo es lo mismo aquí. Reescribimos la construcción, reemplazando el triple:

Nos deshacemos de los signos del logaritmo y obtenemos una ecuación irracional:

Elevamos al cuadrado ambas partes, teniendo en cuenta las restricciones, y obtenemos:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x2 = x2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Resolvemos la ecuación resultante a través del discriminante:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x1 = −1

x2 \u003d -6

Pero x = −6 no nos conviene, porque si sustituimos este número en nuestra desigualdad, obtenemos:

−6 + 4 = −2 < 0

En nuestro caso se requiere que sea mayor que 0 o, en casos extremos, igual. Pero x = −1 nos conviene:

−1 + 4 = 3 > 0

La única respuesta en nuestro caso es x = −1. Esa es toda la solución. Volvamos al principio de nuestros cálculos.

La conclusión principal de esta lección es que no es necesario verificar los límites de una función en las ecuaciones logarítmicas más simples. Porque en el proceso de resolución todas las restricciones se ejecutan automáticamente.

Sin embargo, esto de ninguna manera significa que pueda olvidarse por completo de la verificación. En el proceso de trabajar en una ecuación logarítmica, bien puede convertirse en una irracional, que tendrá sus propias limitaciones y requisitos para el lado derecho, que hemos visto hoy en dos ejemplos diferentes.

Siéntase libre de resolver tales problemas y tenga especial cuidado si hay una raíz en el argumento.

Ecuaciones logarítmicas con diferentes bases

Seguimos estudiando ecuaciones logarítmicas y analizamos dos trucos más bastante interesantes con los que está de moda resolver estructuras más complejas. Pero primero, recordemos cómo se resuelven las tareas más simples:

log a f(x) = b

En esta notación, a y b son solo números, y en la función f (x) la variable x debe estar presente, y solo allí, es decir, x debe estar solo en el argumento. Transformaremos tales ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Para esto, notamos que

b = log a a b

Y a b es solo un argumento. Reescribamos esta expresión de la siguiente manera:

log a f(x) = log a a b

Esto es exactamente lo que estamos tratando de lograr, de modo que tanto a la izquierda como a la derecha haya un logaritmo en base a. En este caso, podemos, en sentido figurado, tachar los signos de log, y desde el punto de vista de las matemáticas, podemos decir que simplemente equiparamos los argumentos:

f(x) = un segundo

Como resultado, obtenemos una nueva expresión que será mucho más fácil de resolver. Apliquemos esta regla a nuestras tareas de hoy.

Así que el primer diseño:

En primer lugar, observo que hay una fracción a la derecha, cuyo denominador es log. Cuando veas una expresión como esta, vale la pena recordar la maravillosa propiedad de los logaritmos:

Traducido al ruso, esto significa que cualquier logaritmo se puede representar como un cociente de dos logaritmos con cualquier base c. por supuesto, 0< с ≠ 1.

Entonces: esta fórmula tiene un maravilloso caso especial cuando la variable c es igual a la variable b. En este caso, obtenemos una construcción de la forma:

Es esta construcción la que observamos en el signo de la derecha de nuestra ecuación. Reemplacemos esta construcción con log a b , obtenemos:

En otras palabras, en comparación con la tarea original, hemos intercambiado el argumento y la base del logaritmo. En cambio, tuvimos que voltear la fracción.

Recordamos que cualquier grado puede ser descontado de la base según la siguiente regla:

En otras palabras, el coeficiente k, que es el grado de la base, se saca como una fracción invertida. Saquemoslo como una fracción invertida:

El factor fraccionario no se puede dejar delante, porque en este caso no podremos representar esta entrada como una forma canónica (después de todo, en la forma canónica no hay ningún factor adicional delante del segundo logaritmo). Por lo tanto, pongamos la fracción 1/4 en el argumento como potencia:

Ahora igualamos los argumentos cuyas bases son iguales (y realmente tenemos las mismas bases), y escribimos:

X + 5 = 1

x = −4

Eso es todo. Obtuvimos la respuesta a la primera ecuación logarítmica. Preste atención: en el problema original, la variable x aparece solo en un registro y está en su argumento. Por lo tanto, no hay necesidad de verificar el dominio y nuestro número x = −4 es, de hecho, la respuesta.

Ahora pasemos a la segunda expresión:

registro 56 = registro 2 registro 2 7 − 3 registro (x + 4)

Aquí, además de los logaritmos habituales, tendremos que trabajar con lg f (x). ¿Cómo resolver tal ecuación? A un estudiante no preparado le puede parecer que se trata de una especie de lata, pero de hecho todo se resuelve de manera elemental.

Fíjate bien en el término lg 2 log 2 7. ¿Qué podemos decir al respecto? Las bases y argumentos de log y lg son los mismos, y esto debería dar algunas pistas. Recordemos una vez más cómo se sacan los grados de debajo del signo del logaritmo:

log a b n = nlog a b

En otras palabras, cuál era la potencia del número b en el argumento se convierte en un factor frente al mismo log. Apliquemos esta fórmula a la expresión lg 2 log 2 7. No tengas miedo de lg 2: esta es la expresión más común. Puedes reescribirlo así:

Para él, todas las reglas que se aplican a cualquier otro logaritmo son válidas. En particular, el factor anterior puede introducirse en el poder del argumento. Vamos a escribir:

Muy a menudo, los estudiantes a quemarropa no ven esta acción, porque no es bueno ingresar un registro bajo el signo de otro. De hecho, no hay nada criminal en esto. Además, obtenemos una fórmula que es fácil de calcular si recuerdas una regla importante:

Esta fórmula puede considerarse tanto como una definición como una de sus propiedades. En cualquier caso, si conviertes una ecuación logarítmica, debes conocer esta fórmula de la misma forma que la representación de cualquier número en forma de logaritmo.

Volvemos a nuestra tarea. Lo reescribimos teniendo en cuenta que el primer término a la derecha del signo igual será simplemente igual a lg 7. Tenemos:

largo 56 = largo 7 − 3 largo (x + 4)

Muevamos lg 7 a la izquierda, obtenemos:

largo 56 - largo 7 = -3 largo (x + 4)

Restamos las expresiones de la izquierda porque tienen la misma base:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Ahora echemos un vistazo más de cerca a la ecuación que tenemos. Es prácticamente la forma canónica, pero hay un factor −3 a la derecha. Pongámoslo en el argumento lg correcto:

largo 8 = largo (x + 4) −3

Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, así que tachamos los signos de lg e igualamos los argumentos:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

¡Eso es todo! Hemos resuelto la segunda ecuación logarítmica. En este caso, no se requieren verificaciones adicionales, porque en el problema original x estaba presente en un solo argumento.

Permítanme recapitular los puntos clave de esta lección.

La fórmula principal que se estudia en todas las lecciones de esta página dedicadas a resolver ecuaciones logarítmicas es la forma canónica. Y no se desanime por el hecho de que la mayoría de los libros de texto escolares le enseñan cómo resolver este tipo de problemas de manera diferente. Esta herramienta funciona de manera muy eficiente y le permite resolver una clase de problemas mucho más amplia que los más simples que estudiamos al comienzo de nuestra lección.

Además, para resolver ecuaciones logarítmicas, será útil conocer las propiedades básicas. A saber:

1. La fórmula para pasar a una base y un caso especial cuando volteamos el registro (esto nos fue muy útil en la primera tarea);
2. La fórmula para sacar y sacar potencias de debajo del signo del logaritmo. Aquí, muchos estudiantes se atascan y no ven a quemarropa que la potencia extraída y traída puede contener log f (x). Nada de malo con eso. Podemos introducir un logaritmo según el signo de otro y al mismo tiempo simplificar notablemente la solución del problema, que es lo que observamos en el segundo caso.

En conclusión, me gustaría agregar que no es necesario verificar el alcance en cada uno de estos casos, porque en todas partes la variable x está presente en un solo signo de log y, al mismo tiempo, está en su argumento. Como consecuencia, todos los requisitos del dominio se cumplen automáticamente.

Problemas con base variable

Hoy consideraremos ecuaciones logarítmicas, que para muchos estudiantes parecen no estándar, si no completamente irresolubles. Se trata de sobre expresiones basadas no en números, sino en variables e incluso funciones. Resolveremos tales construcciones usando nuestra técnica estándar, es decir, a través de la forma canónica.

Para empezar, recordemos cómo se resuelven los problemas más simples, que se basan en números ordinarios. Entonces, la construcción más simple se llama

log a f(x) = b

Para resolver tales problemas, podemos usar la siguiente fórmula:

b = log a a b

Reescribimos nuestra expresión original y obtenemos:

log a f(x) = log a a b

Luego igualamos los argumentos, es decir, escribimos:

f(x) = un segundo

Por lo tanto, nos deshacemos del signo de registro y resolvemos el problema habitual. En este caso, las raíces obtenidas en la solución serán las raíces de la ecuación logarítmica original. Además, el registro, cuando tanto la izquierda como la derecha están en el mismo logaritmo con la misma base, se llama forma canónica. Es a este registro que intentaremos reducir las construcciones de hoy. Entonces vamos.

Primera tarea:

registro x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Reemplace 1 con log x − 2 (x − 2) 1 . El grado que observamos en el argumento es, de hecho, el número b, que estaba a la derecha del signo igual. Así que reescribamos nuestra expresión. Obtenemos:

registro x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = registro x - 2 (x - 2)

¿Qué vemos? Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, por lo que podemos igualar con seguridad los argumentos. Obtenemos:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Pero la solución no acaba ahí, porque ecuación dada no es equivalente al original. Después de todo, la construcción resultante consta de funciones que están definidas en toda la recta numérica, y nuestros logaritmos originales no están definidos en todas partes ni siempre.

Por lo tanto, debemos escribir el dominio de definición por separado. No seamos más sabios y primero anotemos todos los requisitos:

Primero, el argumento de cada uno de los logaritmos debe ser mayor que 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

En segundo lugar, la base no solo debe ser mayor que 0, sino también diferente de 1:

X − 2 ≠ 1

Como resultado, obtenemos el sistema:

Pero no se alarme: al procesar ecuaciones logarítmicas, dicho sistema se puede simplificar enormemente.

Juzgue usted mismo: por un lado, se requiere que la función cuadrática sea mayor que cero, y por otro lado, esta función cuadrática se equipara a una cierta expresión lineal, que también se requiere que sea mayor que cero.

En este caso, si requerimos que x − 2 > 0, entonces también se cumplirá automáticamente el requisito 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por lo tanto, podemos tachar con seguridad la desigualdad que contiene una función cuadrática. Así, el número de expresiones contenidas en nuestro sistema se reducirá a tres.

Por supuesto, también podríamos tachar desigualdad lineal, es decir, tachar x − 2 > 0 y requerir que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Pero debes estar de acuerdo en que es mucho más rápido y fácil resolver la desigualdad lineal más simple que este sistema, obtenemos las mismas raíces.

En general, intente optimizar los cálculos siempre que sea posible. Y en el caso de las ecuaciones logarítmicas, tachar las desigualdades más difíciles.

Reescribamos nuestro sistema:

Aquí hay un sistema de este tipo de tres expresiones, dos de las cuales, de hecho, ya hemos descubierto. Escribamos por separado la ecuación cuadrática y resolvámosla:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Tenemos ante nosotros un trinomio cuadrado reducido y, por tanto, podemos utilizar las fórmulas de Vieta. Obtenemos:

(x − 5)(x − 2) = 0

×1 = 5

x2 = 2

Ahora, volviendo a nuestro sistema, encontramos que x = 2 no nos conviene, porque estamos obligados a tener x estrictamente mayor que 2.

Pero x \u003d 5 nos queda bastante bien: el número 5 es mayor que 2 y, al mismo tiempo, 5 no es igual a 3. Por lo tanto, la única solución de este sistema será x = 5.

Todo, la tarea está resuelta, incluso teniendo en cuenta la ODZ. Pasemos a la segunda ecuación. Aquí estamos esperando cálculos más interesantes y significativos:

El primer paso: así como la última vez, llevamos todo este asunto a una forma canónica. Para ello, podemos escribir el número 9 de la siguiente manera:

La base con la raíz no se puede tocar, pero es mejor transformar el argumento. Pasemos de la raíz a la potencia con exponente racional. Vamos a escribir:

Permítanme no reescribir toda nuestra gran ecuación logarítmica, sino igualar inmediatamente los argumentos:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Ante nosotros está el trinomio cuadrado nuevamente reducido, usaremos las fórmulas de Vieta y escribiremos:

(x + 3)(x + 1) = 0

x1 = -3

x2 = -1

Entonces, obtuvimos las raíces, pero nadie nos garantizó que encajarían en la ecuación logarítmica original. Después de todo, los signos de registro imponen restricciones adicionales (aquí tendríamos que escribir el sistema, pero debido a la incomodidad de toda la construcción, decidí calcular el dominio de definición por separado).

En primer lugar, recuerda que los argumentos deben ser mayores que 0, a saber:

Estos son los requisitos impuestos por el dominio de definición.

Notamos enseguida que como igualamos las dos primeras expresiones del sistema, podemos tachar cualquiera de ellas. Tachemos el primero porque parece más amenazador que el segundo.

Además, tenga en cuenta que las soluciones de la segunda y tercera desigualdades serán los mismos conjuntos (el cubo de algún número es mayor que cero, si este mismo número es mayor que cero; de manera similar con la raíz de tercer grado, estas desigualdades son completamente similar, por lo que uno de ellos lo podemos tachar).

Pero con la tercera desigualdad, esto no funcionará. Deshagámonos del signo del radical de la izquierda, para lo cual elevamos ambas partes a un cubo. Obtenemos:

Entonces obtenemos los siguientes requisitos:

−2 ≠ x > −3

¿Cuál de nuestras raíces: x 1 = -3 o x 2 = -1 cumple con estos requisitos? Obviamente, solo x = −1, porque x = −3 no satisface la primera desigualdad (porque nuestra desigualdad es estricta). En total, volviendo a nuestro problema, obtenemos una raíz: x = −1. Eso es todo, problema resuelto.

Una vez más, los puntos clave de esta tarea:

1. Siéntete libre de aplicar y resolver ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Los estudiantes que hacen tal registro y no van directamente del problema original a una construcción como log a f ( x ) = b , cometen muchos menos errores que aquellos que tienen prisa en alguna parte, omitiendo pasos intermedios de cálculos;
2. En cuanto aparece una base variable en el logaritmo, el problema deja de ser el más simple. Por tanto, a la hora de resolverlo hay que tener en cuenta el dominio de definición: los argumentos deben ser mayores que cero, y las bases no solo deben ser mayores que 0, sino que tampoco deben ser iguales a 1.

Puede imponer los últimos requisitos a las respuestas finales de diferentes maneras. Por ejemplo, es posible resolver un sistema completo que contenga todos los requisitos del dominio. Por otro lado, primero puede resolver el problema en sí mismo y luego recordar el dominio de definición, resolverlo por separado en forma de sistema y aplicarlo a las raíces obtenidas.

La forma de elegir al resolver una ecuación logarítmica en particular depende de usted. En cualquier caso, la respuesta será la misma.

Con el desarrollo de la sociedad, la complejidad de la producción, las matemáticas también se desarrollaron. Movimiento de lo simple a lo complejo. Del método habitual de contabilidad de suma y resta, con su repetición repetida, llegaron al concepto de multiplicación y división. La reducción de la operación repetida multiplicada se convirtió en el concepto de exponenciación. Las primeras tablas de la dependencia de los números en la base y el número de exponenciación fueron compiladas en el siglo VIII por el matemático indio Varasena. A partir de ellos, puede contar el tiempo de aparición de los logaritmos.

Reseña histórica

El renacimiento de Europa en el siglo XVI también estimuló el desarrollo de la mecánica. T requirió una gran cantidad de cálculo asociado con la multiplicación y división de números de varios dígitos. Las mesas antiguas hicieron un gran servicio. Permitieron reemplazar operaciones complejas a los más simples: suma y resta. Un gran paso adelante fue el trabajo del matemático Michael Stiefel, publicado en 1544, en el que se dio cuenta de la idea de muchos matemáticos. Esto hizo posible el uso de tablas no solo para grados en forma de números primos, sino también para racionales arbitrarios.

En 1614, el escocés John Napier, desarrollando estas ideas, introdujo por primera vez el nuevo término "logaritmo de un número". Nuevo tablas complejas para calcular los logaritmos de senos y cosenos, así como tangentes. Esto redujo en gran medida el trabajo de los astrónomos.

Comenzaron a aparecer nuevas tablas, que fueron utilizadas con éxito por los científicos durante tres siglos. Pasó mucho tiempo antes de que la nueva operación en álgebra adquiriera su forma final. Se definió el logaritmo y se estudiaron sus propiedades.

Recién en el siglo XX, con el advenimiento de la calculadora y la computadora, la humanidad abandonó las antiguas tablas que habían estado operando con éxito a lo largo del siglo XIII.

Hoy llamamos al logaritmo de b en base a el número x, que es la potencia de a, para obtener el número b. Esto se escribe como una fórmula: x = log a(b).

Por ejemplo, log 3(9) será igual a 2. Esto es obvio si sigues la definición. Si elevamos 3 a la potencia de 2, obtenemos 9.

Así, la definición formulada pone solo una restricción, los números a y b deben ser reales.

Variedades de logaritmos.

La definición clásica se llama logaritmo real y en realidad es una solución a la ecuación a x = b. La opción a = 1 está en el límite y no tiene interés. Nota: 1 elevado a cualquier potencia es 1.

Valor real del logaritmo definido solo si la base y el argumento es mayor que 0, y la base no debe ser igual a 1.

Lugar especial en el campo de las matemáticas. jugar a los logaritmos, que serán nombrados en función del valor de su base:

Reglas y restricciones

La propiedad fundamental de los logaritmos es la regla: el logaritmo de un producto es igual a la suma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante de esta declaración, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la función cociente es igual a la diferencia de las funciones.

Es fácil ver de las dos reglas anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Otras propiedades incluyen:

Comentario. No cometa un error común: el logaritmo de la suma no es es igual a la suma logaritmos

Durante muchos siglos, la operación de encontrar el logaritmo fue una tarea que requería bastante tiempo. Los matemáticos utilizaron la conocida fórmula de la teoría logarítmica de la expansión en un polinomio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), donde n es un número natural mayor que 1, que determina la precisión del cálculo.

Los logaritmos con otras bases se calcularon utilizando el teorema del paso de una base a otra y la propiedad del logaritmo del producto.

Dado que este método es muy laborioso y al resolver problemas prácticos difíciles de implementar, utilizaron tablas de logaritmos precompiladas, lo que aceleró enormemente todo el trabajo.

En algunos casos, se utilizaron gráficos de logaritmos especialmente compilados, lo que dio menos precisión, pero aceleró significativamente la búsqueda. valor deseado. La curva de la función y = log a(x), construida sobre varios puntos, permite usar la regla habitual para encontrar los valores de la función en cualquier otro punto. Ingenieros largo tiempo para estos efectos se utilizó el llamado papel cuadriculado.

En el siglo XVII aparecieron las primeras condiciones auxiliares de computación analógica, que para siglo XIX adquirió un aspecto acabado. El dispositivo más exitoso se llamó la regla de cálculo. A pesar de la simplicidad del dispositivo, su aparición aceleró significativamente el proceso de todos los cálculos de ingeniería, y esto es difícil de sobrestimar. Actualmente, pocas personas están familiarizadas con este dispositivo.

El advenimiento de las calculadoras y las computadoras hizo que no tuviera sentido usar otros dispositivos.

Ecuaciones y desigualdades

Las siguientes fórmulas se usan para resolver varias ecuaciones y desigualdades usando logaritmos:

• Transición de una base a otra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consecuencia de la versión anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver desigualdades, es útil saber:

• El valor del logaritmo será positivo solo si la base y el argumento son ambos mayores que o menos que uno; si se viola al menos una condición, el valor del logaritmo será negativo.
• Si la función logaritmo se aplica a los lados derecho e izquierdo de la desigualdad, y la base del logaritmo es mayor que uno, entonces se conserva el signo de la desigualdad; de lo contrario, cambia.

Ejemplos de tareas

Considere varias opciones para usar logaritmos y sus propiedades. Ejemplos con resolución de ecuaciones:

Considere la opción de colocar el logaritmo en el grado:

• Tarea 3. Calcula 25^log 5(3). Solución: en las condiciones del problema, la notación es similar a la siguiente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Escribámoslo de otra manera: 5^log 5(3*2), o el cuadrado de un número como argumento de función se puede escribir como el cuadrado de la función misma (5^log 5(3))^2. Usando las propiedades de los logaritmos, esta expresión es 3^2. Respuesta: como resultado del cálculo obtenemos 9.

Uso práctico

Siendo una herramienta puramente matemática, parece lejos de ser vida real que el logaritmo adquirió de repente gran importancia para describir objetos mundo real. Es difícil encontrar una ciencia donde no se utilice. Esto se aplica plenamente no sólo a los naturales, sino también áreas humanitarias conocimiento.

Dependencias logarítmicas

Estos son algunos ejemplos de dependencias numéricas:

Mecanica y fisica

Históricamente, la mecánica y la física siempre se han desarrollado utilizando metodos matematicos investigación y al mismo tiempo sirvió de incentivo para el desarrollo de las matemáticas, incluidos los logaritmos. La teoría de la mayoría de las leyes de la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas. Damos solo dos ejemplos de la descripción de leyes físicas usando el logaritmo.

Es posible resolver el problema de calcular una cantidad tan compleja como la velocidad de un cohete utilizando la fórmula de Tsiolkovsky, que sentó las bases de la teoría de la exploración espacial:

V = I * ln(M1/M2), donde

• V es la velocidad final de la aeronave.
• I es el impulso específico del motor.
• M 1 es la masa inicial del cohete.
• M 2 - masa final.

Otro ejemplo importante - este es el uso en la fórmula de otro gran científico, Max Planck, que sirve para evaluar el estado de equilibrio en termodinámica.

S = k * ln (Ω), donde

• S es una propiedad termodinámica.
• k es la constante de Boltzmann.
• Ω es el peso estadístico de diferentes estados.

Química

Menos obvio sería el uso de fórmulas en química que contienen la relación de logaritmos. Aquí hay solo dos ejemplos:

• La ecuación de Nernst, la condición del potencial redox del medio en relación con la actividad de las sustancias y la constante de equilibrio.
• El cálculo de constantes como el índice de autoprolisis y la acidez de la solución tampoco está completo sin nuestra función.

psicología y biología

Y es completamente incomprensible lo que la psicología tiene que ver con eso. Resulta que la fuerza de la sensación está bien descrita por esta función como la razón inversa de la intensidad del estímulo a bajo valor intensidad.

Después de los ejemplos anteriores, ya no sorprende que el tema de los logaritmos también sea muy utilizado en biología. Pro formas biológicas, correspondiente a espirales logarítmicas, se pueden escribir volúmenes enteros.

Otras areas

Parece que la existencia del mundo es imposible sin la conexión con esta función, y gobierna todas las leyes. Especialmente cuando las leyes de la naturaleza están conectadas con una progresión geométrica. Vale la pena consultar el sitio web de MatProfi, y hay muchos ejemplos de este tipo en las siguientes áreas de actividad:

La lista podría ser interminable. Habiendo dominado las leyes básicas de esta función, puedes sumergirte en el mundo de la sabiduría infinita.

(del griego λόγος - "palabra", "relación" y ἀριθμός - "número") números b por razon un(registro α b) se llama tal número C, y b= una c, es decir, log α b=C y b=aC son equivalentes. El logaritmo tiene sentido si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

En otras palabras logaritmo números b por razon un formulado como un exponente al que debe elevarse un número un para obtener el número b(el logaritmo existe solo para números positivos).

De esta formulación se sigue que el cálculo x= log α b, es equivalente a resolver la ecuación a x =b.

Por ejemplo:

log 2 8 = 3 porque 8=2 3 .

Observamos que la formulación indicada del logaritmo permite determinar inmediatamente valor del logaritmo cuando el número bajo el signo del logaritmo es una determinada potencia de la base. En efecto, la formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b por razon un es igual con. También está claro que el tema del logaritmo está estrechamente relacionado con el tema grado de número.

El cálculo del logaritmo se refiere a logaritmo. el logaritmo es operacion matematica tomando el logaritmo. Al tomar un logaritmo, los productos de factores se transforman en sumas de términos.

Potenciación es la operación matemática inversa al logaritmo. Al potenciar, la base dada se eleva a la potencia de la expresión sobre la que se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en el producto de factores.

Muy a menudo se utilizan logaritmos reales con base 2 (binario), número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa, vale la pena considerar muestras de logaritmos registro 7 2 , en √ 5, lg0.0001.

Y las entradas lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, ya que en el primero de ellos se coloca un número negativo bajo el signo del logaritmo, en el segundo, un número negativo en la base, y en el tercero - y un número negativo bajo el signo del logaritmo y la unidad en la base.

Condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar por separado las condiciones a > 0, a ≠ 1, b > 0. Definición de logaritmo. Consideremos por qué se toman estas restricciones. Esto nos ayudará con una igualdad de la forma x = log α b, llamada la identidad logarítmica básica, que se deriva directamente de la definición del logaritmo dada anteriormente.

Toma la condición a≠1. Como uno es igual a uno elevado a cualquier potencia, entonces la igualdad x=log α b solo puede existir cuando b=1, pero log 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad, tomamos a≠1.

Probemos la necesidad de la condición a>0. En un=0 según la formulación del logaritmo, sólo puede existir cuando b=0. Y luego en consecuencia registro 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero a cualquier potencia distinta de cero es cero. Para eliminar esta ambigüedad, la condición a≠0. Y cuando un<0 tendríamos que rechazar el análisis de valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que el exponente con exponente racional e irracional se define solo para bases no negativas. Es por ello que la condición a>0.

Y la última condición b>0 se sigue de la desigualdad a>0, porque x=log α b, y el valor del grado con base positiva un siempre positivo.

Características de los logaritmos.

logaritmos caracterizado por distintivos características, lo que llevó a su uso generalizado para facilitar en gran medida los cálculos minuciosos. En la transición "al mundo de los logaritmos", la multiplicación se transforma en una suma mucho más fácil, la división en resta, y la elevación a una potencia y la raíz se transforman en multiplicación y división por exponente, respectivamente.

La formulación de logaritmos y una tabla de sus valores (por funciones trigonométricas) fue publicado por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, se usaron ampliamente en cálculos científicos y de ingeniería, y siguieron siendo relevantes hasta que comenzaron a usarse calculadoras electrónicas y computadoras.