Grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq

Nuqtadagi funksiya hosilasining qiymati ga teng. Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping

11.10.2019

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan yechish mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. Hosila nima, uning fizik va geometrik ma'nosi nima, funktsiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ba'zi bir intervalda berilgan (a,b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argument o'zgarishi - uning qiymatlari farqi x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. Hosila ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, bu nolga moyil bo'lganda.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Lekin qaysi biri:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

jismoniy ma'no hosila: yo'lning vaqt hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlik shaxsiy yo'l ekanligini biladi. x=f(t) va vaqt t . o'rtacha tezlik bir muncha vaqt uchun:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini bilish uchun t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni chiqarib tashlang

Konstantani hosilaning belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni echishda, qoida tariqasida, oling - ifodani soddalashtira olsangiz, soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funktsiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Qaror:

Bu erda murakkab funktsiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhimdir. Murakkab funktsiyaning hosilasi ushbu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi bilan teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini ko'rib chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: Ikki funktsiyaning qismining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savol bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Orqada qisqa muddat biz sizga eng qiyin nazoratni hal qilishda va vazifalarni hal qilishda yordam beramiz, hatto siz ilgari lotinlarni hisoblash bilan shug'ullanmagan bo'lsangiz ham.

Hosila topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.

Hosilni argumentning o'sish ko'payishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) hosilalarni topish sohasida birinchi bo‘lib ishlaganlar.

Shuning uchun bizning zamonamizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalari va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.

Hosilini topish uchun, sizga zarba belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni ajratib ko'rsatish va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, qism) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Keyinchalik elementar funksiyalarning hosilalarini hosilalar jadvalidan, hosila, yig’indi va qism hosilalari formulalarini esa differentsiallash qoidalaridan topamiz. Birinchi ikkita misoldan keyin hosilalar jadvali va differentsiatsiya qoidalari berilgan.

1-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Differensiallash qoidalaridan biz aniqlaymizki, funktsiyalar yig'indisining hosilasi funktsiyalarning hosilalari yig'indisi, ya'ni.

Hosilalar jadvalidan “X” ning hosilasi bir ga teng, sinusning hosilasi esa kosinus ekanligini aniqlaymiz. Biz ushbu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo'lgan hosilani topamiz:

2-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Biz yig'indining hosilasi sifatida ajratamiz, unda doimiy koeffitsientli ikkinchi hadni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Agar biror narsa qaerdan kelganligi haqida hali ham savollar mavjud bo'lsa, ular, qoida tariqasida, hosilalar jadvalini va farqlashning eng oddiy qoidalarini o'qib chiqqandan so'ng aniq bo'ladi. Biz hozir ularning oldiga boramiz.

Oddiy funksiyalarning hosilalari jadvali

1. Doimiy (son)ning hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200...). Har doim nol. Buni eslash juda muhim, chunki bu juda tez-tez talab qilinadi
2. Mustaqil o‘zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "x". Har doim bittaga teng. Buni eslash ham muhimdir
3. Darajaning hosilasi. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchga aylantirishingiz kerak.
4. O‘zgaruvchining -1 darajali hosilasi
5. Hosil kvadrat ildiz
6. Sinus hosilasi
7. Kosinus hosilasi
8. Tangens hosilasi
9. Kotangentning hosilasi
10. Arksinusning hosilasi
11. Yoy kosinusining hosilasi
12. Yoy tangensining hosilasi
13. Teskari tangensning hosilasi
14. Natural logarifmning hosilasi
15. Logarifmik funksiyaning hosilasi
16. Ko‘rsatkichning hosilasi
17. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Farqlash qoidalari

1. Yig‘indi yoki farqning hosilasi
2. Mahsulotning hosilasi
2a. Ifodaning hosilasi doimiy omilga ko'paytiriladi
3. Bo‘lakning hosilasi
4. Kompleks funktsiyaning hosilasi

1-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensial bo'ladi, keyin esa xuddi shu nuqtada funktsiyalar

bular. funksiyalarning algebraik yig‘indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

Natija. Agar ikkita differentsiallanuvchi funktsiya doimiy qiymat bilan farq qilsa, ularning hosilalari, ya'ni.

2-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensiallanadi , keyin ularning mahsuloti ham xuddi shu nuqtada farqlanadi

bular. ikki funksiya hosilasining hosilasi bu funksiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig‘indisiga teng.

Natija 1. Doimiy koeffitsientni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Natija 2. Bir nechta differensiallanuvchi funksiyalar hosilasining hosilasi omillarning har birining hosilasi va boshqalarning hosilasi yig‘indisiga teng.

Masalan, uchta ko'paytiruvchi uchun:

3-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada farqlanadi va , u holda bu nuqtada ularning koeffitsienti ham differentsial bo'ladi.u/v , va

bular. ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasi kasrga teng bo'lib, uning ayirmasi maxrajning hosilasi va ayirmaning hosilasi va ayirma va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lib, maxraji esa oldingi sonning kvadrati bo'ladi. .

Boshqa sahifalarda qayerga qarash kerak

Haqiqiy masalalarda mahsulotning hosilasi va qismni topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak, shuning uchun bu hosilalarga ko'proq misollar maqolada keltirilgan."Mahsulot va qismning hosilasi".

Izoh. Siz doimiyni (ya'ni sonni) yig'indidagi atama va doimiy omil sifatida aralashtirmasligingiz kerak! Terminda uning hosilasi nolga teng, doimiy koeffitsientda esa hosilalarning belgisidan olinadi. Bu tipik xato da sodir bo'ladi dastlabki bosqich hosilalarni o'rganish, lekin ular bir-ikki komponentli bir nechta misollarni yechishlari sababli, o'rtacha talaba endi bu xatoga yo'l qo'ymaydi.

Va agar mahsulot yoki qismni farqlashda sizda atama bo'lsa u"v, unda u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu raqamning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun atama nolga teng bo'ladi (bunday holat 10-misolda tahlil qilingan) .

Yana bir keng tarqalgan xato - bu murakkab funktsiyaning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida mexanik hal qilish. Shunday qilib murakkab funksiyaning hosilasi bag'ishlanadi alohida maqola. Lekin birinchi navbatda oddiy funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Yo'l davomida siz iboralarni o'zgartirmasdan qilolmaysiz. Buni amalga oshirish uchun siz yangi Windows qo'llanmalarida ochishingiz kerak bo'lishi mumkin Quvvat va ildizlarga ega harakatlar va Kasrlar bilan amallar .

Agar siz kuchlar va ildizlar bilan hosilalarga yechim izlayotgan bo'lsangiz, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin darsni bajaring " Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi".

Agar sizda kabi vazifa bo'lsa , keyin siz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" darsidasiz.

Bosqichma-bosqich misollar - hosilani qanday topish mumkin

3-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Funksiya ifodasining qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda hosilani ifodalaydi va uning omillari yig'indi, ikkinchisida esa atamalardan birida doimiy omil mavjud. Mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi ushbu funktsiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig'indisiga teng:

Keyinchalik, yig'indini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalar hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir summada, minus belgisi bilan ikkinchi muddat. Har bir yig‘indida hosilasi birga teng bo‘lgan mustaqil o‘zgaruvchini ham, hosilasi nolga teng bo‘lgan doimiy (son)ni ham ko‘ramiz. Shunday qilib, "x" bittaga, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkitani "x" ning hosilasi bilan bir xil birlikka ko'paytiramiz. Biz lotinlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Topilgan hosilalarni mahsulotlar yig'indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo'lgan butun funktsiyaning hosilasini olamiz:

4-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Bizdan qismning hosilasini topish talab qilinadi. Biz qismni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikki funktsiyaning bo'limining hosilasi maxrajning hosilasi va ayiruvchining hosilasi va ayirma hosilasi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga tengdir va maxraj oldingi sonning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz 2-misolda ko‘paytirgichdagi ko‘paytmalarning hosilasini topdik.Shuningdek, hisobdagi ikkinchi ko‘paytma bo‘lgan ko‘paytma joriy misolda minus belgisi bilan olinganligini ham unutmaylik:

Agar siz uzluksiz ildizlar va darajalar to'plami mavjud bo'lgan funktsiyaning hosilasini topishingiz kerak bo'lgan muammolarning echimini izlayotgan bo'lsangiz, masalan, keyin sinfga xush kelibsiz "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" .

Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va boshqalarning hosilalari haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak bo'lsa trigonometrik funktsiyalar, ya'ni funksiya o'xshash bo'lganda , keyin sizda dars bor “Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari” .

5-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Ushbu funktsiyada biz ko'paytmani ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, hosilasi bilan biz hosilalar jadvalida tanishdik. Mahsulotni farqlash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

6-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Qaror. Ushbu funktsiyada biz dividend mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlagan va qo'llagan qismni differentsiallash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Numeratordagi kasrdan qutulish uchun son va maxrajni ga ko'paytiring.

1-misol

Malumot: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir: Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

, , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

3-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang. Avval hosilani topamiz:

Xo'sh, bu butunlay boshqa masala. Nuqtadagi hosilaning qiymatini hisoblang:

Agar hosila qanday topilganligini tushunmasangiz, mavzuning dastlabki ikki darsiga qayting. Ark tangensi va uning ma'nolari bilan bog'liq qiyinchiliklar (tushunmovchilik) bo'lsa, albatta o'rganish uslubiy material Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari- oxirgi xatboshi. Chunki talabalik yoshi uchun arktangentlar hali yetarli.

4-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang.

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Oldingi paragrafni birlashtirish uchun tegni topish masalasini ko'rib chiqing funktsiya grafikasi ayni paytda. Biz bu vazifani maktabda uchratganmiz va u oliy matematika kursida ham uchraydi.

"Namoyish" elementar misolini ko'rib chiqing.

Funksiya grafigining abtsissa bilan nuqtadagi teginish tenglamasini yozing. Men darhol muammoga tayyor grafik yechimni beraman (amalda, bu ko'p hollarda kerak emas):

Tangensning qat'iy ta'rifi tomonidan berilgan funktsiya hosilasining ta'riflari, lekin biz o'zlashgunimizcha texnik qism savol. Shubhasiz, deyarli hamma intuitiv ravishda tangens nima ekanligini tushunadi. Agar siz "barmoqlarda" ni tushuntirsangiz, u holda funktsiya grafigiga teginish bo'ladi To'g'riga, bu funksiya grafigiga tegishli faqat nuqta. Bunday holda, to'g'ri chiziqning barcha yaqin nuqtalari funksiya grafigiga imkon qadar yaqin joylashgan.

Bizning holatimizga nisbatan qo'llaniladigan: da, tangens (standart yozuv) funksiya grafigiga bir nuqtada tegadi.

Va bizning vazifamiz to'g'ri chiziq tenglamasini topishdir.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qanday topiladi? Ushbu topshiriqning ikkita aniq nuqtasi matndan kelib chiqadi:

1) hosilani topish kerak.

2) Berilgan nuqtada hosilaning qiymatini hisoblash kerak.

1-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

Yordam: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir:

Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

Umid qilamanki, ko'pchilik allaqachon og'zaki ravishda bunday lotinlarni topishga moslashgan.

Ikkinchi bosqichda lotin qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Mustaqil yechim uchun kichik isitish misoli:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bir nuqtada hosilani topish zarurati quyidagi vazifalarda paydo bo'ladi: funktsiya grafigiga tangensni qurish (keyingi paragraf), ekstremum uchun funktsiyani o'rganish , grafikning burilish funksiyasini o'rganish , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

Lekin ko'rib chiqilayotgan vazifa ichida sodir bo'ladi nazorat ishlari va o'z-o'zidan. Va, qoida tariqasida, bunday hollarda, funktsiya juda murakkab beriladi. Shu munosabat bilan yana ikkita misolni ko'rib chiqing.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini hisoblang nuqtada.
Avval hosilani topamiz:

Asosan, lotin topiladi va kerakli qiymat almashtirilishi mumkin. Lekin men hech narsa qilishni xohlamayman. Ifoda juda uzun va "x" qiymati kasrdir. Shuning uchun biz hosilani iloji boricha soddalashtirishga harakat qilamiz. Bunday holda, keling, oxirgi uchta shartni umumiy maxrajga qisqartirishga harakat qilaylik: nuqtada.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

F(x) funksiyaning Ho nuqtadagi hosilasining qiymati qanday topiladi? Umuman olganda, buni qanday hal qilish mumkin?

Agar formula berilgan bo'lsa, hosilani toping va X o'rniga X-nolni qo'ying. hisoblash
Agar a gaplashamiz o b-8 FOYDALANISH, grafik, keyin X o'qiga tangens hosil qiluvchi burchakning tangensini (o'tkir yoki o'tkir) topish kerak (to'g'ri burchakli uchburchakning aqliy konstruktsiyasidan foydalanib va burchak tangensini aniqlash)

Timur Adilxo'jaev

Birinchidan, siz belgi haqida qaror qabul qilishingiz kerak. Agar x0 nuqtasi koordinata tekisligining pastki qismida bo'lsa, javobdagi belgi minus, undan yuqori bo'lsa, + bo'ladi.
Ikkinchidan, to'rtburchaklar to'rtburchakda tange nima ekanligini bilishingiz kerak. Va bu qarama-qarshi tomonning (oyoq) qo'shni tomonga (shuningdek, oyoq) nisbati. Odatda rasmda bir nechta qora belgilar mavjud. Ushbu belgilardan siz yaratasiz to'g'ri uchburchak va tangalarni toping.

f x funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymati qanday topiladi?

aniq savol yo'q - 3 yil oldin

Umumiy holatda funktsiyaning biron bir o'zgaruvchiga nisbatan hosilasining qiymatini istalgan nuqtada topish uchun berilgan funksiyani shu o'zgaruvchiga nisbatan differensiallash kerak bo'ladi. Sizning holatingizda, X o'zgaruvchisi tomonidan. Olingan ifodada X o'rniga, x ning qiymatini lotin qiymatini topishingiz kerak bo'lgan nuqtaga qo'ying, ya'ni. sizning holatingizda, nol X o'rniga qo'ying va olingan ifodani hisoblang.

Xo'sh, bu masalani tushunishga bo'lgan xohishingiz, menimcha, shubhasiz, men toza vijdon bilan qo'ygan + ga loyiqdir.

Hosilni topish muammosining bunday formulasi ko'pincha hosilaning geometrik ma'nosi bo'yicha materialni aniqlash uchun qo'yiladi. Muayyan funktsiyaning grafigi taklif qilingan, mutlaqo ixtiyoriy va tenglama bilan berilmagan va ko'rsatilgan X0 nuqtasida hosilaning qiymatini (hosilning o'zi emas!) topish talab qilinadi. Buning uchun berilgan funksiyaga tangens quriladi va uning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Keyin bu tangens tenglamasi y=kx+b ko'rinishda tuziladi.

Bu tenglamada k va koeffitsienti hosilaning qiymati bo'ladi. faqat b koeffitsientining qiymatini topish uchun qoladi. Buning uchun biz x \u003d o da y qiymatini topamiz, u 3 ga teng bo'lsin - bu b koeffitsientining qiymati. Biz X0 va Y0 qiymatlarini asl tenglamaga almashtiramiz va k ni topamiz - bu nuqtadagi hosilaning qiymati.

Agar ta'rifga amal qilsak, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi D funktsiyaning o'sish nisbatining chegarasi bo'ladi. y argumentning ortishiga D x:

Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo ushbu formula bo'yicha hisoblashga harakat qiling, masalan, funktsiyaning hosilasi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rifi bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.

Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni turli xil funktsiyalardan ajratish mumkin. Bu nisbatan oddiy ifodalar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni hosilalari bilan birga eslab qolish juda oson.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Elementar funktsiyalar quyida sanab o'tilgan barcha narsalardir. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash qiyin emas - shuning uchun ular boshlang'ichdir.

Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:

Ism	Funktsiya	Hosil
Doimiy	f(x) = C, C ∈ R	0 (ha, ha, nol!)
Ratsional darajali daraja	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = gunoh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	- gunoh x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
tabiiy logarifm	f(x) = jurnal x	1/x
Ixtiyoriy logarifm	f(x) = jurnal a x	1/(x ln a)
Eksponensial funktsiya	f(x) = e x	e x(hech narsa o'zgarmadi)

Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:

(C · f)’ = C · f ’.

Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Misol uchun:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va boshqalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi juda oddiy emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va ayirmasining hosilasini topishingiz mumkin:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Misol uchun, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun, farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:

f ’(x) = (x 2+ gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cosx;

Biz funksiya uchun xuddi shunday bahslashamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Javob:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Mahsulot hosilasi

Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish"\u003e hosilalarning mahsulotiga teng. Lekin sizga anjir! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula oddiy, lekin ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)

Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, lekin umumiy sxema bu o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi multiplikatori g(x) koʻphad boʻlib, uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda, bu kerak emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani o'rganish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, omillarga ajratilgan ifodaga ega bo'lish yaxshiroqdir.

Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) va g(x), va g(x) ≠ 0 bizni qiziqtirgan to'plamda yangi funktsiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:

Zaif emas, to'g'rimi? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Lekin shunday! Bu eng murakkab formulalardan biri - uni shishasiz aniqlab bo'lmaydi. Shuning uchun uni aniq misollar bilan o'rganish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:

Har bir kasrning soni va maxrajida elementar funktsiyalar mavjud, shuning uchun bizga faqat qismning hosilasi formulasi kerak bo'ladi:

An'anaga ko'ra, biz numeratorni omillarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:

Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2+ln x. Ma'lum bo'lishicha f(x) = gunoh ( x 2+ln x) murakkab funksiyadir. Uning hosilasi ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq topish ishlamaydi.

Qanday bo'lish kerak? Bunday hollarda o'zgaruvchini almashtirish va murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordam beradi:

f ’(x) = f ’(t) · t', agar x bilan almashtiriladi t(x).

Qoida tariqasida, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat ko'rsatkichning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun, buni aniq misollar bilan tushuntirish yaxshiroqdir batafsil tavsif har bir qadam.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2+ln x)

E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin elementar funktsiyani olamiz f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtirishni qilamiz: 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Biz murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula bo'yicha qidiramiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Va endi - diqqat! Teskari almashtirishni amalga oshirish: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). O'zgartirish kerakligi aniq. x 2+ln x = t. Bizda ... bor:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’

Orqaga almashtirish: t = x 2+ln x. Keyin:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Hammasi shu! Oxirgi ifodadan ko'rinib turibdiki, butun masala yig'indining hosilasini hisoblashga qisqartirildi.

Javob:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki( x 2+ln x).

Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "zarba" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indidan olingan zarba summasiga teng zarbalar. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.

Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq bu juda zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:

(x n)’ = n · x n − 1

Buni rolda kam odam biladi n yaxshi harakat qilishi mumkin kasr son. Masalan, ildiz x 0,5. Ammo ildiz ostida biron bir qiyin narsa bo'lsa-chi? Shunga qaramay, murakkab funktsiya paydo bo'ladi - ular test va imtihonlarda bunday tuzilmalarni berishni yaxshi ko'radilar.

Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:

Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Endi biz almashtirishni amalga oshiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani quyidagi formula bo'yicha topamiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nihoyat, ildizlarga qayting:

Bitta o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi.

Kirish.

Haqiqiy uslubiy ishlanmalar sanoat va qurilish fakulteti talabalari uchun mo'ljallangan. Ular matematika kursining “Bir o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi” bo‘limidagi dasturiga nisbatan tuzilgan.

Ishlanmalar yagona uslubiy qo'llanma bo'lib, u quyidagilarni o'z ichiga oladi: qisqacha nazariy ma'lumotlar; batafsil echimlar va ushbu echimlar uchun tushuntirishlar bilan "tipik" vazifalar va mashqlar; nazorat qilish imkoniyatlari.

Har bir paragraf oxirida qo'shimcha mashqlar. Ishlanmalarning bunday tuzilishi ularni o'qituvchining eng minimal yordami bilan bo'limni mustaqil o'zlashtirish uchun mos qiladi.

§bir. Hosila tushunchasi.

Mexanik va geometrik ma'no

hosila.

Hosila tushunchasi matematik analizning eng muhim tushunchalaridan biridir.U 17-asrdayoq paydo boʻlgan. Hosila tushunchasining shakllanishi tarixan ikkita muammo bilan bog'liq: o'zgaruvchan harakat tezligi muammosi va egri chiziqqa teginish muammosi.

Bu vazifalar, ularning qaramay har xil tarkib, funktsiya ustida bajarilishi kerak bo'lgan bir xil matematik operatsiyaga olib keladi.Bu operatsiya matematikada maxsus nom oldi. Bu funktsiyani farqlash operatsiyasi deb ataladi. Differensiatsiya operatsiyasining natijasi hosila deyiladi.

Demak, y=f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi funktsiya ortishining argument ortishiga nisbatining chegarasi (agar u mavjud bo‘lsa) bo‘ladi.
da
.

Hosil odatda quyidagicha ifodalanadi:
.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra

Belgilar hosilani belgilash uchun ham ishlatiladi
.

Hosilning mexanik ma'nosi.

Agar s=s(t) moddiy nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati qonuni bo'lsa, u holda
bu nuqtaning t vaqtidagi tezligi.

Hosilning geometrik ma'nosi.

Agar y=f(x) funksiya nuqtada hosilaga ega bo'lsa , keyin qiyalik nuqtadagi funksiya grafigiga teginish
teng
.

Misol.

Funktsiyaning hosilasini toping
nuqtada =2:

1) Keling, bir fikrni aytaylik =2 o'sish
. E'tibor bering, bu.

2) Funktsiyaning nuqtadagi o'sish qismini toping =2:

3) Funksiya ortishining argument ortishiga nisbatini tuzing:

dagi munosabat chegarasi topilsin
:

Shunday qilib,
.

§ 2. Ayrimlarning hosilalari

eng oddiy funktsiyalar.

Talaba xususiy funksiyalarning hosilalarini hisoblashni o‘rganishi kerak: y=x,y= va umuman y= .

y=x funksiyaning hosilasini toping.

bular. (x)′=1.

Funktsiyaning hosilasi topilsin

Hosil

Bo'lsin
keyin

Quvvat funksiyasining hosilalarini ifodalashda naqshni sezish oson
n=1,2,3 da.

Demak,

. (1)

Bu formula har qanday haqiqiy n uchun amal qiladi.

Xususan, (1) formuladan foydalanib, biz:

;

Misol.

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu funksiya shakl funksiyasining alohida holatidir

da
.

Formuladan (1) foydalanib, biz bor

y=sin x va y=cos x funksiyalarning hosilalari.

y=sinx bo'lsin.

∆x ga bo'linadi, biz olamiz

∆x→0 sifatida chegaraga o'tsak, biz bor

y=cosx bo'lsin.

∆x→0 ko'rinishidagi chegaraga o'tib, biz hosil qilamiz

;
. (2)

§3. Differensiallashning asosiy qoidalari.

Farqlash qoidalarini ko'rib chiqing.

Teorema1 . Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar berilgan x nuqtada differentsiallansa, bu nuqtada ularning yig’indisi ham differentsiallanadi va yig’indining hosilasi hosila hadlar yig’indisiga teng bo’ladi: (u+v)"=u"+v".(3 )

Isbot: y=f(x)=u(x)+v(x) funksiyani ko‘rib chiqamiz.

X argumentining ∆x ortishi u va v funksiyalarning ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) o’sishlariga mos keladi. Keyin y funksiyasi oshiriladi

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Demak,

Demak, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar berilgan x nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham shu nuqtada differentsiallanadi.Bu holda hosilaning hosilasi quyidagi formula bo’yicha topiladi. : (uv) "=u" v + uv ". (4)

Isbot: y=uv bo‘lsin, bu yerda u va v x ning ba’zi differentsiallanuvchi funksiyalari. x ni ∆x ga oshirilsin, u holda u ∆u ga, v ∆v ga, y esa ∆y ga oshadi.

Bizda y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), yoki bor

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Demak, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Bu yerdan

∆x→0 sifatida chegaraga o'tsak va u va v ning ∆x ga bog'liq emasligini hisobga olsak, biz

Teorema 3. Ikki funktsiyaning ko'paytmasining hosilasi kasrga teng bo'lib, uning maxraji bo'linuvchining kvadratiga teng bo'ladi va hisoblagich bo'linuvchining dividend hosilasi bilan bo'linuvchining ko'paytmasi o'rtasidagi farqdir. bo'luvchining hosilasi bo'yicha dividend, ya'ni.

Agar a
keyin
(5)