Maktab kursidan geometriya bo'yicha eng qiziqarli mavzulardan biri "To'rtburchaklar" (8-sinf). Bunday raqamlarning qanday turlari mavjud, ular qanday maxsus xususiyatlarga ega? To'qson graduslik burchakli to'rtburchaklarning o'ziga xosligi nimada? Keling, bularning barchasini ko'rib chiqaylik.

Qaysi geometrik figuraga to'rtburchak deyiladi

To'rt tomondan va mos ravishda to'rtta burchakdan (burchakdan) iborat bo'lgan ko'pburchaklar Evklid geometriyasida to'rtburchaklar deyiladi.

Ushbu turdagi raqamlar nomining tarixi qiziq. Rus tilida “to‘rtburchak” so‘zi “to‘rt burchak” iborasidan yasaladi (xuddi “uchburchak” – uch burchak, “beshburchak” – besh burchak va boshqalar kabi).

Biroq, lotin tilida (bu orqali ko'plab geometrik atamalar dunyoning aksariyat tillariga kelgan) u to'rtburchak deb ataladi. Bu so'z quadri (to'rt) son va latus (yon) otidan tuzilgan. Shunday qilib, biz qadimgi odamlar orasida bu ko'pburchak faqat "to'rt tomonlama" deb atalgan degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Aytgancha, bunday nom (bu turdagi raqamlarda burchaklar emas, balki to'rt tomonning mavjudligiga urg'u berilgan) ba'zi zamonaviy tillarda saqlanib qolgan. Masalan, ingliz tilida - to'rtburchak va frantsuzda - quadrilatère.

Shu bilan birga, ko'pgina slavyan tillarida ko'rib chiqilgan raqamlar turi hali ham tomonlar emas, balki burchaklar soni bilan belgilanadi. Masalan, slovak tilida (štvoruholník), bolgar tilida ("chetirigalnik"), belarusda ("chatyroxkutnik"), ukrainda ("chotirikutnik"), chex tilida (čtyřúhelník), lekin polyak tilida to'rtburchaklar soni bilan ataladi. tomonlar - czworoboczny.

Maktab o'quv dasturida to'rtburchakning qanday turlari o'rganiladi

Zamonaviy geometriyada to'rt tomonli 4 xil ko'pburchaklar mavjud.

Biroq, ularning ba'zilarining juda murakkab xususiyatlari tufayli, geometriya darslarida maktab o'quvchilari faqat ikkita tur bilan tanishadilar.

• Paralelogramma. Bunday to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari bir-biriga juft parallel va shunga mos ravishda juftlikda ham tengdir.
• Trapesiya (trapesiya yoki trapezoid). Bu to'rtburchak bir-biriga parallel bo'lgan qarama-qarshi ikki tomondan iborat. Biroq, boshqa juft tomonlar bu xususiyatga ega emas.

Maktab geometriya kursida o'rganilmagan to'rtburchaklar turlari

Yuqorida aytilganlarga qo'shimcha ravishda, maktab o'quvchilari o'ziga xos murakkabligi sababli geometriya darslarida tanishtirilmaydigan yana ikkita turdagi to'rtburchaklar mavjud.

• Deltoid (uçurtma)- ikki juft qo'shni tomonning har biri uzunligi bo'yicha bir-biriga teng bo'lgan raqam. Bunday to'rtburchak o'z nomini tashqi ko'rinishida yunon alifbosi - "delta" harfiga juda o'xshashligi sababli oldi.
• Antiparalelogramma- bu raqam uning nomi kabi murakkab. Unda ikkita qarama-qarshi tomon teng, lekin ayni paytda ular bir-biriga parallel emas. Bundan tashqari, bu to'rtburchakning uzun qarama-qarshi tomonlari, boshqa ikkita, qisqaroq tomonning kengaytmalari kabi bir-birini kesib o'tadi.

Paralelogramma turlari

To'rtburchaklarning asosiy turlarini ko'rib chiqqandan so'ng, uning kichik turlariga e'tibor qaratish lozim. Demak, barcha parallelogrammalar ham o'z navbatida to'rt guruhga bo'linadi.

• Klassik parallelogramma.
• Romb (rombus)- tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak shakl. Uning diagonallari to'g'ri burchak ostida kesishadi va rombni to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakka bo'linadi.
• To'rtburchak. Ism o'zi uchun gapiradi. Bu to'g'ri burchakli to'rtburchak bo'lgani uchun (ularning har biri to'qson darajaga teng). Uning qarama-qarshi tomonlari nafaqat bir-biriga parallel, balki tengdir.
• Kvadrat (kvadrat). To'rtburchak kabi, u to'g'ri burchakli to'rtburchakdir, lekin uning barcha tomonlari bir-biriga teng. Bu raqam rombga yaqin. Shunday qilib, kvadrat romb va to'rtburchaklar orasidagi xoch ekanligini ta'kidlash mumkin.

To'rtburchakning maxsus xususiyatlari

Tomonlar orasidagi burchaklarning har biri to'qson darajaga teng bo'lgan raqamlarni hisobga olsak, to'rtburchaklar haqida batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi. Xo'sh, uni boshqa parallelogrammalardan ajratib turadigan qanday o'ziga xos xususiyatlari bor?

Ko'rib chiqilayotgan parallelogramma to'rtburchaklar ekanligini tasdiqlash uchun uning diagonallari bir-biriga teng bo'lishi va burchaklarning har biri to'g'ri bo'lishi kerak. Bundan tashqari, uning diagonallari kvadrati ushbu raqamning ikkita qo'shni tomonining kvadratlari yig'indisiga mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, klassik to'rtburchak ikkita to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat va ularda, ma'lumki, ko'rib chiqilayotgan to'rtburchakning diagonali gipotenuza vazifasini bajaradi.

Ushbu raqamning sanab o'tilgan belgilarining oxirgisi ham uning o'ziga xos xususiyatidir. Bundan tashqari, boshqalar ham bor. Masalan, o'rganilayotgan to'g'ri burchakli to'rtburchakning barcha tomonlari bir vaqtning o'zida uning balandliklari ekanligi.

Bundan tashqari, agar biron bir to'rtburchak atrofida aylana chizilgan bo'lsa, uning diametri yozilgan rasmning diagonaliga teng bo'ladi.

Ushbu to'rtburchakning boshqa xususiyatlari qatorida uning tekisligi va Evklid bo'lmagan geometriyada mavjud emasligi. Buning sababi shundaki, bunday tizimda burchaklarining yig'indisi uch yuz oltmish gradusga teng bo'lgan to'rtburchak shakllar mavjud emas.

Kvadrat va uning xususiyatlari

To'rtburchakning belgilari va xususiyatlarini ko'rib chiqqach, to'g'ri burchakli fanga ma'lum bo'lgan ikkinchi to'rtburchakka e'tibor qaratish lozim (bu kvadrat).

Aslida bir xil to'rtburchaklar, ammo tomonlari teng bo'lgan bu raqam barcha xususiyatlarga ega. Ammo undan farqli o'laroq, kvadrat Evklid bo'lmagan geometriyada mavjud.

Bundan tashqari, bu raqam o'ziga xos boshqa o'ziga xos xususiyatlarga ega. Masalan, kvadratning diagonallari shunchaki bir-biriga teng emas, balki to'g'ri burchak ostida kesishadi. Shunday qilib, romb kabi, kvadrat to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat bo'lib, u diagonallar bilan bo'linadi.

Bundan tashqari, bu raqam barcha to'rtburchaklar orasida eng nosimmetrikdir.

To'rtburchak burchaklarining yig'indisi nimaga teng

Evklid geometriyasi to'rtburchaklarining xususiyatlarini hisobga olgan holda, ularning burchaklariga e'tibor qaratish lozim.

Shunday qilib, yuqoridagi raqamlarning har birida, to'g'ri burchakli yoki yo'qligidan qat'i nazar, ularning umumiy yig'indisi har doim bir xil - uch yuz oltmish daraja. Bu ushbu turdagi raqamning o'ziga xos ajralib turadigan xususiyati.

To'rtburchaklar perimetri

To'rtburchak burchaklarining yig'indisi nima ekanligini va ushbu turdagi raqamlarning boshqa maxsus xususiyatlarini aniqlagandan so'ng, ularning perimetri va maydonini hisoblash uchun qaysi formulalar eng yaxshi ishlatilishini bilishga arziydi.

Har qanday to'rtburchakning perimetrini aniqlash uchun siz uning barcha tomonlarini uzunligini qo'shishingiz kerak.

Masalan, KLMN rasmida uning perimetri quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin: P \u003d KL + LM + MN + KN. Agar siz bu erda raqamlarni almashtirsangiz, siz quyidagilarni olasiz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (sm).

Agar ko'rib chiqilayotgan raqam romb yoki kvadrat bo'lsa, perimetrni topish uchun siz uning tomonlaridan birining uzunligini to'rtga ko'paytirish orqali formulani soddalashtirishingiz mumkin: P \u003d KL x 4. Masalan: 6 x 4 \u003d 24 (sm).

To'rtburchaklar maydoni formulalari

Har qanday figuraning perimetrini to'rtta burchagi va yon tomoni bilan qanday topishni aniqlagandan so'ng, uning maydonini topishning eng mashhur va oddiy usullarini ko'rib chiqishga arziydi.

To'rtburchaklarning boshqa xususiyatlari: chizilgan va chegaralangan doiralar

To'rtburchakning xususiyatlari va xususiyatlarini Evklid geometriyasining figurasi sifatida ko'rib chiqib, uning atrofida aylanalarni tasvirlash yoki yozish qobiliyatiga e'tibor qaratish lozim:

• Agar shaklning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi har biri bir yuz sakson gradus bo'lsa va bir-biriga juft bo'lib teng bo'lsa, unda bunday to'rtburchak atrofida aylana erkin tasvirlanishi mumkin.
• Ptolemey teoremasiga ko'ra, agar doira to'rt tomoni bo'lgan ko'pburchakdan tashqarida chegaralangan bo'lsa, uning diagonallari ko'paytmasi berilgan rasmning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'ladi. Shunday qilib, formula quyidagicha ko'rinadi: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Agar siz qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi bir-biriga teng bo'lgan to'rtburchak qursangiz, unda aylana yozilishi mumkin.

To'rtburchak nima ekanligini, uning qanday turlari mavjudligini, ularning qaysi biri tomonlar o'rtasida faqat to'g'ri burchakka ega ekanligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini bilib, ushbu materialning barchasini esga olish kerak. Xususan, ko'rib chiqilayotgan ko'pburchaklarning perimetri va maydonini topish uchun formulalar. Axir, ushbu shakldagi raqamlar eng keng tarqalganlardan biri bo'lib, bu bilimlar haqiqiy hayotda hisob-kitoblar uchun foydali bo'lishi mumkin.

Ta'rif. Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

Mulk. Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar teng va qarama-qarshi burchaklar teng.

Mulk. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Parallelogrammaning 1 belgisi. Agar to'rtburchakning ikki tomoni teng va parallel bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

2 parallelogramma belgisi. Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juftlikda teng bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

Parallelogrammaning 3 belgisi. Agar to'rtburchakda diagonallar kesishsa va kesishish nuqtasi ikkiga bo'lingan bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.

Ta'rif. Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni parallel, qolgan ikki tomoni parallel emas. Parallel tomonlar deyiladi asoslar.

Trapezoid deyiladi teng yon tomonli uning tomonlari teng bo'lsa. Teng yonli trapesiyada asoslardagi burchaklar teng.

to'rtburchaklar.

trapetsiyaning o'rta chizig'i. O'rta chiziq asoslarga parallel va ularning yarmi yig'indisiga teng.

To'rtburchak

Ta'rif.

Mulk. To'rtburchakning diagonallari teng.

To'rtburchak belgisi. Agar parallelogrammning diagonallari teng bo'lsa, parallelogramm to'rtburchak bo'ladi.

Ta'rif.

Mulk. Rombning diagonallari o'zaro perpendikulyar va burchaklarini ikkiga bo'ladi.

Ta'rif.

Kvadrat to'rtburchakning ma'lum bir turi, shuningdek, rombning ma'lum bir turi. Shuning uchun u barcha xususiyatlarga ega.

Xususiyatlari:
1. Kvadratning barcha burchaklari to'g'ri

Barcha qoidalarni to'rtburchaklar

Kalit so‘zlar:
to'rtburchak, qavariq, burchaklar yig'indisi, to'rtburchakning maydoni

to'rtburchak to'rt nuqta va ularni ketma-ket bog'laydigan to'rt segmentdan iborat bo'lgan raqam deyiladi. Bunday holda, ushbu nuqtalarning uchtasi bitta to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak va ularni bog'laydigan segmentlar kesishmasligi kerak.

• To'rtburchakning uchlari deyiladi qo'shni agar ular uning tomonlaridan birining uchlari bo'lsa.
• Qo'shni bo'lmagan cho'qqilar , chaqirdi qarama-qarshi .
• To'rtburchakning qarama-qarshi uchlarini bog'laydigan chiziq segmentlari deyiladi diagonallar .
• To'rtburchakning bir xil cho'qqidan kelib chiqqan tomonlari deyiladi qo'shni partiyalar.
• Umumiy uchi bo'lmagan tomonlar deyiladi qarama-qarshi partiyalar.
• To'rtburchak deyiladi qavariq , agar u har qanday tomonni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan bo'lsa.

To'rtburchaklar turlari

1. Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchak
   • To'rtburchak barcha to'g'ri burchakli parallelogramm
   • Romb - barcha tomonlari teng parallelogramm
   • Kvadrat - barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak
2. Trapesiya - ikki tomoni parallel, qolgan ikki tomoni parallel bo'lmagan to'rtburchak
3. Deltoid Ikki juft qo'shni tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak

To'rtburchaklar

to'rtburchak to'rt nuqta va ularni ketma-ket bog'laydigan to'rt segmentdan iborat bo'lgan raqam deyiladi. Bunday holda, bu nuqtalarning uchtasi bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi va ularni tutashtiruvchi segmentlar kesishmaydi.

qarama-qarshi. qarama-qarshi.

To'rtburchaklar turlari

Paralelogramma

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Paralelogramma xossalari

• qarama-qarshi tomonlar teng;
• qarama-qarshi burchaklar teng;
• diagonallarning kvadratlari yig'indisi barcha tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng:

Paralelogrammaning xususiyatlari

Trapesiya Ikki qarama-qarshi tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel bo'lmagan to'rtburchak deyiladi.

Trapetsiyaning parallel tomonlari deyiladi asoslar va parallel bo'lmagan tomonlar tomonlar. Yonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment deyiladi o'rta chiziq.

Trapezoid deyiladi teng yon tomonlar(yoki teng yon tomonlar) agar uning tomonlari teng bo'lsa.

Bitta to'g'ri burchakli trapetsiya deyiladi to'rtburchaklar.

Trapezoidning xususiyatlari

Trapezoidning belgilari

To'rtburchak

To'rtburchak Agar barcha burchaklar to'g'ri burchakli bo'lsa, parallelogramma deyiladi.

To'rtburchaklar xossalari

To'rtburchaklar xususiyatlari

Paralelogramm to'rtburchak hisoblanadi, agar:

1. Uning burchaklaridan biri to'g'ri.
2. Uning diagonallari teng.

Romb Agar barcha tomonlar teng bo'lsa, parallelogramma deyiladi.

Romb xossalari

• parallelogrammaning barcha xossalari;
• diagonallar perpendikulyar;

Romb belgilari

Kvadrat Barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchaklar deyiladi.

Kvadrat xususiyatlari

• kvadratning barcha burchaklari to'g'ri;
• kvadratning diagonallari teng, o'zaro perpendikulyar, kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi va kvadrat burchaklari yarmiga bo'linadi.

Kvadrat belgilar

Asosiy formulalar

S=d 1 d 2 gunoh

Paralelogramma
a va b- qo'shni partiyalar; - ular orasidagi burchak; h a - balandlikdan yon tomonga a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 gunoh

Trapesiya
a va b- asoslar; h- ular orasidagi masofa; l- o'rta chiziq .

To'rtburchak

S=d 1 d 2 gunoh

S = 2 gunoh

S=d 1 d 2

Kvadrat
d- diagonal.

www.univer.omsk.su

To'rtburchaklarning xossalari. To'rtburchaklar turlari. Ixtiyoriy to'rtburchaklarning xossalari. Paralelogramma xossalari. Romb xossalari. To'rtburchaklar xususiyatlari. Kvadrat xususiyatlari. trapezoid xususiyatlari. Taxminan 7-9-sinf (13-15 yosh)

To'rtburchaklarning xossalari. To'rtburchaklar turlari. Ixtiyoriy to'rtburchaklarning xossalari.
Paralelogramma xossalari. Romb xossalari. To'rtburchaklar xususiyatlari. Kvadrat xususiyatlari. trapezoid xususiyatlari.

To'rtburchaklar turlari:

• Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchakdir

• Romb barcha tomonlari teng parallelogrammdir.

• To'rtburchak barcha toʻgʻri burchakli parallelogrammdir.

• Kvadrat barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchakdir.

Ixtiyoriy to'rtburchaklar xossalari:

Paralelogramma xususiyatlari:

Romb xususiyatlari:

To'rtburchaklar xususiyatlari:

Kvadrat xususiyatlari:

Trapesiya xususiyatlari:

Konsalting va texnik
saytni qo'llab-quvvatlash: Zavarka jamoasi

Barcha qoidalarni to'rtburchaklar

Evklid bo'lmagan geometriya, geometriyaga o'xshash geometriya Evklid bunda u figuralarning harakatini belgilaydi, lekin Evklid geometriyasidan uning beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor etish (1825) tafakkur tarixida muhim voqea bo'ldi, chunki u birinchi qadam bo'ldi. nisbiylik nazariyasi.

Evklidning ikkinchi postulati shunday deydi har qanday chiziq segmenti cheksiz uzaytirilishi mumkin. Aftidan, Evklid bu postulatda to'g'ri chiziq cheksiz uzunlikka ega degan fikr ham borligiga ishongan. Biroq "elliptik" geometriyada har qanday to'g'ri chiziq cheklangan va aylana kabi yopiqdir.

Beshinchi postulat shuni ko'rsatadiki, agar chiziq berilgan ikkita chiziqni shunday kesib o'tsa, uning bir tomonidagi ikkita ichki burchak yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichik bo'lsa, u holda bu ikki chiziq, agar cheksiz cho'zilgan bo'lsa, u joylashgan tomonda kesishadi. bu burchaklar yig'indisi ikkita to'g'ri chiziq yig'indisidan kichik. Ammo "giperbolik" geometriyada CB chizig'i mavjud bo'lishi mumkin (rasmga qarang), C nuqtada berilgan r chiziqqa perpendikulyar va boshqa s chiziqni B nuqtada o'tkir burchak ostida kesib o'tuvchi, lekin shunga qaramay, cheksiz r va s hech qachon kesishmaydi.

Ushbu qayta ko'rib chiqilgan postulatlardan kelib chiqadiki, Evklid geometriyasida 180 ° ga teng bo'lgan uchburchak burchaklarining yig'indisi elliptik geometriyada 180 ° dan katta va giperbolik geometriyada 180 ° dan kichikdir.

To'rtburchak

To'rtburchak to'rtta uchi va to'rt tomoni bo'lgan ko'pburchak.

To'rtburchak, geometrik shakl - to'rtta burchakli ko'pburchak, shuningdek, har qanday ob'ekt, ushbu shakldagi qurilma.

To'rtburchakning qo'shni bo'lmagan ikkita tomoni deyiladi qarama-qarshi. Qo'shni bo'lmagan ikkita cho'qqi ham deyiladi qarama-qarshi.

To'rtburchaklar qavariq (ABCD kabi) va
qavariq bo'lmagan (A 1 B 1 C 1 D 1).

To'rtburchaklar turlari

• Paralelogramma- barcha qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchak;
• To'rtburchak- barcha to'g'ri burchakli to'rtburchaklar;
• Romb- barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak;
• Kvadrat- barcha burchaklari to'g'ri va barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak;
• Trapesiya- qarama-qarshi ikki tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak;
• Deltoid Ikki juft qo'shni tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak.

Paralelogramma

Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

Paralelogramma (yunoncha parallelos - parallel va gramm - chiziqdan) ya'ni parallel chiziqlar ustida yotadi. Parallelogrammaning alohida holatlari to'rtburchaklar, kvadrat va rombdir.

• qarama-qarshi tomonlar teng;
• qarama-qarshi burchaklar teng;
• kesishish nuqtasining diagonallari yarmiga bo'linadi;
• bir tomonga tutashgan burchaklar yig'indisi 180°;
• diagonallarning kvadratlari yig'indisi barcha tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

To'rtburchak parallelogramm bo'ladi, agar:

1. Uning qarama-qarshi tomonlari teng va parallel.
2. Qarama-qarshi tomonlar juftlikda tengdir.
3. Qarama-qarshi burchaklar juftlikda tengdir.
4. Kesishish nuqtasining diagonallari yarmiga bo'linadi.

To'rtburchak

To'rtburchak - barcha to'g'ri burchakli parallelogramm.

• qarama-qarshi tomonlar teng;
• qarama-qarshi burchaklar teng;
• kesishish nuqtasining diagonallari yarmiga bo'linadi;
• bir tomonga tutashgan burchaklar yig'indisi 180°;
• diagonallari teng.

Paralelogramm to'rtburchak hisoblanadi, agar:

1. Uning burchaklaridan biri to'g'ri.
2. Uning diagonallari teng.

Romb barcha tomonlari teng bo'lgan parallelogrammdir.

• qarama-qarshi tomonlar teng;
• qarama-qarshi burchaklar teng;
• kesishish nuqtasining diagonallari yarmiga bo'linadi;
• bir tomonga tutashgan burchaklar yig'indisi 180°;
• diagonallarning kvadratlari yig'indisi barcha tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng;
• diagonallar perpendikulyar;
• diagonallari uning burchaklarining bissektrisalaridir.

Paralelogramma romb hisoblanadi, agar:

1. Uning ikkita qo'shni tomoni teng.
2. Uning diagonallari perpendikulyar.
3. Diagonallardan biri uning burchagi bissektrisasidir.

Kvadrat - bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak.

• kvadratning barcha burchaklari to'g'ri;
• kvadratning diagonallari teng, o'zaro perpendikulyar, kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi va kvadrat burchaklari yarmiga bo'linadi.

1. To'g'ri to'rtburchak, agar u rombning biron bir xususiyatiga ega bo'lsa, kvadratdir.

Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning ikkita qarama-qarshi tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas.

Trapetsiyaning parallel tomonlari uning asoslari, parallel bo'lmagan tomonlari esa tomonlari deyiladi. Yonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment o'rta chiziq deb ataladi.

Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli (yoki teng yon tomonli) deyiladi.

Bitta to'g'ri burchakli trapetsiya to'g'ri burchakli trapesiya deyiladi.

• uning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng;
• agar trapetsiya teng yonli bo'lsa, uning diagonallari teng va asosdagi burchaklar teng;
• agar trapezoid teng yonli bo'lsa, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin;
• agar asoslar yig'indisi tomonlar yig'indisiga teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.

1. To'rtburchak trapezoiddir, agar uning parallel tomonlari teng bo'lmasa

Deltoid Bir xil uzunlikdagi ikki juft tomonli to'rtburchak. Paralelogrammadan farqli o'laroq, ikki juft qo'shni tomonlar teng emas, balki ikki juft qo'shni tomondir. Deltoid shakli uçurtmaga o'xshaydi.

• Teng bo'lmagan uzunlikdagi tomonlar orasidagi burchaklar tengdir.
• Deltoidning diagonallari (yoki ularning kengaytmalari) to'g'ri burchak ostida kesishadi.
• Har qanday konveks deltoidga aylana yozilishi mumkin, bundan tashqari, agar deltoid romb bo'lmasa, unda to'rt tomonning kengaytmalariga tegib turadigan yana bir doira mavjud. Qavariq bo'lmagan deltoid uchun ikkita kattaroq tomonga tegib turgan aylana va ikkita kichik tomonning kengaytmalari va ikkita kichikroq tomonga tegib turgan aylana va ikkita katta tomonning kengaytmalarini qurish mumkin.

• Agar deltoidning teng bo'lmagan tomonlari orasidagi burchak to'g'ri chiziq bo'lsa, unda aylana chizilgan bo'lishi mumkin (tavsiflangan deltoid).
• Agar deltaning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lsa, unda bunday delta rombdir.
• Agar deltoidning qarama-qarshi tomonlari va ikkala diagonallari teng bo'lsa, deltoid kvadratdir. Diagonallari teng bo'lgan chizilgan deltoid ham kvadratdir.

Geometriyaning paydo bo'lishi qadimgi davrlarga borib taqaladi va inson faoliyatining amaliy ehtiyojlari (erni o'lchash, turli jismlarning hajmlarini o'lchash zarurati va boshqalar) bilan bog'liq.

Eng oddiy geometrik ma'lumotlar va tushunchalar qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan. Bu davrda geometrik bayonotlar isbotsiz berilgan qoidalar shaklida tuzilgan.

Miloddan avvalgi VII asrdan boshlab e. eramizning 1-asrigacha e. geometriya fan sifatida qadimgi Yunonistonda tez rivojlandi. Bu davrda nafaqat turli xil geometrik ma'lumotlarning to'planishi, balki geometrik bayonotlarni isbotlash metodologiyasi ham ishlab chiqildi va geometriyaning asosiy birlamchi qoidalarini (aksiomalarini) shakllantirishga birinchi urinishlar qilindi, ulardan juda ko'p turli xil geometrik gaplar sof mantiqiy mulohaza yuritish orqali hosil bo‘ladi. Qadimgi Yunonistonda geometriyaning rivojlanish darajasi Evklidning "Boshlanishlar" asarida o'z aksini topgan.

Ushbu kitobda birinchi marta aniqlanmagan asosiy geometrik tushunchalar va aksiomalar (postulatlar) asosida planimetriyaning tizimli qurilishini berishga harakat qilingan.

Matematika tarixida Evklidning beshinchi postulati (parallel chiziqlar aksiomasi) alohida o'rin tutadi. Uzoq vaqt davomida matematiklar Evklidning qolgan postulatlaridan beshinchi postulatni olishga urinib ko‘rishdi va faqat 19-asr o‘rtalarida N. I. Lobachevskiy, B. Riman va J. Boyailarning tadqiqotlari tufayli ma’lum bo‘ldi. beshinchi postulat qolganlardan kelib chiqishi mumkin emas va Evklid tomonidan taklif qilingan aksiomalar tizimi yagona mumkin emas.

Evklidning "Elementlar" asari matematikaning rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi. Ikki ming yildan ortiq vaqt davomida ushbu kitob nafaqat geometriya bo'yicha darslik, balki ko'plab matematik tadqiqotlar uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi, buning natijasida matematikaning yangi mustaqil tarmoqlari paydo bo'ldi.

Geometriyaning tizimli qurilishi odatda quyidagi rejaga muvofiq amalga oshiriladi:

I. Asosiy geometrik tushunchalar sanab o'tilgan, ular ta'riflarsiz kiritilgan.

II. Geometriya aksiomalarining formulasi berilgan.

III. Aksiomalar va asosiy geometrik tushunchalar asosida boshqa geometrik tushunchalar va teoremalar tuziladi.

1. Noevklid geometriyasi nomining kelib chiqishi?
2. Qanday shakllar to'rtburchaklar deb ataladi?
3. Paralelogrammaning xossalari?
4. To'rtburchaklar turlari?

Foydalanilgan manbalar ro'yxati

1. A.G. Tsypkin. Matematika bo'yicha qo'llanma
2. “Yagona davlat imtihoni 2006. Matematika. Talabalarni tayyorlash uchun o'quv va o'quv materiallari / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Skanavi tomonidan tahrirlangan to'plamning matematikadan asosiy raqobat muammolarini hal qilish"

Dars ustida ishlash

Siz zamonaviy ta'lim haqida savol berishingiz, fikr bildirishingiz yoki dolzarb muammoni hal qilishingiz mumkin Ta'lim forumi bu erda yangi fikr va harakatlarning ta'lim kengashi xalqaro miqyosda yig'iladi. Yaratgan blog, Siz nafaqat malakali o‘qituvchi sifatidagi mavqeingizni oshirasiz, balki kelajak maktabi rivojiga ham salmoqli hissa qo‘shasiz. Ta'lim rahbarlari gildiyasi yuqori darajali mutaxassislarga eshikni ochadi va sizni dunyodagi eng yaxshi maktablarni yaratish yo'lida hamkorlik qilishga taklif qiladi.

Mashhur:

• Nafrat yoki adovat qo‘zg‘atish, shuningdek inson qadr-qimmatini kamsitish 282-modda.
• Korporativ mulk solig'i kalkulyatori Korporativ mulk solig'ini qanday hisoblash mumkin Avans to'lovlarini hisoblash shakli o'zgartirildi. 2017 yilning birinchi yarim yilligi uchun hisobotdan boshlab yuridik shaxslarning mulk solig'ini hisoblash [...]
• Ekologiya qonunlari 100 yildan ortiq populyatsiyalar va jamoalarni har tomonlama o'rganish davomida juda katta miqdordagi faktlar to'plangan. Ular orasida - tasodifiy yoki tartibsiz hodisalar va jarayonlarni aks ettiruvchi katta raqam. Lekin emas […]
• Majburiy pensiya sug'urtasi tizimida pensiya ta'minoti variantlari 2015 yil oxirigacha 1967 yilda tug'ilgan va undan kichikroq fuqarolar pensiya qurishni davom ettirishni tanlashlari mumkin edi [...]
• Qishloq xo'jaligi vazirligining buyrug'i 549 Rossiya Federatsiyasi Adliya vazirligida 2009 yil 5 martda ro'yxatga olingan N 13476 Rossiya Federatsiyasi Qishloq xo'jaligi Vazirligi 2008 yil 16 dekabrdagi N 532 N 532 VA FIYATLARNI TASDIQLASH TAQDIRIDA. VA […]
• 2018 yil 1 yanvardan nogiron bolalar uchun pensiyalarni oshirish Fuqarolarning pensiya ta'minoti davlat zimmasiga yuklangan majburiyatdir. Bu mamlakat qonunlari to'plamida - Konstitutsiyada ko'rsatilgan. Ehtiyojmand nogironlar orasida […]
• RZD "Rossiya temir yo'llari" OAJning ichki tartib qoidalari 2012 yil 26 iyuldagi 87-sonli BUYRUM 2012 yil 26-iyuldagi 87-sonli BUYRUM VA RIVOJLANTIRISH MINTAQAVIY XIZMATLARINING (BO'LIMASI) ICHKI mehnatni tartibga solish Nizomlarini tasdiqlash to'g'risida […]
• Kontning 3 bosqichi qonuni Pozitivizm falsafiy oqim sifatida dunyo, inson va jamiyat haqidagi bilimlarning asosiy qismi maxsus fanlarda olinadi, "ijobiy" fan urinishlardan voz kechishi kerak degan tushunchadan kelib chiqadi [...]

To'rt burchakli va to'rtta tomoni bilan. To'rtburchak to'rtta bo'g'indan va ko'p chiziq ichida joylashgan tekislikning o'sha qismidan iborat yopiq ko'p chiziqdan hosil bo'ladi.

To'rtburchakning belgilanishi uning uchlaridagi harflardan iborat bo'lib, ularni tartibda nomlaydi. Masalan, ular aytadilar yoki yozadilar: to'rtburchak A B C D :

To'rtburchakda A B C D ball A, B, C va D- Bu to'rtburchaklar cho'qqilari, segmentlar AB, Miloddan avvalgi, CD va DA - tomonlar.

Xuddi shu tomonga tegishli cho'qqilar deyiladi qo'shni, qo'shni bo'lmagan cho'qqilar deyiladi qarama-qarshi:

To'rtburchakda A B C D cho'qqilari A va B, B va C, C va D, D va A qo'shni va uchlari A va C, B va D- qarama-qarshi. Qo'shni cho'qqilarda yotgan burchaklar ham qo'shni, qarama-qarshi cho'qqilarda esa qarama-qarshi deb ataladi.

To'rtburchakning tomonlarini ham qo'shni va qarama-qarshi tomonlarga juft-juft bo'lish mumkin: umumiy cho'qqisi bo'lgan tomonlar deyiladi. qo'shni(yoki bog'liq), umumiy uchlari bo'lmagan tomonlar - qarama-qarshi:

Partiyalar AB va Miloddan avvalgi, Miloddan avvalgi va CD, CD va DA, DA va AB qo'shni va tomonlar AB va DC, AD va Miloddan avvalgi- qarama-qarshi.

Agar qarama-qarshi cho'qqilar segment bilan bog'langan bo'lsa, unda bunday segment chaqiriladi to'rtburchakning diagonali. To'rtburchakda faqat ikkita juft qarama-qarshi cho'qqi borligini hisobga olsak, u holda faqat ikkita diagonal bo'lishi mumkin:

Segmentlar AC va BD- diagonallar.

Qavariq to'rtburchaklarning asosiy turlarini ko'rib chiqing:

• Trapesiya- qarama-qarshi tomonlarning bir jufti bir-biriga parallel, ikkinchisi esa parallel bo'lmagan to'rtburchak.
  • Izossellar trapeziyasi- tomonlari teng bo'lgan trapetsiya.
  • To'rtburchak trapezoid To'g'ri burchaklardan biriga ega trapezoid.
• Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlarning ikkala jufti bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchak.
  • To'rtburchak Barcha burchaklari teng bo'lgan parallelogramma.
  • Romb Barcha tomonlari teng bo'lgan parallelogramm.
  • Kvadrat Tomonlari va burchaklari teng bo'lgan parallelogramm. To'rtburchak ham, romb ham kvadrat bo'lishi mumkin.

Qavariq to'rtburchaklarning burchak xossalari

Barcha qavariq to'rtburchaklar quyidagi ikkita xususiyatga ega:

1. 180 ° dan kam bo'lgan har qanday ichki burchak.
2. Ichki burchaklarning yig'indisi 360 ° ga teng.

Dars mavzusi

• To'rtburchakning ta'rifi.

Dars maqsadlari

• Ta'lim - "To'rtburchaklar" mavzusi bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tekshirish; asosiy ko'nikmalarni rivojlantirish.
• Rivojlantiruvchi - o'quvchilarning diqqatini, qat'iyatliligini, qat'iyatliligini, mantiqiy fikrlashini, matematik nutqini rivojlantirish.
• Tarbiyaviy - dars orqali bir-biriga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishni, o'rtoqlarni tinglash, o'zaro yordam, mustaqillik qobiliyatini singdirish.

Dars maqsadlari

• Masshtab chizig‘i va chizilgan uchburchak yordamida to‘rtburchak yasash ko‘nikmalarini shakllantirish.
• Talabalarning muammolarni hal qilish qobiliyatini tekshirish.

Dars rejasi

1. Tarix ma'lumotnomasi. Evklid bo'lmagan geometriya.
2. To'rtburchak.
3. To'rtburchaklar turlari.

Evklid bo'lmagan geometriya

Evklid bo'lmagan geometriya, geometriyaga o'xshash geometriya Evklid bunda u figuralarning harakatini belgilaydi, lekin Evklid geometriyasidan uning beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor etish (1825) tafakkur tarixida muhim voqea bo'ldi, chunki u birinchi qadam bo'ldi. nisbiylik nazariyasi.

Evklidning ikkinchi postulati shunday deydi har qanday chiziq segmenti cheksiz uzaytirilishi mumkin. Aftidan, Evklid bu postulatda to'g'ri chiziq cheksiz uzunlikka ega degan fikr ham borligiga ishongan. Biroq "elliptik" geometriyada har qanday to'g'ri chiziq cheklangan va aylana kabi yopiqdir.

Beshinchi postulat shuni ko'rsatadiki, agar chiziq berilgan ikkita chiziqni shunday kesib o'tsa, uning bir tomonidagi ikkita ichki burchak yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichik bo'lsa, u holda bu ikki chiziq, agar cheksiz cho'zilgan bo'lsa, u joylashgan tomonda kesishadi. bu burchaklar yig'indisi ikkita to'g'ri chiziq yig'indisidan kichik. Ammo "giperbolik" geometriyada CB chizig'i mavjud bo'lishi mumkin (rasmga qarang), C nuqtada berilgan r chiziqqa perpendikulyar va boshqa s chiziqni B nuqtada o'tkir burchak ostida kesib o'tuvchi, lekin shunga qaramay, cheksiz r va s hech qachon kesishmaydi.

Ushbu qayta ko'rib chiqilgan postulatlardan kelib chiqadiki, Evklid geometriyasida 180 ° ga teng bo'lgan uchburchak burchaklarining yig'indisi elliptik geometriyada 180 ° dan katta va giperbolik geometriyada 180 ° dan kichikdir.

To'rtburchak

Mavzular > Matematika > Matematika 8-sinf

Qavariq to'rtburchak - bu uchlari bilan bir-biriga bog'langan to'rt tomondan iborat bo'lib, tomonlari bilan birga to'rtta burchak hosil qiladi, to'rtburchakning o'zi esa har doim bir tomoni yotadigan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil tekislikda bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, butun raqam uning har qanday tomonining bir tomonida joylashgan.

Bilan aloqada

Ko'rib turganingizdek, ta'rifni eslab qolish juda oson.

Asosiy xususiyatlar va turlari

Bizga ma'lum bo'lgan to'rtta burchak va tomondan iborat deyarli barcha raqamlarni konveks to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin. Quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin:

1. parallelogramm;
2. kvadrat;
3. to'rtburchak;
4. trapezoid;
5. romb.

Bu raqamlarning barchasini nafaqat to'rtburchak, balki qavariq ekanligi ham birlashtiradi. Faqat diagrammaga qarang:

Rasmda qavariq trapezoid ko'rsatilgan. Bu yerda trapezoid bir tekislikda yoki segmentning bir tomonida ekanligini ko'rishingiz mumkin. Agar siz shunga o'xshash harakatlarni amalga oshirsangiz, boshqa barcha tomonlarda trapezoid konveks ekanligini bilib olishingiz mumkin.

Paralelogramma qavariq to'rtburchakmi?

Yuqorida parallelogrammning tasviri. Rasmdan ko'rinib turibdiki, parallelogramma ham qavariqdir. Agar siz rasmga AB, BC, CD va AD segmentlari yotadigan chiziqlarga nisbatan qarasangiz, bu chiziqlardan u doimo bir tekisda ekanligi ayon bo'ladi. Parallelogrammaning asosiy xususiyatlari shundaki, uning tomonlari juft parallel va qarama-qarshi burchaklar bir-biriga teng bo'lganidek tengdir.

Endi kvadrat yoki to'rtburchakni tasavvur qiling. Asosiy xususiyatlariga ko'ra ular ham parallelogrammlardir, ya'ni ularning barcha tomonlari parallel ravishda juft bo'lib joylashgan. Faqat to'rtburchakda tomonlarning uzunligi har xil bo'lishi mumkin va burchaklari to'g'ri (90 gradusga teng), kvadrat bu to'rtburchaklar bo'lib, uning barcha tomonlari teng va burchaklari ham to'g'ri, uzunliklari esa. parallelogrammning tomonlari va burchaklari har xil bo'lishi mumkin.

Natijada, to'rtburchakning barcha to'rtta burchagi yig'indisi 360 darajaga teng bo'lishi kerak. Buni aniqlashning eng oson usuli - to'rtburchaklar: to'rtburchakning barcha to'rtta burchagi to'g'ri, ya'ni 90 darajaga teng. Ushbu 90 graduslik burchaklarning yig'indisi 360 gradusni beradi, boshqacha aytganda, agar siz 90 gradusni 4 marta qo'shsangiz, kerakli natijaga erishasiz.

Qavariq to'rtburchak diagonallarining xossasi

Qavariq to'rtburchakning diagonallari kesishadi. Darhaqiqat, bu hodisani vizual ravishda kuzatish mumkin, shunchaki rasmga qarang:

Chapdagi rasmda konveks bo'lmagan to'rtburchak yoki to'rtburchak ko'rsatilgan. Xohlaganingdek. Ko'rib turganingizdek, diagonallar kesishmaydi, hech bo'lmaganda hammasi ham emas. O'ng tomonda qavariq to'rtburchak joylashgan. Bu erda diagonallarning kesishish xususiyati allaqachon kuzatilgan. Xuddi shu xususiyatni to'rtburchakning konveksligining belgisi deb hisoblash mumkin.

To'rtburchakning boshqa xossalari va qavariq belgilari

Xususan, ushbu atamaga ko'ra, har qanday o'ziga xos xususiyat va xususiyatlarni nomlash juda qiyin. Ushbu turdagi to'rtburchaklarning har xil turlari bo'yicha izolyatsiya qilish osonroq. Siz parallelogrammdan boshlashingiz mumkin. Biz allaqachon bilamizki, bu to'rtburchak shakl bo'lib, uning tomonlari juft parallel va tengdir. Shu bilan birga, parallelogramma diagonallarining bir-biri bilan kesishish xususiyati, shuningdek, figuraning o'zi qavariqlik belgisi ham shu erda keltirilgan: parallelogramma har doim bir xil tekislikda va bir tomonda nisbiydir. uning har qanday tomoniga.

Shunday qilib, asosiy xususiyatlari va xususiyatlari ma'lum:

1. to'rtburchak burchaklarining yig'indisi 360 daraja;
2. raqamlarning diagonallari bir nuqtada kesishadi.

To'rtburchak. Bu raqam parallelogramm bilan bir xil xususiyat va xususiyatlarga ega, ammo uning barcha burchaklari 90 darajaga teng. Shunday qilib, to'rtburchak nomi.

Kvadrat, bir xil parallelogramm, lekin uning burchaklari to'g'ri, to'rtburchak kabi. Shu sababli, kvadrat kamdan-kam hollarda to'rtburchaklar deb ataladi. Ammo kvadratning asosiy farqlovchi xususiyati, yuqorida sanab o'tilganlarga qo'shimcha ravishda, uning barcha to'rt tomoni tengdir.

Trapezoid juda qiziq rasm.. Bu ham to'rtburchak, ham konveksdir. Ushbu maqolada trapezoid allaqachon chizma misolida ko'rib chiqilgan. Uning ham qavariq ekanligi aniq. Asosiy farq va shunga mos ravishda trapezoidning belgisi shundaki, uning tomonlari uzunligi bo'yicha ham, burchaklari ham bir-biriga mutlaqo teng bo'lmasligi mumkin. Bunda figurani tashkil etuvchi segmentlar bo'ylab uning istalgan ikkita uchini bog'laydigan har qanday to'g'ri chiziqlarga nisbatan rasm har doim bir xil tekislikda qoladi.

Romb ham xuddi shunday qiziqarli raqam. Qisman rombni kvadrat deb hisoblash mumkin. Rombning belgisi shundaki, uning diagonallari nafaqat kesishadi, balki rombning burchaklarini yarmiga bo'linadi va diagonallarning o'zi to'g'ri burchak ostida kesishadi, ya'ni ular perpendikulyardir. Agar romb tomonlarining uzunliklari teng bo'lsa, u holda diagonallar ham kesishgan joyda yarmiga bo'linadi.

Deltalar yoki qavariq romboidlar (rombuslar) turli tomonlar uzunligi bo'lishi mumkin. Ammo shu bilan birga, rombning asosiy xususiyatlari va xususiyatlari ham, qavariqning xususiyatlari va xususiyatlari ham saqlanib qolgan. Ya'ni, diagonallar burchaklarni ikkiga bo'lishlarini va to'g'ri burchak ostida kesishishini kuzatishimiz mumkin.

Bugungi vazifa qavariq to'rtburchaklar nima ekanligini, ular nima ekanligini va ularning asosiy xususiyatlari va xususiyatlarini ko'rib chiqish va tushunish edi. Diqqat! Yana bir bor eslatib o'tish joizki, qavariq to'rtburchak burchaklarining yig'indisi 360 daraja. Raqamlarning perimetri, masalan, shaklni tashkil etuvchi barcha segmentlarning uzunliklari yig'indisiga teng. To'rtburchaklar perimetri va maydonini hisoblash formulalari keyingi maqolalarda ko'rib chiqiladi.

Qavariq to'rtburchaklar turlari