Uchburchakning uchta burchagi teng. Uchburchak burchaklarining yig'indisi. Burchaklarning uchburchak yig'indisi teoremasi

Teorema. Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakka teng.

ABC uchburchagini oling (208-rasm). Uning ichki burchaklarini 1, 2 va 3 bilan belgilaymiz. Buni isbotlaylik

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Uchburchakning ba'zi bir cho'qqisi orqali, masalan, B, AC ga parallel bo'lgan MN chizig'ini o'tkazamiz.

B cho'qqisida biz uchta burchak oldik: ∠4, ∠2 va ∠5. Ularning yig'indisi to'g'ri burchakdir, shuning uchun u 180 ° ga teng:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ammo ∠4 \u003d ∠1 - bu MN va AC parallel chiziqlari va AB kesuvchisi bo'lgan ichki kesishgan burchaklar.

∠5 = ∠3 - MN va AC parallel chiziqlari va BC kesmasi bo'lgan ichki ko'ndalang yotqizilgan burchaklar.

Demak, ∠4 va ∠5 ni ularning ∠1 va ∠3 tenglari bilan almashtirish mumkin.

Shuning uchun, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema isbotlangan.

2. Uchburchakning tashqi burchagi xossasi.

Darhaqiqat, ABC uchburchakda (209-rasm) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, balki ∠BCD ham, bu uchburchakning ∠1 va ∠2 ga qo'shni bo'lmagan tashqi burchagi ham 180 ° ga teng - ∠3.

Shunday qilib:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Demak, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Uchburchakning tashqi burchagining xossasi uchburchakning tashqi burchagi haqidagi ilgari isbotlangan teoremaning mazmunini aniqlaydi, unda faqat uchburchakning tashqi burchagi uchburchakning har bir ichki burchagidan katta ekanligi aytilgan edi. unga qo'shni emas; endi tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan ikkala ichki burchaklar yig'indisiga teng ekanligi aniqlandi.

3. 30° burchakli to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossasi.

Ichkariga ruxsat bering to'g'ri uchburchak DIA burchagi B 30 ° (210-rasm). Keyin uning boshqa o'tkir burchagi 60 ° bo'ladi.

AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Biz AC oyog'ini tepadan tashqarida davom ettiramiz to'g'ri burchak C va AC segmentiga teng bo'lgan SM segmentini chetga surib qo'ying. M nuqtasini B nuqtasi bilan bog'laymiz. Olingan uchburchak BCM uchburchakka teng IIV. AVM uchburchakning har bir burchagi 60° ga teng ekanligini ko'ramiz, shuning uchun bu uchburchak teng yonli.

AC oyog'i AM ning yarmiga teng va AM AB ga teng bo'lgani uchun, AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng bo'ladi.

“Yevklid geometriyasida har qanday uchburchak burchaklarining yig‘indisi 180 gradus” degan haqiqatni osongina eslash mumkin. Agar eslab qolish oson bo'lmasa, yaxshiroq yodlash uchun bir nechta tajriba o'tkazishingiz mumkin.

Bir tajriba

Bir varaq qog'ozga bir nechta ixtiyoriy uchburchaklar chizing, masalan:

• ixtiyoriy tomonlar bilan;
• teng yonli uchburchak;
• to'g'ri uchburchak.

Chiziqdan foydalanganingizga ishonch hosil qiling. Endi siz olingan uchburchaklarni kesib olishingiz kerak, buni aniq chizilgan chiziqlar bo'ylab bajaring. Har bir uchburchakning burchaklarini rangli qalam yoki flomaster bilan ranglang. Misol uchun, birinchi uchburchakda barcha burchaklar qizil, ikkinchisida - ko'k, uchinchisi - yashil bo'ladi. http://bit.ly/2gY4Yfz

Birinchi uchburchakdan barcha 3 burchakni kesib oling va ularni bir nuqtada uchlari bilan bog'lang, shunda har bir burchakning eng yaqin tomonlari ulanadi. Ko'rib turganingizdek, uchburchakning uchta burchagi 180 darajaga teng bo'lgan to'g'ri burchak hosil qildi. Boshqa ikkita uchburchak bilan ham xuddi shunday qiling - natija bir xil bo'ladi. http://bit.ly/2zurCrd

Ikkinchi tajriba

Biz ixtiyoriy ABC uchburchagini chizamiz. Biz har qanday cho'qqini (masalan, C) tanlaymiz va u orqali qarama-qarshi tomonga (AB) parallel bo'lgan DE to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. http://bit.ly/2zbYNzq

Biz quyidagilarni olamiz:

1. BAC va ACD burchaklari teng, chunki AC ga nisbatan ichki o'zaro kesishadi;
2. ABC va BCE burchaklari teng, chunki BC ga nisbatan ichki kesma;
3. Biz 1, 2 va 3 burchaklar - bir nuqtada bog'langan uchburchakning burchaklari 180 darajaga teng bo'lgan rivojlangan DCE burchagini hosil qilganligini ko'ramiz.

Uchburchak yig'indisi teoremasi har qanday uchburchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng ekanligini aytadi.

Uchburchakning ichki burchaklari a, b va c bo'lsin, keyin:

a + b + c = 180 °.

Ushbu nazariyadan biz har qanday uchburchakning barcha tashqi burchaklarining yig'indisi 360 ° ga teng degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tashqi burchak ichki burchakka qo'shni bo'lgani uchun ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Uchburchakning ichki burchaklari a, b va c bo'lsin, u holda bu burchaklardagi tashqi burchaklar 180 ° - a, 180 ° - b va 180 ° - c bo'ladi.

Uchburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisini toping:

180 ° - a + 180 ° - b + 180 ° - c = 540 ° - (a + b + c) = 540 ° - 180 ° = 360 °.

Javob: uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180°; uchburchakning tashqi burchaklarining yig'indisi 360° ga teng.

Bu teorema L.S.Atanasyanning darsligida ham tuzilgan. , va darslikda Pogorelov A.V. . Ushbu darsliklarda ushbu teoremaning isbotlari sezilarli darajada farq qilmaydi va shuning uchun biz uning isbotini, masalan, Pogorelov A.V.

Teorema: Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng

Isbot. ABC berilgan uchburchak bo'lsin. B cho'qqi orqali AC chizig'iga parallel chiziq chizing. Unda D nuqtani shunday belgilangki, A va D nuqtalar BC chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotsin (6-rasm).

DBC va ACB burchaklari AC va BD parallel toʻgʻri chiziqlar bilan BC sekantdan hosil boʻlgan ichki oʻzaro kesishuvga teng. Demak, uchburchakning B va C uchlaridagi burchaklarining yig’indisi ABD burchagiga teng. Va uchburchakning barcha uch burchagining yig'indisi ABD va BAC burchaklarining yig'indisiga teng. Bu burchaklar parallel AC va BD va AB sekant uchun ichki bir tomonlama bo'lgani uchun ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

Bu dalil ortidagi g'oya parallel chiziq va kerakli burchaklarning tengligini belgilash. Biz bunday qo'shimcha konstruktsiya g'oyasini fikrlash tajribasi kontseptsiyasidan foydalangan holda ushbu teoremani isbotlash orqali qayta tiklaymiz. Fikrlash tajribasi yordamida teoremani isbotlash. Demak, fikrlash tajribamizning mavzusi uchburchakning burchaklaridir. Keling, uni ruhiy jihatdan uning mohiyatini alohida aniqlik bilan ochish mumkin bo'lgan sharoitlarga joylashtiramiz (1-bosqich).

Bunday shartlar uchburchak burchaklarining shunday joylashishi bo'ladi, bunda ularning uchta uchi bir nuqtada birlashtiriladi. Nishab burchagini o'zgartirmasdan, uchburchak tomonlarining harakati orqali burchaklarni "harakat qilish" imkoniyatiga ruxsat beradigan bo'lsak, bunday kombinatsiya mumkin (1-rasm). Bunday harakatlar mohiyatan keyingi ruhiy transformatsiyalardir (2-bosqich).

Uchburchakning burchaklari va tomonlarini belgilashni (2-rasm), "harakat" paytida olingan burchaklarni amalga oshirib, biz shu bilan fikrlash mavzusini joylashtirgan muhitni, aloqalar tizimini aqliy shakllantiramiz (3-bosqich).

AB chizig'i BC chizig'i bo'ylab "harakat qiladi" va unga moyillik burchagini o'zgartirmasdan, 1-burchakni 5-burchakka aylantiradi va AC chizig'i bo'ylab "harakatlanuvchi" 2-burchakni 4-burchakka aylantiradi. Chunki bunday "harakat" bilan. AB chizig'i AC va BC chiziqlarga moyillik burchagini o'zgartirmaydi, u holda xulosa aniq: a va a1 nurlar AB ga parallel va bir-biriga o'tadi, b va b1 nurlar esa BC tomonlarining davomi bo'ladi. va mos ravishda AC. 3 burchak va at va at1 nurlari orasidagi burchak vertikal bo'lgani uchun ular tengdir. Ushbu burchaklarning yig'indisi kengaytirilgan burchak aa1 ga teng - bu 180 ° ni bildiradi.

XULOSA

DA tezis Ba'zi maktab geometrik teoremalarining "tuzatilgan" isbotlari fikrlash tajribasining tuzilishidan foydalangan holda amalga oshirildi, bu esa tuzilgan gipotezaning tasdig'i edi.

Taqdim etilgan dalillar vizual-sensorli idealizatsiyalarga asoslangan edi: "siqilish", "cho'zish", "siljish" bu asl geometrik ob'ektni o'ziga xos tarzda o'zgartirish va uning fikr uchun xos bo'lgan muhim xususiyatlarini ajratib ko'rsatish imkonini berdi. tajriba. Qayerda fikrlash tajribasi geometrik bilimlarning paydo bo'lishiga hissa qo'shadigan ma'lum bir "ijodiy vosita" sifatida ishlaydi (masalan, taxminan o'rta chiziq trapezoid yoki uchburchakning burchaklari haqida). Bunday ideallashtirishlar isbotlash g'oyasini, "qo'shimcha qurilish" ni amalga oshirish g'oyasini tushunishga imkon beradi, bu bizga maktab o'quvchilari tomonidan rasmiy jarayonni yanada ongliroq tushunish imkoniyati haqida gapirishga imkon beradi. geometrik teoremalarning deduktiv isboti.

Fikrlash tajribasi geometrik teoremalarni olish va ochishning asosiy usullaridan biridir. Usulni talabaga o'tkazish metodikasini ishlab chiqish kerak. Usulni "qabul qilish" uchun maqbul bo'lgan talabaning yoshi haqidagi savol ochiq qolmoqda. yon effektlar shu tarzda taqdim etilgan dalillar.

Bu savollar qo'shimcha o'rganishni talab qiladi. Lekin har qanday holatda ham bir narsaga shubha yo‘q: fikrlash tajribasi maktab o‘quvchilarida nazariy tafakkurni rivojlantiradi, uning asosi hisoblanadi va shuning uchun aqliy eksperiment qilish qobiliyatini rivojlantirish kerak.

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema

Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

Isbot:

• ABC uchburchagi berilgan.
• AC asosiga parallel ravishda B cho'qqi orqali DK chizig'ini o'tkazing.
• \angle CBK= \angle C sifatida ichki ko'ndalang yotuvchi parallel DK va AC, va BC sekant.
• \angle DBA = \angle DK \parallel AC va AB sekantida yotadigan ichki ko'ndalang. DBK burchagi to'g'ri va teng
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• To'g'ri burchak 180 ^\circ va \angle CBK = \angle C va \angle DBA = \angle A bo'lgani uchun, biz olamiz 180 ^\circ = \burchak A + \burchak B + \burchak C.

Teorema isbotlangan

Uchburchak burchaklarining yig'indisi teoremasidan olingan natijalar:

1. To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisi 90°.
2. Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda har bir o'tkir burchak teng 45°.
3. Teng tomonli uchburchakda har bir burchak teng 60°.
4. Har qanday uchburchakda yoki barcha burchaklar o'tkir yoki ikkita burchak o'tkir, uchinchisi esa o'tkir yoki to'g'ri.
5. Uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng.

Uchburchak tashqi burchak teoremasi

Uchburchakning tashqi burchagi uchburchakning shu tashqi burchakka qoʻshni boʻlmagan qolgan ikkita burchaklarining yigʻindisiga teng.

Isbot:

• ABC uchburchagi berilgan, bu erda BCD - tashqi burchak.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Tengliklardan, burchakdan \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• olamiz \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Maqsad va vazifalar:

Tarbiyaviy:

• uchburchak haqidagi bilimlarni takrorlash va umumlashtirish;
• uchburchak yig'indisi teoremasini isbotlash;
• teoremani shakllantirishning to'g'riligini amalda tekshirish;
• olingan bilimlarni masalalar yechishda qo‘llashni o‘rganish.

Rivojlanayotgan:

• geometrik fikrlashni rivojlantirish, mavzuga qiziqish, kognitiv va ijodiy faoliyat talabalar, matematik nutq, mustaqil bilim olish qobiliyati.

Tarbiyaviy:

• rivojlantirish shaxsiy fazilatlar o‘quvchilarning maqsadlilik, qat’iyatlilik, aniqlik, jamoada ishlash qobiliyati kabilar.

Uskunalar: multimedia proyektori, rangli qog`ozdan yasalgan uchburchaklar, “Jonli matematika” o`quv-metodik materiallari, kompyuter, ekran.

Tayyorgarlik bosqichi: O'qituvchi talabaga tayyorgarlik ko'rishni buyuradi tarixiy fon burchaklar yigindisi uchburchak teoremasi haqida.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment

Salom. Talabalarning mehnatga psixologik munosabati.

II. Qizdirish; isitish

Biz oldingi darslarda "uchburchak" geometrik figurasi bilan tanishdik. Keling, uchburchak haqida bilganimizni takrorlaylik?

Talabalar guruhlarda ishlaydi. Ularga bir-biri bilan muloqot qilish, har biri mustaqil ravishda bilish jarayonini qurish imkoniyati beriladi.

Nima bo'ldi? Har bir guruh o‘z takliflarini bildiradi va o‘qituvchi ularni doskaga yozadi. Natijalar muhokama qilinmoqda:

1-rasm

III. Biz darsning vazifasini tuzamiz

Shunday qilib, biz allaqachon uchburchak haqida ko'p narsalarni bilamiz. Lekin hammasi emas. Har biringizning stolingizda uchburchaklar va transport vositalari bor. Sizningcha, qanday vazifani shakllantirishimiz mumkin?

Talabalar darsning vazifasini tuzadilar - uchburchak burchaklarining yig'indisini topish.

IV. Yangi materialni tushuntirish

Amaliy qism(bilim va o‘z-o‘zini bilish malakalarini aktuallashtirishga hissa qo‘shadi).Burchaklarni transportyor yordamida o‘lchab, yig‘indisini toping. Natijalarni daftarga yozing (qabul qilingan javoblarni tinglang). Biz hamma uchun burchaklar yig'indisi har xil bo'lganini aniqladik (bu transport vositasi noto'g'ri qo'llanganligi, hisoblash beparvo qilinganligi va h.k. tufayli sodir bo'lishi mumkin).

Nuqtali chiziqlar bo'ylab katlayın va uchburchak burchaklarining yig'indisi yana nimaga teng ekanligini aniqlang:

a)
2-rasm

b)
3-rasm

ichida)
4-rasm

G)
5-rasm

e)
6-rasm

Amaliy ishni bajarib bo'lgach, talabalar javobni tuzadilar: Uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng. daraja o'lchovi kengaytirilgan burchak, ya'ni 180 °.

O'qituvchi: Matematikadan amaliy ish faqat qandaydir bayonot berishga imkon beradi, lekin buni isbotlash kerak. To'g'riligi isbot bilan aniqlangan fikr teorema deyiladi. Qanday teoremani shakllantirishimiz va isbotlashimiz mumkin?

Talabalar: Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 daraja.

Tarix ma'lumotnomasi: Uchburchak burchaklarining yig'indisining xossasi o'rnatildi Qadimgi Misr. Zamonaviy darsliklarda keltirilgan dalil Proklning Evklid elementlari haqidagi sharhlarida topilgan. Proklning ta'kidlashicha, bu dalil (8-rasm) Pifagorchilar tomonidan (miloddan avvalgi V asr) kashf etilgan. Evklid «Elementlar»ning birinchi kitobida chizma yordamida tushunish oson bo‘lgan uchburchak burchaklarining yig‘indisi haqidagi teoremaning yana bir isbotini keltirgan (7-rasm):

7-rasm

8-rasm

Chizmalar proyektor orqali ekranda ko'rsatiladi.

O'qituvchi teoremani chizmalar yordamida isbotlashni taklif qiladi.

Keyin isbotlash CMD "Live Mathematics" yordamida amalga oshiriladi.. O'qituvchi kompyuterda teorema isbotini loyihalashtiradi.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi teoremasi: "Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng"

9-rasm

Isbot:

a)

10-rasm

b)

11-rasm

ichida)

12-rasm

O‘quvchilar daftarga teorema isbotini qisqacha yozib boradilar:

Teorema: Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

13-rasm

Berilgan: D ABC

Isbot qiling: A + B + C = 180 °.

Isbot:

Nimani isbotlash kerak edi.

V. Fizika. daqiqa.

VI. Yangi materialni tushuntirish (davomi)

Uchburchak burchaklarining yig'indisi bo'yicha teoremaning natijasi talabalar tomonidan mustaqil ravishda chiqariladi, bu o'z nuqtai nazarini shakllantirish, uni ifodalash va bahslash qobiliyatini rivojlantirishga yordam beradi:

Har qanday uchburchakda yoki barcha burchaklar o'tkir yoki ikkitadir o'tkir burchaklar, uchinchisi esa to'g'ri yoki to'g'ri.

Agar uchburchakning barcha burchaklari o'tkir bo'lsa, u deyiladi o'tkir burchakli.

Agar uchburchakning burchaklaridan biri o'tmas bo'lsa, u deyiladi o'tkir.

Agar uchburchakning burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, u deyiladi to'rtburchaklar.

Uchburchak yig'indisi teoremasi uchburchaklarni nafaqat tomonlari, balki burchaklari bo'yicha ham tasniflash imkonini beradi. (Uchburchaklar turlari bilan tanishtirish jarayonida talabalar jadvalni to'ldiradilar)

1-jadval

Uchburchak ko'rinishi	Izossellar	Teng tomonli	Ko'p tomonli
To'rtburchak
o'tkir
o'tkir burchakli

VII. O'rganilgan materialni birlashtirish.

1. Muammolarni og'zaki hal qilish:

(Chizmalar proyektor orqali ekranda ko'rsatiladi)

Topshiriq 1. C burchakni toping.

14-rasm

2-topshiriq. F burchakni toping.

15-rasm

3-topshiriq. K va N burchaklarni toping.

16-rasm

4-topshiriq. P va T burchaklarni toping.

17-rasm

1. Muammoni o'zingiz hal qiling 223-son (b, d).
2. Masalani doska va 224-son o`quvchining daftarlarida yechish.
3. Savollar: Uchburchakda quyidagilar bo'lishi mumkinmi: a) ikkita to'g'ri burchak; b) ikkita o'tmas burchak; v) bitta to'g'ri va bitta o'tmas burchak.
4. (og'zaki bajariladi) Har bir stol ustidagi kartalarda turli uchburchaklar ko'rsatilgan. Har bir uchburchakning shaklini ko'z bilan aniqlang.

18-rasm

1. 1, 2 va 3 burchaklar yig‘indisini toping.

19-rasm

VIII. Darsning xulosasi.

O'qituvchi: Biz nimani o'rgandik? Teorema har qanday uchburchak uchun amal qiladimi?

IX. Reflektsiya.

Kayfiyatingizni bering yigitlar! Bilan teskari tomon uchburchak sizning yuz ifodalaringizni tasvirlaydi.

20-rasm

Uy vazifasi: 30-bet (1-qism), 1-savol. Darslikning IV 89-beti; 223-son (a, c), 225-son.