Berilgan funksiyaning hosilasini topish vazifasi matematika kursidagi asosiy vazifalardan biridir. o'rta maktab va undan yuqori ta'lim muassasalari. Funktsiyani to'liq o'rganish, hosilasini olmasdan uning grafigini qurish mumkin emas. Funksiyaning hosilasini osonlik bilan topish mumkin, agar asosiy farqlash qoidalarini, shuningdek, asosiy funktsiyalarning hosilalari jadvalini bilsangiz. Keling, funktsiyaning hosilasini qanday topishni aniqlaymiz.

Funktsiyaning hosilasi - bu argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi.

Ushbu ta'rifni tushunish juda qiyin, chunki maktabda chegara tushunchasi to'liq o'rganilmagan. Lekin turli funksiyalarning hosilalarini topish uchun ta’rifni tushunish shart emas, keling, buni matematiklarga qoldirib, to‘g‘ridan-to‘g‘ri hosila topishga o‘tamiz.

Hosilni topish jarayoni differensiallash deyiladi. Funksiyani differensiallashda biz yangi funksiyani olamiz.

Ularni belgilash uchun biz foydalanamiz harflar f, g va boshqalar.

Losmalar uchun juda ko'p turli xil belgilar mavjud. Biz zarbadan foydalanamiz. Masalan, g" yozuvi g funktsiyaning hosilasini topamiz, degan ma'noni anglatadi.

Hosiliy jadval

Hosila qanday topiladi degan savolga javob berish uchun asosiy funksiyalarning hosilalari jadvalini keltirish kerak. Elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblash uchun murakkab hisob-kitoblarni bajarish shart emas. Uning hosilalari jadvalidagi qiymatiga qarash kifoya.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (masalan)"=masalan
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arksin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

1-misol. y=500 funksiyaning hosilasini toping.

Biz bu doimiy ekanligini ko'ramiz. Hosilalar jadvaliga ko'ra, doimiyning hosilasi nolga teng ekanligi ma'lum (formula 1).

2-misol. y=x 100 funksiyaning hosilasini toping.

Bu quvvat funktsiyasi ko'rsatkichi 100 bo'lgan va uning hosilasini topish uchun funktsiyani darajaga ko'paytirish va uni 1 ga tushirish kerak (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

3-misol. y=5 x funksiyaning hosilasini toping

Bu eksponensial funktsiya, biz uning hosilasini 4-formuladan foydalanib hisoblaymiz.

4-misol. y= log 4 x funksiyaning hosilasini toping

Logarifmning hosilasini 7-formuladan foydalanib topamiz.

(log 4 x)"=1/x log 4

Farqlash qoidalari

Endi funktsiyaning hosilasi jadvalda bo'lmasa, uni qanday topish mumkinligini aniqlaymiz. Tekshirilayotgan funksiyalarning aksariyati elementar emas, balki eng oddiy amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish va songa ko‘paytirish) yordamida elementar funksiyalarning birikmasidir. Ularning hosilalarini topish uchun siz farqlash qoidalarini bilishingiz kerak. Bundan tashqari, f va g harflari funktsiyalarni bildiradi va C doimiydir.

1. Hosilning belgisidan doimiy koeffitsientni olish mumkin

5-misol. y= 6*x 8 funksiyaning hosilasini toping

Biz doimiy koeffitsient 6 ni chiqaramiz va faqat x 4 ni ajratamiz. Bu quvvat funktsiyasi bo'lib, hosilasini biz hosilalar jadvalining 3-formulasiga muvofiq topamiz.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Yig‘indining hosilasi hosilalarning yig‘indisiga teng

(f + g)"=f" + g"

6-misol. y= x 100 + sin x funksiyaning hosilasini toping

Funktsiya hosilalarini jadvaldan topishimiz mumkin bo'lgan ikkita funktsiyaning yig'indisidir. Chunki (x 100)"=100 x 99 va (sin x)"=cos x. Yig'indining hosilasi ushbu hosilalarning yig'indisiga teng bo'ladi:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Ayirmaning hosilasi hosilalarning ayirmasiga teng

(f – g)"=f" – g"

7-misol. y= x 100 - cos x funksiyaning hosilasini toping

Bu funksiya hosilalarini jadvaldan ham topishimiz mumkin bo'lgan ikkita funktsiyaning farqidir. Keyin farqning hosilasi hosilalarning ayirmasiga teng bo'ladi va belgini o'zgartirishni unutmang, chunki (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

8-misol. y=e x +tg x– x 2 funksiyaning hosilasini toping.

Bu funktsiyaning yig'indisi ham, farqi ham bor, biz har bir atamaning hosilalarini topamiz:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. U holda asl funktsiyaning hosilasi:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Mahsulotning hosilasi

(f * g)"=f" * g + f * g"

9-misol. y= cos x *e x funksiyaning hosilasini toping

Buning uchun birinchi navbatda har bir omilning hosilasini toping (cos x)"=–sin x va (e x)"=e x . Endi hamma narsani mahsulot formulasiga almashtiramiz. Birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisiga ko'paytiring va birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisining hosilasiga qo'shing.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Bo‘lakning hosilasi

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

10-misol. y= x 50 / sin x funksiyaning hosilasini toping

Bo'lakning hosilasini topish uchun avval aylanma va maxrajning hosilasini alohida toping: (x 50)"=50 x 49 va (sin x)"= cos x. Bo'limning hosilasini formulada almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Murakkab funksiya - bu bir nechta funksiyalar tarkibi bilan ifodalangan funksiya. Murakkab funktsiyaning hosilasini topish uchun yana bir qoida mavjud:

(u(v))"=u"(v)*v"

Keling, bunday funktsiyaning hosilasini qanday topishni ko'rib chiqaylik. y= u(v(x)) kompleks funksiya bo‘lsin. u funksiyasi tashqi, v esa ichki deb nomlanadi.

Misol uchun:

y=sin (x 3) murakkab funksiyadir.

U holda y=sin(t) tashqi funksiya hisoblanadi

t=x 3 - ichki.

Keling, ushbu funktsiyaning hosilasini hisoblashga harakat qilaylik. Formulaga ko'ra, ichki va tashqi funktsiyalarning hosilalarini ko'paytirish kerak.

(sin t)"=cos (t) - tashqi funktsiyaning hosilasi (bu erda t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - ichki funksiyaning hosilasi

U holda (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 birikma funksiyaning hosilasidir.

Birinchi daraja

Funktsiya hosilasi. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

To'g'ri yo'lni tepalikdan o'tayotganini tasavvur qiling. Ya'ni, u yuqoriga va pastga tushadi, lekin o'ngga yoki chapga burilmaydi. Agar o'q yo'l bo'ylab gorizontal va vertikal yo'naltirilgan bo'lsa, u holda yo'l chizig'i qandaydir uzluksiz funktsiya grafigiga juda o'xshash bo'ladi:

Eksa - bu nol balandlikning ma'lum bir darajasi, hayotda biz dengiz sathidan foydalanamiz.

Bunday yo'l bo'ylab oldinga siljish, biz ham yuqoriga yoki pastga harakat qilamiz. Bundan tashqari, aytishimiz mumkin: argument o'zgarganda (abtsissa o'qi bo'ylab harakatlanayotganda), funktsiyaning qiymati o'zgaradi (ordinata o'qi bo'ylab harakatlanadi). Endi o‘ylab ko‘raylik, yo‘limizning “tik”ligini qanday aniqlash mumkin? Bu qiymat nima bo'lishi mumkin? Juda oddiy: ma'lum masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik o'zgaradi. Darhaqiqat, yo'lning turli qismlarida bir kilometr oldinga (abtsissa o'qi bo'ylab) harakatlansak, biz ko'tarilamiz yoki pastga tushamiz. turli miqdor metr dengiz sathiga nisbatan (y o'qi bo'ylab).

Biz oldinga siljishni bildiramiz ("delta x" ni o'qing).

Matematikada yunoncha harf (delta) odatda "o'zgarish" ma'nosini bildiruvchi prefiks sifatida ishlatiladi. Ya'ni - bu kattalikning o'zgarishi, - o'zgarish; keyin bu nima? To'g'ri, o'lchamdagi o'zgarish.

Muhim: ifoda bitta ob'ekt, bitta o'zgaruvchidir. Hech qachon "x" yoki boshqa harfdan "delta" ni yirtib tashlamasligingiz kerak! Ya'ni, masalan, .

Shunday qilib, biz oldinga, gorizontal, oldinga harakat qildik. Agar funktsiya grafigi bilan yo'l chizig'ini solishtirsak, unda ko'tarilishni qanday belgilaymiz? Albatta, . Ya'ni, oldinga siljishda biz yuqoriga ko'tarilamiz.

Qiymatni hisoblash oson: agar boshida biz balandlikda bo'lgan bo'lsak va harakatdan keyin balandlikda bo'lgan bo'lsak. Agar yakuniy nuqta boshlang'ich nuqtadan pastroq bo'lsa, u salbiy bo'ladi - bu biz ko'tarilmayapmiz, lekin tushayotganimizni anglatadi.

"Tiklik" ga qaytish: bu birlik masofaga oldinga siljishda balandlik qancha (tik) ortishini ko'rsatadigan qiymat:

Aytaylik, yo'lning qaysidir qismida, km ga ilgarilaganda, yo'l km ga ko'tariladi. Keyin bu joydagi tiklik teng bo'ladi. Va agar yo'l, m oldinga siljishda, km ga cho'kib ketgan bo'lsa? Keyin qiyalik teng bo'ladi.

Endi tepalikning tepasini ko'rib chiqing. Agar siz uchastkaning boshini yarim kilometr tepaga olib chiqsangiz va oxiri - undan yarim kilometr o'tgach, balandlik deyarli bir xil ekanligini ko'rishingiz mumkin.

Ya'ni, bizning mantiqqa ko'ra, bu erda nishab deyarli nolga teng ekanligi aniqlandi, bu aniq emas. Bir necha mil uzoqlikda ko'p narsa o'zgarishi mumkin. Tiklikni yanada adekvat va aniqroq baholash uchun kichikroq maydonlarni hisobga olish kerak. Misol uchun, agar siz bir metr harakatlanayotganda balandlikning o'zgarishini o'lchasangiz, natija ancha aniq bo'ladi. Ammo bu aniqlik ham bizga yetarli bo‘lmasligi mumkin – axir, agar yo‘l o‘rtasida ustun bo‘lsa, biz shunchaki sirg‘alib o‘tishimiz mumkin. Keyin qaysi masofani tanlashimiz kerak? Santimetr? Millimetr? Kamroq - yaxshiroq!

DA haqiqiy hayot eng yaqin millimetrgacha bo'lgan masofani o'lchash juda etarli. Ammo matematiklar doimo mukammallikka intiladilar. Shuning uchun kontseptsiya shunday edi cheksiz kichik, ya'ni modul qiymati biz nomlashimiz mumkin bo'lgan har qanday raqamdan kichikdir. Masalan, siz aytasiz: trilliondan biri! Qancha kamroq? Va siz bu raqamni - ga bo'lasiz va bundan ham kamroq bo'ladi. Va boshqalar. Agar qiymat cheksiz kichik ekanligini yozmoqchi bo'lsak, biz shunday yozamiz: (biz "x nolga intiladi" o'qiymiz). Buni tushunish juda muhimdir bu raqam nolga teng emasligini! Ammo unga juda yaqin. Bu shuni anglatadiki, uni ajratish mumkin.

Cheksiz kichikga qarama-qarshi tushuncha cheksiz katta (). Ehtimol, siz tengsizliklar ustida ishlayotganingizda bunga duch kelgansiz: bu raqam modul bo'yicha siz o'ylagan har qanday raqamdan kattaroqdir. Agar siz mumkin bo'lgan eng katta raqamni topsangiz, uni ikkiga ko'paytirsangiz, undan ham ko'proq narsani olasiz. Va cheksizlik sodir bo'layotgan narsadan ham ko'proq. Aslida, cheksiz katta va cheksiz kichik bir-biriga teskari, ya'ni at va aksincha: at.

Endi bizning yo'limizga qayting. Ideal hisoblangan nishab - bu yo'lning cheksiz kichik segmenti uchun hisoblangan qiyalik, ya'ni:

Shuni ta'kidlaymanki, cheksiz kichik siljish bilan balandlikning o'zgarishi ham cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shuni eslatib o'tamanki, cheksiz kichik degani emas nol. Agar siz cheksiz kichik sonlarni bir-biriga bo'lsangiz, siz butunlay oddiy sonni olishingiz mumkin, masalan,. Ya'ni, bitta kichik qiymat boshqasidan ikki baravar katta bo'lishi mumkin.

Nega bularning hammasi? Yo'l, tik ... Biz mitingga chiqmayapmiz, lekin biz matematikani o'rganyapmiz. Va matematikada hamma narsa bir xil, faqat boshqacha nomlanadi.

Hosila tushunchasi

Funktsiyaning hosilasi - bu funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishida argumentning o'sishiga nisbati.

O'sish matematikada o'zgarish deyiladi. O'q bo'ylab harakatlanayotganda argument () qancha o'zgarganligi deyiladi argument ortishi va bilan belgilanadigan masofaga o'q bo'ylab oldinga siljishda funktsiya (balandlik) qancha o'zgarganligi deyiladi funktsiyaning o'sishi va belgilangan.

Demak, funktsiyaning hosilasi qachonga munosabatdir. Biz hosilani funksiya bilan bir xil harf bilan belgilaymiz, faqat yuqori o'ngdan chiziq bilan: yoki oddiygina. Shunday qilib, keling, hosila formulasini quyidagi belgilar yordamida yozamiz:

Yo'l o'xshashligida bo'lgani kabi, bu erda ham funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi.

Lekin hosila nolga tengmi? Albatta. Misol uchun, agar biz tekis gorizontal yo'lda harakatlanayotgan bo'lsak, tiklik nolga teng. Darhaqiqat, balandlik umuman o'zgarmaydi. Shunday qilib, hosila bilan: doimiy funktsiyaning hosilasi (doimiy) nolga teng:

chunki bunday funktsiyaning o'sishi har qanday uchun nolga teng.

Keling, tepalikdagi misolni olaylik. Ma'lum bo'lishicha, segmentning uchlarini cho'qqining qarama-qarshi tomonlarida shunday joylashtirish mumkin ediki, uchlaridagi balandlik bir xil bo'lib chiqadi, ya'ni segment o'qga parallel bo'ladi:

Ammo katta segmentlar noto'g'ri o'lchov belgisidir. Biz segmentimizni o'ziga parallel ravishda ko'taramiz, keyin uning uzunligi kamayadi.

Oxir-oqibat, biz tepaga cheksiz yaqin bo'lganimizda, segmentning uzunligi cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shu bilan birga, u o'qga parallel bo'lib qoldi, ya'ni uning uchlaridagi balandlik farqi nolga teng (moyil emas, lekin teng). Shunday qilib, hosila

Buni quyidagicha tushunish mumkin: biz eng tepada turganimizda, chapga yoki o'ngga ozgina siljish bo'yimizni sezilarli darajada o'zgartiradi.

Bundan tashqari, sof algebraik tushuntirish ham bor: tepaning chap tomonida funktsiya ortadi, o'ngda esa kamayadi. Yuqorida aytib o'tganimizdek, funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi. Lekin u silliq, sakrashlarsiz o'zgaradi (chunki yo'l hech qayerda o'z qiyaligini keskin o'zgartirmaydi). Shuning uchun, salbiy va o'rtasida ijobiy qadriyatlar bo'lishi kerak. Bu funktsiya o'smaydigan yoki kamaymaydigan joyda - tepa nuqtasida bo'ladi.

Xuddi shu narsa vodiy uchun ham amal qiladi (funktsiya chap tomonda kamayadi va o'ngda ortadi):

O'sishlar haqida bir oz ko'proq.

Shunday qilib, biz argumentni qiymatga o'zgartiramiz. Biz qaysi qiymatdan o'zgartiramiz? U (dalil) endi nimaga aylandi? Biz istalgan nuqtani tanlashimiz mumkin va endi biz undan raqsga tushamiz.

Koordinatali nuqtani ko'rib chiqing. Undagi funksiyaning qiymati teng. Keyin biz bir xil o'sishni qilamiz: koordinatani tomonidan oshiring. Endi qanday dalil bor? Juda oson: . Endi funktsiyaning qiymati qanday? Argument qayerga ketsa, funktsiya u yerga boradi: . Funktsiyani oshirish haqida nima deyish mumkin? Hech qanday yangilik yo'q: bu hali ham funktsiya o'zgargan miqdor:

O'sishlarni topishni mashq qiling:

1. Argumentning ortishi teng boʻlgan nuqtadagi funksiyaning oʻsish qismini toping.
2. Nuqtadagi funksiya uchun ham xuddi shunday.

Yechimlar:

Turli nuqtalarda, argumentning bir xil o'sishi bilan, funktsiyaning o'sishi boshqacha bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, har bir nuqtada hosilaning o'ziga xos xususiyati bor (biz boshida bu haqda gaplashdik - turli nuqtalarda yo'lning tikligi har xil). Shuning uchun, hosila yozganimizda, qaysi nuqtada ko'rsatishimiz kerak:

Quvvat funktsiyasi.

Quvvat funksiyasi argument ma'lum darajada bo'lgan funktsiya deb ataladi (mantiqiy, to'g'rimi?).

Va - har qanday darajada: .

Eksponent bo'lganda eng oddiy holat:

Bir nuqtada uning hosilasini topamiz. Tsiklning ta'rifini eslang:

Shunday qilib, argument dan ga o'zgaradi. Funktsiyaning o'sishi nima?

O'sish hisoblanadi. Lekin funksiya har qanday nuqtada uning argumentiga teng. Shunday qilib:

hosilasi:

ning hosilasi:

b) Endi kvadrat funktsiyani (): ni ko'rib chiqaylik.

Endi buni eslaylik. Bu shuni anglatadiki, o'sish qiymatini e'tiborsiz qoldirish mumkin, chunki u cheksiz kichik va shuning uchun boshqa atama fonida ahamiyatsiz:

Shunday qilib, bizda yana bir qoida bor:

v) mantiqiy qatorni davom ettiramiz: .

Ushbu ifodani turli yo'llar bilan soddalashtirish mumkin: yig'indining kubini qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib birinchi qavsni oching yoki kublar farqi formulasidan foydalanib, butun ifodani omillarga ajrating. Tavsiya etilgan usullardan birini o'zingiz qilishga harakat qiling.

Shunday qilib, men quyidagilarni oldim:

Va buni yana bir bor eslaylik. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin:

Biz olamiz: .

d) Xuddi shunday qoidalarni katta kuchlar uchun olish mumkin:

e) Aniqlanishicha, bu qoidani butun son emas, ixtiyoriy ko‘rsatkichli daraja funksiyasi uchun umumlashtirish mumkin:

(2)

Siz qoidani quyidagi so'zlar bilan shakllantirishingiz mumkin: "daraja koeffitsient sifatida oldinga suriladi, keyin esa kamayadi".

Biz bu qoidani keyinroq isbotlaymiz (deyarli oxirida). Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Funksiyalarning hosilasini toping:

1. (ikki usulda: formula bo'yicha va hosila ta'rifidan foydalangan holda - funktsiyaning o'sishini hisoblash orqali);

1. . Ishoning yoki ishonmang, bu quvvat funktsiyasi. Agar sizda “Bu qanday? Va daraja qayerda? ", Mavzuni eslang" "!
   Ha, ha, ildiz ham daraja, faqat kasr:.
   Shunday qilib, bizning Kvadrat ildiz faqat darajali darajadir:
   .
   Biz yaqinda o'rganilgan formuladan foydalanib hosilani qidiramiz:

   Agar shu nuqtada yana noaniq bo'lsa, "" mavzusini takrorlang !!! (salbiy ko'rsatkichli daraja haqida)

2. . Endi ko'rsatkich:

   Va endi ta'rif orqali (hali unutdingizmi?):
   ;
   .
   Endi, odatdagidek, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan atamani e'tiborsiz qoldiramiz:
   .

3. . Oldingi holatlarning kombinatsiyasi: .

trigonometrik funktsiyalar.

Bu erda biz oliy matematikadan bitta faktdan foydalanamiz:

Qachon ifoda.

Siz dalilni institutning birinchi yilida o'rganasiz (va u erga borish uchun siz imtihonni yaxshi topshirishingiz kerak). Endi men buni faqat grafik ko'rsataman:

Funktsiya mavjud bo'lmaganda - grafikdagi nuqta teshilganligini ko'ramiz. Ammo qiymatga qanchalik yaqin bo'lsa, funktsiya shunchalik yaqinroq bo'ladi.Bu juda "intilishadi".

Bundan tashqari, siz ushbu qoidani kalkulyator yordamida tekshirishingiz mumkin. Ha, ha, uyalmang, kalkulyatorni oling, biz hali imtihonda emasmiz.

Shunday qilib, harakat qilaylik: ;

Kalkulyatorni Radians rejimiga o'tkazishni unutmang!

va hokazo. Ko'ramiz, qanchalik kichik bo'lsa, nisbat qiymati shunchalik yaqinroq bo'ladi.

a) funktsiyani ko'rib chiqing. Odatdagidek, biz uning o'sishini topamiz:

Keling, sinuslar farqini mahsulotga aylantiraylik. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz ("" mavzusini eslang):.

Endi hosila:

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz: . U holda cheksiz kichik uchun u ham cheksiz kichik: . uchun ifoda quyidagi shaklni oladi:

Va endi biz buni ifoda bilan eslaymiz. Va shuningdek, agar summada cheksiz kichik qiymatni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa (ya'ni, at).

Shunday qilib, olamiz keyingi qoida:sinusning hosilasi kosinusga teng:

Bular asosiy (“jadval”) hosilalardir. Mana ular bitta ro'yxatda:

Keyinchalik biz ularga yana bir nechtasini qo'shamiz, lekin bular eng muhimi, chunki ular tez-tez ishlatiladi.

Amaliyot:

1. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping;
2. Funktsiyaning hosilasini toping.

Yechimlar:

1. Avval lotinni topamiz umumiy ko'rinish, va keyin uning qiymatini almashtiring:
   ;
   .
2. Bu erda bizda quvvat funktsiyasiga o'xshash narsa bor. Keling, uni olib kelishga harakat qilaylik
   Oddiy ko'rinish:
   .
   OK, endi siz formuladan foydalanishingiz mumkin:
   .
   .
3. . Eeeeeee..... Bu nima????

Yaxshi, siz haqsiz, biz hali ham bunday hosilalarni qanday topishni bilmaymiz. Bu erda biz bir nechta turdagi funktsiyalarning kombinatsiyasiga egamiz. Ular bilan ishlash uchun siz yana bir nechta qoidalarni o'rganishingiz kerak:

Ko‘rsatkichli va natural logarifm.

Matematikada shunday funktsiya mavjud bo'lib, uning hosilasi har qanday funktsiyaning qiymatiga teng. U "eksponent" deb ataladi va eksponensial funktsiyadir

Ushbu funktsiyaning asosi doimiydir - u cheksizdir kasr, ya'ni irratsional son (masalan,). U "Eyler raqami" deb ataladi, shuning uchun u harf bilan belgilanadi.

Shunday qilib, qoida:

Buni eslab qolish juda oson.

Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi nima? Logarifm:

Bizning holatda, asos raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rsatkich va natural logarifm hosila jihatidan juda oddiy bo'lgan funksiyalardir. Har qanday boshqa asos bilan ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalar boshqa hosilaga ega bo'ladi, biz keyinroq muhokama qilamiz. Keling, qoidalarni ko'rib chiqaylik farqlash.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerda.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. Funksiyalarning hosilalarini toping va;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz nafaqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (u nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, raqam qayerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni ko'proq yozishning iloji yo'q. oddiy shakl. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni asosga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:

Maxraj shunchaki doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi logarifm sizga qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: shokoladli bar o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari amallarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yaratamiz: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'rashni) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (uni lenta bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funksiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita o‘zgaruvchi bilan, so‘ngra birinchi amal natijasida sodir bo‘lgan boshqa ikkinchi amalni bajarganimizda.

Xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: birinchi navbatda siz kvadratga o'tasiz, keyin men natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat murakkab funktsiyalar: harakatlar tartibini o'zgartirganda, funktsiya o'zgaradi.

Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .

Birinchi misol uchun, .

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday chora ko'ramiz? Avval sinusni hisoblaymiz va shundan keyingina uni kubga ko'taramiz. Demak, bu tashqi emas, balki ichki funksiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Hamma narsa oddiy ko'rinadi, shunday emasmi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol aniq bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

summaning hosilasi:

Hosil mahsulot:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
2. “Tashqi” funksiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Unda biz eng oddiy hosilalarni tahlil qildik, shuningdek, differentsiallash qoidalari va hosilalarni topishning ba'zi usullari bilan tanishdik. Shunday qilib, agar siz funktsiyalarning hosilalari bilan unchalik yaxshi bo'lmasangiz yoki ushbu maqolaning ba'zi fikrlari to'liq tushunarli bo'lmasa, avval yuqoridagi darsni o'qing. Iltimos, jiddiy kayfiyatni sozlang - material oson emas, lekin men uni baribir sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman.

Amalda murakkab funksiyaning hosilasi bilan juda tez-tez shug‘ullanishga to‘g‘ri keladi, hatto hosilalarni topish bo‘yicha topshiriqlar berilganda ham deyarli har doim deyman.

Murakkab funktsiyani differensiallash uchun qoida (№ 5) jadvaliga qaraymiz:

Biz tushunamiz. Avvalo, belgini ko'rib chiqaylik. Bu yerda biz ikkita funktsiyaga egamiz - va , va funksiya, majoziy ma'noda, funktsiyada joylashgan. Bunday turdagi funktsiya (bir funktsiya boshqasining ichiga joylashtirilganda) murakkab funktsiya deyiladi.

Men funktsiyani chaqiraman tashqi funktsiya, va funksiya – ichki (yoki ichki) funksiya.

! Ushbu ta'riflar nazariy emas va topshiriqlarning yakuniy dizaynida ko'rsatilmasligi kerak. Men "tashqi funktsiya", "ichki" funktsiya norasmiy iboralarni faqat materialni tushunishingizni osonlashtirish uchun ishlataman.

Vaziyatni aniqlashtirish uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Sinus ostida bizda nafaqat "x" harfi, balki butun ifoda bor, shuning uchun jadvaldan hosilani darhol topish ishlamaydi. Shuningdek, biz bu erda birinchi to'rtta qoidani qo'llashning iloji yo'qligini ko'ramiz, farq borga o'xshaydi, lekin haqiqat shundaki, sinusni "parchalash" mumkin emas:

Ushbu misolda, mening tushuntirishlarimdan funktsiya murakkab funktsiya, polinom esa ichki funktsiya(o'rnatish), va - tashqi funktsiya.

Birinchi qadam, bu murakkab funksiyaning hosilasini topishda bajarilishi kerak to qaysi funktsiya ichki va qaysi tashqi ekanligini tushunish.

Oddiy misollarda, ko'phad sinus ostida joylashganligi aniq ko'rinadi. Ammo bu aniq bo'lmasa-chi? Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun men aqliy yoki qoralama ustida bajarilishi mumkin bo'lgan quyidagi texnikadan foydalanishni taklif qilaman.

Tasavvur qilaylik, biz kalkulyator yordamida ifodaning qiymatini hisoblashimiz kerak (bitta o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

Avval nimani hisoblaymiz? Birinchi navbatda siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak bo'ladi: , shuning uchun polinom ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan siz topishingiz kerak bo'ladi, shuning uchun sinus - tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin TUSHUNING ichki va tashqi funktsiyalar bilan, birikma funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash vaqti keldi .

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz. Darsdan hosilani qanday topish mumkin? Biz har qanday hosila eritmasining dizayni har doim shunday boshlanishini eslaymiz - biz iborani qavs ichiga olamiz va yuqori o'ng tomonga chiziq qo'yamiz:

Boshida tashqi funktsiyaning hosilasini (sinus) topamiz, elementar funksiyalarning hosilalari jadvaliga qarang va e'tibor bering. Barcha jadval formulalari "x" murakkab ifoda bilan almashtirilsa ham amal qiladi, Ushbu holatda:

E'tibor bering, ichki funktsiya o'zgarmagan, biz unga tegmaymiz.

Xo'sh, bu juda aniq

Formulani qo'llash natijasi toza quyidagicha ko'rinadi:

Doimiy omil odatda ifoda boshida qo'yiladi:

Agar biron bir tushunmovchilik bo'lsa, qarorni qog'ozga yozing va tushuntirishlarni qayta o'qing.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Har doimgidek, biz yozamiz:

Bizda tashqi funksiya qayerda, ichki funksiya qayerda ekanligini aniqlaymiz. Buning uchun biz (aqliy yoki qoralama ustida) uchun ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilamiz. Avval nima qilish kerak? Avvalo, asos nimaga teng ekanligini hisoblashingiz kerak:, ya'ni polinom ichki funktsiyadir:

Va shundan keyingina eksponentatsiya amalga oshiriladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funktsiyadir:

Formulaga ko'ra , birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini, bu holda darajani topishingiz kerak. Biz jadvalda kerakli formulani qidiramiz:. Yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "x" uchun, balki murakkab ifoda uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi:

Yana bir bor ta'kidlaymanki, tashqi funktsiyaning hosilasini olganda, ichki funktsiya o'zgarmaydi:

Endi ichki funktsiyaning juda oddiy hosilasini topish va natijani biroz "tarash" qoladi:

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi tushunchani mustahkamlash uchun men izohlarsiz misol keltiraman, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling, sababi, tashqi va ichki funksiya qayerda, nima uchun vazifalar shunday hal qilingan?

5-misol

a) Funksiyaning hosilasini toping

b) funksiyaning hosilasini toping

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda bizda ildiz bor va ildizni farqlash uchun u daraja sifatida ifodalanishi kerak. Shunday qilib, biz birinchi navbatda funktsiyani farqlash uchun to'g'ri shaklga keltiramiz:

Funksiyani tahlil qilib, biz uchta hadning yig'indisi ichki funktsiya, ko'rsatkich esa tashqi funktsiya degan xulosaga kelamiz. Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz :

Daraja yana radikal (ildiz) sifatida ifodalanadi va ichki funktsiyaning hosilasi uchun biz yig'indini farqlash uchun oddiy qoidani qo'llaymiz:

Tayyor. Bundan tashqari, ifodani qavs ichida umumiy maxrajga olib kelishingiz va hamma narsani bitta kasr sifatida yozishingiz mumkin. Bu, albatta, chiroyli, lekin og'ir uzun lotinlar olinganda, buni qilmaslik yaxshiroqdir (chalkashlik, keraksiz xatoga yo'l qo'yish oson va o'qituvchiga tekshirish noqulay bo'ladi).

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Shunisi qiziqki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash qoidasi o'rniga, qismni farqlash qoidasidan foydalanish mumkin. , lekin bunday yechim noodatiy buzuqlik kabi ko'rinadi. Mana odatiy misol:

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin , lekin hosilani murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi orqali topish ancha foydalidir:

Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - hosilaning minus belgisini olib tashlaymiz va kosinusni hisoblagichga ko'taramiz:

Kosinus - ichki funktsiya, ko'rsatkich - tashqi funktsiya.
Keling, qoidamizdan foydalanaylik :

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz, kosinusni pastga qaytaramiz:

Tayyor. Ko'rib chiqilgan misolda, belgilarda chalkashmaslik kerak. Aytgancha, uni qoida bilan hal qilishga harakat qiling , javoblar mos kelishi kerak.

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Hozirgacha biz murakkab funktsiyada faqat bitta uyaga ega bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Amaliy topshiriqlarda siz ko'pincha lotinlarni topishingiz mumkin, bu erda, xuddi qo'g'irchoqlar kabi, bir vaqtning o'zida 3 yoki hatto 4-5 funktsiya bir-birining ichiga joylashtirilgan.

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz ushbu funktsiyaning qo'shimchalarini tushunamiz. Eksperimental qiymatdan foydalanib, ifodani baholashga harakat qilamiz. Kalkulyatorga qanday ishonishimiz mumkin?

Avval siz topishingiz kerak, ya'ni arksine eng chuqur uyasi:

Keyin bu birlik yoyi kvadratiga aylantirilishi kerak:

Va nihoyat, ettitani kuchga ko'taramiz:

Ya'ni, bu misolda bizda uchta turli funktsiya va ikkita uyalar mavjud, eng ichki funktsiya arksinus, eng tashqi funktsiya esa eksponensial funktsiyadir.

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz

Qoidaga ko'ra avval siz tashqi funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak. Biz hosilalar jadvalini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini topamiz: Yagona farq shundaki, "x" o'rniga bizda murakkab ifoda mavjud bo'lib, bu formulaning haqiqiyligini inkor etmaydi. Demak, murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi.

Hosila qanday topiladi, hosila qanday olinadi? Ushbu darsda biz funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz. Ammo ushbu sahifani o'rganishdan oldin, men sizga uslubiy material bilan tanishishingizni tavsiya qilaman.Issiq formulalar maktab kursi matematika. Ma'lumotnomani sahifadan ochish yoki yuklab olish mumkin Matematik formulalar va jadvallar . Shuningdek, u erdan bizga kerakHosiliy jadval, uni chop etish yaxshiroqdir, siz tez-tez unga murojaat qilishingiz kerak bo'ladi va nafaqat hozir, balki oflayn rejimda ham.

U yerda? Qani boshladik. Siz uchun ikkita yangiligim bor: yaxshi va juda yaxshi. Yaxshi xabar shundaki, hosilalarni qanday topishni o'rganish uchun hosila nima ekanligini bilish va tushunish umuman shart emas. Qolaversa, funktsiyaning hosilasining ta'rifi, hosilaning matematik, fizik, geometrik ma'nosini keyinroq hazm qilish maqsadga muvofiqdir, chunki nazariyani sifatli o'rganish, menimcha, bir qator boshqa mavzularni o'rganishni talab qiladi. shuningdek, ba'zi amaliy tajriba.

Va endi bizning vazifamiz - bu hosilalarni texnik jihatdan o'zlashtirish. Juda yaxshi xabar shundaki, hosilalarni olishni o'rganish unchalik qiyin emas, bu vazifani hal qilish (va tushuntirish) uchun juda aniq algoritm mavjud, integrallar yoki chegaralarni, masalan, o'zlashtirish qiyinroq.

Men mavzuni o'rganishning quyidagi tartibini tavsiya qilaman: birinchi navbatda, Bu maqola. Keyin siz eng muhim darsni o'qishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi . Ushbu ikkita asosiy sinf sizga o'z mahoratingizni noldan oshirishga imkon beradi. Bundan tashqari, maqolada yanada murakkab lotinlar bilan tanishish mumkin bo'ladi. murakkab hosilalar.

logarifmik hosila. Agar bar juda baland bo'lsa, avval elementni o'qing Protozoa tipik vazifalar hosila bilan. Yangi materialdan tashqari, dars boshqa, ko'proq narsani o'z ichiga oladi oddiy turlari lotinlar va farqlash texnikangizni yaxshilash uchun ajoyib imkoniyat mavjud. Bundan tashqari, ichida nazorat ishlari deyarli har doim aniq yoki parametrik ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalarini topish uchun vazifalar mavjud. Buning uchun qo'llanma ham mavjud: Yashirin va parametrik aniqlangan funksiyalarning hosilalari.

Men sizga funksiyalarning hosilalarini qanday topishni o'rgatish uchun bosqichma-bosqich foydalanish mumkin bo'lgan shaklda harakat qilaman. Barcha ma'lumotlar batafsil, oddiy so'zlar bilan berilgan.

Darhol bir misolni ko'rib chiqing: 1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping Yechim:

Bu eng oddiy misol, uni elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan toping. Endi yechimni ko'rib chiqamiz va nima bo'lganini tahlil qilamiz? Va quyidagi voqea sodir bo'ldi:

bizda funksiya bor edi, u yechim natijasida funksiyaga aylandi.

Juda oddiy, hosilani topish uchun

funktsiyalari uchun ma'lum qoidalarga muvofiq uni boshqa funktsiyaga aylantirishingiz kerak . Yana hosilalar jadvaliga qarang - u erda funktsiyalar boshqa funktsiyalarga aylanadi. faqat

istisno eksponensial funktsiya bo'lib, qaysi

o'ziga aylanadi. Hosilini topish operatsiyasi deyiladifarqlash.

Belgi: hosila yoki belgisi bilan belgilanadi.

DIQQAT, MUHIM! Qo'yishni unutish (kerak bo'lganda) yoki qo'shimcha zarba chizish (kerak bo'lmagan joyda) - KATTA XATOLIK! Funktsiya va uning hosilasi ikki xil funktsiyadir!

Keling, hosilalar jadvalimizga qaytaylik. Ushbu jadvaldan bu maqsadga muvofiqdir yodlab olish: ba'zi elementar funktsiyalarning differensiallash qoidalari va hosilalari, xususan:

doimiyning hosilasi:

Doimiy raqam qayerda; quvvat funksiyasining hosilasi:

Ayniqsa:,,.

Nega yodlash kerak? Bu bilim hosilalar haqidagi elementar bilimdir. Va agar siz o'qituvchining "Raqamning hosilasi nima?" Degan savoliga javob bera olmasangiz, universitetdagi o'qishingiz siz uchun tugashi mumkin (men ikkitasini shaxsan bilaman) haqiqiy holatlar hayotdan). Bundan tashqari, bu deyarli har doim hosilalarga duch kelganimizda foydalanishimiz kerak bo'lgan eng keng tarqalgan formulalardir.

DA Aslida, oddiy jadvalli misollar kamdan-kam uchraydi, odatda hosilalarni topishda birinchi navbatda differentsiallash qoidalari, so'ngra elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali qo'llaniladi.

DA Shu munosabat bilan biz ko'rib chiqishga murojaat qilamizfarqlash qoidalari:

1) doimiy son hosila belgisidan chiqarilishi mumkin (va kerak).

Doimiy son qayerda (doimiy) 2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz lotinlar jadvaliga qaraymiz. Kosinus hosilasi mavjud, lekin bizda mavjud.

Qoidadan foydalanish vaqti keldi, biz hosila belgisidan tashqari doimiy omilni chiqaramiz:

Va endi biz kosinusimizni jadvalga muvofiq aylantiramiz:

Xo'sh, natijani biroz "tarash" maqsadga muvofiqdir - minusni birinchi o'ringa qo'ying, shu bilan birga qavslardan xalos bo'ling:

2) Yig‘indining hosilasi hosilalarning yig‘indisiga teng

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz qaror qilamiz. Siz allaqachon payqaganingizdek, hosilani topishda har doim bajariladigan birinchi harakat bu butun ifodani qavs ichiga qo'yish va yuqori o'ng tomonga chiziqcha qo'yishdir:

Biz ikkinchi qoidani qo'llaymiz:

E'tibor bering, farqlash uchun barcha ildizlar, darajalar sifatida ifodalanishi kerak va agar ular maxrajda bo'lsa, u holda

ularni yuqoriga siljiting. Buni qanday qilish mening uslubiy materiallarimda muhokama qilinadi.

Endi biz farqlashning birinchi qoidasini eslaymiz - hosila belgisidan tashqarida doimiy omillarni (raqamlarni) chiqaramiz:

Odatda, yechim davomida ushbu ikki qoida bir vaqtning o'zida qo'llaniladi (uzun ifodani yana bir bor qayta yozmaslik uchun).

Chiziq ostidagi barcha funktsiyalar elementar jadval funktsiyalari bo'lib, jadvaldan foydalanib, biz o'zgartirishni amalga oshiramiz:

Siz hamma narsani ushbu shaklda qoldirishingiz mumkin, chunki boshqa zarbalar yo'q va lotin topildi. Biroq, bu kabi iboralar odatda soddalashtiradi:

Turlarning barcha darajalarini yana ildiz sifatida ifodalash maqsadga muvofiqdir,

salbiy ko'rsatkichli darajalar - maxrajga qayta o'rnatish. Garchi siz buni qila olmasangiz ham, bu xato bo'lmaydi.

Funktsiyaning hosilasini toping

Ushbu misolni o'zingiz hal qilishga harakat qiling (dars oxirida javob bering).

3) funksiyalar hosilasining hosilasi

Aftidan, analogiyaga ko'ra, formula o'zini ko'rsatadi ...., lekin ajablanarli tomoni shundaki:

Bu g'ayrioddiy qoida(aslida boshqalar) dan kelib chiqadi hosilalarning ta'riflari. Ammo biz hozircha nazariyani kutamiz - endi qanday hal qilishni o'rganish muhimroq:

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda ga qarab ikkita funktsiyaning mahsuloti mavjud. Avval biz g'alati qoidamizni qo'llaymiz, so'ngra funktsiyalarni hosilalar jadvaliga muvofiq o'zgartiramiz:

Murakkabmi? Umuman emas, hatto choynak uchun ham ancha arzon.

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu funksiya ikkita funktsiyaning yig'indisi va mahsulotini o'z ichiga oladi - kvadrat trinomial va logarifm. Ko‘paytirish va bo‘lish qo‘shish va ayirishdan ustun turishini maktabdan eslaymiz.

Bu yerda ham xuddi shunday. BIRINCHI biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanamiz:

Endi qavs uchun biz birinchi ikkita qoidadan foydalanamiz:

Chiziqlar ostida farqlash qoidalarini qo'llash natijasida bizda faqat elementar funktsiyalar qoladi, hosilalar jadvaliga muvofiq biz ularni boshqa funktsiyalarga aylantiramiz:

Hosilalarni topishda ma'lum tajribaga ega bo'lgan holda, oddiy hosilalarni bunchalik batafsil tavsiflash kerak emas. Umuman olganda, ular odatda og'zaki hal qilinadi va bu darhol qayd etiladi .

Funktsiyaning hosilasini toping Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob)

4) Xususiy funksiyalarning hosilasi

Shiftda lyuk ochildi, qo'rqmang, bu xato. Va bu erda dahshatli haqiqat:

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda nima yo'q - yig'indi, farq, mahsulot, kasr .... Qayerdan boshlash kerak?! Shubhalar bor, hech qanday shubha yo'q, lekin HAR QANDAY HOLDA, avval qavslarni torting va yuqori o'ng burchakka chiziq qo'ying:

Endi biz qavs ichidagi ifodani ko'rib chiqamiz, uni qanday soddalashtiramiz? Bunday holda, biz birinchi qoidaga ko'ra, uni hosila belgisidan olib tashlash maqsadga muvofiq bo'lgan omilni ko'ramiz:

Shu bilan birga, biz endi kerak bo'lmagan hisoblagichdagi qavslardan xalos bo'lamiz. Umuman olganda, hosilani topishda doimiy omillar

Ilova

Talabalar va maktab o'quvchilari tomonidan o'rganilgan materialni birlashtirish uchun saytga lotin yechimi. Agar siz bizning onlayn muammolarni hal qilish xizmatimizdan foydalansangiz, bir necha soniya ichida funktsiyaning hosilasini hisoblash qiyin emas. Qo'rg'oshin batafsil tahlil chuqur o'rganish amaliy dars har uchinchi talaba qila oladi. Mamlakatimiz ta’lim muassasalarida matematika fanini targ‘ib qilish bo‘yicha tegishli boshqarma bo‘limi bizga tez-tez murojaat qiladi. Qanday qilib, bu holda, sonli ketma-ketliklarning yopiq maydoni uchun lotinning onlayn yechimi haqida gapirmaslik kerak. Ko'p badavlat kishilarga o'zlarining hayratlarini bildirishlariga ruxsat beriladi. Ammo bu orada matematiklar bir joyda o‘tirishmaydi va qattiq mehnat qilishadi. Kirish parametrlarini o'zgartirish chiziqli xarakteristikalar hosilalarning kalkulyatorini asosan kublarning pasayish joylarining yuqoriligi tufayli qabul qiladi. Natija sirt sifatida muqarrar. Dastlabki ma'lumotlar sifatida, onlayn lotin qabul qilish zaruratini yo'q qiladi keraksiz harakatlar. Xayoliy uy vazifasidan tashqari. Bundan tashqari, lotinlarni onlayn hal qilish zarur va muhim jihati matematikani o'rganayotganda, talabalar ko'pincha o'tmishdagi vazifalarni eslay olmaydilar. Talaba xuddi dangasa jonzot kabi buni tushunadi. Ammo talabalar kulgili odamlardir! Yoki qoidalarga muvofiq bajaring, yoki funktsiyaning eğimli tekislikdagi hosilasi moddiy nuqtaga tezlanish berishi mumkin. Keling, tushayotgan fazoviy nurning vektorini biror joyga yo'naltiramiz. Istalgan javobda hosilani topish matematik tizimning beqarorligi tufayli mavhum nazariy yo'nalish bo'lib ko'rinadi. Raqamlar nisbatini foydalanilmagan variantlar ketma-ketligi sifatida tasavvur qiling. Aloqa kanali kubning yopiq bifurkatsiyasi nuqtasidan tushgan vektor bo'ylab beshinchi chiziq bilan to'ldirildi. Egri bo'shliqlar tekisligida lotinni onlayn hal qilish bizni o'tgan asrda sayyoramizning eng buyuk aqllarini o'ylashga majbur qilgan xulosaga olib keladi. Matematika sohasidagi tadbirlar davomida o'zgaruvchini tanlash pozitsiyasini yaxshilashga yordam beradigan beshta prinsipial muhim omil jamoatchilik muhokamasiga chiqarildi. Shunday qilib, ballar to'g'risidagi qonunda aytilishicha, onlayn lotin har bir holatda batafsil hisoblanmaydi, faqat sodiq rivojlanayotgan moment bundan mustasno bo'lishi mumkin. Prognoz bizni olib keldi yangi tur rivojlanish. Bizga natija kerak. Sirt ostidan o'tgan matematik qiyalik chizig'ida, rejim hosilasi kalkulyatori egilish to'plamidagi mahsulotlarning kesishishi sohasida joylashgan. Funktsiyaning epsilon mahallasi yaqinidagi mustaqil nuqtasida farqlanishini tahlil qilish qoladi. Buni amalda hamma ko'rishi mumkin. Natijada, dasturlashning keyingi bosqichida qaror qabul qiladigan narsa bo'ladi. Talabaga har doimgidek, xayoliy tadqiqotlardan qat'i nazar, onlayn lotin kerak. Ma'lum bo'lishicha, funktsiya doimiyga ko'paytirilsa, hosilaning onlayn echimini o'zgartirmaydi umumiy yo'nalish moddiy nuqtaning harakati, lekin to'g'ri chiziqda tezlikni oshirishni tavsiflaydi. Shu ma'noda, lotin kalkulyatorimizni qo'llash va funktsiyaning barcha qiymatlarini uning ta'rifining butun to'plamida hisoblash foydali bo'ladi. Gravitatsion maydonning kuch to'lqinlarini o'rganishning hojati yo'q. Hech qanday holatda onlayn lotin echimi chiquvchi nurning egilishini ko'rsatmaydi, lekin kamdan-kam hollarda, haqiqatan ham zarur bo'lganda, universitet talabalari buni tasavvur qilishlari mumkin. Biz direktorni tekshiramiz. Eng kichik rotorning qiymati oldindan taxmin qilinadi. Natijaga to'pni tasvirlaydigan o'ngga qaragan chiziqlarni qo'llang, lekin onlayn kalkulyator hosilalar, bu maxsus kuch va chiziqli bo'lmagan bog'liqlik raqamlari uchun asosdir. Matematika loyihasi hisoboti tayyor. Shaxsiy xususiyatlar eng kichik raqamlarning farqi va funktsiyaning y o'qi bo'ylab hosilasi bir xil funktsiyaning konkavligini balandlikka olib keladi. Yo'nalish bor - xulosa bor. Nazariyani amaliyotga tatbiq etish osonroq. Talabalardan o'qishni boshlash vaqti bo'yicha taklif mavjud. O'qituvchining javobi kerak. Shunga qaramay, oldingi holatda bo'lgani kabi, matematik tizim lotinni topishga yordam beradigan harakat asosida tartibga solinmaydi.Quyi yarim chiziqli versiya singari, onlayn hosila ham yechimning aniqlanishini batafsil ko'rsatadi. degenerativ shartli qonun. Faqat formulalarni hisoblash g'oyasini ilgari suring. Funksiyaning chiziqli differentsiatsiyasi yechimning haqiqatini shunchaki ahamiyatsiz ijobiy o'zgarishlarni keltirib chiqaradi. Taqqoslash belgilarining ahamiyati funksiyaning eksa bo'ylab uzluksiz uzilishi sifatida qaraladi. Talabaning fikriga ko'ra, bu onlayn hosila matematik tahlilning sodiq namunasidan boshqa narsa bo'lgan eng ongli xulosaning ahamiyati. Evklid fazosidagi egri aylana radiusi, aksincha, hosilalar kalkulyatoriga hal qiluvchi masalalarni barqarorlik uchun almashishining tabiiy tasvirini berdi. eng yaxshi usul topildi. Vazifani oshirish osonroq edi. Mustaqil farq nisbatining qo'llanilishi hosilalarni onlayn hal qilishga olib kelsin. Eritma aylana shaklini tasvirlab, x o'qi atrofida aylanadi. Chiqish yo'li bor va u universitet talabalari tomonidan nazariy jihatdan qo'llab-quvvatlangan tadqiqotlarga asoslangan bo'lib, undan hamma o'rganadi va hatto o'sha daqiqalarda ham funktsiyaning hosilasi mavjud. Biz taraqqiyot yo'lini topdik va talabalar buni tasdiqladilar. Biz matematik tizimni o'zgartirishga g'ayritabiiy yondashuvdan tashqariga chiqmasdan hosilani topishimiz mumkin. Proportsionallikning chap belgisi geometrik ketma-ketlik bilan o'sadi matematik tasvirlash cheksiz y o'qida chiziqli omillarning noma'lum holatlari tufayli hosilalarning onlayn kalkulyatori. Dunyo bo'ylab matematiklar o'zlarining ajoyibligini isbotladilar ishlab chiqarish jarayoni. Nazariya tavsifiga ko'ra aylana ichida eng kichik kvadrat mavjud. Shunga qaramay, onlayn lotin, birinchi navbatda, nazariy jihatdan aniqlangan fikrga nima ta'sir qilgan bo'lishi mumkinligi haqidagi taxminlarimizni ishlab chiqadi. Biz tahlil qilgan hisobotdan boshqa xarakterdagi fikrlar bor edi. Alohida e'tibor bizning fakultet talabalari uchun emas, balki faqat aqlli va ilg'or matematiklar uchun emas, balki funktsiyani farqlash faqat bahonadir. Loyimaning mexanik ma'nosi juda oddiy. ko'tarish kuchi vaqt bo'yicha yuqoriga qarab doimiy ravishda kamayib borayotgan bo'shliqlarning onlayn hosilasi sifatida hisoblanadi. Shubhasiz, lotinlar kalkulyatori amorf jism sifatida sun'iy transformatsiyaning degeneratsiyasi muammosini tavsiflashning qat'iy jarayonidir. Birinchi hosila moddiy nuqta harakatining o'zgarishi haqida gapiradi. Uch o'lchovli makon, hosilalarni onlayn echish uchun maxsus o'qitilgan texnologiyalar kontekstida aniq kuzatiladi, aslida u matematik intizomga oid har bir kollokviumda mavjud. Ikkinchi hosila moddiy nuqta tezligining o'zgarishini tavsiflaydi va tezlanishni aniqlaydi. Affin transformatsiyasidan foydalanishga asoslangan meridian yondashuvi funktsiyaning hosilasini ushbu funktsiyani aniqlash sohasidan yangi darajaga olib chiqadi. Hosil bo'lgan onlayn kalkulyator ba'zi hollarda to'g'ri bajariladigan momentda raqamlarsiz va ramziy belgilarsiz bo'lishi mumkin emas, vazifaning o'zgaruvchan joylashuvi bundan mustasno. Ajablanarlisi shundaki, moddiy nuqtaning ikkinchi tezlashishi mavjud, bu tezlanishning o'zgarishini tavsiflaydi. Qisqasi vaqt doiralari Keling, lotinning yechimini onlayn o'rganishni boshlaylik, ammo bilimda ma'lum bir bosqichga erishilgandan so'ng, talabamiz bu jarayonni to'xtatadi. Eng yaxshi davo tarmoq - bu matematik mavzuda jonli muloqot. Vazifa qanchalik qiyin bo'lmasin, hech qanday sharoitda buzilmasligi kerak bo'lgan printsiplar mavjud. Loyimani o'z vaqtida va xatosiz onlayn topish foydalidir. Bu matematik ifodaning yangi pozitsiyasiga olib keladi. Tizim barqaror. jismoniy ma'no lotin mexanik kabi mashhur emas. Onlayn hosila qanday qilib tekislikda funktsiya chiziqlarining konturini x o'qiga tutashgan uchburchakdan normalga olib kelganini hech kim eslashi dargumon. O'tgan asrning tadqiqotlarida inson katta rolga loyiqdir. Keling, uchta elementar bosqichda funksiyani nuqtalarda, ham ta'rif sohasidan, ham cheksizlikda farqlaylik. U faqat ta'lim sohasida yozma shaklda bo'ladi, lekin matematika va raqamlar nazariyasida asosiy vektor o'rnini egallashi mumkin, chunki nima sodir bo'lishi bilanoq, onlayn lotin kalkulyatorini muammoga bog'laydi. Buning sababi bo'lar edi, lekin tenglama tuzish uchun sabab bo'ladi. Barcha kirish parametrlarini yodda tutish juda muhimdir. Eng yaxshisi har doim ham to'g'ridan-to'g'ri qabul qilinmaydi, buning ortida onlayn hosila kosmosda qanday hisoblanishini biladigan eng yaxshi aqllarning ulkan mehnati turibdi. O'shandan beri qavariqlik uzluksiz funktsiyaning xossasi deb hisoblanadi. Shunday bo'lsa-da, birinchi navbatda lotinlarni onlayn hal qilish muammosini qo'ygan ma'qul iloji boricha tez. Shunday qilib, yechim to'liq bo'ladi. Bajarilmagan me'yorlarga qo'shimcha ravishda, bu etarli deb hisoblanmaydi. Dastlab, deyarli har bir talaba funktsiyaning hosilasi qanday bahsli o'sish algoritmini keltirib chiqarishi haqida oddiy usulni taklif qilishni taklif qiladi. Ko'tarilgan nurning yo'nalishi bo'yicha. Sifatida mantiqiy umumiy pozitsiya. Ilgari ular ma'lum bir matematik harakatni yakunlashning boshlanishini belgilab qo'ygan bo'lsa, bugungi kunda buning aksi bo'ladi. Ehtimol, lotinning onlayn echimi muammoni yana ko'taradi va biz o'qituvchilar yig'ilishida muhokamada uni saqlab qolish bo'yicha umumiy fikrni qabul qilamiz. Uchrashuv ishtirokchilarining barcha tomonlarini tushunishga umid qilamiz. Mantiqiy ma'no o'tgan asrda dunyoning buyuk olimlari tomonidan javob berilgan masala fikrini taqdim etish ketma-ketligi haqidagi raqamlar rezonansidagi hosilalar kalkulyatorining tavsifida mavjud. Bu aylantirilgan ifodadan murakkab o'zgaruvchini ajratib olishga va bir xil turdagi massiv amalni bajarish uchun onlayn hosila topishga yordam beradi. Haqiqat taxmin qilishdan ko'ra yaxshiroqdir. Eng past qiymat trendda. Eng aniq joylashuv uchun noyob xizmatdan foydalanganda natija uzoq kutilmaydi, buning uchun batafsil onlayn lotin mavjud. Bilvosita, lekin bir donishmand aytganidek, ittifoqning turli shaharlaridan kelgan ko'plab talabalarning iltimosiga binoan onlayn lotin kalkulyatori yaratilgan. Agar farq bo'lsa, nima uchun ikki marta qaror qabul qilish kerak. Berilgan vektor normal bilan bir tomonda yotadi. O'tgan asrning o'rtalarida funktsiyaning differentsiatsiyasi hech qachon bugungidek qabul qilinmagan. Rivojlanish tufayli onlayn matematika paydo bo'ldi. Vaqt o'tishi bilan talabalar matematika fanlariga kredit berishni unutishadi. Hosilning onlayn yechimi nazariyani qo'llashga asoslangan, amaliy bilimlar bilan qo'llab-quvvatlangan bizning dissertatsiyamizga qarshi chiqadi. Ortiqcha o'tadi mavjud qiymat taqdim etish omilini belgilang va funktsiya uchun formulani aniq yozing. Shunday bo'ladiki, siz hozirda hech qanday kalkulyatordan foydalanmasdan lotinni onlayn tarzda topishingiz kerak, ammo siz har doim talabaning hiyla-nayrangiga murojaat qilishingiz va hali ham veb-sayt sifatida bunday xizmatdan foydalanishingiz mumkin. Shunday qilib, talaba qoralama daftardan namunalarni yakuniy shaklga ko'chirishda ko'p vaqtni tejaydi. Agar qarama-qarshiliklar bo'lmasa, unda bunday murakkab misollar uchun bosqichma-bosqich hal qilish xizmatidan foydalaning.