Amalda ko'pincha qatorning yig'indisini topish qatorning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob berish kabi muhim emas. Shu maqsadda qatorning umumiy termini xossalariga asoslangan konvergentsiya mezonlaridan foydalaniladi.

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni

1-TEOREMA

Agar qatoryaqinlashadi, keyin uning umumiy atamasi da nolga intiladi
, bular.
.

Qisqacha: agar qator yaqinlashsa, uning umumiy hadi nolga intiladi.

Isbot. Ketma-ket yaqinlashsin va uning yig'indisi teng bo'lsin . Har kim uchun qisman summa

.

Keyin. 

Konvergentsiyaning isbotlangan zarur mezonidan kelib chiqadi qatorlar ajralish uchun etarli mezon: agar da
qatorning umumiy hadi nolga intilmaydi, keyin qator ajralib chiqadi.

4-misol

Ushbu seriya uchun umumiy atama
va
.

Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

5-misol Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Ko'rinib turibdiki, noqulay ifoda tufayli shakli ko'rsatilmagan ushbu turkumning umumiy atamasi nolga moyil bo'ladi.
, ya'ni. qator yaqinlashuvining zarur mezoni qanoatlansa, lekin bu qator ajraladi, chunki uning yig'indisi cheksizlikka intiladi.

Ijobiy belgilar seriyasi

Barcha a'zolari ijobiy bo'lgan raqamlar qatori deyiladi ijobiy belgi.

2-TEOREMA (Ijobiy qatorning yaqinlashuvi mezoni)

Ijobiy qator yaqinlashishi uchun uning barcha qisman yig’indilari yuqorida bir xil son bilan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Chunki har qanday uchun
, keyin, ya'ni. keyingi ketma-ketlik
- monoton ravishda ortib borayotgan, shuning uchun chegara mavjudligi uchun yuqoridan ketma-ketlikni qandaydir son bilan cheklash zarur va etarli.

Bu teorema amaliydan ko'ra ko'proq nazariydir. Quyida ko'proq qo'llaniladigan boshqa konvergentsiya mezonlari keltirilgan.

Belgili-musbat qatorlarning yaqinlashishi uchun etarli shart-sharoitlar

3-TEOREMA (Birinchi taqqoslash testi)

Ikki ijobiy qator berilsin:

(1)

(2)

va ba'zi bir raqamdan boshlab
, har kim uchun
tengsizlik
Keyin:

Taqqoslashning birinchi belgisining sxematik belgisi:

tushish. tushish.

oqim oqim

Isbot. 1) Ketma-ket hadlarining chekli sonini yo‘q qilish uning yaqinlashuviga ta’sir qilmagani uchun biz holat uchun teoremani isbotlaymiz.
. Har kimga ruxsat bering
bizda ... bor

, (3)

qayerda
va
mos ravishda (1) va (2) qatorlarning qisman yig‘indisidir.

Agar (2) qator yaqinlashsa, u holda raqam mavjud
. Ketma-ketlikdan beri
- ortib borayotgan, uning chegarasi har qanday a'zodan kattaroqdir, ya'ni.
har kim uchun . Demak, (3) tengsizlikdan kelib chiqadi
. Shunday qilib, (1) qatorning barcha qisman yig'indilari yuqoridan raqam bilan chegaralanadi . 2-teoremaga ko'ra, bu qator yaqinlashadi.

2) Darhaqiqat, agar (2) qator yaqinlashsa, u holda (1) qatorlar ham taqqoslash orqali yaqinlashadi. 

Ushbu xususiyatni qo'llash uchun tez-tez bunday standart qatorlar qo'llaniladi, ularning yaqinlashishi yoki divergentsiyasi oldindan ma'lum, masalan:

3) - Dirixlet seriyasi (u bir-biriga yaqinlashadi
da farqlanadi
).

Bundan tashqari, ko'pincha quyidagi aniq tengsizliklar yordamida olinishi mumkin bo'lgan qatorlar qo'llaniladi:

,

,
,
.

Muayyan misollardan foydalanib, birinchi taqqoslash mezonidan foydalangan holda konvergentsiya uchun musbat belgilar qatorini o'rganish sxemasini ko'rib chiqing.

6-misol Raqamni o'rganing
konvergentsiya uchun.

1-qadam. Keling, qatorning ijobiy belgisini tekshiramiz:
uchun

2-qadam. Ketmalarning yaqinlashuvi uchun zaruriy mezonning bajarilishini tekshiramiz:
. Sifatida
, keyin

(agar chegarani hisoblash qiyin bo'lsa, bu bosqichni o'tkazib yuborish mumkin).

Qadam 3. Biz taqqoslashning birinchi belgisidan foydalanamiz. Buning uchun biz ushbu seriya uchun standart seriyani tanlaymiz. Sifatida
, keyin standart sifatida biz seriyani olishimiz mumkin
, ya'ni. Dirixlet qatori. Bu qator yaqinlashadi, chunki ko'rsatkich
. Shuning uchun, taqqoslashning birinchi mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar ham yaqinlashadi.

7-misol Raqamni o'rganing
konvergentsiya uchun.

1) Bu qator belgi-musbat, chunki
uchun

2) Qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni qanoatlansa, chunki

3) Seriya-standartni tanlaymiz. Sifatida
, keyin standart sifatida biz geometrik qatorni olishimiz mumkin

. Bu qator yaqinlashadi, shuning uchun o'rganilayotgan qatorlar ham yaqinlashadi.

4-TEOREMA (Ikkinchi taqqoslash testi)

Agar belgi-musbat qatorlar uchun va nolga teng bo'lmagan chekli chegara mavjud
, keyin qatorlar bir vaqtda yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Isbot.(2) qator yaqinlashsin; U holda (1) qator ham yaqinlashishini isbotlaylik. Keling, bir nechta raqamni tanlaylik , Bundan ko'proq . Shartdan
bunday raqamning mavjudligi bu hamma uchun
tengsizlik
, yoki, qaysi bir xil,

(4)

Birinchi (1) va (2) qatorlarni tashlash atamalar (bu yaqinlashuvga ta'sir qilmaydi), biz tengsizlik (4) hamma uchun amal qiladi deb taxmin qilishimiz mumkin.
Ammo umumiy atama bilan seriya
(2) qatorlarning yaqinlashuvi tufayli yaqinlashadi. Taqqoslashning birinchi mezoniga ko'ra, (4) tengsizlik (1) qatorlarning yaqinlashishini nazarda tutadi.

Endi (1) qator yaqinlashsin; (2) qatorlarning yaqinlashuvini isbotlaymiz. Buning uchun berilgan qatorlarning rollarini teskari o'zgartirish kifoya. Sifatida

u holda, yuqorida isbotlanganidek, (1) qatorlarning yaqinlashuvi (2) qatorlarning yaqinlashuvini anglatishi kerak. 

Agar a
da
(konvergentsiyaning zaruriy mezoni), keyin shartdan
, buni kuzatib boradi va bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichiklar (ekvivalent
). Shuning uchun, agar seriya berilsa , qayerda
da
, keyin bu seriya uchun standart seriyani olishimiz mumkin , bu erda umumiy atama berilgan qatorning umumiy hadi bilan bir xil kichiklik tartibiga ega.

Malumot seriyasini tanlashda siz quyidagi ekvivalent cheksiz kichik jadvaldan foydalanishingiz mumkin
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

8-misol Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

.

har kim uchun
.

Sifatida
, keyin biz mos yozuvlar qator sifatida garmonik divergent qatorni olamiz
. Umumiy a'zolar nisbati chegarasidan boshlab va chekli va noldan farq qiladi (u 1 ga teng), keyin taqqoslashning ikkinchi mezoni asosida bu qator ajralib chiqadi.

9-misol
taqqoslash uchun ikkita asosda.

Bu seriya ijobiy, chunki
, va
. Shu darajada
, keyin garmonik qatorni mos yozuvlar qatori sifatida olish mumkin . Bu qator bir-biridan ajralib turadi va shuning uchun taqqoslashning birinchi belgisiga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar ham ajralib chiqadi.

Berilgan qator va mos yozuvlar qatori uchun shart
(bu erda 1-ajoyib chegara qo'llaniladi), keyin ikkinchi taqqoslash mezoniga asoslanib, qator
- farqlanadi.

5-TEOREMA (D'Alember testi)

chekli chegara mavjud
, keyin qator yaqinlashadi
da farqlanadi
.

Isbot. Bo'lsin
. Keling, istalgan raqamni olaylik , o'rtasida tuzilgan va 1:
. Shartdan
shundan kelib chiqadiki, qandaydir raqamdan boshlab tengsizlik

;
;
(5)

Seriyani ko'rib chiqing

(5) ga binoan (6) qatorning barcha hadlari cheksiz geometrik progressiyaning tegishli hadlaridan oshmaydi.
Shu darajada
, bu progressiya konvergent hisoblanadi. Bu erdan, taqqoslashning birinchi belgisiga ko'ra, qatorlarning yaqinlashishi sodir bo'ladi

Bo‘lyapti
o'zingiz uchun o'ylab ko'ring.

Izohlar :

shundan kelib chiqadiki, seriyaning qolgan qismi

.

D'Alembert testi ketma-ketlikning umumiy atamasi eksponensial funktsiya yoki faktorialni o'z ichiga olgan bo'lsa, amalda qulaydir.

10-misol Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing d'Alemberga ko'ra.

Bu seriya ijobiy va

.

(Bu erda hisob-kitobda L'Hopital qoidasi ikki marta qo'llaniladi).

keyin bu qator d'Alember mezoni bo'yicha yaqinlashadi.

11-misol..

Bu seriya ijobiy va
. Shu darajada

keyin qator yaqinlashadi.

6-TEOREMA (Koshi testi)

Agar belgi-musbat qator uchun chekli chegara mavjud
, keyin da
qator yaqinlashadi va
qator ajralib chiqadi.

Isbot 5-teoremaga o'xshaydi.

Izohlar :

12-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing
.

Bu seriya ijobiy, chunki
har kim uchun
. Limitni hisoblashdan boshlab
ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, biz ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun zarur mezonning amalga oshirilishini tekshirishni o'tkazib yuboramiz.

keyin berilgan qator Koshi mezoniga ko'ra ajralib chiqadi.

TEOREMA 7 (Maklaurin-Koshi yaqinlashuvi uchun integral test)

Bir qator berilsin

shartlari ijobiy bo'lgan va ko'paymaydigan:

Yana davom eting
barcha real uchun aniqlangan funksiyadir
, uzluksiz, ortib ketmaydi va

Ushbu mavzu bilan ishlashni boshlashdan oldin, men sizga raqamlar seriyasi uchun terminologiya bo'limiga qarashni maslahat beraman. Ayniqsa, qatorning umumiy atamasi tushunchasiga e'tibor qaratish lozim. Agar sizda yaqinlashish belgisini to'g'ri tanlashga shubhangiz bo'lsa, men sizga "Raqamli qatorlarning yaqinlashuv belgisini tanlash" mavzusini ko'rib chiqishni maslahat beraman.

Konvergentsiyaning zaruriy mezoni raqamlar qatori oddiy formulaga ega: konvergent qatorning umumiy atamasi nolga intiladi. Bu xususiyatni rasmiyroq yozishingiz mumkin:

Agar $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qator yaqinlashsa, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Ko'pincha adabiyotda "konvergentsiyaning zaruriy mezoni" iborasi o'rniga "yaqinlashuvning zaruriy sharti" deb yozadilar. Ammo keling, mavzuga o'taylik: bu belgi nimani anglatadi? Va bu quyidagilarni anglatadi: agar $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ bo'lsa, u holda qator balki birlashish. Agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lsa (yoki chegara oddiygina mavjud bo'lmasa), $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qatori ajralib chiqadi.

Shuni ta'kidlash joizki, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ tengligi ketma-ketliklarning umuman yaqinlashishini anglatmaydi. Seriya yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin. Ammo agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lsa, seriyaning ajralib chiqishi kafolatlanadi. Agar ushbu nuanslar batafsil tushuntirishlarni talab qilsa, iltimos, eslatmani oching.

“Zarur shart” iborasi nimani anglatadi? ko'rsatish / yashirish

Kerakli shart tushunchasini misol bilan aniqlab olaylik. Talabaga qalam sotib olish zarur 10 rubl bor. Buni quyidagicha yozish mumkin: agar talaba qalam sotib olsa, unda 10 rubl bor. O'n rublning mavjudligi qalam sotib olish uchun zaruriy shartdir.

Bu shart qondirilsin, ya'ni. Talabaning o'ntasi bor. Bu uning qalam sotib olishini anglatadimi? Umuman yo'q. U qalam sotib oladi yoki pulni keyinroq saqlashi mumkin. Yoki boshqa narsani sotib oling. Yoki ularni kimgadir bering - variantlar juda ko'p :) Boshqacha qilib aytganda, qalam sotib olish uchun zarur shartni bajarish (ya'ni, pulga ega bo'lish) bu qalamni sotib olishni kafolatlamaydi.

Xuddi shunday, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ sonli qatorning yaqinlashuvining zaruriy sharti bu qatorning yaqinlashuvini umuman kafolatlamaydi. Oddiy o'xshatish: agar pul bo'lsa, talaba qalam sotib olishi yoki olmasligi mumkin. Agar $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ boʻlsa, qator yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.

Biroq, qalam sotib olish uchun zarur shart bajarilmasa nima bo'ladi, ya'ni. pul yo'q? Shunda talaba albatta ruchka sotib olmaydi. Xuddi shu narsa qatorlar uchun ham amal qiladi: zaruriy yaqinlashuv sharti bajarilmasa, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, keyin ketma-ketlik albatta ajralib chiqadi.

Xulosa qilib aytganda, agar zarur shart bajarilsa, oqibat yuzaga kelishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ammo, agar zarur shart bajarilmasa, oqibat albatta sodir bo'lmaydi.

Aniqlik uchun ikkita qatorga misol keltiraman: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ va $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Birinchi qatorning umumiy atamasi $u_n=\frac(1)(n)$ va ikkinchi qatorning umumiy hadi $v_n=\frac(1)(n^2)$ nolga intiladi, ya'ni.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Biroq, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ garmonik qator bir-biridan farq qiladi, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ yaqinlashadi. Kerakli yaqinlashuv shartining bajarilishi ketma-ketlikning yaqinlashishini aslo kafolatlamaydi.

Ketma-ketlarning yaqinlashuvi uchun zaruriy shartga asoslanib, biz formula qilishimiz mumkin ajralishning etarli belgisi raqam qatori:

Agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qatori ajralib chiqadi.

Ko'pincha, standart misollarda, agar qatorning umumiy a'zosi kasr bilan ifodalangan bo'lsa, uning soni va maxraji ba'zi polinomlar bo'lsa, zaruriy yaqinlashuv mezoni tekshiriladi. Masalan, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (1-misolga qarang). Yoki polinomlardan ildizlar bo'lishi mumkin (2-misolga qarang). Ushbu sxemadan biroz tashqarida bo'lgan misollar mavjud, ammo bu standart testlar uchun kamdan-kam uchraydi (ushbu mavzuning ikkinchi qismidagi misollarga qarang). Men asosiy narsani ta'kidlayman: kerakli mezon yordamida ketma-ketlikning yaqinligini isbotlash mumkin emas. Bu mezon ketma-ket ajralishini isbotlash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

№1 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ qatorining yaqinlashuvini oʻrganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Ikki ko'phadning nisbati chegarasi". Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, u holda konvergentsiya uchun zaruriy mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Yechim tugadi, ammo, menimcha, o'quvchida juda asosli savol tug'iladi: biz zaruriy konvergentsiya shartining bajarilishini tekshirish kerakligini qanday ko'rdik? Raqamli qatorlarning yaqinlashuvining ko'plab belgilari mavjud, shuning uchun ular nima uchun buni qabul qilishdi? Bu savol umuman bekor emas. Ammo unga javob hamma o'quvchilarni qiziqtirmasligi mumkinligi sababli, men uni eslatma ostiga yashirdim.

Nega biz konvergentsiyaning zarur mezonidan foydalanishni boshladik? ko'rsatish / yashirish

Ochiq gapiradigan bo'lsak, ushbu seriyaning yaqinlashuvi masalasi rasmiy tadqiqotdan oldin ham hal qilinadi. Men o'sish tartibi kabi mavzuga to'xtalmayman, oddiygina umumiy fikrlarni keltiraman. Keling, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ umumiy atamasini batafsil koʻrib chiqaylik. Keling, birinchi navbatda numeratorni ko'rib chiqaylik. Numeratorda joylashgan (-1) raqamni darhol yo'q qilish mumkin: agar $n\to\infty$ bo'lsa, qolgan shartlarga nisbatan bu raqam ahamiyatsiz bo'ladi.

Keling, hisoblagichdagi $n^2$ va $n$ kuchlarini ko'rib chiqaylik. Savol: qaysi element ($n^2$ yoki $n$) boshqalarga qaraganda tezroq o'sadi?

Bu erda javob oddiy: $n ^ 2$ uning qiymatlarini eng tez oshiradi. Misol uchun, qachon $n=100$, keyin $n^2=10\;000$. Va $n$ va $n^2$ oʻrtasidagi bu boʻshliq tobora kattalashib boradi. Shuning uchun biz $n^2$ ni o'z ichiga olganlardan tashqari barcha shartlarni aqliy ravishda o'chirib tashlaymiz. Bunday "tushirish" dan keyin hisoblagich $3n^2$ bo'ladi. Va maxraj uchun shunga o'xshash protsedura bajarilgandan so'ng, $ 5n ^ 2 $ o'sha erda qoladi. Endi $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ kasri quyidagicha boʻladi: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Bular. cheksizlikda umumiy atama nolga moyil bo'lmasligi aniq. Buni faqat yuqorida qilingan rasmiy ravishda ko'rsatish qoladi.

Ko'pincha, qatorning umumiy a'zosi yozuvida, masalan, $\sin\alpha$ yoki $\arctg\alpha$ va shunga o'xshash elementlar ishlatiladi. Shuni yodda tutish kerakki, bunday miqdorlarning qiymatlari ma'lum raqamli chegaralardan tashqariga chiqa olmaydi. Misol uchun, $\alpha$ qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, $\sin\alpha$ qiymati $-1≤\sin\alpha≤ 1$ ichida qoladi. Ya'ni, masalan, $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$ deb yozishimiz mumkin. Endi tasavvur qiling-a, seriyaning umumiy atamasi uchun belgida $5n+\sin(n!e^n)$ kabi ifoda bor. Faqat -1 dan 1 gacha "tebranishi" mumkin bo'lgan sinus muhim rol o'ynaydimi? Oxir oqibat, $n $ qiymatlari cheksizlikka shoshiladi va sinus hatto bittadan oshmasligi kerak! Shuning uchun, $5n+\sin(n!e^n)$ iborasini dastlabki ko'rib chiqishda sinusni shunchaki tashlab yuborish mumkin.

Yoki, masalan, yoy tangensini oling. $\alpha$ argumentining qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, $\arctg\alpha$ qiymatlari $-\frac(\pi)(2) tengsizligini qondiradi.<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Qaysi elementlarni "tashlab qo'yish" mumkinligini va qaysi biri yo'qligini aniqlash uchun sizga ozgina mahorat kerak. Ko'pincha, ketma-ketlikning yaqinlashuvi masalasi rasmiy tadqiqotdan oldin ham hal qilinishi mumkin. Va standart misollardagi rasmiy o'rganish faqat intuitiv ravishda olingan natijani tasdiqlash bo'lib xizmat qiladi.

Javob: qator farqlanadi.

№2 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ qatorini konvergentsiya uchun tekshiring.

Pastki yig‘indi chegarasi 1 ga teng bo‘lgani uchun qatorning umumiy hadi yig‘indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+) 12)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ chap|\frac(\infty)(\infty)\o'ng|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Agar ushbu chegarani yechish usuli savollar tug'dirsa, men sizga "Irratsionallik bilan chegaralar. Uchinchi qism" (misol No 7) mavzusiga murojaat qilishingizni maslahat beraman. Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, konvergentsiya uchun zarur boʻlgan mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Keling, intuitiv fikrlash pozitsiyasidan bir oz gaplashaylik. Aslida, bu erda №1 misolning yechimiga eslatmada aytilgan hamma narsa to'g'ri. Agar biz ketma-ket umumiy hadning pay va maxrajidagi barcha "ahamiyatsiz" atamalarni aqliy ravishda "tashlab qo'ysak", u holda $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- kasri) n+12)$ quyidagi shaklni oladi: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Bular. rasmiy tadqiqotdan oldin ham, $n\to\infty$ uchun qatorning umumiy atamasi nolga moyil bo'lmasligi aniq bo'ladi. Cheksizlikka - bo'ladi, nolga - yo'q. Shuning uchun, faqat yuqorida qilingan buni qat'iy ko'rsatish qoladi.

Javob: qator farqlanadi.

№3 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ qatorining yaqinlashuvini oʻrganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 ga teng bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\chap(5^n\sin\frac(8)(3^n)\o'ng)=\lim_(n\to) \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(hizalangan)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(hizalangan)\o'ng|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\o'ng)^n=+\infty. $$

Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, konvergentsiya uchun zarur boʻlgan mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Limitni hisoblashda amalga oshirilgan o'zgarishlar haqida bir necha so'z. $5^n$ ifodasi ayiruvchiga shunday joylashtirilganki, ham ayiruvchi, ham maxrajdagi ifodalar cheksiz kichik bo'lib qoladi. Bular. $n\to\infty$ uchun bizda: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ va $\frac(1)(5^n)\to 0$. Va agar bizda cheksiz kichik nisbat bo'lsa, unda biz "Ekvivalent cheksiz kichik funktsiyalar" hujjatida ko'rsatilgan formulalarni xavfsiz qo'llashimiz mumkin (hujjat oxiridagi jadvalga qarang). Ushbu formulalardan biriga ko'ra, agar $x\to 0$ bo'lsa, $\sin x\sim x$. Va bizda shunday holat bor: $\frac(8)(3^n)\dan 0$ gacha, keyin $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n) )$. Boshqacha qilib aytganda, $\sin\frac(8)(3^n)$ ifodasini $\frac(8)(3^n)$ ifodasi bilan almashtiramiz.

Menimcha, nima uchun $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ ifodasini kasr shakliga oʻzgartirdik degan savol tugʻilishi mumkin, chunki bunday oʻzgartirishsiz almashtirishni amalga oshirish mumkin edi. Bu erda javob: almashtirish amalga oshirilishi mumkin, lekin bu qonuniy bo'ladimi? Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar haqidagi teorema bunday almashtirishlar faqat $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ ko‘rinishdagi ifodalarda ($\alpha(x)$ va $ bo‘lganda) mumkinligini aniq ko‘rsatib beradi. \beta (x)$ - cheksiz kichik) chegara belgisi ostida joylashgan. Shunday qilib, biz ifodani kasr shakliga aylantirdik, uni teorema talablariga moslashtirdik.

Javob: qator farqlanadi.

4-misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ qatorining yaqinlashuvini o'rganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 ga teng bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Darhaqiqat, bu qatorning yaqinlashuvi haqidagi savol D "Alembert belgisi yordamida osonlikcha hal qilinadi. Biroq, kerakli yaqinlashish belgisi ham qo'llanilishi mumkin.

Keling, seriyaning umumiy atamasini batafsil ko'rib chiqaylik. Numeratorda $3^n$ ifodasi mavjud boʻlib, u $n$2$ maxrajidagiga nisbatan $n$ koʻpayishi bilan tezroq ortadi. O'zingiz uchun solishtiring: masalan, agar $n=10$, keyin $3^n=59049$ va $n^2=100$. Va bu bo'shliq $n $ o'sishi bilan tez o'sib bormoqda.

Agar $n\to\infty$ bo'lsa, $u_n$ nolga moyil bo'lmaydi, deb taxmin qilish juda mantiqiy. zarur yaqinlashuv sharti bajarilmaydi. Faqatgina ushbu ishonchli gipotezani sinab ko'rish va $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ hisoblash qoladi. Biroq, bu chegarani hisoblashdan oldin, $y=\frac(3^x)(x^2)$ funksiyaning $x\ to +\infty$ uchun yordamchi chegarasini topamiz, ya'ni. $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$ hisoblang. Nima uchun biz buni qilyapmiz: haqiqat $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ ifodasida $n$ parametri faqat tabiiy qiymatlarni oladi ($n=1,2,3, \ldots$) va $y=\frac(3^x)(x^2)$ funksiyasining $x$ argumenti haqiqiy qiymatlarni oladi. $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ni topishda biz L'Hopital qoidasini qo'llashimiz mumkin:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\matn (L'Hopital's ilovasini qo'llang qoida) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\o'ng)")=\lim_(x\to +\infty) )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(L'Hopital qoidasini qo'llang)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\o'ng)")(\left(x\o'ng)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Chunki $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, keyin $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \\ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lgani uchun qatorning yaqinlashuvining zaruriy sharti qondirilmaydi, ya'ni. berilgan qator farqlanadi.

Javob: qator farqlanadi.

Kerakli konvergentsiya testi yordamida yaqinlashuvi tekshiriladigan qatorlarning boshqa misollari ushbu mavzuning ikkinchi qismida keltirilgan.

Choynak uchun qatorlar. Yechim misollari

Barcha omon qolganlar ikkinchi yilga xush kelibsiz! Ushbu darsda, to'g'rirog'i, bir qator darslarda biz qatorlarni qanday boshqarishni o'rganamiz. Mavzu juda qiyin emas, lekin uni o'zlashtirish uchun birinchi kursdan bilim kerak bo'ladi, xususan, tushunish kerak chegara nima, va eng oddiy chegaralarni topa olish. Biroq, yaxshi, tushuntirishlar jarayonida men kerakli darslarga tegishli havolalarni beraman. Ba'zi o'quvchilar uchun matematik qatorlar, yechish usullari, belgilar, teoremalar mavzusi o'ziga xos va hatto g'alati, bema'ni tuyulishi mumkin. Bunday holda, siz ko'p "yuklashingiz" shart emas, biz faktlarni xuddi shunday qabul qilamiz va oddiy, umumiy vazifalarni hal qilishni o'rganamiz.

1) Choynak uchun qatorlar, va samovarlar uchun darhol tarkib :)

Mavzu bo'yicha juda tez tayyorlanish uchun pdf formatidagi ekspress kurs mavjud bo'lib, uning yordamida haqiqatan ham bir kun ichida amaliyotni "ko'tarish" mumkin.

Sonlar qatori haqida tushuncha

Umuman raqamlar seriyasi shunday yozilishi mumkin:
Bu yerda:
- yig'indining matematik belgisi;
– seriyaning umumiy atamasi(ushbu oddiy atamani eslang);
- o'zgaruvchan - "hisoblagich". Yozuv shuni anglatadiki, yig'indi 1 dan "plyus cheksizlik" ga, ya'ni avval bizda , keyin , keyin , va hokazo - cheksizlikka qadar amalga oshiriladi. Oʻzgaruvchi yoki baʼzan oʻzgaruvchi oʻrniga ishlatiladi. Xulosa bittadan boshlanishi shart emas, ba'zi hollarda u noldan, ikkitadan yoki har qandaydan boshlanishi mumkin. natural son.

"Taymer" o'zgaruvchisiga ko'ra, har qanday seriyani batafsil bo'yash mumkin:
– va hokazolar infinitum.

Shartlar - Bu RAQAMLAR, deb ataladi a'zolari qator. Agar ularning barchasi salbiy bo'lmasa (noldan katta yoki teng), keyin bunday qator deyiladi ijobiy son qatori.

1-misol

Aytgancha, bu allaqachon "jangovar" vazifadir - amalda ko'pincha seriyaning bir nechta a'zolarini yozib olish talab qilinadi.

Avval, keyin:
Keyin, keyin:
Keyin, keyin:

Jarayon cheksiz davom ettirilishi mumkin, ammo shartga ko'ra, seriyaning dastlabki uchta shartini yozish kerak edi, shuning uchun biz javobni yozamiz:

dan asosiy farqiga e'tibor bering raqamlar ketma-ketligi,
unda atamalar yig'ilmaydi, balki shunday deb hisoblanadi.

2-misol

Seriyaning dastlabki uchta shartini yozing

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol, javob dars oxirida.

Hatto murakkab ko'rinadigan seriyalar uchun ham uni kengaytirilgan shaklda tasvirlash qiyin emas:

3-misol

Seriyaning dastlabki uchta shartini yozing

Aslida, vazifa og'zaki ravishda amalga oshiriladi: ketma-ketlikning umumiy atamasida aqliy o'rinbosar birinchi, keyin va. Natijada:

Javobni shunday qoldiring seriyaning olingan shartlarini soddalashtirmaslik yaxshiroqdir, ya'ni rioya qilmaslik harakatlar: , , . Nega? Shaklda javob bering o'qituvchi tekshirish uchun ancha oson va qulayroq.

Ba'zida teskari holat mavjud

4-misol

Bu erda aniq yechim algoritmi yo'q. siz shunchaki naqshni ko'rishingiz kerak.
Ushbu holatda:

Tekshirish uchun natijada olingan seriya kengaytirilgan shaklda "qayta bo'yalgan" bo'lishi mumkin.

Ammo mustaqil yechim uchun misol biroz qiyinroq:

5-misol

Yig'indini qatorning umumiy hadi bilan yiqilgan shaklda yozing

Seriyani kengaytirilgan shaklda yozish orqali yana tekshiring

Raqamlar qatorining yaqinlashishi

Mavzuning asosiy maqsadlaridan biri ketma-ketlikni konvergentsiya uchun tekshirish. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

1) Qatorfarqlanadi. Demak, cheksiz yig‘indi cheksizlikka teng: yoki umumiy yig‘indi mavjud emas, masalan, seriyadagi kabi
(Aytgancha, bu erda salbiy atamalar bilan bir qator misol). Divergent raqamlar seriyasining yaxshi namunasi dars boshida paydo bo'ldi: . Bu erda seriyaning har bir keyingi atamasi avvalgisidan kattaroq ekanligi aniq ko'rinib turibdi va shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi. Bundan ham ahamiyatsizroq misol: .

2) Qatorbirlashadi. Bu cheksiz yig'indining ba'zilariga teng ekanligini anglatadi yakuniy raqam: . Arzimaydi: Bu qator yaqinlashadi va uning yig'indisi nolga teng. Yana mazmunli misol cheksiz kamayadi maktabdan beri bizga ma'lum bo'lgan geometrik progressiya: . Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolari yig'indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi: , bu erda progressiyaning birinchi a'zosi va uning asosi bo'lib, qoida tariqasida quyidagicha yoziladi. to'g'ri kasrlar. Ushbu holatda: , . Shunday qilib: chekli son olinadi, ya'ni qator yaqinlashadi, bu isbotlanishi kerak edi.

Biroq, aksariyat hollarda qatorlar yig‘indisini toping unchalik oddiy emas, shuning uchun amalda qatorlarning yaqinlashuvini o'rganish uchun nazariy jihatdan isbotlangan maxsus belgilar qo'llaniladi.

Seriyaning yaqinlashuvining bir nechta belgilari mavjud: qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni, taqqoslash mezoni, d’Alember mezoni, Koshi mezoni., Leybnits belgisi va boshqa belgilar. Qachon qaysi belgini qo'llash kerak? Bu seriyaning umumiy atamasiga, majoziy ma'noda - seriyaning "to'ldirilganligiga" bog'liq. Va tez orada biz hamma narsani javonlarga joylashtiramiz.

! Qo'shimcha o'rganish uchun sizga kerak yaxshi tushun, chegara nima va shaklning noaniqligini ochib bera olish yaxshi. Materialni takrorlash yoki o'rganish uchun maqolaga qarang Cheklovlar. Yechim misollari.

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni

Agar qator yaqinlashsa, uning umumiy hadi nolga intiladi: .

Qarama-qarshilik umumiy holatda to'g'ri emas, ya'ni agar bo'lsa, u holda qator yaqinlashishi ham, ajralib chiqishi ham mumkin. Va shuning uchun bu belgi oqlash uchun ishlatiladi farqlanish qator:

Agar seriyaning umumiy atamasi nolga tushmaydi, keyin qator farqlanadi

Yoki qisqasi: agar , u holda qator ajralib chiqadi. Xususan, chegara umuman mavjud bo'lmaganda vaziyat mumkin, masalan, chegara. Bu erda ular darhol bitta seriyaning tafovutini isbotladilar :)

Ammo ko'pincha divergent qatorning chegarasi cheksizlikka teng bo'ladi, "x" o'rniga u "dinamik" o'zgaruvchi sifatida ishlaydi. Keling, bilimlarimizni yangilaymiz: "x" li chegaralar funksiyalar chegaralari, "en" o'zgaruvchisi bilan chegaralar - sonli ketma-ketliklar chegaralari deb ataladi. Aniq farq shundaki, "en" o'zgaruvchisi diskret (uzluksiz) tabiiy qiymatlarni oladi: 1, 2, 3 va boshqalar. Ammo bu fakt chegaralarni echish usullari va noaniqliklarni oshkor qilish usullariga kam ta'sir qiladi.

Keling, birinchi misoldagi qatorlar farqlanishini isbotlaylik.
Seriyaning umumiy a'zosi:

Xulosa: qator farqlanadi

Kerakli xususiyat ko'pincha haqiqiy amaliy vazifalarda qo'llaniladi:

6-misol

Bizda ko'phad va maxrajda ko'phadlar mavjud. Maqolada noaniqlikni oshkor qilish usulini diqqat bilan o'qib chiqqan va tushungan kishi Cheklovlar. Yechim misollari, albatta buni ushladi hisoblagich va maxrajning eng yuqori kuchlari bo'lganda teng, keyin chegara yakuniy raqam .

Numerator va maxrajni ga bo'ling

O'quv seriyasi farqlanadi, chunki qatorning yaqinlashuvi uchun zarur mezon qondirilmaydi.

7-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida

Shunday qilib, bizga HAR QANDAY raqamlar qatori berilganda, birinchi navbatda biz tekshiramiz (aqliy yoki qoralamada): uning umumiy atamasi nolga moyilmi? Agar u harakat qilmasa, biz № 6, 7 misollar misolida yechim tuzamiz va ketma-ket ajralib chiqadi deb javob beramiz.

Biz bir-biridan farq qiladigan qatorlarning qanday turlarini ko'rib chiqdik? Qatorlar o'xshash yoki bir-biridan ajralib turishi darhol aniq bo'ladi. 6, 7-misollardagi qatorlar ham farqlanadi: pay va maxrajda ko‘phadlar bo‘lganda va payning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta yoki teng bo‘lganda. Bu barcha holatlarda misollarni echish va loyihalashda biz ketma-ketliklarning yaqinlashuvi uchun zarur bo'lgan mezondan foydalanamiz.

Nima uchun belgi deyiladi zarur? Eng tabiiy yo'l bilan tushuning: seriyalar birlashishi uchun, zarur shuning uchun uning umumiy atamasi nolga intiladi. Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin bu yetarli emas. Boshqa so'zlar bilan aytganda, Agar qatorning umumiy aʼzosi nolga moyil boʻlsa, bu qator yaqinlashishini anglatmaydi.- u ham birlashishi, ham ajralishi mumkin!

Tanishish:

Bu qator deyiladi garmonik qator. Iltimos, esda tuting! Raqamli seriyalar orasida u prima balerina. Aniqrog'i, balerina =)

Buni ko'rish oson , LEKIN. Matematik analiz nazariyasida bu isbotlangan garmonik qator ajraladi.

Umumlashtirilgan harmonik qator tushunchasini ham eslab qolishingiz kerak:

1) Bu qator farqlanadi da . Masalan, qator diverge, , .
2) Bu qator birlashadi da . Masalan, , , qatori. Yana bir bor ta'kidlaymanki, deyarli barcha amaliy vazifalarda biz uchun, masalan, qatorning yig'indisi qanday bo'lishi umuman muhim emas. uning yaqinlashishi haqiqatining o'zi muhimdir.

Bular ketma-ketlik nazariyasidan allaqachon isbotlangan elementar faktlar bo'lib, ba'zi amaliy misolni yechishda, masalan, qatorlarning divergentsiyasi yoki qatorlarning yaqinlashuviga ishonch bilan murojaat qilish mumkin.

Umuman olganda, ko'rib chiqilayotgan material juda o'xshash noto'g'ri integrallarni o'rganish, va bu mavzuni o'rganganlar osonroq bo'ladi. Xo'sh, o'qimaganlar uchun bu ikki baravar oson :)

Xo'sh, agar seriyaning umumiy atamasi nolga tushsa nima qilish kerak? Bunday hollarda, misollarni hal qilish uchun siz boshqalardan foydalanishingiz kerak, yetarli yaqinlashuv/divergensiya belgilari:

Musbat sonlar qatorini solishtirish mezonlari

e'tiboringizni qarataman Bu erda biz faqat ijobiy sonli qatorlar haqida gapiramiz (salbiy bo'lmagan a'zolar bilan).

Taqqoslashning ikkita belgisi bor, ulardan birini men shunchaki chaqiraman taqqoslash belgisi, boshqa - taqqoslashning cheklovchi belgisi.

Avval o'ylab ko'ring taqqoslash belgisi, aniqrog'i, uning birinchi qismi:

Ikki musbat sonli qatorni ko'rib chiqing va. Agar ma'lum bo'lsa, bu qator birlashadi, va, qandaydir sondan boshlab, tengsizlik o'rinli, keyin qator ham birlashadi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda: Kattaroq hadli qatorning yaqinlashishi kichikroq hadli qatorning yaqinlashishini nazarda tutadi. Amalda, tengsizlik ko'pincha barcha qiymatlar uchun umumiy holda qondiriladi:

8-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Birinchidan, biz tekshiramiz(aqliy yoki qoralama) ijrosi:
, ya'ni "ozgina qon bilan chiqish" mumkin emas edi.

Biz umumlashtirilgan garmonik qatorning "to'plami" ni ko'rib chiqamiz va eng yuqori darajaga e'tibor qaratsak, shunga o'xshash qatorni topamiz: Nazariyadan ma'lumki, u yaqinlashadi.

Barcha natural sonlar uchun aniq tengsizlik amal qiladi:

va kattaroq maxrajlar kichik kasrlarga to'g'ri keladi:
, demak, taqqoslash mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qator birlashadi yonida bilan birga.

Agar sizda biron bir shubha bo'lsa, unda tengsizlik har doim batafsil bo'yalgan bo'lishi mumkin! Bir nechta “en” sonlar uchun tuzilgan tengsizlikni yozamiz:
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
….
va endi tengsizlik juda aniq barcha natural sonlar uchun amal qiladi "en".

Taqqoslash mezonini va hal qilingan misolni norasmiy nuqtai nazardan tahlil qilaylik. Shunday bo'lsa-da, nima uchun seriyalar birlashadi? Mana nima uchun. Agar qator yaqinlashsa, unda bir oz bor final miqdori: . Va seriyaning barcha a'zolaridan beri kichikroq qatorning tegishli a'zolari, keyin dumg'aza aniq bo'ladiki, qatorning yig'indisi raqamdan katta bo'lishi mumkin emas va hatto undan ham ko'proq, cheksizlikka teng bo'lishi mumkin emas!

Xuddi shunday, biz "o'xshash" qatorlarning yaqinlashuvini isbotlashimiz mumkin: , , va hokazo.

! Eslatma barcha holatlarda bizda maxrajlarda "plyus" mavjud. Kamida bitta minusning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan narsadan foydalanishni jiddiy ravishda murakkablashtirishi mumkin taqqoslash xususiyati. Masalan, qatorni konvergent qator bilan bir xil tarzda solishtirsa (birinchi hadlar uchun bir nechta tengsizliklarni yozing), u holda shart umuman bajarilmaydi! Bu erda siz chetlab o'tishingiz va taqqoslash uchun boshqa konvergent qatorni tanlashingiz mumkin, masalan, , lekin bu keraksiz zahiralar va boshqa keraksiz qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun qatorning yaqinlashuvini isbotlash uchun undan foydalanish ancha oson chegaraviy taqqoslash mezoni(keyingi paragrafga qarang).

9-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Va bu misolda men o'zingiz uchun o'ylab ko'rishni taklif qilaman taqqoslash xususiyatining ikkinchi qismi:

Agar ma'lum bo'lsa, bu qator farqlanadi, va ba'zi bir raqamdan boshlab (ko'pincha birinchi kundan boshlab) tengsizlik bajariladi, keyin qator ham farqlanadi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda: Kichikroq atamalar bilan qatorlarning farqlanishi kattaroq shartli qatorlarning farqlanishini anglatadi..

Nima qilish kerak?
O'rganilayotgan qatorni divergent garmonik qator bilan solishtirish kerak. Yaxshiroq tushunish uchun ba'zi o'ziga xos tengsizliklarni tuzing va tengsizlik to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling.

Dars oxirida yechim va namunaviy dizayn.

Yuqorida aytib o'tilganidek, amalda hozirgina ko'rib chiqilgan taqqoslash xususiyati kamdan-kam qo'llaniladi. Raqamlar seriyasining haqiqiy "ishchi ot"idir chegaraviy taqqoslash mezoni, va foydalanish chastotasi bo'yicha, faqat d'Alembert belgisi.

Raqamli musbat qatorlarni solishtirishning chegara belgisi

Ikki musbat sonli qatorni va . Bu qatorlarning umumiy a'zolari nisbati chegarasi teng bo'lsa chekli nolga teng bo'lmagan son: , keyin ikkala qator bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Limit taqqoslash mezoni qachon ishlatiladi? Taqqoslashning chegara belgisi qatorning "to'ldirilishi" polinom bo'lsa ishlatiladi. Yoki maxrajdagi bitta ko‘phad yoki ayiruvchi va maxrajdagi ko‘phadlar. Majburiy emas, polinomlar ildiz ostida bo'lishi mumkin.

Keling, oldingi taqqoslash belgisi to'xtab qolgan seriyalar bilan shug'ullanamiz.

10-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu qatorni konvergent qator bilan solishtiring. Taqqoslashning chegaraviy testidan foydalanamiz. Ma'lumki, qatorlar yaqinlashadi. Agar shunday ekanligini ko'rsata olsak yakuniy nolga teng soni bo'lsa, qatorlar ham yaqinlashishi isbotlanadi.

Cheklangan, nolga teng bo'lmagan son olinadi, ya'ni o'rganilayotgan qator birlashadi yonida bilan birga.

Nega seriya taqqoslash uchun tanlangan? Agar biz umumlashtirilgan garmonik seriyaning "klipi" dan boshqa biron bir seriyani tanlaganimizda, biz chegarada muvaffaqiyat qozonmagan bo'lardik. yakuniy nolga teng raqamlar (siz tajriba qilishingiz mumkin).

Eslatma: biz marjinal taqqoslash xususiyatidan foydalanganda, ahamiyati yo'q, umumiy a'zolar munosabatini qanday tartibda tuzish, ko'rib chiqilayotgan misolda munosabatni teskari yo'nalishda chizish mumkin edi: - bu masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.

Ilova

Onlayn xizmat sayti raqamli ketma-ketlik va funktsional qatorning onlayn seriyasining yig'indisini topishga yordam beradi. Matematiklar uchun ketma-ketlik yig'indisi raqamli miqdorlarni tahlil qilish va chegaraga o'tishni tushunishda alohida narsadir. O‘tgan bir necha asrlarda qatorlarning umumiy yechimi haqida juda ko‘p foydali ishlar aytildi va yozildi. Shaxsan har bir o‘qituvchi uchun matematika fanidan to‘plangan bilimlarini yakuniy tinglovchiga, ya’ni talabaga yetkazish muhim vazifadir. 1/n qatorning bunday yig'indisini izlash osonroq. 1/n^2 seriyasining yig'indisi sizga qisqacha ko'rinishda taqdim etiladi.. Onlayn raqamli ketma-ketlik qatorining yig'indisini aniqlash bilan bir qatorda, sayt onlayn seriyaning qisman yig'indisini topishi mumkin. Bu, albatta, analitik tasvirlar uchun yordam beradi, qachonki onlayn seriyalar yig'indisini ifodalash va seriyalarning qisman yig'indilarining raqamli ketma-ketligi chegarasiga yechim sifatida topish kerak. O'z mohiyatiga ko'ra, ketma-ketlik yig'indisi funktsiyani qatorga kengaytirishning teskari operatsiyasidan boshqa narsa emas. Operatsiyalar tabiatan deyarli o'zaro. Shunday bo'ldiki, qatorning yaqinlashuvi chegaralardan keyin matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar kursini o'tgandan keyin o'rganiladi. Qatlamning topilgan yechimi uni konvergentsiya yoki divergensiya uchun o‘rganish natijasini bildiradi. Bu natija o'ziga xos tarzda aniqlanadi. Analoglar bilan solishtirganda, sayt o'zining shubhasiz afzalliklariga ega, chunki u raqamli va funktsional seriyalarning onlayn seriyasining yig'indisini topishga qodir, bu sizga dastlabki dastlabki seriyalarning yaqinlashish maydonini aniq aniqlash imkonini beradi. , fanga deyarli barcha ma'lum metodologiyadan foydalanish. Ketmalar nazariyasiga asoslanib, har doim sonli ketma-ketlikning yaqinlashuvining zaruriy sharti cheksizlikdagi sonli qator umumiy hadining chegarasining nolga tengligi bo'ladi. Ammo raqamli qatorning konvergentsiyasini onlayn tarzda o'rnatishda bu shart etarli emas. Keling, dolzarb muammodan biroz chetga chiqamiz va matematikadagi qatorlar haqida boshqa falsafiy pozitsiyadan bahslashamiz. Siz uchun onlayn seriyalarning ushbu yechimi har kuni uchun eng yaxshi kalkulyator va yordamchiga aylanadi. Qishning go'zal kunlarida darslar uchun o'tirishni xohlamaysiz, bunda qatorlar yig'indisi ikkita hisobda sizning ko'zingiz oldida bo'ladi. Agar kimdir qatorning kilometr masofasini aniqlashi kerak bo'lsa, unda to'g'ri ma'lumotlarni oldindan kiritishdan keyin bir necha soniya kerak bo'ladi. Shunga o'xshash saytlar o'z xizmatlari uchun haq talab qilsa-da, biz oddiy xizmatimizdan foydalanib, misollarni mustaqil ravishda hal qilishni o'rganishni istagan har bir kishi uchun foydali bo'lishga harakat qilamiz. Sening ixtiyoringga ko'ra, seriyaning yechimini istalgan zamonaviy qurilmada, ya'ni istalgan brauzerda onlayn tarzda taqdim etishimiz mumkin.Shunday ekan, 1/n qator yig'indisining cheksizda ayrilishlarini topish va isbotlash oddiy ish bo'ladi. Har doim 1/n ^ 2 seriyasining yig'indisi qanday birlashishini va matematikada katta semantik ma'noga ega ekanligini unutmang. Ammo yakuniy seriyalarning yig'indisi odatda, masalan, oddiy universitetlarda kam odam biladigan integral belgisi yoki Raabe belgisidan foydalangandan keyin aniqlanadi. Seriyalarning yaqinlashuvini onlayn tarzda aniqlash orqali olimlar ketma-ketliklarning yaqinlashishi yoki divergentsiyasining turli etarli belgilarini oldilar. Bu usullardan ko'proq ma'lum va tez-tez qo'llaniladigan D "Alembert belgilari, Koshi yaqinlashuv belgisi, Raabe yaqinlashish belgisi, sonli qatorlarning taqqoslash belgisi va sonlar qatorining yaqinlashuvining integral belgisi. Bunday son. qatorlar alohida e'tiborga loyiqdir, bunda atamalarning belgilari qat'iy ravishda minusdan plyusga va aksincha birin-ketin almashinishi kerak va bu sonli qatorlarning mutlaq qiymatlari monoton, ya'ni teng ravishda kamayadi. qator ma'lum bo'ldiki, bunday sonli qatorlar uchun onlayn belgisi o'zgaruvchan qatorning yaqinlashuvi uchun zarur mezon etarli, ya'ni umumiy muddat chegarasi cheksizlikdagi nol sonli qatorga teng. Shu tarzda topilgan qatorlar yig'indisi foydalanilgan boshqa usullarga tengdir.Qatorlarning yaqinlashuvi katta vaqtni yo‘qotadi, chunki jarayonning o‘zi funksiyani to‘liq o‘rganishni o‘z ichiga oladi.. Onlayn ketma-ketlik yig‘indisini hisoblash bo‘yicha xizmatlar ko‘rsatadigan ko‘plab turli saytlar mavjud. shuningdek, dir.da bir qatorda funktsiyalarni kengaytirish o'rganilayotgan funktsiyani aniqlash domenidan istalgan nuqtada onlayn bo'lishi. Ushbu xizmatlarda funktsiyani onlayn seriyaga kengaytirish oson, chunki lotinni hisoblash uchun funktsional ishlatiladi, lekin teskari operatsiya - a'zolari raqamlar emas, balki funktsiyalar bo'lgan funktsional onlayn seriyalarning yig'indisini topish uchun. , zarur hisoblash resurslarining etishmasligi tufayli yuzaga keladigan qiyinchiliklar tufayli amalda ko'pincha imkonsizdir.. Onlayn seriyalar yig'indisini hisoblash uchun bizning resursdan foydalaning, bilimlaringizni tekshiring va mustahkamlang. Agar qatorlar yig'indisi ajralib chiqsa, biz ba'zi umumiy vazifada keyingi harakatlar uchun kutilgan natijani olmaymiz. Mutaxassis sifatida bilimingizni qo'llash orqali buni oldindan oldini olish mumkin. Nihoyat, 1/n qatorning yig'indisi ifodada eng sodda ekanligini va ko'pincha misol sifatida keltirilishini eslatib o'tmaslik mumkin emas. Ular ishda qandaydir yaqinlashish belgisini ko'rsatmoqchi bo'lsalar ham, ular buni 1/n ^ 2 qatorining yig'indisi uchun isbotlaydilar, chunki bunday vakillik talabalar uchun shaffofdir va talabalar chalkashmaydi. Bizda ketma-ketlikning murakkab umumiy hadi uchun ifoda mavjud bo‘lganligi sababli, chekli qatorlar yig‘indisi kattalashtiruvchi qatorlar uchun (asliga nisbatan) yaqinlashishi isbotlansa foydali bo‘ladi. Boshqa tomondan, qatorning yaqinlashishi muammoning dastlabki shartlaridan qat'iy nazar sodir bo'ladi. Faqatgina bizning xizmat ko'rsatish saytimiz qatorlarning eng yaxshi echimini taklif qilishi mumkin, chunki faqat biz hisob-kitob narxini natijaning foydaliligi va aniqligi bilan taqqoslash orqali vaqtingizni tejashni kafolatlaymiz. Seriyaning kerakli yig'indisi ko'p hollarda asosiy seriya bilan ifodalanishi mumkinligi sababli, uni o'rganish maqsadga muvofiqdir. Demak, turkumning kattalashtiruvchi umumiy atamaga yaqinlashishi so‘zsiz bosh ifodaning yaqinlashuvini ko‘rsatadi va muammo darhol o‘z-o‘zidan hal bo‘ladi.Oliy o‘quv yurtlari o‘qituvchilari ham bizning turkum yechimimizdan onlayn foydalanishlari va tekshirishlari mumkin. kursantlarining ishi. Ba'zi hollarda qatorlar yig'indisini fizika, kimyo yoki amaliy fanga oid masalada, qandaydir tabiiy jarayonni o'rganishda asosiy yo'nalishdan chetga chiqmaslik uchun muntazam hisob-kitoblarga yopishib qolmasdan hisoblash mumkin. Boshlash uchun, ular odatda 1 / n seriyasining yig'indisi shaklida soddalashtirilgan ifodani iste'mol qila olmasligini yozadilar va bu yondashuv oqlanadi. Pi soni ko'plab hisoblash operatsiyalarida mavjud, ammo 1/n ^ 2 seriyasining yig'indisi garmonik qatorning cheksizlikda yaqinlashishiga klassik misol deyish mumkin. Baribir "cheklangan qatorlar yig'indisi" iborasi nimani anglatadi? Va bu shuni anglatadiki, u yaqinlashadi va uning qisman yig'indisi chegarasi ma'lum bir raqamli qiymatga ega. Agar ketma-ketlikning yaqinlashishi tasdiqlansa va bu tizimning yakuniy barqarorligiga ta'sir qilsa, u holda muammoning kirish parametrlarini o'zgartirish va uni yana bir marta bajarishga urinib ko'rish mumkin. Va nihoyat, biz sizga birinchi qarashda yashirin bo'lgan, ammo amalda juda foydali bo'lgan maslahatlar bermoqchimiz. Agar siz qatorlarni yechishda yetarli tajribaga ega bo‘lsangiz va seriyalarni onlayn yechish uchun bunday xizmatlarga muhtoj bo‘lmasangiz ham, qatorning yaqinlashuvini aniqlash orqali qator yig‘indisini topishni boshlashingizni tavsiya qilamiz. Saytdan foydalanib, ushbu harakatga bir daqiqa vaqt ajrating, shunda seriyalar yig'indisini hisoblash davomida ushbu haqiqatni yodda tuting. Bu ortiqcha bo'lmaydi! Matematika saytlarida onlayn seriyalar yig'indisi haqida juda ko'p yozilgan, ko'plab rasmlar ilova qilingan, chunki o'tgan asrda olimlar qator yig'indisi uchun iboralarni belgilar bilan belgilagan. Umuman olganda, juda oz narsa o'zgargan, ammo qiziqarli daqiqalar mavjud. Agar seriyalarni onlayn tarzda birlashtirish imkonsiz bo'lib tuyulsa, kiritilgan ma'lumotlarni tekshiring va so'rovni xotirjam takrorlang. Shunga qaramay, birinchi navbatda seriyaning umumiy atamasini ikki marta tekshirish yaxshiroqdir. Va har qanday onlayn seriyali yechim darhol saytda paydo bo'ladi, vazifaga javob olish uchun qo'shimcha havolalarni bosishingiz shart emas. Mutaxassislarning fikriga ko'ra, eng yaxshisi o'quvchilarni seriyali yechim kalkulyatorini tanlashda talabchanroq qiladi. Seriyalarning yaqinlashuvi, ya'ni cheklangan summaning mavjudligi tushunchasi onlayn xizmat sifatida qatorlar yig'indisiga investitsiya qilinadi. Ushbu bo'lim bilan bir qatorda integrallar va hosilalar kabi asosiy mavzular kiritiladi, chunki ularning barchasi bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Keling, biz bilan birga 1/n qator yig'indisi qanday farqlanishi haqida gaplashamiz, chunki o'zgaruvchi cheksizlikka intiladi. Biroq, 1/n ^ 2 kabi qatorlarning yana bir yig'indisi, aksincha, yaqinlashadi va cheklangan sonli ifodani oladi. O'zgaruvchini bir yoki bir vaqtning o'zida bir nechta birliklarga bosqichma-bosqich oshirish bilan chegaralangan qatorlar yig'indisi ketma-ketlikning oraliq qisman yig'indilari sifatida taqdim etiladigan holatlarni o'rganish qiziq. Vazifalar bo'yicha o'z yechimlaringizdan so'ng, seriyalarning yaqinlashishini onlayn tekshirishingizni tavsiya qilamiz. Bu mavzuni batafsil tushunish va bilim darajangizni oshirish imkonini beradi. Buni hech qachon unutmang, biz faqat siz uchun harakat qilamiz. Bir marta darsda o'qituvchi kompyuter texnologiyalaridan foydalangan holda onlayn seriyalar yechimini ko'rsatdi. Aytishim kerakki, hammaga juda yoqdi. Ushbu voqeadan keyin kalkulyator matematikani o'rganish davomida talabga ega edi. Natijani ko'rsatishni so'raganingizdan so'ng, bir necha soniya ichida onlayn kalkulyator tomonidan seriyalar yig'indisi qanday hisoblanganligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi. Muammoni hal qilish yo'nalishini qaysi yo'nalishda davom ettirish kerakligi darhol aniq bo'ladi. Ba'zi qimmat darsliklarda seriyalarning konvergentsiyasi haqida ko'p narsa yozilmaganligi sababli, Internetdan taniqli olimlarning bir nechta yaxshi ma'ruzalarini yuklab olish va ularning metodologiyasi bo'yicha kursni o'rganish yaxshiroqdir. Natija yaxshi bo'ladi. Seriyalarni yechishda yaqinlashuvning birinchi belgisini, ya'ni uning umumiy hadi chegarasining nolga intilish tendentsiyasini istisno qilib bo'lmaydi. Garchi bu etarli shart bo'lmasa-da, bu har doim zarur. Yechilgan misolning yaxlitligi o'quvchida qatorlar yig'indisi ishoralarsiz hisoblanganligini tushunganida yoqimli tuyg'u uyg'otadi. Darsliklar sizning ko'nikmalaringizni amalda qo'llash uchun qo'llanma sifatida mo'ljallangan. O'tilgan materialni unutganingizdan so'ng, har payshanba kuni ma'ruzalarni yuzaki ko'rib chiqish uchun kamida besh daqiqa vaqt ajratishingiz kerak, aks holda siz mashg'ulot boshlanishiga qadar hamma narsani unutasiz va ketma-ket konvergentsiya qanday hisoblanganligini yanada unutasiz. . Bir martadan boshlang va keyin dangasalikni enging. O'qituvchilar 1/n qatorining yig'indisi qanday farqlanishini isbotlashga majbur bo'lishlari ajablanarli emas. Ammo, shunga qaramay, 1/n ^ 2 seriyasining yig'indisi o'zgaruvchan qator sifatida taqdim etilsa, unda hech qanday dahshatli narsa bo'lmaydi - axir, mutlaq qatorlar keyin birlashadi! Va, albatta, bu intizomni o'zingiz o'rganayotganingizda, cheklangan qatorlar yig'indisi sizni ayniqsa qiziqtirishi mumkin. Misollarning sher ulushi d'Alembert usuli yordamida hal qilinadi va bu holda ketma-ketliklarning yechimi chegaralarni uning qo'shni shartlariga, ya'ni keyingisini oldingisiga nisbati sifatida hisoblashga qisqartiriladi. Shunday ekan, matematikani yechishda omad tilaymiz va hech qachon xato qilmasligingizni tilab qolamiz! Keling, tadqiqot kelishmovchiligi, fundamental tamoyillar va fanlararo ilmiy yo'nalishlarni jalb qilish yo'nalishi bo'yicha onlayn seriyalar deb ataladigan yechimni asosiy asos sifatida olaylik. Keling, sizga javobni topamiz va sizga ijobiy tarzda aytamizki, ketma-ketlik yig'indisi bir nechta tubdan farqli usullar bilan echiladi, ammo natijada bir xil bo'ladi. Seriyaning konvergentsiyasi haqidagi ishora talabalar uchun har doim ham aniq emas, garchi ularga javob oldindan aytilgan bo'lsa ham, albatta, bu ularni to'g'ri echimga undaydi. Matematikada abstraksiya, garchi u mahalliy darajada yuqori bo'lsa-da, lekin u nazariya tomonidan qo'llab-quvvatlanadi va bir zumda ba'zi inkor etilmaydigan faktlarni isbotlaydi. Seriyalarni onlayn tarzda yechishda raqamli qatorlar konvergentsiyasining asosiy nazariy tamoyillarining qo‘llanilishi yoki qo‘llanilmasligi va yanada yoqimli ko‘rinish uchun qatorning murakkab yig‘indisini qandaydir soddalashtirilgan versiyada tasvirlash kabi jihatni e’tibordan chetda qoldirib bo‘lmaydi. Ammo shunday holatlar ham borki, 1/n qatorlar yig‘indisi bir-biriga yaqinlashadi va biz sizni bu hodisa bilan bezovta qilmaymiz, chunki cheksizlik belgisi o‘rniga qandaydir butun sonni qo‘ysangiz bo‘ladi, shundan so‘ng butun yig‘indi 1/n gacha kamayadi. odatiy arifmetik qator. Harmonik seriya 1/n ^ 2 seriyasining yig'indisidir, keyin tarmoq har qanday ko'tarilgan quvvatga to'g'ri keladi.