Logaritma apgrieztā formula. Logaritmiskais vienādojums: pamatformulas un paņēmieni

(no grieķu valodas λόγος — "vārds", "attiecība" un ἀριθμός - "skaitlis") b saprāta dēļ a(log α b) sauc par šādu skaitli c, un b= a c, tas ir, log α b=c un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b saprāta dēļ a formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpaaugstina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.

Piemēram:

log 2 8 = 3, jo 8 = 2 3 .

Mēs atzīmējam, ka norādītais logaritma formulējums ļauj nekavējoties noteikt logaritma vērtība kad skaitlis zem logaritma zīmes ir noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritma tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pakāpe.

Tiek minēts logaritma aprēķins logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.

Potenciācija ir matemātiska darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.

Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), e Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).

Šajā posmā ir vērts padomāt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Un ierakstiem lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir ievietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāze, bet trešajā - un negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes un vienības bāzē.

Logaritma noteikšanas nosacījumi.

Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc tiek pieņemti šie ierobežojumi. Tas mums palīdzēs ar vienādību formā x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš dotās logaritma definīcijas.

Pieņem nosacījumu a≠1. Tā kā viens ir vienāds ar vienu jebkurai pakāpei, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.

Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un tad attiecīgi žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Lai novērstu šo neskaidrību, nosacījums a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo eksponents ar racionālu un iracionālu eksponentu tiek definēts tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums a>0.

Un pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.

Logaritmu iezīmes.

Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejā "uz logaritmu pasauli" reizināšana tiek pārveidota par daudz vieglāku saskaitīšanu, dalīšana atņemšanā, bet paaugstināšana līdz pakāpei un saknes ņemšana tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.

Logaritmu formulējums un to vērtību tabula (par trigonometriskās funkcijas) pirmo reizi 1614. gadā publicēja skotu matemātiķis Džons Napier. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, plaši izmantoja zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz brīdim, kad sāka izmantot elektroniskos kalkulatorus un datorus.

Ar šo video es sāku garu nodarbību sēriju par logaritmiskiem vienādojumiem. Tagad jums ir uzreiz trīs piemēri, uz kuru pamata mēs iemācīsimies atrisināt visvairāk vienkāršus uzdevumus, kuras sauc vienšūņi.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Atgādināšu, ka vienkāršākais logaritmiskais vienādojums ir šāds:

log a f(x) = b

Ir svarīgi, lai mainīgais x atrastos tikai argumenta iekšpusē, t.i., tikai funkcijā f(x). Un skaitļi a un b ir tikai skaitļi, un nekādā gadījumā nav funkcijas, kas satur mainīgo x.

Pamata risinājumu metodes

Ir daudz veidu, kā atrisināt šādas struktūras. Piemēram, lielākā daļa skolotāju skolā iesaka šādu veidu: Nekavējoties izsakiet funkciju f ( x ), izmantojot formulu f( x ) = a b . Tas ir, satiekot vienkāršāko konstrukciju, jūs varat nekavējoties pāriet pie risinājuma bez papildu darbībām un konstrukcijām.

Jā, protams, lēmums izrādīsies pareizs. Tomēr problēma ar šo formulu ir tā, ka lielākā daļa studentu nesaprotu, no kurienes tas nāk un kāpēc tieši mēs paceļam burtu a uz burtu b.

Rezultātā es bieži novēroju ļoti aizskarošas kļūdas, kad, piemēram, šie burti tiek apmainīti. Šī formula ir vai nu jāsaprot, vai jāiegaumē, un otrā metode noved pie kļūdām visnepiemērotākajos un vissvarīgākajos brīžos: eksāmenos, ieskaitēs utt.

Tāpēc es iesaku visiem saviem skolēniem atteikties no standarta skolas formulas un izmantot otro pieeju logaritmisko vienādojumu risināšanai, kas, kā jūs droši vien nopratāt pēc nosaukuma, saucas kanoniskā forma.

Kanoniskās formas ideja ir vienkārša. Apskatīsim vēlreiz mūsu uzdevumu: kreisajā pusē ir log a , savukārt burts a nozīmē tieši skaitli, un nekādā gadījumā funkciju, kas satur mainīgo x. Tāpēc uz šo vēstuli attiecas visi ierobežojumi, kas tiek uzlikti logaritma bāzei. proti:

1 ≠ a > 0

No otras puses, no tā paša vienādojuma mēs redzam, ka logaritmam ir jābūt ir vienāds ar skaitli b , un šai vēstulei netiek uzlikti nekādi ierobežojumi, jo tam var būt jebkura vērtība – gan pozitīva, gan negatīva. Tas viss ir atkarīgs no tā, kādas vērtības ir funkcijai f(x).

Un šeit mēs atceramies mūsu brīnišķīgo likumu, ka jebkuru skaitli b var attēlot kā logaritmu bāzē a no a līdz b pakāpei:

b = log a a b

Kā atcerēties šo formulu? Jā, ļoti vienkārši. Uzrakstīsim šādu konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Protams, šajā gadījumā rodas visi ierobežojumi, kurus mēs pierakstījām sākumā. Un tagad izmantosim logaritma pamatīpašību un ievadīsim koeficientu b kā a pakāpju. Mēs iegūstam:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Rezultātā sākotnējais vienādojums tiks pārrakstīts šādā formā:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Tas ir viss. Jaunā funkcija vairs nesatur logaritmu, un tā tiek atrisināta ar standarta algebriskām metodēm.

Protams, kāds tagad iebildīs: kāpēc vispār bija jāizdomā kaut kāda kanoniskā formula, kāpēc jāveic vēl divi papildus nevajadzīgi soļi, ja no sākotnējās konstrukcijas varēja uzreiz pāriet uz galīgo formulu? Jā, kaut vai tāpēc, ka lielākā daļa skolēnu nesaprot, no kurienes šī formula rodas, un rezultātā regulāri pieļauj kļūdas, to piemērojot.

Bet šāda darbību secība, kas sastāv no trim soļiem, ļauj atrisināt sākotnējo logaritmisko vienādojumu, pat ja jūs nesaprotat, no kurienes nāk šī galīgā formula. Starp citu, šo ierakstu sauc par kanonisko formulu:

log a f(x) = log a a b

Kanoniskās formas ērtība slēpjas arī tajā, ka ar to var atrisināt ļoti plašu logaritmisko vienādojumu klasi, nevis tikai vienkāršākos, ko mēs šodien apsveram.

Risinājumu piemēri

Un tagad apsvērsim reāli piemēri. Tātad pieņemsim lēmumu:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Pārrakstīsim to šādi:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Daudzi studenti steidzas un mēģina nekavējoties pacelt skaitli 0,5 līdz jaudai, kas mums radās no sākotnējās problēmas. Un patiešām, kad esat jau labi apmācīts šādu problēmu risināšanā, varat nekavējoties veikt šo darbību.

Tomēr, ja tagad tikai sāc pētīt šo tēmu, labāk nekur nesteigties, lai nepieļautu aizvainojošas kļūdas. Tātad mums ir kanoniskā forma. Mums ir:

3x - 1 = 0,5 -3

Šis vairs nav logaritmisks vienādojums, bet gan lineārs vienādojums attiecībā pret mainīgo x. Lai to atrisinātu, vispirms tiksim galā ar skaitli 0,5 pakāpē no −3. Ņemiet vērā, ka 0,5 ir 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Visi decimāldaļas konvertēt uz normālu, kad atrisinat logaritmisko vienādojumu.

Mēs pārrakstām un iegūstam:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Mēs visi saņēmām atbildi. Pirmais uzdevums ir atrisināts.

Otrais uzdevums

Pāriesim pie otrā uzdevuma:

Kā redzat, šis vienādojums vairs nav tas vienkāršākais. Kaut vai tāpēc, ka atšķirība ir pa kreisi, un vienā bāzē nav neviena logaritma.

Tāpēc jums ir kaut kā jāatbrīvojas no šīs atšķirības. Šajā gadījumā viss ir ļoti vienkārši. Apskatīsim pamatus tuvāk: kreisajā pusē ir skaitlis zem saknes:

Vispārīgs ieteikums: visos logaritmiskajos vienādojumos mēģiniet atbrīvoties no radikāļiem, t.i., no ierakstiem ar saknēm un pārejiet uz pakāpju funkcijām, jo ​​šo pakāpju eksponenti ir viegli izņemami no logaritma zīmes un galu galā tādi. apzīmējums ievērojami vienkāršo un paātrina aprēķinus. Rakstīsim šādi:

Tagad mēs atceramies ievērojamo logaritma īpašību: no argumenta, kā arī no bāzes, jūs varat izņemt grādus. Bāzu gadījumā notiek sekojošais:

log a k b = 1/k loga b

Citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas atradās bāzes pakāpē, tiek virzīts uz priekšu un tajā pašā laikā apgriezts, tas ir, tas kļūst par skaitļa apgriezto vērtību. Mūsu gadījumā bija bāzes pakāpe ar rādītāju 1/2. Tāpēc mēs to varam izņemt kā 2/1. Mēs iegūstam:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Lūdzu, ņemiet vērā: šajā solī nekādā gadījumā nevajadzētu atbrīvoties no logaritmiem. Padomājiet par 4.-5. klases matemātiku un darbību secību: vispirms tiek veikta reizināšana, un tikai pēc tam tiek veikta saskaitīšana un atņemšana. Šajā gadījumā no 10 elementiem mēs atņemam vienu no tiem pašiem elementiem:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Tagad mūsu vienādojums izskatās tā, kā tam vajadzētu. to vienkāršākais dizains, un mēs to atrisinām ar kanonisko formu:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Tas ir viss. Otrā problēma ir atrisināta.

Trešais piemērs

Pāriesim pie trešā uzdevuma:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Atcerieties šādu formulu:

log b = log 10 b

Ja kāda iemesla dēļ jūs mulsina rakstot lg b , tad, veicot visus aprēķinus, varat vienkārši ierakstīt log 10 b . Jūs varat strādāt ar decimāllogaritmiem tāpat kā ar citiem: izņemiet pakāpju, pievienojiet un attēlojiet jebkuru skaitli kā lg 10.

Tieši šīs īpašības mēs tagad izmantosim, lai atrisinātu problēmu, jo tas nav vienkāršākais, ko mēs pierakstījām nodarbības pašā sākumā.

Vispirms ņemiet vērā, ka koeficientu 2 pirms lg 5 var ievietot un tas kļūst par 5. bāzes pakāpju. Turklāt brīvo terminu 3 var attēlot arī kā logaritmu - to ir ļoti viegli novērot no mūsu apzīmējuma.

Spriediet paši: jebkuru skaitli var attēlot kā žurnālu līdz 10. bāzei:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Pārrakstīsim sākotnējo problēmu, ņemot vērā saņemtās izmaiņas:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x–3) = 25 000 lg

Mūsu priekšā atkal ir kanoniskā forma, un mēs to ieguvām, apejot transformāciju stadiju, t.i., visvienkāršākais logaritmiskais vienādojums mums nekur neizdevās.

Tieši par to es runāju pašā nodarbības sākumā. Kanoniskā forma ļauj atrisināt plašāku problēmu klasi nekā standarta. skolas formula ko sniedz lielākā daļa skolas skolotāju.

Tas arī viss, mēs atbrīvojamies no decimāllogaritma zīmes un iegūstam vienkāršu lineāru konstrukciju:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Visi! Problēma atrisināta.

Piezīme par darbības jomu

Šeit es vēlētos izteikt svarīgu piezīmi par definīcijas jomu. Noteikti tagad ir studenti un skolotāji, kuri sacīs: "Atrisinot izteiksmes ar logaritmiem, noteikti jāatceras, ka argumentam f (x) jābūt lielākam par nulli!" Šajā sakarā rodas loģisks jautājums: kāpēc nevienā no aplūkotajām problēmām mēs nepieprasījām, lai šī nevienlīdzība tiktu apmierināta?

Neuztraucies. Šajos gadījumos neparādīsies nekādas papildu saknes. Un tas ir vēl viens lielisks triks, kas ļauj paātrināt risinājumu. Tikai ziniet, ka, ja uzdevumā mainīgais x ir sastopams tikai vienā vietā (pareizāk sakot, viena un vienīgā logaritma vienīgajā argumentā), un nekur citur mūsu gadījumā mainīgais x nav, tad ierakstiet domēnu nav vajadzības jo tas darbosies automātiski.

Spriediet paši: pirmajā vienādojumā mēs saņēmām, ka 3x - 1, t.i., argumentam jābūt vienādam ar 8. Tas automātiski nozīmē, ka 3x - 1 būs lielāks par nulli.

Ar tādiem pašiem panākumiem mēs varam rakstīt, ka otrajā gadījumā x ir jābūt vienādam ar 5 2, t.i., tas noteikti ir lielāks par nulli. Un trešajā gadījumā, kur x + 3 = 25 000, t.i., atkal, acīmredzami lielāks par nulli. Citiem vārdiem sakot, darbības joma ir automātiska, bet tikai tad, ja x ir tikai viena logaritma argumentā.

Tas ir viss, kas jums jāzina, lai atrisinātu vienkāršas problēmas. Šis noteikums vien kopā ar transformācijas likumiem ļaus atrisināt ļoti plašu problēmu klasi.

Bet būsim godīgi: lai beidzot saprastu šo tehniku, lai iemācītos pielietot logaritmiskā vienādojuma kanonisko formu, nepietiek tikai ar vienas video nodarbības noskatīšanos. Tāpēc tieši tagad lejupielādējiet neatkarīga risinājuma opcijas, kas pievienotas šai video pamācībai, un sāciet risināt vismaz vienu no šiem diviem neatkarīgiem darbiem.

Tas prasīs tikai dažas minūtes. Taču šādas apmācības efekts būs daudz lielāks, salīdzinot ar to, ja tikko noskatījāties šo video pamācību.

Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums izprast logaritmiskos vienādojumus. Izmantojiet kanonisko formu, vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot noteikumus darbam ar logaritmiem - un jūs nebaidīsities no uzdevumiem. Un tas ir viss, kas man šodien ir.

Apsveriet darbības jomu

Tagad parunāsim par logaritmiskās funkcijas apgabalu, kā arī par to, kā tas ietekmē logaritmisko vienādojumu risinājumu. Apsveriet veidlapas konstrukciju

log a f(x) = b

Šādu izteiksmi sauc par vienkāršāko - tai ir tikai viena funkcija, un skaitļi a un b ir tikai skaitļi, un nekādā gadījumā nav funkcija, kas ir atkarīga no mainīgā x. Tas tiek atrisināts ļoti vienkārši. Jums vienkārši jāizmanto formula:

b = log a a b

Šī formula ir viena no galvenajām logaritma īpašībām, un, aizstājot to sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam sekojošo:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Tā ir jau pazīstama formula no skolas mācību grāmatām. Iespējams, daudziem studentiem radīsies jautājums: tā kā funkcija f ( x ) oriģinālajā izteiksmē atrodas zem žurnāla zīmes, tai tiek noteikti šādi ierobežojumi:

f(x) > 0

Šis ierobežojums attiecas, jo logaritms negatīvi skaitļi neeksistē. Tātad, varbūt šī ierobežojuma dēļ jums vajadzētu ieviest atbilžu pārbaudi? Varbūt tie ir jāaizstāj avotā?

Nē, vienkāršākajos logaritmiskajos vienādojumos papildu pārbaude nav nepieciešama. Un tāpēc. Apskatiet mūsu galīgo formulu:

f(x) = a b

Fakts ir tāds, ka skaitlis a jebkurā gadījumā ir lielāks par 0 - šo prasību nosaka arī logaritms. Skaitlis a ir bāze. Šajā gadījumā ciparam b netiek noteikti nekādi ierobežojumi. Bet tam nav nozīmes, jo neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs paaugstināsim pozitīvu skaitli, mēs joprojām saņemsim pozitīvu skaitli izejā. Tādējādi prasība f (x) > 0 tiek izpildīta automātiski.

Tas, ko patiešām ir vērts pārbaudīt, ir funkcijas apjoms zem žurnāla zīmes. Var būt diezgan sarežģīti dizaini, un to risināšanas procesā tie noteikti ir jāievēro. Paskatīsimies.

Pirmais uzdevums:

Pirmais solis: konvertējiet labajā pusē esošo daļu. Mēs iegūstam:

Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmes un iegūstam parasto iracionālo vienādojumu:

No iegūtajām saknēm mums der tikai pirmā, jo otrā sakne ir mazāka par nulli. Vienīgā atbilde būs cipars 9. Tas arī viss, problēma ir atrisināta. Papildu pārbaudes, vai izteiksme zem logaritma zīmes ir lielāka par 0, nav nepieciešamas, jo tas ir ne tikai lielāks par 0, bet pēc vienādojuma nosacījuma ir vienāds ar 2. Līdz ar to prasība "lielāka par nulli" ir automātiski izpildīts.

Pāriesim pie otrā uzdevuma:

Šeit viss ir vienāds. Mēs pārrakstām konstrukciju, aizstājot trīskāršo:

Mēs atbrīvojamies no logaritma zīmēm un iegūstam iracionālu vienādojumu:

Mēs sagriežam abas daļas, ņemot vērā ierobežojumus, un iegūstam:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, izmantojot diskriminantu:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Bet x = −6 mums neder, jo, ja šo skaitli aizstājam savā nevienādībā, mēs iegūstam:

−6 + 4 = −2 < 0

Mūsu gadījumā tam ir jābūt lielākam par 0 vai ārkārtējos gadījumos vienādam. Bet x = −1 mums ir piemērots:

−1 + 4 = 3 > 0

Vienīgā atbilde mūsu gadījumā ir x = −1. Tas ir viss risinājums. Atgriezīsimies mūsu aprēķinu pašā sākumā.

Galvenais secinājums no šīs nodarbības ir tāds, ka nav nepieciešams pārbaudīt funkcijas robežas vienkāršākajos logaritmiskajos vienādojumos. Jo risināšanas procesā visi ierobežojumi tiek izpildīti automātiski.

Tomēr tas nekādā gadījumā nenozīmē, ka varat aizmirst par verifikāciju. Strādājot pie logaritmiskā vienādojuma, tas var pārvērsties par iracionālu, kuram būs savi ierobežojumi un prasības labajai pusei, ko mēs šodien esam redzējuši divos dažādos piemēros.

Jūtieties brīvi risināt šādas problēmas un esiet īpaši uzmanīgs, ja strīdam ir sakne.

Logaritmiskie vienādojumi ar dažādām bāzēm

Turpinām pētīt logaritmiskos vienādojumus un analizēt vēl divus diezgan interesantus trikus, ar kuriem modē risināt sarežģītākas struktūras. Bet vispirms atcerēsimies, kā tiek atrisināti vienkāršākie uzdevumi:

log a f(x) = b

Šajā apzīmējumā a un b ir tikai skaitļi, un funkcijā f (x) ir jābūt mainīgajam x, un tikai tur, tas ir, x ir jābūt tikai argumentā. Mēs pārveidosim šādus logaritmiskos vienādojumus, izmantojot kanonisko formu. Šim nolūkam mēs to atzīmējam

b = log a a b

Un a b ir tikai arguments. Pārrakstīsim šo izteiksmi šādi:

log a f(x) = log a a b

Tieši to arī cenšamies panākt, lai gan pa kreisi, gan pa labi būtu logaritms uz bāzi a. Šajā gadījumā mēs varam, tēlaini izsakoties, izsvītrot baļķa zīmes, un no matemātikas viedokļa var teikt, ka mēs vienkārši pielīdzinām argumentus:

f(x) = a b

Rezultātā mēs iegūstam jaunu izteiksmi, kas tiks atrisināta daudz vienkāršāk. Piemērosim šo noteikumu mūsu šodienas uzdevumiem.

Tātad pirmais dizains:

Vispirms atzīmēju, ka labajā pusē ir daļskaitlis, kura saucējs ir log. Kad redzat šādu izteiksmi, ir vērts atcerēties brīnišķīgo logaritmu īpašību:

Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē, ka jebkuru logaritmu var attēlot kā divu logaritmu koeficientu ar jebkuru bāzi c. Protams, 0< с ≠ 1.

Tātad: šai formulai ir viens brīnišķīgs īpašs gadījums, kad mainīgais c ir vienāds ar mainīgo b. Šajā gadījumā mēs iegūstam formas konstrukciju:

Tieši šo konstrukciju mēs novērojam no zīmes labajā vienādojumā. Aizstāsim šo konstrukciju ar log a b , iegūstam:

Citiem vārdiem sakot, salīdzinot ar sākotnējo uzdevumu, mēs esam samainījuši argumentu un logaritma bāzi. Tā vietā mums bija jāpārvērš daļa.

Mēs atgādinām, ka jebkuru grādu var izņemt no bāzes saskaņā ar šādu noteikumu:

Citiem vārdiem sakot, koeficients k, kas ir bāzes pakāpe, tiek izņemts kā apgriezta daļa. Izņemsim to kā apgrieztu daļskaitli:

Daļskaitļu koeficientu nevar atstāt priekšā, jo šajā gadījumā mēs nevarēsim attēlot šo ierakstu kā kanonisko formu (galu galā kanoniskajā formā otrā logaritma priekšā nav papildu faktora). Tāpēc argumentā kā pakāpju liksim daļu 1/4:

Tagad mēs pielīdzinām argumentus, kuru bāze ir vienāda (un mums tiešām ir vienādas bāzes), un rakstām:

x + 5 = 1

x = −4

Tas ir viss. Mēs saņēmām atbildi uz pirmo logaritmisko vienādojumu. Pievērsiet uzmanību: sākotnējā uzdevumā mainīgais x notiek tikai vienā žurnālā, un tas ir tā argumentā. Tāpēc nav nepieciešams pārbaudīt domēnu, un mūsu skaitlis x = −4 patiešām ir atbilde.

Tagad pāriesim pie otrās izteiksmes:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Šeit papildus parastajiem logaritmiem mums būs jāstrādā ar lg f (x). Kā atrisināt šādu vienādojumu? Nesagatavotam studentam var šķist, ka tā ir kaut kāda alva, bet patiesībā viss tiek atrisināts elementāri.

Uzmanīgi apskatiet terminu lg 2 log 2 7. Ko mēs par to varam teikt? Log un lg pamati un argumenti ir vienādi, un tam vajadzētu sniegt dažas norādes. Atcerēsimies vēlreiz, kā grādi tiek izņemti no logaritma zīmes:

log a b n = nlog a b

Citiem vārdiem sakot, skaitļa b spēks argumentā kļūst par faktoru paša žurnāla priekšā. Piemērosim šo formulu izteiksmei lg 2 log 2 7. Nebaidieties no lg 2 - šī ir visizplatītākā izteiksme. Varat to pārrakstīt šādi:

Viņam ir spēkā visi noteikumi, kas attiecas uz jebkuru citu logaritmu. Jo īpaši argumenta varā var iekļaut priekšā esošo faktoru. Rakstīsim:

Ļoti bieži skolēni šo darbību neredz, jo nav labi ievadīt vienu baļķi zem cita zīmes. Patiesībā šajā nav nekā krimināla. Turklāt mēs iegūstam formulu, kuru ir viegli aprēķināt, ja atceraties svarīgu noteikumu:

Šo formulu var uzskatīt gan par definīciju, gan par vienu no tās īpašībām. Jebkurā gadījumā, ja konvertējat logaritmisko vienādojumu, šī formula ir jāzina tāpat kā jebkura skaitļa attēlojums žurnāla formā.

Mēs atgriežamies pie sava uzdevuma. Mēs to pārrakstām, ņemot vērā to, ka pirmais vārds pa labi no vienādības zīmes vienkārši būs vienāds ar lg 7. Mums ir:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Pārvietosim lg 7 pa kreisi, iegūstam:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Mēs atņemam izteiksmes kreisajā pusē, jo tām ir vienāda bāze:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Tagad apskatīsim iegūto vienādojumu tuvāk. Tā ir praktiski kanoniskā forma, bet labajā pusē ir koeficients −3. Ieliksim to pareizajā lg argumentā:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Pirms mums ir logaritmiskā vienādojuma kanoniskā forma, tāpēc mēs izsvītrojam lg zīmes un pielīdzinām argumentus:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Tas ir viss! Mēs esam atrisinājuši otro logaritmisko vienādojumu. Šajā gadījumā papildu pārbaudes nav nepieciešamas, jo sākotnējā uzdevumā x bija tikai vienā argumentā.

Ļaujiet man atkārtot šīs nodarbības galvenos punktus.

Galvenā formula, kas tiek pētīta visās šīs lapas nodarbībās, kas veltītas logaritmisko vienādojumu risināšanai, ir kanoniskā forma. Neļaujiet sevi atbaidīt no tā, ka lielākā daļa skolas mācību grāmatu māca, kā šāda veida problēmas atrisināt citādi. Šis rīks darbojas ļoti efektīvi un ļauj atrisināt daudz plašāku problēmu klāstu nekā vienkāršākās, kuras mēs pētījām nodarbības pašā sākumā.

Turklāt, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus, būs noderīgi zināt pamatīpašības. Proti:

1. Formula pārejai uz vienu bāzi un īpašs gadījums, kad pārvēršam žurnālu (tas mums ļoti noderēja pirmajā uzdevumā);
2. Formula spēku ievešanai un izņemšanai no logaritma zīmes. Šeit daudzi skolēni iestrēgst un neredz, ka izņemtā un ievestā jauda pati par sevi var saturēt log f (x). Nekas nepareizs ar to. Mēs varam ieviest vienu baļķi pēc citas zīmes un tajā pašā laikā būtiski vienkāršot problēmas risinājumu, ko mēs novērojam otrajā gadījumā.

Nobeigumā vēlos piebilst, ka katrā no šiem gadījumiem nav obligāti jāpārbauda tvērums, jo visur mainīgais x atrodas tikai vienā loga zīmē un tajā pašā laikā ir tā argumentā. Līdz ar to visas domēna prasības tiek izpildītas automātiski.

Problēmas ar mainīgo bāzi

Šodien mēs aplūkosim logaritmiskos vienādojumus, kas daudziem studentiem šķiet nestandarta, ja ne pilnīgi neatrisināmi. Tas ir par par izteiksmēm, kuru pamatā ir nevis skaitļi, bet mainīgie un pat funkcijas. Šādas konstrukcijas risināsim, izmantojot mūsu standarta tehniku, proti, caur kanonisko formu.

Sākumā atcerēsimies, kā tiek atrisinātas vienkāršākās problēmas, kuru pamatā ir parastie skaitļi. Tātad, tiek saukta vienkāršākā konstrukcija

log a f(x) = b

Lai atrisinātu šādas problēmas, mēs varam izmantot šādu formulu:

b = log a a b

Mēs pārrakstām savu sākotnējo izteiksmi un iegūstam:

log a f(x) = log a a b

Tad mēs pielīdzinām argumentus, t.i., mēs rakstām:

f(x) = a b

Tādējādi atbrīvojamies no baļķa zīmes un atrisinām ierasto problēmu. Šajā gadījumā risinājumā iegūtās saknes būs sākotnējā logaritmiskā vienādojuma saknes. Turklāt ierakstu, kad gan kreisais, gan labais atrodas uz viena logaritma ar vienu un to pašu bāzi, sauc par kanonisko formu. Tieši uz šo ierakstu mēs centīsimies samazināt šodienas konstrukcijas. Tā nu ejam.

Pirmais uzdevums:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Aizstāt 1 ar log x − 2 (x − 2) 1 . Pakāpe, ko mēs novērojam argumentā, faktiski ir skaitlis b , kas atradās pa labi no vienādības zīmes. Tātad pārrakstīsim savu izteiksmi. Mēs iegūstam:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ko mēs redzam? Pirms mums ir logaritmiskā vienādojuma kanoniskā forma, tāpēc mēs varam droši pielīdzināt argumentus. Mēs iegūstam:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Bet ar to risinājums nebeidzas, jo dots vienādojums nav līdzvērtīgs oriģinālam. Galu galā iegūtā konstrukcija sastāv no funkcijām, kas ir definētas visā skaitļu rindā, un mūsu sākotnējie logaritmi nav noteikti visur un ne vienmēr.

Tāpēc definīcijas domēns ir jāpieraksta atsevišķi. Nebūsim gudrāki un vispirms pierakstīsim visas prasības:

Pirmkārt, katra logaritma argumentam ir jābūt lielākam par 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Otrkārt, bāzei jābūt ne tikai lielākai par 0, bet arī jāatšķiras no 1:

x - 2 ≠ 1

Rezultātā mēs iegūstam sistēmu:

Bet neuztraucieties: apstrādājot logaritmiskos vienādojumus, šādu sistēmu var ievērojami vienkāršot.

Spriediet paši: no vienas puses, mums tiek prasīts, lai kvadrātfunkcija būtu lielāka par nulli, un, no otras puses, šī kvadrātiskā funkcija tiek pielīdzināta noteiktai lineārai izteiksmei, kas arī tiek prasīta, lai tā būtu lielāka par nulli.

Tādā gadījumā, ja pieprasām, lai x − 2 > 0, tad automātiski tiks izpildīta arī prasība 2x 2 − 13x + 18 > 0. Līdz ar to nevienādību, kas satur kvadrātfunkciju, var droši izsvītrot. Tādējādi mūsu sistēmā ietverto izteiksmju skaits tiks samazināts līdz trim.

Protams, mēs varētu arī izsvītrot lineārā nevienlīdzība, t.i., izsvītrojiet x − 2 > 0 un pieprasiet, lai 2x 2 − 13x + 18 > 0. Taču jāpiekrīt, ka vienkāršāko lineāro nevienādību ir daudz ātrāk un vienkāršāk atrisināt, nekā šai sistēmai iegūstam tādas pašas saknes.

Kopumā mēģiniet optimizēt aprēķinus, kad vien iespējams. Un logaritmisko vienādojumu gadījumā izsvītrojiet vissarežģītākās nevienādības.

Pārrakstīsim mūsu sistēmu:

Šeit ir šāda trīs izteiksmju sistēma, no kurām divas mēs faktiski jau esam izdomājuši. Atsevišķi uzrakstīsim kvadrātvienādojumu un atrisināsim to:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Pirms mums ir samazināts kvadrātveida trinomāls, un tāpēc mēs varam izmantot Vieta formulas. Mēs iegūstam:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Tagad, atgriežoties pie mūsu sistēmas, mēs atklājam, ka x = 2 mums nav piemērots, jo mums x ir jābūt stingri lielākam par 2.

Bet x \u003d 5 mums der diezgan labi: skaitlis 5 ir lielāks par 2, un tajā pašā laikā 5 nav vienāds ar 3. Tāpēc vienīgais risinājumsšīs sistēmas vērtība būs x = 5.

Viss, uzdevums ir atrisināts, arī ņemot vērā ODZ. Pārejam pie otrā vienādojuma. Šeit mēs gaidām interesantākus un saturīgākus aprēķinus:

Pirmais solis: tāpat kā pagājušajā reizē, mēs visu šo biznesu nododam kanoniskā formā. Lai to izdarītu, mēs varam uzrakstīt skaitli 9 šādi:

Bāzi ar sakni nevar pieskarties, bet argumentu labāk pārveidot. Pāriesim no saknes uz jaudu ar racionālu eksponentu. Rakstīsim:

Ļaujiet man nepārrakstīt visu mūsu lielo logaritmisko vienādojumu, bet uzreiz pielīdzināt argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pirms mums atkal ir samazināts kvadrātveida trinomāls, mēs izmantosim Vieta formulas un rakstīsim:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Tātad, mēs saņēmām saknes, taču neviens mums negarantēja, ka tās atbilst sākotnējam logaritmiskajam vienādojumam. Galu galā baļķu zīmes uzliek papildu ierobežojumus (šeit mums būtu jāpieraksta sistēma, bet visas konstrukcijas apgrūtinības dēļ es nolēmu definīcijas domēnu aprēķināt atsevišķi).

Pirmkārt, atcerieties, ka argumentiem ir jābūt lielākiem par 0, proti:

Šīs ir definīcijas jomas prasības.

Mēs uzreiz atzīmējam, ka, tā kā sistēmas pirmās divas izteiksmes tiek pielīdzinātas viena otrai, mēs varam izsvītrot jebkuru no tām. Izsvītrosim pirmo, jo tas izskatās draudīgāk nekā otrais.

Turklāt ņemiet vērā, ka otrās un trešās nevienādības atrisinājumi būs vienas un tās pašas kopas (kāda skaitļa kubs ir lielāks par nulli, ja pats skaitlis ir lielāks par nulli; līdzīgi ar trešās pakāpes sakni - šīs nevienādības ir pilnīgi līdzīgi, tāpēc vienu no tiem varam izsvītrot).

Bet ar trešo nevienlīdzību tas nedarbosies. Atbrīvosimies no kreisās puses radikāļa zīmes, kurai abas daļas paceļam kubā. Mēs iegūstam:

Tātad mēs iegūstam šādas prasības:

−2 ≠ x > −3

Kura no mūsu saknēm: x 1 = -3 vai x 2 = -1 atbilst šīm prasībām? Acīmredzot tikai x = −1, jo x = −3 neapmierina pirmo nevienādību (jo mūsu nevienlīdzība ir stingra). Kopumā, atgriežoties pie mūsu problēmas, mēs iegūstam vienu sakni: x = −1. Tas arī viss, problēma atrisināta.

Vēlreiz šī uzdevuma galvenie punkti:

1. Jūtieties brīvi piemērot un atrisināt logaritmiskos vienādojumus, izmantojot kanonisko formu. Studenti, kuri veic šādu ierakstu un nepāriet no sākotnējās problēmas tieši uz tādu konstrukciju kā log a f ( x ) = b , pieļauj daudz mazāk kļūdu nekā tie, kuri kaut kur steidzas, izlaižot aprēķinu starpposmus;
2. Tiklīdz logaritmā parādās mainīgā bāze, problēma pārstāj būt vienkāršākā. Tāpēc, to risinot, jāņem vērā definīcijas joma: argumentiem jābūt lielākiem par nulli, un bāzēm jābūt ne tikai lielākiem par 0, bet arī nedrīkst būt vienādām ar 1.

Pēdējās prasības galīgajām atbildēm varat izvirzīt dažādos veidos. Piemēram, ir iespējams atrisināt visu sistēmu, kas satur visas domēna prasības. No otras puses, vispirms var atrisināt pašu problēmu un pēc tam atcerēties definīcijas jomu, izstrādāt to atsevišķi sistēmas veidā un piemērot iegūtajām saknēm.

Tas, kuru veidu izvēlēties, risinot konkrētu logaritmisko vienādojumu, ir atkarīgs no jums. Jebkurā gadījumā atbilde būs tāda pati.

Dotas galvenās naturālā logaritma īpašības, grafs, definīcijas apgabals, vērtību kopa, pamatformulas, atvasinājums, integrāls, izvērsums pakāpju rindā un funkcijas ln x attēlojums ar komplekso skaitļu palīdzību.

Definīcija

naturālais logaritms ir funkcija y = ln x, apgriezti eksponentam x \u003d e y un kas ir logaritms pret skaitļa e bāzi: ln x = log e x.

Dabisko logaritmu plaši izmanto matemātikā, jo tā atvasinājumam ir visvienkāršākā forma: (ln x)′ = 1/x.

Pamatojoties definīcijas, naturālā logaritma bāze ir skaitlis e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijas y = grafiks ln x.

Dabiskā logaritma grafiks (funkcijas y = ln x) iegūst no eksponenta grafika ar spoguļatstarošanos ap taisni y = x .

Dabiskais logaritms ir definēts pie pozitīvas vērtības mainīgais x. Tas monotoni palielinās savā definīcijas jomā.

Kā x → 0 naturālā logaritma robeža ir mīnus bezgalība ( - ∞ ).

Kā x → + ∞, naturālā logaritma robeža ir plus bezgalība ( + ∞ ). Lielam x logaritms palielinās diezgan lēni. Jebkurš jaudas funkcija x a ar pozitīvu eksponentu a aug ātrāk nekā logaritms.

Dabiskā logaritma īpašības

Definīcijas joma, vērtību kopa, galējība, pieaugums, samazinājums

Dabiskais logaritms ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tam nav ekstrēmu. Galvenās naturālā logaritma īpašības ir parādītas tabulā.

ln x vērtības

log 1 = 0

Dabisko logaritmu pamatformulas

Formulas, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:

Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas

Bāzes nomaiņas formula

Jebkuru logaritmu var izteikt naturālajos logaritmos, izmantojot bāzes maiņas formulu:

Šo formulu pierādījumi ir parādīti sadaļā "Logaritms".

Apgrieztā funkcija

Dabiskā logaritma reciproks ir eksponents.

Ja tad

Ja tad .

Atvasinājums ln x

Dabiskā logaritma atvasinājums:
.
Moduļa x naturālā logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Integrāls

Integrāli aprēķina, integrējot pa daļām:
.
Tātad,

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Apsveriet kompleksa mainīgā z funkciju:
.
Izteiksim komplekso mainīgo z caur moduli r un arguments φ :
.
Izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or
.
Arguments φ nav unikāli definēts. Ja liekam
, kur n ir vesels skaitlis,
tad tas būs vienāds skaitlis dažādiem n.

Tāpēc naturālais logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav tāds vienvērtības funkcija.

Jaudas sērijas paplašināšana

Attiecībā uz , paplašināšana notiek:

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.

Viens no algebras elementiem primitīvs līmenis ir logaritms. Nosaukums cēlies no grieķu valoda no vārda “skaitlis” vai “jauda” un nozīmē jaudu, līdz kurai jāpalielina skaitlis pie pamatnes, lai atrastu galīgo skaitli.

Logaritmu veidi

• log a b ir skaitļa b logaritms bāzei a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - decimālais logaritms (logaritma bāze 10, a = 10);
• ln b - naturālais logaritms (logaritma bāze e, a = e).

Kā atrisināt logaritmus?

Skaitļa b logaritms attiecībā pret bāzi a ir eksponents, kas paredz, ka bāze a jāpaaugstina līdz skaitlim b. Rezultāts tiek izrunāts šādi: “b logaritms līdz a bāzei”. Logaritmisko uzdevumu risinājums ir tāds, ka jums ir jānosaka dotā pakāpe pēc skaitļiem ar norādītajiem skaitļiem. Ir daži pamatnoteikumi logaritma noteikšanai vai atrisināšanai, kā arī paša apzīmējuma pārveidošanai. Izmantojot tos, tiek atrisināti logaritmiski vienādojumi, atrasti atvasinājumi, atrisināti integrāļi un veiktas daudzas citas darbības. Būtībā paša logaritma risinājums ir tā vienkāršotais apzīmējums. Tālāk ir norādītas galvenās formulas un īpašības:

Jebkuram a ; a > 0; a ≠ 1 un jebkuram x ; y > 0.

• a log a b = b ir logaritmiskā pamatidentitāte
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , ja k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formula pārejai uz jaunu bāzi
• log a x = 1/log x a

Kā atrisināt logaritmus - soli pa solim instrukcijas risināšanai

• Vispirms pierakstiet vajadzīgo vienādojumu.

Lūdzu, ņemiet vērā: ja bāzes logaritms ir 10, tad ieraksts tiek saīsināts, tiek iegūts decimāllogaritms. Ja ir naturāls skaitlis e, tad pierakstām, reducējot līdz naturālajam logaritmam. Tas nozīmē, ka visu logaritmu rezultāts ir jauda, ​​līdz kurai tiek paaugstināts bāzes skaitlis, lai iegūtu skaitli b.

Tieši risinājums ir šīs pakāpes aprēķinā. Pirms izteiksmes risināšanas ar logaritmu tā ir jāvienkāršo saskaņā ar noteikumu, tas ir, izmantojot formulas. Galvenās identitātes varat atrast, nedaudz atgriežoties rakstā.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana ar diviem dažādiem skaitļiem, bet ar tādi paši pamatojumi, aizstāt ar vienu logaritmu ar attiecīgi skaitļu b un c reizinājumu vai dalījumu. Šajā gadījumā pārejas formulu varat lietot citai bāzei (skatiet iepriekš).

Ja izmantojat izteiksmes, lai vienkāršotu logaritmu, ir jāņem vērā daži ierobežojumi. Un tas ir: logaritma a bāze ir tikai pozitīvs skaitlis, bet nav vienāds ar vienu. Skaitlim b, tāpat kā a, jābūt lielākam par nulli.

Ir gadījumi, kad, vienkāršojot izteiksmi, jūs nevarēsit aprēķināt logaritmu skaitliskā formā. Gadās, ka šādai izteiksmei nav jēgas, jo daudzi grādi ir iracionāli skaitļi. Saskaņā ar šo nosacījumu atstājiet skaitļa jaudu kā logaritmu.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam savākt dažāda informācija tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam arī izmantot personas informāciju iekšējiem mērķiem, piemēram, auditam, datu analīzei un dažādi pētījumi lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedības kārtībā, in tiesvedība, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.