Lineāras nevienādības ar vienu mainīgo. Vienādojumi un nevienādības ar vienu mainīgo. Ekvivalences teorēmas

Ar vienu mainīgo: kas ir ekvivalentās nevienādības; kuras nevienādību transformācijas ir līdzvērtīgas un kuras nav. Šos jautājumus apspriedām algebras kursā, sākot no 8. klases, un šajā mācību grāmatā tie jau ir apspriesti, piemēram, risinot eksponenciālās un logaritmiskās nevienādības. Mēs atkal atgriežamies pie šiem jautājumiem, jo, pabeidzot pētījumu skolas kurss algebra, ir ieteicams it kā pārdomāt vispārīgas idejas un metodes.

1. Nevienādību ekvivalence

Atgādinām, ka nevienādības a(x) > n(x) atrisinājums ir jebkura vērtība mainīgs x, kas pārvērš doto nevienādību ar mainīgo par derīgu skaitlisko nevienādību. Dažreiz tiek lietots termins daļējs risinājums. Visu nevienlīdzības konkrēto atrisinājumu kopu sauc par vispārīgo risinājumu, bet biežāk tiek lietots termins risinājums. Tādējādi termins lēmums tiek lietots trīs nozīmēs: gan kā vispārējs lēmums, gan kā konkrēts lēmums, gan kā process, bet parasti no nozīmes ir skaidrs, kas ir uz spēles.

1. definīcija. Divas nevienādības ar vienu mainīgo f(x)>g(x) un p(x)>h(x) sauc par ekvivalentām, ja to risinājumi (t.i., konkrētu risinājumu kopas) sakrīt.

Protams, jūs saprotat, ka > zīmes lietošana definīcijā ir bezprincipiāla. Gan šajā definīcijā, gan visos šīs sadaļas apgalvojumos ir iespējams izmantot jebkuru citu nevienlīdzības zīmi, gan stingru, gan ne.

2. definīcija. Ja nevienlīdzības risinājums

ir ietverts nevienādības risinājumā

tad nevienlīdzību (2) sauc par nevienlīdzības (1) sekām.

Piemēram, nevienlīdzība x 2 >9 ir nevienādības 2x>6 sekas. Patiešām, pārveidojot pirmo nevienādību formā x 2 -9 > 0 un tālāk formā (x-3) (x + 3) > 0 un pielietojot intervāla metodi (245. att.), mēs atklājam, ka risinājums nevienlīdzība ir divu atvērtu staru savienība: Otrās nevienādības 2x>6 atrisinājumam ir forma x>3, t.i. ir atvērts stars Otrās nevienādības risinājums ir daļa no pirmās nevienādības risinājuma, un tāpēc pirmā nevienlīdzība ir otrās nevienlīdzības sekas.
Interesanti, ka situācija radikāli mainās, ja abās nevienādībās tiek mainīta nevienlīdzības zīme. Nevienlīdzība 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, lietas, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli grafikas, tabulas, shēmas humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam diskusiju programmas metodiskie ieteikumi Integrētās nodarbības X un definīcijas joma X. Tad formas nevienlīdzība f(x) > g(x) vai f(x) < g(x) tiek saukts nevienādība ar vienu mainīgo . Daudz X sauca tās definīcijas joma.

Mainīga vērtība X no daudziem X, pie kuras nevienlīdzība pārvēršas par patiesu skaitlisko nevienādību, sauc par tās lēmumu. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast tās risinājumu kopu.

Ekvivalences jēdziens ir pamatā nevienādību risinājumam ar vienu mainīgo.

Abas nevienādības sauc ekvivalents ja to atrisinājumu kopas ir vienādas.

Teorēmas par nevienādību ekvivalenci un to sekām ir līdzīgas attiecīgajām teorēmām par vienādojumu ekvivalenci. Tos pierādot, tiek izmantotas patieso skaitlisko nevienādību īpašības.

1. teorēma.Ļaujieties nevienlīdzībai f(x) > g(x) ir definēts komplektā X un h(x) ir izteiksme, kas definēta tajā pašā kopā. Tad nevienlīdzības f(x) > g(x) un f(x) + h(x) > g(x)+h(x) ir līdzvērtīgi komplektā X.

No šīs teorēmas izriet sekas, kurus bieži izmanto, risinot nevienlīdzības:

1) Ja abas nevienādības daļas f(x) > g(x) pievienojiet to pašu numuru d, tad mēs iegūstam nevienlīdzību f(x) + d > g(x)+d, kas ir līdzvērtīgs oriģinālam.

2) Ja jebkuru terminu (vai izteiksmi ar mainīgo) pārnes no vienas nevienādības daļas uz citu, mainot vārda zīmi uz pretējo, tad iegūstam nevienādību, kas ekvivalenta dotajai.

2. teorēma.Ļaujieties nevienlīdzībai f(x) > g(x) ir definēts komplektā X un h(x X no daudziem X izteiksme h(x) ņem pozitīvas vērtības. Tad nevienlīdzības f(x) > g(x) un f(x) × h(x) > g(x) × h(x) ir līdzvērtīgi komplektā X.

No šīs teorēmas izriet secinājums: ja abas nevienādības puses f(x) > g(x) reiziniet ar to pašu pozitīvo skaitli d, tad mēs iegūstam nevienlīdzību f(x) × d > g(x) × d, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

3. teorēma.Ļaujieties nevienlīdzībai f(x) > g(x) ir definēts komplektā X un h(x) ir izteiksme, kas definēta vienā un tajā pašā kopā un visiem X no daudziem X izteiksme h(x) ņem negatīvas vērtības. Tad nevienlīdzības f(x) > g(x) un f(x) × h(x) < g(x) × h(x) ir līdzvērtīgi komplektā X.

No šīs teorēmas izriet sekas: ja abas nevienādības puses f(x) > g(x) reiziniet ar to pašu negatīvs skaitlis d un apgriežot nevienlīdzības zīmi, mēs iegūstam nevienlīdzību f(x) × d < g(x) × d, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

Uzdevums. Vai numurs X= 5 nevienādības 2 risinājums X+ 7 > 10 - x, xО R? Atrodiet šīs nevienlīdzības risinājumu kopumu.

Risinājums. Numurs X= 5 ir nevienlīdzības risinājums
2X + 7 > 10 - X, jo 2×5 + 7 > 10 - 5 ir patiesa skaitliskā nevienādība. Un tā atrisinājumu kopa ir intervāls (1; ¥), kas tiek atrasts, veicot nevienādības 2 transformāciju X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību 5 X- 5 < 2X+ 16 un pamato visas pārvērtības, kas tiks veiktas risinājuma procesā.

Risinājums.

Pārvērtības	Pārvērtību pamatojums
1. Pārvietosim 2. izteiksmi X pa kreisi un skaitli -5 pa labi, mainot to zīmes uz pretējo: 5 X- 2X < 16 + 5.	Mēs izmantojām 3. teorēmas 2. secinājumu un ieguvām nevienādību, kas līdzvērtīga sākotnējai.
2. Nevienādības kreisajā un labajā pusē parādām līdzīgus terminus: 3 X < 21.	Veiktas identiskas izteiksmju transformācijas nevienlīdzības kreisajā un labajā daļā - tās nepārkāpa nevienlīdzību ekvivalenci: dotā un oriģinālā.
3. Sadaliet abas nevienādības puses ar 3: X < 7.	Mēs izmantojām 4. teorēmas secinājumu un ieguvām nevienādību, kas līdzvērtīga sākotnējai.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam savākt dažāda informācija tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam arī izmantot personas informāciju iekšējiem mērķiem, piemēram, auditam, datu analīzei un dažādi pētījumi lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedības kārtībā, in tiesvedība, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

MĀCĪBA: "NEvienlīdzību risināšana AR VIENU MAINĪGO"

Temats: Algebra
Temats: Nevienādību atrisināšana ar vienu mainīgo

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

organizēt studentu darbību tādu jēdzienu uztverē, izpratnē un primārajā nostiprināšanā kā nevienādību risināšana ar vienu mainīgo, ekvivalentā nevienādība, nevienādību risināšana; pārbaudīt skolēnu spēju pielietot iepriekšējās stundās iegūtās zināšanas un prasmes šīs nodarbības uzdevumu risināšanai.

Izglītības:

attīstīt interesi par matemātiku, praktiski izmantojot IKT; izglītot skolēnu kognitīvās vajadzības; veidot tādas personiskās īpašības kā atbildība, neatlaidība mērķu sasniegšanā, neatkarība.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments

II. Pārbaude mājasdarbs(Pamatzināšanu atjaunošana)

1. Izmantojot koordinātu līniju, atrodiet atstarpju krustpunktu: a) (1;8) un (5;10); b) (-4;4) un [-6;6]; c) (5;+∞) un [-∞;4]

Atbilde: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) nav krustojumu

2. Pierakstiet attēlā redzamās atstarpes:

2)

3)

Atbilde: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .

3. piemērs, atrisiniet nevienādību 3(x-1)<-4+3х.

Atvērsim iekavas nevienādības kreisajā pusē: 3x-3<-4+3х.

Mēs pārnesam terminu 3x ar pretējām zīmēm no labās puses uz kreiso pusi un terminu -3 no kreisās puses uz labo pusi un dodam līdzīgus terminus: 3x-3x<-4+3,

Kā redzat, šī skaitliskā nevienādība nav patiesa nevienai x vērtībai. Tas nozīmē, ka mūsu nevienādībai ar vienu mainīgo nav risinājuma.

Treniņu aparāti

Atrisiniet nevienādību un atzīmējiet tās atrisinājumu:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Atbilde: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. secinājumus

Nevienādības ar vienu mainīgo risinājums ir mainīgā vērtība, kas to pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast visus tās risinājumus vai pierādīt, ka risinājumu nav. Nevienādības, kurām ir vienādi risinājumi, sauc par ekvivalentām. Arī nevienlīdzības, kurām nav risinājumu, tiek uzskatītas par līdzvērtīgām. Ja abas nevienādības daļas reizina vai dala ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, vienlaikus mainot nevienādības zīmi uz pretējo. Citos gadījumos tas paliek nemainīgs.

V. Noslēguma pārbaude

1) Nevienādības ar vienu mainīgo atrisinājumu sauc par ...

a) mainīgā vērtība, kas to pārvērš patiesā nevienādībā;

b) mainīgā vērtība, kas pārvērš to par derīgu skaitli

nevienlīdzība;

c) mainīgais, kas to pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā.

2) Kuri no skaitļiem ir nevienādības 8+5y>21+6y atrisinājums:

a) 2 un 5 b) -1 un 8 c) -12 un 1 d) -15 un -30?

3) Norādiet nevienādības 4(x+1)>20 atrisinājumu kopu:

a) (-∞; 4); b) (4; +∞); iekšā) )