Frakcijas

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Frakcijas vidusskolā nav īpaši kaitinošas. Pagaidām. Līdz brīdim, kad jūs saskaraties ar eksponentiem ar racionāliem eksponentiem un logaritmiem. Un tur…. Jūs nospiežat, jūs nospiežat kalkulatoru, un tas parāda visu dažu skaitļu tablo. Jādomā ar galvu, kā trešajā klasē.

Beidzot tiksim galā ar daļskaitļiem! Nu cik tajos var apjukt!? Turklāt tas viss ir vienkārši un loģiski. Tātad, kas ir frakcijas?

Frakciju veidi. Pārvērtības.

Frakcijas notiek trīs veidi.

1. Kopējās frakcijas , Piemēram:

Dažreiz horizontālas līnijas vietā viņi ieliek slīpsvītru: 1/2, 3/4, 19/5, labi utt. Šeit mēs bieži izmantosim šo pareizrakstību. Tiek izsaukts augšējais numurs skaitītājs, zemāks - saucējs. Ja jūs pastāvīgi sajaucat šos vārdus (tas notiek ...), pasakiet sev frāzi ar izteicienu: " Zzzzz atceries! Zzzzz saucējs - ārā zzzz u!" Skaties, viss paliks atmiņā.)

Svītra, kas ir horizontāla, kas ir slīpa, nozīmē nodaļa augšējais cipars (skaitītājs) līdz apakšējam skaitlim (saucējs). Un tas arī viss! Domuzīmes vietā ir pilnīgi iespējams ievietot dalījuma zīmi - divus punktus.

Kad sadalīšana ir pilnībā iespējama, tas ir jādara. Tātad daļskaitļa "32/8" vietā daudz patīkamāk ir rakstīt skaitli "4". Tie. 32 vienkārši dala ar 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Es nerunāju par daļskaitli "4/1". Kas arī ir tikai "4". Un, ja tas pilnībā nesadalās, mēs to atstājam kā daļu. Dažreiz jums ir jādara otrādi. Izveidojiet daļu no vesela skaitļa. Bet vairāk par to vēlāk.

2. Decimāldaļas , Piemēram:

Tieši šādā formā būs nepieciešams pierakstīt atbildes uz uzdevumiem "B".

3. jaukti skaitļi , Piemēram:

Jauktos skaitļus vidusskolā praktiski neizmanto. Lai ar tiem strādātu, tie jāpārvērš parastajās daļās. Bet jums noteikti ir jāzina, kā to izdarīt! Un tad šāds cipars sastapsies mīklā un pakārsies... No nulles. Bet mēs atceramies šo procedūru! Nedaudz zemāk.

Vispusīgākā parastās frakcijas. Sāksim ar viņiem. Starp citu, ja daļskaitlī ir visādi logaritmi, sinusi un citi burti, tas neko nemaina. Tādā ziņā, ka viss darbības ar daļskaitļu izteiksmēm neatšķiras no darbībām ar parastajām daļām!

Daļas pamatīpašība.

Tātad ejam! Pirmkārt, es jūs pārsteigšu. Visu frakciju pārveidojumu daudzveidību nodrošina viens īpašums! Tā to sauc daļskaitļa pamatīpašība. Atcerieties: Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar vienu un to pašu skaitli, daļa nemainīsies. Tie:

Skaidrs, ka var rakstīt tālāk, līdz zils sejā. Neļaujiet sinusiem un logaritmiem jūs sajaukt, mēs ar tiem tiksim galā tālāk. Galvenais ir saprast, ka visi šie dažādie izteicieni ir tā pati frakcija . 2/3.

Un mums tas ir vajadzīgs, visas šīs pārvērtības? Un kā! Tagad jūs redzēsiet paši. Vispirms izmantosim daļskaitļa pamatīpašību for frakciju saīsinājumi. Šķiet, ka lieta ir elementāra. Sadalām skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli un viss! Nav iespējams kļūdīties! Bet... cilvēks ir radoša būtne. Kļūdīties var visur! It īpaši, ja jāsamazina nevis daļskaitlis kā 5/10, bet daļskaitļa izteiksme ar visādiem burtiem.

Kā pareizi un ātri samazināt frakcijas, neveicot liekus darbus, var uzzināt speciālajā 555. sadaļā.

Normāls skolēns netraucē dalīt skaitītāju un saucēju ar vienu un to pašu skaitli (vai izteiksmi)! Viņš vienkārši izsvītro visu to pašu no augšas un apakšas! Šeit tas slēpjas tipiska kļūda, blooper, ja vēlaties.

Piemēram, jums ir jāvienkāršo izteiksme:

Nav ko domāt, izsvītrojam burtu "a" no augšas un divci no apakšas! Mēs iegūstam:

Viss ir pareizi. Bet tiešām jūs dalījāties viss skaitītājs un viss saucējs "a". Ja esat pieradis vienkārši izsvītrot, tad steigā varat izsvītrot "a".

un saņemt vēlreiz

Kas būtu kategoriski nepareizi. Jo šeit viss skaitītājs jau uz "a". nav koplietots! Šo daļu nevar samazināt. Starp citu, šāds saīsinājums ir, hm, nopietns izaicinājums skolotājam. Tas nav piedots! Atceries? Samazinot, ir nepieciešams sadalīt viss skaitītājs un viss saucējs!

Frakciju samazināšana padara dzīvi daudz vieglāku. Jūs kaut kur iegūsit daļu, piemēram, 375/1000. Un kā ar viņu tagad strādāt? Bez kalkulatora? Reiziniet, sakiet, saskaitiet, kvadrātā!? Un, ja neesat pārāk slinks, bet uzmanīgi samaziniet par pieciem un pat par pieciem un pat ... kamēr tas tiek samazināts, īsi sakot. Mēs saņemam 3/8! Daudz jaukāk, vai ne?

Daļskaitļa pamatīpašība ļauj pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās un otrādi bez kalkulatora! Tas ir svarīgi eksāmenam, vai ne?

Kā pārvērst frakcijas no vienas formas uz citu.

Ar decimāldaļām tas ir vienkārši. Kā dzirdēts, tā rakstīts! Teiksim 0,25. Tas ir nulle punkts, divdesmit piecas simtdaļas. Tātad mēs rakstām: 25/100. Samazinām (skaitītāju un saucēju sadalām ar 25), iegūstam parasto daļskaitli: 1/4. Viss. Tas notiek, un nekas netiek samazināts. Tāpat kā 0,3. Tas ir trīs desmitdaļas, t.i. 3/10.

Ko darīt, ja veseli skaitļi nav nulle? Ir labi. Pierakstiet visu daļu bez komatiem skaitītājā un saucējā - dzirdētais. Piemēram: 3.17. Tās ir veselas trīs, septiņpadsmit simtdaļas. Skaitītājā ierakstām 317, saucējā 100. Iegūstam 317/100. Nekas netiek samazināts, tas nozīmē visu. Šī ir atbilde. Elementārais Vatsons! No visa iepriekš minētā noderīgs secinājums: jebkuru decimāldaļu var pārvērst parastā daļskaitlī .

Bet apgrieztā konvertēšana, parastā uz decimāldaļu, daži nevar iztikt bez kalkulatora. Bet vajag! Kā tu pierakstīsi atbildi eksāmenā!? Mēs rūpīgi izlasām un apgūstam šo procesu.

Kas ir decimāldaļdaļa? Viņa ir saucējā vienmēr ir 10 vai 100, 1000 vai 10 000 un tā tālāk. Ja jūsu parastajai daļai ir šāds saucējs, nav problēmu. Piemēram, 4/10 = 0,4. Vai 7/100 = 0,07. Vai 12/10 = 1,2. Un ja atbildē uz sadaļas "B" uzdevumu izrādījās 1/2? Ko mēs rakstīsim atbildē? Decimāldaļas ir obligātas...

Mēs atceramies daļskaitļa pamatīpašība ! Matemātika labvēlīgi ļauj reizināt skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli. Starp citu, jebkuram! Protams, izņemot nulli. Izmantosim šo funkciju savā labā! Ar ko var reizināt saucēju, t.i. 2, lai tas kļūtu par 10, vai 100, vai 1000 (mazāks, jo labāk, protams...)? 5, protams. Jūtieties brīvi reizināt saucēju (tas ir mums nepieciešams) ar 5. Bet, tad arī skaitītājs jāreizina ar 5. Tas jau ir matemātika prasības! Mēs iegūstam 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Tas ir viss.

Tomēr visādi saucēji sanāk. Piemēram, daļa 3/16 samazināsies. Izmēģiniet to, izdomājiet, ar ko reizināt 16, lai iegūtu 100 vai 1000... Neder? Tad jūs varat vienkārši dalīt 3 ar 16. Ja nav kalkulatora, jums būs jādala stūrī, uz papīra, kā viņi mācīja pamatklasēs. Mēs iegūstam 0,1875.

Un ir daži ļoti slikti saucēji. Piemēram, daļu 1/3 nevar pārvērst labā decimāldaļā. Gan uz kalkulatora, gan uz papīra mēs iegūstam 0,3333333 ... Tas nozīmē, ka 1/3 precīzā decimāldaļdaļā netulko. Tāpat kā 1/7, 5/6 un tā tālāk. Daudzi no tiem nav tulkojami. Līdz ar to vēl viens noderīgs secinājums. Ne katrs parastais daļskaitlis pārvēršas par decimāldaļu. !

Starp citu, šis noderīga informācija pašpārbaudei. Atbildot sadaļā "B", jums jāpieraksta decimāldaļdaļa. Un jūs saņēmāt, piemēram, 4/3. Šī daļa netiek pārveidota par decimāldaļu. Tas nozīmē, ka kaut kur pa ceļam jūs pieļāvāt kļūdu! Atgriezieties, pārbaudiet risinājumu.

Tātad, ar sakārtotām parastajām un decimāldaļām. Atliek tikt galā ar jauktiem skaitļiem. Lai strādātu ar tiem, tie visi ir jāpārvērš parastajās daļās. Kā to izdarīt? Jūs varat noķert sestās klases skolēnu un pajautāt viņam. Bet ne vienmēr sestās klases skolnieks būs pa rokai... Tas būs jādara pašiem. Tas nav grūti. Daļējās daļas saucēju reiziniet ar veselo skaitļu daļu un pievienojiet daļdaļas skaitītāju. Tas būs kopējās daļskaitļa skaitītājs. Kā ar saucēju? Saucējs paliks nemainīgs. Tas izklausās sarežģīti, bet patiesībā tas ir diezgan vienkārši. Apskatīsim piemēru.

Ierakstiet problēmu, kuru redzējāt ar šausmām, numuru:

Mierīgi, bez panikas, mēs saprotam. Visa daļa ir 1. Viens. Daļējā daļa ir 3/7. Tāpēc daļdaļas saucējs ir 7. Šis saucējs būs parastās daļas saucējs. Mēs saskaitām skaitītāju. Mēs reizinām 7 ar 1 (veselā skaitļa daļa) un pievienojam 3 (daļdaļas skaitītājs). Mēs iegūstam 10. Tas būs parastās daļskaitļa skaitītājs. Tas ir viss. Matemātiskajā pierakstā tas izskatās vēl vienkāršāk:

Skaidrs? Tad nodrošiniet savus panākumus! Konvertēt parastās daļskaitļos. Jums vajadzētu saņemt 10/7, 7/2, 23/10 un 21/4.

Reversā darbība – nepareizas daļskaitļa pārvēršana jauktā skaitlī – vidusskolā ir nepieciešama reti. Nu ja... Un ja tu - ne vidusskolā - vari ieskatīties speciālajā 555.pantā. Tajā pašā vietā, starp citu, jūs uzzināsit par nepareizajām daļām.

Nu gandrīz viss. Jūs atcerējāties daļskaitļu veidus un sapratāt kā pārvērst tos no viena veida uz citu. Jautājums paliek: kāpēc dari to? Kur un kad pielietot šīs dziļās zināšanas?

ES atbildu. Jebkurš piemērs pats par sevi liecina par nepieciešamajām darbībām. Ja piemērā parastās daļskaitļi, decimālskaitļi un pat jaukti skaitļi ir sajaukti kopā, mēs visu pārvēršam parastās daļskaitļos. To vienmēr var izdarīt. Nu, ja ir rakstīts kaut kas līdzīgs 0,8 + 0,3, tad mēs tā domājam, bez tulkojuma. Kāpēc mums vajadzīgs papildu darbs? Izvēlamies ērtāko risinājumu mums !

Ja uzdevums ir pilns ar decimāldaļskaitļiem, bet hm ... kaut kādi ļaunie, ej pie parastajiem, izmēģini! Skaties, viss būs labi. Piemēram, jums ir jāliek kvadrātā skaitlis 0,125. Nav nemaz tik vienkārši, ja neesi zaudējis kalkulatora ieradumu! Ne tikai jāreizina skaitļi kolonnā, bet arī jādomā, kur ievietot komatu! Manā prātā tas noteikti nedarbojas! Un ja jūs dodaties uz parasto frakciju?

0,125 = 125/1000. Mēs samazinām par 5 (tas ir iesācējiem). Mēs iegūstam 25/200. Vēlreiz uz 5. Mēs iegūstam 5/40. Ak, tas sarūk! Atpakaļ uz 5! Mēs iegūstam 1/8. Viegli kvadrātā (savā prātā!) un iegūstiet 1/64. Viss!

Apkoposim šo nodarbību.

1. Ir trīs veidu frakcijas. Parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi.

2. Decimāldaļas un jaukti skaitļi vienmēr var pārvērst parastās daļskaitļos. Reversais tulkojums ne vienmēr pieejams.

3. Daļskaitļu veida izvēle darbam ar uzdevumu ir atkarīga tieši no šī uzdevuma. Klātbūtnē dažādi veidi daļskaitļi vienā uzdevumā, visdrošāk ir pāriet uz parastajām daļām.

Tagad jūs varat praktizēt. Vispirms pārveidojiet šīs decimāldaļas par parastajām:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Jums vajadzētu saņemt šādas atbildes (nekārtībā!):

Ar to mēs pabeigsim. Šajā nodarbībā mēs apskatījām daļskaitļu galvenos punktus. Gadās taču, ka nav ko īpaši atsvaidzināt...) Ja kāds ir pavisam aizmirsis, vai vēl nav apguvis... Tie var doties uz speciālo 555. nodaļu. Tur ir sīki aprakstīti visi pamati. Daudzi pēkšņi visu saprast sākas. Un viņi lidojumā atrisina daļskaitļus).

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Gadās, ka aprēķinu ērtībai ir jāpārvērš parastā daļa decimāldaļā un otrādi. Par to, kā to izdarīt, mēs runāsim šajā rakstā. Mēs analizēsim noteikumus parasto daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās un otrādi, kā arī sniegsim piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mēs apsvērsim parasto daļskaitļu pārvēršanu decimāldaļās, ievērojot noteiktu secību. Vispirms apsveriet, kā parastās daļskaitļi ar saucēju, kas ir 10 reizināts, tiek pārvērsti decimāldaļās: 10, 100, 1000 utt. Daļskaitļi ar šādiem saucējiem patiesībā ir apgrūtinošāks decimāldaļskaitļu apzīmējums.

Tālāk mēs apskatīsim, kā parastās daļskaitļus pārvērst decimāldaļdaļās ar jebkuru, nevis tikai 10 reizinājumu. Ņemiet vērā, ka, pārvēršot parastās daļskaitļus par decimāldaļskaitļiem, tiek iegūtas ne tikai pēdējās decimāldaļas, bet arī bezgalīgas periodiskas decimāldaļdaļas.

Sāksim!

Parasto daļskaitļu tulkošana ar saucējiem 10, 100, 1000 utt. līdz zīmēm aiz komata

Pirmkārt, pieņemsim, ka dažas daļdaļas ir nedaudz jāsagatavo, pirms tās tiek pārveidotas decimāldaļā. Kas tas ir? Pirms skaitļa skaitītājā ir jāsaskaita tik daudz nulles, lai ciparu skaits skaitītājā būtu vienāds ar nulles skaitu saucējā. Piemēram, daļskaitlim 3100 skaitītājā pa kreisi no 3 vienreiz jāpievieno skaitlis 0. Frakcija 610, saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu, nav jāuzlabo.

Apsveriet vēl vienu piemēru, pēc kura mēs formulējam noteikumu, kas sākotnēji ir īpaši ērti lietojams, kamēr nav tik daudz pieredzes ar frakcijām. Tātad daļa 1610000 pēc nulles pievienošanas skaitītājā izskatīsies kā 001510000.

Kā tulkot parasto daļskaitli ar saucēju 10, 100, 1000 utt. līdz decimāldaļai?

Noteikums parasto daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Ierakstiet 0 un pēc tā ielieciet komatu.
2. Mēs pierakstām skaitli no skaitītāja, kas izrādījās pēc nulles pievienošanas.

Tagad pāriesim pie piemēriem.

1. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārvērtiet parasto daļskaitli 39100 par decimāldaļu.

Pirmkārt, mēs skatāmies uz daļskaitli un redzam, ka sagatavošanas darbības nav vajadzīgas — ciparu skaits skaitītājā atbilst nullēm saucējā.

Ievērojot noteikumu, pierakstiet 0 , aiz tā ielieciet komatu un pierakstiet skaitli no skaitītāja. Mēs iegūstam decimāldaļu 0, 39.

Analizēsim cita piemēra risinājumu par šo tēmu.

2. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Daļu 105 10000000 ierakstīsim kā decimālo daļu.

Nuļļu skaits saucējā ir 7, un skaitītājā ir tikai trīs cipari. Skaitītājā skaitļa priekšā pievienosim vēl 4 nulles:

0000105 10000000

Tagad rakstām 0 , aiz tā liekam komatu un ierakstām skaitli no skaitītāja. Mēs iegūstam decimāldaļu 0 , 0000105 .

Visos piemēros aplūkotās daļskaitļi ir parastas īstās frakcijas. Bet kā pārvērst nepareizu kopējo daļskaitli aiz komata? Teiksim uzreiz, ka nav nepieciešama sagatavošanās, pieliekot nulles šādām daļām. Formulēsim noteikumu.

Noteikums parasto nepareizo daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Mēs pierakstām skaitli, kas atrodas skaitītājā.
2. Ar decimālzīmi mēs atdalām tik daudz ciparu labajā pusē, cik nulles ir sākotnējās parastās daļas saucējā.

Tālāk ir sniegts šī noteikuma izmantošanas piemērs.

3. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārveidosim daļskaitli 56888038009 100000 no parastas neregulāras uz decimāldaļu.

Vispirms ierakstiet skaitli no skaitītāja:

Tagad labajā pusē mēs atdalām piecus ciparus ar komatu (nuļļu skaits saucējā ir pieci). Mēs iegūstam:

Nākamais dabiski rodas jautājums, kā jauktu skaitli pārvērst par decimāldaļskaitli, ja tā daļdaļas saucējs ir skaitlis 10, 100, 1000 utt. Lai konvertētu uz šāda skaitļa decimāldaļu, varat izmantot šādu noteikumu.

Noteikums jauktu skaitļu pārvēršanai decimāldaļās

1. Ja nepieciešams, sagatavojam skaitļa daļējo daļu.
2. Mēs pierakstām oriģinālā skaitļa veselo skaitļu daļu un aiz tā ievietojam komatu.
3. Mēs rakstām skaitli no daļdaļas skaitītāja kopā ar pievienotajām nullēm.

Apskatīsim piemēru.

4. piemērs. Jauktu skaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārvērtiet jaukto skaitli 23 17 10000 par decimāldaļu.

Daļējā daļā mums ir izteiksme 17 10000. Sagatavosim to un pievienosim vēl divas nulles pa kreisi no skaitītāja. Mēs saņemam: 0017 10000.

Tagad mēs pierakstām skaitļa veselo skaitļu daļu un aiz tā liekam komatu: 23,. .

Aiz komata mēs rakstām skaitli no skaitītāja kopā ar nullēm. Mēs iegūstam rezultātu:

23 17 10000 = 23 , 0017

Parasto daļu pārvēršana galīgās un bezgalīgās periodiskās daļās

Protams, jūs varat pārvērst par decimāldaļdaļām un parastajām daļām, kuru saucējs nav vienāds ar 10, 100, 1000 utt.

Bieži vien daļu var viegli reducēt līdz jaunam saucējam un pēc tam izmantot noteikumu, kas izklāstīts šī raksta pirmajā daļā. Piemēram, pietiek ar daļskaitļa 25 skaitītāju un saucēju reizināt ar 2, un mēs iegūstam daļskaitli 410, ko viegli samazināt līdz decimāldaļai 0,4.

Tomēr šo metodi parastās daļskaitļa pārvēršanai decimāldaļā ne vienmēr var izmantot. Tālāk mēs apsvērsim, kā rīkoties, ja nav iespējams piemērot aplūkoto metodi.

Pamatā jauns veids parastās daļdaļas pārvēršana decimāldaļā tiek reducēta līdz skaitītāja dalīšanai ar saucēju ar kolonnu. Šī darbība ir ļoti līdzīga naturālu skaitļu dalīšanai ar kolonnu, taču tai ir savas īpašības.

Dalot, skaitītājs tiek attēlots kā decimāldaļdaļa - pa labi no skaitītāja pēdējā cipara tiek likts komats un pievienotas nulles. Iegūtajā koeficientā decimālzīmi ievieto tad, kad beidzas skaitītāja veselās skaitļa daļas dalīšana. Kā tieši šī metode darbojas, kļūs skaidrs pēc piemēru izskatīšanas.

5. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārtulkosim parasto daļskaitli 621 4 decimāldaļā.

Attēlosim skaitli 621 no skaitītāja kā decimāldaļskaitli, aiz komata pievienojot dažas nulles. 621 = 621 00

Tagad mēs sadalīsim kolonnu 621, 00 ar 4. Pirmie trīs dalīšanas soļi būs tādi paši kā naturālus skaitļus dalot, un mēs iegūstam.

Kad esam nonākuši līdz komatam dividendē un atlikums nav nulle, mēs ieliekam decimālzīmi koeficientā un turpinām dalīt, vairs nepievēršot uzmanību komatam dividendēs.

Rezultātā mēs iegūstam decimālo daļu 155 , 25 , kas ir parastās daļdaļas 621 4 inversijas rezultāts.

621 4 = 155 , 25

Apsveriet iespēju atrisināt citu piemēru, lai salabotu materiālu.

6. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Apvērsīsim parasto daļskaitli 21 800.

Lai to izdarītu, kolonnā sadaliet daļu 21 000 ar 800. Veselā skaitļa daļas dalīšana beigsies pirmajā solī, tāpēc uzreiz pēc tā koeficientā ieliekam komatu un turpinām dalīšanu, ignorējot komatu dividendē, līdz iegūstam atlikumu, kas vienāds ar nulli.

Rezultātā mēs saņēmām: 21 800 = 0. 02625 .

Bet ja, dalot, mēs nekad nesaņemam atlikumu 0. Šādos gadījumos dalīšanu var turpināt bezgalīgi. Tomēr, sākot no noteikta soļa, atlikumi periodiski atkārtosies. Attiecīgi tiks atkārtoti arī skaitļi koeficientā. Tas nozīmē, ka parastā daļdaļa tiek pārtulkota par bezgalīgu decimālo periodisko daļu. Ilustrēsim teikto ar piemēru.

7. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Pārvērtīsim parasto daļskaitli 1944 par decimāldaļu. Lai to izdarītu, mēs veicam sadalīšanu ar kolonnu.

Redzam, ka dalot atkārtojas atlikumi 8 un 36. Tajā pašā laikā koeficientā atkārtojas skaitļi 1 un 8. Šis ir periods decimāldaļās. Rakstot, šie skaitļi tiek ņemti iekavās.

Tādējādi sākotnējā parastā daļa tiek pārtulkota bezgalīgā periodiskā decimāldaļdaļā.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Ļaujiet mums iegūt nesamazināmu parasto daļskaitli. Kādā formā tas būs? Kuras parastās daļskaitļus pārvērš par ierobežotām decimāldaļām, bet kuras par bezgalīgām periodiskām daļām?

Pirmkārt, pieņemsim, ka, ja daļskaitli var samazināt līdz vienam no saucējiem 10, 100, 1000 .., tad tā izskatīsies kā pēdējā decimāldaļdaļa. Lai daļskaitlis tiktu samazināts līdz vienam no šiem saucējiem, tā saucējam ir jābūt vismaz viena no skaitļiem 10, 100, 1000 utt., Dalītājam. No noteikumiem par skaitļu sadalīšanu galvenie faktori no tā izriet, ka skaitļu dalītājs 10, 100, 1000 utt. sadalot primārajos faktoros, tajā jāietver tikai skaitļi 2 un 5.

Apkoposim teikto:

1. Parasto daļu var reducēt līdz pēdējai decimāldaļai, ja tās saucēju var sadalīt galvenajos faktoros 2 un 5.
2. Ja bez skaitļiem 2 un 5 saucēja izvērsumā ir arī citi pirmskaitļi, daļskaitli samazina līdz bezgalīgas periodiskas decimāldaļskaitļa formai.

Ņemsim piemēru.

8. piemērs. Parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Kurš no dotajiem daļskaitļiem 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 tiek pārvērsts par pēdējo decimāldaļskaitli, bet kurš - tikai par periodisku. Mēs sniegsim atbildi uz šo jautājumu, tieši nepārvēršot parasto daļu decimāldaļā.

Daļa 47 20, kā jūs viegli varat redzēt, reizinot skaitītāju un saucēju ar 5, tiek samazināta līdz jaunam saucējam 100.

4720 = 235100. No tā mēs secinām, ka šī daļa tiek tulkota pēdējā decimāldaļdaļā.

Faktorējot daļskaitļa 7 12 saucēju, iegūst 12 = 2 2 3 . Tā kā vienkāršais koeficients 3 atšķiras no 2 un 5, šo daļu nevar attēlot kā ierobežotu decimāldaļskaitli, bet tai būs bezgalīgas periodiskas daļas forma.

Frakcija 21 56, pirmkārt, jums ir jāsamazina. Samazinot par 7, iegūstam nereducējamu daļskaitli 3 8 , kuras saucēja izvēršana faktoros dod 8 = 2 · 2 · 2 . Tāpēc tā ir beigu decimāldaļa.

Daļas 31 17 gadījumā saucēja faktorizācija ir pats galvenais skaitlis 17. Attiecīgi šo daļu var pārvērst bezgalīgā periodiskā decimāldaļdaļā.

Parasto daļu nevar pārvērst par bezgalīgu un neatkārtotu decimāldaļskaitli

Iepriekš mēs runājām tikai par ierobežotām un bezgalīgām periodiskām daļām. Bet vai jebkuru parasto daļu var pārvērst par bezgalīgu neperiodisku daļu?

Mēs atbildam: nē!

Svarīgs!

Pārvēršot bezgalīgu daļskaitli aiz komata, jūs iegūstat vai nu galīgu decimāldaļu, vai bezgalīgu periodisku decimāldaļdaļu.

Dalījuma atlikusī daļa vienmēr ir mazāka par dalītāju. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar dalāmības teorēmu, ja mēs dalām kādu naturālu skaitli ar skaitli q, tad dalījuma atlikums jebkurā gadījumā nevar būt lielāks par q-1. Pēc dalīšanas beigām ir iespējama viena no šādām situācijām:

1. Mēs iegūstam atlikumu 0, un šeit dalījums beidzas.
2. Mēs iegūstam atlikumu, kas atkārtojas nākamajā dalīšanas laikā, kā rezultātā mums ir bezgalīga periodiska daļa.

Pārvēršot parasto daļskaitli decimāldaļā, citu iespēju nevar būt. Pieņemsim arī, ka perioda garums (ciparu skaits) bezgalīgā periodiskā daļā vienmēr ir mazāks par ciparu skaitu attiecīgās parastās daļas saucējā.

Pārvērst decimāldaļas parastajās daļskaitļos

Tagad ir pienācis laiks apsvērt apgriezto procesu decimāldaļskaitļa pārvēršanai parastā. Formulēsim tulkošanas noteikumu, kas ietver trīs posmus. Kā decimāldaļu pārvērst parastā daļskaitlī?

Noteikums decimāldaļskaitļu pārvēršanai parastajās daļās

1. Skaitītājā ierakstām skaitli no sākotnējās decimāldaļas, atmetot komatu un visas nulles kreisajā pusē, ja tādas ir.
2. Saucējā ierakstām vienu un aiz tā tik nulles, cik ciparu ir sākotnējā decimāldaļdaļā aiz komata.
3. Ja nepieciešams, samaziniet iegūto parasto frakciju.

Apsveriet šī noteikuma piemērošanu ar piemēriem.

8. piemērs. Decimālskaitļu pārvēršana parastā

Attēlosim skaitli 3, 025 kā parastu daļskaitli.

1. Skaitītājā mēs ierakstām pašu decimāldaļu, atmetot komatu: 3025.
2. Saucējā mēs ierakstām vienu un pēc tā trīs nulles - tas ir, cik ciparu ir sākotnējā daļā aiz komata: 3025 1000.
3. Iegūto daļu 3025 1000 var samazināt par 25, kā rezultātā mēs iegūstam: 3025 1000 \u003d 121 40.

9. piemērs. Decimāldaļu pārvēršana parastā

Pārveidosim daļu 0, 0017 no decimāldaļas uz parasto.

1. Skaitītājā ierakstām daļu 0, 0017, atmetot komatu un nulles kreisajā pusē. Iegūstiet 17.
2. Sauktājā ierakstām vienu un pēc tā četras nulles: 17 10000. Šī daļa ir nesamazināma.

Ja decimāldaļdaļā ir vesela skaitļa daļa, tad šādu daļu var uzreiz pārvērst par jauktu skaitli. Kā to izdarīt?

Formulēsim vēl vienu noteikumu.

Noteikums decimāldaļu pārvēršanai jauktos skaitļos.

1. Skaitlis līdz komatam tiek uzrakstīts kā jauktā skaitļa vesela skaitļa daļa.
2. Skaitītājā mēs ierakstām skaitli, kas atrodas daļā aiz komata, atmetot nulles kreisajā pusē, ja tādas ir.
3. Daļējās daļas saucējā saskaitām vienu un tik nulles, cik daļdaļā ir ciparu aiz komata.

Apskatīsim piemēru

10. piemērs: decimāldaļas pārvēršana par jauktu skaitli

Attēlosim daļu 155, 06005 kā jauktu skaitli.

1. Skaitli 155 rakstām kā veselu daļu.
2. Skaitītājā ierakstām skaitļus aiz komata, atmetot nulli.
3. Saucējā rakstām vienu un piecas nulles

Jaukta numura mācīšana: 155 6005 100 000

Daļējo daļu var samazināt par 5 . Mēs samazinām, un mēs iegūstam gala rezultātu:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Bezgalīgu atkārtotu decimāldaļu pārvēršana kopīgās daļskaitļos

Apskatīsim piemērus, kā periodiskas decimāldaļas pārtulkot parastajās. Pirms sākam, precizēsim: jebkuru periodisko decimāldaļu var pārvērst par parastu.

Vienkāršākais gadījums ir daļdaļas periods nulle. Periodiskā daļa ar nulles punktu tiek aizstāta ar pēdējo decimāldaļu, un šādas daļdaļas invertēšanas process tiek samazināts līdz pēdējās decimāldaļdaļas apvēršanai.

11. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana kopīgā daļskaitlī

Apvērsīsim periodisko daļu 3, 75 (0) .

Atmetot nulles labajā pusē, mēs iegūstam pēdējo decimāldaļu 3, 75.

Pārvēršot šo daļu par parastu saskaņā ar iepriekšējos punktos apskatīto algoritmu, mēs iegūstam:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ko darīt, ja daļdaļas periods nav nulle? Periodiskā daļa jāuzskata par ģeometriskās progresijas locekļu summu, kas samazinās. Paskaidrosim to ar piemēru:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Pastāv formula bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summai. Ja pirmais progresijas loceklis ir b un q saucējs ir tāds, ka 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Apskatīsim dažus piemērus, izmantojot šo formulu.

12. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana kopīgā daļskaitlī

Pieņemsim, ka mums ir periodiska daļa 0, (8) un mums tā jāpārvērš par parastu.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Šeit ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija ar pirmo vārdu 0 , 8 un saucēju 0 , 1 .

Pielietosim formulu:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Šī ir vēlamā parastā frakcija.

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet citu piemēru.

13. piemērs. Periodiskas decimāldaļas pārvēršana parastā

Apgriezt daļskaitli 0 , 43 (18) .

Pirmkārt, mēs ierakstām daļu kā bezgalīgu summu:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Apsveriet terminus iekavās. Šo ģeometrisko progresiju var attēlot šādi:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Mēs pievienojam iegūto daļu galīgajai daļai 0, 43 \u003d 43 100 un iegūstam rezultātu:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pēc šo daļu pievienošanas un samazināšanas mēs iegūstam galīgo atbildi:

0 , 43 (18) = 19 44

Šī raksta beigās mēs teiksim, ka neperiodiskas bezgalīgas decimāldaļas nevar pārvērst parastajās daļās.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Pietiekams skaits cilvēku domā, kā parasto daļskaitli pārvērst decimāldaļdaļā. Ir vairāki veidi. Konkrētas metodes izvēle ir atkarīga no frakcijas veida, kas jāpārvērš citā formā, vai drīzāk no skaitļa saucējā. Tomēr ticamības labad ir jānorāda, ka parastā daļa ir daļdaļa, kas ir rakstīta ar skaitītāju un saucēju, piemēram, 1/2. Biežāk robeža starp skaitītāju un saucēju tiek novilkta horizontāli, nevis slīpi. Decimāldaļu raksta kā parastu skaitli ar komatu: piemēram, 1,25; 0,35 utt.

Tātad, lai pārvērstu parasto daļu decimāldaļā bez kalkulatora, jums ir nepieciešams:

Pievērsiet uzmanību parastās daļskaitļa saucējam. Ja saucēju var viegli reizināt līdz 10 ar tādu pašu skaitli kā skaitītājs, tad šī metode ir jāizmanto kā vienkāršākā. Piemēram, parasto daļskaitli 1/2 skaitītājā un saucējā viegli reizina ar 5, iegūstot skaitli 5/10, ko jau var uzrakstīt kā decimāldaļskaitli: 0,5. Šis noteikums balstās uz to, ka decimāldaļskaitļa saucējā vienmēr ir apaļš skaitlis: 10, 100, 1000 un tamlīdzīgi. Tāpēc, ja reizina daļskaitļa skaitītāju un saucēju, tad reizināšanas rezultātā ir jāpanāk tieši tāds skaitlis saucējā neatkarīgi no skaitītājā iegūtā.

Ir parastās daļas, kuru aprēķināšana pēc reizināšanas rada zināmas grūtības. Piemēram, ir diezgan grūti noteikt, ar kādu daļskaitli 5/16 jāreizina, lai saucējā iegūtu kādu no iepriekš minētajiem skaitļiem. Šajā gadījumā jums vajadzētu izmantot parasto sadalījumu, ko veic kolonna. Atbildei jābūt decimāldaļai, kas iezīmēs pārsūtīšanas darbības beigas. Iepriekš minētajā piemērā rezultāts ir skaitlis, kas vienāds ar 0,3125. Ja aprēķini kolonnā rada grūtības, tad bez kalkulatora palīdzības neiztikt.

Visbeidzot, ir parastas daļskaitļi, kas netiek pārvērsti decimāldaļās. Piemēram, tulkojot parasto daļskaitli 4/3, rezultāts ir 1,33333, kur trīs atkārtojas bezgalīgi. Arī kalkulators neatbrīvosies no atkārtojošajiem trīs. Šādas frakcijas ir vairākas, tās tikai jāzina. Izeja no iepriekš minētās situācijas var būt noapaļošana, ja piemēra vai risināmās problēmas nosacījumi pieļauj noapaļošanu. Ja apstākļi to neļauj un atbilde ir jāraksta precīzi decimāldaļskaitļa formā, piemērs vai problēma tika atrisināta nepareizi, un, lai atrastu kļūdu, jāatgriežas vairākas darbības.

Tādējādi parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļā ir diezgan vienkārša, ar šo uzdevumu nav grūti tikt galā bez kalkulatora palīdzības. Šķiet, ka vēl vienkāršāk decimāldaļskaitļus pārvērst parastajās, veicot apgrieztās darbības, kas aprakstītas 1. metodē.

Video: 6. klase. Parastas daļas pārvēršana decimāldaļdaļā.

Decimālam ir divas daļas, kas atdalītas ar komatiem. Pirmā daļa ir vesela skaitļa vienība, otrā daļa ir desmiti (ja skaitlis aiz komata ir viens), simti (divi skaitļi aiz komata, piemēram, divas nulles simtā), tūkstošdaļas utt. Apskatīsim decimālzīmju piemērus: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5.1; 6,32; 0.5. Tās visas ir decimāldaļas. Kā pārvērst decimāldaļu par parasto daļskaitli?

Viens piemērs

Mums ir daļa, piemēram, 0,5. Kā minēts iepriekš, tas sastāv no divām daļām. Pirmais cipars 0 parāda, cik veselu skaitļu vienību ir daļai. Mūsu gadījumā tās nav. Otrais cipars rāda desmitus. Daļa ir pat nulle komats piecas desmitdaļas. Decimālskaitlis pārvērst par daļu tagad nebūs grūti, rakstam 5/10. Ja redzat, ka skaitļiem ir kopīgs dalītājs, varat samazināt daļskaitli. Mums ir šis skaitlis 5, dalot abas daļas ar 5, mēs iegūstam - 1/2.

Otrais piemērs

Ņemsim sarežģītāku daļskaitli - 2,25. To lasa šādi – divas veselas un divdesmit piecas simtdaļas. Pievērsiet uzmanību - simtdaļas, jo aiz komata ir divi skaitļi. Tagad varat konvertēt uz parasto daļskaitli. Mēs pierakstām - 2 25/100. Veselā skaitļa daļa ir 2, daļēja daļa ir 25/100. Tāpat kā pirmajā piemērā, šo daļu var saīsināt. Kopējais dalītājs 25 un 100 ir 25. Ņemiet vērā, ka mēs vienmēr izvēlamies lielāko kopīgo dalītāju. Sadalot abas frakcijas daļas ar GCD, mēs ieguvām 1/4. Tātad 2, 25 ir 2 1/4.

Trešais piemērs

Un, lai konsolidētu materiālu, ņemsim decimāldaļu 4,112 - četras veselas un simts divpadsmit tūkstošdaļas. Kāpēc tūkstošdaļas, manuprāt, ir skaidrs. Tagad mēs pierakstām 4 112/1000. Saskaņā ar algoritmu mēs atrodam skaitļu 112 un 1000 GCD. Mūsu gadījumā tas ir skaitlis 6. Mēs iegūstam 4 14/125.

Secinājums

1. Mēs sadalām daļu veselā un daļējā daļā.
2. Mēs skatāmies, cik ciparu aiz komata. Ja viens ir desmiti, divi ir simti, trīs ir tūkstošdaļas utt.
3. Daļu rakstām parastajā formā.
4. Mēs samazinām daļskaitļa skaitītāju un saucēju.
5. Pierakstiet iegūto daļu.
6. Pārbaude, sadalīšana augšējā daļa frakcijas apakšā. Ja ir vesela skaitļa daļa, pievienojiet iegūtajai decimāldaļai. Izrādījās sākotnējā versija - lieliska, tāpēc jūs visu izdarījāt pareizi.

Izmantojot piemērus, es parādīju, kā jūs varat pārvērst decimāldaļu par parastu. Kā redzat, to izdarīt ir ļoti viegli un vienkārši.

Daļskaitli var pārvērst par veselu skaitli vai decimāldaļu. Nepareiza daļdaļa, kuras skaitītājs ir lielāks par saucēju un dalās ar to bez atlikuma, tiek pārvērsts par veselu skaitli, piemēram: 20/5. Sadaliet 20 ar 5 un iegūstiet skaitli 4. Ja daļskaitlis ir pareizs, tas ir, skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad pārveidojiet to par skaitli (decimālo daļu). Vairāk par frakcijām varat uzzināt mūsu sadaļā -.

Veidi, kā pārvērst daļu skaitļā

• Pirmais veids, kā pārvērst daļskaitli par skaitli, ir piemērots daļskaitlim, ko var pārvērst par skaitli, kas ir decimāldaļdaļa. Vispirms noskaidrosim, vai ir iespējams pārvērst doto daļu decimāldaļskaitlī. Lai to izdarītu, pievērsiet uzmanību saucējam (ciparam, kas atrodas zem līnijas vai pa labi no slīpā). Ja saucēju var sadalīt faktoros (mūsu piemērā - 2 un 5), kurus var atkārtot, tad šo daļskaitli patiešām var pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli. Piemēram: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Šī parastā daļdaļa tiks pārveidota par skaitli (decimāldaļskaitli) ar ierobežotu skaitu decimāldaļu. Bet daļskaitlis 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) tiks pārtulkots skaitļā ar bezgalīgu skaitu decimālzīmju. Tas ir, precīzi aprēķinot skaitlisko vērtību, ir diezgan grūti noteikt pēdējo decimālzīmi, jo šādas zīmes bezgalīgs komplekts. Tāpēc, lai atrisinātu problēmas, vērtība parasti ir jānoapaļo līdz simtdaļām vai tūkstošdaļām. Turklāt ir jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs ar tādu skaitli, lai saucējā būtu skaitļi 10, 100, 1000 utt. Piemēram: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Otrs veids, kā daļskaitli pārvērst skaitļā, ir vienkāršāks: skaitītājs jāsadala ar saucēju. Lai izmantotu šo metodi, mēs vienkārši veicam dalīšanu, un iegūtais skaitlis būs vēlamā decimāldaļdaļa. Piemēram, jums ir jāpārvērš daļa 2/15 par skaitli. Mēs sadalām 2 ar 15. Mēs iegūstam 0, 1333 ... - bezgalīgu daļu. Mēs to pierakstām šādi: 0.13(3). Ja daļa ir nepareiza, tas ir, skaitītājs ir lielāks par saucēju (piemēram, 345/100), tad, pārvēršot to skaitļā, jūs iegūstat veselu skaitli skaitliskā vērtība vai decimālskaitlis ar veselu daļskaitli. Mūsu piemērā tas būs 3,45. Lai jauktu daļskaitli, piemēram, 3 2/7, pārvērstu par skaitli, vispirms tas ir jāpārvērš par nepareizu daļskaitli: (3∙7+2)/7 =23/7. Tālāk mēs sadalām 23 ar 7 un iegūstam skaitli 3.2857143, kuru samazinām līdz 3.29.

Vienkāršākais veids, kā pārvērst daļskaitli par skaitli, ir izmantot kalkulatoru vai citu skaitļošanas ierīci. Vispirms norādām daļskaitļa skaitītāju, pēc tam nospiediet pogu ar ikonu "dalīt" un ierakstām saucēju. Pēc taustiņa "=" nospiešanas mēs iegūstam vajadzīgo numuru.