Apļa vienādojums. Apļa un taisnes vienādojums Parādiet, ka šis vienādojums tiešsaistē definē apli

Klase: 8

Nodarbības mērķis: iepazīstināt ar riņķa vienādojumu, iemācīt skolēniem sastādīt apļa vienādojumu pēc gatavā zīmējuma, uzbūvēt apli pēc dotā vienādojuma.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele.

Nodarbības plāns:

1. Organizatoriskais moments - 3 min.
2. Atkārtojums. Garīgās darbības organizēšana - 7 min.
3. Jaunā materiāla skaidrojums. Apļa vienādojuma atvasināšana - 10 min.
4. Izpētītā materiāla konsolidācija - 20 min.
5. Nodarbības kopsavilkums - 5 min.

Nodarbību laikā

2. Atkārtošana:

− (1. pielikums 2. slaids) pierakstiet formulu nogriežņa vidus koordinātu atrašanai;

− (3. slaids) Z uzrakstiet formulu attālumam starp punktiem (nozares garumu).

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

(4.–6. slaids) Definējiet apļa vienādojumu. Atvasiniet vienādojumus aplim, kura centrs ir punktā ( a;b) un centrēts uz izcelsmi.

(X – a ) 2 + (plkst – b ) 2 = R 2 − riņķa vienādojums ar centru NO (a;b) , rādiuss R , X un plkst – patvaļīga apļa punkta koordinātas .

X 2 + y 2 = R 2 ir apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā.

(7. slaids)

Lai uzrakstītu apļa vienādojumu, jums ir nepieciešams:

• zināt centra koordinātas;
• zināt rādiusa garumu;
• aizvietojiet centra koordinātas un rādiusa garumu apļa vienādojumā.

4. Problēmu risināšana.

Uzdevumos Nr.1 ​​- Nr.6 sastādiet apļa vienādojumus atbilstoši gatavajiem zīmējumiem.

(14. slaids)

№ 7. Aizpildiet tabulu.

(15. slaids)

№ 8. Izveidojiet apļus piezīmju grāmatiņā, izmantojot vienādojumus:

a) ( X – 5) 2 + (plkst + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (plkst– 7) 2 = 7 2 .

(16. slaids)

№ 9. Atrodiet centra koordinātas un rādiusa garumu, ja AB ir apļa diametrs.

Ņemot vērā:		Risinājums:
		R	Centra koordinātas
1	BET(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	BET(0; -6) AT(0 ; 2) NO(0 ; – 2) – centrs
2	BET(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	BET (-2;0) AT (4 ;0) NO(1 ; 0) – centrs

(17. slaids)

№ 10. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs iet caur punktu Uz(-12;5).

Risinājums.

R2 = Labi 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Apļa vienādojums: x 2 + y 2 = 169 .

(18. slaids)

№ 11. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kas iet caur sākuma punktu un kura centrs ir punktā NO(3; - 1).

Risinājums.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Apļa vienādojums: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19. slaids)

№ 12. Uzrakstiet apļa vienādojumu ar centru BET(3;2) iet cauri AT(7;5).

Risinājums.

1. Apļa centrs - BET(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Apļa vienādojums ( X – 3) 2 + (plkst − 2) 2 = 25.

(20. slaids)

№ 13. Pārbaudiet, vai punkti atrodas BET(1; -1), AT(0;8), NO(-3; -1) uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

Risinājums.

es. Nomainiet punkta koordinātas BET(1; -1) apļa vienādojumā:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - vienlīdzība ir nepareiza, kas nozīmē BET(1; -1) nemelo uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

II. Nomainiet punkta koordinātas AT(0;8) apļa vienādojumā:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)meli X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

III. Nomainiet punkta koordinātas NO(-3; -1) apļa vienādojumā:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - vienlīdzība ir patiesa, tātad NO(-3; -1) meli uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

Nodarbības kopsavilkums.

1. Atkārtojiet: apļa vienādojums, apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā.
2. (21. slaids) Mājasdarbs.

apkārtmērs ir plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Ja punkts C ir apļa centrs, R ir tā rādiuss un M ir patvaļīgs apļa punkts, tad pēc apļa definīcijas

Vienlīdzība (1) ir apļa vienādojums rādiuss R centrēts punktā C.

Pieņemsim taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu (104. att.) un punktu C ( a; b) ir apļa centrs ar rādiusu R. Pieņemsim М( X; plkst) ir patvaļīgs šī apļa punkts.

Kopš |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tad vienādojumu (1) var uzrakstīt šādi:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Vienādojumu (2) sauc vispārējais apļa vienādojums vai vienādojums aplim ar rādiusu R, kura centrs ir punktā ( a; b). Piemēram, vienādojums

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

ir vienādojums riņķim ar rādiusu R = 5, kura centrs atrodas punktā (1; -3).

Ja apļa centrs sakrīt ar izcelsmi, tad vienādojums (2) iegūst formu

x 2 + plkst 2 = R2. (3)

Vienādojumu (3) sauc apļa kanoniskais vienādojums .

1. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu aplim ar rādiusu R = 7, kura centrs ir sākuma punktā.

Tieši aizvietojot rādiusa vērtību vienādojumā (3), mēs iegūstam

x 2 + plkst 2 = 49.

2. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu aplim ar rādiusu R = 9, kura centrs ir punktā C(3; -6).

Formulā (2) aizstājot punkta C koordinātu vērtību un rādiusa vērtību, iegūstam

(X - 3) 2 + (plkst- (-6)) 2 = 81 vai ( X - 3) 2 + (plkst + 6) 2 = 81.

3. uzdevums. Atrodiet apļa centru un rādiusu

(X + 3) 2 + (plkst-5) 2 =100.

Salīdzinot šo vienādojumu ar vispārējo apļa vienādojumu (2), mēs to redzam a = -3, b= 5, R = 10. Tāpēc С(-3; 5), R = 10.

4. uzdevums. Pierādiet, ka vienādojums

x 2 + plkst 2 + 4X - 2y - 4 = 0

ir apļa vienādojums. Atrodiet tā centru un rādiusu.

Pārveidosim šī vienādojuma kreiso pusi:

x 2 + 4X + 4- 4 + plkst 2 - 2plkst +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (plkst - 1) 2 = 9.

Šis vienādojums ir apļa vienādojums, kura centrs ir (-2; 1); apļa rādiuss ir 3.

5. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kura centrs atrodas punktā C(-1; -1), kas skar taisni AB, ja A (2; -1), B(-1; 3).

Uzrakstīsim taisnes AB vienādojumu:

vai 4 X + 3y-5 = 0.

Tā kā aplis ir pieskares dotajai taisnei, tad saskares punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs šai taisnei. Lai atrastu rādiusu, jums jāatrod attālums no punkta C (-1; -1) - apļa centra līdz taisnei 4 X + 3y-5 = 0:

Uzrakstīsim vēlamā apļa vienādojumu

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Dots aplis taisnstūra koordinātu sistēmā x 2 + plkst 2 = R2. Apsveriet tā patvaļīgo punktu M( X; plkst) (105. att.).

Ļaujiet rādiusa vektoram OM> punkts M veido lieluma leņķi t ar O ass pozitīvo virzienu X, tad punkta M abscises un ordinātas mainās atkarībā no t

(0 t x un y cauri t, mēs atradām

x= Rcos t ; y= R grēks t , 0 t

Vienādojumus (4) sauc parametru vienādojumi riņķim, kura centrs ir sākuma punktā.

6. uzdevums. Aplis tiek dots ar vienādojumiem

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Uzrakstiet šī apļa kanonisko vienādojumu.

Tas izriet no nosacījuma x 2 = 3, jo 2 t, plkst 2 = 3 grēks 2 t. Saskaitot šīs vienādības pēc termiņa, mēs iegūstam

x 2 + plkst 2 = 3 (cos 2 t+ grēks 2 t)

vai x 2 + plkst 2 = 3

Nodarbības tēma: Apļa vienādojums

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši: Atvasināt riņķa vienādojumu, uzskatot šī uzdevuma risinājumu kā vienu no koordinātu metodes izmantošanas iespējām.

Būt spējīgam:

– Atzīt riņķa vienādojumu pēc piedāvātā vienādojuma, iemācīt skolēniem sastādīt apļa vienādojumu pēc gatavā zīmējuma, uzbūvēt apli pēc dotā vienādojuma.

Izglītojoši : Kritiskās domāšanas veidošanās.

Izglītojoši : Attīstīt prasmi veikt algoritmiskus priekšrakstus un spēju rīkoties saskaņā ar piedāvāto algoritmu.

Būt spējīgam:

– Skatiet problēmu un plānojiet tās risināšanas veidus.

– Apkopojiet savas domas mutiski un rakstiski.

Nodarbības veids: jaunu zināšanu asimilācija.

Aprīkojums Kabīne: dators, multimediju projektors, ekrāns.

Nodarbības plāns:

1. Atklāšanas runa - 3 min.

2. Zināšanu papildināšana - 2 min.

3. Problēmas izklāsts un tās risinājums -10 min.

4. Jaunā materiāla frontālais stiprinājums - 7 min.

5. Patstāvīgais darbs grupās - 15 min.

6. Darba prezentācija: diskusija - 5 min.

7. Nodarbības rezultāts. Mājas darbs - 3 min.

Nodarbību laikā

Šī posma mērķis: Skolēnu psiholoģiskais noskaņojums; Visu skolēnu iesaistīšana mācību procesā, veidojot veiksmes situāciju.

1. Laika organizēšana.

3 minūtes

Puiši! Jūs iepazināties ar apli 5. un 8. klasē. Ko tu par viņu zini?

Jūs zināt daudz, un šos datus var izmantot ģeometrisko uzdevumu risināšanā. Bet, lai atrisinātu problēmas, kurās tiek izmantota koordinātu metode, ar to nepietiek.Kāpēc?

Pilnīga taisnība.

Tāpēc šodienas nodarbības galvenais mērķis ir atvasināt riņķa vienādojumu no dotās taisnes ģeometriskajām īpašībām un pielietot to ģeometrisku uzdevumu risināšanai.

Ļaujiet tai ietnodarbības moto kļūs Vidusāzijas zinātnieka enciklopēdista Al-Biruni vārdi: “Zināšanas ir izcilākā no mantām. Visi uz to tiecas, bet tas nenāk pats no sevis.”

Ierakstiet nodarbības tēmu piezīmju grāmatiņā.

Apļa definīcija.

Rādiuss.

Diametrs.

Akords. utt.

Mēs vēl nezinām apļa vienādojuma vispārējo formu.

Studenti uzskaita visu, ko viņi zina par loku.

2. slaids

3. slaids

Posma mērķis ir gūt priekšstatu par materiāla apguves kvalitāti studentiem, noteikt pamatzināšanas.

2. Zināšanu atjaunināšana.

2 minūtes

Atvasinot riņķa vienādojumu jums būs nepieciešama jau zināmā apļa definīcija un formula, kas ļauj noteikt attālumu starp diviem punktiem pēc to koordinātām.Atcerēsimies šos faktus /Pmateriāla atkārtošana iepriekš studējis/:

– Pierakstiet formulu, kā atrast segmenta viduspunkta koordinātas.

– Pierakstiet formulu vektora garuma aprēķināšanai.

– Pierakstiet formulu attāluma starp punktiem noteikšanai (segmenta garums).

Notiek ierakstu rediģēšana...

Ģeometriskais treniņš.

Doti punktiA (-1; 7) unIn (7; 1).

Aprēķināt nogriežņa AB viduspunkta un tā garuma koordinātas.

Pārbauda izpildes pareizību, labo aprēķinus ...

Viens skolēns pie tāfeles, bet pārējie pieraksta formulas kladēs

Aplis ir ģeometriska figūra, kas sastāv no visiem punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no noteiktā punkta.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Aprēķināt: C (3; 4)

| AB | = 10

NO gulēja 4

5. slaids

3. Jaunu zināšanu veidošana.

12 minūtes

Mērķis: jēdziena - apļa vienādojuma veidošana.

Atrisiniet problēmu:

Aplis ar centru A(x; y) ir izveidots taisnstūra koordinātu sistēmā. M(x; y) - patvaļīgs apļa punkts. Atrodiet apļa rādiusu.

Vai jebkura cita punkta koordinātas apmierinās šo vienlīdzību? Kāpēc?

Kvadrātēsim abas vienādojuma puses.Rezultātā mums ir:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² ir apļa vienādojums, kur (x; y) ir apļa centra koordinātas, (x; y) ir patvaļīgas apļa vienādojums. punkts, kas atrodas uz apļa, r ir apļa rādiuss.

Atrisiniet problēmu:

Kāds būs apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā?

Tātad, kas jums jāzina, lai uzrakstītu apļa vienādojumu?

Iesakiet apļa vienādojuma sastādīšanas algoritmu.

Secinājums: ... ierakstiet piezīmju grāmatiņā.

Rādiuss ir segments, kas savieno apļa centru ar patvaļīgu punktu, kas atrodas uz apļa. Tāpēc r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Jebkurš apļa punkts atrodas uz šī apļa.

Skolēni raksta piezīmju grāmatiņās.

(0;0)-riņķa centra koordinātas.

x² + y² = r², kur r ir apļa rādiuss.

Apļa centra, rādiusa, jebkura apļa punkta koordinātas...

Viņi piedāvā algoritmu ...

Pierakstiet algoritmu piezīmju grāmatiņā.

6. slaids

7. slaids

8. slaids

Skolotājs uzraksta vienādojumu uz tāfeles.

9. slaids

4. Primārais stiprinājums.

23 minūtes

Mērķis:tikko uztvertā materiāla reproducēšana studentiem, lai novērstu izveidoto ideju un koncepciju zudumu. Jaunu zināšanu, ideju, koncepciju nostiprināšana, pamatojoties uz tāmlietojumprogrammas.

ZUN kontrole

Iegūtās zināšanas pielietosim šādu uzdevumu risināšanā.

Uzdevums: No piedāvātajiem vienādojumiem nosauciet skaitļus tiem, kas ir apļa vienādojumi. Un, ja vienādojums ir apļa vienādojums, tad nosauciet centra koordinātas un norādiet rādiusu.

Ne katrs otrās pakāpes vienādojums ar diviem mainīgajiem definē apli.

4x² + y² \u003d 4-elipses vienādojums.

x²+y²=0-punkts.

x² + y² \u003d -4-šis vienādojums nedefinē nevienu skaitli.

Puiši! Kas jums jāzina, lai uzrakstītu apļa vienādojumu?

Atrisiniet problēmu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).

Skolotājs aicina skolēnu pie tāfeles.

Vai uzdevuma nosacījumā norādītie dati ir pietiekami, lai izveidotu apļa vienādojumu?

Uzdevums:

Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs ir sākuma punktā un kura diametrs ir 8.

Uzdevums : zīmē apli.

Centram ir koordinātes?

Nosakiet rādiusu... un izveidojiet

Uzdevums 243. lpp (mācību grāmata) tiek saprasts mutiski.

Izmantojot problēmu risināšanas plānu no 243. lpp., atrisiniet uzdevumu:

Uzrakstiet vienādojumu riņķim, kura centrs ir punktā A(3;2), ja aplis iet caur punktu B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - apļa vienādojums; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - apļa vienādojums; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - apļa vienādojums; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- apļa vienādojums; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 nav apļa vienādojums.

6) x² + y² = 0- nav apļa vienādojums.

7) x² + y² = -4- nav apļa vienādojums.

Zināt apļa centra koordinātas.

Rādiusa garums.

Apļa vispārējā vienādojumā aizstājiet centra koordinātas un rādiusa garumu.

Atrisināt uzdevumu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).

Pietiekami daudz datu.

Viņi atrisina problēmu.

Tā kā apļa diametrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu, tad r=8÷2=4. Tāpēc x² + y² = 16.

Veikt apļu uzbūvi

Mācību grāmatu darbs. Uzdevums 243. lpp.

Dots: A (3; 2) - apļa centrs; В(7;5)є(А;r)

Atrast: riņķa vienādojums

Risinājums: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Atbilde: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

slaids 10-13

Tipisku problēmu risināšana, izrunājot risinājumu skaļā runā.

Skolotājs aicina vienu studentu pierakstīt iegūto vienādojumu.

Atgriezties uz 9. slaidu

Šīs problēmas risinājuma plāna apspriešana.

Slidkalniņš. piecpadsmit. Skolotājs aicina vienu skolēnu pie tāfeles, lai atrisinātu šo problēmu.

16. slaids.

17. slaids.

5. Nodarbības kopsavilkums.

5 minūtes

Aktivitāšu atspoguļošana klasē.

Mājas darbs: §3, 91. punkts, kontroljautājumi Nr.16,17.

Uzdevumi Nr.959(b,d,e),967.

Papildu novērtējuma uzdevums (problēmuzdevums): Izveidojiet apli, kas dots ar vienādojumu

x² + 2x + y² -4y = 4.

Par ko mēs runājām klasē?

Ko tu gribēji saņemt?

Kāds bija nodarbības mērķis?

Kādus uzdevumus var atrisināt mūsu "atklājums"?

Kurš no jums uzskata, ka esat sasniedzis stundā skolotāja izvirzīto mērķi par 100%, par 50%; nesasniedza mērķi...?

Novērtēšana.

Pierakstiet mājasdarbu.

Skolēni atbild uz skolotāja uzdotajiem jautājumiem. Veikt savas darbības pašnovērtējumu.

Studentiem vārdos jāizsaka rezultāts un veidi, kā to sasniegt.

Taisnes vienādojums plaknē

Vispirms ieviesīsim taisnes vienādojuma jēdzienu divdimensiju koordinātu sistēmā. Izveidosim patvaļīgu taisni $L$ Dekarta koordinātu sistēmā (1. att.).

1. attēls. Patvaļīga līnija koordinātu sistēmā

1. definīcija

Vienādojumu ar diviem mainīgajiem $x$ un $y$ sauc par taisnes $L$ vienādojumu, ja šo vienādojumu apmierina jebkura līnijai $L$ piederoša punkta koordinātas un neapmierina neviens punkts, kas nepieder pie līnijas. rinda $L.$

Apļa vienādojums

Atvasināsim riņķa vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā $xOy$. Lai apļa $C$ centram ir koordinātas $(x_0,y_0)$ un apļa rādiusam jābūt vienādam ar $r$. Lai punkts $M$ ar koordinātām $(x,y)$ ir patvaļīgs šī riņķa punkts (2. att.).

2. attēls. Aplis Dekarta koordinātēs

Attālumu no apļa centra līdz punktam $M$ aprēķina šādi

Bet, tā kā $M$ atrodas uz apļa, mēs iegūstam $CM=r$. Tad mēs iegūstam sekojošo

Vienādojums (1) ir vienādojums aplim, kura centrs atrodas punktā $(x_0,y_0)$ un rādiusā $r$.

Jo īpaši, ja apļa centrs sakrīt ar izcelsmi. Tad apļa vienādojumam ir forma

Taisnas līnijas vienādojums.

Atvasināsim taisnes $l$ vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā $xOy$. Ļaujiet punktiem $A$ un $B$ būt attiecīgi koordinātām $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ un $\(x_2,\ y_2\)$, bet punktiem $A$ un $B $ ir izvēlēti tā, lai līnija $l$ būtu perpendikulāra bisektrise segmentam $AB$. Izvēlamies patvaļīgu punktu $M=\(x,y\)$, kas pieder pie līnijas $l$ (3. att.).

Tā kā līnija $l$ ir perpendikulāra bisektrise segmentam $AB$, punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no šī segmenta galiem, tas ir, $AM=BM$.

Atrodiet šo malu garumus, izmantojot formulu attālumam starp punktiem:

sekojoši

Apzīmē ar $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Mēs iegūstam, ka taisnes vienādojumam Dekarta koordinātu sistēmā ir šāda forma:

Problēmas piemērs taisnu vienādojumu atrašanai Dekarta koordinātu sistēmā

1. piemērs

Atrodiet vienādojumu aplim, kura centrs ir punktā $(2,\ 4)$. Iziet cauri sākuma punktam un taisnei, kas ir paralēla $Ox,$ asij, kas iet caur tās centru.

Risinājums.

Vispirms atradīsim dotā apļa vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs izmantosim vispārējo apļa vienādojumu (atvasināts iepriekš). Tā kā apļa centrs atrodas punktā $(2,\ 4)$, mēs iegūstam

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Atrodiet apļa rādiusu kā attālumu no punkta $(2,\ 4)$ līdz punktam $(0,0)$

Mēs iegūstam apļa vienādojuma formu:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Tagad atradīsim apļa vienādojumu, izmantojot īpašu gadījumu 1. Iegūstam