Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu definē ar formulu. Formulas atvasinājumiem. Personiskās informācijas aizsardzība

11.11.2020

NO korektūras materiāli par tēmu "atvasinājums". Pamatskolas līmenis.
Teorētiskā informācija studentiem, skolotājiem un pasniedzējiem matemātikā. Lai palīdzētu nodarbībās.

Definīcija: funkcijas atvasinājumu punktā sauc par funkcijas pieauguma un mainīgā pieauguma attiecības robežu, tas ir

Matemātisko pamatfunkciju atvasinājumu tabula:

Atvasināto instrumentu aprēķināšanas noteikumi

Summas atvasinājums jebkuru divu izteiksmju summa ir vienāda ar šo izteiksmju atvasinājumu summu (summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu)

Atšķirības atvasinājums jebkuras divas izteiksmes ir vienāds ar šo terminu atvasinājumu starpību (starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību).

Produkta atvasinājums divi faktori ir vienādi ar pirmā faktora atvasinājuma reizinājumu ar otro plus pirmā faktora reizinājumu ar otrā faktora atvasinājumu (pēc kārtas ņemto faktoru atvasinājumu summa).
Matemātikas skolotāja komentārs: kad studentam īsās frāzēs atgādinu par reizinājuma atvasinājuma aprēķināšanas noteikumu, saku tā: pirmā faktora atvasinājums ar otro plusu insultu maiņa!

Koeficienta atvasinājums no divām izteiksmēm ir vienāds ar faktoru pārmaiņus ņemto atvasinājumu starpības un saucēja kvadrāta koeficientu.

Skaitļa un funkcijas reizinājuma atvasinājums. Lai atrastu skaitļa un burtiskas izteiksmes (funkcijas) reizinājuma atvasinājumu, šis skaitlis jāreizina ar šīs burtiskās izteiksmes atvasinājumu.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Lai aprēķinātu sarežģītas funkcijas atvasinājumu, jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums un jāreizina ar iekšējās funkcijas atvasinājumu.

Jūsu komentāri un atsauksmes par lapu ar atvasinājumiem:
Aleksandrs S.
Man ļoti vajadzēja galdu. Viens no visvairāk internetā. Liels paldies par paskaidrojumiem un noteikumiem. Vismaz vēl viens piemērs viņiem un vispār būtu lieliski. Vēlreiz paldies.

Kolpakovs A.N., matemātikas pasniedzējs: labi, drīz mēģināšu atjaunināt lapu ar piemēriem.

Virtuālā matemātikas uzziņu grāmata.
Kolpakovs Aleksandrs Nikolajevičs, matemātikas pasniedzējs.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.

Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716) bija pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā.

Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, bet tikai jāizmanto tabula. atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.

Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem insulta zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula ir dota pēc pirmajiem diviem piemēriem.

1. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.

No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "X" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir kosinuss. Mēs aizvietojam šīs vērtības atvasinājumu summā un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:

2. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Diferencēt kā summas atvasinājumu, kurā otro vārdu ar nemainīgu koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Ja joprojām ir jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie, kā likums, kļūst skaidri, izlasot atvasinājumu tabulu un vienkāršākos diferenciācijas noteikumus. Mēs tūlīt ejam pie viņiem.

Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula

1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr nulle. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži
2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "x". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties
3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes par jaudu.
4. Mainīgā atvasinājums pakāpē -1
5. Kvadrātsaknes atvasinājums
6. Sinusa atvasinājums
7.Kosinusa atvasinājums
8. Pieskares atvasinājums
9. Kotangensa atvasinājums
10.Arksīna atvasinājums
11. Loka kosinusa atvasinājums
12. Loka tangensa atvasinājums
13. Apgrieztās tangensas atvasinājums
14.Naturālā logaritma atvasinājums
15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
16. Eksponenta atvasinājums
17. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi

1. Summas vai starpības atvasinājums
2. Produkta atvasinājums
2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu
3. Koeficienta atvasinājums
4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

1. noteikumsJa funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī , tad tajā pašā punktā funkcijas

tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.

Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstanti, tad to atvasinājumi ir, t.i.

2. noteikumsJa funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad arī to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā

tie. divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.

Sekas 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Sekas 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.

Piemēram, trim reizinātājiem:

3. noteikumsJa funkcijas

kādā brīdī atšķirties un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējams.u/v , un

tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļu, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts .

Kur meklēt citās lapās

Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālajās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem ir atrodams rakstā."Produkta un koeficienta atvasinājums".

komentēt. Nevajadzētu jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Tā ir tipiska kļūda, kas rodas atvasinājumu izpētes sākumposmā, bet, tā kā vidusmēra students risina vairākus vienkomponentu piemērus, vidusmēra students šo kļūdu vairs nepieļauj.

Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šāds gadījums ir analizēts 10. piemērā) .

Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājumam. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums veltīts atsevišķam rakstam. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.

Pa ceļam neiztikt bez izteicienu transformācijām. Lai to izdarītu, iespējams, būs jāatver jaunās Windows rokasgrāmatas Darbības ar spējām un saknēm un Darbības ar daļskaitļiem .

Ja jūs meklējat risinājumus atvasinājumiem ar pilnvarām un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās kā , pēc tam sekojiet nodarbībai "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm".

Ja jums ir tāds uzdevums kā , tad jūs atrodaties nodarbībā "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi".

Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu

3. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs nosakām funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu un otras funkcijas atvasinājumu:

Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrais termins ar mīnusa zīmi. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad "x" pārvēršas par vienu, bet mīnus 5 - par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinājumu vērtības:

Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:

4. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:

Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:

Ja meklējat risinājumus tādām problēmām, kurās jāatrod funkcijas atvasinājums, kur ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, piemēram, tad laipni lūdzam klasē "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm" .

Ja jums ir nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , tad jums ir mācība "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .

5. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību mēs iegūstam:

6. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Saskaņā ar koeficienta diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:

Lai atbrīvotos no skaitītāja daļas, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .

Kas ir atvasinātā funkcija - tas ir galvenais matemātiskais jēdziens, analīzē ir vienā līmenī ar integrāļiem. Šī funkcija noteiktā punktā dod raksturlielumu funkcijas izmaiņu ātrumam noteiktā punktā.
Tādi jēdzieni kā diferenciācija un integrācija, pirmais apzīmē atvasinājuma atrašanas darbību, otrs, gluži pretēji, atjauno funkciju, sākot no šī atvasinājuma.
Atvasinātajiem aprēķiniem ir liela nozīme diferenciālos aprēķinos.
Ilustratīvā piemērā atvasinājumu attēlosim koordinātu plaknē.

funkcijā y \u003d f (x) mēs nofiksējam punktus M, kuros (x0; f (X0)) un N f (x0 +? x) katrai abscisai ir palielinājums formā? x. Pieaugums ir process, kad mainās abscisa, tad mainās arī ordinātas. Apzīmēts kā?
Atradīsim leņķa tangensu trijstūrī MPN, izmantojot punktus M un N.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

Ar x iet uz 0. Krustošanās MN tuvojas pieskarei MT un leņķim? būs?. Tāpēc, tg? maksimālā vērtība tg ?.

tg? = lim no?x-0 tg ? = lim no?x-0 ?y/?x

Atvasinājumu tabula

Ja izrunā katra formulējumu atvasinātās formulas. Tabulu būs vieglāk atcerēties.
1) Konstantas vērtības atvasinājums ir 0.
2) X ar sitienu ir vienāds ar vienu.
3) Ja ir konstants faktors, atvasinājumam vienkārši izņemam eo.
4) Lai atrastu atvasināto jaudu, šīs pakāpes eksponents jāreizina ar eksponentu ar tādu pašu bāzi, kurā eksponents ir par 1 mazāks.
5) Saknes atrašana ir dalīta ar 2 no šīm saknēm.
6) Atvasinājums, kas dalīts ar X, ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar X kvadrātā, ar mīnusa zīmi.
7) P sinuss ir vienāds ar kosinusu
8) P kosinuss ir vienāds ar sinusu ar mīnusa zīmi.
9) P tangenss ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar kosinusu kvadrātā.
10) P kotangenss ir vienāds ar vienu ar mīnusa zīmi, dalīts ar sinusu kvadrātā.

Diferencēšanā ir arī noteikumi, kurus arī ir vieglāk iemācīties, tos izrunājot skaļi.

1) Ļoti vienkārši terminu skaits ir vienāds ar to summu.
2) Reizināšanas atvasinājums ir vienāds ar pirmās vērtības reizināšanu ar otro, pieskaitot sev otrās vērtības reizinājumu ar pirmo.
3) Dalīšanas atvasinājums ir vienāds ar pirmās vērtības reizināšanu ar otro, atņemot no sevis otrās vērtības reizinājumu ar pirmo. Daļa dalīta ar otro vērtību kvadrātā.
4) Formulējums ir īpašs trešās formulas gadījums.

Šajā nodarbībā mēs turpinām pētīt funkciju atvasinājumus un pāriet uz sarežģītāku tēmu, proti, produkta un koeficienta atvasinājumiem. Ja skatījāties iepriekšējo nodarbību, jūs droši vien sapratāt, ka mēs ņēmām vērā tikai visvienkāršākās konstrukcijas, proti, pakāpju funkcijas atvasinājumu, summas un atšķirības. Jo īpaši mēs uzzinājām, ka summas atvasinājums ir vienāds ar to summu, un starpības atvasinājums ir vienāds ar to starpību. Diemžēl koeficienta un reizinājuma atvasinājumu gadījumā formulas būs daudz sarežģītākas. Sāksim ar funkciju reizinājuma atvasinājuma formulu.

Trigonometrisko funkciju atvasinājumi

Iesākumam atļaušos nelielu lirisku atkāpi. Fakts ir tāds, ka papildus standarta jaudas funkcijai - $y=((x)^(n))$, šajā nodarbībā būs arī citas funkcijas, proti, $y=\sin x$, kā arī $y =\ cos x$ un cita trigonometrija - $y=tgx$ un, protams, $y=ctgx$.

Ja mēs visi lieliski zinām jaudas funkcijas atvasinājumu, proti, $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, tad kā par trigonometriskajām funkcijām jāmin atsevišķi. Rakstīsim:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

Bet jūs ļoti labi zināt šīs formulas, iesim tālāk.

Kas ir produkta atvasinājums?

Pirmkārt, vissvarīgākā lieta: ja funkcija ir divu citu funkciju reizinājums, piemēram, $f\cdot g$, tad šīs konstrukcijas atvasinājums būs vienāds ar šādu izteiksmi:

Kā redzat, šī formula ievērojami atšķiras un ir sarežģītāka nekā iepriekš aplūkotās formulas. Piemēram, summas atvasinājums tiek uzskatīts par elementāru — $((\left(f+g \right)))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ vai starpības atvasinājums, ko arī uzskata par elementāru — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Mēģināsim izmantot pirmo formulu, lai aprēķinātu divu uzdevumu atvasinājumus, kas mums ir doti. Sāksim ar pirmo piemēru:

Ir skaidrs, ka šāda konstrukcija darbojas kā produkts, precīzāk, kā faktors: $((x)^(3))$, mēs varam uzskatīt par $f$, un $\left(x-5 \right) $ mēs varam uzskatīt par $g$. Tad viņu produkts būs tikai divu funkciju produkts. Mēs nolemjam:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \labais))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) pa labi))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(līdzināt)\].

Tagad sīkāk aplūkosim katru no mūsu noteikumiem. Mēs redzam, ka gan pirmais, gan otrais termins satur $x$ jaudu: pirmajā gadījumā tas ir $((x)^(2))$, bet otrajā tas ir $((x)^(3) )$. Izņemsim mazāko pakāpi no iekavām, tas paliks iekavās:

\[\begin(līdzināt)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2)) (4x-15) \\\beigas (līdzināt)\]

Viss, ko mēs atradām atbildi.

Mēs atgriežamies pie saviem uzdevumiem un cenšamies atrisināt:

Tātad pārrakstīsim:

Atkal mēs atzīmējam, ka mēs runājam par divu funkciju reizinājumu: $x$, ko var apzīmēt ar $f$, un $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, kas var apzīmē ar $g$.

Tādējādi mums atkal ir divu funkciju reizinājums. Lai atrastu funkcijas $f\left(x\right)$ atvasinājumu, mēs atkal izmantojam mūsu formulu. Mēs iegūstam:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(līdzināt)\]

Atbilde atrasta.

Kāpēc faktorizēt atvasinātos instrumentus?

Mēs tikko izmantojām dažus ļoti svarīgus matemātiskos faktus, kas paši par sevi nav saistīti ar atvasinājumiem, bet bez tiem nezinot, visa turpmākā šīs tēmas izpēte vienkārši nav jēga.

Pirmkārt, atrisinot pašu pirmo uzdevumu un jau atbrīvojoties no visām atvasinājumu pazīmēm, mēs nez kāpēc sākām ņemt vērā šo izteiksmi.

Otrkārt, risinot sekojošo uzdevumu, vairākas reizes no saknes uz pakāpi ar racionālu eksponentu un otrādi, izmantojot 8.-9.klases formulu, kas jāatkārto atsevišķi.

Par faktorizēšanu – kāpēc mums ir vajadzīgas visas šīs papildu pūles un pārvērtības? Faktiski, ja problēma vienkārši saka "atrast funkcijas atvasinājumu", šīs papildu darbības nav nepieciešamas. Tomēr reālās problēmās, kas jūs sagaida dažādos eksāmenos un ieskaitēs, ar atvasinājuma atrašanu bieži vien nepietiek. Fakts ir tāds, ka atvasinājums ir tikai rīks, ar kuru jūs varat uzzināt, piemēram, funkcijas palielinājumu vai samazinājumu, un šim nolūkam jums ir jāatrisina vienādojums, tas jāfaktorē. Un šeit šī tehnika būs ļoti piemērota. Un vispār ar funkciju, kas sadalīta faktoros, ir daudz ērtāk un patīkamāk strādāt nākotnē, ja ir nepieciešamas kādas transformācijas. Tāpēc noteikums numur 1: ja atvasinājumu var ņemt vērā, tas ir tieši tas, kas jums jādara. Un uzreiz noteikums numur 2 (patiesībā tas ir 8.-9.klases materiāls): ja sakne rodas problēmā n-th pakāpe, turklāt sakne ir nepārprotami lielāka par diviem, tad šo sakni var aizstāt ar parastu pakāpi ar racionālu eksponentu, un eksponentā parādīsies daļskaitlis, kur n- tāda pati pakāpe - būs šīs frakcijas saucējā.

Protams, ja zem saknes ir kāds grāds (mūsu gadījumā tas ir grāds k), tad tas nekur nepazūd, bet vienkārši parādās tieši šīs pakāpes skaitītājā.

Un tagad, kad jūs to visu saprotat, atgriezīsimies pie produkta atvasinājumiem un aprēķināsim vēl dažus vienādojumus.

Bet pirms pāriet tieši pie aprēķiniem, es vēlētos atgādināt šādus modeļus:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

Apsveriet pirmo piemēru:

Mums atkal ir divu funkciju reizinājums: pirmā ir $f$, otrā ir $g$. Ļaujiet man jums atgādināt formulu:

\[((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Izlemsim:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(līdzināt)\]

Pāriesim pie otrās funkcijas:

Atkal $\left(3x-2 \right)$ ir $f$ funkcija, $\cos x$ ir $g$ funkcija. Divu funkciju reizinājuma kopējais atvasinājums būs vienāds ar:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ pa kreisi(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(līdzināt)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime))\]

Rakstīsim atsevišķi:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(līdzināt)\]

Mēs neieskaitām šo izteiksmi faktoros, jo tā vēl nav galīgā atbilde. Tagad mums ir jāatrisina otrā daļa. Izrakstīsim to:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(līdzināt)\]

Un tagad mēs atgriežamies pie sava sākotnējā uzdevuma un apkopojam visu vienā struktūrā:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(līdzināt)\]

Tas ir viss, šī ir galīgā atbilde.

Pāriesim pie pēdējā piemēra – tas būs vissarežģītākais un aprēķinu ziņā apjomīgākais. Tātad piemērs:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Mēs uzskaitām katru daļu atsevišķi:

\[\begin(līdzināt)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

Atgriežoties pie sākotnējās funkcijas, mēs aprēķinām tās atvasinājumu kopumā:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

Tas patiesībā ir viss, ko es gribēju pastāstīt par darba atvasinājumiem. Kā redzat, formulas galvenā problēma nav tās iegaumēšana, bet gan tas, ka tiek iegūts diezgan liels aprēķinu apjoms. Bet tas ir labi, jo tagad mēs pārejam uz koeficienta atvasinājumu, kur mums ir ļoti smagi jāstrādā.

Kas ir koeficienta atvasinājums?

Tātad, koeficienta atvasinājuma formula. Varbūt šī ir visgrūtākā formula skolas atvasinājumu kursā. Pieņemsim, ka mums ir funkcija $\frac(f)(g)$, kur $f$ un $g$ arī ir funkcijas, kuras var būt arī nepabeigtas. Tad to aprēķina pēc šādas formulas:

Skaitītājs mums kaut kā atgādina reizinājuma atvasinājuma formulu, tomēr starp vārdiem ir mīnusa zīme un saucējam ir pievienots arī sākotnējā saucēja kvadrāts. Apskatīsim, kā tas darbojas praksē:

Mēģināsim atrisināt:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \labais))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Es ierosinu izrakstīt katru daļu atsevišķi un pierakstīt:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ pa labi))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\beigt(līdzināt)\]

Mēs pārrakstām savu izteiksmi:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(līdzināt)\]

Mēs esam atraduši atbildi. Pāriesim pie otrās funkcijas:

Spriežot pēc tā, ka tā skaitītājs ir tikai viens, šeit aprēķini būs nedaudz vienkāršāki. Tātad rakstīsim:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Saskaitīsim katru piemēra daļu atsevišķi:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \labais))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(līdzināt)\]

Mēs pārrakstām savu izteiksmi:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Mēs esam atraduši atbildi. Kā gaidīts, aprēķinu apjoms izrādījās ievērojami mazāks nekā pirmajai funkcijai.

Kāda ir atšķirība starp apzīmējumiem?

Uzmanīgajiem studentiem droši vien jau rodas jautājums: kāpēc dažos gadījumos funkciju apzīmējam kā $f\left(x \right)$, bet citos gadījumos vienkārši rakstām $y$? Faktiski no matemātikas viedokļa nav absolūti nekādas atšķirības - jums ir tiesības izmantot gan pirmo apzīmējumu, gan otro, un par eksāmeniem un ieskaitēm nebūs sodu. Tiem, kam vēl ir interese, paskaidrošu, kāpēc mācību grāmatu un uzdevumu autori dažos gadījumos raksta $f\left(x \right)$, bet citos (daudz biežāk) tikai $y$. Lieta tāda, ka, ierakstot funkciju formā \, mēs netieši dodam mājienu tam, kurš lasīs mūsu aprēķinus, ka mēs runājam par funkcionālās atkarības algebrisko interpretāciju. Tas ir, ir kāds mainīgais $x$, mēs apsveram atkarību no šī mainīgā un apzīmējam to $f\left(x \right)$. Tajā pašā laikā, redzot šādu apzīmējumu, tas, kurš lasīs jūsu aprēķinus, piemēram, verificētājs, neapzināti sagaidīs, ka nākotnē viņu gaida tikai algebriskas pārvērtības - ne grafiki, ne ģeometrija.

Savukārt, izmantojot formas \ apzīmējumu, t.i., apzīmējot mainīgo ar vienu vienīgu burtu, uzreiz saprotam, ka turpmāk mūs interesē tieši funkcijas ģeometriskā interpretācija, t.i., mūs interesē primāri savā grafikā. Attiecīgi, saskaroties ar ierakstu formā \, lasītājam ir tiesības sagaidīt grafiskus aprēķinus, t.i., grafikus, konstrukcijas utt., bet nekādā gadījumā analītiskas transformācijas.

Es arī vēlos pievērst jūsu uzmanību vienai to uzdevumu dizaina iezīmei, kurus mēs šodien apsveram. Daudzi studenti domā, ka es sniedzu pārāk detalizētus aprēķinus, un daudzi no tiem varētu tikt izlaisti vai vienkārši atrisināti manā galvā. Taču tieši tik detalizēts ieraksts ļaus atbrīvoties no aizskarošām kļūdām un būtiski palielināt pareizi atrisināto problēmu procentuālo daļu, piemēram, pašgatavošanās ieskaitēm vai eksāmeniem. Tāpēc, ja joprojām neesat pārliecināts par savām spējām, ja tikko sāciet pētīt šo tēmu, nesteidzieties - detalizēti aprakstiet katru soli, pierakstiet katru reizinātāju, katru sitienu, un pavisam drīz jūs uzzināsit, kā atrisināt šādus piemērus. labāk nekā daudzi skolas skolotāji. Es ceru, ka tas ir saprotams. Saskaitīsim vēl dažus piemērus.

Vairāki interesanti izaicinājumi

Šoreiz, kā redzam, aprēķināto atvasinājumu sastāvā ir trigonometrija. Tāpēc ļaujiet man jums atgādināt sekojošo:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(līdzināt )\]

Protams, mēs nevaram iztikt bez koeficienta atvasinājuma, proti:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Apsveriet pirmo funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\beigt(līdzināt)\]

Tātad mēs esam atraduši šīs izteiksmes risinājumu.

Pāriesim pie otrā piemēra:

Ir skaidrs, ka tā atvasinājums būs sarežģītāks tikai tāpēc, ka trigonometrija ir gan šīs funkcijas skaitītājā, gan saucējā. Mēs nolemjam:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Ņemiet vērā, ka mums ir produkta atvasinājums. Šajā gadījumā tas būs vienāds ar:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) pa labi))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(līdzināt)\]

Mēs atgriežamies pie saviem aprēķiniem. Mēs pierakstām:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]

Tas ir viss! Mēs saskaitījām.

Kā koeficienta atvasinājumu samazināt līdz vienkāršai produkta atvasinājuma formulai?

Un šeit es vēlos izteikt vienu ļoti svarīgu piezīmi par īpaši trigonometriskām funkcijām. Lieta ir tāda, ka mūsu sākotnējā konstrukcija satur izteiksmi formā $\frac(\sin x)(\cos x)$, kuru var viegli aizstāt tikai ar $tgx$. Tādējādi mēs reducēsim koeficienta atvasinājumu uz vienkāršāku produkta atvasinājuma formulu. Aprēķināsim šo piemēru vēlreiz un salīdzināsim rezultātus.

Tāpēc tagad mums jāapsver sekojošais:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Pārrakstīsim mūsu sākotnējo funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$, paturot prātā šo faktu. Mēs iegūstam:

Skaitīsim:

\[\begin(līdzināt)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right)) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt) \]

Tagad, ja salīdzināsim rezultātu ar to, ko ieguvām agrāk, aprēķinot citā veidā, tad mēs pārliecināsimies, ka mēs saņēmām tādu pašu izteiksmi. Tādējādi neatkarīgi no tā, uz kuru pusi mēs ietu, aprēķinot atvasinājumu, ja viss ir aprēķināts pareizi, tad atbilde būs vienāda.

Svarīgas nianses problēmu risināšanā

Nobeigumā es vēlos jums pastāstīt vēl vienu smalkumu, kas saistīts ar koeficienta atvasinājuma aprēķināšanu. Tas, ko es jums tagad pastāstīšu, nebija video pamācības oriģinālajā skriptā. Taču pāris stundas pirms filmēšanas es mācījos pie viena studenta, un mēs tikai kārtojām tēmu par koeficienta atvasinājumiem. Un, kā izrādījās, daudzi skolēni šo punktu nesaprot. Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāuzskaita šādas funkcijas unpirms:

Principā no pirmā acu uzmetiena tajā nav nekā pārdabiska. Tomēr aprēķinu procesā mēs varam pieļaut daudzas stulbas un aizvainojošas kļūdas, kuras es tagad vēlētos analizēt.

Tātad, mēs uzskatām šo atvasinājumu. Pirmkārt, ņemiet vērā, ka mums ir termins $3((x)^(2))$, tāpēc ir lietderīgi atcerēties šādu formulu:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Turklāt mums ir termins $\frac(48)(x)$ — mēs to aplūkosim, izmantojot koeficienta atvasinājumu, proti:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Tātad pieņemsim lēmumu:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3(x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Ar pirmo terminu problēmu nav, skatiet:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Bet ar pirmo terminu, $\frac(48)(x)$, jums ir jāstrādā atsevišķi. Fakts ir tāds, ka daudzi skolēni jauc situāciju, kad jāatrod $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ un kad jāatrod $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Tas ir, viņi tiek sajaukti, kad konstante atrodas saucējā un kad konstante atrodas skaitītājā, attiecīgi, ja mainīgais atrodas skaitītājā vai saucējā.

Sāksim ar pirmo iespēju:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

No otras puses, ja mēģinām darīt to pašu ar otro daļu, mēs iegūstam sekojošo:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(līdzināt)\]

Tomēr vienu un to pašu piemēru varētu aprēķināt citādi: posmā, kurā mēs pārgājām uz koeficienta atvasinājumu, $\frac(1)(x)$ varam uzskatīt par pakāpju ar negatīvu eksponentu, t.i., mēs iegūstam sekojošo. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-)) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(līdzināt)\]

Un tā, un tā mēs saņēmām to pašu atbildi.

Tādējādi mēs vēlreiz pārliecināmies par diviem svarīgiem faktiem. Pirmkārt, vienu un to pašu atvasinājumu var aprēķināt pilnīgi dažādos veidos. Piemēram, $((\left(\frac(48)(x) \right)))^(\prime ))$ var uzskatīt gan par koeficienta atvasinājumu, gan kā pakāpju funkcijas atvasinājumu. Turklāt, ja visi aprēķini tiek veikti pareizi, atbilde vienmēr būs vienāda. Otrkārt, aprēķinot atvasinājumus, kas satur gan mainīgo, gan konstanti, ir būtiski svarīgi, kur mainīgais atrodas - skaitītājā vai saucējā. Pirmajā gadījumā, kad mainīgais ir skaitītājā, mēs iegūstam vienkāršu lineāru funkciju, kas vienkārši skaita. Un, ja mainīgais ir saucējā, tad mēs iegūstam sarežģītāku izteiksmi ar iepriekš sniegtajiem pavadošajiem aprēķiniem.

Šo nodarbību var uzskatīt par pabeigtu, tāpēc, ja jūs kaut ko nesaprotat par privātpersonas vai produkta atvasinājumiem un patiešām, ja jums ir kādi jautājumi par šo tēmu, nevilcinieties - apmeklējiet manu vietni, rakstiet, zvaniet un es noteikti mēģināšu, vai varu jums palīdzēt.

Paši atvasinājumi nekādā ziņā nav grūts temats, bet ļoti apjomīgs, un tas, ko mēs šobrīd pētām, tiks izmantots nākotnē, risinot sarežģītākas problēmas. Tāpēc visus pārpratumus, kas saistīti ar koeficienta vai reizinājuma atvasinājumu aprēķiniem, labāk identificēt uzreiz, tieši tagad. Nevis tad, kad tie ir milzīga pārpratumu sniega pika, bet gan tad, kad tie ir maza tenisa bumbiņa, ar kuru ir viegli tikt galā.