Pētnieciskais darbs "pīķa formula". Pīķa formula planimetrijas skolas kursā

Starkova Kristiņa, 8.B klases skolniece

Darbā apskatīta Picka teorēma un tās pierādījums.

Tiek apskatītas daudzstūru laukuma atrašanas problēmas

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

VISPĀRĒJĀS UN PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS NODAĻA

ČAIKOVSKA PAŠVALDĪBAS RAJONA ADMINISTRĀCIJA

PĒRMAS REĢIONS

VI PAŠVALDĪBAS IZPĒTES KONFERENCE
STUDENTI

Pašvaldības autonomā vispārējās izglītības iestāde

"11. vidusskola"

SADAĻA: MATEMĀTIKA

Picka formulas pielietojums

8. "B" klases skolnieks

MAOU vidusskola №11 Čaikovska

Vadītājs: Batueva L, N.,

Matemātikas skolotāja MAOU vidusskola №11

Čaikovskis

2012. gads

I. Ievads……………………………………………………. 2

II. Pīķa formula

2.1. Režģi. Mezgli……………………………………………….4

2.2.Daudzstūra triangulācija……………………………5

2.3. Picka teorēmas pierādījums…………………………6

2.4. Daudzstūru laukumu izpēte…………9

2.5. Secinājums…………………………………………………..12

III.Ģeometriskās problēmas ar praktisko saturu ... 13

IV. Secinājums…………………………………………………..14

V. Izmantotās literatūras saraksts………………………..16

1. Ievads

Aizraušanās ar matemātiku bieži sākas ar domāšanu par problēmu. Tātad, pētot tēmu "Daudzstūru laukumi", radās jautājums, vai ir uzdevumi, kas atšķiras no ģeometrijas mācību grāmatās aplūkotajiem uzdevumiem. Tie ir uzdevumi uz rūtainā papīra. Mums radās jautājumi: kāda ir šādu uzdevumu īpatnība, vai tādi ir īpašas metodes un uzdevumu risināšanas paņēmieni uz rūtainā papīra. Redzot šādus uzdevumus kontrolē un mērīšanā LIETOT materiālus un GIA, nolēma noteikti izpētīt uzdevumus uz rūtainā papīra, kas saistīti ar attēlotās figūras laukuma atrašanu.

Sāku pētīt literatūru, interneta resursus par šo tēmu. Šķiet, ka aizraujošo var atrast rūtainā plaknē, tas ir, uz nebeidzama papīra, kas ievilkts identiskos kvadrātos? Nespried pārsteidzīgi. Izrādās, ar rūtainu papīru saistītie uzdevumi ir visai dažādi. Iemācījos aprēķināt daudzstūru laukumus, kas uzzīmēti uz rūtainas papīra lapas. Daudziem uzdevumiem uz papīra būrī nav vispārīgu risināšanas noteikumu, īpašu metožu un paņēmienu. Tas ir viņu īpašums, kas nosaka to vērtību nespecifiska attīstībai mācīšanās prasme jeb prasme, bet kopumā spēja domāt, reflektēt, analizēt, meklēt analoģijas, tas ir, šie uzdevumi attīsta domāšanas prasmes to plašākajā nozīmē.

Mēs definējām:

Pētījuma objekts: uzdevumi uz rūtainā papīra

Studiju priekšmets: uzdevumi daudzstūra laukuma aprēķināšanai uz rūtaina papīra, to risināšanas metodes un paņēmieni.

Pētījuma metodes: modelēšana, salīdzināšana, vispārināšana, analoģijas, literāro un interneta resursu izpēte, informācijas analīze un klasifikācija.

1. Pētījuma mērķis:Atvasiniet un pārbaudiet formulas ģeometrisko formu laukumu aprēķināšanai, izmantojot Peak formulu

Lai sasniegtu šo mērķi, mēs piedāvājam atrisināt sekojošo uzdevumi:

1. Izvēlieties nepieciešamo literatūru
2. Izvēlēties materiālu pētniecībai, izvēlēties galveno, interesanto, saprotamo informāciju
3. Analizēt un sakārtot saņemto informāciju
4. Atrast dažādas metodes un uzdevumu risināšanas paņēmieni uz rūtainā papīra
5. Izveidojiet elektronisku darba prezentāciju, lai iepazīstinātu ar savākto materiālu klasesbiedrus

dažādi uzdevumi uz papīra kastītē, to "izklaide", trūkums vispārīgie noteikumi un risināšanas metodes skolēniem rada grūtības to apsvēršanā

1. Hipotēze:. Attēla laukums, kas aprēķināts pēc Pick formulas, ir vienāds ar figūras laukumu, kas aprēķināts pēc planimetrijas formulas.

Risinot uzdevumus uz rūtainā papīra, mums ir nepieciešama ģeometriskā iztēle un diezgan vienkārša ģeometriskā informācija, kas ir zināma visiem.

II. Pīķa formula

2.1. Režģi. Mezgli.

Aplūkosim plaknē divas paralēlu līniju saimes, kas sadala plakni vienādos kvadrātos; visu šo taisnu krustpunktu kopu sauc par punktu režģi vai vienkārši režģi, bet pašus punktus sauc par režģa mezgliem.

Daudzstūra iekšējie mezgli - sarkans.

Mezgli uz daudzstūra virsmām - zils.

Lai novērtētu daudzstūra laukumu uz rūtainā papīra, pietiek ar to, lai aprēķinātu, cik šūnu šis daudzstūris aptver (šūnas laukumu mēs ņemam kā vienību). Precīzāk, ja S ir daudzstūra laukums, B ir šūnu skaits, kas pilnībā atrodas daudzstūra iekšpusē, un G ir šūnu skaits, kurām ir vismaz viens kopīgs punkts ar daudzstūra iekšpusi.

Mēs apskatīsim tikai tādus daudzstūrus, kuru visas virsotnes atrodas rūtainā papīra mezglos - tajos, kur krustojas režģa līnijas.

Jebkura uz rūtainā papīra uzzīmēta trijstūra laukumu var viegli aprēķināt, attēlojot to kā taisnleņķa trijstūri un taisnstūri, kuru malas seko režģa līnijām, kas iet caur zīmētā trijstūra virsotnēm, laukumu summu vai starpību.

2.2. Daudzstūra triangulācija

Jebkuru daudzstūri ar virsotnēm režģa mezglos var triangulēt - sadalīt "vienkāršos" trīsstūros.

Ļaujiet plaknē dot kādu daudzstūri un kādu ierobežotu kopu Uz punkti, kas atrodas daudzstūra iekšpusē un uz tā robežas (turklāt visas daudzstūra virsotnes pieder kopai UZ ).

Triangulācija ar virsotnēm Uz sauc par sadalīšanu dots daudzstūris trijstūrī ar kopas virsotnēm Uz tā, lai katrs punkts iekšā Uz kalpo kā virsotne katram no tiem triangulācijas trijstūriem, kuriem šis punkts pieder (tas ir, punktiem no Uz neietilpst trīsstūru iekšpusē vai malās, att. 1.37).

Rīsi. 1.37

2. teorēma. a) Jebkurš n -gon var sagriezt pa diagonālēm trīsstūros, un trīsstūru skaits būs vienāds ar n – 2 (šis nodalījums ir triangulācija ar virsotnēm virsotnēs n-gon).

Apsveriet nedeģenerētu vienkāršu veselu skaitļu daudzstūri (tas ir, tas ir savienots — jebkurus divus tā punktus var savienot ar nepārtrauktu līkni, kas pilnībā atrodas tajā, un visām tā virsotnēm ir vesela skaitļa koordinātas, tā robeža ir savienota polilīnija bez paškrustojumi, un tā laukums nav nulle) .

Lai aprēķinātu šāda daudzstūra laukumu, varat izmantot šādu teorēmu:

2.3. Picka teorēmas pierādījums.

Lai B ir veselu skaitļu punktu skaits daudzstūra iekšpusē, Г ir veselu skaitļu punktu skaits uz tā robežas,- tā platība. Tad Pick formula: S=V+G2-1

Piemērs. Daudzstūrim attēlā B=23 (dzelteni punkti), D=7, (zili punkti, neaizmirsīsim virsotnes!), tāpēckvadrātveida vienības.

Pirmkārt, ņemiet vērā, ka Picka formula ir patiesa vienības kvadrātam. Patiešām, šajā gadījumā mums ir B=0, D=4 un.

Apsveriet taisnstūri ar malām, kas atrodas uz režģa līnijām. Lai tā malu garums ir vienāds un . Šajā gadījumā mums ir B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, tad pēc Pick formulas

Apsveriet tagad taisnleņķa trīsstūri ar kājām, kas atrodas uz koordinātu asīm. Šādu trīsstūri iegūst no taisnstūra ar malām un , aplūkots iepriekšējā gadījumā, nogriežot to pa diagonāli. Ļaujiet viņiem gulēt uz diagonālesveseli punkti. Tad par šo gadījums B \u003d a-1) b-1, 2 G = G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 un mēs to iegūstam4) Tagad apsveriet patvaļīgu trīsstūri. To var iegūt, nogriežot vairākus taisnleņķa trijstūrus un, iespējams, taisnstūri no taisnstūra (skat. attēlus). Tā kā Picka formula ir patiesa gan taisnstūrim, gan taisnleņķa trijstūrim, mēs iegūstam, ka tā būs patiesa arī patvaļīgam trīsstūrim.

Atliek spert pēdējo soli: pāriet no trijstūriem uz daudzstūriem. Jebkuru daudzstūri var sadalīt trīsstūros (piemēram, pēc diagonālēm). Tāpēc mums vienkārši jāpierāda, ka, pievienojot jebkuru trīsstūri patvaļīgam daudzstūrim, Picka formula paliek patiesa. Ļaujiet daudzstūrim un trīsstūris ir kopīga puse. Pieņemsim, ka priekšPicka formula ir derīga, mēs pierādīsim, ka tā būs patiesa daudzstūrim, kas iegūts no pievienojot . Kopš un ir kopīga mala, tad visi veseli skaitļi, kas atrodas šajā pusē, izņemot divas virsotnes, kļūst par jaunā daudzstūra iekšējiem punktiem. Virsotnes būs robežpunkti. Apzīmēsim skaitli kopīgi punkti cauri un iegūstiet B=MT=BM+BT+c-2 - jaunā daudzstūra iekšējo veselo skaitļu punktu skaits, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - jaunā daudzstūra robežpunktu skaits. No šīm vienādībām mēs iegūstam: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Tā kā mēs esam pieņēmuši, ka teorēma ir patiesa un priekš atsevišķi, tad S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2-1)+B(T)+GT2-1)=(B(M)+ B(T))+(GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22-2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Tādējādi tiek pierādīta Picka formula.

2.4. Daudzstūru laukumu izpēte.

2) Attēlots uz rūtaina papīra ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm trijstūris. Atrodi tā laukumu kvadrātcentimetros.
Bilde	Saskaņā ar ģeometrijas formulu	Pēc Picka formulas
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3∙ 1 = 1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G = 3; V = 0. S=0+3/2-1=0,5

3) Uz rūtainā papīra ir attēlots kvadrāts ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm. Atrodiet tā laukumu kvadrātcentimetros.
Bilde	Saskaņā ar ģeometrijas formulu	Pēc Picka formulas
	S=a∙b KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN = 1/2 ∙ 3 ∙ 3 = 4,5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S= V+G2-1 D = 14; W = 19. S=18+14/2-1=24

4) Attēlots uz rūtaina papīra ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm
Bilde	Saskaņā ar ģeometrijas formulu	Pēc Picka formulas
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 kv.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm²	S= V+G2-1 D = 5; V = 31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) Uz rūtaina papīra ar šūnām 1 cm x 1 cm četri kvadrāti. Atrodiet tā laukumu kvadrātcentimetros.
	S = a b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S = 28+ 182 -1 = 36 cm 2
6) Attēlots uz rūtaina papīra ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm četri kvadrāti. Atrodiet tā laukumu kvadrātcentimetros
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S= V+G2-1 D = 18; W = 28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) Attēlots uz rūtaina papīra ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm četri kvadrāti. Atrodiet tā laukumu kvadrātcentimetros
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Kvadrāts = 9² = 81 cm² S=81-4,5-18-4,5-18=36cm²	S= V+G2-1 D = 18; W = 28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) Attēlots uz rūtaina papīra ar šūnām, kuru izmēri ir 1 cm x 1 cm četri kvadrāti. Atrodiet tā laukumu kvadrātcentimetros
Bilde	Saskaņā ar ģeometrijas formulu	Pēc Picka formulas
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 S3 = 12ah = 1/2 ∙ 8 ∙ 2 = 8 S4 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 1 = 2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 D = 16; W = 17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Secinājums

1. Salīdzinot rezultātus tabulās un pierādot Picka teorēmu, nonācu pie secinājuma, ka pēc Picka formulas aprēķinātās figūras laukums ir vienāds ar figūras laukumu, kas aprēķināts, izmantojot atvasināto planimetrijas formulu.

Tātad mana hipotēze izrādījās pareiza.

III.Ģeometriskās problēmas ar praktisko saturu.

Pick formula mums palīdzēs arī atrisināt ģeometriskas problēmas ar praktisku saturu.

9. uzdevums. Atrodiet apgabalu meža zeme(m²), attēlots uz plāna ar kvadrātveida režģi 1 × 1 (cm) mērogā no 1 cm līdz 200 m (10. att.)

Lēmums.

Rīsi. 10 V \u003d 8, G = 7. S = 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Atbilde: 420 000 m²

10. uzdevums . Atrodiet lauka laukumu (m²), kas attēlots uz plāna ar kvadrātveida režģi 1 × 1 (cm) mērogā no 1 cm līdz 200 m. (11. att.)

Lēmums. Atradīsim S četrstūra laukumu, kas attēlots uz rūtainā papīra, izmantojot Peak formulu: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S = 7 + 4/2 - 1 = 8 (cm²)

Rīsi. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)

Atbilde: 320 000 m²

Secinājums

Pētījuma procesā studēju uzziņu, populārzinātnisko literatūru, mācījos darboties Programmā Piezīmju grāmatiņa. Es to uzzināju

Problēma par daudzstūra laukuma atrašanu ar virsotnēm režģa mezglos iedvesmoja austriešu matemātiķi Picu 1899. gadā pierādīt brīnišķīgo Pick formulu.

Darba rezultātā es paplašināju zināšanas par uzdevumu risināšanu uz rūtainā papīra, noteicu sev pētāmo problēmu klasifikāciju un pārliecinājos par to daudzveidību.

Iemācījos aprēķināt daudzstūru laukumus, kas uzzīmēti uz rūtainas lapas.Apskatītie uzdevumi ir atšķirīgs līmenis grūtības - no vienkāršas līdz olimpiādei. Ikviens starp tiem var atrast izpildāmas sarežģītības līmeņa uzdevumus, no kuriem sākot, varēs pāriet uz sarežģītāku risināšanu.

Nonācu pie secinājuma, ka tēma, kas mani interesēja, ir diezgan daudzpusīga, uzdevumi uz rūtainā papīra ir daudzveidīgi, arī to risināšanas metodes un paņēmieni ir daudzveidīgi. Tāpēc es nolēmu turpināt darbu šajā virzienā.

Literatūra

1. Ģeometrija uz rūtainā papīra. Mazais MEHMAT MSU.

2. Žarkovskaja N. M., Riss E. A. Rūtainā papīra ģeometrija. Picka formula // Matemātika, 2009, 17.nr., 1. lpp. 24-25.

3. Uzdevumi atvērta banka uzdevumi matemātikā FIPI, 2010 - 2011.g

4.V.V.Vavilovs,A.V.Ustinovs.Daudzstūri uz režģiem.M.MTsNMO,2006.

5. Tematiskās studijas.etüüdes.ru

6. L.S.Atanasjans, V.F. Butuzovs, S.B. Kadomcevs un citi. Ģeometrija. 7-9 klases. M. Apgaismība, 2010

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Esmu 6. klases skolniece. Ģeometriju sāku mācīties kopš pagājušā gada, jo skolā mācos, izmantojot mācību grāmatu “Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija”, ko rediģēja E.A. Bunimovičs, L.V.Kuzņecova, S.S. Minaeva un citi.

Manu vislielāko uzmanību piesaistīja tēmas "Figūru kvadrāti", "Formulu sastādīšana". Ievēroju, ka vienādu figūru laukumus var atrast Dažādi ceļi. Ikdienā mēs bieži saskaramies ar apgabala atrašanas problēmu. Piemēram, atrodiet krāsojamo grīdas laukumu. Tas ir kuriozi, galu galā, lai iegādātos nepieciešamo tapešu daudzumu remontam, ir jāzina telpas izmēri, t.i. sienas laukums. Kvadrāta, taisnstūra un taisnleņķa trīsstūra laukuma aprēķināšana man nesagādāja nekādas grūtības.

Ieinteresēts par šo tēmu, sāku meklēt papildus materiālus internetā. Meklēšanas rezultātā es uzgāju Pick formulu - tā ir formula daudzstūra laukuma aprēķināšanai, kas uzzīmēta uz rūtainā papīra. Platības aprēķināšana, izmantojot šo formulu, man šķita pieejama jebkuram studentam. Tāpēc es nolēmu pētnieciskais darbs.

Tēmas atbilstība:

Šī tēma ir ģeometrijas kursa apguves papildinājums un padziļinājums.

Šīs tēmas apgūšana palīdzēs labāk sagatavoties olimpiādēm un eksāmeniem.

Mērķis:

Iepazīstieties ar Pick formulu.

Apgūstiet ģeometrisko uzdevumu risināšanas paņēmienus, izmantojot Pick formulu.

Sistematizēt un vispārināt teorētiskos un praktiskos materiālus.

Pētījuma mērķi:

Pārbaudiet formulas pielietošanas efektivitāti un lietderību problēmu risināšanā.

Uzziniet, kā lietot Pick formulu dažādas sarežģītības problēmām.

Salīdziniet problēmas, kas atrisinātas, izmantojot Pick formulu un tradicionālo veidu.

Galvenā daļa

1.1. Vēstures atsauce

Georgs Aleksandrs Pikks ir austriešu matemātiķis, dzimis 1859. gada 10. augustā. Viņš bija apdāvināts bērns, viņu mācīja viņa tēvs, kurš vadīja privātu institūtu. 16 gadu vecumā Georgs absolvēja vidusskolu un iestājās Vīnes Universitātē. 20 gadu vecumā viņš saņēma tiesības mācīt fiziku un matemātiku. Daudzstūru režģa laukuma noteikšanas formula viņam atnesa pasaules slavu. Viņš publicēja savu formulu rakstā 1899. gadā. Tas kļuva populārs, kad poļu zinātnieks Hugo Steinhaus 1969. gadā iekļāva to matemātisko attēlu publikācijā.

Georgs Pīks ieguva izglītību Vīnes Universitātē un pabeidza doktora grādu 1880. gadā. Pēc doktora grāda iegūšanas viņš tika iecelts par Ernesta Maha asistentu Šerla-Ferdinanda universitātē Prāgā. Tur viņš kļuva par skolotāju. Viņš palika Prāgā līdz aiziešanai pensijā 1927. gadā un pēc tam atgriezās Vīnē.

Pikks vadīja Vācijas Prāgas universitātes komiteju, kas 1911. gadā iecēla Einšteinu par matemātiskās fizikas profesoru.

Viņš tika ievēlēts par Čehijas Zinātņu un mākslas akadēmijas locekli, bet tika izslēgts pēc nacistu pārņemšanas Prāgā.

Kad 1938. gada 12. martā nacisti ienāca Austrijā, viņš atgriezās Prāgā. 1939. gada martā nacisti iebruka Čehoslovākijā. 1942. gada 13. jūlijā Pikks tika deportēts uz Terēzenštates nometni, ko nacisti izveidoja Bohēmijas ziemeļos, kur viņš nomira divas nedēļas vēlāk 82 gadu vecumā.

1.2. Pētījumi un pierādījumi

Es sāku savu pētniecisko darbu, uzdodot jautājumu: kādus figūru laukumus es varu atrast? Es varētu izveidot formulu dažādu trīsstūru un četrstūru laukuma aprēķināšanai. Bet kā ir ar pieciem, sešiem un vispār ar daudzstūriem?

Veicot pētījumus dažādās vietās, es redzēju piecu, sešu un citu daudzstūru laukuma aprēķināšanas problēmu risinājumus. Šo problēmu risināšanas formulu sauca par Picka formulu. Viņa izskatās šādi :S =B+G/2-1, kur AT- mezglu skaits, kas atrodas daudzstūra iekšpusē, G- mezglu skaits, kas atrodas uz daudzstūra robežas. Šīs formulas īpatnība ir tāda, ka to var attiecināt tikai uz daudzstūriem, kas uzzīmēti uz rūtainā papīra.

Jebkuru šādu daudzstūri var viegli sadalīt trīsstūros, kuru virsotnes atrodas režģa mezglos un nesatur mezglus ne iekšpusē, ne sānos. Var parādīt, ka visu šo trīsstūru laukumi ir vienādi un vienādi ar ½, un tāpēc daudzstūra laukums ir vienāds ar pusi no to skaita T.

Lai atrastu šo skaitli, mēs apzīmējam ar n daudzstūra malu skaitu, ar AT- mezglu skaits tajā, cauri G ir mezglu skaits sānos, ieskaitot virsotnes. Visu trīsstūru kopējā leņķu summa ir 180°. T.

Tagad atradīsim summu citā veidā.

Leņķu summa ar virsotni jebkurā iekšējā mezglā ir 2,180°, t.i. kopējā leņķu summa ir 360°. AT; kopējā leņķu summa mezglos sānos, bet ne virsotnēs ir ( kungs n)180°, un leņķu summa daudzstūra virsotnēs būs vienāda ar ( G-2)180°. Tādējādi T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Paplašinot iekavas un dalot ar 360°, mēs iegūstam daudzstūra laukuma S formulu, kas pazīstama kā Picka formula.

2. Praktiskā daļa

Es nolēmu pārbaudīt šo formulu uzdevumiem no OGE-2017 kolekcijas. Es veicu uzdevumus, lai aprēķinātu trīsstūra, četrstūra un piecstūra laukumu. Nolēmu salīdzināt atbildes, risinot divos veidos: 1) pievienoju figūras taisnstūrim un no iegūtā taisnstūra laukuma atņēmu taisnleņķa trijstūra laukumu; 2) pielietoja Peak formulu.

S = 18-1,5-4,5 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 un S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 un S = 43+14/2-1 = 49

Salīdzinot rezultātus, secinu, ka abas formulas sniedz vienu un to pašu atbildi. Figūras laukuma atrašana, izmantojot Peak formulu, izrādījās ātrāka un vienkāršāka, jo bija mazāk aprēķinu. Vienkārša lēmuma pieņemšana un laika ietaupījums aprēķiniem man noderēs nākotnē, nokārtojot OGE.

Tas mani pamudināja pārbaudīt iespēju piemērot Pick formulu sarežģītākām figūrām.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Secinājums

Pick formula ir viegli saprotama un viegli lietojama. Pirmkārt, pietiek ar to, lai varētu skaitīt, dalīt ar 2, pievienot un atņemt. Otrkārt, jūs varat atrast apgabalu un sarežģītu figūru, netērējot daudz laika. Treškārt, šī formula darbojas jebkuram daudzstūrim.

Trūkums ir tāds, ka Pick Formula ir piemērojama tikai tām figūrām, kuras ir uzzīmētas uz rūtainā papīra un virsotnes atrodas uz šūnu mezgliem.

Esmu pārliecināts, ka, nokārtojot gala eksāmenus, problēmas ar skaitļu laukuma aprēķināšanu nesagādās grūtības. Galu galā es jau zinu ar Pick formulu.

Bibliogrāfija

Bunimovičs E.A., Dorofejevs G.V., Suvorova S.B. utt. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 5. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai organizācijas ar lietotni. uz elektronu. pārvadātājs -3.izd.-M.: Apgaismība, 2014.- 223, lpp. : slim. - (Sfēras).

Bunimovičs E.A., Kuzņecova L.V., Minaeva S.S. utt. Matemātika. Aritmētika. Ģeometrija. 6. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai organizācijas-5.izd.-M.: Izglītība, 2016.-240.gadi. : slim.- (Sfēras).

Vasiļjevs N.B. Ap Pick formulu. //Kvants.- 1974.-№2. -39.-43.lpp

Rassolovs V.V. Problēmas planimetrijā. / 5. izd., labots. Un papildus. - M.: 2006.-640.gadi.

I.V. Jaščenko. OGE. Matemātika: tipiskās eksāmenu iespējas: O-39 36 iespējas - M .: Tautas izglītības apgāds, 2017. -240 lpp. - (OGE. FIPI-skola).

"Es atrisināšu OGE": matemātika. Dmitrija Guščina apmācības sistēma. OGE-2017: uzdevumi, atbildes, risinājumi [ Elektroniskais resurss]. Piekļuves režīms: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Piekļuve 2017.02.04.)

Bibliogrāfiskais apraksts: Tatjaņenko A. A., Tatjaņenko S. A. Uz rūtainā papīra attēloto figūru laukumu aprēķins // Jaunais zinātnieks. - 2016. - Nr. 3..03.2019).



Gatavojoties galvenajam valsts eksāmens Es tikos ar uzdevumiem, kuros ir jāaprēķina uz rūtainas papīra lapas attēlotās figūras laukums. Parasti šie uzdevumi nesagādā lielas grūtības, ja figūra ir trapece, paralelograms vai trīsstūris. Pietiek zināt šo skaitļu laukumu aprēķināšanas formulas, saskaitīt šūnu skaitu un aprēķināt laukumu. Ja figūra ir kāds patvaļīgs daudzstūris, tad šeit ir jāizmanto īpaši triki. Man radās interese šī tēma. Protams, radās jautājumi: kur iekšā Ikdiena vai var rasties problēmas aprēķināt laukumus uz rūtainā papīra? Kas ir īpašs šādos uzdevumos? Vai ir kādas citas metodes vai universāla formula uz rūtainā papīra attēloto ģeometrisko formu laukumu aprēķināšanai?

Speciālās literatūras un interneta avotu izpēte parādīja, ka pastāv universāla formula, kas ļauj aprēķināt uz šūnas attēlotās figūras laukumu. Šo formulu sauc par Picka formulu. Taču skolas mācību programmas ietvaros šī formula netiek ņemta vērā, neskatoties uz tās lietošanas ērtumu un rezultātu iegūšanu. Turklāt es veicu draugu un klasesbiedru aptauju (divos veidos: personiskā sarunā un iekšā sociālie tīkli), kurā piedalījās 43 skolēni no Tobolskas pilsētas skolām. Šī aptauja parādīja, ka tikai viens cilvēks (11. klases skolēns) ir iepazinies ar Peak formulu platību aprēķināšanai.

Dota taisnstūra koordinātu sistēma. Šajā sistēmā apsveriet daudzstūri, kuram ir veselas koordinātas. AT izglītojoša literatūra punktus ar veselu skaitļu koordinātām sauc par mezgliem. Turklāt daudzstūrim nav jābūt izliektam. Un lai tiek prasīts noteikt tā platību.

Ir iespējami šādi gadījumi.

1. Attēls ir trīsstūris, paralelograms, trapecveida forma:

1) saskaitot šūnas, jāatrod augstums, diagonāles vai malas, kas nepieciešamas laukuma aprēķināšanai;

2) aizvietojiet atrastās vērtības laukuma formulā.

Piemēram, jūs vēlaties aprēķināt 1. attēlā redzamā attēla laukumu ar šūnas izmēru 1 x 1 cm.

Rīsi. 1. Trīsstūris

Lēmums. Mēs saskaitām šūnas un atrodam: . Saskaņā ar formulu mēs iegūstam: .

2 Figūra ir daudzstūris

Ja figūra ir daudzstūris, tad ir iespējams izmantot šādas metodes.

Sadalīšanas metode:

1) sadalīt daudzstūri trīsstūros, taisnstūros;

2) aprēķina iegūto skaitļu laukumus;

3) atrod visu iegūto figūru laukumu summu.

Piemēram, ir jāaprēķina 2. attēlā redzamā attēla laukums ar šūnas izmēru 1 cm x 1 cm, izmantojot sadalīšanas metodi.

Rīsi. 2. Daudzstūris

Lēmums. Ir daudz veidu, kā sadalīt. Mēs sadalīsim figūru taisnie trīsstūri un taisnstūri, kā parādīts 3. attēlā.

Rīsi. 3. Daudzstūris. Sadalīšanas metode

Trīsstūru laukumi ir: , , , taisnstūra laukums ir . Saskaitot visu skaitļu laukumus, mēs iegūstam:

Papildu būvniecības metode

1) pabeidziet figūru līdz taisnstūrim

2) atrodiet iegūto papildu figūru laukumus un paša taisnstūra laukumu

3) no taisnstūra laukuma atņemiet visu "papildu" figūru laukumus.

Piemēram, ir jāaprēķina 2. attēlā redzamā attēla laukums ar šūnas izmēru 1 cm x 1 cm, izmantojot papildu konstrukcijas metodi.

Lēmums. Veidosim savu figūru taisnstūrī, kā parādīts 4. attēlā.

Rīsi. 4. Daudzstūris. Papildinājuma metode

Lielā taisnstūra laukums ir , taisnstūris, kas atrodas iekšpusē - , "papildu" trīsstūru laukumi - , , tad vēlamās figūras laukums ir .

Aprēķinot daudzstūru laukumus uz rūtainā papīra, var izmantot citu metodi, ko sauc par Pick formulu pēc zinātnieka vārda, kurš to atklājis.

Pīķa formula

Lai uz rūtainā papīra uzzīmētajam daudzstūrim ir tikai veselas virsotnes. Punktus, kuriem abas koordinātas ir veseli skaitļi, sauc par režģa mezgliem. Turklāt daudzstūris var būt gan izliekts, gan neizliekts.

Daudzstūra laukums ar veselām virsotnēm ir , kur B ir veselu skaitļu punktu skaits daudzstūra iekšpusē, un Г ir veselu skaitļu punktu skaits uz daudzstūra robežas.

Piemēram, daudzstūrim, kas parādīts 5. attēlā.

Rīsi. 5. Mezgli Picka formulā

Piemēram, jūs vēlaties aprēķināt 2. attēlā redzamā attēla laukumu ar šūnas izmēru 1 cm x 1 cm, izmantojot Pick formulu.

Rīsi. 6. Daudzstūris. Pīķa formula

Lēmums. Saskaņā ar 6. attēlu: V=9, G=10, tad pēc Peak formulas mums ir:

Tālāk ir sniegti dažu autora izstrādātu uzdevumu piemēri uz rūtainā papīra attēloto figūru laukumu aprēķināšanai.

1. Iekšā bērnudārzs bērni veidoja pieteikumus saviem vecākiem kā dāvanu (7. att.). Atrodiet pielietojuma jomu. Katras šūnas izmērs ir 1cm 1cm.

Rīsi. 7. 1. problēmas stāvoklis

2. Viens hektārs egļu audžu gadā var saturēt līdz 32 tonnām putekļu, priede - līdz 35 tonnām, goba - līdz 43 tonnām, ozols - līdz 50 tonnām.Dižskābardis - līdz 68 tonnām Aprēķiniet, cik tonnas no putekļiem egļu mežs izturēs pēc 5 gadiem. Egļu meža plāns parādīts 8. attēlā (mērogā 1 cm - 200 m).

Rīsi. 8. 2. problēmas stāvoklis

3. Hantu un mansu ornamentos dominē ģeometriski motīvi. Bieži vien ir stilizēti dzīvnieku attēli. 9. attēlā redzams mansu ornamenta fragments "Zaķa ausis". Aprēķiniet ornamenta iekrāsotās daļas laukumu.

Rīsi. 9. 3. problēmas stāvoklis

4. Nepieciešams krāsot rūpnīcas ēkas sienu (10. att.). Aprēķiniet nepieciešamo ūdens bāzes krāsas daudzumu (litros). Krāsas patēriņš: 1 litrs uz 7 kv. metri Mērogs 1cm - 5m.

Rīsi. 10. 4. problēmas stāvoklis

5. Zvaigznes daudzstūris - plakana ģeometriska figūra, kas sastāv no trīsstūrveida stariem, kas izplūst no kopējais centrs saplūšana konverģences punktā. īpašu uzmanību ir pelnījis piecstaru zvaigzne- pentagramma. Pentagramma ir pilnības, inteliģences, gudrības un skaistuma simbols. Šī ir visvienkāršākā zvaigznes forma, kuru var attēlot ar vienu pildspalvas vēzienu, nekad nenoraujot to no papīra un tajā pašā laikā nekad neejot pa vienu līniju. Uzzīmējiet piecstaru zvaigzni, nepaceļot zīmuli no rūtainas papīra lapas, lai visi iegūtā daudzstūra stūri atrastos šūnas mezglos. Aprēķiniet iegūtā attēla laukumu.

Pēc matemātiskās literatūras analīzes un analīzes liels skaits Piemēri par pētījuma tēmu nonācu pie secinājuma, ka metodes izvēle figūras laukuma aprēķināšanai uz rūtainā papīra ir atkarīga no figūras formas. Ja figūra ir trīsstūris, taisnstūris, paralelograms vai trapecveida forma, tad laukumu aprēķināšanai ir ērti izmantot labi zināmās formulas. Ja figūra ir izliekts daudzstūris, tad ir iespējams izmantot gan sadalīšanas metodi, gan saskaitīšanas metodi (vairumā gadījumu saskaitīšanas metode ir ērtāka). Ja figūra ir neizliekta vai zvaigznes formas daudzstūris, tad ērtāk ir izmantot Pick formulu.

Tā kā Picka formula ir universāla formula laukumu aprēķināšanai (ja daudzstūra virsotnes atrodas režģa punktos), tad to var izmantot jebkurai formai. Taču, ja daudzstūris aizņem pietiekami lielu laukumu (vai šūnas ir mazas), tad režģa mezglu aprēķinos ir liela varbūtība pieļaut kļūdu. Kopumā pētījuma gaitā nonācu pie secinājuma, ka, risinot šādas problēmas in OGE ir labāks izmantojiet tradicionālās metodes (nodalījumus vai papildinājumus) un pārbaudiet rezultātu, izmantojot Pick formulu.

Literatūra:

1. Vavilovs VV, Ustinovs AV Daudzstūri uz režģiem. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 lpp.
2. Vasiļjevs I. N. Around the Pick formula// Populārs zinātniskais fizikālais un matemātiskais žurnāls "Kvant". - 1974. - Nr. 12. Piekļuves režīms: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Žarkovskaja N., Riss E. Rūtainā papīra ģeometrija. Pīķa formula. // Pirmais septembris. Matemātika. - 2009. - Nr.23. - 24.,25.lpp.

Vikivārdnīcā ir ieraksts par "pika" Pika Militārajās lietās: Pika aukstā pīrsinga ierocis, gara šķēpa veids. Pikemen ir kājnieku veids Eiropas armijās 16. gadsimtā un 18. gadsimta sākumā. Pickelhelm (p ... Wikipedia

Picka teorēma (kombinatoriskā ģeometrija)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picka teorēma ir klasisks kombinatoriskās ģeometrijas un skaitļu ģeometrijas rezultāts. Daudzstūra laukums ar veselu skaitli ... Wikipedia

Trīsstūris- Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet trīsstūris (nozīmes). Trijstūris (Eiklīda telpā) ir ģeometriska figūra, ko veido trīs līniju segmenti, kas savieno trīs nelineārus punktus. Trīs punkti, ... ... Vikipēdija

Trapece- Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet Trapece (nozīmes). Trapece (no citas grieķu valodas τραπέζιον "tabula"; ... Wikipedia

Četrstūris- QUADRANDLES ┌─────────────┼───────────────────pašsavienošanās...

Bigons- Regulārs digons uz sfēras virsmas Digons ģeometrijā ir ... Wikipedia

Pentagons- Regulārs piecstūris (piecstūris) Piecstūris ir daudzstūris ar pieciem stūriem. Jebkuru šīs formas objektu sauc arī par piecstūri. Iekšējo ... Wikipedia apjoms

Sešstūris- Regulārs sešstūris Sešstūris ir daudzstūris ar sešiem stūriem. Jebkuru šīs formas objektu sauc arī par sešstūri. Izliekta sešstūra iekšējo leņķu summa p ... Wikipedia

Dodecagon- Pareizi divstūris Dodecagon (grieķu ... Wikipedia

Taisnstūris Paralelograma taisnstūris, kurā visi leņķi ir taisnleņķi (vienāds ar 90 grādiem). Piezīme. Eiklīda ģeometrijā, lai četrstūris būtu taisnstūris, pietiek ar to, ka vismaz trīs tā stūri ir taisni. Ceturtais stūris (pamatojoties uz ... Wikipedia

Grāmatas

• Plato efekts. Kā pārvarēt stagnāciju un virzīties tālāk, Salivan, B.
• Matemātikas klubs "Ķengurs". Izdevums Nr.8. Matemātika uz rūtainā papīra,. Izdevums veltīts dažādiem uzdevumiem un spēlēm saistībā ar rūtainā papīra loksni. Jo īpaši tas detalizēti aplūko daudzstūra laukuma aprēķināšanu, kura virsotnes atrodas…

Daudzstūri bez paškrustojumiem sauc par režģa daudzstūri, ja visas tā virsotnes atrodas punktos ar veselām koordinātām (Dekarta koordinātu sistēmā).

Picka teorēma

Formula

Dots kāds režģa daudzstūris ar laukumu, kas nav nulle.

Apzīmēsim tās laukumu ar ; punktu skaits ar veseliem skaitļiem, kas atrodas tieši poligona iekšpusē; punktu skaits ar veseliem skaitļiem koordinātām, kas atrodas daudzstūra malās.

Tad attiecības sauca Pick formula:

Jo īpaši, ja kādam daudzstūrim ir zināmas I un B vērtības, tad tā laukumu var aprēķināt kā , pat nezinot tā virsotņu koordinātas.

Šo sakarību atklāja un pierādīja austriešu matemātiķis Georgs Aleksandrs Picks 1899. gadā.

Pierādījums

Pierādījums tiek veikts vairākos posmos: no vienkāršākajām figūrām līdz patvaļīgiem daudzstūriem:

Vispārināšana uz augstākām dimensijām

Diemžēl šī vienkāršā un skaistā Picka formula nav labi vispārināma augstākām dimensijām.

To skaidri parādīja Rīvs, kurš 1957. gadā ierosināja apsvērt tetraedra (tagad saukta Rīva tetraedrs) ar šādām virsotnēm:

kur ir jebkurš naturāls skaitlis. Tad šis tetraedrs jebkuram nesatur nevienu punktu ar veselu skaitļu koordinātām, un uz tā robežas ir tikai četri punkti , , , un neviens cits. Tādējādi šī tetraedra tilpums un virsmas laukums var būt atšķirīgs, savukārt punktu skaits iekšpusē un uz robežas nemainās; tāpēc Picka formula nepieļauj vispārinājumus pat trīsdimensiju gadījumā.

Neskatoties uz to, joprojām pastāv kāds līdzīgs vispārinājums augstākas dimensijas telpām Erharta polinomi(Ehrhart Polynomial), taču tie ir ļoti sarežģīti un ir atkarīgi ne tikai no punktu skaita figūras iekšpusē un malā.