Šajā rakstā jūs un es sāksim diskusiju par vienu "burvju nūjiņu", kas ļaus jums samazināt daudzas ģeometrijas problēmas līdz vienkāršai aritmētikai. Šis "zizlis" var ievērojami atvieglot jūsu dzīvi, it īpaši, ja jūtaties nedroši, veidojot telpiskas figūras, griezumus utt. Tas viss prasa zināmu iztēli un praktiskas iemaņas. Metode, kuru mēs šeit sāksim apsvērt, ļaus gandrīz pilnībā abstrahēties no visa veida ģeometriskām konstrukcijām un argumentācijas. Metode tiek saukta "koordinātu metode". Šajā rakstā mēs apsvērsim šādus jautājumus:

1. Koordinātu plakne
2. Punkti un vektori uz plaknes
3. Vektora veidošana no diviem punktiem
4. Vektora garums (attālums starp diviem punktiem).
5. Viduspunkta koordinātas
6. Vektoru punktu reizinājums
7. Leņķis starp diviem vektoriem

Es domāju, ka jūs jau uzminējāt, kāpēc koordinātu metodi tā sauc? Taisnība, ka tas ieguva šādu nosaukumu, jo tas nedarbojas ar ģeometriskiem objektiem, bet gan ar to skaitliskiem raksturlielumiem (koordinātām). Un pati transformācija, kas ļauj pāriet no ģeometrijas uz algebru, ir koordinātu sistēmas ieviešana. Ja sākotnējā figūra bija plakana, tad koordinātas ir divdimensiju, un, ja figūra ir trīsdimensiju, tad koordinātas ir trīsdimensiju. Šajā rakstā mēs apskatīsim tikai divdimensiju gadījumu. Un raksta galvenais mērķis ir iemācīt izmantot dažus koordinātu metodes pamatmetodes (tie dažkārt izrādās noderīgi, risinot planimetrijas uzdevumus vienotā valsts eksāmena B daļā). Nākamās divas sadaļas par šo tēmu ir veltītas C2 problēmu (stereometrijas problēma) risināšanas metožu apspriešanai.

Kur būtu loģiski sākt apspriest koordinātu metodi? Droši vien ar koordinātu sistēmas jēdzienu. Atcerieties, kad pirmo reizi viņu satikāt. Man šķiet, ka 7. klasē, kad uzzinājāt par lineāras funkcijas esamību, piemēram. Ļaujiet man jums atgādināt, ka jūs to veidojāt punktu pa punktam. Vai tu atceries? Jūs izvēlējāties patvaļīgu skaitli, aizstājāt to formulā un aprēķinājāt šādā veidā. Piemēram, ja, tad, ja, tad utt. Ko jūs ieguvāt rezultātā? Un jūs saņēmāt punktus ar koordinātām: un. Pēc tam jūs uzzīmējāt “krustu” (koordinātu sistēmu), izvēlējāties tajā mērogu (cik šūnu jums būs vienā segmentā) un atzīmējāt tajā iegūtos punktus, kurus pēc tam savienojāt ar taisnu līniju, iegūto līniju ir funkcijas grafiks.

Ir dažas lietas, kas jums jāpaskaidro nedaudz sīkāk:

1. Ērtības labad izvēlaties vienu segmentu, lai viss skaisti un kompakti iekļautos attēlā

2. Tiek pieņemts, ka ass virzās no kreisās puses uz labo, un ass iet no apakšas uz augšu

3. Tie krustojas taisnā leņķī, un to krustošanās punktu sauc par izcelsmi. Tas ir atzīmēts ar burtu.

4. Punkta koordinātas ierakstā, piemēram, pa kreisi iekavās ir norādīta punkta koordināte pa asi, bet labajā pusē pa asi. Jo īpaši, vienkārši nozīmē, ka punkts

5. Lai iestatītu jebkuru punktu uz koordinātu ass, jānorāda tā koordinātas (2 cipari)

6. Jebkuram punktam, kas atrodas uz ass,

7. Jebkuram punktam, kas atrodas uz ass,

8. Asi sauc par x asi

9. Asi sauc par y asi

Tagad veiksim nākamo soli ar jums: atzīmējiet divus punktus. Savienojiet šos divus punktus ar līniju. Un novietosim bultiņu tā, it kā mēs zīmētu segmentu no punkta uz punktu: tas ir, mēs padarīsim savu segmentu virzītu!

Atcerieties, kāds cits ir virzītā segmenta nosaukums? Tieši tā, to sauc par vektoru!

Tādējādi, ja mēs savienojam punktu ar punktu, un sākums būs punkts A, un beigas būs punkts B, tad mēs iegūstam vektoru. Šo konstrukciju tu arī darīji 8. klasē, atceries?

Izrādās, ka vektorus, tāpat kā punktus, var apzīmēt ar diviem skaitļiem: šos skaitļus sauc par vektora koordinātām. Jautājums: vai, jūsuprāt, mums pietiek zināt vektora sākuma un beigu koordinātas, lai atrastu tā koordinātas? Izrādās, ka jā! Un tas ir ļoti vienkārši izdarāms:

Tādējādi, tā kā vektorā punkts ir sākums un beigas, vektoram ir šādas koordinātas:

Piemēram, ja, tad vektora koordinātas

Tagad darīsim pretējo, atradīsim vektora koordinātas. Kas mums šajā nolūkā ir jāmaina? Jā, jums ir jāsamaina sākums un beigas: tagad vektora sākums būs punktā, bet beigas - punktā. Pēc tam:

Paskatieties uzmanīgi, kāda ir atšķirība starp vektoriem un? Viņu vienīgā atšķirība ir zīmes koordinātēs. Viņi ir pretēji. Šis fakts ir uzrakstīts šādi:

Dažkārt, ja nav konkrēti norādīts, kurš punkts ir vektora sākums, kurš beigu punkts, tad vektori tiek apzīmēti nevis ar diviem lielajiem burtiem, bet gan ar vienu mazo burtu, piemēram:, utt.

Tagad nedaudz prakse un atrodiet šādu vektoru koordinātas:

Pārbaude:

Tagad atrisiniet problēmu nedaudz grūtāk:

Vektora torus ar on-cha-lūžņu punktā ir co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su punktus.

Tas viss ir diezgan prozaisks: Ļaujiet būt punkta koordinātas. Tad

Es sastādīju sistēmu, nosakot, kādas ir vektora koordinātas. Tad punktam ir koordinātas. Mūs interesē abscisa. Tad

Atbilde:

Ko vēl jūs varat darīt ar vektoriem? Jā, gandrīz viss ir tāpat kā ar parastajiem skaitļiem (izņemot to, ka jūs nevarat dalīt, bet jūs varat reizināt divos veidos, no kuriem vienu mēs šeit apspriedīsim nedaudz vēlāk)

1. Vektorus var sakraut vienu ar otru
2. Vektorus var atņemt vienu no otra
3. Vektorus var reizināt (vai dalīt) ar patvaļīgu skaitli, kas nav nulle
4. Vektorus var reizināt savā starpā

Visām šīm darbībām ir diezgan vizuāls ģeometrisks attēlojums. Piemēram, trīsstūra (vai paralelograma) noteikums saskaitīšanai un atņemšanai:

Vektors stiepjas vai saraujas vai maina virzienu, ja to reizina vai dala ar skaitli:

Tomēr šeit mūs interesēs jautājums par to, kas notiek ar koordinātām.

1. Saskaitot (atņemot) divus vektorus, saskaitām (atņemam) to koordinātas elementam pa elementam. T.i.:

2. Reizinot (dalot) vektoru ar skaitli, visas tā koordinātes reizina (dala) ar šo skaitli:

Piemēram:

· Atrodi-di-ko-or-di-nat gadsimta-to-ra summu.

Vispirms noskaidrosim katra vektora koordinātas. Abiem ir viena un tā pati izcelsme – sākuma punkts. Viņu gali ir atšķirīgi. Tad,. Tagad mēs aprēķinām vektora koordinātas Tad iegūtā vektora koordinātu summa ir vienāda ar.

Atbilde:

Tagad pats atrisiniet šādu problēmu:

· Atrodiet vektora koordinātu summu

Mēs pārbaudām:

Tagad apskatīsim šādu problēmu: mums ir divi punkti koordinātu plaknē. Kā atrast attālumu starp tiem? Ļaujiet pirmajam punktam būt un otrajam. Apzīmēsim attālumu starp tiem kā . Skaidrības labad izveidosim šādu zīmējumu:

Ko es esmu izdarījis? Es, pirmkārt, savienoju punktus un, kā arī no punkta novilku taisni paralēli asij, un no punkta novilku taisni paralēli asij. Vai tie krustojās kādā punktā, veidojot brīnišķīgu figūru? Kāpēc viņa ir brīnišķīga? Jā, jūs un es zinām gandrīz visu par taisnleņķa trīsstūri. Nu, Pitagora teorēma, protams. Vēlamais segments ir šī trīsstūra hipotenūza, un segmenti ir kājas. Kādas ir punkta koordinātas? Jā, tos ir viegli atrast no attēla: Tā kā segmenti ir paralēli asīm un attiecīgi to garumi ir viegli atrodami: ja mēs apzīmējam segmentu garumus, attiecīgi, cauri, tad

Tagad izmantosim Pitagora teorēmu. Mēs zinām kāju garumus, atradīsim hipotenūzu:

Tādējādi attālums starp diviem punktiem ir saknes summa no koordinātām atšķirību kvadrātā. Vai arī - attālums starp diviem punktiem ir tos savienojošā segmenta garums. Ir viegli redzēt, ka attālums starp punktiem nav atkarīgs no virziena. Pēc tam:

No tā mēs izdarām trīs secinājumus:

Mazliet trenēsimies, kā aprēķināt attālumu starp diviem punktiem:

Piemēram, ja, tad attālums starp un ir

Vai arī iesim savādāk: atrodiet vektora koordinātas

Un atrodiet vektora garumu:

Kā redzat, tas ir tas pats!

Tagad nedaudz trenējieties pats:

Uzdevums: atrast attālumu starp dotajiem punktiem:

Mēs pārbaudām:

Šeit ir vēl dažas problēmas tai pašai formulai, lai gan tās izklausās nedaudz savādāk:

1. Find-di-te plakstiņa-to-ra garuma kvadrātu.

2. Nai-di-te kvadrāts no plakstiņu garuma līdz ra

Es domāju, ka jūs varat ar tiem viegli tikt galā? Mēs pārbaudām:

1. Un tas ir uzmanības labad) Mēs jau esam atraduši vektoru koordinātas iepriekš: . Tad vektoram ir koordinātas. Tā garuma kvadrāts būs:

2. Atrodiet vektora koordinātas

Tad tā garuma kvadrāts ir

Nekas sarežģīts, vai ne? Vienkārša aritmētika, nekas vairāk.

Sekojošās mīklas nevar viennozīmīgi klasificēt, tās drīzāk paredzētas vispārējai erudīcijai un spējai zīmēt vienkāršus attēlus.

1. Atrodiet-di-tos leņķa sinusus uz-klo-on-no-izgriezt, savienojiet vienu-n-to punktu ar abscisu asi.

un

Kā mēs to darīsim šeit? Jums jāatrod sinusa leņķim starp un asi. Un kur mēs varam meklēt sinusu? Tieši tā, taisnleņķa trijstūrī. Tātad, kas mums jādara? Uzbūvē šo trīsstūri!

Tā kā punkta koordinātas un, tad segments ir vienāds, un segments. Mums jāatrod leņķa sinuss. Atgādināšu, ka sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu

Kas mums atliek darīt? Atrodiet hipotenūzu. To var izdarīt divos veidos: izmantojot Pitagora teorēmu (kājas ir zināmas!) vai izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem (faktiski tāda pati kā pirmajā metodē!). Es iešu otro ceļu:

Atbilde:

Nākamais uzdevums tev šķitīs vēl vienkāršāks. Viņa - uz punkta koordinātām.

2. uzdevums. No punkta per-pen-di-ku-lar ir nolaists uz abs-ciss asi. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Izveidosim zīmējumu:

Perpendikula pamatne ir punkts, kurā tas krustojas ar x asi (asi), man tas ir punkts. Attēlā redzams, ka tam ir koordinātas: . Mūs interesē abscisa - tas ir, "X" sastāvdaļa. Viņa ir līdzvērtīga.

Atbilde: .

3. uzdevums. Iepriekšējā uzdevuma apstākļos atrodiet attālumu summu no punkta līdz koordinātu asīm.

Uzdevums parasti ir elementārs, ja zināt, kāds ir attālums no punkta līdz asīm. Jūs zināt? Ceru, bet tomēr atgādinu:

Tātad savā zīmējumā, kas atrodas nedaudz augstāk, es jau esmu attēlojis vienu šādu perpendikulu? Kāda ass tā ir? uz asi. Un kāds tad ir tā garums? Viņa ir līdzvērtīga. Tagad pats uzzīmējiet perpendikulu asij un atrodiet tā garumu. Būs vienlīdzīgi, vai ne? Tad to summa ir vienāda.

Atbilde: .

4. uzdevums. 2. uzdevuma apstākļos atrodiet punkta ordinātu, kas ir simetrisks punktam ap x asi.

Es domāju, ka jūs intuitīvi saprotat, kas ir simetrija? Tas ir ļoti daudziem objektiem: daudzām ēkām, galdiem, plaknēm, daudzām ģeometriskām formām: bumbiņai, cilindram, kvadrātam, rombam utt. Aptuveni runājot, simetriju var saprast šādi: figūra sastāv no divām (vai vairākām) identiskas pusītes. Šo simetriju sauc par aksiālu. Kas tad ir ass? Tieši šī ir līnija, pa kuru, nosacīti runājot, figūru var “sagriezt” identiskās uz pusēm (šajā attēlā simetrijas ass ir taisna):

Tagad atgriezīsimies pie mūsu uzdevuma. Mēs zinām, ka mēs meklējam punktu, kas ir simetrisks pret asi. Tad šī ass ir simetrijas ass. Tātad, mums ir jāatzīmē punkts, lai ass sagrieztu segmentu divās vienādās daļās. Mēģiniet pats atzīmēt šādu punktu. Tagad salīdziniet ar manu risinājumu:

Vai jūs darījāt to pašu? Nu! Atrastajā punktā mūs interesē ordinātas. Viņa ir līdzvērtīga

Atbilde:

Tagad, brīdi padomājot, pasakiet man, kāda būs punkta abscisa, kas ir simetriska punktam A attiecībā uz y asi? Kāda ir tava atbilde? Pareizā atbilde: .

Kopumā noteikumu var uzrakstīt šādi:

Punktam, kas ir simetrisks punktam ap x asi, ir koordinātas:

Punktam, kas ir simetrisks punktam ap y asi, ir koordinātas:

Nu, tagad tas tiešām ir biedējoši. uzdevums: atrodiet punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret izcelsmi. Vispirms padomā pats un tad skaties uz manu zīmējumu!

Atbilde:

Tagad paralelograma problēma:

5. uzdevums: punkti ir ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Atrast-dee-te vai-dee-on-tu punktus.

Šo problēmu var atrisināt divos veidos: loģika un koordinātu metode. Vispirms es izmantošu koordinātu metodi, un tad es jums pastāstīšu, kā jūs varat izlemt citādi.

Ir pilnīgi skaidrs, ka punkta abscisa ir vienāda. (tas atrodas uz perpendikula, kas novilkts no punkta uz x asi). Mums jāatrod ordinātas. Izmantosim to, ka mūsu figūra ir paralelograms, kas nozīmē to. Atrodiet segmenta garumu, izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem:

Mēs nolaižam perpendikulu, kas savieno punktu ar asi. Krustpunktu apzīmē ar burtu.

Segmenta garums ir vienāds. (atrodiet problēmu pats, kur mēs apspriedām šo brīdi), tad mēs atradīsim segmenta garumu, izmantojot Pitagora teorēmu:

Segmenta garums ir tieši tāds pats kā tā ordinātu garums.

Atbilde: .

Cits risinājums (es tikai sniegšu attēlu, kas to ilustrē)

Risinājuma gaita:

1. Tērēt

2. Atrast punktu koordinātas un garumu

3. Pierādiet to.

Vēl viens griezuma garuma problēma:

Punkti ir-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Atrodiet viņa viduslīnijas garumu, par-ral-lel-noy.

Vai atceries, kas ir trijstūra viduslīnija? Tad jums šis uzdevums ir elementārs. Ja neatceries, tad atgādināšu: trijstūra viduslīnija ir līnija, kas savieno pretējo malu viduspunktus. Tas ir paralēls pamatnei un vienāds ar pusi no tā.

Bāze ir segments. Tā garums bija jāmeklē agrāk, tas ir vienāds. Tad viduslīnijas garums ir uz pusi mazāks un vienāds.

Atbilde: .

Komentārs: Šo problēmu var atrisināt citā veidā, pie kura mēs pievērsīsimies nedaudz vēlāk.

Tikmēr jums ir daži uzdevumi, praktizējieties, tie ir diezgan vienkārši, bet tie palīdz “pieķerties” ar koordinātu metodi!

1. Punkti parādās-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Atrodiet tā viduslīnijas garumu.

2. Punkti un yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Atrast-dee-te vai-dee-on-tu punktus.

3. Atrodiet garumu no griezuma, savienojiet otro punktu un

4. Atrodiet-di-te apgabalu-the-red-shen-noy fi-gu-ry uz ko-or-di-nat-noy plaknes.

5. Aplis, kura centrs ir na-cha-le ko-or-di-nat, iet caur punktu. Atrast-de-te viņas ūsas.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprakstiet-san-noy pie taisnleņķa-no-ka, kaut-ro-go virsotnēm-shi-ny ir co-or - di-na-you co-from-reply-but

Risinājumi:

1. Ir zināms, ka trapeces viduslīnija ir vienāda ar pusi no tās pamatu summas. Bāze ir vienāda, bet bāze. Tad

Atbilde:

2. Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir to pamanīt (paralēlogrammas noteikums). Aprēķiniet vektoru koordinātas un nav grūti: . Pievienojot vektorus, tiek pievienotas koordinātas. Tad ir koordinātas. Punktam ir vienādas koordinātes, jo vektora sākums ir punkts ar koordinātām. Mūs interesē ordinātas. Viņa ir līdzvērtīga.

Atbilde:

3. Mēs rīkojamies nekavējoties saskaņā ar formulu attālumam starp diviem punktiem:

Atbilde:

4. Paskaties uz attēlu un saki, starp kurām divām figūrām ir “iespiests” iekrāsotais laukums? Tas ir iespiests starp diviem laukumiem. Tad vēlamās figūras laukums ir vienāds ar lielā kvadrāta laukumu, no kura atņemtas mazā kvadrāta laukums. Mazā kvadrāta mala ir segments, kas savieno punktus, un tā garums ir

Tad mazā kvadrāta laukums ir

Mēs darām to pašu ar lielu kvadrātu: tā mala ir segments, kas savieno punktus, un tā garums ir vienāds ar

Tad lielā kvadrāta laukums ir

Vēlamās figūras laukumu atrod pēc formulas:

Atbilde:

5. Ja apļa centrs ir sākuma punkts un tas iet caur punktu, tad tā rādiuss būs tieši vienāds ar nogriežņa garumu (uztaisiet zīmējumu un sapratīsiet, kāpēc tas ir acīmredzami). Atrodiet šī segmenta garumu:

Atbilde:

6. Ir zināms, ka ap taisnstūri norobežota riņķa rādiuss ir vienāds ar pusi no tā diagonāles. Atradīsim jebkuras no divām diagonālēm garumu (galu galā taisnstūrī tās ir vienādas!)

Atbilde:

Nu vai tev viss izdevās? Nebija tik grūti to izdomāt, vai ne? Šeit ir tikai viens noteikums - jāspēj izveidot vizuālu attēlu un vienkārši “nolasīt” visus datus no tā.

Mums palicis pavisam maz. Ir burtiski vēl divi punkti, kurus es vēlētos apspriest.

Mēģināsim atrisināt šo vienkāršo problēmu. Ļaujiet diviem punktiem un ir dota. Atrodiet segmenta vidus koordinātas. Šīs problēmas risinājums ir šāds: ļaujiet punktam būt vēlamajam vidusdaļai, tad tam ir koordinātas:

T.i.: segmenta vidus koordinātes = nogriežņa galu atbilstošo koordinātu vidējā aritmētiskā.

Šis noteikums ir ļoti vienkāršs un parasti skolēniem nesagādā grūtības. Apskatīsim, kādās problēmās un kā tas tiek izmantots:

1. Find-di-te vai-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point un

2. Punkti ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Atrodiet-di-te vai-di-na-tu punktus no viņa dia-go-on-lei re-re-se-che-niya.

3. Atrodiet-di-te abs-cis-su no apļa centra, aprakstiet-san-noy pie taisnstūra-no-ka, tops-shi-mums ir kaut kas-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Risinājumi:

1. Pirmais uzdevums ir tikai klasika. Mēs rīkojamies nekavējoties, nosakot segmenta viduspunktu. Viņai ir koordinātes. Ordinātas ir vienādas.

Atbilde:

2. Ir viegli redzēt, ka dotais četrstūris ir paralelograms (pat rombs!). To var pierādīt pats, aprēķinot malu garumus un salīdzinot tos savā starpā. Ko es zinu par paralelogramu? Tās diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu! Aha! Tātad, kāds ir diagonāļu krustošanās punkts? Tas ir jebkuras diagonāles vidusdaļa! Es īpaši izvēlēšos diagonāli. Tad punktam ir koordinātas.Punkta ordināta ir vienāda ar.

Atbilde:

3. Kāds ir taisnstūra apļa centrs? Tas sakrīt ar tā diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm? Tie ir vienādi, un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm. Uzdevums ir samazināts līdz iepriekšējam. Ņemiet, piemēram, diagonāli. Tad, ja ir ierobežotā apļa centrs, tad ir vidus. Es meklēju koordinātas: Abscisa ir vienāda.

Atbilde:

Tagad nedaudz trenējieties paši, es sniegšu tikai atbildes uz katru problēmu, lai jūs varētu pārbaudīt sevi.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprakstiet-san-noy pie trijstūra-no-ka, kāds-ro-go virsotnēs ir ko-or-di -no misters.

2. Atrodi-di-te vai-di-na-tu apļa centru, apraksti san-noy pie trijstūra-no-ka, tops-shi-mums ir kaut-ro-go koordinātes.

3. Kādam ra-di-y-sa jābūt aplim ar centru tādā punktā, lai tas skartu abs-ciss asi?

4. Atrodiet-di-te vai-di-on-tajā punktā atkārtoti-se-che-ing ass un no-cut, savieno-nya-yu-th punktu un

Atbildes:

Vai viss izdevās? Es ļoti ceru uz to! Tagad - pēdējais grūdiens. Tagad esiet īpaši uzmanīgs. Materiāls, ko es tagad paskaidrošu, attiecas ne tikai uz vienkāršajām koordinātu metodes problēmām B daļā, bet arī ir visuresošs uzdevumā C2.

Kurus no saviem solījumiem es vēl neesmu pildījis? Atcerieties, kādas darbības vektoros es apsolīju ieviest un kuras es beidzot ieviesu? Vai esmu pārliecināts, ka neko neesmu aizmirsis? Aizmirsa! Es aizmirsu paskaidrot, ko nozīmē vektoru reizināšana.

Ir divi veidi, kā reizināt vektoru ar vektoru. Atkarībā no izvēlētās metodes mēs iegūsim dažāda rakstura objektus:

Vektorprodukts ir diezgan grūts. Kā to izdarīt un kāpēc tas ir nepieciešams, mēs ar jums apspriedīsim nākamajā rakstā. Un šajā gadījumā mēs koncentrēsimies uz skalāro reizinājumu.

Jau ir divi veidi, kā to aprēķināt:

Kā jau uzminējāt, rezultātam jābūt tādam pašam! Tātad vispirms apskatīsim pirmo veidu:

Punktu produkts, izmantojot koordinātas

Atrodiet: - kopīgu apzīmējumu punktveida produktam

Aprēķina formula ir šāda:

Tas ir, punktu reizinājums = vektoru koordinātu reizinājumu summa!

Piemērs:

Find-dee-te

Lēmums:

Atrodiet katra vektora koordinātas:

Mēs aprēķinām skalāro reizinājumu pēc formulas:

Atbilde:

Redziet, absolūti nekas sarežģīts!

Nu, tagad izmēģiniet to pats:

Find-di-te skalārs-noe pro-from-ve-de-nie gadsimta līdz grāvim un

Vai jums izdevās? Varbūt viņš pamanīja nelielu viltību? Pārbaudīsim:

Vektoru koordinātas, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā! Atbilde: .

Papildus koordinātei ir vēl viens veids, kā aprēķināt skalāro reizinājumu, proti, izmantojot vektoru garumus un leņķa kosinusu starp tiem:

Apzīmē leņķi starp vektoriem un.

Tas ir, skalārais reizinājums ir vienāds ar vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājumu.

Kāpēc mums ir vajadzīga šī otrā formula, ja mums ir pirmā, kas ir daudz vienkāršāka, tajā vismaz nav kosinusu. Un mums tas ir vajadzīgs, lai no pirmās un otrās formulas varētu secināt, kā atrast leņķi starp vektoriem!

Ļaujiet Tad atcerieties vektora garuma formulu!

Ja es pievienoju šos datus punktveida produkta formulai, es saņemu:

Bet no otras puses:

Tātad, kas mums ir? Tagad mums ir formula, lai aprēķinātu leņķi starp diviem vektoriem! Dažreiz īsuma labad tas tiek uzrakstīts arī šādi:

Tas nozīmē, ka leņķa starp vektoriem aprēķināšanas algoritms ir šāds:

1. Mēs aprēķinām skalāro reizinājumu, izmantojot koordinātas
2. Atrodiet vektoru garumus un reiziniet tos
3. Sadaliet 1. punkta rezultātu ar 2. punkta rezultātu

Praktizēsim ar piemēriem:

1. Atrodiet leņķi starp plakstiņiem-to-ra-mi un. Sniedziet atbildi grādos.

2. Iepriekšējā uzdevuma apstākļos atrodiet kosinusu starp vektoriem

Darīsim tā: es palīdzēšu jums atrisināt pirmo problēmu, bet otro mēģiniet izdarīt pats! ES piekrītu? Tad sāksim!

1. Šie vektori ir mūsu vecie draugi. Mēs jau esam apsvēruši viņu skalāro reizinājumu, un tas bija līdzvērtīgs. To koordinātas ir: , . Tad mēs atrodam to garumus:

Tad mēs meklējam kosinusu starp vektoriem:

Kāds ir leņķa kosinuss? Šis ir stūris.

Atbilde:

Nu, tagad pats atrisiniet otro problēmu un tad salīdziniet! Es sniegšu ļoti īsu risinājumu:

2. ir koordinātes, ir koordinātes.

Ļaut būt leņķim starp vektoriem un, tad

Atbilde:

Jāpiebilst, ka eksāmena darba B daļā uzdevumi tieši uz vektoriem un koordinātu metode ir diezgan reti sastopami. Tomēr lielāko daļu C2 problēmu var viegli atrisināt, ieviešot koordinātu sistēmu. Tātad jūs varat uzskatīt šo rakstu par pamatu, uz kura pamata mēs izveidosim diezgan viltīgas konstrukcijas, kas mums būs nepieciešamas sarežģītu problēmu risināšanai.

KOORDINĀTES UN VEKTORI. VIDĒJS LĪMENIS

Mēs ar jums turpinām pētīt koordinātu metodi. Pēdējā daļā mēs atvasinājām vairākas svarīgas formulas, kas ļauj:

1. Atrodiet vektora koordinātas
2. Atrodiet vektora garumu (alternatīvi: attālumu starp diviem punktiem)
3. Saskaitīt, atņemt vektorus. Reiziniet tos ar reālu skaitli
4. Atrodiet segmenta viduspunktu
5. Aprēķināt vektoru punktu reizinājumu
6. Atrodiet leņķi starp vektoriem

Protams, visa koordinātu metode neietilpst šajos 6 punktos. Tas ir tādas zinātnes pamatā kā analītiskā ģeometrija, ar kuru jūs iepazīsities universitātē. Es tikai vēlos izveidot pamatu, kas ļaus jums atrisināt problēmas vienotā stāvoklī. eksāmens. Mēs izdomājām B daļas uzdevumus Tagad ir pienācis laiks pāriet uz kvalitatīvi jaunu līmeni! Šis raksts būs veltīts metodei to C2 problēmu risināšanai, kurās būtu saprātīgi pāriet uz koordinātu metodi. Šo pamatotību nosaka tas, kas ir jāatrod problēmā un kāds skaitlis ir norādīts. Tātad, es izmantotu koordinātu metodi, ja jautājumi ir:

1. Atrodiet leņķi starp divām plaknēm
2. Atrodiet leņķi starp līniju un plakni
3. Atrodiet leņķi starp divām līnijām
4. Atrodiet attālumu no punkta līdz plaknei
5. Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai
6. Atrodiet attālumu no taisnes līdz plaknei
7. Atrodiet attālumu starp divām līnijām

Ja uzdevuma stāvoklī norādītais skaitlis ir apgriezienu korpuss (lode, cilindrs, konuss ...)

Piemēroti skaitļi koordinātu metodei ir:

1. kuboīds
2. Piramīda (trīsstūra, četrstūra, sešstūra)

Arī manā pieredzē nav lietderīgi izmantot koordinātu metodi:

1. Sadaļu laukumu atrašana
2. Ķermeņu tilpumu aprēķini

Taču uzreiz jāatzīmē, ka trīs koordinātu metodei “nelabvēlīgas” situācijas praksē ir diezgan reti sastopamas. Lielākajā daļā uzdevumu tas var kļūt par jūsu glābēju, it īpaši, ja neesat pārāk spēcīgs trīsdimensiju konstrukcijās (kas dažreiz ir diezgan sarežģītas).

Kādi ir visi iepriekš minētie skaitļi? Tie vairs nav plakani, piemēram, kvadrāts, trīsstūris, aplis, bet gan apjomīgi! Attiecīgi mums jāņem vērā nevis divdimensiju, bet gan trīsdimensiju koordinātu sistēma. Tas ir uzbūvēts diezgan vienkārši: tikai papildus abscisai un ordinātām mēs ieviesīsim vēl vienu asi, aplikācijas asi. Attēlā shematiski parādīts to relatīvais novietojums:

Tie visi ir savstarpēji perpendikulāri, krustojas vienā punktā, ko sauksim par izcelsmi. Abscisu ass, tāpat kā iepriekš, tiks apzīmēta, ordinātu ass - , un ieviestā aplikācijas ass - .

Ja agrāk katrs plaknes punkts tika raksturots ar diviem cipariem - abscisu un ordinātu, tad katru telpas punktu jau raksturo trīs cipari - abscisa, ordināta, aplikācija. Piemēram:

Attiecīgi punkta abscisa ir vienāda, ordināta ir , un aplikācija ir .

Dažreiz punkta abscisu sauc arī par punkta projekciju uz abscisu asi, ordināta ir punkta projekcija uz y asi, un aplikācija ir punkta projekcija uz aplikācijas asi. Attiecīgi, ja ir dots punkts, tad punkts ar koordinātām:

sauc par punkta projekciju plaknē

sauc par punkta projekciju plaknē

Rodas dabisks jautājums: vai visas divdimensiju gadījumam atvasinātās formulas ir derīgas telpā? Atbilde ir jā, tie ir vienkārši un tiem ir vienāds izskats. Par nelielu detaļu. Es domāju, ka jūs jau uzminējāt, kurš no tiem. Visās formulās mums būs jāpievieno vēl viens termins, kas atbild par aplikācijas asi. Proti.

1. Ja ir doti divi punkti: , tad:

• Vektoru koordinātas:
• Attālums starp diviem punktiem (vai vektora garums)
• Segmenta vidū ir koordinātas

2. Ja ir doti divi vektori: un, tad:

• Viņu punktveida produkts ir:
• Leņķa kosinuss starp vektoriem ir:

Tomēr telpa nav tik vienkārša. Kā jūs saprotat, vēl vienas koordinātas pievienošana ievieš ievērojamu dažādību šajā telpā "dzīvojošo" figūru spektrā. Un tālākam stāstījumam man jāievieš kāds, rupji sakot, taisnās līnijas "vispārinājums". Šis "vispārinājums" būs lidmašīna. Ko jūs zināt par lidmašīnu? Mēģiniet atbildēt uz jautājumu, kas ir lidmašīna? Ir ļoti grūti pateikt. Tomēr mēs visi intuitīvi iedomājamies, kā tas izskatās:

Aptuveni runājot, šī ir sava veida bezgalīga “lapa”, kas tiek iegrūsta kosmosā. "Bezgalība" ir jāsaprot, ka plakne stiepjas visos virzienos, tas ir, tās laukums ir vienāds ar bezgalību. Taču šis skaidrojums "uz pirkstiem" nedod ne mazāko priekšstatu par lidmašīnas uzbūvi. Un mūs tas interesēs.

Atcerēsimies vienu no ģeometrijas pamataksiomām:

• Taisne iet caur diviem dažādiem plaknes punktiem, turklāt tikai vienu:

Vai tā analogs kosmosā:

Protams, jūs atceraties, kā iegūt taisnas līnijas vienādojumu no diviem dotajiem punktiem, tas nepavisam nav grūti: ja pirmajam punktam ir koordinātas: un otrajam, tad taisnes vienādojums būs šāds:

Jūs to piedzīvojāt 7. klasē. Telpā taisnes vienādojums izskatās šādi: pieņemsim divus punktus ar koordinātām: , tad caur tiem ietošās taisnes vienādojumam ir forma:

Piemēram, līnija iet caur punktiem:

Kā tas būtu jāsaprot? Tas jāsaprot šādi: punkts atrodas uz taisnes, ja tā koordinātas atbilst šādai sistēmai:

Mūs īpaši neinteresēs taisnes vienādojums, taču mums ir jāpievērš uzmanība ļoti svarīgajam taisnes virzošā vektora jēdzienam. - jebkurš vektors, kas nav nulle, kas atrodas uz noteiktas taisnes vai paralēli tai.

Piemēram, abi vektori ir taisnas līnijas virziena vektori. Ļaut ir punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas, un ir tā virzošais vektors. Tad taisnas līnijas vienādojumu var uzrakstīt šādā formā:

Mani kārtējo reizi īpaši neinteresēs taisnes vienādojums, bet man tiešām ir jāatceras, kas ir virziena vektors! Atkal: tas ir JEBKURS, kas nav nulles vektors, kas atrodas uz taisnes vai paralēli tai.

Izņemt plaknes trīspunktu vienādojums vairs nav tik triviāla, un parasti vidusskolas kursā to neaptver. Bet velti! Šis paņēmiens ir ļoti svarīgs, ja mēs izmantojam koordinātu metodi, lai atrisinātu sarežģītas problēmas. Tomēr pieņemu, ka esi pilns ar vēlmi apgūt ko jaunu? Turklāt jūs varēsiet pārsteigt savu skolotāju universitātē, kad izrādīsies, ka jūs jau zināt, kā izmantot tehniku, kas parasti tiek apgūta analītiskās ģeometrijas kursā. Tātad sāksim.

Plaknes vienādojums pārāk neatšķiras no plaknes taisnes vienādojuma, proti, tam ir šāda forma:

daži skaitļi (ne visi vienādi ar nulli), bet mainīgie, piemēram: utt. Kā redzat, plaknes vienādojums īpaši neatšķiras no taisnes vienādojuma (lineāra funkcija). Tomēr atceries, par ko mēs ar tevi strīdējāmies? Mēs teicām, ka, ja mums ir trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes, tad no tiem unikāli tiek atjaunots plaknes vienādojums. Bet kā? Es mēģināšu jums paskaidrot.

Tā kā plaknes vienādojums ir:

Un punkti pieder šai plaknei, tad, aizstājot katra punkta koordinātas plaknes vienādojumā, mums vajadzētu iegūt pareizo identitāti:

Līdz ar to ir jāatrisina trīs vienādojumi jau ar nezināmajiem! Dilemma! Tomēr mēs vienmēr varam pieņemt, ka (šim nolūkam mums ir jādala ar). Tādējādi mēs iegūstam trīs vienādojumus ar trim nezināmajiem:

Tomēr mēs neatrisināsim šādu sistēmu, bet izrakstīsim no tās izrietošo noslēpumaino izteiksmi:

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem

\[\pa kreisi| (\begin(masīvs)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masīvs)) \right| = 0\]

Stop! Kas tas vēl ir? Kāds ļoti neparasts modulis! Tomēr objektam, ko redzat sev priekšā, nav nekāda sakara ar moduli. Šo objektu sauc par trešās kārtas determinantu. No šī brīža, saskaroties ar koordinātu metodi plaknē, jūs ļoti bieži saskarsities ar šiem pašiem noteicošajiem faktoriem. Kas ir trešās kārtas determinants? Savādi, bet tas ir tikai cipars. Atliek saprast, kādu konkrētu skaitli mēs salīdzināsim ar determinantu.

Vispirms ierakstīsim trešās kārtas determinantu vispārīgākā formā:

Kur ir daži cipari. Turklāt ar pirmo indeksu mēs domājam rindas numuru, bet ar indeksu - kolonnas numuru. Piemēram, tas nozīmē, ka dotais skaitlis atrodas otrās rindas un trešās kolonnas krustpunktā. Uzdosim šādu jautājumu: kā tieši mēs aprēķināsim šādu determinantu? Tas ir, ar kādu konkrētu skaitli mēs to salīdzināsim? Precīzi trešās kārtas determinantam ir heiristisks (vizuāls) trīsstūra noteikums, kas izskatās šādi:

1. Galvenās diagonāles elementu reizinājums (no augšējās kreisās puses uz apakšējo labo) to elementu reizinājums, kas veido pirmo trīsstūri "perpendikulāri" galvenajai diagonālei, to elementu reizinājums, kas veido otro trīsstūri "perpendikulāri" galvenajam. diagonāli
2. Sekundārās diagonāles elementu reizinājums (no augšējās labās puses uz apakšējo kreiso) to elementu reizinājums, kas veido pirmo trīsstūri "perpendikulāri" sekundārajai diagonālei, to elementu reizinājums, kas veido otro trīsstūri "perpendikulāri" sekundārā diagonāle
3. Tad determinants ir vienāds ar starpību starp vērtībām, kas iegūtas solī un

Ja to visu rakstām skaitļos, tad iegūstam šādu izteiksmi:

Tomēr jums nav jāiegaumē aprēķina metode šajā formā, pietiek tikai turēt galvā trīsstūrus un pašu ideju par to, kas tiek pievienots un kas pēc tam tiek atņemts no kā).

Ilustrēsim trīsstūra metodi ar piemēru:

1. Aprēķiniet determinantu:

Izdomāsim, ko pievienojam un ko atņemam:

Noteikumi, kuriem pievienots pluss:

Šī ir galvenā diagonāle: elementu reizinājums ir

Pirmais trīsstūris, "perpendikulārs galvenajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Otrais trīsstūris, "perpendikulārs galvenajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Mēs pievienojam trīs skaitļus:

Noteikumi, kas nāk ar "mīnusu"

Šī ir sānu diagonāle: elementu reizinājums ir

Pirmais trīsstūris, "perpendikulārs sekundārajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Otrais trīsstūris, "perpendikulārs sekundārajai diagonālei: elementu reizinājums ir

Mēs pievienojam trīs skaitļus:

Viss, kas jādara, ir no plusa vārdu summas atņemt mīnusa vārdu summu:

Tādējādi

Kā redzat, trešās kārtas determinantu aprēķināšanā nav nekā sarežģīta un pārdabiska. Vienkārši ir svarīgi atcerēties par trijstūriem un nepieļaut aritmētiskas kļūdas. Tagad mēģiniet pats aprēķināt:

Mēs pārbaudām:

1. Pirmais trīsstūris, kas ir perpendikulārs galvenajai diagonālei:
2. Otrais trīsstūris, kas ir perpendikulārs galvenajai diagonālei:
3. Plusu nosacījumu summa:
4. Pirmais trīsstūris, kas ir perpendikulārs sānu diagonālei:
5. Otrais trīsstūris, kas ir perpendikulārs sānu diagonālei:
6. Terminu summa ar mīnusu:
7. Plus vārdu summa mīnus mīnus vārdu summa:

Šeit ir vēl daži noteicošie faktori, aprēķiniet to vērtības pats un salīdziniet ar atbildēm:

Atbildes:

Nu, vai viss sakrita? Lieliski, tad varat doties tālāk! Ja rodas grūtības, tad mans padoms ir šāds: internetā ir virkne programmu determinanta aprēķināšanai tiešsaistē. Viss, kas jums nepieciešams, ir izdomāt savu noteicēju, pašam to aprēķināt un pēc tam salīdzināt ar programmas aprēķināto. Un tā tālāk, līdz rezultāti sāk sakrist. Esmu pārliecināts, ka šis brīdis nebūs ilgi gaidīts!

Tagad atgriezīsimies pie determinanta, ko es uzrakstīju, kad runāju par plaknes vienādojumu, kas iet cauri trim dotajiem punktiem:

Viss, kas jums jādara, ir tieši aprēķināt tā vērtību (izmantojot trīsstūra metodi) un iestatīt rezultātu, kas vienāds ar nulli. Protams, tā kā tie ir mainīgie, jūs iegūsit kādu izteiksmi, kas ir atkarīga no tiem. Tieši šī izteiksme būs vienādojums plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes!

Ilustrēsim to ar vienkāršu piemēru:

1. Izveidojiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem

Mēs veidojam noteicošo faktoru šiem trim punktiem:

Vienkāršošana:

Tagad mēs to aprēķinām tieši saskaņā ar trīsstūru likumu:

\[(\left| (\begin(masīvs)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masīvs)) \ pa labi| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tādējādi plaknes, kas iet caur punktiem, vienādojums ir:

Tagad mēģiniet pats atrisināt vienu problēmu, un tad mēs to apspriedīsim:

2. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem

Nu, tagad apspriedīsim risinājumu:

Mēs veicam noteicēju:

Un aprēķiniet tā vērtību:

Tad plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Vai, samazinot par, mēs iegūstam:

Tagad divi paškontroles uzdevumi:

1. Izveidojiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim punktiem:

Atbildes:

Vai viss sakrita? Atkal, ja ir zināmas grūtības, tad mans padoms ir šāds: paņemiet no galvas trīs punktus (ar lielu varbūtību, ka tie nenogulēs uz vienas taisnes), uz tiem izveidojiet plakni. Un pēc tam pārbaudiet sevi tiešsaistē. Piemēram, vietnē:

Taču ar determinantu palīdzību konstruēsim ne tikai plaknes vienādojumu. Atcerieties, ka es jums teicu, ka vektoriem nav definēts tikai punktu reizinājums. Ir arī vektors, kā arī jaukts produkts. Un, ja divu vektoru skalārā reizinājums būs skaitlis, tad divu vektoru vektorreizinājums būs vektors, un šis vektors būs perpendikulārs dotajiem:

Turklāt tā modulis būs vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidots uz vektoriem un. Šis vektors mums būs vajadzīgs, lai aprēķinātu attālumu no punkta līdz līnijai. Kā mēs varam aprēķināt vektoru šķērsreizinājumu un ja ir norādītas to koordinātas? Mums atkal palīgā nāk trešās kārtas noteicējs. Tomēr, pirms pārietu uz krustprodukta aprēķināšanas algoritmu, man ir jāveic neliela liriska atkāpe.

Šī novirze attiecas uz bāzes vektoriem.

Shematiski tie ir parādīti attēlā:

Kāpēc jūs domājat, ka tos sauc par pamata? Fakts ir tāds, ka:

Vai arī attēlā:

Šīs formulas derīgums ir acīmredzams, jo:

vektora produkts

Tagad es varu sākt ieviest krustveida produktu:

Divu vektoru vektorreizinājums ir vektors, ko aprēķina saskaņā ar šādu noteikumu:

Tagad sniegsim dažus krustprodukta aprēķināšanas piemērus:

1. piemērs. Atrodiet vektoru krustojumu:

Risinājums: es veicu noteicēju:

Un es to aprēķināju:

Tagad, no rakstīšanas caur bāzes vektoriem, es atgriezīšos pie parastā vektora apzīmējuma:

Tādējādi:

Tagad mēģiniet.

Vai esat gatavs? Mēs pārbaudām:

Un tradicionāli divi kontrolējamie uzdevumi:

1. Atrodiet šādu vektoru krustojumu:
2. Atrodiet šādu vektoru krustojumu:

Atbildes:

Trīs vektoru jauktais reizinājums

Pēdējā konstrukcija, kas man nepieciešama, ir trīs vektoru jauktais reizinājums. Tas, tāpat kā skalārs, ir skaitlis. Ir divi veidi, kā to aprēķināt. - caur determinantu, - caur jaukto produktu.

Proti, pieņemsim, ka mums ir trīs vektori:

Tad trīs vektoru jaukto reizinājumu, ko apzīmē ar, var aprēķināt šādi:

1. - tas ir, jauktais reizinājums ir vektora skalārais reizinājums un divu citu vektoru vektorreizinājums

Piemēram, trīs vektoru jauktais reizinājums ir:

Mēģiniet to aprēķināt pats, izmantojot vektoru reizinājumu, un pārliecinieties, ka rezultāti sakrīt!

Un atkal - divi piemēri neatkarīgam risinājumam:

Atbildes:

Koordinātu sistēmas izvēle

Nu, tagad mums ir viss nepieciešamais zināšanu pamats, lai atrisinātu sarežģītas stereometriskas problēmas ģeometrijā. Tomēr, pirms pāriet tieši pie piemēriem un to risināšanas algoritmiem, es uzskatu, ka būs lietderīgi pakavēties pie šāda jautājuma: kā tieši izvēlieties koordinātu sistēmu konkrētai figūrai. Galu galā tieši koordinātu sistēmas un skaitļa kosmosa relatīvās pozīcijas izvēle galu galā noteiks, cik apgrūtinoši būs aprēķini.

Es atgādinu, ka šajā sadaļā mēs ņemam vērā šādus skaitļus:

1. kuboīds
2. Taisna prizma (trīsstūrveida, sešstūra...)
3. Piramīda (trīsstūrveida, četrstūrveida)
4. Tetraedrs (tāds pats kā trīsstūrveida piramīda)

Kuboīdam vai kubam es iesaku šādu konstrukciju:

Tas ir, es ievietošu figūru “stūrī”. Kubs un kaste ir ļoti labas figūras. Viņiem jūs vienmēr varat viegli atrast tā virsotņu koordinātas. Piemēram, ja (kā parādīts attēlā)

tad virsotņu koordinātas ir:

Protams, jums tas nav jāatceras, taču ir vēlams atcerēties, kā vislabāk novietot kubu vai taisnstūrveida kastīti.

taisna prizma

Prizma ir kaitīgāka figūra. Jūs varat to sakārtot telpā dažādos veidos. Tomēr es uzskatu, ka vislabākais variants ir šāds:

Trīsstūrveida prizma:

Tas ir, vienu no trijstūra malām pilnībā novietojam uz ass, un viena no virsotnēm sakrīt ar izcelsmi.

Sešstūra prizma:

Tas ir, viena no virsotnēm sakrīt ar izcelsmi, un viena no malām atrodas uz ass.

Četrstūra un sešstūra piramīda:

Situācija līdzīga kubam: apvienojam divas pamatnes malas ar koordinātu asīm, vienu no virsotnēm savienojam ar izcelsmi. Vienīgās nelielās grūtības sagādās punkta koordinātu aprēķināšana.

Sešstūra piramīdai - tas pats, kas sešstūra prizmai. Galvenais uzdevums atkal būs virsotnes koordinātu atrašana.

Tetraedrs (trīsstūra piramīda)

Situācija ir ļoti līdzīga tai, ko minēju trīsstūrveida prizmai: viena virsotne sakrīt ar sākumu, viena puse atrodas uz koordinātu ass.

Nu, tagad jūs un es beidzot esam tuvu tam, lai sāktu risināt problēmas. No tā, ko es teicu pašā raksta sākumā, jūs varat izdarīt šādu secinājumu: lielākā daļa C2 problēmu iedalās 2 kategorijās: problēmas ar leņķi un problēmas ar attālumu. Pirmkārt, mēs apsvērsim leņķa atrašanas problēmas. Tos savukārt iedala šādās kategorijās (palielinoties sarežģītībai):

Problēmas ar stūru atrašanu

1. Leņķa atrašana starp divām līnijām
2. Leņķa atrašana starp divām plaknēm

Apskatīsim šīs problēmas secīgi: sāksim ar leņķa atrašanu starp divām taisnēm. Nāc, atceries, vai mēs ar jums esam agrāk risinājuši līdzīgus piemērus? Jūs atceraties, jo mums jau bija kaut kas līdzīgs... Mēs meklējām leņķi starp diviem vektoriem. Atgādinu, ja ir doti divi vektori: un, tad leņķis starp tiem tiek atrasts no attiecības:

Tagad mums ir mērķis - atrast leņķi starp divām taisnēm. Pievērsīsimies "plakanajam attēlam":

Cik leņķus iegūstam, kad krustojas divas līnijas? Jau lietas. Tiesa, tikai divi no tiem nav vienādi, bet citi ir tiem vertikāli (un tāpēc ar tiem sakrīt). Tātad, kāds leņķis mums jāņem vērā leņķis starp divām taisnām līnijām: vai? Šeit ir noteikums: leņķis starp divām taisnēm vienmēr nav lielāks par grādiem. Tas ir, no diviem leņķiem mēs vienmēr izvēlēsimies leņķi ar mazāko grādu. Tas ir, šajā attēlā leņķis starp abām līnijām ir vienāds. Lai katru reizi nebūtu jāpūlas ar mazākā no diviem leņķiem atrašanu, viltīgi matemātiķi ieteica izmantot moduli. Tādējādi leņķi starp divām taisnēm nosaka pēc formulas:

Jums kā uzmanīgam lasītājam vajadzēja uzdot jautājumu: kur mēs ņemam šos skaitļus, kas mums nepieciešami, lai aprēķinātu leņķa kosinusu? Atbilde: mēs tos ņemsim no līniju virziena vektoriem! Tādējādi algoritms leņķa atrašanai starp divām līnijām ir šāds:

1. Mēs izmantojam 1. formulu.

Vai arī sīkāk:

1. Mēs meklējam pirmās taisnes virziena vektora koordinātas
2. Mēs meklējam otrās līnijas virziena vektora koordinātas
3. Aprēķiniet to skalārās reizinājuma moduli
4. Mēs meklējam pirmā vektora garumu
5. Mēs meklējam otrā vektora garumu
6. Reiziniet 4. punkta rezultātus ar 5. punkta rezultātiem
7. 3. punkta rezultātu sadalām ar 6. punkta rezultātu. Iegūstam leņķa kosinusu starp taisnēm
8. Ja šis rezultāts ļauj precīzi aprēķināt leņķi, mēs to meklējam
9. Pretējā gadījumā mēs rakstām caur arkosīnu

Nu, tagad ir pienācis laiks pāriet pie uzdevumiem: es detalizēti demonstrēšu pirmo divu risinājumu, es īsi izklāstīšu vēl vienu risinājumu, un es sniegšu atbildes tikai uz pēdējiem diviem uzdevumiem, jums ir visus aprēķinus veiciet viņiem paši.

Uzdevumi:

1. Labajā tet-ra-ed-re atrodiet-di-te leņķi starp you-so-that tet-ra-ed-ra un me-di-a-noy bo-ko-how pusi.

2. Labajā virzienā uz priekšu six-coal-pi-ra-mi-de simts-ro-na-os-no-va-niya ir vienādi, un sānu ribas ir vienādas, atrodiet leņķi starp taisnēm līnijas un.

3. Labās puses four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy visu malu garumi ir vienādi. Atrodiet leņķi starp taisnām līnijām un, ja no-re-zok - you-so-ka, ņemot vērā pi-ra-mi-dy, punkts ir se-re-di-uz viņas bo-ko- th ribas.

4. Uz kuba malas no-me-che-līdz punktam tā, lai Find-di-te leņķi starp taisnēm un

5. Punkts - se-re-di-uz kuba malām Nai-di-te leņķis starp taisnēm un.

Nav nejaušība, ka es sakārtoju uzdevumus šādā secībā. Kamēr jums vēl nav bijis laika, lai sāktu orientēties koordinātu metodē, es pats analizēšu “problemātiskākos” skaitļus un likšu jums tikt galā ar vienkāršāko kubu! Pamazām jāiemācās strādāt ar visām figūrām, paaugstināšu uzdevumu sarežģītību no tēmas uz tēmu.

Sāksim risināt problēmas:

1. Uzzīmējiet tetraedru, novietojiet to koordinātu sistēmā, kā es ierosināju iepriekš. Tā kā tetraedrs ir regulārs, tad visas tā skaldnes (ieskaitot pamatni) ir regulāri trīsstūri. Tā kā mums nav dots sānu garums, es to varu uzskatīt par vienādu. Es domāju, ka jūs saprotat, ka leņķis īsti nebūs atkarīgs no tā, cik ļoti mūsu tetraedrs tiks "izstiepts"?. Uzzīmēšu arī augstumu un mediānu tetraedrā. Pa ceļam uzzīmēšu tā pamatni (noderēs arī mums).

Man jāatrod leņķis starp un. Ko mēs zinām? Mēs zinām tikai punkta koordinātas. Tātad, mums ir jāatrod vairāk punktu koordinātas. Tagad mēs domājam: punkts ir trijstūra augstumu (vai bisektoru vai mediānu) krustošanās punkts. Punkts ir paaugstināts punkts. Punkts ir segmenta viduspunkts. Tad beidzot jāatrod: punktu koordinātas: .

Sāksim ar vienkāršāko: punktu koordinātām. Apskatiet attēlu: Ir skaidrs, ka punkta aplikācija ir vienāda ar nulli (punkts atrodas uz plaknes). Tā ordināta ir vienāda (jo tā ir mediāna). Ir grūtāk atrast tā abscisu. Tomēr tas ir viegli izdarāms, pamatojoties uz Pitagora teorēmu: Apsveriet trīsstūri. Tās hipotenūza ir vienāda, un viena no kājām ir vienāda Tad:

Beidzot mums ir:

Tagad noskaidrosim punkta koordinātas. Ir skaidrs, ka tā pielietojums atkal ir vienāds ar nulli, un tā ordināta ir tāda pati kā punkta ordināta, tas ir. Atradīsim tās abscisu. Tas tiek darīts diezgan triviāli, ja kāds to atceras vienādmalu trijstūra augstumus dala ar krustošanās punktu proporcijā skaitot no augšas. Tā kā:, tad vēlamā punkta abscise, kas vienāda ar segmenta garumu, ir vienāda ar:. Tādējādi punkta koordinātas ir:

Atradīsim punkta koordinātas. Ir skaidrs, ka tā abscisa un ordināta sakrīt ar punkta abscisu un ordinātu. Un aplikācija ir vienāda ar segmenta garumu. - šī ir viena no trīsstūra kājām. Trijstūra hipotenūza ir segments - kāja. Tas tiek meklēts iemeslu dēļ, kurus es izcēlu treknrakstā:

Punkts ir segmenta viduspunkts. Tad mums jāatceras segmenta vidus koordinātu formula:

Tas arī viss, tagad mēs varam meklēt virziena vektoru koordinātas:

Nu, viss ir gatavs: mēs aizstājam visus datus formulā:

Tādējādi

Atbilde:

Jums nevajadzētu baidīties no tik "briesmīgām" atbildēm: C2 problēmām tā ir izplatīta prakse. Es drīzāk būtu pārsteigts par "skaisto" atbildi šajā daļā. Tāpat, kā jūs atzīmējāt, es praktiski neizmantoju neko citu kā Pitagora teorēmu un vienādmalu trīsstūra augstumu īpašību. Tas ir, lai atrisinātu stereometrisko problēmu, es izmantoju minimālo stereometriju. Ieguvums šajā ziņā ir daļēji "dzēsts" ar diezgan apgrūtinošiem aprēķiniem. Bet tie ir diezgan algoritmiski!

2. Uzzīmējiet regulāru sešstūra piramīdu kopā ar koordinātu sistēmu, kā arī tās pamatu:

Mums jāatrod leņķis starp līnijām un. Tādējādi mūsu uzdevums ir samazināts līdz punktu koordinātu atrašanai: . No mazā zīmējuma mēs atradīsim pēdējo trīs koordinātas, un mēs atradīsim virsotnes koordinātas caur punkta koordinātu. Daudz darba, bet jāsāk!

a) Koordināta: ir skaidrs, ka tās aplikāts un ordināta ir nulle. Atradīsim abscisu. Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri. Diemžēl tajā mēs zinām tikai hipotenūzu, kas ir vienāda ar. Mēģināsim atrast kāju (jo skaidrs, ka divreiz lielāks kājas garums dos mums punkta abscisu). Kā mēs varam viņu meklēt? Atcerēsimies, kāda figūra mums ir piramīdas pamatnē? Šis ir regulārs sešstūris. Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka visas malas un visi leņķi ir vienādi. Mums jāatrod viens šāds stūrītis. Kādas idejas? Ir daudz ideju, bet ir formula:

Regulāra n-stūra leņķu summa ir .

Tādējādi regulāra sešstūra leņķu summa ir grādi. Tad katrs no leņķiem ir vienāds ar:

Apskatīsim attēlu vēlreiz. Ir skaidrs, ka segments ir leņķa bisektrise. Tad leņķis ir grādi. Pēc tam:

Tad kur.

Tātad tai ir koordinātas

b) Tagad mēs varam viegli atrast punkta koordinātu: .

c) Atrodi punkta koordinātas. Tā kā tā abscisa sakrīt ar segmenta garumu, tā ir vienāda. Arī ordinātu atrašana nav īpaši grūta: ja savienojam punktus un un apzīmējam taisnes krustpunktu, teiksim par. (dari pats vienkārša konstrukcija). Tad Tādējādi punkta B ordināta ir vienāda ar nogriežņu garumu summu. Apskatīsim vēlreiz trīsstūri. Tad

Tad kopš Tad punktam ir koordinātes

d) Tagad atrodiet punkta koordinātas. Apsveriet taisnstūri un pierādiet, ka Tādējādi punkta koordinātas ir:

e) Atliek atrast virsotnes koordinātas. Ir skaidrs, ka tā abscisa un ordināta sakrīt ar punkta abscisu un ordinātu. Atradīsim lietotni. Kopš tā laika. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri. Pēc problēmas stāvokļa sānu mala. Šī ir mana trīsstūra hipotenūza. Tad piramīdas augstums ir kāja.

Tad punktam ir koordinātes:

Tas arī viss, man ir visu interesējošo punktu koordinātes. Es meklēju taisnu līniju virzošo vektoru koordinātas:

Mēs meklējam leņķi starp šiem vektoriem:

Atbilde:

Atkal, risinot šo uzdevumu, es neizmantoju nekādus sarežģītus trikus, izņemot formulu regulāra n-stūra leņķu summai, kā arī taisnleņķa trijstūra kosinusa un sinusa definīciju.

3. Tā kā mums piramīdā atkal nav doti malu garumi, es tos uzskatīšu par vienādiem ar vienu. Tādējādi, tā kā VISAS malas, nevis tikai sānu malas, ir vienādas viena ar otru, tad piramīdas pamatnē un es atrodas kvadrāts, un sānu malas ir regulāri trīsstūri. Attēlosim šādu piramīdu, kā arī tās pamatni uz plaknes, atzīmējot visus uzdevuma tekstā norādītos datus:

Mēs meklējam leņķi starp un. Es izdarīšu ļoti īsus aprēķinus, kad meklēšu punktu koordinātas. Jums tie būs "jāatšifrē":

b) - segmenta vidusdaļa. Viņas koordinātes:

c) Atradīšu nogriežņa garumu, izmantojot Pitagora teorēmu trijstūrī. Es atradīšu pēc Pitagora teorēmas trīsstūrī.

Koordinātas:

d) - segmenta vidusdaļa. Tās koordinātas ir

e) vektoru koordinātas

f) Vektoru koordinātas

g) Meklējiet leņķi:

Kubs ir visvienkāršākā figūra. Esmu pārliecināts, ka varat to izdomāt pats. Atbildes uz 4. un 5. uzdevumu ir šādas:

Leņķa atrašana starp līniju un plakni

Nu, vienkāršu mīklu laiks ir beidzies! Tagad piemēri būs vēl grūtāki. Lai atrastu leņķi starp līniju un plakni, mēs rīkojamies šādi:

1. Izmantojot trīs punktus, mēs veidojam plaknes vienādojumu
   ,
   izmantojot trešās kārtas determinantu.
2. Pēc diviem punktiem mēs meklējam taisnes virzošā vektora koordinātas:
3. Mēs izmantojam formulu, lai aprēķinātu leņķi starp taisni un plakni:

Kā redzat, šī formula ir ļoti līdzīga tai, ko izmantojām, lai atrastu leņķus starp divām līnijām. Labās puses struktūra ir tāda pati, un kreisajā pusē mēs tagad meklējam sinusu, nevis kosinusu, kā iepriekš. Nu, tika pievienota viena nejauka darbība - plaknes vienādojuma meklēšana.

Neliksim plauktā risināšanas piemēri:

1. Os-no-va-ni-em taisni-mana balva-mēs esam-la-et-xia vienādi-bet-nabaga-ren-ny trīsstūris-snick you-ar-šo balvu-mēs esam vienādi. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni

2. Taisnstūra pa-ral-le-le-pi-pe-de no rietumu Nai-di-te leņķis starp taisni un plakni.

3. Labās puses sešogļu prizmā visas malas ir vienādas. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni.

4. Labajā trīsstūrveida pi-ra-mi-de ar os-but-va-ni-em no ribas rietumiem Nai-di-te leņķis, ob-ra-zo-van -ny plakne no os. -no-va-niya un taisni-mans, kas iet cauri se-re-di-na no ribām un

5. Labā četrstūra pi-ra-mi-dy visu malu garumi ar augšpusi ir vienādi. Atrodiet leņķi starp taisni un plakni, ja punkts ir se-re-di-uz pi-ra-mi-dy bo-ko-in-th malas.

Atkal, pirmās divas problēmas es atrisināšu detalizēti, trešo - īsi, un atstāju pēdējās divas jums pašam. Turklāt jums jau bija jātiek galā ar trīsstūrveida un četrstūra piramīdām, bet vēl ne ar prizmām.

Risinājumi:

1. Uzzīmējiet prizmu, kā arī tās pamatni. Apvienosim to ar koordinātu sistēmu un atzīmēsim visus problēmas izklāstā norādītos datus:

Es atvainojos par dažu proporciju neievērošanu, bet problēmas risināšanai tas patiesībā nav tik svarīgi. Lidmašīna ir tikai manas prizmas "aizmugurējā siena". Pietiek vienkārši uzminēt, ka šādas plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Tomēr to var parādīt arī tieši:

Mēs izvēlamies patvaļīgus trīs punktus šajā plaknē: piemēram, .

Izveidosim plaknes vienādojumu:

Vingrinājums jums: aprēķiniet šo noteicošo faktoru pats. Vai jums izdevās? Tad plaknes vienādojumam ir šāda forma:

Vai vienkārši

Tādējādi

Lai atrisinātu piemēru, man jāatrod taisnes virzošā vektora koordinātas. Tā kā punkts sakrita ar sākumpunktu, vektora koordinātas vienkārši sakritīs ar punkta koordinātām.Lai to izdarītu, vispirms atrodam punkta koordinātas.

Lai to izdarītu, apsveriet trīsstūri. Zīmēsim augstumu (tā ir arī mediāna un bisektrise) no augšas. Tā kā tad punkta ordināta ir vienāda. Lai atrastu šī punkta abscisu, mums jāaprēķina segmenta garums. Saskaņā ar Pitagora teorēmu mums ir:

Tad punktam ir koordinātes:

Punkts ir "pacelts" uz punkta:

Tad vektora koordinātas:

Atbilde:

Kā redzat, šādu problēmu risināšanā nav nekā fundamentāli sarežģīta. Faktiski tādas figūras kā prizmas “taisnums” nedaudz vairāk vienkāršo procesu. Tagad pāriesim pie nākamā piemēra:

2. Uzzīmējam paralēlskaldni, ievelkam tajā plakni un taisni, kā arī atsevišķi uzzīmējam tā apakšējo pamatni:

Pirmkārt, mēs atrodam plaknes vienādojumu: trīs tajā esošo punktu koordinātas:

(pirmās divas koordinātas tiek iegūtas acīmredzamā veidā, un jūs varat viegli atrast pēdējo koordinātu no attēla no punkta). Tad mēs sastādām plaknes vienādojumu:

Mēs aprēķinām:

Mēs meklējam virziena vektora koordinātas: Ir skaidrs, ka tā koordinātas sakrīt ar punkta koordinātām, vai ne? Kā atrast koordinātas? Tās ir punkta koordinātas, kas paceltas pa aplikācijas asi par vienu! . Tad mēs meklējam vēlamo leņķi:

Atbilde:

3. Uzzīmējiet regulāru sešstūra piramīdu un pēc tam uzvelciet tajā plakni un taisnu līniju.

Šeit pat ir problemātiski uzzīmēt plakni, nemaz nerunājot par šīs problēmas risinājumu, bet koordinātu metodei ir vienalga! Tā daudzpusībā slēpjas tā galvenā priekšrocība!

Lidmašīna iet cauri trim punktiem: . Mēs meklējam viņu koordinātas:

viens). Pats parādiet pēdējo divu punktu koordinātas. Šim nolūkam jums būs jāatrisina problēma ar sešstūra piramīdu!

2) Mēs veidojam plaknes vienādojumu:

Mēs meklējam vektora koordinātas: . (Skatiet vēlreiz trīsstūrveida piramīdas problēmu!)

3) Mēs meklējam leņķi:

Atbilde:

Kā redzat, šajos uzdevumos nav nekā pārdabiski sarežģīta. Jums vienkārši jābūt ļoti uzmanīgiem ar saknēm. Uz pēdējām divām problēmām es sniegšu tikai atbildes:

Kā redzat, problēmu risināšanas tehnika visur ir vienāda: galvenais uzdevums ir atrast virsotņu koordinātas un aizstāt tās ar dažām formulām. Mums atliek apsvērt vēl vienu problēmu klasi leņķu aprēķināšanai, proti:

Leņķu aprēķināšana starp divām plaknēm

Risinājuma algoritms būs šāds:

1. Trīs punktiem mēs meklējam pirmās plaknes vienādojumu:
2. Pārējiem trim punktiem mēs meklējam otrās plaknes vienādojumu:
3. Mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, formula ir ļoti līdzīga iepriekšējām divām, ar kuru palīdzību mēs meklējām leņķus starp taisnēm un starp taisni un plakni. Tāpēc atcerēties šo jums nebūs grūti. Sāksim tieši pie problēmas:

1. Simts-ro uz taisnās trīsstūra prizmas pamata ir vienāds, un sānu skaldnes diametrs ir vienāds. Atrodiet leņķi starp plakni un balvas pamatnes plakni.

2. Labajā virzienā uz priekšu four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de visas kādas malas ir vienādas, atrodiet leņķa sinusu starp plakni un plakni Ko-Stu, kas iet cauri. punkts per-pen-di-ku-lyar-bet taisni-mans.

3. Regulārā četrogļu prizmā os-no-va-nia malas ir vienādas, un sānu malas ir vienādas. Uz malas no-me-che-līdz punktam tā, ka. Atrodiet leņķi starp plaknēm un

4. Labajā četrstūra prizmā pamatņu malas ir vienādas, un sānu malas ir vienādas. Uz malas no-me-che-līdz punktam, lai Atrodi leņķi starp plaknēm un.

5. Kubā atrodiet leņķa ko-si-nusu starp plaknēm un

Problēmu risinājumi:

1. Uzzīmēju regulāru (pamatā - vienādmalu trīsstūris) trīsstūrveida prizmu un atzīmēju uz tās plaknes, kas parādās uzdevuma stāvoklī:

Mums jāatrod divu plakņu vienādojumi: Bāzes vienādojumu iegūst triviāli: var izveidot atbilstošo determinantu trim punktiem, bet es uzreiz izveidošu vienādojumu:

Tagad atradīsim vienādojumu Punktam ir koordinātes Punkts - Tā kā - trijstūra mediāna un augstums, to ir viegli atrast ar Pitagora teorēmu trijstūrī. Tad punktam ir koordinātes: Atrodiet punkta aplikāciju Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri

Tad iegūstam šādas koordinātas: Sastādām plaknes vienādojumu.

Mēs aprēķinām leņķi starp plaknēm:

Atbilde:

2. Zīmējuma veidošana:

Visgrūtāk ir saprast, kāda tā ir noslēpumaina plakne, kas iet caur punktu perpendikulāri. Nu, galvenais, kas tas ir? Galvenais ir uzmanība! Patiešām, līnija ir perpendikulāra. Līnija ir arī perpendikulāra. Tad plakne, kas iet caur šīm divām līnijām, būs perpendikulāra līnijai un, starp citu, iet caur punktu. Šī plakne arī iet cauri piramīdas virsotnei. Tad vēlamā lidmašīna - Un lidmašīna jau mums ir iedota. Mēs meklējam punktu koordinātas.

Mēs atrodam punkta koordinātu caur punktu. No neliela zīmējuma var viegli secināt, ka punkta koordinātas būs šādas: Kas tagad ir jāatrod, lai atrastu piramīdas virsotnes koordinātas? Joprojām jāaprēķina tā augstums. Tas tiek darīts, izmantojot to pašu Pitagora teorēmu: vispirms pierādiet to (triviāli no maziem trīsstūriem, kas veido kvadrātu pie pamatnes). Kopš nosacījuma mums ir:

Tagad viss ir gatavs: virsotņu koordinātas:

Mēs sastādām plaknes vienādojumu:

Jūs jau esat eksperts noteicošo faktoru aprēķināšanā. Viegli saņemsi:

Vai citādi (ja mēs reizinām abas daļas ar divu sakni)

Tagad atradīsim plaknes vienādojumu:

(Jūs taču neaizmirsāt, kā mēs iegūstam plaknes vienādojumu, vai ne? Ja nesaprotat, no kurienes šis mīnus viens, tad atgriezieties pie plaknes vienādojuma definīcijas! Tas vienkārši vienmēr izrādījās pirms tam ka mana lidmašīna piederēja izcelsmei!)

Mēs aprēķinām determinantu:

(Varat pamanīt, ka plaknes vienādojums sakrita ar taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem, un! Padomājiet, kāpēc!)

Tagad mēs aprēķinām leņķi:

Mums jāatrod sinuss:

Atbilde:

3. Sarežģīts jautājums: kas ir taisnstūra prizma, kā jūs domājat? Tas ir tikai jums labi zināms paralēlskaldnis! Uzreiz zīmēju! Jūs pat nevarat atsevišķi attēlot pamatni, šeit no tā ir maz jēgas:

Plakne, kā jau minēts iepriekš, ir uzrakstīta kā vienādojums:

Tagad mēs veidojam lidmašīnu

Mēs nekavējoties sastādām plaknes vienādojumu:

Meklē leņķi

Tagad atbildes uz pēdējām divām problēmām:

Nu, tagad ir laiks paņemt pārtraukumu, jo mēs ar jums esam lieliski un esam paveikuši lielisku darbu!

Koordinātas un vektori. Augsts līmenis

Šajā rakstā mēs ar jums apspriedīsim vēl vienu problēmu klasi, ko var atrisināt, izmantojot koordinātu metodi: attāluma problēmas. Proti, mēs izskatīsim šādus gadījumus:

1. Attāluma aprēķināšana starp šķībām līnijām.

Dotos uzdevumus esmu pasūtījis, pieaugot to sarežģītībai. Visvieglāk ir atrast attālums no punkta līdz plaknei un grūtākais ir atrast attālums starp krustojošām līnijām. Lai gan, protams, nekas nav neiespējams! Nevilcināsim un nekavējoties pāriesim pie pirmās klases problēmu izskatīšanas:

Attāluma aprēķināšana no punkta līdz plaknei

Kas mums ir nepieciešams, lai atrisinātu šo problēmu?

1. Punkta koordinātas

Tātad, tiklīdz mēs iegūstam visus nepieciešamos datus, mēs izmantojam formulu:

Jums jau vajadzētu zināt, kā mēs veidojam plaknes vienādojumu no iepriekšējām problēmām, kuras es analizēju pēdējā daļā. Tūlīt ķersimies pie lietas. Shēma ir šāda: 1, 2 - es palīdzu jums izlemt, un diezgan detalizēti, 3, 4 - tikai atbilde, jūs pats pieņemat lēmumu un salīdziniet. Sākās!

Uzdevumi:

1. Dots kubs. Kuba malas garums ir Find-di-te attālums no se-re-di-ny no griezuma līdz plakanam

2. Ņemot vērā labo-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe malu simts-ro-uz os-no-va-nia ir vienāds. Atrodi-di-tos attālumus no punkta līdz plaknei, kur - se-re-di-uz malām.

3. Labajā trīsstūrī pi-ra-mi-de ar os-but-va-ni-em otra mala ir vienāda, un viena simts-ro-on os-no-va-niya ir vienāda. Atrodiet šos attālumus no augšas līdz plaknei.

4. Labās puses sešogļu prizmā visas malas ir vienādas. Atrodiet šos attālumus no punkta līdz plaknei.

Risinājumi:

1. Uzzīmējiet kubu ar atsevišķām malām, izveidojiet segmentu un plakni, segmenta vidu apzīmējiet ar burtu

.

Pirmkārt, sāksim ar vienkāršu: atrodiet punkta koordinātas. Kopš tā laika (atcerieties segmenta vidus koordinātas!)

Tagad mēs sastādām plaknes vienādojumu trīs punktos

\[\pa kreisi| (\begin(masīvs)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masīvs)) \right| = 0\]

Tagad es varu sākt meklēt attālumu:

2. Atkal sākam ar zīmējumu, uz kura atzīmējam visus datus!

Piramīdai būtu lietderīgi tās pamatu uzzīmēt atsevišķi.

Pat tas, ka es zīmēju kā vistas ķepa, netraucēs mums viegli atrisināt šo problēmu!

Tagad ir viegli atrast punkta koordinātas

Tā kā punkta koordinātas

2. Tā kā punkta a koordinātas ir nogriežņa vidusdaļa, tad

Mēs viegli varam atrast koordinātas vēl diviem plaknes punktiem. Mēs sastādām plaknes vienādojumu un vienkāršojam to:

\[\pa kreisi| (\left| (\begin(masīvs)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masīvs)) \right|) \right| = 0\]

Tā kā punktam ir koordinātes: , tad mēs aprēķinām attālumu:

Atbilde (ļoti reti!):

Nu vai tu saprati? Man šķiet, ka šeit viss ir tikpat tehniski kā piemēros, ko mēs izskatījām ar jums iepriekšējā daļā. Tāpēc esmu pārliecināts, ka, ja esat apguvis šo materiālu, jums nebūs grūti atrisināt atlikušās divas problēmas. Es tikai sniegšu jums atbildes:

Attāluma aprēķināšana no līnijas līdz plaknei

Patiesībā šeit nav nekā jauna. Kā līnija un plakne var atrasties viena pret otru? Viņiem ir visas iespējas: krustoties, vai taisne ir paralēla plaknei. Kāds, jūsuprāt, ir attālums no taisnes līdz plaknei, ar kuru dotā taisne krustojas? Man šķiet, ka ir skaidrs, ka šāds attālums ir vienāds ar nulli. Neinteresants gadījums.

Otrais gadījums ir sarežģītāks: šeit attālums jau nav nulle. Tomēr, tā kā līnija ir paralēla plaknei, tad katrs līnijas punkts atrodas vienādā attālumā no šīs plaknes:

Tādējādi:

Un tas nozīmē, ka mans uzdevums ir samazināts līdz iepriekšējam: mēs meklējam jebkura taisnes punkta koordinātas, mēs meklējam plaknes vienādojumu, mēs aprēķinām attālumu no punkta līdz plaknei. Faktiski šādi uzdevumi eksāmenā ir ārkārtīgi reti. Man izdevās atrast tikai vienu problēmu, un tajā esošie dati bija tādi, ka koordinātu metode tai nebija īpaši piemērojama!

Tagad pāriesim pie citas, daudz svarīgākas problēmu klases:

Punkta attāluma līdz taisnei aprēķināšana

Kas mums būs vajadzīgs?

1. Punkta koordinātas, no kuras mēs meklējam attālumu:

2. Jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz taisnes

3. Taisnes virziena vektora koordinātas

Kādu formulu mēs izmantojam?

Ko jums nozīmē šīs daļas saucējs, un tāpēc ir jābūt skaidram: tas ir taisnes virzošā vektora garums. Šeit ir ļoti viltīgs skaitītājs! Izteiksme nozīmē vektoru vektorreizes moduli (garumu) un Kā aprēķināt vektoru reizinājumu, mēs pētījām iepriekšējā darba daļā. Atsvaidzini savas zināšanas, tās mums tagad ļoti noderēs!

Tādējādi problēmu risināšanas algoritms būs šāds:

1. Mēs meklējam punkta koordinātas, no kuras mēs meklējam attālumu:

2. Mēs meklējam jebkura punkta koordinātas uz līnijas, līdz kurai mēs meklējam attālumu:

3. Vektora veidošana

4. Veidojam taisnes virziena vektoru

5. Aprēķiniet šķērsreizinājumu

6. Mēs meklējam iegūtā vektora garumu:

7. Aprēķiniet attālumu:

Mums ir daudz darba, un piemēri būs diezgan sarežģīti! Tāpēc tagad koncentrējiet visu savu uzmanību!

1. Dana ir labās puses trīsstūrveida pi-ra-mi-da ar virsotni. Simts-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy ir vienāds, jūs-so-ta ir vienāds. Atrodiet tos attālumus no bo-ko-th malas se-re-di-ny līdz taisnei, kur punkti un ir ribu se-re-di-ny un co-vet -stven-but.

2. Ribu garumi un taisnleņķa-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ir attiecīgi vienādi, un Find-di-te attālums no top-shi-ny līdz taisnā-my.

3. Labajā sešu ogļu prizmā visas spieta malas ir vienādas, atrodiet to attālumu no punkta līdz taisnai līnijai.

Risinājumi:

1. Izgatavojam glītu zīmējumu, uz kura atzīmējam visus datus:

Mums jums ir daudz darba! Vispirms vēlos vārdos aprakstīt, ko mēs meklēsim un kādā secībā:

1. Punktu koordinātes un

2. Punkta koordinātas

3. Punktu koordinātes un

4. Vektoru koordinātas un

5. Viņu krustojums

6. Vektora garums

7. Vektora reizinājuma garums

8. Attālums no līdz

Nu, mums ir daudz darba! Uzrotīsim piedurknes!

1. Lai atrastu piramīdas augstuma koordinātas, mums jāzina punkta koordinātas, kuras aplikācija ir nulle, un ordināta ir vienāda ar tās abscisu. Visbeidzot, mēs saņēmām koordinātas:

Punkta koordinātas

2. - segmenta vidusdaļa

3. - segmenta vidusdaļa

viduspunkts

4.Koordinātas

Vektoru koordinātas

5. Aprēķiniet vektora reizinājumu:

6. Vektora garums: vienkāršākais veids ir aizstāt to, ka segments ir trijstūra viduslīnija, kas nozīmē, ka tas ir vienāds ar pusi no pamatnes. Tā ka.

7. Mēs ņemam vērā vektora reizinājuma garumu:

8. Visbeidzot atrodiet attālumu:

Fu, tas arī viss! Godīgi sakot, es jums teikšu: atrisināt šo problēmu ar tradicionālām metodēm (ar konstrukciju palīdzību) būtu daudz ātrāk. Bet te es visu samazināju līdz gatavam algoritmam! Es domāju, ka risinājuma algoritms jums ir skaidrs? Tāpēc es lūgšu jums pašiem atrisināt atlikušās divas problēmas. Vai salīdzināt atbildes?

Vēlreiz atkārtoju: šīs problēmas ir vieglāk (ātrāk) atrisināt ar konstrukciju palīdzību, nevis ķerties pie koordinātu metodes. Es demonstrēju šo risināšanas veidu tikai tāpēc, lai parādītu jums universālu metodi, kas ļauj “neko nepabeigt”.

Visbeidzot, apsveriet pēdējo problēmu klasi:

Attāluma aprēķināšana starp šķībām līnijām

Šeit problēmu risināšanas algoritms būs līdzīgs iepriekšējam. Kas mums ir:

3. Jebkurš vektors, kas savieno pirmās un otrās līnijas punktus:

Kā mēs atrodam attālumu starp līnijām?

Formula ir:

Skaitītājs ir jauktā reizinājuma modulis (mēs to ieviesām iepriekšējā daļā), un saucējs - tāpat kā iepriekšējā formulā (līniju virzošo vektoru vektorprodukta modulis, attālums, starp kuru mēs skatāmies priekš).

Es jums to atgādināšu

tad attāluma formulu var pārrakstīt kā:

Sadaliet šo noteicēju ar determinantu! Lai gan, godīgi sakot, man te nav noskaņojuma jokiem! Šī formula patiesībā ir ļoti apgrūtinoša un noved pie diezgan sarežģītiem aprēķiniem. Ja es būtu tavā vietā, es to izmantotu tikai kā pēdējo līdzekli!

Mēģināsim atrisināt dažas problēmas, izmantojot iepriekš minēto metodi:

1. Labajā trīsstūra prizmā visas malas ir kaut kā vienādas, atrodiet attālumu starp taisnēm un.

2. Ņemot vērā taisnās priekšējās formas trīsstūrveida prizmu, visas kāda os-no-va-niya malas ir vienādas ar Se-che-tion, kas iet caur otru ribu un se-re-di-nu ribas ir yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie starp taisni-mēs-mi un

Es izlemju pirmo, un, pamatojoties uz to, jūs izlemjat otro!

1. Uzzīmēju prizmu un atzīmēju līnijas un

C punkta koordinātas: tad

Punkta koordinātas

Vektoru koordinātas

Punkta koordinātas

Vektoru koordinātas

Vektoru koordinātas

\[\left((B,\overright bultiņa (A(A_1)) \overright bultiņa (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(masīvs))\\(\begin(masīvs)(*(20) (c))0&0&1\end(masīvs))\\(\begin(masīvs)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masīvs))\end(masīvs)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mēs uzskatām krustojumu starp vektoriem un

\[\overright arrow (A(A_1)) \cdot \overright arrow (B(C_1)) = \left| \begin(masīvs)(l)\begin(masīvs)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masīvs)\\\begin(masīvs) )(*(20)(c))0&0&1\end(masīvs)\\\begin(masīvs)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masīvs)\end(masīvs) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Tagad mēs ņemam vērā tā garumu:

Atbilde:

Tagad mēģiniet rūpīgi izpildīt otro uzdevumu. Atbilde uz to būs:.

Koordinātas un vektori. Īss apraksts un pamatformulas

Vektors ir virzīts segments. - vektora sākums, - vektora beigas.
Vektoru apzīmē ar vai.

Absolūtā vērtība vektors - vektoru attēlojošā segmenta garums. Apzīmēts kā.

Vektoru koordinātas:

,
kur ir vektora \displaystyle a gali.

Vektoru summa: .

Vektoru reizinājums:

Vektoru punktu reizinājums:

Vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar to absolūto vērtību un leņķa kosinusu starp tiem:

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu eksāmena nokārtošanu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (ne obligāti), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Definīcija

Skalārs- vērtība, ko var raksturot ar skaitli. Piemēram, garums, platība, masa, temperatūra utt.

Vektors virzītu segmentu sauc par $\overline(A B)$; punkts $A$ ir vektora sākums, punkts $B$ ir vektora beigas (1. att.).

Vektoru apzīmē vai nu ar diviem lielajiem burtiem - tā sākumu un beigas: $\overline(A B)$ vai ar vienu mazo burtu: $\overline(a)$.

Definīcija

Ja vektora sākums un beigas ir vienādi, tad šādu vektoru sauc nulle. Visbiežāk nulles vektors tiek apzīmēts kā $\overline(0)$.

Vektorus sauc kolineārs, ja tie atrodas vai nu uz vienas līnijas, vai uz paralēlām līnijām (2. att.).

Definīcija

Tiek izsaukti divi kolineārie vektori $\overline(a)$ un $\overline(b)$ līdzvirziena, ja to virzieni ir vienādi: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (3. att., a). Tiek izsaukti divi kolineārie vektori $\overline(a)$ un $\overline(b)$ pretējos virzienos, ja to virzieni ir pretēji: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (3.b att.).

Definīcija

Vektorus sauc koplanārs ja tie ir paralēli vienai plaknei vai atrodas vienā plaknē (4. att.).

Divi vektori vienmēr ir vienā plaknē.

Definīcija

Garums (modulis) vektors $\overline(A B)$ ir attālums starp tā sākumu un beigām: $|\overline(A B)|$

Detalizēta teorija par vektora garumu ir atrodama saitē.

Nulles vektora garums ir nulle.

Definīcija

Tiek izsaukts vektors, kura garums ir vienāds ar vienu vienības vektors vai ortom.

Vektorus sauc vienāds ja tie atrodas uz vienas vai paralēlas līnijas; to virzieni sakrīt un garumi ir vienādi.

Citiem vārdiem sakot, divi vektori vienāds, ja tie ir kolineāri, kopīgi virzīti un tiem ir vienāds garums:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Patvaļīgā telpas punktā $M$ var izveidot vienu vektoru $\overline(M N)$, kas vienāds ar doto vektoru $\overline(A B)$.

Beidzot tiku pie plašas un ilgi gaidītas tēmas analītiskā ģeometrija. Pirmkārt, nedaudz par šo augstākās matemātikas sadaļu… Protams, jūs tagad atcerējāties skolas ģeometrijas kursu ar daudzām teorēmām, to pierādījumiem, zīmējumiem utt. Ko slēpt, ievērojamai daļai skolēnu nemīlēts un bieži vien neskaidrs priekšmets. Analītiskā ģeometrija, dīvainā kārtā, var šķist interesantāka un pieejamāka. Ko nozīmē īpašības vārds "analītisks"? Uzreiz prātā nāk divi apzīmogoti matemātiski pagriezieni: “risinājuma grafiskā metode” un “risinājuma analītiskā metode”. Grafiskā metode, protams, ir saistīta ar grafiku, zīmējumu konstruēšanu. Analītisks tas pats metodi ietver problēmu risināšanu pārsvarā izmantojot algebriskas darbības. Šajā sakarā gandrīz visu analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanas algoritms ir vienkāršs un caurspīdīgs, bieži vien pietiek ar precīzu nepieciešamo formulu piemērošanu - un atbilde ir gatava! Nē, protams, neiztiks arī bez zīmējumiem, turklāt labākai materiāla izpratnei centīšos tos ienest pāri nepieciešamībai.

Ģeometrijas stundu atvērtais kurss nepretendē uz teorētisko pabeigtību, tas ir vērsts uz praktisku uzdevumu risināšanu. Savās lekcijās iekļaušu tikai to, kas, manuprāt, ir praktiski svarīgi. Ja jums nepieciešama pilnīgāka atsauce uz kādu apakšsadaļu, es iesaku šādu diezgan pieejamu literatūru:

1) Lieta, kas, ne pa jokam, ir pazīstama vairākām paaudzēm: Skolas mācību grāmata par ģeometriju, autori - L.S. Atanasjans un kompānija. Šis skolas ģērbtuves pakaramais ir izturējis jau 20 (!) atkārtotus izdevumus, kas, protams, nav robeža.

2) Ģeometrija 2 sējumos. Autori L.S. Atanasjans, Baziļevs V.T.. Šī ir literatūra augstākajai izglītībai, jums būs nepieciešama pirmais sējums. Reti veicami uzdevumi var izkrist no mana redzesloka, un apmācība būs nenovērtējama palīdzība.

Abas grāmatas var bez maksas lejupielādēt tiešsaistē. Turklāt jūs varat izmantot manu arhīvu ar gataviem risinājumiem, kas atrodami lapā Lejupielādējiet augstākās matemātikas piemērus.

No instrumentiem es atkal piedāvāju savu attīstību - programmatūras pakotne uz analītisko ģeometriju, kas ievērojami vienkāršos dzīvi un ietaupīs daudz laika.

Tiek pieņemts, ka lasītājs pārzina ģeometriskos pamatjēdzienus un figūras: punkts, taisne, plakne, trīsstūris, paralelograms, paralēlskaldnis, kubs utt. Ieteicams atcerēties dažas teorēmas, vismaz Pitagora teorēmu, sveiki atkārtotāji)

Un tagad mēs secīgi apsvērsim: vektora jēdzienu, darbības ar vektoriem, vektoru koordinātas. Tālāk iesaku lasīt svarīgākais raksts Vektoru punktu reizinājums, kā arī Vektors un vektoru jauktais reizinājums. Vietējais uzdevums nebūs lieks - Segmenta sadalīšana šajā sakarā. Pamatojoties uz iepriekš minēto informāciju, jūs varat plaknes taisnes vienādojums ar vienkāršākie risinājumu piemēri, kas ļaus iemācīties risināt ģeometrijas uzdevumus. Noderīgi ir arī šādi raksti: Plaknes vienādojums telpā, Taisnas līnijas vienādojumi telpā, Pamatproblēmas uz taisnes un plaknes , citas analītiskās ģeometrijas sadaļas. Protams, pa ceļam tiks ņemti vērā standarta uzdevumi.

Vektora jēdziens. bezmaksas vektors

Vispirms atkārtosim vektora skolas definīciju. Vektors sauca režisēts segments, kuram ir norādīts tā sākums un beigas:

Šajā gadījumā segmenta sākums ir punkts, segmenta beigas ir punkts. Pats vektors tiek apzīmēts ar . Virziens ir būtiski, ja pārkārtojat bultiņu uz otru segmenta galu, jūs iegūstat vektoru, un tas jau ir pilnīgi atšķirīgs vektors. Vektora jēdzienu ir ērti identificēt ar fiziska ķermeņa kustību: jāatzīst, ka ienākšana pa institūta durvīm vai iziešana no institūta durvīm ir pilnīgi atšķirīgas lietas.

Ir ērti uzskatīt atsevišķus plaknes punktus, telpu par t.s nulles vektors. Šādam vektoram ir vienāds beigas un sākums.

!!! Piezīme: Šeit un tālāk var pieņemt, ka vektori atrodas vienā plaknē vai arī var pieņemt, ka tie atrodas telpā - iesniegtā materiāla būtība ir spēkā gan plaknei, gan telpai.

Apzīmējumi: Daudzi uzreiz vērsa uzmanību uz nūju bez bultiņas apzīmējumā un teica, ka arī bultiņu liek augšā! Pareizi, ar bultiņu var rakstīt: , bet pieļaujams un ierakstu, ko izmantošu vēlāk. Kāpēc? Acīmredzot šāds ieradums ir izveidojies no praktiskiem apsvērumiem, mani šāvēji skolā un augstskolā izrādījās pārāk daudzveidīgi un pinkaini. Mācību literatūrā dažreiz viņi nemaz neuztraucas ar ķīļrakstu, bet izceļ burtus treknrakstā: , tādējādi norādot, ka tas ir vektors.

Tāds bija stils, un tagad par vektoru rakstīšanas veidiem:

1) Vektorus var rakstīt ar diviem lielajiem latīņu burtiem:
utt. Kamēr pirmais burts obligāti apzīmē vektora sākuma punktu, bet otrais burts apzīmē vektora beigu punktu.

2) Vektorus raksta arī ar maziem latīņu burtiem:
Konkrēti, mūsu vektoru īsuma labad var pārzīmēt ar mazu latīņu burtu .

Garums vai modulis vektoru, kas nav nulle, sauc par segmenta garumu. Nulles vektora garums ir nulle. Loģiski.

Vektora garumu apzīmē ar moduļa zīmi: ,

Kā atrast vektora garumu, mēs uzzināsim (vai atkārtosim, kam kā) nedaudz vēlāk.

Tā bija elementāra informācija par vektoru, kas bija pazīstama visiem skolēniem. Analītiskajā ģeometrijā ts bezmaksas vektors.

Ja tas ir pavisam vienkārši - vektoru var novilkt no jebkura punkta:

Agrāk šādus vektorus saucām par vienādiem (vienādīgo vektoru definīcija tiks dota zemāk), bet no tīri matemātiskā viedokļa tas ir TAS PATS VEKTORS vai bezmaksas vektors. Kāpēc bezmaksas? Jo uzdevumu risināšanas gaitā var “pieslēgt” vienu vai otru vektoru JEBKURAM sev vajadzīgā plaknes vai telpas punktam. Šis ir ļoti foršs īpašums! Iedomājieties patvaļīga garuma un virziena vektoru - to var "klonēt" bezgalīgi daudz reižu un jebkurā telpas punktā, patiesībā tas pastāv VISUR. Ir tāds studentu sakāmvārds: Katrs lektors f ** u vektorā. Galu galā, ne tikai asprātīgs rīms, viss ir matemātiski pareizi - arī tur var pievienot vektoru. Bet nesteidzieties priecāties, studenti paši cieš biežāk =)

Tātad, bezmaksas vektors-Šo ķekars identiski virziena segmenti. Skolas vektora definīcija, kas dota rindkopas sākumā: “Virzītu segmentu sauc par vektoru ...” nozīmē. specifisks virzīts segments, kas ņemts no dotās kopas, kas piestiprināts noteiktam plaknes vai telpas punktam.

Jāņem vērā, ka no fizikas viedokļa brīva vektora jēdziens parasti ir nepareizs, un vektora pielietojuma vietai ir nozīme. Patiešām, pietiek ar tiešu tāda paša spēka sitienu pa degunu vai pieri, lai attīstītu manu muļķīgo piemēru, tas rada dažādas sekas. tomēr nav bezmaksas vektori ir sastopami arī vyshmat gaitā (tur neiet :)).

Darbības ar vektoriem. Vektoru kolinearitāte

Skolas ģeometrijas kursā tiek ņemtas vērā vairākas darbības un noteikumi ar vektoriem: saskaitīšana pēc trijstūra likuma, saskaitīšana pēc paralelograma likuma, vektoru starpības noteikums, vektora reizināšana ar skaitli, vektoru skalārā reizinājums utt. Kā sēklu mēs atkārtojam divus noteikumus, kas ir īpaši svarīgi analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanai.

Vektoru saskaitīšanas noteikums pēc trijstūra likuma

Apsveriet divus patvaļīgus nulles vektorus un:

Ir nepieciešams atrast šo vektoru summu. Sakarā ar to, ka visi vektori tiek uzskatīti par brīviem, mēs atliekam vektoru no beigas vektors:

Vektoru summa ir vektors . Lai labāk izprastu noteikumu, ieteicams tam piešķirt fizisku nozīmi: ļaujiet kādam ķermenim izveidot ceļu pa vektoru un pēc tam pa vektoru . Tad vektoru summa ir iegūtā ceļa vektors, kas sākas izejas punktā un beidzas pienākšanas punktā. Līdzīgs noteikums ir formulēts jebkura vektoru skaita summai. Kā saka, ķermenis var iet savu ceļu stipri zigzagā vai varbūt autopilotā - pa iegūto summas vektoru.

Starp citu, ja vektors tiek atlikts no sākt vektors , tad iegūstam ekvivalentu paralelograma noteikums vektoru pievienošana.

Pirmkārt, par vektoru kolinearitāti. Abi vektori tiek saukti kolineārs ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām. Aptuveni runājot, mēs runājam par paralēliem vektoriem. Bet attiecībā uz tiem vienmēr tiek lietots īpašības vārds "kolineārs".

Iedomājieties divus kolineārus vektorus. Ja šo vektoru bultiņas ir vērstas vienā virzienā, tad šādus vektorus sauc līdzvirziena. Ja bultiņas skatās dažādos virzienos, tad vektori būs pretēji vērsta.

Apzīmējumi: vektoru kolinearitāte tiek rakstīta ar parasto paralēlisma ikonu: , savukārt ir iespējama detalizācija: (vektori ir vērsti līdzās) vai (vektori ir vērsti pretēji).

strādāt no nulles vektora ar numuru ir vektors, kura garums ir vienāds ar , Un vektori un ir kopīgi vērsti uz un pretēji vērsti uz .

Noteikums vektora reizināšanai ar skaitli ir vieglāk saprotams ar attēlu:

Mēs saprotam sīkāk:

1) Virziens. Ja reizinātājs ir negatīvs, tad vektors maina virzienu uz pretējo.

2) garums. Ja koeficients ir ietverts vai , tad vektora garums samazinās. Tātad vektora garums ir divreiz mazāks par vektora garumu. Ja moduļu reizinātājs ir lielāks par vienu, tad vektora garums palielinās laikā.

3) Lūdzu, ņemiet vērā visi vektori ir kolineāri, kamēr viens vektors tiek izteikts caur citu, piemēram, . Arī otrādi ir taisnība: ja vienu vektoru var izteikt ar citu vektoru, tad šādi vektori noteikti ir kolineāri. Tādējādi: ja mēs reizinām vektoru ar skaitli, mēs iegūstam kolineāru(attiecībā pret oriģinālu) vektors.

4) vektori ir līdzvirziena. Vektori un ir arī līdzvirziena. Jebkurš pirmās grupas vektors ir pretējs jebkuram otrās grupas vektoram.

Kādi vektori ir vienādi?

Divi vektori ir vienādi, ja tie ir līdzvirziena un tiem ir vienāds garums. Ņemiet vērā, ka līdzvirziens nozīmē, ka vektori ir kolineāri. Definīcija būs neprecīza (lieka), ja sakāt: "Divi vektori ir vienādi, ja tie ir kolineāri, kopīgi virzīti un tiem ir vienāds garums."

No brīvā vektora jēdziena viedokļa vienādi vektori ir viens un tas pats vektors, par ko jau tika runāts iepriekšējā punktā.

Vektoru koordinātas plaknē un telpā

Pirmais punkts ir ņemt vērā vektorus plaknē. Uzzīmējiet Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu un novietojiet to malā no sākuma viens vektori un:

Vektori un ortogonāls. Ortogonāls = perpendikulārs. Iesaku lēnām pierast pie terminiem: paralēlisma un perpendikularitātes vietā lietojam vārdus attiecīgi kolinearitāte un ortogonalitāte.

Apzīmējums: vektoru ortogonalitāti raksta ar parasto perpendikula zīmi, piemēram: .

Aplūkotos vektorus sauc koordinātu vektori vai orts. Šie vektori veidojas pamata uz virsmas. Kas ir pamats, manuprāt, daudziem ir intuitīvi skaidrs, sīkāku informāciju var atrast rakstā Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru pamats.Vienkārši sakot, koordinātu pamats un izcelsme nosaka visu sistēmu - tas ir sava veida pamats, uz kura vārās pilnvērtīga un bagāta ģeometriskā dzīve.

Dažreiz tiek saukts konstruētais pamats ortonormāls plaknes pamats: "orto" - jo koordinātu vektori ir ortogonāli, īpašības vārds "normalizēts" nozīmē vienību, t.i. bāzes vektoru garumi ir vienādi ar vienu.

Apzīmējums: pamatu parasti raksta iekavās, kuru iekšpusē stingrā kārtībā bāzes vektori ir uzskaitīti, piemēram: . Koordinātu vektori tas ir aizliegts samainīties vietām.

Jebkurš plaknes vektors vienīgais ceļš izteikts kā:
, kur - cipariem, kurus sauc vektora koordinātasšajā pamatā. Bet pati izteiksme sauca vektoru dekompozīcijapamata .

Pasniedz vakariņas:

Sāksim ar alfabēta pirmo burtu: . Zīmējums skaidri parāda, ka, sadalot vektoru bāzes izteiksmē, tiek izmantoti tikko apskatītie:
1) vektora reizināšanas ar skaitli noteikums: un ;
2) vektoru saskaitīšana pēc trijstūra likuma: .

Tagad garīgi novietojiet vektoru malā no jebkura cita plaknes punkta. Ir pilnīgi skaidrs, ka viņa korupcija viņam "nerimstoši sekos". Lūk, vektora brīvība – vektors “nes visu sev līdzi”. Šis īpašums, protams, attiecas uz jebkuru vektoru. Smieklīgi, ka pašiem bāzes (brīvajiem) vektoriem nav jābūt malā no sākuma, vienu var uzzīmēt, piemēram, apakšā pa kreisi, bet otru augšā pa labi, un no šī nekas nemainīsies! Tiesa, jums tas nav jādara, jo skolotājs arī parādīs oriģinalitāti un neparedzētā vietā izliks jums “ielaidi”.

Vektori , precīzi ilustrē noteikumu vektora reizināšanai ar skaitli, vektors ir vērsts kopā ar bāzes vektoru , vektors ir vērsts pretī bāzes vektoram. Šiem vektoriem viena no koordinātām ir vienāda ar nulli, to var rūpīgi uzrakstīt šādi:


Un bāzes vektori, starp citu, ir šādi: (patiesībā tie tiek izteikti caur sevi).

Un visbeidzot: , . Starp citu, kas ir vektoru atņemšana, un kāpēc es jums nepateicu par atņemšanas likumu? Kaut kur lineārajā algebrā, neatceros kur, atzīmēju, ka atņemšana ir īpašs saskaitīšanas gadījums. Tātad vektoru "de" un "e" paplašinājumus mierīgi raksta kā summu: . Pārkārtojiet terminus pa vietām un sekojiet zīmējumam, cik skaidri šajās situācijās darbojas vecais labais vektoru saskaitījums pēc trijstūra likuma.

Apskatīts formas sadalīšanās dažreiz saukta par vektoru sadalīšanos sistēmā ort(t.i. vienību vektoru sistēmā). Bet tas nav vienīgais veids, kā rakstīt vektoru, ir izplatīta šāda opcija:

Vai ar vienādības zīmi:

Pašus bāzes vektorus raksta šādi: un

Tas ir, vektora koordinātas ir norādītas iekavās. Praktiskajos uzdevumos tiek izmantotas visas trīs ierakstīšanas iespējas.

Šaubījos, vai runāt, bet tomēr teikšu: vektora koordinātas nevar pārkārtot. Stingri pirmajā vietā pierakstiet koordinātu, kas atbilst vienības vektoram, stingri otrajā vietā pierakstiet koordinātu, kas atbilst vienības vektoram. Patiešām, un ir divi dažādi vektori.

Mēs uzzinājām koordinātas lidmašīnā. Tagad apsveriet vektorus trīsdimensiju telpā, šeit viss ir gandrīz vienāds! Tiks pievienota tikai vēl viena koordināte. Ir grūti veikt trīsdimensiju zīmējumus, tāpēc es aprobežošos ar vienu vektoru, kuru vienkāršības labad atlikšu no sākuma:

Jebkurš 3D telpas vektors vienīgais ceļš paplašināt ortonormāli:
, kur ir vektora (skaitļa) koordinātes dotajā bāzē.

Piemērs no attēla: . Apskatīsim, kā šeit darbojas vektora darbības noteikumi. Pirmkārt, vektora reizināšana ar skaitli: (sarkanā bultiņa), (zaļā bultiņa) un (fuksīna bultiņa). Otrkārt, šeit ir vairāku, šajā gadījumā trīs, vektoru pievienošanas piemērs: . Summas vektors sākas sākuma punktā (vektora sākumā) un beidzas galapunktā (vektora beigās).

Visi trīsdimensiju telpas vektori, protams, arī ir brīvi, mēģiniet garīgi atlikt vektoru no jebkura cita punkta, un jūs sapratīsit, ka tā paplašināšanās "paliek ar to".

Līdzīgi kā lidmašīnas gadījumā, papildus rakstīšanai versijas ar iekavām tiek plaši izmantotas: vai nu .

Ja izvērsumā trūkst viena (vai divu) koordinātu vektoru, tad tā vietā tiek liktas nulles. Piemēri:
vektors (rūpīgi ) - pierakstīt ;
vektors (rūpīgi ) - pierakstīt ;
vektors (rūpīgi ) - pierakstīt .

Bāzes vektorus raksta šādi:

Šeit, iespējams, ir visas minimālās teorētiskās zināšanas, kas nepieciešamas analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanai. Varbūt ir pārāk daudz terminu un definīciju, tāpēc es iesaku manekeniem vēlreiz izlasīt un saprast šo informāciju. Un jebkuram lasītājam noderēs ik pa laikam atsaukties uz pamata nodarbību, lai materiāls labāk asimilētu. Kollinearitāte, ortogonalitāte, ortonormālā bāze, vektoru dekompozīcija — šie un citi jēdzieni turpmāk tiks bieži izmantoti. Es atzīmēju, ka ar vietnes materiāliem nepietiek, lai nokārtotu teorētisko pārbaudi, ģeometrijas kolokviju, jo es rūpīgi šifrēju visas teorēmas (turklāt bez pierādījumiem) - kaitējot zinātniskajam prezentācijas stilam, bet plus jūsu izpratnei no tēmas. Lai iegūtu detalizētu teorētisko informāciju, es lūdzu paklanīties profesora Atanasjana priekšā.

Tagad pāriesim uz praktisko daļu:

Vienkāršākās analītiskās ģeometrijas problēmas.
Darbības ar vektoriem koordinātēs

Uzdevumus, kas tiks izskatīti, ļoti vēlams iemācīties tos atrisināt pilnībā automātiski, un formulas iegaumēt, pat tīšām to neatceros, viņi paši atcerēsies =) Tas ir ļoti svarīgi, jo citas analītiskās ģeometrijas problēmas ir balstītas uz vienkāršākajiem elementārajiem piemēriem, un būs kaitinoši pavadīt papildu laiku, ēdot bandiniekus. Krekla augšējās pogas nav jāpiesprauž, daudzas lietas ir pazīstamas no skolas laikiem.

Materiāla prezentācija noritēs paralēli – gan plaknei, gan telpai. Tā iemesla dēļ, ka visas formulas ... jūs redzēsiet paši.

Kā atrast vektoru ar diviem punktiem?

Ja ir doti divi plaknes punkti un, tad vektoram ir šādas koordinātas:

Ja ir doti divi punkti telpā un, tad vektoram ir šādas koordinātas:

T.i., no vektora beigu koordinātām jums ir jāatņem atbilstošās koordinātas vektora sākums.

Vingrinājums: Tiem pašiem punktiem pierakstiet formulas vektora koordinātu atrašanai. Formulas nodarbības beigās.

1. piemērs

Doti divi punkti plaknē un . Atrodiet vektora koordinātas

Lēmums: pēc atbilstošās formulas:

Alternatīvi var izmantot šādu apzīmējumu:

Estēti izlems šādi:

Personīgi esmu pieradis pie pirmās ieraksta versijas.

Atbilde:

Saskaņā ar nosacījumu nebija jāveido zīmējums (kas ir raksturīgi analītiskās ģeometrijas uzdevumiem), bet, lai izskaidrotu dažus punktus manekeniem, es nebūšu slinks:

Jāsaprot atšķirība starp punktu koordinātām un vektora koordinātām:

Punkta koordinātas ir parastās koordinātas taisnstūra koordinātu sistēmā. Es domāju, ka visi zina, kā uzzīmēt punktus koordinātu plaknē, sākot no 5. līdz 6. klasei. Katram punktam plaknē ir stingra vieta, un tos nevar nekur pārvietot.

Tā paša vektora koordinātas ir tā paplašināšana attiecībā uz bāzi , šajā gadījumā . Jebkurš vektors ir brīvs, tāpēc, ja nepieciešams, mēs varam to viegli atlikt no kāda cita plaknes punkta. Interesanti, ka vektoriem asis nevar uzbūvēt vispār, taisnstūrveida koordinātu sistēmu, vajag tikai bāzi, šajā gadījumā plaknes ortonormālo bāzi.

Punktu koordinātu un vektoru koordinātu ieraksti šķiet līdzīgi: , un koordinātu sajūta absolūti savādāk, un jums ir labi jāapzinās šī atšķirība. Šī atšķirība, protams, attiecas arī uz telpu.

Dāmas un kungi, mēs piepildām rokas:

2. piemērs

a) Ņemot vērā punktus un . Atrodiet vektorus un .
b) Tiek doti punkti un . Atrodiet vektorus un .
c) Ņemot vērā punktus un . Atrodiet vektorus un .
d) Tiek piešķirti punkti. Atrodiet vektorus .

Varbūt pietiek. Tie ir piemēri patstāvīgam lēmumam, centieties tos neatstāt novārtā, tas atmaksāsies ;-). Zīmējumi nav nepieciešami. Risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Kas ir svarīgi analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanā? Ir svarīgi būt ĪPAŠI UZMANĪGIEM, lai izvairītos no meistarīgās kļūdas “divi plus divi ir vienāds ar nulli”. Jau iepriekš atvainojos, ja kļūdījos =)

Kā uzzināt segmenta garumu?

Garumu, kā jau minēts, norāda ar moduļa zīmi.

Ja ir doti divi plaknes punkti un, tad segmenta garumu var aprēķināt pēc formulas

Ja ir doti divi punkti telpā un, tad segmenta garumu var aprēķināt pēc formulas

Piezīme: Formulas paliks pareizas, ja tiks apmainītas atbilstošās koordinātas: un , bet pirmā opcija ir standarta

3. piemērs

Lēmums: pēc atbilstošās formulas:

Atbilde:

Skaidrības labad uztaisīšu zīmējumu

Līnijas segments - tas nav vektors, un jūs to, protams, nevarat nekur pārvietot. Turklāt, ja pabeidzat zīmējumu mērogā: 1 vienība. \u003d 1 cm (divas tetrādes šūnas), tad atbildi var pārbaudīt ar parasto lineālu, tieši izmērot segmenta garumu.

Jā, risinājums ir īss, bet tajā ir pāris svarīgi punkti, kurus es vēlētos precizēt:

Pirmkārt, atbildē mēs iestatām dimensiju: ​​“vienības”. Stāvoklī nav norādīts, KAS tas ir, milimetri, centimetri, metri vai kilometri. Tāpēc vispārējais formulējums būs matemātiski kompetents risinājums: “vienības” - saīsināti kā “vienības”.

Otrkārt, atkārtosim skolas materiālu, kas noder ne tikai aplūkotajai problēmai:

pievērs uzmanību svarīgs tehnisks triks – izņemot reizinātāju no saknes. Aprēķinu rezultātā mēs saņēmām rezultātu, un labs matemātiskais stils ietver faktora izņemšanu no saknes (ja iespējams). Sīkāk process izskatās šādi: . Protams, atbildes atstāšana veidlapā nebūs kļūda – taču tā noteikti ir kļūda un smags arguments skolotājas knibināšanai.

Šeit ir citi izplatīti gadījumi:

Bieži vien zem saknes tiek iegūts pietiekami liels skaits, piemēram. Kā būt šādos gadījumos? Kalkulatorā mēs pārbaudām, vai skaitlis dalās ar 4:. Jā, sadaliet pilnībā, tādējādi: . Vai varbūt skaitli atkal var dalīt ar 4? . Tādējādi: . Skaitļa pēdējais cipars ir nepāra, tāpēc dalīt ar 4 trešo reizi acīmredzami nav iespējams. Mēģinot dalīt ar deviņiem: . Rezultātā:
Gatavs.

Secinājums: ja zem saknes iegūstam pilnīgi neizvelkamu skaitli, tad cenšamies izvilkt koeficientu no zem saknes - kalkulatorā pārbaudām, vai skaitlis dalās ar: 4, 9, 16, 25, 36, 49, utt.

Risinot dažādus uzdevumus, bieži tiek atrastas saknes, vienmēr jācenšas izvilkt faktorus no saknes, lai izvairītos no zemāka rezultāta un nevajadzīgām problēmām ar savu risinājumu noformēšanu pēc skolotāja piezīmes.

Atkārtosim vienlaikus sakņu un citu spēku sadalīšanu kvadrātā:

Noteikumi darbībām ar grādiem vispārīgā formā ir atrodami skolas algebras mācību grāmatā, bet es domāju, ka viss vai gandrīz viss jau ir skaidrs no sniegtajiem piemēriem.

Uzdevums neatkarīgam risinājumam ar segmentu telpā:

4. piemērs

Dotie punkti un . Atrodiet segmenta garumu.

Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kā uzzināt vektora garumu?

Ja ir dots plaknes vektors, tad tā garumu aprēķina pēc formulas.

Ja ir dots telpas vektors, tad tā garumu aprēķina pēc formulas .

Standarta definīcija: "Vektors ir virzīts līnijas segments." Tas parasti ir absolventa vektoru zināšanu ierobežojums. Kam vajadzīgi kaut kādi "režisēti segmenti"?

Bet patiesībā, kas ir vektori un kāpēc tie ir?
Laika ziņas. "Ziemeļrietumu vējš, ātrums 18 metri sekundē." Piekrītu, nozīme ir arī vēja virzienam (no kurienes tas pūš) un tā ātruma modulim (tas ir, absolūtajai vērtībai).

Daudzumus, kuriem nav virziena, sauc par skalāriem. Masu, darbu, elektrisko lādiņu nekur nevirza. Tos raksturo tikai skaitliska vērtība - “cik kilogramu” vai “cik džoulu”.

Fizikālos lielumus, kuriem ir ne tikai absolūtā vērtība, bet arī virziens, sauc par vektora lielumiem.

Ātrums, spēks, paātrinājums - vektori. Viņiem svarīgi ir "cik daudz" un svarīgi ir "kur". Piemēram, brīvā kritiena paātrinājums ir vērsts uz Zemes virsmu, un tā vērtība ir 9,8 m / s 2. Impulss, elektriskā lauka stiprums, magnētiskā lauka indukcija arī ir vektora lielumi.

Jūs atceraties, ka fiziskos lielumus apzīmē ar burtiem, latīņu vai grieķu. Bultiņa virs burta norāda, ka daudzums ir vektors:

Šeit ir vēl viens piemērs.
Automašīna pārvietojas no A uz B. Gala rezultāts ir tā kustība no punkta A uz punktu B, t.i., kustība pa vektoru .

Tagad ir skaidrs, kāpēc vektors ir virzīts segments. Pievērsiet uzmanību, vektora beigas ir tur, kur atrodas bultiņa. Vektora garums sauc par šī segmenta garumu. Apzīmēts: vai

Līdz šim esam strādājuši ar skalārajiem lielumiem, pēc aritmētikas un elementārās algebras likumiem. Vektori ir jauns jēdziens. Šī ir vēl viena matemātisko objektu klase. Viņiem ir savi noteikumi.

Kādreiz mēs pat nezinājām par skaitļiem. Iepazīšanās ar viņiem sākās pamatklasēs. Izrādījās, ka skaitļus var salīdzināt savā starpā, saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt. Mēs uzzinājām, ka ir skaitlis viens un nulle.
Tagad mēs iepazīsim vektorus.

Vektoriem neeksistē jēdzieni "lielāks par" un "mazāks par" - galu galā to virzieni var būt dažādi. Jūs varat salīdzināt tikai vektoru garumus.

Bet vektoru vienlīdzības jēdziens ir.
Vienlīdzīgi ir vektori, kuriem ir vienāds garums un vienāds virziens. Tas nozīmē, ka vektoru var pārvietot paralēli sev uz jebkuru plaknes punktu.
viens sauc par vektoru, kura garums ir 1 . Nulle - vektors, kura garums ir vienāds ar nulli, tas ir, tā sākums sakrīt ar beigām.

Visērtāk ir strādāt ar vektoriem taisnstūra koordinātu sistēmā - tajā, kurā mēs zīmējam funkciju grafikus. Katrs punkts koordinātu sistēmā atbilst diviem skaitļiem - tā x un y koordinātām, abscisai un ordinātai.
Vektoru norāda arī divas koordinātas:

Šeit vektora koordinātas ir ierakstītas iekavās - x un y.
Tos ir viegli atrast: vektora beigu koordinātas mīnus tā sākuma koordinātas.

Ja ir dotas vektora koordinātas, tā garumu nosaka pēc formulas

Vektoru pievienošana

Ir divi veidi, kā pievienot vektorus.

viens . paralelograma noteikums. Lai pievienotu vektorus un , mēs novietojam abu izcelsmi vienā punktā. Pabeidzam paralelogramu un no tā paša punkta novelkam paralelograma diagonāli. Tā būs vektoru un .

Atcerieties fabulu par gulbi, vēzi un līdaku? Viņi ļoti centās, bet nekad nepārvietoja ratus. Galu galā to spēku vektora summa, ko viņi pieliek ratiem, bija vienāda ar nulli.

2. Otrs vektoru pievienošanas veids ir trīsstūra noteikums. Ņemsim tos pašus vektorus un . Mēs pievienojam otrā vektora sākumu pirmā vektora beigām. Tagad savienosim pirmās sākumu un otrās beigas. Šī ir vektoru un .

Saskaņā ar to pašu noteikumu jūs varat pievienot vairākus vektorus. Mēs pievienojam tos pa vienam un pēc tam savienojam pirmā sākumu līdz pēdējās beigām.

Iedomājieties, ka jūs dodaties no punkta A uz punktu B, no B uz C, no C uz D, tad uz E un tad uz F. Šo darbību gala rezultāts ir pāreja no A uz F.

Pievienojot vektorus, mēs iegūstam:

Vektoru atņemšana

Vektors ir vērsts pretēji vektoram. Vektoru un garumi ir vienādi.

Tagad ir skaidrs, kas ir vektoru atņemšana. Vektoru starpība un ir vektora un vektora summa.

Reiziniet vektoru ar skaitli

Reizinot vektoru ar skaitli k, tiek iegūts vektors, kura garums k reižu atšķiras no garuma . Tas ir vienā virzienā ar vektoru, ja k ir lielāks par nulli, un ir vērsts pretēji, ja k ir mazāks par nulli.

Vektoru punktu reizinājums

Vektorus var reizināt ne tikai ar skaitļiem, bet arī vienu ar otru.

Vektoru skalārā reizinājums ir vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājums.

Pievērsiet uzmanību - mēs sareizinājām divus vektorus, un mēs saņēmām skalāru, tas ir, skaitli. Piemēram, fizikā mehāniskais darbs ir vienāds ar divu vektoru - spēka un nobīdes - skalāro reizinājumu:

Ja vektori ir perpendikulāri, to punktu reizinājums ir nulle.
Un šādi skalārais reizinājums tiek izteikts vektoru koordinātu izteiksmē un:

No skalārās reizinājuma formulas var atrast leņķi starp vektoriem:

Šī formula ir īpaši ērta stereometrijā. Piemēram, matemātikas profila USE 14. uzdevumā jums jāatrod leņķis starp krustojošām līnijām vai starp taisni un plakni. 14. uzdevums ar vektoru metodi bieži tiek atrisināts vairākas reizes ātrāk nekā ar klasisko.

Skolas mācību programmā matemātikā tiek pētīts tikai vektoru skalārais reizinājums.
Izrādās, ka papildus skalāram ir arī vektora reizinājums, kad divu vektoru reizināšanas rezultātā tiek iegūts vektors. Kas nokārto eksāmenu fizikā, zina, kas ir Lorenca spēks un Ampēra spēks. Šo spēku atrašanas formulas ietver tieši vektora reizinājumus.

Vektori ir ļoti noderīgs matemātisks rīks. Par to pārliecināsies jau pirmajā kursā.

2018 Olševskis Andrejs Georgijevičs

Tīmekļa vietne piepildīta ar grāmatām, varat lejupielādēt grāmatas

Vektori plaknē un telpā, problēmu risināšanas veidi, piemēri, formulas

1 Vektori telpā

Kosmosa vektori ietver 10. ģeometriju, 11. klasi un analītisko ģeometriju. Vektori ļauj efektīvi atrisināt eksāmena otrās daļas ģeometriskās problēmas un analītisko ģeometriju telpā. Telpā esošie vektori tiek doti tāpat kā vektori plaknē, bet tiek ņemta vērā trešā koordināta z. Izslēgšana no vektoriem trešās dimensijas telpā dod vektorus plaknē, kas izskaidro 8, 9 klases ģeometriju.

1.1 Vektors plaknē un telpā

Vektors ir virzīts segments ar sākumu un beigām, ko attēlā norāda ar bultiņu. Patvaļīgu punktu telpā var uzskatīt par nulles vektoru. Nulles vektoram nav noteikta virziena, jo sākums un beigas ir vienādi, tāpēc tam var dot jebkuru virzienu.

Vektors tulkojumā no angļu valodas nozīmē vektoru, virzienu, kursu, vadību, virziena uzstādījumu, gaisa kuģa virzienu.

Nenulles vektora garums (modulis) ir segmenta AB garums, ko apzīmē
. Vektora garums apzīmēts . Nulles vektora garums ir vienāds ar nulli = 0.

Kolineārie vektori ir vektori, kas atšķiras no nulles un atrodas uz vienas taisnes vai uz paralēlām līnijām.

Nulles vektors ir kolineārs jebkuram vektoram.

Kopvirziena vektorus sauc par kolineāriem, kas nav nulles vektori, kuriem ir viens virziens. Līdzvirziena vektori tiek apzīmēti ar . Piemēram, ja vektors ir vienā virzienā ar vektoru , tad tiek izmantots apzīmējums.

Nulles vektors ir līdzvirziena ar jebkuru vektoru.

Pretēji vērsti ir divi kolineāri nulles vektori, kuriem ir pretējs virziens. Pretēji virzīti vektori tiek apzīmēti ar ↓. Piemēram, ja vektors ir pretējs vektoram, tad tiek izmantots apzīmējums ↓.

Vienāda garuma līdzvirziena vektorus sauc par vienādiem.

Daudzi fizikālie lielumi ir vektora lielumi: spēks, ātrums, elektriskais lauks.

Ja vektora pielietošanas punkts (sākums) nav iestatīts, tad tas tiek izvēlēts patvaļīgi.

Ja vektora sākumu novieto punktā O, tad tiek uzskatīts, ka vektors tiek atlikts no punkta O. No jebkura punkta var uzzīmēt vienu vektoru, kas vienāds ar doto vektoru.

1.2. Vektoru summa

Saskaitot vektorus pēc trijstūra likuma, tiek novilkts vektors 1, no kura gala tiek novilkts vektors 2 un šo divu vektoru summa ir vektors 3, kas novilkts no 1. vektora sākuma līdz 2. vektora beigām:

Patvaļīgiem punktiem A , B un C var uzrakstīt vektoru summu:

+
=

Ja divi vektori sākas no viena punkta

tad labāk tos pievienot pēc paralelograma likuma.

Saskaitot divus vektorus saskaņā ar paralelograma noteikumu, pievienotie vektori tiek atdalīti no viena punkta, paralelograms tiek pabeigts no šo vektoru galiem, viena vektora beigām pieliekot cita sākumu. Vektors, ko veido paralelograma diagonāle, kura izcelsme ir pievienoto vektoru sākuma punkts, būs vektoru summa

Paralelograma noteikums satur atšķirīgu vektoru saskaitīšanas secību saskaņā ar trīsstūra noteikumu.

Vektoru pievienošanas likumi:

1. Komutatīvais likums + = + .

2. Asociatīvās tiesības ( + ) + = + ( + ).

Ja nepieciešams pievienot vairākus vektorus, tad vektorus saskaita pa pāriem vai pēc daudzstūra likuma: 2. vektoru zīmē no 1. vektora gala, 3. vektoru no 2. vektora gala, 4. vektoru no 3. vektora beigas, 5. vektoru velk no 4. vektora beigām utt. Vektoru, kas ir vairāku vektoru summa, novelk no 1. vektora sākuma līdz pēdējā vektora beigām.

Saskaņā ar vektoru saskaitīšanas likumiem vektoru pievienošanas secība neietekmē iegūto vektoru, kas ir vairāku vektoru summa.

Pretēji ir divi vienāda garuma pretēji vērsti vektori, kas nav nulle. Vektors - ir pretējs vektoram

Šie vektori ir vērsti pretēji un vienādi pēc absolūtās vērtības.

1.3 Vektoru atšķirība

Vektoru starpību var uzrakstīt kā vektoru summu

- = + (-),

kur "-" ir vektors, kas ir pretējs vektoram .

Vektorus un - var pievienot pēc trijstūra vai paralelograma likuma.

Ļaujiet vektoriem un

Lai atrastu vektoru atšķirību - mēs veidojam vektoru -

Mēs pievienojam vektorus un - saskaņā ar trijstūra likumu, piemērojot vektora sākumu - vektora beigām, mēs iegūstam vektoru + (-) = -

Saskaitām vektorus un - pēc paralelograma likuma, atliekot vektoru sākumus un - no viena punkta

Ja vektori un cēlušies no tā paša punkta

,

tad vektoru starpība - dod vektoru, kas savieno to galus un bultiņu iegūtā vektora galā novieto vektora virzienā, no kura tiek atņemts otrais vektors

Zemāk esošajā attēlā parādīta vektoru pievienošana un atšķirība

Zemāk esošajā attēlā parādīta vektoru pievienošana un atšķirības dažādos veidos.

Uzdevums. Doti vektori un .

Uzzīmējiet vektoru summu un starpību visos iespējamos veidos visās iespējamās vektoru kombinācijās.

1.4. Kolineāra vektora lemma

= k

1.5. Vektora reizināšana ar skaitli

Nenulles vektora reizinājums ar skaitli k dod vektoru = k , kas ir kolineārs pret vektoru . Vektora garums:

| | = |k |·| |

Ja k > 0, tad vektori un ir līdzvirziena.

Ja k = 0, tad vektors ir nulle.

Ja k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Ja | k | = 1, tad vektori un ir vienāda garuma.

Ja k = 1, tad un vienādi vektori.

Ja k = -1, tad pretēji vektori.

Ja | k | > 1, tad vektora garums ir lielāks par vektora garumu.

Ja k > 1, tad vektori un ir līdzvirziena un garums ir lielāks par vektora garumu.

Ja k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Ja | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Ja 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Ja -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Nulles vektora reizinājums ar skaitli dod nulles vektoru.

Uzdevums. Dots vektors.

Konstruēt vektorus 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Uzdevums. Doti vektori un .

Konstruēt vektorus 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Likumi, kas apraksta vektora reizināšanu ar skaitli

1. Kombinācijas likums (kn) = k (n)

2. Pirmais sadales likums k ( + ) = k + k .

3. Otrais sadales likums (k + n) = k + n.

Kolineāriem vektoriem un , ja ≠ 0, ir viens skaitlis k, kas ļauj vektoru izteikt šādi:

= k

1.6. Kopplanārie vektori

Kopplanārie vektori ir tie, kas atrodas vienā plaknē vai paralēlās plaknēs. Ja jūs no viena punkta uzzīmējat vektorus, kas vienādi ar dotajiem koplanāriem vektoriem, tie atradīsies vienā plaknē. Tāpēc var teikt, ka vektorus sauc par koplanāriem, ja vienā plaknē atrodas vienādi vektori.

Divi patvaļīgi vektori vienmēr ir vienādi. Trīs vektori var būt vai nebūt līdzplanāri. Trīs vektori, no kuriem vismaz divi ir kolineāri, ir koplanāri. Kolineārie vektori vienmēr ir koplanāri.

1.7. Vektora dekompozīcija divos nekolineāros vektoros

Jebkurš vektors plaknē unikāli sadalās divos nekolineāros nulles vektoros un tikai ar izplešanās koeficientiem x un y:

= x+y

Jebkurš vektors, kas ir vienāds ar nulles vektoriem un ir unikāli sadalīts divos nekolineāros vektoros un ar unikāliem izplešanās koeficientiem x un y:

= x+y

Izvērsīsim doto vektoru plaknē atbilstoši dotajiem nekolineārajiem vektoriem un :

No viena punkta uzzīmējiet dotos koplanāros vektorus

No vektora gala mēs novelkam taisnes, kas ir paralēlas vektoriem un līdz krustojumam ar taisnēm, kas novilktas caur vektoriem un . Iegūstiet paralelogramu

Paralelograma malu garumus iegūst, reizinot vektoru garumus un ar skaitļiem x un y, kurus nosaka, dalot paralelograma malu garumus ar atbilstošo vektoru garumiem un. Mēs iegūstam vektora sadalīšanos dotajos nekolineāros vektoros un:

= x+y

Atrisināmajā uzdevumā x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, tātad vektora izplešanos dotajos nekolineāros vektoros un var uzrakstīt kā

1,3 + 1,9 .

Atrisināmajā uzdevumā x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, tātad vektora izplešanos dotajos nekolineāros vektoros un var uzrakstīt kā

1,3 - 1,9 .

1.8 Kastes noteikums

Paralēlskaldnis ir trīsdimensiju figūra, kuras pretējās virsmas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem, kas atrodas paralēlās plaknēs.

Paralēlskaldņa noteikums ļauj pievienot trīs ne-kopplanārus vektorus, kas zīmēti no viena punkta, un izveidot paralēlskaldni tā, lai summētie vektori veidotu tā malas, bet pārējās paralēlskaldņa malas būtu attiecīgi paralēlas un vienādas ar izveidoto malu garumiem. pēc summētajiem vektoriem. Paralēles diagonāle veido vektoru, kas ir doto trīs vektoru summa, kas sākas no pievienoto vektoru sākuma punkta.

1.9. Vektora dekompozīcija trīs nekoplanāros vektoros

Jebkurš vektors izplešas trīs dotos ne-kopplanāros vektoros , un ar vienu izplešanās koeficientu x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Taisnstūra koordinātu sistēma telpā

Trīsdimensiju telpā taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz nosaka sākotnējais punkts O un savstarpēji perpendikulārās koordinātu asis Ox , Oy un Oz, kas tajā krustojas ar atlasītajiem pozitīvajiem virzieniem, kas norādīti ar bultiņām un segmentu mērvienību. Ja segmentu skala ir vienāda pa visām trim asīm, tad šādu sistēmu sauc par Dekarta koordinātu sistēmu.

Koordināts x sauc par abscisu, y ir ordināta, z ir aplikācija. Punkta M koordinātas ir ierakstītas iekavās M (x ; y ; z ).

1.11 Vektoru koordinātas telpā

Telpā iestatīsim taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz . No sākuma pozitīvos virzienos asus Ox , Oy , Oz zīmējam atbilstošos vienību vektorus , , , ko sauc par koordinātu vektoriem un kas nav vienā plaknē. Tāpēc jebkuru vektoru var sadalīt trīs dotos ne-kopplanāros koordinātu vektoros un ar vienīgajiem izplešanās koeficientiem x , y , z :

= x + y + z .

Izplešanās koeficienti x , y , z ir vektora koordinātes dotajā taisnstūrveida koordinātu sistēmā, kuras raksta iekavās (x ; y ; z ). Nulles vektora koordinātas ir vienādas ar nulli (0; 0; 0). Vienādiem vektoriem atbilstošās koordinātas ir vienādas.

Noteikumi iegūtā vektora koordinātu atrašanai:

1. Summējot divus vai vairākus vektorus, katra iegūtā vektora koordināta ir vienāda ar doto vektoru atbilstošo koordinātu summu. Ja ir doti divi vektori (x 1 ; y 1 ; z 1) un (x 1 ; y 1 ; z 1 ), tad vektoru summa + iegūst vektoru ar koordinātām (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ) ; z 1 + z1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1; z1 + z1)

2. Starpība ir sava veida summa, tāpēc atbilstošo koordinātu starpība dod katru vektora koordinātu, kas iegūta, atņemot divus dotos vektorus. Ja ir doti divi vektori (x a ; y a ; z a ) un (x b ; y b ; z b ), tad vektoru starpība - dod vektoru ar koordinātām (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. Reizinot vektoru ar skaitli, katra iegūtā vektora koordināta ir vienāda ar šī skaitļa reizinājumu ar atbilstošo dotā vektora koordinātu. Dots skaitlis k un vektors (x ; y ; z ), tad vektoru reizinot ar skaitli k iegūst vektoru k ar koordinātām

k = (kx ; ky ; kz ).

Uzdevums. Atrodiet vektora koordinātas = 2 - 3 + 4, ja vektoru koordinātas ir (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Lēmums

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektors, rādiusa vektors un punktu koordinātas

Vektora koordinātas ir vektora beigu koordinātas, ja vektora sākumu novieto sākumā.

Rādiusa vektors ir vektors, kas novilkts no sākuma līdz noteiktam punktam, rādiusa vektora un punkta koordinātas ir vienādas.

Ja vektors
kas doti ar punktiem M 1 (x 1; y 1; z 1) un M 2 (x 2; y 2; z 2), tad katra no tās koordinātām ir vienāda ar starpību starp atbilstošām gala un sākuma koordinātām. vektors

Kolineāriem vektoriem = (x 1 ; y 1 ; z 1) un = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), ja ≠ 0, ir viens skaitlis k, kas ļauj vektoru izteikt šādi:

= k

Tad vektora koordinātas tiek izteiktas vektora koordinātēs

= (kx 1; ky1; kz 1)

Kolineāro vektoru atbilstošo koordinātu attiecība ir vienāda ar vienu skaitli k

1.13 Vektora garums un attālums starp diviem punktiem

Vektora garums (x; y; z) ir vienāds ar kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas

Vektora garums, ko nosaka sākuma punkti M 1 (x 1; y 1; z 1) un beigu M 2 (x 2; y 2; z 2), ir vienāds ar kvadrātsakni no summas vektora beigu un sākuma atbilstošo koordinātu starpības kvadrāti

Attālums d starp diviem punktiem M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) un M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ir vienāds ar vektora garumu

Plaknē nav z koordinātu

Attālums starp punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2)

1.14. Nozares vidus koordinātas

Ja punkts C ir nogriežņa AB viduspunkts , tad punkta C rādiusa vektors patvaļīgā koordinātu sistēmā ar sākumu punktā O ir vienāds ar pusi no punktu A un B rādiusu vektoru summas

Ja vektoru koordinātas
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), tad katra vektora koordināte ir vienāda ar pusi no vektoru atbilstošo koordinātu summas un

,
,

= (x, y, z) =

Katra no segmenta vidus koordinātām ir vienāda ar pusi no segmenta galu atbilstošo koordinātu summas.

1.15 Leņķis starp vektoriem

Leņķis starp vektoriem ir vienāds ar leņķi starp stariem, kas novilkti no viena punkta un virzīti kopā ar šiem vektoriem. Leņķis starp vektoriem var būt no 0 0 līdz 180 0 ieskaitot. Leņķis starp līdzvirziena vektoriem ir vienāds ar 0 0 . Ja viens vektors vai abi ir nulle, tad leņķis starp vektoriem, no kuriem vismaz viens ir nulle, ir vienāds ar 0 0 . Leņķis starp perpendikulārajiem vektoriem ir 90 0 . Leņķis starp pretēji vērstiem vektoriem ir 180 0 .

1.16 Vektoru projekcija

1.17. Vektoru punktu reizinājums

Divu vektoru skalārais reizinājums ir skaitlis (skalārs), kas vienāds ar vektoru garumu reizinājumu un leņķa kosinusu starp vektoriem

Ja = 0 0 , tad vektori ir līdzvirziena
un
= cos 0 0 = 1, tāpēc kopvirziena vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar to garumu (moduļu) reizinājumu

.

Ja leņķis starp vektoriem ir 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, līdz ar to skalārais reizinājums ir lielāks par nulli
.

Ja nulles vektori ir perpendikulāri, tad to skalārais reizinājums ir nulle
, jo cos 90 0 = 0. Perpendikulāru vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli.

Ja
, tad leņķa kosinuss starp šādiem vektoriem ir mazāks par nulli
, tāpēc skalārais reizinājums ir mazāks par nulli
.

Palielinoties leņķim starp vektoriem, leņķa kosinuss starp tiem
samazinās un sasniedz minimālo vērtību plkst = 180 0, ja vektori ir vērsti pretēji
. Tā kā cos 180 0 = -1, tad
. Pretēji virzītu vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar to garumu (moduļu) negatīvo reizinājumu.

Vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar vektora moduli kvadrātā

Vektoru skalārā reizinājums, no kuriem vismaz viens ir nulle, ir vienāds ar nulli.

1.18. Vektoru skalārā reizinājuma fiziskā nozīme

No fizikas kursa ir zināms, ka spēka darbs A vienlaikus pārvietojot ķermeni ir vienāds ar spēka un nobīdes vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu, tas ir, tas ir vienāds ar spēka un nobīdes vektoru skalāro reizinājumu

Ja spēka vektors ir vērsts kopā ar ķermeņa kustību, tad leņķis starp vektoriem
= 0 0 , tāpēc spēka darbs uz nobīdi ir maksimāls un vienāds ar A =
.

Ja 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Ja = 90 0 , tad spēka darbs uz nobīdi ir vienāds ar nulli A = 0.

Ja 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Ja spēka vektors ir pretējs ķermeņa kustībai, tad leņķis starp vektoriem = 180 0, tāpēc spēka darbs kustībā ir negatīvs un vienāds ar A = -.

Uzdevums. Noteikt gravitācijas darbu, paceļot 1 tonnu smagu vieglo automašīnu pa 1 km garu sliežu ceļu ar slīpuma leņķi 30 0 pret horizontu. Cik litrus ūdens 20 0 temperatūrā var uzvārīt, izmantojot šo enerģiju?

Lēmums

Darbs Gravitācija pārvietojot ķermeni, tas ir vienāds ar vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu, tas ir, tas ir vienāds ar gravitācijas un nobīdes vektoru skalāro reizinājumu

Gravitācija

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m/s 2 \u003d 10 000 N.

= 1000 m.

Leņķis starp vektoriem = 1200. Tad

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - grēks 30 0 \u003d - 0,5.

Aizstājējs

A \u003d 10 000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5 000 000 J \u003d - 5 MJ.

1.19. Vektoru koordinātu punktu reizinājums

Divu vektoru punktu reizinājums = (x 1 ; y 1 ; z 1) un \u003d (x 2; y 2; z 2) taisnstūra koordinātu sistēmā ir vienāda ar tāda paša nosaukuma koordinātu reizinājumu summu

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20. Vektoru perpendikularitātes nosacījums

Ja nulles vektori \u003d (x 1; y 1; z 1) un \u003d (x 2; y 2; z 2) ir perpendikulāri, tad to skalārais reizinājums ir nulle

Ja ir dots viens vektors, kas nav nulle = (x 1; y 1; z 1), tad tam perpendikulāra (normāla) vektora koordinātām = (x 2; y 2; z 2) jāizpilda vienādība

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Šādu vektoru ir bezgalīgi daudz.

Ja plaknē ir uzstādīts viens vektors, kas nav nulle = (x 1; y 1), tad tam perpendikulāra (normāla) vektora koordinātām = (x 2; y 2) ir jāizpilda vienādība

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Ja plaknē ir uzstādīts vektors, kas nav nulle = (x 1 ; y 1), tad pietiek patvaļīgi iestatīt vienu no vektora koordinātām, kas ir perpendikulāra (normāla) tai = (x 2 ; y 2) un no vektoru perpendikulitātes nosacījums

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

izteikt vektora otro koordinātu .

Piemēram, ja mēs aizstājam patvaļīgu x 2 koordinātu, tad

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Vektora otrā koordināta

Ja jūs piešķirat x 2 \u003d y 1, tad vektora otro koordinātu

Ja plaknē ir dots nulles vektors = (x 1; y 1), tad tam perpendikulārs (normāls) vektors = (y 1; -x 1).

Ja viena no nulles vektora koordinātām ir vienāda ar nulli, tad vektoram ir tāda pati koordināte, kas nav vienāda ar nulli, un otra koordināte ir vienāda ar nulli. Šādi vektori atrodas uz koordinātu asīm, tāpēc tie ir perpendikulāri.

Definēsim otro vektoru, kas ir perpendikulārs vektoram = (x 1 ; y 1), bet pretējs vektoram , tas ir, vektors - . Tad pietiek mainīt vektora koordinātu zīmes

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Uzdevums.

Lēmums

Divu vektoru koordinātas, kas ir perpendikulāri vektoram = (x 1; y 1) plaknē

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Mēs aizstājam vektora koordinātas = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

pa labi!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

pa labi!

Atbilde: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Ja piešķiram x 2 = 1, aizstājiet

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Iegūstiet vektora y 2 koordinātu, kas ir perpendikulārs vektoram = (x 1; y 1)

Lai iegūtu otru vektoru, kas ir perpendikulārs vektoram = (x 1; y 1), bet pretējs vektoram . Ļaujiet būt

Tad pietiek izmainīt vektora koordinātu zīmes .

Divu vektoru koordinātas, kas ir perpendikulāri vektoram = (x 1; y 1) plaknē

Uzdevums. Dots vektors = (3; -5). Atrodiet divus normālus vektorus ar atšķirīgu orientāciju.

Lēmums

Divu vektoru koordinātas, kas ir perpendikulāri vektoram = (x 1; y 1) plaknē

Viena vektora koordinātas

Otrā vektora koordinātas

Lai pārbaudītu vektoru perpendikulitāti, mēs to koordinātes aizstājam vektoru perpendikulitātes nosacījumā

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

pa labi!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

pa labi!

Atbilde: un.

Ja piešķirat x 2 \u003d - x 1, aizstājiet

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Iegūstiet vektora koordinātas perpendikulāri vektoram

Ja piešķirat x 2 \u003d x 1, aizstājiet

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Iegūstiet otrā vektora y koordinātu perpendikulāri vektoram

Viena vektora koordinātas, kas ir perpendikulāras vektoram plaknē = (x 1; y 1)

Otrā vektora koordinātas, kas ir perpendikulāras vektoram plaknē = (x 1; y 1)

Divu vektoru koordinātas, kas ir perpendikulāri vektoram = (x 1; y 1) plaknē

1.21. Leņķa kosinuss starp vektoriem

Leņķa kosinuss starp diviem vektoriem, kas nav nulles \u003d (x 1; y 1; z 1) un \u003d (x 2; y 2; z 2) ir vienāds ar vektoru skalāro reizinājumu, kas dalīts ar reizinājumu šo vektoru garumi

Ja
= 1, tad leņķis starp vektoriem ir vienāds ar 0 0 , vektori ir līdzvirziena.

Ja 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Ja = 0, tad leņķis starp vektoriem ir vienāds ar 90 0 , vektori ir perpendikulāri.

Ja -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Ja = -1, tad leņķis starp vektoriem ir 180 0 , vektori ir pretēji vērsti.

Ja kādu vektoru uzrāda sākuma un beigu koordinātas, tad no atbilstošajām vektora beigu koordinātām atņemot sākuma koordinātas, iegūstam šī vektora koordinātas.

Uzdevums. Atrodiet leņķi starp vektoriem (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Lēmums

Vektoru punktu reizinājums

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

tātad leņķis starp vektoriem ir = 90 0 .

1.22. Vektoru punktu reizinājuma īpašības

Skalārā produkta īpašības ir derīgas jebkurai , , ,k :

1.
, ja
, tad
, ja =, tad
= 0.

2. Pārvietošanās likums

3. Sadales likums

4. Kombināciju likums
.

1.23 Tiešais virziena vektors

Taisnes virzošais vektors ir vektors, kas nav nulle, kas atrodas uz taisnes vai tai paralēlas taisnes.

Ja taisne ir norādīta ar diviem punktiem M 1 (x 1; y 1; z 1) un M 2 (x 2; y 2; z 2), tad vektors ir ceļvedis
vai tā pretējais vektors
= - , kuras koordinātas

Koordinātu sistēmu vēlams iestatīt tā, lai taisne iet caur sākuma punktu, tad taisnes vienīgā punkta koordinātas būs virziena vektora koordinātas.

Uzdevums. Noteikt virziena vektora koordinātas taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Lēmums

Tiek apzīmēts virziena vektors taisnei, kas iet caur punktiem M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).
. Katra no tās koordinātām ir vienāda ar starpību starp atbilstošajām vektora beigu un sākuma koordinātām

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Attēlosim taisnes virziena vektoru koordinātu sistēmā ar sākumu punktā M 1, ar galu punktā M 2 un vektoru, kas vienāds ar to
no sākuma ar galu punktā M (-1; 1; 0)

1.24 Leņķis starp divām taisnēm

Iespējamie varianti 2 līniju relatīvajam novietojumam plaknē un leņķim starp šādām līnijām:

1. Taisnes krustojas vienā punktā, veidojot 4 leņķus, 2 vertikālo leņķu pāri ir vienādi pa pāriem. Leņķis φ starp divām krustojošām līnijām ir leņķis, kas nepārsniedz pārējos trīs leņķus starp šīm līnijām. Tāpēc leņķis starp līnijām φ ≤ 90 0 .

Jo īpaši krustojošās līnijas var būt perpendikulāras φ = 90 0 .

Iespējamie varianti 2 līniju relatīvajam novietojumam telpā un leņķim starp šādām līnijām:

1. Taisnes krustojas vienā punktā, veidojot 4 leņķus, 2 vertikālo leņķu pāri ir vienādi pa pāriem. Leņķis φ starp divām krustojošām līnijām ir leņķis, kas nepārsniedz pārējos trīs leņķus starp šīm līnijām.

2. Taisnes ir paralēlas, tas ir, nesakrīt un nekrustojas, φ=0 0 .

3. Līnijas sakrīt, φ = 0 0 .

4. Taisnes krustojas, tas ir, tās nekrustojas telpā un nav paralēlas. Leņķis φ starp krustojošām līnijām ir leņķis starp līnijām, kas novilktas paralēli šīm līnijām tā, lai tās krustotos. Tāpēc leņķis starp līnijām φ ≤ 90 0 .

Leņķis starp 2 līnijām ir vienāds ar leņķi starp līnijām, kas novilktas paralēli šīm līnijām tajā pašā plaknē. Tāpēc leņķis starp līnijām ir 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Leņķis θ (teta) starp vektoriem un 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Ja leņķis φ starp taisnēm α un β ir vienāds ar leņķi θ starp šo līniju virziena vektoriem φ = θ, tad

cos φ = cos θ.

Ja leņķis starp taisnēm φ = 180 0 - θ, tad

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Tāpēc leņķa kosinuss starp līnijām ir vienāds ar leņķa starp vektoriem kosinusa moduli

cos φ = |cos θ|.

Ja ir dotas nulles vektoru koordinātes = (x 1 ; y 1 ; z 1) un = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), tad starp tiem ir leņķa θ kosinuss.

Leņķa kosinuss starp līnijām ir vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp šo līniju virziena vektoriem

cos φ = |cos θ| =

Līnijas ir vieni un tie paši ģeometriski objekti, tāpēc formulā ir vienas un tās pašas trigonometriskās funkcijas cos.

Ja katra no abām taisnēm ir dota ar diviem punktiem, tad var noteikt šo līniju virziena vektorus un leņķa kosinusu starp taisnēm.

Ja cos φ \u003d 1, tad leņķis φ starp līnijām ir 0 0, šīm līnijām var ņemt vienu no šo līniju virzošajiem vektoriem, līnijas ir paralēlas vai sakrīt. Ja līnijas nesakrīt, tad tās ir paralēlas. Ja taisnes sakrīt, tad jebkurš vienas taisnes punkts pieder otrai taisnei.

Ja 0< cos φ ≤ 1, tad leņķis starp līnijām ir 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Ja cos φ \u003d 0, tad leņķis φ starp līnijām ir 90 0 (līnijas ir perpendikulāras), līnijas krustojas vai krustojas.

Uzdevums. Nosakiet leņķi starp taisnēm M 1 M 3 un M 2 M 3 ar punktu M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) un M 3 (0; 0; 1) koordinātām. .

Lēmums

Konstruēsim dotos punktus un taisnes Oxyz koordinātu sistēmā.

Līniju virzošos vektorus virzām tā, lai leņķis θ starp vektoriem sakristu ar leņķi φ starp dotajām līnijām. Uzzīmējiet vektorus =
un =
, kā arī leņķi θ un φ:

Noteiksim vektoru koordinātas un

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 un ax + ar + cz = 0;

Plakne ir paralēla tai koordinātu asij, kuras apzīmējuma plaknes vienādojumā nav, un tāpēc atbilstošais koeficients ir nulle, piemēram, pie c = 0 plakne ir paralēla Oz asij un nav ietvert z vienādojumā ax + ar + d = 0;

Plaknē ir koordinātu ass, kuras apzīmējuma trūkst, tāpēc atbilstošais koeficients ir nulle un d = 0, piemēram, pie c = d = 0 plakne ir paralēla Oz asij un nesatur z vienādojumā ax + by = 0;

Plakne ir paralēla koordinātu plaknei, kuras apzīmējuma plaknes vienādojumā nav un līdz ar to atbilstošie koeficienti ir nulle, piemēram, pie b = c = 0 plakne ir paralēla koordinātu plaknei Oyz un nesatur y, z vienādojumā ax + d = 0.

Ja plakne sakrīt ar koordinātu plakni, tad šādas plaknes vienādojums ir dotajai koordinātu plaknei perpendikulāras koordinātu ass apzīmējuma vienādojums ar nulli, piemēram, pie x = 0 dotā plakne ir koordinātu plakne. Oyz .

Uzdevums. Normālo vektoru nosaka vienādojums

Attēlojiet plaknes vienādojumu normālā formā.

Lēmums

Normālas vektora koordinātas

A ; b; c ), tad plaknes vispārīgajā vienādojumā varam aizvietot punkta M 0 (x 0; y 0; z 0) koordinātas un normālvektora koordinātas a, b, c.

ax + by + cz + d = 0 (1)

Mēs iegūstam vienādojumu ar vienu nezināmu d

ax 0 + x 0 + cz 0 + d = 0

No šejienes

d = -(ax 0 + x 0 + cz 0 )

Plaknes vienādojums (1) pēc aizstāšanas d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Iegūstam vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) perpendikulāri vektoram, kas nav nulle (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Atvērsim iekavas

cirvis — cirvis 0 + by — 0 + cz – cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Apzīmē

d = - ax 0 - ar 0 - cz 0

Mēs iegūstam plaknes vispārējo vienādojumu

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Vienādojums plaknei, kas iet caur diviem punktiem, un sākuma punktu

ax + by + cz + d = 0.

Koordinātu sistēmu vēlams iestatīt tā, lai plakne iet caur šīs koordinātu sistēmas sākumpunktu. Punkti M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) un M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), kas atrodas šajā plaknē, ir jāiestata tā, lai taisne, kas savieno šos punktus, neizietu cauri sākuma punktam.

Plakne ies cauri sākuma punktam, tātad d = 0. Tad kļūst plaknes vispārējais vienādojums

ax + by + cz = 0.

Nezināmi 3 koeficienti a , b , c . Aizvietojot divu punktu koordinātas plaknes vispārējā vienādojumā, tiek iegūta 2 vienādojumu sistēma. Ja plaknes vispārējā vienādojumā ņemam kādu koeficientu, kas vienāds ar vienu, tad 2 vienādojumu sistēma ļaus noteikt 2 nezināmus koeficientus.

Ja viena no punkta koordinātām ir nulle, tad šai koordinātai atbilstošo koeficientu ņem par vienu.

Ja kādam punktam ir divas nulles koordinātes, tad par vienību tiek ņemts koeficients, kas atbilst vienai no šīm nulles koordinātēm.

Ja tiek pieņemts a = 1, tad 2 vienādojumu sistēma ļaus noteikt 2 nezināmus koeficientus b un c:

Šo vienādojumu sistēmu ir vieglāk atrisināt, reizinot kādu vienādojumu ar tādu skaitli, ka koeficienti kādam nezināmam tēraudam ir vienādi. Tad vienādojumu atšķirība ļaus mums izslēgt šo nezināmo, noteikt citu nezināmo. Atrastā nezināmā aizstāšana jebkurā vienādojumā ļaus mums noteikt otro nezināmo.

1.30 Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim punktiem

Definēsim plaknes vispārējā vienādojuma koeficientus

ax + by + cz + d = 0,

kas iet caur punktiem M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) un M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Punktiem nedrīkst būt divas identiskas koordinātas.

Nezināmi 4 koeficienti a , b , c un d . Aizvietojot trīs punktu koordinātas plaknes vispārējā vienādojumā, tiek iegūta 3 vienādojumu sistēma. Plaknes vispārējā vienādojumā ņemiet kādu koeficientu, kas vienāds ar vienu, tad 3 vienādojumu sistēma ļaus noteikt 3 nezināmus koeficientus. Parasti pieņemts a = 1, tad 3 vienādojumu sistēma ļaus noteikt 3 nezināmus koeficientus b, c un d:

Vienādojumu sistēmu vislabāk var atrisināt, izslēdzot nezināmos (Gausa metode). Jūs varat pārkārtot vienādojumus sistēmā. Jebkuru vienādojumu var reizināt vai dalīt ar jebkuru koeficientu, kas nav nulle. Var pievienot jebkurus divus vienādojumus, un iegūto vienādojumu var uzrakstīt jebkura no šiem diviem pievienotajiem vienādojumu vietā. Nezināmie tiek izslēgti no vienādojumiem, to priekšā iegūstot nulles koeficientu. Vienā vienādojumā parasti zemākajam tiek atstāts viens definēts mainīgais. Atrastais mainīgais tiek aizvietots ar otro vienādojumu no apakšas, kurā parasti paliek 2 nezināmie. Vienādojumi tiek atrisināti no apakšas uz augšu un tiek noteikti visi nezināmie koeficienti.

Koeficienti tiek novietoti nezināmo priekšā, un no nezināmajiem brīvie termini tiek pārnesti vienādojumu labajā pusē

Augšējā rindā parasti ir vienādojums, kura koeficients ir 1 pirms pirmā vai jebkura nezināmā, vai arī viss pirmais vienādojums ir dalīts ar koeficientu pirms pirmā nezināmā. Šajā vienādojumu sistēmā mēs dalām pirmo vienādojumu ar y 1

Pirms pirmā nezināmā mēs saņēmām koeficientu 1:

Lai atiestatītu koeficientu otrā vienādojuma pirmā mainīgā priekšā, mēs reizinim pirmo vienādojumu ar -y 2 , pievienojam to otrajam vienādojumam un otrā vienādojuma vietā ierakstām iegūto vienādojumu. Pirmais nezināmais otrajā vienādojumā tiks izslēgts, jo

y 2 b — y 2 b = 0.

Līdzīgi mēs izslēdzam pirmo nezināmo trešajā vienādojumā, reizinot pirmo vienādojumu ar -y 3 , pievienojot to trešajam vienādojumam un ierakstot iegūto vienādojumu trešā vienādojuma vietā. Arī pirmais nezināmais trešajā vienādojumā tiks izslēgts, jo

y 3 b — y 3 b = 0.

Līdzīgi mēs izslēdzam otro nezināmo trešajā vienādojumā. Mēs risinām sistēmu no apakšas uz augšu.

Uzdevums.

ax + by + cz + d = 0,

iet caur punktiem M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) un y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Dotā plakne ir koordinātu plakne Oyz .

Uzdevums. Nosakiet plaknes vispārējo vienādojumu

ax + by + cz + d = 0,

ejot caur punktiem M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) un M 3 (0; 0; 1). Atrodiet attālumu no šīs plaknes līdz punktam M 0 (10; -3; -7).

Lēmums

Veidosim dotos punktus Oxyz koordinātu sistēmā.

Pieņemt a= 1. Plaknes vispārīgajā vienādojumā aizvietojot trīs punktu koordinātas, iegūst 3 vienādojumu sistēmu

ℓ =

Tīmekļa lapas: 1 2 Vektori plaknē un telpā (turpinājums)

Andreja Georgijeviča Oļševska konsultācijas par Skype da.irk.lv

Studentu un skolēnu sagatavošana matemātikā, fizikā, datorzinātnēs, skolēnu, kuri vēlas iegūt daudz punktu (C daļa), un vāju studentu sagatavošana OGE (GIA) un eksāmenam. Vienlaicīga pašreizējā veiktspējas uzlabošana, attīstot atmiņu, domāšanu, saprotamu kompleksa skaidrojumu, objektu vizuālu prezentāciju. Īpaša pieeja katram skolēnam. Sagatavošanās olimpiādēm, atvieglojumu nodrošināšana uzņemšanai. 15 gadu pieredze skolēnu sekmju uzlabošanā.

Augstākā matemātika, algebra, ģeometrija, varbūtību teorija, matemātiskā statistika, lineārā programmēšana.

Skaidrs teorijas skaidrojums, izpratnes robu novēršana, mācību metodes problēmu risināšanai, konsultēšana kursa darbu, diplomu rakstīšanā.

Lidmašīnu, raķešu un automašīnu dzinēji. Hiperskaņas, reaktīvo raķešu, raķešu, impulsu detonācijas, pulsējošo, gāzturbīnu, virzuļu iekšdedzes dzinēji - teorija, dizains, aprēķins, stiprība, dizains, ražošanas tehnoloģija. Termodinamika, siltumtehnika, gāzes dinamika, hidraulika.

Aviācija, aeromehānika, aerodinamika, lidojuma dinamika, teorija, dizains, aerohidromehānika. Ultravieglie lidaparāti, ekranoplāni, lidmašīnas, helikopteri, raķetes, spārnotās raķetes, gaisa kuģi, dirižabļi, propelleri - teorija, dizains, aprēķins, izturība, dizains, ražošanas tehnoloģija.

Ideju ģenerēšana, realizācija. Zinātniskās pētniecības pamati, ģenerēšanas metodes, zinātnisku, izgudrojumu, biznesa ideju īstenošana. Mācību paņēmieni zinātnisku problēmu risināšanai, izgudrojuma uzdevumi. Zinātniskā, izgudrojuma, rakstīšanas, inženieru radošums. Vērtīgāko zinātnisko, izgudrojuma problēmu, ideju izklāsts, atlase, risinājums.

Jaunrades rezultātu publikācijas. Kā uzrakstīt un publicēt zinātnisku rakstu, pieteikties izgudrojumam, rakstīt, izdot grāmatu. Rakstīšanas teorija, disertāciju aizstāvēšana. Pelnīt ar idejām, izgudrojumiem. Konsultācijas izgudrojumu radīšanā, izgudrojumu pieteikumu rakstīšana, zinātniskie raksti, izgudrojumu pieteikumi, grāmatas, monogrāfijas, disertācijas. Līdzautorība izgudrojumos, zinātniskos rakstos, monogrāfijās.

Teorētiskā mehānika (teormehs), materiālu stiprība (sopromat), mašīnu daļas, mehānismu un mašīnu teorija (TMM), inženiertehniskā tehnoloģija, tehniskās disciplīnas.

Elektrotehnikas (TOE) teorētiskie pamati, elektronika, digitālās, analogās elektronikas pamati.

Analītiskā ģeometrija, aprakstošā ģeometrija, inženiergrafika, rasēšana. Datorgrafika, grafikas programmēšana, rasējumi AutoCAD, NanoCAD, fotomontāža.

Loģika, grafiki, koki, diskrētā matemātika.

OpenOffice un LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makro, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Programmu, spēļu izveide PC, portatīvajiem datoriem, mobilajām ierīcēm. Bezmaksas gatavu programmu, atvērtā pirmkoda dzinēju izmantošana.

Vietņu izveide, izvietošana, reklamēšana, programmēšana, interneta veikali, peļņa vietnēs, Web dizains.

Informātika, PC lietotājs: teksti, tabulas, prezentācijas, mašīnrakstīšanas apmācība 2 stundu garumā, datu bāzes, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, internets, tīkli, e-pasts.

Ierīce, stacionāro datoru un portatīvo datoru remonts.

Video emuāru autors, izveide, rediģēšana, video ievietošana, video rediģēšana, naudas pelnīšana video emuāros.

Izvēle, mērķu sasniegšana, plānošana.

Mācīšanās pelnīt naudu internetā: emuāru autors, video emuāru autors, programmas, vietnes, interneta veikals, raksti, grāmatas utt.

Jūs varat atbalstīt vietnes attīstību, samaksāt par Olševska Andreja Georgijeviča konsultāciju pakalpojumiem

15.10.17. Oļševskis Andrejs Georgijevičse-pasts:[aizsargāts ar e-pastu]