Piemēri ir vienas vērtības analītisko funkciju atsevišķi punkti. Izolēti vienskaitļa punkti, to klasifikācija. Atlikumi un to aprēķināšanas formulas

Ļaujiet būt zq - funkcijas f(z) vienskaitļa punkts, t.s. f(z) bet šajā brīdī ir analītisks (jo īpaši var nebūt definēts tajā). Ja eksistē šāda caurdurta punkta apkārtne zq (t.i., kopa O z - zq f(z) ir aliatic, tad zo sauca izolēts vienskaitļa punkts funkcijas f(z).Šī definīcija ir saglabāta arī lietā zn = oo, ja jods ir caurdurta punkta apkārtne zq = oo saprast kopu z > es - kāda apļa parādīšanās, kura centrā ir izcelsme. Citiem vārdiem sakot, vienskaitļa punkts Tiek uzskatīts, ka zq ir izolēts, ja pastāv šī punkta apkārtne, kurā ir citi atsevišķi punkti, kas atšķiras no zq. Visur zemāk mēs ņemam vērā tikai vienas vērtības rakstzīmes (funkcijas f(z) pieņemts kā unikāls).

Atkarībā no funkcijas uzvedības f(z) plkst z -> zq Ir trīs vienskaitļa punktu veidi. Izolēts vienskaitļa punkts zq funkcijas f(z) sauc:

1) noņemams vienskaitlis punkts ja ir noteikta robeža

2) stabs ja ir limits

3) būtisks punkts, ja f(z) nav ne galīga, ne bezgalīga ierobežojuma z-> zq.

PIEMĒRS 26.1. Parādīsim, ka visi trīs vienskaitļa punktu veidi ir realizēti. Apsveriet f(z)= punkts zq = 0 ir izolēts

šīs funkcijas vienreizējais punkts. Izmantojot formulu (22.12), iegūstam izvērsumu

no kā izriet, ka pastāv lim fi(z)= 1. Tāpēc zq = 0 ir

ir funkcijas noņemams vienskaitļa punkts fi(z).

Funkcija f'j(z) =--- ir stabs punktā zo= 1, jo

2 r“X

Tagad apsveriet funkciju )z(z)= e 1 ^ r un parādiet to zo = O ir šīs funkcijas būtisks vienskaitļa punkts. Kad tiekties z līdz nullei pa reālo asi, funkcijas f kreiso un labo robežu (z) atšķirīgs: lim ar 1 / 1 = 0,lim ar 1 /* = os. Tas nozīmē,

x->0-0 x->0+0

kas f:i(z) 2 nav ne ierobežota, ne bezgalīga -> Ak, t.i. zq = 0 būtībā ir šīs funkcijas vienskaitlis. (Ņemiet vērā, ka tā ir tendence z-iy līdz nullei uz iedomātās ass funkcijas

nav nekādu ierobežojumu.)

Protams, ir arī neizdalīti vienskaitļa punkti. Piemēram. funkcijai ir stabi punktos z n = -, P= ±1, ±2,...

Tāpēc Zq = 0 ir šīs funkcijas neizolēts vienskaitlis: jebkurā (patvaļīgi mazā) šī punkta apkārtnē ir citi vienskaitļi punkti g lpp.

Ļaujiet būt zo- funkcijas galīgais izolētais vienskaitļa punkts f(z). Tad f(z) ir līdzīgs kādā caurdurtajā apkaimē 0 punkta Zo zošo apkaimi var uzskatīt par gredzenu ar iekšējo rādiusu r = 0. Saskaņā ar 25.1. teorēmu apskatāmajā apkārtnē funkcija f(z) var paplašināt Laurent sērijā (25.2). Mēs parādīsim, ka funkcijas uzvedība 2 -> zq (t.i., vienskaitļa punkta veids zo) atkarīgs no dekompozīcijas galvenās daļas formas (25.2.); šis apstāklis ​​izskaidro termina “galvenā daļa” izcelsmi.

TEORĒMA 2G.2. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts zo ir noņemams tad un tikai tad, ja Lorapa izvērsumam šī punkta caurdurtajā apkārtnē ir oid

tie. sastāv tikai no pareizās daļas, un visi galvenās daļas koeficienti ir vienādi ar lodi.

Pierādījums. 1. Ļaujiet zo ir noņemams vienskaitlis punkts. Pierādīsim, ka Lorāna funkcijas paplašināšana f(z) ir forma (26.1). Kopš vienskaitļa punkta zo noņemams, tad ir ierobežots limits f(z) = A. Tāpēc f(z) robežojas kādā caurdurtā apkaimē 0 z - zq no punkta zo, tie. )(z) visiem z no šīs apkārtnes. Ņem jebkuru R. U р /?| un izmantojiet formulas (25.3) Laurent sērijas koeficientiem:

Izplešanās galvenās daļas koeficientiem n =- 1,-2,... Tādām vērtībām P mums ir p~n-e 0 plkst R-> 0. Kopš vērtības R var izvēlēties patvaļīgi mazu, tad kungs ~" var būt patvaļīgi mazs. Kopš |c t,| ^ Mr~n un cn nav atkarīgi no p, tad cn = 0 priekš un= - 1, -2,..., kas bija jāpierāda.

2. Tagad pieņemsim, ka Lorāna izvērsumam ir forma (26.1). Sērija (26.1) ir jaudas sērija un. tāpēc saplūst ne tikai caurdurtajā, bet arī visā apkārtnē z-zq ieskaitot punktu zo; tā summa S(z) ir analītisks priekš z un S(z) = )(z) pie 0 z - zo R. Tāpēc pastāv ierobežots limits )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - tāpēc vienskaitļa punkts zq

Z->Zo Z-*Zo

vienreizējās lietošanas. Teorēma ir pierādīta.

komentēt. No teorēmas pierādījuma izriet, ka noņemama vienskaitļa punkta caurdurtā apkārtnē 0 z - zo funkcija f(z) sakrīt ar funkciju S(r), kas ir analītiska visā apkārtnē z - zo . Tāpēc, ja mēs ievietojam /(th) = S(zq), tad, nemainot funkcijas vērtības f(z) jebkurā caurdurtās apkaimes punktā mēs padarām šo funkciju par analītisko r, t.i. "noņemt" līdzekli. Tas izskaidro terminu “noņemama singularitāte”. Ir dabiski uzskatīt šādus punktus par regulāriem, nevis par funkcijas atsevišķiem punktiem f(z).

Apsveriet, piemēram, funkciju

Piemērā 26.1 tika parādīts, ka Pm (n) = 1. t.i. vienskaitlis punkts

zq = 0 ir noņemams. Iestatot /i(0) = 1, mēs tādējādi novēršam singularitāti un iegūstam funkciju, kas punktā ir analītiska zq = 0 (un visā plaknē C).

Tagad raksturosim stabus Laurent izplešanās izteiksmē.

Teorēma 26.3. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts Zo ir pols tad un tikai tad, kad Lorāna izvērsuma galvenajai daļai ar centru Zq ir tikai ierobežots skaits atšķirīgu

no nulles koeficientiem ar n:

Pierādījums. 1. Ļaujiet zq - pols, t.i. lim /( z) = oo.

Pierādīsim, ka Lorāna funkcijas paplašināšana f(z) ir forma (2G.2). Kopš lim f(z)= oo. tad punktam ir caurdurta apkārtne

ki zq. kurā f(z) ir analītisks un tajā nav nulles. Pēc tam funkcija g(z) = 1 /f(z) būs arī analītisks šajā caurdurtajā apkārtnē, un lim g(z)= 0. Tāpēc Zo ir vienreiz lietojams *-? *0

funkcijas vienskaitļa punkts g(z). No jauna definēsim g(z) punktā zo, liekot g(zo)= 0. Tad g(z) kļūst analītisks visā (nav caurdurtā) punkta apkārtnē z 0 , un z0 būs tā izolētā nulle. Apzīmē ar Nšīs nulles reizinājums (kārtība). Kā parādīts 23. punktā, punkta tuvumā zq funkcija g(z) attēlojams formā (sk. (23.2))

un (z$) f 0 un y>(z) ir analītisks kādā punkta apkārtnē zo- Kā ip(z) punktā nepārtraukti zo un g> (zo) F 0" tad ip(z) nav nulles arī kādā šī punkta apkārtnē. Tāpēc funkcija 1 /-p(z) būs arī analītisks šajā apkaimē un tāpēc tajā izvēršas Teilora sērijā:

Atverot iekavas un mainot koeficientu apzīmējumus, formā ierakstām pēdējo paplašinājumu

kur c_jv = 1>o f 0. Tādējādi f(r) Lorāna izvērsuma galvenā daļa satur tikai ierobežotu skaitu terminu; esam nonākuši pie nepieciešamās vienādības (26.2).

2. Ielaidiet punkta caurdurtu apkārtni th funkcija )(z) tiek attēlots ar Lorāna izvērsumu (26.2) (izvērstākā formā sk. (26.3)), kura galvenā daļa satur tikai ierobežotu skaitu terminu, un ar- d" f 0. Mums tas ir jāpierāda Zq - funkciju pols f(z). Vienādību (26,3) reizinot ar (G - G o) iV , iegūstam funkciju

Sērijas (26.4) ir pakāpju rinda, kas saplūst ar analītisko funkciju ne tikai caurdurtajā, bet arī visā punkta apkārtnē. Zq. Tāpēc funkcija h(z) kļūst analītisks šajā apkārtnē, ja mēs to paplašinām th, iestatot h(zo)= s_dg f 0. Tad

Tādējādi punkts o ir pols, un tiek pierādīta teorēma 26.3.

Nulles funkcijas daudzkārtība (kārtība). g(z)= 1//(r) tiek izsaukts pole orderis funkcija /(r). Ja N- staba secība ir th, tad g(z)= (r - Zo)N ip(z), un (iet) F 0, un, kā parādīts 26.3. teorēmas pierādījuma pirmajā daļā, f(r) paplašinājumam ir forma (26.3), kur c_/v f 0. Un otrādi, ja f(r) izplešas virknē (26.3) un e-z F 0, tad

t.s. N- funkcijas f(r) pola secība. Tādējādi funkcijas zq pola secība/(G) ir vienāds ar Lorāna izplešanās galvenās daļas vadošā nulles koeficienta skaitli punkta zq caurdurtajā apkārtnē(t.i., vienāds ar šādu skaitli N, kas s_dg f 0 un sp= 0 plkst P > N).

Pierādīsim šādu apgalvojumu, kas ir ērti) lietojumprogrammām.

Secinājums 26.4. Punkts zq ir daiļliteratūras N kārtas pols/(G) ja un tikai tad/(G) pārstāvēt formā

kur h(z) ir analītiska funkcija punkta tuvumā th un h(zo) f 0.

Pierādījums. Funkcija cp(z) = l/h(z) ir analītisks kādā punkta r apkārtnē. Secinājuma 26.4 nosacījums ir līdzvērtīgs šim:

Tātad zq - daudzkārtība nulle N funkcijas g(z). un līdz ar to daudzkārtības pols N funkcijas /(2).

II piemērs 26.5. Atrodiet funkcijas izolētus vienskaitļa punktus un noteikt to veidu.

D e u c ija Punkti, kuros (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Ja z 2 L- 1 = 0, tad 2 = ±r ja (z 4- H) 2 = 0, tad z= -3. Tāpēc funkcijai ir trīs vienskaitļa punkti z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Apsveriet z:

G - pirmās kārtas stabs (mēs izmantojām Secinājums 26.4). Līdzīgi var pierādīt, ka 22 = -i arī pirmās kārtas stabs. Uz 2h mums ir:

Pāriesim pie būtībā vienskaitļa punktu izskatīšanas.

Teorēma 26.6. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts zq būtībā ir vienskaitlis tad un tikai tad, ja galvenajai Lorana izplešanās daļai, kuras centrs ir zq, ir bezgalīgi daudz atšķirību no. nulle, koeficienti ar p.

Pierādījums. Teorēma 26.6 tieši izriet no teorēmas 26.2 un 26.3. Patiešām, ja punkts zq būtībā ir vienskaitlis, tad galvenās Laurent paplašinājuma daļas nevar nebūt vai tajā var būt ierobežots terminu skaits (pretējā gadījumā punkts Zq būs vai nu noņemams, vai stabs). Tāpēc terminu skaitam galvenajā daļā jābūt bezgalīgam.

Un otrādi, ja galvenajā daļā ir bezgalīgi daudz dalībnieku, tad Zq nevar būt ne noņemams punkts, ne stabs. Līdz ar to šis punkts būtībā ir vienskaitlis.

Saskaņā ar definīciju būtībā vienskaitļa punktu raksturo fakts, ka funkcijai f(2) nav ne galīgas, ne bezgalīgas robežas. z ->zq. Pilnīgāku priekšstatu par to, cik neregulāra ir funkcijas darbība būtībā vienskaitļa punkta tuvumā, sniedz šāda teorēma.

26.7. teorēma (Sočokija teorēma). Ja zq būtībā ir vienskaitlis, tad funkcijas f(z), tad jebkuram kompleksajam skaitlim L, ieskaitot A = oo, ir tāda punktu z n secība, ka z n -> zo un lim f(zn) = BET.

n->os

Pierādījums. Vispirms apsveriet lietu A = oo. Teorēmas 2G.2 pierādījuma pirmajā daļā konstatējām, ka, ja f(z) ir ierobežots kādā punkta r0 punktētajā apkārtnē, tad visi koeficienti c, n = - Galvenās daļas 1, - 2,... ir vienādi ar nulli (un līdz ar to singularitāte th ir noņemama). Tā kā pēc pieņēmuma r0 būtībā ir vienskaitlis punkts, funkcija f(r) ir neierobežota jebkurā punkta r0 caurdurtajā apkārtnē. Ņemsim kādu šauru apkaimi 0 Z tādu, ka f(zi) > 1 (ja |/(r)| z - zo R/2 ir punkts z-2 , kur |/(dd)| > 2 utt.: caurdurtajā apkārtnē O 71. Ir skaidrs, ka rn -e go un lim /(r«) = oo. Tādējādi gadījumā A = oo, teorēma 26.7

pierādīts.

Ļaujiet tagad A f oo. Vispirms pieņemsim, ka ir caurdurta apkārtne 0

= -yy---- būs analītisks šajā caurdurtajā apkārtnē un līdz ar to

/(G) - BET

līdz ar to r ir funkcijas Φ(r) izolēts vienskaitļa punkts. Parādīsim. ka r0 būtībā ir Φ(r) vienskaitlis. Lai tas ir nepareizi. Tad pastāv robeža lim Φ(r), vai nu galīga, vai bezgalīga. Jo

/(r) = A + , tad eksistē arī Hsh /(r), kas ir pretrunā ar nosacījumu

F(g) ~ :-*z 0

teorēmas skats. Tādējādi r0 būtībā ir funkcijas Φ(r) vienskaitlis. Saskaņā ar iepriekš pierādīto ir tāda punktu secība r n, kurā r n o un lim Φ(r n) = oo. No šejienes

Mēs esam pierādījuši nepieciešamo apgalvojumu, pieņemot, ka f(r) F A kādā caurdurtā punkta r apkārtnē. Tagad pieņemsim, ka tā nav patiesība, t.i. jebkurā patvaļīgi mazā punkta th apkārtnē ir šāds punkts G", ka f(r") = A. Tad jebkuram P caurdurtajā apkārtnē 0 f(z u) = L. Tādējādi nepieciešamais apgalvojums ir patiess P-juo

visos gadījumos, un teorēma 26.7 ir pierādīta.

Saskaņā ar (Sokhotska) teorēmu 26.7, jebkurā (patvaļīgi mazā) būtībā vienskaitļa punkta caurdurtā apkārtnē funkcija f(r) ņem vērtības, kas patvaļīgi tuvas jebkuram skaitlim paplašinātajā kompleksajā plaknē C.

Lai pētītu izolētus vienskaitļa punktus, bieži vien ir noderīgi labi zināmie Teilora pamatfunkciju paplašinājumi.

PIEMĒRS 2G.8. Nosakiet funkcijas vienskaitļa punkta veidu zq = 0

Atrisināts un e. Mēs izvēršam skaitītāju un saucēju Teilora sērijā r pakāpēs. Aizstāšana ar (22.11) 3 z r vietā un atņemot 1, mēs iegūstam

Izmantojot (22.12), iegūstam saucēja paplašinājumu:

Sērijas šajos paplašinājumos saplūst visā kompleksajā plaknē €. Mums ir

un /2(2) ir analogi punkta tuvumā zo = 0 (un pat visā plaknē) un /2(20) F 0, tad h(z) ir arī analītisks kādā punkta gF 0 apkārtnē. Saskaņā ar 26.4. secinājumu punkts Zo = 0 ir kārtas pols N = 4.

II piemērs 26.9. Atrodiet funkcijas vienskaitļa punktus f(z)= sin j - un noteikt to veidu.

P e in e un e. Funkcijai ir viens galīgais vienskaitļa punkts zq = 1. Citos punktos no C funkcija w =--- analītisks; tātad grēka funkcija w būs analītisks.

Aizvietojot sinusa (22.12) paplašinājumā - r vietā mēs iegūstam

Mēs esam ieguvuši grēka funkcijas izvērsumu Laurent sērijā punkta 20 = 1 caurdurtā apkārtnē. Tā kā iegūtais izvērsums satur bezgalīgi daudz terminu ar negatīviem pakāpēm (r - 1), tad zq = 1 ir būtisks vienskaitļa punkts (šajā gadījumā Laurent paplašinājums sastāv tikai no galvenās daļas, un trūkst pareizās daļas).

Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā singularitātes raksturu bija iespējams noteikt arī tieši no definīcijas, neizmantojot sērijas paplašināšanu. Patiešām, ir secības (r") un (2"), kas saplūst zo= 1, un tā f(z"n)= 1, /(2") = 0 (norādiet šādas secības pats). Tātad, f(z) nav ierobežojumu, kad z -> 1 un līdz ar to punkts zq - 1 būtībā ir vienskaitlis.

Ieviesīsim jēdzienu par Lorāna funkcijas paplašināšanu punkta tuvumā Zq = 00 un apsveriet saikni starp izplešanos un singularitātes raksturu šajā punktā. Ņemiet vērā, ka izolēta vienskaitļa punkta definīcijas un tā veids (noņemams, pols vai būtībā vienskaitlis) attiecas uz gadījumu. zq = oc nemainīgs. Bet teorēmas 26.2. 26.3 un 26.6, kas saistīti ar Laurent paplašinājumu raksturu, ir jāmaina. Lieta tāda, ka biedri c n (z - 2o) lpp. P= -1,-2,..., galvenā daļa, kas definē funkcijas "neregularitāti" gala punkta tuvumā Zq, tā kā 2 mēdz būt oo, viņi izturēsies “pareizi” (tiecas uz 0). Gluži otrādi, biedri parastā daļa ar P= 1,2,... būs tendence oo; tie nosaka singularitātes raksturu Zq = oo. Tāpēc galvenā paplašināšanās daļa oo apkaimē būs termini ar pozitīvām pilnvarām P, un pareizi - ar negatīvu.

Ieviesīsim jaunu mainīgo w = 12. Funkcija tv= 1/2, paplašināts tā, lai u(oo) = 0, viens pret vienu un atbilstoši kartēta apkārtne z > R punktus zq = 00 |w| tuvumā wq = 0. Ja funkcija f(z) analītika caurdurtā rajonā R z Zq = oc, tad funkcija G(w) = f(l/w) būs analītisks dzeltenajā apkārtnē 0 wo = 0. Tā kā 2 -> oo būs w-> 0, tad

Tātad G(w) ir punktā wq = 0 ir tāda paša veida singularitāte kā f(z) punktā Zq = 00. Izvērsīsim funkciju G(w) Lorāna sērijā punkta wo = 0 caurdurtā apkārtnē:

Summas (26.5) labajā pusē attēlo attiecīgi pareizo un galveno paplašināšanas daļu. Pāriesim pie mainīgā z, aizstājot w = 1/z:

apzīmējot P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ "\u003d ar p un to pamanot G(l/z) = f(z), mēs saņemam

Sadalījumu (2G.G) sauc Funkcijas f(z) Laurent izvērsums punkta zq caurdurtajā apkārtnē= oo. Tiek izsaukta pirmā summa (2G.6). labā daļa, un otrā summa ir galvenā daļašī sadalīšanās. Tā kā šīs summas atbilst pareizajām un galvenajām paplašināšanas daļām (26.5), izvērsums (26.6) apmierina 26.2., 26.3. un 26.6. teorēmas analogus. Tādējādi šī teorēma ir 26.2. teorēmas analogs.

Teorēma 26.10. Izolēts vienskaitļa punktsZq - os (funkcijas/(G) ir noņemams tad un tikai tad, ja Laurent izvērsumam šī punkta caurdurtajā apkārtnē ir forma

t.s. sastāv tikai no pareizās daļas.

Mēs ievietojam / (oo) = co. Funkcija, ko nosaka virkne (26.7), kas saplūst apkārtnē z > R punkti 2o \u003d oc, sauc analītisks punktā z o = oo. (Ņemiet vērā, ka šī definīcija ir līdzvērtīga funkcijas analītismam G(w) punktā nē = 0.)

Piemērs 26.11. Izpētiet funkcijas vienskaitļa punktu zq = oo

Tā kā robeža ir ierobežota, tad zo = oo ir funkcijas f(r) noņemams vienskaitļa punkts. Ja mēs ieliekam / (oo) = lim J(z)= 0, tad f(z) kļūs

tic punktā Zo= os. Parādīsim, kā atrast atbilstošo paplašinājumu (26.7). Pāriesim pie mainīgā w = 1 fz. Aizstāšana z= 1 /?e, mēs iegūstam

(pēdējā vienādība ir spēkā punkta ww = 0 punktētajā apkārtnē, bet mēs paplašināsim definīciju (7(0) = 0). Rezultātā iegūtajai funkcijai ir vienskaitļi punkti w =± es, w =-1/3, un punktā Wq = 0 ir analītisks. Paplašināšanas funkcija G(w) pēc grādiem w(kā tas tika darīts 25.7. piemērā) un aizstājot iegūtajā pakāpju rindā w = 1/z var iegūt funkcijas paplašinājumu (26.7). f(z).

26.3. teorēma gadījumam zo= oo tiks pārrakstīts šādā formā.

Teorēma 26.12. Izolēts vienskaitļa punkts iet = oc funkcija f(z) ir pols tad un tikai tad, ja tā ir Lorana izvērsuma galvenā daļa (26.6) ir tikai ierobežots skaits koeficientu, kas nav nulle ar":

Šeit sērija ir parastā daļa, un polinoms ar iekavām ir galvenā izvēršanas daļa. Pola daudzveidība oc ir definēta kā pola daudzveidība wq = 0 funkcijas G(z). Ir viegli redzēt, ka staba daudzveidība sakrīt ar skaitli N in (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Uzdevums. Parādiet, ka funkcija f(z) =-- -- ir iekšā

punktu zo = oo pole order 3.

Teorēma 26.6 par būtisku vienskaitļa punktu tiek pārrakstīta gadījumam zo= os gandrīz burtiski, un mēs pie tā sīkāk nepakavējamies.

vienskaitlis punkts

matemātikā.

1) Līknes vienskaitļa punkts, kas dots ar vienādojumu F ( x, y) = 0, - punkts M 0 ( x 0, y 0), kurā abi funkcijas F ( x, y) pazust:

Ja turklāt ne visi otrie funkcijas F ( x, y) punktā M 0 ir vienādi ar nulli, tad O. t. sauc par dubulto. Ja līdz ar pirmo atvasinājumu izzušanu punktā M 0 izzūd visi otrie atvasinājumi, bet ne visi trešie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, tad O. t. sauc par trīskāršu utt. Pētot līknes struktūru pie dubultā O. t., svarīga loma ir izteiksmes zīmei.

Ja Δ > 0, tad O.t sauc par izolētu; piemēram, līkne y 2 - x 4 + 4x 2= 0 izcelsme ir izolēta O. t. (sk rīsi. viens ). Ja Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 koordinātu sākumpunkts ir mezgls O. t. (sk rīsi. 2 ). Ja Δ = 0, tad O. t. līkne ir vai nu izolēta, vai raksturota ar to, ka dažādiem līknes atzariem šajā punktā ir kopīgs tangenss, piemēram: pieskare un veido punktu, piemēram, līkni g 2 - x 3= 0 (sk rīsi. 3 , a); b) 2. veida smaile - dažādi līknes atzari atrodas vienā kopējās pieskares pusē, piemēram, līkne (y – x 2)2 x 5= 0 (sk rīsi. 3 , b); c) paškontakta punkts (līknei g 2 - x 4= 0 izcelsme ir paškontakta punkts; (cm. rīsi. 3 , iekšā). Līdzās norādītajam O. t. ir daudz citu O. t. ar īpašiem nosaukumiem; Piemēram, asimptotiskais punkts ir spirāles virsotne ar bezgalīgu pagriezienu skaitu (sk. rīsi. 4 ), pārtraukuma punkts, stūra punkts utt.

2) Diferenciālvienādojuma vienskaitļa punkts ir punkts, kurā vienlaikus pazūd gan diferenciālvienādojuma labās puses skaitītājs, gan saucējs (skatiet sadaļu Diferenciālvienādojumi)

kur P un Q ir nepārtraukti diferencējamas funkcijas. Pieņemot, ka O. t. atrodas koordinātu sākumā un izmantojot Teilora formulu (skatiet Teilora formulu), vienādojumu (1) varam attēlot formā

kur P 1 ( x, y) un Q 1 ( x, y) ir bezgalīgi mazi attiecībā pret

Proti, ja λ 1 ≠ λ 2 un λ 1 λ 2 > 0 vai λ 1 = λ 2, tad O.t. ir mezgls; tajā ieiet visas integrāllīknes, kas iet caur punktiem pietiekami mazā mezgla apkārtnē. Ja λ 1 ≠ λ 2 un λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 un β ≠ 0, tad O.t. ir fokuss; visas integrālās līknes, kas iet caur punktiem pietiekami mazā fokusa apkārtnē, ir spirāles ar bezgalīgu pagriezienu skaitu jebkurā patvaļīgi mazā fokusa apkārtnē. Ja, visbeidzot, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, tad O.t raksturu nenosaka lineārie termini P ( x, y) un Q ( x, y), kā tas bija visos iepriekšminētajos gadījumos; šeit O.t. var būt fokuss vai centrs, vai arī tam var būt sarežģītāks raksturs. Centra tuvumā visas integrālās līknes ir slēgtas un satur centru tajās. Tā, piemēram, punkts (0, 0) ir vienādojumu mezgls plkst" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; sk rīsi. 5 , a) un y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; sk rīsi. 5 , b), seglu vienādojumam y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. rīsi. 6 ), vienādojuma fokuss y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. rīsi. 7 ) un vienādojuma centrs y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. rīsi. astoņi ).

Ja x, y) un Q ( x, y) ir analītiski, augstākas pakāpes O. t. apkārtni var iedalīt reģionos: D 1 - piepildīta ar integrālām līknēm, abi gali ieiet O. t. (eliptiskie apgabali), D 2 - piepildīta ar integrālām līknēm, viens gals ieiet O. t. (paraboliskie apgabali), un D 3 - apgabali, ko ierobežo divas integrālās līknes, kas iekļautas O. t., starp kurām atrodas hiperbolu tipa integrālās līknes (hiperboliskie apgabali) (sk. rīsi. deviņi ). Ja nav integrālu līkņu, kas ieiet O punktā, tad O punktu sauc par stabila tipa punktu. Stabila O. t. apkārtne sastāv no slēgtām integrālām līknēm, kas satur O. t. sevī, starp kurām atrodas spirāles (sk. rīsi. desmit ).

O. t. diferenciālvienādojumu izpēte, tas ir, pēc būtības, integrālo līkņu ģimeņu uzvedības izpēte O. t. M. Ļapunova a, A. Puankarē un citu apkārtnē).

3) Vienvērtīgas analītiskās funkcijas vienskaitļa punkts ir punkts, kurā tiek pārkāpta funkcijas analītiskā spēja (sk. Analītiskās funkcijas). Ja ir apkaimē O. t. a, brīvs no citiem O. t., tad punkts a sauc par izolētu O. t. Ja a ir izolēts O. t. un eksistē ierobežots a, ko sauc par noņemamu O. t. f(a)= b, ir iespējams sasniegt a kļūs par parasto labotās funkcijas punktu. Piemēram, punkts z= 0 ir noņemama OT funkcijai f 1 ( z) = f(z), ja z≠ 0 un f 1(0),=1, punkts z= 0 ir parasts punkts [ f 1 (z) ir analītisks z= 0]. Ja a- izolēts O. t. un a tiek saukts par funkcijas polu vai nebūtiski vienskaitļa punktu f(z), ja Laurent sērija) darbojas f(z) izolētas O. t apkārtnē nesatur negatīvus spēkus z - a, ja a- noņemams O. t., satur ierobežotu skaitu negatīvo spēku z - a, ja a- stabs (šajā gadījumā staba secība R ir definēts kā a augstākais jauda - būtībā vienskaitļa punkts. Piemēram, funkcijai

p = 2, 3, …)

punkts z= 0 ir kārtas pols R, funkcijai

punkts z= 0 ir būtisks vienskaitļa punkts.

Uz pakāpes rindas konverģences apļa robežas ir jābūt vismaz vienai O. t. no funkcijas, kas šajā aplī attēlota ar doto pakāpju rindu. Visi vienas vērtības analītiskās funkcijas (dabiskās robežas) pastāvēšanas apgabala robežpunkti ir šīs funkcijas robežpunkti. Tādējādi visi vienības apļa punkti | z| = 1 ir īpaši funkcijai

Daudzvērtīgai analītiskai funkcijai jēdziens "O. t." grūtāk. Papildus O.t. atsevišķās funkcijas Rīmaņa virsmas loksnēs (tas ir, vienvērtīgo analītisko elementu O.t.) jebkurš atzarojuma punkts ir arī funkcijas O.t. Rīmaņa virsmas izolēti atzarojuma punkti (t.i., atzarojuma punkti, kuru dažos to apkaimēs nevienā lapā nav citu O.t. funkciju) tiek klasificēti šādi. Ja a ir izolēts ierobežotas kārtas atzarojuma punkts un eksistē ierobežots a, to sauc par kritisko polu. Ja a ir izolēts bezgalīgas kārtas atzarojuma punkts, un a tiek saukts par pārpasaulīgo O. t. Visi pārējie izolētie atzarojuma punkti tiek saukti par kritiskiem būtībā vienskaitļa punktiem. Piemēri: punkts z= 0 ir parasts funkcijas f ( z) = žurnāls z un funkcijas kritisks būtisks vienskaitļa punkts f (z) = grēku žurnāls z.

Jebkurš O.t., izņemot noņemamo, ir šķērslis analītiskajam turpinājumam, t.i., analītiskā turpinājums līknē, kas iet caur nenoņemamu O.t., nav iespējama.

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir "Īpašais punkts" citās vārdnīcās:

Punkti šeit. Skatīt arī vienskaitļa punktu (diferenciālvienādojumi). Pazīme vai singularitāte matemātikā ir punkts, kurā matemātiskais objekts (parasti funkcija) nav definēts vai tam ir neregulāra darbība (piemēram, punkts, kurā ... ... Wikipedia

Analītiskā funkcija ir punkts, kurā tiek pārkāpti analītiskās darbības nosacījumi. Ja analītiskā funkcija f(z) ir definēta kādā punkta z0 apkārtnē visur… Fiziskā enciklopēdija

Analītiskā funkcija ir punkts, kurā tiek pārkāpta funkcijas analītiskā spēja ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

vienskaitlis punkts- — [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovs. Angļu krievu elektrotehnikas un enerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999] Elektrotehnikas tēmas, pamatjēdzieni LV vienskaitlis ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

1) Analītiskās funkcijas f(z) OT ir šķērslis kompleksa mainīgā z funkcijas f(z) elementa analītiskajam turpinājumam pa kādu ceļu šī mainīgā plaknē. Ļaujiet analītisko funkciju f(z) definēt ar kādu ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Analītiskā funkcija, punkts, kurā tiek pārkāpta funkcijas analītiskā spēja. * * * SINGULĀRS PUNKTS Analītiskās funkcijas SINGULĀRS PUNKTS, punkts, kurā tiek pārkāpta funkcijas analītiskā spēja... enciklopēdiskā vārdnīca

vienskaitlis punkts- ypatingasis taškas statusas T joma automatika atitikmenys: engl. vienskaitļa punkts vok. vienskaitlis Punkt, m rus. vienskaitļa punkts, fpranc. punktveida daļiņa, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

Teilora sērijas kalpo kā efektīvs instruments tādu funkciju pētīšanai, kuras ir analītiskas aplī zol Lai izpētītu funkcijas, kas ir analītiskas gredzenveida apgabalā, izrādās, ka ir iespējams konstruēt izvērsumus pozitīvās un negatīvās pakāpēs (z - zq). forma, kas vispārina Teilora izvērsumus. Sērija (1), kas tiek saprasta kā divu sēriju summa, tiek saukta par Lorāna sēriju. Ir skaidrs, ka sērijas (1) konverģences apgabals ir katras sērijas (2) konverģences reģionu kopīgā daļa. Atradīsim viņu. Pirmās sērijas konverģences apgabals ir aplis, kura rādiusu nosaka Košī-Hadamara formula. un vienmērīgi. Otrā rinda ir pakāpju rinda attiecībā pret mainīgo. Rinda (5) savā konverģences lokā saplūst ar kompleksā mainīgā m-*oo analītisko funkciju, un jebkurā mazāka rādiusa aplī tā konverģē absolūti un vienmērīgi, kas nozīmē, ka sērijas (4) konverģences apgabals ir apļa izskats - Ja tad ir kopīgs virkņu (3) un (4) konverģences apgabals - apļveida gredzens, kurā sērija (1) saplūst ar analītisko funkciju. Turklāt jebkurā gredzenā tas saplūst absolūti un vienmērīgi. Piemērs 1. Nosakiet rad Laurent sērijas konverģences apgabalu. Izolētus vienvērtības punktus un to klasifikāciju (z), kas ir vienvērtīgi un apolitiski apļveida gredzenā, var attēlot šajā gredzenā kā konverģentas rindas summu, kuras koeficienti Cn ir unikāli noteikti un aprēķināti pēc formulām, kur 7p ir aplis ar rādiusu m Nofiksēsim patvaļīgu punktu z gredzena R iekšpusē Konstruējam apļus ar centriem punktā r, kuru rādiusi apmierina nevienādības, un apsveram jaunu gredzenu Saskaņā ar Košī integrāļa teorēmu reizināti savienotam domēnam, mums ir Visiem punktiem £ gar riņķi ​​7d* ir izpildīta sakarība de vienmērīgi konverģentas sērijas 1 1 summai. Tāpēc daļu ^ var attēlot vi- /" / Nedaudz savādāk, visiem punktiem ξ uz aplis ir> mums ir sakarība Tāpēc daļu ^ var attēlot kā vienmērīgi konverģentas rindas summu formulās (10) un (12) ir analītiskas funkcijas apļveida gredzenā. Tāpēc saskaņā ar Košī teorēmu atbilstošo integrāļu vērtības nemainās, ja apļus 7/r un 7r/ aizstāj ar jebkuru apli. Tas ļauj apvienot formulas (10) un (12). Formulas (8) labās puses integrāļus aizstājot attiecīgi ar to izteiksmēm (9) un (11), mēs iegūstam vēlamo paplašinājumu. Tā kā z ir patvaļīgs Gredzena punkts, no tā izriet, ka virkne (14) saplūst ar funkciju f(z) visur šajā gredzenā, un jebkurā gredzenā sērijas konverģē uz šo funkciju absolūti un vienmērīgi. Tagad pierādīsim, ka formas (6) dekompozīcija ir unikāla. Pieņemsim, ka notiek vēl viena sadalīšanās. Tad visur gredzena R iekšpusē mums ir Uz apkārtmēra rindas (15) saplūst vienmērīgi. Reiziniet abas vienādības puses (kur m ir fiksēts vesels skaitlis un integrējiet abas rindas pa vārdam. Rezultātā mēs iegūstam kreisajā pusē, bet labajā pusē - Csh. Tādējādi (4, \u003d St. Kopš m ir patvaļīgs skaitlis, tad pēdējo vienādību rindu (6), kuras koeficientus aprēķina ar formulām (7), sauc par funkcijas f(z) Lorāna sēriju gredzenā 7) Lorāna sērijas koeficientiem ir praksē izmanto reti, jo parasti tie prasa apgrūtinošus aprēķinus.Parasti, ja iespējams, tiek izmantoti jau gatavi Teilora elementāru funkciju paplašinājumi.Pamatojoties uz paplašināšanas unikalitāti, jebkura leģitīma metode noved pie tāda paša rezultāta.Piemērs 2 Apsveriet dažādu domēnu funkciju Laurent sērijas izvērsumus, pieņemot, ka Fuiscius /(r) ir divi vienskaitļa punkti: Tāpēc ir trīs gredzena domēni. un, kas centrēts punktā r = 0. katrā no tiem funkcija f(r) ir analītiska: a) aplis ir apļa ārpuse (27. att.). Atradīsim funkcijas /(z) Laurent paplašinājumus katrā no šiem reģioniem. /(z) attēlojam kā elementāro daļu summu a) Apļa pārveidošanas sakarība (16) šādi Izmantojot formulu ģeometriskās progresijas terminu summai, iegūstam b) Funkcijas -z gredzens šajā gredzenā paliek konverģents, jo sērijas (19) funkcijai j^j, ja |z| > 1 atšķiras. Tāpēc funkciju /(z) pārveidojam šādi: vēlreiz pielietojot formulu (19), iegūstam, ka Šī rinda konverģē priekš. Aizvietojot izvērsumus (18) un (21) attiecībās (20), iegūstam c) Apļa eksterjeru funkcijai -z ar |z| > 2 atšķiras, un sērija (21) funkcijai Attēlosim funkciju /(z) šādā formā: /<*> Izmantojot formulas (18) un (19), mēs iegūstam VAI 1 Šis piemērs parāda, ka vienai un tai pašai funkcijai f(z) Laurent izvērsumam, vispārīgi runājot, dažādiem gredzeniem ir atšķirīga forma. Piemērs 3. Atrodiet funkcijas Laurent sērijas 8 Laurent sērijas dekompozīcijas Izolētie vienskaitļi punkti un to klasifikācija gredzenveida apgabalā A Mēs izmantojam funkcijas f (z) attēlojumu šādā formā: un transformējiet otro terminu Izmantojot ģeometriskās progresijas vārdu summas formulu, iegūstam Aizstājot atrastās izteiksmes formulā (22), mums ir 4. piemērs. Izvērsiet funkciju Laurent sērijā tiešā zq = 0 tuvumā. Jebkuram kompleksam , mums ir Ļaut Šis paplašinājums ir derīgs jebkuram punktam z Ф 0. Šajā gadījumā gredzenveida apgabals ir visa kompleksā plakne ar vienu izmestu punktu z - 0. Šo apgabalu var definēt ar šādu sakarību: Šī funkcija ir analītiska. reģionā No formulām (13) Laurent rindas koeficientiem ar tādu pašu argumentāciju kā iepriekšējā rindkopā var iegūt Kouiw nevienādības. ja funkcija f(z) ir norobežota uz riņķa līnijas, kur M ir konstante), tad izolēti singulāri punkti Punktu zo sauc par funkcijas f(z) izolētu singulāru punktu, ja punktam ( () pastāv gredzenveida apkārtne. šo kopu dažreiz sauc arī par punkta 2o caurdurtu apkārtni, kur funkcija f(z) ir vienvērtīga un analītiska. Pašā punktā zo funkcija vai nu nav definēta, vai arī nav vienvērtīga un analītiska. Atkarībā no funkcijas /(z) uzvedības, tuvojoties punktam zo, izšķir trīs veidu vienskaitļus. Izolētu vienskaitļa punktu sauc: 1) par noņemamu, ja pastāv galīgs 2) pmusach, ja 3) par būtībā vienskaitli punktu, ja funkcijai f(z) nav ierobežojumu 16. teorēma. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts z0 ir noņemams vienskaitlis tad un tikai tad, ja funkcijas f(z) Lorēna izvērsums punkta zo tuvumā nesatur galveno daļu, t.i., ir forma Let zo - noņemams vienskaitļa punkts. Tad eksistē galīgs, un līdz ar to funkcija f(z) ir ierobežota punkta r prokoloģiskā tuvumā. Mēs uzstādām, pamatojoties uz Košī nevienādībām Tā kā p ir iespējams izvēlēties kā patvaļīgi mazu, tad visi koeficienti negatīvās pakāpes (z - 20) ir vienādas ar nulli: Un otrādi, ļaujiet Lorānam funkcijas /(r) izvērsumam punkta zq tuvumā satur tikai pareizo daļu, t.i., tai ir forma (23) un, līdz ar to ir Teilors. Ir viegli redzēt, ka z -* z0 funkcijai /(r) ir robežvērtība: 17. teorēma. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts zq ir noņemams tad un tikai tad, ja funkcija J(z) ir robežojas kādā caurdurtā apkaimē no punkta zq, Zgmechai nav. Ļaujiet r0 būt f(r) noņemams vienskaitļa punkts. Pieņemot, ka funkcija f(r) ir analītiska kādā aplī, kura centrs ir punktā th. Tas nosaka punkta nosaukumu - vienreiz lietojams. 18. teorēma. Funkcijas f(z) izolēts vienskaitļa punkts zq ir pols tad un tikai tad, ja funkcijas f(z) Lorāna izvērsuma galvenā daļa punkta tuvumā satur galīgu (un pozitīvu) skaitli. no nulles punktiem, t.i., ir forma 4 Lai z0 ir pols. Kopš tā laika pastāv punkta z0 caurdurta apkārtne, kurā funkcija f(z) ir analītiska un nav nulle. Tad šajā apkārtnē tiek definēta analītiskā funkcija, un līdz ar to punkts zq ir funkcijas noņemams vienskaitļa punkts (nulle) vai kur h(z) ir analītiskā funkcija, h(z0) ∩ 0. ir analītisks funkcijas apkārtnē. punkts zq, un tātad, no kurienes iegūstam, ka Tagad pieņemsim, ka funkcijai f(z) ir formas (24) dekompozīcija punkta zo caurdurtā apkārtnē. Tas nozīmē, ka šajā apkārtnē funkcija f(z) ir analītiska kopā ar funkciju. Funkcijai g(z) ir derīgs paplašinājums, no kura ir skaidrs, ka zq ir funkcijas g(z) noņemams vienskaitļa punkts un eksistē Tad funkcijai ir tendence uz 0 - funkcijas polu Ir vēl viens vienkāršs fakts. Punkts Zq ir funkcijas f(z) pols tad un tikai tad, ja funkciju g(z) = y var paplašināt līdz analītiskai funkcijai punkta zq tuvumā, iestatot g(z0) = 0. funkcijas f(z) polu sauc par funkcijas jfa nulles kārtu. 16. un 18. teorēma ietver šādu apgalvojumu. 19. teorēma. Izolēts vienskaitļa plāns būtībā ir vienskaitlis tad un tikai tad, ja Lorāna izvērsuma galvenā daļa šī punkta caurdurtajā apkārtnē satur bezgalīgi daudzus, kas nav vienādi ar nulli. 5. piemērs. Funkcijas vienskaitļa punkts ir zo = 0. Mums ir Laurent sērija. Izolēti vienskaitļa punkti un to klasifikācija Tāpēc zo = 0 ir noņemams vienskaitļa punkts. Funkcijas /(z) izvērsums Laurent sērijā nulles punkta tuvumā satur tikai pareizo daļu: Piemērs7. f(z) = Funkcijas f(z) vienskaitļa punkts ir zq = 0. Apsveriet šīs funkcijas uzvedību uz reālās un iedomātās ass: uz reālās ass pie x 0, uz iedomātās ass Tāpēc ne galīgs, ne bezgalīga robeža f(z) pie z -* 0 nepastāv. Tādējādi punkts r0 = 0 būtībā ir funkcijas f(z) vienskaitlis. Nulles punkta tuvumā atradīsim funkcijas f(z) Laurent paplašinājumu. Jebkuram kompleksam C mēs esam iestatījuši. Tad Lorāna izvērsumā ir bezgalīgs skaits terminu ar z negatīviem pakāpēm.

Definīcija. Funkcijas vienskaitļa punkts tiek izsaukts izolēts, ja kādā šī punkta apkārtnē ir analītiska funkcija (tas ir, analītiska gredzenā).

Funkcijas izolēto singulāro punktu klasifikācija ir saistīta ar šīs funkcijas uzvedību singulārā punkta tuvumā.

Definīcija. Punktu sauc vienreizējās lietošanas funkcijas vienskaitļa punkts, ja šai funkcijai ir ierobežota robeža pie .

5. piemērs Parādiet, ka funkcijai kādā punktā ir noņemama singularitāte.

Lēmums. Atgādinot pirmo ievērojamo robežu, mēs aprēķinām

Tas nozīmē, ka dotajai funkcijai punktā ir noņemama singularitāte.

4. uzdevums. Parādiet, ka punkts ir noņemams .

Definīcija. Punktu sauc stabs funkcija , ja šī funkcija bezgalīgi palielinās , tas ir .

Pievērsīsim uzmanību saiknei starp analītiskās funkcijas nulles un pola jēdzieniem. Attēlosim funkciju kā .

Ja punkts ir vienkārša funkcijas nulle, tad funkcijai ir vienkāršs pols

Ja funkcijai punkts ir nulle, tad funkcijai tas ir pols pasūtījums.

6. piemērs Parādiet, ka funkcijai punktā ir trešās kārtas pols.

Lēmums. Pieņemot, ka mēs saņemam. Tā kā mums ir tendence uz nulli, saskaņā ar jebkuru likumu mums ir . Tad , un līdz ar to pati funkcija palielinās bezgalīgi. Tāpēc , Tas ir, vienskaitļa punkts ir pols. Funkcijai šis punkts acīmredzami ir trīskārša nulle. Tādējādi šai funkcijai punkts ir trešās kārtas pols.

5. uzdevums. Parādiet, ka punktam ir vienkāršs pols.

Definīcija. Punktu sauc būtībā īpašs funkcijas punkts, ja šajā punktā funkcijai nav ne galīgas, ne bezgalīgas robežas (funkcijas uzvedība nav definēta).

Ļaut ir būtisks funkcijas vienskaitļa punkts. Tad jebkuram iepriekš piešķirtam kompleksajam skaitlim ir tāda punktu secība, kas saplūst ar , pa kuru vērtībām ir tendence: ( Sočokija teorēma).

7. piemērs Parādiet, ka funkcijai punktā ir būtiska singularitāte.

Lēmums. Apsveriet dotās funkcijas uzvedību punkta tuvumā. Jo gar reālās ass pozitīvo daļu (t.i. ) mums ir un ; ja gar reālās ass negatīvo daļu (t.i.), tad un . Tātad nav ierobežojumu. Pēc definīcijas funkcijai punktā ir būtiska singularitāte.

Aplūkosim funkcijas uzvedību pie nulles no Sočoki teorēmas viedokļa. Ļaut ir jebkurš komplekss skaitlis, izņemot nulli un bezgalību.

No vienlīdzības mēs atrodam . Pieņemot , ka iegūstam punktu secību , . Acīmredzot,. Katrā šīs secības punktā funkcija ir vienāda ar , un tāpēc

6. uzdevums. Parādiet, ka funkcijai kādā punktā ir būtiska singularitāte.

Punkts bezgalībā vienmēr tiek uzskatīts par īpašu funkciju. Punktu sauc par funkcijas izolētu vienskaitļa punktu, ja šai funkcijai nav citu vienskaitļa punktu ārpus kāda apļa, kura centrs ir sākuma punktā.

Izolētu vienskaitļa punktu klasifikāciju var attiecināt arī uz gadījumu.

8. piemērs Parādiet, ka funkcijai ir dubultpols bezgalībā.

Lēmums. Apsveriet funkciju , kur ir analītiskā funkcija punkta tuvumā un . Tas nozīmē, ka funkcijai bezgalībā ir dubultā nulle, bet tad funkcijai punkts ir dubultpols.

9. piemērs Parādiet, ka funkcijai ir būtiska singularitāte bezgalībā.

Lēmums. Līdzīga problēma aplūkota pr.7. Apsveriet funkcijas uzvedību bezgalīgi attāla punkta tuvumā. Pa reālās ass pozitīvo daļu un gar reālās ass negatīvo daļu. Tas nozīmē, ka funkcijai punktā nav ierobežojumu, un saskaņā ar definīciju šis punkts būtībā ir vienskaitlis.

Funkcijas singularitātes raksturu punktā var spriest pēc galvenā daļa Lorāna paplašināšana šī punkta apkārtnē.

1. teorēma. Lai jēga būtu vienreizējās lietošanas funkcijas vienskaitļa punkts, ir nepieciešams un pietiekams, lai atbilstošā Laurent paplašināšana nesaturēja galveno daļu.

6. uzdevums. Izmantojot funkcijas Teilora paplašinājumu punkta tuvumā, parādiet, ka tam ir noņemama singularitāte pie nulles.

2. teorēma. Lai jēga būtu stabs funkcijas , ir nepieciešams un pietiekams, lai galvenā daļa atbilstošā Laurent paplašināšanās ietvēra ierobežotu skaitu dalībnieku :

Augstākā negatīvā vārda skaitlis nosaka staba secību.

Šajā gadījumā funkciju var attēlot kā

kur ir funkcija analītiskā punktā, , ir pola secība.

10. piemērs Parādiet, ka funkcijas punktos ir vienkārši stabi.

Lēmums. Apskatīsim punktu. Mēs izmantojam šīs funkcijas Laurent paplašinājumu šī punkta tuvumā, kas iegūts 2. piemērā:

Tā kā lielākā (un vienīgā) negatīvā jauda šīs izplešanās galvenajā daļā ir vienāda ar vienu, punkts ir šīs funkcijas vienkāršs pols.

Šo rezultātu varēja iegūt citā veidā. Pārstāvēsim formā un ielieciet - šī ir funkcija, kas ir analītiska punktā un . Tādējādi, pateicoties (8), šai funkcijai punktā ir vienkāršs pols.

Vēl viens veids: apsveriet funkciju, kuras punktā ir vienkārša nulle. Līdz ar to šajā brīdī tam ir vienkāršs stabs.

Līdzīgi, ja funkciju ierakstām formā , kur ir funkcija, kas ir analītiska punktā un , tad uzreiz ir skaidrs, ka punkts ir vienkāršs funkcijas pols.

7. uzdevums. Parādiet, ka funkcijai punktā ir 2. kārtas pols un punktā 4. kārtas pols.

3. teorēma. Lai jēga būtu būtībā īpašs funkcijas punkts , tas ir nepieciešams un pietiekams galvenā daļa Lorāna paplašināšana punkta apkārtnē tajā bija bezgalīgs dalībnieku skaits .

11. piemērs. Nosakiet singularitātes raksturu funkcijas punktā

Lēmums. Labi zināmajā kosinusa izvērsumā mēs ievietojam tā vietā:

Tādējādi Lorāna izvērsumam punkta tuvumā ir forma

Šeit pareizā daļa ir viens termins. Un galvenā daļa satur bezgalīgi daudz terminu, tāpēc būtība ir vienskaitlī.

8. uzdevums. Parādiet, ka kādā punktā funkcijai ir būtiska singularitāte.

Apsveriet kādu funkciju un pierakstiet tās Laurent paplašinājumu punktā:

Veiksim nomaiņu, kamēr punkts iet uz punktu. Tagad bezgalības punkta tuvumā mums ir

Atliek ieviest jaunu apzīmējumu . Mēs saņemam

kur ir galvenā daļa, un tā ir funkcijas Laurent izvērsuma regulārā daļa bezgalīgi attāla punkta tuvumā. Tādējādi Lorāna funkcijas izvērsumā punkta tuvumā galvenā daļa ir virkne pozitīvos pakāpēs, bet pareizā daļa ir virkne negatīvos pakāpēs. Ņemot vērā šo

Tomēr iepriekš minētie kritēriji singularitātes rakstura noteikšanai paliek spēkā bezgalīgi attālā punktā.

12. piemērs. Noskaidrojiet funkcijas singularitātes raksturu punktā. , tad kādā brīdī tas var izrādīties neizolēts.

15. piemērs Funkcijai bezgalīgi attālā punktā ir būtiska singularitāte. Parādiet, ka funkcijas punkts nav izolēts vienskaitļa punkts.

Lēmums. Funkcijai ir bezgalīgs polu skaits pie saucēja nullēm, tas ir, punktos , . Tā kā , Tad punkts , jebkurā apkārtnē, kurā ir stabi , ir robežpunkts stabiem.