Millises punktis on funktsiooni tuletis negatiivne? Funktsiooni tuletis. Funktsiooni tuletise tähendus

Ülesandes B9 on antud funktsiooni või tuletise graafik, millest on vaja määrata üks järgmistest suurustest:

1. tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
2. Kõrged või madalad punktid (äärmuslikud punktid),
3. Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).

Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, mis lihtsustab oluliselt lahendust. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub matemaatilise analüüsi sektsiooni, on see üsna jõukohane ka kõige nõrgematele õpilastele, kuna puuduvad sügavad teoreetilised teadmised siin ei nõuta.

Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid- neid kõiki käsitletakse allpool.

Lugege hoolikalt ülesande B9 tingimust, et mitte teha rumalaid vigu: mõnikord tuleb ette üsna mahukaid tekste, kuid olulisi tingimusi, mis mõjutavad lahenduse kulgu, on vähe.

Tuletisinstrumendi väärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graafik, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:

1. Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti üles – see on lahenduse põhipunkt ja siinne viga viib vale vastuseni.
2. Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
3. Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni inkrementi argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.

Veel kord märgime: punkte A ja B tuleb otsida täpselt puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutuja peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti, vastasel juhul on probleem valesti sõnastatud.

Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke sammud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 = 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y \u003d f (x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .

Vaatleme punkte A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasvud:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Viimasest näitest saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis kokkupuutepunktis võrdne nulliga. Sel juhul ei pea te isegi midagi arvutama – vaadake lihtsalt graafikut.

Kõrgete ja madalate punktide arvutamine

Mõnikord on ülesande B9 funktsiooni graafiku asemel antud tuletisgraaf ja selleks on vaja leida funktsiooni maksimum- või miinimumpunkt. Selle stsenaariumi korral on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:

1. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).

Tuletise graafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks piisab, kui teha järgmised sammud:

1. Joonistage tuletise graafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad lisaandmed ainult lahendust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid – ja ongi kõik.
2. Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
3. Jällegi kontrollime tuletise nulle ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.

See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul - ülesandes B9 pole teisi.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−5; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.

Vabaneme ebavajalikust infost – jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Pange tähele ka märke:

Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.

Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ja tuletise nullid x = −1,7 ja x = 5. Märgi saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:

Ilmselt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.

Ülesanne. Joonisel on kujutatud lõigul [−6; defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik; neli]. Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv, mis kuuluvad intervalli [−4; 3].

Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu me ehitame uus ajakava, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:

Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles muutub tuletise märk plussist miinusesse.

Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti kirjutatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma teatud koht elukoht” ei võta probleemi lahendamisest otseselt osa. Täisarvuliste punktidega selline trikk muidugi ei tööta.

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide leidmine

Sellises ülesandes, nagu maksimumi ja miinimumi punktides, tehakse ettepanek leida tuletise graafikult alad, milles funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on tõusev ja kahanev:

1. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigu suurenemiseks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
2. Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 korral on väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Need. suurem väärtus argument vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja vähendamiseks:

1. Et pidevfunktsioon f(x) suureneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f'(x) ≥ 0.
2. Et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f'(x) ≤ 0.

Me aktsepteerime neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:

1. Eemaldage kogu üleliigne teave. Tuletise algsel graafikul huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame ainult need.
2. Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f'(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f'(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleemil on muutujale x piirangud, märgime need uuele diagrammile täiendavalt.
3. Nüüd, kui me teame funktsiooni ja piirangu käitumist, jääb üle arvutada ülesandes vajalik väärtus.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia kahaneva funktsiooni f(x) intervallid. Kirjutage vastusesse nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.

Nagu tavaliselt, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime tuletise märgid. Meil on:

Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku liita kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud lõigul [−10; neli]. Leia suureneva funktsiooni f(x) intervallid. Oma vastuses kirjutage neist suurima pikkus.

Vabaneme üleliigsest infost. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mis seekord osutusid neljaks: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgi üles tuletise märgid ja saad järgmise pildi:

Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. kus f'(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kuna on vaja leida suurima intervalli pikkus, kirjutame vastuseks väärtuse l 2 = 5.

Funktsiooniuuringud. Selles artiklis räägime ülesannetest, milles funktsioone peetakse silmas ja seisukorras on nende uurimisega seotud küsimusi. Kaaluge peamisi teoreetilisi punkte, mida peate nende lahendamiseks teadma ja mõistma.

seda kogu grupp matemaatika eksamil sisalduvad ülesanded. Tavaliselt tõstatatakse küsimus antud intervalli maksimumpunktide (miinimum) leidmise või funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse määramise kohta.Arvesse võetud:

— Võimsus ja irratsionaalsed funktsioonid.

— ratsionaalsed funktsioonid.

— Tööde uurimine ja eraelu.

— Logaritmilised funktsioonid.

— trigonomeetrilised funktsioonid.

Kui mõistate piiride teooriat, tuletise mõistet, tuletise omadusi funktsioonide graafikute uurimiseks ja selle , siis ei valmista sellised ülesanded teile raskusi ja lahendate need lihtsalt.

Allpool toodud teave on teoreetilised punktid, mille mõistmine võimaldab mõista, kuidas selliseid probleeme lahendada. Püüan need sõnastada nii, et isegi need, kes sellest teemast mööda jätsid või halvasti õppisid, saaksid sellised probleemid ilma suuremate raskusteta lahendada.

Selle rühma ülesannetes, nagu juba mainitud, on vaja leida funktsiooni minimaalne (maksimaalne) punkt või funktsiooni suurim (väikseim) väärtus intervallil.

Miinimum- ja maksimumpunktid.Tuletisomadused.

Vaatleme funktsiooni graafikut:

Punkt A on maksimumpunkt, intervallil O kuni A funktsioon suureneb, intervallil A punkti B see väheneb.

Punkt B on miinimumpunkt, intervallil A-st B-ni funktsioon väheneb, intervallil B punktini C see suureneb.

Nendes punktides (A ja B) tuletis kaob (võrdub nulliga).

Nende punktide puutujad on paralleelsed teljega härg.

Lisan, et punkte, kus funktsioon muudab oma käitumist suurenevalt kahanevalt (ja vastupidi, kahanevalt suurenemiseni), nimetatakse äärmusteks.

Oluline punkt:

1. Suurenevate intervallide tuletis on positiivse märgiga (nVäärtuse asendamisel intervallist tuletisega saadakse positiivne arv).

See tähendab, et kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivne väärtus, siis selle intervalli funktsiooni graafik suureneb.

2. Vähenemise intervallidel on tuletis negatiivse märgiga (intervalli väärtuse asendamisel tuletisavaldisesse saadakse negatiivne arv).

Seega, kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.

See tuleb selgeks teha!

Seega, arvutades tuletise ja võrdsustades selle nulliga, saab leida punkte, mis jagavad reaaltelje intervallideks.Igal neist intervallidest saate määrata tuletise märgi ja seejärel teha järelduse selle suurenemise või vähenemise kohta.

* Eraldi tuleks öelda punktide kohta, kus tuletist ei eksisteeri. Näiteks saame tuletise, mille nimetaja teatud x juures kaob. On selge, et sellise x puhul tuletist ei eksisteeri. Seega tuleb seda punkti arvesse võtta ka suurenemise (vähenemise) intervallide määramisel.

Funktsioon punktides, kus tuletis on võrdne nulliga, ei muuda alati oma märki. See saab olema eraldi artikkel. USE-s endas selliseid ülesandeid ei tehta.

Ülaltoodud omadused on vajalikud funktsiooni käitumise uurimiseks suurenemisel ja kahanemisel.

Mida on veel vaja teada määratud ülesannete lahendamiseks: tuletiste tabel ja diferentseerimisreeglid. Ilma selleta pole midagi. seda põhiteadmised, tuletise teemal. Peaksite väga hästi teadma elementaarfunktsioonide tuletisi.

Kompleksfunktsiooni tuletise arvutaminef(g(x)), kujutlege funktsioonig(x) on muutuja ja seejärel arvutage tuletisf’(g(x)) tabelivalemite abil muutuja tavalise tuletiseks. Seejärel korrutage tulemus funktsiooni tuletisegag(x) .

Vaadake Maxim Semenikhini videoõpetust keeruka funktsiooni kohta:

Ülesanded maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks

Funktsiooni maksimaalsete (minimaalsete) punktide leidmise algoritm:

1. Leia funktsiooni tuletis f’(x).

2. Leidke tuletise nullid (võrdsustades tuletise nulliga f’(x)=0 ja lahendage saadud võrrand). Leiame ka punkte, kus tuletist ei eksisteeri(eriti puudutab see murdosa-ratsionaalfunktsioone).

3. Märgistame saadud väärtused arvujoonele ja määrame nendel intervallidel tuletise märgid, asendades intervallidest saadud väärtused tuletisavaldisesse.

Väljund on üks kahest:

1. Maksimaalne punkt on punktmilles tuletis muutub positiivsest negatiivseks.

2. Miinimumpunkt on punktmilles tuletis muutub negatiivsest positiivseks.

Probleemid suurima või väikseima väärtuse leidmisel

funktsioonid intervallil.

Teist tüüpi probleemi puhul tuleb leida suurim või väikseim väärtus funktsioonid etteantud intervallil.

Suurima (väikseima) funktsiooni väärtuse leidmise algoritm:

1. Tehke kindlaks, kas on maksimaalsed (minimaalsed) punktid. Selleks leiame tuletise f’(x) , siis lahenda f’(x)=0 (eelmise algoritmi punktid 1 ja 2).

2. Teeme kindlaks, kas saadud punktid kuuluvad antud intervalli ja paneme kirja selle sees asuvad punktid.

3. Asendame algfunktsiooni (mitte tuletisesse, vaid tingimusesse antud) antud intervalli piirid ja intervalli sees asuvad punktid (maksimaalne-miinimum) (punkt 2).

4. Arvutame funktsiooni väärtused.

5. Saadud väärtustest valime välja suurima (väikseima) väärtuse, olenevalt sellest, milline küsimus ülesandes esitati, ning seejärel kirjutame vastuse kirja.

Küsimus: miks on funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse leidmise ülesannetes vaja otsida maksimaalseid (minimaalseid) punkte?

Vastus on kõige paremini illustreeritud, vaadake funktsioonide antud graafikute skemaatilist esitust:

Juhtudel 1 ja 2 piisab funktsiooni maksimaalse või minimaalse väärtuse määramiseks intervalli piiride asendamisest. Juhtudel 3 ja 4 on vaja leida funktsiooni nullid (maksimaalsed-minimaalsed punktid). Kui asendame intervalli piirid (funktsiooni nullpunkte leidmata), saame vale vastuse, seda on näha graafikutelt.

Ja asi on selles, et antud funktsiooni kasutades me ei näe, kuidas diagramm intervallil välja näeb (kas sellel on intervalli piires maksimum või miinimum). Seetõttu leidke tõrgeteta funktsiooni nullid!!!

Kui võrrand f'(x)=0 ei ole lahendust, see tähendab, et maksimum-miinimumpunkte pole (joonis 1.2) ja seatud ülesande leidmiseks asendatakse selle funktsiooniga ainult intervalli piirid.

Teine oluline punkt. Pidage meeles, et vastus peab olema täisarv või lõplik kümnend. Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse arvutamisel saate avaldised arvuga e ja pi, samuti avaldised juurega. Pidage meeles, et te ei pea neid lõpuni arvutama ja on selge, et selliste avaldiste tulemus ei ole vastus. Kui on soov selline väärtus välja arvutada, siis tee seda (arvud: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Kirjutasin palju, ilmselt segaduses? Konkreetsete näidete põhjal näete, et kõik on lihtne.

Järgmiseks tahan teile rääkida väikese saladuse. Fakt on see, et paljusid ülesandeid saab lahendada tuletise omadusi teadmata ja isegi ilma diferentseerimisreegliteta. Kindlasti räägin teile neist nüanssidest ja näitan, kuidas seda tehakse? ära igatse!

Aga miks ma siis üldse teooria välja ütlesin ja ütlesin ka, et seda peab eksimatult teadma. See on õige – sa pead teadma. Kui saate sellest aru, ei sega teid ükski selle teema ülesanne.

Need “nipid”, millest õpid, aitavad sind konkreetsete (mõnede) prototüübiprobleemide lahendamisel. ToLisavahendina on neid võtteid muidugi mugav kasutada. Probleemi saab lahendada 2-3 korda kiiremini ja säästa aega osa C lahendamiseks.

Kõike paremat!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Geomeetrilise tähenduse kohta on kirjutatud palju teooriat. Ma ei lasku funktsiooni juurdekasvu tuletamisse, tuletan teile meelde ülesannete täitmise peamist:

Tuletis punktis x on nurga koefitsient funktsiooni y \u003d f (x) graafiku puutuja selles punktis, see tähendab, et see on X-telje kaldenurga puutuja.

Võtame kohe eksamilt ülesande ja hakkame sellest aru saama:

Ülesanne number 1. Joonis näitab funktsiooni graafik y = f(x) ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.
Kellel on kiire ja ei taha selgitustest aru saada: ehitage üles mis tahes selline kolmnurk (nagu allpool näidatud) ja jagage seisev külg (vertikaalne) lamava (horisontaalse) küljega ja olete õnnelik, kui te märki ei unusta (kui sirgjoon väheneb (→↓) , siis peaks vastus olema miinusega, kui sirge kasvab (→), siis peab vastus olema positiivne!)

Tuleb leida puutuja ja X-telje vaheline nurk, nimetagem seda α: tõmbame X-teljega paralleelse sirge suvalisele poole läbi graafiku puutuja, saame sama nurga.

Punkti x0 on parem mitte võtta, sest täpsete koordinaatide määramiseks vajate suurt suurendusklaasi.

Võttes suvalise täisnurkse kolmnurga (joonisel on välja pakutud 3 varianti), leiame tgα (nurgad on võrdsed, vastavalt), s.o. saame funktsiooni f(x) tuletise punktis x0. Miks nii?

Kui tõmbame puutujaid teistes punktides x2, x1 jne. puutujad on erinevad.

Lähme tagasi 7. klassi, et ehitada sirgjoont!

Sirge võrrand on antud võrrandiga y = kx + b , kus

k - kalle X-telje suhtes.

b on kaugus Y-telje lõikepunkti ja alguspunkti vahel.

Sirge tuletis on alati sama: y" = k.

Ükskõik millises punktis joonel tuletise võtame, jääb see muutumatuks.

Seetõttu jääb üle vaid leida tgα (nagu eespool mainitud: jagame seisva külje lamava poolega). Jagame vastasjala külgneva jalaga, saame, et k \u003d 0,5. Kui graafik on aga kahanev, on koefitsient negatiivne: k = −0,5.

Soovitan teil kontrollida teine ​​viis:
Sirge defineerimiseks saab kasutada kahte punkti. Leidke kahe punkti koordinaadid. Näiteks (-2;-2) ja (2;-4):

Asendage võrrandis y = kx + b y ja x asemel punktide koordinaadid:

-2 = -2k + b

Selle süsteemi lahendamisel saame b = −3, k = −0,5

Järeldus: Teine meetod on pikem, kuid selles ei unusta te märki.

Vastus: - 0,5

Ülesanne number 2. Joonis näitab tuletisgraafik funktsioonid f(x). X-teljele on märgitud kaheksa punkti: x1, x2, x3, ..., x8. Kui paljud neist punktidest asuvad suureneva funktsiooni f(x) intervallidel?

Kui funktsiooni graafik väheneb - tuletis on negatiivne (ja vastupidi).

Kui funktsiooni graafik suureneb, on tuletis positiivne (ja vastupidi).

Need kaks fraasi aitavad teil otsustada enamusülesandeid.

Vaata hoolega teile antakse tuletise või funktsiooni joonis ja seejärel valige üks kahest fraasist.

Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku. Sest meile antakse tuletise graafik, siis kus see on negatiivne, siis funktsiooni graafik väheneb, kus positiivne, seal suureneb!

Selgub, et kasvualadel on 3 punkti: x4; x5; x6.

Vastus: 3

Ülesanne number 3. Funktsioon f(x) on defineeritud intervallil (-6; 4). Pilt näitab selle tuletise graafik. Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsioon omandab suurima väärtuse.

Soovitan koostada alati nii, kuidas funktsioonigraafik läheb, kas selliste nooltega või skemaatiliselt märkidega (nagu nr 4 ja nr 5):

Ilmselgelt, kui graafik kasvab väärtuseni -2, on maksimaalne punkt -2.

Vastus: -2

Ülesanne number 4. Joonisel on kujutatud funktsiooni f(x) graafik ja kaksteist punkti x-teljel: x1, x2, ..., x12. Mitmes neist punktidest on funktsiooni tuletis negatiivne?

Ülesanne on pöördvõrdeline, võttes arvesse funktsiooni graafikut, peate skemaatiliselt üles ehitama, kuidas funktsiooni tuletise graafik välja näeb, ja arvutama, mitu punkti jääb negatiivsesse vahemikku.

Positiivne: x1, x6, x7, x12.

Negatiivne: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Vastus: 7

Teist tüüpi ülesanne, kui küsida mõne kohutava "äärmuslikkuse" kohta? Teil ei ole raske leida, mis see on, kuid ma selgitan graafikute jaoks.

Ülesanne number 5. Joonisel on kujutatud intervallil (-16; 6) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik. Leia funktsiooni f(x) ekstreemumipunktide arv lõigul [-11; 5].

Pange tähele vahemikku -11 kuni 5!

Pöörame särasilmad plaadi poole: on antud funktsiooni tuletise graafik => siis ekstreemumiteks on X-teljega lõikepunktid.

Vastus: 3

Ülesanne number 6. Joonisel on kujutatud intervallil (-13; 9) defineeritud funktsiooni f (x) tuletise graafik. Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv lõigul [-12; 5].

Pange tähele vahemikku -12 kuni 5!

Plaati saab vaadata ühe silmaga, maksimumpunkt on ekstreemum, nii et enne seda on tuletis positiivne (funktsioon suureneb) ja pärast seda on tuletis negatiivne (funktsioon väheneb). Need punktid on ümbritsetud ringiga.

Nooled näitavad, kuidas funktsiooni graafik käitub.

Vastus: 3

Ülesanne number 7. Joonisel on näidatud intervallil (-7; 5) defineeritud funktsiooni f(x) graafik. Leidke punktide arv, kus funktsiooni f(x) tuletis on 0.

Võite vaadata ülaltoodud tabelit (tuletis on null, mis tähendab, et need on äärmuslikud punktid). Ja selles ülesandes on antud funktsiooni graafik, mis tähendab, et peate leidma pöördepunktide arv!

Ja saate nagu tavaliselt: koostame tuletise skemaatilise graafiku.

Tuletis on null, kui funktsioonide graafik muudab suunda (kasvamisest kahanevasse ja vastupidi)

Vastus: 8

Ülesanne number 8. Pilt näitab tuletisgraafik funktsioon f(x), mis on defineeritud vahemikus (-2; 10). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(x). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku:

Kui see suureneb, saame 4 täisarvu: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Vastus: 22

Ülesanne number 9. Pilt näitab tuletisgraafik funktsioon f(x), mis on defineeritud vahemikus (-6; 6). Leidke punktide arv f(x), kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või langeb kokku sirgega y = 2x + 13.

Meile on antud tuletise graafik! See tähendab, et ka meie puutuja tuleb "tõlkida" tuletiseks.

Puutuja tuletis: y" = 2.

Nüüd koostame mõlemad tuletised:

Puutujad lõikuvad kolmes punktis, seega on meie vastus 3.

Vastus: 3

Ülesanne number 10. Joonisel on kujutatud funktsiooni f (x) graafik, millele on märgitud punktid -2, 1, 2, 3. Millises neist punktidest on tuletise väärtus väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.

Ülesanne on mõneti sarnane esimesega: tuletise väärtuse leidmiseks tuleb luua punktis selle graafiku puutuja ja leida koefitsient k.

Kui joon on kahanev, k< 0.

Kui joon kasvab, siis k > 0.

Mõelgem, kuidas koefitsiendi väärtus mõjutab sirge kallet:

Kui k = 1 või k = − 1, on graafik x- ja y-telgede vahel.

Mida lähemal on sirgjoon X-teljele, seda lähemal on koefitsient k nullile.

Mida lähemal on joon Y-teljele, seda lähemal on koefitsient k lõpmatusele.

Punktis -2 ja 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>seal on tuletise väikseim väärtus

Vastus: 1

Ülesanne number 11. Sirg on funktsiooni y = x³ + x² + 2x + 8 graafiku puutuja y = 3x + 9 . Leidke kokkupuutepunkti abstsiss.

Sirg on graafiku puutuja, kui graafikud on ühine punkt, samuti nende tuletised. Võrdsusta graafikute võrrandid ja nende tuletised:

Teise võrrandi lahendamisel saame 2 punkti. Et kontrollida, milline neist sobib, asendame esimeses võrrandis kõik x-id. Ainult üks teeb.

Ma ei taha üldse lahendada kuupvõrrandit, vaid armsa hinge jaoks ruudukujulist võrrandit.

See on just see, mida vastuseks kirja panna, kui saad kaks "normaalset" vastust?

Kui asendate x (x) algsetes graafikutes y \u003d 3x + 9 ja y \u003d x³ + x² + 2x + 8, peaksite saama sama Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Õige! Seega on vastuseks x=1

Ülesanne number 12. Sirge y = − 5x − 6 puutub funktsiooni ax² + 5x − 5 graafikuga. Leia .

Samamoodi võrdsustame funktsioonid ja nende tuletised:

Lahendame selle süsteemi muutujate a ja x suhtes:

Vastus: 25

Tuletistega ülesannet peetakse eksami esimeses osas üheks keerulisemaks, kuid vähese tähelepanelikkuse ja probleemi mõistmisega saate hakkama ja tõstate selle ülesande täitmise protsenti!

Lõputöö aastal KASUTAMINE vormi 11 klassi õpilastele sisaldab see tingimata ülesandeid piiride, funktsiooni tuletise kahandamis- ja suurendamisvahemike arvutamiseks, ekstreemumipunktide leidmiseks ja graafikute joonistamiseks. Selle teema hea tundmine võimaldab teil õigesti vastata mitmele eksami küsimusele ja mitte kogeda raskusi edasisel erialasel koolitusel.

Põhitõed diferentsiaalarvutus matemaatika üks peamisi teemasid kaasaegne kool. Ta uurib tuletise kasutamist muutujate sõltuvuste uurimiseks – just tuletise kaudu saab analüüsida funktsiooni suurenemist ja vähenemist ilma joonisele viitamata.

Lõpetajate igakülgne ettevalmistus selleks eksami sooritamine peal haridusportaal"Shkolkovo" aitab sügavalt mõista eristamise põhimõtteid - mõista teooriat üksikasjalikult, uurida lahenduste näiteid tüüpilised ülesanded ja proovige kätt iseseisvas töös. Aitame teil kõrvaldada teadmistes tekkinud lüngad - selgitada teie arusaama teema leksikaalsetest mõistetest ja suuruste sõltuvustest. Õpilased oskavad korrata, kuidas leida monotoonsuse intervalle, mis tähendab funktsiooni tuletise tõusu või langust teatud intervallil, kui piiripunktid on leitud intervallidesse kaasatud ja mitte.

Enne temaatiliste ülesannete otsese lahendamise alustamist soovitame kõigepealt minna jaotisse "Teoreetiline viide" ja korrata mõistete, reeglite ja tabelivalemite määratlusi. Siit saate ka lugeda, kuidas tuletisgraafikul leida ja salvestada iga suureneva ja kahaneva funktsiooni intervall.

Kogu pakutav teave on esitatud kõige kättesaadavamal kujul, et seda praktiliselt nullist mõista. Sait pakub materjale mitmes tajumiseks ja assimilatsiooniks erinevaid vorme– lugemine, video vaatamine ja vahetu koolitus kogenud õpetajate käe all. Professionaalsed pedagoogid nad räägivad teile üksikasjalikult, kuidas analüütiliste ja graafiliste meetodite abil leida funktsiooni tuletise suurenemise ja vähenemise intervalle. Veebiseminaridel on võimalik esitada mistahes huvipakkuvaid küsimusi nii teoorias kui ka konkreetsete probleemide lahendamisel.

Meenutades teema põhipunkte, vaadake sarnaselt eksamivalikute ülesannetega funktsiooni tuletise suurendamise näiteid. Õppitu kinnistamiseks vaadake "Kataloogi" - siit leiate praktilised harjutused jaoks iseseisev töö. Jaotises olevad ülesanded on valitud erinevad tasemed raskusi oskuste arendamisel. Igaühele neist on lisatud näiteks lahendusalgoritmid ja õiged vastused.

Valides jaotise "Ehitaja", saavad õpilased harjutada funktsiooni tuletise suurendamise ja vähendamise uurimist reaalarvutis. KASUTAGE valikuid, mida pidevalt uuendatakse, võttes arvesse hiljutised muudatused ja innovatsiooni.

Antud intervallil on funktsioonil 2 maksimumi ja 2 miinimumi, kokku 4 äärmust. Ülesanne Joonisel on kujutatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Lahendus Antud intervallil on funktsiooni tuletis positiivne, seega funktsioon sellel intervallil kasvab. Lahendus Kui tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga ja selle läheduses muutub märk, siis on tegemist ekstreemumipunktiga.

Tuletisinstrumendi väärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod

1. Uurige funktsiooni tuletise graafiku abil. Funktsioon y=f(x) väheneb intervallidel (x1;x2) ja (x3;x4). Tuletise y=f ‘(x) graafiku abil saate võrrelda ka funktsiooni y=f(x) väärtusi.

Tähistame need punktid kui A (x1; y1) ja B (x2; y2). Kirjutage koordinaadid õigesti - see on lahenduse võtmepunkt ja iga siinne viga viib vale vastuseni.

AT füüsiline meel tuletis on mis tahes protsessi muutumise kiirus. Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t) = t²-13t+23, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites mõõdetuna liikumise algusest.

Ringi puutuja, ellips, hüperbool, parabool.

Tuletan meelde, et see kõlab nii: funktsiooni nimetatakse intervalli suurendamiseks/kahanemiseks, kui funktsiooni suurem argument vastab funktsiooni suuremale/väiksemale väärtusele. Aga vaadake palun oma lahendust ülesandele 7089. Seal ei arvestata kasvuvahemike määramisel piire. Pange tähele, et tuletise graafik on antud. Nagu tavaliselt: torgatud punkt ei asu diagrammil, selles olevaid väärtusi ei eksisteeri ja neid ei võeta arvesse. Hästi ettevalmistatud lapsed eristavad mõisteid "tuletis" ja "teine ​​tuletis". Ajad segadusse: kui tuletis pöördus 0-ks, siis punktis võiks funktsioonil olla miinimum või maksimum. Negatiivsed väärtused tuletis vastab intervallidele, millel funktsioon f(x) väheneb.

Seni oleme tegelenud graafikute puutujate võrrandite leidmisega üheväärtuslikud funktsioonid kujul y = f(x) erinevates punktides.

Alloleval joonisel on kujutatud kolm tegelikult erinevat sekanti (punktid A ja B on erinevad), kuid need langevad kokku ja on antud ühe võrrandiga. Aga ikkagi, kui definitsioonist lähtuda, siis joon ja selle sekantsirge langevad kokku. Alustame puutepunktide koordinaatide leidmist. Palume sellele tähelepanu pöörata, sest hiljem kasutame seda puutepunktide ordinaatide arvutamisel. Hüperbool, mille keskpunkt on punktis ja tipud ning mis on antud võrdusmärgiga (allpool vasakul olev joonis) ning tippude ja - võrdsusega (joonis all paremal). Tekib loogiline küsimus, kuidas määrata, millisele funktsioonile punkt kuulub. Sellele vastamiseks asendame igas võrrandis koordinaadid ja vaatame, milline võrdustest muutub identiteediks.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja. Otsime üles. Me mäletame seda puutujat teravnurk sisse täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada. Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga?