Kui nurk on terav, siis koefitsient. Funktsiooni graafiku puutuja võrrand. Põhjalik juhend (2019)

Eelmises peatükis näidati, et valides tasapinnal kindla koordinaatsüsteemi, saame vaadeldava sirge punkte iseloomustavaid geomeetrilisi omadusi analüütiliselt väljendada jooksvate koordinaatide vahelise võrrandiga. Seega saame sirge võrrandi. Selles peatükis käsitletakse sirgjoonte võrrandeid.

Sirge võrrandi sõnastamiseks Descartes'i koordinaatides peate kuidagi määrama tingimused, mis määravad selle asukoha koordinaatide telgede suhtes.

Esmalt tutvustame sirge kalde mõistet, mis on üks sirge asendit tasapinnal iseloomustavatest suurustest.

Nimetagem sirge kaldenurka Ox-telje suhtes nurka, mille võrra tuleb Ox-telge pöörata nii, et see ühtiks antud sirgega (või osutuks sellega paralleelseks). Nagu tavaliselt, arvestame nurka, võttes arvesse märki (märk määratakse pöörlemissuuna järgi: vastupäeva või päripäeva). Kuna Hrja telje täiendav pööramine 180° nurga võrra ühendab selle taas sirgjoonega, saab sirge kaldenurka telje suhtes valida mitmetähenduslikult (kuni kordne).

Selle nurga puutuja määratakse üheselt (kuna nurga muutmine väärtuseks ei muuda selle puutujat).

Sirge kaldenurga puutujat x-telje suhtes nimetatakse sirge kaldeks.

Kalle iseloomustab sirgjoone suunda (siin me ei erista sirge kahte vastastikku vastandlikku suunda). Kui kalle on sirge null, siis on joon paralleelne x-teljega. Positiivse kalde korral on sirge kaldenurk x-telje suhtes terav (peame siin väikseimat positiivne väärtus kaldenurk) (joonis 39); sel juhul, mida suurem on kalle, seda suurem on selle kaldenurk härja telje suhtes. Kui kalle on negatiivne, on sirge kaldenurk x-telje suhtes nüri (joonis 40). Pange tähele, et x-teljega risti asetseval sirgel ei ole kallet (nurga puutujat ei eksisteeri).

Sirge y \u003d f (x) puutub joonisel näidatud graafikuga punktis x0, kui see läbib punkti koordinaatidega (x0; f (x0)) ja selle kalle on f "(x0). Leidke selline koefitsient, teades puutuja omadusi, pole keeruline.

Sa vajad

• - matemaatika teatmeteos;
• - lihtne pliiats;
• - märkmik;
• - kraadiklaas;
• - kompass;
• - pastakas.

Juhend

Kui väärtust f‘(x0) ei eksisteeri, siis puutujat pole või see läheb vertikaalselt. Seda silmas pidades on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 tingitud mittevertikaalse puutuja olemasolust, mis on kontaktis funktsiooni graafikuga punktis (x0, f(x0)). Sel juhul on puutuja kalle võrdne f "(x0). Seega saab see selgeks geomeetriline tähendus tuletis - puutuja kalde arvutamine.

Joonistage täiendavad puutujad, mis puutuksid kokku funktsioonigraafikuga punktides x1, x2 ja x3, ning märkige ka nende puutujate moodustatud nurgad abstsissteljega (sellist nurka arvestatakse positiivses suunas teljest puutujani rida). Näiteks nurk, st α1, on terav, teine ​​(α2) on nüri ja kolmas (α3) on null, kuna puutuja on paralleelne OX-teljega. Sel juhul on nürinurga puutuja negatiivne, teravnurga puutuja on positiivne ja tg0 korral on tulemus null.

Märge

Määrake puutuja poolt moodustatud nurk õigesti. Selleks kasutage kraadiklaasi.

Kasulikud nõuanded

Kaks kaldjoont on paralleelsed, kui nende kalded on üksteisega võrdsed; risti, kui nende puutujate nõlvade korrutis on -1.

Allikad:

• Funktsioonigraafiku puutuja

Koosinust, nagu siinust, nimetatakse "otsesteks" trigonomeetrilisteks funktsioonideks. Puutuja (koos kotangensiga) lisatakse teisele paarile, mida nimetatakse "tuletisteks". Nende funktsioonide jaoks on mitu definitsiooni, mis võimaldavad leida puutuja, mille annab teadaolev väärtus sama väärtusega koosinus.

Juhend

Lahutage jagatis ühtsusest väärtuseni tõstetud antud nurga koosinusega ja eraldage tulemusest ruutjuur - see on nurga puutuja väärtus, väljendatuna selle koosinusega: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Samal ajal pöörake tähelepanu asjaolule, et valemis on koosinus murdosa nimetajas. Nulliga jagamise võimatus välistab selle avaldise kasutamise nurkade puhul, mis on võrdsed 90 °, samuti selle väärtuse erinevuse 180 ° kordsete (270 °, 450 °, -90 ° jne) võrra.

On olemas ka alternatiivne viis puutuja arvutamine koosinuse teadaolevast väärtusest. Seda saab kasutada, kui teiste kasutamisel ei ole piiranguid. Selle meetodi rakendamiseks määrake esmalt teadaoleva koosinusväärtuse põhjal nurga väärtus – seda saab teha arkosinusfunktsiooni abil. Seejärel arvutage lihtsalt saadud väärtuse nurga puutuja. Üldiselt saab selle algoritmi kirjutada järgmiselt: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On veel üks eksootiline variant, mis kasutab koosinuse ja puutuja määratlust täisnurkse kolmnurga teravnurkade kaudu. Koosinus selles määratluses vastab vaadeldava nurgaga külgneva jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhtele. Teades koosinuse väärtust, saad valida sellele vastavad nende kahe külje pikkused. Näiteks kui cos(α) = 0,5, siis võib külgneva väärtuseks võtta 10 cm ja hüpotenuusiks 20 cm. Konkreetsed numbrid ei oma siin tähtsust - saate sama ja õige kõigi samade väärtustega. Seejärel määrake Pythagorase teoreemi abil puuduva külje pikkus - vastasjalg. Ta on võrdne ruutjuur ruudukujulise hüpotenuusi ja teadaoleva jala pikkuste erinevusest: √(20²-10²)=√300. Definitsiooni järgi vastab puutuja vastas- ja külgnevate jalgade pikkuste suhtele (√300/10) – arvuta see välja ja saad leitud puutuja väärtuse klassikalise koosinuse definitsiooni abil.

Allikad:

• koosinus läbi puutuja valemi

Üks neist trigonomeetrilised funktsioonid, mida enamasti tähistatakse tähtedega tg, kuigi leidub ka tähistusi tan. Lihtsaim viis on esitada puutuja siinuse suhtena nurk selle koosinusesse. See on paaritu perioodiline ja mitte pidev funktsioon, mille iga tsükkel on võrdne arvuga Pi ja murdepunkt vastab poolele sellest arvust.

Matemaatikas on üheks parameetriks, mis kirjeldab sirge asukohta Descartes'i koordinaattasandil, selle sirge kalle. See parameeter iseloomustab sirgjoone kallet x-telje suhtes. Kalde leidmise mõistmiseks tuletage esmalt meelde sirgjoone võrrandi üldkuju XY koordinaatsüsteemis.

Üldiselt võib mis tahes rida esitada avaldisega ax+by=c, kus a, b ja c on suvalised reaalarvud, kuid tingimata a 2 + b 2 ≠ 0.

Lihtteisenduste abil saab sellise võrrandi viia kujule y=kx+d, milles k ja d on reaalarvud. Arv k on kalle ja seda tüüpi sirge võrrandit nimetatakse kaldega võrrandiks. Selgub, et kalde leidmiseks peate lihtsalt viima algse võrrandi ülaltoodud kujule. Parema mõistmise huvides kaaluge konkreetset näidet:

Ülesanne: Leidke võrrandiga 36x - 18y = 108 antud sirge kalle

Lahendus: teisendame algse võrrandi.

Vastus: selle joone soovitud kalle on 2.

Kui võrrandi teisendamisel saime avaldise tüübiga x = const ja selle tulemusena ei saa y-d esitada funktsioonina x, siis on tegemist X-teljega paralleelse sirgega. selline sirge on võrdne lõpmatusega.

Sirgede puhul, mida väljendatakse võrrandiga nagu y = const, on kalle null. See on tüüpiline sirgjoonte jaoks, mis on paralleelsed x-teljega. Näiteks:

Ülesanne: Leidke võrrandiga 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antud sirge kalle

Lahendus: viime algse võrrandi üldkujule

24x + 12a - 12a + 28 = 4

Saadud avaldisest on võimatu y-d väljendada, seetõttu on selle sirge kalle võrdne lõpmatusega ja joon ise on paralleelne Y-teljega.

geomeetriline tunne

Parema mõistmise huvides vaatame pilti:

Joonisel näeme y = kx tüüpi funktsiooni graafikut. Lihtsustamise mõttes võtame koefitsiendi c = 0. Kolmnurgas OAB on külje BA ja AO suhe võrdne kaldega k. Samal ajal on VA/AO suhe teravnurga α in puutuja täisnurkne kolmnurk OAV. Selgub, et sirge kalle on võrdne selle nurga puutujaga, mille see sirge moodustab koordinaatide ruudustiku x-teljega.

Lahendades ülesande, kuidas leida sirge kaldenurka, leiame selle ja koordinaatide ruudustiku x-telje vahelise nurga puutuja. Piirjuhud, mil vaadeldav sirge on paralleelne koordinaattelgedega, kinnitavad eelpool öeldut. Tõepoolest, võrrandiga y=const kirjeldatud sirge korral on selle ja x-telje vaheline nurk võrdne nulliga. Nullnurga puutuja on samuti null ja kalle on samuti null.

X-teljega risti olevate sirgjoonte puhul, mida kirjeldatakse võrrandiga x=const, on nende ja x-telje vaheline nurk 90 kraadi. Tangent täisnurk on võrdne lõpmatusega ja sarnaste sirgjoonte kalle on võrdne lõpmatusega, mis kinnitab ülalkirjutatut.

Tangenti kalle

Tavaline, praktikas sageli kohatav ülesanne on ka funktsioonigraafiku puutuja kalde leidmine mingil hetkel. Puutuja on sirgjoon, seetõttu on kalde mõiste rakendatav ka sellele.

Puutuja kalde leidmiseks peame meenutama tuletise kontseptsiooni. Mis tahes funktsiooni tuletis mingil hetkel on arvuliselt konstant võrdne puutujaga nurk, mis moodustub selle funktsiooni graafiku määratud punkti puutuja ja abstsisstelje vahel. Selgub, et puutuja kalde määramiseks punktis x 0 peame arvutama algfunktsiooni tuletise väärtuse selles punktis k \u003d f "(x 0). Vaatleme näidet:

Ülesanne: Leidke funktsiooni y = 12x 2 + 2xe x puutuja sirge kalle x = 0,1 juures.

Lahendus: Leidke algfunktsiooni tuletis üldkujul

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Vastus: soovitud kalle punktis x \u003d 0,1 on 4,831

Tasapinna sirge võrrandi teema jätk põhineb sirge uurimisel algebra tundidest. See artikkel annab üldistatud teavet kaldega sirge võrrandi teema kohta. Mõelge definitsioonidele, hankige võrrand ise, paljastage seos teist tüüpi võrranditega. Kõike arutatakse probleemide lahendamise näidete varal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Enne sellise võrrandi kirjutamist on vaja määratleda sirge kaldenurk nende kaldega O x telje suhtes. Oletame, et tasapinnal on antud Descartes'i koordinaatsüsteem O x.

Definitsioon 1

sirge kaldenurk telje O x suhtes, asub tasapinnal Descartes'i koordinaatsüsteemis O x y, see on nurk, mida mõõdetakse positiivsest suunast O x sirgjoonele vastupäeva.

Kui joon on Oxiga paralleelne või selles esineb kokkulangevus, on kaldenurk 0. Seejärel määratletakse antud sirge kaldenurk α intervallil [ 0 , π) .

Definitsioon 2

Sirge kalle on antud sirge kalde puutuja.

Standardtähistus on k. Definitsioonist saame, et k = t g α . Kui joon on Oxiga paralleelne, siis väidetavalt ei eksisteeri kallet, sest see läheb lõpmatuseni.

Funktsiooni graafiku suurenemisel on kalle positiivne ja vastupidi. Joonisel on toodud erinevad variatsioonid õige nurga asukohast koordinaatsüsteemi suhtes koos koefitsiendi väärtusega.

Selle nurga leidmiseks on vaja rakendada kaldeteguri määratlust ja arvutada tasapinna kaldenurga puutuja.

Lahendus

Tingimusest saame, et α = 120 °. Definitsiooni järgi peate arvutama kalle. Leiame selle valemist k = t g α = 120 = - 3 .

Vastus: k = -3 .

Kui nurgakoefitsient on teada, kuid on vaja leida kaldenurk x-telje suhtes, siis tuleks arvestada nurkkoefitsiendi väärtust. Kui k > 0, siis on täisnurk teravnurk ja leitakse valemiga α = a r c t g k. Kui k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Näide 2

Määrake antud sirge kaldenurk O x kaldenurgaga 3.

Lahendus

Tingimusest saame, et kalle on positiivne, mis tähendab, et kaldenurk O x suhtes on väiksem kui 90 kraadi. Arvutused tehakse valemi α = a r c t g k = a r c t g 3 järgi.

Vastus: α = a r c t g 3 .

Näide 3

Leidke sirge kaldenurk O x telje suhtes, kui kalle = - 1 3 .

Lahendus

Kui võtta kalde tähiseks täht k, siis α on antud sirge kaldenurk positiivses suunas O x. Seega k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Vastus: 5 pi 6 .

Võrrandit kujul y \u003d k x + b, kus k on kalle ja b on mingi reaalarv, nimetatakse kaldega sirge võrrandiks. Võrrand on tüüpiline igale sirgele, mis ei ole paralleelne O y teljega.

Kui käsitleme üksikasjalikult sirgjoont tasapinnal fikseeritud koordinaatsüsteemis, mis on antud võrrandiga kaldega, mis näeb välja nagu y \u003d k x + b. Sel juhul tähendab see, et joone mis tahes punkti koordinaadid vastavad võrrandile. Kui asendame punkti M koordinaadid M 1 (x 1, y 1) võrrandiga y \u003d k x + b, siis sel juhul läbib joon seda punkti, vastasel juhul ei kuulu punkt punkti rida.

Näide 4

Antud sirge kaldega y = 1 3 x - 1 . Arvuta, kas punktid M 1 (3 , 0) ja M 2 (2 , - 2) kuuluvad antud sirgele.

Lahendus

Antud võrrandisse on vaja asendada punkti M 1 (3, 0) koordinaadid, siis saame 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Võrdsus on tõsi, nii et punkt kuulub reale.

Kui asendada punkti M 2 koordinaadid (2, - 2), siis saame vale võrdsuse kujul - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Võime järeldada, et punkt M 2 ei kuulu sirgele.

Vastus: M 1 kuulub reale, aga M 2 mitte.

On teada, et sirgjoon on defineeritud võrrandiga y = k · x + b, mis läbib M 1 (0, b) , asendamine andis võrdsuse kujul b = k · 0 + b ⇔ b = b . Sellest võime järeldada, et tasapinna kaldega y = k · x + b sirge võrrand defineerib sirge, mis läbib punkti 0, b. See moodustab O x telje positiivse suunaga nurga α, kus k = t g α .

Vaatleme näiteks sirgjoont, mis on määratletud kalde abil, mis on antud kujul y = 3 · x - 1 . Saame, et sirge läbib punkti koordinaadiga 0, - 1 kaldega α = a r c t g 3 = π 3 radiaani piki O x telje positiivset suunda. Sellest on näha, et koefitsient on 3.

Antud punkti läbiva kaldega sirge võrrand

Vaja on lahendada ülesanne, kus on vaja saada punkti M 1 (x 1, y 1) läbiva etteantud kaldega sirge võrrand.

Võrdsust y 1 = k · x + b võib lugeda kehtivaks, kuna sirge läbib punkti M 1 (x 1 , y 1) . Arvu b eemaldamiseks on vaja vasakult ja paremalt poolt lahutada võrrand kaldekoefitsiendiga. Sellest järeldub, et y - y 1 = k · (x - x 1) . Seda võrdsust nimetatakse antud kaldega k sirge võrrandiks, mis läbib punkti M 1 (x 1, y 1) koordinaate.

Näide 5

Koostage võrrand sirgjoonest, mis läbib punkti M 1 koordinaatidega (4, - 1), mille kalle on - 2.

Lahendus

Tingimuse järgi on meil x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Siit edasi kirjutatakse sirgjoone võrrand järgmiselt: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Vastus: y = -2 x + 7.

Näide 6

Kirjutage punkti M 1 läbiva kaldega sirge võrrand koordinaatidega (3, 5), mis on paralleelsed sirgega y \u003d 2 x - 2.

Lahendus

Tingimuse kohaselt on paralleelsetel joontel kattuvad kaldenurgad, seega on kalde koefitsiendid võrdsed. Et leida kalle alates antud võrrand, on vaja meelde tuletada selle põhivalemit y = 2 x - 2, sellest järeldub, et k = 2 . Koostame kaldekoefitsiendiga võrrandi ja saame:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastus: y = 2 x - 1 .

Üleminek kaldega sirge võrrandilt teist tüüpi sirgjoone võrranditele ja vastupidi

Sellist võrrandit ei saa ülesannete lahendamisel alati kasutada, kuna sellel pole eriti mugav tähistus. Selleks tuleb see esitada erineval kujul. Näiteks võrrand kujul y = k · x + b ei võimalda kirja panna sirge suunavektori koordinaate ega normaalvektori koordinaate. Selleks peate õppima, kuidas kujutada erinevat tüüpi võrrandeid.

Tasapinnalise sirge kanoonilise võrrandi saame kaldega sirge võrrandi abil. Saame x - x 1 a x = y - y 1 a y . Vaja on liiget b nihutada vasakule ja jagada saadud võrratuse avaldisega. Siis saame võrrandi kujul y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Sirge võrrandist kaldega on saanud antud sirge kanooniline võrrand.

Näide 7

Viige sirge võrrand kaldega y = - 3 x + 12 kanoonilisele kujule.

Lahendus

Arvutame ja esitame sirgjoone kanoonilise võrrandi kujul. Saame vormi võrrandi:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastus: x 1 = y - 12 - 3.

Sirge üldvõrrandit on kõige lihtsam saada väärtusest y = k x + b, kuid selleks on vaja teisendusi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Tehakse üleminek sirgjoone üldvõrrandilt teist tüüpi võrranditele.

Näide 8

Antakse sirge võrrand kujul y = 1 7 x - 2. Uurige, kas vektor koordinaatidega a → = (- 1 , 7) on tavaline sirge vektor?

Lahendus

Selle lahendamiseks on vaja lülituda selle võrrandi teisele vormile, selleks kirjutame:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muutujate ees olevad koefitsiendid on sirge normaalvektori koordinaadid. Kirjutame selle nii n → = 1 7 , - 1 , järelikult 1 7 x - y - 2 = 0 . On selge, et vektor a → = (- 1 , 7) on kollineaarne vektoriga n → = 1 7 , - 1 , kuna meil on õiglane seos a → = - 7 · n → . Sellest järeldub , et algvektor a → = - 1 , 7 on sirge 1 7 x - y - 2 = 0 normaalvektor , mis tähendab , et seda peetakse sirge y = 1 7 x - 2 normaalvektoriks .

Vastus: On

Lahendame probleemi sellele pöördvõrdeliselt.

Vaja kolida üldine vaade võrrand A x + B y + C = 0, kus B ≠ 0, kaldevõrrandile. Selleks lahendame y võrrandi. Saame A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tulemuseks on võrrand, mille kalle on võrdne - A B .

Näide 9

Antud on sirge võrrand kujul 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hankige etteantud sirge võrrand kaldega.

Lahendus

Tingimuse põhjal on vaja lahendada y, siis saame võrrandi kujul:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastus: y = 1 6 x + 1 4 .

Sarnaselt lahendatakse võrrand kujul x a + y b \u003d 1, mida nimetatakse lõikude sirgjoone võrrandiks või kanooniliseks vormiks x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. See on vaja lahendada y suhtes, alles siis saame kaldega võrrandi:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanoonilise võrrandi saab taandada kaldega vormiks. Selle jaoks:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

Näide 10

Seal on sirge, mis on antud võrrandiga x 2 + y - 3 = 1 . Viige kaldega võrrandi kuju.

Lahendus.

Tingimusest lähtuvalt on vaja teisendada, siis saame võrrandi kujul _valem_. Nõutava kaldevõrrandi saamiseks tuleks võrrandi mõlemad pooled korrutada -3-ga. Muutmisel saame:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastus: y = 3 2 x - 3 .

Näide 11

Vormi x - 2 2 \u003d y + 1 5 sirgjoonvõrrand viiakse kaldega vormile.

Lahendus

Proportsioonina on vaja arvutada avaldis x - 2 2 = y + 1 5. Saame, et 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nüüd peate selle täielikult lubama selleks:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastus: y = 5 2 x - 6 .

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleks tuua sirge x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ parameetrilised võrrandid. kanooniline võrrand sirgjoon, alles pärast seda saate liikuda kaldekoefitsiendiga võrrandi juurde.

Näide 12

Leidke sirge kalle, kui see on antud parameetriliste võrranditega x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Lahendus

Peate üle minema parameetrilisest vaatest kaldele. Selleks leiame antud parameetrilisest võrrandist kanoonilise võrrandi:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nüüd on vaja lahendada see võrdus y suhtes, et saada kaldega sirge võrrand. Selleks kirjutame järgmiselt:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Sellest järeldub, et sirge kalle on võrdne 2-ga. See on kirjutatud kujul k = 2 .

Vastus: k = 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Joonisel on näidatud sirge kaldenurk ja kaldekoefitsiendi väärtus sirge asukoha erinevate võimaluste jaoks ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes.

Teadaoleva kaldenurga all oleva sirge kalde leidmine Ox-telje suhtes ei valmista mingeid raskusi. Selleks piisab, kui tuletada meelde kaldeteguri määratlus ja arvutada kaldenurga puutuja.

Näide.

Leidke sirge kalle, kui selle kaldenurk x-telje suhtes on võrdne .

Lahendus.

Tingimuse järgi. Seejärel arvutame sirgjoone kalde määratluse järgi .

Vastus:

Pisut keerulisem on teadaoleva kaldega sirge kaldenurga leidmine x-telje suhtes. Siin on vaja arvesse võtta kalde koefitsiendi märki. Kui sirgjoone kaldenurk on terav ja leitakse kui . Kui sirge kaldenurk on nüri ja seda saab määrata valemiga .

Näide.

Määrake sirge kaldenurk x-telje suhtes, kui selle kalle on 3.

Lahendus.

Kuna tingimuse järgi on kalle positiivne, on sirge kaldenurk härja telje suhtes terav. Arvutame selle valemi järgi.

Vastus:

Näide.

Sirge kalle on . Määrake sirge kaldenurk Ox-telje suhtes.

Lahendus.

Tähistage k on sirge kalle, on selle sirge kaldenurk härja telje positiivse suuna suhtes. Sest , siis kasutame järgmise kujuga sirge kaldenurga leidmise valemit . Asendame tingimuse andmed sellesse: .

Vastus:

Sirge ja kalde võrrand.

Joone võrrand kaldega on kujul , kus k on sirge kalle, b on mõni reaalarv. Kaldjoonega sirge võrrand võib määrata mis tahes sirge, mis ei ole paralleelne Oy teljega (y-teljega paralleelse sirge puhul ei ole kalle määratletud).

Vaatame fraasi tähendust: "tasapinnal olev sirge fikseeritud koordinaatsüsteemis annab võrrand vormi kaldega". See tähendab, et võrrandit rahuldavad joone mis tahes punkti koordinaadid, mitte ühegi teise tasapinna punkti koordinaadid. Seega, kui punkti koordinaatide asendamisel saadakse õige võrdsus, siis sirge läbib seda punkti. Vastasel juhul ei asu punkt joonel.

Näide.

Sirge on antud võrrandiga kaldega . Kas punktid kuuluvad ka sellele reale?

Lahendus.

Asendage punkti koordinaadid kaldega sirge algsesse võrrandisse: . Saime õige võrdsuse, seega asub punkt M 1 sirgel.

Punkti koordinaatide asendamisel saame vale võrdsuse: . Seega punkt M 2 ei asu sirgel.

Vastus:

Punkt M 1 kuulub reale, M 2 mitte.

Tuleb märkida, et sirge, mis on defineeritud kaldega sirge võrrandiga, läbib punkti, kuna selle koordinaatide võrrandisse asendamisel saame õige võrrandi: .

Seega määrab kaldega sirge võrrand sirge tasapinnal, mis läbib punkti ja moodustab nurga abstsisstelje positiivse suunaga ja .

Näiteks joonistame sirge, mis on määratletud vormi kaldega sirgjoone võrrandiga. See joon läbib punkti ja sellel on kalle radiaanides (60 kraadi) Ox-telje positiivses suunas. Selle kalle on .

Antud punkti läbiva kaldega sirge võrrand.

Nüüd lahendame väga olulise ülesande: saame etteantud kaldega k ja punkti läbiva sirge võrrandi.

Kuna joon läbib punkti , siis võrdsus . Number b on meile tundmatu. Sellest vabanemiseks lahutame kaldega sirge võrrandi vasakust ja paremast osast vastavalt viimase võrrandi vasak ja parem osa. Seda tehes saame . See võrdsus on etteantud kaldega k sirge võrrand, mis läbib antud punkti.

Kaaluge näidet.

Näide.

Kirjutage punkti läbiva sirge võrrand, selle sirge kalle on -2.

Lahendus.

Sellest olukorrast, mis meil on . Siis saab kaldega sirge võrrand kuju .

Vastus:

Näide.

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et see läbib punkti ja kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes on .

Lahendus.

Esiteks arvutame selle sirge kalde, mille võrrandit me otsime (sellise ülesande lahendasime käesoleva artikli eelmises lõigus). Definitsiooni järgi . Nüüd on meil kõik andmed kaldega sirge võrrandi kirjutamiseks:

Vastus:

Näide.

Kirjutage kaldega sirge võrrand, mis läbib sirgega paralleelset punkti.

Lahendus.

On ilmne, et paralleelsete sirgete kaldenurgad telje Ox suhtes langevad kokku (vajadusel vt artiklit paralleelsed sirged), seetõttu on paralleelsete joonte kaldekoefitsiendid võrdsed. Siis on sirge kalle, mille võrrandi peame saama, 2, kuna sirge kalle on 2. Nüüd saame koostada vajaliku kaldega sirge võrrandi:

Vastus:

Üleminek kaldekoefitsiendiga sirge võrrandilt teistele sirge võrrandi tüüpidele ja vastupidi.

Kogu teadmise juures pole kaldega sirge võrrandit ülesannete lahendamisel kaugeltki alati mugav kasutada. Mõnel juhul on probleeme lihtsam lahendada, kui sirgjoone võrrand on esitatud erineval kujul. Näiteks kaldega sirge võrrand ei võimalda kohe kirja panna sirge suunava vektori koordinaate ega sirge normaalvektori koordinaate. Seetõttu tuleks õppida liikuma kaldega sirge võrrandilt selle sirge võrrandi teist tüüpi võrrandisse.

Kaldjoonega sirge võrrandist on lihtne saada vormi tasapinnal sirge kanooniline võrrand . Selleks kanname võrrandi paremalt poolelt liikme b vastupidise märgiga vasakule poole, seejärel jagame saadud võrrandi mõlemad osad kaldega k:. Need toimingud viivad meid kaldega sirge võrrandi juurest sirge kanoonilise võrrandi juurde.

Näide.

Esitage kaldega sirge võrrand kanoonilisele kujule.

Lahendus.

Teeme vajalikud teisendused: .

Vastus:

Näide.

Sirge on antud kaldega sirge võrrandiga . Kas vektor on selle sirge normaalvektor?

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks liigume kaldega sirge võrrandilt selle sirge üldvõrrandi juurde: . Teame, et sirge üldvõrrandi muutujate x ja y ees olevad koefitsiendid on selle sirge normaalvektori vastavad koordinaadid ehk siis sirge normaalvektori . Ilmselgelt on vektor vektoriga kollineaarne, kuna seos on tõene (vajadusel vaadake artiklit). Seega on algvektor ka sirge normaalvektor , ja seetõttu on normaalne vektor ja algne joon .

Vastus:

Jah see on.

Ja nüüd lahendame pöördülesande - tasapinna sirgjoone võrrandi viimise kaldega sirge võrrandisse.

Üldisest sirge võrrandist , kus , on väga lihtne üle minna kaldevõrrandile. Selleks vajate üldvõrrand otsene otsustusvõime y suhtes. Samal ajal saame . Saadud võrdsus on sirge võrrand, mille kalle on võrdne .