Seega on originaalpildi puhul originaalil vorm

See tulemus langeb kokku väärtusega (23).

3. Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus
, mis vastab algtingimustele y(0) = y"(0) = 0.

Selle probleemi lahendamiseks kasutame Duhameli integraali. Leiame esmalt lahenduse
diferentsiaalvõrrand
. Pildi vastav operaatori võrrand
on vorm

või
. Siit leiame

. Esitame saadud murdosa lihtmurdude summana
. Leiame koefitsiendid
. Selleks taandame paremal pool olevad murrud ühise nimetajani ja saame lugejate võrdsuse

Koefitsientide leidmiseks kasutame esmalt osaväärtuste meetodit. Paneme
. Siis saame
. Paneme
. Siis saame
. Väärtuse määramiseks võrdsusta koefitsiendid kraadiga vasakule ja paremale (24):
. Seega
. Seetõttu näeb pilt välja selline
. Tabeli järgi leiame vastava originaali
.. siit

. (25)

Vastavalt valemile (13) algse diferentsiaalvõrrandi lahendus
on lahutamatu

, (26)

- (27)

algse võrrandi parem pool. Pange tähele, et punktis (26) kasutatakse kahe funktsiooni konvolutsiooni sümmeetriaomadust.

Asendades (25) ja (27) väärtusega (26), saame

Seega

. (28)

Lahendame selle probleemi Mathcadi abil

Tähistage
läbi
(tuletage meelde, et Mathcadis on kompleksne muutuja tähistatud )

Otsime originaali
, siis pane
ja leida tuletis suhtes funktsioonist

Arvuta
, kus
on algse võrrandi parem pool.

Paremat külge saab lihtsustada

See tulemus langeb kokku varem saadud avaldisega (28).

Arvestades, et kahe funktsiooni konvolutsioonid ei sõltu nende järjestusest, saame ka arvutada
vastavalt valemile (26) kujul

Tulemuseks on üsna tülikas väljend. Esitame selles avaldises sarnased terminid ja lihtsustame tulemust

See tulemus on samuti taandatud kujule (28)

4. Lahendage Cauchy probleem operatiivmeetodi abil:

(29)

(30)

Otsus. Arvestades seda,

,

saame operaatori võrrandi kujul

Siit pilt

(31)

Polünoom
on juured
,
ja seetõttu ka avaldis
pärast esimese ja viimase murru summa lihtsustamist teisendatakse see vormiks

(32)

Originaali saamiseks
pildi jaoks
, peate punktis (32) sisalduvad murded jaotama lihtsateks. Leiame selle laienduse Mathcadi abil

Paljudes matemaatilise analüüsi probleemides vaadeldakse olukordi, kus ühe ruumi iga punkt on määratud mõne teise (või sama) ruumi punktiga. Ruumid võivad olla abstraktsed, milles "punktid" on tegelikult funktsioonid. Kahe punkti vaheline vastavus luuakse teisenduse või operaatori abil. Operaatoriteooria ülesanne hõlmab erinevat tüüpi teisenduste ja nende omaduste üksikasjalikku kirjeldamist ja klassifitseerimist, samuti sümboolsete meetodite väljatöötamist, mis võimaldavad arvutusi minimeerida ja lihtsustada. Tavaliselt rakendatakse operaatoriteooriat ruumide puhul, milles on lubatud punktide liitmine või korrutamine, s.t. lineaarsed ruumid, rühmad, rõngad, väljad jne.

Probleemid ja rakendused.

Las olla D ja R on reaalsed lineaarsed või vektorruumid, mis ei pruugi olla erinevad. Nende elemendid on vektorid, seega on kahe elemendi summa ja elemendi korrutis skalaariga määratletud ja need vastavad vektorite tavalistele tingimustele. Piiratud aluste olemasolu aastal D ja R ei ole vajalik. Las olla r, vektor R, vastab vektorile d alates D. Me tähistame seda kirjavahetust T(d) = r või Td = r. Siis T nimetatakse domeenioperaatoriks D ja ulatus R. Operaator T on jaotav, kui

kus λ ja λ" kas reaalarvud ja d ja d"- mis tahes elemendid D. Kui a D ja R on topoloogilised vektorruumid, milles λd ja d+d" on pidevad tehted, siis distributiivset pidevoperaatorit nimetatakse lineaaroperaatoriks. Kui a K sisaldab D ja R, siis T 2 (d) on määratletud kui T(T(d)) ja on määratletud sarnaselt T n(d), kui kõik need toimingud on mõistlikud.

Operatiivarvutus võimaldab teostada abstraktseid ülesannete sõnastusi ja üldistada selliseid matemaatilise analüüsi harusid nagu diferentsiaal- ja integraalvõrrandite teooria. Kaasaegsed kvantteooria probleemid on saanud võimsaks stiimuliks operaatoriteooria arengule. Kõige täielikumad tulemused on saadud distributiivsete operaatorite puhul nn. Hilberti ruum. Huvi selle valdkonna vastu on suuresti seotud selliste operaatorite esitamisega integraalsete teisenduste abil.

Kaks olulist jaotusoperaatorit on diferentseerimisoperaatorid lk ja integratsiooni lk- üks. Lineaarruumide elemendid D ja R sel juhul on muutuja funktsioonid x. Meil on

kus m ja n on mittenegatiivsed täisarvud. Kuna integreerimine viib suvalise konstandi ilmumiseni, lk –1 lk ei pruugi olla sama toiming lk 0 . Selliste operaatorite kombineerimise formaalsed reeglid ulatuvad tagasi J. Boole'ile (1815–1864); Näiteks,

O. Heaviside'i (1850–1925) välja töötatud Heaviside'i arvutuses on ruum D piiratud funktsioonide ulatusega f(x), on identselt võrdne nulliga negatiivse puhul x. Peamist rolli mängib funktsioon 1( x), võrdne 0-ga negatiivseks x ja 1 mittenegatiivseks x. Siin on mõned Heaviside'i arvutuse "reeglid".

Kui a n! asenda gamma funktsioon Г( n+ 1), siis jääb mittetäisarvu puhul kehtima esimene reeglitest n(gammafunktsiooni määratlus cm. FUNKTSIOON).

Operatiivarvutuse peamiseks tulemuseks loetakse kompositsiooni teoreemi ehk konvolutsiooni, mille kohaselt kui F 1 (lk)1(x) = f 1 (x) ja F 2 (lk)1(x) = f 2 (x), siis

Konvolutsiooniteoreemi rakendamine p a juures a≠ 0, –1, –2,..., saab defineerida murdosa järjestuse integreerimise või diferentseerimise. Mõelge näiteks väljendile

kus on funktsioon y(x) ja selle esimene n– 1 tuletis kaob, kui x= 0. Olgu y(x) = Y(lk)1(x), g(x) = G(lk)1(x). Nõustu

Teeskleme seda f(x) = F(lk) –1 1(x). Siis

Standardreeglid sisaldavad erinevaid algoritme, mis on seotud asümptootiliste jadate ratsionaalsete funktsioonide elementaarmurru laiendustega jne. Praktikas y(x) = Y(lk)1(x) kirjutatakse sageli kui y(x) ~ Y(lk) või .

W. Volterra (1860–1940) suletud tsükli funktsioonide teooria viib samadele üldistele tulemustele. Sarnased teooriad on konstrueeritud ka teiste operaatorite jaoks, näiteks jaoks x(d/dx) ja üldisemate olukordade jaoks, kus on mitmeid tehteid Volterra, Pinkerle jt Rakendusmatemaatikute jaoks on Heaviside'i operatiivarvutuse peamiseks eeliseks transtsendentaalsete probleemide vähendamine sõltumatu muutujaga. x funktsioonide algebraprobleemidele sõltuvalt lk. Kõige sagedamini kasutatakse Heaviside'i meetodit konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandite, diferentsiaalvõrrandite ja tuumaga integraalvõrrandite lahendamiseks. K(x, t) = K(x – t). Üldjuhul, kui operatiivarvutuse meetodeid laiendada keerukamatele võrranditele, kaob "puhta algebraseerimise" iseloom.

Suhtarvu range põhjendus F(lk)1(x) = f (x) on antud Laplace'i või Fourier' integraalteisenduste kaudu või abstraktselt teatud lineaarsete topoloogiliste ruumide, näiteks Hilberti ruumi operaatorite kaudu. Selline lähenemine võimaldas luua tingimused heuristiliste reeglite kohaldamiseks.

Kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandit
operatiivarvutus?

Selles õppetükis analüüsitakse üksikasjalikult tüüpilist ja laialt levinud keeruka analüüsi ülesannet - konstantsete koefitsientidega teist järku DE konkreetse lahenduse leidmine operatiivarvutuse meetodil. Ikka ja jälle vabastan teid eelarvamusest, et materjal on mõeldamatult keeruline ja kättesaamatu. See on naljakas, kuid näidete valdamiseks ei pruugi te eristada, integreerida ja isegi mitte teada, mida kompleksarvud. Nõuab rakendusoskust määramatute koefitsientide meetod, mida artiklis üksikasjalikult käsitletakse Murdarvuliste ratsionaalsete funktsioonide integreerimine. Tegelikult on ülesande nurgakiviks tavalised algebralised tehted ja olen kindel, et materjal on olemas ka koolilapsele.

Esiteks lühike teoreetiline teave vaadeldava matemaatilise analüüsi osa kohta. Peaasi operatiivarvutus koosneb järgmisest: funktsioon kehtiv muutuja kasutades nn Laplace teiseneb kuvatakse sisse funktsiooni kõikehõlmav muutuv :

Terminoloogia ja tähistus:
funktsiooni kutsutakse originaal;
funktsiooni kutsutakse pilt;
suur täht tähistab Laplace'i teisendus.

Lihtsamalt öeldes tuleb teatud reeglite järgi reaalne funktsioon (originaal) muuta keerukaks funktsiooniks (pildiks). Nool näitab seda teisendust. Ja "teatud reeglid" ise on Laplace'i teisendus, mida käsitleme ainult formaalselt, millest piisab probleemide lahendamiseks.

Laplace'i pöördteisendus on samuti teostatav, kui pilt teisendatakse originaaliks:

Miks seda kõike vaja on? Paljude kõrgema matemaatika probleemide puhul võib olla väga kasulik minna üle originaalidelt piltidele, kuna sel juhul on ülesande lahendus oluliselt lihtsustatud (nali naljaks). Ja me kaalume ainult ühte neist probleemidest. Kui olete operatiivarvutuse nägemiseni elanud, peaks sõnastus teile tuttav olema:

Leidke konstantsete koefitsientidega ebahomogeense teist järku võrrandi konkreetne lahendus antud algtingimuste jaoks.

Märge: mõnikord võib diferentsiaalvõrrand olla homogeenne: , selle jaoks on ülaltoodud sõnastuses rakendatav ka operatiivarvutuse meetod. Praktilistes näidetes siiski 2. järku homogeenne DE on äärmiselt haruldane ja edaspidi räägime mittehomogeensetest võrranditest.

Ja nüüd analüüsitakse kolmandat meetodit - DE lahendust operatiivarvutuse abil. Veel kord rõhutan tõsiasja, et see on konkreetse lahenduse leidmine, Pealegi, algtingimustel on rangelt vorm("X-id" on võrdsed nulliga).

Muide, "X" kohta. Võrrandi saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
, kus "x" on sõltumatu muutuja ja "y" on funktsioon. Ma ei räägi sellest juhuslikult, kuna vaadeldavas probleemis kasutatakse kõige sagedamini muid tähti:

See tähendab, et sõltumatu muutuja rolli mängib muutuja "te" ("x" asemel) ja funktsiooni rolli mängib muutuja "x" ("y" asemel)

Ma saan aru, et see on muidugi ebamugav, kuid parem on järgida märge, mida leidub enamikus probleemraamatutes ja käsiraamatutes.

Niisiis, meie ülesanne teiste tähtedega on kirjutatud järgmiselt:

Leia konstantsete koefitsientidega ebahomogeense teist järku võrrandi konkreetne lahendus antud algtingimuste jaoks .

Ülesande tähendus pole üldse muutunud, muutunud on ainult tähed.

Kuidas seda probleemi operatiivarvutuse meetodil lahendada?

Esiteks on teil vaja originaalide ja piltide tabel. See on peamine otsustusvahend ja ilma selleta ei saa te hakkama. Seetõttu proovige võimalusel määratud võrdlusmaterjal printida. Selgitan kohe, mida tähendab täht "pe": kompleksne muutuja (tavalise "ze" asemel). Kuigi see asjaolu ei oma probleemide lahendamisel erilist tähtsust, on “pe” nii “pe”.

Tabelit kasutades tuleb originaalidest teha mõned pildid. Sellele järgneb rida tüüpilisi toiminguid ja kasutatakse Laplace'i pöördteisendust (ka tabelis). Seega leitakse soovitud konkreetne lahendus.

Kõik ülesanded, mis on tore, lahendatakse üsna jäiga algoritmi järgi.

Näide 1

, ,

Otsus: Esimeses etapis liigume originaalide juurest vastavate piltide juurde. Kasutame vasakut poolt.

Kõigepealt käsitleme algse võrrandi vasakut külge. Laplace'i teisenduse jaoks lineaarsuse reeglid, seega ignoreerime kõiki konstandid ja töötame eraldi funktsiooni ja selle tuletistega.

Tabelivalemi nr 1 järgi teisendame funktsiooni:

Vastavalt valemile nr 2 , võttes arvesse algtingimust , muudame tuletise:

Vastavalt valemile nr 3, arvestades algtingimusi, pöörame teise tuletise:

Ärge laske siltidest segadusse sattuda!

Tunnistan, et õigem on öelda mitte “valemid”, vaid “teisendused”, aga lihtsuse mõttes nimetan tabeli täitmist aeg-ajalt valemiteks.

Nüüd tegeleme parema poolega, mis sisaldab polünoomi. Sama tõttu lineaarsuse reeglid Laplace teisendab, me töötame iga terminiga eraldi.

Vaatame esimest liiget: - see on sõltumatu muutuja "te", mis on korrutatud konstandiga. Ignoreeri konstanti ja teosta tabeli üksuse nr 4 abil teisendus:

Vaatame teist terminit: -5. Kui konstant leitakse üksinda, pole enam võimalik seda vahele jätta. Ühe konstandiga teevad nad seda: selguse huvides saab seda esitada korrutisena: , ja ühikule rakendatakse teisendus:

Seega leitakse diferentsiaalvõrrandi kõigi elementide (originaalide) jaoks tabeli abil vastavad pildid:

Asendage leitud pildid algses võrrandis:

Järgmine ülesanne on väljendada operaatori otsus kõige muu kaudu, nimelt ühe murdosa kaudu. Sel juhul on soovitatav järgida järgmist protseduuri:

Kõigepealt avage vasakpoolsed sulgud:

Anname sarnased terminid vasakul küljel (kui neid on). Sel juhul lisage numbrid -2 ja -3. Mannekeenid soovitavad tungivalt seda etappi mitte vahele jätta:

Vasakul jätame terminid, milles esinevad, ülejäänud terminid kanname märgivahetusega paremale:

Vasakul pool võtame välja operaatorilahenduse , paremal pool toome avaldise ühisele nimetajale:

Vasakpoolne polünoom tuleks arvesse võtta (võimaluse korral). Lahendame ruutvõrrandi:

Seega:

Lähtestame parema külje nimetaja juurde:

Eesmärk on saavutatud – operaatori lahendust väljendatakse ühe murdosaga.

Teine tegevus. Kasutades määramatute koefitsientide meetod, tuleks võrrandi operaatorlahend laiendada elementaarmurdude summaks:

Võrdsusta koefitsiendid vastavatel astmetel ja lahenda süsteem:

Kui on raskusi palun jälgige artikleid Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine ja Kuidas võrrandisüsteemi lahendada? See on väga oluline, sest fraktsioneerimine on sisuliselt probleemi kõige olulisem osa.

Niisiis leitakse koefitsiendid: , ja operaatori lahendus ilmub meie ette lahtivõetud kujul:

Pange tähele, et konstante ei kirjutata murdude lugejatesse. See kirjutamisvorm on parem kui . Ja see on tulusam, sest viimane toiming toimub ilma segaduse ja vigadeta:

Ülesande viimane samm on Laplace'i pöördteisendust kasutades piltidelt vastavatele originaalidele üle minna. Kasutage parempoolset veergu originaalide ja piltide tabelid.

Võib-olla ei mõista kõik ümberkujundamist. Siin kasutatakse tabeli punkti nr 5 valemit:. Kui täpsemalt: . Tegelikult saab sarnastel juhtudel valemit muuta: . Jah, ja kõiki lõike nr 5 tabelivalemeid on väga lihtne sarnaselt ümber kirjutada.

Pärast vastupidist üleminekut saadakse DE soovitud konkreetne lahendus sinise äärisega hõbekandikul:

See oli:

Sellest sai:

Vastus: privaatne lahendus:

Kui aega lubab, on alati soovitatav teha kontroll. Kontroll viiakse läbi standardskeemi järgi, mida on tunnis juba käsitletud. 2. järku ebahomogeensed diferentsiaalvõrrandid. Kordame:

Kontrollime algtingimuse täitmist:
- tehtud.

Leiame esimese tuletise:

Kontrollime teise algtingimuse täitmist:
- tehtud.

Leiame teise tuletise:

Asendaja , ja algse võrrandi vasakule küljele:

Saadakse algse võrrandi parem pool.

Järeldus: ülesanne täideti õigesti.

Väike näide iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 2

Leia operatiivarvutuse abil diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus antud algtingimuste jaoks.

Näide lõputööst tunni lõpus.

Diferentsiaalvõrrandite kõige sagedasem külaline, nagu paljud on juba ammu märganud, on eksponendid, nii et vaatame koos nendega, sugulastega, mõnda näidet:

Näide 3

, ,

Otsus: Laplace'i teisendustabeli abil (tabeli vasak pool) liigume originaalide juurest vastavate piltide juurde.

Vaatame kõigepealt võrrandi vasakut poolt. Esimest tuletist ei ole. No mis siis? Hästi. Vähem tööd. Arvestades algtingimusi, leiame tabelivalemite nr 1,3 järgi pilte:

Nüüd vaatame paremat poolt: - kahe funktsiooni korrutis. Et ära kasutada lineaarsuse omadused Laplace'i teisendus, peate avama sulud: . Kuna konstandid on korrutistes, hindame neid ja kasutades tabelivalemite rühma nr 5, leiame pildid:

Asendage leitud pildid algsesse võrrandisse:

Tuletan meelde, et järgmiseks ülesandeks on operaatorilahenduse väljendamine üksikmurruna.

Vasakul pool jätame terminid, milles esineb, ülejäänud terminid kanname paremale poole. Samal ajal hakkame paremal pool murdu aeglaselt ühise nimetaja juurde viima:

Paneme selle vasakule sulgudest välja, paremal toome väljendi ühisele nimetajale:

Vasakul pool saadakse lagunematu polünoom. Kui polünoom ei faktoriseeri, tuleb ta, vaeseke, kohe parema külje põhja visata, olles jalad vaagnasse betoneerinud. Ja lugejas avage sulud ja sisestage sarnased terminid:

Kätte on jõudnud kõige vaevarikkam etapp: määramatute koefitsientide meetod laiendame võrrandi operaatorilahendit elementaarmurdude summaks:


Seega:

Pöörake tähelepanu sellele, kuidas murdosa laguneb: Peagi selgitan, miks see nii on.

Lõpeta: liikuge piltidelt vastavatele originaalidele, kasutage tabeli parempoolset veergu:

Kahes madalamas teisenduses kasutati tabeli valemeid nr 6 ja 7 ning murdosa lagundati eelnevalt lihtsalt tabeliteisendustega “kohandamiseks”.

Selle tulemusena konkreetne lahendus:

Vastus: soovitud konkreetne lahendus:

Sarnane näide isetegemise lahendusest:

Näide 4

Leia operatiivarvutuse meetodil diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus.

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Näites 4 on üks algtingimustest null. See kindlasti lihtsustab lahendust ja kõige ideaalsem on siis, kui mõlemad algtingimused on null: . Sel juhul teisendatakse tuletised kujutisteks ilma sabadeta:

Nagu juba märgitud, on probleemi kõige keerulisem tehniline aspekt murdosa laiendamine määramatute koefitsientide meetod, ja minu käsutuses on üsna aeganõudvad näited. Sellegipoolest ei hirmuta ma kedagi koletistega, vaatleme veel paari tüüpilisemat võrrandi varianti:

Näide 5

Leia operatiivarvutuse meetodil diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud algtingimustele.
, ,

Otsus: Kasutades Laplace'i teisendustabelit, liigume originaalide juurest vastavate piltide juurde. Arvestades esialgseid tingimusi :

Ka parema poolega pole probleeme:

(Tuletan teile meelde, et kordaja konstante eiratakse)

Asendage saadud pildid algsesse võrrandisse ja tehke standardtoimingud, mis loodetavasti olete juba hästi välja töötanud:

Me võtame väljastpoolt murdosa nimetajast konstandi, mis kõige tähtsam, siis ärge unustage seda:

Mõtlesin, kas võtta lugejast veel kahekesi välja, kuid hinnangut tehes jõudsin järeldusele, et see samm edasist otsustamist praktiliselt ei lihtsusta.

Ülesande tunnuseks on saadud murd. Tundub, et selle lagunemine saab olema pikk ja raske, kuid mulje on petlik. Loomulikult on raskeid asju, kuid igal juhul minge edasi, kartmata ja kahtluseta:

Asjaolu, et mõned koefitsiendid osutusid murdosadeks, ei tohiks olla piinlik, see olukord pole haruldane. Kui ainult arvutustehnika alt ei veaks. Lisaks on alati võimalik vastust kontrollida.

Selle tulemusena operaatori lahendus:

Liigume piltide juurest vastavate originaalide juurde:

Nii et privaatne lahendus:

TÖÖKALVESTUS- rakendatud matemaatilise analüüsi meetodite kogum, mis võimaldab säästlikult ja otseselt viia eesmärgini leida lahendusi lineaarsetele diferentsiaalvõrranditele, samuti erinevustele ja teatud tüüpi integraalvõrranditele. Sellega seoses kasutatakse operatiivarvutuse meetodeid laialdaselt mehaanikas, elektrotehnikas, automaatikas ja teistes väga erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Operatsiooniarvutus põhineb funktsionaalse teisenduse ideel: reaalse muutuja t funktsioon, mis on defineeritud argumendi positiivsete väärtuste jaoks, mida nimetatakse algfunktsiooniks või originaaliks, on seotud teise muutuja p funktsiooniga, nn. pilt, kasutades lineaarset integraalteisendust. Sarnase teisenduse "originaal - pilt" saab läbi viia nii, et algfunktsioonide diferentseerimise ja integreerimise toimingud vastavad kujutise ala algebralistele operatsioonidele. See võimaldab kõige lihtsamate algebraliste operatsioonide abil leida algsete diferentsiaalvõrrandite lahenduste kujutisi, seejärel otsida vastavat algfunktsiooni, st lahendus viiakse läbi mõne lihtsa reegli ja kõige olulisemate "kataloogi" abil. sageli esinevad pildid. Keerulisemate ülesannete puhul tuleb kasutada pöördfunktsionaalset teisendust: pilt on originaal. Esimesed operatiivarvutusele pühendatud tööd ilmusid eelmise sajandi keskel. Vene matemaatik M. E. Vaštšenko-Zahharchenko 1862. aastal Kiievis avaldatud monograafias "Sümboliline arvutus ja selle rakendamine lineaarsete diferentsiaalvõrrandite integreerimisel" püstitas ja osaliselt lahendas meetodi, mida hiljem hakati nimetama operatiivmeetodiks. . Operatiivarvutuse süstemaatiline rakendamine füüsiliste ja tehniliste probleemide lahendamisel sai alguse inglise teadlase O. Heaviside'i töö ilmumisest 1892. aastal. Operatiivarvutuse olemust saab illustreerida näitega reaalmuutuja t algsete tükkhaaval pidevate funktsioonide klassiga f(t), mida kohtab kõige sagedamini rakendusülesannetes, mis on defineeritud punktis tt.<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o on t-st sõltumatud arvud. Kui p=s+iσ on mingi kompleksarv, siis funktsioonile f(t) seatud piirangute korral integraal

eksisteerib ja esindab p regulaarfunktsiooni pooltasandil Re p>s o, mida nimetatakse funktsiooni f(t) Laplace'i integraaliks.
Seadusega kasutusele võetud funktsioon F (p):

nimetatakse algfunktsiooni kujutiseks või originaaliks f(t). Mitmed pildi omadused (**), näiteks tuletise f’ (t) kujutis:

ja integraali kujutised

teha selgeks, et teisendus (*) tõlgib diferentseerimise ja integreerimise operatsioonid kompleksmuutujaga p korrutamise ja jagamise operatsioonideks. Pildi põhiomadusi kasutades koostatakse mõnede kõige lihtsamate funktsioonide pildid – piltide "kataloog". Lihtsamate funktsioonide kujutiste "kataloog" ja Heaviside'i dekompositsiooniteoreemid, mis võimaldavad leida algfunktsiooni, kui kujutis F (p) on polünoom või kahe polünoomi suhe, võimaldavad kõige lihtsamal viisil leida lahenduse suur rühm konstantsete koefitsientidega tavalisi lineaarseid diferentsiaal- ja diferentsiaalvõrrandeid. Kuid arvukad ülesanded viivad piltideni, mida ei saa taandada "kataloogis" olevatele. Selle kujutise põhjal algfunktsiooni konstrueerimiseks on olemas üldine vahend – nn Riemanni-Mellini inversioonivalem.