Kirjutage punktidest sirgjoone võrrand. Sirge üldvõrrand: kirjeldus, näited, ülesannete lahendamine

Olgu antud kaks punkti M(X 1 ,Kell 1) ja N(X 2,y 2). Leiame neid punkte läbiva sirge võrrandi.

Kuna see sirge läbib punkti M, siis valemi (1.13) kohaselt on selle võrrandil vorm

Kell – Y 1 = K(X-x 1),

Kus K on tundmatu kalle.

Selle koefitsiendi väärtus määratakse tingimusel, et soovitud sirge läbib punkti N, mis tähendab, et selle koordinaadid vastavad võrrandile (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Siit leiate selle joone kalde:

,

Või pärast konversiooni

(1.14)

Valem (1.14) defineerib Kaht punkti läbiva sirge võrrand M(X 1, Y 1) ja N(X 2, Y 2).

Erijuhtudel, kui punktid M(A, 0), N(0, B), AGA ¹ 0, B¹ 0, asub koordinaattelgedel, võrrand (1.14) on lihtsamal kujul

Võrrand (1.15) helistas Segmentides sirgjoone võrrand, siin AGA ja B tähistavad telgedel sirgjoonega ära lõigatud segmente (joonis 1.6).

Joonis 1.6

Näide 1.10. Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand M(1, 2) ja B(3, –1).

. Vastavalt (1.14) on soovitud sirge võrrandil kuju

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Viides kõik terminid vasakule poole, saame lõpuks soovitud võrrandi

3X + 2Y – 7 = 0.

Näide 1.11. Kirjutage võrrand punkti läbivale sirgele M(2, 1) ja sirgete lõikepunkti X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Sirgete lõikepunkti koordinaadid leiame neid võrrandeid koos lahendades

Kui liidame need võrrandid termini kaupa, saame 2 X+ 1 = 0, kust . Asendades leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, leiame ordinaadi väärtuse Kell:

Nüüd kirjutame üles punkte (2, 1) läbiva sirge võrrandi ja :

või .

Seega või -5( Y – 1) = X – 2.

Lõpuks saame vormis soovitud sirge võrrandi X + 5Y – 7 = 0.

Näide 1.12. Leidke punkte läbiva sirge võrrand M(2.1) ja N(2,3).

Valemi (1.14) abil saame võrrandi

Sellel pole mõtet, sest teine ​​nimetaja on null. Ülesande tingimusest on näha, et mõlema punkti abstsissid on sama väärtusega. Seega on vajalik joon teljega paralleelne OY ja selle võrrand on: x = 2.

kommenteerida . Kui valemi (1.14) järgi sirgjoone võrrandit kirjutades osutub üks nimetajatest võrdseks nulliga, siis saab soovitud võrrandi saada vastava lugeja võrdsustamisega nulliga.

Vaatleme teisi võimalusi tasapinna sirgjoone seadmiseks.

1. Olgu nullist erinev vektor antud sirgega risti L, ja punkt M 0(X 0, Y 0) asub sellel joonel (joonis 1.7).

Joonis 1.7

Tähistage M(X, Y) suvaline punkt joonel L. Vektorid ja Ortogonaalne. Kasutades nende vektorite ortogonaalsuse tingimusi, saame või AGA(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Oleme saanud punkti läbiva sirge võrrandi M 0 on risti vektoriga . Seda vektorit nimetatakse Normaalvektor sirgjoonele L. Saadud võrrandi saab ümber kirjutada kujul

Oh + Wu + FROM= 0, kus FROM = –(AGAX 0 + Kõrval 0), (1.16),

Kus AGA ja AT on normaalvektori koordinaadid.

Saame sirge üldvõrrandi parameetrilisel kujul.

2. Tasapinna sirget saab defineerida järgmiselt: olgu nullist erinev vektor antud sirgega paralleelne L ja punkt M 0(X 0, Y 0) asub sellel real. Jällegi võtke suvaline punkt M(X, y) sirgjoonel (joonis 1.8).

Joonis 1.8

Vektorid ja kollineaarne.

Kirjutame üles nende vektorite kollineaarsuse tingimus: , kus T on suvaline arv, mida nimetatakse parameetriks. Kirjutame selle võrdsuse koordinaatidesse:

Neid võrrandeid nimetatakse Parameetrilised võrrandid Otse. Jätame nendest võrranditest välja parameetri T:

Neid võrrandeid saab kirjutada kujul

. (1.18)

Saadud võrrandit nimetatakse Sirge kanooniline võrrand. Vektorkõne Suunavektor sirge .

kommenteerida . On lihtne näha, et if on joone normaalvektor L, siis selle suunavektor võib olla vektor , kuna , s.t.

Näide 1.13. Kirjutage punkti läbiva sirge võrrand M 0(1, 1) paralleelselt joonega 3 X + 2Kell– 8 = 0.

Lahendus . Vektor on antud ja soovitud joonte normaalvektor. Kasutame punkti läbiva sirge võrrandit M 0 antud normaalvektoriga 3( X –1) + 2(Kell– 1) = 0 või 3 X + 2a- 5 \u003d 0. Saime soovitud sirge võrrandi.

Laske sirgel läbida punkte M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2). Punkti M 1 läbiva sirge võrrand on kujul y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kus k - siiani teadmata koefitsient.

Kuna sirge läbib punkti M 2 (x 2 y 2), peavad selle punkti koordinaadid vastama võrrandile (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Siit leiame Leitud väärtuse asendamise k võrrandisse (10.6) saame punkte M 1 ja M 2 läbiva sirge võrrandi:

Eeldatakse, et selles võrrandis x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kui x 1 \u003d x 2, siis on punkte M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) läbiv sirgjoon y-teljega paralleelne. Selle võrrand on x = x 1 .

Kui y 2 \u003d y I, siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada kui y \u003d y 1, sirge M 1 M 2 on paralleelne x-teljega.

Segmentides sirgjoone võrrand

Olgu sirgjoon Ox teljega punktis M 1 (a; 0) ja Oy teljega punktis M 2 (0; b). Võrrand saab kujul:
need.
. Seda võrrandit nimetatakse sirgjoone võrrand lõikudes, sest numbrid a ja b näitavad, millised lõigud sirge koordinaattelgedel ära lõikab.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga

Leidke läbiva sirge võrrand antud punkt Mo (x O; y o) on risti antud nullist erineva vektoriga n = (A; B).

Võtame sirge suvalise punkti M(x; y) ja vaatleme vektorit M 0 M (x - x 0; y - y o) (vt joonis 1). Kuna vektorid n ja M o M on risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga: see tähendab,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Nimetatakse võrrand (10.8). sirge võrrand, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga .

Sirgega risti olevat vektorit n = (A; B) nimetatakse normaalseks selle sirge normaalvektor .

Võrrandi (10.8) saab ümber kirjutada kujul Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kus A ja B on normaalvektori koordinaadid, C \u003d -Ax o - Vu o - vaba liige. Võrrand (10.9) on sirgjoone üldvõrrand(vt joonis 2).

Joon.1 Joon.2

Sirge kanoonilised võrrandid

,

Kus
on selle punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja
- suunavektor.

Teist järku ringi kõverad

Ringjoon on antud punktist võrdsel kaugusel asuva tasandi kõigi punktide hulk, mida nimetatakse keskpunktiks.

Raadiusringi kanooniline võrrand R keskendunud punktile
:

Täpsemalt, kui panuse keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga, näeb võrrand välja järgmine:

Ellips

Ellips on punktide kogum tasapinnal, kauguste summa neist igaühest kahe etteantud punktini ja , mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus
, suurem kui fookuste vaheline kaugus
.

Ellipsi kanoonilisel võrrandil, mille fookused asuvad Härg-teljel ja mille alguspunkt asub fookuste vahel keskel, on vorm
G de a suurema pooltelje pikkus; b on väiksema pooltelje pikkus (joonis 2).

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Seal on lõpmatult palju jooni, mida saab tõmmata läbi mis tahes punkti.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu on ainult üks sirgjoon.

Kaks tasapinnal olevat mittekattuvat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

3D-ruumis on kolm võimalust. suhteline asend kaks sirget joont:

• jooned ristuvad;

• sirgjooned on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida- esimest järku algebraline kõver: Descartes'i koordinaatsüsteemis sirge

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Üldvõrrand otse.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei ole samal ajal võrdne nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B ja FROM Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- joon läbib alguspunkti

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠ 0- joon ühtib teljega OU

. A = C = 0, B ≠ 0- joon ühtib teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada kujul erinevaid vorme olenevalt antud

esialgsed tingimused.

Sirge võrrand punkti ja normaalvektoriga.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Koostame punktides A \u003d 3 ja B \u003d -1 sirgjoone võrrandi: 3x - y + C \u003d 0. Koefitsiendi C leidmiseks

asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), siis sirgjoone võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kaldetegur otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Sirge võrrand punkti ja kalde järgi.

Kui sirgjoone üldvõrrand Ah + Wu + C = 0 vii vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti sirge ja suunava vektori võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate sisestada ülesande

punkti läbiv sirge ja sirge suunavektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirgjoone suunavektor.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. soovitud võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis -C-ga jagades saame:

või, kus

geomeetriline tunne koefitsiendid, kuna koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, a b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ah + Wu + C = 0 arvuga jagada , mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0.

R- ristnurga pikkus, mis on langenud lähtepunktist jooneni,

a φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud sirgjoone üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Vajalik kirjutamiseks erinevad tüübid võrrandid

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna joonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirgjooned on risti,

kui k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teoreem.

Otsene Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kui ka С 1 \u003d λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus joonest Ah + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- punktist langenud risti alus M antud jaoks

otsene. Seejärel punktide vaheline kaugus M ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 ja 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud rida. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand. Artiklis" " Lubasin teil analüüsida teist võimalust, kuidas lahendada tuletise leidmiseks esitatud probleeme, kasutades antud funktsioonigraafikut ja selle graafiku puutujat. Uurime seda meetodit artiklis , ära igatse! Miks järgmiseks?

Fakt on see, et seal kasutatakse sirgjoone võrrandi valemit. Muidugi võiks seda valemit lihtsalt näidata ja soovitada seda õppida. Kuid parem on selgitada, kust see pärineb (kuidas see tuletatakse). See on vajalik! Kui unustate selle, taastage see kiirestiei saa raske olema. Kõik on üksikasjalikult kirjeldatud allpool. Niisiis, meil on koordinaattasandil kaks punkti A(x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) tõmmatakse läbi näidatud punktide sirgjoon:

Siin on otsene valem:

*See tähendab, et punktide konkreetsete koordinaatide asendamisel saame võrrandi kujul y=kx+b.

** Kui see valem on lihtsalt "pähe jäetud", on tõenäosus, et aetakse indeksitega segi, kui X. Lisaks saab indekseid tähistada erineval viisil, näiteks:

Sellepärast on oluline mõista tähendust.

Nüüd selle valemi tuletamine. Kõik on väga lihtne!

Kolmnurgad ABE ja ACF on sarnased terav nurk(esimene sarnasuse märk täisnurksed kolmnurgad). Sellest järeldub, et vastavate elementide suhted on võrdsed, see tähendab:

Nüüd väljendame neid segmente lihtsalt punktide koordinaatide erinevuse kaudu:

Loomulikult ei teki viga, kui kirjutate elementide seosed teises järjekorras (peamine on säilitada vastavus):

Tulemuseks on sama sirgjoone võrrand. See on kõik!

See tähendab, et olenemata sellest, kuidas punktid ise (ja nende koordinaadid) on määratud, leiate sellest valemist aru saades alati sirgjoone võrrandi.

Valemit saab tuletada vektorite omaduste abil, kuid tuletamise põhimõte on sama, kuna me räägime nende koordinaatide proportsionaalsusest. Sel juhul töötab sama täisnurksete kolmnurkade sarnasus. Minu arvates on ülalkirjeldatud järeldus arusaadavam)).

Vaadake väljundit vektorkoordinaatide kaudu >>>

Kaht etteantud punkti A (x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) läbivale koordinaattasandile konstrueeritakse sirge. Märgime suvalise punkti C sirgele koordinaatidega ( x; y). Samuti tähistame kahte vektorit:

On teada, et paralleelsetel joontel (või ühel sirgel) asuvate vektorite puhul on nende vastavad koordinaadid võrdelised, see tähendab:

- kirjutame vastavate koordinaatide suhete võrdsuse:

Kaaluge näidet:

Leidke kahte koordinaatidega (2;5) ja (7:3) punkti läbiva sirge võrrand.

Te ei saa isegi liini ise ehitada. Rakendame valemit:

Suhtarvu koostamisel on oluline kirjavahetust tabada. Sa ei saa eksida, kui kirjutad:

Vastus: y=-2/5x+29/5 mine y=-0,4x+5,8

Veendumaks, et saadud võrrand leitakse õigesti, kontrollige seda kindlasti - asendage andmete koordinaadid punktide seisundis. Peaksite saama õiged võrdsused.

See on kõik. Loodan, et materjal oli teile kasulik.

Lugupidamisega Aleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

See artikkel jätkab tasapinna sirgjoone võrrandi teemat: vaatleme sellist tüüpi võrrandit kui sirge üldvõrrandit. Defineerime teoreemi ja esitame selle tõestuse; Mõelgem välja, mis on sirge mittetäielik üldvõrrand ja kuidas teha üleminekuid üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele. Kinnitame kogu teooria illustratsioonide ja praktiliste ülesannete lahendamisega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y.

1. teoreem

Iga esimese astme võrrand, mille kuju on A x + B y + C \u003d 0, kus A, B, C on mõned reaalarvud (A ja B ei ole samal ajal võrdsed nulliga), määrab sirge ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal. Mis tahes tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge määratakse omakorda võrrandiga, mille vorm on A x + B y + C = 0 teatud väärtuste komplekti A, B, C jaoks.

Tõestus

See teoreem koosneb kahest punktist, me tõestame neist igaüks.

1. Tõestame, et võrrand A x + B y + C = 0 määrab tasapinna sirge.

Olgu mingi punkt M 0 (x 0 , y 0), mille koordinaadid vastavad võrrandile A x + B y + C = 0 . Seega: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage võrrandite A x + B y + C \u003d 0 vasak ja parem pool võrrandi A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasak ja parem pool, saame uue võrrandi, mis näeb välja nagu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. See on ekvivalentne A x + B y + C = 0 .

Saadud võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on vajalik ja piisav tingimus vektorite n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) perpendikulaarsuse jaoks. 0, y - y 0) . Seega määrab punktide hulk M (x, y) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, mis on risti vektori suunaga n → = (A, B) . Võib eeldada, et see nii ei ole, kuid siis ei oleks vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) risti ja võrdus A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei vastaks tõele.

Seetõttu defineerib võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis teatud sirge ja seega ka samaväärse võrrandi A x + B y + C \u003d 0 määratleb sama joone. Seega oleme tõestanud teoreemi esimese osa.

1. Tõestame, et mistahes tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge saab esitada esimese astme võrrandiga A x + B y + C = 0 .

Seame tasapinnale ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge a; punkt M 0 (x 0 , y 0), mida see sirge läbib, samuti selle sirge normaalvektor n → = (A , B) .

Olgu olemas ka mingi punkt M (x , y) - sirge ujukoma. Sel juhul on vektorid n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) üksteisega risti ja nende skalaarkorrutis on null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjutame ümber võrrandi A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , defineerime C: C = - A x 0 - B y 0 ja lõpuks saame võrrandi A x + B y + C = 0 .

Niisiis, me oleme tõestanud teoreemi teise osa ja oleme tõestanud kogu teoreemi tervikuna.

Definitsioon 1

Võrrand, mis näeb välja selline A x + B y + C = 0 - see on sirge üldvõrrand tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemisO x y .

Tõestatud teoreemile tuginedes võime järeldada, et fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal antud sirge ja selle üldvõrrand on lahutamatult seotud. Teisisõnu, algne rida vastab selle üldvõrrandile; sirge üldvõrrand vastab antud sirgele.

Samuti tuleneb teoreemi tõestusest, et muutujate x ja y koefitsiendid A ja B on sirge normaalvektori koordinaadid, mis on antud sirge A x + B y + üldvõrrandiga. C = 0.

Vaatleme sirgjoone üldvõrrandi konkreetset näidet.

Olgu antud võrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, mis vastab sirgele antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Selle sirge normaalvektor on vektor n → = (2 , 3) ​​. Joonistage joonisel etteantud sirgjoon.

Võib väita ka järgmist: sirge, mida me joonisel näeme, määrab üldvõrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, kuna antud sirge kõigi punktide koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Võrrandi λ A x + λ B y + λ C = 0 saame, kui korrutame üldise sirge võrrandi mõlemad pooled arvuga λ, mitte null. Saadud võrrand on võrdne algse üldvõrrandiga, seetõttu kirjeldab see tasapinnal sama sirget.

Definitsioon 2

Täielik sirge üldvõrrand- selline rea A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, milles arvud A, B, C on nullist erinevad. Vastasel juhul on võrrand mittetäielik.

Analüüsime kõiki sirge mittetäieliku üldvõrrandi variatsioone.

1. Kui A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, muutub üldvõrrandiks B y + C \u003d 0. Selline mittetäielik üldvõrrand määrab ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y sirge, mis on paralleelne O x teljega, kuna iga x reaalväärtuse korral omandab muutuja y väärtuse - C B . Teisisõnu määrab sirge A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, kui A \u003d 0, B ≠ 0, punktide (x, y) asukoha, mille koordinaadid on võrdsed sama arvuga. - C B .
2. Kui A = 0, B ≠ 0, C = 0, saab üldvõrrandiks y = 0. Selline mittetäielik võrrand defineerib x-telje O x .
3. Kui A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saame mittetäieliku üldvõrrandi A x + C \u003d 0, mis määratleb y-teljega paralleelse sirge.
4. Olgu A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, siis on mittetäielik üldvõrrand kujul x \u003d 0 ja see on koordinaatjoone O y võrrand.
5. Lõpuks, kui A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, on mittetäielik üldvõrrand kujul A x + B y \u003d 0. Ja see võrrand kirjeldab sirget, mis läbib alguspunkti. Tõepoolest, arvupaar (0, 0) vastab võrdsusele A x + B y = 0, kuna A · 0 + B · 0 = 0 .

Illustreerime graafiliselt kõiki ülaltoodud mittetäieliku sirge üldvõrrandi tüüpe.

Näide 1

Teatavasti on antud sirge paralleelne y-teljega ja läbib punkti 2 7 , - 11 . On vaja kirja panna antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Y-teljega paralleelne sirgjoon saadakse võrrandiga kujul A x + C \u003d 0, milles A ≠ 0. Tingimus määrab ka selle punkti koordinaadid, mida joon läbib ja selle punkti koordinaadid vastavad mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0 tingimustele, s.t. võrdsus on õige:

A 2 7 + C = 0

Sellest on võimalik määrata C, kui anda A-le mingi nullist erinev väärtus, näiteks A = 7 . Sel juhul saame: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Teame nii koefitsiente A kui ka C, asendame need võrrandiga A x + C = 0 ja saame rea vajaliku võrrandi: 7 x - 2 = 0

Vastus: 7 x - 2 = 0

Näide 2

Joonisel on kujutatud sirgjoont, selle võrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Antud joonis võimaldab hõlpsasti võtta lähteandmed ülesande lahendamiseks. Joonisel näeme, et antud joon on paralleelne O x teljega ja läbib punkti (0 , 3).

Abstsissiga paralleelne sirgjoon määratakse mittetäieliku üldvõrrandiga B y + С = 0. Leidke B ja C väärtused. Punkti koordinaadid (0, 3), kuna antud sirge seda läbib, rahuldavad sirge võrrandi B y + С = 0, siis kehtib võrdus: В · 3 + С = 0. Seadke B väärtuseks mõni muu väärtus kui null. Oletame, et B \u003d 1, sel juhul leiame võrrandist B · 3 + C \u003d 0 C: C \u003d - 3. Me kasutame teadaolevad väärtused B ja C, saame sirge nõutava võrrandi: y - 3 = 0.

Vastus: y-3 = 0.

Tasapinna antud punkti läbiva sirge üldvõrrand

Laske antud sirgel läbida punkti M 0 (x 0, y 0), siis vastavad selle koordinaadid sirge üldvõrrandile, s.t. võrdsus on tõene: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage selle võrrandi vasak ja parem külg üldise vasakust ja paremast küljest täielik võrrand otse. Saame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, see võrrand on samaväärne algse üldisega, läbib punkti M 0 (x 0, y 0) ja sellel on normaalvektor n → \u003d (A, B) .

Saadud tulemus võimaldab kirjutada sirge üldvõrrandi sirge normaalvektori teadaolevate koordinaatide ja selle sirge teatud punkti koordinaatide jaoks.

Näide 3

Antud on punkt M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib, ja selle sirge normaalvektor n → = (1 , - 2) . On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused võimaldavad meil saada võrrandi koostamiseks vajalikud andmed: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Seejärel:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Sirge üldvõrrand on kujul A x + B y + C = 0 . Antud normaalvektor võimaldab teil saada koefitsientide A ja B väärtused, siis:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nüüd leidke C väärtus kasutades tingimuse poolt antud probleemipunkt M 0 (- 3 , 4), mida joon läbib. Selle punkti koordinaadid vastavad võrrandile x - 2 · y + C = 0, st. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Seega C = 11. Nõutav sirge võrrand on kujul: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastus: x - 2 y + 11 = 0 .

Näide 4

Antud sirge 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja sellel sirgel asuv punkt M 0. Teada on ainult selle punkti abstsiss ja see võrdub -3-ga. On vaja määrata antud punkti ordinaat.

Lahendus

Määrame punkti M 0 koordinaatide tähiseks x 0 ja y 0 . Algandmed näitavad, et x 0 \u003d - 3. Kuna punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid selle sirge üldvõrrandile. Siis on tõene järgmine võrdsus:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defineerige y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastus: - 5 2

Üleminek sirge üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele ja vastupidi

Nagu me teame, on tasapinnal mitut tüüpi sama sirge võrrandit. Võrrandi tüübi valik sõltub ülesande tingimustest; on võimalik valida selle lahenduse jaoks mugavam. Siin tuleb väga kasuks oskus üht tüüpi võrrandit teist tüüpi võrrandiks teisendada.

Kõigepealt vaatleme üleminekut üldvõrrandilt kujul A x + B y + C = 0 kanoonilisele võrrandile x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kui A ≠ 0, siis kanname liikme B y üldvõrrandi paremale poole. Vasakul küljel võtame sulgudest välja A. Selle tulemusena saame: A x + C A = - B y .

Selle võrdsuse saab kirjutada proportsioonina: x + C A - B = y A .

Kui B ≠ 0, jätame üldvõrrandi vasakule poolele ainult termini A x, ülejäänud kanname paremale poole, saame: A x \u003d - B y - C. Võtame sulgudest välja - B, seejärel: A x \u003d - B y + C B.

Kirjutame võrduse ümber proportsioonina: x - B = y + C B A .

Loomulikult ei ole vaja saadud valemeid pähe õppida. Piisab teada toimingute algoritmi üleminekul üldvõrrandilt kanoonilisele.

Näide 5

Antud on sirge 3 y - 4 = 0 üldvõrrand. See tuleb teisendada kanooniliseks võrrandiks.

Lahendus

Kirjutame algse võrrandi 3 y - 4 = 0 . Edasi tegutseme vastavalt algoritmile: termin 0 x jääb vasakule poole; ja paremal küljel võtame välja - 3 sulgudest välja; saame: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjutame saadud võrrandi proportsioonina: x - 3 = y - 4 3 0 . Seega oleme saanud kanoonilise vormi võrrandi.

Vastus: x - 3 = y - 4 3 0.

Sirge üldvõrrandi teisendamiseks parameetrilisteks võrranditeks liigutakse kõigepealt edasi kanooniline vorm, ja seejärel üleminek sirgjoone kanoonilisest võrrandist parameetrilistele võrranditele.

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjutage üles selle sirge parameetrilised võrrandid.

Lahendus

Teeme ülemineku üldvõrrandilt kanoonilisele:

2 x - 5 a - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 a + 1 ⇔ 2 x = 5 a + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nüüd võtame saadud kanoonilise võrrandi mõlemad osad võrdseks λ-ga, siis:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastus:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Üldvõrrandi saab teisendada sirgjoone võrrandiks kaldega y \u003d k x + b, kuid ainult siis, kui B ≠ 0. Vasakpoolseks üleminekuks jätame termini B y , ülejäänud kantakse üle paremale. Saame: B y = - A x - C . Jagame saadud võrrandi mõlemad osad B , mis erineb nullist: y = - A B x - C B .

Näide 7

Sirge üldvõrrand on antud: 2 x + 7 y = 0 . Peate selle võrrandi teisendama kaldevõrrandiks.

Lahendus

Teeme vajalikud toimingud vastavalt algoritmile:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastus: y = - 2 7 x .

Sirge üldvõrrandist piisab, kui lihtsalt saada võrrand vormiga x a + y b \u003d 1 segmentides. Sellise ülemineku tegemiseks kanname arvu C võrrandi paremale poolele, jagame saadud võrrandi mõlemad osad - С-ga ja lõpuks kanname muutujate x ja y koefitsiendid nimetajatesse:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Näide 8

On vaja teisendada sirge üldvõrrand x - 7 y + 1 2 = 0 lõikudes sirge võrrandiks.

Lahendus

Liigume 1 2 paremale poole: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jagage võrrandi mõlemad pooled -1/2-ga: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Üldiselt on ka vastupidine üleminek lihtne: teist tüüpi võrranditelt üldisele.

Segmentides sirge võrrandi ja kaldega võrrandi saab hõlpsasti teisendada üldiseks, kogudes lihtsalt kõik võrrandi vasakul küljel olevad terminid:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanooniline võrrand teisendatakse üldiseks vastavalt järgmisele skeemile:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parameetriliselt üleminekuks viiakse esmalt üle kanoonilisele ja seejärel üldisele:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Näide 9

Antud on sirge x = - 1 + 2 · λ y = 4 parameetrilised võrrandid. On vaja üles kirjutada selle sirge üldvõrrand.

Lahendus

Teeme ülemineku parameetrilistest võrranditest kanoonilistele:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Liigume kanooniliselt üldisele:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastus: y - 4 = 0

Näide 10

Antud on sirge võrrand lõikudes x 3 + y 1 2 = 1. On vaja teha üleminek üldine vaade võrrandid.

Lahendus:

Kirjutame võrrandi lihtsalt nõutud kujul ümber:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sirge üldvõrrandi koostamine

Ülalpool ütlesime, et üldvõrrandi saab kirjutada normaalvektori teadaolevate koordinaatidega ja selle punkti koordinaatidega, mida joon läbib. Selline sirgjoon on defineeritud võrrandiga A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samas kohas analüüsisime vastavat näidet.

Nüüd vaatame rohkem keerulised näited, milles on kõigepealt vaja määrata normaalvektori koordinaadid.

Näide 11

Antud sirgega paralleelne sirge 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tuntud on ka punkt M 0 (4 , 1), mida antud sirge läbib. On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused ütlevad, et sirged on paralleelsed, siis selle sirge normaalvektoriks, mille võrrand tuleb kirjutada, võtame sirge n → = (2, - 3) suunavektori : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Nüüd teame kõiki sirgjoone üldvõrrandi koostamiseks vajalikke andmeid:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Näide 12

Antud sirge läbib alguspunkti risti sirgega x - 2 3 = y + 4 5 . On vaja kirjutada etteantud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Antud sirge normaalvektor on sirge x - 2 3 = y + 4 5 suunav vektor .

Siis n → = (3 , 5) . Sirge läbib alguspunkti, s.o. läbi punkti O (0, 0) . Koostame antud sirge üldvõrrandi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastus: 3 x + 5 y = 0 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter