Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.

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Ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales no son el tema más difícil de las matemáticas escolares. Pero hay algunos trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante entrenado. ¿Lo resolvemos?)

Una ecuación lineal generalmente se define como una ecuación de la forma:

hacha + b = 0 dónde a y B- cualquier número.

2x + 7 = 0. Aquí a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Aquí a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Aquí un = 12, b=1/2

Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde a y b son números cualesquiera"... ¿Y si te das cuenta, pero lo piensas descuidadamente?) Después de todo, si un=0, b=0(¿cualquier número es posible?), luego obtenemos una expresión divertida:

¡Pero eso no es todo! Si, digamos, un=0, a b=5, resulta algo bastante absurdo:

Lo que tensa y socava la confianza en las matemáticas, sí...) Sobre todo en los exámenes. ¡Pero de estas expresiones extrañas, también necesitas encontrar X! Que no existe en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos cómo hacerlo. En esta lección.

¿Cómo reconocer una ecuación lineal en apariencia? depende de que apariencia.) El truco es que las ecuaciones lineales se llaman no solo ecuaciones de la forma hacha + b = 0 , pero también cualquier ecuación que se reduzca a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si se reduce o no?)

Una ecuación lineal se puede reconocer claramente en algunos casos. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas de primer grado, sí números. Y la ecuación no fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! y división por número, o una fracción numérica - ¡eso es todo! Por ejemplo:

Esta es una ecuación lineal. Aquí hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, en el cubo, etc., y no hay x en los denominadores, es decir No división por x. Y aquí está la ecuación

no puede llamarse lineal. Aquí las x son todas de primer grado, pero hay división por expresión con x. Después de simplificaciones y transformaciones, puede obtener una ecuación lineal, una cuadrática y cualquier cosa que desee.

Resulta que es imposible encontrar una ecuación lineal en algún ejemplo intrincado hasta que casi lo resuelves. Es molesto. Pero en las tareas, por regla general, no preguntan sobre la forma de la ecuación, ¿verdad? En las tareas, las ecuaciones se ordenan decidir. Esto me hace feliz.)

Solución de ecuaciones lineales. Ejemplos.

La solución completa de ecuaciones lineales consiste en transformaciones idénticas de ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡hasta dos!) subyacen a las soluciones todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la decisión ningún La ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de ecuaciones lineales, (la solución) de estas transformaciones termina con una respuesta completa. Tiene sentido seguir el enlace, ¿verdad?) Además, también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.

Comencemos con el ejemplo más simple. Sin trampas. Digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación.

x - 3 = 2 - 4x

Esta es una ecuación lineal. Las X son todas a la primera potencia, no hay división por X. Pero, en realidad, no nos importa cuál sea la ecuación. Necesitamos resolverlo. El esquema aquí es simple. Recoge todo lo que tenga x en el lado izquierdo de la ecuación, todo lo que no tenga x (números) en el lado derecho.

Para hacer esto, necesita transferir - 4x al lado izquierdo, con cambio de signo, por supuesto, pero - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es primera transformación idéntica de ecuaciones.¿Sorprendido? Entonces, no siguieron el enlace, pero en vano ...) Obtenemos:

x + 4x = 2 + 3

Damos similar, consideramos:

¿Qué necesitamos para ser completamente felices? ¡Sí, para que haya una X limpia a la izquierda! Cinco se interpone en el camino. Deshazte de los cinco con segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambas partes de la ecuación por 5. Obtenemos una respuesta preparada:

Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para un calentamiento). No está muy claro por qué recordé transformaciones idénticas aquí. ESTÁ BIEN. Tomamos el toro por los cuernos.) Decidamos algo más impresionante.

Por ejemplo, aquí está esta ecuación:

¿Donde empezamos? ¿Con X - a la izquierda, sin X - a la derecha? Podría ser así. Pequeños pasos a lo largo del largo camino. Y puedes hacerlo inmediatamente, de una manera universal y poderosa. A menos, por supuesto, que en su arsenal haya transformaciones idénticas de ecuaciones.

Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que menos te gusta de esta ecuación?

95 personas de cada 100 responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Así que empezamos de inmediato con segunda transformación idéntica. ¿Por cuánto necesitas multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se reduzca por completo? Así es, 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero. ¿Cómo salimos? ¡Multipliquemos ambos lados por 12! Aquellos. a un común denominador. Entonces se reducirán los tres, y los cuatro. No olvides que necesitas multiplicar cada parte enteramente. Así es como se ve el primer paso:

Ampliando los paréntesis:

¡Nota! Numerador (x+2)¡Tomé entre paréntesis! Esto se debe a que al multiplicar fracciones, el numerador se multiplica por el todo, ¡totalmente! Y ahora puedes reducir fracciones y reducir:

Abriendo los paréntesis restantes:

¡No es un ejemplo, sino puro placer!) Ahora recordamos el hechizo de los grados inferiores: con x - a la izquierda, sin x - a la derecha! Y aplicar esta transformación:

Aquí hay algunos como:

Y dividimos ambas partes por 25, es decir aplicar la segunda transformación de nuevo:

Eso es todo. Responder: X=0,16

Tome nota: para llevar la confusa ecuación original a una forma agradable, usamos dos (¡solo dos!) transformaciones idénticas- traslación izquierda-derecha con cambio de signo y multiplicación-división de la ecuación por el mismo número. ¡Este es el camino universal! vamos a trabajar de esta manera ningún ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Es por eso que sigo repitiendo estas transformaciones idénticas todo el tiempo.)

Como puedes ver, el principio de resolver ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos con la ayuda de transformaciones idénticas hasta obtener la respuesta. Los principales problemas aquí están en los cálculos, y no en el principio de la solución.

Pero ... Hay tales sorpresas en el proceso de resolver las ecuaciones lineales más elementales que pueden conducir a un fuerte estupor ...) Afortunadamente, solo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.

Casos especiales en la resolución de ecuaciones lineales.

Sorprende primero.

Supongamos que te encuentras con una ecuación elemental, algo como:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Ligeramente aburrido, transferimos con X a la izquierda, sin X, a la derecha ... Con un cambio de signo, todo es chin-chinar ... Obtenemos:

2x-5x+3x=5-2-3

Nosotros creemos, y... ¡ay! Obtenemos:

En sí misma, esta igualdad no es objetable. cero realmente cero. ¡Pero X se ha ido! Y debemos escribir en la respuesta, a que es igual x. De lo contrario, la solución no cuenta, sí...) ¿Un callejón sin salida?

¡Calma! En tales casos dudosos, se salvan las reglas más generales. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Esto significa, encuentre todos los valores de x que, cuando se sustituyen en la ecuación original, nos darán la igualdad correcta.

Pero tenemos la igualdad correcta. ya¡sucedió! 0=0, ¿dónde realmente? Queda por averiguar en qué x se obtiene esto. ¿Qué valores de x se pueden sustituir en original ecuación si estas x ¿Todavía se reduce a cero?¿Vamos?)

¡¡¡Sí!!! Las X pueden ser sustituidas ¡ningún! Qué quieres. Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. Todavía se encogerán. Si no me cree, puede verificarlo). Sustituya cualquier valor de x en original ecuación y calcular. Todo el tiempo será pura verdad: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 y así sucesivamente.

Aquí está tu respuesta: x es cualquier número.

La respuesta se puede escribir en diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta completamente correcta y completa.

Segunda sorpresa.

Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que decidiremos:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:

Como esto. Resolvió una ecuación lineal, obtuvo una extraña igualdad. Matemáticamente hablando, tenemos igualdad incorrecta. y hablando lenguaje simple, esto no es verdad. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una buena razón para decisión correcta ecuaciones.)

De nuevo, pensamos desde reglas generales. ¿Qué x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará correcto¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No hay tales xes. Lo que sea que sustituyas, todo se reducirá, las tonterías permanecerán).

Aquí está tu respuesta: no hay soluciones

Esta es también una respuesta perfectamente válida. En matemáticas, tales respuestas ocurren a menudo.

Como esto. Ahora, espero que la pérdida de X en el proceso de resolver cualquier ecuación (no solo lineal) no te moleste en absoluto. El asunto es familiar.)

Ahora que hemos tratado con todos los escollos en ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.

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Resolver ecuaciones de este tipo significa encontrar las raíces deseadas en forma general. Nuestro servicio le permite resolver incluso la ecuación algebraica más compleja en línea. Puede obtener tanto la solución general de la ecuación como la solución privada para las que especificó. valores numéricos coeficientes Para resolver una ecuación algebraica en el sitio, es suficiente completar correctamente solo dos campos: las partes izquierda y derecha de la ecuación dada. Las ecuaciones algebraicas con coeficientes variables tienen un número infinito de soluciones y, al establecer ciertas condiciones, se seleccionan algunas particulares del conjunto de soluciones. Ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática tiene la forma ax^2+bx+c=0 para a>0. La solución de ecuaciones de forma cuadrada implica encontrar los valores de x, en los que se cumple la igualdad ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Para ello, el valor del discriminante se encuentra mediante la fórmula D=b^2-4ac. Si el discriminante es menor que cero, entonces la ecuación no tiene raíces reales (las raíces son del campo de los números complejos), si es cero, entonces la ecuación tiene una raíz real, y si el discriminante es mayor que cero, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, que se encuentran mediante la fórmula: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Para resolver una ecuación cuadrática en línea, solo necesita ingresar los coeficientes de dicha ecuación (números enteros, fracciones o valores decimales). Si hay signos de resta en la ecuación, debes poner un signo menos delante de los términos correspondientes de la ecuación. También puedes resolver una ecuación cuadrática en línea dependiendo del parámetro, es decir, las variables en los coeficientes de la ecuación. Nuestro servicio en línea para encontrar soluciones comunes se adapta perfectamente a esta tarea. Ecuaciones lineales. Para resolver ecuaciones lineales (o sistemas de ecuaciones), en la práctica se utilizan cuatro métodos principales. Describamos cada método en detalle. Método de sustitución. Resolver ecuaciones usando el método de sustitución requiere expresar una variable en términos de las otras. Después de eso, la expresión se sustituye en otras ecuaciones del sistema. De ahí el nombre del método de solución, es decir, en lugar de una variable se sustituye su expresión a través del resto de las variables. En la práctica, el método requiere cálculos complejos, aunque es fácil de entender, por lo que resolver una ecuación de este tipo en línea ahorrará tiempo y facilitará los cálculos. Solo necesita especificar el número de incógnitas en la ecuación y completar los datos de las ecuaciones lineales, luego el servicio hará el cálculo. método de Gauss. El método se basa en las transformaciones más simples del sistema para llegar a un sistema triangular equivalente. Las incógnitas se determinan una a una a partir de ella. En la práctica, se requiere resolver dicha ecuación en línea con Descripción detallada, gracias al cual dominarás bien el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Escriba el sistema de ecuaciones lineales en el formato correcto y tenga en cuenta el número de incógnitas para resolver correctamente el sistema. método de Cramer. Este método resuelve sistemas de ecuaciones en los casos en que el sistema tiene única decisión. La principal operación matemática aquí es el cálculo de los determinantes de la matriz. La solución de ecuaciones por el método de Cramer se realiza en línea, obtienes el resultado al instante con una descripción completa y detallada. Basta con llenar el sistema con coeficientes y elegir el número de variables desconocidas. método matricial. Este método consiste en recoger los coeficientes de las incógnitas en la matriz A, las incógnitas en la columna X y los términos libres en la columna B. Así, el sistema de ecuaciones lineales se reduce a ecuación matricial de la forma AxX=B. Esta ecuación tiene solución única solo si el determinante de la matriz A es distinto de cero, de lo contrario el sistema no tiene soluciones, o tiene un número infinito de soluciones. La solución de ecuaciones por el método matricial consiste en encontrar la matriz inversa A.

En el curso de matemáticas de 7º grado, se encuentran por primera vez con ecuaciones con dos variables, pero se estudian solo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso está fuera de la vista línea completa problemas en los que se introducen ciertas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los restringen. Además, también se ignoran métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque en UTILIZAR materiales y en los exámenes de ingreso se encuentran cada vez con mayor frecuencia problemas de este tipo.

¿Qué ecuación se llamará una ecuación con dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones de dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​- y = 1. Se convierte en una verdadera igualdad en x = 2 y y = 3, por lo que este par de valores variables es una solución a la ecuación en consideración.

Así, la solución de cualquier ecuación con dos variables es el conjunto de pares ordenados (x; y), los valores de las variables que esta ecuación convierte en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

a) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

en) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tienen infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir como (k; 3 - k), donde k es cualquier número real.

Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​en la factorización de expresiones, resaltando el cuadrado completo, usando las propiedades de una ecuación cuadrática, acotación de expresiones y métodos de evaluación. La ecuación, por regla general, se transforma en una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación: xy - 2 = 2x - y.

Solución.

Agrupamos los términos a efectos de factoraje:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Saca el factor común de cada paréntesis:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x es cualquier número real o x = -1, y es cualquier número real.

De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x € R y (-1; y), y € R.

cero no es números negativos

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solución.

Agrupamiento:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede colapsar usando la fórmula de diferencia de cuadrados.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero solo si 3x - 2 = 0 y 2y - 3 = 0.

Entonces x = 2/3 y y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de evaluación

Ejemplo 3

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada paréntesis, seleccione el cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimar el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación siempre es al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y - 2) 2 + 2 = 2, entonces x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método consiste en que la ecuación se considera como cuadrado con respecto a alguna variable.

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resolvamos la ecuación como cuadrática con respecto a x. Encontremos el discriminante:

re = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . La ecuación tendrá una solución solo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación original y encontramos que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo, en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones en variables.

Ejemplo 5

Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribamos la ecuación en la forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante, cuando se divide por 5, da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un número que no es divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por lo tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6

Resuelve la ecuación: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

Seleccionemos los cuadrados completos en cada paréntesis:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor o igual que 3. La igualdad es posible si |x| – 2 = 0 y y + 3 = 0. Así, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7

Para cada par de enteros negativos (x; y) que satisfacen la ecuación
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Responda la cantidad más pequeña.

Solución.

Seleccionar cuadrados completos:

(x2 - 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Dado que x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. La suma de los cuadrados de dos enteros, igual a 37, la obtenemos si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:

(x - y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás dominar cualquier ecuación.

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Instrucción

Método de sustitución Expresar una variable y sustituirla en otra ecuación. Puede expresar cualquier variable que desee. Por ejemplo, exprese "y" de la segunda ecuación:
x-y=2 => y=x-2 Luego reemplaza todo en la primera ecuación:
2x+(x-2)=10 Mueve todo lo que no tenga x al lado derecho y cuenta:
2x+x=10+2
3x=12 Luego, para "x, divide ambos lados de la ecuación por 3:
x = 4. Entonces, has encontrado "x. Encuentra "en. Para hacer esto, sustituya "x" en la ecuación a partir de la cual expresó "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Haz un cheque. Para hacer esto, sustituya los valores resultantes en las ecuaciones:
2*4+2=10
4-2=2
Desconocido encontrado correctamente!

Cómo sumar o restar ecuaciones Deshazte de cualquier variable a la vez. En nuestro caso, esto es más fácil de hacer con "y.
Dado que en "y" es "+" y en el segundo "-", entonces puede realizar la operación de suma, es decir Agregamos el lado izquierdo a la izquierda, y el lado derecho a la derecha:
2x+y+(x-y)=10+2Convertir:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Sustituye "x" en cualquier ecuación y encuentra "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 De acuerdo con el primer método, puedes encontrar lo que encontraste correctamente.

Si no hay variables claramente definidas, entonces es necesario transformar ligeramente las ecuaciones.
En la primera ecuación tenemos "2x", y en la segunda solo "x. Para que la suma o “x disminuya, multiplica la segunda ecuación por 2:
x-y=2
2x-2y=4 Luego resta la segunda ecuación de la primera ecuación:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3 años = 6
encuentre y \u003d 2 "x expresando a partir de cualquier ecuación, es decir
x=4

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Consejo 2: Cómo resolver una ecuación lineal con dos variables

La ecuacion, escrito en forma general ax + by + c \u003d 0, se llama ecuación lineal con dos Variables. Tal ecuación en sí misma contiene un número infinito de soluciones, por lo que en los problemas siempre se complementa con algo: una ecuación más o condiciones límite. Dependiendo de las condiciones proporcionadas por el problema, resuelva una ecuación lineal con dos Variables debería diferentes caminos.

Necesitará

• - ecuación lineal con dos variables;
• - segunda ecuación o Terminos adicionales.

Instrucción

Dado un sistema de dos ecuaciones lineales, resuélvelo de la siguiente manera. Elige una de las ecuaciones en las que los coeficientes antes Variables más pequeño y expresa una de las variables, por ejemplo, x. Luego reemplaza ese valor que contiene y en la segunda ecuación. En la ecuación resultante solo habrá una variable y, mueva todas las partes con y hacia la izquierda y las libres hacia la derecha. Encuentre y y sustituya en cualquiera de las ecuaciones originales, encuentre x.

Hay otra manera de resolver un sistema de dos ecuaciones. Multiplica una de las ecuaciones por un número para que el coeficiente delante de una de las variables, por ejemplo, delante de x, sea el mismo en ambas ecuaciones. Luego resta una de las ecuaciones de la otra (si el lado derecho no es 0, recuerda restar el lado derecho de la misma manera). Verás que la variable x ha desaparecido y solo queda una y. Resuelva la ecuación resultante y sustituya el valor encontrado de y en cualquiera de las igualdades originales. Encuentra x.

La tercera forma de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales es gráfica. Dibuja un sistema de coordenadas y dibuja gráficos de dos líneas rectas, cuyas ecuaciones están indicadas en tu sistema. Para hacer esto, sustituya dos valores de x en la ecuación y encuentre la y correspondiente: estas serán las coordenadas de los puntos que pertenecen a la línea. Es más conveniente encontrar la intersección con los ejes de coordenadas; simplemente sustituya los valores x=0 e y=0. Las coordenadas del punto de intersección de estas dos líneas serán las tareas.

Si solo hay una ecuación lineal en las condiciones del problema, entonces se le dan condiciones adicionales debido a las cuales puede encontrar una solución. Lee el problema cuidadosamente para encontrar estas condiciones. si un Variables x e y son distancia, velocidad, peso; no dude en establecer el límite x≥0 e y≥0. Es muy posible que x o y esté ocultando el número de manzanas, etc. – entonces los valores solo pueden ser . Si x es la edad del hijo, es claro que no puede ser mayor que el padre, así que especifíquelo en las condiciones de la tarea.

Fuentes:

• como resolver una ecuacion con una variable

Por sí mismo la ecuacion con tres desconocido tiene muchas soluciones, por lo que la mayoría de las veces se complementa con dos ecuaciones o condiciones más. En función de cuáles sean los datos iniciales, dependerá en gran medida el curso de la decisión.

Necesitará

• - un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Instrucción

Si dos de los tres sistemas tienen solo dos de las tres incógnitas, trate de expresar algunas variables en términos de las otras y reemplácelas en la ecuacion con tres desconocido. Tu objetivo con esto es convertirlo en un normal. la ecuacion con lo desconocido. Si esto es , la solución adicional es bastante simple: sustituir el valor encontrado en otras ecuaciones y encontrar todas las demás incógnitas.

Algunos sistemas de ecuaciones se pueden restar de una ecuación por otra. Vea si es posible multiplicar uno de por o una variable para que se reduzcan dos incógnitas a la vez. Si existe tal oportunidad, utilícela, lo más probable es que la decisión posterior no sea difícil. No olvides que al multiplicar por un número, debes multiplicar tanto el lado izquierdo como el lado derecho. De manera similar, al restar ecuaciones, recuerda que también se debe restar el lado derecho.

Si los métodos anteriores no ayudaron, use de manera general soluciones de cualquier ecuación con tres desconocido. Para hacer esto, reescriba las ecuaciones en la forma a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Ahora haz una matriz de coeficientes en x (A), una matriz de incógnitas (X) y una matriz de incógnitas (B). Preste atención, al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de incógnitas, obtendrá una matriz, una matriz de miembros libres, es decir, A * X \u003d B.

Encuentre la matriz A elevada a (-1) después de encontrar , tenga en cuenta que no debe ser igual a cero. Después de eso, multiplique la matriz resultante por la matriz B, como resultado obtendrá la matriz X deseada, indicando todos los valores.

También puedes encontrar una solución a un sistema de tres ecuaciones utilizando el método de Cramer. Para ello, encuentre el determinante de tercer orden ∆ correspondiente a la matriz del sistema. Luego encuentre secuencialmente tres determinantes más ∆1, ∆2 y ∆3, sustituyendo los valores de los términos libres en lugar de los valores de las columnas correspondientes. Ahora encuentra x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fuentes:

• soluciones de ecuaciones con tres incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones es complejo y emocionante. Cuanto más complejo es el sistema, más interesante es resolverlo. Más a menudo en matemáticas. escuela secundaria hay sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, pero en matemáticas superiores puede haber más variables. Los sistemas se pueden resolver de varias maneras.

Instrucción

El método más común para resolver un sistema de ecuaciones es la sustitución. Para hacer esto, necesita expresar una variable a través de otra y sustituirla en la segunda la ecuacion sistemas, trayendo así la ecuacion a una variable. Por ejemplo, dadas las ecuaciones: 2x-3y-1=0, x+y-3=0.

Es conveniente expresar una de las variables de la segunda expresión, trasladando todo lo demás al lado derecho de la expresión, sin olvidar cambiar el signo del coeficiente: x = 3-y.

Abrimos los corchetes: 6-2y-3y-1 \u003d 0;-5y + 5 \u003d 0;y \u003d 1. El valor resultante de y se sustituye en la expresión: x \u003d 3-y;x \u003d 3-1; x \u003d 2.

En la primera expresión, todos los miembros son 2, puedes sacar 2 del paréntesis a la propiedad distributiva de la multiplicación: 2 * (2x-y-3) = 0. Ahora ambas partes de la expresión se pueden reducir por este número, y luego expresar y, ya que el coeficiente de módulo es igual a uno: -y \u003d 3-2x o y \u003d 2x-3.

Al igual que en el primer caso, sustituimos esta expresión en el segundo la ecuacion y obtenemos: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Sustituye el valor resultante en la expresión: y=2x-3;y=4-3=1.

Vemos que el coeficiente en y tiene el mismo valor, pero un signo diferente, por lo tanto, si agregamos estas ecuaciones, nos desharemos de y por completo: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0, x = 2. Sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y obtenemos y = 1.

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Bicuadrado la ecuacion representa la ecuacion cuarto grado forma general la cual se representa por la expresión ax^4 + bx^2 + c = 0. Su solución se basa en el uso del método de sustitución de incógnitas. En este caso, x^2 se reemplaza por otra variable. Por lo tanto, el resultado es un cuadrado ordinario la ecuacion, que hay que resolver.

Instrucción

resolver un cuadrado la ecuacion resultante de la sustitución. Para hacer esto, primero calcule el valor de acuerdo con la fórmula: D = b^2 ? 4ac. En este caso, las variables a, b, c son los coeficientes de nuestra ecuación.

Encuentra las raíces de la ecuación bicuadrática. Para ello, saque la raíz cuadrada de las soluciones obtenidas. Si hubo una decisión, entonces habrá dos: positiva y significado negativo raíz cuadrada. Si hubiera dos soluciones, la ecuación bicuadrática tendría cuatro raíces.

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Uno de formas clásicas resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de Gauss. Consiste en la exclusión sucesiva de variables, cuando el sistema de ecuaciones se convierte en un sistema de pasos con la ayuda de transformaciones simples, a partir de las cuales se encuentran secuencialmente todas las variables, comenzando por la última.

Instrucción

Primero, ponga el sistema de ecuaciones en tal forma que todas las incógnitas estén en un orden estrictamente definido. Por ejemplo, todas las X desconocidas aparecerán primero en cada línea, todas las Y aparecerán después de X, todas las Z aparecerán después de Y, y así sucesivamente. No debe haber incógnitas en el lado derecho de cada ecuación. Determine mentalmente los coeficientes frente a cada incógnita, así como los coeficientes del lado derecho de cada ecuación.

En este video, analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven con el mismo algoritmo, por eso se llaman las más simples.

Para empezar, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál de ellas debería llamarse la más simple?

Una ecuación lineal es aquella en la que solo hay una variable, y solo en primer grado.

La ecuación más simple significa la construcción:

Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples usando el algoritmo:

1. Abra los corchetes, si los hubiere;
2. Mueva los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
3. Traiga términos similares a la izquierda y derecha del signo igual;
4. Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$ .

Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El caso es que a veces, después de todas estas maquinaciones, el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, dos opciones son posibles:

1. La ecuación no tiene soluciones en absoluto. Por ejemplo, cuando obtienes algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda es cero, y a la derecha es un número distinto de cero. En el video a continuación, veremos varias razones por las que esta situación es posible.
2. La solución son todos los números. El único caso en que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando que "cero es igual a cero", es decir igualdad numérica correcta.

Y ahora veamos cómo funciona todo en el ejemplo de problemas reales.

Ejemplos de resolución de ecuaciones

Hoy tratamos con ecuaciones lineales, y solo con las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable, y llega solo al primer grado.

Tales construcciones se resuelven aproximadamente de la misma manera:

1. En primer lugar, debe abrir los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
2. Entonces trae similares
3. Finalmente, aísle la variable, es decir todo lo que está conectado con la variable, los términos en los que está contenida, se transfiere a un lado, y todo lo que queda sin ella se transfiere al otro lado.

Luego, como regla, debe traer similar a cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente en "x", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto parece agradable y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al abrir corchetes o al contar "más" y "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es toda la recta numérica, es decir cualquier número. Analizaremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con lo más tareas simples.

Esquema para resolver ecuaciones lineales simples

Para empezar, permítanme una vez más escribir el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:

1. Expanda los paréntesis, si los hay.
2. Aislar variables, es decir todo lo que contiene "x" se transfiere a un lado, y sin "x", al otro.
3. Presentamos términos similares.
4. Dividimos todo por el coeficiente en "x".

Por supuesto, este esquema no siempre funciona, tiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.

Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples

Tarea 1

En el primer paso, estamos obligados a abrir los corchetes. Pero no están en este ejemplo, así que nos saltamos este paso. En el segundo paso, necesitamos aislar las variables. Nota: estamos hablando sólo sobre términos individuales. Vamos a escribir:

Damos términos similares a la izquierda ya la derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por lo tanto, procedemos al cuarto paso: dividir por un factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aquí tenemos la respuesta.

Tarea 2

En esta tarea, podemos observar los paréntesis, así que ampliémoslos:

Tanto a la izquierda como a la derecha, vemos aproximadamente la misma construcción, pero actuemos de acuerdo con el algoritmo, es decir. secuestrar variables:

Aquí hay algunos como:

¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.

Tarea #3

La tercera ecuación lineal ya es más interesante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aquí hay algunos paréntesis, pero no se multiplican por nada, solo delante de ellos. varios signos. Vamos a desglosarlos:

Realizamos el segundo paso ya conocido por nosotros:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Calculemos:

Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente en "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales

Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

• Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen una solución, a veces simplemente no hay raíces;
• Incluso si hay raíces, cero puede entrar entre ellas, no hay nada de malo en eso.

Cero es el mismo número que el resto, no debes discriminarlo de alguna manera o asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.

Otra característica está relacionada con la expansión de los paréntesis. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo de acuerdo con los algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.

entender esto hecho simple evitará que cometas errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria cuando se da por hecho que se hacen esas cosas.

Resolver ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complicadas y aparecerá una función cuadrática al realizar varias transformaciones. Sin embargo, no debe tener miedo de esto, porque si, de acuerdo con la intención del autor, resolvemos una ecuación lineal, en el proceso de transformación, todos los monomios que contienen una función cuadrática necesariamente se reducirán.

Ejemplo 1

Obviamente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:

Ahora tomemos la privacidad:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Aquí hay algunos como:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, por lo que en la respuesta escribimos lo siguiente:

\[\variedad \]

o sin raíces.

Ejemplo #2

Realizamos los mismos pasos. Primer paso:

Movamos todo con una variable a la izquierda, y sin ella, a la derecha:

Aquí hay algunos como:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, por lo que la escribimos así:

\[\varnada\],

o sin raíces.

Matices de la solución.

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. En el ejemplo de estas dos expresiones, una vez más nos aseguramos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber uno, o ninguno, o infinitos. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, en ambas simplemente no hay raíces.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con corchetes y cómo expandirlos si hay un signo menos delante de ellos. Considere esta expresión:

Antes de abrir, debe multiplicar todo por "x". Tenga en cuenta: multiplicar cada término individual. Dentro hay dos términos - respectivamente, dos términos y se multiplica.

Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el paréntesis desde el punto de vista de que hay un signo menos después. Sí, sí: solo que ahora, cuando se hacen las transformaciones, recordamos que hay un signo menos delante de los corchetes, lo que significa que todo lo que está abajo solo cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo que es más importante, también desaparece el "menos" frontal.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque resolver ecuaciones siempre es una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y aprenden a resolver ecuaciones tan simples nuevamente.

Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el automatismo. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez, escribirás todo en una sola línea. Pero mientras está aprendiendo, necesita escribir cada acción por separado.

Resolver ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede llamarse la tarea más simple, pero el significado sigue siendo el mismo.

Tarea 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:

Hagamos un retiro:

Aquí hay algunos como:

Hagamos el último paso:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con una función cuadrática, sin embargo, se anulaban mutuamente, lo que hace que la ecuación sea exactamente lineal, no cuadrada.

Tarea 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Hagamos el primer paso con cuidado: multiplique cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. En total, se deben obtener cuatro nuevos términos después de las transformaciones:

Y ahora realiza con cuidado la multiplicación en cada término:

Movamos los términos con "x" a la izquierda y sin - a la derecha:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Aquí hay términos similares:

Hemos recibido una respuesta definitiva.

Matices de la solución.

La observación más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: tan pronto como comenzamos a multiplicar paréntesis en los que hay un término mayor que él, entonces esto se hace de acuerdo con siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento del segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, obtenemos cuatro términos.

Sobre la suma algebraica

Con el último ejemplo, me gustaría recordarles a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restamos siete de uno. En álgebra, queremos decir con esto lo siguiente: al número "uno" le agregamos otro número, a saber, "menos siete". Esta suma algebraica difiere de la suma aritmética habitual.

Tan pronto como al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra al trabajar con polinomios y ecuaciones.

En conclusión, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos, tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones con una fracción

Para resolver tales tareas, habrá que añadir un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, recordaré nuestro algoritmo:

1. Abra los paréntesis.
2. Variables separadas.
3. Trae similares.
4. Dividir por un factor.

Por desgracia, este maravilloso algoritmo, con toda su eficiencia, no es del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción a la izquierda y a la derecha en ambas ecuaciones.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy simple! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, para deshacerse de las fracciones. Así, el algoritmo será el siguiente:

1. Deshazte de las fracciones.
2. Abra los paréntesis.
3. Variables separadas.
4. Trae similares.
5. Dividir por un factor.

¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué es posible hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en términos del denominador, es decir en todas partes el denominador es solo un número. Por lo tanto, si multiplicamos ambas partes de la ecuación por este número, nos desharemos de las fracciones.

Ejemplo 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminemos las fracciones en esta ecuación:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot cuatro\]

Tenga en cuenta: todo se multiplica por "cuatro" una vez, es decir el hecho de que tenga dos corchetes no significa que tenga que multiplicar cada uno de ellos por "cuatro". Vamos a escribir:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ahora vamos a abrirlo:

Realizamos la reclusión de una variable:

Realizamos la reducción de plazos similares:

\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Hemos recibido la solución final, pasamos a la segunda ecuación.

Ejemplo #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aquí realizamos todas las mismas acciones:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema resuelto.

Eso, de hecho, es todo lo que quería contar hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son los siguientes:

• Conocer el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
• Posibilidad de abrir corchetes.
• No se preocupe si tiene funciones cuadráticas en algún lugar, lo más probable es que se reduzcan en el proceso de transformaciones adicionales.
• Las raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples, son de tres tipos: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz, no hay ninguna raíz.

Espero que esta lección lo ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no está claro, vaya al sitio, resuelva los ejemplos presentados allí. ¡Estén atentos, hay muchas más cosas interesantes esperando por ustedes!