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4.1 Matrices. Operaciones matriciales

Una matriz rectangular de tamaño mxn es una colección de mxn números dispuestos en una tabla rectangular que contiene m filas y n columnas. Lo escribiremos en la forma

o abreviado como A = (a i j) (i = ; j = ), los números a i j , se denominan sus elementos; el primer índice apunta al número de fila, el segundo índice al número de columna. A = (a i j) y B = (b i j) del mismo tamaño se llaman iguales si sus elementos en los mismos lugares son iguales por pares, es decir, A = B si a i j = b i j .

Una matriz que consta de una fila o una columna se denomina vector fila o columna, respectivamente. Los vectores de columna y los vectores de fila se denominan simplemente vectores.

Una matriz que consta de un número se identifica con este número. A de tamaño mxn, todos cuyos elementos son iguales a cero, se llama cero y se denota por 0. Los elementos con los mismos índices se llaman elementos de la diagonal principal. Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir, m = n, se dice que la matriz es cuadrada de orden n. Las matrices cuadradas en las que solo los elementos de la diagonal principal son distintos de cero se denominan matrices diagonales y se escriben de la siguiente manera:

.

Si todos los elementos a i i de la diagonal son iguales a 1, entonces se llama unidad y se denota con la letra E:

.

Una matriz cuadrada se llama triangular si todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son iguales a cero. Una transposición es una transformación en la que se intercambian filas y columnas manteniendo sus números. La transposición se indica con una T en la parte superior.

Si en (4.1) reordenamos filas con columnas, entonces obtenemos

,

que se transpondrá con respecto a A. En particular, la transposición de un vector columna da como resultado un vector fila y viceversa.

El producto de A por el número b es una matriz cuyos elementos se obtienen a partir de los elementos correspondientes de A multiplicando por el número b: b A = (b a i j).

La suma de A = (a i j) y B = (b i j) del mismo tamaño es C = (c i j) del mismo tamaño, cuyos elementos están determinados por la fórmula c i j = a i j + b i j .

El producto AB se define suponiendo que el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

El producto de AB, donde A = (a i j) y B = (b j k), donde i = , j= , k= , dado en cierto orden AB, es C = (c i k), cuyos elementos están determinados por la siguiente regla:

do yo k = un yo 1 segundo 1 k + un yo 2 segundo 2 k +... + un yo metro segundo metro k = un yo s segundo s k . (4.2)

En otras palabras, el elemento del producto AB se define como sigue: el elemento de la i-ésima fila y la k-ésima columna C es igual a la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila A por el elementos correspondientes de la k-ésima columna B.

Ejemplo 2.1. Encuentre el producto de AB y .

Decisión. Tenemos: A de tamaño 2x3, B de tamaño 3x3, entonces existe el producto AB = C y los elementos de C son iguales

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, y el producto BA no existe.

Ejemplo 2.2. La tabla muestra el número de unidades de productos enviados diariamente desde las lecherías 1 y 2 a las tiendas M 1 , M 2 y M 3 , y la entrega de una unidad de producción de cada lechería a la tienda M 1 cuesta 50 den. unidades, en la tienda M 2 - 70, y en M 3 - 130 den. unidades Calcular los costos diarios de transporte de cada planta.

lácteos

Decisión. Denotemos por A la matriz que se nos da en la condición, y por
B - una matriz que caracteriza el costo de entregar una unidad de producción a las tiendas, es decir,

,

Entonces la matriz de costos de transporte se verá así:

.

Entonces, la primera planta gasta 4750 den diarios en transporte. unidades, el segundo - 3680 den.un.

Ejemplo 2.3. La empresa de costura produce abrigos de invierno, abrigos de entretiempo e impermeables. La producción planificada para una década se caracteriza por el vector X = (10, 15, 23). Se utilizan cuatro tipos de tejidos: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . La tabla muestra las tasas de consumo de tela (en metros) para cada producto. El vector C = (40, 35, 24, 16) especifica el costo de un metro de tela de cada tipo, y el vector P = (5, 3, 2, 2) - el costo de transportar un metro de tela de cada tipo tipo.

	Consumo de tela
Abrigo de invierno
abrigo medio

1. ¿Cuántos metros de cada tipo de tela se necesitarán para completar el plano?

2. Halla el costo de la tela que se usa para confeccionar cada tipo de producto.

3. Determine el costo de toda la tela necesaria para completar el plan.

Decisión. Denotemos por A la matriz que se nos da en la condición, es decir,

,

luego, para encontrar la cantidad de metros de tela necesarios para completar el plan, debe multiplicar el vector X por la matriz A:

El costo de la tela gastada en la confección de un producto de cada tipo se encuentra multiplicando la matriz A y el vector C T:

.

El costo de toda la tela necesaria para completar el plan estará determinado por la fórmula:

Finalmente, teniendo en cuenta los costos de transporte, el monto total será igual al costo de la tela, es decir, 9472 den. unidades, más valor

X A P T =
.

Entonces, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (unidades de densidad).

DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES

Tamaño de matriz m× norte se llama la totalidad m norte números dispuestos en una tabla rectangular de metro lineas y norte columnas Esta tabla suele estar entre paréntesis. Por ejemplo, la matriz podría verse así:

Para abreviar, la matriz se puede denotar con una sola letra mayúscula, por ejemplo, PERO o EN.

En general, una matriz de tamaño metro× norte escribir así

.

Los números que forman una matriz se llaman elementos de la matriz. Es conveniente suministrar elementos de la matriz con dos índices aij: El primero indica el número de fila y el segundo indica el número de columna. Por ejemplo, un 23– el elemento está en la 2ª fila, 3ª columna.

Si el número de filas en una matriz es igual al número de columnas, entonces la matriz se llama cuadrado, y el número de sus filas o columnas se llama en orden matrices. En los ejemplos anteriores, la segunda matriz es cuadrada, su orden es 3 y la cuarta matriz, su orden es 1.

Una matriz en la que el número de filas no es igual al número de columnas se llama rectangular. En los ejemplos, esta es la primera matriz y la tercera.

También hay matrices que tienen solo una fila o una columna.

Una matriz con una sola fila se llama matriz - fila(o cadena), y una matriz que tiene una sola columna, matriz - columna.

Una matriz en la que todos los elementos son iguales a cero se llama nulo y se denota por (0), o simplemente 0. Por ejemplo,

.

diagonal principal Una matriz cuadrada es la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero se llama triangular matriz.

.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos, excepto quizás los de la diagonal principal, son iguales a cero, se llama diagonal matriz. Por ejemplo, o.

Una matriz diagonal en la que todas las entradas de la diagonal son iguales a uno se llama soltero matriz y se denota con la letra E. Por ejemplo, la matriz identidad de tercer orden tiene la forma .

ACCIONES SOBRE MATRICES

Igualdad matricial. dos matrices UN y B se dice que son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y sus elementos correspondientes son iguales aij = b ij. Así que si y , entonces A=B, Si un 11 = segundo 11, un 12 = segundo 12, un 21 = segundo 21 y un 22 = segundo 22.

transposición. Considere una matriz arbitraria UN desde metro lineas y norte columnas Se puede asociar con la siguiente matriz B desde norte lineas y metro columnas, donde cada fila es una columna de la matriz UN con el mismo número (por lo tanto, cada columna es una fila de la matriz UN con el mismo número). Así que si , entonces .

Esta matriz B llamado transpuesto matriz UN, y la transición de UN para transposición B.

Por lo tanto, la transposición es una inversión de los roles de filas y columnas de una matriz. Matriz transpuesta a matriz UN, generalmente denotado EN.

Comunicación entre la matriz UN y su traspuesta se puede escribir como .

Por ejemplo. Encuentre la matriz transpuesta a la dada.

Adición de matrices. Sean matrices UN y B consistir en el mismo número de filas y el mismo número de columnas, es decir tener mismos tamaños. Entonces para sumar las matrices UN y B necesidad de matrizar elementos UN añadir elementos de matriz B de pie en los mismos lugares. Así, la suma de dos matrices UN y B llamada matriz C, que está determinada por la regla, por ejemplo,

Ejemplos. Encuentra la suma de matrices:

Es fácil comprobar que la suma de matrices obedece a las siguientes leyes: conmutativa A+B=B+A y asociativo ( A+B)+C=UN+(B+C).

Multiplicar una matriz por un número. Para multiplicar una matriz UN por número k necesita cada elemento de la matriz UN multiplicar por ese número. Entonces el producto de matrices UN por número k hay una nueva matriz, que está determinada por la regla o .

Para cualquier número un y b y matrices UN y B se cumplen las igualdades:

Ejemplos.

Multiplicación de matrices. Esta operación se lleva a cabo de acuerdo con una ley peculiar. En primer lugar, observamos que los tamaños de los factores de la matriz deben ser consistentes. Puede multiplicar solo aquellas matrices cuyo número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz (es decir, la longitud de la primera fila es igual a la altura de la segunda columna). trabaja matrices UN no es una matriz B llamada la nueva matriz C=AB, cuyos elementos se componen de la siguiente manera:

Así, por ejemplo, para obtener el producto (es decir, en la matriz C) el elemento en la primera fila y la tercera columna de 13, debe tomar la primera fila en la primera matriz, la tercera columna en la segunda y luego multiplicar los elementos de la fila por los elementos de la columna correspondiente y agregar los productos resultantes. Y otros elementos de la matriz producto se obtienen utilizando un producto similar de las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz.

En general, si multiplicamos la matriz A = (aij) Talla metro× norte a la matriz B = (bij) Talla norte× pag, entonces obtenemos la matriz C Talla metro× pag, cuyos elementos se calculan de la siguiente manera: elemento c ij se obtiene como resultado del producto de elementos i th fila de la matriz UN sobre los elementos pertinentes j-ésima columna de la matriz B y su sumatoria.

De esta regla se deduce que siempre se pueden multiplicar dos matrices cuadradas del mismo orden, como resultado obtenemos una matriz cuadrada del mismo orden. En particular, una matriz cuadrada siempre se puede multiplicar por sí misma, es decir cuadrar.

Otro caso importante es la multiplicación de una matriz-fila por una matriz-columna, y el ancho de la primera debe ser igual a la altura de la segunda, como resultado obtenemos una matriz de primer orden (es decir, un elemento). En realidad,

.

Ejemplos.

Por lo tanto, estos ejemplos simples muestran que las matrices, en términos generales, no se conmutan entre sí, es decir A∙B ≠ B∙A . Por lo tanto, al multiplicar matrices, debe controlar cuidadosamente el orden de los factores.

Se puede verificar que la multiplicación de matrices obedece a las leyes asociativas y distributivas, es decir (AB)C=A(BC) y (A+B)C=AC+BC.

También es fácil comprobar que al multiplicar una matriz cuadrada UN a la matriz de identidad mi del mismo orden, obtenemos nuevamente la matriz UN, además AE=EA=A.

Cabe señalar el siguiente hecho curioso. Como se sabe, el producto de 2 números distintos de cero no es igual a 0. Para las matrices, este puede no ser el caso, es decir el producto de 2 matrices distintas de cero puede ser igual a la matriz cero.

por ejemplo, Si , entonces

.

EL CONCEPTO DE DETERMINANTES

Deje que se dé una matriz de segundo orden: una matriz cuadrada que consta de dos filas y dos columnas .

Determinante de segundo orden correspondiente a esta matriz es el número obtenido de la siguiente manera: un 11 un 22 – un 12 un 21.

El determinante se denota con el símbolo .

Entonces, para encontrar el determinante de segundo orden, debes restar el producto de los elementos a lo largo de la segunda diagonal del producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplos. Calcular determinantes de segundo orden.

De manera similar, podemos considerar una matriz de tercer orden y el correspondiente determinante.

Determinante de tercer orden, correspondiente a una matriz cuadrada dada de tercer orden, es un número denotado y obtenido de la siguiente manera:

.

Por lo tanto, esta fórmula da la expansión del determinante de tercer orden en términos de los elementos de la primera fila un 11, un 12, un 13 y reduce el cálculo del determinante de tercer orden al cálculo de los determinantes de segundo orden.

Ejemplos. Calcular el determinante de tercer orden.

De igual forma, se pueden introducir los conceptos de determinantes de cuarto, quinto, etc. órdenes, bajando su orden por expansión sobre los elementos de la 1ª fila, mientras que se alternan los signos "+" y "-" para los términos.

Entonces, a diferencia de la matriz, que es una tabla de números, el determinante es un número que se asigna de cierta manera a la matriz.

Álgebra lineal 1

Matrices 1

Operaciones matriciales 2

Determinantes matriciales 6

Matriz inversa 13

Matriz rango 16

Independencia lineal 21

Sistemas de ecuaciones lineales 24

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 27

Método de la matriz inversa 27

Método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con matriz cuadrada mediante fórmulas de Cramer 29

Método de Gauss (método de eliminación sucesiva de variables) 31

Matrices de álgebra lineal

Matriz tamaño mxn es una tabla rectangular de números que contiene m filas y n columnas. Los números que componen una matriz se denominan elementos de matriz.

Las matrices generalmente se denotan con letras latinas mayúsculas y los elementos con las mismas letras minúsculas con doble indexación.

Por ejemplo, considere una matriz A de 2 x 3:

Esta matriz tiene dos filas (m= 2) y tres columnas (n= 3), es decir consta de seis elementos a ij , donde i es el número de fila, j es el número de columna. En este caso toma valores del 1 al 2, y del uno al tres (escrito
). A saber, 11 = 3; 12 = 0; 13 = -1; 21 = 0; 22 = 1,5; 23 = 5.

Las matrices A y B del mismo tamaño (mxn) se denominan igual, si coinciden elemento a elemento, es decir a ij =b ij para
, es decir. para cualquier ii y j (puedes escribir i, j).

matriz de filas es una matriz con una fila, y matriz de columnas es una matriz con una columna.

Por ejemplo,
es una matriz fila, y
.

matriz cuadrada El orden n es una matriz, el número de filas es igual al número de columnas y es igual a n.

Por ejemplo,
es una matriz cuadrada de segundo orden.

Diagonal Los elementos de matriz son elementos cuyo número de fila es igual al número de columna (a ij ,i=j). Estos elementos forman diagonal principal matrices. En el ejemplo anterior, los elementos a 11 = 3 y a 22 = 5 forman la diagonal principal.

Matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero. Por ejemplo,
es una matriz diagonal de tercer orden. Si todos los elementos de la diagonal son iguales a uno, entonces la matriz se llama soltero(generalmente indicado por la letra E). Por ejemplo,
es la matriz identidad de tercer orden.

La matriz se llama nulo si todos sus elementos son iguales a cero.

La matriz cuadrada se llama triangular si todos sus elementos por debajo (o por encima) de la diagonal principal son iguales a cero. Por ejemplo,
es una matriz triangular de tercer orden.

Operaciones matriciales

Puede realizar las siguientes operaciones en matrices:

1. Multiplicar una matriz por un número. El producto de la matriz A por el número  es la matriz B = A, cuyos elementos son b ij = a ij para cualquier ii y j.

Por ejemplo, si
, entonces
.

2. Adición de matriz. La suma de dos matrices A y B del mismo tamaño m x n es la matriz C \u003d A + B, cuyos elementos son con ij \u003d a ij + b ij para i,j.

Por ejemplo, si
entonces

.

Tenga en cuenta que a través de las operaciones anteriores, podemos determinar resta de matriz el mismo tamaño: diferencia A-B \u003d A + (-1) * B.

3. Multiplicación de matrices. El producto de una matriz A de tamaño mxn por una matriz B de tamaño nxp es una matriz C tal, cada elemento de la cual con ij es igual a la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila de la matriz A y el elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B, es decir
.

Por ejemplo, si

, entonces el tamaño de la matriz del producto será 2 x 3 y se verá así:

En este caso, se dice que la matriz A es consistente con la matriz B.

En base a la operación de multiplicación para matrices cuadradas, se define la operación exponenciación. Una potencia entera positiva A m (m > 1) de una matriz cuadrada A es el producto de m matrices iguales a A, es decir

Resaltamos que la suma (resta) y la multiplicación de matrices no están definidas para dos matrices cualesquiera, sino solo para aquellas que cumplen ciertos requisitos para su dimensión. Para encontrar la suma o diferencia de matrices, su tamaño debe ser el mismo. Para encontrar el producto de matrices, el número de columnas de la primera de ellas debe coincidir con el número de filas de la segunda (estas matrices se llaman acordado).

Consideremos algunas propiedades de las operaciones consideradas, que son análogas a las propiedades de las operaciones con números.

1) Ley conmutativa (desplazamiento) de la suma:

A + B = B + A

2) Ley asociativa (asociativa) de la suma:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Ley distributiva (distributiva) de la multiplicación con respecto a la suma:

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + CA

(A + B) C = AC + BC

5) Ley asociativa (asociativa) de la multiplicación:

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

Hacemos hincapié en que la ley de multiplicación conmutativa para matrices en el caso general NO se cumple, es decir AB BA. Además, la existencia de AB no implica necesariamente la existencia de BA (las matrices pueden no ser consistentes, y entonces su producto no está definido en absoluto, como en el ejemplo anterior de multiplicación de matrices). Pero incluso si ambas obras existen, por lo general son diferentes.

En un caso particular, el producto de cualquier matriz cuadrada A y una matriz identidad del mismo orden tiene una ley conmutativa, y este producto es igual a A (la multiplicación por una matriz identidad aquí es similar a la multiplicación por uno cuando se multiplican números):

AE = EA = A

En efecto,

Hagamos hincapié en una diferencia más entre la multiplicación de matrices y la multiplicación de números. El producto de números puede ser igual a cero si y solo si al menos uno de ellos es igual a cero. Esto no se puede decir acerca de las matrices, es decir, el producto de matrices distintas de cero puede ser igual a la matriz cero. Por ejemplo,

Continuemos con la consideración de las operaciones sobre matrices.

4. Transposición de matriz es una operación de transición de una matriz A de tamaño mxn a una matriz A T de tamaño nxm, en la que se intercambian filas y columnas:

%.

Propiedades de la operación de transposición:

1) De la definición se sigue que si la matriz se transpone dos veces, volveremos a la matriz original: (A T) T = A.

2) El factor constante se puede sacar del signo de transposición: (А) T =А T .

3) La transposición es distributiva con respecto a la multiplicación y suma de matrices: (AB) T =B T A T y (A+B) T =B T +A T .

Esta guía le ayudará a aprender cómo operaciones matriciales: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, búsqueda de la inversa de una matriz. Todo el material se presenta de forma simple y accesible, se dan ejemplos relevantes, por lo que incluso una persona no preparada puede aprender a realizar acciones con matrices. Para el autocontrol y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial gratis >>>.

Intentaré minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares son posibles las explicaciones "en los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no se involucren en la crítica, nuestra tarea es aprender a trabajar con matrices.

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Una matriz es una tabla rectangular de algunos elementos. Como elementos consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO es un término Es conveniente recordar el término, ocurrirá con frecuencia, no es casualidad que haya usado negrita para resaltarlo.

Designacion: las matrices generalmente se denotan con letras latinas mayúsculas

Ejemplo: Considere una matriz de dos por tres:

Esta matriz consta de seis elementos:

Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí mismos, es decir, no se trata de ninguna resta:

¡Es solo una tabla (conjunto) de números!

también estaremos de acuerdo no reorganizar número, a menos que se indique lo contrario en la explicación. ¡Cada número tiene su propia ubicación y no puedes barajarlos!

La matriz en cuestión tiene dos filas:

y tres columnas:

ESTÁNDAR: cuando se habla de las dimensiones de la matriz, entonces primero indique el número de filas, y solo entonces, el número de columnas. Acabamos de descomponer la matriz de dos por tres.

Si el número de filas y columnas de una matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, Por ejemplo: es una matriz de tres por tres.

Si la matriz tiene una columna o una fila, estas matrices también se denominan vectores.

De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela, consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas "x" e "y": . Esencialmente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué importa el orden de los números: y son dos puntos completamente diferentes del plano.

Ahora pasemos al estudio. operaciones matriciales:

1) Acción uno. Quitar un menos de una matriz (Introducir un menos en una matriz).

Volver a nuestra matriz . Como probablemente haya notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente en términos de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y se ve feo en el diseño.

Muevamos el menos fuera de la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:

En cero, como comprenderá, el signo no cambia, cero, también es cero en África.

Ejemplo inverso: . se ve feo

Introducimos un menos en la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:

Bueno, es mucho más bonito. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque hay un signo popular matemático: cuantos más inconvenientes, más confusión y errores.

2) Acción dos. Multiplicar una matriz por un número.

Ejemplo:

Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas todo el mundo multiplicar el elemento de la matriz por el número dado. En este caso, tres.

Otro ejemplo útil:

– multiplicación de una matriz por una fracción

Primero veamos qué hacer NO HAY NECESIDAD:

NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo dificulta las acciones posteriores con la matriz y, en segundo lugar, dificulta que el maestro verifique la solución (especialmente si - la respuesta final de la tarea).

Y especialmente, NO HAY NECESIDAD dividir cada elemento de la matriz por menos siete:

Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que las fracciones decimales con una coma en matemáticas superiores están tratando de evitar de todas las formas posibles.

La única cosa deseable hacer en este ejemplo es insertar un signo menos en la matriz:

Pero si TODOS los elementos de la matriz se dividieron por 7 sin rastro, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.

Ejemplo:

En este caso, puede NECESIDAD multiplica todos los elementos de la matriz por , ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin rastro.

Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe el concepto escolar de "división". En lugar de la frase "esto se divide por esto", siempre puedes decir "esto se multiplica por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de la multiplicación.

3) Acción tres. Transposición de matriz.

Para transponer una matriz, debe escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.

Ejemplo:

Transponer matriz

Aquí hay una sola línea y, según la regla, debe escribirse en una columna:

es la matriz transpuesta.

La matriz transpuesta generalmente se indica con un superíndice o un trazo en la parte superior derecha.

Ejemplo paso a paso:

Transponer matriz

Primero, reescribimos la primera fila en la primera columna:

Luego reescribimos la segunda fila en la segunda columna:

Y finalmente, reescribimos la tercera fila en la tercera columna:

Listo. Hablando en términos generales, transponer significa poner la matriz de lado.

4) Acción cuatro. Suma (diferencia) de matrices.

La suma de matrices es una operación sencilla.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN PLEGAR. Para realizar sumas (restas) de matrices, es necesario que sean del MISMO TAMAÑO.

Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, ¡solo se puede agregar a una matriz de dos por dos y no a otra!

Ejemplo:

Agregar matrices y

Para sumar matrices, necesitas sumar sus elementos correspondientes:

Para la diferencia de matrices, la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.

Ejemplo:

Encuentra la diferencia de matrices ,

¿Y cómo resolver este ejemplo más fácilmente, para no confundirse? Es recomendable deshacerse de los menos innecesarios, para esto agregaremos un menos a la matriz:

Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe el concepto escolar de "resta". En lugar de la frase "restar esto de esto", siempre puede decir "agregar un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de la suma.

5) Acción cinco. Multiplicación de matrices.

¿Qué matrices se pueden multiplicar?

Para que una matriz sea multiplicada por una matriz, para que el numero de columnas de la matriz sea igual al numero de filas de la matriz.

Ejemplo:
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?

Entonces, puedes multiplicar los datos de la matriz.

Pero si las matrices se reorganizan, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya no es posible!

Por lo tanto, la multiplicación es imposible:

No es raro para las tareas con un truco, cuando se le pide a un estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.

Cabe señalar que en algunos casos es posible multiplicar matrices de ambas maneras.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles

Entonces, servicios para resolver matrices en línea:

El servicio Matrix le permite realizar transformaciones elementales de matrices.
Si tiene una tarea para realizar una transformación más compleja, entonces este servicio debe usarse como constructor.

Ejemplo. datos de matriz UN y B, necesito encontrar C = UN -1 * B + B T ,

1. Primero debes encontrar matriz inversaA1 = UN-1, usando el servicio para encontrar la matriz inversa;
2. Además, después de encontrar la matriz A1 hazlo multiplicación de matricesA2 = A1 * B, utilizando el servicio de multiplicación de matrices;
3. Vamos a hacerlo transposición de matrizA3 = B T (servicio para encontrar la matriz transpuesta);
4. Y el último: encuentra la suma de matrices. Con = A2 + A3(servicio para calcular la suma de matrices) - ¡y obtenemos una respuesta con la solución más detallada!;

Producto de matrices

Este es un servicio en línea. dos pasos:

• Introduzca la matriz del primer factor UN
• Ingrese la matriz del segundo factor o el vector de columna B

Multiplicación de una matriz por un vector

La multiplicación de una matriz por un vector se puede encontrar usando el servicio Multiplicación de matrices
(El primer factor será la matriz dada, el segundo factor será la columna formada por los elementos del vector dado)

Este es un servicio en línea. dos pasos:

• Introducir matriz UN, para lo cual necesitas encontrar la matriz inversa
• Obtenga una respuesta con una solución detallada para encontrar la matriz inversa

Determinante matricial

Este es un servicio en línea. Un paso:

• Introducir matriz UN, para lo cual necesitas encontrar el determinante de la matriz

Transposición de matriz

Aquí puede seguir el algoritmo de transposición de matrices y aprender a resolver tales problemas usted mismo.
Este es un servicio en línea. Un paso:

• Introducir matriz UN, que debe transponerse

Rango de matriz

Este es un servicio en línea. Un paso:

• Introducir matriz UN, para lo cual necesitas encontrar el rango

Valores propios de matrices y vectores propios de matrices

Este es un servicio en línea. Un paso:

• Introducir matriz UN, para lo cual necesita encontrar vectores propios y valores propios (valores propios)

Exponenciación de matrices

Este es un servicio en línea. dos pasos:

• Introducir matriz UN, que será elevado a la potencia
• Introduce un número entero q- grado