Si el valor de una expresión numérica existe, entonces la expresión. Expresiones numéricas. Comparar expresiones numéricas

Escribir las condiciones de los problemas usando la notación aceptada en matemáticas conduce a la aparición de las llamadas expresiones matemáticas, que simplemente se denominan expresiones. En este artículo, hablaremos en detalle sobre expresiones numéricas, literales y variables: daremos definiciones y daremos ejemplos de expresiones de cada tipo.

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Expresiones numéricas: ¿qué es?

El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas. Pero su nombre, expresiones numéricas, adquieren oficialmente un poco más tarde. Por ejemplo, si sigue el curso de M. I. Moro, esto sucede en las páginas de un libro de texto de matemáticas para el grado 2. Allí, la representación de las expresiones numéricas se da de la siguiente manera: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - es todo expresiones numéricas, y si realizamos las acciones indicadas en la expresión, entonces encontraremos valor de expresión.

Se puede concluir que en esta etapa del estudio de las matemáticas, las expresiones numéricas se denominan registros que tienen significado matemático, compuestos por números, corchetes y signos de suma y resta.

Un poco más tarde, después de familiarizarse con la multiplicación y la división, las entradas de las expresiones numéricas comienzan a contener los signos "·" y ":". Estos son algunos ejemplos: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 etc.

Y en la escuela secundaria, la variedad de entradas para expresiones numéricas crece como una bola de nieve que rueda montaña abajo. Fracciones comunes y decimales, números mixtos y números negativos, grados, raíces, logaritmos, senos, cosenos, etc.

Resumamos toda la información en la definición de una expresión numérica:

Definición.

expresión numérica es una combinación de números, signos de operaciones aritméticas, trazos fraccionarios, signos de raíces (radicales), logaritmos, notación de funciones trigonométricas, trigonométricas inversas y otras funciones, así como corchetes y otros símbolos matemáticos especiales, compilados de acuerdo con las reglas aceptadas en matemáticas.

Expliquemos todas las partes constituyentes de la definición sonora.

Absolutamente cualquier número puede participar en expresiones numéricas: de natural a real, e incluso complejo. Es decir, en expresiones numéricas se puede encontrar

Todo está claro con los signos de las operaciones aritméticas: estos son los signos de suma, resta, multiplicación y división, respectivamente, que tienen la forma "+", "−", "·" y ":". En las expresiones numéricas puede estar presente uno de estos caracteres, algunos de ellos, o todos a la vez, y más de una vez. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

En cuanto a los corchetes, existen tanto expresiones numéricas en las que hay corchetes como expresiones sin ellos. Si hay corchetes en una expresión numérica, entonces son básicamente

Y a veces los corchetes en expresiones numéricas tienen algún propósito especial específico, indicado por separado. Por ejemplo, puede encontrar corchetes que indican la parte entera del número, por lo que la expresión numérica +2 significa que el número 2 se suma a la parte entera del número 1,75.

A partir de la definición de una expresión numérica, también queda claro que la expresión puede contener , , log , ln , lg , designaciones, etc. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 y .

La división en expresiones numéricas se puede denotar con . En este caso, hay expresiones numéricas con fracciones. Estos son ejemplos de tales expresiones: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 y .

Como símbolos y notaciones matemáticas especiales que se pueden encontrar en expresiones numéricas, damos. Por ejemplo, mostremos una expresión numérica con un módulo .

¿Qué son las expresiones literales?

El concepto de expresiones literales se da casi inmediatamente después de familiarizarse con las expresiones numéricas. Se ingresa así. En cierta expresión numérica no se escribe uno de los números, sino que se pone en su lugar un círculo (o un cuadrado, o algo similar), y se dice que cierto número puede sustituir al círculo. Tomemos la entrada como ejemplo. Si pones, por ejemplo, el número 2 en lugar de un cuadrado, obtienes una expresión numérica 3 + 2. Así que en lugar de círculos, cuadrados, etc. acordó escribir cartas, y tales expresiones con letras se llamaron expresiones literales. Volvamos a nuestro ejemplo, si en esta entrada en lugar de un cuadrado ponemos la letra a, entonces obtenemos una expresión literal de la forma 3+a.

Entonces, si permitimos en una expresión numérica la presencia de letras que denotan algunos números, entonces obtenemos la llamada expresión literal. Demos una definición apropiada.

Definición.

Una expresión que contiene letras que denotan algunos números se llama expresión literal.

Desde esta definición está claro que fundamentalmente una expresión literal difiere de una expresión numérica en que puede contener letras. Por lo general, en las expresiones literales se utilizan minúsculas del alfabeto latino (a, b, c,...), y cuando se denotan ángulos, minúsculas del alfabeto griego (α, β, γ,...).

Entonces, las expresiones literales pueden estar compuestas de números, letras y contener todos los símbolos matemáticos que se pueden encontrar en las expresiones numéricas, como paréntesis, signos de raíz, logaritmos, funciones trigonométricas y otras, etc. Por separado, enfatizamos que una expresión literal contiene al menos una letra. Pero también puede contener varias letras iguales o diferentes.

Ahora damos algunos ejemplos de expresiones literales. Por ejemplo, a+b es una expresión literal con las letras a y b. Aquí hay otro ejemplo de la expresión literal 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Y damos un ejemplo de una expresión literal de una forma compleja: .

Expresiones con variables

Si en una expresión literal una letra denota un valor que no toma ningún valor específico, pero puede tomar varios significados, entonces esta letra se llama variable y la expresión se llama expresión variable.

Definición.

Expresión con variables es una expresión literal en la que las letras (todas o algunas) denotan cantidades que toman diferentes valores.

Por ejemplo, supongamos que en la expresión x 2 −1 la letra x puede tomar cualquier valor natural del intervalo de 0 a 10, entonces x es una variable y la expresión x 2 −1 es una expresión con la variable x .

Vale la pena señalar que puede haber varias variables en una expresión. Por ejemplo, si consideramos x e y como variables, entonces la expresión es una expresión con dos variables x e y .

En general, la transición del concepto de expresión literal a una expresión con variables se da en el 7° grado, cuando comienzan a estudiar álgebra. Hasta este punto, las expresiones literales han modelado algunas tareas específicas. En álgebra, comienzan a ver la expresión de manera más general, sin referencia a una tarea específica, con el entendimiento de que esta expresión se ajusta a una gran cantidad de tareas.

Para concluir este párrafo, prestemos atención a un punto más: según apariencia expresión literal, es imposible saber si las letras que contiene son variables o no. Por tanto, nada nos impide considerar estas letras como variables. En este caso desaparece la diferencia entre los términos "expresión literal" y "expresión con variables".

Bibliografía.

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Al estudiar el tema de las expresiones numéricas, literales y con variables, es necesario prestar atención al concepto valor de expresión. En este artículo, responderemos a la pregunta, cuál es el valor de una expresión numérica y cómo se llama el valor de una expresión literal y una expresión con variables para los valores seleccionados de las variables. Para aclarar estas definiciones, damos ejemplos.

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¿Cuál es el valor de una expresión numérica?

El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas en la escuela. Casi inmediatamente, se introduce el concepto de “valor de una expresión numérica”. Se refiere a expresiones formadas por números conectados por signos aritméticos (+, −, ·, :). Demos una definición adecuada.

Definición.

El valor de una expresión numérica.- este es el número que se obtiene después de realizar todas las acciones en la expresión numérica original.

Por ejemplo, considere la expresión numérica 1+2. Después de ejecutar, obtenemos el número 3, es el valor de la expresión numérica 1+2.

A menudo, en la frase "valor de una expresión numérica", se omite la palabra "numérico", y simplemente dicen "valor de la expresión", ya que todavía está claro a qué expresión se refiere.

La definición anterior del significado de una expresión también se aplica a las expresiones numéricas de una forma más compleja, que se estudian en la escuela secundaria. Aquí debe tenerse en cuenta que uno puede encontrar expresiones numéricas, cuyos valores no se pueden especificar. Esto se debe a que en algunas expresiones es imposible realizar las acciones grabadas. Por ejemplo, por lo tanto, no podemos especificar el valor de la expresión 3:(2−2) . Tales expresiones numéricas se llaman expresiones que no tienen sentido.

A menudo, en la práctica, lo que interesa no es tanto la expresión numérica como su valor. Es decir, surge la tarea, que consiste en determinar el valor de esta expresión. En este caso, generalmente dicen que necesitas encontrar el valor de la expresión. En este artículo se analiza en detalle el proceso de hallar el valor de expresiones numéricas. diferente tipo, y consideró muchos ejemplos con descripciones detalladas soluciones

Significado de expresiones literales y variables

Además de las expresiones numéricas, estudian expresiones literales, es decir, expresiones en las que están presentes una o más letras junto con números. Las letras en una expresión literal pueden representar diferentes números, y si las letras se reemplazan por estos números, la expresión literal se convierte en numérica.

Definición.

Los números que reemplazan letras en una expresión literal se llaman el significado de estas letras, y el valor de la expresión numérica resultante se llama el valor de la expresión literal dados los valores de las letras.

Entonces, para las expresiones literales, no se habla solo del significado de la expresión literal, sino del significado de la expresión literal para los valores dados (dados, indicados, etc.) de las letras.

Tomemos un ejemplo. Tomemos la expresión literal 2·a+b . Que se den los valores de las letras a y b, por ejemplo, a=1 y b=6. Reemplazando las letras de la expresión original por sus valores, obtenemos una expresión numérica de la forma 2 1+6 , su valor es 8 . Así, el número 8 es el valor de la expresión literal 2·a+b dados los valores de las letras a=1 y b=6. Si se dieran otros valores de letras, entonces obtendríamos el valor de la expresión literal para esos valores de letras. Por ejemplo, con a=5 y b=1 tenemos el valor 2 5+1=11.

En la escuela secundaria, al estudiar álgebra, las letras en expresiones literales pueden tener diferentes significados, tales letras se denominan variables y las expresiones literales se denominan expresiones con variables. Para estas expresiones se introduce el concepto de valor de una expresión con variables para los valores elegidos de las variables. Averigüemos qué es.

Definición.

El valor de una expresión con variables para los valores seleccionados de las variables se llama el valor de una expresión numérica, que se obtiene después de sustituir los valores seleccionados de las variables en la expresión original.

Expliquemos la definición sonada con un ejemplo. Considere una expresión con variables x e y de la forma 3·x·y+y . Tomemos x=2 e y=4, sustituyamos estos valores variables en la expresión original, obtenemos la expresión numérica 3 2 4+4. Calculemos el valor de esta expresión: 3 2 4+4=24+4=28 . El valor encontrado 28 es el valor de la expresión original con las variables 3·x·y+y con los valores seleccionados de las variables x=2 e y=4.

Si elige otros valores de variables, por ejemplo, x=5 e y=0, estos valores seleccionados de variables corresponderán al valor de la expresión con variables iguales a 3 5 0+0=0.

Se puede notar que a veces para varios valores elegidos de variables, uno puede obtener valores iguales expresiones Por ejemplo, para x=9 y y=1, el valor de la expresión 3 x y+y es 28 (porque 3 9 1+1=27+1=28 ), y arriba mostramos que el mismo valor es expresión con variables tiene en x=2 y y=4 .

Los valores de las variables se pueden seleccionar de sus respectivos rangos de valores aceptables. De lo contrario, sustituir los valores de estas variables en la expresión original dará como resultado una expresión numérica que no tiene sentido. Por ejemplo, si elige x=0 y sustituye ese valor en la expresión 1/x, obtiene la expresión numérica 1/0, que no tiene sentido porque la división por cero no está definida.

Solo resta agregar que existen expresiones con variables cuyos valores no dependen de los valores de sus variables constituyentes. Por ejemplo, el valor de una expresión con una variable x de la forma 2+x−x no depende del valor de esta variable, es igual a 2 para cualquier valor elegido de la variable x de su rango de valores válidos, que en este caso es el conjunto de todos los números reales.

Bibliografía.

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en las págs. 8.2.1 se mostró que los conceptos algebraicos son medios de generalización, un lenguaje para describir operaciones aritméticas. El concepto de expresión matemática es de naturaleza diferente a los conceptos de suma, resta, multiplicación y división. La relación entre estos conceptos puede considerarse la relación de forma y contenido: las expresiones matemáticas son una de las formas de signo, designación escrita de las operaciones aritméticas. Una expresión numérica también puede considerarse una de las formas de un número, ya que cada expresión numérica tiene un solo valor numérico: un número.

Las expresiones aparecen en la enseñanza de las matemáticas tan pronto como aparecen registros de la forma 2 + 3, 4 - 3 en el primer grado al estudiar acciones.

Adición y sustracción. Inicialmente, se llaman así: registro de suma, registro de resta. Como saben, estos registros también tienen nombres propios: "suma", "diferencia", que se pueden ingresar en una lección junto con las acciones correspondientes o después de un tiempo. Y el concepto de expresión como tema de estudio debe hacerse solo después de que los estudiantes ya tengan alguna experiencia práctica con dichos registros. Al mismo tiempo, el docente puede utilizar el término "expresión" en su discurso, sin exigir a los niños que lo utilicen, pero introduciéndolo en el vocabulario pasivo de los alumnos. Esto es exactamente lo que sucede cuando La vida cotidiana cuando los niños escuchan una palabra nueva relacionada con un objeto resaltado visualmente. Por ejemplo, señalando las entradas de suma y resta unas pocas lecciones después de la introducción de estas acciones, el maestro dice: "Lea estas entradas, estas expresiones: ...", "Busque en el libro de texto en No. ... una expresión en que hay que restar tres de siete. ...”, “Considera estas expresiones (muestra en la pizarra). Lea el que le permite encontrar un número 3 mayor que 5, en el que hay un número 3 mayor que 5; 3 menos de 5.

Al estudiar expresiones numéricas en escuela primaria Considere los siguientes conceptos y métodos de acción.

Conceptos: expresión matemática, expresión numérica (expresión), tipos de expresiones numéricas(en una acción y en varias acciones; con y sin paréntesis; conteniendo acciones de un paso y acciones de dos pasos); el valor numérico de la expresión; reglas de procedimiento; comparación de relaciones

Formas de acción: leer expresiones en uno o dos pasos; grabar expresiones dictadas en uno o dos pasos; determinar el curso de acción; cálculo del valor de las expresiones según las reglas del orden de las acciones; comparar dos expresiones numéricas; conversión de expresión: reemplazar una expresión por otra igual en función de las propiedades de las acciones.

Introducción de conceptos.Lección que introduce el concepto de expresión es útil comenzar discutiendo las notas. ¿Qué son los registros? ¿Por qué la gente escribe? ¿Por qué estás aprendiendo a escribir? ¿Qué apuntes tomamos cuando estudiamos matemáticas? (Los niños recurren a sus cuadernos, a un libro de texto, a tarjetas preparadas previamente con ejemplos de registros de aquellos que los estudiantes hicieron durante el período de estudio). ¿En qué grupos se pueden dividir los registros al estudiar matemáticas?

Como resultado de esta discusión, nos enfocamos en dos grupos principales de registros: el registro de números y el registro de operaciones aritméticas. Los registros de operaciones aritméticas, a su vez, se dividen en dos grupos: sin cálculos y con cálculos, es decir, de la forma 2 + 3 y 2 + 3 = 5. Con base en esta clasificación, informamos a los estudiantes que el registro de suma y resta de la forma 2 + 3 y 7 -5, así como cualquier registro compuesto por dichos registros, por ejemplo, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 y similares, se acostumbra llamar (acordamos llamarlo ) matemático

expresión, o simplemente una expresión. Además, al igual que con la introducción de otros conceptos, es necesario realizar tareas de reconocimiento, enseñando una acción educativa universal: reconocer objetos relacionados con el concepto que se está estudiando. El número de objetos reconocibles debe incluir aquellos que no tienen todas las propiedades comunes (esenciales) del concepto y, por lo tanto, no representan este concepto y cayendo bajo el concepto, pero teniendo diferentes propiedades variables (insignificantes). Por ejemplo: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.

Dado que las entradas, llamadas expresiones, ya han sido utilizadas, leídas y escritas por los estudiantes, es necesario generalizar las formas en que se leen las expresiones en cuestión. Por ejemplo, la expresión 17 - 10 se puede leer como "la diferencia entre los números 17 y 10", como una tarea: "restar 10 de 17", "reducir el número 17 por 10" o "encontrar un número menor que diecisiete". por diez" y por nombres similares enseñamos a los estudiantes a escribir expresiones. En el futuro, las preguntas: cómo leer la expresión escrita y cómo escribir la expresión nombrada se discuten con el advenimiento de nuevos tipos de expresiones.

En la misma lección donde presentamos el concepto de una expresión, también presentamos el concepto valor de expresión - el número resultante de todas sus operaciones aritméticas.

Para resumir la introducción de conceptos y planificar el trabajo futuro, es útil discutir preguntas en esta lección o en las lecciones siguientes: ¿Cuántas expresiones hay? ¿Cómo puede una expresión ser similar a otra? ¿Cómo puede ser diferente de otro? ¿En qué se parecen todas las expresiones entre sí? ¿Qué nos pueden decir las expresiones? ¿Qué puedes hacer con las expresiones? ¿Qué necesitas (puedes aprender) estudiando expresiones?

Respondiendo a última pregunta formular con los estudiantes metas de aprendizaje actividades futuras: podemos aprender y aprenderemos leer y escribir expresiones, encontrar valores de expresión, comparar expresiones.

Lectura y escritura de expresiones. Dado que las expresiones son registros, uno debe poder leerlos. Las principales formas de lectura se establecen al introducir acciones. Puede leer la expresión como un nombre, como una lista de caracteres, como una tarea o pregunta. Después de estudiar las relaciones “menor (mayor) por”, “menor (mayor) en” entre números, también se leen expresiones como enunciados o preguntas sobre la relación de igualdad y desigualdad. Cada forma de lectura revela una determinada faceta del significado de la acción o acciones correspondientes. Por lo tanto, es muy útil animar diferentes caminos leyendo. El patrón de lectura lo establece el maestro al introducir una acción o al considerar el concepto, propiedad o relación correspondiente.

La base de leer cualquier expresión es leer la expresión en una sola acción. Aprender a leer sucede como aprender cualquier

mu lectura al realizar tareas que requieren dicha lectura. Estas pueden ser tareas especiales: "Leer las expresiones". La lectura es necesaria al verificar los valores de la expresión (leen la expresión como parte de la igualdad), al informar los resultados de la comparación. También es importante la acción inversa: escribir una expresión por su nombre o la tarea que establece, la relación. Los estudiantes realizan tales acciones cuando realizan dictados matemáticos, especialmente diseñados para formar la capacidad de escribir expresiones o como parte de tareas para calcular, comparar, etc. Leer expresiones matemáticas, aprender a leer expresiones no es un objetivo, sino una herramienta de aprendizaje: un medio para desarrollar el habla, un medio para profundizar en la comprensión del significado de la acción.

Usemos ejemplos para mostrar cómo leer los principales tipos de expresiones simples:

1) 2 + 3 suma tres a dos; suma los números dos y tres; suma
ma números dos y tres; dos más tres; encontrar la suma de los números dos y tres;

Encuentra la suma de los términos dos y tres; encontrar un número mayor que tres
que el número dos; dos aumentan en tres; primer término 2, segundo
término 3, encuentre la suma;

2) 5 - 3 de cinco restar (¡en ningún caso "restar 1"!) Tres;

La diferencia entre los números cinco y tres; cinco menos tres; encuentra la diferencia
los números cinco y tres; minuendo cinco, restar tres, hallar veces
ness; encontrar un número tres menos que cinco; cinco reducir
en tres;

3) 2 3 dos toman el sumando tres veces; tomar dos tres veces;

dos por tres; producto de los números dos y tres; primero
multiplicador dos, el segundo - tres, encuentra el producto; encontrar producto
manteniendo los números dos y tres; dos veces tres, tres veces dos; dos aumento
tres veces; encontrar un número tres veces mayor que dos; primer mono
residente dos, segundo tres, encuentra el producto;

4) 12:4 doce divididos por cuatro; cociente de duodécimo
tsat y cuatro privado doce y cuatro); cociente de división
doce por cuatro; divisible doce, divisor cuatro, encontrar
cociente (para 13:4 - encuentre el cociente y el resto); disminuir 12 en th
tres veces; encontrar un número cuatro veces menor que doce.

La lectura de expresiones que contienen más de dos acciones provoca ciertas dificultades a los alumnos más jóvenes. En los resultados del sujeto planificado, por lo tanto, la capacidad de leer tales expresiones puede

1 "DESPEGUE, ... 1. quién (qué). Tomar de alguien. por la fuerza, privar a alguien de algo. O. dinero. O hijo. Oh esperanza O. alguien tiene su tiempo.(trad.: hacer que alguien dedique tiempo a algo). O. la vida de alguien.(matar). 2. qué. Absorber, consumir algo. El trabajo tomó mucha fuerza de alguien. 3. qué. Apartar, separar de. O. escalera de la pared.... ". [Ozhegov S.I. Diccionario/ S. I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. - M., 1949 -1994.]

se puede colocar en un lugar elevado o nivel alto dominio del lenguaje matemático. Las expresiones se llaman con dos o más acciones sobre la última acción, cuyos componentes se consideran expresiones. Sin embargo, algunos tipos de expresiones se incluyen en los textos de las reglas. El conocimiento de las formulaciones verbales de las reglas también significa el conocimiento de las formas (métodos) de lectura. Por ejemplo, la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la regla de multiplicar una suma por un número en el mismo nombre de la regla da el nombre de una expresión de la forma ( PERO+ □ ) · el. Y en la formulación de la propiedad se denominan dos tipos de expresiones: “El producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos de cada término por este número”. Los métodos para leer expresiones en dos o más acciones pueden especificarse mediante prescripciones algorítmicas. La subsección 4.2 proporciona un ejemplo de tal algoritmo. Dominar las formas de leer tales expresiones ocurre cuando se realizan los mismos tipos de tareas que cuando se aprende a leer expresiones en una sola acción.

Encontrar el valor de las expresiones. Reglas de procedimiento. Desde el comienzo del estudio de las operaciones aritméticas y la aparición de las expresiones, se ha aceptado implícitamente la regla: las acciones deben realizarse de izquierda a derecha en el orden en que se escriben. El problema del orden de las acciones se revela cuando existen dificultades para denotar ciertas situaciones objetivas mediante la expresión. Por ejemplo, debe tomar 7 dados azules, 2 dados blancos menos y averiguar cuántos dados se tomaron en total. Realizamos casi todas las acciones, denotando la cantidad de cubos con números y acciones con signos de operaciones aritméticas. Contemos 7 cubos azules. Para tomar 2 blancos menos, vamos a alejar dos dados azules por un rato y, por parejas, tomar tantos dados blancos como azules sin dos. Combina cubos blancos y azules. Nuestras acciones con cubos en notación aritmética: 7 + 7-2. Pero en tal registro, las acciones deben realizarse en el orden del registro, ¡y estas no son las acciones para las que hicimos el registro! Hay una contradicción. Necesitamos que primero se reste 2 de 7 (encontramos la cantidad requerida de cubos blancos), y luego el resultado de restar 7 y 2 se suma a 7, la cantidad de cubos azules.

La forma de salir de esta y otras situaciones similares puede ser la siguiente: debe seleccionar de alguna manera la acción o acciones que deben realizarse, no en el orden de escritura de izquierda a derecha en el registro de expresión. Y hay tal manera. Este es paréntesis, que solo se inventaron para situaciones en las que las acciones en una expresión deben realizarse desordenadamente de izquierda a derecha. Entre paréntesis, la notación matemática de nuestro acción práctica con dados se verá así: 7 + (7 - 2). Las acciones escritas entre paréntesis generalmente se realizan primero. Para dominar y asignar esta propiedad de los corchetes, componemos diferentes expresiones con los estudiantes, ponemos corchetes en ellas de diferentes maneras, calculamos, comparamos los resultados. Reemplazo

té: a veces cambiar el orden de las acciones no cambia el valor de la expresión, ya veces sí. Por ejemplo, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

Al introducir corchetes, es evidente que todavía no se estudian las reglas generalmente aceptadas para el orden de las acciones, aunque ya se aplican prácticamente dos reglas: a) si en una expresión sin corchetes solo hay sumas y restas, entonces las acciones se realizan en el orden se escriben de izquierda a derecha; b) las acciones entre paréntesis se realizan primero.

De nuevo, el problema del orden de las operaciones se agudiza tras la aparición de expresiones que contienen las operaciones de multiplicación y (o) división y las operaciones de suma y (o) resta. Durante este período, los estudiantes pueden reconocer la necesidad de reglas de orden y es durante este período que los estudiantes ya pueden discutir este problema, formular y comprender las formulaciones generalmente aceptadas de reglas de orden.

Puede crear una comprensión de la necesidad de tales reglas experimentando con una expresión de varios pasos. Por ejemplo, calculemos el valor de la expresión 7 - 3 2 + 15: 5, realizando acciones en tres secuencias diferentes: 1) - + (en el orden de escritura); 2) - + ·: (primero suma y resta, luego multiplicación y división); 3) ·: - + (primero multiplicación y división, luego suma y resta). Como resultado, obtenemos tres valores diferentes: 1) 4 (3 restantes); 2) 13 (resto 3); 3) 6. Discutiendo la situación con los estudiantes, concluimos: es necesario ponerse de acuerdo y aceptar una sola secuencia como regla de acción generalmente aceptada. Y dado que los valores de las expresiones se calcularon incluso antes que nosotros, e incluso más de cien años, entonces, probablemente, tales acuerdos ya existen. Los encontramos en el libro de texto.

A continuación, discutimos con los estudiantes la necesidad de conocer estas reglas y la capacidad de aplicarlas. Habiendo justificado tal necesidad por sí mismos, los estudiantes bien pueden tratar de determinar por sí mismos los tipos Trabajo académico, realizando lo cual, podrán recordar las reglas y aprender a seguirlas con precisión. Tal definición de los tipos de trabajo educativo se puede esbozar en el trabajo en grupo, y algunos tipos de dicho trabajo se pueden realizar en la misma lección. En el proceso de trabajo en grupo, los estudiantes se familiarizan con el contenido de las páginas correspondientes del libro de texto y el cuaderno para Trabajo independiente al libro de texto, ellos mismos pueden complementar las tareas de aprendizaje, completar algunas de ellas, evaluarse a sí mismos y luego hacer un informe de trabajo en grupo sobre lo que ya han dominado como resultado del trabajo en grupo. Por ejemplo: “En nuestro grupo, todos aprendieron a determinar el orden de las acciones en expresiones sin paréntesis en tres o cuatro acciones, haciendo referencia al texto de la regla en el libro de texto, y a designar este orden con números de acción sobre los signos de acción en la expresion." Luego, el objetivo es aprender a encontrar los significados de tales expresiones "grandes", en tres o cuatro o más acciones en muchas lecciones para los estudiantes.

los estudiantes realizan Actividades de aprendizaje para lograrlo. El método para encontrar los valores de una expresión compuesta se puede representar en forma algorítmica.

Algoritmo para encontrar el valor de una expresión numérica(establecido por prescripción verbal en forma de lista de pasos).

1. si un la expresión contiene paréntesis, entonces realizar acciones entre paréntesis como en una expresión sin paréntesis. 2. si un no hay paréntesis en la expresión, entonces: un) Si en la expresión sólo suma y (o) resta o sólo multiplicación y (o) división, entonces realice estos pasos en orden de izquierda a derecha; b) si la expresión contiene acciones del grupo suma - resta y del grupo multiplicación - división, entonces primero realiza multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha, entonces Realiza sumas y restas en orden de izquierda a derecha. 3. El resultado de la última acción se llama valor de la expresión.

Los métodos para encontrar los valores de las expresiones en función de las propiedades de las acciones desempeñan un papel especial en el aprendizaje. Dichos métodos consisten en el hecho de que primero se transforman las expresiones en función de las propiedades de las acciones, y solo luego se aplican las reglas del orden de las acciones. Por ejemplo, necesita encontrar el valor de la expresión: 23 + 78 + 77. De acuerdo con las reglas del orden de las acciones, primero debe sumar 78 a 23 y al resultado sumar 17. Sin embargo, el conmutativo y el asociativo propiedades o la regla "Puedes sumar números en cualquier orden" nos permite reemplazar esta expresión igual con otro orden de operaciones 23 + 77 + 78. Habiendo realizado las acciones de acuerdo con las reglas del orden de las operaciones, fácilmente obtener el resultado 100 + 78 = 178.

En realidad la actividad matemática, el desarrollo matemático de los estudiantes se da precisamente cuando están buscando soluciones racionales o formas originales transformaciones de expresiones con posteriores cálculos convenientes. Por lo tanto, es necesario desarrollar un hábito entre los estudiantes en cualquier cálculo no calculado, buscar formas de simplificar los cálculos, transformar expresiones para que, en lugar de cálculos engorrosos y feos, se encuentre el valor deseado de la expresión usando casos simples y hermosos. de calculo Las tareas se formulan para esto de la siguiente manera: "Calcular de una manera conveniente (o racional) ...".

Encontrar los valores de expresiones literales - una habilidad importante que forma ideas sobre la variable y es la base para comprender la dependencia funcional en el futuro. Una forma muy conveniente de tareas para encontrar los valores de expresiones literales y para observar la dependencia del valor de una expresión de los valores de las letras incluidas en ella es tabular. Por ejemplo, según la Tabla. 8.1 Los estudiantes pueden establecer una serie de dependencias: si los valores un son números consecutivos, entonces los valores 2a hay consistente Números pares, y los valores 3a- cada tercer número a partir del valor 3a en el valor más pequeño un y etc.

Tabla 8.1

Comparación de expresiones. Las relaciones que conectan los valores de las expresiones se transfieren a las expresiones. La comparación principal es encontrar los valores de las expresiones comparadas y comparación de valores de expresión. Algoritmo de comparación:

1. Encuentra los valores de las expresiones comparadas. 2. Compare los números recibidos. 3. Transfiere el resultado de comparar números a expresiones. Si es necesario, coloque el signo apropiado entre las expresiones. Fin.

Así como a la hora de encontrar los valores de las expresiones, se valoran los métodos de comparación basados ​​en las propiedades de las operaciones aritméticas, las propiedades de las igualdades y desigualdades numéricas, ya que tal comparación requiere un razonamiento deductivo y por tanto asegura el desarrollo del pensamiento lógico.

Por ejemplo, debe comparar 73 + 48 y 73 + 50. La propiedad es conocida: "Si un término aumenta o disminuye en varias unidades, entonces la suma aumentará o disminuirá en la misma cantidad de unidades". Por lo tanto, el valor de la primera expresión es menor que el valor de la segunda, lo que significa que la primera expresión es menor que la segunda y la segunda es mayor que la primera. Comparamos expresiones sin encontrar los valores de las expresiones, sin realizar ninguna operación aritmética, aplicando la conocida propiedad de la suma. Para tales casos, es útil comparar expresiones escritas usando simbología genérica. Compara expresiones. © + F y © + (F+ 4), © + F y © + (F- 4).

Los métodos interesantes de comparación se basan en la transformación de las expresiones comparadas, reemplazándolas por otras iguales. Por ejemplo: 18 4 y 18 + 18 + 18 + 18; 25 (117 - 19) y 25 117 - 19; 25 (117 -119) y 25 117 - - 19 117, etc. Al transformar la expresión en una parte según las propiedades de las acciones, obtenemos expresiones que ya se pueden comparar comparando números, componentes de la misma acción.

Ejemplo. 126 + 487 y 428 + 150. Para comparar, usamos la propiedad conmutativa. Obtenemos: 487 + 126 y 428 y 150. Transformamos la primera expresión: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Ahora necesitas comparar las expresiones 463 + 150 y 428 + 150.

Fórmula

Suma, resta, multiplicación, división: operaciones aritméticas (o operaciones aritmeticas). Estas operaciones aritméticas corresponden a los signos de las operaciones aritméticas:

+ (leer " más") - el signo de la operación de suma,

- (leer " menos") - el signo de la operación de resta,

∙ (leer " multiplicar") - el signo de la operación de multiplicación,

: (leer " dividir") es el signo de la operación de división.

Un registro que consta de números interconectados por signos de operaciones aritméticas se llama expresión numérica. Los paréntesis también pueden estar presentes en una expresión numérica. Por ejemplo, la entrada 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) es una expresión numérica.

El resultado de realizar operaciones con números en una expresión numérica se llama el valor de una expresión numérica. Realizar estas acciones se denomina calcular el valor de una expresión numérica. Antes de escribir el valor de una expresión numérica, ponga signo igual"=". La Tabla 1 muestra ejemplos de expresiones numéricas y sus significados.

Un registro que consta de números y letras minúsculas del alfabeto latino, interconectados por signos de operaciones aritméticas se llama expresión literal. Esta entrada puede contener paréntesis. Por ejemplo, la entrada un +segundo - 3 ∙C es una expresión literal. En lugar de letras en una expresión literal, puede sustituir varios números. En este caso, el significado de las letras puede cambiar, por lo que las letras en la expresión literal también se llaman Variables.

Sustituyendo números en lugar de letras en la expresión literal y calculando el valor de la expresión numérica resultante, encuentran el valor de una expresión literal dados los valores de las letras(para los valores dados de las variables). La Tabla 2 muestra ejemplos de expresiones literales.

Una expresión literal puede no tener valor si sustituyendo los valores de las letras se obtiene una expresión numérica cuyo valor para los números naturales no se encuentra. Tal expresión numérica se llama incorrecto para números naturales. También dicen que el significado de tal expresión " indefinido" para números naturales, y la expresión misma "no tiene sentido". Por ejemplo, la expresión literal a-b no importa para a = 10 yb = 17. En efecto, para los números naturales, el minuendo no puede ser menor que el sustraendo. Por ejemplo, si tienes solo 10 manzanas (a = 10), ¡no puedes regalar 17 de ellas (b = 17)!

La Tabla 2 (columna 2) muestra un ejemplo de una expresión literal. Por analogía, complete la tabla por completo.

Para números naturales, la expresión 10 -17 mal (no tiene sentido), es decir. la diferencia 10 -17 no se puede expresar como un número natural. Otro ejemplo: no puedes dividir por cero, así que para cualquier número natural b, el cociente b:0 indefinido.

leyes matematicas, propiedades, algunas reglas y relaciones a menudo se escriben en forma literal (es decir, en forma de expresión literal). En estos casos, la expresión literal se llama fórmula. Por ejemplo, si los lados de un heptágono son iguales un,b,C,d,mi,F,gramo, entonces la fórmula (expresión literal) para calcular su perímetro pag parece:

pag=un +b+c +d+mi +f +gramo

Para a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, el perímetro del heptágono es p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Para a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, el perímetro de otro heptágono es p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloque 1. Diccionario

Haz un diccionario de nuevos términos y definiciones del párrafo. Para hacer esto, en las celdas vacías, ingrese las palabras de la lista de términos a continuación. En la tabla (al final del bloque), indique los números de términos de acuerdo con los números de los marcos. Se recomienda revisar cuidadosamente el párrafo antes de llenar las celdas del diccionario.

1. Operaciones: suma, resta, multiplicación, división.

2. Signos "+" (más), "-" (menos), "∙" (multiplicar, " : " (dividir).

3. Un registro que consta de números que están interconectados por signos de operaciones aritméticas y en el que también pueden estar presentes corchetes.

4. El resultado de realizar operaciones sobre números en términos numéricos.

5. El signo antes del valor de una expresión numérica.

6. Un registro que consta de números y letras minúsculas del alfabeto latino, interconectados por signos de operaciones aritméticas (también pueden estar presentes corchetes).

7. Nombre común letras en una expresión literal.

8. El valor de una expresión numérica, que se obtiene sustituyendo variables en una expresión literal.

9. Expresión numérica cuyo valor para los números naturales no se encuentra.

10. Expresión numérica cuyo valor para los números naturales se puede encontrar.

11. Leyes matemáticas, propiedades, algunas reglas y razones escritas en forma literal.

12. Un alfabeto cuyas letras minúsculas se utilizan para escribir expresiones literales.

Bloque 2. Partido

Relaciona la tarea de la columna de la izquierda con la solución de la derecha. Anota la respuesta en la forma: 1a, 2d, 3b...

Bloque 3. Prueba de facetas. Expresiones numéricas y alfabéticas

Las pruebas facetadas reemplazan las colecciones de problemas en matemáticas, pero se comparan favorablemente con ellos en el sentido de que pueden resolverse en una computadora, verificar las soluciones y descubrir de inmediato el resultado del trabajo. Esta prueba contiene 70 tareas. Pero puede resolver problemas por elección, para esto hay una tabla de evaluación, que indica tareas simples y mas dificil A continuación se muestra una prueba.

1. Dado un triángulo con lados C,d,metro, expresado en cm
2. Dado un cuadrilátero con lados b,C,d,metro expresado en m
3. La velocidad del auto en km/h es b, el tiempo de viaje en horas es d
4. Distancia recorrida por un turista metro horas, es con kilómetros
5. La distancia recorrida por un turista moviéndose a una velocidad metro km/h es b kilómetros
6. La suma de dos números es mayor que el segundo número en 15
7. La diferencia es menor que la reducida en 7
8. Un transatlántico de pasajeros tiene dos cubiertas con el mismo número de asientos para pasajeros. En cada una de las filas de la cubierta metro asientos, filas en cubierta en norte más que asientos en fila
9. Petya tiene m años Masha tiene n años y Katya tiene k años menos que Petya y Masha juntas
10. m=8, n=10, k=5
11. m=6, n=8, k=15
12. t=121, x=1458

1. El valor de esta expresión
2. La expresión literal del perímetro es
3. Perímetro expresado en centímetros
4. Fórmula de la distancia s recorrida por el automóvil
5. Velocidad formula v, movimientos turisticos
6. Tiempo fórmula t, movimientos turísticos
7. Distancia recorrida en coche en kilómetros
8. Velocidad turística en kilómetros por hora
9. Tiempo de viaje en horas
10. El primer número es...
11. Restado es igual….
12. expresión para la mayoría pasajeros que el transatlántico puede transportar por k vuelos
13. El mayor número de pasajeros que un avión puede transportar en k vuelos
14. Expresión de letras para la edad de Katya.
15. la edad de katia
16. La coordenada del punto B, si la coordenada del punto C es t
17. La coordenada del punto D, si la coordenada del punto C es t
18. La coordenada del punto A, si la coordenada del punto C es t
19. La longitud del segmento BD en la recta numérica
20. La longitud del segmento CA en la recta numérica
21. La longitud del segmento DA en la recta numérica

expresión numérica es cualquier registro de números, signos aritméticos y paréntesis. Una expresión numérica también puede constar de un solo número. Recuerde que las operaciones aritméticas básicas son "suma", "resta", "multiplicación" y "división". Estas acciones corresponden a los signos "+", "-", "∙", ":".

Por supuesto, para que podamos obtener una expresión numérica, la notación de números y signos aritméticos debe ser significativa. Entonces, por ejemplo, tal entrada 5: + ∙ no puede llamarse una expresión numérica, ya que este es un conjunto aleatorio de caracteres que no tiene sentido. Por el contrario, 5 + 8 ∙ 9 ya es una expresión numérica real.

El valor de una expresión numérica.

Digamos de inmediato que si realizamos las acciones indicadas en una expresión numérica, como resultado obtendremos un número. Este número se llama el valor de una expresión numérica.

Tratemos de calcular lo que obtenemos como resultado de realizar las acciones de nuestro ejemplo. De acuerdo con el orden de realizar operaciones aritméticas, primero realizamos la operación de multiplicación. Multiplica 8 por 9. Obtenemos 72. Ahora sumamos 72 y 5. Obtenemos 77.
Entonces, 77 - significado expresión numérica 5 + 8 ∙ 9.

Igualdad numérica.

Puedes escribirlo de esta manera: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aquí primero usamos el signo "=" ("Igual"). Tal notación, en la que dos expresiones numéricas están separadas por el signo "=", se llama igualdad numérica. Además, si los valores de las partes izquierda y derecha de la igualdad son iguales, entonces la igualdad se llama fiel. 5 + 8 ∙ 9 = 77 es la igualdad correcta.
Si escribimos 5 + 8 ∙ 9 = 100, entonces esto ya será falsa igualdad, ya que los valores de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad ya no coinciden.

Cabe señalar que en una expresión numérica, también podemos usar paréntesis. Los paréntesis afectan el orden en que se realizan las acciones. Entonces, por ejemplo, modificamos nuestro ejemplo agregando corchetes: (5 + 8) ∙ 9. Ahora primero debemos sumar 5 y 8. Obtenemos 13. Y luego multiplicamos 13 por 9. Obtenemos 117. Por lo tanto, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – significado expresión numérica (5 + 8) ∙ 9.

Para leer correctamente una expresión, debe determinar qué acción se realiza en último lugar para calcular el valor de una expresión numérica dada. Entonces, si la última acción es una resta, entonces la expresión se llama "diferencia". En consecuencia, si la última acción es la suma - "suma", división - "privado", multiplicación - "producto", exponenciación - "grado".

Por ejemplo, la expresión numérica (1 + 5) (10-3) se lee así: “el producto de la suma de los números 1 y 5 y la diferencia entre los números 10 y 3”.

Ejemplos de expresiones numéricas.

Aquí hay un ejemplo de una expresión numérica más compleja:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

En esta expresión numérica se utilizan números primos, fracciones ordinarias y decimales. También se utilizan los símbolos de suma, resta, multiplicación y división. La barra de fracción también reemplaza el signo de división. Con una aparente complejidad, encontrar el valor de esta expresión numérica es bastante simple. Lo principal es poder realizar operaciones con fracciones, así como hacer cálculos con cuidado y precisión, observando el orden en que se realizan las acciones.

Entre paréntesis tenemos la expresión $\frac(1)(4)+3.75$ . vamos a transformar decimal 3,75 en ordinaria.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Asi que, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Además, en el numerador de la fracción \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] tenemos la expresión 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. Para simplificar esta expresión, aplicamos la ley conmutativa de la suma, que dice: "La suma no cambia por un cambio en los lugares de los términos". Es decir, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

En el denominador de la fracción, la expresión $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Obtenemos $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

¿Cuándo las expresiones numéricas no tienen sentido?

Consideremos un ejemplo más. En el denominador de una fracción $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ el valor de la expresión $3\centerdot 3-9$ es 0. Y, como sabemos, la división por cero es imposible. Por lo tanto, la fracción $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ no tiene valor. Se dice que las expresiones numéricas que no tienen significado "no tienen significado".

Si usamos letras además de números en una expresión numérica, entonces tendremos una expresión algebraica.

Fecha de publicación: 30/08/2014 10:58 UTC

• Geometría, libro de soluciones para el libro de Balayan E.N. "Geometría. Tareas sobre dibujos listos para prepararse para el OGE y el Examen de Estado Unificado: Grados 7-9, Grado 7, Balayan E.N., 2019
• Entrenador de geometría, grado 7, al libro de texto de Atanasyan L.S. etc. “Geometría. Grados 7-9”, Estándar Educativo del Estado Federal, Glazkov Yu.A., Yegupova M.V., 2019