Solución general y particular del sistema. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales? Método de Gauss y sistemas de ecuaciones lineales con un número infinito de soluciones

Decisión. A= . Encuentre r(A). Como matriz A tiene orden 3x4, entonces el mayor orden de menores es 3. Además, todos los menores de tercer orden son iguales a cero (compruébalo tú mismo). Significa, r(A)< 3. Возьмем главный menor basico = -5-4 = -9 ≠ 0. Por lo tanto r(A) =2.

Considerar matriz Con = .

Tercera menor pedido ≠ 0. Por lo tanto, r(C) = 3.

Dado que r(A) ≠ r(C), entonces el sistema es inconsistente.

Ejemplo 2 Determinar la compatibilidad del sistema de ecuaciones.

Resuelva este sistema si es compatible.

Decisión.

A = , C = . Obviamente, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Como detC = 0, entonces r(C)< 4. Considerar menor tercera pedido, ubicado en la esquina superior izquierda de la matriz A y C: = -23 ≠ 0. Por lo tanto, r(A) = r(C) = 3.

Número desconocido en el sistema n=3. Entonces el sistema tiene una solución única. En este caso, la cuarta ecuación es la suma de las tres primeras y puede ignorarse.

Según las fórmulas de Cramer obtenemos x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Método matricial. método de Gauss

sistema norte ecuaciones lineales con norte las incógnitas se pueden resolver método matricial de acuerdo con la fórmula X \u003d A -1 B (para Δ ≠ 0), que se obtiene de (2) multiplicando ambas partes por A -1 .

Ejemplo 1. Resolver un sistema de ecuaciones

por el método matricial (en la Sección 2.2 este sistema se resolvió usando las fórmulas de Cramer)

Decisión. Δ=10 ≠ 0 A = - matriz no singular.

= (compruébelo usted mismo haciendo los cálculos necesarios).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Responder: .

Desde un punto de vista práctico método matricial y fórmulas Kramer están asociados con una gran cantidad de cómputo, por lo que se da preferencia a método de Gauss, que consiste en la eliminación sucesiva de incógnitas. Para ello, el sistema de ecuaciones se reduce a un sistema equivalente con una matriz aumentada triangular (todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero). Estas acciones se denominan movimiento directo. Del sistema triangular resultante, las variables se obtienen mediante sustituciones sucesivas (movimiento inverso).

Ejemplo 2. Resolver el sistema usando el método de Gauss

(Este sistema se resolvió anteriormente utilizando la fórmula de Cramer y el método matricial).

Decisión.

Movimiento directo. Escribimos la matriz aumentada y, usando transformaciones elementales, la llevamos a una forma triangular:

~ ~ ~ ~ .

Conseguir sistema

Movimiento inverso. De la última ecuación encontramos X 3 = -6 y sustituimos este valor en la segunda ecuación:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Responder: .

2.5. Solución general de un sistema de ecuaciones lineales

Sea dado un sistema de ecuaciones lineales = b yo(i=). Sea r(A) = r(C) = r, es decir El sistema es colaborativo. Cualquier menor distinto de cero de orden r es menor básico. Sin pérdida de generalidad, supondremos que el menor básico se encuentra en las primeras r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) filas y columnas de la matriz A. Descartando las últimas m-r ecuaciones del sistema, escribimos una forma abreviada sistema:

que es equivalente al original. Nombremos las incógnitas x 1 ,….x r básico, y x r +1 ,…, x r libre y mueva los términos que contienen las incógnitas libres al lado derecho de las ecuaciones del sistema truncado. Obtenemos el sistema con respecto a las incógnitas básicas:

que para cada conjunto de valores de incógnitas libres x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r tiene la única solución x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), encontrado por la regla de Cramer.

solución apropiada abreviado, y por lo tanto el sistema original tiene la forma:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - solución general del sistema.

Si en la solución general se dan valores numéricos a las incógnitas libres, entonces obtenemos la solución del sistema lineal, llamada privada.

Ejemplo. Establecer compatibilidad y encontrar la solución global del sistema.

Decisión. un = , C = .

Asi que como real academia de bellas artes)= r(C) = 2 (compruébelo usted mismo), entonces el sistema original es compatible y tiene infinitas soluciones (ya que r< 4).

método matricial Soluciones SLAU Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones en los que el número de ecuaciones corresponde al número de incógnitas. El método se utiliza mejor para resolver sistemas de bajo orden. El método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales se basa en la aplicación de las propiedades de la multiplicación de matrices.

De esta manera, en otras palabras método de la matriz inversa, llamado así, ya que la solución se reduce a la ecuación matricial habitual, para cuya solución necesita encontrar la matriz inversa.

método de solución matricial Una SLAE con determinante mayor o menor que cero es la siguiente:

Supongamos que hay un SLE (sistema de ecuaciones lineales) con norte desconocido (sobre un campo arbitrario):

Entonces, es fácil traducirlo a una forma matricial:

AX=B, donde UN es la matriz principal del sistema, B y X- columnas de miembros libres y soluciones del sistema, respectivamente:

Multiplique esta ecuación matricial de la izquierda por A-1- matriz inversa a matriz A: A −1 (AX)=A −1 B.

Porque A−1 A=E, significa, X=A −1B. El lado derecho de la ecuación da una columna de soluciones al sistema inicial. La condición para la aplicabilidad del método matricial es la no degeneración de la matriz. UN. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el determinante de la matriz UN:

detA≠0.

Para sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir. si vector b=0, se cumple la regla opuesta: el sistema AX=0 es una solución no trivial (es decir, no igual a cero) solo cuando detA=0. Esta conexión entre las soluciones de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones lineales se llama alternativa a Fredholm.

Así, la solución de la SLAE por el método matricial se realiza según la fórmula . O bien, la solución SLAE se encuentra usando matriz inversa A-1.

Se sabe que una matriz cuadrada PERO pedido norte sobre el norte hay una matriz inversa A-1 sólo si su determinante es distinto de cero. Así el sistema norte ecuaciones algebraicas lineales con norte las incógnitas se resuelven por el método matricial solo si el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero.

A pesar de que existen restricciones sobre la posibilidad de utilizar este método y existen dificultades de cálculo para valores grandes de los coeficientes y sistemas de alto orden, el método se puede implementar fácilmente en una computadora.

Un ejemplo de resolución de una SLAE no homogénea.

Primero, verifiquemos si el determinante de la matriz de coeficientes para SLAE desconocidos no es igual a cero.

ahora encontramos matriz de alianza, transpóngala y sustitúyala en la fórmula para determinar la matriz inversa.

Sustituimos las variables en la fórmula:

Ahora encontramos las incógnitas multiplicando la matriz inversa y la columna de términos libres.

Asi que, x=2; y=1; z=4.

Al pasar de la forma habitual de SLAE a la forma matricial, tenga cuidado con el orden de las variables desconocidas en las ecuaciones del sistema. por ejemplo:

NO escriba como:

Es necesario, primero, ordenar las variables desconocidas en cada ecuación del sistema y solo después de eso proceder a la notación matricial:

Además, debe tener cuidado con la designación de variables desconocidas, en lugar de x1, x 2 , …, x norte puede haber otras letras. Por ejemplo:

en forma matricial, escribimos:

Usando el método matricial, es mejor resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero. Cuando hay más de 3 ecuaciones en el sistema, se necesitará más esfuerzo computacional para encontrar la matriz inversa, por lo tanto, en este caso, es recomendable utilizar el método de Gauss para resolver.

Sin embargo, dos casos más están muy extendidos en la práctica:

– El sistema es inconsistente (no tiene soluciones);
El sistema es consistente y tiene infinitas soluciones.

Nota : el término "consistencia" implica que el sistema tiene al menos alguna solución. En una serie de tareas, se requiere examinar preliminarmente la compatibilidad del sistema, cómo hacerlo: consulte el artículo sobre rango de matriz.

Para estos sistemas, se utiliza el más universal de todos los métodos de solución: método de Gauss. De hecho, el método de la "escuela" también conducirá a la respuesta, pero en matemáticas superiores se acostumbra utilizar el método gaussiano de eliminación sucesiva de incógnitas. Aquellos que no estén familiarizados con el algoritmo del método de Gauss, estudien primero la lección. metodo de gauss para tontos.

Las transformaciones de la matriz elemental en sí son exactamente las mismas, la diferencia estará al final de la solución. Primero, considere un par de ejemplos donde el sistema no tiene soluciones (inconsistentes).

Ejemplo 1

¿Qué llama inmediatamente su atención en este sistema? El número de ecuaciones es menor que el número de variables. Si el número de ecuaciones es menor que el número de variables, entonces podemos decir inmediatamente que el sistema es inconsistente o tiene infinitas soluciones. Y solo queda averiguarlo.

El comienzo de la solución es bastante común: escribimos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

(1) En el paso superior izquierdo, necesitamos obtener +1 o -1. No hay tales números en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no funcionará. La unidad deberá organizarse de manera independiente, y esto se puede hacer de varias maneras. Hice esto: a la primera línea, agregue la tercera línea, multiplicada por -1.

(2) Ahora tenemos dos ceros en la primera columna. A la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 5.

(3) Una vez realizada la transformación, siempre es recomendable ver si es posible simplificar las cadenas resultantes. Pueden. Dividimos la segunda línea por 2, al mismo tiempo que obtenemos el -1 deseado en el segundo paso. Divide la tercera línea por -3.

(4) Agregue la segunda línea a la tercera línea.

Probablemente, todos prestaron atención a la mala línea, que resultó como resultado de transformaciones elementales: . Está claro que esto no puede ser así. De hecho, reescribimos la matriz resultante Volviendo al sistema de ecuaciones lineales:

Si, como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una cadena de la forma donde es un número distinto de cero, entonces el sistema es inconsistente (no tiene soluciones) .

¿Cómo registrar el final de una tarea? Dibujemos con tiza blanca: "como resultado de transformaciones elementales, se obtiene una línea de la forma, donde" y demos la respuesta: el sistema no tiene soluciones (inconsistente).

Si, de acuerdo con la condición, se requiere EXPLORAR la compatibilidad del sistema, entonces es necesario emitir una solución en un estilo más sólido que involucre el concepto rango de la matriz y el teorema de Kronecker-Capelli.

Tenga en cuenta que aquí no hay movimiento inverso del algoritmo gaussiano: no hay soluciones y simplemente no hay nada que encontrar.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección. Nuevamente, les recuerdo que su ruta de solución puede diferir de mi ruta de solución, el algoritmo Gaussiano no tiene una fuerte "rigidez".

Una característica técnica más de la solución: se pueden detener las transformaciones elementales En seguida, tan pronto como una línea como , donde . Considere un ejemplo condicional: suponga que después de la primera transformación obtenemos una matriz . La matriz aún no se ha reducido a una forma escalonada, pero no hay necesidad de más transformaciones elementales, ya que ha aparecido una línea de la forma, donde . Debe responderse de inmediato que el sistema es incompatible.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, esto es casi un regalo, porque se obtiene una solución corta, a veces literalmente en 2-3 pasos.

Pero todo en este mundo está equilibrado, y el problema en el que el sistema tiene infinitas soluciones es simplemente más largo.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Hay 4 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo que el sistema puede tener una sola solución, no tener soluciones o tener infinitas soluciones. Sea lo que sea, pero el método de Gauss en cualquier caso nos llevará a la respuesta. Ahí radica su versatilidad.

El comienzo es de nuevo estándar. Escribimos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

Eso es todo, y tenías miedo.

(1) Tenga en cuenta que todos los números de la primera columna son divisibles por 2, por lo que un 2 está bien en el peldaño superior izquierdo. A la segunda línea le sumamos la primera línea, multiplicada por -4. A la tercera línea le sumamos la primera línea, multiplicada por -2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea, multiplicada por -1.

¡Atención! Muchos pueden ser tentados de la cuarta línea sustraer primera linea. Esto se puede hacer, pero no es necesario, la experiencia muestra que la probabilidad de un error en los cálculos aumenta varias veces. Simplemente sume: a la cuarta línea, agregue la primera línea, multiplicada por -1 - ¡exactamente!

(2) Las últimas tres líneas son proporcionales, dos de ellas pueden eliminarse.

Aquí nuevamente es necesario mostrar mayor atención, pero ¿las rectas son realmente proporcionales? Para el reaseguro (especialmente para una tetera), no estaría de más multiplicar la segunda fila por -1 y dividir la cuarta fila por 2, lo que da como resultado tres filas idénticas. Y solo después de eso, elimina dos de ellos.

Como resultado de transformaciones elementales, la matriz extendida del sistema se reduce a una forma escalonada:

Al completar una tarea en un cuaderno, es recomendable hacer las mismas notas a lápiz para mayor claridad.

Reescribimos el sistema de ecuaciones correspondiente:

La única solución "habitual" del sistema no huele aquí. No hay mala línea tampoco. Esto significa que este es el tercer caso restante: el sistema tiene infinitas soluciones. A veces, por condición, es necesario investigar la compatibilidad del sistema (es decir, para probar que existe una solución), puede leer sobre esto en el último párrafo del artículo. ¿Cómo encontrar el rango de una matriz? Pero por ahora, analicemos lo básico:

El conjunto infinito de soluciones del sistema se escribe brevemente en la forma de los llamados solución general del sistema .

Encontraremos la solución general del sistema usando el movimiento inverso del método de Gauss.

Primero tenemos que determinar qué variables tenemos. básico, y qué variables gratis. No es necesario preocuparse por los términos del álgebra lineal, es suficiente recordar que existen tales variables base y variables libres.

Las variables básicas siempre "se sientan" estrictamente en los pasos de la matriz.
En este ejemplo, las variables básicas son y

Las variables libres lo son todo restante variables que no dieron un paso. En nuestro caso, hay dos de ellos: – variables libres.

ahora necesitas todos variables base Rápido solo a través variables libres.

El movimiento inverso del algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de abajo hacia arriba.
A partir de la segunda ecuación del sistema, expresamos la variable básica:

Ahora mira la primera ecuación: . Primero, sustituimos la expresión encontrada en ella:

Queda por expresar la variable básica en términos de variables libres:

El resultado es lo que necesitas - todos las variables base ( y ) se expresan solo a través variables libres:

En realidad, la solución general está lista:

¿Cómo escribir la solución general?
Las variables libres se escriben en la solución general "por su cuenta" y estrictamente en sus lugares. En este caso, las variables libres deben escribirse en la segunda y cuarta posición:
.

Las expresiones resultantes para las variables básicas y obviamente necesita ser escrito en la primera y tercera posición:

Dando variables libres valores arbitrarios, hay infinitas decisiones privadas. Los valores más populares son los ceros, ya que la solución particular es la más fácil de obtener. Sustituir en la solución general:

es una decisión privada.

Unos son otra dulce pareja, sustituyamos en la solución general:

es otra solución particular.

Es fácil ver que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones(ya que podemos dar variables libres ninguna valores)

Cada una solución particular debe satisfacer a cada ecuación del sistema. Esta es la base para una verificación "rápida" de la exactitud de la solución. Tome, por ejemplo, una solución particular y sustitúyala en el lado izquierdo de cada ecuación en el sistema original:

Todo tiene que venir junto. Y con cualquier solución particular que obtenga, todo también debería converger.

Pero, estrictamente hablando, la verificación de una solución particular a veces engaña; alguna solución particular puede satisfacer cada ecuación del sistema, y ​​la solución general en sí misma se encuentra incorrectamente.

Por lo tanto, la verificación de la solución general es más completa y confiable. Cómo verificar la solución general resultante ?

Es fácil, pero bastante tedioso. Tenemos que tomar expresiones básico variable, en este caso y , y sustituirlos en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema.

Al lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

Al lado izquierdo de la segunda ecuación del sistema:


Se obtiene el lado derecho de la ecuación original.

Ejemplo 4

Resuelve el sistema usando el método de Gauss. Encuentre una solución general y dos privadas. Compruebe la solución general.

Este es un ejemplo de bricolaje. Aquí, por cierto, de nuevo el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, lo que significa que queda inmediatamente claro que el sistema será inconsistente o tendrá un número infinito de soluciones. ¿Qué es importante en el proceso de decisión en sí? Atención, y de nuevo atención.. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Y un par de ejemplos más para reforzar el material.

Ejemplo 5

Resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene infinitas soluciones, encuentre dos soluciones particulares y verifique la solución general

Decisión: Escribamos la matriz aumentada del sistema y con la ayuda de transformaciones elementales la llevamos a la forma escalonada:

(1) Agregue la primera línea a la segunda línea. A la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por 2. A la cuarta línea le sumamos la primera línea multiplicada por 3.
(2) A la tercera línea, agregue la segunda línea, multiplicada por -5. A la cuarta línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por -7.
(3) Las líneas tercera y cuarta son iguales, eliminamos una de ellas.

Aquí hay tal belleza:

Las variables base se sientan en pasos, por lo que son variables base.
Solo hay una variable libre, que no obtuvo un paso:

movimiento inverso:
Expresamos las variables básicas en términos de la variable libre:
De la tercera ecuación:

Considere la segunda ecuación y sustituya la expresión encontrada en ella:

Considere la primera ecuación y sustituya las expresiones encontradas y en ella:

Sí, una calculadora que cuenta fracciones ordinarias sigue siendo conveniente.

Entonces la solución general es:

Una vez más, ¿cómo sucedió? La variable libre se sienta sola en el cuarto lugar que le corresponde. Las expresiones resultantes para las variables básicas también ocuparon sus lugares ordinales.

Comprobemos inmediatamente la solución general. Trabajo para negros, pero ya lo he hecho, así que pilla =)

Sustituimos tres héroes , , en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución general se encuentra correctamente.

Ahora a partir de la solución general encontrada obtenemos dos soluciones particulares. El chef aquí es la única variable libre. No hace falta que te rompas la cabeza.

Deja entonces es una decisión privada.
Deja entonces es otra solución particular.

Responder: Decisión común: , soluciones particulares: , .

No debería haberme acordado de los negros aquí ... ... porque me vinieron a la cabeza todo tipo de motivos sádicos y recordé la conocida fotozhaba, en la que los miembros del Ku Klux Klan con un mono blanco corren por el campo después de una pelota de fútbol negra. jugador. Me siento y sonrío en silencio. Ya sabes lo que distrae...

Muchas matemáticas son dañinas, así que un ejemplo final similar para una solución independiente.

Ejemplo 6

Encuentra la solución general del sistema de ecuaciones lineales.

Ya he comprobado la solución general, se puede confiar en la respuesta. Su solución puede diferir de mi solución, lo principal es que las soluciones generales coincidan.

Probablemente, muchos hayan notado un momento desagradable en las soluciones: muy a menudo, durante el curso inverso del método de Gauss, tuvimos que jugar con fracciones ordinarias. En la práctica, esto es cierto, los casos en los que no hay fracciones son mucho menos comunes. Esté preparado mentalmente, y lo más importante, técnicamente.

Me detendré en algunas características de la solución que no se encontraron en los ejemplos resueltos.

La solución general del sistema a veces puede incluir una constante (o constantes), por ejemplo: . Aquí una de las variables básicas es igual a un número constante: . No hay nada exótico en esto, sucede. Obviamente, en este caso, cualquier solución particular contendrá un cinco en la primera posición.

Rara vez, pero hay sistemas en los que el número de ecuaciones es mayor que el número de variables. El método de Gauss funciona en las condiciones más severas; se debe llevar tranquilamente la matriz extendida del sistema a una forma escalonada de acuerdo con el algoritmo estándar. Tal sistema puede ser inconsistente, puede tener infinitas soluciones y, curiosamente, puede tener una solución única.

El método gaussiano tiene una serie de desventajas: es imposible saber si el sistema es consistente o no hasta que se hayan realizado todas las transformaciones necesarias en el método gaussiano; el método gaussiano no es adecuado para sistemas con coeficientes de letras.

Considere otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estos métodos utilizan el concepto de rango de una matriz y reducen la solución de cualquier sistema conjunto a la solución de un sistema al que se aplica la regla de Cramer.

Ejemplo 1 Encuentre la solución general del siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo reducido y una solución particular del sistema no homogéneo.

1. Hacemos una matriz UN y la matriz aumentada del sistema (1)

2. Explora el sistema (1) por compatibilidad. Para ello, encontramos los rangos de las matrices UN y https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Si resulta que, entonces el sistema (1) incompatible. si conseguimos eso , entonces este sistema es consistente y lo resolveremos. (El estudio de consistencia se basa en el teorema de Kronecker-Capelli).

una. Encontramos real academia de bellas artes.

Encontrar real academia de bellas artes, consideraremos sucesivamente menores distintos de cero del primer, segundo, etc. orden de la matriz UN y los menores que los rodean.

M1=1≠0 (1 se toma de la esquina superior izquierda de la matriz PERO).

Limítrofe M1 la segunda fila y la segunda columna de esta matriz. . Seguimos bordeando M1 la segunda línea y la tercera columna...gif" width="37" height="20 src=">. Ahora bordeamos el menor distinto de cero М2′ segundo orden.

Tenemos: (porque las dos primeras columnas son iguales)

(porque la segunda y la tercera línea son proporcionales).

Vemos eso rA=2, y es la base menor de la matriz UN.

b. Encontramos .

Menor suficientemente básico М2′ matrices UN borde con una columna de miembros libres y todas las líneas (solo tenemos la última línea).

. De esto se sigue que М3'' sigue siendo la base menor de la matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Como М2′- base menor de la matriz UN sistemas (2) , entonces este sistema es equivalente al sistema (3) , que consta de las dos primeras ecuaciones del sistema (2) (por М2′ está en las dos primeras filas de la matriz A).

(3)

Dado que el menor básico es https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

En este sistema, dos incógnitas libres ( x2 y x4 ). Asi que FSR sistemas (4) consta de dos soluciones. Para encontrarlos, asignamos incógnitas libres a (4) valores primero x2=1 , x4=0 , y luego - x2=0 , x4=1 .

En x2=1 , x4=0 obtenemos:

.

Este sistema ya tiene la única cosa solución (se puede encontrar por la regla de Cramer o por cualquier otro método). Restando la primera ecuación de la segunda ecuación, obtenemos:

Su decisión será x1= -1 , x3=0 . dados los valores x2 y x4 , que hemos dado, obtenemos la primera solución fundamental del sistema (2) : .

Ahora ponemos (4) x2=0 , x4=1 . Obtenemos:

.

Resolvemos este sistema usando el teorema de Cramer:

.

Obtenemos la segunda solución fundamental del sistema. (2) : .

Soluciones β1 , β2 y maquillar FSR sistemas (2) . Entonces su solución general será

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aquí C1 , C2 son constantes arbitrarias.

4. Encuentra uno privado decisión sistema heterogéneo(1) . Como en el párrafo 3 , en lugar del sistema (1) considerar el sistema equivalente (5) , que consta de las dos primeras ecuaciones del sistema (1) .

(5)

Transferimos las incógnitas libres a los lados de la derecha. x2 y x4.

(6)

Vamos a dar incógnitas gratis x2 y x4 valores arbitrarios, por ejemplo, x2=2 , x4=1 y conéctelos a (6) . Consigamos el sistema

Este sistema tiene solución única (porque su determinante М2′0). Resolviéndolo (usando el teorema de Cramer o el método de Gauss), obtenemos x1=3 , x3=3 . Dados los valores de las incógnitas libres x2 y x4 , obtenemos solución particular de un sistema no homogéneo(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ahora queda escribir solución general α de un sistema no homogéneo(1) : es igual a la suma decisión privada este sistema y solución general de su sistema homogéneo reducido (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Significa: (7)

6. Examen. Para comprobar si has resuelto correctamente el sistema (1) , necesitamos una solución general (7) sustituir en (1) . Si cada ecuación se convierte en una identidad ( C1 y C2 debe ser destruido), entonces la solución se encuentra correctamente.

vamos a sustituir (7) por ejemplo, solo en la última ecuación del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Obtenemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Donde -1=-1. Tenemos una identidad. Hacemos esto con todas las demás ecuaciones del sistema. (1) .

Comentario. La verificación suele ser bastante engorrosa. Podemos recomendar la siguiente "verificación parcial": en la solución global del sistema (1) asigne algunos valores a constantes arbitrarias y sustituya la solución particular resultante solo en las ecuaciones descartadas (es decir, en aquellas ecuaciones de (1) que no están incluidos en (5) ). Si obtienes identidades, entonces más como, solución del sistema (1) encontrado correctamente (¡pero tal verificación no ofrece una garantía completa de corrección!). Por ejemplo, si en (7) poner C2=- 1 , C1=1, entonces obtenemos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sustituyendo en la última ecuación del sistema (1), tenemos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , es decir, –1=–1. Tenemos una identidad.

Ejemplo 2 Encontrar una solución general a un sistema de ecuaciones lineales (1) , expresando las principales incógnitas en términos de libres.

Decisión. Como en Ejemplo 1, componer matrices UN y https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> de estas matrices. Ahora dejamos solo aquellas ecuaciones del sistema (1) , cuyos coeficientes están incluidos en este menor básico (es decir, tenemos las dos primeras ecuaciones) y consideramos el sistema formado por ellas, que es equivalente al sistema (1).

Transfiramos las incógnitas libres al lado derecho de estas ecuaciones.

sistema (9) resolvemos por el método de Gauss, considerando las partes derechas como miembros libres.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" ancho="202 altura=106" altura="106">

Opcion 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" ancho="192" altura="106 src=">

Opción 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" ancho="172" alto="80">

Opción 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" ancho="179 altura=106" altura="106">

Opción 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" ancho="195" alto="106">

Un sistema de ecuaciones lineales es una unión de n ecuaciones lineales, cada una de las cuales contiene k variables. Está escrito así:

Muchos, cuando se enfrentan por primera vez al álgebra superior, creen erróneamente que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de variables. En el álgebra escolar, este suele ser el caso, pero para el álgebra superior, en términos generales, no es cierto.

La solución de un sistema de ecuaciones es una secuencia de números (k 1 , k 2 , ..., k n ), que es la solución de cada ecuación del sistema, es decir al sustituir en esta ecuación en lugar de las variables x 1 , x 2 , ..., x n da la igualdad numérica correcta.

En consecuencia, resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que este conjunto está vacío. Dado que el número de ecuaciones y el número de incógnitas pueden no ser los mismos, son posibles tres casos:

1. El sistema es inconsistente, es decir, el conjunto de todas las soluciones está vacío. Un caso bastante raro que se detecta fácilmente independientemente del método para resolver el sistema.
2. El sistema es consistente y definido, es decir, tiene exactamente una solución. La versión clásica, muy conocida desde la escuela.
3. El sistema es consistente e indefinido, es decir tiene infinitas soluciones. Esta es la opción más difícil. No es suficiente afirmar que "el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones", es necesario describir cómo se organiza este conjunto.

La variable x i se dice permitida si está incluida en una sola ecuación del sistema, y ​​con un coeficiente de 1. Es decir, en las demás ecuaciones, el coeficiente de la variable x i debe ser igual a cero.

Si seleccionamos una variable permitida en cada ecuación, obtenemos un conjunto de variables permitidas para todo el sistema de ecuaciones. El sistema en sí, escrito de esta forma, también se llamará permitido. En términos generales, un mismo sistema inicial puede reducirse a diferentes sistemas permitidos, pero esto no nos preocupa ahora. Estos son ejemplos de sistemas permitidos:

Ambos sistemas están permitidos con respecto a las variables x 1 , x 3 y x 4 . Sin embargo, con el mismo éxito se puede argumentar que el segundo sistema está permitido con respecto a x 1 , x 3 y x 5 . Basta con reescribir la última ecuación en la forma x 5 = x 4 .

Consideremos ahora un caso más general. Supongamos que tenemos k variables en total, de las cuales r están permitidas. Entonces son posibles dos casos:

1. El número de variables permitidas r es igual al número total de variables k : r = k . Obtenemos un sistema de k ecuaciones en el que r = k variables permitidas. Tal sistema es colaborativo y definido, porque x 1 \u003d segundo 1, x 2 \u003d segundo 2, ..., x k \u003d segundo k;
2. El número de variables permitidas r es menor que el número total de variables k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Entonces, en los sistemas anteriores, las variables x 2 , x 5 , x 6 (para el primer sistema) y x 2 , x 5 (para el segundo) son libres. El caso cuando hay variables libres se formula mejor como un teorema:

Tenga en cuenta: ¡este es un punto muy importante! Dependiendo de cómo escriba el sistema resultante, la misma variable puede ser tanto permitida como libre. La mayoría de los tutores de matemáticas avanzados recomiendan escribir las variables en orden lexicográfico, es decir, índice ascendente. Sin embargo, no tienes que seguir este consejo en absoluto.

Teorema. Si en un sistema de n ecuaciones se permiten las variables x 1 , x 2 , ..., x r y x r + 1 , x r + 2 , ..., x k son libres, entonces:

1. Si establecemos los valores de las variables libres (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), y luego encontramos los valores x 1 , x 2 , . .., x r , obtenemos una de las soluciones.
2. Si los valores de las variables libres en dos soluciones son los mismos, entonces los valores de las variables permitidas también son los mismos, es decir las soluciones son iguales.

¿Cuál es el significado de este teorema? Para obtener todas las soluciones del sistema de ecuaciones permitido, basta con seleccionar las variables libres. Luego, al asignar diferentes valores a las variables libres, obtendremos soluciones listas para usar. Eso es todo: de esta manera puede obtener todas las soluciones del sistema. No hay otras soluciones.

Conclusión: el sistema de ecuaciones permitido es siempre compatible. Si el número de ecuaciones en el sistema permitido es igual al número de variables, el sistema será definido; si es menor, será indefinido.

Y todo estaría bien, pero surge la pregunta: ¿cómo obtener el resuelto del sistema de ecuaciones original? Para esto hay