Resuelva por el método de Cramer en línea con una solución detallada. Ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. método de Cramer. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

01.11.2019

Para dominar este párrafo, debe poder abrir los calificadores "dos por dos" y "tres por tres". Si los calificadores son malos, por favor estudie la lección. ¿Cómo calcular el determinante?

Primero consideramos la regla de Cramer en detalle para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? “Después de todo, el sistema más simple puede resolverse con el método de la escuela, ¡mediante la suma término por término!

El hecho es que aunque a veces, pero existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más simple lo ayudará a comprender cómo usar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, que es recomendable resolver exactamente ¡según la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones

En el primer paso, calculamos el determinante , se llama el principal determinante del sistema.

método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular dos determinantes más:
y

En la práctica, los calificadores anteriores también se pueden denotar con la letra latina.

Las raíces de la ecuación se encuentran mediante las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay fracciones decimales con coma. La coma es un invitado bastante raro en tareas prácticas en matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.

¿Cómo resolver tal sistema? Puedes tratar de expresar una variable en términos de otra, pero en este caso, seguramente obtendrás fracciones terriblemente sofisticadas con las que es extremadamente inconveniente trabajar, y el diseño de la solución se verá horrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí aparecerán las mismas fracciones.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer vienen al rescate.

;

Responder: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

No se necesitan comentarios aquí, ya que la tarea se resuelve de acuerdo con fórmulas preparadas, sin embargo, hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio El fragmento de la asignación es el siguiente fragmento: "entonces el sistema tiene una solución única". De lo contrario, el revisor puede castigarlo por no respetar el teorema de Cramer.

No estará de más verificar, lo cual es conveniente realizar en una calculadora: sustituimos los valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, se deben obtener números que están en el lado derecho.

Ejemplo 8

Exprese su respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un cheque.

Este es un ejemplo de una solución independiente (ejemplo de diseño fino y respuesta al final de la lección).

Pasamos a la consideración de la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, debe usar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos", la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal.

Ejemplo 9

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, por lo que el sistema tiene solución única.

Responder: .

En realidad, no hay nada especial que comentar aquí nuevamente, en vista del hecho de que la decisión se toma de acuerdo con fórmulas prefabricadas. Pero hay un par de notas.

Sucede que como resultado de los cálculos, se obtienen fracciones irreducibles "malas", por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no hay una computadora a la mano, hacemos esto:

1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre un tiro "malo", debe verificar inmediatamente si es la condición reescrita correctamente. Si la condición se vuelve a escribir sin errores, entonces debe volver a calcular los determinantes usando la expansión en otra fila (columna).

2) Si no se encontraron errores como resultado de la verificación, lo más probable es que se haya cometido un error tipográfico en la condición de la asignación. En este caso, resuelva la tarea con calma y CUIDADOSAMENTE hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y redactarlo en copia limpia después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien, bueno, realmente le gusta poner un menos por cualquier cosa mala. La forma de tratar con fracciones se detalla en la respuesta del Ejemplo 8.

Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificarla, que se puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, es más ventajoso usar el programa de inmediato (incluso antes de comenzar la solución), ¡verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error! La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema utilizando el método matricial.

Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo:

Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante escribir correctamente y CUIDADOSAMENTE el determinante principal:
– se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros en la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay un número notablemente menor de cálculos.

Ejemplo 10

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de auto-resolución (ejemplo final y respuesta al final de la lección).

Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puede ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reduciendo el orden del determinante - cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.

Solución del sistema usando la matriz inversa

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Para estudiar esta sección, debe poder expandir los determinantes, encontrar la matriz inversa y realizar la multiplicación de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avance la explicación.

Ejemplo 11

Resolver el sistema con el método matricial

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:
, dónde

Por favor mire el sistema de ecuaciones y las matrices. Por qué principio escribimos elementos en matrices, creo que todos lo entienden. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, habría que poner ceros en los lugares correspondientes de la matriz.

Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
, donde es la matriz traspuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz .

Primero, tratemos con el determinante:

Aquí el determinante se expande por la primera línea.

¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema por el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante la eliminación de incógnitas (método de Gauss).

Ahora necesitas calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores

Referencia: Es útil saber el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de línea en el que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna, mientras que, por ejemplo, el elemento está en la 3ra fila, 2da columna

En el curso de la resolución, es mejor describir en detalle el cálculo de los menores, aunque, con cierta experiencia, se pueden ajustar para contar con errores oralmente.

En la primera parte, consideramos material teórico, el método de sustitución, así como el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. A todos los que llegaron al sitio a través de esta página, les recomiendo que lean la primera parte. Tal vez, algunos visitantes encontrarán el material demasiado simple, pero en el curso de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes con respecto a la solución de problemas matemáticos en general.

Y ahora analizaremos la regla de Cramer, así como la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de manera simple, detallada y clara, casi todos los lectores podrán aprender cómo resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, que es recomendable resolver exactamente ¡según la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones

En el primer paso, calculamos el determinante , se llama el principal determinante del sistema.

método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular dos determinantes más:
y

En la práctica, los calificadores anteriores también se pueden denotar con la letra latina.

Las raíces de la ecuación se encuentran mediante las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer vienen al rescate.

;

Responder: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

Ejemplo 8

Exprese su respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un cheque.

Este es un ejemplo de una solución independiente (ejemplo de diseño fino y respuesta al final de la lección).

Pasamos a la consideración de la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, debe usar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Ejemplo 9

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, por lo que el sistema tiene solución única.

Responder: .

En realidad, no hay nada especial que comentar aquí nuevamente, en vista del hecho de que la decisión se toma de acuerdo con fórmulas prefabricadas. Pero hay un par de notas.

Ejemplo 10

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de auto-resolución (ejemplo final y respuesta al final de la lección).

Solución del sistema usando la matriz inversa

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Ejemplo 11

Resolver el sistema con el método matricial

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:
, dónde

Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
, donde es la matriz traspuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz .

Primero, tratemos con el determinante:

Aquí el determinante se expande por la primera línea.

Ahora necesitas calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores

Gabriel Kramer - Matemático suizo, alumno y amigo de Johann Bernoulli, uno de los fundadores del álgebra lineal. Cramer consideró un sistema de un número arbitrario de ecuaciones lineales con una matriz cuadrada. Presentó la solución del sistema en forma de una columna de fracciones con un denominador común: el determinante de la matriz. El método de Cramer se basa en el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales, lo que puede acelerar significativamente el proceso de solución. Este método se puede aplicar para resolver un sistema de tantas ecuaciones lineales como incógnitas haya en cada ecuación. Lo principal es que el determinante del sistema no es igual a "0", entonces se puede usar el método de Cramer en la solución, si "0" no se puede usar este método. Además, este método se puede aplicar para resolver sistemas de ecuaciones lineales con solución única.

El teorema de Cramer. Si el determinante del sistema es distinto de cero, entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene una sola solución y la incógnita es igual a la razón de los determinantes. El denominador contiene el determinante del sistema, y el numerador contiene el determinante obtenido del determinante del sistema reemplazando los coeficientes con la incógnita por términos libres. Este teorema se cumple para un sistema de ecuaciones lineales de cualquier orden.

Supongamos que nos dan un SLAE como este:

\[\left\(\begin(matriz) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matriz)\right.\]

De acuerdo con el teorema de Cramer, obtenemos:

Responder: \

¿Dónde puedo resolver la ecuación por el método de Cramer con un solucionador en línea?

Puede resolver la ecuación en nuestro sitio web https: // sitio. El solucionador en línea gratuito le permitirá resolver una ecuación en línea de cualquier complejidad en segundos. Todo lo que tiene que hacer es ingresar sus datos en el solucionador. También puede ver las instrucciones en video y aprender a resolver la ecuación en nuestro sitio web. Y si tiene alguna pregunta, puede hacerla en nuestro grupo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Únase a nuestro grupo, siempre estamos felices de ayudarlo.

Deje que el sistema de ecuaciones lineales contenga tantas ecuaciones como el número de variables independientes, es decir tiene la forma

Estos sistemas de ecuaciones lineales se denominan cuadráticos. El determinante compuesto por los coeficientes de las variables independientes del sistema (1.5) se denomina determinante principal del sistema. Lo denotaremos con la letra griega D. Así,

. (1.6)

Si en el determinante principal un arbitrario ( j th) columna, reemplácela con la columna de miembros libres del sistema (1.5), luego podemos obtener más norte determinantes auxiliares:

(j = 1, 2, …, norte). (1.7)

regla de Cramer resolver sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales es el siguiente. Si el determinante principal D del sistema (1.5) es distinto de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar mediante las fórmulas:

(1.8)

Ejemplo 1.5. Resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer

Calculemos el determinante principal del sistema:

Dado que D¹0, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar usando las fórmulas (1.8):

De este modo,

Acciones de matriz

1. Multiplicación de una matriz por un número. La operación de multiplicar una matriz por un número se define como sigue.

2. Para multiplicar una matriz por un número, necesitas multiplicar todos sus elementos por este número. Eso es

. (1.9)

Ejemplo 1.6. .

Adición de matrices.

Esta operación se introduce sólo para matrices del mismo orden.

Para sumar dos matrices, es necesario sumar los elementos correspondientes de la otra matriz a los elementos de una matriz:

(1.10)
La operación de suma de matrices tiene las propiedades de asociatividad y conmutatividad.

Ejemplo 1.7. .

Multiplicación de matrices.

Si el número de columnas de la matriz PERO coincide con el número de filas de la matriz A, entonces para tales matrices se introduce la operación de multiplicación:

Así, al multiplicar la matriz PERO dimensiones metro´ norte a la matriz A dimensiones norte´ k obtenemos una matriz DE dimensiones metro´ k. En este caso, los elementos de la matriz DE se calculan de acuerdo con las siguientes fórmulas:

Problema 1.8. Encuentre, si es posible, el producto de matrices AB y licenciado en Letras:

Solución. 1) Para encontrar un trabajo AB, necesitas filas de matriz A multiplicar por columnas de matriz B:

2) Obra de arte licenciado en Letras no existe, porque el número de columnas de la matriz B no coincide con el número de filas de la matriz A.

matriz inversa. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma matricial

Matriz A- 1 se llama el inverso de una matriz cuadrada PERO si se cumple la igualdad:

por donde yo denota la matriz identidad del mismo orden que la matriz PERO:

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa se encuentra mediante la fórmula:

, (1.13)

dónde Un ij- adiciones algebraicas a los elementos aij matrices PERO(nótese que las adiciones algebraicas a las filas de la matriz PERO están dispuestos en la matriz inversa en forma de columnas correspondientes).

Ejemplo 1.9. Encuentra la matriz inversa A- 1 a matriz

Encontramos la matriz inversa por la fórmula (1.13), que para el caso norte= 3 parece:

Vamos a encontrar det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dado que el determinante de la matriz original es diferente de cero, entonces existe la matriz inversa.

1) Encuentra sumas algebraicas Un ij:

Por conveniencia de encontrar la matriz inversa, colocamos las sumas algebraicas a las filas de la matriz original en las columnas correspondientes.

A partir de las sumas algebraicas obtenidas, componemos una nueva matriz y la dividimos por el determinante det A. Así, obtendremos la matriz inversa:

Los sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales con un determinante principal distinto de cero se pueden resolver utilizando una matriz inversa. Para ello, el sistema (1.5) se escribe en forma matricial:

dónde

Multiplicando ambos lados de la igualdad (1.14) a la izquierda por A- 1, obtenemos la solución del sistema:

, dónde

Por lo tanto, para encontrar una solución a un sistema cuadrado, debe encontrar la matriz inversa a la matriz principal del sistema y multiplicarla a la derecha por la matriz columna de términos libres.

Problema 1.10. Resolver un sistema de ecuaciones lineales

utilizando una matriz inversa.

Solución. Escribimos el sistema en forma matricial: ,

dónde es la matriz principal del sistema, es la columna de incógnitas y es la columna de términos libres. Dado que el principal determinante del sistema , entonces la matriz principal del sistema PERO tiene una matriz inversa PERO-una . Para encontrar la matriz inversa PERO-1 , calcula los complementos algebraicos de todos los elementos de la matriz PERO:

A partir de los números obtenidos, componemos una matriz (además, sumas algebraicas a las filas de la matriz PERO escribir en las columnas correspondientes) y dividirlo por el determinante D. Así, hemos encontrado la matriz inversa:

Encontramos la solución del sistema por la fórmula (1.15):

De este modo,

Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales por Excepciones de Jordan Ordinarias

Sea dado un sistema arbitrario (no necesariamente cuadrado) de ecuaciones lineales:

(1.16)

Se requiere encontrar una solución al sistema, es decir, tal conjunto de variables que satisface todas las igualdades del sistema (1.16). En el caso general, el sistema (1.16) puede tener no solo una solución, sino también un número infinito de soluciones. También puede no tener soluciones en absoluto.

Al resolver tales problemas, se utiliza el conocido método de eliminación de incógnitas del curso escolar, que también se denomina método de eliminaciones jordanas ordinarias. La esencia de este método radica en el hecho de que en una de las ecuaciones del sistema (1.16) una de las variables se expresa en términos de otras variables. Luego esta variable se sustituye en otras ecuaciones del sistema. El resultado es un sistema que contiene una ecuación y una variable menos que el sistema original. Se recuerda la ecuación a partir de la cual se expresó la variable.

Este proceso se repite hasta que queda una última ecuación en el sistema. En el proceso de eliminación de incógnitas, algunas ecuaciones pueden convertirse en verdaderas identidades, por ejemplo. Tales ecuaciones están excluidas del sistema, ya que son válidas para cualquier valor de las variables y, por lo tanto, no afectan la solución del sistema. Si, en el proceso de eliminación de incógnitas, al menos una ecuación se convierte en una igualdad que no se puede satisfacer para ningún valor de las variables (por ejemplo, ), entonces concluimos que el sistema no tiene solución.

Si en el curso de la resolución de ecuaciones inconsistentes no surgieron, entonces una de las variables restantes se encuentra a partir de la última ecuación. Si solo queda una variable en la última ecuación, entonces se expresa como un número. Si quedan otras variables en la última ecuación, entonces se consideran parámetros, y la variable expresada a través de ellos será una función de estos parámetros. Luego se realiza el llamado "movimiento inverso". La variable encontrada se sustituye en la última ecuación memorizada y se encuentra la segunda variable. Luego las dos variables encontradas se sustituyen en la penúltima ecuación memorizada y se encuentra la tercera variable, y así sucesivamente, hasta la primera ecuación memorizada.

Como resultado, obtenemos la solución del sistema. Esta solución será la única si las variables encontradas son números. Si la primera variable encontrada, y luego todas las demás dependen de los parámetros, entonces el sistema tendrá un número infinito de soluciones (cada conjunto de parámetros corresponde a una nueva solución). Las fórmulas que permiten encontrar una solución al sistema en función de un conjunto particular de parámetros se denominan solución general del sistema.

Ejemplo 1.11.

Después de memorizar la primera ecuación y trayendo términos similares en la segunda y tercera ecuaciones, llegamos al sistema:

Expresar y de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación:

Recuerda la segunda ecuación, y de la primera encontramos z:

Haciendo el movimiento inverso, encontramos sucesivamente y y z. Para hacer esto, primero sustituimos en la última ecuación memorizada, de la cual encontramos y:

Luego sustituimos y en la primera ecuación memorizada de donde nos encontramos X:

Problema 1.12. Resolver un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.17)

Solución. Expresemos la variable de la primera ecuación X y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

Recuerda la primera ecuación.

En este sistema, la primera y la segunda ecuación se contradicen. En efecto, expresar y , obtenemos que 14 = 17. Esta igualdad no se cumple, para cualquier valor de las variables X, y, y z. En consecuencia, el sistema (1.17) es inconsistente, es decir, no tiene solucion

Se invita a los lectores a verificar de forma independiente que el determinante principal del sistema original (1.17) es igual a cero.

Considere un sistema que difiere del sistema (1.17) por solo un término libre.

Problema 1.13. Resolver un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.18)

Solución. Como antes, expresamos la variable de la primera ecuación X y lo sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones:

Recuerda la primera ecuación. y presentamos términos similares en la segunda y tercera ecuaciones. Llegamos al sistema:

expresando y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación , obtenemos la identidad 14 = 14, que no afecta la solución del sistema y, por lo tanto, se puede excluir del sistema.

En la última igualdad memorizada, la variable z será considerado como un parámetro. Creemos . Después

Sustituto y y z en la primera igualdad memorizada y encontrar X:

Por lo tanto, el sistema (1.18) tiene un conjunto infinito de soluciones, y cualquier solución se puede encontrar mediante las fórmulas (1.19) eligiendo un valor arbitrario del parámetro t:

(1.19)
Así, las soluciones del sistema, por ejemplo, son los siguientes conjuntos de variables (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Las fórmulas (1.19) expresan la solución general (cualquiera) del sistema (1.18 ).

En el caso de que el sistema original (1.16) tenga un número suficientemente grande de ecuaciones e incógnitas, el método indicado de eliminaciones ordinarias de Jordan parece engorroso. Sin embargo, no lo es. Basta con derivar un algoritmo para volver a calcular los coeficientes del sistema en un paso en forma general y formalizar la solución del problema en forma de tablas de Jordan especiales.

Sea dado un sistema de formas lineales (ecuaciones):

, (1.20)
dónde x j- variables independientes (deseadas), aij- coeficientes constantes
(yo = 1, 2,…, metro; j = 1, 2,…, norte). Partes correctas del sistema y yo (yo = 1, 2,…, metro) pueden ser tanto variables (dependientes) como constantes. Se requiere encontrar soluciones a este sistema eliminando incógnitas.

Consideremos la siguiente operación, en lo sucesivo denominada "un paso de las excepciones ordinarias de Jordan". De un arbitrario ( r th) igualdad, expresamos una variable arbitraria ( x s) y sustituir en todas las demás igualdades. Por supuesto, esto sólo es posible si una rs¹ 0. Coeficiente una rs se denomina elemento de resolución (a veces guía o principal).

Obtendremos el siguiente sistema:

. (1.21)

De s a igualdad del sistema (1.21), encontraremos posteriormente la variable x s(después de encontrar otras variables). S La línea th es recordada y posteriormente excluida del sistema. El sistema restante contendrá una ecuación y una variable independiente menos que el sistema original.

Calculemos los coeficientes del sistema resultante (1.21) en términos de los coeficientes del sistema original (1.20). Empecemos con rª ecuación, que, después de expresar la variable x s a través del resto de las variables se verá así:

Así, los nuevos coeficientes rª ecuación se calculan mediante las siguientes fórmulas:

(1.23)
Calculemos ahora los nuevos coeficientes b ij(i¹ r) de una ecuación arbitraria. Para ello, sustituimos la variable expresada en (1.22) x s en iª ecuación del sistema (1.20):

Después de traer términos semejantes, obtenemos:

(1.24)
De la igualdad (1.24) obtenemos fórmulas mediante las cuales se calculan los restantes coeficientes del sistema (1.21) (a excepción de rª ecuación):

(1.25)
La transformación de sistemas de ecuaciones lineales por el método de eliminaciones jordanas ordinarias se presenta en forma de tablas (matrices). Estas tablas se denominan "tablas Jordan".

Así, el problema (1.20) está asociado con la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	x s	…	x norte
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1norte
…………………………………………………………………..
y yo=	un yo 1	un yo 2		aij		un es		una entrada
…………………………………………………………………..
año=	una r 1	una r 2		un rj		una rs		un rn
………………………………………………………………….
S n=	soy 1	soy 2		un mj		una sra.		amén

La tabla de Jordan 1.1 contiene la columna de cabecera izquierda, en la que se escriben las partes derechas del sistema (1.20), y la línea de cabecera superior, en la que se escriben las variables independientes.

Los elementos restantes de la tabla forman la matriz principal de coeficientes del sistema (1.20). Si multiplicamos la matriz PERO a la matriz que consta de los elementos de la fila del encabezado superior, luego obtenemos la matriz que consta de los elementos de la columna del encabezado de la izquierda. Es decir, en esencia, la tabla de Jordan es una forma matricial de escribir un sistema de ecuaciones lineales: . En este caso, la siguiente tabla de Jordan corresponde al sistema (1.21):

Tabla 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	año	…	x norte
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 norte
…………………………………………………………………..
y yo =	b yo 1	b yo 2		b ij		b es		b en
…………………………………………………………………..
x s =	hermano 1	hermano 2		b rj		hermanos		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

elemento permisivo una rs destacaremos en negrita. Recuerde que para implementar un paso de las excepciones jordanas, el elemento de resolución debe ser distinto de cero. Una fila de la tabla que contiene un elemento permisivo se denomina fila permisiva. La columna que contiene el elemento de habilitación se denomina columna de habilitación. Al pasar de una tabla dada a la tabla siguiente, una variable ( x s) de la fila de encabezado superior de la tabla se mueve a la columna de encabezado de la izquierda y, a la inversa, uno de los miembros libres del sistema ( año) se mueve de la columna de encabezado izquierda de la tabla a la fila de encabezado superior.

Describamos el algoritmo para recalcular los coeficientes al pasar de la tabla de Jordan (1.1) a la tabla (1.2), que se deriva de las fórmulas (1.23) y (1.25).

1. El elemento habilitante se reemplaza por el número inverso:

2. Los elementos restantes de la línea permisiva se dividen por el elemento permisivo y cambian el signo al contrario:

3. Los elementos restantes de la columna de habilitación se dividen en el elemento de habilitación:

4. Los elementos que no están incluidos en la fila de resolución y la columna de resolución se vuelven a calcular de acuerdo con las fórmulas:

La última fórmula es fácil de recordar si notas que los elementos que componen la fracción , están en la intersección i-Oh y r-ésimas líneas y j y s-th columnas (fila de resolución, columna de resolución y la fila y la columna en la intersección de las cuales se encuentra el elemento que se va a recalcular). Más precisamente, al memorizar la fórmula puedes usar el siguiente cuadro:

-21 -26 -13 -37

Realizando el primer paso de las excepciones jordanas, cualquier elemento de la Tabla 1.3 ubicado en las columnas X 1 ,…, X 5 (todos los elementos especificados no son iguales a cero). No solo debe seleccionar el elemento habilitador en la última columna, porque necesidad de encontrar variables independientes X 1 ,…, X 5 . Elegimos, por ejemplo, el coeficiente 1 con una variable X 3 en la tercera fila de la tabla 1.3 (el elemento habilitador se muestra en negrita). Al pasar a la tabla 1.4, la variable X El 3 de la fila superior del encabezado se intercambia con el 0 constante de la columna izquierda del encabezado (tercera fila). Al mismo tiempo, la variable X 3 se expresa en términos de las restantes variables.

cuerda X 3 (Tabla 1.4) puede, habiendo recordado previamente, ser excluida de la Tabla 1.4. La Tabla 1.4 también excluye la tercera columna con un cero en la línea superior del encabezado. El punto es que independientemente de los coeficientes de esta columna b yo 3 todos los términos que le corresponden de cada ecuación 0 b yo 3 sistemas serán iguales a cero. Por lo tanto, estos coeficientes no se pueden calcular. Eliminando una variable X 3 y recordando una de las ecuaciones, llegamos a un sistema correspondiente a la Tabla 1.4 (con la línea tachada X 3). Eligiendo en la tabla 1.4 como elemento resolutorio b 14 = -5, vaya a la tabla 1.5. En la tabla 1.5, recordamos la primera fila y la excluimos de la tabla junto con la cuarta columna (con cero en la parte superior).

Cuadro 1.5 Cuadro 1.6

De la última tabla 1.7 encontramos: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Sustituyendo secuencialmente las variables ya encontradas en las líneas memorizadas, encontramos las variables restantes:

Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. variable X 5, puede asignar valores arbitrarios. Esta variable actúa como un parámetro. X 5 = t. Probamos la compatibilidad del sistema y encontramos su solución general:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dando parámetro t diferentes valores, obtenemos un número infinito de soluciones para el sistema original. Entonces, por ejemplo, la solución del sistema es el siguiente conjunto de variables (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

El método de Cramer se basa en el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Esto acelera enormemente el proceso de solución.

El método de Cramer se puede utilizar para resolver un sistema de tantas ecuaciones lineales como incógnitas haya en cada ecuación. Si el determinante del sistema no es igual a cero, entonces se puede usar el método de Cramer en la solución; si es igual a cero, entonces no. Además, el método de Cramer se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales que tienen una solución única.

Definición. El determinante, compuesto por los coeficientes de las incógnitas, se denomina determinante del sistema y se denota por (delta).

Determinantes

se obtienen reemplazando los coeficientes en las correspondientes incógnitas por términos libres:

;

teorema de Cramer. Si el determinante del sistema es distinto de cero, entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene una sola solución y la incógnita es igual a la razón de los determinantes. El denominador contiene el determinante del sistema, y el numerador contiene el determinante obtenido del determinante del sistema reemplazando los coeficientes con la incógnita por términos libres. Este teorema se cumple para un sistema de ecuaciones lineales de cualquier orden.

Ejemplo 1 Resolver el sistema de ecuaciones lineales:

De acuerdo a teorema de Cramer tenemos:

Entonces, la solución del sistema (2):

calculadora en línea, método de solución de Cramer.

Tres casos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

como aparece de teoremas de Cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales pueden darse tres casos:

Primer caso: el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única

(el sistema es consistente y definido)

Segundo caso: el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones

(el sistema es consistente e indeterminado)

** ,

aquellos. los coeficientes de las incógnitas y los términos libres son proporcionales.

Tercer caso: el sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones

(sistema inconsistente)

Entonces el sistema metro ecuaciones lineales con norte variables se llama incompatible si no tiene soluciones, y articulación si tiene al menos una solución. Un sistema conjunto de ecuaciones que tiene una sola solución se llama cierto, y mas de uno incierto.

Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Cramer

Deja que el sistema

Basado en el teorema de Cramer

………….
,

dónde
-

identificador del sistema. Los determinantes restantes se obtienen reemplazando la columna con los coeficientes de la variable correspondiente (desconocida) con miembros libres:

Ejemplo 2

Por lo tanto, el sistema es definitivo. Para encontrar su solución, calculamos los determinantes

Por las fórmulas de Cramer encontramos:

Entonces, (1; 0; -1) es la única solución del sistema.

Para verificar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede usar la calculadora en línea, el método de resolución de Cramer.

Si no hay variables en el sistema de ecuaciones lineales en una o más ecuaciones, ¡entonces en el determinante los elementos que les corresponden son iguales a cero! Este es el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3 Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer:

Solución. Encontramos el determinante del sistema:

Mire cuidadosamente el sistema de ecuaciones y el determinante del sistema y repita la respuesta a la pregunta en qué casos uno o más elementos del determinante son iguales a cero. Entonces, el determinante no es igual a cero, por lo tanto, el sistema es definido. Para encontrar su solución, calculamos los determinantes de las incógnitas

Por las fórmulas de Cramer encontramos:

Entonces, la solución del sistema es (2; -1; 1).

Para verificar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede usar la calculadora en línea, el método de resolución de Cramer.

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Seguimos resolviendo sistemas usando el método de Cramer juntos

Como ya se mencionó, si el determinante del sistema es igual a cero y los determinantes de las incógnitas no son iguales a cero, el sistema es inconsistente, es decir, no tiene soluciones. Ilustremos con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6 Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer:

Solución. Encontramos el determinante del sistema:

El determinante del sistema es igual a cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y definido, o inconsistente, es decir, no tiene soluciones. Para aclarar, calculamos los determinantes de las incógnitas

Los determinantes de las incógnitas no son iguales a cero, por lo tanto, el sistema es inconsistente, es decir, no tiene soluciones.

Para verificar las soluciones de los sistemas de ecuaciones 3 X 3 y 4 X 4, puede usar la calculadora en línea, el método de resolución de Cramer.

En problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales, también existen aquellos en los que, además de las letras que denotan variables, también hay otras letras. Estas letras representan algún número, la mayoría de las veces un número real. En la práctica, tales ecuaciones y sistemas de ecuaciones generan problemas para encontrar las propiedades generales de cualquier fenómeno y objeto. Es decir, inventaste algún material o dispositivo nuevo, y para describir sus propiedades, que son comunes independientemente del tamaño o la cantidad de copias, necesitas resolver un sistema de ecuaciones lineales, donde en lugar de algunos coeficientes para las variables hay letras. No tienes que ir muy lejos para encontrar ejemplos.

El siguiente ejemplo es para un problema similar, solo aumenta el número de ecuaciones, variables y letras que indican algunos números reales.

Ejemplo 8 Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer:

Solución. Encontramos el determinante del sistema:

Encontrar determinantes para incógnitas

Resuelva por el método de Cramer en línea con una solución detallada. Ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. método de Cramer. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

Solución del sistema usando la matriz inversa

Solución del sistema usando la matriz inversa

¿Dónde puedo resolver la ecuación por el método de Cramer con un solucionador en línea?

Acciones de matriz

Adición de matrices.

Multiplicación de matrices.

matriz inversa. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma matricial

Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales por Excepciones de Jordan Ordinarias

Tres casos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Cramer

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