En este artículo, usted y yo comenzaremos una discusión sobre una "varita mágica" que le permitirá reducir muchos problemas de geometría a aritmética simple. Esta “varita” puede hacerte la vida mucho más fácil, especialmente cuando te sientes inseguro al construir figuras espaciales, secciones, etc. Todo esto requiere cierta imaginación y habilidades prácticas. El método, que comenzaremos a considerar aquí, le permitirá abstraerse casi por completo de todo tipo de construcciones y razonamientos geométricos. El método se llama "método de coordenadas". En este artículo, consideraremos las siguientes preguntas:

1. Plano coordinado
2. Puntos y vectores en el plano
3. Construcción de un vector a partir de dos puntos
4. Longitud del vector (distancia entre dos puntos)​
5. Coordenadas del punto medio
6. producto escalar de vectores
7. Ángulo entre dos vectores

Creo que ya adivinaste por qué el método de coordenadas se llama así. Es cierto que recibió tal nombre, ya que no opera con objetos geométricos, sino con sus características numéricas (coordenadas). Y la propia transformación, que permite pasar de la geometría al álgebra, consiste en introducir un sistema de coordenadas. Si la figura original era plana, entonces las coordenadas son bidimensionales, y si la figura es tridimensional, entonces las coordenadas son tridimensionales. En este artículo, consideraremos solo el caso bidimensional. Y el objetivo principal del artículo es enseñarte a utilizar algunas técnicas básicas del método de coordenadas (a veces resultan útiles a la hora de resolver problemas de planimetría en la parte B del Examen de Estado Unificado). Las siguientes dos secciones sobre este tema están dedicadas a la discusión de métodos para resolver problemas C2 (el problema de la estereometría).

¿Dónde sería lógico comenzar a discutir el método de coordenadas? Probablemente con el concepto de un sistema de coordenadas. Recuerda cuando la conociste por primera vez. Me parece que en 7mo grado, cuando aprendiste sobre la existencia de una función lineal, por ejemplo. Déjame recordarte que lo construiste punto por punto. ¿Te acuerdas? Escogiste un número arbitrario, lo sustituiste en la fórmula y lo calculaste de esta manera. Por ejemplo, si, entonces, si, entonces, etc. ¿Qué obtuvo como resultado? Y recibiste puntos con coordenadas: y. Luego dibujó una "cruz" (sistema de coordenadas), eligió una escala en ella (cuántas celdas tendrá como un solo segmento) y marcó los puntos que recibió, que luego conectó con una línea recta, la línea resultante es la gráfica de la función.

Hay algunas cosas que deben explicarse con un poco más de detalle:

1. Eliges un solo segmento por conveniencia, para que todo encaje bien y de forma compacta en la imagen.

2. Se supone que el eje va de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba

3. Se intersecan en ángulo recto, y el punto de su intersección se llama origen. Está marcado con una letra.

4. En el registro de la coordenada de un punto, por ejemplo, a la izquierda entre paréntesis está la coordenada del punto según el eje, ya la derecha, según el eje. En particular, simplemente significa que el punto

5. Para establecer cualquier punto en el eje de coordenadas, debe especificar sus coordenadas (2 números)

6. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

7. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

8. El eje se llama eje x

9. El eje se llama eje y

Ahora demos el siguiente paso contigo: marca dos puntos. Conecta estos dos puntos con una línea. Y pongamos la flecha como si estuviéramos dibujando un segmento de punto a punto: es decir, ¡haremos que nuestro segmento quede dirigido!

¿Recuerdas cuál es otro nombre para un segmento dirigido? ¡Así es, se llama vector!

Así, si conectamos un punto con otro punto, y el principio será el punto A, y el final será el punto B, entonces obtenemos un vector. También hiciste esta construcción en octavo grado, ¿recuerdas?

Resulta que los vectores, como los puntos, se pueden denotar con dos números: estos números se llaman las coordenadas del vector. Pregunta: ¿crees que es suficiente que sepamos las coordenadas del principio y el final del vector para encontrar sus coordenadas? ¡Resulta que sí! Y es muy fácil de hacer:

Así, como en el vector el punto es el principio y el final, el vector tiene las siguientes coordenadas:

Por ejemplo, si, entonces las coordenadas del vector

Ahora hagamos lo contrario, encuentre las coordenadas del vector. ¿Qué tenemos que cambiar para esto? Sí, debe intercambiar el principio y el final: ahora el principio del vector estará en un punto y el final en un punto. Después:

Fíjate bien, ¿cuál es la diferencia entre vectores y? Su única diferencia son los signos en las coordenadas. son opuestos Este hecho se escribe así:

A veces, si no se indica específicamente qué punto es el comienzo del vector y cuál es el final, entonces los vectores no se denotan con dos letras mayúsculas, sino con una minúscula, por ejemplo:, etc.

ahora un poco práctica y encuentra las coordenadas de los siguientes vectores:

Examen:

Ahora resuelve el problema un poco más difícil:

Un vector toroide con chatarra en un punto tiene co-or-di-on-you. Encuentra-di-te abs-cis-su puntos.

De todos modos es bastante prosaico: Sean las coordenadas del punto. Después

Compilé el sistema determinando cuáles son las coordenadas de un vector. Entonces el punto tiene coordenadas. Nos interesa la abscisa. Después

Responder:

¿Qué más puedes hacer con los vectores? Sí, casi todo es igual que con los números ordinarios (excepto que no puedes dividir, pero puedes multiplicar de dos maneras, una de las cuales discutiremos aquí un poco más adelante)

1. Los vectores se pueden apilar entre sí.
2. Los vectores se pueden restar unos de otros.
3. Los vectores se pueden multiplicar (o dividir) por un número arbitrario distinto de cero
4. Los vectores se pueden multiplicar entre sí.

Todas estas operaciones tienen una representación geométrica bastante visual. Por ejemplo, la regla del triángulo (o paralelogramo) para la suma y la resta:

Un vector se estira, se encoge o cambia de dirección cuando se multiplica o divide por un número:

Sin embargo, aquí nos interesará la cuestión de qué sucede con las coordenadas.

1. Al sumar (restar) dos vectores, sumamos (restamos) sus coordenadas elemento por elemento. Eso es:

2. Al multiplicar (dividir) un vector por un número, todas sus coordenadas se multiplican (dividen) por este número:

Por ejemplo:

· Encuentra-di-la suma de ko-o-di-nat siglo-a-ra.

Primero encontremos las coordenadas de cada uno de los vectores. Ambos tienen el mismo origen: el punto de origen. Sus fines son diferentes. Después, . Ahora calculamos las coordenadas del vector Entonces la suma de las coordenadas del vector resultante es igual a.

Responder:

Ahora resuelve tú mismo el siguiente problema:

· Hallar la suma de las coordenadas del vector

Verificamos:

Consideremos ahora el siguiente problema: tenemos dos puntos en el plano de coordenadas. ¿Cómo encontrar la distancia entre ellos? Sea el primer punto, y el segundo. Denotemos la distancia entre ellos como . Hagamos el siguiente dibujo para mayor claridad:

¿Qué he hecho? Yo, en primer lugar, conecté los puntos y también dibujé una línea paralela al eje desde el punto, y dibujé una línea paralela al eje desde el punto. ¿Se cruzaron en un punto, formando una figura maravillosa? ¿Por qué es maravillosa? Sí, tú y yo sabemos casi todo sobre un triángulo rectángulo. Bueno, el teorema de Pitágoras, seguro. El segmento buscado es la hipotenusa de este triángulo, y los segmentos son los catetos. ¿Cuáles son las coordenadas del punto? Sí, son fáciles de encontrar a partir de la imagen: dado que los segmentos son paralelos a los ejes y, respectivamente, sus longitudes son fáciles de encontrar: si denotamos las longitudes de los segmentos, respectivamente, a través de, entonces

Ahora usemos el teorema de Pitágoras. Conocemos las longitudes de los catetos, encontraremos la hipotenusa:

Por lo tanto, la distancia entre dos puntos es la raíz de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas. O - la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los conecta. Es fácil ver que la distancia entre los puntos no depende de la dirección. Después:

De esto sacamos tres conclusiones:

Practiquemos un poco en el cálculo de la distancia entre dos puntos:

Por ejemplo, si, entonces la distancia entre y es

O vamos de otra manera: encuentra las coordenadas del vector

Y encuentra la longitud del vector:

Como puedes ver, ¡es lo mismo!

Ahora practica un poco por tu cuenta:

Tarea: encontrar la distancia entre los puntos dados:

Verificamos:

Aquí hay un par de problemas más para la misma fórmula, aunque suenan un poco diferentes:

1. Encuentra-di-te el cuadrado de la longitud del párpado-a-ra.

2. Nai-di-te cuadrado de la longitud del párpado a ra

¿Supongo que puedes manejarlos fácilmente? Verificamos:

1. Y esto es por atención) Ya hemos encontrado las coordenadas de los vectores antes: . Entonces el vector tiene coordenadas. El cuadrado de su longitud será:

2. Encuentra las coordenadas del vector

Entonces el cuadrado de su longitud es

Nada complicado, ¿verdad? Aritmética simple, nada más.

Los siguientes acertijos no se pueden clasificar sin ambigüedades, son más bien para la erudición general y la capacidad de dibujar imágenes simples.

1. Encuentre-di-aquellos seno del ángulo en-clo-en-desde-corte, conecte-un-en-ésimo-punto, con el eje de abscisas.

y

¿Cómo lo vamos a hacer aquí? Necesitas encontrar el seno del ángulo entre y el eje. ¿Y dónde podemos buscar el seno? Así es, en un triángulo rectángulo. entonces ¿que debemos hacer? ¡Construye este triángulo!

Dado que las coordenadas del punto y, entonces el segmento es igual, y el segmento. Necesitamos encontrar el seno del ángulo. Déjame recordarte que el seno es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, entonces

¿Qué nos queda por hacer? Encuentra la hipotenusa. Puedes hacerlo de dos maneras: por el teorema de Pitágoras (¡se conocen los catetos!) o por la fórmula de la distancia entre dos puntos (¡en realidad es lo mismo que el primer método!). Iré por el segundo camino:

Responder:

La siguiente tarea te parecerá aún más fácil. Ella - en las coordenadas del punto.

Tarea 2. Desde el punto, el per-pen-di-ku-lar se baja sobre el eje abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hagamos un dibujo:

La base de la perpendicular es el punto en el que se cruza con el eje x (eje) para mí esto es un punto. La figura muestra que tiene coordenadas: . Estamos interesados ​​en la abscisa, es decir, el componente "X". Ella es igual.

Responder: .

Tarea 3. Bajo las condiciones del problema anterior, encuentre la suma de las distancias desde el punto hasta los ejes de coordenadas.

La tarea es generalmente elemental si sabes cuál es la distancia de un punto a los ejes. ¿Sabes? Espero, pero aun así te recuerdo:

Entonces, en mi dibujo, ubicado un poco más arriba, ¿ya he representado uno de esos perpendiculares? que eje es? al eje. ¿Y cuál es su longitud entonces? Ella es igual. Ahora dibuje usted mismo una perpendicular al eje y encuentre su longitud. Será igual, ¿no? Entonces su suma es igual.

Responder: .

Tarea 4. En las condiciones del problema 2, encuentre la ordenada del punto simétrica al punto sobre el eje x.

Creo que entiendes intuitivamente qué es la simetría. Muchos objetos la tienen: muchos edificios, mesas, planos, muchas formas geométricas: una bola, un cilindro, un cuadrado, un rombo, etc. En términos generales, la simetría se puede entender de la siguiente manera: una figura consta de dos (o más) mitades idénticas. Esta simetría se llama axial. ¿Qué es entonces un eje? Esta es exactamente la línea a lo largo de la cual la figura puede, en términos relativos, ser "cortada" en mitades idénticas (en esta imagen, el eje de simetría es recto):

Ahora volvamos a nuestra tarea. Sabemos que estamos buscando un punto que sea simétrico con respecto al eje. Entonces este eje es el eje de simetría. Entonces, necesitamos marcar un punto para que el eje corte el segmento en dos partes iguales. Trate de marcar ese punto usted mismo. Ahora compare con mi solución:

¿Hiciste lo mismo? ¡Bueno! En el punto encontrado, nos interesa la ordenada. ella es igual

Responder:

Ahora dime, después de pensar por un segundo, ¿cuál será la abscisa del punto simétrica al punto A sobre el eje y? ¿Cual es tu respuesta? Respuesta correcta: .

En general, la regla se puede escribir así:

Un punto simétrico a un punto sobre el eje x tiene las coordenadas:

Un punto simétrico a un punto sobre el eje y tiene coordenadas:

Bueno, ahora es realmente aterrador. una tarea: Encuentra las coordenadas de un punto que es simétrico a un punto, relativo al origen. ¡Primero piensa por ti mismo y luego mira mi dibujo!

Responder:

Ahora problema del paralelogramo:

Tarea 5: Los puntos son ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Buscar puntos dee-te o-dee-on-tu.

Puedes resolver este problema de dos maneras: la lógica y el método de coordenadas. Primero aplicaré el método de coordenadas y luego te diré cómo puedes decidir de manera diferente.

Es bastante claro que la abscisa del punto es igual. (se encuentra en la perpendicular trazada desde el punto al eje x). Tenemos que encontrar la ordenada. Aprovechemos que nuestra figura es un paralelogramo, lo que quiere decir eso. Encuentra la longitud del segmento usando la fórmula para la distancia entre dos puntos:

Bajamos la perpendicular que conecta el punto con el eje. El punto de intersección se denota con una letra.

La longitud del segmento es igual. (encuentre el problema usted mismo, donde discutimos este momento), luego encontraremos la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras:

La longitud del segmento es exactamente igual a su ordenada.

Responder: .

Otra solución (solo proporcionaré una imagen que lo ilustre)

Progreso de la solución:

1. Gastar

2. Encuentra las coordenadas y la longitud del punto

3. Demuestra eso.

Otro problema de longitud de corte:

Los puntos son-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Encuentra la longitud de su línea media, par-ral-lel-noy.

¿Recuerdas cuál es la línea media de un triángulo? Entonces para ti esta tarea es elemental. Si no lo recuerdas, te lo recordaré: la línea media de un triángulo es una línea que conecta los puntos medios de los lados opuestos. Es paralelo a la base e igual a la mitad de ella.

La base es un segmento. Tuvimos que buscar su longitud antes, es igual. Entonces la longitud de la línea media es la mitad de larga e igual.

Responder: .

Comentario: Este problema se puede resolver de otra manera, a la que nos referiremos un poco más adelante.

Mientras tanto, aquí hay algunas tareas para usted, practique con ellas, son bastante simples, ¡pero ayudan a "meter la mano" usando el método de coordenadas!

1. Aparecen los puntos-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Encuentra la longitud de su línea media.

2. Puntos y yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Buscar puntos dee-te o-dee-on-tu.

3. Encuentra la longitud desde el corte, conecta el segundo punto y

4. Encuentre-di-te el área para-la-fi-gu-ry-roja-shen-noy en el plano ko-o-di-nat-noy.

5. Un círculo con centro en na-cha-le ko-or-di-nat pasa por un punto. Find-de-te su ra-di-bigote.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy cerca del ángulo recto-no-ka, las puntas-brillantes de algo-ro-go tienen co-o - di-na-tu co-de-responder-pero

Soluciones:

1. Se sabe que la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases. La base es igual, pero la base. Después

Responder:

2. La forma más fácil de resolver este problema es notar que (regla del paralelogramo). Calcular las coordenadas de los vectores y no es difícil: . Al sumar vectores, se suman las coordenadas. Entonces tiene coordenadas. El punto tiene las mismas coordenadas, ya que el principio del vector es un punto con coordenadas. Nos interesa la ordenada. Ella es igual.

Responder:

3. Actuamos inmediatamente según la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Responder:

4. Mire la imagen y diga, ¿entre qué dos figuras está “comprimido” el área sombreada? Está intercalado entre dos cuadrados. Entonces el área de la figura deseada es igual al área del cuadrado grande menos el área del pequeño. El lado del cuadrado pequeño es un segmento que conecta los puntos y su longitud es

Entonces el área del cuadrado pequeño es

Hacemos lo mismo con un cuadrado grande: su lado es un segmento que conecta los puntos y su longitud es igual a

Entonces el área del cuadrado grande es

El área de la figura deseada se encuentra mediante la fórmula:

Responder:

5. Si la circunferencia tiene como centro el origen y pasa por un punto, entonces su radio será exactamente igual a la longitud del segmento (haz un dibujo y entenderás por qué esto es obvio). Encuentre la longitud de este segmento:

Responder:

6. Se sabe que el radio de un círculo circunscrito a un rectángulo es igual a la mitad de su diagonal. Encontremos la longitud de cualquiera de las dos diagonales (¡después de todo, en un rectángulo son iguales!)

Responder:

Bueno, ¿te las arreglaste todo? No fue tan difícil averiguarlo, ¿verdad? Aquí solo hay una regla: poder hacer una imagen visual y simplemente "leer" todos los datos de ella.

Nos queda muy poco. Hay literalmente dos puntos más que me gustaría discutir.

Intentemos resolver este sencillo problema. Sean dos puntos y se dará. Encuentra las coordenadas del medio del segmento. La solución a este problema es la siguiente: sea el punto el medio deseado, entonces tiene coordenadas:

Eso es: coordenadas del medio del segmento = media aritmética de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento.

Esta regla es muy simple y por lo general no causa dificultades a los estudiantes. Veamos en qué problemas y cómo se usa:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Los puntos son yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Encuentra-di-te o-di-na-tu puntos de re-re-se-che-niya de su dia-go-on-lei.

3. Encuentra-di-te abs-cis-su del centro del círculo, describe-san-noy cerca del rectángulo-no-ka, las tapas-shi-tenemos algo-ro-go co-or-di- na-usted co-de-vet-stvenno-pero.

Soluciones:

1. La primera tarea es solo un clásico. Actuamos inmediatamente determinando el punto medio del segmento. Ella tiene coordenadas. La ordenada es igual.

Responder:

2. Es fácil ver que el cuadrilátero dado es un paralelogramo (¡incluso un rombo!). Puedes probarlo tú mismo calculando las longitudes de los lados y comparándolos entre sí. ¿Qué sé sobre un paralelogramo? ¡Sus diagonales están divididas en dos por el punto de intersección! ¡Ajá! Entonces, ¿cuál es el punto de intersección de las diagonales? ¡Este es el medio de cualquiera de las diagonales! Elegiré, en particular, la diagonal. Entonces el punto tiene coordenadas.La ordenada del punto es igual a.

Responder:

3. ¿Cuál es el centro del círculo circunscrito al rectángulo? Coincide con el punto de intersección de sus diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo? Son iguales y el punto de intersección se divide por la mitad. La tarea se ha reducido a la anterior. Tomemos, por ejemplo, la diagonal. Entonces si es el centro del círculo circunscrito, entonces es el medio. Estoy buscando coordenadas: La abscisa es igual.

Responder:

Ahora practica un poco por tu cuenta, solo daré las respuestas de cada problema para que puedas comprobarlo tú mismo.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy cerca del triángulo-no-ka, la parte superior de alguien-ro-go tiene ko-o-di -no señores

2. Encuentra-di-te o-di-na-tu el centro del círculo, describe el san-noy cerca del triángulo-no-ka, las coordenadas tops-shi-we have something-ro-go

3. ¿Qué tipo de ra-di-y-sa debe tener un círculo con un centro en un punto para que toque el eje abs-ciss?

4. Find-di-te or-di-on-that punto de re-re-se-che-ing del eje y from-cut, connect-nya-yu-th-th punto y

Respuestas:

¿Todo salió bien? ¡Realmente lo espero! Ahora - el último empujón. Ahora ten especial cuidado. El material que voy a explicar ahora no solo es relevante para los problemas del método de coordenadas simple en la Parte B, sino que también es omnipresente en el Problema C2.

¿Cuál de mis promesas no he cumplido todavía? ¿Recuerda qué operaciones sobre vectores prometí introducir y cuáles finalmente introduje? ¿Estoy seguro de que no he olvidado nada? ¡Olvidó! Olvidé explicar qué significa la multiplicación de vectores.

Hay dos formas de multiplicar un vector por un vector. Según el método elegido obtendremos objetos de diferente naturaleza:

El producto vectorial es bastante complicado. Cómo hacerlo y por qué es necesario, lo discutiremos con usted en el próximo artículo. Y en esto nos centraremos en el producto escalar.

Ya existen dos formas que nos permiten calcularlo:

Como habrás adivinado, ¡el resultado debería ser el mismo! Así que veamos primero la primera forma:

Producto escalar por coordenadas

Encuentra: - notación común para el producto escalar

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

Es decir, el producto escalar = ¡la suma de los productos de las coordenadas de los vectores!

Ejemplo:

Encuentra-dee-te

Solución:

Encuentre las coordenadas de cada uno de los vectores:

Calculamos el producto escalar por la fórmula:

Responder:

Ya ves, ¡absolutamente nada complicado!

Bueno, ahora inténtalo tú mismo:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch y

¿Lograste? ¿Quizás notó un pequeño truco? Vamos a revisar:

¡Coordenadas vectoriales, como en la tarea anterior! Responder: .

Además de la coordenada, hay otra forma de calcular el producto escalar, a saber, a través de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos:

Denota el ángulo entre los vectores y.

Es decir, el producto escalar es igual al producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos.

Para qué necesitamos esta segunda fórmula, si tenemos la primera, que es mucho más simple, al menos no tiene cosenos. ¡Y lo necesitamos para que de la primera y la segunda fórmula podamos deducir cómo encontrar el ángulo entre vectores!

¡Entonces recuerda la fórmula para la longitud de un vector!

Luego, si conecto estos datos en la fórmula del producto escalar, obtengo:

Pero por otro lado:

Entonces, ¿qué tenemos? ¡Ahora tenemos una fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores! A veces, por brevedad, también se escribe así:

Es decir, el algoritmo para calcular el ángulo entre vectores es el siguiente:

1. Calculamos el producto escalar a través de las coordenadas
2. Encuentra las longitudes de los vectores y multiplícalas.
3. Divide el resultado del punto 1 por el resultado del punto 2

Practiquemos con ejemplos:

1. Encuentra el ángulo entre los párpados-a-ra-mi y. Da tu respuesta en grados.

2. Bajo las condiciones del problema anterior, encuentra el coseno entre los vectores

Hagamos esto: ¡te ayudaré a resolver el primer problema e intentaré resolver el segundo tú mismo! ¿Estoy de acuerdo? ¡Entonces comencemos!

1. Estos vectores son nuestros viejos amigos. Ya hemos considerado su producto escalar y era igual. Sus coordenadas son: , . Luego encontramos sus longitudes:

Entonces buscamos el coseno entre los vectores:

¿Cuál es el coseno del ángulo? Esta es la esquina.

Responder:

Bueno, ahora resuelva el segundo problema usted mismo y luego compare. Voy a dar una solución muy breve:

2. tiene coordenadas, tiene coordenadas.

Sea el ángulo entre los vectores y, entonces

Responder:

Cabe señalar que las tareas directamente sobre los vectores y el método de coordenadas en la parte B del examen son bastante raros. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas C2 se pueden resolver fácilmente introduciendo un sistema de coordenadas. Entonces, puede considerar este artículo como una base, sobre la base de la cual haremos construcciones bastante complicadas que necesitaremos para resolver problemas complejos.

COORDENADAS Y VECTORES. NIVEL INTERMEDIO

Tú y yo seguimos estudiando el método de las coordenadas. En la última parte, derivamos una serie de fórmulas importantes que permiten:

1. Encuentra coordenadas vectoriales
2. Encuentra la longitud de un vector (alternativamente: la distancia entre dos puntos)
3. Sumar, restar vectores. Multiplícalos por un número real.
4. Encontrar el punto medio de un segmento
5. Calcular producto escalar de vectores
6. Encuentra el ángulo entre los vectores

Por supuesto, todo el método de coordenadas no encaja en estos 6 puntos. Subyace en una ciencia como la geometría analítica, con la que te familiarizarás en la universidad. Solo quiero construir una base que le permita resolver problemas en un solo estado. examen. Descubrimos las tareas de la parte B en ¡Ahora es el momento de pasar a un nivel cualitativamente nuevo! Este artículo estará dedicado a un método para resolver aquellos problemas C2 en los que sería razonable cambiar al método de coordenadas. Esta razonabilidad está determinada por lo que se necesita encontrar en el problema y qué cifra se da. Entonces, usaría el método de coordenadas si las preguntas son:

1. Hallar el ángulo entre dos planos
2. Hallar el ángulo entre una recta y un plano
3. Encuentra el ángulo entre dos rectas
4. Hallar la distancia de un punto a un plano
5. Hallar la distancia de un punto a una recta
6. Hallar la distancia de una recta a un plano
7. Encuentra la distancia entre dos rectas

Si la figura dada en la condición del problema es un cuerpo de revolución (bola, cilindro, cono...)

Las cifras adecuadas para el método de coordenadas son:

1. cuboides
2. Pirámide (triangular, cuadrangular, hexagonal)

tambien en mi experiencia es inapropiado usar el método de coordenadas para:

1. Encontrar las áreas de las secciones.
2. Cálculos de volúmenes de cuerpos.

Sin embargo, debe notarse de inmediato que tres situaciones "desfavorables" para el método de coordenadas son bastante raras en la práctica. En la mayoría de las tareas, puede convertirse en tu salvador, especialmente si no eres muy fuerte en las construcciones tridimensionales (que a veces son bastante intrincadas).

¿Cuáles son todas las cifras que he enumerado anteriormente? ¡Ya no son planos, como un cuadrado, un triángulo, un círculo, sino voluminosos! En consecuencia, debemos considerar no un sistema de coordenadas bidimensional, sino tridimensional. Se construye con bastante facilidad: además de las abscisas y las ordenadas, introduciremos otro eje, el eje aplicado. La figura muestra esquemáticamente su posición relativa:

Todos ellos son mutuamente perpendiculares, se cortan en un punto, que llamaremos el origen. El eje de abscisas, como antes, se denotará, el eje de ordenadas - , y el eje aplicado introducido - .

Si antes cada punto en el plano se caracterizaba por dos números: la abscisa y la ordenada, entonces cada punto en el espacio ya está descrito por tres números: la abscisa, la ordenada y la aplicada. Por ejemplo:

En consecuencia, la abscisa del punto es igual, la ordenada es , y la aplicada es .

A veces, la abscisa de un punto también se denomina proyección del punto sobre el eje de abscisas, la ordenada es la proyección del punto sobre el eje de ordenadas y la aplicada es la proyección del punto sobre el eje aplicado. En consecuencia, si se da un punto entonces, un punto con coordenadas:

llamado proyección de un punto sobre un plano

llamado proyección de un punto sobre un plano

Surge una pregunta natural: ¿todas las fórmulas derivadas para el caso bidimensional son válidas en el espacio? La respuesta es sí, son justos y tienen la misma apariencia. Por un pequeño detalle. Creo que ya adivinaste cuál. En todas las fórmulas, tendremos que agregar un término más responsable del eje de aplicación. A saber.

1. Si se dan dos puntos: , entonces:

• Coordenadas vectoriales:
• Distancia entre dos puntos (o longitud del vector)
• El medio del segmento tiene coordenadas

2. Si se dan dos vectores: y, entonces:

• Su producto escalar es:
• El coseno del ángulo entre los vectores es:

Sin embargo, el espacio no es tan simple. Como comprenderá, la adición de una coordenada más introduce una variedad significativa en el espectro de figuras que "viven" en este espacio. Y para una mayor narración, necesito introducir, en términos generales, una "generalización" de la línea recta. Esta "generalización" será un plano. ¿Qué sabes sobre el avión? Intenta responder a la pregunta, ¿qué es un avión? Es muy difícil de decir. Sin embargo, todos imaginamos intuitivamente cómo se ve:

En términos generales, se trata de una especie de "hoja" interminable empujada hacia el espacio. "Infinito" debe entenderse que el plano se extiende en todas las direcciones, es decir, su área es igual al infinito. Sin embargo, esta explicación "en los dedos" no da la menor idea sobre la estructura del avión. Y nos interesará.

Recordemos uno de los axiomas básicos de la geometría:

• Una línea recta pasa por dos puntos diferentes en un plano, además, solo uno:

O su análogo en el espacio:

Por supuesto, recuerda cómo derivar la ecuación de una línea recta a partir de dos puntos dados, esto no es nada difícil: si el primer punto tiene coordenadas: y el segundo, entonces la ecuación de la línea recta será la siguiente:

Pasaste por esto en séptimo grado. En el espacio, la ecuación de una línea recta se ve así: tengamos dos puntos con coordenadas: , entonces la ecuación de una línea recta que los atraviesa tiene la forma:

Por ejemplo, una recta pasa por puntos:

¿Cómo debe entenderse esto? Esto debe entenderse de la siguiente manera: un punto se encuentra en una línea si sus coordenadas satisfacen el siguiente sistema:

No nos interesará mucho la ecuación de una línea recta, pero debemos prestar atención al concepto muy importante del vector director de una línea recta. - cualquier vector distinto de cero que se encuentra en una línea dada o paralelo a ella.

Por ejemplo, ambos vectores son vectores directores de una línea recta. Sea un punto que se encuentra sobre una línea recta, y sea su vector director. Entonces la ecuación de una línea recta se puede escribir de la siguiente forma:

Una vez más, no me interesará mucho la ecuación de una línea recta, ¡pero realmente necesito que recuerdes qué es un vector de dirección! Otra vez: es CUALQUIER vector distinto de cero que se encuentra en una línea, o paralelo a ella.

Retirar ecuación de tres puntos de un plano ya no es tan trivial, y por lo general no se trata en un curso de secundaria. ¡Pero en vano! Esta técnica es vital cuando recurrimos al método de coordenadas para resolver problemas complejos. Sin embargo, supongo que estás lleno de ganas de aprender algo nuevo. Además, podrá impresionar a su profesor en la universidad cuando resulte que ya sabe cómo usar la técnica que generalmente se estudia en el curso de geometría analítica. Entonces empecemos.

La ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una recta sobre un plano, es decir, tiene la forma:

algunos números (no todos iguales a cero), pero variables, por ejemplo: etc. Como puedes ver, la ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una línea recta (función lineal). Sin embargo, ¿recuerdas lo que discutimos contigo? Dijimos que si tenemos tres puntos que no están en una línea recta, entonces la ecuación del plano se restablece únicamente a partir de ellos. ¿Pero cómo? Trataré de explicarte.

Como la ecuación del plano es:

Y los puntos pertenecen a este plano, entonces al sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación del plano, deberíamos obtener la identidad correcta:

Por lo tanto, ¡es necesario resolver tres ecuaciones que ya tienen incógnitas! ¡Dilema! Sin embargo, siempre podemos asumir que (para esto necesitamos dividir por). Así, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnitas:

Sin embargo, no resolveremos dicho sistema, sino que escribiremos la expresión críptica que se deriva de él:

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados

\[\izquierda| (\begin(matriz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matriz)) \right| = 0\]

¡Deténgase! ¿Qué más es esto? ¡Algún módulo muy inusual! Sin embargo, el objeto que ves frente a ti no tiene nada que ver con el módulo. Este objeto se llama determinante de tercer orden. De ahora en adelante, cuando trabaje con el método de coordenadas en un plano, a menudo se encontrará con estos mismos determinantes. ¿Qué es un determinante de tercer orden? Por extraño que parezca, es sólo un número. Queda por entender qué número específico compararemos con el determinante.

Primero escribamos el determinante de tercer orden en una forma más general:

¿Dónde están algunos números. Además, por el primer índice nos referimos al número de fila, y por índice, al número de columna. Por ejemplo, significa que el número dado está en la intersección de la segunda fila y la tercera columna. Planteemos la siguiente pregunta: ¿cómo exactamente vamos a calcular tal determinante? Es decir, ¿con qué número específico lo compararemos? Para el determinante de precisamente el tercer orden, hay una regla triangular heurística (visual), se ve así:

1. El producto de los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) El producto de los elementos que forman el primer triángulo "perpendicular" a la diagonal principal El producto de los elementos que forman el segundo triángulo "perpendicular" a la principal diagonal
2. El producto de los elementos de la diagonal secundaria (de arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda) El producto de los elementos que forman el primer triángulo "perpendicular" a la diagonal secundaria El producto de los elementos que forman el segundo triángulo "perpendicular" a la diagonal secundaria
3. Entonces el determinante es igual a la diferencia entre los valores obtenidos en el paso y

Si escribimos todo esto en números, obtenemos la siguiente expresión:

Sin embargo, no necesita memorizar el método de cálculo de esta forma, basta con mantener los triángulos en su cabeza y la idea misma de qué se suma a qué y qué se resta de qué).

Ilustremos el método del triángulo con un ejemplo:

1. Calcular el determinante:

Averigüemos qué sumamos y qué restamos:

Términos que vienen con un "más":

Esta es la diagonal principal: el producto de los elementos es

El primer triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es

El segundo triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es

Sumamos tres números:

Términos que vienen con un "menos"

Esta es una diagonal lateral: el producto de los elementos es

El primer triángulo, "perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es

El segundo triángulo, "perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es

Sumamos tres números:

Todo lo que queda por hacer es restar de la suma de los términos positivos la suma de los términos negativos:

De este modo,

Como puede ver, no hay nada complicado y sobrenatural en el cálculo de los determinantes de tercer orden. Es simplemente importante recordar acerca de los triángulos y no cometer errores aritméticos. Ahora intenta calcular tú mismo:

Verificamos:

1. El primer triángulo perpendicular a la diagonal principal:
2. El segundo triángulo perpendicular a la diagonal principal:
3. La suma de los términos positivos:
4. Primer triángulo perpendicular a la diagonal lateral:
5. El segundo triángulo, perpendicular a la diagonal lateral:
6. La suma de términos con menos:
7. Suma de términos positivos menos suma de términos negativos:

Aquí hay un par de determinantes más para usted, calcule sus valores usted mismo y compárelos con las respuestas:

Respuestas:

Bueno, ¿coincidió todo? ¡Genial, entonces puedes seguir adelante! Si hay dificultades, entonces mi consejo es este: en Internet hay un montón de programas para calcular el determinante en línea. Todo lo que necesita es encontrar su propio determinante, calcularlo usted mismo y luego compararlo con lo que calcula el programa. Y así sucesivamente hasta que los resultados comiencen a coincidir. ¡Estoy seguro de que este momento no tardará en llegar!

Ahora volvamos al determinante que escribí cuando hablé de la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados:

Todo lo que tienes que hacer es calcular su valor directamente (usando el método del triángulo) y establecer el resultado igual a cero. Naturalmente, dado que son variables, obtendrás alguna expresión que depende de ellas. ¡Es esta expresión la que será la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en una línea recta!

Ilustremos esto con un ejemplo simple:

1. Construye la ecuación del plano que pasa por los puntos

Componemos un determinante para estos tres puntos:

Simplificando:

Ahora lo calculamos directamente según la regla de los triángulos:

\[(\left| (\begin(matriz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(matriz)) \ derecha| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Así, la ecuación del plano que pasa por los puntos es:

Ahora intente resolver un problema usted mismo, y luego lo discutiremos:

2. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos

Bueno, analicemos la solución ahora:

Hacemos un determinante:

Y calcula su valor:

Entonces la ecuación del plano tiene la forma:

O, reduciendo por, obtenemos:

Ahora dos tareas para el autocontrol:

1. Construye la ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Respuestas:

¿Todo coincidía? Nuevamente, si hay ciertas dificultades, entonces mi consejo es este: tome tres puntos de su cabeza (con un alto grado de probabilidad de que no se encuentren en una línea recta), construya un plano sobre ellos. Y luego compruébelo usted mismo en línea. Por ejemplo, en el sitio:

Sin embargo, con la ayuda de determinantes, construiremos no solo la ecuación del plano. Recuerda, te dije que para los vectores, no solo se define el producto escalar. También hay un vector, así como un producto mixto. Y si el producto escalar de dos vectores será un número, entonces el producto vectorial de dos vectores será un vector, y este vector será perpendicular a los dados:

Además, su módulo será igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores y. Necesitaremos este vector para calcular la distancia de un punto a una recta. ¿Cómo podemos calcular el producto vectorial de vectores y si se dan sus coordenadas? El determinante de tercer orden viene de nuevo en nuestra ayuda. Sin embargo, antes de pasar al algoritmo para calcular el producto cruzado, tengo que hacer una pequeña digresión lírica.

Esta digresión se refiere a los vectores base.

Esquemáticamente se muestran en la figura:

¿Por qué crees que se llaman básicos? El hecho es que :

O en la imagen:

La validez de esta fórmula es obvia, porque:

producto vectorial

Ahora puedo empezar a introducir el producto cruz:

El producto vectorial de dos vectores es un vector que se calcula según la siguiente regla:

Ahora vamos a dar algunos ejemplos de cálculo del producto cruz:

Ejemplo 1: Encuentra el producto cruz de vectores:

Solución: Hago un determinante:

Y lo calculo:

Ahora, de escribir a través de vectores base, volveré a la notación vectorial habitual:

De este modo:

Ahora intenta.

¿Listo? Verificamos:

Y tradicionalmente dos Tareas a controlar:

1. Encuentre el producto cruz de los siguientes vectores:
2. Encuentre el producto cruz de los siguientes vectores:

Respuestas:

Producto mixto de tres vectores

La última construcción que necesito es el producto mixto de tres vectores. Al igual que un escalar, es un número. Hay dos formas de calcularlo. - por el determinante, - por el producto mixto.

Es decir, digamos que tenemos tres vectores:

Entonces el producto mixto de tres vectores, denotado por se puede calcular como:

1.- es decir, el producto mixto es el producto escalar de un vector y el producto vectorial de otros dos vectores

Por ejemplo, el producto mixto de tres vectores es:

¡Intenta calcularlo tú mismo usando el producto vectorial y asegúrate de que los resultados coincidan!

Y nuevamente, dos ejemplos para una decisión independiente:

Respuestas:

Elección del sistema de coordenadas

Bueno, ahora tenemos toda la base de conocimientos necesaria para resolver problemas estereométricos complejos en geometría. Sin embargo, antes de pasar directamente a los ejemplos y algoritmos para resolverlos, creo que será útil detenerse en la siguiente pregunta: ¿cómo exactamente elegir un sistema de coordenadas para una figura en particular. Después de todo, es la elección de la posición relativa del sistema de coordenadas y la figura en el espacio lo que finalmente determinará cuán engorrosos serán los cálculos.

Les recuerdo que en este apartado estamos considerando las siguientes cifras:

1. cuboides
2. Prisma recto (triangular, hexagonal…)
3. Pirámide (triangular, cuadrangular)
4. Tetraedro (igual que pirámide triangular)

Para un paralelepípedo o cubo, recomiendo la siguiente construcción:

Es decir, colocaré la figura “en la esquina”. El cubo y la caja son muy buenas figuras. Para ellos, siempre puedes encontrar fácilmente las coordenadas de sus vértices. Por ejemplo, si (como se muestra en la imagen)

entonces las coordenadas del vértice son:

Por supuesto, no necesita recordar esto, pero es deseable recordar la mejor manera de colocar un cubo o una caja rectangular.

prisma recto

El prisma es una figura más dañina. Puedes organizarlo en el espacio de diferentes maneras. Sin embargo, creo que la siguiente es la mejor opción:

Prisma triangular:

Es decir, ponemos uno de los lados del triángulo completamente sobre el eje, y uno de los vértices coincide con el origen.

Prisma hexagonal:

Es decir, uno de los vértices coincide con el origen y uno de los lados se encuentra sobre el eje.

Pirámide cuadrangular y hexagonal:

Una situación similar a un cubo: combinamos dos lados de la base con los ejes de coordenadas, combinamos uno de los vértices con el origen. La única pequeña dificultad será calcular las coordenadas del punto.

Para una pirámide hexagonal, lo mismo que para un prisma hexagonal. La tarea principal será nuevamente encontrar las coordenadas del vértice.

Tetraedro (pirámide triangular)

La situación es muy similar a la que di para el prisma triangular: un vértice coincide con el origen, un lado se encuentra en el eje de coordenadas.

Bueno, ahora tú y yo finalmente estamos cerca de comenzar a resolver problemas. De lo que dije al principio del artículo, podrías sacar la siguiente conclusión: la mayoría de los problemas de C2 se dividen en 2 categorías: problemas para el ángulo y problemas para la distancia. Primero, consideraremos problemas para encontrar un ángulo. Ellos, a su vez, se dividen en las siguientes categorías (a medida que aumenta la complejidad):

Problemas para encontrar esquinas

1. Hallar el ángulo entre dos rectas
2. Hallar el ángulo entre dos planos

Consideremos estos problemas secuencialmente: comencemos por encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Vamos, recuerda, ¿tú y yo hemos resuelto ejemplos similares antes? Te acuerdas, porque ya teníamos algo parecido... Estábamos buscando un ángulo entre dos vectores. Les recuerdo, si se dan dos vectores: y, entonces el ángulo entre ellos se encuentra a partir de la relación:

Ahora tenemos un objetivo: encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Pasemos a la "imagen plana":

¿Cuántos ángulos obtenemos cuando dos rectas se cortan? Ya cosas. Es cierto que solo dos de ellos no son iguales, mientras que otros son verticales a ellos (y por lo tanto coinciden con ellos). Entonces, ¿qué ángulo debemos considerar el ángulo entre dos líneas rectas: o? Aquí la regla es: el ángulo entre dos líneas rectas siempre no es más de grados. Es decir, de dos ángulos, elegiremos siempre el ángulo de menor medida en grados. Es decir, en esta imagen, el ángulo entre las dos líneas es igual. Para no molestarse en encontrar el menor de los dos ángulos cada vez, astutos matemáticos sugirieron usar el módulo. Por lo tanto, el ángulo entre dos líneas rectas está determinado por la fórmula:

Usted, como lector atento, debería haber tenido una pregunta: ¿dónde, de hecho, obtenemos estos mismos números que necesitamos para calcular el coseno de un ángulo? Respuesta: ¡los tomaremos de los vectores directores de las rectas! Por lo tanto, el algoritmo para encontrar el ángulo entre dos líneas es el siguiente:

1. Aplicamos la fórmula 1.

O con más detalle:

1. Buscamos las coordenadas del vector director de la primera recta
2. Buscamos las coordenadas del vector director de la segunda recta
3. Calcular el módulo de su producto escalar
4. Estamos buscando la longitud del primer vector.
5. Estamos buscando la longitud del segundo vector.
6. Multiplique los resultados del punto 4 por los resultados del punto 5
7. Dividimos el resultado del punto 3 por el resultado del punto 6. Obtenemos el coseno del ángulo entre las rectas
8. Si este resultado nos permite calcular exactamente el ángulo, lo buscamos
9. De lo contrario, escribimos a través del arcocoseno

Bueno, ahora es el momento de pasar a las tareas: demostraré la solución de las dos primeras en detalle, presentaré la solución de otra en breve, y solo daré respuestas a las dos últimas tareas, debe haga todos los cálculos para ellos usted mismo.

Tareas:

1. En el tet-ra-ed-re derecho, encuentre-di-te el ángulo entre you-so-that tet-ra-ed-ra y el lado me-di-a-noy bo-ko-how.

2. En el seis-carbón-pi-ra-mi-de derecho hacia adelante, los cien-ro-na-os-no-va-niya son de alguna manera iguales, y las costillas laterales son iguales, encuentre el ángulo entre el recto lineas y.

3. Las longitudes de todos los bordes de la derecha four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy son iguales entre sí. Encuentre-di-el ángulo entre las líneas rectas y si de-re-zok - usted-así que dado pi-ra-mi-dy, el punto es se-re-di-en su costilla bo-ko-th

4. En la arista del cubo de-me-che-a un punto tal que Hallar-di-te el ángulo entre las rectas y

5. Punto - se-re-di-en los bordes del cubo Nai-di-te el ángulo entre las líneas rectas y.

No es casualidad que coloque las tareas en este orden. Si bien aún no ha tenido tiempo de comenzar a navegar por el método de coordenadas, yo mismo analizaré las figuras más "problemáticas", ¡y lo dejaré para que se ocupe del cubo más simple! Poco a poco tienes que aprender a trabajar con todas las figuras, iré aumentando la complejidad de las tareas de un tema a otro.

Empecemos a resolver problemas:

1. Dibuja un tetraedro, colócalo en el sistema de coordenadas como sugerí anteriormente. Como el tetraedro es regular, todas sus caras (incluida la base) son triángulos regulares. Como no nos dan la longitud del lado, puedo tomarla igual. Creo que entiendes que el ángulo realmente no dependerá de cuánto se "estire" nuestro tetraedro. También dibujaré la altura y la mediana en el tetraedro. En el camino, dibujaré su base (también nos será útil).

Necesito encontrar el ángulo entre y. ¿Qué sabemos? Solo conocemos la coordenada del punto. Entonces, necesitamos encontrar más coordenadas de los puntos. Ahora pensemos: un punto es un punto de intersección de alturas (o bisectrices o medianas) de un triángulo. Un punto es un punto elevado. El punto es el punto medio del segmento. Entonces finalmente necesitamos encontrar: las coordenadas de los puntos: .

Comencemos con lo más simple: las coordenadas del punto. Mira la figura: Está claro que el aplicado de un punto es igual a cero (el punto se encuentra en un plano). Su ordenada es igual (porque es la mediana). Es más difícil encontrar su abscisa. Sin embargo, esto se hace fácilmente sobre la base del teorema de Pitágoras: Considere un triángulo. Su hipotenusa es igual, y uno de los catetos es igual Entonces:

Finalmente tenemos:

Ahora encontremos las coordenadas del punto. Es claro que su aplicado es nuevamente igual a cero, y su ordenada es la misma que la de un punto, es decir. Encontremos su abscisa. Esto se hace bastante trivialmente si uno recuerda que las alturas de un triángulo equilátero se dividen por el punto de intersección en la proporción contando desde arriba. Dado que:, entonces la abscisa buscada del punto, igual a la longitud del segmento, es igual a:. Por lo tanto, las coordenadas del punto son:

Encontremos las coordenadas del punto. Es claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Y el aplique es igual a la longitud del segmento. - esta es una de las piernas del triángulo. La hipotenusa de un triángulo es un segmento, un cateto. Se busca por las razones que destaqué en negrita:

El punto es el punto medio del segmento. Luego debemos recordar la fórmula para las coordenadas de la mitad del segmento:

Eso es todo, ahora podemos buscar las coordenadas de los vectores directores:

Bueno, todo está listo: sustituimos todos los datos en la fórmula:

De este modo,

Responder:

No debe tener miedo de respuestas tan "terribles": para los problemas C2, esta es una práctica común. Preferiría estar sorprendido por la respuesta "hermosa" en esta parte. Además, como notaste, prácticamente no recurrí a nada más que al teorema de Pitágoras y la propiedad de las alturas de un triángulo equilátero. Es decir, para resolver el problema estereométrico, utilicé el mínimo de estereometría. La ganancia en esto está parcialmente "extinguida" por cálculos bastante engorrosos. ¡Pero son bastante algorítmicos!

2. Dibuja una pirámide hexagonal regular junto con el sistema de coordenadas, así como su base:

Necesitamos encontrar el ángulo entre las rectas y. Así, nuestra tarea se reduce a encontrar las coordenadas de los puntos: . Encontraremos las coordenadas de los tres últimos del dibujo pequeño, y encontraremos la coordenada del vértice a través de la coordenada del punto. Mucho trabajo, ¡pero hay que empezar!

a) Coordenada: es claro que su aplicada y ordenada son cero. Encontremos la abscisa. Para hacer esto, considere un triángulo rectángulo. Por desgracia, en él solo conocemos la hipotenusa, que es igual a. Intentaremos encontrar el cateto (porque está claro que el doble de la longitud del cateto nos dará la abscisa del punto). ¿Cómo podemos buscarlo? ¿Recordemos qué tipo de figura tenemos en la base de la pirámide? Este es un hexágono regular. ¿Qué significa? Esto significa que todos los lados y todos los ángulos son iguales. Tenemos que encontrar uno de esos rincones. ¿Algunas ideas? Hay muchas ideas, pero hay una fórmula:

La suma de los ángulos de un n-ágono regular es .

Por tanto, la suma de los ángulos de un hexágono regular es grados. Entonces cada uno de los ángulos es igual a:

Miremos la imagen de nuevo. Está claro que el segmento es la bisectriz del ángulo. Entonces el ángulo es grados. Después:

Entonces dónde.

Entonces tiene coordenadas

b) Ahora podemos encontrar fácilmente la coordenada del punto: .

c) Encuentra las coordenadas del punto. Como su abscisa coincide con la longitud del segmento, es igual. Encontrar la ordenada tampoco es muy difícil: si conectamos los puntos y denotamos el punto de intersección de la línea, por ejemplo. (hágalo usted mismo construcción simple). Entonces Así, la ordenada del punto B es igual a la suma de las longitudes de los segmentos. Veamos el triángulo de nuevo. Después

Entonces desde Entonces el punto tiene coordenadas

d) Ahora encuentra las coordenadas del punto. Considere un rectángulo y demuestre que Por lo tanto, las coordenadas del punto son:

e) Resta encontrar las coordenadas del vértice. Es claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Busquemos una aplicación. Desde entonces. Considere un triángulo rectángulo. Por la condición del problema, el borde lateral. Esta es la hipotenusa de mi triángulo. Entonces la altura de la pirámide es el cateto.

Entonces el punto tiene coordenadas:

Eso es todo, tengo las coordenadas de todos los puntos de interés para mí. Busco las coordenadas de los vectores directores de las rectas:

Estamos buscando el ángulo entre estos vectores:

Responder:

Una vez más, al resolver este problema, no utilicé ningún truco sofisticado, excepto la fórmula para la suma de los ángulos de un n-ágono regular, así como la definición del coseno y el seno de un triángulo rectángulo.

3. Ya que de nuevo no se nos dan las longitudes de las aristas de la pirámide, las consideraré iguales a uno. Por lo tanto, dado que TODOS los bordes, y no solo los laterales, son iguales entre sí, entonces en la base de la pirámide y en mí se encuentra un cuadrado, y las caras laterales son triángulos regulares. Representemos tal pirámide, así como su base en un plano, marcando todos los datos dados en el texto del problema:

Estamos buscando el ángulo entre y. Haré cálculos muy breves cuando busque las coordenadas de los puntos. Deberá "descifrarlos":

b) - la mitad del segmento. Sus coordenadas:

c) Encontraré la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras en un triángulo. Encontraré por el teorema de Pitágoras en un triángulo.

Coordenadas:

d) - la mitad del segmento. sus coordenadas son

e) Coordenadas vectoriales

f) Coordenadas vectoriales

g) Buscando un ángulo:

El cubo es la figura más simple. Estoy seguro de que puedes resolverlo por tu cuenta. Las respuestas a los problemas 4 y 5 son las siguientes:

Hallar el ángulo entre una recta y un plano

Bueno, ¡el tiempo de los acertijos simples ha terminado! Ahora los ejemplos serán aún más difíciles. Para hallar el ángulo entre una recta y un plano procederemos de la siguiente manera:

1. Usando tres puntos, construimos la ecuación del plano
   ,
   utilizando un determinante de tercer orden.
2. Por dos puntos buscamos las coordenadas del vector director de la recta:
3. Aplicamos la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano:

Como puedes ver, esta fórmula es muy similar a la que usamos para encontrar los ángulos entre dos rectas. La estructura del lado derecho es exactamente la misma, y ​​en el lado izquierdo ahora estamos buscando un seno, y no un coseno, como antes. Bueno, se agregó una acción desagradable: la búsqueda de la ecuación del avión.

no dejemos de lado resolver ejemplos:

1. Os-no-va-ni-em directamente-mi premio-somos-la-et-xia iguales-pero-pobre-ren-ny Triangle-nick-te-con-ese premio-somos iguales. Hallar el ángulo entre la recta y el plano

2. En un pa-ral-le-le-pi-pe-de rectangular desde el oeste Nai-di-te el ángulo entre la línea recta y el plano

3. En el prisma de seis carbones diestro, todas las aristas son iguales. Encuentra el ángulo entre la línea recta y el plano.

4. En el triángulo recto pi-ra-mi-de con el os-but-va-ni-em desde el oeste de la costilla Nai-di-te ángulo, ob-ra-zo-van -ny plano del os -no-va-niya y recto-mi, pasando por el se-re-di-na de las costillas y

5. Las longitudes de todos los bordes del pi-ra-mi-dy cuadrangular derecho con la parte superior son iguales entre sí. Encuentre el ángulo entre la línea recta y el plano, si el punto está se-re-di-en el borde bo-ko-in-th de la pi-ra-mi-dy.

Nuevamente, resolveré los primeros dos problemas en detalle, el tercero, brevemente, y dejo los dos últimos para que los resuelva por su cuenta. Además, ya tenías que lidiar con pirámides triangulares y cuadrangulares, pero aún no con prismas.

Soluciones:

1. Dibuja un prisma, así como su base. Combinémoslo con el sistema de coordenadas y marquemos todos los datos que se dan en el enunciado del problema:

Pido disculpas por el incumplimiento de las proporciones, pero para resolver el problema, esto, de hecho, no es tan importante. El plano es solo la "pared trasera" de mi prisma. Basta simplemente adivinar que la ecuación de dicho plano tiene la forma:

Sin embargo, esto también se puede mostrar directamente:

Elegimos tres puntos arbitrarios en este plano: por ejemplo, .

Hagamos la ecuación del plano:

Ejercicio para ti: calcula tú mismo este determinante. ¿Tuviste éxito? Entonces la ecuación del plano tiene la forma:

O simplemente

De este modo,

Para resolver el ejemplo, necesito encontrar las coordenadas del vector director de la línea recta. Como el punto coincidía con el origen, las coordenadas del vector simplemente coincidirán con las coordenadas del punto, para ello primero hallamos las coordenadas del punto.

Para hacer esto, considere un triángulo. Dibujemos una altura (también es una mediana y una bisectriz) desde la parte superior. Ya que, entonces la ordenada del punto es igual. Para encontrar la abscisa de este punto, necesitamos calcular la longitud del segmento. Por el teorema de Pitágoras tenemos:

Entonces el punto tiene coordenadas:

Un punto es un "elevado" en un punto:

Entonces las coordenadas del vector:

Responder:

Como puede ver, no hay nada fundamentalmente difícil en resolver tales problemas. De hecho, la “rectitud” de una figura como un prisma simplifica un poco más el proceso. Ahora pasemos al siguiente ejemplo:

2. Dibujamos un paralelepípedo, dibujamos un plano y una línea recta en él, y también dibujamos por separado su base inferior:

Primero, encontramos la ecuación del plano: Las coordenadas de los tres puntos que se encuentran en él:

(las dos primeras coordenadas se obtienen de manera obvia, y puede encontrar fácilmente la última coordenada de la imagen del punto). Luego componemos la ecuación del plano:

Calculamos:

Buscamos las coordenadas del vector dirección: Está claro que sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto, ¿no? ¿Cómo encontrar las coordenadas? ¡Estas son las coordenadas del punto, elevadas a lo largo del eje de aplicación en uno! . Luego buscamos el ángulo deseado:

Responder:

3. Dibuja una pirámide hexagonal regular y luego dibuja un plano y una línea recta en ella.

Aquí es incluso problemático dibujar un plano, sin mencionar la solución de este problema, ¡pero al método de coordenadas no le importa! ¡Es en su versatilidad donde radica su principal ventaja!

El avión pasa por tres puntos: . Buscamos sus coordenadas:

una) . Visualice usted mismo las coordenadas de los dos últimos puntos. ¡Tendrás que resolver el problema con una pirámide hexagonal para esto!

2) Construimos la ecuación del plano:

Buscamos las coordenadas del vector: . (¡Vea el problema de la pirámide triangular de nuevo!)

3) Estamos buscando un ángulo:

Responder:

Como puede ver, no hay nada sobrenaturalmente difícil en estas tareas. Solo hay que tener mucho cuidado con las raíces. A los dos últimos problemas, solo daré respuestas:

Como puede ver, la técnica para resolver problemas es la misma en todas partes: la tarea principal es encontrar las coordenadas de los vértices y sustituirlas en algunas fórmulas. Nos queda considerar una clase más de problemas para calcular ángulos, a saber:

Cálculo de ángulos entre dos planos

El algoritmo de solución será el siguiente:

1. Para tres puntos buscamos la ecuación del primer plano:
2. Para los otros tres puntos, buscamos la ecuación del segundo plano:
3. Aplicamos la fórmula:

Como ves, la fórmula es muy parecida a las dos anteriores, con la ayuda de las cuales buscábamos ángulos entre rectas y entre recta y plano. Así que recordar este no te será difícil. Saltemos directamente al problema:

1. Un centenar de ro-sobre la base del prisma triangular recto es igual, y la dia-go-nal de la cara lateral es igual. Encuentra el ángulo entre el plano y el plano de la base del premio.

2. En el cuatro-re-coal-noy pi-ra-mi-de hacia la derecha, todas las aristas de alguien son iguales, encuentre el seno del ángulo entre el plano y el plano Ko-Stu, pasando por el punto de per-pen-di-ku-lyar-pero directo-mi.

3. En un prisma regular de cuatro carbones, los lados de la os-no-va-nia son iguales y los bordes laterales son iguales. En el borde de-me-che-al punto para que. Encuentre el ángulo entre los planos y

4. En el prisma cuadrangular recto, los lados de las bases son iguales y las aristas laterales son iguales. En el borde de-me-che-a un punto para que encuentre el ángulo entre los planos y.

5. En el cubo, encuentra el coseno del ángulo entre los planos y

Soluciones de problemas:

1. Dibujo un prisma triangular regular (en la base, un triángulo equilátero) y marco en él los planos que aparecen en la condición del problema:

Necesitamos encontrar las ecuaciones de dos planos: La ecuación base se obtiene de manera trivial: puedes hacer el determinante correspondiente para tres puntos, pero la ecuación la haré enseguida:

Ahora vamos a encontrar la ecuación Punto tiene coordenadas Punto - Ya que - la mediana y la altura del triángulo, es fácil de encontrar por el teorema de Pitágoras en un triángulo. Entonces el punto tiene coordenadas: Encuentra el aplicado del punto Para hacer esto, considera un triángulo rectángulo

Luego obtenemos las siguientes coordenadas: Componemos la ecuación del plano.

Calculamos el ángulo entre los planos:

Responder:

2. Hacer un dibujo:

Lo más difícil es entender qué tipo de plano misterioso es, pasando por un punto perpendicularmente. Bueno, lo principal es ¿qué es? ¡Lo principal es la atención! De hecho, la línea es perpendicular. La recta también es perpendicular. Entonces el plano que pasa por estas dos líneas será perpendicular a la línea y, dicho sea de paso, pasará por el punto. Este plano también pasa por la parte superior de la pirámide. Entonces el avión deseado - Y el avión ya se nos ha dado. Estamos buscando coordenadas de puntos.

Encontramos la coordenada del punto a través del punto. De un pequeño dibujo es fácil deducir que las coordenadas del punto serán las siguientes: ¿Qué falta ahora para hallar las coordenadas de la cima de la pirámide? Todavía falta calcular su altura. Esto se hace usando el mismo teorema de Pitágoras: primero, demuestre eso (trivialmente a partir de pequeños triángulos que forman un cuadrado en la base). Ya que por condición tenemos:

Ahora todo está listo: coordenadas de vértice:

Componemos la ecuación del plano:

Ya eres un experto en el cálculo de determinantes. Fácilmente recibirás:

O de lo contrario (si multiplicamos ambas partes por la raíz de dos)

Ahora encontremos la ecuación del plano:

(No olvidaste cómo obtenemos la ecuación del avión, ¿verdad? Si no entiendes de dónde vino este menos uno, ¡entonces vuelve a la definición de la ecuación del avión! Siempre resultaba antes de eso. que mi avión pertenecía al origen!)

Calculamos el determinante:

(Puedes notar que la ecuación del plano coincidió con la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos y ¡piensa por qué!)

Ahora calculamos el ángulo:

Necesitamos encontrar el seno:

Responder:

3. Una pregunta capciosa: ¿qué es un prisma rectangular, qué te parece? ¡Es solo un paralelepípedo muy conocido para ti! ¡Dibujando de inmediato! Incluso no puede representar la base por separado, aquí tiene poco uso:

El plano, como señalamos anteriormente, se escribe como una ecuación:

Ahora hacemos un avión

Inmediatamente componemos la ecuación del plano:

buscando un angulo

Ahora las respuestas a los dos últimos problemas:

Bueno, ahora es el momento de tomar un descanso, porque tú y yo somos geniales y hemos hecho un gran trabajo.

Coordenadas y vectores. Nivel avanzado

En este artículo, discutiremos con usted otra clase de problemas que se pueden resolver usando el método de coordenadas: problemas de distancia. A saber, consideraremos los siguientes casos:

1. Cálculo de la distancia entre líneas oblicuas.

He ordenado las tareas dadas a medida que aumenta su complejidad. Lo más fácil es encontrar distancia punto a plano y lo mas dificil es encontrar distancia entre líneas que se cruzan. Aunque, por supuesto, ¡nada es imposible! No procrastinemos e inmediatamente pasemos a la consideración de la primera clase de problemas:

Cálculo de la distancia de un punto a un plano

¿Qué necesitamos para resolver este problema?

1. Coordenadas del punto

Entonces, tan pronto como obtengamos todos los datos necesarios, aplicamos la fórmula:

Ya deberías saber cómo construimos la ecuación del plano a partir de los problemas anteriores que analicé en la última parte. Pongámonos manos a la obra de inmediato. El esquema es el siguiente: 1, 2 - Te ayudo a decidir, y con cierto detalle, 3, 4 - solo la respuesta, tú mismo tomas la decisión y comparas. ¡Empezado!

Tareas:

1. Dado un cubo. La longitud de la arista del cubo es Find-di-te distancia de se-re-di-ny de corte a plano

2. Dado el derecho-vil-naya cuatro-usted-rekh-carbón-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe borde cien-ro-en el os-no-va-nia es igual. Hallar-di-aquellas distancias de un punto a un plano donde -se-re-di-en las aristas.

3. En el pi-ra-mi-de triangular recto con os-but-va-ni-em, el otro borde es igual, y cien-ro-on os-no-van-niya es igual. Encuentra-di-esas distancias desde la parte superior hasta el plano.

4. En el prisma de seis carbones diestro, todas las aristas son iguales. Encuentra-di-esas distancias de un punto a un plano.

Soluciones:

1. Dibuja un cubo con aristas simples, construye un segmento y un plano, marca el centro del segmento con la letra

.

Primero, comencemos con uno fácil: encuentre las coordenadas de un punto. Desde entonces (¡recuerda las coordenadas de la mitad del segmento!)

Ahora componemos la ecuación del plano en tres puntos

\[\izquierda| (\begin(matriz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(matriz)) \right| = 0\]

Ahora puedo empezar a encontrar la distancia:

2. ¡Comenzamos nuevamente con un dibujo, en el que marcamos todos los datos!

Para una pirámide, sería útil dibujar su base por separado.

¡Incluso el hecho de que dibuje como una pata de pollo no nos impedirá resolver este problema fácilmente!

Ahora es fácil encontrar las coordenadas de un punto

Como las coordenadas del punto

2. Dado que las coordenadas del punto a son la mitad del segmento, entonces

Podemos encontrar fácilmente las coordenadas de dos puntos más en el plano, componemos la ecuación del plano y la simplificamos:

\[\izquierda| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(matriz)) \right|) \right| = 0\]

Como el punto tiene coordenadas: , entonces calculamos la distancia:

Respuesta (¡muy rara!):

Bueno, entendiste? Me parece que todo aquí es tan técnico como en los ejemplos que consideramos con usted en la parte anterior. Así que estoy seguro de que si dominas ese material, no te será difícil resolver los dos problemas restantes. Solo te daré las respuestas:

Cálculo de la distancia de una línea a un plano

De hecho, no hay nada nuevo aquí. ¿Cómo se pueden ubicar una línea y un plano uno respecto del otro? Tienen todas las posibilidades: que se corten, o que una recta sea paralela al plano. ¿Cuál crees que es la distancia de la línea al plano con el que se cruza la línea dada? Me parece que está claro que tal distancia es igual a cero. Caso poco interesante.

El segundo caso es más complicado: aquí la distancia ya no es cero. Sin embargo, dado que la línea es paralela al plano, cada punto de la línea es equidistante de este plano:

De este modo:

Y esto quiere decir que mi tarea se ha reducido a la anterior: buscamos las coordenadas de cualquier punto de la recta, buscamos la ecuación del plano, calculamos la distancia del punto al plano. De hecho, tales tareas en el examen son extremadamente raras. ¡Logré encontrar solo un problema, y ​​los datos en él eran tales que el método de coordenadas no era muy aplicable a él!

Ahora pasemos a otra clase de problemas mucho más importante:

Cálculo de la distancia de un punto a una línea

¿Qué necesitaremos?

1. Las coordenadas del punto desde el que buscamos la distancia:

2. Coordenadas de cualquier punto que se encuentre en una línea recta

3. Coordenadas del vector de dirección de la línea recta

¿Qué fórmula usamos?

¿Qué significa para ti el denominador de esta fracción? Debe quedar claro: esta es la longitud del vector director de la línea recta. ¡Aquí hay un numerador muy complicado! La expresión significa el módulo (longitud) del producto vectorial de vectores y Cómo calcular el producto vectorial, estudiamos en la parte anterior del trabajo. Actualiza tus conocimientos, ¡ahora nos será muy útil!

Así, el algoritmo para la resolución de problemas será el siguiente:

1. Buscamos las coordenadas del punto del que buscamos la distancia:

2. Buscamos las coordenadas de cualquier punto de la recta a la que buscamos la distancia:

3. Construyendo un vector

4. Construimos el vector director de la recta

5. Calcula el producto cruz

6. Buscamos la longitud del vector resultante:

7. Calcula la distancia:

¡Tenemos mucho trabajo y los ejemplos serán bastante complejos! ¡Así que ahora enfoca toda tu atención!

1. Dana es un pi-ra-mi-da triangular diestro con un vértice. Cien-ro-en el os-no-va-niya pi-ra-mi-dy es igual, you-so-ta es igual. Encuentre-di-esas distancias desde el se-re-di-ny del borde bo-ko-th a la línea recta, donde los puntos y son el se-re-di-ny de las costillas y co-de- vet -Stven-pero.

2. Las longitudes de las costillas y el ángulo recto-no-para-ral-le-le-pi-pe-da son iguales, respectivamente, y la distancia Find-di-te de top-shi-ny a straight-my

3. En el prisma de seis carbones de la derecha, todas las aristas de un enjambre tienen la misma distancia entre un punto y una línea recta.

Soluciones:

1. Hacemos un dibujo limpio, en el que marcamos todos los datos:

¡Tenemos mucho trabajo para ti! Primero me gustaría describir con palabras lo que buscaremos y en qué orden:

1. Coordenadas de puntos y

2. Coordenadas del punto

3. Coordenadas de puntos y

4. Coordenadas de vectores y

5. Su producto vectorial

6. Longitud de vectores

7. La longitud del producto vectorial

8. Distancia de a

Bueno, ¡tenemos mucho trabajo por hacer! ¡Vamos a arremangarnos!

1. Para encontrar las coordenadas de la altura de la pirámide, necesitamos saber las coordenadas del punto, su aplicado es cero y la ordenada es igual a su abscisa. Finalmente, obtuvimos las coordenadas:

Coordenadas del punto

2. - medio del segmento

3. - la mitad del segmento

punto medio

4.Coordenadas

Coordenadas vectoriales

5. Calcular el producto vectorial:

6. La longitud del vector: la forma más fácil es reemplazar que el segmento es la línea media del triángulo, lo que significa que es igual a la mitad de la base. De modo que.

7. Consideramos la longitud del producto vectorial:

8. Finalmente, encuentra la distancia:

¡Uf, eso es todo! Honestamente, te diré: resolver este problema por métodos tradicionales (a través de construcciones) sería mucho más rápido. ¡Pero aquí reduje todo a un algoritmo listo para usar! ¿Creo que el algoritmo de solución te queda claro? Por lo tanto, le pediré que resuelva los dos problemas restantes por su cuenta. ¿Comparar respuestas?

Nuevamente, repito: es más fácil (más rápido) resolver estos problemas a través de construcciones, en lugar de recurrir al método de las coordenadas. Demostré esta forma de resolver solo para mostrarle un método universal que le permite "no completar nada".

Finalmente, considere la última clase de problemas:

Cálculo de la distancia entre líneas oblicuas

Aquí el algoritmo para resolver problemas será similar al anterior. Que tenemos:

3. Cualquier vector que conecte los puntos de la primera y la segunda línea:

¿Cómo encontramos la distancia entre líneas?

La fórmula es:

El numerador es el módulo del producto mixto (lo presentamos en la parte anterior), y el denominador - como en la fórmula anterior (el módulo del producto vectorial de los vectores directores de las líneas, la distancia entre la que estamos buscando por).

te recordaré que

después la fórmula de la distancia se puede reescribir como:

¡Divida este determinante por el determinante! Aunque, para ser honesto, ¡no estoy de humor para bromas aquí! Esta fórmula, de hecho, es muy engorrosa y conduce a cálculos bastante complicados. ¡Si yo fuera tú, solo lo usaría como último recurso!

Intentemos resolver algunos problemas usando el método anterior:

1. En el prisma triangular recto, todas las aristas son de alguna manera iguales, encuentre la distancia entre las líneas rectas y.

2. Dado un prisma triangular con forma de frente derecho, todos los bordes de la os-no-va-niya de alguien son iguales a Se-che-tion, pasando por la otra costilla y las costillas se-re-di-nu son yav-la-et-sya cuadrado-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie entre straight-we-mi y

Yo decido lo primero, y en base a ello, ¡tú decides lo segundo!

1. Dibujo un prisma y marco las líneas y

Coordenadas del punto C: entonces

Coordenadas del punto

Coordenadas vectoriales

Coordenadas del punto

Coordenadas vectoriales

Coordenadas vectoriales

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(matriz)(*(20)(l))(\begin(matriz)(*(20)(c))0&1&0\end(matriz))\\(\begin(matriz)(*(20) (c))0&0&1\end(matriz))\\(\begin(matriz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(matriz))\end(matriz)) \right| = \frac((\raíz cuadrada 3 ))(2)\]

Consideramos el producto vectorial entre los vectores y

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(matriz)(l)\begin(matriz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(matriz)\\\begin(matriz )(*(20)(c))0&0&1\end(matriz)\\\begin(matriz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matriz)\end(matriz) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Ahora consideramos su longitud:

Responder:

Ahora intenta completar con cuidado la segunda tarea. La respuesta será:.

Coordenadas y vectores. Breve descripción y fórmulas básicas

Un vector es un segmento dirigido. - el comienzo del vector, - el final del vector.
El vector se denota por o.

Valor absoluto vector - la longitud del segmento que representa el vector. Designado como.

Coordenadas vectoriales:

,
donde están los extremos del vector \displaystyle a .

Suma de vectores: .

El producto de vectores:

Producto escalar de vectores:

El producto escalar de vectores es igual al producto de sus valores absolutos y el coseno del ángulo entre ellos:

Bueno, el tema ha terminado. Si estás leyendo estas líneas, entonces eres muy chévere.

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Definición

Escalar- un valor que se puede caracterizar por un número. Por ejemplo, longitud, área, masa, temperatura, etc.

Vector un segmento dirigido se llama $\overline(A B)$; el punto $A$ es el comienzo, el punto $B$ es el final del vector (Fig. 1).

Un vector se denota con dos letras mayúsculas - su principio y final: $\overline(A B)$ o con una letra minúscula: $\overline(a)$.

Definición

Si el principio y el final de un vector son iguales, dicho vector se llama cero. La mayoría de las veces, el vector nulo se denota como $\overline(0)$.

Los vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas (Fig. 2).

Definición

Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman codireccional, si sus direcciones son las mismas: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman direcciones opuestas, si sus direcciones son opuestas: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3b).

Definición

Los vectores se llaman coplanario si son paralelos al mismo plano o se encuentran en el mismo plano (Fig. 4).

Dos vectores son siempre coplanares.

Definición

Longitud (módulo) vector $\overline(A B)$ es la distancia entre su inicio y final: $|\overline(A B)|$

Una teoría detallada sobre la longitud de un vector está en el enlace.

La longitud del vector nulo es cero.

Definición

Un vector cuya longitud es igual a uno se llama vector unitario o ortom.

Los vectores se llaman igual si están sobre una sola línea o paralelas; sus direcciones coinciden y sus longitudes son iguales.

En otras palabras, dos vectores igual, si son colineales, codirigidos y tienen longitudes iguales:

$\overline(a)=\overline(b)$ si $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

En un punto arbitrario $M$ en el espacio, uno puede construir un solo vector $\overline(M N)$ igual al vector dado $\overline(A B)$.

Finalmente, tengo en mis manos un tema extenso y largamente esperado. geometría analítica. Primero, un poco sobre esta sección de matemáticas superiores…. Seguro que ahora recordabas el curso de geometría del colegio con numerosos teoremas, sus demostraciones, dibujos, etc. Qué ocultar, un tema poco querido y a menudo oscuro para una proporción significativa de estudiantes. La geometría analítica, curiosamente, puede parecer más interesante y accesible. ¿Qué significa el adjetivo "analítico"? Inmediatamente vienen a la mente dos giros matemáticos estampados: “método gráfico de solución” y “método analítico de solución”. Método gráfico, por supuesto, está asociado con la construcción de gráficos, dibujos. Analítico mismo método implica la resolución de problemas predominantemente mediante operaciones algebraicas. En este sentido, el algoritmo para resolver casi todos los problemas de geometría analítica es simple y transparente, a menudo basta con aplicar con precisión las fórmulas necesarias, ¡y la respuesta está lista! No, por supuesto, no prescindirá de los dibujos, además, para una mejor comprensión del material, intentaré traerlos en exceso de la necesidad.

El curso abierto de lecciones de geometría no pretende ser una compleción teórica, se centra en la resolución de problemas prácticos. Incluiré en mis conferencias solo lo que, desde mi punto de vista, es importante en términos prácticos. Si necesita una referencia más completa sobre cualquier subsección, le recomiendo la siguiente literatura bastante accesible:

1) Una cosa que, no es broma, es familiar para varias generaciones: Libro de texto escolar sobre geometría., los autores - L.S. Atanasyan y Compañía. Este colgador de vestuario escolar ya ha resistido 20 (!) reediciones, que, por supuesto, no es el límite.

2) Geometría en 2 volúmenes. Los autores L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Esta es literatura para educación superior, necesitarás primer volumen. Las tareas que ocurren con poca frecuencia pueden quedar fuera de mi campo de visión, y el tutorial será de gran ayuda.

Ambos libros se pueden descargar gratis en línea. Además, puede usar mi archivo con soluciones listas para usar, que se pueden encontrar en la página Descargar ejemplos de matemáticas superiores.

De las herramientas, nuevamente ofrezco mi propio desarrollo: paquete de software en geometría analítica, que simplificará enormemente la vida y ahorrará mucho tiempo.

Se supone que el lector está familiarizado con los conceptos y figuras geométricas básicas: punto, línea, plano, triángulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. Conviene recordar algunos teoremas, al menos el teorema de Pitágoras, hola repetidores)

Y ahora consideraremos secuencialmente: el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales. Además recomiendo leer el articulo mas importante Producto escalar de vectores, tanto como Vector y producto mixto de vectores. La tarea local no será superflua - División del segmento en este sentido. Con base en la información anterior, puede ecuación de una recta en un plano Con los ejemplos más simples de soluciones, lo que permitirá aprender a resolver problemas de geometría. Los siguientes artículos también son útiles: Ecuación de un plano en el espacio, Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre la recta y el plano , otros apartados de geometría analítica. Naturalmente, las tareas estándar se considerarán en el camino.

El concepto de un vector. vector libre

Primero, repitamos la definición escolar de un vector. Vector llamó dirigido un segmento para el cual se indica su comienzo y final:

En este caso, el comienzo del segmento es el punto, el final del segmento es el punto. El vector en sí se denota por . Dirección es esencial, si reorganizas la flecha al otro extremo del segmento, obtienes un vector, y esto ya es vector completamente diferente. Conviene identificar el concepto de vector con el movimiento de un cuerpo físico: hay que admitir que entrar por las puertas de un instituto o salir por las puertas de un instituto son cosas completamente diferentes.

Es conveniente considerar puntos individuales de un plano, espacio como el llamado vector cero. Tal vector tiene el mismo fin y comienzo.

!!! Nota: Aquí y a continuación, puede suponer que los vectores se encuentran en el mismo plano o puede suponer que están ubicados en el espacio: la esencia del material presentado es válida tanto para el plano como para el espacio.

Designaciones:¡Muchos inmediatamente llamaron la atención sobre un palo sin una flecha en la designación y dijeron que también pusieron una flecha en la parte superior! Así es, puedes escribir con una flecha: , pero admisible y registro que usaré más tarde. ¿Por qué? Aparentemente, tal hábito se ha desarrollado a partir de consideraciones prácticas, mis tiradores en la escuela y la universidad resultaron ser demasiado diversos y peludos. En la literatura educativa, a veces no se molestan en absoluto con la escritura cuneiforme, sino que resaltan las letras en negrita: , lo que implica que se trata de un vector.

Ese era el estilo, y ahora sobre las formas de escribir vectores:

1) Los vectores se pueden escribir con dos letras latinas mayúsculas:
y así. Mientras que la primera letra necesariamente denota el punto inicial del vector, y la segunda letra denota el punto final del vector.

2) Los vectores también se escriben en minúsculas latinas:
En particular, nuestro vector puede ser redesignado por brevedad con una letra latina minúscula.

Longitud o módulo vector distinto de cero se llama la longitud del segmento. La longitud del vector nulo es cero. Lógicamente.

La longitud de un vector se denota con el signo de módulo: ,

Cómo encontrar la longitud de un vector, aprenderemos (o repetiremos, para quién cómo) un poco más adelante.

Esa era información elemental sobre el vector, familiar para todos los escolares. En geometría analítica, los llamados vector libre.

Si es bastante simple - el vector se puede dibujar desde cualquier punto:

Solíamos llamar a tales vectores iguales (la definición de vectores iguales se dará a continuación), pero desde un punto de vista puramente matemático, este es el MISMO VECTOR o vector libre. ¿Por qué gratis? Porque en el curso de la resolución de problemas puedes “adjuntar” uno u otro vector a CUALQUIER punto del plano o espacio que necesites. ¡Esta es una propiedad genial! Imagine un vector de longitud y dirección arbitrarias: se puede "clonar" un número infinito de veces y en cualquier punto del espacio; de hecho, existe EN TODAS PARTES. Existe un proverbio de tal estudiante: Cada profesor en f ** u en el vector. Después de todo, no es solo una rima ingeniosa, todo es matemáticamente correcto: también se puede adjuntar un vector allí. Pero no se apresure a regocijarse, los propios estudiantes sufren más a menudo =)

Asi que, vector libre- esto es un montón de segmentos direccionales idénticos. La definición escolar de un vector, dada al comienzo del párrafo: "Un segmento dirigido se llama vector ...", implica específico un segmento dirigido tomado de un conjunto dado, que está unido a un cierto punto en el plano o espacio.

Cabe señalar que, desde el punto de vista de la física, el concepto de vector libre es generalmente incorrecto y el punto de aplicación del vector es importante. En efecto, un golpe directo de la misma fuerza en la nariz o en la frente es suficiente para desarrollar mi estúpido ejemplo que conlleva consecuencias diferentes. Sin embargo, no gratuito los vectores también se encuentran en el curso de vyshmat (no vayas allí :)).

Acciones con vectores. Colinealidad de vectores

En el curso de geometría escolar, se consideran una serie de acciones y reglas con vectores: la suma según la regla del triángulo, la suma según la regla del paralelogramo, la regla de la diferencia de vectores, la multiplicación de un vector por un número, el producto escalar de vectores, etc. Como semilla, repetimos dos reglas que son especialmente relevantes para resolver problemas de geometría analítica.

Regla de la suma de vectores según la regla de los triángulos

Considere dos vectores arbitrarios distintos de cero y:

Se requiere encontrar la suma de estos vectores. Debido al hecho de que todos los vectores se consideran libres, posponemos el vector de final vectorial:

La suma de vectores es el vector . Para una mejor comprensión de la regla, es aconsejable darle un significado físico: dejar que algún cuerpo haga un camino a lo largo del vector, y luego a lo largo del vector. Entonces la suma de los vectores es el vector del camino resultante que comienza en el punto de partida y termina en el punto de llegada. Se formula una regla similar para la suma de cualquier número de vectores. Como dicen, el cuerpo puede seguir su camino fuertemente en zigzag, o tal vez en piloto automático, a lo largo del vector de suma resultante.

Por cierto, si el vector se pospone de comienzo vector, entonces obtenemos el equivalente regla del paralelogramo adición de vectores.

Primero, sobre la colinealidad de los vectores. Los dos vectores se llaman colineal si están en la misma línea o en líneas paralelas. En términos generales, estamos hablando de vectores paralelos. Pero en relación con ellos, siempre se usa el adjetivo "colineal".

Imagina dos vectores colineales. Si las flechas de estos vectores están dirigidas en la misma dirección, entonces tales vectores se llaman codireccional. Si las flechas miran en diferentes direcciones, entonces los vectores serán dirigido de manera opuesta.

Designaciones: la colinealidad de los vectores se escribe con el ícono de paralelismo habitual: , mientras que es posible detallar: (los vectores están codirigidos) o (los vectores están dirigidos de manera opuesta).

trabajar de un vector distinto de cero por un número es un vector cuya longitud es igual a , y los vectores y están codirigidos y dirigidos de manera opuesta a .

La regla para multiplicar un vector por un número es más fácil de entender con una imagen:

Entendemos con más detalle:

1 dirección. Si el multiplicador es negativo, entonces el vector cambia de dirección al contrario

2) Longitud. Si el factor está contenido dentro de o , entonces la longitud del vector disminuye. Entonces, la longitud del vector es dos veces menor que la longitud del vector. Si el módulo multiplicador es mayor que uno, entonces la longitud del vector aumenta a tiempo.

3) Tenga en cuenta que todos los vectores son colineales, mientras que un vector se expresa a través de otro, por ejemplo, . Lo contrario también es cierto: si un vector puede expresarse en términos de otro, entonces dichos vectores son necesariamente colineales. De este modo: si multiplicamos un vector por un número, obtenemos colinealidad(relativo al original) vector.

4) Los vectores son codireccionales. Los vectores y también son codireccionales. Cualquier vector del primer grupo es opuesto a cualquier vector del segundo grupo.

¿Qué vectores son iguales?

Dos vectores son iguales si son codireccionales y tienen la misma longitud. Tenga en cuenta que la codirección implica que los vectores son colineales. La definición será inexacta (redundante) si dice: "Dos vectores son iguales si son colineales, codirigidos y tienen la misma longitud".

Desde el punto de vista del concepto de vector libre, los vectores iguales son el mismo vector, que ya se discutió en el párrafo anterior.

Coordenadas vectoriales en el plano y en el espacio

El primer punto es considerar vectores en un plano. Dibuje un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares y apártelo del origen único vectores y :

Vectores y ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Recomiendo acostumbrarse lentamente a los términos: en lugar de paralelismo y perpendicularidad, usamos las palabras respectivamente colinealidad y ortogonalidad.

Designacion: la ortogonalidad de los vectores se escribe con el signo perpendicular habitual, por ejemplo: .

Los vectores considerados se denominan Vectores de coordenadas o ortos. Estos vectores forman base en la superficie. Cuál es la base, creo, es intuitivamente claro para muchos, se puede encontrar información más detallada en el artículo (No) dependencia lineal de vectores. base vectorial.En palabras simples, la base y el origen de las coordenadas definen todo el sistema: este es un tipo de base sobre la cual hierve una vida geométrica rica y completa.

A veces la base construida se llama ortonormal base del plano: "orto" - debido a que los vectores de coordenadas son ortogonales, el adjetivo "normalizado" significa unidad, es decir las longitudes de los vectores base son iguales a uno.

Designacion: la base suele escribirse entre paréntesis, dentro de la cual en estricto orden se enumeran los vectores base, por ejemplo: . Vectores de coordenadas esta prohibido intercambiar lugares.

Ningún avion vectores la única forma expresado como:
, dónde - números, que se llaman coordenadas vectoriales en esta base. Pero la expresión en sí llamó descomposición vectorialbase .

Cena servida:

Comencemos con la primera letra del alfabeto: . El dibujo muestra claramente que al descomponer el vector en términos de la base, se utilizan los recién considerados:
1) la regla de la multiplicación de un vector por un número: y ;
2) suma de vectores según la regla del triángulo: .

Ahora aparta mentalmente el vector de cualquier otro punto del plano. Es bastante obvio que su corrupción "lo seguirá implacablemente". Aquí está, la libertad del vector: el vector "lleva todo contigo". Esta propiedad, por supuesto, es cierta para cualquier vector. Es curioso que los vectores básicos (libres) en sí mismos no tengan que separarse del origen, uno se puede dibujar, por ejemplo, en la parte inferior izquierda y el otro en la parte superior derecha, ¡y nada cambiará de esto! Es cierto que no necesita hacer esto, porque el maestro también mostrará originalidad y le dibujará un "pase" en un lugar inesperado.

Los vectores ilustran exactamente la regla para multiplicar un vector por un número, el vector está codirigido con el vector base, el vector está dirigido en dirección opuesta al vector base. Para estos vectores, una de las coordenadas es igual a cero, se puede escribir minuciosamente de la siguiente manera:


Y los vectores base, por cierto, son así: (de hecho, se expresan a través de ellos mismos).

Y finalmente: , . Por cierto, ¿qué es la resta de vectores y por qué no te hablé de la regla de la resta? En algún lugar de álgebra lineal, no recuerdo dónde, noté que la resta es un caso especial de suma. Entonces, las expansiones de los vectores "de" y "e" se escriben tranquilamente como una suma: . Reorganice los términos en lugares y siga el dibujo con qué claridad funciona la vieja suma de vectores de acuerdo con la regla del triángulo en estas situaciones.

Descomposición considerada de la forma a veces llamada descomposición vectorial en el sistema ort(es decir, en el sistema de vectores unitarios). Pero esta no es la única forma de escribir un vector, la siguiente opción es común:

O con un signo igual:

Los propios vectores base se escriben de la siguiente manera: y

Es decir, las coordenadas del vector se indican entre paréntesis. En tareas prácticas, se utilizan las tres opciones de grabación.

Dudé si hablar, pero aun así diré: las coordenadas vectoriales no se pueden reorganizar. Estrictamente en primer lugar escribe la coordenada que corresponde al vector unitario, estrictamente en segundo lugar anota la coordenada que corresponde al vector unitario. Efectivamente, y son dos vectores diferentes.

Averiguamos las coordenadas en el avión. Ahora considere los vectores en el espacio tridimensional, ¡todo es casi igual aquí! Solo se agregará una coordenada más. Es difícil realizar dibujos tridimensionales, por lo que me limitaré a un vector, que por simplicidad pospondré desde el origen:

Ningún vector de espacio 3d la única forma expande en una base ortonormal:
, donde son las coordenadas del vector (número) en la base dada.

Ejemplo de la imagen: . Veamos cómo funcionan aquí las reglas de acción de vectores. Primero, multiplicando un vector por un número: (flecha roja), (flecha verde) y (flecha magenta). En segundo lugar, aquí hay un ejemplo de sumar varios, en este caso tres, vectores: . El vector de suma comienza en el punto inicial de partida (el comienzo del vector) y termina en el punto final de llegada (el final del vector).

Todos los vectores del espacio tridimensional, por supuesto, también son gratuitos, intente posponer mentalmente el vector desde cualquier otro punto, y comprenderá que su expansión "permanece con él".

De manera similar al caso del avión, además de escribir Las versiones con corchetes son ampliamente utilizadas: ya sea .

Si falta uno (o dos) vectores de coordenadas en la expansión, se colocan ceros en su lugar. Ejemplos:
vector (meticulosamente ) - anote ;
vector (meticulosamente ) - anote ;
vector (meticulosamente ) - anote .

Los vectores base se escriben de la siguiente manera:

Aquí, quizás, está todo el conocimiento teórico mínimo necesario para resolver problemas de geometría analítica. Quizás hay demasiados términos y definiciones, por lo que recomiendo a los tontos que vuelvan a leer y comprender esta información nuevamente. Y será útil para cualquier lector consultar la lección básica de vez en cuando para una mejor asimilación del material. Colinealidad, ortogonalidad, base ortonormal, descomposición vectorial: estos y otros conceptos se utilizarán a menudo en lo que sigue. Observo que los materiales del sitio no son suficientes para pasar una prueba teórica, un coloquio sobre geometría, ya que encripto cuidadosamente todos los teoremas (además de sin pruebas), en detrimento del estilo científico de presentación, pero una ventaja para su comprensión. del sujeto. Para obtener información teórica detallada, le pido que se incline ante el profesor Atanasyan.

Ahora pasemos a la parte práctica:

Los problemas más simples de geometría analítica.
Acciones con vectores en coordenadas

Las tareas que se considerarán, es muy deseable aprender a resolverlas de forma totalmente automática, y las fórmulas memorizar, ni siquiera lo recuerdes a propósito, ellos mismos lo recordarán =) Esto es muy importante, ya que otros problemas de geometría analítica se basan en los ejemplos elementales más simples, y será molesto perder tiempo extra comiendo peones. No es necesario que abroches los botones superiores de tu camisa, muchas cosas te son familiares de la escuela.

La presentación del material seguirá un curso paralelo, tanto para el plano como para el espacio. Por la razón de que todas las fórmulas... lo verás por ti mismo.

¿Cómo encontrar un vector dados dos puntos?

Si se dan dos puntos del plano y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Eso es, de las coordenadas del final del vector necesitas restar las coordenadas correspondientes inicio vectorial.

Ejercicio: Para los mismos puntos, escriba las fórmulas para encontrar las coordenadas del vector. Fórmulas al final de la lección.

Ejemplo 1

Dados dos puntos en el plano y . Encuentra coordenadas vectoriales

Solución: según la fórmula correspondiente:

Alternativamente, se podría utilizar la siguiente notación:

Los estetas decidirán así:

Personalmente, estoy acostumbrado a la primera versión del disco.

Responder:

De acuerdo con la condición, no se requería construir un dibujo (que es típico de los problemas de geometría analítica), pero para explicar algunos puntos a los tontos, no seré demasiado perezoso:

debe ser entendido diferencia entre coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales:

Coordenadas del punto son las coordenadas habituales en un sistema de coordenadas rectangulares. Creo que todos saben cómo trazar puntos en el plano de coordenadas desde el grado 5-6. Cada punto tiene un lugar estricto en el plano y no se pueden mover a ningún lado.

Las coordenadas del mismo vector es su dilatación con respecto a la base, en este caso. Cualquier vector es libre, por lo tanto, si es necesario, podemos posponerlo fácilmente desde algún otro punto del plano. Curiosamente, para los vectores, no puedes construir ejes en absoluto, un sistema de coordenadas rectangulares, solo necesitas una base, en este caso, una base ortonormal del plano.

Los registros de coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales parecen ser similares: , y sentido de las coordenadas absolutamente diferente, y usted debe ser muy consciente de esta diferencia. Esta diferencia, por supuesto, también es válida para el espacio.

Damas y caballeros, nos llenamos las manos:

Ejemplo 2

a) Dados los puntos y . Encuentre vectores y .
b) Se dan puntos y . Encuentre vectores y .
c) Dados los puntos y . Encuentre vectores y .
d) Se otorgan puntos. Buscar vectores .

Tal vez lo suficiente. Estos son ejemplos para una decisión independiente, trate de no descuidarlos, valdrá la pena ;-). No se requieren dibujos. Soluciones y respuestas al final de la lección.

¿Qué es importante en la resolución de problemas de geometría analítica? Es importante ser EXTREMADAMENTE CUIDADOSO para evitar el magistral error “dos más dos igual a cero”. Me disculpo de antemano si cometí un error =)

¿Cómo encontrar la longitud de un segmento?

La longitud, como ya se señaló, está indicada por el signo del módulo.

Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula

Si se dan dos puntos en el espacio y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula

Nota: Las fórmulas seguirán siendo correctas si se intercambian las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar

Ejemplo 3

Solución: según la fórmula correspondiente:

Responder:

Para mayor claridad, haré un dibujo.

Segmento de línea - no es un vector, y no puedes moverlo a ningún lado, por supuesto. Además, si completas el dibujo a escala: 1 unidad. \u003d 1 cm (dos celdas de tétrada), luego la respuesta se puede verificar con una regla regular midiendo directamente la longitud del segmento.

Sí, la solución es corta, pero hay un par de puntos importantes que me gustaría aclarar:

Primero, en la respuesta establecemos la dimensión: "unidades". La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, la formulación general será una solución matemáticamente competente: "unidades" - abreviado como "unidades".

En segundo lugar, repitamos el material escolar, que es útil no solo para el problema considerado:

prestar atención a truco técnico importante – sacando el multiplicador de debajo de la raiz. Como resultado de los cálculos, obtuvimos el resultado y un buen estilo matemático consiste en sacar el factor de debajo de la raíz (si es posible). El proceso se ve así con más detalle: . Por supuesto, dejar la respuesta en el formulario no será un error, pero definitivamente es un defecto y un argumento de peso para ser quisquilloso por parte del profesor.

Aquí hay otros casos comunes:

A menudo se obtiene un número suficientemente grande debajo de la raíz, por ejemplo. ¿Cómo ser en tales casos? En la calculadora, comprobamos si el número es divisible por 4:. Sí, dividir por completo, por lo tanto: . ¿O tal vez el número se puede dividir por 4 nuevamente? . De este modo: . El último dígito del número es impar, por lo que dividir por 4 por tercera vez claramente no es posible. Tratando de dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.

Conclusión: si debajo de la raíz obtenemos un número entero que no se puede extraer, entonces tratamos de sacar el factor de debajo de la raíz; en la calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

En el curso de la resolución de varios problemas, a menudo se encuentran raíces, siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una puntuación más baja y problemas innecesarios para finalizar sus soluciones de acuerdo con el comentario del maestro.

Repitamos el cuadrado de las raíces y otras potencias al mismo tiempo:

Las reglas para acciones con grados en forma general se pueden encontrar en un libro de texto escolar sobre álgebra, pero creo que todo o casi todo ya está claro a partir de los ejemplos dados.

Tarea para una solución independiente con un segmento en el espacio:

Ejemplo 4

Dados los puntos y . Encuentra la longitud del segmento.

Solución y respuesta al final de la lección.

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Si se da un vector plano, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula.

Si se da un vector espacial, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula .

Definición estándar: "Un vector es un segmento de línea dirigido". Este suele ser el límite del conocimiento de vectores de un graduado. ¿Quién necesita algún tipo de "segmentos dirigidos"?

Pero, de hecho, ¿qué son los vectores y por qué lo son?
Pronóstico del tiempo. "Viento noroeste, velocidad 18 metros por segundo". De acuerdo, la dirección del viento (de dónde sopla) y el módulo (es decir, el valor absoluto) de su velocidad también importan.

Las cantidades que no tienen dirección se llaman escalares. La masa, el trabajo, la carga eléctrica no se dirigen a ninguna parte. Se caracterizan solo por un valor numérico: "cuántos kilogramos" o "cuántos julios".

Las cantidades físicas que no solo tienen un valor absoluto, sino también una dirección se llaman cantidades vectoriales.

Velocidad, fuerza, aceleración - vectores. Para ellos, es importante "cuánto" y es importante "dónde". Por ejemplo, la aceleración de caída libre está dirigida hacia la superficie de la Tierra y su valor es de 9,8 m/s 2 . El momento, la fuerza del campo eléctrico, la inducción del campo magnético también son cantidades vectoriales.

Recuerdas que las cantidades físicas se denotan con letras, latinas o griegas. La flecha sobre la letra indica que la cantidad es un vector:

Aquí hay otro ejemplo.
El carro se mueve de A a B. El resultado final es su movimiento del punto A al punto B, es decir, movimiento por un vector .

Ahora está claro por qué un vector es un segmento dirigido. Presta atención, el final del vector es donde está la flecha. Longitud vectorial se llama la longitud de este segmento. designado: o

Hasta ahora, hemos estado trabajando con cantidades escalares, de acuerdo con las reglas de la aritmética y el álgebra elemental. Los vectores son un nuevo concepto. Esta es otra clase de objetos matemáticos. Tienen sus propias reglas.

Érase una vez, ni siquiera sabíamos de números. El conocimiento de ellos comenzó en los grados de primaria. Resultó que los números se pueden comparar entre sí, sumar, restar, multiplicar y dividir. Aprendimos que hay un número uno y un número cero.
Ahora conocemos los vectores.

Los conceptos de "mayor que" y "menor que" no existen para los vectores; después de todo, sus direcciones pueden ser diferentes. Solo puedes comparar las longitudes de los vectores.

Pero el concepto de igualdad de vectores sí lo es.
Igual son vectores que tienen la misma longitud y la misma dirección. Esto significa que el vector se puede mover paralelo a sí mismo a cualquier punto del plano.
único se llama un vector cuya longitud es 1 . Cero: un vector cuya longitud es igual a cero, es decir, su comienzo coincide con el final.

Es más conveniente trabajar con vectores en un sistema de coordenadas rectangulares, en el que dibujamos gráficos de funciones. Cada punto en el sistema de coordenadas corresponde a dos números: sus coordenadas x e y, abscisa y ordenada.
El vector también viene dado por dos coordenadas:

Aquí, las coordenadas del vector se escriben entre paréntesis, en x y en y.
Son fáciles de encontrar: la coordenada del final del vector menos la coordenada de su comienzo.

Si se dan las coordenadas del vector, su longitud se encuentra mediante la fórmula

Suma de vectores

Hay dos formas de sumar vectores.

una . regla del paralelogramo Para sumar los vectores y , colocamos los orígenes de ambos en el mismo punto. Completamos el paralelogramo y dibujamos la diagonal del paralelogramo desde el mismo punto. Esta será la suma de los vectores y .

¿Recuerdas la fábula del cisne, el cáncer y el lucio? Se esforzaron mucho, pero nunca movieron el carro. Después de todo, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas por ellos al carro era igual a cero.

2. La segunda forma de sumar vectores es la regla del triángulo. Tomemos los mismos vectores y . Agregamos el comienzo del segundo al final del primer vector. Ahora conectemos el comienzo del primero y el final del segundo. Esta es la suma de los vectores y .

Por la misma regla, puede agregar varios vectores. Los adjuntamos uno por uno y luego conectamos el comienzo del primero con el final del último.

Imagina que vas del punto A al punto B, de B a C, de C a D, luego a E y luego a F. El resultado final de estas acciones es un movimiento de A a F.

Al sumar vectores y obtenemos:

resta de vectores

El vector está dirigido en dirección opuesta al vector . Las longitudes de los vectores y son iguales.

Ahora está claro qué es la resta de vectores. La diferencia de los vectores y es la suma del vector y el vector .

Multiplicar un vector por un número

Multiplicar un vector por un número k da como resultado un vector cuya longitud es k veces diferente de la longitud . Es codireccional con el vector si k es mayor que cero, y de dirección opuesta si k es menor que cero.

Producto escalar de vectores

Los vectores se pueden multiplicar no solo por números, sino también entre sí.

El producto escalar de vectores es el producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos.

Preste atención: multiplicamos dos vectores y obtuvimos un escalar, es decir, un número. Por ejemplo, en física, el trabajo mecánico es igual al producto escalar de dos vectores: fuerza y ​​desplazamiento:

Si los vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.
Y así se expresa el producto escalar en función de las coordenadas de los vectores y:

A partir de la fórmula del producto escalar, puedes encontrar el ángulo entre los vectores:

Esta fórmula es especialmente conveniente en estereometría. Por ejemplo, en el problema 14 de Profile USE en matemáticas, necesitas encontrar el ángulo entre líneas que se intersecan o entre una línea y un plano. El problema 14 a menudo se resuelve varias veces más rápido con el método vectorial que con el clásico.

En el currículo escolar de matemáticas solo se estudia el producto escalar de vectores.
Resulta que, además del escalar, también existe el producto vectorial, cuando se obtiene un vector como resultado de multiplicar dos vectores. Quien aprueba el examen de física, sabe qué es la fuerza de Lorentz y la fuerza de Ampère. Las fórmulas para encontrar estas fuerzas incluyen exactamente productos vectoriales.

Los vectores son una herramienta matemática muy útil. Se convencerá de esto en el primer curso.

2018 Olshevski Andrey Georgievich

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Vectores en el plano y en el espacio, formas de resolver problemas, ejemplos, fórmulas

1 Vectores en el espacio

Los vectores en el espacio incluyen geometría 10, clase 11 y geometría analítica. Los vectores le permiten resolver de manera efectiva los problemas geométricos de la segunda parte del examen y la geometría analítica en el espacio. Los vectores en el espacio se dan de la misma forma que los vectores en el plano, pero se tiene en cuenta la tercera coordenada z. La exclusión de vectores en el espacio de la tercera dimensión da vectores en el plano, lo que explica la geometría de 8, 9 clases.

1.1 Vector en el plano y en el espacio

Un vector es un segmento dirigido con un principio y un final, indicado por una flecha en la figura. Un punto arbitrario en el espacio puede considerarse un vector nulo. El vector cero no tiene una dirección específica, ya que el principio y el final son los mismos, por lo que se le puede dar cualquier dirección.

Vector traducido del inglés significa vector, dirección, curso, orientación, ajuste de dirección, rumbo de la aeronave.

La longitud (módulo) de un vector distinto de cero es la longitud del segmento AB, que se denota
. Longitud vectorial denotado . El vector cero tiene una longitud igual a cero = 0.

Los vectores colineales son vectores distintos de cero que se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas.

El vector cero es colineal a cualquier vector.

Los codireccionales se denominan vectores colineales distintos de cero que tienen una dirección. Los vectores codireccionales se denotan por . Por ejemplo, si el vector es codireccional con el vector , entonces se usa la notación.

El vector cero es codireccional con cualquier vector.

De dirección opuesta hay dos vectores colineales distintos de cero que tienen la dirección opuesta. Los vectores de direcciones opuestas se denotan con ↓. Por ejemplo, si el vector es opuesto al vector , entonces se usa la notación ↓.

Los vectores codireccionales de igual longitud se llaman iguales.

Muchas cantidades físicas son cantidades vectoriales: fuerza, velocidad, campo eléctrico.

Si no se establece el punto de aplicación (comienzo) del vector, se elige arbitrariamente.

Si el comienzo del vector se coloca en el punto O, entonces se considera que el vector se pospone desde el punto O. Desde cualquier punto, se puede trazar un solo vector igual al vector dado.

1.2 Suma de vectores

Al sumar vectores de acuerdo con la regla del triángulo, se dibuja el vector 1, desde el final del cual se dibuja el vector 2 y la suma de estos dos vectores es el vector 3, dibujado desde el comienzo del vector 1 hasta el final del vector 2:

Para los puntos arbitrarios A, B y C, puedes escribir la suma de vectores:

+
=

Si dos vectores parten del mismo punto

entonces es mejor sumarlas según la regla del paralelogramo.

Cuando se suman dos vectores de acuerdo con la regla del paralelogramo, los vectores sumados se separan de un punto, un paralelogramo se completa desde los extremos de estos vectores aplicando el comienzo de otro al final de un vector. El vector formado por la diagonal del paralelogramo, con origen en el punto inicial de los vectores sumados, será la suma de los vectores

La regla del paralelogramo contiene un orden diferente de suma de vectores según la regla del triángulo.

Leyes de adición de vectores:

1. La ley conmutativa + = + .

2. Ley asociativa ( + ) + = + ( + ).

Si es necesario sumar varios vectores, entonces los vectores se suman en pares o según la regla del polígono: el vector 2 se extrae del final del vector 1, el vector 3 se extrae del final del vector 2, el vector 4 se extrae de el final del vector 3, el vector 5 se dibuja desde el final del vector 4, etc. Un vector que es la suma de varios vectores se dibuja desde el principio del vector 1 hasta el final del último vector.

Según las leyes de la suma de vectores, el orden de la suma de vectores no afecta al vector resultante, que es la suma de varios vectores.

Enfrente hay dos vectores distintos de cero dirigidos de manera opuesta y de igual longitud. Foto de archivo - es lo contrario de un vector

Estos vectores tienen direcciones opuestas y son iguales en valor absoluto.

1.3 Diferencia de vectores

La diferencia de vectores se puede escribir como la suma de vectores

- = + (-),

donde "-" es el vector opuesto al vector .

Los vectores y - se pueden sumar según la regla de un triángulo o un paralelogramo.

Sean vectores y

Para encontrar la diferencia de vectores - construimos un vector -

Sumamos los vectores y - según la regla del triángulo, aplicando el principio del vector - al final del vector, tenemos el vector + (-) = -

Sumamos los vectores y - según la regla del paralelogramo, posponiendo los inicios de los vectores y - a partir de un punto

Si los vectores y parten del mismo punto

,

luego, la diferencia de vectores: da un vector que conecta sus extremos y la flecha al final del vector resultante se coloca en la dirección del vector del que se resta el segundo vector

La siguiente figura muestra la suma y diferencia de vectores.

La siguiente figura muestra la suma y diferencia de vectores de diferentes maneras.

Una tarea. Dados los vectores y .

Dibuja la suma y la diferencia de vectores de todas las formas posibles en todas las combinaciones posibles de vectores.

1.4 Lema del vector colineal

= k

1.5 Multiplicación de un vector por un número

El producto de un vector distinto de cero por un número k da un vector = k , colineal al vector . Longitud del vector:

| | = |k |·| |

si un k > 0, entonces los vectores y son codireccionales.

si un k = 0, entonces el vector es cero.

si un k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Si | k | = 1, entonces los vectores y son de igual longitud.

si un k = 1, entonces y vectores iguales.

si un k = -1, luego vectores opuestos.

Si | k | > 1, entonces la longitud del vector es mayor que la longitud del vector.

si un k > 1, entonces los vectores y son codireccionales y la longitud es mayor que la longitud del vector .

si un k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Si | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Si 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Si -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

El producto de un vector cero por un número da un vector cero.

Una tarea. Dado un vector.

Construya los vectores 2 , -3 , 0.5 , -1.5 .

Una tarea. Dados los vectores y .

Construya los vectores 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Leyes que describen la multiplicación de un vector por un número

1. Ley de combinación (kn) = k (n)

2. La primera ley distributiva k ( + ) = k + k .

3. La segunda ley distributiva (k + n) = k + n.

Para vectores colineales y , si ≠ 0, existe un solo número k que permite expresar el vector en términos de:

= k

1.6 Vectores coplanares

Los vectores coplanares son aquellos que se encuentran en el mismo plano o en planos paralelos. Si dibujas vectores iguales a vectores coplanares dados desde un punto, estarán en el mismo plano. Por lo tanto, podemos decir que los vectores se llaman coplanares si hay vectores iguales que se encuentran en el mismo plano.

Dos vectores arbitrarios son siempre coplanares. Los tres vectores pueden o no ser coplanares. Tres vectores, de los cuales al menos dos son colineales, son coplanares. Los vectores colineales son siempre coplanares.

1.7 Descomposición de un vector en dos vectores no colineales

Cualquier vector se descompone de forma única en el plano en dos vectores distintos de cero no colineales y con solo coeficientes de expansión x e y :

= x+y

Cualquier vector coplanar a vectores distintos de cero y se descompone de forma única en dos vectores no colineales y con coeficientes de expansión únicos x e y:

= x+y

Expandamos el vector dado en el plano de acuerdo con los vectores no colineales dados y:

Dibujar desde un punto los vectores coplanares dados

Desde el final del vector trazamos rectas paralelas a los vectores ya la intersección con las rectas trazadas por los vectores y . obtener un paralelogramo

Las longitudes de los lados del paralelogramo se obtienen multiplicando las longitudes de los vectores y por los números x e y, que se determinan dividiendo las longitudes de los lados del paralelogramo por las longitudes de los vectores correspondientes y. Obtenemos la descomposición del vector en vectores no colineales dados y:

= x+y

En el problema que se está resolviendo, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, por lo que la expansión del vector en vectores no colineales dados y se puede escribir como

1,3 + 1,9 .

En el problema que se está resolviendo, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, por lo que la expansión del vector en vectores no colineales dados y se puede escribir como

1,3 - 1,9 .

1.8 Regla de la caja

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas caras opuestas consisten en dos paralelogramos iguales que se encuentran en planos paralelos.

La regla del paralelepípedo le permite sumar tres vectores no coplanares que se dibujan desde un punto y construir un paralelepípedo de modo que los vectores sumados formen sus bordes, y los bordes restantes del paralelepípedo sean respectivamente paralelos e iguales a las longitudes de los bordes formados. por los vectores sumados. La diagonal del paralelepípedo forma un vector que es la suma de los tres vectores dados, que parte del punto inicial de los vectores sumados.

1.9 Descomposición de un vector en tres vectores no coplanares

Cualquier vector se expande en tres vectores no coplanares dados , y con coeficientes de expansión simples x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio

En el espacio tridimensional, el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz está definido por el origen O y los ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares Ox, Oy y Oz que se cruzan en él con direcciones positivas seleccionadas indicadas por flechas y la unidad de medida de los segmentos. Si la escala de los segmentos es la misma a lo largo de los tres ejes, dicho sistema se denomina sistema de coordenadas cartesianas.

Coordinar x se llama abscisa, y es la ordenada, z es la aplicada. Las coordenadas del punto M se escriben entre paréntesis M (x ; y ; z ).

1.11 Coordenadas vectoriales en el espacio

En el espacio, establezcamos un sistema de coordenadas rectangular Oxyz. Desde el origen en las direcciones positivas de los ejes Ox , Oy , Oz dibujamos los vectores unitarios correspondientes , , , que se denominan vectores de coordenadas y no son coplanares. Por lo tanto, cualquier vector se puede descomponer en tres vectores de coordenadas no coplanares dados, y con los únicos coeficientes de expansión x, y, z:

= x + y + z .

Los coeficientes de expansión x , y , z son las coordenadas del vector en un sistema de coordenadas rectangular dado, que se escriben entre paréntesis (x ; y ; z ). El vector cero tiene coordenadas iguales a cero (0; 0; 0). Para vectores iguales, las coordenadas correspondientes son iguales.

Reglas para encontrar las coordenadas del vector resultante:

1. Al sumar dos o más vectores, cada coordenada del vector resultante es igual a la suma de las coordenadas correspondientes de los vectores dados. Si se dan dos vectores (x 1 ; y 1 ; z 1 ) y (x 1 ; y 1 ; z 1), entonces la suma de vectores + da un vector con coordenadas (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z1 + z1)

+ = (x1 + x1; y1 + y1; z1 + z1)

2. La diferencia es una especie de suma, por lo que la diferencia de las coordenadas correspondientes da cada coordenada del vector obtenido al restar los dos vectores dados. Si se dan dos vectores (x a ; y a ; z a ) y (x b ; y b ; z b ), entonces la diferencia de vectores - da un vector con coordenadas (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x segundo ; y a - y segundo ; z a - z segundo )

3. Al multiplicar un vector por un número, cada coordenada del vector resultante es igual al producto de este número por la coordenada correspondiente del vector dado. Dado un número k y un vector (x ; y ; z ), al multiplicar el vector por el número k se obtiene un vector k con coordenadas

k = (kx ; ky ; kz ).

Una tarea. Encuentra las coordenadas del vector = 2 - 3 + 4 si las coordenadas de los vectores son (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Solución

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vector, radio vector y coordenadas de puntos

Las coordenadas del vector son las coordenadas del final del vector, si el comienzo del vector se coloca en el origen.

Un radio vector es un vector dibujado desde el origen hasta un punto dado, las coordenadas del radio vector y el punto son iguales.

Si el vector
dado por los puntos M 1 (x 1; y 1; z 1) y M 2 (x 2; y 2; z 2), entonces cada una de sus coordenadas es igual a la diferencia entre las coordenadas correspondientes del final y el comienzo del vector

Para vectores colineales = (x 1 ; y 1 ; z 1) y = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), si ≠ 0, existe un solo número k que permite expresar el vector en términos de:

= k

Entonces las coordenadas del vector se expresan en términos de las coordenadas del vector

= (kx 1 ; ky1; kz 1)

La relación de las coordenadas correspondientes de los vectores colineales es igual al número único k

1.13 Longitud del vector y distancia entre dos puntos

La longitud del vector (x; y; z) es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas

La longitud del vector, dada por los puntos del principio M 1 (x 1; y 1; z 1) y el final M 2 (x 2; y 2; z 2) es igual a la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de la diferencia entre las coordenadas correspondientes del final del vector y el principio

Distancia d entre dos puntos M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) y M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) es igual a la longitud del vector

No hay coordenada z en el plano.

Distancia entre los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2)

1.14 Coordenadas del medio del segmento

si el punto C es el punto medio del segmento AB, entonces el radio vector del punto C en un sistema de coordenadas arbitrario con origen en el punto O es igual a la mitad de la suma de los radios vectores de los puntos A y B

Si las coordenadas de los vectores
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), entonces cada coordenada vectorial es igual a la mitad de la suma de las coordenadas correspondientes de los vectores y

,
,

= (x, y, z) =

Cada una de las coordenadas del medio del segmento es igual a la mitad de la suma de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento.

1.15 Ángulo entre vectores

El ángulo entre vectores es igual al ángulo entre los rayos trazados desde un punto y codirigidos con estos vectores. El ángulo entre vectores puede ser de 0 0 a 180 0 inclusive. El ángulo entre vectores codireccionales es igual a 0 0 . Si un vector o ambos son cero, entonces el ángulo entre los vectores, al menos uno de los cuales es cero, es igual a 0 0 . El ángulo entre vectores perpendiculares es 90 0 . El ángulo entre vectores de direcciones opuestas es 180 0 .

1.16 Proyección vectorial

1.17 Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores es un número (escalar) igual al producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre los vectores

si un = 0 0 , entonces los vectores son codireccionales
y
= cos 0 0 = 1, por lo tanto, el producto escalar de vectores codireccionales es igual al producto de sus longitudes (módulos)

.

Si el ángulo entre los vectores es 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, por lo tanto el producto escalar es mayor que cero
.

Si los vectores distintos de cero son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero
, ya que cos 90 0 = 0. El producto escalar de vectores perpendiculares es igual a cero.

si un
, entonces el coseno del ángulo entre dichos vectores es menor que cero
, entonces el producto escalar es menor que cero
.

A medida que aumenta el ángulo entre vectores, el coseno del ángulo entre ellos
disminuye y alcanza un valor mínimo en = 180 0 cuando los vectores tienen direcciones opuestas
. Como cos 180 0 = -1, entonces
. El producto escalar de vectores de direcciones opuestas es igual al producto negativo de sus longitudes (módulos).

El cuadrado escalar de un vector es igual al módulo del vector al cuadrado

El producto escalar de vectores, al menos uno de los cuales es cero, es igual a cero.

1.18 El significado físico del producto escalar de vectores

Del curso de física se sabe que el trabajo A de la fuerza mientras mueve el cuerpo es igual al producto de las longitudes de los vectores de fuerza y ​​desplazamiento y el coseno del ángulo entre ellos, es decir, es igual al producto escalar de los vectores de fuerza y ​​desplazamiento

Si el vector de fuerza está codirigido con el movimiento del cuerpo, entonces el ángulo entre los vectores
= 0 0 , por lo tanto, el trabajo de la fuerza en el desplazamiento es máximo y es igual a A =
.

Si 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Si = 90 0 , entonces el trabajo de la fuerza sobre el desplazamiento es igual a cero A = 0.

Si 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Si el vector fuerza es opuesto al movimiento del cuerpo, entonces el ángulo entre los vectores = 180 0, por lo tanto, el trabajo de la fuerza sobre el movimiento es negativo e igual a A = -.

Una tarea. Determine el trabajo de la gravedad al levantar un automóvil de pasajeros que pesa 1 tonelada a lo largo de una vía de 1 km de largo con un ángulo de inclinación de 30 0 hacia el horizonte. ¿Cuántos litros de agua a una temperatura de 20 0 se pueden hervir usando esta energía?

Solución

Trabajar una gravedad al mover el cuerpo, es igual al producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos, es decir, es igual al producto escalar de los vectores de gravedad y desplazamiento

Gravedad

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10,000 N.

= 1000 metros

Ángulo entre vectores = 1200. Después

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sen 30 0 \u003d - 0,5.

Sustituto

A \u003d 10,000 N 1000 m (-0.5) \u003d - 5,000,000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Producto escalar de vectores en coordenadas

Producto escalar de dos vectores = (x 1 ; y 1 ; z 1) y \u003d (x 2; y 2; z 2) en un sistema de coordenadas rectangulares es igual a la suma de los productos de las coordenadas del mismo nombre

= X 1 X 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 La condición de perpendicularidad de los vectores

Si los vectores distintos de cero \u003d (x 1; y 1; z 1) y \u003d (x 2; y 2; z 2) son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero

Si se da un vector distinto de cero = (x 1; y 1; z 1), entonces las coordenadas del vector perpendicular (normal) a él = (x 2; y 2; z 2) deben satisfacer la igualdad

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Hay un número infinito de tales vectores.

Si se establece un vector distinto de cero = (x 1; y 1) en el plano, entonces las coordenadas del vector perpendicular (normal) a él = (x 2; y 2) deben satisfacer la igualdad

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Si se establece un vector distinto de cero = (x 1 ; y 1) en el plano, entonces es suficiente establecer arbitrariamente una de las coordenadas del vector perpendicular (normal) a él = (x 2 ; y 2) y desde la condición de perpendicularidad de los vectores

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

expresar la segunda coordenada del vector .

Por ejemplo, si sustituimos una coordenada x 2 arbitraria, entonces

y 1 y 2 = - X 1 X 2 .

La segunda coordenada del vector.

Si das x 2 \u003d y 1, entonces la segunda coordenada del vector

Si se da un vector distinto de cero = (x 1; y 1) en el plano, entonces el vector perpendicular (normal) a él = (y 1; -x 1).

Si una de las coordenadas de un vector distinto de cero es igual a cero, entonces el vector tiene la misma coordenada distinta de cero y la segunda coordenada es igual a cero. Dichos vectores se encuentran en los ejes de coordenadas, por lo tanto, son perpendiculares.

Definamos el segundo vector, perpendicular al vector = (x 1 ; y 1), pero opuesto al vector , es decir, el vector - . Entonces basta con cambiar los signos de las coordenadas del vector

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Una tarea.

Solución

Coordenadas de dos vectores perpendiculares al vector = (x 1; y 1) en el plano

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Sustituimos las coordenadas del vector = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

¡Correcto!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

¡Correcto!

Respuesta: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Si asignamos x 2 = 1, sustituimos

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Obtener la coordenada y 2 de un vector perpendicular al vector = (x 1; y 1)

Para obtener un segundo vector perpendicular al vector = (x 1; y 1), pero opuesto al vector . Dejar

Entonces basta cambiar los signos de las coordenadas del vector.

Coordenadas de dos vectores perpendiculares al vector = (x 1; y 1) en el plano

Una tarea. Dado un vector = (3; -5). Encuentre dos vectores normales con diferente orientación.

Solución

Coordenadas de dos vectores perpendiculares al vector = (x 1; y 1) en el plano

Coordenadas de un solo vector

Coordenadas del segundo vector

Para comprobar la perpendicularidad de los vectores, sustituimos sus coordenadas en la condición de perpendicularidad de los vectores

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

¡Correcto!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

¡Correcto!

Respuesta: y.

Si asigna x 2 \u003d - x 1, sustituya

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Obtener la coordenada del vector perpendicular al vector

Si asigna x 2 \u003d x 1, sustituya

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Obtenga la coordenada y del segundo vector perpendicular al vector

Coordenadas de un vector perpendicular al vector en el plano = (x 1; y 1)

Coordenadas del segundo vector, perpendicular al vector en el plano = (x 1; y 1)

Coordenadas de dos vectores perpendiculares al vector = (x 1; y 1) en el plano

1.21 Coseno del ángulo entre vectores

El coseno del ángulo entre dos vectores distintos de cero \u003d (x 1; y 1; z 1) y \u003d (x 2; y 2; z 2) es igual al producto escalar de vectores dividido por el producto del longitudes de estos vectores

si un
= 1, entonces el ángulo entre los vectores es igual a 0 0 , los vectores son codireccionales.

Si 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Si = 0, entonces el ángulo entre los vectores es igual a 90 0 , los vectores son perpendiculares.

Si -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Si = -1, entonces el ángulo entre los vectores es 180 0 , los vectores tienen direcciones opuestas.

Si algún vector está dado por las coordenadas del principio y el final, restando las coordenadas del principio de las correspondientes coordenadas del final del vector, obtenemos las coordenadas de este vector.

Una tarea. Encuentra el ángulo entre los vectores (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Solución

Producto escalar de vectores

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

por lo tanto, el ángulo entre los vectores es = 90 0 .

1.22 Propiedades del Producto Punto de Vectores

Las propiedades del producto escalar son válidas para cualquier , , ,k:

1.
, si
, después
, si =, después
= 0.

2. Ley de desplazamiento

3. Ley distributiva

4. Ley de combinación
.

1.23 Vector de dirección directa

El vector director de una línea es un vector distinto de cero que se encuentra en una línea o en una línea paralela a la línea dada.

Si la recta está dada por dos puntos M 1 (x 1; y 1; z 1) y M 2 (x 2; y 2; z 2), entonces el vector es la guía
o su vector opuesto
= - , cuyas coordenadas

Es deseable configurar el sistema de coordenadas para que la línea pase por el origen, luego las coordenadas del único punto en la línea serán las coordenadas del vector de dirección.

Una tarea. Determine las coordenadas del vector director de la recta que pasa por los puntos M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Solución

El vector de dirección de la línea recta que pasa por los puntos M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) se denota
. Cada una de sus coordenadas es igual a la diferencia entre las coordenadas correspondientes del final y el comienzo del vector

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Representemos el vector director de la línea recta en el sistema de coordenadas con el comienzo en el punto M 1, con el final en el punto M 2 y el vector igual a él
desde el origen con final en el punto M (-1; 1; 0)

1.24 Ángulo entre dos rectas

Posibles opciones para la posición relativa de 2 líneas en el plano y el ángulo entre dichas líneas:

1. Las líneas se cortan en un solo punto, formando 4 ángulos, 2 pares de ángulos verticales son iguales en pares. El ángulo φ entre dos líneas que se cortan es el ángulo que no excede a los otros tres ángulos entre estas líneas. Por lo tanto, el ángulo entre las líneas φ ≤ 90 0 .

Las líneas que se cortan pueden ser, en particular, perpendiculares φ = 90 0 .

Posibles opciones para la posición relativa de 2 líneas en el espacio y el ángulo entre dichas líneas:

1. Las líneas se cortan en un solo punto, formando 4 ángulos, 2 pares de ángulos verticales son iguales en pares. El ángulo φ entre dos líneas que se cortan es el ángulo que no excede a los otros tres ángulos entre estas líneas.

2. Las rectas son paralelas, es decir, no coinciden y no se cortan, φ=0 0 .

3. Las rectas coinciden, φ = 0 0 .

4. Las líneas se cortan, es decir, no se cortan en el espacio y no son paralelas. El ángulo φ entre líneas que se intersecan es el ángulo entre líneas trazadas paralelas a estas líneas de modo que se intersecan. Por lo tanto, el ángulo entre las líneas φ ≤ 90 0 .

El ángulo entre 2 líneas es igual al ángulo entre las líneas trazadas paralelas a estas líneas en el mismo plano. Por lo tanto, el ángulo entre las líneas es 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Ángulo θ (theta) entre vectores y 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Si el ángulo φ entre las líneas α y β es igual al ángulo θ entre los vectores directores de estas líneas φ = θ, entonces

cos φ = cos θ.

Si el ángulo entre las líneas φ = 180 0 - θ, entonces

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Por tanto, el coseno del ángulo entre las rectas es igual al módulo del coseno del ángulo entre los vectores

cos φ = |cos θ|.

Si se dan las coordenadas de los vectores distintos de cero = (x 1 ; y 1 ; z 1) y = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), entonces el coseno del ángulo θ entre ellos

El coseno del ángulo entre las líneas es igual al módulo del coseno del ángulo entre los vectores directores de estas líneas

cos φ = |cos θ| =

Las líneas son los mismos objetos geométricos, por lo tanto, las mismas funciones trigonométricas cos están presentes en la fórmula.

Si cada una de las dos rectas está dada por dos puntos, entonces se pueden determinar los vectores directores de estas rectas y el coseno del ángulo entre las rectas.

si un cos φ \u003d 1, entonces el ángulo φ entre las líneas es 0 0, uno de los vectores directores de estas líneas se puede tomar para estas líneas, las líneas son paralelas o coinciden. Si las rectas no coinciden, entonces son paralelas. Si las rectas coinciden, cualquier punto de una recta pertenece a la otra recta.

Si 0< cos φ ≤ 1, entonces el ángulo entre las líneas es 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

si un cos φ \u003d 0, entonces el ángulo φ entre las líneas es 90 0 (las líneas son perpendiculares), las líneas se cruzan o se cruzan.

Una tarea. Determinar el ángulo entre las rectas M 1 M 3 y M 2 M 3 con las coordenadas de los puntos M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) y M 3 (0; 0; 1) .

Solución

Construyamos los puntos y las rectas dados en el sistema de coordenadas Oxyz.

Dirigimos los vectores directores de las rectas de modo que el ángulo θ entre los vectores coincida con el ángulo φ entre las rectas dadas. Dibujar los vectores =
y =
, así como los ángulos θ y φ:

Determinemos las coordenadas de los vectores y

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 y ax + by + cz = 0;

El plano es paralelo a ese eje de coordenadas, cuya designación está ausente en la ecuación del plano y, por tanto, el coeficiente correspondiente es igual a cero, por ejemplo, en c = 0, el plano es paralelo al eje de Oz y no contiene z en la ecuación ax + by + d = 0;

El plano contiene el eje de coordenadas, cuya designación falta, por lo tanto, el coeficiente correspondiente es cero y d = 0, por ejemplo, en c = d = 0, el plano es paralelo al eje Oz y no contiene z en la ecuación ax + by = 0;

El plano es paralelo al plano coordenado, cuya notación está ausente en la ecuación del plano y, por tanto, los coeficientes correspondientes son iguales a cero, por ejemplo, para b = c = 0, el plano es paralelo a la coordenada plano Oyz y no contiene y, z en la ecuación ax + d = 0.

Si el plano coincide con el plano de coordenadas, entonces la ecuación de dicho plano es la igualdad a cero de la designación del eje de coordenadas perpendicular al plano de coordenadas dado, por ejemplo, en x = 0, el plano dado es el plano de coordenadas Oyz.

Una tarea. El vector normal viene dado por la ecuación

Representar la ecuación del plano en forma normal.

Solución

Coordenadas vectoriales normales

A ; b; c ), entonces puedes sustituir las coordenadas del punto M 0 (x 0; y 0; z 0) y las coordenadas a, b, c del vector normal en la ecuación general del plano

hacha + por + cz + d = 0 (1)

Obtenemos una ecuación con una incógnita d

hacha 0 + por 0 + cz 0 + d = 0

De aquí

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Ecuación plana (1) después de la sustitución d

hacha + por + cz - (hacha 0 + por 0 + cz 0) = 0

Obtenemos la ecuación del plano que pasa por el punto M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) perpendicular a un vector distinto de cero (a B C )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Abramos los paréntesis

hacha - hacha 0 + por - por 0 + cz - cz 0 = 0

hacha + por + cz - hacha 0 - por 0 - cz 0 = 0

Denotar

d = - hacha 0 - por 0 - cz 0

Obtenemos la ecuación general del plano

hacha + por + cz + d = 0.

1.29 Ecuación de un plano que pasa por dos puntos y el origen

hacha + por + cz + d = 0.

Es deseable establecer el sistema de coordenadas de modo que el plano pase por el origen de este sistema de coordenadas. Los puntos M 1 (x 1; y 1; z 1) y M 2 (x 2; y 2; z 2) que se encuentran en este plano deben establecerse de modo que la línea recta que conecta estos puntos no pase por el origen.

El plano pasará por el origen, entonces d = 0. Entonces la ecuación general del plano se convierte en

hacha + por + cz = 0.

Desconocido 3 coeficientes a , b , c . Sustituyendo las coordenadas de dos puntos en la ecuación general del plano se obtiene un sistema de 2 ecuaciones. Si tomamos algún coeficiente en la ecuación general del plano igual a uno, entonces el sistema de 2 ecuaciones nos permitirá determinar 2 coeficientes desconocidos.

Si una de las coordenadas del punto es cero, entonces el coeficiente correspondiente a esta coordenada se toma como uno.

Si algún punto tiene dos coordenadas cero, entonces se toma como unidad el coeficiente correspondiente a una de estas coordenadas cero.

Si se acepta a = 1, entonces un sistema de 2 ecuaciones nos permitirá determinar 2 coeficientes desconocidos b y c:

Es más fácil resolver el sistema de estas ecuaciones multiplicando alguna ecuación por un número tal que los coeficientes de algún acero desconocido sean iguales. Entonces la diferencia de las ecuaciones nos permitirá excluir esta incógnita, para determinar otra incógnita. Sustituir la incógnita encontrada en cualquier ecuación nos permitirá determinar la segunda incógnita.

1.30 Ecuación de un plano que pasa por tres puntos

Definamos los coeficientes de la ecuación general del plano

hacha + por + cz + d = 0,

pasando por los puntos M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) y M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Los puntos no deben tener dos coordenadas idénticas.

Desconocido 4 coeficientes a , b , c y d . Sustituyendo las coordenadas de tres puntos en la ecuación general del plano se obtiene un sistema de 3 ecuaciones. Toma algún coeficiente en la ecuación general del plano igual a uno, luego el sistema de 3 ecuaciones te permitirá determinar 3 coeficientes desconocidos. Usualmente se toma a = 1, entonces el sistema de 3 ecuaciones nos permitirá determinar 3 coeficientes desconocidos b, c y d:

El sistema de ecuaciones se resuelve mejor mediante la eliminación de incógnitas (método de Gauss). Puede reorganizar las ecuaciones en el sistema. Cualquier ecuación se puede multiplicar o dividir por cualquier factor distinto de cero. Se pueden sumar dos ecuaciones cualquiera y la ecuación resultante se puede escribir en lugar de cualquiera de estas dos ecuaciones sumadas. Las incógnitas se excluyen de las ecuaciones obteniendo un coeficiente cero delante de ellas. En una ecuación, generalmente la más baja queda con una variable definida. La variable encontrada se sustituye en la segunda ecuación desde abajo, en la que normalmente quedan 2 incógnitas. Las ecuaciones se resuelven de abajo hacia arriba y se determinan todos los coeficientes desconocidos.

Los coeficientes se colocan delante de las incógnitas y los términos libres de incógnitas se transfieren al lado derecho de las ecuaciones.

La fila superior generalmente contiene una ecuación que tiene un factor de 1 antes de la primera o cualquier incógnita, o toda la primera ecuación se divide por el factor antes de la primera incógnita. En este sistema de ecuaciones, dividimos la primera ecuación por y 1

Antes de la primera incógnita tenemos un coeficiente de 1:

Para restablecer el coeficiente frente a la primera variable de la segunda ecuación, multiplicamos la primera ecuación por -y 2 , la sumamos a la segunda ecuación y escribimos la ecuación resultante en lugar de la segunda ecuación. La primera incógnita en la segunda ecuación será eliminada porque

y 2 segundo - y 2 segundo = 0.

De manera similar, excluimos la primera incógnita en la tercera ecuación multiplicando la primera ecuación por -y 3 , sumándola a la tercera ecuación y escribiendo la ecuación resultante en lugar de la tercera ecuación. La primera incógnita en la tercera ecuación también será eliminada porque

y 3 segundo - y 3 segundo = 0.

De manera similar, excluimos la segunda incógnita en la tercera ecuación. Resolvemos el sistema de abajo hacia arriba.

Una tarea.

hacha + por + cz + d = 0,

pasando por los puntos M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) y y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

El plano dado es el plano de coordenadas Oyz.

Una tarea. Determinar la ecuación general del plano.

hacha + por + cz + d = 0,

pasando por los puntos M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) y M 3 (0; 0; 1). Encuentra la distancia de este plano al punto M 0 (10; -3; -7).

Solución

Construyamos los puntos dados en el sistema de coordenadas Oxyz.

Aceptar a= 1. Sustituyendo las coordenadas de tres puntos en la ecuación general del plano se obtiene un sistema de 3 ecuaciones

ℓ =

Páginas web: 1 2 Vectores en el plano y en el espacio (continuación)

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