Funktsiyaning hosilasi qaysi nuqtada manfiy bo'ladi? Funktsiya hosilasi. Funksiya hosilasining ma’nosi

B9 masalada funktsiya yoki hosila grafigi berilgan, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash talab etiladi:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Yuqori yoki past nuqtalar (ekstremal nuqtalar),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalarning intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo'lib, bu yechimni ancha soddalashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, u hatto eng zaif o'quvchilarning ham qo'lidadir, chunki u erda chuqur ma'lumot yo'q. nazariy bilim bu erda talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va mavjud universal algoritmlar- ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartini diqqat bilan o'qing: ba'zida juda katta hajmli matnlar uchrab turadi, ammo hal qilish jarayoniga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar masalaga x 0 nuqtada shu grafaga tangens bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, siz funktsiya o'sishini argument o'sishiga bo'lishingiz kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor ta'kidlaymiz: A va B nuqtalarni ko'pincha bo'lgani kabi f(x) funksiya grafigida emas, balki aniq tangens bo'yicha izlash kerak. Tangensda kamida ikkita shunday nuqta bo'lishi kerak, aks holda muammo noto'g'ri tuzilgan.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, aloqa nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Yuqori va past ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masaladagi funksiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab qilinadi. Ushbu stsenariyda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosila grafigida maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha ma'lumotlar faqat yechimga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida hosilaning nollarini belgilaymiz - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biror x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: agar hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Aksincha, hosila grafik OX oʻqi ostida joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nollarini va belgilarini yana tekshiramiz. Belgisi minusdan plyusga o'zgargan joyda minimal nuqta mavjud. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.

Vazifa. Rasmda [−5] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 5]. Ushbu segmentdagi f(x) funksiyaning minimal nuqtasini toping.

Keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik - biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, belgilarga e'tibor bering:

Shubhasiz, x = −3 nuqtada hosila belgisi minusdan plyusga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = -1,7 va x = 5. Hosil bo'lgan grafikdagi hosilaning belgilariga e'tibor bering. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning [−4 oraliqga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz qurmoqdamiz yangi jadval, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [-4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, nuqtalar x = -3,5 va x = 2. Biz quyidagilarni olamiz:

Bu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan unda hosilaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri yozilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki nuqtalar "siz ma'lum joy yashash joyi” muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, butun sonlar bilan bunday hiyla ishlamaydi.

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi hosila grafigidan funksiyaning o‘zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish taklif etiladi. Birinchidan, ko'tarilish va pasayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. Agar f(x) funksiya segmentda ortib boruvchi deyiladi, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Boshqacha qilib aytganda, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya segmentdagi kamayuvchi deyiladi, agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. kattaroq qiymat argument funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

Biz oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlarni shakllantiramiz:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≤ 0.

Biz bu da'volarni isbotsiz qabul qilamiz. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish oraliqlarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosila belgilarini belgilang. f'(x) ≥ 0 bo'lgan joyda funksiya ortadi, f'(x) ≤ 0 bo'lsa, u kamayadi. Muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi diagrammada belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovni bilganimizdan so'ng, muammoda kerakli qiymatni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini yozing.

Odatdagidek, biz grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek, x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini belgilaymiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Ushbu oraliq ichidagi barcha sonlarni yig'ish qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda [−10] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funktsiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Keling, ortiqcha ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ular to'rtta bo'lib chiqdi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilariga e'tibor bering va quyidagi rasmni oling:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. Bu yerda f'(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaymiz:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topish talab qilinganligi uchun javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.

Funktsional tadqiqotlar. Ushbu maqolada biz vazifalar ko'rib chiqiladigan vazifalar haqida gapiramiz va ularni o'rganish bilan bog'liq savollar mavjud. Ularni hal qilish uchun bilishingiz va tushunishingiz kerak bo'lgan asosiy nazariy fikrlarni ko'rib chiqing.

Bu butun guruh matematikadan imtihonga kiritilgan vazifalar. Odatda berilgan oraliqda funksiyaning maksimal (minimal) nuqtalarini topish yoki eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash haqida savol tug‘iladi.Ko'rib chiqildi:

— Quvvat va irratsional funksiyalar.

— Ratsional funksiyalar.

- Ishlarni o'rganish va shaxsiy.

— Logarifmik funksiyalar.

— Trigonometrik funksiyalar.

Agar siz limitlar nazariyasini, hosila tushunchasini, funksiyalar va uning grafiklarini o‘rganish uchun hosila xossalarini tushunsangiz, bunday masalalar sizga hech qanday qiyinchilik tug‘dirmaydi va ularni osonlik bilan yechasiz.

Quyidagi ma'lumotlar nazariy fikrlar bo'lib, ularni tushunish bunday muammolarni qanday hal qilishni tushunishga imkon beradi. Men ularni shunday bayon qilishga harakat qilamanki, hatto ushbu mavzuni o'tkazib yuborgan yoki yomon o'rganganlar ham bunday muammolarni qiyinchiliksiz hal qilishlari mumkin.

Bu guruhning masalalarida, yuqorida aytib o'tilganidek, funktsiyaning minimal (maksimal) nuqtasini yoki intervaldagi funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish talab qilinadi.

Minimal va maksimal ball.Hosila xossalari.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing:

A nuqta - maksimal nuqta, O dan A gacha bo'lgan intervalda funktsiya oshadi, A dan B gacha bo'lgan intervalda u kamayadi.

B nuqtasi minimal nuqta, A dan B gacha bo'lgan oraliqda funktsiya kamayadi, B dan C gacha bo'lgan intervalda u ortadi.

Ushbu nuqtalarda (A va B) hosila yo'qoladi (nolga teng).

Bu nuqtalardagi tangenslar o'qga parallel ho'kiz.

Men qo'shimcha qilamanki, funktsiya o'z xatti-harakatini oshirishdan pasayishga (va aksincha, kamayishdan o'sishga) o'zgartiradigan nuqtalar ekstremal deb ataladi.

Muhim nuqta:

1. Ortib borayotgan intervallardagi hosila ijobiy belgiga ega (nQiymatni oraliqdan lotinga almashtirganda musbat son olinadi).

Bu shuni anglatadiki, agar hosila ma'lum bir nuqtada ma'lum bir intervalgacha ega bo'lsa ijobiy qiymat, keyin bu oraliqdagi funksiya grafigi ortadi.

2. Kamayish oraliqlarida hosila manfiy belgiga ega (oraliqdagi qiymatni hosila ifodasiga almashtirganda manfiy son olinadi).

Demak, agar ma'lum bir nuqtada ma'lum bir oraliqdagi hosila manfiy qiymatga ega bo'lsa, u holda bu oraliqdagi funktsiya grafigi kamayadi.

Buni aniq tushuntirish kerak!

Shunday qilib, lotinni hisoblash va uni nolga tenglashtirish orqali siz haqiqiy o'qni intervallarga bo'ladigan nuqtalarni topishingiz mumkin.Ushbu intervallarning har birida lotin belgisini aniqlab, keyin uning ortishi yoki kamayishi haqida xulosa chiqarishingiz mumkin.

* Alohida-alohida, lotin mavjud bo'lmagan nuqtalar haqida gapirish kerak. Masalan, ma'lum bir x da maxraji yo'qolib ketadigan hosila olishimiz mumkin. Bunday x uchun hosila mavjud emasligi aniq. Demak, o'sish (kamayish) oraliqlarini aniqlashda ushbu nuqtani ham hisobga olish kerak.

Hosila nolga teng bo'lgan nuqtalardagi funktsiya har doim ham uning belgisini o'zgartirmaydi. Bu bo'ladi alohida maqola. USE-ning o'zida bunday vazifalar bo'lmaydi.

Yuqoridagi xususiyatlar funktsiyaning o'sish va kamayishdagi harakatini o'rganish uchun zarurdir.

Belgilangan muammolarni hal qilish uchun yana nimani bilishingiz kerak: hosilalar jadvali va farqlash qoidalari. Busiz hech narsa. Bu asosiy bilim, hosila mavzusida. Elementar funksiyalarning hosilalarini yaxshi bilishingiz kerak.

Murakkab funktsiyaning hosilasini hisoblashf(g(x)), funksiyasini tasavvur qilingg(x) o'zgaruvchidir va keyin hosilani hisoblangf’(g(x)) o'zgaruvchining oddiy hosilasi sifatida jadvalli formulalar orqali. Keyin natijani funktsiyaning hosilasiga ko'paytiringg(x) .

Maksim Semenixinning murakkab funktsiya haqida video darsini tomosha qiling:

Maksimal va minimal nuqtalarni topish muammolari

Funksiyaning maksimal (minimal) nuqtalarini topish algoritmi:

1. Funktsiyaning hosilasini toping f’(x).

2. Hosilning nollarini toping (hosilani nolga tenglashtirib f’(x)=0 va hosil bo'lgan tenglamani yeching). Biz hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarni ham topamiz(xususan, bu kasr-ratsional funktsiyalarga tegishli).

3. Olingan qiymatlarni raqamlar qatoriga belgilaymiz va intervallardagi qiymatlarni hosila ifodasiga qo‘yib, bu intervallardagi hosila belgilarini aniqlaymiz.

Chiqish ikkitadan biri bo'ladi:

1. Maksimal nuqta nuqta hisoblanadiunda hosila ijobiydan salbiyga o'zgaradi.

2. Minimal nuqta - bu nuqtaunda hosila salbiydan ijobiyga o'zgaradi.

Eng katta yoki eng kichik qiymatni topish muammolari

oraliqdagi funktsiyalar.

Boshqa turdagi masalalarda eng katta yoki topish talab qilinadi eng kichik qiymat Berilgan oraliqdagi funktsiyalar.

Eng katta (eng kichik) funktsiya qiymatini topish algoritmi:

1. Maksimal (minimal) ball borligini aniqlang. Buning uchun hosilani topamiz f’(x) , keyin hal qiling f’(x)=0 (oldingi algoritmdan 1 va 2-bandlar).

2. Olingan nuqtalar berilgan intervalga tegishli ekanligini aniqlaymiz va uning ichida yotganlarni yozamiz.

3. Dastlabki funktsiyaga (hosilaga emas, balki shartdagi berilganga) berilgan oraliq chegaralarini va oraliq ichida yotgan nuqtalarni (maksimal-minimal) almashtiramiz (2-band).

4. Funksiya qiymatlarini hisoblaymiz.

5. Topshiriqda qanday savol berilganiga qarab, olingan qiymatlardan eng katta (eng kichik) qiymatni tanlaymiz va keyin javobni yozamiz.

Savol: Nima uchun funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish masalalarida maksimal (minimal) nuqtalarni izlash kerak?

Javob eng yaxshi tasvirlangan, funktsiyalar tomonidan berilgan grafiklarning sxematik ko'rinishiga qarang:

1 va 2 hollarda funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatini aniqlash uchun oraliq chegaralarini almashtirish kifoya. 3 va 4-holatlarda funksiyaning nollarini (maksimal-minimal nuqtalarni) topish kerak. Agar interval chegaralarini (funksiyaning nollarini topmasdan) almashtirsak, biz noto'g'ri javob olamiz, buni grafiklardan ko'rish mumkin.

Gap shundaki, biz berilgan funktsiyadan foydalanib, diagrammaning intervalda qanday ko'rinishini (oraliq ichida maksimal yoki minimalga ega bo'ladimi) ko'ra olmaymiz. Shuning uchun funksiyaning nollarini toping!!!

Agar tenglama f'(x)=0 yechimga ega bo'lmaydi, bu maksimal-minimal nuqtalar yo'qligini bildiradi (1.2-rasm) va qo'yilgan vazifani topish uchun bu funktsiyaga faqat intervalning chegaralari almashtiriladi.

Yana bitta muhim nuqta. Esda tutingki, javob butun son yoki chekli bo'lishi kerak kasr. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini hisoblashda siz e va pi sonli ifodalarni, shuningdek, ildizli ifodalarni olasiz. Esda tutingki, ularni oxirigacha hisoblashingiz shart emas va bunday iboralarning natijasi javob bo'lmasligi aniq. Agar bunday qiymatni hisoblash istagi bo'lsa, uni bajaring (raqamlar: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Men juda ko'p yozdim, chalkashtirdimmi? Aniq misollar orqali siz hamma narsa oddiy ekanligini ko'rasiz.

Keyin men sizga bir oz sirni aytmoqchiman. Gap shundaki, ko‘p vazifalarni hosilaning xossalarini bilmasdan va hatto farqlash qoidalarisiz ham hal qilish mumkin. Men sizga bu nuances haqida albatta aytib beraman va bu qanday amalga oshirilganligini ko'rsataman? o'tkazib yuborma!

Lekin nega men bu nazariyani umuman bayon qildim va u albatta ma'lum bo'lishi kerakligini aytdim. To'g'ri - siz bilishingiz kerak. Agar siz buni tushunsangiz, unda ushbu mavzudagi hech qanday vazifa sizni chalg'itmaydi.

Siz o'rganadigan "hiylalar" sizga aniq (ba'zi) prototip muammolarini hal qilishda yordam beradi. KimgaQo'shimcha vosita sifatida ushbu texnikalar, albatta, foydalanish uchun qulaydir. Muammoni 2-3 marta tezroq hal qilish va C qismini hal qilish uchun vaqtni tejash mumkin.

Omad tilayman!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Geometrik ma'no haqida juda ko'p nazariyalar yozilgan. Men funktsiya o'sishining hosilasiga kirmayman, men sizga vazifalarni bajarish uchun asosiy narsani eslataman:

x dagi hosila hisoblanadi burchak koeffitsienti Bu nuqtada y \u003d f (x) funktsiyasi grafigiga teginish, ya'ni X o'qiga moyillik burchagi tangensi.

Keling, darhol imtihondan topshiriqni olib, uni tushunishni boshlaylik:

Vazifa raqami 1. Rasmda ko'rsatilgan funktsiya grafigi y = f(x) va abscissa x0 nuqtada unga tegish. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
Kim shoshyapti va tushuntirishlarni tushunishni istamaydi: har qanday shunday uchburchak hosil qiling (quyida ko'rsatilgandek) va tik turgan tomonni (vertikal) yotgan (gorizontal) bilan ajrating va agar siz belgini unutmasangiz (agar to'g'ri chiziq pasaysa (→ ↓), u holda javob minus bilan bo'lishi kerak, agar to'g'ri chiziq (→) oshsa, javob ijobiy bo'lishi kerak!)

Tangens va X o'qi orasidagi burchakni topish kerak, uni a deb ataymiz: grafikning tangensi orqali istalgan joyga X o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizamiz, biz bir xil burchakka ega bo'lamiz.

X0 nuqtasini qabul qilmaslik yaxshiroqdir, chunki aniq koordinatalarni aniqlash uchun katta lupa kerak bo'ladi.

Har qanday to'g'ri burchakli uchburchakni olib, (rasmda 3 ta variant taklif qilingan), biz tga (burchaklar teng, mos keladigan) topamiz, ya'ni. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasini olamiz. Nega shunday?

Agar boshqa x2, x1 va hokazo nuqtalarda tangenslarni o'tkazsak. tangenslar har xil bo'ladi.

Keling, to'g'ri chiziq qurish uchun 7-sinfga qaytaylik!

To'g'ri chiziq tenglamasi y = kx + b tenglama bilan berilgan, bu erda

k - X o'qiga nisbatan egilish.

b - Y o'qi bilan kesishish nuqtasi va koordinata o'rtasidagi masofa.

To'g'ri chiziqning hosilasi har doim bir xil bo'ladi: y" = k.

Chiziqning qaysi nuqtasida hosila olsak, u o'zgarishsiz qoladi.

Shuning uchun, faqat tga topish qoladi (yuqorida aytib o'tilganidek: biz turgan tomonni yotgan tomonga ajratamiz). Biz qarama-qarshi oyoqni qo'shnisiga ajratamiz, biz k \u003d 0,5 ni olamiz. Biroq, agar grafik kamayib borayotgan bo'lsa, koeffitsient manfiy bo'ladi: k = -0,5.

Men sizga tekshirishni maslahat beraman ikkinchi yo'l:
To'g'ri chiziqni aniqlash uchun ikkita nuqtadan foydalanish mumkin. Istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini toping. Masalan, (-2;-2) va (2;-4):

Tenglamada y va x o‘rniga y = kx + b nuqtalarning koordinatalarini qo‘ying:

-2 = -2k + b

Bu sistemani yechib, b = -3, k = -0,5 ni olamiz

Xulosa: Ikkinchi usul uzoqroq, ammo unda siz belgi haqida unutmaysiz.

Javob: - 0,5

Vazifa raqami 2. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik f(x) funksiyalari. X o'qida sakkizta nuqta belgilangan: x1, x2, x3, ..., x8. Bu nuqtalardan nechtasi f(x) funktsiyaning ortish oraliqlarida yotadi?

Agar funktsiya grafigi kamayib borayotgan bo'lsa - hosila manfiy (va aksincha).

Agar funktsiya grafigi oshsa, hosila ijobiy bo'ladi (va aksincha).

Ushbu ikki ibora sizga qaror qabul qilishga yordam beradi eng vazifalar.

Ehtiyotkorlik bilan qarang hosila yoki funktsiyaning chizmasi sizga beriladi va keyin ikkita iboradan birini tanlang.

Funktsiyaning sxematik grafigini tuzamiz. Chunki bizga hosila grafigi berilgan, u holda manfiy bo'lgan joyda funksiya grafigi kamayadi, musbat bo'lgan joyda esa ortadi!

Ma'lum bo'lishicha, o'sish sohalarida 3 ball yotadi: x4; x5; x6.

Javob: 3

Vazifa raqami 3. f(x) funksiya (-6; 4) oraliqda aniqlanadi. Rasmda ko'rsatilgan uning hosilasi grafigi. Funksiya eng katta qiymatni qabul qiladigan nuqtaning abssissasini toping.

Men sizga har doim funktsiya grafigini shunday o'qlar bilan yoki sxematik belgilar bilan (4 va № 5 da bo'lgani kabi) qanday ketishini qurishni maslahat beraman:

Shubhasiz, agar grafik -2 ga oshsa, maksimal nuqta -2 ga teng.

Javob: -2

Vazifa raqami 4. Rasmda f(x) funksiyaning grafigi va x o'qidagi o'n ikkita nuqta ko'rsatilgan: x1, x2, ..., x12. Ushbu nuqtalarning nechtasida funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi?

Vazifa teskari, funktsiya grafigini hisobga olgan holda, siz funktsiyaning hosilasi grafigi qanday ko'rinishini sxematik tarzda qurishingiz va manfiy diapazonda qancha nuqta yotishini hisoblashingiz kerak.

Ijobiy: x1, x6, x7, x12.

Salbiy: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Javob: 7

Vazifaning yana bir turi, ba'zi dahshatli "ekstremallar" haqida so'ralganda? Bu nima ekanligini topish siz uchun qiyin bo'lmaydi, lekin men grafiklar uchun tushuntiraman.

Vazifa raqami 5. Rasmda (-16; 6) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi keltirilgan. f(x) funksiyaning [-11” segmentidagi ekstremum nuqtalari sonini toping; 5].

-11 dan 5 gacha bo'lgan diapazonga e'tibor bering!

Keling, yorqin ko'zimizni plastinkaga qarataylik: funktsiya hosilasining grafigi berilgan => u holda ekstremallar X o'qi bilan kesishgan nuqtalardir.

Javob: 3

Vazifa raqami 6. Rasmda (-13; 9) intervalda aniqlangan f (x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning [-12 oraliqdagi maksimal nuqtalari sonini toping; 5].

-12 dan 5 gacha bo'lgan diapazonga e'tibor bering!

Siz plastinkaga bir ko'z bilan qarashingiz mumkin, maksimal nuqta ekstremum bo'lib, undan oldin hosila ijobiy (funktsiya kuchayadi) va undan keyin hosila salbiy (funktsiya kamayadi). Bu nuqtalar aylana bilan o'ralgan.

O'qlar funksiya grafigi qanday ishlashini ko'rsatadi.

Javob: 3

Vazifa raqami 7. Rasmda (-7; 5) oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning grafigi keltirilgan. f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini toping.

Yuqoridagi jadvalga qarashingiz mumkin (hosil nolga teng, ya'ni bu ekstremum nuqtalar). Va bu masalada funktsiyaning grafigi berilgan, ya'ni siz topishingiz kerak burilish nuqtalari soni!

Va siz odatdagidek mumkin: biz lotinning sxematik grafigini quramiz.

Funktsiyalar grafigi o'z yo'nalishini o'zgartirganda hosila nolga teng bo'ladi (ortishdan kamayishgacha va aksincha)

Javob: 8

Vazifa raqami 8. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik(-2; 10) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(x). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Funktsiyaning sxematik grafigini tuzamiz:

Qaerda u ko'paysa, biz 4 ta butun nuqtani olamiz: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Javob: 22

Vazifa raqami 9. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik(-6; 6) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya. Funksiya grafigining tangensi y = 2x + 13 chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan f(x) nuqtalar sonini toping.

Bizga hosilaning grafigi berilgan! Bu shuni anglatadiki, bizning tangensimiz ham lotinga "tarjima" qilinishi kerak.

Tangens hosilasi: y" = 2.

Endi ikkala hosila tuzamiz:

Tangenslar uch nuqtada kesishadi, shuning uchun bizning javobimiz 3.

Javob: 3

Vazifa raqami 10. Rasmda f (x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan va -2, 1, 2, 3 nuqtalar belgilangan.Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosilaning qiymati eng kichik? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Vazifa biroz birinchisiga o'xshaydi: hosilaning qiymatini topish uchun siz ushbu grafaga bir nuqtada tangens qurishingiz va k koeffitsientini topishingiz kerak.

Agar chiziq kamayib borayotgan bo'lsa, k< 0.

Agar chiziq ortib borayotgan bo'lsa, k > 0.

Keling, koeffitsientning qiymati to'g'ri chiziqning qiyaligiga qanday ta'sir qilishini o'ylab ko'raylik:

k = 1 yoki k = - 1 bo'lganda, grafik x va y o'qlari o'rtasida o'rtada bo'ladi.

To'g'ri chiziq X o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa, k koeffitsienti nolga yaqinroq bo'ladi.

Chiziq Y o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa, k koeffitsienti cheksizlikka yaqinroq bo'ladi.

-2 va 1 k nuqtada<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>bu yerda hosilaning eng kichik qiymati bo'ladi

Javob: 1

Vazifa raqami 11. Chiziq y = x³ + x² + 2x + 8 funksiya grafigiga y = 3x + 9 teginishdir. Aloqa nuqtasining abssissasini toping.

Grafiklar mavjud bo'lganda, chiziq grafikga teginish bo'ladi umumiy nuqta, shuningdek, ularning hosilalari. Grafiklar va ularning hosilalari tenglamalarini tenglashtiring:

Ikkinchi tenglamani yechish, biz 2 ball olamiz. Qaysi biri mos kelishini tekshirish uchun har bir x ni birinchi tenglamaga almashtiramiz. Faqat bittasi qiladi.

Men kubik tenglamani umuman yechmoqchi emasman, lekin shirin qalb uchun kvadrat.

Agar ikkita "oddiy" javob olsangiz, javob sifatida nima yozish kerak?

y \u003d 3x + 9 va y \u003d x³ + x² + 2x + 8 asl grafiklarga x (x) ni almashtirganda, siz bir xil Y ni olishingiz kerak.

y= 1³+1²+2×1+8=12

To'g'ri! Shunday qilib, x = 1 javob bo'ladi

Vazifa raqami 12. y = − 5x − 6 to‘g‘ri chiziq ax² + 5x − 5 funksiya grafigiga tangens. a toping.

Xuddi shunday, biz funktsiyalar va ularning hosilalarini tenglashtiramiz:

Keling, ushbu tizimni a va x o'zgaruvchilarga nisbatan hal qilaylik:

Javob: 25

Sanoat bilan topshiriq imtihonning birinchi qismida eng qiyinlaridan biri hisoblanadi, ammo ozgina e'tibor va muammoni tushunish bilan siz muvaffaqiyatga erishasiz va bu vazifani bajarish foizini oshirasiz!

Bitiruv ishi Shakldan foydalanish 11-sinf o'quvchilari uchun u limitlarni, funktsiyaning hosilasini kamaytirish va oshirish intervallarini hisoblash, ekstremum nuqtalarni topish va grafiklarni tuzish uchun vazifalarni o'z ichiga oladi. Ushbu mavzuni yaxshi bilish imtihonning bir nechta savollariga to'g'ri javob berishga va keyingi kasbiy tayyorgarlikda qiyinchiliklarga duch kelmaslikka imkon beradi.

Asoslar differensial hisob matematikaning asosiy mavzularidan biri zamonaviy maktab. U o'zgaruvchilarning bog'liqligini o'rganish uchun hosiladan foydalanishni o'rganadi - bu hosila orqali siz chizmaga murojaat qilmasdan funktsiyaning ortishi va kamayishini tahlil qilishingiz mumkin.

Bitiruvchilarni har tomonlama tayyorlash imtihondan o'tish ustida ta'lim portali"Shkolkovo" farqlash tamoyillarini chuqur tushunishga yordam beradi - nazariyani batafsil tushunish, echimlar misollarini o'rganish. tipik vazifalar va mustaqil ishda o'z kuchingizni sinab ko'ring. Biz sizga bilimlardagi bo'shliqlarni bartaraf etishga yordam beramiz - mavzuning leksik tushunchalari va miqdorlarning bog'liqliklari haqidagi tushunchangizni aniqlashtirish. Talabalar topilgan oraliqlarga chegara nuqtalari kiritilgan va kiritilmaganda funksiya hosilasining ma’lum oraliqdagi ko‘tarilishi yoki tushishini bildiruvchi monotonlik intervallarini qanday topishni takrorlay oladi.

Tematik muammolarni to'g'ridan-to'g'ri hal qilishni boshlashdan oldin, biz birinchi navbatda "Nazariy ma'lumotnoma" bo'limiga o'tishni va tushunchalar, qoidalar va jadval formulalarining ta'riflarini takrorlashni tavsiya qilamiz. Bu yerda, shuningdek, hosilaviy grafikdagi o'sish va kamayuvchi funktsiyalarning har bir intervalini qanday topish va yozishni o'qishingiz mumkin.

Taqdim etilgan barcha ma'lumotlar amalda noldan tushunish uchun eng qulay shaklda taqdim etilgan. Saytda bir nechta idrok etish va assimilyatsiya qilish uchun materiallar mavjud turli shakllar– tajribali o‘qituvchilar rahbarligida o‘qish, video ko‘rish va bevosita mashg‘ulotlar. Professional o'qituvchilar ular sizga analitik va grafik usullar yordamida funksiya hosilasining ortish va kamayish intervallarini qanday topishni batafsil aytib beradilar. Veb-seminarlar davomida nazariy jihatdan ham, muayyan muammolarni hal qilishda ham qiziqtirgan har qanday savolni berish mumkin bo'ladi.

Mavzuning asosiy fikrlarini eslab, imtihon variantlari vazifalariga o'xshash funktsiyaning hosilasini oshirish misollarini ko'rib chiqing. O'rganganlaringizni mustahkamlash uchun "Katalog" ga qarang - bu erda siz topasiz amaliy mashg'ulotlar uchun mustaqil ish. Bo'limdagi vazifalar tanlangan turli darajalar mahoratni rivojlantirish nuqtai nazaridan qiyinchilik. Ularning har biri uchun, masalan, yechim algoritmlari va to'g'ri javoblar ilova qilinadi.

“Konstruktor” bo‘limini tanlab, talabalar funktsiya hosilasini real bo‘yicha o‘sish va kamayishini o‘rganishni mashq qilishlari mumkin bo‘ladi. FOYDALANISH opsiyalari, doimo hisobga olingan holda yangilanadi so'nggi o'zgarishlar va innovatsiya.

Berilgan oraliqda funksiya 2 ta maksimal va 2 ta minimal, jami 4 ta ekstremalga ega. Vazifa Rasmda intervalda aniqlangan funksiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Yechish Berilgan oraliqda funktsiyaning hosilasi musbat, shuning uchun funktsiya bu oraliqda ortib bormoqda. Yechish Agar biror nuqtada hosila nolga teng bo'lsa va uning qo'shnisida ishorani o'zgartirsa, bu ekstremum nuqtadir.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

1. Hosilning grafigi yordamida funksiyani o‘rganing. y=f(x) funksiya (x1;x2) va (x3;x4) oraliqlarda kamayadi. y=f ‘(x) hosilasi grafigidan foydalanib, y=f(x) funksiyaning qiymatlarini ham solishtirish mumkin.

Bu nuqtalarni A (x1; y1) va B (x2; y2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.

DA jismoniy hissiyot hosila - har qanday jarayonning o'zgarish tezligi. Moddiy nuqta x(t) = t²-13t+23 qonuniga muvofiq to'g'ri chiziqli harakat qiladi, bu erda x - mos yozuvlar nuqtasidan metrlarda masofa, t - harakat boshidan o'lchangan soniyalarda vaqt.

Aylana, ellips, giperbola, parabolaga teginish.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu shunday eshitiladi: agar funktsiyaning kattaroq argumenti funktsiyaning kattaroq/kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, funktsiya oraliqda ortish/kamayish deyiladi. Iltimos, 7089-sonli muammoning yechimiga qarang. U erda o'sish oraliqlarini belgilashda chegaralar kiritilmagan. E'tibor bering, hosilaning grafigi berilgan. Odatdagidek: teshilgan nuqta diagrammada yotmaydi, undagi qiymatlar mavjud emas va hisobga olinmaydi. Yaxshi tayyorlangan bolalar “hosil” va “ikkinchi hosila” tushunchalarini farqlaydilar. Siz chalkashyapsiz: agar lotin 0 ga aylangan bo'lsa, u holda nuqtada funktsiya minimal yoki maksimal bo'lishi mumkin. Salbiy qiymatlar hosila f(x) funksiya kamayadigan intervallarga mos keladi.

Shu paytgacha biz grafiklarga teginish tenglamalarini topish bilan shug'ullangan edik yagona qiymatli funktsiyalar turli nuqtalarda y = f(x) ko'rinishdagi.

Quyidagi rasmda uchta turli xil sekantlar ko'rsatilgan (A va B nuqtalari boshqacha), lekin ular bir-biriga mos keladi va bitta tenglama bilan berilgan. Ammo shunga qaramay, agar biz ta'rifdan boshlasak, unda chiziq va uning sekant chizig'i mos keladi. Keling, teginish nuqtalarining koordinatalarini topishni boshlaylik. Iltimos, bunga e'tibor bering, chunki keyinchalik biz teginish nuqtalarining ordinatlarini hisoblashda foydalanamiz. Markazi nuqta va cho'qqilarda bo'lgan giperbola tenglik (chapdagi quyidagi rasm) va uchlari va - tenglik (o'ngdagi pastdagi rasm) bilan berilgan. Mantiqiy savol tug'iladi, nuqta qaysi funktsiyalarga tegishli ekanligini qanday aniqlash mumkin. Bunga javob berish uchun biz har bir tenglamaga koordinatalarni almashtiramiz va tengliklarning qaysi biri o'ziga xoslikka aylanishini ko'ramiz.

Ba'zan o'quvchilar funktsiya grafigiga teginish nima ekanligini so'rashadi. Bu bizning rasmimizda ko'rsatilganidek, ushbu bo'limdagi grafik bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir. Bu aylanaga teguvchiga o'xshaydi. Keling, topamiz. Biz tangens ekanligini eslaymiz o'tkir burchak ichida to'g'ri uchburchak qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbatiga teng. Grafikda bu ma'lum bir nuqtada tangensni chizish mumkin bo'lmaganda keskin tanaffusga to'g'ri keladi. Ammo funktsiya grafik emas, balki formula bilan berilgan bo'lsa, hosila qanday topiladi?