Bir qiymatli analitik funktsiyalarning yagona nuqtalari bunga misoldir. Izolyatsiya qilingan yagona nuqtalar, ularning tasnifi. Qoldiqlar va ularni hisoblash formulalari

Bo'lsin zq - f(z) funksiyaning birlik nuqtasi, t.s. f(z) lekin bu nuqtada analitik (xususan, unda aniqlanmasligi mumkin). Agar nuqtaning bunday teshilgan mahallasi mavjud bo'lsa zq (ya'ni, O z - to'plami zq f(z) aliatik, demak zo chaqirdi ajratilgan yagona nuqta funktsiyalari f(z). Bu ta'rif ishda ham saqlanib qolgan zn = oo, agar yod nuqtaning teshilgan mahallasi bo'lsa zq = oo to'plamni tushuning z > I - boshlang'ichda markazlashgan qandaydir doiraning ko'rinishi. Boshqacha qilib aytganda, yagona nuqta Agar bu nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, zq izolyatsiya qilingan deb ataladi, unda boshqa birlik nuqtalardan farq qiladi. zq. Quyida hamma joyda biz faqat bitta qiymatli belgining yagona nuqtalarini ko'rib chiqamiz (funktsiya f(z) noyob deb hisoblanadi).

Funktsiyaning xatti-harakatiga qarab f(z) da z -> zq Yagona nuqtalarning uch turi mavjud. Izolyatsiya qilingan yagona nuqta zq funktsiyalari f(z) chaqirdi:

1) olinadigan yagona nuqta agar chekli chegara mavjud bo'lsa

2) qutb chegara bo'lsa

3) muhim nuqta, agar f(z) uchun na chekli, na cheksiz chegarasi bor z-> zq.

26.1. Keling, har uch turdagi birlik nuqtalarning amalga oshirilishini ko'rsataylik. O'ylab ko'ring f(z)= nuqta zq = 0 izolyatsiya qilingan

bu funktsiyaning yagona nuqtasi. (22.12) formuladan foydalanib, biz kengayishni olamiz

bundan lim borligi kelib chiqadi fi(z)= 1. Demak, zq = 0 bo'ladi

funksiyaning olinadigan yagona nuqtasidir fi(z).

Funktsiya f'j(z) =--- bir nuqtada qutbga ega zo= 1 chunki

2 r"X

Endi funktsiyani ko'rib chiqing )z(z)= e 1 ^ r va buni ko'rsating zo = O bu funksiyaning muhim birlik nuqtasidir. Intilish paytida z real o'q bo'ylab nolga, f funktsiyaning chap va o'ng chegaralari (z) har xil: lim bilan 1 / 1 = 0,lim 1 /* = bilan os. Bu shuni anglatadiki,

x->0-0 x->0+0

nima f:i(z) 2 uchun na chekli, na cheksiz chegarasi bor -> Oh, ya'ni. zq = 0 bu funksiyaning mohiyatan yagona nuqtasidir. (E'tibor bering, nuqta tendentsiyaga qarab z-iy xayoliy o'q funktsiyasi bo'yicha nolga

umuman chegarasi yo'q.)

Albatta, izolyatsiyalanmagan yagona nuqtalar ham mavjud. Misol uchun. funksiya nuqtalarda qutblarga ega z n = -, P= ±1, ±2,...

Demak, Zq = 0 - bu funksiyaning izolyatsiyalanmagan yagona nuqtasi: bu nuqtaning istalgan (ixtiyoriy ravishda kichik) qo'shnisida boshqa yagona nuqtalar mavjud. g p.

Bo'lsin zo- funktsiyaning oxirgi ajratilgan yagona nuqtasi f(z). Keyin f(z) nuqtaning ba'zi teshilgan mahallada 0 Zo o'xshash zo bu mahalla ichki radiusi r = 0 bo'lgan halqa sifatida qaralishi mumkin. 25.1 teoremaga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan mahallada funktsiya f(z) Laurent seriyasida kengaytirilishi mumkin (25.2). Funktsiyaning 2 uchun xatti-harakatini ko'rsatamiz -> zq (ya'ni birlik nuqtaning turi zo) parchalanishning asosiy qismining shakliga bog'liq (25.2); bu holat "asosiy qism" atamasining kelib chiqishini tushuntiradi.

2G.2 TEOREMASI. f(z) funksiyaning izolyatsiyalangan yagona zo nuqtasi, agar bu nuqtaning teshilgan qo‘shnisidagi Lorap kengayishi oidga ega bo‘lsagina olinadigan bo‘ladi.

bular. faqat to'g'ri qismdan iborat, va asosiy qismning barcha koeffitsientlari o'qga teng.

Isbot. 1. Mayli zo olinadigan yagona nuqtadir. Funktsiyaning Loran kengayishi ekanligini isbotlaylik f(z)(26.1) shaklga ega. Yagona nuqtadan boshlab zo olinadigan, keyin cheklangan chegara lim mavjud f(z) = A. Demak, f(z) nuqtaning 0 z - zq ayrim teshilgan mahallada chegaralangan zo, bular. )(z) hamma uchun z shu mahalladan. Har qandayini oling R. U r /?|, va Loran seriyasining koeffitsientlari uchun (25.3) formulalardan foydalaning:

Kengayishning asosiy qismining koeffitsientlari uchun n =- 1,-2,... Bunday qiymatlar uchun P bizda ... bor p~n-e 0 da R-> 0. Qiymatdan boshlab R o'zboshimchalik bilan kichik tanlanishi mumkin, keyin janob ~" o'zboshimchalik bilan kichik bo'lishi mumkin. Buyon |c t,| ^ janob ~n va cn p ga bog'liq emas, keyin cn = 0 uchun va= - 1, -2,..., isbotlanishi kerak edi.

2. Keling, Laurent kengayishi (26.1) ko'rinishga ega deb faraz qilaylik. Seriya (26.1) quvvat seriyasidir va. shuning uchun nafaqat teshilgan, balki butun mahallada ham birlashadi z-zq shu jumladan nuqta zo; uning miqdori S(z) uchun analitik hisoblanadi z va S(z) = )(z) 0 z da - zo R. Demak, chegaralangan chegara mavjud )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Shuning uchun yagona nuqta zq

Z->Zo Z-*Zo

bir martalik. Teorema isbotlangan.

Izoh. Teoremaning isbotidan kelib chiqadiki, teshilgan qo'shnida 0 z - zo olinadigan yagona nuqtada, funktsiya f(z) butun mahallada analitik bo‘lgan S(r) funksiyasiga to‘g‘ri keladi z - zo . Shuning uchun, agar /(th) = qo'ysak S(zq), keyin funktsiya qiymatlarini o'zgartirmasdan f(z) teshilgan mahallaning istalgan nuqtasida biz bu funktsiyani r-da analitik qilamiz, ya'ni. xususiyatni "o'chirish". Bu "olib tashlanadigan yagonalik" atamasini tushuntiradi. Bunday nuqtalarni funktsiyaning birlik nuqtalari sifatida emas, balki muntazam deb hisoblash tabiiydir f(z).

Masalan, funktsiyani ko'rib chiqing

26.1-misolda Pm (n) = 1. ya'ni. yagona nuqta

zq = 0 olinadigan. /i (0) = 1 ni o'rnatib, biz shu bilan yagonalikni yo'q qilamiz va nuqtada analitik funktsiyani olamiz. zq = 0 (va butun C tekisligida).

Keling, qutblarni Loran kengayishlari nuqtai nazaridan tavsiflaylik.

26.3 teorema. f(z) funksiyaning izolyatsiyalangan yagona Zo nuqtasi qutb hisoblanadi, agar va faqat agar, markazi Zq bo'lgan Loran kengayishining asosiy qismi faqat cheklangan songa ega bo'lganda

n bilan nol koeffitsientlardan:

Isbot. 1. Mayli zq - qutb, ya'ni. lim /( z) = oo.

Funktsiyaning Loran kengayishi ekanligini isbotlaylik f(z)(2G.2) shakliga ega. Limdan beri f(z)= oo. keyin nuqtaning teshilgan mahallasi mavjud

ki zq. unda f(z) analitik va nolga ega emas. Keyin funksiya g(z) = 1 /f(z) Bu teshilgan mahallada ham analitik bo'ladi va lim g(z)= 0. Shuning uchun, Zo bir martalik *-? *0

funksiyaning yagona nuqtasi g(z). Keling, qayta belgilaymiz g(z) nuqtada zo, qo'yish g(zo)= 0. Keyin g(z)(teshilmagan) nuqtaning butun qo'shnisida analitik bo'ladi z 0, va z0 uning ajratilgan nolga teng bo'ladi. tomonidan belgilang N bu nolning ko'pligi (tartibi). §23 da ko'rsatilganidek, nuqta qo'shnisida zq funktsiyasi g(z) shaklida ifodalanishi mumkin (qarang (23.2))

va (z$) f 0 va y>(z) nuqtaning ba'zi qo'shnilarida analitikdir zo- Sifatida ip(z) nuqtada uzluksiz zo va g>(zo) F 0" keyin ip(z) Bu nuqtaning ayrim mahallalarida ham nolga ega emas. Shuning uchun funktsiya 1 /-p(z) Bu mahallada ham analitik bo'ladi va shuning uchun uni Teylor seriyasida kengaytiradi:

Qavslarni ochib, koeffitsientlarning belgilarini o'zgartirib, biz oxirgi kengaytmani shaklga yozamiz.

qaerda c_jv = 1>o f 0. Shunday qilib, f(r) ning Loran kengayishining asosiy qismi faqat cheklangan sonli hadlarni o'z ichiga oladi; biz kerakli tenglikka erishdik (26.2).

2. Nuqtaning teshilgan qo'shnisiga ruxsat bering th funktsiyasi )(z) Loran kengayishi (26.2) bilan ifodalanadi (kengaytirilgan shaklda, qarang (26.3)), uning asosiy qismida faqat cheklangan sonli atamalar mavjud va bilan - d" f 0. Biz buni isbotlashimiz kerak Zq - funktsiya qutbi f(z). Tenglikni (26.3) ga ko'paytirish (G - G o) iV , funksiyani olamiz

(26.4) qator - bu nuqtaning nafaqat teshilgan qismida, balki butun qo'shnisida ham analitik funktsiyaga yaqinlashuvchi kuch qatoridir. Zq. Shuning uchun, funktsiya h(z) Agar biz uni o'rnatish orqali kengaytirsak, bu mahallada analitik bo'ladi h(zo)= s_dg f 0. Keyin

Shunday qilib, o nuqta qutb bo'lib, 26.3 teorema isbotlangan.

Nolinchi funktsiyaning ko'pligi (tartibi). g(z)= 1//(r) deyiladi qutb tartibi funksiya /(r). Agar a N- qutbning tartibi th, keyin g(z)= (r - Zo)N ip(z), va (ketish) F 0 va 26.3-teorema isbotining birinchi qismida ko'rsatilganidek, f(r) ning kengayishi (26.3) ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda c_/v f 0. Aksincha, f(r) qatorga (26.3) kengaysa va e-z F 0, keyin

t.s. N- f(r) funksiyaning qutb tartibi. Shunday qilib, funksiyaning zq qutbining tartibi/(G) zq nuqtasining teshilgan qo'shnisida Loran kengayishining asosiy qismining etakchi nolga teng bo'lmagan koeffitsienti soniga teng.(ya'ni, bunday raqamga teng N, nima s_dg f 0 va sp= 0 da P > N).

Ilovalar uchun qulay bo'lgan quyidagi tasdiqni isbotlaylik.

Xulosa 26.4. zq nuqta fantastika N tartibli qutbdir/(G) agar va faqat agar/(G) shaklida ifodalaydi

Bu yerda h(z) nuqta qo‘shnisidagi analitik funksiya th va h(zo) f 0.

Isbot. Funktsiya cp(z) = l/h(z) r nuqtaning ba'zi qo'shnilarida analitikdir.Nulosa 26.4 sharti quyidagiga ekvivalentdir:

Shunday qilib zq - ko'plik nolga teng N funktsiyalari g(z). va shuning uchun ko'plik qutbi N funktsiyalari /(2).

II misol 26.5. Funksiyaning ajratilgan yagona nuqtalarini toping va ularning turini aniqlang.

D e u c tio n. Qaysi nuqtalar (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Agar z 2 L- 1 = 0 keyin 2 = ±g agar (z 4- H) 2 = 0, u holda z= -3. Demak, funksiyaning uchta yagona nuqtasi bor z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. O'ylab ko'ring z:

G - birinchi tartibli qutb (biz 26.4 xulosasidan foydalandik). 22 = ekanligini xuddi shunday isbotlash mumkin -i birinchi tartibli qutb ham. 2 soat davomida bizda:

Keling, mohiyatan alohida fikrlarni ko'rib chiqishga o'tamiz.

26.6 teorema. f(z) funksiyaning ajratilgan yagona zq nuqtasi, agar markazlashgan Loran kengayishining asosiy qismi zq dan cheksiz ko'p farq qilsagina, mohiyatan yagona hisoblanadi. nol, p bilan koeffitsientlar.

Isbot. 26.6 teorema bevosita 26.2 va 26.3 teoremalaridan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar nuqta zq mohiyatan yagona bo'lsa, u holda Loran kengayishining asosiy qismi bo'lmasligi yoki cheklangan sonli atamalarni o'z ichiga olishi mumkin emas (aks holda nuqta Zq olinadigan yoki qutbli bo'ladi). Shuning uchun asosiy qismdagi atamalar soni cheksiz bo'lishi kerak.

Aksincha, agar asosiy qism cheksiz ko'p a'zolardan iborat bo'lsa, u holda Zq olinadigan nuqta ham, qutb ham bo'lishi mumkin emas. Binobarin, bu nuqta mohiyatan yagonadir.

Ta'rifga ko'ra, mohiyatan birlik nuqta f (2) funktsiyasining na chekli, na cheksiz chegarasiga ega emasligi bilan tavsiflanadi. z ->zq. Mohiyatan yagona nuqtaga yaqin joyda funktsiyaning harakati qanchalik tartibsiz ekanligi haqida to'liqroq fikr quyidagi teorema bilan berilgan.

26.7 teorema (Sochokki teoremasi). Agar zq mohiyatan birlik boʻlsa, f(z) funksiyaning nuqtasi), keyin har qanday kompleks son uchun L, shu jumladan A = oo, z n nuqtalar ketma-ketligi borki, z n -> zo va lim f(zn) = LEKIN.

n->os

Isbot. Avval ishni ko'rib chiqing A = oo. 2G.2 teorema isbotining birinchi qismida biz aniqladikki, agar f(z) r0 nuqtasining ba'zi bir teshilgan qo'shnisi bilan chegaralangan bo'lsa, u holda barcha koeffitsientlar c, n = - Asosiy qismning 1, - 2,... nolga teng (va, demak, thdagi yagonalik olib tashlanadi). Farazga ko'ra, r mohiyatan yagona nuqta bo'lganligi sababli, /(r) funksiya r nuqtaning har qanday teshilgan qo'shnisida chegaralanmagan. Keling, 0 Z tor mahallani olaylik f(zi) > 1 (agar |/(r)| z - zo R/2 nuqta bo'lsa z-2 , bu yerda |/(dd)| > 2 va boshqalar: teshilgan mahallada O 71. Ko'rinib turibdiki, rn -e go va lim /(r«) = oo. Shunday qilib, A = oo holatda, teorema 26.7

isbotlangan.

Keling A f oo. Avval 0-o'rinda teshilgan mahalla bor deb taxmin qiling

= -yy---- bu teshilgan mahallada analitik bo'ladi va shuning uchun

/(G) - LEKIN

demak, r PH(r) funksiyaning ajratilgan yagona nuqtasidir. Keling, ko'rsataylik. bu r0 PH(r) ning mohiyatan yagona nuqtasidir. Bu noto'g'ri bo'lsin. U holda chekli yoki cheksiz lim PH(r) chegarasi mavjud. Chunki

/(r) = A +, keyin Hsh /(r) ham mavjud, bu shartga zid keladi

F(g) ~ :-*z 0

teoremaning ko'rinishi. Shunday qilib, r0 PH(r) funksiyaning mohiyatan yagona nuqtasidir. Yuqorida isbotlangan narsaga ko'ra, r n nuqtalar ketma-ketligi mavjud bo'lib, r n o va lim PH(r n) = oo bo'ladi. Bu yerdan

Biz f(r) degan faraz ostida kerakli fikrni isbotladik. F A r nuqtasining ba'zi bir teshilgan mahallasida.. Endi faraz qilaylik, bu to'g'ri emas, ya'ni. nuqtaning har qanday o'zboshimchalik bilan kichik teshilgan mahallada shunday nuqta bor G", deb f(r") = A. Keyin har qanday uchun P teshilgan mahallada 0 f(z u) = L. Shunday qilib, talab qilingan tasdiq haqiqatdir P-yuo

hamma hollarda va 26.7 teorema isbotlangan.

(Soxotskiy) 26.7 teoremasiga ko'ra, mohiyatan yagona nuqtaning har qanday (o'zboshimchalik bilan kichik) teshilgan qo'shnisida f (r) funktsiyasi kengaytirilgan kompleks C tekisligidagi istalgan songa o'zboshimchalik bilan yaqin qiymatlarni oladi.

Izolyatsiya qilingan yagona nuqtalarni o'rganish uchun asosiy elementar funktsiyalarning taniqli Teylor kengaytmalari ko'pincha foydalidir.

2G.8 MISOL. Funksiya uchun zq = 0 yagona nuqta turini aniqlang

Yechilgan va e. Teylor qatoridagi pay va maxrajni r darajasida kengaytiramiz. (22.11) 3 ga almashtiramiz. z r ni va 1ni ayirish o'rniga, biz olamiz

(22.12) dan foydalanib, biz maxrajning kengayishini olamiz:

Ushbu kengaytmalardagi ketma-ketliklar butun kompleks tekislikda € birlashadi. Bizda ... bor

va /2(2) nuqta qo'shnisida o'xshashdir zo = 0 (va hatto butun tekislikda) va / 2 (20) F 0, keyin h(z) gF 0 nuqtasining ba'zi qo'shnilarida ham analitikdir. Xulosa 26.4 ga ko'ra, nuqta Zo = 0 - buyurtmaning qutbi N = 4.

II misol 26.9. Funktsiyaning yagona nuqtalarini toping f(z)= sin j - va ularning turini aniqlang.

P e in e va e. Funktsiya bitta yakuniy yagona nuqtaga ega zq = 1. C dan boshqa nuqtalarda funksiya w =--- analitik; shuning uchun gunoh funktsiyasi w analitik bo'ladi.

Sinusning kengayishida (22.12) o'rnini bosamiz - r o'rniga, biz olamiz

Biz 20 = 1 nuqtaning teshilgan qo'shnisida Laurent seriyasida gunoh funktsiyasining kengayishini oldik. Olingan kengayish manfiy kuchga ega cheksiz ko'p atamalarni o'z ichiga olganligi sababli (r - 1), u holda zq = 1 - muhim yagona nuqta (bu holda, Laurent kengayishi faqat asosiy qismdan iborat va to'g'ri qism yo'q).

E'tibor bering, bu holda, qatorni kengaytirishga murojaat qilmasdan, to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan yakkalik tabiatini aniqlash mumkin edi. Darhaqiqat, (r") va (2") ga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar mavjud zo= 1 va shunga o'xshash f(z" n)= 1, /(2") = 0 (bunday ketma-ketlikni o'zingiz belgilang). f(z) qachon chegarasi yo'q z -> 1 va shuning uchun nuqta zq - 1 asosan birlikdir.

Funktsiyaning nuqta qo'shnisida Loran kengayishi tushunchasini kiritaylik Zq = 00 va bu nuqtada kengayish va yakkalikning tabiati o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rib chiqing. E'tibor bering, izolyatsiya qilingan yagona nuqta va uning turi (olinadigan, qutb yoki asosan birlik) ta'riflari ish uchun o'tkaziladi. zq = oc o'zgarmagan. Lekin teoremalar 26.2. Laurent kengaytmalarining tabiati bilan bog'liq bo'lgan 26.3 va 26.6-ni o'zgartirish kerak. Gap shundaki, a'zolar c n (z - 2o) p. P= -1,-2,..., asosiy qism, oxirgi nuqtaga yaqin funktsiyaning "" tartibsizlik "ni belgilaydi Zq, chunki 2 oo ga moyil bo'lsa, ular o'zlarini "to'g'ri" tutadilar (0 ga moyil). Aksincha, muntazam qism a'zolari bilan P= 1,2,... oo ga moyil bo'ladi; dagi birlik xususiyatini belgilaydilar Zq = oo. Shuning uchun, oo mahallasidagi kengaytirishning asosiy qismi ijobiy vakolatlarga ega bo'lgan shartlar bo'ladi P, va to'g'ri - salbiy bilan.

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz w = 12. Funktsiya tv= 1/2, u(oo) = 0 bo'lishi uchun kengaytirilgan, birma-bir va qo'shni hududni mos ravishda xaritalash z > R ball zq = 00 qo'shnisida |w| wq = 0. Agar funktsiya f(z) teshilgan mahallada tahlil R z Zq = oc, keyin funksiya G(w) = f(l/w) sariq mahallada analitik bo'ladi 0 wo = 0. 2 uchun beri -> oo bo'ladi w-> 0, keyin

Shunday qilib G(w) nuqtada bor wq = 0 - bir xil turdagi yagonalik f(z) nuqtada Zq = 00. G(w) funksiyani Laurent qatorida wo = 0 nuqtaning teshilgan mahallasida kengaytiramiz:

(26.5) ning o'ng tomonidagi summalar mos ravishda kengayishning to'g'ri va asosiy qismlarini ifodalaydi. Keling, o'zgaruvchiga o'tamiz z, almashtirish w = 1/z:

bildiruvchi P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d p bilan va buni payqash G(l/z) = f(z), olamiz

Parchalanish (2G.G) deyiladi zq nuqtaning teshilgan qo'shnisida f(z) funksiyaning Loran kengayishi= oo. (2G.6) dagi birinchi summa chaqiriladi o'ng qism, ikkinchi summa esa asosiy qismi bu parchalanish. Bu summalar kengayishning (26.5) toʻgʻri va asosiy qismlariga toʻgʻri kelganligi sababli, kengaytirish (26.6) 26.2, 26.3 va 26.6 teoremalarning analoglarini qanoatlantiradi. Shunday qilib, quyidagi teorema 26.2 teoremaning analogidir.

26.10 teorema. Izolyatsiya qilingan yagona nuqtaZq - os (funktsiyalari/(G) Agar bu nuqtaning teshilgan mahallasidagi Loran kengayishi shaklga ega bo'lsagina olinadi.

t.s. faqat to'g'ri qismdan iborat.

Biz /(oo) = qo'yamiz co.(26.7) qator bilan aniqlangan funktsiya mahallada yaqinlashadi z > R nuqtalar 2o \u003d oc, chaqiriladi z nuqtada analitik o = oo. (E'tibor bering, bu ta'rif funktsiyaning analitikligiga ekvivalentdir G(w) nuqtada vo = 0.)

26.11-misol. Funksiyaning zq = oo birlik nuqtasini o‘rganing

Chegara chekli bo'lgani uchun, demak zo = oo f(r) funksiyaning olinadigan yagona nuqtasidir. Agar /(oo) = lim qo'ysak J(z)= 0, keyin f(z) aylanadi

nuqtada tik Zo= os. Keling, mos keladigan kengaytmani qanday topishni ko'rsatamiz (26.7). Keling, o'zgaruvchiga o'tamiz w = 1 fz. O'rnini bosish z= 1 /?e, olamiz

(oxirgi tenglik ww = 0 nuqtaning teshilgan qo'shnisida amal qiladi, lekin biz ta'rifni kengaytiramiz (7(0) = 0). Olingan funktsiya yagona nuqtalarga ega. w =±i, w =-1/3 va nuqtada Wq = 0 analitik hisoblanadi. Funktsiyani kengaytirish G(w) darajalar bo'yicha w(25.7-misolda qilinganidek) va natijada olingan quvvat qatoriga almashtirish w = 1/z funktsiyaning (26.7) kengayishini olish mumkin f(z).

Ish uchun teorema 26.3 zo= oo quyidagi shaklda qayta yoziladi.

26.12 teorema. Izolyatsiya qilingan yagona nuqta borish = ok f(z) funksiyasi qutb bo'ladi, agar Loran kengayishining asosiy qismi bo'lsa (26.6) faqat chekli sonli nolga teng bo'lmagan koeffitsientlarga ega bilan":

Bu erda ketma-ket muntazam qism, qavs ichidagi ko'phad esa kengaytirishning asosiy qismidir. Ocdagi qutbning ko'pligi qutbning ko'pligi sifatida aniqlanadi wq = 0 funksiya G(z). Qutbning ko'pligi songa to'g'ri kelishini ko'rish oson N da (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Vazifa. Funktsiya ekanligini ko'rsating f(z) =-- -- bor

nuqta zo = oo qutb tartibi 3.

Muhim bir nuqtaga oid 26.6 teorema ish uchun qayta yoziladi zo= os deyarli so'zma-so'z va biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz.

yagona nuqta

matematikada.

1) F tenglama bilan berilgan egri chiziqning yagona nuqtasi ( x, y) = 0, - nuqta M 0 ( x 0 , y 0), bunda F funktsiyaning ikkala qisman hosilalari ( x, y) yo'qoladi:

Agar qo'shimcha ravishda F funktsiyasining barcha ikkinchi qisman hosilalari bo'lmasa ( x, y) nuqtada M 0 nolga teng, u holda O. t. qoʻsh deyiladi. Agar M 0 nuqtada birinchi hosilalarning yoʻqolishi bilan birga ikkinchi hosilalarning hammasi ham yoʻqolib ketsa, lekin uchinchi hosilalarning hammasi ham nolga teng boʻlmasa, O. t. uchlik deyiladi va hokazo. Qoʻsh O. t. yaqinidagi egri chiziq tuzilishini oʻrganishda ifoda belgisi muhim rol oʻynaydi.

Agar D > 0 boʻlsa, O. t. ajratilgan deyiladi; masalan, egri chiziq y 2 - x 4 + 4x 2= 0 kelib chiqishi izolyatsiya qilingan O. t. (qarang guruch. bitta ). Agar D x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 koordinatalarning kelib chiqishi tugun O. t. (qarang guruch. 2 ). Agar D = 0 boʻlsa, O. t. egri chizigʻi yo izolyatsiya qilingan yoki egri chiziqning turli shoxlari shu nuqtada umumiy tangensga ega boʻlishi bilan tavsiflanadi, masalan: tangens va egri chiziq kabi nuqta hosil qiladi. y 2 - x 3= 0 (qarang guruch. 3 , a); b) 2-turdagi cho'qqi - egri chiziqning turli shoxlari egri chiziq kabi umumiy tangensning bir tomonida joylashgan. (y - x 2)2 - x 5= 0 (qarang guruch. 3 , b); c) o'z-o'zidan aloqa nuqtasi (egri chiziq uchun y 2 - x 4= 0 kelib chiqishi - o'z-o'zidan aloqa qilish nuqtasi; (sm. guruch. 3 , ichida). Koʻrsatilgan O. t. bilan bir qatorda maxsus nomli boshqa O. t.lar ham koʻp; Masalan, asimptotik nuqta - bu cheksiz ko'p burilishli spiralning cho'qqisi (2-rasmga qarang). guruch. 4 ), uzilish nuqtasi, burchak nuqtasi va boshqalar.

2) Differensial tenglamaning yagona nuqtasi - bu differentsial tenglamaning o'ng tomonidagi pay va maxraj bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketadigan nuqtadir (Differensial tenglamalarga qarang).

bu yerda P va Q uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyalardir. O. t.ni koordinatalar boshida joylashgan deb hisoblab, Teylor formulasidan (Teylor formulasiga qarang) foydalanib, (1) tenglamani koʻrinishda ifodalashimiz mumkin.

bu erda P 1 ( x, y) va Q 1 ( x, y) ga nisbatan cheksiz kichikdir

Yaʼni, agar l 1 ≠ l 2 va l 1 l 2 > 0 yoki l 1 = l 2 boʻlsa, O. t. tugun; tugunning etarlicha kichik qo'shnisi nuqtalaridan o'tadigan barcha integral egri chiziqlar unga kiradi. Agar l 1 ≠ l 2 va l 1 l 2 i b, a ≠ 0 va b ≠ 0 bo‘lsa, O. t. fokus; Fokusning etarlicha kichik qo'shnisidagi nuqtalardan o'tadigan barcha integral egri chiziqlar fokusning har qanday o'zboshimchalik bilan kichik mahallasida cheksiz sonli burilishli spiraldir. Agar, nihoyat, l 1,2 = ± bo'lsa i b, b ≠ 0, u holda O. t.ning xarakteri P ning kengayishlarida chiziqli hadlar bilan aniqlanmaydi ( x, y) va Q ( x, y), yuqoridagi barcha holatlarda bo'lgani kabi; bu yerda O. t. fokus yoki markaz boʻlishi yoki murakkabroq xarakterga ega boʻlishi mumkin. Markazning qo'shnisida barcha integral egri chiziqlar yopiq bo'lib, ularning ichida markazni o'z ichiga oladi. Masalan, nuqta (0, 0) tenglamalar uchun tugundir da" = 2u/x(l 1 = 1, l 2 = 2; qarang guruch. 5 , a) va y" = u/x(l 1 = l 2 = 1; qarang guruch. 5 , b), tenglama uchun egar y" = -y/x(l 1 = -1, l 2 = 1 ; sm. guruch. 6 ), tenglama uchun fokus y" =(x + y) / (x - y) (l 1 = 1 - i, l 2 = 1 + i; sm. guruch. 7 ) va tenglama markazi y" = -x / y(l 1 = -i, l 2 = i; sm. guruch. sakkiz ).

Agar x, y) va Q ( x, y) analitik boʻlib, yuqori tartibli O. t.ning qoʻshnisini mintaqalarga boʻlish mumkin: D 1 - integral egri chiziqlar bilan toʻldirilgan, ikkala uchi O. t.ga (elliptik mintaqalar) kiradi, D 2 - toʻldirilgan. integral egri chiziqlar bilan, bir uchi O. t.ga kiradi (parabolik mintaqalar) va D 3 - O. t.ga kiruvchi ikkita integral egri chiziq bilan chegaralangan hududlar, ular orasida giperbolalar tipidagi integral egri chiziqlar mavjud. (giperbolik hududlar) (qarang. guruch. to'qqiz ). Agar O. nuqtasiga kiruvchi integral egri chiziqlar boʻlmasa, O. nuqtasi barqaror tipdagi nuqta deyiladi. Turgʻun O. t.ning qoʻshnisi yopiq integral egri chiziqlardan iborat boʻlib, ular oʻrtasida spirallar joylashgan (1-rasmga qarang). guruch. o'n ).

O. t. differensial tenglamalarini oʻrganish, yaʼni mohiyatan O. t. M. Lyapunov a, A. Puankare va boshqalar qoʻshnisidagi integral egri chiziqlar oilalarining xatti-harakatlarini oʻrganish).

3) Bir qiymatli analitik funksiyaning yagona nuqtasi funksiyaning analitikligi buzilgan nuqtadir (qarang. Analitik funksiyalar). Agar O. t mahallasi mavjud boʻlsa. a, boshqa O. t.dan ozod, keyin nuqta a ajratilgan O. t deyiladi. Agar a ajratilgan O. t. boʻlib, chekli a mavjud boʻlsa, olinadigan O. t deyiladi. f(a)= b, erishish mumkin a tuzatilgan funksiyaning oddiy nuqtasiga aylanadi. Masalan, nuqta z= 0 f 1 funksiyasi uchun olinadigan O.T. z) = f(z), agar z≠ 0 va f 1(0),=1, nuqta z= 0 oddiy nuqta [ f 1 (z) nuqtada analitikdir z= 0]. Agar a a- ajratilgan O. t. va a funktsiyaning qutb yoki ahamiyatsiz yagona nuqtasi deyiladi. f(z), agar Loran seriyasi) funksiyalarini bajarsa f(z) izolyatsiya qilingan O. t.ning mahallasida salbiy kuchlar mavjud emas z - a, agar a- olinadigan O. t., cheklangan miqdordagi salbiy kuchlarni o'z ichiga oladi z - a, agar a- qutb (bu holda, qutbning tartibi R a ning eng yuqori kuchi sifatida aniqlanadi - mohiyatan yagona nuqta. Masalan, funksiya uchun

p = 2, 3, …)

nuqta z= 0 - buyurtmaning qutbi R, funksiya uchun

nuqta z= 0 muhim yagona nuqtadir.

Darajalar qatorining yaqinlashish doirasi chegarasida berilgan daraja qatori bilan shu doira ichida ifodalangan funksiyaning kamida bitta O. t.i boʻlishi kerak. Bir qiymatli analitik funktsiyaning mavjudlik sohasining barcha chegara nuqtalari (tabiiy chegara) bu funksiyaning chegara nuqtalari hisoblanadi. Shunday qilib, birlik doiraning barcha nuqtalari | z| = 1 funksiya uchun maxsus

Ko‘p qiymatli analitik funksiya uchun “O. t." qiyinroq. Funksiyaning Riman sirtining alohida varaqlarida (yaʼni bir qiymatli analitik elementlarning O. t.i) O. t.dan tashqari har qanday tarmoqlanish nuqtasi ham funksiyaning O. t.si hisoblanadi. Riman sirtining ajratilgan tarmoq nuqtalari (ya'ni, ularning ba'zi mahallalarida hech qanday bargda boshqa O.t. funksiyalari mavjud bo'lmagan tarmoq nuqtalari) quyidagicha tasniflanadi. Agar a chekli tartibli ajratilgan tarmoq nuqtasi bo'lsa va u erda chekli a mavjud bo'lsa, u tanqidiy qutb deb ataladi. Agar a a cheksiz tartibli ajratilgan tarmoq nuqtasi va a transsendental O. t deyiladi. Boshqa barcha ajratilgan tarmoq nuqtalari kritik mohiyatan yagona nuqtalar deyiladi. Misollar: nuqta z= 0 - f funktsiyaning oddiy kritik nuqtasi ( z) = jurnal z va funksiyaning muhim muhim yagona nuqtasi f (z) = gunoh jurnali z.

Har qanday O. t., olinadiganidan tashqari, analitik davom etish uchun toʻsiq boʻladi, yaʼni olib tashlanmaydigan O. t.dan oʻtuvchi egri chiziq boʻylab analitik davom etish mumkin emas.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Boshqa lug'atlarda "Maxsus nuqta" nima ekanligini ko'ring:

Bu yerda ballar. Yakka nuqta (differensial tenglamalar) ga ham qarang. Matematikadagi xususiyat yoki oʻziga xoslik matematik obʼyekt (odatda funksiya) aniqlanmagan yoki tartibsiz xatti-harakatlarga ega boʻlgan nuqtadir (masalan, ... ... Vikipediya.

Analitik funksiya analitiklik shartlari buzilgan nuqtadir. Agar f(z) analitik funksiya hamma joyda z0 nuqtasining ba'zi qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa ... Jismoniy entsiklopediya

Analitik funktsiya - bu funktsiyaning analitikligi buzilgan nuqta ... Katta ensiklopedik lug'at

yagona nuqta- — [Ya.N.Luginskiy, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kabirov. Elektrotexnika va energetika sanoatining inglizcha ruscha lug'ati, Moskva, 1999] Elektrotexnika mavzulari, asosiy tushunchalar EN yagona nuqta ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

1) f(z) analitik funksiyaning OT z kompleks o‘zgaruvchining f(z) funksiyasi elementining analitik davom etishiga shu o‘zgaruvchining tekisligidagi qaysidir yo‘l bo‘ylab to‘siq bo‘ladi. Analitik f(z) funksiya ba'zi ... ... bilan aniqlansin. Matematik entsiklopediya

Analitik funksiya, funksiyaning analitikligi buzilgan nuqta. * * * SINGULAR NOKTA analitik funksiyaning SINGULAR NOKTA, funksiyaning analitikligi buzilgan nuqta ... ensiklopedik lug'at

yagona nuqta- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. yagona nuqta vok. singularer Punkt, m rus. yagona nuqta, fpranc. nuqta zarrasi, m; nuqta singulier, m … Automatikos terminų žodynas

Teylor qatori zol aylanada analitik bo‘lgan funksiyalarni o‘rganishda samarali vosita bo‘lib xizmat qiladi. Halqasimon mintaqada analitik bo‘lgan funksiyalarni o‘rganish uchun musbat va manfiy darajalarda (z - zq) kengayishlarni qurish mumkinligi ma’lum bo‘ldi. Teylor kengayishlarini umumlashtiruvchi shakl. Ikki qatorning yig'indisi sifatida tushunilgan (1) seriya Loran seriyasi deb ataladi. Ko'rinib turibdiki, (1) qatorlarning yaqinlashish mintaqasi (2) qatorlarning har birining yaqinlashuv mintaqalarining umumiy qismidir. Keling, uni topamiz. Birinchi qatorning yaqinlashish maydoni aylana bo'lib, uning radiusi Koshi-Hadamard formulasi bilan aniqlanadi. Yaqinlashuv doirasi ichida (3) qator analitik funktsiyaga yaqinlashadi va har qanday kichikroq radiusli doirada u mutlaqo yaqinlashadi. va bir xilda. Ikkinchi qator o‘zgaruvchiga nisbatan darajali qatordir.(5) qator o‘zining yaqinlik doirasi doirasida m-*oo kompleks o‘zgaruvchining analitik funksiyasiga yaqinlashadi va har qanday kichikroq radiusli doirada u mutlaqo va bir xil yaqinlashadi, ya'ni (4) qatorning yaqinlashish mintaqasi aylananing ko'rinishi - Agar (3) va (4) qatorlarning umumiy yaqinlashuv mintaqasi mavjud bo'lsa - (1) qatorlar joylashgan aylana halqa. analitik funksiyaga yaqinlashadi. Bundan tashqari, har qanday halqada u mutlaqo va bir xilda birlashadi. Misol 1. Rad Loran qatorining yaqinlashish mintaqasini aniqlang Izolyatsiya qilingan yagona nuqtalar va aylana halqada bir qiymatli va apolitik bo'lgan ularning tasnifi (z), bu halqada koeffitsientlari konvergent qatorlar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Cn yagona tarzda aniqlanadi va formulalar bo'yicha hisoblanadi, bunda 7p m radiusli aylana bo'ladi. R halqasi ichidagi ixtiyoriy z nuqtasini o'rnatamiz. Radiuslari tengsizliklarni qanoatlantiruvchi r nuqtada markazlari bo‘lgan doiralar quramiz va yangi halqani ko‘rib chiqamiz.Ko‘paytmali bog‘langan soha uchun Koshi integral teoremasiga ko‘ra, bizda 7d* aylana bo‘ylab barcha £ nuqtalar uchun bir xil konvergent qator 1 1 yig‘indisi munosabati bajariladi. Shuning uchun ^ kasrni vi- /" shaklida ifodalash mumkin. aylana ir> munosabatiga egamiz Shuning uchun ^ kasrni (10) va (12) formulalardagi bir xil yaqinlashuvchi qator yig’indisi sifatida ifodalash mumkin, aylana halqadagi analitik funksiyalardir. Shuning uchun, Koshi teoremasi bo'yicha, agar 7/r va 7r/ aylanalar har qanday aylana bilan almashtirilsa, tegishli integrallarning qiymatlari o'zgarmaydi. Bu (10) va (12) formulalarni birlashtirish imkonini beradi.(8) formulaning o’ng tomonidagi integrallarni ularning mos ravishda (9) va (11) ifodalari bilan almashtirsak, kerakli kengaytmani olamiz.Z ixtiyoriy bo’lgani uchun. halqaning nuqtasidan kelib chiqadiki, (14) qator bu halqaning hamma joyida f(z) funksiyaga yaqinlashadi va har qanday halqada qator bu funksiyaga mutlaq va bir xil yaqinlashadi. Endi (6) shaklning parchalanishi yagona ekanligini isbotlaylik. Faraz qilaylik, yana bir parchalanish sodir bo'ladi, keyin R halqasining hamma joyida aylana bo'yicha (15) qatorlar bir xilda yaqinlashadi. Tenglikning har ikki tomonini ko'paytiring (bu erda m - sobit butun son va ikkala ketma-ket muddatni muddat bilan birlashtiring. Natijada, biz chap tomonda, o'ngda esa - Csh. Shunday qilib, (4, \u003d Sankt-Sent-Sent-Sent. beri. 4) m - ixtiyoriy son, keyin koeffitsientlari (7) formulalar bo'yicha hisoblangan oxirgi tenglik qatori (6), Loran qatorining koeffitsientlari uchun 7-halqadagi f (z) funktsiyasining Laurent qatori deb ataladi. Amalda kamdan-kam qo'llaniladi, chunki ular qoida tariqasida mashaqqatli hisob-kitoblarni talab qiladi.Odatda, iloji bo'lsa, elementar funksiyalarning tayyor Teylor kengaytmalari qo'llaniladi.Kengaytirishning o'ziga xosligidan kelib chiqib, har qanday qonuniy usul bir xil natijaga olib keladi.Misol. 2 Fuishcius /(r) ning ikkita yagona nuqtaga ega ekanligini faraz qilib, turli sohalarning Loran seriyali kengaytmalarini ko'rib chiqing: Shunday qilib, uchta halqa sohasi mavjud. va markazlashgan nuqtada r = 0. har birida f(r) funksiya analitik bo'ladi: a) aylana aylananing tashqi ko'rinishidir (27-rasm). Ushbu mintaqalarning har birida /(z) funksiyaning Loran kengaytmalarini topamiz. /(z) ni elementar kasrlar yig‘indisi sifatida ifodalaymiz a) Doirani aylantirish munosabati (16) quyidagicha geometrik progressiya hadlari yig‘indisi formulasidan foydalanib, hosil qilamiz. b) -z funksiya uchun halqa bu halqada konvergent bo‘lib qoladi, chunki (19) seriya j^j funksiyasi uchun |z| > 1 farq qiladi. Shuning uchun /(z) funksiyani quyidagicha o'zgartiramiz: formula (19) ni yana qo'llagan holda, bu qator uchun yaqinlashishini olamiz. (18) va (21) kengaytmalarni (20) munosabatga almashtirib, c) -z funksiya uchun aylana tashqi tomonini |z| > 2 ajralish va funksiya uchun (21) qator /(z) funksiyani quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz: /<*> Formulalardan (18) va (19) foydalanib, biz OR 1 ni olamiz. Ushbu misol bir xil f(z) funksiyasi uchun Loran kengayishi, umuman olganda, turli halqalar uchun boshqa shaklga ega ekanligini ko'rsatadi. 3-misol. Loran qator funksiyasining 8-Loran qatorining parchalanishini toping. Izolyatsiya qilingan birlik nuqtalar va ularning A halqasimon mintaqadagi tasnifi f (z) funksiyaning quyidagi ko‘rinishda ko‘rinishidan foydalanamiz: va ikkinchi hadni o‘zgartiramiz. geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasini olamiz. Topilgan ifodalarni formulaga (22) almashtirsak, bizda 4-misol bor. Laurent qatoridagi funktsiyani ingichka zq = 0 qo'shnisiga kengaytiring. Har qanday kompleks uchun , biz bor Let Bu kengayish har qanday z F 0 nuqtasi uchun amal qiladi. Bu holda, halqasimon mintaqa bitta tashqariga tashlangan z - 0 nuqtasi bo'lgan butun kompleks tekislikdir. Bu hududni quyidagi munosabat bilan aniqlash mumkin: Bu funksiya analitikdir. mintaqada Laurent seriyasining koeffitsientlari uchun formulalardan (13) oldingi banddagi kabi bir xil asoslar bilan Kouiw tengsizliklarini olish mumkin. agar f(z) funksiya aylana bilan chegaralangan bo‘lsa, bu erda M doimiy), u holda ajratilgan birlik nuqtalar Zo nuqta f(z) funksiyaning ajratilgan yagona nuqtasi deyiladi, agar nuqtaning halqasimon qo‘shnisi mavjud bo‘lsa. bu to'plam ba'zan 2o nuqtaning teshilgan qo'shnisi deb ham ataladi, bunda f(z) funksiya bir qiymatli va analitikdir. Zo nuqtaning o'zida funktsiya yo aniqlanmagan yoki bitta qiymatli va analitik emas. Zo nuqtaga yaqinlashganda /(z) funksiyaning harakatiga qarab uch xil birlik nuqtalar ajratiladi. Izolyatsiya qilingan birlik nuqta deyiladi: 1) agar chekli bo'lsa, olinadigan 2) agar pmusach bo'lsa, 3) f(z) funksiyaning chegarasi bo'lmasa, mohiyatan yagona nuqta deyiladi. Teorema 16. f(z) funksiyaning ajratilgan singulyar z0 nuqtasi, agar zo nuqtaning qo‘shnisidagi f(z) funksiyaning Loran kengayishi asosiy qismni o‘z ichiga olmasa, ya’ni, olib tashlanadigan singulyar nuqta hisoblanadi. Let zo shakliga ega - olinadigan yagona nuqta. U holda chekli mavjud bo'ladi va shuning uchun f(z) funksiya r nuqtaning prokologik qo'shniligida chegaralangan. Koshi tengsizliklari tufayli biz o'rnatamiz p ni ixtiyoriy ravishda kichik deb tanlash mumkin bo'lganligi sababli, u holda barcha koeffitsientlar manfiy kuchlar (z - 20) nolga teng: Aksincha, zq nuqtasining qo'shnisida /(r) funksiyasining kengayishi Loranga faqat to'g'ri qismni o'z ichiga oladi, ya'ni u (23) ko'rinishga ega va, shuning uchun Teylor. z -* z0 uchun /(r) funksiya chegaraviy qiymatga ega ekanligini ko‘rish oson: 17-teorema. f(z) funksiyaning zq ajratilgan singulyar nuqtasi J(z) funksiya bo‘lgandagina olib tashlanishi mumkin. nuqta zq ba'zi teshilgan mahallada chegaralangan, Zgmechai emas. r0 f(r) ning olinadigan yagona nuqtasi bo'lsin. Faraz qilsak, f(r) funksiya th nuqtada markazlashgan qaysidir doirada analitikdir. Bu nuqta nomini belgilaydi - bir martalik. Teorema 18. f(z) funksiyaning ajratilgan zq nuqtasi qutb hisoblanadi, agar f(z) funksiyaning Loran kengayishining asosiy qismi nuqta qo‘shnisida chekli (va musbat) sonni o‘z ichiga olgan bo‘lsa. nolga teng bo'lmagan hadlar, ya'ni 4 ko'rinishga ega bo'lsin z0 qutb bo'lsin. O'shandan beri f(z) funksiya analitik va nolga teng bo'lmagan z0 nuqtasining teshilgan qo'shnisi mavjud. Keyin analitik funktsiya bu qo'shnilikda aniqlanadi va Demak, zq nuqta funktsiyaning olinadigan singulyar nuqtasi (nol) yoki h(z) analitik funktsiya, h(z0) ∩ 0. qo'shnilikda analitik hisoblanadi. zq nuqtasi va demak, biz buni qaerdan olamiz Endi f(z) funksiya zo nuqtaning teshilgan qo'shnisida (24) ko'rinishdagi parchalanishga ega deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, bu qo'shnilikda f(z) funksiya funktsiya bilan birgalikda analitikdir. g(z) funksiyasi uchun kengayish to'g'ri bo'ladi, shundan zq g(z) funksiyaning olinadigan singulyar nuqtasi ekanligi aniq bo'ladi va mavjud bo'ladi Keyin funksiya 0 ga intiladi - funktsiya qutbi Yana bitta oddiy narsa bor. haqiqat. Zq nuqta f(z) funktsiyaning qutbi bo'ladi, agar g(z) = y funksiyani g(z0) = 0 o'rnatish orqali zq nuqta qo'shnisidagi analitik funktsiyaga kengaytirish mumkin bo'lsa. f(z) funksiya qutbi jfa funksiyaning nol tartibi deyiladi. 16 va 18-teoremalar quyidagi tasdiqni bildiradi. Teorema 19. Izolyatsiya qilingan singulyar yupqa mohiyatan birlik hisoblanadi, agar bu nuqtaning teshilgan qo'shnisidagi Loran kengayishining asosiy qismi cheksiz ko'p nolga teng bo'lmagan hadlarni o'z ichiga olgan bo'lsa. Misol 5. Funksiyaning birlik nuqtasi zo = 0. Bizda Laurent Series Izolyatsiya qilingan yagona nuqtalar va ularning tasnifi bor. Shuning uchun zo = 0 olinadigan singulyar nuqtadir. Loran qatoridagi /(z) funksiyaning nol nuqtaga yaqin joyda kengayishi faqat to'g'ri qismni o'z ichiga oladi: 7-misol. f(z) = f(z) funksiyaning singulyar nuqtasi zq = 0. Bu funksiyaning haqiqiy va xayoliy o‘qlardagi xatti-harakatlarini ko‘rib chiqaylik: haqiqiy o‘qda x 0 da, xayoliy o‘qda Shuning uchun na chekli, na z -* 0 da f(z) cheksiz chegara mavjud emas. Demak, r0 = 0 nuqta f(z) funksiyaning mohiyatan birlik nuqtasidir. f(z) funksiyaning Loran kengayishini nol nuqtaga yaqin joyda topamiz. Har qanday kompleks C uchun biz o'rnatdik. Keyin Loran kengayishi z ning manfiy kuchiga ega bo'lgan cheksiz sonli atamalarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif. Funktsiyaning yagona nuqtasi deyiladi izolyatsiya qilingan, agar bu nuqtaning ba'zi qo'shnilarida analitik funktsiya (ya'ni halqadagi analitik) bo'lsa.

Funktsiyaning ajratilgan yagona nuqtalarini tasniflash bu funksiyaning bir nuqta qo'shnisidagi xatti-harakati bilan bog'liq.

Ta'rif. Nuqta deyiladi bir martalik da bu funksiyaning chekli chegarasi bo'lsa, funksiyaning yagona nuqtasi.

5-misol Funktsiyaning bir nuqtada olinadigan singulyarlikka ega ekanligini ko'rsating.

Qaror. Birinchi ajoyib chegarani eslab, biz hisoblaymiz

Demak, berilgan funksiya nuqtada olib tashlanishi mumkin bo'lgan yagonalikka ega.

Vazifa 4. Nuqta uchun olinadigan ekanligini ko'rsating.

Ta'rif. Nuqta deyiladi qutb funktsiyasi, agar bu funktsiya uchun cheksiz ortadi, ya'ni.

Analitik funksiyaning nol va qutb tushunchalari orasidagi bog‘lanishga e’tibor qarataylik. Funktsiyani sifatida ifodalaylik.

Agar nuqta funksiyaning oddiy noli bo‘lsa, funksiya oddiy qutbga ega bo‘ladi

Agar nuqta funktsiya uchun nol tartib bo'lsa, u holda funktsiya uchun u qutbdir buyurtma.

6-misol Funktsiya nuqtada uchinchi tartib qutbga ega ekanligini ko'rsating.

Qaror. Faraz qilsak, olamiz. Biz nolga moyil bo'lganimizdek, har qanday qonunga ko'ra, bizda . Keyin , va u bilan funktsiyaning o'zi cheksiz ortadi. Shuning uchun, , ya'ni birlik nuqta qutbdir. Funktsiya uchun bu nuqta uch karra nolga teng. Demak, bu funksiya uchun nuqta uchinchi tartibli qutbdir.

Vazifa 5. Nuqtaning oddiy qutbga ega ekanligini ko'rsating.

Ta'rif. Nuqta deyiladi asosan maxsus funktsiyaning nuqtasi, agar bu nuqtada funktsiyaning na chekli, na cheksiz chegarasi bo'lmasa (funktsiyaning harakati aniqlanmagan).

Funktsiyaning muhim yagona nuqtasi bo'lsin. Keyin har qanday oldindan tayinlangan kompleks raqam uchun ga yaqinlashuvchi nuqtalar ketma-ketligi mavjud bo'lib, ular bo'ylab qiymatlar : ( Sochokki teoremasi).

7-misol Nuqtadagi funksiya muhim o‘ziga xoslikka ega ekanligini ko‘rsating.

Qaror. Berilgan funktsiyaning nuqta yaqinidagi xatti-harakatlarini ko'rib chiqing. Chunki haqiqiy o'qning musbat qismi bo'ylab (ya'ni ) bizda va ; agar haqiqiy o'qning salbiy qismi bo'ylab (ya'ni), u holda va . Shunday qilib, uchun hech qanday chegara yo'q. Ta'rifga ko'ra, funktsiya nuqtada muhim o'ziga xoslikka ega.

Funksiyaning noldagi harakatini Sochokki teoremasi nuqtai nazaridan ko‘rib chiqamiz. Nol va cheksizlikdan boshqa har qanday kompleks son bo'lsin.

Tenglikdan topamiz. Faraz qilsak, biz nuqtalar ketma-ketligini olamiz. Shubhasiz, . Bu ketma-ketlikning har bir nuqtasida funksiya ga teng va shuning uchun

Vazifa 6. Funktsiyaning bir nuqtada muhim birlikka ega ekanligini ko'rsating.

Cheksizlikdagi nuqta har doim funktsiya uchun maxsus hisoblanadi. Agar bu funktsiyaning bosh markazida joylashgan aylanadan tashqarida boshqa yagona nuqta bo'lmasa, nuqta funksiyaning ajratilgan yagona nuqtasi deyiladi.

Izolyatsiya qilingan yagona nuqtalarning tasnifi, shuningdek, ish uchun kengaytirilishi mumkin.

8-misol Funktsiyaning cheksizlikda qo'sh qutbga ega ekanligini ko'rsating.

Qaror. Funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda nuqta qo'shnisidagi analitik funktsiya va . Bu funktsiya cheksizlikda qo'sh nolga ega ekanligini anglatadi, lekin keyin funktsiya uchun nuqta qo'sh qutbdir.

9-misol Funktsiya cheksizlikda muhim birlikka ega ekanligini ko'rsating.

Qaror. Shunga o'xshash muammo pr.7da ko'rib chiqiladi. Cheksiz uzoq nuqtaga yaqin joyda funksiyaning harakatini ko'rib chiqing. Haqiqiy o'qning ijobiy qismi bo'ylab va haqiqiy o'qning salbiy qismi bo'ylab. Bu shuni anglatadiki, nuqtada funktsiyaning chegarasi yo'q va ta'rifga ko'ra, bu nuqta mohiyatan yagonadir.

Funktsiyaning bir nuqtadagi yagonaligining tabiati haqida xulosa chiqarish mumkin asosiy qismi Bu nuqta bir mahallada Laurent kengaytirish.

Teorema 1. Gap bo'lishi uchun bir martalik funktsiyaning yagona nuqtasi , tegishli Loran kengayishi zarur va etarli asosiy qismini o'z ichiga olmaydi.

Vazifa 6. Nuqtaning qo'shnisida funksiyaning Teylor kengayishidan foydalanib, uning nolga teng bo'lgan o'chiriladigan singulyarlikka ega ekanligini ko'rsating.

Teorema 2. Gap bo'lishi uchun qutb funktsiyalari , zarur va etarli bo'lishi uchun asosiy qismi mos keladigan Laurent kengayishi cheklangan sonli a'zolarni o'z ichiga olgan :

Eng yuqori salbiy atamaning soni qutb tartibini belgilaydi.

Bunday holda, funksiya sifatida ifodalanishi mumkin

bu yerda nuqtadagi funksiya analitik, , qutb tartibi.

10-misol Funktsiyaning nuqtalarda oddiy qutblari borligini ko'rsating.

Qaror. Keling, bir fikrni ko'rib chiqaylik. Biz 2-misolda olingan ushbu nuqtaga yaqin joyda ushbu funktsiyaning Laurent kengaytmasidan foydalanamiz:

Ushbu kengayishning asosiy qismidagi eng yuqori (va yagona) salbiy kuch birga teng bo'lgani uchun, nuqta bu funktsiyaning oddiy qutbidir.

Bu natijani boshqa yo'l bilan ham olish mumkin edi. Shaklda ifodalaymiz va qo'yamiz - bu nuqtada analitik bo'lgan funktsiya va . Demak, (8) tufayli bu funksiya nuqtada oddiy qutbga ega.

Boshqa usul: nuqtada oddiy nolga ega bo'lgan funksiyani ko'rib chiqing. Demak, bu nuqtada u oddiy qutbga ega.

Xuddi shunday funktsiyani , bu yerda va nuqtada funksiya analitik bo'lgan shaklda yozsak, nuqta funktsiyaning oddiy qutbi ekanligi darhol ayon bo'ladi.

7-topshiriq. Funktsiya nuqtada 2-tartibli qutbga va nuqtada 4-tartibli qutbga ega ekanligini ko'rsating.

Teorema 3. Gap bo'lishi uchun asosan maxsus funktsiyaning nuqtasi, bu zarur va etarli asosiy qismi nuqta bir mahallada Laurent kengaytirish cheksiz sonli a'zolarni o'z ichiga olgan .

11-misol. Funksiya nuqtasida birlik xususiyatini aniqlang

Qaror. Kosinusning taniqli kengayishida biz o'rniga quyidagilarni qo'yamiz:

Demak, nuqta qo'shnisida Loran kengayishi ko'rinishga ega

Bu erda to'g'ri qism bitta atamadir. Va asosiy qism cheksiz sonli atamalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun nuqta mohiyatan birlikdir.

Vazifa 8. Bir nuqtada funktsiya muhim o'ziga xoslikka ega ekanligini ko'rsating.

Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing va uning Laurent kengayishini yozing:

Keling, o'rnini bosamiz, ammo nuqta nuqtaga o'tadi. Endi cheksiz nuqtaga yaqin joyda, biz bor

Yangi nomni joriy etish qoladi. olamiz

bu erda asosiy qism va cheksiz uzoq nuqta qo'shnisida funktsiyaning Loran kengayishining muntazam qismidir. Shunday qilib, funktsiyaning nuqta qo'shnisida Loran kengayishida asosiy qism musbat darajalarda qator, to'g'ri qism esa manfiy darajalarda qatordir. Buni hisobga olgan holda

Biroq, birlik xususiyatini aniqlashning yuqoridagi mezonlari cheksiz uzoq nuqta uchun o'z kuchini saqlab qoladi.

12-misol. Funktsiyaning nuqtadagi birlik xususiyatini toping. , keyin bir nuqtada u izolyatsiyalanmagan bo'lib chiqishi mumkin.

15-misol Cheksiz uzoq nuqtadagi funksiya muhim birlikka ega. Funksiya uchun nuqta ajratilgan yagona nuqta emasligini ko'rsating.

Qaror. Funktsiya maxrajning nollarida, ya'ni , nuqtalarida cheksiz sonli qutblarga ega. Chunki , demak, har qanday mahallada qutblar joylashgan nuqta qutblar uchun chegara nuqtasidir.