Noma'lum ko'rsatkichda ham, daraja asosida ham bo'lgan shakldagi tenglamalar deb ataladi.

Shaklning tenglamasini echish uchun mutlaqo aniq algoritmni belgilashingiz mumkin. Buning uchun bunga e'tibor qaratish lozim Oh) emas nol, bir va minus bir, bir xil asoslarga ega darajalar tengligi (musbat yoki manfiy) faqat ko'rsatkichlar teng bo'lganda mumkin, Ya'ni tenglamaning barcha ildizlari tenglamaning ildizlari bo'ladi. f(x) = g(x) Qarama-qarshi gap to'g'ri emas, agar Oh)< 0 va kasr qiymatlari f(x) va g(x) ifodalar Oh) f(x) va

Oh) g(x) ma'nosini yo'qotadi. Ya'ni, ketayotganda f(x) = g(x)(uchun va begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin, ularni asl tenglamaga muvofiq tekshirish orqali chiqarib tashlash kerak. Va holatlar. a = 0, a = 1, a = -1 alohida ko'rib chiqilishi kerak.

Shunday qilib, tenglamani to'liq hal qilish uchun biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

a(x) = 0 f(x) va g(x) ijobiy raqamlar bo'lsa, bu yechim. Aks holda, yo'q

a(x) = 1. Bu tenglamaning ildizlari ham dastlabki tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

a(x) = -1. Agar bu tenglamani qanoatlantiradigan x qiymati uchun, f(x) va g(x) bir xil paritetning butun sonlari bo'lsa (ikkalasi ham juft yoki ikkalasi ham toq), u holda bu yechim. Aks holda, yo'q

uchun va tenglamani yechamiz f(x)=g(x) va olingan natijalarni dastlabki tenglamaga almashtirib, biz begona ildizlarni kesib tashladik.

Ko'rsatkich-kuch tenglamalarini yechishga misollar.

№1 misol.

1) x - 3 = 0, x = 3. chunki 3 > 0 va 3 2 > 0 bo‘lsa, x 1 = 3 yechim bo‘ladi.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Ikkala ko'rsatkich ham teng. Bu yechim x 3 = 1.

4) x - 3? 0 va x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 yoki x \u003d 1. x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0 uchun bu yechim x 4 \u003d 0 to'g'ri. x uchun \u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - bu yechim to'g'ri x 5 = 1.

Javob: 0, 1, 2, 3, 4.

№2 misol.

Arifmetikaning ta'rifi bo'yicha kvadrat ildiz: x - 1 ? 0,x? bitta.

1) x - 1 = 0 yoki x = 1, = 0, 0 0 yechim emas.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ODZga mos kelmaydi.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - ildizlar yo'q.

Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Nima eksponensial tenglama? Bu noma'lumlar (x) va ular bilan ifodalangan tenglama ko'rsatkichlar ba'zi darajalar. Va faqat u erda! Bu muhim.

Mana qayerda ekansan ko'rsatkichli tenglamalarga misollar:

3 x 2 x = 8 x + 3

Eslatma! Darajalar asoslarida (pastda) - faqat raqamlar. DA ko'rsatkichlar darajalar (yuqorida) - x bilan ifodalangan turli xil iboralar. Agar to'satdan tenglamada indikatordan boshqa joyda x paydo bo'lsa, masalan:

bu tenglama bo'ladi aralash turi. Bunday tenglamalar yechishning aniq qoidalariga ega emas. Biz ularni hozircha ko'rib chiqmaymiz. Bu erda biz shug'ullanamiz ko'rsatkichli tenglamalar yechimi uning eng sof shaklida.

Aslida, hatto toza eksponensial tenglamalar har doim ham aniq belgilanmagan. Lekin bor ba'zi turlari yechilishi mumkin bo'lgan va kerak bo'lgan ko'rsatkichli tenglamalar. Bu biz ko'rib chiqadigan turlar.

Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish.

Keling, juda oddiy narsadan boshlaylik. Masalan:

Hech qanday nazariya bo'lmasa ham, oddiy tanlash orqali x = 2 ekanligi ayon bo'ladi. Boshqa hech narsa, to'g'rimi!? Boshqa hech qanday x qiymati rolls. Endi esa ushbu murakkab eksponensial tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz:

Biz nima qildik? Biz, aslida, xuddi shu tagliklarni (uchlik) tashladik. To'liq tashqariga tashlangan. Va, nima xursand bo'lsa, belgini bosing!

Haqiqatan ham, agar eksponensial tenglamada chap va o'ng tomonda bo'lsa xuddi shu har qanday darajadagi raqamlar, bu raqamlar olib tashlanishi mumkin va teng ko'rsatkichlar. Matematika imkon beradi. Bu ancha sodda tenglamani yechish uchun qoladi. Bu yaxshi, to'g'rimi?)

Biroq, istehzo bilan eslaylik: siz bazalarni faqat chap va o'ngdagi asosiy raqamlar ajoyib izolyatsiyada bo'lganda olib tashlashingiz mumkin! Hech qanday qo'shnilar va koeffitsientlarsiz. Keling, tenglamalarda aytaylik:

2 x +2 x + 1 = 2 3 yoki

Siz dubllarni olib tashlay olmaysiz!

Xo'sh, biz eng muhim narsani o'zlashtirdik. Yomon eksponensial ifodalardan oddiy tenglamalarga qanday o'tish mumkin.

"Mana o'sha paytlar!" - sen aytasan. "Kim nazorat va imtihonlarga shunday primitiv beradi!?"

rozi bo'lishga majbur. Hech kim qilmaydi. Ammo endi siz chalkash misollarni hal qilishda qaerga borishni bilasiz. Bir xil asosiy raqam chapda - o'ngda bo'lganda, buni yodda tutish kerak. Keyin hamma narsa osonroq bo'ladi. Aslida, bu matematikaning klassikasi. Biz asl misolni olamiz va uni kerakli holatga o'zgartiramiz Biz aql. Albatta, matematika qoidalariga ko'ra.

Ularni eng oddiy holga keltirish uchun qo'shimcha harakat talab qiladigan misollarni ko'rib chiqing. Keling, ularni chaqiraylik oddiy eksponensial tenglamalar.

Oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.

Eksponensial tenglamalarni yechishda asosiy qoidalar quyidagilardir vakolatlarga ega harakatlar. Ushbu harakatlar haqida ma'lumotsiz, hech narsa ishlamaydi.

Darajali harakatlarga shaxsiy kuzatuv va zukkolikni qo'shish kerak. Bizga bir xil asosiy raqamlar kerakmi? Shunday qilib, biz ularni misolda aniq yoki shifrlangan shaklda qidiramiz.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik?

Keling, bir misol keltiramiz:

2 2x - 8 x+1 = 0

Birinchi qarashda asoslar. Ular... Ular boshqacha! Ikki va sakkiz. Ammo tushkunlikka tushishga hali erta. Buni eslash vaqti keldi

Ikki va sakkiz daraja qarindoshlardir.) Buni yozish mumkin:

8 x+1 = (2 3) x+1

Agar formulani kuchlar bilan harakatlardan eslasak:

(a n) m = a nm,

odatda ajoyib ishlaydi:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Asl misol quyidagicha ko'rinadi:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Biz transfer qilamiz 2 3 (x+1) o'ngga (hech kim matematikaning elementar harakatlarini bekor qilmagan!), biz olamiz:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Bu deyarli hammasi. Bazalarni olib tashlash:

Biz bu yirtqich hayvonni hal qilamiz va olamiz

Bu to'g'ri javob.

Ushbu misolda ikkita kuchni bilish bizga yordam berdi. Biz aniqlangan sakkizda, shifrlangan deuce. Ushbu uslub (umumiy asoslarni shifrlash turli raqamlar) ko'rsatkichli tenglamalarda juda mashhur texnikadir! Ha, hatto logarifmlarda ham. Raqamlarda boshqa raqamlarning kuchlarini taniy olish kerak. Bu ko'rsatkichli tenglamalarni echish uchun juda muhimdir.

Haqiqat shundaki, har qanday raqamni istalgan kuchga ko'tarish muammo emas. Ko'paytiring, hatto qog'oz varag'ida ham, va bu hammasi. Misol uchun, har bir kishi 3 ni beshinchi kuchga ko'tarishi mumkin. Agar siz ko'paytirish jadvalini bilsangiz, 243 chiqadi.) Ammo eksponensial tenglamalarda ko'pincha kuchga ko'tarmaslik kerak, lekin aksincha ... qaysi raqam qay darajada 243 raqamining orqasiga yashirinadi yoki aytaylik, 343 ... Bu erda sizga hech qanday kalkulyator yordam bermaydi.

Ba'zi raqamlarning kuchlarini ko'rish orqali bilishingiz kerak, ha ... Biz mashq qilamizmi?

Qaysi kuchlar va qanday raqamlar raqamlar ekanligini aniqlang:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Javoblar (albatta tartibsizlikda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Agar diqqat bilan qarasangiz, ko'rishingiz mumkin g'alati fakt. Savollardan ko'ra ko'proq javoblar bor! Xo'sh, shunday bo'ladi ... Masalan, 2 6 , 4 3 , 8 2 hammasi 64 ga teng.

Faraz qilaylik, siz raqamlar bilan tanishish haqidagi ma'lumotga e'tibor qaratdingiz.) Eslatib o'taman, ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun biz qo'llaymiz. butun matematik bilimlar zaxirasi. Jumladan, quyi va o'rta sinflardan. Siz to'g'ridan-to'g'ri o'rta maktabga bormadingiz, shunday emasmi?

Masalan, eksponensial tenglamalarni yechishda umumiy omilni qavslar ichidan chiqarish juda tez-tez yordam beradi (7-sinfga salom!). Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Va yana, birinchi qarash - maydonchada! Darajalar asoslari boshqacha ... Uch va to'qqiz. Va biz ular bir xil bo'lishini xohlaymiz. Xo'sh, bu holda istak juda mumkin!) Chunki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Darajali harakatlar uchun bir xil qoidalarga muvofiq:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Bu ajoyib, siz yozishingiz mumkin:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Va undan keyin nima!? Uchtasini tashlab bo'lmaydi ... O'lik nuqtami?

Umuman yo'q. Eng universal va kuchli qaror qoidasini eslash hammasi matematika vazifalari:

Agar nima qilishni bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!

Qarang, hamma narsa shakllangan).

Ushbu eksponensial tenglamada nima bor mumkin qilmoq? Ha, chap tomon to'g'ridan-to'g'ri qavslar so'raydi! 3 2x umumiy omili bunga aniq ishora qiladi. Keling, sinab ko'raylik, keyin ko'ramiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Misol yaxshilanishda davom etmoqda!

Esda tutamizki, bazalarni yo'q qilish uchun bizga hech qanday koeffitsientsiz sof daraja kerak. 70 raqami bizni bezovta qiladi. Shunday qilib, biz tenglamaning ikkala tomonini 70 ga bo'lamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Opa! Hammasi yaxshi bo'ldi!

Bu oxirgi javob.

Shu bilan birga, xuddi shu asoslar bo'yicha taksidan chiqishga erishiladi, lekin ularni tugatish emas. Bu boshqa turdagi eksponensial tenglamalarda sodir bo'ladi. Keling, ushbu turni olaylik.

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda o'zgaruvchining o'zgarishi. Misollar.

Keling, tenglamani yechamiz:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birinchisi - odatdagidek. Keling, bazaga o'tamiz. Ikkilik uchun.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Biz tenglamani olamiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Va bu erda biz osamiz. Oldingi fokuslar, uni qanday aylantirsangiz ham, ishlamaydi. Biz arsenaldan boshqa kuchli va ko'p qirrali yo'lni olishimiz kerak. Bu deyiladi o'zgaruvchan almashtirish.

Usulning mohiyati hayratlanarli darajada oddiy. Bitta murakkab piktogramma o'rniga (bizning holatda, 2 x) biz boshqa, oddiyroq (masalan, t) yozamiz. Bunday ko'rinadigan ma'nosiz almashtirish ajoyib natijalarga olib keladi!) Hamma narsa shunchaki aniq va tushunarli bo'ladi!

Shunday bo'lsin

Keyin 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Tenglamamizdagi barcha darajalarni x bilan t bilan almashtiramiz:

Xo'sh, tong otyaptimi?) Kvadrat tenglamalarni hali unutmadingizmi? Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda asosiy narsa to'xtamaslikdir, chunki bu sodir bo'ladi ... Bu hali javob emas, bizga t emas, x kerak. Biz Xs ga qaytamiz, ya'ni. almashtirishni amalga oshirish. t 1 uchun birinchi:

Anavi,

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:

Hm... Chapga 2 x, O'ngga 1... Teshikmi? Ha, umuman emas! Birlik ekanligini eslash kifoya (darajali harakatlardan, ha ...). har qanday raqam nolga. Har qanday. Sizga nima kerak bo'lsa, biz uni qo'yamiz. Bizga ikkita kerak. Ma'nosi:

Endi hammasi shu. 2 ta ildiz bor:

Bu javob.

Da ko'rsatkichli tenglamalarni yechish oxirida ba'zan noqulay ifodalar olinadi. Turi:

Ettidan oddiy daraja orqali deuce ishlamaydi. Ular qarindosh emas... Qanday qilib men bu yerda bo'laman? Kimdir sarosimaga tushishi mumkin... Lekin bu saytda “Logarifm nima?” mavzusini o'qigan odam. , faqat ozgina tabassum qiling va qattiq qo'l bilan mutlaqo to'g'ri javobni yozing:

Imtihondagi "B" topshiriqlarida bunday javob bo'lishi mumkin emas. Muayyan raqam talab qilinadi. Ammo "C" vazifalarida - oson.

Ushbu darsda eng keng tarqalgan ko'rsatkichli tenglamalarni echish misollari keltirilgan. Keling, asosiysini ta'kidlaymiz.

Amaliy maslahatlar:

1. Avvalo, biz qaraymiz asoslar daraja. Keling, ularni amalga oshirish mumkin emasligini ko'rib chiqaylik xuddi shu. Keling, faol foydalanish orqali buni qilishga harakat qilaylik vakolatlarga ega harakatlar. Shuni unutmangki, x bo'lmagan raqamlar ham darajalarga aylantirilishi mumkin!

2. Ko'rsatkichli tenglamani chap va o'ng bo'lganda shaklga keltirishga harakat qilamiz xuddi shu istalgan darajada raqamlar. Biz foydalanamiz vakolatlarga ega harakatlar va faktorizatsiya. Raqamlarda nimani hisoblash mumkin - biz hisoblaymiz.

3. Agar ikkinchi maslahat ishlamasa, biz o'zgaruvchan almashtirishni qo'llashga harakat qilamiz. Natijada osongina echiladigan tenglama bo'lishi mumkin. Ko'pincha - kvadrat. Yoki kasr, bu ham kvadratga tushadi.

4. Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun ba'zi sonlarning darajalarini "ko'rish orqali" bilish kerak.

Odatdagidek, dars oxirida sizni bir oz hal qilish taklif etiladi.) O'z-o'zidan. Oddiydan murakkabgacha.

Eksponensial tenglamalarni yeching:

Qiyinroq:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Ildiz hosilasi toping:

2 3-x + 2 x = 9

Bo'ldimi?

Xo'sh, unda eng qiyin misol(lekin aql bilan qaror qildim ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Nima qiziqroq? Unda siz uchun yomon misol. Kattaroq qiyinchilikda juda tortish. Men ushbu misolda zukkolik va barcha matematik vazifalarni hal qilishning eng universal qoidasi tejalishini ta'kidlayman.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Misol oddiyroq, dam olish uchun):

9 2 x - 4 3 x = 0

Va desert uchun. Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ha ha! Bu aralash turdagi tenglama! Biz ushbu darsda ko'rib chiqmaganmiz. Va ularni nima deb hisoblash kerak, ularni hal qilish kerak!) Bu dars tenglamani hal qilish uchun etarli. Xo'sh, zukkolik kerak ... Va ha, ettinchi sinf sizga yordam beradi (bu maslahat!).

Javoblar (tartibsiz, nuqta-vergul bilan ajratilgan):

bitta; 2; 3; to'rtta; hech qanday yechim yo'q; 2; -2; -5; to'rtta; 0.

Hammasi muvaffaqiyatlimi? Ajoyib.

Muammo bormi? Muammo yo'q! 555-sonli maxsus bo'limda ushbu eksponensial tenglamalarning barchasi batafsil tushuntirishlar bilan hal qilinadi. Nima, nima uchun va nima uchun. Va, albatta, barcha turdagi eksponensial tenglamalar bilan ishlash bo'yicha qo'shimcha qimmatli ma'lumotlar mavjud. Faqat bular bilan emas.)

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan oxirgi qiziqarli savol. Bu darsda biz eksponensial tenglamalar bilan ishladik. Nega men bu yerda ODZ haqida bir og‘iz so‘z aytmadim? Aytgancha, tenglamalarda bu juda muhim narsa ...

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

eksponensial tenglamalar. Ma'lumki, USE oddiy tenglamalarni o'z ichiga oladi. Biz allaqachon ba'zilarini ko'rib chiqdik - bular logarifmik, trigonometrik, oqilona. Bu erda eksponensial tenglamalar mavjud.

Yaqinda bir maqolada biz eksponensial ifodalar bilan ishladik, bu foydali bo'ladi. Tenglamalarning o'zi oddiy va tez hal qilinadi. Faqat ko'rsatkichlarning xossalarini bilish talab qilinadi va ... Bu haqidaKeyinchalik.

Ko'rsatkichlarning xususiyatlarini sanab o'tamiz:

Har qanday sonning nol kuchi birga teng.

Ushbu mulkning oqibatlari:

Bir oz ko'proq nazariya.

Ko'rsatkichli tenglama - bu ko'rsatkichda o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama, ya'ni bu tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

f(x) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish usullari

1. O'zgartirishlar natijasida tenglamani quyidagi ko'rinishga keltirish mumkin:

Keyin mulkni qo'llaymiz:

2. Shaklning tenglamasini olishda a f (x) = b logarifm ta'rifi qo'llaniladi, biz quyidagilarni olamiz:

3. O'zgartirishlar natijasida siz quyidagi ko'rinishdagi tenglamani olishingiz mumkin:

Logarifm qo'llaniladi:

X ni ifodalang va toping.

Vazifalarda FOYDALANISH opsiyalari birinchi usuldan foydalanish kifoya qiladi.

Ya'ni, chap va o'ng qismlarni bir xil asosga ega daraja sifatida ko'rsatish kerak, so'ngra biz ko'rsatkichlarni tenglashtiramiz va odatiy chiziqli tenglamani echamiz.

Tenglamalarni ko'rib chiqing:

4 1-2x = 64 tenglamaning ildizini toping.

Chap va o'ng qismlarda bir xil asosli eksponensial ifodalar mavjudligiga ishonch hosil qilish kerak. Biz 64 ni 3 ning darajasiga 4 ni ifodalashimiz mumkin.

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Imtihon:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Javob: -1

3-tenglamaning ildizini toping x-18 = 1/9.

Ma'lumki

Shunday qilib, 3 x-18 = 3 -2

Bazalar teng, biz ko'rsatkichlarni tenglashtirishimiz mumkin:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Imtihon:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Javob: 16

Tenglamaning ildizini toping:

1/64 kasrni to‘rtdan bir uchinchi darajaga ko‘ramiz:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Imtihon:

Javob: 11

Tenglamaning ildizini toping:

1/3 ni 3 -1, 9 ni 3 kvadrat sifatida ifodalaymiz:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Endi biz ko'rsatkichlarni tenglashtirishimiz mumkin:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Imtihon:

Javob: 5

26654. Tenglamaning ildizini toping:

Yechim:

Javob: 8.75

Haqiqatan ham, qanday kuchga ega bo'lishimizdan qat'iy nazar, biz a ijobiy raqamni ko'tarsak, biz hech qanday tarzda salbiy raqamni ololmaymiz.

Tegishli o'zgarishlardan keyin har qanday ko'rsatkichli tenglama bir yoki bir nechta oddiylarni echishga qisqartiradi.Ushbu bo'limda biz ba'zi tenglamalarning yechimini ham ko'rib chiqamiz, buni o'tkazib yubormang!Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Ma’ruza: “Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish usullari”.

1 . eksponensial tenglamalar.

Ko'rsatkichda noma'lumlarni o'z ichiga olgan tenglamalar ko'rsatkichli tenglamalar deyiladi. Ulardan eng oddiyi ax = b tenglamasidir, bu erda a > 0 va a ≠ 1.

1) b uchun< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 uchun funksiyaning monotonligi va ildiz teoremasidan foydalanib, tenglama bitta ildizga ega. Uni topish uchun b ni b = as, ax = bs ó x = c yoki x = logab shaklida ifodalash kerak.

Ko'rsatkichli tenglamalar algebraik o'zgarishlar orqali standart tenglamalarga olib keladi, ular quyidagi usullar yordamida echiladi:

1) bir bazaga qisqartirish usuli;

2) baholash usuli;

3) grafik usul;

4) yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli;

5) faktorizatsiya usuli;

6) ko'rsatkichli - quvvat tenglamalari;

7) parametrli eksponensial.

2 . Bir asosga qisqartirish usuli.

Usul darajalarning quyidagi xossasiga asoslanadi: agar ikki daraja teng bo'lsa va ularning asoslari teng bo'lsa, ularning ko'rsatkichlari teng bo'ladi, ya'ni tenglamani ko'rinishga keltirishga harakat qilish kerak.

Misollar. Tenglamani yeching:

1 . 3x=81;

Tenglamaning o'ng tomonini 81 = 34 ko'rinishda ifodalaymiz va asl 3 x = 34 tenglamani yozamiz; x = 4. Javob: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> va 3x+1 = 3 – 5x ko'rsatkichlari uchun tenglamaga o'ting; 8x = 4; x = 0,5 Javob: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

E'tibor bering, 0,2, 0,04, √5 va 25 raqamlari 5 ning darajalari. Keling, bundan foydalanib, asl tenglamani quyidagicha o'zgartiramiz:

, bundan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, undan x = -1 yechim topamiz. Javob: -1.

5. 3x = 5. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, x = log35. Javob: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yaʼni.png” width="181" height="49 src="> Demak, x - 4 =0, x = 4. Javob: toʻrtta tenglamani qayta yozamiz.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Kuchlarning xossalaridan foydalanib, tenglamani e.x+1 = 2, x =1 ko'rinishda yozamiz. Javob: 1.

1-sonli vazifalar banki.

Tenglamani yeching:

Test raqami 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ildiz yoʻq
	1) 7;1 2) ildiz yo'q 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test №2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ildizsiz 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Baholash usuli.

Ildiz teoremasi: agar f (x) funksiya I oraliqda ortib (kamaysa), a soni shu oraliqda f tomonidan qabul qilingan istalgan qiymat bo’lsa, f (x) = a tenglama I oraliqda bitta ildizga ega bo’ladi.

Tenglamalarni baholash usuli bilan yechishda ushbu teorema va funksiyaning monotonlik xossalaridan foydalaniladi.

Misollar. Tenglamalarni yechish: 1. 4x = 5 - x.

Yechim. 4x + x = 5 tenglamani qayta yozamiz.

1. agar x \u003d 1, keyin 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 to'g'ri bo'lsa, u holda 1 tenglamaning ildizidir.

f(x) = 4x funksiya R da ortib bormoqda va g(x) = x R da ortib bormoqda => h(x)= f(x)+g(x) R da ortib borayotgan funksiyalar yigindisi sifatida ortib bormoqda, shuning uchun x = 1 4x = 5 – x tenglamaning yagona ildizidir. Javob: 1.

2.

Yechim. Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz .

1. agar x = -1 bo'lsa, u holda , 3 = 3-to'g'ri, shuning uchun x = -1 tenglamaning ildizidir.

2. yagona ekanligini isbotlang.

3. R ​​da f(x) = - funktsiya kamayadi, g(x) = - x - R da kamayadi => h(x) = f(x) + g(x) - yig'indi sifatida R da kamayadi. kamayuvchi funktsiyalar. Demak, ildiz teoremasi bo'yicha x = -1 tenglamaning yagona ildizidir. Javob: -1.

2-sonli topshiriqlar banki. tenglamani yeching

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli.

Usul 2.1-bo'limda tasvirlangan. Yangi o'zgaruvchini kiritish (almashtirish) odatda tenglama shartlarini o'zgartirishdan (soddalashtirishdan) keyin amalga oshiriladi. Misollarni ko'rib chiqing.

Misollar. R ovqatlanish tenglamasi: 1. .

Keling, tenglamani boshqacha yozamiz: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> ya'ni.png" width="210" balandligi = "45">

Yechim. Keling, tenglamani boshqacha yozamiz:

Belgilang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - mos emas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irratsional tenglama. Shuni ta'kidlaymiz

Tenglamaning yechimi x = 2,5 ≤ 4 ga teng, shuning uchun 2,5 tenglamaning ildizidir. Javob: 2.5.

Yechim. Keling, tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz va ikkala tomonni 56x+6 ≠ 0 ga bo'lamiz. Tenglamani olamiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, shuning uchun..png" kengligi="118" balandligi="56">

Kvadrat tenglamaning ildizlari - t1 = 1 va t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Yechim . Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz

va ikkinchi darajali bir jinsli tenglama ekanligini unutmang.

Tenglamani 42x ga bo'ling, biz olamiz

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> ni almashtiring.

Javob: 0; 0,5.

Vazifalar banki №3. tenglamani yeching

b)

G)

Test №3 javoblar tanlovi bilan. Minimal daraja.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ildiz yo'q 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ildizsiz 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test №4 javoblar tanlovi bilan. Umumiy daraja.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ildiz yo‘q

5. Faktorlarga ajratish usuli.

1. Tenglamani yeching: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Yechim..png" width="169" height="69"> , qayerdan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Yechim. Keling, tenglamaning chap tomonida 6x va o'ng tomonida 2x chiqaramiz. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x tenglamasini olamiz.

Hamma x uchun 2x >0 boʻlgani uchun biz bu tenglamaning ikkala tomonini yechimlarni yoʻqotishdan qoʻrqmasdan 2x ga boʻlishimiz mumkin. Biz 3x = 1ó x = 0 ni olamiz.

3.

Yechim. Tenglamani faktoring yordamida yechamiz.

Biz binomning kvadratini tanlaymiz

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 tenglamaning ildizidir.

Tenglama x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test №6 Umumiy daraja.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial - quvvat tenglamalari.

Ko'rsatkichli tenglamalar ko'rsatkichli quvvat tenglamalari deb ataladigan, ya'ni (f(x))g(x) = (f(x))h(x) ko'rinishdagi tenglamalar bilan qo'shiladi.

Agar f(x)>0 va f(x) ≠ 1 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda tenglama ko'rsatkichli tenglama kabi g(x) = f(x) darajalarini tenglashtirish yo'li bilan yechiladi.

Agar shart f(x)=0 va f(x)=1 imkoniyatlarini istisno qilmasa, u holda ko‘rsatkichli quvvat tenglamasini yechishda bu holatlarni ko‘rib chiqishga to‘g‘ri keladi.

1..png" eni="182" balandligi="116 src=">

2.

Yechim. x2 +2x-8 - har qanday x uchun mantiqiy, chunki ko'phad, shuning uchun tenglama to'plamga ekvivalent.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Parametrli ko‘rsatkichli tenglamalar.

1. 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) tenglama p parametrining qaysi qiymatlariga ega yagona qaror?

Yechim. 2x = t, t > 0 o‘zgarishini kiritamiz, u holda (1) tenglama t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 ko‘rinishini oladi. (2)

(2) tenglamaning diskriminanti D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Agar (2) tenglama bitta musbat ildizga ega bo'lsa, (1) tenglama yagona yechimga ega. Bu quyidagi hollarda mumkin.

1. Agar D = 0, ya'ni p = 1 bo'lsa, (2) tenglama t2 – 2t + 1 = 0 ko'rinishini oladi, demak, t = 1, demak, (1) tenglama x = 0 yagona yechimga ega.

2. Agar p1 bo‘lsa, 9(p – 1)2 > 0 bo‘lsa, (2) tenglama ikki xil ildizga ega bo‘ladi t1 = p, t2 = 4p – 3. Tizimlar to‘plami masala shartini qanoatlantiradi.

Tizimlarda t1 va t2 ni almashtirsak, biz bor

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Yechim. Mayli u holda (3) tenglama t2 – 6t – a = 0 ko‘rinishini oladi. (4)

(4) tenglamaning kamida bitta ildizi t > 0 shartini qanoatlantiradigan a parametrining qiymatlarini topamiz.

f(t) = t2 – 6t – a funksiyani kiritamiz. Quyidagi holatlar mumkin.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Holat 2. (4) tenglamaning yagona musbat yechimi bor, agar

D = 0, agar a = – 9 bo‘lsa, (4) tenglama (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 ko‘rinishini oladi.

3-holat. (4) tenglama ikkita ildizga ega, lekin ulardan biri t > 0 tengsizlikni qanoatlantirmaydi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Shunday qilib, a 0 da (4) tenglama bitta musbat ildizga ega . U holda (3) tenglama yagona yechimga ega

a uchun< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

agar a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 bo‘lsa, x = – 1;

a  0 bo'lsa, u holda

(1) va (3) tenglamalarni yechish usullarini solishtiramiz. E'tibor bering, (1) tenglamani yechishda diskriminanti to'liq kvadrat bo'lgan kvadrat tenglamaga keltirildi; shunday qilib, (2) tenglamaning ildizlari darhol kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi bilan hisoblab chiqildi va keyin bu ildizlarga oid xulosalar chiqarildi. Tenglama (3) kvadrat tenglamaga (4) keltirildi, uning diskriminanti mukammal kvadrat emas, shuning uchun (3) tenglamani echishda kvadrat trinomiyaning ildizlarining joylashishiga oid teoremalardan foydalanish tavsiya etiladi. grafik modeli. E'tibor bering, (4) tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin.

Keling, murakkabroq tenglamalarni yechaylik.

3-topshiriq. Tenglamani yeching

Yechim. ODZ: x1, x2.

Keling, almashtirishni kiritamiz. 2x = t, t > 0 bo'lsin, u holda o'zgartirishlar natijasida tenglama t2 + 2t – 13 – a = 0 ko'rinishini oladi. (*) kamida bitta ildiz bo'lgan a ning qiymatlarini toping. (*) tenglama t > 0 shartni qanoatlantiradi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Javob: a > - 13, a  11, a  5 bo‘lsa, a - 13 bo‘lsa,

a = 11, a = 5, keyin hech qanday ildiz yo'q.

Bibliografiya.

1. Guzeev ta'lim texnologiyasi asoslari.

2. Guzeev texnologiyasi: qabul qilishdan falsafagacha.

M. «Bosh direktor» 1996 yil 4-son

3. Guzeev va ta'limning tashkiliy shakllari.

4. Guzeev va integral ta'lim texnologiyasi amaliyoti.

M." xalq ta'limi", 2001 yil

5. Guzeev dars - seminar shakllaridan.

2-sonli maktabda matematika, 1987 yil, 9-11-betlar.

6. Selevko ta'lim texnologiyalari.

M. “Xalq ta’limi”, 1998 y

7. Episheva maktab o'quvchilari matematikani o'rganadilar.

M. “Ma’rifat”, 1990 yil

8. Ivanov darslar - seminarlar tayyorlash.

6-sonli maktabda matematika, 1990 y. 37-40.

9. Matematika o`qitishning Smirnov modeli.

1-sonli maktabda matematika, 1997 y. 32-36.

10. Tarasenko amaliy ishlarni tashkil etish usullari.

1-sonli maktabda matematika, 1993 y. 27 - 28.

11. Individual ish turlaridan biri haqida.

2-sonli maktabda matematika, 1994, 63 - 64-betlar.

12. Xazankin Ijodiy qobiliyatlar maktab o'quvchilari.

2-sonli maktabda matematika, 1989 y. o'n.

13. Skanavi. Nashriyot, 1997 yil

14. va boshqalar Algebra va tahlilning boshlanishi. Didaktik materiallar uchun

15. Matematikadan Krivonogov vazifalari.

M. «Birinchi sentyabr», 2002 yil

16. Cherkasov. O'rta maktab o'quvchilari uchun qo'llanma va

universitetlarga kirish. "A S T - matbuot maktabi", 2002 yil

17. Universitetlarga abituriyentlar uchun Zhevnyak.

Minsk va RF "Ko'rib chiqish", 1996 yil

18. Yozma D. Matematikadan imtihonga tayyorlanish. M. Rolf, 1999 yil

19. va boshqalar.Tenglama va tengsizliklarni yechishni o'rganish.

M. “Intellekt – markaz”, 2003 y

20. va boshqalar EG E ga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv va o'quv materiallari.

M. “Intellekt – markaz”, 2003 va 2004 y

21 va boshqalar CMM ning variantlari. Rossiya Federatsiyasi Mudofaa vazirligining Sinov markazi, 2002, 2003 y

22. Goldberg tenglamalari. «Kvant» № 3, 1971 yil

23. Volovich M. Matematikani qanday muvaffaqiyatli o'qitish kerak.

Matematika, 1997 yil 3-son.

Dars uchun 24 Okunev, bolalar! M. Ma’rifatparvar, 1988 yil

25. Yakimanskaya - maktabda yo'naltirilgan ta'lim.

26. Liimets darsda ishlaydi. M. Bilim, 1975 yil

Ushbu dars eksponensial tenglamalarni o'rganishni endi boshlayotganlar uchun mo'ljallangan. Har doimgidek, ta'rif va oddiy misollar bilan boshlaylik.

Agar siz ushbu darsni o'qiyotgan bo'lsangiz, men sizda eng oddiy tenglamalar - chiziqli va kvadrat haqida hech bo'lmaganda minimal tushunchaga ega ekanligingizga shubha qilaman: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ va hokazo. Endi muhokama qilinadigan mavzuni "osib qo'ymaslik" uchun bunday konstruktsiyalarni hal qilish juda zarur.

Demak, eksponensial tenglamalar. Sizga bir-ikki misol keltiraman:

\[((2)^(x))=4;\to'rt ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\to'rt ((9)^(x))=- 3\]

Ulardan ba'zilari sizga murakkabroq tuyulishi mumkin, ba'zilari, aksincha, juda oddiy. Lekin ularning barchasini bitta muhim xususiyat birlashtiradi: ularda $f\left(x \right)=((a)^(x))$ eksponensial funksiya mavjud. Shunday qilib, biz ta'rifni kiritamiz:

Eksponensial tenglama - bu eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama, ya'ni. $((a)^(x))$ shaklining ifodasi. Belgilangan funktsiyadan tashqari, bunday tenglamalar boshqa har qanday algebraik tuzilmalarni o'z ichiga olishi mumkin - polinomlar, ildizlar, trigonometriya, logarifmlar va boshqalar.

OK, unda. Ta'rifni tushundi. Endi savol tug'iladi: bu axlatni qanday hal qilish kerak? Javob bir vaqtning o'zida oddiy va murakkab.

Keling, yaxshi xabardan boshlaylik: ko'plab talabalar bilan bo'lgan tajribamdan shuni aytishim mumkinki, ularning aksariyati uchun eksponensial tenglamalar bir xil logarifmlarga qaraganda ancha oson va undan ham ko'proq trigonometriya.

Lekin ham bor yomon xabar: ba'zan barcha turdagi darsliklar va imtihonlar uchun masalalar tuzuvchilarga "ilhom" tashrif buyurishadi va ularning dori bilan yallig'langan miyasi shu qadar shafqatsiz tenglamalarni ishlab chiqara boshlaydiki, ularni echish nafaqat talabalar uchun muammoli bo'lib qoladi - hatto ko'plab o'qituvchilar ham tiqilib qoladilar. bunday muammolar.

Biroq, qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik. Keling, hikoyaning boshida berilgan uchta tenglamaga qaytaylik. Keling, ularning har birini hal qilishga harakat qilaylik.

Birinchi tenglama: $((2)^(x))=4$. Xo'sh, 4 raqamini olish uchun 2 raqamini qanday kuchga ko'tarish kerak? Balki ikkinchisi? Axir, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — va biz toʻgʻri raqamli tenglikni oldik, yaʼni. haqiqatan ham $x=2$. Rahmat, kepka, lekin bu tenglama shunchalik sodda ediki, hatto mening mushukim ham buni hal qila oldi. :)

Keling, quyidagi tenglamani ko'rib chiqaylik:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ammo bu erda biroz qiyinroq. Ko'pgina talabalar $((5)^(2))=25$ ko'paytirish jadvali ekanligini bilishadi. Ba'zilar, shuningdek, $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ aslida ta'rif ekanligiga shubha qilishadi. salbiy kuchlar($((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$ formulasiga oʻxshashlik boʻyicha).

Nihoyat, faqat bir nechtasi bu faktlarni birlashtirish mumkinligini taxmin qiladi va natija quyidagi natijadir:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Shunday qilib, bizning asl tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Va endi bu butunlay hal qilindi! Tenglamaning chap tomonida ko'rsatkichli funksiya, o'ng tomonida ko'rsatkichli funktsiya mavjud, ulardan boshqa hech narsa yo'q. Shuning uchun, asoslarni "yo'q qilish" va ko'rsatkichlarni ahmoqona tenglashtirish mumkin:

Biz har qanday talaba bir-ikki qatorda yecha oladigan eng oddiy chiziqli tenglamani oldik. Yaxshi, to'rt qatorda:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Agar oxirgi to'rt qatorda nima bo'layotganini tushunmasangiz, mavzuga qaytishni unutmang " chiziqli tenglamalar' va takrorlang. Chunki bu mavzuni aniq o‘zlashtirmasdan turib, ko‘rsatkichli tenglamalarni qabul qilishga hali erta.

\[((9)^(x))=-3\]

Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Birinchi fikr: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, shuning uchun asl tenglamani shunday qayta yozish mumkin:

\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=-3\]

Keyin biz eslaymizki, darajani kuchga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=((3)^(2x))\O'ng strelka ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Va bunday qaror uchun biz halol ravishda munosib deuce olamiz. Chunki biz Pokemonning muloyimligi bilan uchtasining oldidagi minus belgisini aynan shu uchlikning kuchiga yubordik. Va siz buni qila olmaysiz. Va shuning uchun ham. Uchlikning turli kuchlarini ko'rib chiqing:

\[\begin(matritsa) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matritsa)\]

Bu planshet kompilyatsiya, bilanoq men buzuq emas edi: va ijobiy darajalar ko'rib chiqildi, va salbiy, va hatto kasr ... yaxshi, qaerda kamida bitta manfiy raqam? U yoq! Va bo'lishi mumkin emas, chunki $y=((a)^(x))$ eksponensial funktsiyasi, birinchidan, har doim faqat oladi. ijobiy qadriyatlar(qanchalik bir marta ko'paytirsangiz yoki ikkiga bo'lishingizdan qat'iy nazar, u baribir ijobiy son bo'ladi), ikkinchidan, bunday funktsiyaning asosi - $a$ soni - ta'rifiga ko'ra musbat son!

Xo'sh, $((9)^(x))=-3$ tenglamasini qanday yechish mumkin? Yo'q, ildizlar yo'q. Va bu ma'noda eksponensial tenglamalar kvadratik tenglamalarga juda o'xshash - ildizlar ham bo'lmasligi mumkin. Ammo kvadrat tenglamalarda ildizlar soni diskriminant tomonidan aniqlansa (diskriminant musbat - 2 ta ildiz, manfiy - ildiz yo'q), u holda eksponensial tenglamalarda hammasi teng belgining o'ng tomonida joylashganiga bog'liq.

Shunday qilib, biz asosiy xulosani shakllantiramiz: $((a)^(x))=b$ ko'rinishdagi eng oddiy eksponensial tenglama, agar $b>0$ bo'lsa, ildizga ega bo'ladi. Ushbu oddiy haqiqatni bilib, sizga taklif qilingan tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini osongina aniqlashingiz mumkin. Bular. uni umuman hal qilishga arziydimi yoki darhol hech qanday ildiz yo'qligini yozing.

Bu bilim bizga ko'proq qaror qilishimiz kerak bo'lganda ko'proq yordam beradi qiyin vazifalar. Ayni paytda, lyrics etarli - bu ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun asosiy algoritmni o'rganish vaqti keldi.

Eksponensial tenglamalarni yechish usullari

Shunday qilib, keling, muammoni shakllantiramiz. Eksponensial tenglamani yechish kerak:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Biz ilgari qo‘llagan “sodda” algoritmga ko‘ra, $b$ sonini $a$ sonining kuchi sifatida ko‘rsatish kerak:

Bundan tashqari, agar $x$ o'zgaruvchisi o'rniga biron bir ifoda mavjud bo'lsa, biz allaqachon yechish mumkin bo'lgan yangi tenglamani olamiz. Masalan:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\O'ng yo'l ((2)^(x))=((2)^(3))\O'ng strelka x=3; \\& ((3)^(-x))=81\O'ng strelka ((3)^(-x))=((3)^(4))\O'ngga -x=4\O'ngga x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Oʻng strelka ((5)^(2x))=((5)^(3))\Oʻng 2x=3\Oʻng strelka x=\frac(3)( 2). \\\end(tekislash)\]

Va g'alati, bu sxema taxminan 90% hollarda ishlaydi. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Qolgan 10% shakldagi biroz "shizofrenik" eksponensial tenglamalar:

\[((2)^(x))=3;\to'rt ((5)^(x))=15;\to'rt ((4)^(2x))=11\]

3 ni olish uchun 2 ni qanday kuchga oshirish kerak? Birinchisida? Lekin yo'q: $((2)^(1))=2$ yetarli emas. Ikkinchisida? Ikkalasi ham emas: $((2)^(2))=4$ juda koʻp. Keyin nima?

Bilimdon o'quvchilar, ehtimol, allaqachon taxmin qilishgan: bunday hollarda, "chiroyli" hal qilishning iloji bo'lmaganda, "og'ir artilleriya" ish bilan bog'lanadi - logarifmlar. Shuni eslatib o'tamanki, logarifmlardan foydalangan holda har qanday musbat son har qanday boshqa musbat sonning kuchi sifatida ko'rsatilishi mumkin (bittasidan tashqari):

Ushbu formulani eslaysizmi? Talabalarimga logarifmlar haqida gapirganda, men sizni doimo ogohlantiraman: bu formula (bu asosiy logarifmik identifikatsiya yoki, agar xohlasangiz, logarifmning ta'rifi) sizni juda uzoq vaqt ta'qib qiladi va eng ko'p "paydo bo'ladi". kutilmagan joylar. Xo'sh, u yuzaga chiqdi. Keling, tenglamamizni va ushbu formulani ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Agar $a=3$ o'ngdagi asl raqamimiz va $b=2$ o'ng tomonni qisqartirmoqchi bo'lgan eksponensial funktsiyaning asosi deb hisoblasak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\O'ng strelka 3=((2)^(((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\O‘ng yo‘l ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\O‘ng yo‘l x=( (\log )_(2))3. \\\end(tekislash)\]

Biz biroz g'alati javob oldik: $x=((\log )_(2))3$. Boshqa bir vazifada, bunday javob bilan, ko'pchilik shubhalanib, o'z yechimini ikki marta tekshira boshlaydi: agar biror joyda xatolik bo'lsa-chi? Men sizni xursand qilishga shoshilaman: bu erda xatolik yo'q va eksponensial tenglamalarning ildizlaridagi logarifmlar odatiy holdir. Shunday ekan, ko'nik. :)

Endi qolgan ikkita tenglamani analogiya orqali hal qilamiz:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\O'ng strelka ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \O'ng strelka x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Oʻng strelka ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Oʻng 2x=( (\log )_(4))11\O'ng strelka x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(tekislash)\]

Ana xolos! Aytgancha, oxirgi javob boshqacha yozilishi mumkin:

Aynan biz ko'paytirgichni logarifm argumentiga kiritdik. Ammo bu omilni bazaga qo'shishimizga hech kim to'sqinlik qilmaydi:

Bunday holda, uchta variant ham to'g'ri - bu shunchaki turli shakllar bir xil raqamdagi yozuvlar. Qaysi birini tanlash va ushbu qarorda yozish sizga bog'liq.

Shunday qilib, biz $((a)^(x))=b$ ko'rinishdagi har qanday ko'rsatkichli tenglamalarni yechishni o'rgandik, bunda $a$ va $b$ raqamlari qat'iy musbat. Biroq qattiq haqiqat bizning dunyomiz shunga o'xshash oddiy vazifalar siz bilan juda kamdan-kam uchrashaman. Ko'pincha siz shunga o'xshash narsalarni uchratasiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tekislash)\]

Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Buni umuman hal qilish mumkinmi? Va agar shunday bo'lsa, qanday qilib?

Vahima yo'q. Bu tenglamalarning barchasi tez va osonlik bilan kamayadi oddiy formulalar biz allaqachon ko'rib chiqdik. Algebra kursidan bir nechta fokuslarni eslab qolish uchun siz shunchaki bilishingiz kerak. Va, albatta, bu erda ilmiy darajalar bilan ishlash qoidalari yo'q. Bularning barchasi haqida hozir gaplashaman. :)

Ko'rsatkichli tenglamalarni o'zgartirish

Esda tutish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, har qanday ko'rsatkichli tenglama, qanchalik murakkab bo'lishidan qat'i nazar, u yoki bu tarzda eng oddiy tenglamalarga - biz allaqachon ko'rib chiqqan va biz qanday echishni biladigan tenglamalarga keltirilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, har qanday ko'rsatkichli tenglamani echish sxemasi quyidagicha ko'rinadi:

1. Asl tenglamani yozing. Masalan: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Qandaydir ahmoqona ish qil. Yoki hatto "tenglamani o'zgartirish" deb nomlangan axlat;
3. Chiqishda $((4)^(x))=4$ yoki shunga o'xshash eng oddiy ifodalarni oling. Bundan tashqari, bitta boshlang'ich tenglama bir vaqtning o'zida bir nechta bunday ifodalarni berishi mumkin.

Birinchi nuqta bilan hamma narsa aniq - hatto mening mushukim ham bargga tenglamani yozishi mumkin. Uchinchi nuqta bilan ham, bu ko'proq yoki kamroq aniq ko'rinadi - biz yuqorida bunday tenglamalarning to'liq to'plamini hal qildik.

Ammo ikkinchi nuqta haqida nima deyish mumkin? O'zgarishlar qanday? Nimani nimaga aylantirish kerak? Xo'sh qanday?

Keling, buni aniqlaylik. Avvalo, men quyidagilarni ta'kidlamoqchiman. Barcha eksponensial tenglamalar ikki turga bo'linadi:

1. Tenglama bir xil asosli ko'rsatkichli funktsiyalardan iborat. Misol: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula turli asoslarga ega bo'lgan eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Misollar: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ va $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Birinchi turdagi tenglamalardan boshlaylik - ularni hal qilish eng oson. Va ularni hal qilishda bizga barqaror iboralarni tanlash kabi texnika yordam beradi.

Barqaror ifodani ajratib ko'rsatish

Keling, ushbu tenglamani yana bir bor ko'rib chiqaylik:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Biz nimani ko'ramiz? To'rttasi turli darajalarga ko'tariladi. Ammo bu kuchlarning barchasi $x$ o'zgaruvchisining boshqa raqamlar bilan oddiy yig'indisidir. Shuning uchun darajalar bilan ishlash qoidalarini esga olish kerak:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(tekislash)\]

Oddiy qilib aytganda, ko'rsatkichlarni qo'shish darajalar mahsulotiga aylantirilishi mumkin va ayirish osonlik bilan bo'linishga aylantiriladi. Keling, ushbu formulalarni tenglamamizdagi kuchlarga qo'llashga harakat qilaylik:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tekislash)\]

Biz ushbu faktni hisobga olgan holda asl tenglamani qayta yozamiz va keyin chapdagi barcha shartlarni yig'amiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - o'n bir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(tekislash)\]

Birinchi to'rtta atama $((4)^(x))$ elementini o'z ichiga oladi — keling, uni qavsdan chiqaramiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \o'ng)=-11. \\\end(tekislash)\]

Tenglamaning ikkala qismini $-\frac(11)(4)$ kasrga bo'lish qoladi, ya'ni. asosan teskari kasrga ko'paytiring - $-\frac(4)(11)$. Biz olamiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(tekislash)\]

Ana xolos! Biz asl tenglamani eng oddiyiga qisqartirdik va yakuniy javobni oldik.

Shu bilan birga, yechish jarayonida biz $((4)^(x))$ umumiy omilini topdik (va hatto qavsdan chiqardik) - bu barqaror ifoda. U yangi o'zgaruvchi sifatida belgilanishi mumkin yoki siz uni shunchaki aniq ifodalab, javob olishingiz mumkin. Nima bo'lganda ham, asosiy tamoyil yechimlari quyidagilardan iborat:

Asl tenglamada barcha ko'rsatkichli funktsiyalardan osongina ajratiladigan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan barqaror ifodani toping.

Yaxshi xabar shundaki, deyarli har bir eksponensial tenglama bunday barqaror ifodani qabul qiladi.

Ammo yomon xabar ham bor: bunday iboralar juda qiyin bo'lishi mumkin va ularni farqlash juda qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, boshqa muammoni ko'rib chiqaylik:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ehtimol, kimdir endi savol tug'diradi: "Pasha, toshbo'ron qilyapsizmi? Bu erda turli xil asoslar mavjud - 5 va 0,2. Ammo keling, quvvatni 0,2 bazasiga aylantirishga harakat qilaylik. Masalan, o'nlik kasrdan xalos bo'lib, uni odatiy holga keltiramiz:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(2)(10) ) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)) )\]

Ko'rib turganingizdek, 5 raqami maxrajda bo'lsa ham paydo bo'ldi. Shu bilan birga, indikator salbiy deb qayta yozildi. Va endi biz ulardan birini eslaymiz asosiy qoidalar darajalar bilan ishlash:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\O'ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o'ng))^( -\left(x+1 \o'ng)))=((\left(\frac(5)(1) \o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Bu erda, albatta, men biroz aldadim. Chunki to'liq tushunish uchun salbiy ko'rsatkichlardan xalos bo'lish formulasi quyidagicha yozilishi kerak edi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \o'ng))^(n ))\O‘ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o‘ng))^(-\chap(x+1 \o‘ng)=((\left(\frac(5)(1) \ o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Boshqa tomondan, faqat bitta fraksiya bilan ishlashimizga hech narsa to'sqinlik qilmadi:

\[((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((5)^(\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-\left(x+1 \o'ng) \o'ng) ))=((5)^(x+1))\]

Ammo bu holda siz darajani boshqa darajaga ko'tarishingiz kerak (sizga eslataman: bu holda ko'rsatkichlar qo'shiladi). Ammo men kasrlarni "aylantirishim" shart emas edi - ehtimol kimdir uchun bu osonroq bo'ladi. :)

Har holda, asl eksponensial tenglama quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(tekislash)\]

Shunday qilib, asl tenglamani echish ilgari ko'rib chiqilganidan ko'ra osonroq ekanligi ma'lum bo'ldi: bu erda siz barqaror ifodani ajratib ko'rsatishingiz shart emas - hamma narsa o'z-o'zidan qisqartirilgan. Shuni esda tutish kerakki, $1=((5)^(0))$, biz qaerdan olamiz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(tekislash)\]

Bu butun yechim! Biz yakuniy javobni oldik: $x=-2$. Shu bilan birga, biz uchun barcha hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirgan bitta hiyla-nayrangni ta'kidlamoqchiman:

Eksponensial tenglamalarda, albatta, qutuling o'nli kasrlar, ularni normal holatga aylantiring. Bu sizga darajalarning bir xil asoslarini ko'rish va yechimni sezilarli darajada soddalashtirish imkonini beradi.

Keling, har xil asoslar mavjud bo'lgan, odatda kuchlar yordamida bir-biriga kamaytirilmagan murakkabroq tenglamalarga o'tamiz.

Ko'rsatkich xususiyatidan foydalanish

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda ikkita juda qattiq tenglama mavjud:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tekislash)\]

Bu erda asosiy qiyinchilik nimaga va qanday asosga olib borishi aniq emas. Qattiq ifodalar qayerda? Umumiy asoslar qayerda? Bularning hech biri yo'q.

Ammo keling, boshqa yo'ldan borishga harakat qilaylik. Agar tayyor bo'lmasa bir xil asoslar, mavjud bazalarni faktoring orqali topishga harakat qilishingiz mumkin.

Birinchi tenglamadan boshlaylik:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Oʻng strelka ((21)^(3x))=((\chap(7\cdot 3 \oʻng))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(tekislash)\]

Ammo siz buning aksini qilishingiz mumkin - 7 va 3 raqamlaridan 21 raqamini tuzing. Buni chap tomonda qilish ayniqsa oson, chunki ikkala darajaning ko'rsatkichlari bir xil:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \o‘ng))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(tekislash)\]

Ana xolos! Siz ko'rsatkichni mahsulotdan chiqarib oldingiz va darhol bir necha qatorda echilishi mumkin bo'lgan chiroyli tenglamaga ega bo'ldingiz.

Endi ikkinchi tenglama bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa ancha murakkab:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \o'ng))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bunday holda, kasrlar qisqartirilmaydigan bo'lib chiqdi, ammo agar biror narsani kamaytirish mumkin bo'lsa, uni kamaytirishni unutmang. Bu ko'pincha siz allaqachon ishlashingiz mumkin bo'lgan qiziqarli asoslarga olib keladi.

Afsuski, biz hech narsaga erishmadik. Lekin mahsulotning chap tomonidagi ko‘rsatkichlar qarama-qarshi ekanligini ko‘ramiz:

Sizga eslatib o'taman: eksponentdagi minus belgisidan xalos bo'lish uchun kasrni "aylantirish" kifoya. Shunday qilib, keling, asl tenglamani qayta yozamiz:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ chap (\ frac (1000) (27) \ o'ng)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\end(tekislash)\]

Ikkinchi qatorda biz $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) qoidasiga asosan mahsulotdan jami qavs oldik. ))^ (x))$ va ikkinchisida ular 100 raqamini kasrga ko'paytirdilar.

Endi e'tibor bering, chapdagi (tayanchda) va o'ngdagi raqamlar biroz o'xshash. Qanday? Ha, aniq: ular bir xil miqdordagi kuchlardir! Bizda ... bor:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))))=((\left(\frac() 10)(3) \o'ng))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \o'ng)))^(2)). \\\end(tekislash)\]

Shunday qilib, bizning tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \o'ng))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \o'ng))^(3\left(x-1 \o'ng))))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3x-3))\]

Shu bilan birga, o'ng tomonda siz xuddi shu asosga ega bo'lgan darajani olishingiz mumkin, buning uchun kasrni "aylantirish" kifoya qiladi:

\[((\left(\frac(3)(10) \o'ng))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(-2))\]

Nihoyat, bizning tenglamamiz quyidagi shaklni oladi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(tekislash)\]

Bu butun yechim. Uning asosiy g'oyasi shundan iboratki, har xil asoslar bo'lsa ham, biz bu asoslarni bir xilga kamaytirishga harakat qilamiz. Bunda bizga tenglamalarni elementar o'zgartirishlar va kuchlar bilan ishlash qoidalari yordam beradi.

Lekin qanday qoidalar va qachon foydalanish kerak? Bir tenglamada ikkala tomonni biror narsaga bo'lish kerakligini, boshqasida esa eksponensial funktsiyaning asosini faktorlarga ajratish kerakligini qanday tushunish mumkin?

Bu savolga javob tajriba bilan keladi. Avvaliga oddiy tenglamalarda qo'lingizni sinab ko'ring, so'ngra asta-sekin vazifalarni murakkablashtiring - va tez orada sizning mahoratingiz bir xil USE yoki har qanday mustaqil/sinov ishidagi har qanday eksponensial tenglamani echish uchun etarli bo'ladi.

Va bu qiyin vazifada sizga yordam berish uchun men mustaqil yechim uchun veb-saytimdagi tenglamalar to'plamini yuklab olishni taklif qilaman. Barcha tenglamalarning javoblari bor, shuning uchun siz har doim o'zingizni tekshirishingiz mumkin.