Ushbu maqolada siz va men geometriyadagi ko'plab muammolarni oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Ushbu "tayoqcha" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda o'zingizni ishonchsiz his qilganingizda. Bularning barchasi ma'lum bir tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalar va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektor qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. O'rta nuqta koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qildingizmi? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xarakteristikalari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun shunday nom oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchamli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriyadagi muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasi bilan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7-sinfda, masalan, chiziqli funktsiyaning mavjudligi haqida bilganingizda. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Natijada nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyin siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (bir segment sifatida nechta hujayra bo'ladi) va undagi olingan nuqtalarni belgiladingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz, natijada chiziq funksiyaning grafigi.

Sizga biroz batafsilroq tushuntirish kerak bo'lgan bir nechta narsalar mavjud:

1. Siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz, shunda hamma narsa rasmga chiroyli va ixcham mos tushadi.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tadi deb taxmin qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. U harf bilan belgilangan.

4. Nuqta koordinatasi yozuvida, masalan, qavs ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ngda esa o'q bo'ylab ko'rsatilgan. Xususan, oddiygina nuqta degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qiga istalgan nuqtani o'rnatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. Eksa ustida yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi siz bilan keyingi qadamni qo'yaylik: ikkita nuqtani belgilang. Ushbu ikkita nuqtani chiziq bilan bog'lang. Keling, o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltirilgan qilamiz!

Yo'naltirilgan segmentning boshqa nomi nima ekanligini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi, oxiri esa B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektorning koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va buni qilish juda oson:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va oxiri bo'lganligi sababli vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi bir nuqtada, oxiri esa bir nuqtada bo'ladi. Keyin:

Diqqat bilan qarang, vektor va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshi. Bu fakt quyidagicha yozilgan:

Ba'zan, agar vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysi oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkita bosh harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi bir oz amaliyot va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi muammoni biroz qiyinroq hal qiling:

Bir nuqtada on-cha-scrap bilan vektor torus ko-or-di-on-sizga ega. Toping-di-te abs-cis-su nuqtalari.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men vektorning koordinatalari nima ekanligini aniqlash orqali tizimni tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari, siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlar bir-biri bilan stacked bo'lishi mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biri bilan ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda vizual geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo‘shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo‘yicha qo‘shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko‘paytirishda (bo‘lishda) uning barcha koordinatalari shu songa ko‘paytiriladi (bo‘linadi):

Misol uchun:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra yig‘indisini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi biz vektorning koordinatalarini hisoblaymiz Keyin olingan vektorning koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani deb belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Men nima qildim? Men, birinchi navbatda, nuqtalarni bog'ladim va, shuningdek, nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim va nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Nega u ajoyib? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlar esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: Segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunliklarini mos ravishda orqali belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadratik farqlarning ildiz yig'indisidir. Yoki - ikkita nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bundan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblashda biroz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa

Yoki boshqacha yo'l tutaylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi o'zingiz biroz mashq qiling:

Vazifa: berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formula uchun yana bir nechta muammo bor, garchi ular biroz boshqacha eshitiladi:

1. Ko'z qovog'i-to-ra uzunligi kvadratini top-di-te.

2. Nai-di-te kvadrati ko'z qovog'ining uzunligi-to-ra

O'ylaymanki, siz ularni osonlikcha hal qila olasizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu e'tibor uchun) Biz allaqachon vektorlarning koordinatalarini topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagicha bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligining kvadrati

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi jumboqlarni aniq tasniflash mumkin emas, ular umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyati uchundir.

1. Kesimdagi burchakning sinusini toping, abscissa o'qi bilan bir-n-chi nuqtani bog'lang.

va

Bu erda buni qanday qilamiz? O'q va orasidagi burchakning sinusini topishingiz kerak. Va sinusni qaerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari beri va, keyin segment teng va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Shuni eslatib o'tamanki, sinus qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Nima qilishimiz kerak? Gipotenuzani toping. Siz buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasidan foydalanish (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa uchun formuladan foydalanish (aslida birinchi usul bilan bir xil!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U - nuqta koordinatalari bo'yicha.

Vazifa 2. Nuqtadan per-pen-di-ku-lar abs-ciss o'qiga tushiriladi. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi - u x o'qi (o'qi) bilan kesishadigan nuqta, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "X" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala shartlariga ko'ra, nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir eslataman:

Xo'sh, biroz balandroqda joylashgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyarni tasvirlaganman? Bu qaysi o'q? o'qiga. Va keyin uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-masala shartlarida nuqtaning x o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan ordinatasini toping.

O'ylaymanki, siz simmetriya nima ekanligini intuitiv ravishda tushunasizmi? Juda ko'p ob'ektlarga ega: ko'plab binolar, jadvallar, tekisliklar, ko'plab geometrik shakllar: shar, silindr, kvadrat, romb va boshqalar. Taxminan, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: figura ikkitadan (yoki undan ko'p) iborat. bir xil yarmlar. Ushbu simmetriya eksenel deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Bu aniq chiziq bo'ylab, nisbatan aytganda, raqamni bir xil yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Shunday qilib, biz nuqtani belgilashimiz kerak, shunda o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydi. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz ham shunday qildingizmi? Xo'sh! Topilgan nuqtada biz ordinataga qiziqamiz. U teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir soniya o'ylab ko'rgandan so'ng, A nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning y o'qiga nisbatan abscissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

X o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Y o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, endi bu juda qo'rqinchli. vazifa: Koordinatalarni koordinatalarini toping nuqtaga simmetrik, koordinata boshiga nisbatan. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening chizgan rasmimga qarang!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: Ballar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Men birinchi navbatda koordinata usulini qo'llayman, keyin esa qanday qilib boshqacha qaror qabul qilishingiz mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (nuqtadan x o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini toping:

Biz nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Kesishish nuqtasi harf bilan belgilanadi.

Segment uzunligi teng. (muammoni o'zingiz toping, biz shu lahzani muhokama qildik), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasi bilan aynan bir xil.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni taqdim etaman)

Yechim jarayoni:

1. Sarflash

2. Nuqta koordinatalari va uzunligini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi kesish uzunligi muammosi:

Ballar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-burchak-no-ka. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, par-ral-lel-noy.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin siz uchun bu vazifa oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslatib o'taman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi uzun va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: Bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz unga biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta vazifalar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usuli yordamida "qo'lingizni to'ldirishga" yordam beradi!

1. Nuqtalar paydo bo'ladi-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Ballar va yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Top-dee-te yoki-dee-on-tu nuqtalari.

3. Kesimdan uzunlikni toping, ikkinchi nuqtani va ulang

4. Ko-or-di-nat-noy tekisligida-red-shen-noy fi-gu-ry maydonini top-di-te.

5. Markazi na-cha-le ko-or-di-natda joylashgan aylana nuqtadan oʻtadi. Uning ra-di-mo'ylovini toping.

6. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, to'g'ri burchakli-no-ka yaqinida tasvirlab-san-noy, bir narsa-ro-go ning tepalari-shi-ny bor co-or - di-na-siz ham-javobdan-lekin

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, lekin asos. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo‘li - buni payqash (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblang va qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta bir xil koordinatalarga ega, chunki vektorning boshi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bo'yicha darhol harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, qaysi ikki raqam orasida soyali joy "siqilgan"? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uzunligi teng

Keyin katta kvadratning maydoni

Istalgan raqamning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Javob:

5. Agar aylananing markazi koordinatali bo'lsa va nuqtadan o'tsa, uning radiusi segment uzunligiga to'liq teng bo'ladi (chizma qiling va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Ushbu segmentning uzunligini toping:

Javob:

6. Ma’lumki, to‘rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Ikki diagonalning istalgan uzunligini toping (oxir-oqibat, ular to'rtburchakda teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsani hal qildingizmi? Buni aniqlash unchalik qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segment o'rtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning yechimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolarda va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Toping-di-te or-di-na-tu se-re-di-us dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-chi nuqta va

2. Nuqtalar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Uning dia-go-on-lei-ning re-re-se-che-niya-ning-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Doira markazini toping-di-te abs-cis-su, tasvir-san-noy to'rtburchaklar-no-ka yaqinida, tepalari-shi-bizda bir narsa-ro-go ko-or-di- bor. na-siz hamkorlik-dan-vet-stvenno-lekin.

Yechimlar:

1. Birinchi vazifa shunchaki klassik. Biz segmentning o'rta nuqtasini aniqlab, darhol harakat qilamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Berilgan to‘rtburchak parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblash va ularni bir-biri bilan solishtirish orqali buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogramma haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan! Aha! Shunday qilib, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. U holda nuqta koordinatalariga ega.Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida aylana markazi nimadan iborat? Uning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar chegaralangan doiraning markazi bo'lsa, unda o'rtasi. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz biroz mashq qiling, men har bir muammoga faqat o'zingizni tekshirib ko'rishingiz uchun javob beraman.

1. Nai-di-te ra-di-us doira-no-sti, uchburchak-no-ka yaqinida tasvir-san-noy, kimdir-ro-goning tepalarida ko-or-di -misterlar yo'q.

2. Doira markazini toping-di-te or-di-na-tu, uchburchak-no-ka yaqinidagi san-noyni tasvirlang, tepalar-shi-bizda biror narsa-ro-go koordinatalari bor.

3. Markazi bir nuqtada abs-ciss o'qiga tegib turadigan aylana qanday ra-di-y-sa bo'lishi kerak?

4. Toping-di-te or-di-on-o'sha nuqtani qayta-qayta-se-che-ing o'qi va dan-kesim, ulanish-nya-yu-th-nuqta va

Javoblar:

Hammasi chiqdimi? Men bunga haqiqatan ham umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib bermoqchi bo‘lgan material nafaqat B bo‘limidagi oddiy koordinatalar metodi masalalariga tegishli, balki C2 muammosida ham hamma joyda mavjud.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Yodingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da bergan edim va qaysi birini oxir-oqibat joriy qildim? Hech narsani unutmaganimga ishonchim komilmi? Unutdim! Vektorlarni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz boshqa tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

Vektor mahsuloti juda qiyin. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz siz bilan keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bunda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Buni hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi yo'lni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta hosil qilish

Toping: - nuqta hosilasi uchun umumiy belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, nuqta mahsuloti = vektorlar koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-dee-te

Qaror:

Har bir vektorning koordinatalarini toping:

Skayar mahsulotni quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz:

Javob:

Ko'ryapsizmi, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

Toping-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie asr-to-handaq va

Siz boshqardingizmi? Balki u bir oz hiyla-nayrangni payqagandir? Keling, tekshiramiz:

Oldingi vazifadagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, u ancha sodda, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va birinchi va ikkinchi formulalardan vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkinligini aniqlashimiz uchun bizga kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni nuqta mahsulot formulasiga kiritsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa tomondan:

Xo'sh, bizda nima bor? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash uchun formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Koordinatalar orqali skalyar hosilani hisoblaymiz
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari-to-ra-mi va orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishda yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Men roziman? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini ko'rib chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, imtihon qog'ozining B qismida to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bo'yicha vazifalar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osongina echilishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda murakkab konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. ORALIQ DARAJA

Siz va men koordinatalar usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz bir qator muhim formulalarni oldik, ular quyidagilarga imkon beradi:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish, ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U siz universitetda tanishadigan analitik geometriya kabi fanga asoslanadi. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni aniqladik. Endi sifat jihatidan yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala shartida berilgan raqam inqilob tanasi bo'lsa (to'p, silindr, konus ...)

Koordinata usuli uchun mos raqamlar:

1. kubsimon
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Bundan tashqari, mening tajribamda uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Bo'limlarning maydonlarini topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda (ba'zan juda murakkab) juda kuchli bo'lmasangiz, u sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira, lekin hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. U juda oson quriladi: faqat abscissa va ordinatalarga qo'shimcha ravishda biz boshqa o'qni, amaliy o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar, bir nuqtada kesishadi, biz uni kelib chiqishi deb ataymiz. Abscissa o'qi, avvalgidek, ordinata o'qi - va kiritilgan qo'llaniladigan o'q - deb belgilanadi.

Agar ilgari tekislikning har bir nuqtasi ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata, applikatsiya. Misol uchun:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning y o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular oddiy va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz qaysi birini allaqachon taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javobgar bo'lgan yana bitta atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , keyin:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rtasida koordinatalar mavjud

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning nuqta mahsuloti:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinataning qo'shilishi ushbu bo'shliqda "yashovchi" raqamlar spektrida sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Bu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga cheksiz "barg" ning bir turi. "Cheksizlik" tekislikning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "barmoqlar ustida" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida zarracha fikr bildirmaydi. Va biz bunga qiziqamiz.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• To'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi, bundan tashqari, faqat bitta:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqta koordinatalarga ega bo'lsa: ikkinchisi esa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda boshdan kechirgansiz. Fazoda to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: koordinatalari bo'lgan ikkita nuqtaga ega bo'lsin: , u holda ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta koordinatalari quyidagi tizimga mos keladigan chiziq ustida joylashgan:

To'g'ri chiziq tenglamasi bizni unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektor.

Masalan, ikkala vektor to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlaridir. To'g'ri chiziqda yotgan nuqta va uning yo'naltiruvchi vektori bo'lsin. Keyin to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

Yana bir bor to'g'ri chiziq tenglamasi meni unchalik qiziqtirmaydi, lekin yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Chiqib ketish tekislikning uch nuqtali tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda o'rta maktab kursida qamrab olinmaydi. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, sizda yangi narsalarni o'rganish istagi bormi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni allaqachon bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, biz siz bilan nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasi ulardan noyob tarzda tiklanadi, dedik. Lekin qanday? Men sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislik tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lum bo'lgan uchta tenglamani hal qilish kerak! Dilemma! Biroq, biz har doim shunday deb taxmin qilishimiz mumkin (buning uchun biz bo'linishimiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli ifodani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

STOP! Bu yana nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, siz ko'pincha aynan shu determinantlarga duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu berilgan raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishgan joyida ekanligini bildiradi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qanday aniq raqam bilan solishtiramiz? Aniq uchinchi tartibning determinanti uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chapdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi. diagonal
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining ko'paytmasi (yuqori o'ngdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". ikkilamchi diagonal
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, ushbu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni boshingizda ushlab turish va nimaga nima qo'shilishi va nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyaning o'zi kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

"Plyus" bilan kelgan atamalar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

"minus" bilan kelgan atamalar

Bu yon diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Biz uchta raqamni qo'shamiz:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa ortiqcha shartlar yig'indisidan minus shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab va g'ayritabiiy narsa yo'q. Uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik juda muhimdir. Endi o'zingizni hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
3. Plyus shartlar yig'indisi:
4. Yon diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
6. Minusli shartlar yig'indisi:
7. Ortiqcha shartlar yig‘indisidan minuslar yig‘indisi:

Mana siz uchun yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun bir qator dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguniga qadar. Ishonchim komilki, bu daqiqa uzoq kutilmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblashingiz kerak (uchburchak usuli) va natijani nolga qo'ying. Tabiiyki, ular o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Ushbu uch nuqta uchun determinant tuzamiz:

Soddalash:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchaklar qoidasiga ko'ra hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Keling, endi yechimni muhokama qilaylik:

Biz determinant qilamiz:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: siz boshingizdan uchta nuqtani olasiz (ular bitta to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ularning ustiga samolyot qurasiz. Va keyin o'zingizni onlayn tekshiring. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga vektorlar uchun faqat nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Bundan tashqari, vektor, shuningdek, aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar mahsuloti son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning o'zaro ko'paytmasini qanday hisoblashimiz mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibning determinanti yana yordamimizga keladi. Biroq, ko'ndalang mahsulotni hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik lirik digressiya qilishim kerak.

Ushbu cheklash asosiy vektorlarga tegishli.

Sxematik ravishda ular rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

vektor mahsuloti

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechim: Men aniqlovchini yarataman:

Va men buni hisoblayman:

Endi, asosiy vektorlar orqali yozishdan boshlab, men odatiy vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi urinib ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish vazifalari:

1. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:
2. Quyidagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Aytaylik, bizda uchta vektor bor:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana - mustaqil qaror uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz geometriyadagi murakkab stereometrik muammolarni hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, koordinatalar tizimining nisbiy o'rnini va kosmosdagi raqamni tanlash, oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi raqamlarni ko'rib chiqamiz:

1. kubsimon
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

Kuboid yoki kub uchun men quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va quti juda yaxshi raqamlar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda tepalik koordinatalari:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchaklar qutini qanday joylashtirishni eslab qolish maqsadga muvofiqdir.

to'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. Siz uni kosmosda turli yo'llar bilan tartibga solishingiz mumkin. Biroq, menimcha, quyidagi eng yaxshi variant:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga qo'yamiz va cho'qqilardan biri koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Kubga o'xshash vaziyat: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan birlashtiramiz, biz tepaliklardan birini kelib chiqishi bilan birlashtiramiz. Faqatgina kichik qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topishda bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir cho'qqi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak uchun muammolar va masofa uchun muammolar. Birinchidan, burchakni topish uchun muammolarni ko'rib chiqamiz. Ular, o'z navbatida, quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish bilan bog'liq muammolar

1. Ikki chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, bu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esingizdami, siz va men shunga o'xshash misollarni ilgari hal qilganmiz? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizda maqsad bor - ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish. Keling, "tekis rasm" ga murojaat qilaylik:

Ikki chiziq kesishganda nechta burchak hosil qilamiz? Allaqachon narsalar. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qaysi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikki chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan ovora bo'lmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblang
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni aniq hisoblash imkonini beradigan bo'lsa, biz uni qidiramiz
9. Aks holda, arkkosinus orqali yozamiz

Xo'sh, endi vazifalarga o'tish vaqti keldi: men birinchi ikkitasining yechimini batafsil ko'rsataman, ikkinchisining yechimini qisqacha taqdim etaman va faqat oxirgi ikkita vazifaga javob beraman, siz buni qilishingiz kerak. ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajaring.

Vazifalar:

1. To'g'ri tet-ra-ed-reda, siz-shuningdek-tet-ra-ed-ra va me-di-a-noy bo-ko-how tomoni orasidagi burchakni-di-te toping.

2. O'ngga oltita-ko'mir-pi-ra-mi-de, yuz-ro-na-os-no-va-niya qandaydir tarzda teng va yon qovurg'alar teng, to'g'ri orasidagi burchakni toping. chiziqlar va.

3. O'ng qo'l to'rt-you-rech-ko'mir-noy pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunligi bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar from-re-zok - you-so-bu berilgan pi-ra-mi-dy, nuqta uning bo-ko- th qovurg'asida se-re-di-da bo'ladi.

4. Kubning chetida-me-che-dan nuqtaga, shundayki, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

5. Nuqta - kubning chetlarida se-re-di-to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni Nai-di-te va.

Vazifalarni shunday tartibda joylashtirganim bejiz emas. Koordinata usulida harakat qilishni boshlashga hali vaqtingiz bo'lmagan bo'lsa-da, men o'zim eng "muammoli" raqamlarni tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak, men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lganligi sababli, uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimiz qanchalik "cho'zilgan"ligiga bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (u bizga ham yordam beradi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Shunday qilib, biz nuqtalarning ko'proq koordinatalarini topishimiz kerak. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Nuqta ko'tarilgan nuqtadir. Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiyidan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abtsissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda:

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar kimdir buni eslab qolsa, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng tomonli uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasiga nisbatda bo'linadi yuqoridan hisoblash. Chunki:, u holda segment uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va applikatsiya segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablar uchun qidiriladi:

Nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Keyin segmentning o'rtasi koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Hammasi shunday, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "dahshatli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz ta'kidlaganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklari xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chirilgan". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar tizimi bilan bir qatorda uning asosini ham chizing:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga qisqartiriladi: . Kichik chizmadan oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish, lekin boshlash kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchakni topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusdir. Keyin:

Keyin qayerda.

Demak, uning koordinatalari bor

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatani topish ham unchalik qiyin emas: agar biz nuqtalarni birlashtirsak va chiziqning kesishish nuqtasini belgilasak, deylik. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini toping. To'g'ri to'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqtaning koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abssissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilova topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartiga ko'ra, lateral chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Hammasi, meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Biz ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu masalani hal qilishda men oddiy n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan tashqari, hech qanday murakkab hiyla ishlatmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun ularni bittaga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat yotadi va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni belgilab, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda tasvirlaylik:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Men nuqtalar koordinatalarini qidirayotganda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Ularni "shifrini ochish" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz aniqlay olasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada qiyinroq bo'ladi. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqta orqali biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita chiziq orasidagi burchaklarni topishda foydalangan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomonning tuzilishi xuddi shunday va chap tomonda biz avvalgidek kosinus emas, balki sinusni qidirmoqdamiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

To'xtamaylik Yechish misollari:

1. Os-no-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri mening mukofotim-biz-la-et-xia teng-lekin-kambag'al-ren-ny uchburchak-nik siz-o'sha sovrin-biz tengmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G'arbiy Nai-di-tedan to'rtburchak pa-ral-le-le-pi-pe-de to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.

3. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakli pi-ra-mi-de bilan os-but-va-ni-em g'arbiy tomondan qovurg'a Nai-di-te burchak, osning ob-ra-zo-van -ny tekisligi. -no-va-niya va to'g'ri-my, qovurg'alarning se-re-di-nasidan o'tib va

5. O'ng to'rtburchak pi-ra-mi-dy tepasi bilan barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dyning bo-ko-in-chi chetida se-re-di-bo'lsa, to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

Yana birinchi ikkita muammoni batafsil hal qilaman, uchinchisini - qisqacha va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchak piramidalar bilan shug'ullanishingiz kerak edi, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek uning asosini chizing. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Biz bu tekislikda ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Samolyot tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinata boshiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Yuqoridan balandlikni (u ham mediana va bissektrisa) chizamiz. Chunki, u holda nuqtaning ordinatasi teng bo'ladi. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu nuqta ustidagi "ko'tarilgan":

Keyin vektorning koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, prizma kabi raqamning "to'g'riligi" jarayonni biroz soddalashtiradi. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Biz parallelepiped chizamiz, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizamiz, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizamiz:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz: uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin biz kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda hatto tekislikni chizish muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham, koordinata usuliga ahamiyat bermaydi! Uning asosiy afzalligi uning ko'p qirraliligidadir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

biri). Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz ko'rsating. Buning uchun muammoni olti burchakli piramida bilan hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Biz burchakni qidiramiz:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Oxirgi ikkita muammoga men faqat javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, masalalarni yechish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ba'zi formulalarga almashtirishdir. Burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqish biz uchun qoladi, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqta uchun biz birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqta uchun biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, uning yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, darhol muammoga o'taylik:

1. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma asosidagi yuz-ro- teng, yon yuzining dia-go-nali esa teng. Sovrin asosining tekisligi va tekisligi orasidagi burchakni toping.

2. O'ngga to'rt-you-re-ko'mir-noy pi-ra-mi-de, birovning barcha qirralari teng, tekislik bilan Ko-Stu tekisligi orasidagi burchakning sinusini toping, orqali o'ting. per-pen-di-ku-lyar-lekin to'g'ri-my nuqtasi.

3. Muntazam to'rtta ko'mir prizmasida os-no-va-niyaning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqta shunday qilib. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To‘g‘ri to‘rtburchak prizmada asoslarning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Chetda dan-me-che-nuqtaga shunday tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poyasida - teng tomonli uchburchak) uchburchak prizma chizaman va unga masala shartida paydo bo'ladigan tekisliklarni belgilayman:

Ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Asosiy tenglama arzimas tarzda olinadi: siz uchta nuqta uchun mos determinantni yaratishingiz mumkin, lekin men darhol tenglamani tuzaman:

Endi tenglamani topamiz. Nuqtaning koordinatalari bor. Nuqta - uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun uni uchburchakda Pifagor teoremasi orqali topish oson. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini toping Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, perpendikulyar nuqtadan o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiysi - bu nima? Asosiysi, diqqat! Darhaqiqat, chiziq perpendikulyar. Chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Kichkina chizmadan nuqta koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima topish kerak? Hali ham uning balandligini hisoblash kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda, buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Chunki shartga ko'ra bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz osongina olasiz:

Yoki aks holda (agar ikkala qismni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmadingiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelganini payqadingiz va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiziqarli savol: to'rtburchak prizma nima, siz qanday fikrdasiz? Bu sizga shunchaki taniqli parallelepiped! Darhol chizish! Siz hatto bazani alohida tasvirlay olmaysiz, bu erda undan kam foydalanish mumkin:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama sifatida yoziladi:

Endi biz samolyot qilamiz

Biz darhol tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Burchak qidirmoqda

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, dam olish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan yana bir toifadagi masalalarni muhokama qilamiz: masofaviy masalalar. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Berilgan vazifalarni ularning murakkabligi oshgani sayin buyurtma qildim. Eng oson - topish nuqtadan tekislik masofasiga va eng qiyin qismi topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol birinchi sinf muammolarini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda tahlil qilgan oldingi muammolardan samolyot tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, darhol ishga kirishaylik. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz qarorni o'zingiz qabul qilasiz va solishtirasiz. Boshlandi!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi Se-re-di-ny dan kesikdan tekisgacha bo'lgan masofani toping

2. Berilgan o'ng-vil-naya to'rt-you-rekh-ko'mir-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe chekka yuz-ro-on os-no-va-nia teng. Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda - qirralarning se-re-di-da.

3. Os-but-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, boshqa chekka teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

4. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofalarni toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislik quring, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang.

.

Birinchidan, oson narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtada tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz yana chizilgan rasm bilan boshlaymiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuq panjasidek chizishim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga to'sqinlik qilmaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri

2. A nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini osongina topamiz.Teklik tenglamasini tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: , u holda masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa oldingi qismda siz bilan ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

Chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. Chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularda barcha imkoniyatlar mavjud: kesishish yoki tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziq. Sizningcha, berilgan chiziq kesishgan chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarsiz holat.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Va bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, biz tekislik tenglamasini qidiramiz, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, imtihonda bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o‘tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak bo'ladi?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. To'g'ri chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektor koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Ushbu kasrning maxraji siz uchun nimani anglatadi va shuning uchun aniq bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Mana juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bu hozir biz uchun juda foydali bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani qidirayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni qurish

4. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini quramiz

5. Ko‘paytmani hisoblang

6. Olingan vektor uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Dana o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-da cho'qqisi bilan. Bir yuz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy teng, siz-so-ta teng. Bo-ko-chi qirraning se-re-di-nasidan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofalarni toping, bu erda va nuqtalar qovurg'a va ko'- vetning se-re-di-nasidir. -stven-lekin.

2. Qovurg'alarning uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-para-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va top-shi-ny dan to'g'ri-mygacha bo'lgan masofani toping-di-te.

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida to'daning barcha qirralari nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz chiroyli chizilgan chizamiz, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Siz uchun juda ko'p ishimiz bor! Men birinchi navbatda nimani va qanday tartibda izlashimizni so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Xo'sh, bizda juda ko'p ish bor! Keling, yeng shimalaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa uning abssissasiga teng. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

o'rta nuqta

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektorning uzunligi: eng oson yo'li - segment uchburchakning o'rta chizig'i ekanligini almashtirish, ya'ni u asosning yarmiga teng. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini ko'rib chiqamiz:

8. Nihoyat, masofani toping:

Voy, hammasi shu! Rostini aytganda, men sizga aytaman: bu muammoni an'anaviy usullar bilan (konstruktsiyalar orqali) hal qilish ancha tezroq bo'ladi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiring?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men sizga "hech narsani tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchungina ushbu hal qilish usulini ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Egri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziqlar nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator aralash mahsulotning moduli (biz uni oldingi qismda kiritganmiz) va maxraj - oldingi formulada bo'lgani kabi (chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz ko'rib turgan masofa). uchun).

Men buni sizga eslataman

keyin masofa formulasi sifatida qayta yozilishi mumkin:

Bu aniqlovchini aniqlovchiga bo'ling! Rostini aytsam, bu yerda hazilga moyil emasman! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lganimda, men buni faqat oxirgi chora sifatida ishlatardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. To'g'ri uchburchak prizmada barcha qirralar qandaydir tarzda teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping va.

2. To‘g‘ri old shaklidagi uchburchak prizma berilgan bo‘lsa, birovning os-no-va-niyasining barcha qirralari Se-che-tionga teng, boshqa qovurg‘a orqali o‘tadi va se-re-di-nu qovurg‘a. yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie to'g'ridan-to'g'ri-we-mi va

Birinchisini men hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va chiziqlarni belgilayman va

C nuqtasi koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Biz vektorlar orasidagi o'zaro ko'paytmani ko'rib chiqamiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini ko'rib chiqamiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi:.

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilangan.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlarning mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar mahsuloti ularning mutlaq qiymatlari va ular orasidagi burchak kosinuslari mahsulotiga teng:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Imtihonni muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, institutga byudjet bo'yicha va eng muhimi, umrbod kirish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq maosh oladi. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (kerak emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Bizning topshiriqlarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching -
2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

Ta'rif

Skalyar- raqam bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan qiymat. Masalan, uzunlik, maydon, massa, harorat va boshqalar.

Vektor yo'naltirilgan segment $\overline(A B)$ deb ataladi; $A$ nuqtasi - boshi, $B$ nuqtasi - vektorning oxiri (1-rasm).

Vektor ikkita bosh harf bilan belgilanadi - uning boshi va oxiri: $\overline(A B)$ yoki bitta kichik harf bilan: $\overline(a)$.

Ta'rif

Agar vektorning boshi va oxiri bir xil bo'lsa, bunday vektor deyiladi nol. Ko'pincha null vektor $\overline(0)$ sifatida belgilanadi.

Vektorlar deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa (2-rasm).

Ta'rif

$\overline(a)$ va $\overline(b)$ ikkita kollinear vektor chaqiriladi qo'shma yo'nalish, agar ularning yoʻnalishlari bir xil boʻlsa: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (3-rasm, a). $\overline(a)$ va $\overline(b)$ ikkita kollinear vektor chaqiriladi qarama-qarshi yo'nalishlar, agar ularning yoʻnalishlari qarama-qarshi boʻlsa: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (3b-rasm).

Ta'rif

Vektorlar deyiladi koplanar agar ular bir tekislikka parallel bo'lsa yoki bir tekislikda yotsa (4-rasm).

Ikki vektor har doim koplanardir.

Ta'rif

Uzunlik (modul) vektor $\overline(A B)$ - uning boshi va oxiri orasidagi masofa: $|\overline(A B)|$

Vektor uzunligi haqida batafsil nazariya havolada.

Null vektorning uzunligi nolga teng.

Ta'rif

Uzunligi bir ga teng vektor deyiladi birlik vektor yoki ortom.

Vektorlar deyiladi teng agar ular bir yoki parallel chiziqlar ustida yotsa; ularning yo'nalishlari mos keladi va uzunliklari tengdir.

Boshqacha aytganda, ikkita vektor teng, agar ular kollinear, birgalikda yo'naltirilgan va teng uzunliklarga ega bo'lsa:

$\overline(a)=\overline(b)$ agar $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Fazodagi ixtiyoriy $M$ nuqtasida berilgan $\overline(A B)$ vektoriga teng bitta $\overline(M N)$ vektorini qurish mumkin.

Nihoyat, men keng ko'lamli va uzoq kutilgan mavzuga ega bo'ldim analitik geometriya. Birinchidan, oliy matematikaning ushbu bo'limi haqida bir oz .... Albatta, siz maktab geometriya kursini ko'plab teoremalar, ularning isbotlari, chizmalari va boshqalar bilan esladingiz. Nimani yashirish kerak, o'quvchilarning muhim qismi uchun sevilmaydigan va ko'pincha qorong'i mavzu. Analitik geometriya, g'alati, qiziqarliroq va qulayroq ko'rinishi mumkin. “Analitik” sifatdoshi nimani anglatadi? Ikkita muhrlangan matematik burilish darhol aqlga keladi: "yechimning grafik usuli" va "yechishning analitik usuli". Grafik usul, albatta, grafiklar, chizmalar qurish bilan bog'liq. Analitik bir xil usuli muammolarni hal qilishni o'z ichiga oladi asosan algebraik amallar orqali. Shu munosabat bilan, analitik geometriyaning deyarli barcha muammolarini hal qilish algoritmi oddiy va shaffof, ko'pincha kerakli formulalarni to'g'ri qo'llash kifoya - va javob tayyor! Yo'q, albatta, bu chizmalarsiz umuman bo'lmaydi, bundan tashqari, materialni yaxshiroq tushunish uchun men ularni ehtiyojdan ortiqroq qilib ko'rsatishga harakat qilaman.

Geometriya darslarining ochiq kursi nazariy to'liqlikka da'vo qilmaydi, u amaliy muammolarni hal qilishga qaratilgan. Men o'z ma'ruzalarimga faqat mening nuqtai nazarimdan amaliy jihatdan muhim bo'lgan narsalarni kiritaman. Agar sizga biron bir kichik bo'lim bo'yicha to'liqroq ma'lumot kerak bo'lsa, men quyidagi juda qulay adabiyotlarni tavsiya qilaman:

1) Hazil emas, bir necha avlodlarga tanish bo'lgan narsa: Geometriya bo'yicha maktab darslik, mualliflar - L.S. Atanasyan va kompaniya. Bu maktab echinish xonasi ilgichi allaqachon 20 (!) Qayta nashrga chidadi, bu, albatta, chegara emas.

2) 2 jildda geometriya. Mualliflar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu oliy ma'lumot uchun adabiyot, sizga kerak bo'ladi birinchi jild. Kamdan-kam uchraydigan vazifalar mening ko'rish sohamdan chiqib ketishi mumkin va o'quv qo'llanma bebaho yordam beradi.

Har ikkala kitob ham onlayn yuklab olish uchun bepul. Bundan tashqari, siz mening arxivimdan sahifada joylashgan tayyor echimlar bilan foydalanishingiz mumkin Oliy matematika misollar yuklab olish.

Asboblardan men yana o'z ishlab chiqishimni taklif qilaman - dasturiy ta'minot to'plami analitik geometriya bo'yicha, bu hayotni sezilarli darajada soddalashtiradi va ko'p vaqtni tejaydi.

O'quvchi asosiy geometrik tushunchalar va raqamlar bilan tanish deb taxmin qilinadi: nuqta, chiziq, tekislik, uchburchak, parallelogramm, parallelepiped, kub va boshqalar. Ba'zi teoremalarni eslab qolish tavsiya etiladi, hech bo'lmaganda Pifagor teoremasi, salom takrorlovchilar)

Va endi biz ketma-ket ko'rib chiqamiz: vektor tushunchasi, vektorlar bilan harakatlar, vektor koordinatalari. Keyinchalik o'qishni tavsiya qilaman eng muhim maqola Vektorlarning nuqta mahsuloti, shu qatorda; shu bilan birga Vektorlarning vektor va aralash mahsuloti. Mahalliy vazifa ortiqcha bo'lmaydi - bu borada segmentning bo'linishi. Yuqoridagi ma'lumotlarga asoslanib, mumkin tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan yechimlarning eng oddiy misollari, bu imkon beradi geometriyadan masalalar yechish usullarini o‘rganish. Quyidagi maqolalar ham foydalidir: Kosmosdagi tekislik tenglamasi, Fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalari, Chiziq va tekislikka oid asosiy masalalar, analitik geometriyaning boshqa bo'limlari. Tabiiyki, yo'lda standart vazifalar ko'rib chiqiladi.

Vektor tushunchasi. bepul vektor

Birinchidan, vektorning maktab ta'rifini takrorlaymiz. Vektor chaqirdi yo'naltirilgan boshi va oxiri ko'rsatilgan segment:

Bunday holda, segmentning boshi nuqta, segmentning oxiri nuqta hisoblanadi. Vektorning o'zi bilan belgilanadi. Yo'nalish juda muhim, agar siz segmentning boshqa uchiga o'qni o'zgartirsangiz, siz vektor olasiz va bu allaqachon butunlay boshqacha vektor. Jismoniy jismning harakati bilan vektor tushunchasini aniqlash qulay: institut eshiklaridan kirish yoki institut eshiklaridan chiqish butunlay boshqa narsalar ekanligini tan olishingiz kerak.

Samolyotning alohida nuqtalarini, fazoni deb atalmish deb hisoblash qulay nol vektor. Bunday vektorning oxiri va boshlanishi bir xil bo'ladi.

!!! Eslatma: Bu erda va pastda vektorlar bir xil tekislikda yotadi deb taxmin qilishingiz mumkin yoki ular kosmosda joylashgan deb taxmin qilishingiz mumkin - taqdim etilgan materialning mohiyati ham tekislik, ham kosmos uchun amal qiladi.

Belgilar: Ko'pchilik darhol belgida o'qsiz tayoqqa e'tibor qaratdi va ular ham tepaga o'q qo'yganliklarini aytishdi! To'g'ri, siz o'q bilan yozishingiz mumkin: , lekin ruxsat etiladi va keyinroq ishlatadigan yozuv. Nega? Ko'rinishidan, bunday odat amaliy mulohazalardan kelib chiqqan holda, maktab va universitetdagi otishmalarim juda xilma-xil va shaggy bo'lib chiqdi. O'quv adabiyotlarida ular ba'zan mixxat yozuvlari bilan umuman bezovta qilmaydilar, lekin qalin harflarni ajratib ko'rsatishadi: , bu vektor ekanligini anglatadi.

Bu uslub edi va endi vektorlarni yozish usullari haqida:

1) Vektorlarni ikkita katta lotin harflari bilan yozish mumkin:
va boshqalar. Birinchi harf bo'lganda albatta vektorning boshlanish nuqtasini, ikkinchi harf esa vektorning oxirgi nuqtasini bildiradi.

2) Vektorlar ham kichik lotin harflari bilan yoziladi:
Xususan, bizning vektorimiz qisqalik uchun kichik lotin harfi bilan qayta belgilanishi mumkin.

Uzunlik yoki modul nolga teng bo'lmagan vektor segment uzunligi deb ataladi. Null vektorning uzunligi nolga teng. Mantiqan.

Vektor uzunligi modul belgisi bilan belgilanadi: ,

Vektor uzunligini qanday topish mumkin, biz birozdan keyin bilib olamiz (yoki takrorlaymiz, kim uchun qanday).

Bu barcha maktab o'quvchilariga tanish bo'lgan vektor haqida oddiy ma'lumot edi. Analitik geometriyada shunday deyiladi bepul vektor.

Agar bu juda oddiy bo'lsa - vektor istalgan nuqtadan chizilishi mumkin:

Biz ilgari bunday vektorlarni teng deb ataganmiz (teng vektorlarning ta'rifi quyida keltirilgan), ammo sof matematik nuqtai nazardan, bu BU SHUN VEKTOR yoki bepul vektor. Nega bepul? Chunki muammolarni yechish jarayonida siz u yoki bu vektorni samolyot yoki fazoning istalgan nuqtasiga “biriktirishingiz” mumkin. Bu juda ajoyib mulk! Ixtiyoriy uzunlik va yo'nalishdagi vektorni tasavvur qiling - uni cheksiz ko'p marta va kosmosning istalgan nuqtasida "klonlash" mumkin, aslida u HAR YERDA mavjud. Talabalarning shunday maqollari bor: Vektorda f ** u dagi har bir o'qituvchi. Axir, shunchaki aqlli qofiya emas, hamma narsa matematik jihatdan to'g'ri - u erda vektor ham biriktirilishi mumkin. Ammo xursand bo'lishga shoshilmang, talabalarning o'zlari ko'proq azob chekishadi =)

Shunday qilib, bepul vektor- Bu bir guruh bir xil yo'nalishli segmentlar. Paragrafning boshida berilgan vektorning maktab ta'rifi: "Yo'naltirilgan segment vektor deb ataladi ..." xos ma'lum to'plamdan olingan, tekislik yoki fazoning ma'lum bir nuqtasiga biriktirilgan yo'naltirilgan segment.

Shuni ta'kidlash kerakki, fizika nuqtai nazaridan erkin vektor tushunchasi umuman noto'g'ri va vektorni qo'llash nuqtasi muhimdir. Haqiqatan ham, mening ahmoqona misolimni rivojlantirish uchun burunga yoki peshonaga bir xil kuchning to'g'ridan-to'g'ri zarbasi etarli bo'lib, turli oqibatlarga olib keladi. Biroq, bepul emas vektorlar ham vyshmat kursida topiladi (u erga bormang :)).

Vektorlar bilan amallar. Vektorlarning kollinearligi

Maktab geometriya kursida vektorlar bilan bir qator harakatlar va qoidalar ko'rib chiqiladi: uchburchak qoidasiga ko‘ra qo‘shish, parallelogramma qoidasiga ko‘ra qo‘shish, vektorlar ayirmasi qoidasi, vektorni songa ko‘paytirish, vektorlarning skalar ko‘paytmasi va hokazo. Urug' sifatida biz analitik geometriya muammolarini hal qilish uchun ayniqsa dolzarb bo'lgan ikkita qoidani takrorlaymiz.

Uchburchaklar qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shish qoidasi

Ikki ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektorni ko'rib chiqing va:

Bu vektorlarning yig'indisini topish talab qilinadi. Barcha vektorlar bepul deb hisoblanganligi sababli, biz vektorni keyinga qoldiramiz oxiri vektor:

Vektorlar yig'indisi vektordir. Qoidani yaxshiroq tushunish uchun unga jismoniy ma'no qo'yish tavsiya etiladi: ba'zi bir jism vektor bo'ylab yo'l tutsin, keyin esa vektor bo'ylab . Keyin vektorlar yig'indisi chiqish nuqtasidan boshlanib, kelish nuqtasida tugaydigan natijada yo'lning vektoridir. Shunga o'xshash qoida har qanday vektorlar yig'indisi uchun tuzilgan. Ular aytganidek, tana kuchli zigzag yoki avtopilotda - natijada olingan yig'indi vektori bo'ylab borishi mumkin.

Aytgancha, agar vektor dan kechiktirilsa boshlash vektor , keyin biz ekvivalentni olamiz parallelogramma qoidasi vektorlarni qo'shish.

Birinchidan, vektorlarning kollinearligi haqida. Ikki vektor deyiladi kollinear agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa. Taxminan aytganda, biz parallel vektorlar haqida gapiramiz. Ammo ularga nisbatan "kollinear" sifatdoshi doimo ishlatiladi.

Ikki kollinear vektorni tasavvur qiling. Agar bu vektorlarning o'qlari bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, unda bunday vektorlar deyiladi qo'shma yo'nalish. Agar o'qlar turli yo'nalishlarga qarasa, u holda vektorlar bo'ladi qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Belgilar: vektorlarning kollinearligi odatiy parallellik belgisi bilan yoziladi: , detallashtirish mumkin bo'lsa: (vektorlar birgalikda yo'naltirilgan) yoki (vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan).

ish nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi ga teng bo'lgan vektor va vektorlari ga birgalikda va teskari yo'naltirilgan.

Vektorni raqamga ko'paytirish qoidasini rasm bilan tushunish osonroq:

Biz batafsilroq tushunamiz:

1) Yo'nalish. Agar multiplikator manfiy bo'lsa, u holda vektor yo‘nalishini o‘zgartiradi teskarisiga.

2) Uzunlik. Agar omil yoki ichida bo'lsa, u holda vektor uzunligi kamayadi. Shunday qilib, vektor uzunligi vektor uzunligidan ikki baravar kam. Agar modul ko'paytmasi birdan katta bo'lsa, u holda vektor uzunligi ortadi o'z vaqtida.

3) E'tibor bering barcha vektorlar kollineardir, bir vektor boshqasi orqali ifodalangan bo'lsa, masalan, . Buning teskarisi ham to'g'ri: agar bir vektorni boshqasi bilan ifodalash mumkin bo'lsa, unda bunday vektorlar albatta kollinear bo'ladi. Shunday qilib: agar vektorni raqamga ko'paytirsak, biz kollinear bo'lamiz(asl nusxaga nisbatan) vektor.

4) Vektorlar ko‘p yo‘nalishli. vektorlar ham ko'p yo'nalishli. Birinchi guruhning har qanday vektori ikkinchi guruh vektoriga qarama-qarshidir.

Qanday vektorlar teng?

Ikki vektor bir xil uzunlikda va bir xil yo'nalishli bo'lsa, tengdir. E'tibor bering, birgalikda yo'nalish vektorlarning kollinear ekanligini anglatadi. Agar siz shunday desangiz, ta'rif noto'g'ri (ortiqcha) bo'ladi: "Ikki vektor, agar ular bir-biriga mos keladigan, birgalikda yo'naltirilgan va bir xil uzunlikka ega bo'lsa, tengdir".

Erkin vektor tushunchasi nuqtai nazaridan, teng vektorlar oldingi paragrafda muhokama qilingan bir xil vektordir.

Tekislikdagi va fazodagi vektor koordinatalari

Birinchi nuqta - tekislikdagi vektorlarni ko'rib chiqish. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini chizing va boshlang'ichni chetga surib qo'ying yagona vektorlar va:

Vektorlar va ortogonal. Ortogonal = Perpendikulyar. Men asta-sekin atamalarga o'rganishni tavsiya qilaman: parallellik va perpendikulyarlik o'rniga biz mos ravishda so'zlarni ishlatamiz. kollinearlik va ortogonallik.

Belgilash: vektorlarning ortogonalligi odatiy perpendikulyar belgisi bilan yoziladi, masalan: .

Ko'rib chiqilayotgan vektorlar deyiladi koordinata vektorlari yoki orts. Bu vektorlar hosil bo'ladi asos yuzada. Asos nima, menimcha, ko'pchilik uchun intuitiv tarzda tushunarli, batafsilroq ma'lumotni maqolada topish mumkin. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektor asosi Oddiy so'zlar bilan aytganda, koordinatalarning asosi va kelib chiqishi butun tizimni belgilaydi - bu to'liq va boy geometrik hayot qaynaydigan o'ziga xos poydevordir.

Ba'zan qurilgan asos deyiladi ortonormal tekislikning asosi: "orto" - koordinata vektorlari ortogonal bo'lganligi sababli, "normallashtirilgan" sifatdoshi birlikni anglatadi, ya'ni. bazis vektorlarining uzunliklari birga teng.

Belgilash: asos odatda qavs ichida yoziladi, uning ichida qat'iy tartibda bazis vektorlari keltirilgan, masalan: . Koordinata vektorlari bu taqiqlangan joylarni almashtirish.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l quyidagicha ifodalangan:
, qayerda - raqamlar, deb ataladi vektor koordinatalari shu asosda. Ammo ifodaning o'zi chaqirdi vektor parchalanishiasos .

Kechki ovqat beriladi:

Keling, alifboning birinchi harfidan boshlaylik: . Chizma aniq ko'rsatib turibdiki, vektorni asos bo'yicha parchalashda hozirgina ko'rib chiqilganlardan foydalaniladi:
1) vektorni songa ko'paytirish qoidasi: va ;
2) uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shish: .

Endi samolyotning boshqa har qanday nuqtasidan vektorni aqliy ravishda chetga surib qo'ying. Uning poraxo'rligi "uni tinimsiz kuzatib borishi" aniq. Mana, vektorning erkinligi - vektor "hamma narsani siz bilan olib yuradi". Bu xususiyat, albatta, har qanday vektor uchun to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, asosiy (erkin) vektorlarning o'zlarini kelib chiqishidan chetga surib qo'yish shart emas, birini, masalan, pastki chapda, ikkinchisini esa o'ng tomonda chizish mumkin va bundan hech narsa o'zgarmaydi! To'g'ri, buni qilishning hojati yo'q, chunki o'qituvchi ham o'ziga xoslikni ko'rsatadi va sizni kutilmagan joyda "o'tish" ni tortadi.

Vektorlar , vektorni raqamga ko'paytirish qoidasini aniq ko'rsatib beradi, vektor asos vektor bilan birgalikda yo'naltiriladi, vektor asosiy vektorga qarama-qarshi yo'naltiriladi. Ushbu vektorlar uchun koordinatalardan biri nolga teng, uni quyidagicha sinchkovlik bilan yozish mumkin:


Aytgancha, asosiy vektorlar shunday: (aslida ular o'zlari orqali ifodalanadi).

Va nihoyat: , . Aytgancha, vektorni ayirish nima va nega ayirish qoidasi haqida aytmadim? Chiziqli algebrada qayerda ekanligini eslolmayman, ayirish qo'shishning maxsus holati ekanligini ta'kidladim. Shunday qilib, "de" va "e" vektorlarining kengayishi xotirjamlik bilan yig'indi sifatida yoziladi: . Terminlarni joylarda qayta joylashtiring va uchburchak qoidasiga ko'ra eski vektor qo'shilishi bu holatlarda qanchalik aniq ishlashini chizmaga rioya qiling.

Shaklning ko'rib chiqilishi ba'zan vektor parchalanishi deb ataladi tizimda or(ya'ni birlik vektorlar tizimida). Ammo bu vektor yozishning yagona usuli emas, quyidagi variant keng tarqalgan:

Yoki tenglik belgisi bilan:

Bazis vektorlarining o'zi quyidagicha yoziladi: va

Ya'ni vektorning koordinatalari qavs ichida ko'rsatilgan. Amaliy topshiriqlarda ro'yxatga olishning uchta varianti ham qo'llaniladi.

Gapirishga shubha qildim, lekin baribir aytaman: vektor koordinatalarini qayta tartibga solish mumkin emas. Birinchi o'rinda qat'iy birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozing, qat'iy ikkinchi o'rinda birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozing. Haqiqatan ham, va ikki xil vektor.

Samolyotdagi koordinatalarni aniqladik. Endi uch o'lchamli fazodagi vektorlarni ko'rib chiqing, bu erda hamma narsa deyarli bir xil! Faqat bitta koordinata qo'shiladi. Uch o'lchovli chizmalarni bajarish qiyin, shuning uchun men o'zimni bitta vektor bilan cheklayman, soddaligi uchun men koordinatalarning kelib chiqishini kechiktiraman:

Har qanday 3D kosmik vektor yagona yo'l ortonormal asosda kengaytiring:
, bu yerda berilgan asosdagi vektor (son) koordinatalari.

Rasmdan misol: . Keling, bu erda vektor harakati qoidalari qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Birinchidan, vektorni raqamga ko'paytirish: (qizil o'q), (yashil o'q) va (qizil o'q). Ikkinchidan, bir nechta, bu holda uchta vektorni qo'shish misoli: . Yig'indi vektor jo'nashning boshlang'ich nuqtasidan (vektorning boshlanishi) boshlanadi va yakuniy kelish nuqtasida (vektorning oxiri) tugaydi.

Uch o'lchovli makonning barcha vektorlari, albatta, erkindir, vektorni boshqa har qanday nuqtadan aqliy ravishda kechiktirishga harakat qiling va siz uning kengayishi "u bilan qolishini" tushunasiz.

Xuddi shunday samolyot ishi, yozishdan tashqari qavsli versiyalar keng qo'llaniladi: yoki .

Agar kengaytirishda bitta (yoki ikkita) koordinata vektori etishmayotgan bo'lsa, uning o'rniga nollar qo'yiladi. Misollar:
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) - yozib oling;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) - yozib oling;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) - yozing.

Bazis vektorlar quyidagicha yoziladi:

Bu erda, ehtimol, analitik geometriya muammolarini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha minimal nazariy bilimlar mavjud. Ehtimol, atamalar va ta'riflar juda ko'p, shuning uchun men qo'g'irchoqlarga ushbu ma'lumotni qayta o'qish va tushunishni tavsiya qilaman. Va har qanday o'quvchi uchun materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun vaqti-vaqti bilan asosiy darsga murojaat qilish foydali bo'ladi. Kollinearlik, ortogonallik, ortonormal asos, vektor dekompozitsiyasi - bu va boshqa tushunchalar ko'pincha keyingi ishlarda qo'llaniladi. Shuni ta'kidlaymanki, sayt materiallari nazariy testdan, geometriya bo'yicha kollokviumdan o'tish uchun etarli emas, chunki men barcha teoremalarni diqqat bilan shifrlayman (dalillarsiz bundan tashqari) - taqdimotning ilmiy uslubiga zarar etkazadi, ammo tushunishingiz uchun ortiqcha. mavzudan. Batafsil nazariy ma'lumot uchun professor Atanasyanga ta'zim qilishingizni so'rayman.

Endi amaliy qismga o'tamiz:

Analitik geometriyaning eng oddiy masalalari.
Koordinatalarda vektorlar bilan amallar

Ko'rib chiqiladigan vazifalar, ularni to'liq avtomatik ravishda qanday hal qilishni va formulalarni o'rganish juda ma'qul. yodlab olish, ataylab eslamanglar ham, o'zlari eslab qolishadi =) Bu juda muhim, chunki analitik geometriyaning boshqa masalalari eng oddiy elementar misollarga asoslanadi va piyon yeyishga qo'shimcha vaqt sarflash zerikarli bo'ladi. Ko'ylakning yuqori tugmalarini mahkamlashning hojati yo'q, ko'p narsalar sizga maktabdan tanish.

Materialning taqdimoti parallel ravishda amalga oshiriladi - samolyot uchun ham, kosmos uchun ham. Chunki barcha formulalar ... o'zingiz ko'rasiz.

Ikki nuqta berilgan vektorni qanday topish mumkin?

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Agar fazoda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Ya'ni, vektor oxirining koordinatalaridan tegishli koordinatalarni olib tashlashingiz kerak vektor boshlanishi.

Mashq qilish: Xuddi shu nuqtalar uchun vektorning koordinatalarini topish formulalarini yozing. Dars oxiridagi formulalar.

1-misol

Tekislikda ikkita nuqta berilgan va . Vektor koordinatalarini toping

Qaror: tegishli formula bo'yicha:

Shu bilan bir qatorda, quyidagi belgidan foydalanish mumkin:

Aesthetes shunday qaror qabul qiladi:

Shaxsan men rekordning birinchi versiyasiga o‘rganib qolganman.

Javob:

Shartga ko'ra, chizma yaratish shart emas edi (bu analitik geometriya muammolari uchun odatiy), ammo ba'zi fikrlarni manikyurlarga tushuntirish uchun men dangasa bo'lmayman:

Tushunish kerak nuqta koordinatalari va vektor koordinatalari o'rtasidagi farq:

Nuqta koordinatalari to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi odatiy koordinatalardir. Menimcha, 5-6-sinflardan boshlab hamma nuqtalarni koordinata tekisligida qanday chizishni biladi. Har bir nuqtaning samolyotda qat'iy o'rni bor va ularni hech qanday joyga ko'chirish mumkin emas.

Xuddi shu vektorning koordinatalari asosga nisbatan uning kengayishi, bu holda. Har qanday vektor bepul, shuning uchun agar kerak bo'lsa, biz uni tekislikning boshqa nuqtasidan osongina kechiktirishimiz mumkin. Qizig'i shundaki, vektorlar uchun siz o'qlarni umuman qura olmaysiz, to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, sizga faqat asos kerak, bu holda tekislikning ortonormal asosi.

Nuqta koordinatalari va vektor koordinatalarining yozuvlari o'xshash ko'rinadi: , va koordinatalar hissi mutlaqo boshqacha, va siz bu farqni yaxshi bilishingiz kerak. Bu farq, albatta, kosmosga ham tegishli.

Xonimlar va janoblar, biz qo'llarimizni to'ldiramiz:

2-misol

a) Berilgan nuqtalar va. Vektorlarni toping va .
b) Ballar beriladi va . Vektorlarni toping va .
c) Berilgan nuqtalar va . Vektorlarni toping va .
d) Ballar beriladi. Vektorlarni toping .

Balki yetarli. Bular mustaqil qaror uchun misollar, ularni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling, bu o'z samarasini beradi ;-). Chizmalar talab qilinmaydi. Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Analitik geometriya masalalarini yechishda nima muhim?“Ikki ortiqcha ikki nolga teng” degan mohirona xatoga yo'l qo'ymaslik uchun O'TA Ehtiyotkor bo'lish muhimdir. Agar xato qilgan bo'lsam oldindan uzr so'rayman =)

Segment uzunligini qanday topish mumkin?

Uzunlik, yuqorida aytib o'tilganidek, modul belgisi bilan ko'rsatilgan.

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, u holda segment uzunligini formula bo'yicha hisoblash mumkin

Agar fazoda ikkita nuqta va berilgan bo'lsa, u holda segment uzunligini formula bo'yicha hisoblash mumkin

Eslatma: Tegishli koordinatalar almashtirilsa, formulalar to'g'ri bo'lib qoladi: va , lekin birinchi variant standartroq

3-misol

Qaror: tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aniqlik uchun men rasm chizaman

Chiziq segmenti - bu vektor emas, va siz uni hech qanday joyga ko'chira olmaysiz, albatta. Bundan tashqari, agar siz chizmani masshtabga to'ldirsangiz: 1 birlik. \u003d 1 sm (ikkita tetrad hujayra), keyin javobni segment uzunligini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash orqali oddiy o'lchagich bilan tekshirish mumkin.

Ha, yechim qisqa, lekin unda men aniqlab bermoqchi bo'lgan bir nechta muhim fikrlar mavjud:

Birinchidan, javobda biz o'lchamni o'rnatamiz: "birliklar". Shart NIMA ekanligini, millimetr, santimetr, metr yoki kilometrni aytmaydi. Shuning uchun, umumiy formula matematik jihatdan to'g'ri echim bo'ladi: "birliklar" - "birliklar" deb qisqartiriladi.

Ikkinchidan, maktab materialini takrorlaymiz, bu nafaqat ko'rib chiqilgan muammo uchun foydalidir:

e'tibor bering muhim texnik hiyla – multiplikatorni ildiz ostidan chiqarib olish. Hisob-kitoblar natijasida biz natijaga erishdik va yaxshi matematik uslub omilni ildiz ostidan olib tashlashni o'z ichiga oladi (agar iloji bo'lsa). Jarayon batafsilroq quyidagicha ko'rinadi: . Albatta, javobni shaklda qoldirish xato bo'lmaydi - lekin bu, albatta, kamchilik va o'qituvchi tomonidan nitpikka uchun jiddiy dalil.

Mana boshqa keng tarqalgan holatlar:

Ko'pincha, masalan, ildiz ostida etarlicha katta raqam olinadi. Bunday hollarda qanday bo'lish kerak? Kalkulyatorda raqam 4 ga bo'linishini tekshiramiz:. Ha, butunlay bo'linib, shunday qilib: . Yoki bu raqamni yana 4 ga bo'lish mumkinmi? . Shunday qilib: . Raqamning oxirgi raqami toq, shuning uchun uchinchi marta 4 ga bo'linish mumkin emas. To'qqizga bo'lishga urinish: . Natijada:
Tayyor.

Xulosa: agar ildiz ostida biz chiqarib bo'lmaydigan butun sonni olsak, u holda biz koeffitsientni ildiz ostidan olib tashlashga harakat qilamiz - kalkulyatorda bu raqam 4, 9, 16, 25, 36, 49 ga bo'linishini tekshiramiz. , va boshqalar.

Turli muammolarni hal qilishda ko'pincha ildizlar topiladi, o'qituvchining fikriga ko'ra yechimlarni yakunlashda past ball va keraksiz muammolarga yo'l qo'ymaslik uchun har doim ildiz ostidan omillarni ajratib olishga harakat qiling.

Keling, bir vaqtning o'zida ildizlar va boshqa kuchlarning kvadratini takrorlaymiz:

Umumiy shakldagi darajali harakatlar qoidalarini algebra bo'yicha maktab darsligida topish mumkin, ammo menimcha, hamma narsa yoki deyarli hamma narsa berilgan misollardan aniq.

Kosmosdagi segmentli mustaqil yechim uchun vazifa:

4-misol

Berilgan ball va . Segment uzunligini toping.

Dars oxirida yechim va javob.

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Agar tekislik vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi.

Agar fazo vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi .

Standart ta'rif: "Vektor yo'naltirilgan chiziq segmentidir." Odatda bu bitiruvchining vektorlar haqidagi bilimining chegarasi. Qandaydir "yo'naltirilgan segmentlar" kimga kerak?

Lekin aslida vektorlar nima va ular nima uchun?
Ob-havo bashorati. – Shimoli-g‘arbiy shamol tezligi sekundiga 18 metr. Qabul qiling, shamol yo'nalishi (u qayerdan esadi) va uning tezligi moduli (ya'ni mutlaq qiymati) ham muhimdir.

Yo'nalishi bo'lmagan kattaliklar skalyarlar deyiladi. Massa, ish, elektr zaryad hech qaerga yo'naltirilmaydi. Ular faqat raqamli qiymat bilan tavsiflanadi - "qancha kilogramm" yoki "qancha joul".

Faqat mutlaq qiymatga emas, balki yo`nalishga ham ega bo`lgan fizik kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Tezlik, kuch, tezlanish - vektorlar. Ular uchun "qanchalik" muhim va "qaerda" muhim. Masalan, erkin tushish tezlanishi Yer yuzasiga qarab yo’nalgan bo’lib, uning qiymati 9,8 m/s 2 ga teng. Momentum, elektr maydon kuchi, magnit maydon induksiyasi ham vektor kattaliklari hisoblanadi.

Esingizda bo'lsa, jismoniy miqdorlar lotin yoki yunoncha harflar bilan belgilanadi. Harf ustidagi strelka miqdor vektor ekanligini ko'rsatadi:

Mana yana bir misol.
Mashina A dan B ga harakatlanmoqda. Yakuniy natija uning A nuqtadan B nuqtasiga harakati, ya'ni vektor tomonidan harakatlanishi .

Endi nima uchun vektor yo'naltirilgan segment ekanligi aniq bo'ldi. E'tibor bering, vektorning oxiri o'q joylashgan joyda. Vektor uzunligi bu segmentning uzunligi deyiladi. Belgilangan: yoki

Biz hozirgacha arifmetik va elementar algebra qoidalariga asosan skalyar miqdorlar bilan ishladik. Vektorlar yangi tushunchadir. Bu matematik ob'ektlarning yana bir sinfidir. Ularning o'z qoidalari bor.

Bir paytlar biz raqamlar haqida ham bilmasdik. Ular bilan tanishish boshlang'ich sinflardan boshlangan. Ma'lum bo'lishicha, raqamlarni bir-biri bilan solishtirish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin. Biz bir raqam va nol soni borligini bilib oldik.
Endi biz vektorlar bilan tanishamiz.

Vektorlar uchun "kattaroq" va "kamroq" tushunchalari mavjud emas - axir, ularning yo'nalishlari boshqacha bo'lishi mumkin. Siz faqat vektorlarning uzunliklarini solishtirishingiz mumkin.

Ammo vektorlar uchun tenglik tushunchasi.
Teng bir xil uzunlik va bir xil yo'nalishga ega vektorlar. Bu vektorni o'ziga parallel ravishda tekislikning istalgan nuqtasiga ko'chirish mumkinligini anglatadi.
yagona uzunligi 1 ga teng vektor deyiladi. Nol - uzunligi nolga teng bo'lgan vektor, ya'ni uning boshlanishi oxiriga to'g'ri keladi.

To'rtburchaklar koordinata tizimidagi vektorlar bilan ishlash eng qulaydir - bunda biz funktsiya grafiklarini chizamiz. Koordinatalar sistemasidagi har bir nuqta ikkita raqamga mos keladi - uning x va y koordinatalari, abscissa va ordinatasi.
Vektor ikkita koordinata bilan ham berilgan:

Bu erda vektorning koordinatalari qavs ichida - x va y ichida yoziladi.
Ularni topish oson: vektorning oxiri koordinatasi minus uning boshlanishi koordinatasi.

Agar vektor koordinatalari berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha topiladi

Vektor qo'shilishi

Vektorlarni qo'shishning ikki yo'li mavjud.

bitta. parallelogramma qoidasi. va vektorlarini qo'shish uchun ikkalasining kelib chiqishini bir nuqtaga joylashtiramiz. Biz parallelogrammani yakunlaymiz va parallelogrammaning diagonalini xuddi shu nuqtadan chizamiz. Bu vektorlarning yig'indisi bo'ladi va .

Oqqush, saraton va pike haqidagi ertakni eslaysizmi? Ular juda ko'p harakat qilishdi, lekin ular hech qachon aravani qimirlamadilar. Axir ular tomonidan aravaga tatbiq etilgan kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng edi.

2. Vektorlarni qo'shishning ikkinchi usuli - uchburchak qoidasi. Keling, bir xil vektorlarni olaylik va . Birinchi vektorning oxiriga ikkinchisining boshini qo'shamiz. Keling, birinchisining boshini va ikkinchisining oxirini bog'laymiz. Bu vektorlarning yig'indisi va .

Xuddi shu qoidaga ko'ra, siz bir nechta vektorlarni qo'shishingiz mumkin. Biz ularni birma-bir biriktiramiz, so'ngra birinchisining boshini oxirgisining oxiriga bog'laymiz.

Tasavvur qiling-a, siz A nuqtadan B nuqtaga, B dan C ga, C dan D ga, keyin E ga, keyin esa F ga borasiz. Ushbu harakatlarning yakuniy natijasi A dan F ga o'tishdir.

Vektorlarni qo'shganda biz quyidagilarni olamiz:

Vektor ayirish

Vektor vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan. va vektorlarining uzunliklari teng.

Endi vektorlarni ayirish nima ekanligi aniq. vektorlarning farqi vektor va vektor yig'indisidir.

Vektorni raqamga ko'paytirish

Vektorni k soniga ko'paytirish natijasida uzunligi k marta uzunlikdan farq qiladigan vektor paydo bo'ladi. Agar k noldan katta bo'lsa, u vektor bilan ko'proq yo'nalishli, agar k noldan kichik bo'lsa, teskari yo'naltiriladi.

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Vektorlarni faqat raqamlar bilan emas, balki bir-biri bilan ham ko'paytirish mumkin.

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslarining mahsulotidir.

E'tibor bering - biz ikkita vektorni ko'paytirdik va biz skalar, ya'ni raqamni oldik. Masalan, fizikada mexanik ish ikki vektorning skalyar mahsulotiga teng - kuch va siljish:

Agar vektorlar perpendikulyar bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti nolga teng.
Skayar mahsulot vektorlarning koordinatalari bilan quyidagicha ifodalanadi va:

Skayar mahsulot formulasidan vektorlar orasidagi burchakni topishingiz mumkin:

Bu formula ayniqsa stereometriyada qulaydir. Masalan, matematikadan “Profile USE”ning 14-masalasida kesishuvchi chiziqlar orasidagi yoki chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish kerak. 14-masala ko'pincha vektor usuli bilan klassik usulga qaraganda bir necha marta tezroq hal qilinadi.

Matematikaning maktab dasturida faqat vektorlarning skalyar ko‘paytmasi o‘rganiladi.
Ma’lum bo‘lishicha, ikkita vektorni ko‘paytirish natijasida vektor olinganda, skalyardan tashqari vektor ko‘paytma ham mavjud. Kim fizikadan imtihon topshirsa, Lorentz kuchi va Amper kuchi nima ekanligini biladi. Ushbu kuchlarni topish uchun formulalar aynan vektor mahsulotlarini o'z ichiga oladi.

Vektorlar juda foydali matematik vositadir. Bunga birinchi kursda ishonch hosil qilasiz.

2018 Olshevskiy Andrey Georgievich

Veb-sayt kitoblar bilan to'ldirilgan, siz kitoblarni yuklab olishingiz mumkin

Tekislikdagi va fazodagi vektorlar, masalalar yechish usullari, misollar, formulalar

Kosmosdagi 1 vektor

Kosmosdagi vektorlarga geometriya 10, sinf 11 va analitik geometriya kiradi. Vektorlar imtihonning ikkinchi qismining geometrik masalalarini va fazoda analitik geometriyani samarali hal qilish imkonini beradi. Fazodagi vektorlar tekislikdagi vektorlar kabi berilgan, lekin uchinchi koordinata z hisobga olinadi. Uchinchi o'lchov fazosida vektorlardan chiqarib tashlash, 8, 9 sinf geometriyasini tushuntiruvchi tekislikdagi vektorlarni beradi.

1.1 Samolyotda va fazoda vektor

Vektor - bu rasmdagi o'q bilan ko'rsatilgan boshi va oxiri bo'lgan yo'naltirilgan segment. Fazodagi ixtiyoriy nuqtani null vektor deb hisoblash mumkin. Nol vektorning o'ziga xos yo'nalishi yo'q, chunki boshi va oxiri bir xil, shuning uchun unga istalgan yo'nalish berilishi mumkin.

Ingliz tilidan tarjima qilingan vektor vektor, yo'nalish, kurs, yo'l-yo'riq, yo'nalishni sozlash, samolyot sarlavhasini anglatadi.

Nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi (modul) AB segmentining uzunligi bo'lib, u bilan belgilanadi.
. Vektor uzunligi belgilangan . Nol vektor uzunligi nolga teng = 0.

Kollinear vektorlar nolga teng bo'lmagan vektorlar bo'lib, ular bir chiziqda yoki parallel to'g'rilarda yotadilar.

Nol vektor har qanday vektor uchun kollineardir.

Bir yo'nalishga ega bo'lgan nolga teng bo'lmagan kollinear vektorlar deyiladi. Ko'p yo'nalishli vektorlar bilan belgilanadi. Misol uchun, agar vektor vektor bilan ko'proq yo'nalishli bo'lsa , keyin belgi ishlatiladi.

Nol vektor har qanday vektor bilan koordinatsiyali.

Qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lgan ikkita kollinear nolga teng bo'lmagan vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan. Qarama-qarshi yo'naltirilgan vektorlar ↓ bilan belgilanadi. Masalan, vektor vektorga qarama-qarshi bo'lsa, u holda ↓ belgisi qo'llaniladi.

Bir xil uzunlikdagi koordinatsion vektorlar teng deyiladi.

Ko'pgina jismoniy miqdorlar vektor kattaliklari: kuch, tezlik, elektr maydon.

Agar vektorni qo'llash nuqtasi (boshi) belgilanmagan bo'lsa, u holda u o'zboshimchalik bilan tanlanadi.

Agar vektorning boshi O nuqtaga joylashtirilsa, u holda vektor O nuqtadan keyinga surilgan deb hisoblanadi. Istalgan nuqtadan berilgan vektorga teng bitta vektor chizilishi mumkin.

1.2 Vektorlar yig'indisi

Uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shganda 1-vektor chiziladi, uning oxiridan 2-vektor chiziladi va bu ikki vektor yig'indisi 1-vektorning boshidan 2-vektorning oxirigacha chizilgan vektor 3:

Ixtiyoriy A, B va C nuqtalari uchun vektorlar yig'indisini yozishingiz mumkin:

+
=

Agar ikkita vektor bir nuqtadan boshlansa

keyin ularni parallelogramm qoidasiga ko'ra qo'shish yaxshidir.

Paralelogramma qoidasiga ko'ra ikkita vektor qo'shilsa, qo'shilgan vektorlar bir nuqtadan ajratiladi, bir vektorning oxiriga boshqasining boshini qo'llash orqali bu vektorlarning uchlaridan parallelogramma tugallanadi. Qo'shilgan vektorlarning boshlang'ich nuqtasidan kelib chiqqan parallelogramma diagonali tomonidan hosil qilingan vektor vektorlarning yig'indisi bo'ladi.

Parallelogramma qoidasi uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shishning boshqa tartibini o'z ichiga oladi.

Vektor qo'shish qonunlari:

1. Kommutativ qonun + = + .

2. Assotsiativ qonun ( + ) + = + ( + ).

Agar bir nechta vektor qo‘shish zarur bo‘lsa, vektorlar juft bo‘lib yoki ko‘pburchak qoidasiga ko‘ra qo‘shiladi: 2-vektor 1-vektorning oxiridan, 3-vektor 2-vektorning oxiridan, 4-vektor - vektor. 3-vektorning oxiri, 4-vektorning oxiridan 5-vektor chiziladi va hokazo. Bir nechta vektorlarning yig'indisi bo'lgan vektor 1-vektorning boshidan oxirgi vektorning oxirigacha chiziladi.

Vektor qo'shish qonunlariga ko'ra, vektor qo'shish tartibi bir nechta vektorlarning yig'indisi bo'lgan natijaviy vektorga ta'sir qilmaydi.

Qarama-qarshi uzunlikdagi ikkita nolga teng bo'lmagan qarama-qarshi yo'naltirilgan vektorlar. Vektor - vektorga qarama-qarshidir

Bu vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan va mutlaq qiymatga teng.

1.3 Vektor farqi

Vektorlar ayirmasi vektorlar yig'indisi sifatida yozilishi mumkin

- = + (-),

bu erda "-" vektorga qarama-qarshi vektor.

Vektorlar va - uchburchak yoki parallelogramm qoidasiga ko'ra qo'shilishi mumkin.

Vektorlar va bo'lsin

Vektorlar farqini topish uchun - vektor quramiz -

Biz vektorlarni qo'shamiz va - uchburchak qoidasiga ko'ra, vektorning boshini - vektorning oxiriga qo'llagan holda, biz + (-) = - vektorini oldik.

Biz vektorlarni qo'shamiz va - parallelogramm qoidasiga ko'ra, vektorlarning boshlanishini kechiktiramiz va - bir nuqtadan.

Agar vektorlar bir xil nuqtadan kelib chiqsa

,

keyin vektorlar farqi - ularning uchlarini bog'lovchi vektorni beradi va natijada olingan vektorning oxiridagi o'q ikkinchi vektor ayiriladigan vektor yo'nalishi bo'yicha joylashtiriladi.

Quyidagi rasmda vektorlarning qo'shilishi va farqi ko'rsatilgan

Quyidagi rasmda vektorlarning turli yo'llar bilan qo'shilishi va farqi ko'rsatilgan.

Vazifa. Berilgan vektorlar va .

Vektorlarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarida barcha mumkin bo'lgan usullarda vektorlarning yig'indisi va ayirmasini chizing.

1.4 Kollinear vektor lemmasi

= k

1.5 Vektorni songa ko'paytirish

Nolga teng bo'lmagan vektorning k soniga ko'paytmasi vektorga kollinear = k vektorni beradi. Vektor uzunligi:

| | = |k |·| |

Agar a k > 0, keyin vektorlar va koordinatali.

Agar a k = 0, u holda vektor nolga teng.

Agar a k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Agar | k | = 1, keyin vektorlari teng uzunlikda.

Agar a k = 1, keyin va teng vektorlar.

Agar a k = -1, keyin qarama-qarshi vektorlar.

Agar | k | > 1 bo'lsa, vektor uzunligi vektor uzunligidan kattaroqdir.

Agar a k > 1, u holda vektorlar va koordinatali va uzunligi vektor uzunligidan kattaroqdir.

Agar a k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Agar | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Agar 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Agar -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Nol vektorning raqamga ko'paytmasi nol vektorni beradi.

Vazifa. Vektor berilgan.

2 , -3 , 0,5 , -1,5 vektorlarni tuzing.

Vazifa. Berilgan vektorlar va .

3 + 2 , 2 - 2 , -2 - vektorlarini tuzing.

Vektorni songa ko'paytirishni tavsiflovchi qonunlar

1. Kombinatsiya qonuni (kn) = k (n)

2. Birinchi taqsimot qonuni k ( + ) = k + k .

3. Ikkinchi taqsimot qonuni (k + n) = k + n.

Kollinear vektorlar uchun va agar ≠ 0 bo'lsa, vektorni quyidagi shartlarda ifodalashga imkon beruvchi bitta k soni mavjud:

= k

1.6 Koplanar vektorlar

Koplanar vektorlar bir tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotadigan vektorlardir. Agar siz bir nuqtadan berilgan koplanar vektorlarga teng vektorlarni chizsangiz, ular bir xil tekislikda yotadi. Demak, bir tekislikda teng vektorlar yotsa, vektorlar koplanar deyiladi, deyishimiz mumkin.

Ikki ixtiyoriy vektor har doim koplanardir. Uch vektor koplanar bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Kamida ikkitasi kollinear bo'lgan uchta vektor koplanardir. Kollinear vektorlar har doim koplanar bo'ladi.

1.7 Vektorning ikkita kollinear bo'lmagan vektorda parchalanishi

Har qanday vektor tekislikda ikkita kollinear nolga teng bo'lmagan vektorlarda yagona parchalanadi va faqat x va y kengayish koeffitsientlari bilan:

= x+y

Har qanday vektor nol bo'lmagan vektorlarga o'xshash va ikkita kollinear bo'lmagan vektorlarda va noyob kengayish koeffitsientlari x va y bilan noyob tarzda parchalanadi:

= x+y

Berilgan vektorni tekislikda berilgan kollinear bo'lmagan vektorlarga ko'ra kengaytiramiz va:

Berilgan koplanar vektorlarni bir nuqtadan chizing

Vektorning oxiridan vektorlarga parallel va vektorlar orqali o'tkaziladigan chiziqlar bilan kesishgan joylarga parallel chiziqlar chizamiz. Paralelogramma oling

Paralelogramma tomonlarining uzunliklari vektorlarning uzunliklarini va x va y raqamlariga ko'paytirish yo'li bilan olinadi, ular parallelogramm tomonlarining uzunliklarini mos vektorlarning uzunliklariga bo'lish yo'li bilan aniqlanadi va. Berilgan kollinear bo'lmagan vektorlarda vektorning parchalanishini olamiz va:

= x+y

Yechilayotgan masalada x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, demak vektorning berilgan kollinear bo‘lmagan vektorlarda kengayishi va quyidagicha yozish mumkin.

1,3 + 1,9 .

Yechilayotgan masalada x ≈ 1,3, y ≈ -1,9 ga teng, shuning uchun berilgan kollinear bo'lmagan vektorlarda vektorning kengayishi va quyidagicha yozish mumkin.

1,3 - 1,9 .

1.8 Quti qoidasi

Parallelepiped - qarama-qarshi yuzlari parallel tekisliklarda joylashgan ikkita teng parallelogrammadan iborat bo'lgan uch o'lchamli figura.

Paralelepiped qoidasi bir nuqtadan chizilgan uchta tekis bo'lmagan vektorni qo'shishga va parallelepipedni qurishga imkon beradi, shunda yig'ilgan vektorlar uning qirralarini hosil qiladi va parallelepipedning qolgan qirralari mos ravishda parallel va hosil bo'lgan qirralarning uzunligiga teng bo'ladi. yig'ilgan vektorlar bo'yicha. Parallelepipedning diagonali vektorni hosil qiladi, u berilgan uchta vektorning yig'indisi bo'lib, u qo'shilgan vektorlarning boshlang'ich nuqtasidan boshlanadi.

1.9 Vektorning uchta koplanar bo'lmagan vektorda parchalanishi

Har qanday vektor berilgan uchta koplanar bo'lmagan vektorlarda kengayadi , va bitta kengayish koeffitsientlari bilan x, y, z:

= x + y + z.

1.10 Fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi

Uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oxyz O'ning kelib chiqishi va o'zaro perpendikulyar koordinata o'qlari bilan belgilanadi Ox , Oy va Oz unda kesishgan tanlangan ijobiy yo'nalishlar strelkalar va segmentlarning o'lchov birligi bilan ko'rsatilgan. Agar segmentlarning masshtablari uch o’q bo’yicha bir xil bo’lsa, bunday sistema dekart koordinatalar sistemasi deyiladi.

Koordinata x - abscissa, y - ordinata, z - ilova deyiladi. M nuqta koordinatalari M (x ; y ; z ) qavs ichida yoziladi.

1.11 Kosmosdagi vektor koordinatalari

Kosmosda to'rtburchaklar koordinata tizimini o'rnatamiz Oxyz . Ox , Oy , Oz o'qlarining musbat yo'nalishlari bo'yicha kelib chiqishidan mos keladigan birlik vektorlarini chizamiz. , , , ular koordinata vektorlari deb ataladi va koplanar emas. Shuning uchun, har qanday vektor uchta berilgan koordinatali bo'lmagan vektorga va yagona kengayish koeffitsientlari x, y, z bilan ajralishi mumkin:

= x + y + z.

Kengayish koeffitsientlari x , y , z - berilgan to'rtburchaklar koordinata tizimidagi vektorning koordinatalari bo'lib, ular qavs ichida yoziladi (x ; y ; z ). Nol vektor nolga teng koordinatalarga ega (0; 0; 0). Teng vektorlar uchun mos keladigan koordinatalar tengdir.

Olingan vektorning koordinatalarini topish qoidalari:

1. Ikki yoki undan ortiq vektorni yig’ishda hosil bo’lgan vektorning har bir koordinatasi berilgan vektorlarning mos koordinatalari yig’indisiga teng bo’ladi. Agar ikkita vektor (x 1 ; y 1 ; z 1) va (x 1 ; y 1 ; z 1) berilgan boʻlsa, vektorlar yigʻindisi + koordinatali (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1) vektorni beradi. ; z 1 + z1)

+ = (x 1 + x 1; y 1 + y 1 ; z1 + z1)

2. Farq yig'indining bir turi, shuning uchun tegishli koordinatalar farqi berilgan ikkita vektorni ayirish natijasida olingan vektorning har bir koordinatasini beradi. Agar ikkita vektor (x a ; y a ; z a ) va (x b ; y b ; z b ) berilgan boʻlsa, vektorlar ayirmasi - koordinatali vektorni beradi (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. Vektorni songa ko‘paytirishda hosil bo‘lgan vektorning har bir koordinatasi ushbu sonning berilgan vektorning mos koordinatasiga ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. K soni va vektor (x ; y ; z ) berilgan bo‘lsa, vektorni k soniga ko‘paytirsak, koordinatali k vektor hosil bo‘ladi.

k = (kx ; ky ; kz ).

Vazifa. Vektorlarning koordinatalari (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) bo'lsa = 2 - 3 + 4 vektorning koordinatalarini toping.

Qaror

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektor, radius vektor va nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari vektorning oxiri koordinatalari, agar vektorning boshlanishi koordinata boshida joylashgan bo'lsa.

Radius vektori - koordinatalarning koordinatalari radius vektori va nuqtaning koordinatalari tengdir.

Agar vektor
M 1 (x 1; y 1; z 1) va M 2 (x 2; y 2; z 2) nuqtalar bilan berilgan, u holda uning har bir koordinatasi oxiri va boshining mos keladigan koordinatalari orasidagi farqga teng bo'ladi. vektor

Kollinear vektorlar uchun = (x 1 ; y 1 ; z 1) va = (x 2 ; y 2; z 2), agar ≠ 0 bo'lsa, vektorni quyidagicha ifodalashga imkon beradigan bitta k soni mavjud:

= k

Keyin vektorning koordinatalari vektorning koordinatalari bilan ifodalanadi

= (kx 1; ky1; kz 1)

Kollinear vektorlarning tegishli koordinatalarining nisbati yagona k soniga teng

1.13 Vektor uzunligi va ikki nuqta orasidagi masofa

Vektorning uzunligi (x; y; z) uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.

M 1 (x 1; y 1; z 1) va oxiri M 2 (x 2; y 2; z 2) nuqtalari bilan berilgan vektorning uzunligi yig'indisining kvadrat ildiziga teng. vektor oxiri va boshining mos keladigan koordinatalari orasidagi farqning kvadratlari

Masofa d ikki nuqta orasidagi M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) va M 2 (x 2 ; y 2; z 2) vektor uzunligiga teng

Samolyotda z koordinatasi mavjud emas

M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalari orasidagi masofa

1.14 Segment o'rtasining koordinatalari

Agar nuqta C - segmentning o'rta nuqtasi AB , keyin boshi O nuqtada bo'lgan ixtiyoriy koordinatalar tizimidagi C nuqtaning radius vektori A va B nuqtalarining radius vektorlari yig'indisining yarmiga teng.

Agar vektorlarning koordinatalari
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), u holda har bir vektor koordinatasi vektorlarning mos keladigan koordinatalari yig'indisining yarmiga teng va

,
,

= (x, y, z) =

Segment o'rtasi koordinatalarining har biri segment uchlarining tegishli koordinatalari yig'indisining yarmiga teng.

1.15 Vektorlar orasidagi burchak

Vektorlar orasidagi burchak bir nuqtadan olingan va bu vektorlar bilan birgalikda yo'naltirilgan nurlar orasidagi burchakka teng. Vektorlar orasidagi burchak 0 0 dan 180 0 gacha bo'lishi mumkin. Koordinatsion vektorlar orasidagi burchak 0 0 ga teng. Agar bitta vektor yoki ikkalasi nolga teng bo'lsa, u holda vektorlar orasidagi burchak, hech bo'lmaganda bittasi nolga teng, 0 0 ga teng. Perpendikulyar vektorlar orasidagi burchak 90 0 ga teng. Qarama-qarshi yo'naltirilgan vektorlar orasidagi burchak 180 0 ga teng.

1.16 Vektor proyeksiyasi

1.17 Vektorlarning nuqta mahsuloti

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi vektorlar uzunliklari va vektorlar orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng son (skalar) hisoblanadi.

Agar a = 0 0, u holda vektorlar koordinatali bo'ladi
va
= cos 0 0 = 1, shuning uchun ko'p yo'nalishli vektorlarning skalyar mahsuloti ularning uzunliklari (modullari) ko'paytmasiga teng.

.

Agar vektorlar orasidagi burchak 0 bo'lsa< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, shuning uchun skalyar mahsulot noldan katta
.

Agar nolga teng bo'lmagan vektorlar perpendikulyar bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng
, chunki cos 90 0 = 0. Perpendikulyar vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng.

Agar a
, u holda bunday vektorlar orasidagi burchakning kosinusu noldan kichik bo'ladi
, shuning uchun skalyar mahsulot noldan kichik
.

Vektorlar orasidagi burchak ortishi bilan ular orasidagi burchakning kosinusu oshadi
da kamayadi va minimal qiymatga etadi Vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilganda = 180 0
. cos 180 0 = -1 bo'lgani uchun
. Qarama-qarshi yo'naltirilgan vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning uzunliklarining (modullarining) manfiy mahsulotiga teng.

Vektorning skalyar kvadrati vektor kvadratining moduliga teng

Hech bo'lmaganda bittasi nolga teng bo'lgan vektorlarning skalyar ko'paytmasi nolga teng.

1.18 Vektorlarning skalyar ko'paytmasining fizik ma'nosi

Fizika kursidan ma'lumki, kuchning ishi A tanani harakatlantirganda kuch va siljish vektorlarining uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslarining ko'paytmasiga teng, ya'ni kuch va siljish vektorlarining skalyar ko'paytmasiga teng.

Agar kuch vektori tananing harakati bilan birgalikda yo'naltirilgan bo'lsa, u holda vektorlar orasidagi burchak
= 0 0, shuning uchun kuchning siljishdagi ishi maksimal va A = ga teng
.

Agar 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Agar = 90 0 bo'lsa, u holda kuchning siljishdagi ishi nolga teng A = 0.

Agar 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Agar kuch vektori tananing harakatiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda vektorlar orasidagi burchak = 180 0, shuning uchun kuchning harakatdagi ishi manfiy va A = - ga teng.

Vazifa. Og'irligi 1 tonna bo'lgan yengil avtomobilni ufqqa 30 0 nishab burchagi 1 km uzunlikdagi yo'l bo'ylab ko'tarishda tortishish ishini aniqlang. Bu energiya yordamida 20 0 haroratda qancha litr suv qaynatish mumkin?

Qaror

Ishlash Gravitatsiya jismni harakatlantirganda u vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslarining mahsulotiga teng, ya'ni tortishish va siljish vektorlarining skalyar ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Gravitatsiya

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10 000 N.

= 1000 m.

Vektorlar orasidagi burchak = 1200. Keyin

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sin 30 0 \u003d - 0,5.

O'rinbosar

A \u003d 10 000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5 000 000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Koordinatadagi vektorlarning nuqta ko'paytmasi

Ikki vektorning nuqta mahsuloti = (x 1 ; y 1 ; z 1) va \u003d (x 2; y 2; z 2) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida bir xil nomdagi koordinatalar mahsuloti yig'indisiga teng

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

1.20 Vektorlarning perpendikulyarlik sharti

Agar nolga teng bo'lmagan vektorlar \u003d (x 1; y 1; z 1) va \u003d (x 2; y 2; z 2) perpendikulyar bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng.

Agar nolga teng boʻlmagan bitta vektor = (x 1; y 1; z 1) berilgan boʻlsa, unga perpendikulyar (normal) = (x 2; y 2; z 2) vektorning koordinatalari tenglikni qanoatlantirishi kerak.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Bunday vektorlarning cheksiz soni mavjud.

Agar tekislikda bitta nolga teng bo'lmagan = (x 1; y 1) vektor o'rnatilgan bo'lsa, unga perpendikulyar (normal) = (x 2; y 2) vektorning koordinatalari tenglikni qondirishi kerak.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Agar tekislikka nolga teng bo'lmagan = (x 1 ; y 1) vektor o'rnatilgan bo'lsa, u holda vektorning unga perpendikulyar (normal) koordinatalaridan birini = (x 2 ; y 2) va dan ixtiyoriy ravishda o'rnatish kifoya. vektorlarning perpendikulyarlik sharti

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

vektorning ikkinchi koordinatasini ifodalang.

Misol uchun, agar biz ixtiyoriy x 2 koordinatasini almashtirsak, u holda

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Vektorning ikkinchi koordinatasi

Agar siz x 2 \u003d y 1 ni bersangiz, u holda vektorning ikkinchi koordinatasi

Agar tekislikda nolga teng bo'lmagan = (x 1; y 1) vektor berilgan bo'lsa, unga perpendikulyar (normal) vektor = (y 1; -x 1).

Agar nolga teng bo'lmagan vektorning koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, u holda vektor nolga teng bo'lmagan bir xil koordinataga ega, ikkinchi koordinata esa nolga teng. Bunday vektorlar koordinata o'qlarida yotadi, shuning uchun ular perpendikulyardir.

= (x 1 ; y 1) vektorga perpendikulyar, lekin vektorga qarama-qarshi bo'lgan ikkinchi vektorni aniqlaymiz. , ya'ni vektor - . Keyin vektor koordinatalarining belgilarini o'zgartirish kifoya

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Vazifa.

Qaror

Tekislikdagi = (x 1; y 1) vektorga perpendikulyar ikkita vektorning koordinatalari

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

= (3; -5) vektorining koordinatalarini almashtiramiz.

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

to'g'ri!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

to'g'ri!

Javob: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Agar x 2 = 1 ni belgilasak, o'rniga qo'ying

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

= (x 1; y 1) vektorga perpendikulyar vektorning y 2 koordinatasini oling.

Vektorga perpendikulyar ikkinchi vektorni olish uchun = (x 1; y 1), lekin vektorga qarama-qarshi. . Bo'lsin

Keyin vektor koordinatalarining belgilarini o'zgartirish kifoya.

Tekislikdagi = (x 1; y 1) vektorga perpendikulyar ikkita vektorning koordinatalari

Vazifa.= (3; -5) vektor berilgan. Turli orientatsiyaga ega ikkita normal vektorni toping.

Qaror

Tekislikdagi = (x 1; y 1) vektorga perpendikulyar ikkita vektorning koordinatalari

Yagona vektor koordinatalari

Ikkinchi vektor koordinatalari

Vektorlarning perpendikulyarligini tekshirish uchun ularning koordinatalarini vektorlarning perpendikulyarlik shartiga almashtiramiz.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

to'g'ri!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

to'g'ri!

Javob: va.

Agar siz x 2 \u003d - x 1 ni belgilasangiz, o'zgartiring

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Vektorga perpendikulyar vektorning koordinatasini oling

Agar siz x 2 \u003d x 1 ni belgilasangiz, o'zgartiring

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Vektorga perpendikulyar ikkinchi vektorning y koordinatasini oling

Tekislikdagi vektorga perpendikulyar bitta vektorning koordinatalari = (x 1; y 1)

Tekislikdagi vektorga perpendikulyar ikkinchi vektorning koordinatalari = (x 1; y 1)

Tekislikdagi = (x 1; y 1) vektorga perpendikulyar ikkita vektorning koordinatalari

1.21 Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu

Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchakning kosinusu \u003d (x 1; y 1; z 1) va \u003d (x 2; y 2; z 2) vektorlarning skalyar ko'paytmasining mahsulotga bo'linganiga teng. bu vektorlarning uzunligi

Agar a
= 1, u holda vektorlar orasidagi burchak 0 0 ga teng, vektorlar ko'p yo'nalishli.

Agar 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Agar = 0 bo'lsa, vektorlar orasidagi burchak 90 0 ga teng, vektorlar perpendikulyar.

Agar -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Agar = -1 bo'lsa, vektorlar orasidagi burchak 180 0 bo'lsa, vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Agar qandaydir vektor boshi va oxiri koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor oxirining tegishli koordinatalaridan boshlang'ich koordinatalarini ayirib, bu vektorning koordinatalarini olamiz.

Vazifa.(0; -2; 0), (-2; 0; -4) vektorlari orasidagi burchakni toping.

Qaror

Vektorlarning nuqta mahsuloti

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

demak, vektorlar orasidagi burchak = 90 0 .

1.22 Vektorlarning nuqta hosilasining xossalari

Skayar mahsulotning xossalari har qanday uchun amal qiladi , , ,k :

1.
, agar
, keyin
, agar =, keyin
= 0.

2. Siqilish qonuni

3. Taqsimlash qonuni

4. Kombinatsiyalar qonuni
.

1.23 Yo'nalish vektori to'g'ridan-to'g'ri

Chiziqning yo'naltiruvchi vektori to'g'ri chiziqda yoki berilgan chiziqqa parallel chiziqda yotgan nolga teng bo'lmagan vektordir.

Agar chiziq M 1 (x 1; y 1; z 1) va M 2 (x 2; y 2; z 2) ikkita nuqta bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor yo'naltiruvchi hisoblanadi.
yoki uning qarama-qarshi vektori
= - , kimning koordinatalari

Koordinatalar tizimini shunday o'rnatish maqsadga muvofiqki, chiziq koordinata boshidan o'tadi, keyin chiziqdagi yagona nuqtaning koordinatalari yo'nalish vektorining koordinatalari bo'ladi.

Vazifa. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini aniqlang.

Qaror

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori belgilanadi.
. Uning har bir koordinatasi vektorning oxiri va boshining tegishli koordinatalari orasidagi farqga teng

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini koordinatalar sistemasida boshi M 1 nuqtada, oxiri M 2 nuqtada va vektori unga teng bo'lgan holda tasvirlaymiz.
boshidan M nuqtada tugaydi (-1; 1; 0)

1.24 Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Tekislikdagi 2 ta chiziqning nisbiy holati va bunday chiziqlar orasidagi burchakning mumkin bo'lgan variantlari:

1. Chiziqlar bir nuqtada kesishadi, 4 ta burchak hosil qiladi, 2 juft vertikal burchak juftlikda teng. Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak ph bu chiziqlar orasidagi qolgan uchta burchakdan oshmaydigan burchakdir. Shuning uchun, chiziqlar orasidagi burchak ph ≤ 90 0 .

Kesishuvchi chiziqlar, xususan, perpendikulyar bo'lishi mumkin ph = 90 0 .

Kosmosdagi 2 ta chiziqning nisbiy holati va bunday chiziqlar orasidagi burchakning mumkin bo'lgan variantlari:

1. Chiziqlar bir nuqtada kesishadi, 4 ta burchak hosil qiladi, 2 juft vertikal burchak juftlikda teng. Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak ph bu chiziqlar orasidagi qolgan uchta burchakdan oshmaydigan burchakdir.

2. Chiziqlar parallel, ya'ni bir-biriga mos kelmaydi va kesishmaydi, ph=0 0 .

3. Chiziqlar mos keladi, ph = 0 0 .

4. Chiziqlar kesishadi, ya'ni ular fazoda kesishmaydi va parallel emas. Kesishgan chiziqlar orasidagi burchak ph - bu chiziqlarga parallel ravishda o'tkaziladigan chiziqlar orasidagi burchak, ular kesishadi. Shuning uchun, chiziqlar orasidagi burchak ph ≤ 90 0 .

2 chiziq orasidagi burchak bir tekislikda shu chiziqlarga parallel chizilgan chiziqlar orasidagi burchakka teng. Demak, chiziqlar orasidagi burchak 0 0 ≤ ph ≤ 90 0 ga teng.

0 0 ≤ th ≤ 180 0 vektorlar orasidagi burchak th (teta).

Agar a va b chiziqlar orasidagi ph burchak bu chiziqlarning yo‘nalish vektorlari orasidagi th burchakka ph = th teng bo‘lsa, u holda

cos ph = cos th.

Agar chiziqlar orasidagi burchak ph = 180 0 - th bo'lsa, u holda

cos ph \u003d cos (180 0 - th) \u003d - cos th.

cos ph = - cos th.

Demak, chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu vektorlar orasidagi burchak kosinusining moduliga teng.

cos ph = |cos th|.

Agar nolga teng bo'lmagan vektorlarning koordinatalari = (x 1 ; y 1 ; z 1) va = (x 2 ; y 2; z 2) berilgan bo'lsa, ular orasidagi burchakning kosinusu th.

Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak kosinusining moduliga teng.

cos ph = |cos th| =

Chiziqlar bir xil geometrik jismlar, shuning uchun formulada bir xil trigonometrik funktsiyalar cos mavjud.

Agar ikkita chiziqning har biri ikkita nuqta bilan berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari va chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini aniqlash mumkin.

Agar a cos ph \u003d 1, keyin chiziqlar orasidagi burchak ph 0 0 ga teng, bu chiziqlar uchun ushbu chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlaridan biri olinishi mumkin, chiziqlar parallel yoki mos keladi. Agar chiziqlar bir-biriga mos kelmasa, ular parallel. Agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda bir chiziqning istalgan nuqtasi boshqa chiziqqa tegishlidir.

Agar 0< cos ph ≤ 1, u holda chiziqlar orasidagi burchak 0 0 ga teng< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Agar a cos ph \u003d 0, keyin chiziqlar orasidagi burchak ph 90 0 (chiziqlar perpendikulyar), chiziqlar kesishadi yoki kesishadi.

Vazifa. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) va M 3 (0; 0; 1) nuqtalarning koordinatalari bilan M 1 M 3 va M 2 M 3 chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang. .

Qaror

Berilgan nuqtalar va to‘g‘ri chiziqlarni Oxyz koordinata tizimida quramiz.

Chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini shunday yo'naltiramizki, vektorlar orasidagi th burchak berilgan chiziqlar orasidagi ph burchakka to'g'ri keladi. = vektorlarini chizing
va =
, shuningdek, th va ph burchaklari:

vektorlarning koordinatalarini aniqlaymiz

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 va ax + by + cz = 0;

Samolyot o'sha koordinata o'qiga parallel bo'lib, uning belgisi tekislik tenglamasida yo'q va shuning uchun mos keladigan koeffitsient nolga teng, masalan, c = 0 da, tekislik Oz o'qiga parallel va ax + by + d = 0 tenglamasida z ni o'z ichiga olmaydi;

Samolyotda koordinatalar o'qi mavjud bo'lib, uning belgisi yo'q, shuning uchun mos keladigan koeffitsient nolga teng va d = 0, masalan, c = d = 0 da, tekislik Oz o'qiga parallel va z ni o'z ichiga olmaydi. tenglamada ax + by = 0;

Tekislik koordinata tekisligiga parallel bo'lib, uning yozuvi tekislik tenglamasida yo'q va shuning uchun tegishli koeffitsientlar nolga teng, masalan, b = c = 0 uchun tekislik Oyz koordinata tekisligiga parallel. va ax + d = 0 tenglamasida y, z mavjud emas.

Agar tekislik koordinata tekisligiga to'g'ri kelsa, u holda bunday tekislikning tenglamasi berilgan koordinata tekisligiga perpendikulyar bo'lgan koordinata o'qi belgilanishining nolga tengligi, masalan, x = 0 da, berilgan tekislik koordinata tekisligidir. Oyz .

Vazifa. Oddiy vektor tenglama bilan berilgan

Tekislik tenglamasini normal shaklda ifodalang.

Qaror

Oddiy vektor koordinatalari

A ; b; c ), u holda M 0 nuqtaning koordinatalarini (x 0; y 0; z 0) va normal vektorning a, b, c koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirishingiz mumkin.

ax + by + cz + d = 0 (1)

Bitta noma'lum d bo'lgan tenglamani olamiz

ax 0 + 0 ga + cz 0 + d = 0

Bu yerdan

d = -(ax 0 + 0 ga + cz 0 )

Almashtirilgandan keyin tekislik tenglamasi (1).

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini olamiz. (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Qavslarni ochamiz

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - 0 ga - cz 0 = 0

Belgilamoq

d = - ax 0 - 0 ga - cz 0

Biz tekislikning umumiy tenglamasini olamiz

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Ikki nuqtadan va koordinatadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

ax + by + cz + d = 0.

Koordinatalar tizimini shunday o'rnatish maqsadga muvofiqki, tekislik ushbu koordinatalar tizimining kelib chiqishidan o'tadi. Bu tekislikda yotuvchi M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) va M 2 (x 2 ; y 2; z 2) nuqtalarni shunday o‘rnatish kerakki, bu nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq koordinata boshidan o‘tmaydi.

Samolyot koordinata boshidan o'tadi, shuning uchun d = 0. Keyin tekislikning umumiy tenglamasi bo'ladi

ax + by + cz = 0.

Noma'lum 3 koeffitsient a, b, c. Ikki nuqtaning koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga qo‘yish 2 ta tenglama sistemasini hosil qiladi. Agar tekislikning umumiy tenglamasida qandaydir koeffitsientni bittaga teng olsak, u holda 2 ta tenglama tizimi bizga 2 ta noma'lum koeffitsientni aniqlash imkonini beradi.

Agar nuqtaning koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, u holda bu koordinataga mos keladigan koeffitsient bitta deb olinadi.

Agar biron bir nuqta ikkita nol koordinataga ega bo'lsa, u holda ushbu nol koordinatalardan biriga mos keladigan koeffitsient birlik sifatida qabul qilinadi.

Agar a = 1 qabul qilinsa, u holda 2 tenglama tizimi bizga ikkita noma'lum b va c koeffitsientlarini aniqlashga imkon beradi:

Bu tenglamalar tizimini ba'zi bir noma'lum po'lat uchun koeffitsientlar teng bo'ladigan songa ko'paytirish orqali hal qilish osonroq. Keyin tenglamalar farqi bu noma'lumni chiqarib tashlashga, boshqa noma'lumni aniqlashga imkon beradi. Topilgan noma’lumni istalgan tenglamaga almashtirish ikkinchi noma’lumni aniqlash imkonini beradi.

1.30 Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

Tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlarini aniqlaymiz

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2) va M 3 (x 3; y 3; z 3) nuqtalardan oʻtish. Nuqtalar ikkita bir xil koordinataga ega bo'lmasligi kerak.

Noma'lum 4 koeffitsient a , b , c va d . Uch nuqtaning koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga qo‘yish 3 ta tenglama sistemasini hosil qiladi. Birga teng tekislikning umumiy tenglamasida qandaydir koeffitsientni oling, keyin 3 ta tenglama tizimi 3 ta noma'lum koeffitsientni aniqlashga imkon beradi. Odatda a = 1 qabul qilinadi, keyin 3 ta tenglama tizimi 3 ta noma'lum b, c va d koeffitsientlarini aniqlashga imkon beradi:

Tenglamalar tizimi noma'lumlarni yo'q qilish yo'li bilan eng yaxshi echiladi (Gauss usuli). Tizimdagi tenglamalarni o'zgartirishingiz mumkin. Har qanday tenglamani har qanday nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ko'paytirish yoki bo'lish mumkin. Har qanday ikkita tenglama qo'shilishi mumkin va natijada olingan tenglama ushbu qo'shilgan ikkita tenglamaning o'rniga yozilishi mumkin. Noma'lumlar ularning oldida nol koeffitsientini olish orqali tenglamalardan chiqariladi. Bitta tenglamada odatda eng pasti aniqlangan bitta o'zgaruvchi bilan qoladi. Topilgan o'zgaruvchi pastdan ikkinchi tenglamaga almashtiriladi, unda odatda 2 ta noma'lum qoladi. Tenglamalar pastdan yuqoriga echiladi va barcha noma'lum koeffitsientlar aniqlanadi.

Koeffitsientlar noma'lumlar oldiga qo'yiladi va noma'lumlardan ozod qilingan hadlar tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkaziladi.

Yuqori qatorda odatda birinchi yoki har qanday noma'lumdan oldin 1 omilga ega bo'lgan tenglama mavjud yoki butun birinchi tenglama birinchi noma'lumdan oldingi omilga bo'linadi. Bu tenglamalar sistemasida birinchi tenglamani y 1 ga ajratamiz

Birinchi noma'lumdan oldin biz 1 koeffitsientga ega bo'ldik:

Ikkinchi tenglamaning birinchi o'zgaruvchisi oldidagi koeffitsientni tiklash uchun birinchi tenglamani -y 2 ga ko'paytiramiz, ikkinchi tenglamaga qo'shamiz va ikkinchi tenglama o'rniga hosil bo'lgan tenglamani yozamiz. Ikkinchi tenglamadagi birinchi noma'lum o'chiriladi, chunki

y 2 b - y 2 b = 0.

Xuddi shunday, uchinchi tenglamada birinchi noma'lumni birinchi tenglamani -y 3 ga ko'paytirib, uchinchi tenglamaga qo'shib, uchinchi tenglama o'rniga hosil bo'lgan tenglamani yozamiz. Uchinchi tenglamadagi birinchi noma'lum ham o'chiriladi, chunki

y 3 b - y 3 b = 0.

Xuddi shunday, uchinchi tenglamada ikkinchi noma'lumni istisno qilamiz. Biz tizimni pastdan yuqoriga qarab hal qilamiz.

Vazifa.

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) va y nuqtalardan o'tish.+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Berilgan tekislik Oyz koordinata tekisligidir.

Vazifa. Tekislikning umumiy tenglamasini aniqlang

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) va M 3 (0; 0; 1) nuqtalardan o'tgan. Bu tekislikdan M 0 (10; -3; -7) nuqtagacha bo'lgan masofani toping.

Qaror

Berilgan nuqtalarni Oxyz koordinata tizimida quramiz.

Qabul qiling a= 1. Uch nuqtaning koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga qo‘yish 3 ta tenglama sistemasini hosil qiladi.

ℓ =

Veb-sahifalar: 1 2 Tekislik va fazodagi vektorlar (davomi)

Andrey Georgievich Olshevskiyning maslahatlari Skype da.irk.uz

Matematika, fizika, informatika fanlari bo'yicha talabalar va maktab o'quvchilarini, ko'p ball olishni xohlaydigan maktab o'quvchilarini (C qismi) va zaif talabalarni OGE (GIA) va imtihonga tayyorlash. Xotirani, fikrlashni rivojlantirish, ob'ektlarning murakkabligini, vizual taqdimotini tushunarli tushuntirish orqali joriy ish faoliyatini bir vaqtning o'zida yaxshilash. Har bir talabaga alohida yondashuv. Olimpiadalarga tayyorgarlik ko'rish, kirish uchun imtiyozlar berish. Talabalarning yutuqlarini oshirish bo'yicha 15 yillik tajriba.

Oliy matematika, algebra, geometriya, ehtimollar nazariyasi, matematik statistika, chiziqli dasturlash.

Nazariyani aniq tushuntirish, tushunishdagi kamchiliklarni bartaraf etish, muammolarni hal qilish usullarini o'rgatish, kurs ishlarini, diplomlarni yozishda maslahat berish.

Samolyot, raketa va avtomobil dvigatellari. Gipersonik, ramjet, raketa, impulsli detonatsiya, impulsli, gaz turbinali, pistonli ichki yonuv dvigatellari - nazariya, konstruktsiya, hisoblash, quvvat, konstruktsiya, ishlab chiqarish texnologiyasi. Termodinamika, issiqlik texnikasi, gaz dinamikasi, gidravlika.

Aviatsiya, aeromexanika, aerodinamika, parvoz dinamikasi, nazariya, dizayn, aerogidromexanika. Ultra yengil samolyotlar, ekranoplanlar, samolyotlar, vertolyotlar, raketalar, qanotli raketalar, hoverkraftlar, havo kemalari, pervaneler - nazariya, dizayn, hisoblash, kuch, dizayn, ishlab chiqarish texnologiyasi.

G'oyalarni yaratish, amalga oshirish. Ilmiy tadqiqot asoslari, yaratish usullari, ilmiy, ixtirochilik, biznes g'oyalarni amalga oshirish. Ilmiy muammolarni, ixtirochilik masalalarini yechish texnikasini o'rgatish. Ilmiy, ixtirochilik, yozma, muhandislik ijodkorligi. Eng qimmatli ilmiy, ixtirochilik muammolarini, g'oyalarni bayon qilish, tanlash, hal qilish.

Ijodkorlik natijalarini nashr qilish. Qanday qilib ilmiy maqola yozish va nashr etish, ixtiroga ariza berish, yozish, kitob nashr etish. Yozish nazariyasi, dissertatsiyalar himoyasi. G'oyalar, ixtirolar orqali pul ishlash. Ixtirolar yaratish, ixtirolarga arizalar, ilmiy maqolalar, ixtirolarga arizalar, kitoblar, monografiyalar, dissertatsiyalar yozishda maslahat berish. Ixtirolar, ilmiy maqolalar, monografiyalarda hammualliflik.

Nazariy mexanika (teormex), materiallarning mustahkamligi (sopromat), mashina qismlari, mexanizmlar va mashinalar nazariyasi (TMM), muhandislik texnologiyasi, texnik fanlar.

Elektrotexnikaning nazariy asoslari (TOE), elektronika, raqamli, analog elektronika asoslari.

Analitik geometriya, chizma geometriya, muhandislik grafikasi, chizmachilik. Kompyuter grafikasi, grafik dasturlash, AutoCAD, NanoCAD da chizmalar, fotomontaj.

Mantiq, grafiklar, daraxtlar, diskret matematika.

OpenOffice va LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makroslar, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Paskal, Delphi, Paskal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Kompyuterlar, noutbuklar, mobil qurilmalar uchun dasturlar, o'yinlar yaratish. Bepul tayyor dasturlardan, ochiq manbali dvigatellardan foydalanish.

Saytlarni yaratish, joylashtirish, reklama qilish, dasturlash, onlayn-do'konlar, saytlarda daromadlar, Web-dizayn.

Informatika, shaxsiy kompyuter foydalanuvchisi: matnlar, jadvallar, taqdimotlar, 2 soatlik matn terishga o'rgatish, ma'lumotlar bazalari, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, tarmoqlar, elektron pochta.

Qurilma, statsionar kompyuterlar va noutbuklarni ta'mirlash.

Video blogger, video yaratish, tahrirlash, joylashtirish, video tahrirlash, video bloglarda pul ishlash.

Tanlash, maqsadga erishish, rejalashtirish.

Internetda pul ishlashni o'rganish: blogger, video blogger, dasturlar, veb-saytlar, onlayn do'kon, maqolalar, kitoblar va boshqalar.

Siz saytni rivojlantirishni qo'llab-quvvatlashingiz, Olshevskiy Andrey Georgievichning konsalting xizmatlarini to'lashingiz mumkin

15.10.17 Olshevskiy Andrey Georgievichelektron pochta:[elektron pochta himoyalangan]