Tizimning umumiy va xususiy yechimi. Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi? Gauss usuli va yechimlari cheksiz sonli chiziqli tenglamalar sistemalari

Qaror. A= . r(A) ni toping. Sifatida matritsa A 3x4 tartibiga ega, keyin voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi 3. Bundan tashqari, uchinchi tartibdagi barcha voyaga etmaganlar nolga teng (o'zingiz tekshiring). anglatadi, r(A)< 3. Возьмем главный asosiy kichik = -5-4 = -9 ≠ 0. Demak, r(A) =2.

O'ylab ko'ring matritsa Bilan = .

Kichik uchinchi buyurtma ≠ 0. Demak, r(C) = 3.

Chunki r(A) ≠ r (C) , keyin tizim mos kelmaydi.

2-misol Tenglamalar sistemasining mosligini aniqlang

Agar u izchil bo'lsa, ushbu tizimni hal qiling.

Qaror.

A =, C = . Shubhasiz, r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. DetC = 0 bo‘lgani uchun r(C) bo‘ladi.< 4. O'ylab ko'ring kichik uchinchi buyurtma, A va C matritsasining yuqori chap burchagida joylashgan: = -23 ≠ 0. Demak, r(A) = r(C) = 3.

Raqam noma'lum sistemada n=3. Shunday qilib, tizim o'ziga xos echimga ega. Bunday holda, to'rtinchi tenglama birinchi uchtasining yig'indisidir va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Kramer formulalariga ko'ra x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 ni olamiz.

2.4. Matritsa usuli. Gauss usuli

tizimi n chiziqli tenglamalar bilan n noma'lumlarni hal qilish mumkin matritsa usuli formula bo'yicha X \u003d A -1 B (D uchun ≠ 0), bu (2) dan ikkala qismni A -1 ga ko'paytirish orqali olinadi.

Misol 1. Tenglamalar sistemasini yeching

matritsa usuli bilan (2.2-bo'limda ushbu tizim Kramer formulalari yordamida echilgan)

Qaror. D=10 ≠ 0 A = - nosingular matritsa.

= (kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirish orqali buni o'zingiz tasdiqlang).

A -1 \u003d (1 / D) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Javob: .

Amaliy nuqtai nazardan matritsalar usuli va formulalari Kramer katta miqdordagi hisoblash bilan bog'liq, shuning uchun afzallik beriladi Gauss usuli, bu noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat. Buning uchun tenglamalar tizimi uchburchakli kengaytirilgan matritsaga ega ekvivalent tizimga keltiriladi (asosiy diagonaldan pastdagi barcha elementlar nolga teng). Ushbu harakatlar to'g'ridan-to'g'ri harakat deb ataladi. Olingan uchburchak sistemadan o'zgaruvchilar ketma-ket almashtirishlar (teskari harakat) yordamida topiladi.

2-misol. Tizimni Gauss usuli yordamida yeching

(Ushbu tizim yuqorida Kramer formulasi va matritsa usuli yordamida yechilgan).

Qaror.

To'g'ridan-to'g'ri harakat. Biz kengaytirilgan matritsani yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni uchburchak shaklga keltiramiz:

~ ~ ~ ~ .

Oling tizimi

Teskari harakat. Oxirgi tenglamadan biz topamiz X 3 = -6 va bu qiymatni ikkinchi tenglamaga almashtiring:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Javob: .

2.5. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

Chiziqli tenglamalar sistemasi berilsin = b i(i=). r (A) = r (C) = r bo'lsin, ya'ni. tizim hamkorlikda ishlaydi. r tartibining nolga teng bo'lmagan har qanday minori asosiy kichik. Umumiylikni yo‘qotmagan holda, bazis minor A matritsaning birinchi r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) satr va ustunlarida joylashgan deb faraz qilamiz. Tizimning oxirgi m-r tenglamalaridan voz kechib, qisqartirilgan tizimni yozamiz. :

bu asl nusxaga teng. Keling, noma'lumlarni nomlaylik x 1 ,….x r asosiy, va x r +1 ,…, x r bo'sh va erkin noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni kesilgan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazing. Biz asosiy noma'lumlarga nisbatan tizimni olamiz:

bu har bir erkin noma'lum qiymatlar to'plami uchun x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r yagona yechimga ega x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), Kramer qoidasi bilan topilgan.

Tegishli qaror qisqartirilgan va shuning uchun asl tizim quyidagi shaklga ega:

X(S 1 ,…, S n-r) = - tizimning umumiy yechimi.

Agar umumiy yechimda erkin noma’lumlarga qandaydir son qiymatlar berilsa, u holda xususiy deb ataladigan chiziqli sistemaning yechimini olamiz.

Misol. Moslikni o'rnating va tizimning umumiy yechimini toping

Qaror. A = , S = .

Shunday qilib kabi r(A)= r (C) = 2 (o'zingizga qarang), u holda asl tizim mos keladi va cheksiz ko'p echimlarga ega (chunki r< 4).

Matritsa usuli SLAU yechimlari tenglamalar soni noma'lumlar soniga mos keladigan tenglamalar tizimini yechish uchun ishlatiladi. Usul past tartibli tizimlarni hal qilish uchun eng yaxshi qo'llaniladi. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning matritsa usuli matritsalarni ko‘paytirish xossalarini qo‘llashga asoslangan.

Bu yo'l, boshqacha qilib aytganda teskari matritsa usuli, shunday deyiladi, chunki yechim odatiy matritsa tenglamasiga tushiriladi, uni hal qilish uchun siz teskari matritsani topishingiz kerak.

Matritsali yechish usuli Determinanti noldan katta yoki kichik bo'lgan SLAE quyidagicha bo'ladi:

bilan SLE (chiziqli tenglamalar tizimi) mavjud deylik n noma'lum (ixtiyoriy maydonda):

Shunday qilib, uni matritsa shakliga tarjima qilish oson:

AX=B, qayerda A tizimning asosiy matritsasi, B va X- mos ravishda tizimning bepul a'zolari ustunlari va echimlari:

Chapdagi ushbu matritsa tenglamasini ko'paytiring A -1- matritsadan matritsaga teskari A: A −1 (AX)=A −1 B.

Chunki A −1 A=E, degani, X=A -1 B. Tenglamaning o'ng tomoni boshlang'ich tizimga yechimlar ustunini beradi. Matritsa usulini qo'llash sharti matritsaning degenerativ emasligidir A. Buning zaruriy va yetarli sharti matritsaning determinantidir A:

deA≠0.

Uchun chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi, ya'ni. vektor bo'lsa B=0, qarama-qarshi qoida amal qiladi: tizim AX=0 faqat qachon bo'lsa, noan'anaviy (ya'ni, nolga teng emas) yechim hisoblanadi detA=0. Bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlari orasidagi bunday bog`lanish deyiladi Fredholmga muqobil.

Shunday qilib, SLAE ning matritsa usuli bilan yechimi formula bo'yicha amalga oshiriladi . Yoki SLAE yechimi yordamida topiladi teskari matritsa A -1.

Ma'lumki, kvadrat matritsa LEKIN buyurtma n ustida n teskari matritsa mavjud A -1 faqat uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Shunday qilib, tizim n bilan chiziqli algebraik tenglamalar n noma’lumlar sistemaning bosh matritsasining determinanti nolga teng bo’lmagandagina matritsa usuli bilan yechiladi.

Ushbu usuldan foydalanish imkoniyati bo'yicha cheklovlar mavjudligiga va koeffitsientlarning katta qiymatlari va yuqori tartibli tizimlar uchun hisoblash qiyinchiliklariga qaramay, usulni kompyuterda osongina amalga oshirish mumkin.

Bir hil bo'lmagan SLAEni echishga misol.

Birinchidan, noma'lum SLAE uchun koeffitsientlar matritsasi determinanti nolga teng emasligini tekshirib ko'ramiz.

Endi topamiz ittifoq matritsasi, uni almashtiring va teskari matritsani aniqlash formulasiga almashtiring.

Formuladagi o'zgaruvchilarni almashtiramiz:

Endi teskari matritsani va erkin shartlar ustunini ko'paytirish orqali noma'lumlarni topamiz.

Shunday qilib, x=2; y=1; z=4.

SLAE ning odatiy shaklidan matritsa shakliga o'tishda tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilar tartibiga ehtiyot bo'ling. misol uchun:

Quyidagi kabi yozmang:

Birinchidan, tizimning har bir tenglamasida noma'lum o'zgaruvchilarni tartiblash kerak va shundan keyingina matritsa yozuviga o'ting:

Bundan tashqari, o'rniga noma'lum o'zgaruvchilarni belgilashda ehtiyot bo'lishingiz kerak x 1, x 2 , …, x n boshqa harflar ham bo'lishi mumkin. Masalan:

matritsa shaklida yozamiz:

Matritsa usulidan foydalanib, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimini yechish yaxshiroqdir. Tizimda 3 dan ortiq tenglamalar mavjud bo'lganda, teskari matritsani topish uchun ko'proq hisoblash kuchlari kerak bo'ladi, shuning uchun bu holda yechish uchun Gauss usulidan foydalanish tavsiya etiladi.

Biroq, amalda yana ikkita holat keng tarqalgan:

– Tizim nomuvofiq (echimlari yo‘q);
Tizim izchil va cheksiz ko'p echimlarga ega.

Eslatma : "Muvofiqlik" atamasi tizimda hech bo'lmaganda qandaydir yechim borligini bildiradi. Bir qator vazifalarda tizimni muvofiqligini oldindan tekshirish kerak, buni qanday qilish kerak - maqolaga qarang. matritsa darajasi.

Ushbu tizimlar uchun barcha yechim usullarining eng universali qo'llaniladi - Gauss usuli. Aslida, "maktab" usuli ham javobga olib keladi, ammo oliy matematikada noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishning Gauss usulidan foydalanish odatiy holdir. Gauss usuli algoritmi bilan tanish bo'lmaganlar, iltimos, birinchi navbatda darsni o'rganing dummilar uchun gauss usuli.

Elementar matritsa o'zgarishlarining o'zi aynan bir xil, farq yechimning oxirida bo'ladi. Birinchidan, tizimda hech qanday yechim bo'lmagan (mos kelmaydigan) bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

1-misol

Ushbu tizimda nima darhol e'tiboringizni tortadi? Tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Agar tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, keyin biz darhol tizimning mos kelmaydigan yoki cheksiz ko'p echimlarga ega ekanligini aytishimiz mumkin. Va faqat bilish uchun qoladi.

Yechimning boshlanishi juda oddiy - biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, biz uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Yuqori chap qadamda biz +1 yoki -1 olishimiz kerak. Birinchi ustunda bunday raqamlar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartiblash ishlamaydi. Birlik mustaqil ravishda tashkil etilishi kerak va bu bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men shunday qildim: Birinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan uchinchi qatorni qo'shing.

(2) Endi biz birinchi ustunda ikkita nol olamiz. Ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 5 ga ko'paytiramiz.

(3) Transformatsiya amalga oshirilgandan so'ng, har doim olingan satrlarni soddalashtirish mumkinligini ko'rish tavsiya etiladi? mumkin. Biz ikkinchi qatorni 2 ga bo'lamiz, shu bilan birga ikkinchi bosqichda kerakli -1 ni olamiz. Uchinchi qatorni -3 ga bo'ling.

(4) Ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.

Ehtimol, hamma elementar o'zgarishlar natijasida paydo bo'lgan yomon chiziqqa e'tibor bergan: . Bunday bo'lishi mumkin emasligi aniq. Haqiqatan ham, biz olingan matritsani qayta yozamiz chiziqli tenglamalar tizimiga qaytish:

Agar elementar o'zgartirishlar natijasida shakl qatori olingan bo'lsa, bu erda nolga teng bo'lmagan son bo'lsa, u holda tizim mos kelmaydigan (echimlari yo'q) .

Vazifaning oxirini qanday yozib olish mumkin? Keling, oq bo'r bilan chizamiz: "elementar o'zgartirishlar natijasida shaklning chizig'i olinadi, qaerda" va javob bering: tizimda echimlar yo'q (mos kelmaydigan).

Agar shartga ko'ra, tizimni muvofiqligi uchun O'rganish kerak bo'lsa, unda kontseptsiyani o'z ichiga olgan yanada qat'iy uslubda yechim chiqarish kerak. matritsa darajasi va Kroneker-Kapelli teoremasi.

E'tibor bering, bu erda Gauss algoritmining teskari harakati yo'q - hech qanday yechim yo'q va shunchaki topib bo'lmaydigan hech narsa yo'q.

2-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida. Yana bir bor eslatib o'tamanki, sizning yechim yo'lingiz mening yechim yo'limdan farq qilishi mumkin, Gauss algoritmida kuchli "qattiqlik" yo'q.

Yechimning yana bir texnik xususiyati: elementar o'zgarishlarni to'xtatish mumkin birdaniga, kabi bir chiziq bilanoq, qaerda. Shartli misolni ko'rib chiqing: birinchi o'zgartirishdan keyin biz matritsaga ega bo'lamiz . Matritsa hali bosqichli shaklga tushirilmagan, ammo keyingi elementar o'zgarishlarga ehtiyoj yo'q, chunki shakl chizig'i paydo bo'ldi, bu erda . Tizim mos kelmaydi deb darhol javob berish kerak.

Chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmaganda, bu deyarli sovg'adir, chunki qisqacha yechim, ba'zan tom ma'noda 2-3 bosqichda olinadi.

Ammo bu dunyoda hamma narsa muvozanatli va tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lgan muammo uzoqroq.

3-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

4 ta tenglama va 4 ta noma'lum, shuning uchun tizim bitta yechimga ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p echimga ega bo'lishi mumkin. Nima bo'lishidan qat'iy nazar, Gauss usuli har qanday holatda ham bizni javobga olib boradi. Uning ko'p qirraliligi shu erda.

Boshlanish yana standart. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Hammasi shu, siz qo'rqdingiz.

(1) E'tibor bering, birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga bo'linadi, shuning uchun yuqori chap pog'onada 2 yaxshi bo'ladi. Ikkinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, -4 ga ko'paytiriladi. Uchinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, -2 ga ko'paytiriladi. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi.

Diqqat! Ko'pchilik to'rtinchi qatordan vasvasaga tushishi mumkin ayirish birinchi qator. Buni qilish mumkin, lekin bu shart emas, tajriba shuni ko'rsatadiki, hisob-kitoblarda xatolik ehtimoli bir necha bor ortadi. Shunchaki qo'shing: to'rtinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing - aynan shunday!

(2) Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi o'chirilishi mumkin.

Bu erda yana ko'rsatish kerak e'tiborni kuchaytirdi, lekin chiziqlar haqiqatan ham proportsionalmi? Qayta sug'urta qilish uchun (ayniqsa, choynak uchun) ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirish va to'rtinchi qatorni 2 ga bo'lish ortiqcha bo'lmaydi, natijada uchta bir xil qator hosil bo'ladi. Va shundan keyingina ulardan ikkitasini olib tashlang.

Elementar o'zgarishlar natijasida tizimning kengaytirilgan matritsasi bosqichli shaklga tushiriladi:

Daftarda topshiriqni bajarayotganda, ravshan bo'lishi uchun qalam bilan bir xil yozuvlarni qo'yish tavsiya etiladi.

Tegishli tenglamalar tizimini qayta yozamiz:

Tizimning "odatiy" yagona yechimi bu erda hidlamaydi. Hech qanday yomon chiziq ham yo'q. Bu shuni anglatadiki, bu qolgan uchinchi holat - tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud. Ba'zan, shartga ko'ra, tizimning mosligini tekshirish kerak (ya'ni, yechim umuman mavjudligini isbotlash uchun), siz bu haqda maqolaning oxirgi xatboshida o'qishingiz mumkin. Matritsaning darajasini qanday topish mumkin? Ammo hozircha, keling, asosiy narsalarni ajratamiz:

Tizimning cheksiz yechimlari to'plami qisqacha deb ataladigan shaklda yozilgan umumiy tizim yechimi .

Gauss usulining teskari harakati yordamida sistemaning umumiy yechimini topamiz.

Avval bizda qanday o'zgaruvchilar borligini aniqlashimiz kerak Asosiy, va qaysi o'zgaruvchilar ozod. Chiziqli algebra atamalari bilan ovora bo'lish shart emas, bundaylar borligini eslash kifoya asosiy o'zgaruvchilar va erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilar har doim matritsaning bosqichlarida "o'tiradilar".
Ushbu misolda asosiy o'zgaruvchilar va

Erkin o'zgaruvchilar hamma narsadir qolgan qadam olmagan o'zgaruvchilar. Bizning holatlarimizda ulardan ikkitasi bor: – erkin o'zgaruvchilar.

Endi sizga kerak hammasi asosiy o'zgaruvchilar ifodalash faqat orqali erkin o'zgaruvchilar.

Gauss algoritmining teskari harakati an'anaviy ravishda pastdan yuqoriga ishlaydi.
Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz asosiy o'zgaruvchini ifodalaymiz:

Endi birinchi tenglamaga qarang: . Birinchidan, topilgan ifodani unga almashtiramiz:

Asosiy o'zgaruvchini erkin o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan ifodalash qoladi:

Natijada sizga kerak bo'lgan narsa - hammasi bazis o'zgaruvchilari ( va ) ifodalanadi faqat orqali erkin o'zgaruvchilar:

Aslida, umumiy yechim tayyor:

Umumiy yechimni qanday yozish kerak?
Erkin o'zgaruvchilar umumiy yechimga "o'z-o'zidan" va qat'iy ravishda o'z joylarida yoziladi. Bunday holda, erkin o'zgaruvchilar ikkinchi va to'rtinchi pozitsiyalarda yozilishi kerak:
.

Asosiy o'zgaruvchilar uchun olingan ifodalar va birinchi va uchinchi pozitsiyalarda yozilishi kerakligi aniq:

Erkin o'zgaruvchilarni berish ixtiyoriy qiymatlar, cheksiz ko'p shaxsiy qarorlar. Eng mashhur qiymatlar noldir, chunki ma'lum bir yechimni olish eng oson. Umumiy yechimni almashtiring:

shaxsiy qarordir.

Bular yana bir shirin juftlik, keling, umumiy yechimni almashtiramiz:

yana bir alohida yechim hisoblanadi.

Tenglamalar sistemasi borligini ko'rish oson cheksiz ko'p echimlar(chunki biz bepul o'zgaruvchilarni bera olamiz har qanday qiymatlar)

Har bir muayyan yechim qondirishi kerak har biriga tizim tenglamasi. Bu yechimning to'g'riligini "tezkor" tekshirish uchun asosdir. Masalan, ma'lum bir yechimni oling va uni asl tizimdagi har bir tenglamaning chap tomoniga almashtiring:

Hamma narsa birlashishi kerak. Va har qanday maxsus yechim bilan hamma narsa birlashishi kerak.

Ammo, qat'iy aytganda, ma'lum bir yechimni tekshirish ba'zan aldaydi; ba'zi bir maxsus yechim tizimning har bir tenglamasini qanoatlantirishi mumkin va umumiy yechimning o'zi aslida noto'g'ri topilgan.

Shuning uchun umumiy yechimni tekshirish yanada puxta va ishonchli. Olingan umumiy yechimni qanday tekshirish mumkin ?

Bu oson, lekin juda zerikarli. Biz ifodalarni olishimiz kerak Asosiy o'zgaruvchilar, bu holda va , va ularni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiring.

Tizimning birinchi tenglamasining chap tomonida:

Tizimning ikkinchi tenglamasining chap tomonida:


Dastlabki tenglamaning o'ng tomoni olinadi.

4-misol

Tizimni Gauss usuli yordamida yeching. Umumiy va ikkita shaxsiy echimni toping. Umumiy yechimni tekshiring.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Aytgancha, bu erda yana tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kamroq, ya'ni tizim yo nomuvofiq bo'lishi yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lishi darhol aniq bo'ladi. Qaror qabul qilish jarayonining o'zida nima muhim? Diqqat va yana e'tibor. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va materialni mustahkamlash uchun yana bir nechta misol

5-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching. Agar tizimda cheksiz ko'p echimlar bo'lsa, ikkita maxsus echim toping va umumiy yechimni tekshiring

Qaror: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichli shaklga keltiramiz:

(1) Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shing. Uchinchi qatorga biz birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz.
(2) Uchinchi qatorga -5 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing. To'rtinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, -7 ga ko'paytiriladi.
(3) Uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir xil, biz ulardan birini o'chirib tashlaymiz.

Mana shunday go'zallik:

Bazis o'zgaruvchilar zinapoyada joylashgan, shuning uchun ular asosiy o'zgaruvchilardir.
Faqat bitta bo'sh o'zgaruvchi bor, u qadam ololmadi:

Teskari harakat:
Biz asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchida ifodalaymiz:
Uchinchi tenglamadan:

Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing va unga topilgan ifodani almashtiring:

Birinchi tenglamani ko'rib chiqing va topilgan iboralarni almashtiring va unga:

Ha, oddiy kasrlarni hisoblaydigan kalkulyator hali ham qulay.

Shunday qilib, umumiy yechim:

Yana bir bor, bu qanday sodir bo'ldi? Erkin o'zgaruvchi o'zining to'rtinchi o'rnida yolg'iz o'tiradi. Asosiy o'zgaruvchilar uchun hosil bo'lgan ifodalar ham tartib o'rinlarini egalladi.

Keling, darhol umumiy yechimni tekshirib ko'raylik. Qora tanlilar uchun ishlang, lekin men buni allaqachon qildim, shuning uchun tuting =)

Tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga uchta qahramonni , , almashtiramiz:

Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun umumiy yechim to'g'ri topiladi.

Endi topilgan umumiy yechimdan Biz ikkita maxsus yechimni olamiz. Bu erda oshpaz faqat bepul o'zgaruvchan. Boshingizni sindirishingiz shart emas.

Unda ruxsat bering shaxsiy qarordir.
Unda ruxsat bering yana bir alohida yechim hisoblanadi.

Javob: Umumiy qaror: , maxsus echimlar: , .

Bu yerda qora tanlilar haqida eslamasligim kerak edi ... ... chunki miyamga har xil sadistik niyatlar keldi va men taniqli fotojabani esladim, unda oq kombinezondagi Ku Klux Klansmenlar qora futboldan keyin maydon bo'ylab yugurishadi. futbolchi. Men o'tiraman va jimgina tabassum qilaman. Bilasizmi, qanday chalg'itadi ...

Ko'p matematika zararli, shuning uchun mustaqil yechim uchun shunga o'xshash yakuniy misol.

6-misol

Chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini toping.

Men allaqachon umumiy yechimni tekshirdim, javobga ishonish mumkin. Sizning yechimingiz mening yechimimdan farq qilishi mumkin, asosiysi umumiy yechimlar mos keladi.

Ehtimol, ko'p odamlar yechimlarda noxush lahzani payqashgan: ko'pincha Gauss usulining teskari kursida biz oddiy kasrlar bilan skripka qilishimiz kerak edi. Amalda, bu to'g'ri, kasrlar bo'lmagan holatlar kamroq uchraydi. Ruhiy va eng muhimi, texnik jihatdan tayyor bo'ling.

Men hal qilingan misollarda topilmagan yechimning ba'zi xususiyatlariga to'xtalib o'taman.

Tizimning umumiy yechimi ba'zan konstantani (yoki konstantalarni) o'z ichiga olishi mumkin, masalan: . Bu erda asosiy o'zgaruvchilardan biri doimiy songa teng: . Bunda ekzotik narsa yo'q, bu sodir bo'ladi. Shubhasiz, bu holda, har qanday maxsus yechim birinchi holatda beshlikni o'z ichiga oladi.

Kamdan-kam hollarda, lekin tizimlar mavjud tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kattaroqdir. Gauss usuli eng og'ir sharoitlarda ishlaydi, standart algoritmga muvofiq tizimning kengaytirilgan matritsasini xotirjamlik bilan bosqichli shaklga keltirish kerak. Bunday tizim nomuvofiq bo'lishi mumkin, cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin va, g'alati, yagona yechimga ega bo'lishi mumkin.

Gauss usulining bir qator kamchiliklari bor: Gauss usulida zarur bo'lgan barcha transformatsiyalar amalga oshirilmaguncha, tizim izchil yoki mos kelmasligini bilish mumkin emas; Gauss usuli harf koeffitsientli tizimlar uchun mos emas.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning boshqa usullarini ko'rib chiqing. Bu usullar matritsaning rank tushunchasidan foydalanadi va har qanday qo'shma tizimning yechimini Kramer qoidasi qo'llaniladigan tizimning yechimiga qisqartiradi.

1-misol Kiritilgan bir jinsli sistemaning fundamental yechimlar sistemasi va bir jinsli sistemaning xususiy yechimidan foydalanib, quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

1. Biz matritsa hosil qilamiz A va tizimning kengaytirilgan matritsasi (1)

2. Tizimni o'rganing (1) muvofiqlik uchun. Buning uchun matritsalarning darajalarini topamiz A va https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Agar shunday bo'lsa , u holda tizim (1) mos kelmaydigan. Agar buni olsak , keyin bu tizim izchil va biz uni hal qilamiz. (Mustahkamlikni o'rganish Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanadi).

a. topamiz rA.

Topmoq rA, biz matritsaning birinchi, ikkinchi va hokazo tartiblarining nolga teng bo'lmagan minorlarini ketma-ket ko'rib chiqamiz. A va ularni o'rab turgan voyaga etmaganlar.

M1=1≠0 (1 matritsaning yuqori chap burchagidan olingan LEKIN).

Chegaralash M1 bu matritsaning ikkinchi qatori va ikkinchi ustuni. . Biz chegarani davom ettiramiz M1 ikkinchi qator va uchinchi ustun..gif" width="37" height="20 src=">. Endi biz nolga teng bo'lmagan minorni chegaralaymiz. M2′ ikkinchi tartib.

Bizda ... bor: (chunki birinchi ikkita ustun bir xil)

(chunki ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir).

Biz buni ko'ramiz rA=2, va matritsaning bazis minoridir A.

b. Biz topamiz.

Etarli darajada asosiy kichik M2′ matritsalar A bepul a'zolar ustuni va barcha satrlar bilan chegaralanadi (bizda faqat oxirgi qator mavjud).

. Bundan kelib chiqadiki M3′′ matritsaning asosiy minori bo'lib qoladi https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sifatida M2′- matritsaning bazis minori A tizimlari (2) , keyin bu tizim tizimga teng (3) , tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan iborat (2) (uchun M2′ A matritsasining birinchi ikki qatorida joylashgan).

(3)

Asosiy minor bo'lgani uchun https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Ushbu tizimda ikkita bepul noma'lum ( x2 va x4 ). Shunday qilib FSR tizimlari (4) ikkita yechimdan iborat. Ularni topish uchun biz bepul noma'lumlarni tayinlaymiz (4) birinchi navbatda qadriyatlar x2=1 , x4=0 , undan keyin - x2=0 , x4=1 .

Da x2=1 , x4=0 olamiz:

.

Bu tizim allaqachon mavjud yagona narsa yechim (uni Kramer qoidasi yoki boshqa har qanday usul bilan topish mumkin). Birinchi tenglamani ikkinchi tenglamadan ayirib, biz quyidagilarni olamiz:

Uning qarori bo'ladi x1= -1 , x3=0 . Qadriyatlarni hisobga olgan holda x2 va x4 , biz bergan bo'lsak, biz tizimning birinchi fundamental yechimini olamiz (2) : .

Endi biz kiritamiz (4) x2=0 , x4=1 . Biz olamiz:

.

Biz ushbu tizimni Kramer teoremasi yordamida hal qilamiz:

.

Biz tizimning ikkinchi asosiy yechimini olamiz (2) : .

Yechimlar b1 , b2 va bo'yanish FSR tizimlari (2) . Keyin uning umumiy yechimi bo'ladi

γ= C1 b1+S2b2=S1(-1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(-S1+5S2, S1, 4S2, S2)

Bu yerda C1 , C2 ixtiyoriy konstantalardir.

4. Birini toping xususiy qaror heterojen tizim(1) . Paragrafda bo'lgani kabi 3 , tizim o'rniga (1) ekvivalent tizimni ko'rib chiqing (5) , tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan iborat (1) .

(5)

Erkin noma'lumlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz x2 va x4.

(6)

Keling, noma'lum narsalarni bepul beraylik x2 va x4 ixtiyoriy qiymatlar, masalan, x2=2 , x4=1 va ularni ulang (6) . Keling, tizimni olamiz

Ushbu tizim o'ziga xos echimga ega (chunki uning determinanti M2′0). Uni yechish (Kramer teoremasi yoki Gauss usuli yordamida) olamiz x1=3 , x3=3 . Erkin noma'lumlarning qiymatlarini hisobga olgan holda x2 va x4 , olamiz bir jinsli bo'lmagan tizimning maxsus yechimi(1)a1=(3,2,3,1).

5. Endi yozish qoladi bir jinsli bo'lmagan sistemaning umumiy yechimi a(1) : summaga teng shaxsiy qaror bu tizim va uning qisqartirilgan bir jinsli tizimining umumiy yechimi (2) :

a=a1+g=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).

Bu degani: (7)

6. Imtihon. Tizimni to'g'ri hal qilganingizni tekshirish uchun (1) , bizga umumiy yechim kerak (7) o'rniga qo'ying (1) . Agar har bir tenglama identifikatsiyaga aylansa ( C1 va C2 yo'q qilinishi kerak), keyin yechim to'g'ri topiladi.

Biz almashtiramiz (7) masalan, faqat tizimning oxirgi tenglamasida (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Biz quyidagilarni olamiz: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1

(S1–S1)+(5S2+4S2–9C2)+(3+2+3–9)=–1

Bu erda -1=-1. Biz shaxsni oldik. Biz buni tizimning barcha boshqa tenglamalari bilan qilamiz (1) .

Izoh. Tasdiqlash odatda juda mashaqqatli. Biz quyidagi "qisman tekshirish" ni tavsiya qilishimiz mumkin: tizimning umumiy yechimida (1) ixtiyoriy konstantalarga ba'zi qiymatlarni belgilang va natijada olingan aniq echimni faqat bekor qilingan tenglamalarga (ya'ni, ushbu tenglamalarga) almashtiring. (1) tarkibiga kirmaganlar (5) ). Agar siz shaxsiy ma'lumotlarni olsangiz, unda ehtimoli ko'proq, tizimning yechimi (1) to'g'ri topilgan (lekin bunday tekshirish to'g'riligiga to'liq kafolat bermaydi!). Masalan, agar ichida (7) qo'yish C2=- 1 , C1=1, u holda biz quyidagilarni olamiz: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) tizimning oxirgi tenglamasini almashtirsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ya’ni –1=–1. Biz shaxsni oldik.

2-misol Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping (1) , asosiy noma'lumlarni erkinlar bilan ifodalash.

Qaror. In misol 1, matritsalar tuzing A va bu matritsalarning https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. Endi biz tizimning faqat o'sha tenglamalarini qoldiramiz. (1) , koeffitsientlari ushbu asosiy minorga kiritilgan (ya'ni, bizda birinchi ikkita tenglama mavjud) va ulardan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqamiz, bu tizim (1) ga teng.

Erkin noma'lumlarni ushbu tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz.

tizimi (9) to‘g‘ri bo‘laklarni erkin a’zolar deb hisoblab, Gauss usuli bilan yechamiz.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Variant 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Variant 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Variant 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Variant 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Chiziqli tenglamalar tizimi n ta chiziqli tenglamaning birlashmasi bo'lib, har birida k o'zgaruvchi mavjud. Bu shunday yozilgan:

Ko'pchilik, birinchi marta yuqori algebra bilan duch kelganida, tenglamalar soni, albatta, o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelishi kerak, deb noto'g'ri hisoblashadi. Maktab algebrasida bu odatda shunday bo'ladi, lekin yuqori algebra uchun bu, umuman olganda, to'g'ri emas.

Tenglamalar tizimining yechimi sonlar ketma-ketligidir (k 1, k 2, ..., k n), bu tizimning har bir tenglamasining yechimi, ya'ni. bu tenglamaga x 1 , x 2 , ..., x n oʻzgaruvchilari oʻrniga qoʻyilganda toʻgʻri sonli tenglikni beradi.

Shunga ko’ra, tenglamalar sistemasini yechish deganda uning barcha yechimlari to’plamini topish yoki bu to’plam bo’sh ekanligini isbotlash tushuniladi. Tenglamalar soni va noma'lumlar soni bir xil bo'lmasligi mumkinligi sababli, uchta holat mumkin:

1. Tizim mos kelmaydigan, ya'ni. barcha yechimlar to'plami bo'sh. Tizimni hal qilishning qaysi usulidan qat'i nazar, osongina aniqlanadigan juda kam uchraydigan holat.
2. Tizim izchil va aniqlangan, ya'ni. aynan bitta yechimga ega. Maktabdan beri taniqli klassik versiya.
3. Tizim izchil va aniqlanmagan, ya'ni. cheksiz ko'p echimlarga ega. Bu eng qiyin variant. “Tizim cheksiz yechimlar to‘plamiga ega” deb aytishning o‘zi kifoya emas – bu to‘plam qanday joylashishini ta’riflash zarur.

X i o'zgaruvchisi, agar u tizimning faqat bitta tenglamasiga kiritilgan bo'lsa va koeffitsienti 1 bo'lsa, ruxsat etilgan deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, qolgan tenglamalarda x i o'zgaruvchisi uchun koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak.

Har bir tenglamada bitta ruxsat etilgan o'zgaruvchini tanlasak, biz butun tenglamalar tizimi uchun ruxsat etilgan o'zgaruvchilar to'plamini olamiz. Ushbu shaklda yozilgan tizimning o'zi ham ruxsat etilgan deb nomlanadi. Umuman olganda, bitta va bir xil boshlang'ich tizimni turli ruxsat etilgan tizimlarga qisqartirish mumkin, ammo bu hozir bizga tegishli emas. Bu erda ruxsat etilgan tizimlarga misollar:

Ikkala tizim ham x 1, x 3 va x 4 o'zgaruvchilarga nisbatan ruxsat etiladi. Biroq, xuddi shu muvaffaqiyat bilan, x 1, x 3 va x 5 ga nisbatan ikkinchi tizimga ruxsat berilganligi haqida bahslashish mumkin. Eng so'nggi tenglamani x 5 = x 4 ko'rinishida qayta yozish kifoya.

Endi umumiy holatni ko'rib chiqing. Faraz qilaylik, bizda jami k o‘zgaruvchi bor, ulardan r ga ruxsat berilgan. Keyin ikkita holat mumkin:

1. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy soniga teng k: r = k. Biz r = k ruxsat etilgan o'zgaruvchilar bo'lgan k tenglamalar tizimini olamiz. Bunday tizim hamkorlik va aniq, chunki x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy sonidan kamroq k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Demak, yuqoridagi tizimlarda x 2 , x 5 , x 6 (birinchi tizim uchun) va x 2 , x 5 (ikkinchi tizim uchun) oʻzgaruvchilar erkindir. Erkin o'zgaruvchilar mavjud bo'lgan holat teorema sifatida yaxshiroq ifodalangan:

E'tibor bering: bu juda muhim nuqta! Yakuniy tizimni qanday yozishingizga qarab, bir xil o'zgaruvchiga ruxsat berilgan va bepul bo'lishi mumkin. Ko'pgina ilg'or matematika o'qituvchilari o'zgaruvchilarni leksikografik tartibda yozishni tavsiya qiladi, ya'ni. ortib borayotgan indeks. Biroq, bu maslahatga umuman amal qilish shart emas.

Teorema. Agar n ta tenglamalar sistemasida x 1 , x 2 , ..., x r oʻzgaruvchilarga ruxsat berilsa va x r + 1 , x r + 2 , ..., x k erkin boʻlsa, u holda:

1. Agar biz erkin o'zgaruvchilarning qiymatlarini o'rnatsak (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) va keyin x 1 , x 2 , qiymatlarini topamiz. .., x r , biz yechimlardan birini olamiz.
2. Agar ikkita yechimdagi erkin o'zgaruvchilarning qiymatlari bir xil bo'lsa, ruxsat etilgan o'zgaruvchilarning qiymatlari ham bir xil bo'ladi, ya'ni. yechimlari teng.

Ushbu teoremaning ma'nosi nima? Ruxsat etilgan tenglamalar tizimining barcha yechimlarini olish uchun erkin o'zgaruvchilarni ajratib ko'rsatish kifoya. Keyin, erkin o'zgaruvchilarga turli qiymatlarni belgilash orqali biz tayyor echimlarni olamiz. Hammasi shu - shu tarzda siz tizimning barcha yechimlarini olishingiz mumkin. Boshqa yechimlar yo'q.

Xulosa: ruxsat etilgan tenglamalar tizimi har doim mos keladi. Ruxsat etilgan tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, tizim aniq, kamroq bo'lsa, noaniq bo'ladi.

Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin savol tug'iladi: asl tenglamalar tizimidan qanday qilib hal qilinganini olish mumkin? Buning uchun bor