Matematika o'qituvchisini tinglaganda, ko'pchilik o'quvchilar materialni aksioma sifatida qabul qiladilar. Shu bilan birga, bir nechta odam pastga tushishga harakat qiladi va nima uchun "minus" dan "ortiqcha" "minus" belgisini beradi va ikkita salbiy sonni ko'paytirishda ijobiy chiqadi.

Matematika qonunlari

Aksariyat kattalar o'zlariga yoki farzandlariga nima uchun bu sodir bo'lishini tushuntira olmaydilar. Ular maktabda ushbu materialni yaxshilab o'zlashtirganlar, lekin ular bunday qoidalar qaerdan kelganini aniqlashga harakat qilishmagan. Lekin behuda. Ko'pincha, zamonaviy bolalar unchalik ishonuvchan emaslar, ular masalaning tubiga kirib, nima uchun "minus" da "ortiqcha" "minus" berishini tushunishlari kerak. Va ba'zida tomboylar kattalar tushunarli javob bera olmagan paytdan zavqlanish uchun ataylab qiyin savollarni berishadi. Va agar yosh o'qituvchi muammoga duch kelsa, bu haqiqatan ham falokat ...

Aytgancha, shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytib o'tilgan qoida ko'paytirish va bo'lish uchun ham amal qiladi. Salbiy va ijobiy sonning mahsuloti faqat minus beradi. Agar biz "-" belgisi bilan ikkita raqam haqida gapiradigan bo'lsak, natijada ijobiy raqam bo'ladi. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. Agar raqamlardan biri manfiy bo'lsa, u holda qism ham "-" belgisi bilan bo'ladi.

Matematikaning ushbu qonunining to'g'riligini tushuntirish uchun halqa aksiomalarini shakllantirish kerak. Lekin avval bu nima ekanligini tushunishingiz kerak. Matematikada ikkita elementli ikkita operatsiya ishtirok etadigan to'plamni halqa deb atash odatiy holdir. Ammo buni misol bilan tushunish yaxshiroqdir.

Ring aksiomasi

Bir nechta matematik qonunlar mavjud.

• Ulardan birinchisi, uning so'zlariga ko'ra, C + V = V + C o'zgaruvchan.
• Ikkinchisi assotsiativ (V + C) + D = V + (C + D) deb ataladi.

Ko'paytirish (V x C) x D \u003d V x (C x D) ham ularga bo'ysunadi.

Qavslarni ochish qoidalarini hech kim bekor qilmagan (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ekanligi ham haqiqatdir.

Bundan tashqari, halqaga maxsus, qo'shilishi mumkin bo'lmagan neytral elementni kiritish mumkinligi aniqlandi, uning yordamida quyidagilar to'g'ri bo'ladi: C + 0 = C. Bundan tashqari, har bir C uchun qarama-qarshi element mavjud bo'lib, u mumkin. (-C) sifatida belgilansin. Bunday holda, C + (-C) \u003d 0.

Manfiy sonlar uchun aksiomalarni chiqarish

Yuqoridagi gaplarni qabul qilib, biz savolga javob berishimiz mumkin: “minus”dagi “plyus” qanday belgini beradi? Salbiy sonlarni ko'paytirish aksiomasini bilib, haqiqatan ham (-C) x V = -(C x V) ekanligini tasdiqlash kerak. Va shuningdek, quyidagi tenglik to'g'ri: (-(-C)) = C.

Buning uchun birinchi navbatda elementlarning har birida faqat bitta qarama-qarshi "aka" borligini isbotlashimiz kerak. Quyidagi dalil misolini ko'rib chiqing. Keling, C - V va D uchun ikkita raqam qarama-qarshi ekanligini tasavvur qilishga harakat qilaylik. Bundan kelib chiqadiki, C + V = 0 va C + D = 0, ya'ni C + V = 0 = C + D. Ko'chirish qonunlarini eslab qolish. va 0 sonining xususiyatlari haqida, biz barcha uch sonning yig'indisini ko'rib chiqishimiz mumkin: C, V va D. Keling, V ning qiymatini aniqlashga harakat qilaylik. V = V + 0 = V + (C +) mantiqan. D) = V + C + D, chunki yuqorida qabul qilingan C + D qiymati 0 ga teng. Demak, V = V + C + D.

D ning qiymati xuddi shu tarzda chiqariladi: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Bundan kelib chiqqan holda, V = D ekanligi ayon bo'ladi.

Nima uchun "minus" dagi "ortiqcha" "minus" ni berishini tushunish uchun siz quyidagilarni tushunishingiz kerak. Demak, (-C) element uchun teskarisi C va (-(-C)), ya'ni ular bir-biriga teng.

Shunda 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V ekanligi ayon bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, C x V (-) C x V ga qarama-qarshidir. , bu (- C) x V = -(C x V) degan ma'noni anglatadi.

To'liq matematik qat'iylik uchun, shuningdek, har qanday element uchun 0 x V = 0 ekanligini tasdiqlash kerak. Agar siz mantiqqa amal qilsangiz, u holda 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Bu degani, 0 x V mahsulotini qo'shish belgilangan miqdorni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Axir, bu mahsulot nolga teng.

Bu aksiomalarning barchasini bilib, nafaqat "minus" ning "ortiqcha" qancha ko'pligini, balki manfiy sonlar ko'paytirilganda nima sodir bo'lishini ham aniqlash mumkin.

Ikki sonni "-" belgisi bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar siz matematik nuanslarni o'rganmasangiz, unda siz manfiy raqamlar bilan harakat qoidalarini soddaroq tarzda tushuntirishga harakat qilishingiz mumkin.

Faraz qilaylik, C - (-V) = D, shundan kelib chiqqan holda, C = D + (-V), ya'ni C = D - V. Vni o'tkazamiz va biz C + V = D ni olamiz. Ya'ni C + V = C - (-V). Bu misol qatorda ikkita “minus” bo‘lgan iborada nima uchun ko‘rsatilgan belgilarni “ortiqcha” ga o‘zgartirish kerakligini tushuntiradi. Endi ko'paytirish bilan shug'ullanamiz.

(-C) x (-V) \u003d D, ifodaga ikkita bir xil mahsulot qo'shilishi va ayirilishi mumkin, bu uning qiymatini o'zgartirmaydi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Qavslar bilan ishlash qoidalarini eslab, biz quyidagilarni olamiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan kelib chiqadiki, C x V \u003d (-C) x (-V).

Xuddi shunday, ikkita manfiy sonni bo'lish natijasi ijobiy bo'lishini isbotlashimiz mumkin.

Umumiy matematik qoidalar

Albatta, bunday tushuntirish mavhum salbiy raqamlarni o'rganishni boshlagan boshlang'ich maktab o'quvchilari uchun mos emas. Ko'rinadigan oyna orqali tanish atamani manipulyatsiya qilib, ko'rinadigan narsalar haqida tushuntirishlari yaxshiroqdir. Masalan, ixtiro qilingan, ammo mavjud bo'lmagan o'yinchoqlar u erda joylashgan. Ular "-" belgisi bilan ko'rsatilishi mumkin. Ikkita ko'zoynak ob'ektining ko'payishi ularni boshqa dunyoga o'tkazadi, bu hozirgi kunga tenglashtiriladi, ya'ni natijada bizda ijobiy raqamlar mavjud. Ammo mavhum manfiy sonni ijobiyga ko'paytirish faqat hamma uchun tanish bo'lgan natijani beradi. Axir, "ortiqcha" "minus" ga ko'paytirilsa, "minus" beradi. To'g'ri, bolalar barcha matematik nuanslarni o'rganish uchun juda ko'p harakat qilmaydi.

Garchi, agar siz haqiqatga duch kelsangiz, ko'p odamlar uchun, hatto oliy ma'lumotga ega bo'lsa ham, ko'plab qoidalar sir bo'lib qolmoqda. Har bir inson o'z o'qituvchilari o'rgatgan narsalarni tabiiy deb biladi, matematika to'lib-toshgan barcha murakkabliklarni o'rganishga shoshilmaydi. "Minus" da "minus" "ortiqcha" beradi - bu haqda hamma istisnosiz biladi. Bu butun sonlar uchun ham, kasr sonlar uchun ham amal qiladi.

UMK liniyasi G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matematika (5-6)

Matematika

Nega minus marta minus har doim ortiqcha beradi?

Natural sonlarning afzalliklari

Birinchidan, arifmetika tarixiga sho'ng'ib olaylik. Dastlab odamlar faqat natural sonlarni - bir, ikki, uch va hokazolarni qo'llashlari tabiiy. Ular elementlarning haqiqiy sonini hisoblash uchun ishlatilgan. Xuddi shunday, hamma narsadan tashqari, raqamlar foydasiz edi, shuning uchun raqamlar bilan ishlash mumkin bo'lgan harakatlar paydo bo'la boshladi. Qo'shish inson uchun eng zarur narsaga aylangani mutlaqo mantiqiy. Ushbu operatsiya oddiy va tabiiydir - elementlarning sonini hisoblash osonlashdi, endi har safar yana sanash shart emas edi - "bir, ikki, uch". Ballarni almashtirish endi “bir plyus ikkiga teng uch” amali yordamida mumkin. Natural sonlar qo'shildi, javob ham natural son edi.

Ko'paytirish asosan bir xil qo'shilish edi. Amalda, hozir ham, masalan, xaridlarni amalga oshirayotganda, ota-bobolarimiz uzoq vaqt oldin bo'lgani kabi, biz ham qo'shish va ko'paytirishdan foydalanamiz. Biroq, ba'zan ayirish va bo'lish operatsiyalarini bajarish kerak edi. Va raqamlar har doim ham ekvivalent bo'lmagan - ba'zida ular olib tashlagan raqam ayirilgan raqamdan kamroq edi. Bo'linish bilan ham xuddi shunday. Shunday qilib, kasr sonlar paydo bo'ldi.

Salbiy raqamlarning ko'rinishi

Salbiy raqamlarning yozuvlari eramizning 7-asrida Hindiston hujjatlarida paydo bo'lgan. Xitoy hujjatlarida bu matematik “fakt”ning eskiroq yozuvlari bor.

Hayotda biz ko'pincha katta raqamdan kichikroq sonni ayirib tashlaymiz. Masalan: Menda 100 rubl, non va sut 65 rubl; 100 - 65 = 35 rubl o'zgaradi. Agar men boshqa mahsulot sotib olmoqchi bo'lsam, uning narxi qolgan 35 rublimdan oshadi, masalan, yana bitta sut, men uni qancha sotib olmoqchi bo'lsam ham, menda ko'proq pul yo'q, shuning uchun menda manfiy raqamlar kerak emas.

Biroq, zamonaviy hayot haqida gapirishni davom ettirsak, keling, kredit kartalari yoki mobil operatorning qo'ng'iroqlarni amalga oshirishda "minusga kirishi" qobiliyatini eslatib o'tamiz. Sizda mavjud bo'lgandan ko'ra ko'proq pul sarflash mumkin bo'ladi, ammo qarzingiz yo'qolmaydi, balki qarzga yoziladi. Va bu erda salbiy raqamlar allaqachon yordamga keladi: kartada 100 rubl bor, non va ikkita sut menga 110 rublga tushadi; sotib olgandan so'ng, mening kartadagi balansim -10 rubl.

Amalda xuddi shu maqsadlarda ular birinchi marta salbiy raqamlardan foydalanishni boshladilar. Xitoyliklar birinchi bo'lib ulardan qarzlarni yozish yoki tenglamalarning oraliq yechimlarida foydalanganlar. Lekin foydalanish hali faqat ijobiy raqamga kelish uchun edi (ammo, bizning kredit karta to'lov kabi). Salbiy raqamlarning uzoq vaqtdan beri rad etilishi, ular aniq ob'ektlarni ifoda etmaganligi bilan yordam berdi. O'n tanga o'n tanga, mana ular, teginish mumkin, ular bilan mol sotib olish mumkin. "Minus o'n tanga" nimani anglatadi? Qarz bo'lsa ham, ular kutiladi. Ushbu qarz qaytariladimi yoki yo'qmi, "yozilgan" tangalar haqiqiyga aylanadimi yoki yo'qmi noma'lum. Agar muammoni yechishda manfiy raqam olinsa, noto'g'ri javob chiqqan yoki umuman javob yo'q deb hisoblangan. Bunday ishonchsiz munosabat odamlar orasida uzoq vaqt saqlanib qoldi, hatto matematikada yutuq yaratgan Dekart (17-asr) ham salbiy raqamlarni "noto'g'ri" deb hisobladi.

Qo'llanmaning vazifalari matematikani o'qitishning to'rtinchi yilining asosiy mavzularini o'zlashtirishda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan qiyinchiliklarning oldini olishga imkon beradi, fazoviy tasavvurlarni, o'quvchilarning geometrik kuzatishini rivojlantirishga yordam beradi va o'z-o'zini nazorat qilish ko'nikmalarini shakllantirishga yordam beradi.

Salbiy raqamlar bilan harakatlar qoidalarini shakllantirish

9x-12=4x-2 tenglamani ko'rib chiqaylik. Tenglamani yechish uchun noma’lum sonli hadlarni bir tomonga, ma’lum sonlarni esa ikkinchi tomonga o‘tkazish kerak. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin.

Birinchi yo'l.

Biz tenglamaning noma'lum qismini chapga, boshqa raqamlarni esa o'ngga siljitamiz. Ma'lum bo'lishicha:

Javob topildi. Biz bajarishimiz kerak bo'lgan barcha harakatlar uchun biz hech qachon salbiy raqamlardan foydalanmadik.

Ikkinchi yo'l.

Endi biz tenglamaning noma'lum qismini o'ngga, qolgan a'zolarini esa chapga o'tkazamiz. Biz olamiz:

Yechimni topish uchun bitta manfiy sonni boshqasiga bo'lish kerak. Biroq, biz oldingi yechimda to'g'ri javobni oldik - bu x ikkiga teng. Shuning uchun (-10)/(-5)=2 degan xulosaga kelish kerak.

Xuddi shu tenglamani yechishning bu ikki usuli bizga nimani isbotlaydi? Ayon bo'ladigan birinchi narsa - bu manfiy sonlar bilan ishlashning adekvatligi qanday chiqarilganligi - olingan javob faqat natural sonlar yordamida hal qilishda bo'lgani kabi bo'lishi kerak. Ikkinchi nuqta - manfiy bo'lmagan raqamni olish uchun endi qiymatlar haqida o'ylashingiz shart emas. Ayniqsa murakkab tenglamalar uchun yechishning eng qulay usulini tanlashingiz mumkin. Ba'zi amallar haqida o'ylamaslikka imkon bergan harakatlar (faqat natural sonlar bo'lishi uchun nima qilish kerak; undan ayirish uchun qaysi raqam kattaroq va hokazo) matematikaning "abstraksiya" yo'lidagi dastlabki qadamlari bo'ldi. .

Tabiiyki, salbiy raqamlar bilan barcha harakatlar qoidalari bir vaqtning o'zida shakllanmagan. Yechimlar to'plandi, misollar umumlashtirildi, buning asosida ular asta-sekin asosiy aksiomalarni "chizishni" boshladilar. Matematikaning rivojlanishi bilan yangi qoidalarning chiqarilishi bilan abstraktsiyaning yangi darajalari paydo bo'ldi. Masalan, o'n to'qqizinchi asrda butun sonlar va ko'phadlarning tashqi ko'rinishi har xil bo'lsa-da, ko'p umumiyliklari borligi isbotlandi. Ularning barchasini qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Ular bo'ysunadigan qoidalar ularga bir tarzda ta'sir qiladi. Ba'zi butun sonlarni boshqalarga bo'lish masalasiga kelsak, bu erda qiziqarli fakt "kutadi" - javob har doim ham butun son bo'lmaydi. Xuddi shu qonun ko'phadlar uchun ham amal qiladi.

Keyinchalik, matematik ob'ektlarning boshqa ko'plab to'plamlari ochildi, ularda bunday operatsiyalarni bajarish mumkin edi: rasmiy darajalar qatorlari, uzluksiz funktsiyalar ... Vaqt o'tishi bilan matematiklar operatsiyalarning xususiyatlarini o'rganib chiqqandan so'ng, bu kabi amallarni qo'llash mumkinligini aniqladilar. bu ob'ektlarning barcha to'plamlariga olib keladi. Zamonaviy matematikada ham xuddi shunday.

Yana qiziqarli narsalar:

• 2018/2019 o'quv yilida matematika o'qituvchisi ishining xususiyatlari
• Boshlang'ich maktabda matematikani o'rgatishda o'qituvchilarning odatiy xatolari
• Boshlang'ich maktabda matematikadan sinfdan tashqari ishlar

Sof matematik yondashuv

Vaqt o'tishi bilan matematiklar yangi atama - uzukni aniqladilar. Ring - elementlar va ular ustida bajarilishi mumkin bo'lgan operatsiyalar to'plami. To'plam elementlarining tabiati emas, balki harakatlar bo'ysunadigan qoidalar (aksiomalarning o'zi) asosiy bo'ladi. Aksiomalar kiritilgandan so'ng paydo bo'ladigan tuzilmaning ustuvorligini ta'kidlash uchun odatda "halqa" atamasi qo'llaniladi: butun sonlar halqasi, ko'phadlar halqasi va boshqalar. Aksiomalardan foydalanib va ​​ulardan kelib chiqib, aniqlash mumkin. halqalarning yangi xossalari.

Biz butun sonlar bilan operatsiyalar aksiomalariga o'xshash halqa qoidalarini tuzamiz va har qanday halqada minusni minusga ko'paytirish ortiqcha natijaga olib kelishini isbotlaymiz.

Halqa - bu an'anaviy ravishda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar (har bir operatsiya halqaning ikkita elementini o'z ichiga oladi) va quyidagi aksiomalarga ega bo'lgan to'plamdir:

Halqa elementlarini qo'shish kommutativ (A va B har qanday elementlar uchun A + B = B + A) va kombinatsiya (A + (B + C) = (A + B) + C) qonunlariga bo'ysunadi; halqada maxsus element 0 (qo‘shilish orqali neytral element) mavjud bo‘lib, A + 0 = A bo‘ladi va A ning har qanday elementi uchun qarama-qarshi element ((-A) bilan belgilanadi) A + (-A) = 0 bo‘ladi. ;

Ko'paytirish birikma qonuniga bo'ysunadi: A (B C) = (A B) C;

Qo'shish va ko'paytirish quyidagi qavsni kengaytirish qoidalari bilan bog'liq:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Aniqlik kiritaylikki, halqalar, eng umumiy konstruksiyada, ko‘paytirishning o‘zgaruvchan bo‘lishini ham, uning teskariligini ham (bo‘lish operatsiyasi har doim ham mumkin emas) yoki ko‘paytirishga nisbatan neytral element – ​​birlikning mavjudligini talab qilmaydi. Agar biz bu aksiomalarni kiritsak, biz boshqa algebraik tuzilmalarni olamiz, lekin halqalar uchun isbotlangan barcha tegishli teoremalar bilan.

Matematika. 6-sinf. Ish kitobi raqami 1.

Ish daftarida yangi materialni o'zlashtirish va mustahkamlash bo'yicha har xil turdagi vazifalar, rivojlanayotgan xarakterdagi vazifalar, tabaqalashtirilgan ta'limga imkon beradigan qo'shimcha vazifalar mavjud. Daftar “Matematika. "Muvaffaqiyat algoritmi" o'quv-uslubiy to'plamlari tizimiga kiritilgan 6-sinf "(ad. A.G. Merzlyak, V.B. Polonskiy, M.S. Yakir).

Keyingi qadam ixtiyoriy halqaning har qanday A va B elementlari uchun quyidagi to'g'ri ekanligini isbotlashdan iborat: (-A) B = -(A B) va (-(-A)) = A.

Bundan biz birliklar haqida bayonotlarni olamiz:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Keyinchalik, ba'zi fikrlarni isbotlashimiz kerak. Birinchidan, har bir element uchun faqat bitta qarama-qarshilik mavjudligini aniqlash kerak. Aytaylik, A elementi ikkita qarama-qarshi elementga ega: B va C. Ya'ni, A + B \u003d 0 \u003d A + C. A + B + C yig'indisini tahlil qilaylik. Kommutativ va assotsiativ qonunlardan, shuningdek, xususiyatlardan foydalangan holda. nolga teng bo'lsa, biz yig'indini olamiz:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Shuning uchun B = C.

A va (-(-A)) ham (-A) elementga qarama-qarshi ekanligini unutmang. Demak, A va (-(-A)) elementlar teng bo'lishi kerak degan xulosaga kelamiz.

bular. (-A) B A B ga qarama-qarshidir, shuning uchun u -(A B) ga teng.

B ning istalgan elementi uchun 0 · B = 0 ekanligini unutmang.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

shuning uchun 0 B qo'shilishi yig'indini o'zgartirmaydi. Ma'lum bo'lishicha, bu mahsulot nolga teng.

Haqiqatan ham, nega? Eng oson javob: "Chunki bu salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari". Biz maktabda o'rganadigan qoidalar va hayotimiz davomida amal qiladi. Biroq, darsliklarda qoidalar nima uchun shunday ekanligi tushuntirilmagan. Biz esladik - bu shunday va endi savol bermang.

Va so'raylik ...

Uzoq vaqt oldin odamlarga faqat natural sonlar ma'lum bo'lgan: 1, 2, 3, ... Ular idishlarni, o'ljalarni, dushmanlarni va hokazolarni hisoblash uchun ishlatilgan. ular. Qo'shish aniq va tushunarli, bundan tashqari, ikkita natural sonning yig'indisi ham natural sondir (matematik qo'shish amali ostida natural sonlar to'plami yopilgan deb aytadi). Ko'paytirish, aslida, agar biz natural sonlar haqida gapiradigan bo'lsak, bir xil qo'shilishdir. Hayotda biz ko'pincha ushbu ikki operatsiya bilan bog'liq harakatlarni bajaramiz (masalan, xarid qilishda biz qo'shamiz va ko'paytiramiz) va ota-bobolarimiz ularga kamroq duch kelgan deb o'ylash g'alati - qo'shish va ko'paytirish insoniyat tomonidan juda uzoq vaqt davomida o'zlashtirilgan. oldin. Ko'pincha bir miqdorni boshqasiga bo'lish kerak bo'ladi, lekin bu erda natija har doim ham natural son bilan ifodalanmaydi - kasr raqamlari shunday paydo bo'ldi.

Albatta, ayirish ham ajralmas hisoblanadi. Lekin amalda biz kichik sonni katta raqamdan ayirishga moyilmiz va manfiy sonlarni ishlatishning hojati yo'q. (Agar menda 5 ta konfet bo'lsa va 3 tasini opamga bersam, menda 5 - 3 = 2 ta konfet bo'ladi, lekin men unga 7 ta konfetni butun xohishim bilan bera olmayman.) Bu odamlar nega manfiy raqamlardan foydalanmaganligini tushuntirishi mumkin. uzoq vaqt davomida; anchadan beri.


Miloddan avvalgi 7-asrda Hindiston hujjatlarida salbiy raqamlar paydo bo'ladi; xitoyliklar, aftidan, ularni biroz oldinroq qo'llashni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olishda yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - bu faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlarning ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni uyg'otdi. So'zning so'zma-so'z ma'nosida odamlar salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammo salbiy javob olsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq davom etdi va hatto zamonaviy matematikaning "asoschilari" dan biri Dekart ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

Masalan, 7x - 17 \u003d 2x - 2 tenglamasini ko'rib chiqing. Uni quyidagicha hal qilish mumkin: noma'lum shartlarni chap tomonga, qolganini o'ngga siljiting, siz 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Shu bilan biz yechimda manfiy sonlarni ham uchratmadik.

Ammo buni boshqacha qilish mumkin edi: noma'lum shartlarni o'ng tomonga siljiting va 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x ni oling. Noma'lumni topish uchun bitta manfiy sonni boshqasiga bo'lish kerak: x = (-15)/(-5). Ammo to'g'ri javob ma'lum va (-15)/(-5) = 3 degan xulosaga kelish kerak.

Ushbu oddiy misol nimani ko'rsatadi? Birinchidan, manfiy sonlar bo'yicha harakatlar qoidalarini aniqlagan mantiq aniq bo'ladi: bu harakatlarning natijalari salbiy raqamlarsiz, boshqa yo'l bilan olingan javoblarga mos kelishi kerak. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan yechim yo'lini izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilayotgan miqdorlarning mazmunliligi haqida o'ylay olmaymiz - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bo'yicha harakatlar qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini shartli ravishda bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich oldingisidan ob'ektlarni o'rganishda yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar butun sonlar va ko'phadlar, ularning tashqi o'xshashligidan qat'i nazar, juda ko'p umumiy tomonlarga ega ekanligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlarda ham, ko'phadlarda ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun sonlar bo'lishi har doim ham mumkin emas. Xuddi shu narsa polinomlar uchun ham amal qiladi.

Keyin bunday operatsiyalarni bajarish mumkin bo'lgan boshqa matematik ob'ektlar to'plamlari topildi: rasmiy darajalar qatorlari, uzluksiz funktsiyalar ... Nihoyat, agar siz operatsiyalarning xususiyatlarini o'rgansangiz, natijalarni bularning barchasiga qo'llash mumkinligi tushunildi. ob'ektlar to'plami (bu yondashuv barcha zamonaviy matematikaga xosdir).

Natijada yangi tushuncha paydo bo'ldi: uzuk. Bu shunchaki elementlar to'plami va ular ustida bajarilishi mumkin bo'lgan harakatlar. Bu erda asosiy qoidalar - bu to'plam elementlarining tabiatiga emas, balki harakatlarga bo'ysunadigan qoidalar (ular aksioma deb ataladi) (bu erda mavhumlikning yangi darajasi!). Aynan aksiomalar kiritilgandan keyin paydo bo'ladigan struktura muhimligini ta'kidlashni istab, matematiklar: butun sonlar halqasi, ko'phadlilar halqasi va boshqalarni aytadilar. Aksiomalardan boshlab, halqalarning boshqa xususiyatlarini ham chiqarish mumkin.

Biz halqaning aksiomalarini shakllantiramiz (ular, albatta, butun sonlar bilan amal qilish qoidalariga o'xshaydi) va keyin har qanday halqada minusni minusga ko'paytirish ortiqcha natijaga olib kelishini isbotlaymiz.

Halqa - an'anaviy ravishda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar (ya'ni, halqaning ikkita elementi har bir operatsiyada ishtirok etadi) va quyidagi aksiomalarga ega bo'lgan to'plamdir:

Halqa elementlarini qo'shish kommutativ (A va B har qanday elementlar uchun A + B = B + A) va kombinatsiya (A + (B + C) = (A + B) + C) qonunlariga bo'ysunadi; halqada maxsus element 0 (qo‘shilish orqali neytral element) mavjud bo‘lib, A + 0 = A bo‘ladi va A ning har qanday elementi uchun qarama-qarshi element ((-A) bilan belgilanadi) A + (-A) = 0 bo‘ladi. ;
- ko'paytirish birikma qonuniga bo'ysunadi: A (B C) = (A B) C;
qo'shish va ko'paytirish quyidagi qavsni kengaytirish qoidalari bilan bog'liq: (A + B) C = A C + B C va A (B + C) = A B + A C.

Biz shuni ta'kidlaymizki, halqalar, eng umumiy konstruktsiyada, ko'paytirish o'zgaruvchan bo'lishni talab qilmaydi va u o'zgarmas (ya'ni har doim ham bo'linib bo'lmaydi) yoki birlik, neytral element mavjudligini talab qilmaydi. ko'paytirishga nisbatan. Agar bu aksiomalar kiritilsa, u holda boshqa algebraik tuzilmalar olinadi, lekin halqalar uchun isbotlangan barcha teoremalar ularda to'g'ri bo'ladi.

Keling, ixtiyoriy halqaning har qanday A va B elementlari uchun birinchidan, (-A) B = -(A B), ikkinchidan (-(-A)) = A ekanligini isbotlaylik. Bu osonlik bilan birliklar haqidagi gaplarni nazarda tutadi: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 va (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Buning uchun biz ba'zi faktlarni aniqlashimiz kerak. Birinchidan, har bir element faqat bitta qarama-qarshilikka ega bo'lishi mumkinligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, A elementi ikkita qarama-qarshi bo'lsin: B va C. Ya'ni, A + B = 0 = A + C. A + B + C yig'indisini ko'rib chiqing. Assotsiativ va kommutativ qonunlar va nol xossasidan foydalanib, biz shuni oling, bir tomondan yig'indi B ga teng: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, boshqa tomondan esa C ga teng: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Demak, B = C.

E'tibor bering, A va (-(-A)) bir xil elementning (-A) qarama-qarshi tomonlari, shuning uchun ular teng bo'lishi kerak.

Birinchi fakt quyidagicha olinadi: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ya'ni (-A) B A B ga qarama-qarshi, shuning uchun u - ga teng. (A B).

Matematik jihatdan qat'iy bo'lish uchun, keling, nima uchun B ning har qanday elementi uchun 0·B = 0 ekanligini tushuntiramiz. Haqiqatan ham, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ya'ni, 0 B qo'shilishi yig'indini o'zgartirmaydi. Shunday qilib, bu mahsulot nolga teng.

Ringda roppa-rosa bitta nol borligi (axir, aksiomalarda bunday element borligi aytiladi, lekin uning o'ziga xosligi haqida hech narsa aytilmagan!), biz oddiy mashq sifatida o'quvchiga qoldiramiz.

Evgeniy Epifanov

Minus va plyus matematikada manfiy va ijobiy sonlarning belgilaridir. Ular o'zlari bilan turli yo'llar bilan o'zaro ta'sir qiladilar, shuning uchun raqamlar bilan har qanday harakatlarni bajarishda, masalan, bo'lish, ko'paytirish, ayirish, qo'shish va hokazolarni hisobga olish kerak. imzo qoidalari. Ushbu qoidalarsiz siz hech qachon eng oddiy algebraik yoki geometrik masalani hal qila olmaysiz. Ushbu qoidalarni bilmasangiz, siz nafaqat matematikani, balki fizika, kimyo, biologiya va hatto geografiyani ham o'rgana olmaysiz.

Keling, belgilarning asosiy qoidalarini batafsil ko'rib chiqaylik.

Bo'lim.

Agar "ortiqcha" ni "minus" ga bo'lsak, biz doimo "minus" olamiz. Agar "minus" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz doimo "minus" ni ham olamiz. Agar "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz "ortiqcha" olamiz. Agar biz "minus" ni "minus" ga bo'lsak, g'alati, biz ham "ortiqcha" olamiz.

Ko'paytirish.

Agar "minus" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" olamiz. Agar "ortiqcha" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" ni ham olamiz. Agar biz "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz ijobiy sonni olamiz, ya'ni "ortiqcha". Xuddi shu narsa ikkita salbiy raqam uchun ham amal qiladi. Agar "minus" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz "ortiqcha" olamiz.

Ayirish va qo'shish.

Ular boshqa printsiplarga asoslanadi. Agar manfiy raqam mutlaq qiymatda bizning musbatimizdan kattaroq bo'lsa, natija, albatta, salbiy bo'ladi. Albatta, siz modul nima ekanligini va nima uchun bu erda ekanligiga qiziqasiz. Hammasi juda oddiy. Modul - bu raqamning qiymati, ammo belgisiz. Misol uchun -7 va 3. Modulo -7 faqat 7 bo'ladi va 3 qoladi 3. Natijada, biz 7 katta ekanligini ko'ramiz, ya'ni bizning manfiy raqamimiz kattaroq bo'lib chiqadi. Shunday qilib, -7 + 3 \u003d -4 chiqadi. Buni yanada osonlashtirish mumkin. Faqat ijobiy raqamni birinchi o'ringa qo'ying va 3-7 = -4 chiqadi, ehtimol kimdir uchun bu tushunarliroqdir. Ayirish xuddi shunday ishlaydi.

Natural sonlarni, oddiy va o'nli kasrlarni ko'paytirish qobiliyatini mustahkamlash;

Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishni o'rganing;

Guruhlarda ishlash qobiliyatini rivojlantirish

Qiziqishni, matematikaga qiziqishni rivojlantirish; mavzu bo'yicha fikrlash va gapirish qobiliyati.

Uskunalar: termometrlar va uylarning modellari, aqliy hisoblash va test ishi uchun kartalar, ko'paytirish uchun belgilar qoidalari bilan plakat.

Motivatsiya

O'qituvchi . Bugun biz yangi mavzuni o'rganishni boshlaymiz. Biz yangi uy qurmoqchimiz. Ayting-chi, uyning mustahkamligini nima belgilaydi?

Keling, bizning poydevorimiz nima ekanligini, ya'ni bilimimizning mustahkamligini tekshiramiz. Men sizga dars mavzusini aytmadim. U kodlangan, ya'ni og'zaki hisoblash uchun topshiriqda yashiringan. Ehtiyotkor va ehtiyotkor bo'ling. Mana misollar bilan kartalar. Ularni yechish va harfni javobga moslashtirish orqali siz dars mavzusining nomini bilib olasiz.

O'qituvchi. Demak, bu so'z ko'paytirishdir. Ammo biz ko'paytirish bilan allaqachon tanishmiz. Nega biz uni o'rganishimiz kerak? Yaqinda qanday raqamlarni uchratdingiz?

[Ijobiy va salbiy bilan.]

Biz ularni ko'paytira olamizmi? Shuning uchun dars mavzusi "Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirish" bo'ladi.

Siz misollarni tez va to'g'ri hal qildingiz. Yaxshi poydevor qo'yildi. ( Namunaviy uy bo'yicha o'qituvchi « yotadi» asos.) Menimcha, uy bardoshli bo'ladi.

Yangi mavzuni o'rganish

O'qituvchi . Endi devorlarni quraylik. Ular zamin va tomni, ya'ni eski mavzuni yangi bilan bog'laydi. Endi siz guruhlarda ishlaysiz. Har bir guruhga birgalikda yechish uchun masala beriladi, keyin esa sinfga yechimini tushuntiradi.

1-guruh

Har soatda havo harorati 2° ga pasayadi. Endi termometr nol darajani ko'rsatadi. 3 soatdan keyin u qanday haroratni ko'rsatadi?

Guruh qarori. Hozir harorat 0 ga teng va har soatda harorat 2° ga pasayganligi sababli, 3 soatdan keyin harorat -6° bo'lishi aniq. Haroratning pasayishini -2°, vaqtni esa +3 soat deb belgilaymiz. Keyin (-2) 3 = -6 deb taxmin qilishimiz mumkin.

O'qituvchi . Va agar omillarni, ya'ni 3 (-2) ni qayta joylashtirsam nima bo'ladi?

Talabalar. Javob bir xil: -6, chunki ko'paytirishning kommutativ xususiyati qo'llaniladi.

Har soatda havo harorati 2° ga pasayadi. Endi termometr nol darajani ko'rsatadi. 3 soat oldin termometr qanday havo haroratini ko'rsatdi?

Guruh qarori. Har soatda havo harorati 2° ga tushib, hozir esa 0 ga teng boʻlgani uchun 3 soat oldin +6° boʻlgani koʻrinib turibdi. Haroratning pasayishini -2 ° ga, o'tgan vaqtni esa -3 soatga belgilaymiz. Keyin (–2) (–3) = 6 deb taxmin qilishimiz mumkin.

O'qituvchi . Siz hali musbat va manfiy sonlarni qanday ko‘paytirishni bilmayapsiz. Ammo ular bunday raqamlarni ko'paytirish kerak bo'lgan muammolarni hal qilishdi. Ijobiy va manfiy sonlarni, ikkita manfiy sonni ko'paytirish qoidalarini o'zingizdan chiqarishga harakat qiling. ( Talabalar qoidani tushunishga harakat qilmoqdalar.) Yaxshi. Endi darsliklarni ochib, musbat va manfiy sonlarni ko‘paytirish qoidalarini o‘qib chiqamiz. Qoidangizni darslikda yozilgani bilan solishtiring.

1-qoida Turli xil belgilarga ega ikkita raqamni ko'paytirish uchun siz ushbu raqamlarning modullarini ko'paytirishingiz va natijada olingan mahsulot oldiga "-" belgisini qo'yishingiz kerak.

2-qoida. Ikkita raqamni bir xil belgilar bilan ko'paytirish uchun siz ushbu raqamlarning modullarini ko'paytirishingiz va natijada olingan mahsulot oldiga "+" belgisini qo'yishingiz kerak.

O'qituvchi. Poydevorni qurishda siz ko'rganingizdek, sizda tabiiy va kasr sonlarini ko'paytirishda muammo yo'q. Ijobiy va salbiy sonlarni ko'paytirishda muammolar paydo bo'lishi mumkin. Nega?

Eslab qoling! Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishda:

1) belgini aniqlang;
2) modullarning hosilasini toping.

O'qituvchi . Ko'paytirish belgilari uchun eslab qolish juda oson bo'lgan mnemonik qoidalar mavjud. Qisqacha aytganda, ular quyidagicha tuzilgan:

"+" "+" \u003d "+" - ortiqcha ustidagi ortiqcha ortiqcha beradi;
“–” “+” = “–” - minus plyus minus beradi;
"+" "-" \u003d "-" - ortiqcha minus minus beradi;
“–” · “–” = “+” - minus marta minus ortiqcha beradi.

(O`quvchilar daftarlariga belgilar qoidasini yozadilar.)

O'qituvchi . Agar biz o'zimizni va do'stlarimizni ijobiy, dushmanlarimizni esa salbiy deb hisoblasak, buni aytishimiz mumkin:

Do'stimning do'sti mening do'stim.
Do'stimning dushmani mening dushmanim.
Dushmanimning do'sti dushmanimdir.
Dushmanimning dushmani mening do'stimdir.

O'rganilgan narsani birlamchi tushunish va qo'llash

Doskada og'iz orqali eritma uchun misollar. Talabalar qoidani aytadilar:

O'qituvchi . Hammasi tushunarli? Savol yo'qmi? Shunday qilib, devorlar quriladi. ( O'qituvchi devorlarni o'rnatadi.) Endi biz nimani qurmoqdamiz?

(Doskaga to‘rt nafar talaba chaqiriladi.)

O'qituvchi. Tom tayyormi?

(O'qituvchi namunaviy uyga tom qo'yadi.)

Talabalar ishni bitta variantda bajaradilar.

Ishni tugatgandan so'ng, ular qo'shnisi bilan daftar almashadilar. O'qituvchi to'g'ri javoblarni xabar qiladi, o'quvchilar esa bir-birlariga baho qo'yadilar.

Darsning xulosasi. Reflektsiya

O'qituvchi. Dars boshida maqsadimiz nima edi? Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishni o'rgandingizmi? ( Ular qoidalarni takrorlaydilar.) Ushbu darsda ko'rganingizdek, har bir yangi mavzu yillar davomida kapital qurilishi kerak bo'lgan uydir. Aks holda, barcha binolaringiz qisqa vaqtdan keyin qulab tushadi. Shuning uchun hamma narsa sizga bog'liq. Men, yigitlar, omad sizga doimo tabassum qilishini, bilimlarni o'zlashtirishda muvaffaqiyatlar tilayman.

Imzo qoidalari

imzo qoidalari

Keling, belgilarning asosiy qoidalarini batafsil ko'rib chiqaylik.

Agar "ortiqcha" ni "minus" ga bo'lsak, biz doimo "minus" olamiz. Agar "minus" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz doimo "minus" ni ham olamiz. Agar "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz "ortiqcha" olamiz. Agar biz "minus" ni "minus" ga bo'lsak, g'alati, biz ham "ortiqcha" olamiz.

Agar "minus" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" olamiz. Agar "ortiqcha" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" ni ham olamiz. Agar biz "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz ijobiy sonni olamiz, ya'ni "ortiqcha". Xuddi shu narsa ikkita salbiy raqam uchun ham amal qiladi. Agar "minus" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz "ortiqcha" olamiz.

Ular boshqa printsiplarga asoslanadi. Agar manfiy raqam mutlaq qiymatda bizning musbatimizdan kattaroq bo'lsa, natija, albatta, salbiy bo'ladi. Albatta, siz modul nima ekanligini va nima uchun bu erda ekanligiga qiziqasiz. Hammasi juda oddiy. Modul - bu raqamning qiymati, ammo belgisiz. Misol uchun -7 va 3. Modulo -7 faqat 7 bo'ladi va 3 qoladi 3. Natijada, biz 7 katta ekanligini ko'ramiz, ya'ni bizning manfiy raqamimiz kattaroq bo'lib chiqadi. Shunday qilib, -7 + 3 \u003d -4 chiqadi. Buni yanada osonlashtirish mumkin. Faqat ijobiy raqamni birinchi o'ringa qo'ying va 3-7 = -4 chiqadi, ehtimol kimdir uchun bu tushunarliroqdir. Ayirish xuddi shunday ishlaydi.

Nima uchun minus marta minus ortiqchaga teng?

"Mening dushmanimning dushmani mening do'stimdir".

Uzoq vaqt oldin odamlarga faqat natural sonlar ma'lum edi: 1, 2, 3, . Ular idishlarni, o'ljalarni, dushmanlarni va hokazolarni hisoblash uchun ishlatilgan. Lekin raqamlarning o'zi juda foydasiz - siz ularni boshqarishingiz kerak. Qo'shish aniq va tushunarli, bundan tashqari, ikkita natural sonning yig'indisi ham natural sondir (matematik qo'shish amali ostida natural sonlar to'plami yopilgan deb aytadi). Ko'paytirish, aslida, agar biz natural sonlar haqida gapiradigan bo'lsak, bir xil qo'shilishdir. Hayotda biz ko'pincha ushbu ikki operatsiya bilan bog'liq harakatlarni bajaramiz (masalan, xarid qilishda biz qo'shamiz va ko'paytiramiz) va ota-bobolarimiz ularga kamroq duch kelgan deb o'ylash g'alati - qo'shish va ko'paytirish insoniyat tomonidan juda uzoq vaqt davomida o'zlashtirilgan. oldin. Ko'pincha bir miqdorni boshqasiga bo'lish kerak bo'ladi, lekin bu erda natija har doim ham natural son sifatida ifodalanmaydi - kasr sonlar shunday paydo bo'ldi.

Miloddan avvalgi 7-asrda Hindiston hujjatlarida salbiy raqamlar paydo bo'ladi; xitoyliklar, aftidan, ularni biroz oldinroq qo'llashni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olishda yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - bu faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlarning ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni uyg'otdi. So'zning so'zma-so'z ma'nosida odamlar salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammo salbiy javob olsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq davom etdi va hatto Dekart - zamonaviy matematikaning "asoschilari" dan biri - ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

7x - 17 = 2x - 2. Buni shunday hal qilish mumkin: noma'lum shartlarni chap tomonga, qolganini o'ngga siljiting, u chiqadi. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Ammo tasodifan buni boshqacha qilish mumkin: noma'lum shartlarni o'ng tomonga o'tkazing va oling 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5)x. Noma'lumni topish uchun bitta manfiy sonni boshqasiga bo'lish kerak: x = (–15)/(–5). Ammo to'g'ri javob ma'lum va bu haqda xulosa qilish kerak (–15)/(–5) = 3 .

. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan yechim yo'lini izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilayotgan miqdorlarning mazmunliligi haqida o'ylay olmaymiz - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bo'yicha harakatlar qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini shartli ravishda bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich oldingisidan ob'ektlarni o'rganishda yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar butun sonlar va ko'phadlar, ularning tashqi o'xshashligidan qat'i nazar, juda ko'p umumiy tomonlarga ega ekanligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlarda ham, ko'phadlarda ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun sonlar bo'lishi har doim ham mumkin emas. Xuddi shu narsa polinomlar uchun ham amal qiladi.

uzuk aksiomalar

uzuk

• A + B = B + A har qanday elementlar uchun A va B) va assotsiativ ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, va har qanday element uchun A (–A)), nima A + (–A) = 0 ;
• ko'paytirish birikma qonuniga bo'ysunadi: A (B C) = (A B) C ;

E'tibor bering, halqalar, eng umumiy konstruksiyada, ko'paytirishning o'zgaruvchan bo'lishini talab qilmaydi, u inversiyani ham talab qilmaydi (ya'ni, har doim ham bo'linib bo'lmaydi), ko'paytirishga nisbatan neytral element - birlikning mavjudligi. Agar bu aksiomalar kiritilsa, u holda boshqa algebraik tuzilmalar olinadi, lekin halqalar uchun isbotlangan barcha teoremalar ularda to'g'ri bo'ladi.

A ikkita qarama-qarshilik mavjud: B va Bilan. Ya'ni A + B = 0 = A + C. Jamni hisobga oling A+B+C B: C: . Ma'nosi, B=C .

Endi shuni ta'kidlaymiz A, va (–(–A)) (–A)

Birinchi fakt quyidagicha olinadi: ya'ni, (-A) B qarama-qarshi A B, shuning uchun u ga teng –(A B) .

0 B = 0 har qanday element uchun B. Haqiqatdan ham, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Ya'ni, qo'shimcha 0 B

Minusni minusga ko'paytirish qoidalari





Bir oz cho'zilgan holda, xuddi shu tushuntirish 1-5 mahsulot uchun mos keladi, agar biz bitta "yig'indi" deb faraz qilsak.

muddat bu muddatga teng. Ammo 0 5 yoki (-3) 5 ko'paytmasini bu tarzda tushuntirib bo'lmaydi: nol yoki minus uchta hadning yig'indisi nimani anglatadi?

Biroq, omillarni qayta tartibga solish mumkin

Agar biz omillarni qayta joylashtirganda mahsulot o'zgarmasligini istasak - xuddi ijobiy raqamlar uchun bo'lgani kabi - demak, shunday deb taxmin qilishimiz kerak.

Endi (-3) (-5) ko'paytmaga o'tamiz. Bu nimaga teng: -15 yoki +15? Ikkala variant ham mantiqiy. Bir tomondan, bitta omildagi minus allaqachon mahsulotni salbiy qiladi - agar ikkala omil ham salbiy bo'lsa, u salbiy bo'lishi kerak. Boshqa tomondan, Jadvalda. 7 allaqachon ikkita minusga ega, lekin faqat bitta ortiqcha va "adolatli" (-3) - (-5) +15 ga teng bo'lishi kerak. Xo'sh, nimani afzal ko'rasiz?



Albatta, bunday suhbatlar sizni chalkashtirib yubormaydi: maktab matematika kursidan siz minus bilan minus ortiqcha bo'lishini aniq bilib oldingiz. Ammo tasavvur qiling-a, sizning akangiz yoki opangiz sizdan so'radi: nega? Bu nima - o'qituvchining injiqligi, yuqori hokimiyatga ishorami yoki isbotlanishi mumkin bo'lgan teoremami?

Odatda, salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasi jadvalda keltirilgan misollar yordamida tushuntiriladi. sakkiz.



Buni boshqa yo'l bilan tushuntirish mumkin. Keling, raqamlarni qatorga yozamiz

Keling, bir xil sonlarni 3 ga ko'paytiramiz:

Har bir raqam oldingisidan 3 ga ko'p ekanligini ko'rish oson.Endi bir xil raqamlarni teskari tartibda yozamiz (masalan, 5 va 15 dan boshlab):



Shu bilan birga, -15 raqami -5 raqami ostida bo'lib chiqdi, shuning uchun 3 (-5) \u003d -15: ortiqcha minus minus beradi.

Endi 1,2,3,4,5 sonlarini ko'paytirib, xuddi shu tartibni takrorlaymiz. -3 ga (biz allaqachon bilamizki, ortiqcha marta minus minusga teng):

Pastki qatorning har bir keyingi soni oldingisidan 3 ga kichik. Raqamlarni teskari tartibda yozamiz.



-5 soni 15 bo'lib chiqdi, shuning uchun (-3) (-5) = 15.

Ehtimol, bu tushuntirishlar sizning ukangizni yoki singlingizni qoniqtirar. Lekin siz narsalarning qandayligini so'rashga haqlisiz va (-3) (-5) = 15 ekanligini isbotlash mumkinmi?

Bu yerda javob shuki, (-3) (-5) 15 ga teng bo‘lishi kerakligini isbotlash mumkin, faqat qo‘shish, ayirish va ko‘paytirishning odatiy xossalari barcha sonlar, jumladan, manfiy sonlar uchun ham to‘g‘ri bo‘lishini istasak. Ushbu dalilning sxemasi quyidagicha.

Avval 3 (-5) = -15 ekanligini isbotlaymiz. -15 nima? Bu 15 ning teskarisi, ya'ni 15 ni 0 ga qo'shadigan raqam. Demak, buni isbotlashimiz kerak.

(3-qavs ichida biz ab + ac = a(b + c) distributiv qonunidan foydalandik - axir u barcha raqamlar, jumladan manfiy raqamlar uchun ham to‘g‘ri bo‘lib qoladi deb taxmin qilamiz.) Demak, (Shuning uchun sinchkov o‘quvchi bizdan so‘raydi. Biz halol tan olamiz: bu haqiqatning isboti - umuman nol nima ekanligini muhokama qilish kabi - biz o'tkazib yuboramiz.)

Endi (-3) (-5) = 15 ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun yozamiz



va tenglamaning ikkala tomonini -5 ga ko'paytiring:

Chap tarafdagi qavslarni ochamiz:

ya'ni (-3) (-5) + (-15) = 0. Shunday qilib, son -15 raqamiga qarama-qarshi, ya'ni 15 ga teng. (Bu fikrda ham bo'shliqlar mavjud: buni isbotlash kerak edi. va -15 ga qarama-qarshi faqat bitta raqam bor.)

Salbiy qoida. Nega minus marta minus plyusga teng

Matematika o'qituvchisini tinglaganda, ko'pchilik o'quvchilar materialni aksioma sifatida qabul qiladilar. Shu bilan birga, bir nechta odam pastga tushishga harakat qiladi va nima uchun "minus" dan "ortiqcha" "minus" belgisini beradi va ikkita salbiy sonni ko'paytirishda ijobiy chiqadi.

Matematika qonunlari

Aksariyat kattalar o'zlariga yoki farzandlariga nima uchun bu sodir bo'lishini tushuntira olmaydilar. Ular maktabda ushbu materialni yaxshilab o'zlashtirganlar, lekin ular bunday qoidalar qaerdan kelganini aniqlashga harakat qilishmagan. Lekin behuda. Ko'pincha, zamonaviy bolalar unchalik ishonuvchan emaslar, ular masalaning tubiga kirib, nima uchun "minus" da "ortiqcha" "minus" berishini tushunishlari kerak. Va ba'zida tomboylar kattalar tushunarli javob bera olmagan paytdan zavqlanish uchun ataylab qiyin savollarni berishadi. Va agar yosh o'qituvchi tartibsizlikka tushib qolsa, bu haqiqatan ham falokat.

Aytgancha, shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytib o'tilgan qoida ko'paytirish va bo'lish uchun ham amal qiladi. Salbiy va ijobiy sonning mahsuloti faqat minus beradi. Agar biz "-" belgisi bilan ikkita raqam haqida gapiradigan bo'lsak, natijada ijobiy raqam bo'ladi. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. Agar raqamlardan biri manfiy bo'lsa, u holda qism ham "-" belgisi bilan bo'ladi.

Matematikaning ushbu qonunining to'g'riligini tushuntirish uchun halqa aksiomalarini shakllantirish kerak. Lekin avval bu nima ekanligini tushunishingiz kerak. Matematikada ikkita elementli ikkita operatsiya ishtirok etadigan to'plamni halqa deb atash odatiy holdir. Ammo buni misol bilan tushunish yaxshiroqdir.

Ring aksiomasi

Bir nechta matematik qonunlar mavjud.

• Ulardan birinchisi, uning so'zlariga ko'ra, C + V = V + C o'zgaruvchan.
• Ikkinchisi assotsiativ (V + C) + D = V + (C + D) deb ataladi.

Ko'paytirish (V x C) x D \u003d V x (C x D) ham ularga bo'ysunadi.

Qavslarni ochish qoidalarini hech kim bekor qilmagan (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ekanligi ham haqiqatdir.

Bundan tashqari, halqaga maxsus, qo'shilishi mumkin bo'lmagan neytral elementni kiritish mumkinligi aniqlandi, uning yordamida quyidagilar to'g'ri bo'ladi: C + 0 = C. Bundan tashqari, har bir C uchun qarama-qarshi element mavjud bo'lib, u mumkin. (-C) sifatida belgilansin. Bunday holda, C + (-C) \u003d 0.

Manfiy sonlar uchun aksiomalarni chiqarish

Yuqoridagi gaplarni qabul qilib, biz savolga javob berishimiz mumkin: "" Plus "on" minus "qanday belgi beradi?" Salbiy sonlarni ko'paytirish aksiomasini bilib, haqiqatan ham (-C) x V = -(C x V) ekanligini tasdiqlash kerak. Va shuningdek, quyidagi tenglik to'g'ri: (-(-C)) = C.

Buning uchun birinchi navbatda elementlarning har birida faqat bitta qarama-qarshi "aka" borligini isbotlashimiz kerak. Quyidagi dalil misolini ko'rib chiqing. Keling, C - V va D uchun ikkita raqam qarama-qarshi ekanligini tasavvur qilishga harakat qilaylik. Bundan C + V = 0 va C + D = 0, ya'ni C + V = 0 = C + D. Sishish qonunlarini esga olib, shunday bo'ladi. va 0 sonining xususiyatlari haqida, biz barcha uch sonning yig'indisini ko'rib chiqishimiz mumkin: C, V va D. Keling, V ning qiymatini aniqlashga harakat qilaylik. V = V + 0 = V + (C +) mantiqan. D) = V + C + D, chunki yuqorida qabul qilingan C + D qiymati 0 ga teng. Demak, V = V + C + D.

D ning qiymati xuddi shu tarzda chiqariladi: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Bundan kelib chiqqan holda, V = D ekanligi ayon bo'ladi.

Nima uchun "minus" dagi "ortiqcha" "minus" ni berishini tushunish uchun siz quyidagilarni tushunishingiz kerak. Demak, (-C) element uchun teskarisi C va (-(-C)), ya'ni ular bir-biriga teng.

Shunda 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V ekanligi ayon bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, C x V (-) C x V ga qarama-qarshidir. , bu (- C) x V = -(C x V) degan ma'noni anglatadi.

To'liq matematik qat'iylik uchun, shuningdek, har qanday element uchun 0 x V = 0 ekanligini tasdiqlash kerak. Agar siz mantiqqa amal qilsangiz, u holda 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Bu degani, 0 x V mahsulotini qo'shish belgilangan miqdorni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Axir, bu mahsulot nolga teng.

Bu aksiomalarning barchasini bilib, nafaqat "minus" ning "ortiqcha" qancha ko'pligini, balki manfiy sonlar ko'paytirilganda nima sodir bo'lishini ham aniqlash mumkin.

Ikki sonni "-" belgisi bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar siz matematik nuanslarni o'rganmasangiz, unda siz manfiy raqamlar bilan harakat qoidalarini soddaroq tarzda tushuntirishga harakat qilishingiz mumkin.

Faraz qilaylik, C - (-V) = D, shundan kelib chiqqan holda, C = D + (-V), ya'ni C = D - V. Vni o'tkazamiz va biz C + V = D ni olamiz. Ya'ni C + V = C - (-V). Bu misol qatorda ikkita “minus” bo‘lgan iborada nima uchun ko‘rsatilgan belgilarni “ortiqcha” ga o‘zgartirish kerakligini tushuntiradi. Endi ko'paytirish bilan shug'ullanamiz.

(-C) x (-V) \u003d D, ifodaga ikkita bir xil mahsulot qo'shilishi va ayirilishi mumkin, bu uning qiymatini o'zgartirmaydi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Qavslar bilan ishlash qoidalarini eslab, biz quyidagilarni olamiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan kelib chiqadiki, C x V \u003d (-C) x (-V).

Xuddi shunday, ikkita manfiy sonni bo'lish natijasi ijobiy bo'lishini isbotlashimiz mumkin.

Umumiy matematik qoidalar

Albatta, bunday tushuntirish mavhum salbiy raqamlarni o'rganishni boshlagan boshlang'ich maktab o'quvchilari uchun mos emas. Ko'rinadigan oyna orqali tanish atamani manipulyatsiya qilib, ko'rinadigan narsalar haqida tushuntirishlari yaxshiroqdir. Masalan, ixtiro qilingan, ammo mavjud bo'lmagan o'yinchoqlar u erda joylashgan. Ular "-" belgisi bilan ko'rsatilishi mumkin. Ikkita ko'zoynak ob'ektining ko'payishi ularni boshqa dunyoga o'tkazadi, bu hozirgi kunga tenglashtiriladi, ya'ni natijada bizda ijobiy raqamlar mavjud. Ammo mavhum manfiy sonni ijobiyga ko'paytirish faqat hamma uchun tanish bo'lgan natijani beradi. Axir, "ortiqcha" "minus" ga ko'paytirilsa, "minus" beradi. To'g'ri, bolalar barcha matematik nuanslarni o'rganish uchun juda ko'p harakat qilmaydi.

Garchi, agar siz haqiqatga duch kelsangiz, ko'p odamlar uchun, hatto oliy ma'lumotga ega bo'lsa ham, ko'plab qoidalar sir bo'lib qolmoqda. Har bir inson o'z o'qituvchilari o'rgatgan narsalarni tabiiy deb biladi, matematika to'lib-toshgan barcha murakkabliklarni o'rganishga shoshilmaydi. "Minus" da "minus" "ortiqcha" beradi - buni hamma istisnosiz biladi. Bu butun sonlar uchun ham, kasr sonlar uchun ham amal qiladi.

Minus va plyus matematikada manfiy va ijobiy sonlarning belgilaridir. Ular o'zlari bilan turli yo'llar bilan o'zaro ta'sir qiladilar, shuning uchun raqamlar bilan har qanday harakatlarni bajarishda, masalan, bo'lish, ko'paytirish, ayirish, qo'shish va hokazolarni hisobga olish kerak. imzo qoidalari. Ushbu qoidalarsiz siz hech qachon eng oddiy algebraik yoki geometrik masalani hal qila olmaysiz. Ushbu qoidalarni bilmasangiz, siz nafaqat matematikani, balki fizika, kimyo, biologiya va hatto geografiyani ham o'rgana olmaysiz.

Ayirish va qo'shish.

Ikki inkor tasdiqlovchini hosil qiladi- bu biz maktabda o'rgangan va butun hayotimiz davomida amal qiladigan qoidadir. Oramizda kim nima uchun hayron bo'ldi? Albatta, bu gapni boshqa savollarsiz yodlab olish va masalaning mohiyatiga chuqur kirib bormaslik osonroq. Endi "hazm qilish" kerak bo'lgan etarli ma'lumot allaqachon mavjud. Ammo bu savolga hali ham qiziqqanlar uchun biz ushbu matematik hodisani tushuntirishga harakat qilamiz.

Qadim zamonlardan beri odamlar musbat natural sonlardan foydalanib kelishgan: 1, 2, 3, 4, 5, ... Mollar, ekinlar, dushmanlar va boshqalar sonlar yordamida sanalgan. Ikki musbat sonni qo‘shish va ko‘paytirishda ular har doim musbat songa ega bo‘lgan, ba’zi miqdorlarni boshqalarga bo‘lishda ham har doim ham natural sonlar chiqmagan – kasr sonlar shunday paydo bo‘lgan. Ayirish haqida nima deyish mumkin? Bolalikdan biz bilamizki, kichikni kattaga qo'shish va kattaroqdan kichikni ayirish yaxshidir, shu bilan birga biz yana salbiy raqamlardan foydalanmaymiz. Ma’lum bo‘lishicha, menda 10 ta olma bo‘lsa, birovga 10 yoki 10 tadan kam beraman, 13 ta olmani ilojim yo‘q. Uzoq vaqt davomida salbiy raqamlarga ehtiyoj qolmadi.

Faqat milodiy 7-asrdan boshlab. manfiy sonlar ayrim sanoq sistemalarida yordamchi qiymatlar sifatida ishlatilgan, bu esa javobda musbat sonni olish imkonini berdi.

Bir misolni ko'rib chiqing, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Javobni topish uchun noma'lum shartlarni chap tomonda, qolganlarini o'ngda qoldirish kerak: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Ushbu tenglamani yechishda bizda hatto manfiy raqamlar ham yo'q. Noma'lum shartlarni o'ng tomonga, noma'lumlari esa chapga o'tkazishimiz mumkin: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Salbiy raqamni manfiyga bo'lganda, biz ijobiy javob olamiz: x \u003d 7.

Salbiy raqamlarga ega harakatlar bizni faqat ijobiy raqamlarga ega bo'lgan harakatlar bilan bir xil javobga olib kelishi kerak. Biz endi harakatlarning amaliy yaroqsizligi va mazmunliligi haqida o'ylay olmaymiz - ular muammoni faqat ijobiy raqamlar bilan shaklga tushirmasdan, muammoni tezroq hal qilishga yordam beradi. Bizning misolimizda biz murakkab hisob-kitoblardan foydalanmadik, lekin ko'p sonli atamalar bilan salbiy raqamlar bilan hisob-kitoblar bizning ishimizni osonlashtirishi mumkin.

Vaqt o'tishi bilan, uzoq tajribalar va hisob-kitoblardan so'ng, barcha raqamlar va ulardagi harakatlar (matematikada ular aksiomalar deb ataladi) bo'ysunadigan qoidalarni aniqlash mumkin bo'ldi. Bu qaerdan kelgan aksioma ikkita manfiy sonni ko'paytirganda musbat sonni olishini bildiradi.

www.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

1) Nima uchun minus bir marta minus birga teng plyus bir?
2) Nima uchun minus bir marta plyus birga teng minus bir?

"Mening dushmanimning dushmani mening do'stimdir".

Eng oson javob: "Chunki bu salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari". Biz maktabda o'rganadigan qoidalar va hayotimiz davomida amal qiladi. Biroq, darsliklarda qoidalar nima uchun shunday ekanligi tushuntirilmagan. Biz buni birinchi navbatda arifmetikaning rivojlanish tarixidan tushunishga harakat qilamiz, keyin esa bu savolga zamonaviy matematika nuqtai nazaridan javob beramiz.

Uzoq vaqt oldin odamlarga faqat natural sonlar ma'lum edi: 1, 2, 3, . Ular idishlarni, o'ljalarni, dushmanlarni va hokazolarni hisoblash uchun ishlatilgan. Lekin raqamlarning o'zi juda foydasiz - siz ularni qanday boshqarishni bilishingiz kerak. Qo'shish aniq va tushunarli, bundan tashqari, ikkita natural sonning yig'indisi ham natural sondir (matematik qo'shish amali ostida natural sonlar to'plami yopilgan deb aytadi). Ko'paytirish, aslida, agar biz natural sonlar haqida gapiradigan bo'lsak, bir xil qo'shilishdir. Hayotda biz ko'pincha ushbu ikki operatsiya bilan bog'liq harakatlarni bajaramiz (masalan, xarid qilishda biz qo'shamiz va ko'paytiramiz) va ota-bobolarimiz ularga kamroq duch kelgan deb o'ylash g'alati - qo'shish va ko'paytirish insoniyat tomonidan juda uzoq vaqt davomida o'zlashtirilgan. oldin. Ko'pincha bir miqdorni boshqasiga bo'lish kerak bo'ladi, lekin bu erda natija har doim ham natural son bilan ifodalanmaydi - kasr raqamlari shunday paydo bo'ldi.

Albatta, ayirish ham ajralmas hisoblanadi. Lekin amalda biz kichik sonni katta raqamdan ayirishga moyilmiz va manfiy sonlarni ishlatishning hojati yo'q. (Agar menda 5 ta konfet bo'lsa va 3 tasini opamga bersam, menda 5 - 3 = 2 ta konfet bo'ladi, lekin men unga 7 ta konfetni butun xohishim bilan bera olmayman.) Bu odamlar nega manfiy raqamlardan foydalanmaganligini tushuntirishi mumkin. uzoq vaqt davomida; anchadan beri.

Miloddan avvalgi 7-asrda Hindiston hujjatlarida salbiy raqamlar paydo bo'ladi; xitoyliklar, aftidan, ularni biroz oldinroq qo'llashni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olishda yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - bu faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlarning ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni uyg'otdi. So'zning so'zma-so'z ma'nosida odamlar salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammo salbiy javob olsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq davom etdi va hatto zamonaviy matematikaning "asoschilari" dan biri Dekart ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

Masalan, tenglamani ko'rib chiqing 7x - 17 = 2x - 2. Buni shunday hal qilish mumkin: noma'lum shartlarni chap tomonga, qolganini o'ngga siljiting, u chiqadi. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Ushbu yechim bilan biz hatto salbiy raqamlarni uchratmadik.

Ushbu oddiy misol nimani ko'rsatadi? Birinchidan, manfiy raqamlardagi harakatlar qoidalarini aniqlagan mantiq aniq bo'ladi: bu harakatlarning natijalari manfiy raqamlarsiz, boshqacha tarzda olingan javoblarga mos kelishi kerak. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan yechim yo'lini izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilayotgan miqdorlarning mazmunliligi haqida o'ylay olmaymiz - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bo'yicha harakatlar qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini shartli ravishda bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich oldingisidan ob'ektlarni o'rganishda yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar butun sonlar va ko'phadlar, ularning tashqi o'xshashligidan qat'i nazar, juda ko'p umumiy tomonlarga ega ekanligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlarda ham, ko'phadlarda ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun sonlar bo'lishi har doim ham mumkin emas. Xuddi shu narsa polinomlar uchun ham amal qiladi.

Keyin bunday operatsiyalarni bajarish mumkin bo'lgan boshqa matematik ob'ektlar to'plamlari topildi: rasmiy darajalar qatorlari, uzluksiz funktsiyalar. Va nihoyat, agar siz operatsiyalarning xususiyatlarini o'rgansangiz, natijalar ushbu ob'ektlarning barcha to'plamlariga qo'llanilishi mumkinligi tushuniladi (bu yondashuv barcha zamonaviy matematikaga xosdir).

Natijada yangi kontseptsiya paydo bo'ldi: uzuk. Bu shunchaki elementlar to'plami va ular ustida bajarilishi mumkin bo'lgan harakatlar. Bu erda asosiy qoidalar faqat qoidalar (ular deyiladi aksiomalar) to'plam elementlarining tabiati emas, balki qaysi harakatlar bo'ysunadi (bu erda mavhumlikning yangi darajasi!). Aynan aksiomalar kiritilgandan keyin paydo bo'ladigan struktura muhimligini ta'kidlashni istab, matematiklar: butun sonlar halqasi, ko'phadlilar halqasi va boshqalarni aytadilar. Aksiomalardan boshlab, halqalarning boshqa xususiyatlarini ham chiqarish mumkin.

Biz halqaning aksiomalarini shakllantiramiz (ular, albatta, butun sonlar bilan amal qilish qoidalariga o'xshaydi) va keyin har qanday halqada minusni minusga ko'paytirish ortiqcha natijaga olib kelishini isbotlaymiz.

uzuk an'anaviy ravishda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar (ya'ni, halqaning ikkita elementi har bir operatsiyada ishtirok etadi) va quyidagi aksiomalarga ega to'plam deb ataladi:

• halqa elementlarini qo'shish kommutativga bo'ysunadi ( A + B = B + A har qanday elementlar uchun A va B) va assotsiativ ( A + (B + C) = (A + B) + C) qonunlar; halqada maxsus element 0 (qo'shish orqali neytral element) mavjud, shunday qilib A + 0 = A, va har qanday element uchun A qarama-qarshi element mavjud (belgilangan (–A)), nima A + (–A) = 0 ;
• qo'shish va ko'paytirish quyidagi qavslarni kengaytirish qoidalari bilan bog'liq: (A + B) C = A C + B C va A (B + C) = A B + A C .

Biz shuni ta'kidlaymizki, halqalar, eng umumiy konstruktsiyada, ko'paytirish o'zgaruvchan bo'lishni talab qilmaydi va u o'zgarmas (ya'ni har doim ham bo'linib bo'lmaydi) yoki birlik, neytral element mavjudligini talab qilmaydi. ko'paytirishga nisbatan. Agar bu aksiomalar kiritilsa, u holda boshqa algebraik tuzilmalar olinadi, lekin halqalar uchun isbotlangan barcha teoremalar ularda to'g'ri bo'ladi.

Endi biz buni har qanday elementlar uchun isbotlaymiz A va B ixtiyoriy halqa to'g'ri, birinchidan, (–A) B = –(A B), va ikkinchidan (–(–A)) = A. Bundan birliklar haqidagi bayonotlar osongina kelib chiqadi: (–1) 1 = –(1 1) = –1 va (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Buning uchun biz ba'zi faktlarni aniqlashimiz kerak. Birinchidan, har bir element faqat bitta qarama-qarshilikka ega bo'lishi mumkinligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, elementga ruxsat bering A ikkita qarama-qarshilik mavjud: B va Bilan. Ya'ni A + B = 0 = A + C. Jamni hisobga oling A+B+C. Assotsiativ va kommutativ qonunlar va nol xossasidan foydalanib, biz bir tomondan yig'indiga teng ekanligini olamiz. B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, va boshqa tomondan, u tengdir C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ma'nosi, B=C .

Endi shuni ta'kidlaymiz A, va (–(–A)) bir xil elementga qarama-qarshidir (–A), shuning uchun ular teng bo'lishi kerak.

Birinchi fakt shunday bo'ladi: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, ya'ni (-A) B qarama-qarshi A B, shuning uchun u ga teng –(A B) .

Matematik jihatdan qat'iy bo'lish uchun keling, nima uchun buni tushuntirib beraylik 0 B = 0 har qanday element uchun B. Haqiqatdan ham, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Ya'ni, qo'shimcha 0 B miqdorini o'zgartirmaydi. Shunday qilib, bu mahsulot nolga teng.

Ringda roppa-rosa bitta nol borligi (axir, aksiomalarda bunday element borligi aytiladi, lekin uning o'ziga xosligi haqida hech narsa aytilmagan!), biz oddiy mashq sifatida o'quvchiga qoldiramiz.