Bir xil asosiy formula bilan logarifmlarni bo'lish. Logarifmik tenglamalarni yechish. Toʻliq qoʻllanma (2019)

Ushbu maqolaning diqqat markazida logarifm. Bu erda logarifmning ta'rifini beramiz, ko'rsatamiz qabul qilingan belgi, logarifmlarga misollar keltiring, natural va o‘nlik logarifmlar haqida gapiring. Shundan so'ng, asosiy logarifmik identifikatsiyani ko'rib chiqing.

Sahifani navigatsiya qilish.

Logarifmning ta'rifi

Logarifm tushunchasi muammoni hal qilishda paydo bo'ladi ma'lum ma'noda ko'rsatkichni topish kerak bo'lganda teskari ma'lum qiymat daraja va ma'lum baza.

Ammo muqaddima etarli, "logarifm nima" degan savolga javob berish vaqti keldi? Keling, tegishli ta'rifni beraylik.

Ta'rif.

b ning a asosiga logarifmi, bu erda a>0, a≠1 va b>0 ko'rsatkich bo'lib, natijada b olish uchun a sonini ko'tarish kerak.

Ushbu bosqichda biz "logarifm" og'zaki so'zi darhol ikkita keyingi savolni ko'tarishi kerakligini ta'kidlaymiz: "qanday raqam" va "qanday asosda". Boshqacha qilib aytganda, oddiygina logarifm yo'q, lekin ba'zi bir asosda faqat sonning logarifmi mavjud.

Biz darhol tanishtiramiz logarifm yozuvi: b sonining a asosiga logarifmi odatda log a b sifatida belgilanadi. b sonining e asosiga logarifmi va 10 asosining logarifmi mos ravishda lnb va lgb o'zlarining maxsus belgilariga ega, ya'ni ular log e b emas, balki lnb yozadilar va log 10 b emas, balki lgb ni yozadilar.

Endi siz olib kelishingiz mumkin: .
Va yozuvlar mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida logarifm belgisi ostida manfiy raqam, ikkinchisida - asosdagi manfiy son, uchinchisida - logarifm belgisi ostidagi manfiy son ham, asosdagi birlik ham.

Endi gaplashaylik logarifmlarni o'qish qoidalari. Kirish jurnali a b "a asosiga b ning logarifmi" deb o'qiladi. Masalan, log 2 3 - 2-sonli uchta logarifm va ikki nuqtaning uchdan ikki qismining logarifmi. Kvadrat ildiz beshdan. e asosining logarifmi deyiladi tabiiy logarifm, va lnb yozuvi "b ning natural logarifmi" sifatida o'qiladi. Misol uchun, ln7 - ettitaning natural logarifmi va biz uni pi ning natural logarifmi sifatida o'qiymiz. 10-asosning logarifmi ham maxsus nomga ega - o'nlik logarifm, va lgb yozuvi "o'nlik logarifm b" sifatida o'qiladi. Masalan, lg1 - bittaning o'nlik logarifmi, lg2.75 esa ikki nuqtaning yetmish besh yuzdan bir qismining o'nlik logarifmi.

Logarifmning ta'rifi berilgan a>0, a≠1 va b>0 shartlar haqida alohida to'xtalib o'tish joiz. Keling, ushbu cheklovlar qaerdan kelib chiqqanligini tushuntirib beraylik. Buning uchun bizga yuqorida keltirilgan logarifm ta'rifidan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadigan shaklning tengligi yordam beradi.

a≠1 dan boshlaylik. Har qanday daraja birga teng bo'lganligi sababli, tenglik faqat b=1 uchun to'g'ri bo'lishi mumkin, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin. Bu noaniqlikni oldini olish uchun a≠1 qabul qilinadi.

a>0 shartining maqsadga muvofiqligini asoslab beraylik. a=0 bilan, logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz tenglikka ega bo'lar edik, bu faqat b=0 bilan mumkin. Ammo log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan kuch nolga teng. Bu noaniqlikni a≠0 sharti bilan bartaraf etish mumkin. Va a uchun<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nihoyat, a>0 tengsizlikdan b>0 sharti kelib chiqadi, chunki , va musbat asosli daraja qiymati har doim musbat.

Ushbu bandning yakunida shuni aytamizki, logarifmning ovozli ta'rifi logarifm belgisi ostidagi raqam ma'lum darajadagi asos bo'lganida, logarifmning qiymatini darhol ko'rsatishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifmning ta'rifi, agar b=a p bo'lsa, b sonining a asosiga bo'lgan logarifmi p ga teng ekanligini ta'kidlash imkonini beradi. Ya'ni log a a p =p tengligi to'g'ri. Masalan, biz bilamizki, 2 3 =8 , keyin log 2 8=3 . Bu haqda maqolada ko'proq gaplashamiz.

Natural logarifmning asosiy xossalari, grafigi, ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, asosiy formulalari, hosila, integral, darajali qatorda kengayish va ln x funksiyani kompleks sonlar yordamida tasvirlash berilgan.

Ta'rif

tabiiy logarifm y = funktsiyasidir ln x, ko'rsatkichga teskari, x \u003d e y , va bu e sonining asosining logarifmi: ln x = log e x.

Tabiiy logarifm matematikada keng qo'llaniladi, chunki uning hosilasi eng oddiy shaklga ega: (ln x)' = 1/ x.

Asoslangan ta'riflar, natural logarifmning asosi sondir e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = funksiyaning grafigi ln x.

Natural logarifm grafigi (funksiyalar y = ln x) ko'rsatkich grafigidan y = x to'g'ri chiziq atrofida ko'zguda aks ettirilgan holda olinadi.

Tabiiy logarifm x ning musbat qiymatlari uchun aniqlanadi. U ta'rif sohasi bo'yicha monoton ravishda ortadi.

x → sifatida 0 natural logarifmning chegarasi minus cheksizlik ( - ∞ ).

X → + ∞ sifatida natural logarifmning chegarasi ortiqcha cheksizlikdir ( + ∞ ). Katta x uchun logarifm ancha sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi x a musbat ko'rsatkichli a logarifmadan tezroq o'sadi.

Natural logarifmning xossalari

Ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, ekstremal, o'sish, pasayish

Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Tabiiy logarifmning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

ln x qiymatlari

log 1 = 0

Tabiiy logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadigan formulalar:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Har qanday logarifmni tabiiy logarifmlar yordamida asosiy o'zgarish formulasi yordamida ifodalash mumkin:

Ushbu formulalarning isbotlari "Logarifm" bo'limida keltirilgan.

Teskari funksiya

Natural logarifmning o'zaro nisbati ko'rsatkichdir.

Agar , keyin

Agar, keyin.

Hosil ln x

Natural logarifmning hosilasi:
.
X modulining natural logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Integral

Integral qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi:
.
Shunday qilib,

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqaylik:
.
Kompleks o‘zgaruvchini ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki
.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. Agar qo'ysak
, bu yerda n butun son,
u holda har xil n uchun bir xil son bo'ladi.

Shuning uchun, tabiiy logarifm, murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida emas yagona qiymatli funktsiya.

Quvvat seriyasining kengayishi

, uchun kengayish sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

Ushbu video bilan men logarifmik tenglamalar bo'yicha uzoq darslarni boshlayman. Endi sizda bir vaqtning o'zida uchta misol bor, ular asosida biz eng oddiy vazifalarni hal qilishni o'rganamiz, ular shunday deb ataladi - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Sizga shuni eslatib o'tamanki, eng oddiy logarifmik tenglama quyidagicha:

log a f(x) = b

X o'zgaruvchisi faqat argument ichida, ya'ni faqat f(x) funktsiyasida bo'lishi muhim. Va a va b raqamlari shunchaki raqamlar va hech qanday holatda x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan funktsiyalar emas.

Asosiy yechim usullari

Bunday tuzilmalarni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Masalan, maktabdagi ko'pchilik o'qituvchilar buni taklif qilishadi: formuladan foydalanib, darhol f ( x ) funktsiyasini ifodalang f( x ) = a b. Ya'ni, eng oddiy qurilishni uchratganingizda, qo'shimcha harakatlar va inshootlarsiz darhol yechimga o'tishingiz mumkin.

Ha, albatta, qaror to'g'ri bo'ladi. Biroq, bu formula bilan bog'liq muammo ko'pchilik talabalar tushunmaslik, qaerdan keladi va nima uchun aynan a harfini b harfiga ko'taramiz.

Natijada, men ko'pincha, masalan, bu harflar almashtirilganda juda haqoratli xatolarni kuzataman. Ushbu formulani tushunish yoki yodlash kerak, ikkinchi usul esa eng noaniq va eng muhim daqiqalarda xatolarga olib keladi: imtihonlarda, testlarda va hokazo.

Shuning uchun men barcha o'quvchilarimga standart maktab formulasidan voz kechishni va logarifmik tenglamalarni echishda ikkinchi usuldan foydalanishni taklif qilaman, siz uni nomidan taxmin qilganingizdek, shunday deb nomlanadi. kanonik shakl.

Kanonik shaklning g'oyasi oddiy. Vazifamizni yana bir bor ko'rib chiqamiz: chap tomonda log a ga egamiz, a harfi esa aynan sonni bildiradi va hech qanday holatda x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan funktsiyani bildirmaydi. Shuning uchun, bu xat logarifm asosiga qo'yilgan barcha cheklovlarga bo'ysunadi. aynan:

1 ≠ a > 0

Boshqa tomondan, xuddi shu tenglamadan biz logarifm bo'lishi kerakligini ko'ramiz soniga teng b , va bu xatga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi, chunki u har qanday qiymatni olishi mumkin - ham ijobiy, ham salbiy. Hammasi f(x) funktsiyasi qanday qiymatlarni olishiga bog'liq.

Va bu erda biz ajoyib qoidamizni eslaymizki, har qanday b soni a asosda a dan b darajasigacha logarifm sifatida ifodalanishi mumkin:

b = log a a b

Ushbu formulani qanday eslab qolish kerak? Ha, juda oddiy. Keling, quyidagi konstruktsiyani yozamiz:

b = b 1 = b log a a

Albatta, bu holatda biz boshida yozgan barcha cheklovlar paydo bo'ladi. Endi esa logarifmning asosiy xossasidan foydalanamiz va b omilni a kuchi sifatida kiritamiz. Biz olamiz:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Natijada, asl tenglama quyidagi shaklda qayta yoziladi:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Hammasi shu. Yangi funksiya endi logarifmani o'z ichiga olmaydi va standart algebraik usullar bilan hal qilinadi.

Albatta, endi kimdir e'tiroz bildiradi: nega umuman qandaydir kanonik formulani o'ylab topish kerak edi, agar dastlabki konstruktsiyadan yakuniy formulaga darhol o'tish mumkin bo'lsa, nega ikkita qo'shimcha keraksiz qadamni bajarish kerak? Ha, agar ko'pchilik o'quvchilar ushbu formula qayerdan kelganini tushunmasalar va natijada uni qo'llashda muntazam ravishda xatolarga yo'l qo'ysalar.

Ammo uch bosqichdan iborat bunday harakatlar ketma-ketligi, agar siz ushbu yakuniy formula qaerdan kelganini tushunmasangiz ham, dastlabki logarifmik tenglamani echishga imkon beradi. Aytgancha, bu yozuv kanonik formula deb ataladi:

log a f(x) = log a a b

Kanonik shaklning qulayligi, shuningdek, bugungi kunda biz ko'rib chiqayotgan eng oddiylarini emas, balki juda keng logarifmik tenglamalar sinfini echish uchun ishlatilishi mumkinligidadir.

Yechim misollari

Va endi ko'rib chiqaylik haqiqiy misollar. Shunday qilib, keling, qaror qilaylik:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Keling, buni shunday qayta yozamiz:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Ko'pgina o'quvchilar shoshilib, 0,5 raqamini dastlabki muammodan bizga kelgan kuchga darhol ko'tarishga harakat qilishadi. Va haqiqatan ham, siz bunday muammolarni hal qilishda allaqachon yaxshi o'qitilgan bo'lsangiz, darhol bu qadamni bajarishingiz mumkin.

Ammo, agar siz ushbu mavzuni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, tajovuzkor xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun hech qanday joyga shoshilmaslik yaxshiroqdir. Shunday qilib, bizda kanonik shakl mavjud. Bizda ... bor:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu endi logarifmik tenglama emas, balki x o'zgaruvchisiga nisbatan chiziqli tenglamadir. Buni yechish uchun avvalo 0,5 sonini −3 ning darajasiga qaraymiz. E'tibor bering, 0,5 1/2 ni tashkil qiladi.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Hammasi o'nli kasrlar logarifmik tenglamani yechishda normal holatga keltiring.

Biz qayta yozamiz va olamiz:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Hammasiga javob oldik. Birinchi vazifa hal qilinadi.

Ikkinchi vazifa

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu tenglama endi eng oddiy emas. Agar farq chap tomonda bo'lsa va bitta asosda bitta logarifm bo'lmasa.

Shuning uchun, siz qandaydir tarzda bu farqdan xalos bo'lishingiz kerak. Bunday holda, hamma narsa juda oddiy. Keling, asoslarni batafsil ko'rib chiqaylik: chapda ildiz ostidagi raqam:

Umumiy tavsiya: barcha logarifmik tenglamalarda radikallardan, ya'ni ildizlari bo'lgan yozuvlardan xalos bo'lishga harakat qiling va o'ting. quvvat funktsiyalari, oddiygina, chunki bu kuchlarning ko'rsatkichlari logarifm belgisidan osongina chiqariladi va oxir-oqibat, bunday belgi hisoblarni juda soddalashtiradi va tezlashtiradi. Keling, buni shunday yozamiz:

Endi biz logarifmning ajoyib xususiyatini eslaymiz: argumentdan ham, asosdan ham siz darajalarni olishingiz mumkin. Bazalarda quyidagilar sodir bo'ladi:

log a k b = 1/k loga b

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, asos darajasida turgan son oldinga olib kelinadi va bir vaqtning o'zida aylantiriladi, ya'ni sonning o'zaro soniga aylanadi. Bizning holatlarimizda 1/2 ko'rsatkichli baza darajasi mavjud edi. Shuning uchun, biz uni 2/1 sifatida chiqarishimiz mumkin. Biz olamiz:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

E'tibor bering: bu bosqichda hech qanday holatda logarifmlardan xalos bo'lmaslik kerak. 4-5-sinf matematika va amallar tartibini bir o'ylab ko'ring: birinchi navbatda ko'paytirish amalga oshiriladi, shundan keyingina qo'shish va ayirish amalga oshiriladi. Bunday holda, biz 10 ta elementdan bir xil elementlardan birini ayiramiz:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Endi bizning tenglamamiz shunday ko'rinadi. Bu eng oddiy dizayn, va biz uni kanonik shakl bilan hal qilamiz:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Hammasi shu. Ikkinchi muammo hal qilindi.

Uchinchi misol

Uchinchi vazifaga o'tamiz:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Quyidagi formulani eslang:

log b = log 10 b

Agar biron sababga ko'ra siz lg b yozish bilan adashsangiz, unda barcha hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, oddiygina log 10 b yozishingiz mumkin. O'nlik logarifmlar bilan boshqalar bilan bir xil tarzda ishlashingiz mumkin: quvvatlarni chiqarib oling, qo'shing va istalgan raqamni lg 10 sifatida ifodalang.

Aynan shu xususiyatlardan biz muammoni hal qilishda foydalanamiz, chunki bu bizning darsimizning boshida yozgan eng oddiy narsa emas.

Boshlash uchun e'tibor bering, lg 5 dan oldingi 2 faktor kiritilishi mumkin va 5 asosning kuchiga aylanadi. Bundan tashqari, 3 erkin atamasi ham logarifm sifatida ifodalanishi mumkin - buni bizning yozuvimizdan kuzatish juda oson.

O'zingiz uchun hukm qiling: har qanday raqam 10 ta bazaga log sifatida taqdim etilishi mumkin:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Qabul qilingan o'zgarishlarni hisobga olgan holda asl muammoni qayta yozamiz:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Bizning oldimizda yana kanonik shakl turibdi va biz uni o'zgartirish bosqichini chetlab o'tib oldik, ya'ni eng oddiy logarifmik tenglama biz bilan hech qanday joyda paydo bo'lmadi.

Men darsning boshida shu haqda gapirgan edim. Kanonik shakl standartga qaraganda kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi. maktab formulasi ko'pchilik maktab o'qituvchilari tomonidan berilgan.

Hammasi shu, biz o'nlik logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va oddiy chiziqli qurilishni olamiz:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Hammasi! Muammo hal qilindi.

Qo'llash doirasi haqida eslatma

Bu erda men ta'rif sohasi haqida muhim bir fikrni aytmoqchiman. “Biz logarifmlar bilan ifodalarni yechishda, f (x) argumenti noldan katta bo‘lishi kerakligini yodda tutishimiz shart!” – deb aytadigan o‘quvchilar va o‘qituvchilar borligi aniq. Shu munosabat bilan mantiqiy savol tug'iladi: nega ko'rib chiqilayotgan muammolarning hech birida biz ushbu tengsizlikni qondirishni talab qilmadik?

Xavotir olmang. Bunday hollarda qo'shimcha ildizlar paydo bo'lmaydi. Va bu yechimni tezlashtirishga imkon beruvchi yana bir ajoyib hiyla. Bilingki, agar masalada x o'zgaruvchisi faqat bitta joyda (to'g'rirog'i, bitta va yagona logarifmning yagona argumentida) va bizning holatimizda x o'zgaruvchisi boshqa hech bir joyda bo'lmasa, u holda domenni yozing. kerak emas chunki u avtomatik ravishda ishlaydi.

O'zingiz uchun hukm qiling: birinchi tenglamada biz 3x - 1 ni oldik, ya'ni argument 8 ga teng bo'lishi kerak. Bu avtomatik ravishda 3x - 1 noldan katta bo'lishini anglatadi.

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan, ikkinchi holatda, x 5 2 ga teng bo'lishi kerakligini yozishimiz mumkin, ya'ni u, albatta, noldan katta. Va uchinchi holatda, bu erda x + 3 = 25 000, ya'ni yana, shubhasiz, noldan kattaroqdir. Boshqacha qilib aytganda, qamrov avtomatikdir, lekin faqat bitta logarifm argumentida x paydo bo'lsagina.

Bu oddiy muammolarni hal qilish uchun bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa. Faqatgina ushbu qoida transformatsiya qoidalari bilan birgalikda juda keng muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Biroq, keling, halol bo'laylik: bu usul bilan nihoyat shug'ullanish uchun, kanonik shaklni qanday qo'llashni o'rganish uchun. logarifmik tenglama Bitta video darsni tomosha qilishning o'zi etarli emas. Shuning uchun, hozirda ushbu video darsiga biriktirilgan mustaqil yechim variantlarini yuklab oling va ushbu ikkita mustaqil ishning kamida bittasini hal qilishni boshlang.

Bu sizga bir necha daqiqa vaqt oladi. Ammo, agar siz ushbu video darslikni tomosha qilgan bo'lsangiz, bunday treningning samarasi ancha yuqori bo'ladi.

Umid qilamanki, bu dars sizga logarifmik tenglamalarni tushunishga yordam beradi. Kanonik shaklni qo'llang, logarifmlar bilan ishlash qoidalaridan foydalangan holda ifodalarni soddalashtiring - va siz hech qanday vazifadan qo'rqmaysiz. Va bugun menda bor narsa shu.

Qamrovni hisobga olish

Endi logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi, shuningdek, bu logarifmik tenglamalar yechimiga qanday ta’sir qilishi haqida gapiraylik. Shaklning qurilishini ko'rib chiqing

log a f(x) = b

Bunday ifoda eng oddiy deb ataladi - u faqat bitta funktsiyaga ega va a va b raqamlari shunchaki raqamlar va hech qanday holatda x o'zgaruvchisiga bog'liq bo'lgan funksiya emas. Bu juda oddiy hal qilinadi. Siz faqat formuladan foydalanishingiz kerak:

b = log a a b

Bu formula logarifmning asosiy xossalaridan biri bo‘lib, asl ifodamizga almashtirilganda biz quyidagilarni olamiz:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Bu allaqachon maktab darsliklaridan tanish formula. Ko'pgina talabalarda savol tug'ilishi mumkin: asl ifodadagi f ( x ) funktsiyasi log belgisi ostida bo'lgani uchun unga quyidagi cheklovlar qo'yilgan:

f(x) > 0

Bu cheklov amal qiladi, chunki manfiy sonlarning logarifmi mavjud emas. Xo'sh, ehtimol bu cheklov tufayli siz javoblarni tekshirishni kiritishingiz kerakmi? Ehtimol, ular manbada almashtirilishi kerakmi?

Yo'q, eng oddiy logarifmik tenglamalarda qo'shimcha tekshirish kerak emas. Va shuning uchun ham. Yakuniy formulamizni ko'rib chiqing:

f(x) = a b

Gap shundaki, a soni har qanday holatda 0 dan katta - bu talab ham logarifm tomonidan qo'yiladi. a soni asos hisoblanadi. Bunday holda, b raqamiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi. Lekin buning ahamiyati yo'q, chunki biz ijobiy raqamni qanday darajaga ko'tarmasak ham, chiqishda ijobiy raqamni olamiz. Shunday qilib, f (x) > 0 talabi avtomatik ravishda bajariladi.

Haqiqatan ham tekshirishga arziydigan narsa bu log belgisi ostidagi funktsiya doirasi. Juda murakkab dizaynlar bo'lishi mumkin va ularni hal qilish jarayonida siz ularga albatta amal qilishingiz kerak. Keling, ko'rib chiqaylik.

Birinchi vazifa:

Birinchi qadam: o'ngdagi kasrni aylantiring. Biz olamiz:

Biz logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va odatdagi irratsional tenglamani olamiz:

Olingan ildizlardan faqat birinchisi bizga mos keladi, chunki ikkinchi ildiz noldan kichikdir. Yagona javob 9 raqami bo'ladi. Bo'ldi, muammo hal qilindi. Logarifm belgisi ostidagi ifoda 0 dan katta ekanligini qoʻshimcha tekshirishlar talab qilinmaydi, chunki u shunchaki 0 ​​dan katta emas, balki tenglama shartiga koʻra 2 ga teng. Shuning uchun “noldan katta” talabi avtomatik ravishda amalga oshiriladi. mamnun.

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

Bu erda hamma narsa bir xil. Biz uchlikni almashtirib, qurilishni qayta yozamiz:

Biz logarifm belgilaridan xalos bo'lamiz va irratsional tenglamani olamiz:

Biz cheklovlarni hisobga olgan holda ikkala qismni kvadratga aylantiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Olingan tenglamani diskriminant orqali yechamiz:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Ammo x = -6 bizga mos kelmaydi, chunki bu raqamni tengsizligimizga almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizning holatda, u 0 dan katta yoki o'ta og'ir hollarda teng bo'lishi talab qilinadi. Ammo x = -1 bizga mos keladi:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizning holatimizda yagona javob x = -1. Hamma yechim shu. Keling, hisob-kitoblarimizning eng boshiga qaytaylik.

Bu darsdan kelib chiqadigan asosiy xulosa shuki, eng oddiy logarifmik tenglamalarda funksiya uchun chegaralarni tekshirish talab etilmaydi. Chunki yechish jarayonida barcha cheklovlar avtomatik tarzda bajariladi.

Biroq, bu siz tekshirishni butunlay unutishingiz mumkin degani emas. Logarifmik tenglama ustida ishlash jarayonida u irratsional tenglamaga aylanishi mumkin, bu o'ng tomon uchun o'ziga xos cheklovlar va talablarga ega bo'ladi, biz bugun ikki xil misolda ko'rdik.

Bunday muammolarni hal qilishda erkin bo'ling va argumentda ildiz bo'lsa, ayniqsa ehtiyot bo'ling.

Turli asosli logarifmik tenglamalar

Biz logarifmik tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz va murakkabroq tuzilmalarni echish moda bo'lgan yana ikkita qiziqarli nayrangni tahlil qilamiz. Ammo birinchi navbatda, eng oddiy vazifalar qanday hal qilinishini eslaylik:

log a f(x) = b

Bu belgida a va b shunchaki sonlar bo'lib, f (x) funksiyada x o'zgaruvchisi mavjud bo'lishi va faqat u erda, ya'ni x faqat argumentda bo'lishi kerak. Bunday logarifmik tenglamalarni kanonik shakl yordamida o'zgartiramiz. Buning uchun shuni ta'kidlaymiz

b = log a a b

Va a b shunchaki argumentdir. Keling, ushbu ifodani quyidagicha qayta yozamiz:

log a f(x) = log a a b

Aynan shu narsaga erishmoqchimiz, shuning uchun ham chapda, ham o'ngda a asosining logarifmi mavjud. Bunday holda, biz, majoziy ma'noda, log belgilarini kesib tashlashimiz mumkin va matematika nuqtai nazaridan, biz shunchaki dalillarni tenglashtiramiz, deb aytishimiz mumkin:

f(x) = a b

Natijada, biz juda oson yechiladigan yangi iborani olamiz. Keling, ushbu qoidani bugungi vazifalarimizga qo'llaylik.

Shunday qilib, birinchi dizayn:

Avvalo, o'ng tomonda kasr borligini ta'kidlayman, uning maxraji logdir. Bunday iborani ko'rganingizda, logarifmlarning ajoyib xususiyatini esga olish kerak:

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu har qanday logarifmni har qanday c asosli ikkita logarifmning bo'linmasi sifatida ko'rsatish mumkinligini anglatadi. Albatta, 0< с ≠ 1.

Shunday qilib: c o'zgaruvchisi o'zgaruvchiga teng bo'lganda, bu formulada bitta ajoyib maxsus holat mavjud b. Bunday holda, biz shaklning qurilishini olamiz:

Aynan shu konstruktsiyani biz tenglamamizning o'ng tomonidagi belgidan kuzatamiz. Keling, ushbu konstruktsiyani log a b bilan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Boshqacha qilib aytganda, dastlabki topshiriq bilan solishtirganda, biz argumentni va logarifm asosini almashtirdik. Buning o'rniga biz kasrni aylantirishimiz kerak edi.

Esda tutamizki, har qanday daraja quyidagi qoidaga muvofiq tayanchdan chiqarilishi mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, asosning darajasi bo'lgan k koeffitsienti teskari kasr sifatida chiqariladi. Uni teskari kasr sifatida chiqaramiz:

Kasr omilini oldinda qoldirib bo'lmaydi, chunki bu holda biz bu yozuvni kanonik shakl sifatida taqdim eta olmaymiz (axir, kanonik shaklda ikkinchi logarifm oldida qo'shimcha omil yo'q). Shuning uchun, keling, argumentdagi 1/4 kasrni daraja sifatida qo'yaylik:

Endi biz asoslari bir xil bo'lgan argumentlarni tenglashtiramiz (va biz haqiqatan ham bir xil asoslarga egamiz) va yozamiz:

x + 5 = 1

x = −4

Hammasi shu. Biz birinchi logarifmik tenglamaga javob oldik. E'tibor bering: dastlabki masalada x o'zgaruvchisi faqat bitta jurnalda uchraydi va u o'z argumentida. Shuning uchun, domenni tekshirishning hojati yo'q va bizning raqamimiz x = -4 haqiqatan ham javobdir.

Endi ikkinchi ifodaga o'tamiz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Bu erda odatiy logarifmlarga qo'shimcha ravishda lg f (x) bilan ishlashimiz kerak bo'ladi. Bunday tenglamani qanday yechish mumkin? Tayyorlanmagan talabaga bu qandaydir qalaydek tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsa elementar hal qilinadi.

lg 2 log 2 atamasiga diqqat bilan qarang 7. Bu haqda nima deyishimiz mumkin? log va lg ning asoslari va argumentlari bir xil va bu ba'zi maslahatlar berishi kerak. Keling, logarifm belgisi ostidan darajalar qanday chiqarilishini yana bir bor eslaylik:

log a b n = n log a b

Boshqacha qilib aytganda, argumentdagi b sonining kuchi qanday bo'lganligi logning o'zi oldida omilga aylanadi. Keling, ushbu formulani lg 2 log 2 7 ifodasiga qo'llaymiz. lg 2 dan qo'rqmang - bu eng keng tarqalgan ifoda. Siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:

Uning uchun har qanday boshqa logarifmga tegishli barcha qoidalar amal qiladi. Xususan, oldingi omilni argument kuchiga kiritish mumkin. Keling, yozamiz:

Ko'pincha talabalar bu harakatni ko'rmaydilar, chunki bitta jurnalni boshqasining belgisi ostida kiritish yaxshi emas. Aslida bunda jinoiy narsa yo'q. Bundan tashqari, agar siz muhim qoidani eslab qolsangiz, hisoblash oson bo'lgan formulani olamiz:

Ushbu formulani ham ta'rif sifatida, ham uning xususiyatlaridan biri sifatida ko'rib chiqish mumkin. Har qanday holatda, agar siz logarifmik tenglamani o'zgartirsangiz, ushbu formulani log ko'rinishidagi har qanday raqamning ko'rinishi bilan bir xil tarzda bilishingiz kerak.

Biz vazifamizga qaytamiz. Biz uni teng belgisining o'ng tomonidagi birinchi had lg 7 ga teng bo'lishini hisobga olgan holda qayta yozamiz. Bizda:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Keling, lg 7 ni chapga siljitamiz, biz quyidagilarni olamiz:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Chapdagi iboralarni ayiramiz, chunki ular bir xil asosga ega:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Endi bizda mavjud bo'lgan tenglamani batafsil ko'rib chiqamiz. Bu amalda kanonik shakl, lekin o'ng tomonda -3 omil mavjud. Keling, buni to'g'ri lg argumentiga qo'yamiz:

lg 8 = lg (x + 4) -3

Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz lg belgilarini kesib tashlaymiz va argumentlarni tenglashtiramiz:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Hammasi shu! Biz ikkinchi logarifmik tenglamani yechdik. Bunday holda, qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi, chunki dastlabki masalada x faqat bitta argumentda mavjud edi.

Keling, ushbu darsning asosiy fikrlarini takrorlayman.

Logarifmik tenglamalarni echishga bag'ishlangan ushbu sahifadagi barcha darslarda o'rganiladigan asosiy formula kanonik shakldir. Aksariyat maktab darsliklarida bunday muammolarni turlicha yechish yo‘llari sizga o‘rgatiladi, deb umidsizlikka tushmang. Ushbu vosita juda samarali ishlaydi va darsimizning boshida biz o'rgangan eng oddiylariga qaraganda ancha kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi.

Bundan tashqari, logarifmik tenglamalarni echish uchun asosiy xususiyatlarni bilish foydali bo'ladi. Aynan:

1. Bir tayanchga o'tish formulasi va jurnalni aylantirganda maxsus holat (bu birinchi vazifada biz uchun juda foydali edi);
2. Logarifm belgisi ostidan kuchlarni kiritish va olish formulasi. Bu erda ko'plab talabalar qotib qolishadi va olib tashlangan va kiritilgan quvvatning o'zida log f (x) bo'lishi mumkinligini ko'rmaydilar. Buning hech qanday yomon joyi yo‘q. Biz bir jurnalni boshqasining belgisiga ko'ra kiritishimiz va shu bilan birga muammoni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtirishimiz mumkin, biz ikkinchi holatda kuzatamiz.

Xulosa qilib shuni qo'shimcha qilmoqchimanki, bu holatlarning har birida qamrovni tekshirish shart emas, chunki hamma joyda x o'zgaruvchisi logning faqat bitta belgisida mavjud va ayni paytda uning argumentida. Natijada, barcha domen talablari avtomatik ravishda qondiriladi.

O'zgaruvchan baza bilan bog'liq muammolar

Bugun biz logarifmik tenglamalarni ko'rib chiqamiz, ular ko'p talabalar uchun nostandart bo'lib tuyuladi, agar to'liq yechilmasa. haqida raqamlarga emas, balki o'zgaruvchilarga va hatto funktsiyalarga asoslangan ifodalar haqida. Biz bunday konstruksiyalarni standart texnikamiz yordamida, ya'ni kanonik shakl orqali hal qilamiz.

Boshlash uchun, oddiy raqamlarga asoslangan eng oddiy masalalar qanday hal qilinishini eslaylik. Shunday qilib, eng oddiy qurilish deyiladi

log a f(x) = b

Bunday muammolarni hal qilish uchun biz quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:

b = log a a b

Biz asl ifodamizni qayta yozamiz va olamiz:

log a f(x) = log a a b

Keyin biz argumentlarni tenglashtiramiz, ya'ni yozamiz:

f(x) = a b

Shunday qilib, biz log belgisidan qutulamiz va odatiy muammoni hal qilamiz. Bunday holda, eritmada olingan ildizlar dastlabki logarifmik tenglamaning ildizlari bo'ladi. Bundan tashqari, chap va o'ng bir xil asosga ega bir xil logarifmda bo'lgan yozuv kanonik shakl deb ataladi. Aynan shu rekord uchun biz bugungi qurilishlarni qisqartirishga harakat qilamiz. Shunday ekan, ketaylik.

Birinchi vazifa:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 ni log x - 2 (x - 2) 1 bilan almashtiring. Argumentda biz kuzatadigan daraja, aslida, tenglik belgisining o'ng tomonida bo'lgan b soni. Shunday qilib, keling, ifodamizni qayta yozamiz. Biz olamiz:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Biz nimani ko'ramiz? Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz argumentlarni xavfsiz ravishda tenglashtirishimiz mumkin. Biz olamiz:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Lekin yechim u erda tugamaydi, chunki berilgan tenglama asl nusxaga mos kelmaydi. Axir, hosil bo'lgan konstruktsiya butun son chizig'ida aniqlangan funktsiyalardan iborat bo'lib, bizning asl logarifmlarimiz hamma joyda va har doim ham aniqlanmaydi.

Shuning uchun biz ta'rif sohasini alohida yozishimiz kerak. Keling, dono bo'lmaylik va birinchi navbatda barcha talablarni yozamiz:

Birinchidan, logarifmlarning har birining argumenti 0 dan katta bo'lishi kerak:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Ikkinchidan, baza nafaqat 0 dan katta, balki 1 dan farqli bo'lishi kerak:

x − 2 ≠ 1

Natijada biz tizimni olamiz:

Lekin xavotirlanmang: logarifmik tenglamalarni qayta ishlashda bunday tizimni ancha soddalashtirish mumkin.

O'zingiz baho bering: bir tomondan, kvadrat funktsiya noldan katta bo'lishi talab qilinadi, ikkinchi tomondan, bu kvadrat funktsiya ma'lum bir chiziqli ifodaga tenglashtiriladi, bu ham noldan katta bo'lishi talab qilinadi.

Bu holda, agar biz x − 2 > 0 ni talab qilsak, 2x 2 − 13x + 18 > 0 talabi ham avtomatik ravishda qondiriladi.Shuning uchun kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan tengsizlikni xavfsiz kesib tashlashimiz mumkin. Shunday qilib, bizning tizimimizdagi iboralar soni uchtaga kamayadi.

Albatta, biz ham kesib tashlashimiz mumkin chiziqli tengsizlik, ya'ni x − 2 > 0 ni kesib tashlang va 2x 2 − 13x + 18 > 0 bo'lishini talab qiling. Lekin siz eng oddiy chiziqli tengsizlikni yechish bu sistemaga qaraganda ancha tez va osonroq ekanligiga rozi bo'lishingiz kerak, biz bir xil ildizlarni olamiz.

Umuman olganda, iloji boricha hisob-kitoblarni optimallashtirishga harakat qiling. Logarifmik tenglamalar bo'lsa, eng qiyin tengsizliklarni kesib tashlang.

Keling, tizimimizni qayta yozamiz:

Mana, uchta iboradan iborat tizim, ulardan ikkitasini biz allaqachon bilib oldik. Kvadrat tenglamani alohida yozamiz va uni yechamiz:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Bizning oldimizda qisqartirilgan kvadrat trinomial mavjud va shuning uchun biz Vieta formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Biz olamiz:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Endi tizimimizga qaytsak, x = 2 bizga mos kelmasligini aniqlaymiz, chunki bizdan x 2 dan qat'iy katta bo'lishi kerak.

Ammo x \u003d 5 bizga juda mos keladi: 5 raqami 2 dan katta va ayni paytda 5 3 ga teng emas. Shuning uchun, yagona yechim bu sistemaning x = 5 bo'ladi.

Hamma narsa, vazifa ODZni hisobga olgan holda hal qilinadi. Keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz. Bu erda biz yanada qiziqarli va mazmunli hisob-kitoblarni kutmoqdamiz:

Birinchi qadam: oxirgi marta bo'lgani kabi, biz bu biznesning barchasini kanonik shaklga keltiramiz. Buning uchun 9 raqamini quyidagicha yozishimiz mumkin:

Ildizli asosga tegib bo'lmaydi, lekin argumentni o'zgartirish yaxshiroqdir. Keling, ratsional ko'rsatkich bilan ildizdan kuchga o'tamiz. Keling, yozamiz:

Men butun katta logarifmik tenglamamizni qayta yozmayin, balki argumentlarni darhol tenglashtiraman:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Bizdan oldin yana qisqartirilgan kvadrat trinomial mavjud, biz Viet formulalaridan foydalanamiz va yozamiz:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Shunday qilib, biz ildizlarni oldik, lekin hech kim bizga ular asl logarifmik tenglamaga mos kelishiga kafolat bermadi. Axir, log belgilari qo'shimcha cheklovlar qo'yadi (bu erda biz tizimni yozishimiz kerak edi, lekin butun qurilishning noqulayligi tufayli men ta'rif sohasini alohida hisoblashga qaror qildim).

Avvalo, argumentlar 0 dan katta bo'lishi kerakligini unutmang, xususan:

Bular ta'rif sohasi tomonidan qo'yiladigan talablardir.

Biz darhol shuni ta'kidlaymizki, biz tizimning dastlabki ikkita ifodasini bir-biriga tenglashtirganimiz sababli, biz ulardan istalganini kesib tashlashimiz mumkin. Birinchisini kesib o'tamiz, chunki u ikkinchisidan ko'ra dahshatliroq ko'rinadi.

Bundan tashqari, ikkinchi va uchinchi tengsizliklarning yechimlari bir xil to'plamlar bo'lishiga e'tibor bering (ayrim sonning kubi noldan katta, agar bu raqamning o'zi noldan katta bo'lsa; xuddi shunday uchinchi darajali ildiz bilan - bu tengsizliklar butunlay o'xshash, shuning uchun ulardan birini kesib tashlashimiz mumkin).

Ammo uchinchi tengsizlik bilan bu ishlamaydi. Keling, chapdagi radikal belgisidan xalos bo'laylik, buning uchun ikkala qismni ham kubga ko'taramiz. Biz olamiz:

Shunday qilib, biz quyidagi talablarni olamiz:

−2 ≠ x > −3

Bizning ildizlarimizdan qaysi biri: x 1 = -3 yoki x 2 = -1 bu talablarga javob beradi? Shubhasiz, faqat x = -1, chunki x = -3 birinchi tengsizlikni qanoatlantirmaydi (chunki bizning tengsizligimiz qat'iy). Umuman olganda, muammomizga qaytsak, biz bitta ildizga ega bo'lamiz: x = -1. Mana, muammo hal qilindi.

Yana bir bor, ushbu vazifaning asosiy nuqtalari:

1. Kanonik shakldan foydalangan holda logarifmik tenglamalarni qo'llash va yechishda bemalol. Bunday yozuvni tuzgan va dastlabki masaladan to‘g‘ridan-to‘g‘ri log a f ( x ) = b kabi konstruksiyaga o‘tmaydigan o‘quvchilar biror joyga shoshib, hisob-kitoblarning oraliq bosqichlarini o‘tkazib yuborganlarga qaraganda ancha kam xatoga yo‘l qo‘yadilar;
2. Logarifmda o'zgaruvchan baza paydo bo'lishi bilanoq, muammo eng oddiy bo'lishni to'xtatadi. Shuning uchun uni yechishda ta'rif sohasini hisobga olish kerak: argumentlar noldan katta bo'lishi kerak va asoslar nafaqat 0 dan katta bo'lishi kerak, balki ular 1 ga ham teng bo'lmasligi kerak.

Yakuniy javoblarga oxirgi talablarni turli yo'llar bilan qo'yishingiz mumkin. Masalan, barcha domen talablarini o'z ichiga olgan butun tizimni hal qilish mumkin. Boshqa tomondan, siz birinchi navbatda muammoni o'zi hal qilishingiz mumkin, so'ngra ta'rif sohasi haqida eslab, uni tizim shaklida alohida ishlab chiqing va olingan ildizlarga qo'llang.

Muayyan logarifmik tenglamani echishda qaysi usulni tanlash sizga bog'liq. Har holda, javob bir xil bo'ladi.

Jamiyat taraqqiyoti, ishlab chiqarishning murakkablashuvi bilan matematika ham rivojlandi. Oddiydan murakkabga o'tish. Qo'shish va ayirishning odatiy hisob usulidan ularning takroriy takrorlanishi bilan ular ko'paytirish va bo'lish tushunchasiga kelishdi. Ko'paytiruvchi takroriy amalni qisqartirish eksponentsiya tushunchasiga aylandi. Raqamlarning asosga va ko'rsatkichlar soniga bog'liqligining birinchi jadvallari 8-asrda hind matematigi Varasena tomonidan tuzilgan. Ulardan siz logarifmlarning paydo bo'lish vaqtini hisoblashingiz mumkin.

Tarixiy tasavvur

16-asrda Yevropaning qayta tiklanishi ham mexanikaning rivojlanishiga turtki boʻldi. T katta hajmdagi hisoblashni talab qildi ko'p xonali sonlarni ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq. Qadimgi stollar katta xizmat qildi. Ular almashtirishga ruxsat berishdi murakkab operatsiyalar oddiyroqlarga - qo'shish va ayirish. Oldinga katta qadam 1544 yilda nashr etilgan matematik Maykl Stifelning ishi bo'lib, unda u ko'plab matematiklarning g'oyasini amalga oshirdi. Bu jadvallardan nafaqat tub sonlar ko'rinishidagi darajalar uchun, balki o'zboshimchalik bilan ratsional bo'lganlar uchun ham foydalanish imkonini berdi.

1614 yilda shotlandiyalik Jon Nepier ushbu g'oyalarni ishlab chiqib, birinchi marta "sonning logarifmi" yangi atamasini kiritdi. Yangi murakkab jadvallar sinus va kosinuslarning logarifmlarini, shuningdek, tangenslarni hisoblash uchun. Bu astronomlarning ishini ancha qisqartirdi.

Uch asr davomida olimlar tomonidan muvaffaqiyatli qo'llanilgan yangi jadvallar paydo bo'la boshladi. Algebra bo'yicha yangi operatsiya tugallangan shaklga ega bo'lgunga qadar ko'p vaqt o'tdi. Logarifm aniqlandi va uning xossalari o‘rganildi.

Faqat 20-asrda, kalkulyator va kompyuterning paydo bo'lishi bilan insoniyat 13-asr davomida muvaffaqiyatli faoliyat yuritgan qadimiy jadvallardan voz kechdi.

Bugun biz b sonini olish uchun a ning kuchi bo'lgan x soniga asos bo'lgan b ning logarifmini chaqiramiz. Bu formula sifatida yoziladi: x = log a(b).

Masalan, log 3(9) 2 ga teng bo'ladi. Agar ta'rifga amal qilsangiz, bu aniq. Agar 3 ni 2 ning darajasiga oshirsak, biz 9 ni olamiz.

Shunday qilib, tuzilgan ta'rif faqat bitta cheklovni qo'yadi, a va b raqamlari haqiqiy bo'lishi kerak.

Logarifmlarning turlari

Klassik ta'rif haqiqiy logarifm deb ataladi va aslida a x = b tenglamaning yechimidir. Variant a = 1 chegara va hech qanday qiziqish uyg'otmaydi. Eslatma: har qanday quvvatga 1 ga teng.

Logarifmning haqiqiy qiymati faqat asos va argument 0 dan katta bo'lsa va asos 1 ga teng bo'lmasligi kerak bo'lsa aniqlanadi.

Matematika sohasida alohida o'rin tutadi logarifmlarni o'ynang, ular bazasi qiymatiga qarab nomlanadi:

Qoidalar va cheklovlar

Logarifmlarning asosiy xususiyati qoidadir: mahsulotning logarifmi logarifmik yig'indiga teng. log abp = log a(b) + log a(p).

Ushbu bayonotning varianti sifatida u quyidagicha bo'ladi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), ko'rsatkich funktsiyasi funktsiyalar farqiga teng.

Oldingi ikkita qoidadan shuni ko'rish oson: log a(b p) = p * log a(b).

Boshqa xususiyatlarga quyidagilar kiradi:

Izoh. Umumiy xatoga yo'l qo'ymang - yig'indining logarifmi emas summasiga teng logarifmlar.

Ko'p asrlar davomida logarifmni topish juda ko'p vaqt talab qiladigan ish edi. Matematiklar ko'p nomli kengayishning logarifmik nazariyasining mashhur formulasidan foydalanganlar:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x ^ n) / n), bu erda n - 1 dan katta natural son, bu hisoblashning to'g'riligini belgilaydi.

Boshqa asosli logarifmlar bir asosdan ikkinchisiga o'tish teoremasi va ko'paytma logarifmining xossasi yordamida hisoblangan.

Chunki bu usul juda mashaqqatli va amaliy muammolarni hal qilishda amalga oshirish qiyin, ular logarifmlarning oldindan tuzilgan jadvallaridan foydalanganlar, bu esa butun ishni sezilarli darajada tezlashtirdi.

Ba'zi hollarda logarifmlarning maxsus tuzilgan grafiklaridan foydalanilgan, bu kamroq aniqlik bergan, ammo qidiruvni sezilarli darajada tezlashtirgan. istalgan qiymat. Bir nechta nuqtalarga qurilgan y = log a(x) funktsiyasining egri chizig'i har qanday boshqa nuqtada funktsiyaning qiymatlarini topish uchun odatiy o'lchagichdan foydalanishga imkon beradi. Muhandislar uzoq vaqt bu maqsadlar uchun grafik qog'oz deb ataladigan narsa ishlatilgan.

17-asrda birinchi yordamchi analog hisoblash shartlari paydo bo'ldi, bu esa XIX asr tugallangan ko'rinishga ega bo'ldi. Eng muvaffaqiyatli qurilma slayd qoidasi deb nomlandi. Qurilmaning soddaligiga qaramay, uning ko'rinishi barcha muhandislik hisob-kitoblari jarayonini sezilarli darajada tezlashtirdi va buni ortiqcha baholash qiyin. Hozirda bu qurilma bilan kam odam tanish.

Kalkulyatorlar va kompyuterlarning paydo bo'lishi boshqa qurilmalardan foydalanishni ma'nosiz qildi.

Tenglamalar va tengsizliklar

Logarifmlar yordamida turli xil tenglamalar va tengsizliklarni yechish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

• Bir bazadan ikkinchisiga o'tish: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Oldingi versiyaning natijasi sifatida: log a (b) = 1 / log b (a).

Tengsizliklarni yechish uchun quyidagilarni bilish foydalidir:

• Logarifmning qiymati faqat asos va argument ikkalasi yoki dan katta bo'lsa, ijobiy bo'ladi birdan kam; agar kamida bitta shart buzilgan bo'lsa, logarifmning qiymati salbiy bo'ladi.
• Agar logarifm funktsiyasi tengsizlikning o'ng va chap tomonlariga qo'llanilsa va logarifmning asosi birdan katta bo'lsa, u holda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi; aks holda, u o'zgaradi.

Vazifalarga misollar

Logarifmlarni va ularning xususiyatlarini ishlatishning bir nechta variantlarini ko'rib chiqing. Tenglamalarni yechishga misollar:

Logarifmni darajaga joylashtirish variantini ko'rib chiqing:

• 3-topshiriq. 25^log 5(3) ni hisoblang. Yechish: masala sharoitida yozuv quyidagi (5^2)^log5(3) yoki 5^(2 * log 5(3)) ga oʻxshaydi. Buni boshqacha yozamiz: 5^log 5(3*2) yoki funktsiya argumenti sifatidagi sonning kvadrati funksiyaning oʻzi (5^log 5(3))^2 kvadrati sifatida yozilishi mumkin. Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, bu ifoda 3^2 ga teng. Javob: Hisoblash natijasida biz 9 ni olamiz.

Amaliy foydalanish

Sof matematik vosita bo'lib, u uzoqroq ko'rinadi haqiqiy hayot logarifm to'satdan paydo bo'ldi katta ahamiyatga ega ob'ektlarni tasvirlash uchun haqiqiy dunyo. Undan foydalanilmagan fanni topish qiyin. Bu nafaqat tabiiy, balki to'liq amal qiladi gumanitar sohalar bilim.

Logarifmik bog'liqliklar

Raqamli bog'liqliklarga ba'zi misollar:

Mexanika va fizika

Tarixan mexanika va fizika har doim foydalanish orqali rivojlangan matematik usullar tadqiqotlar va shu bilan birga matematika, jumladan, logarifmlarning rivojlanishi uchun turtki bo'lib xizmat qildi. Fizikaning aksariyat qonunlari nazariyasi matematika tilida yozilgan. Logarifm yordamida fizik qonunlarni tavsiflashga faqat ikkita misol keltiramiz.

Kosmosni tadqiq qilish nazariyasiga asos solgan Tsiolkovskiy formulasidan foydalanib, raketaning tezligi kabi murakkab miqdorni hisoblash masalasini hal qilish mumkin:

V = I * ln (M1/M2), bu erda

• V - samolyotning oxirgi tezligi.
• I - dvigatelning o'ziga xos impulsi.
• M 1 - raketaning boshlang'ich massasi.
• M 2 - yakuniy massa.

Boshqa muhim misol - bu termodinamikadagi muvozanat holatini baholashga xizmat qiluvchi yana bir buyuk olim Maks Plank formulasida qo'llanilgan.

S = k * ln (Ō), bu erda

• S - termodinamik xususiyatdir.
• k - Boltsman doimiysi.
• Ō - turli holatlarning statistik og'irligi.

Kimyo

Kimyoda logarifmlar nisbatini o'z ichiga olgan formulalardan foydalanish unchalik aniq emas. Mana ikkita misol:

• Nernst tenglamasi, muhitning oksidlanish-qaytarilish potentsialining moddalarning faolligiga va muvozanat konstantasiga nisbatan sharti.
• Avtoproliz indeksi va eritmaning kislotaligi kabi konstantalarni hisoblash ham bizning funktsiyamizsiz to'liq emas.

Psixologiya va biologiya

Va psixologiyaning bunga nima aloqasi borligi mutlaqo tushunarsiz. Ma'lum bo'lishicha, sezish kuchi bu funktsiya tomonidan qo'zg'atuvchining intensivligining teskari nisbati sifatida yaxshi tasvirlangan. pastroq qiymat intensivlik.

Yuqoridagi misollardan so'ng, logarifmlar mavzusi biologiyada ham keng qo'llanilishi ajablanarli emas. Pro biologik shakllar, logarifmik spirallarga mos keladigan, siz butun hajmlarni yozishingiz mumkin.

Boshqa hududlar

Ko'rinadiki, dunyoning mavjudligi bu funktsiya bilan bog'liqsiz mumkin emas va u barcha qonunlarni boshqaradi. Ayniqsa, tabiat qonunlari geometrik progressiya bilan bog'langanda. MatProfi veb-saytiga murojaat qilish kerak va quyidagi faoliyat sohalarida bunday misollar ko'p:

Ro'yxat cheksiz bo'lishi mumkin. Ushbu funktsiyaning asosiy qonunlarini o'zlashtirib, siz cheksiz donolik dunyosiga sho'ng'ishingiz mumkin.

(yunoncha lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam" dan) raqamlar b sabab bilan a(log a b) shunday son deyiladi c, va b= a c, ya'ni log a b=c va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Misol uchun:

log 2 8 = 3, chunki 8=2 3 .

Shuni ta'kidlaymizki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati logarifm belgisi ostidagi son asosning ma'lum bir kuchi bo'lganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng bilan. Logarifm mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqam darajasi.

Logarifmni hisoblashga murojaat qilinadi logarifm. Logarifm bu matematik operatsiya logarifmni olish. Logarifm qabul qilinganda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylanadi.

Potentsiyalash logarifmga teskari matematik amaldir. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallashtirish bajariladigan ifodaning kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha asoslari 2 (ikkilik), e Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) bo'lgan haqiqiy logarifmlar qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda buni ko'rib chiqishga arziydi logarifmlar namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Va lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqiy emas, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy sonda joylashgan. tayanch, uchinchisida esa - va logarifm belgisi ostidagi manfiy raqam va bazadagi birlik.

Logarifmni aniqlash shartlari.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bu bizga x = log a shaklidagi tenglik bilan yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifmning ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Shartni oling a≠1. Har qanday darajaga bir birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a bo'ladi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf etish uchun biz olamiz a≠1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va keyin mos ravishda log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni bartaraf qilish uchun shart a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shishga, ayirishga bo'lish va darajaga ko'tarish va ildiz olish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'lishga aylantiriladi.

Logarifmlarni shakllantirish va ularning qiymatlari jadvali (uchun trigonometrik funktsiyalar) birinchi marta 1614 yilda shotland matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisoblash mashinalari va kompyuterlar qo‘llanila boshlanmaguncha o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.