Kurā brīdī funkcijas atvasinājums ir negatīvs? Funkcijas atvasinājums. Funkcijas atvasinājuma nozīme

Problēmā B9 ir dots funkcijas vai atvasinājuma grafiks, no kura nepieciešams noteikt vienu no šādiem lielumiem:

1. atvasinājuma vērtība kādā punktā x 0,
2. Augstie vai zemākie punkti (ekstrēmi punkti),
3. Palielinošu un samazinošu funkciju intervāli (monotoniskuma intervāli).

Šajā uzdevumā parādītās funkcijas un atvasinājumi vienmēr ir nepārtraukti, kas ievērojami vienkāršo risinājumu. Neskatoties uz to, ka uzdevums pieder matemātiskās analīzes sadaļai, tas ir diezgan pa spēkam pat vājākajiem skolēniem, jo ​​nav dziļu teorētiskās zināšanasšeit nav nepieciešams.

Lai atrastu atvasinājuma vērtību, ekstrēmuma punktus un monotonitātes intervālus, ir vienkārši un Universālie algoritmi- tie visi tiks apspriesti tālāk.

Uzmanīgi izlasiet B9 uzdevuma nosacījumu, lai nepieļautu stulbas kļūdas: dažreiz sanāk diezgan apjomīgi teksti, taču ir maz svarīgu nosacījumu, kas ietekmē risinājuma gaitu.

Atvasinātā instrumenta vērtības aprēķins. Divu punktu metode

Ja uzdevumam ir dots funkcijas f(x) grafiks, kas pieskaras šim grafikam kādā punktā x 0, un šajā punktā ir jāatrod atvasinājuma vērtība, tiek izmantots šāds algoritms:

1. Atrodiet divus "adekvātus" punktus pieskares grafikā: to koordinātām jābūt veseliem skaitļiem. Apzīmēsim šos punktus kā A (x 1 ; y 1) un B (x 2 ; y 2). Pareizi pierakstiet koordinātas - tas ir risinājuma galvenais punkts, un jebkura kļūda šeit noved pie nepareizas atbildes.
2. Zinot koordinātas, ir viegli aprēķināt argumenta Δx = x 2 − x 1 inkrementu un funkcijas Δy = y 2 − y 1 pieaugumu.
3. Visbeidzot, mēs atrodam atvasinājuma vērtību D = Δy/Δx. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāsadala funkcijas pieaugums ar argumenta pieaugumu - un tā būs atbilde.

Vēlreiz jāatzīmē: punkti A un B ir jāmeklē tieši pieskares, nevis funkcijas f(x) grafikā, kā tas bieži notiek. Pieskarei noteikti būs vismaz divi šādi punkti, pretējā gadījumā problēma tiek formulēta nepareizi.

Apsveriet punktus A (-3; 2) un B (-1; 6) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Atradīsim atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .

Apsveriet punktus A (0; 3) un B (3; 0), atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Tagad mēs atrodam atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .

Apsveriet punktus A (0; 2) un B (5; 2) un atrodiet soli:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Atliek atrast atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

No pēdējā piemēra varam formulēt noteikumu: ja pieskare ir paralēla OX asij, funkcijas atvasinājums saskares punktā ir vienāds ar nulli. Šajā gadījumā jums pat nekas nav jāaprēķina - vienkārši skatieties grafiku.

Augsto un zemo punktu aprēķināšana

Dažkārt uzdevuma B9 funkcijas grafika vietā tiek dots atvasinātais grafiks, un ir nepieciešams atrast funkcijas maksimālo vai minimālo punktu. Šajā scenārijā divu punktu metode ir bezjēdzīga, taču ir vēl viens, vēl vienkāršāks algoritms. Pirmkārt, definēsim terminoloģiju:

1. Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) maksimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) minimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≤ f(x).

Lai atvasinājuma grafikā atrastu maksimālo un minimālo punktu, pietiek veikt šādas darbības:

1. Pārzīmējiet atvasinājuma grafiku, noņemot visu nevajadzīgo informāciju. Kā liecina prakse, papildu dati tikai traucē lēmuma pieņemšanai. Tāpēc mēs atzīmējam atvasinājuma nulles uz koordinātu ass - un viss.
2. Noskaidrojiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Ja kādam punktam x 0 zināms, ka f'(x 0) ≠ 0, tad ir iespējami tikai divi varianti: f'(x 0) ≥ 0 vai f'(x 0) ≤ 0. Atvasinājuma zīme ir viegli noteikt pēc sākotnējā zīmējuma: ja atvasinātais grafiks atrodas virs OX ass, tad f'(x) ≥ 0. Un otrādi, ja atvasinātais grafiks atrodas zem OX ass, tad f'(x) ≤ 0.
3. Mēs vēlreiz pārbaudām atvasinājuma nulles un zīmes. Ja zīme mainās no mīnusa uz plusu, ir minimālais punkts. Un otrādi, ja atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tas ir maksimālais punkts. Skaitīšana vienmēr tiek veikta no kreisās puses uz labo.

Šī shēma darbojas tikai nepārtrauktām funkcijām - problēmu B9 nav citu.

Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−5; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 5]. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu šajā segmentā.

Atbrīvosimies no nevajadzīgas informācijas - atstāsim tikai robežas [−5; 5] un atvasinājuma x = −3 un x = 2,5 nulles. Ņemiet vērā arī zīmes:

Acīmredzot punktā x = −3 atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Tas ir minimālais punkts.

Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu šajā segmentā.

Pārzīmēsim grafiku, atstājot tikai robežas [−3; 7] un atvasinājuma nulles x = -1,7 un x = 5. Ievērojiet atvasinājuma zīmes iegūtajā grafikā. Mums ir:

Acīmredzot punktā x = 5 atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu - tas ir maksimālais punkts.

Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−6; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu, kas pieder intervālam [−4; 3].

No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka pietiek ņemt vērā tikai to grafa daļu, ko ierobežo segments [−4; 3]. Tāpēc mēs būvējam jauns grafiks, uz kuras iezīmējam tikai robežas [−4; 3] un tajā esošā atvasinājuma nulles. Proti, punkti x = −3,5 un x = 2. Iegūstam:

Šajā grafikā ir tikai viens maksimālais punkts x = 2. Tieši tajā atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu.

Neliela piezīme par punktiem ar koordinātām, kas nav veseli skaitļi. Piemēram, pēdējā uzdevumā tika aplūkots punkts x = −3,5, bet ar tādu pašu panākumu mēs varam ņemt x = −3,4. Ja problēma ir uzrakstīta pareizi, šādām izmaiņām nevajadzētu ietekmēt atbildi, jo punkti "bez noteikta vieta dzīvesvieta” tieši nepiedalās problēmas risināšanā. Protams, ar veseliem skaitļiem šāds triks nedarbosies.

Funkcijas palielināšanas un samazināšanās intervālu atrašana

Šādā uzdevumā, līdzīgi kā maksimuma un minimuma punkti, no atvasinājuma grafika tiek piedāvāts atrast apgabalus, kuros pati funkcija palielinās vai samazinās. Vispirms definēsim, kas ir augošais un dilstošais:

1. Funkciju f(x) sauc par segmentā pieaugošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Citiem vārdiem sakot, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir funkcijas vērtība.
2. Funkciju f(x) sauc par segmentā samazinošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta apgalvojums ir patiess: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. lielāka vērtība arguments atbilst mazākajai funkcijas vērtībai.

Mēs formulējam pietiekamus nosacījumus palielināšanai un samazināšanai:

1. Lai nepārtraukta funkcija f(x) palielinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir pozitīvs, t.i. f'(x) ≥ 0.
2. Lai nepārtraukta funkcija f(x) samazinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir negatīvs, t.i. f'(x) ≤ 0.

Mēs pieņemam šos apgalvojumus bez pierādījumiem. Tādējādi mēs iegūstam pieauguma un samazinājuma intervālu atrašanas shēmu, kas daudzējādā ziņā ir līdzīga ekstremālo punktu aprēķināšanas algoritmam:

1. Noņemiet visu lieko informāciju. Sākotnējā atvasinājuma grafikā mūs galvenokārt interesē funkcijas nulles, tāpēc mēs atstājam tikai tās.
2. Atzīmējiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Kur f'(x) ≥ 0, funkcija palielinās, un kur f'(x) ≤ 0, tā samazinās. Ja problēmai ir ierobežojumi mainīgajam x, mēs tos papildus atzīmējam jaunajā diagrammā.
3. Tagad, kad mēs zinām funkcijas darbību un ierobežojumu, atliek aprēķināt nepieciešamo vērtību uzdevumā.

Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7.5]. Atrodiet dilstošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu summu.

Kā parasti, pārzīmējam grafiku un iezīmējam robežas [−3; 7.5], kā arī atvasinājuma x = −1,5 un x = 5,3 nulles. Pēc tam atzīmējam atvasinājuma zīmes. Mums ir:

Tā kā atvasinājums ir negatīvs intervālā (− 1,5), tas ir dilstošās funkcijas intervāls. Atliek summēt visus veselos skaitļus, kas atrodas šajā intervālā:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Uzdevums. Attēlā parādīts segmentā [−10; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu.

Atbrīvosimies no liekās informācijas. Mēs atstājam tikai robežas [−10; 4] un atvasinājuma nulles, kas šoreiz izrādījās četras: x = −8, x = −6, x = −3 un x = 2. Atzīmē atvasinājuma zīmes un iegūsti šādu attēlu:

Mūs interesē pieaugošās funkcijas intervāli, t.i. kur f'(x) ≥ 0. Grafikā ir divi šādi intervāli: (−8; −6) un (−3; 2). Aprēķināsim to garumus:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Tā kā ir jāatrod lielākā intervāla garums, atbildē rakstām vērtību l 2 = 5.

Funkciju izpēte. Šajā rakstā mēs runāsim par uzdevumiem, kuros tiek ņemtas vērā funkcijas un kādā stāvoklī ir jautājumi, kas saistīti ar to izpēti. Apsveriet galvenos teorētiskos punktus, kas jums jāzina un jāsaprot, lai tos atrisinātu.

Tas ir visa grupa eksāmenā iekļautie uzdevumi matemātikā. Parasti tiek izvirzīts jautājums par maksimālās (minimālās) punktu atrašanu vai funkcijas lielākās (mazākās) vērtības noteikšanu noteiktā intervālā.Apsvērts:

— Jaudas un iracionālās funkcijas.

— Racionālas funkcijas.

— Darbu un privāto izpēti.

— Logaritmiskās funkcijas.

— trigonometriskās funkcijas.

Ja jūs saprotat robežu teoriju, atvasinājuma jēdzienu, atvasinājuma īpašības funkciju grafiku pētīšanai un tā , tad šādas problēmas jums nesagādās grūtības un jūs tās atrisināsiet viegli.

Tālāk sniegtā informācija ir teorētiski punkti, kuru izpratne ļaus saprast, kā šādas problēmas risināt. Es centīšos tos formulēt tā, lai pat tie, kas palaiduši garām šo tēmu vai to apguvuši slikti, varētu atrisināt šādas problēmas bez lielām grūtībām.

Šīs grupas uzdevumos, kā jau minēts, ir jāatrod vai nu funkcijas minimālais (maksimālais) punkts, vai arī lielākā (mazākā) funkcijas vērtība intervālā.

Minimālais un maksimālais punktu skaits.Atvasinātās īpašības.

Apsveriet funkcijas grafiku:

Punkts A ir maksimālais punkts, intervālā no O līdz A funkcija palielinās, intervālā no A līdz B tā samazinās.

Punkts B ir minimālais punkts, intervālā no A līdz B funkcija samazinās, intervālā no B līdz C tā palielinās.

Šajos punktos (A un B) atvasinājums pazūd (vienāds ar nulli).

Pieskares šajos punktos ir paralēlas asij vērsis.

Piebildīšu, ka punktus, kuros funkcija maina savu uzvedību no pieaugošas uz samazināšanos (un otrādi, no samazināšanās uz pieaugošu), sauc par galējībām.

Svarīgs punkts:

1. Atvasinājumam uz pieaugošajiem intervāliem ir pozitīva zīme (nAizvietojot vērtību no intervāla ar atvasinājumu, tiek iegūts pozitīvs skaitlis).

Tas nozīmē, ka, ja atvasinājums noteiktā punktā no noteikta intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā palielinās.

2. Uz samazināšanās intervāliem atvasinājumam ir negatīva zīme (aizvietojot vērtību no intervāla atvasinājuma izteiksmē, iegūst negatīvu skaitli).

Tātad, ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir negatīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā samazinās.

Tas ir jāpaskaidro!

Tādējādi, aprēķinot atvasinājumu un pielīdzinot to nullei, var atrast punktus, kas sadala reālo asi intervālos.Katrā no šiem intervāliem varat noteikt atvasinājuma zīmi un pēc tam izdarīt secinājumu par tā palielināšanos vai samazināšanos.

* Atsevišķi jāsaka par punktiem, kuros atvasinājums nepastāv. Piemēram, mēs varam iegūt atvasinājumu, kura saucējs pazūd pie noteikta x. Skaidrs, ka šādam x atvasinājums neeksistē. Tātad šis punkts ir jāņem vērā arī, nosakot pieauguma (samazināšanās) intervālus.

Funkcija punktos, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, ne vienmēr maina savu zīmi. Šis būs atsevišķu rakstu. Pašā USE šādu uzdevumu nebūs.

Iepriekš minētās īpašības ir nepieciešamas, lai pētītu funkcijas uzvedību pieaugot un samazinoties.

Kas vēl jāzina, lai atrisinātu norādītās problēmas: atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi. Bez šī nekas. Tas ir pamatzināšanas, atvasinājuma tēmā. Jums ļoti labi jāzina elementāru funkciju atvasinājumi.

Sarežģītas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanaf(g(x)), iedomājieties funkcijug(x) ir mainīgais un pēc tam aprēķina atvasinājumuf’(g(x)) pēc tabulu formulām kā mainīga parasts atvasinājums. Pēc tam rezultātu reiziniet ar funkcijas atvasinājumug(x) .

Noskatieties Maksima Semenihina video pamācību par sarežģītu funkciju:

Maksimālā un minimālā punktu atrašanas uzdevumi

Funkcijas maksimālo (minimālo) punktu atrašanas algoritms:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu f’(x).

2. Atrodiet atvasinājuma nulles (pielīdzinot atvasinājumu nullei f’(x)=0 un atrisiniet iegūto vienādojumu). Mēs atrodam arī punktus, kur atvasinājums nepastāv(jo īpaši tas attiecas uz daļējām un racionālām funkcijām).

3. Iegūtās vērtības atzīmējam uz skaitļu līnijas un uz šiem intervāliem nosakām atvasinājuma zīmes, aizvietojot vērtības no intervāliem atvasinājuma izteiksmē.

Izvade būs viena no divām:

1. Maksimālais punkts ir punktskurā atvasinājums mainās no pozitīva uz negatīvu.

2. Minimālais punkts ir punktskurā atvasinājums mainās no negatīva uz pozitīvu.

Problēmas atrast lielāko vai mazāko vērtību

funkcijas intervālā.

Cita veida problēmas gadījumā ir jāatrod lielākā vai mazākā vērtība darbojas noteiktā intervālā.

Algoritms lielākās (mazākās) funkcijas vērtības atrašanai:

1. Nosakiet, vai ir maksimālie (minimālie) punkti. Lai to izdarītu, mēs atrodam atvasinājumu f’(x) , tad atrisiniet f’(x)=0 (iepriekšējā algoritma 1. un 2. punkts).

2. Nosakām, vai iegūtie punkti pieder noteiktam intervālam, un pierakstām tajā esošos.

3. Sākotnējā funkcijā (nevis atvasinājumā, bet nosacījumā dotajā) aizvietojam dotā intervāla robežas un intervālā esošos punktus (maksimums-minimums) (2. punkts).

4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības.

5. No iegūtajām izvēlamies lielāko (mazāko) vērtību atkarībā no tā, kurš jautājums uzdevumā tika uzdots, un pēc tam pierakstām atbildi.

Jautājums: Kāpēc funkcijas lielākās (mazākās) vērtības atrašanas uzdevumos ir jāmeklē maksimālie (minimālie) punkti?

Atbilde ir vislabāk ilustrēta, skatiet diagrammu shematisku attēlojumu, ko sniedz funkcijas:

1. un 2. gadījumā pietiek ar intervāla robežu aizstāšanu, lai noteiktu funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību. 3. un 4. gadījumā ir jāatrod funkcijas nulles (maksimālie-minimālie punkti). Ja aizvietosim intervāla robežas (neatrodot funkcijas nulles), iegūsim nepareizu atbildi, to var redzēt no grafikiem.

Un lieta ir tāda, ka mēs nevaram redzēt, kā diagramma izskatās uz intervāla (vai tai ir maksimums vai minimums intervālā), izmantojot doto funkciju. Tāpēc bez kļūmēm atrodiet funkcijas nulles!!!

Ja vienādojums f'(x)=0 nebūs risinājuma, tas nozīmē, ka nav maksimālo-minimālo punktu (1.2. attēls), un, lai atrastu uzstādīto uzdevumu, šajā funkcijā tiek aizvietotas tikai intervāla robežas.

Cits svarīgs punkts. Atcerieties, ka atbildei ir jābūt veselam vai ierobežotam skaitlim decimālzīme. Aprēķinot funkcijas lielāko un mazāko vērtību, saņemsiet izteiksmes ar skaitli e un pi, kā arī izteiksmes ar sakni. Atcerieties, ka jums tie nav jāaprēķina līdz galam, un ir skaidrs, ka šādu izteicienu rezultāts nebūs atbilde. Ja ir vēlme aprēķināt šādu vērtību, tad izdari to (skaitļi: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Rakstīju daudz, laikam apmulsu? Izmantojot konkrētus piemērus, jūs redzēsit, ka viss ir vienkārši.

Tālāk es vēlos jums pastāstīt nelielu noslēpumu. Fakts ir tāds, ka daudzus uzdevumus var atrisināt, nezinot atvasinājuma īpašības un pat bez diferenciācijas noteikumiem. Noteikti pastāstīšu par šīm niansēm un parādīšu kā tas tiek darīts? Nepalaid garām!

Bet kāpēc tad es vispār izteicu teoriju un arī teicu, ka tā noteikti ir jāzina. Tieši tā - jums tas jāzina. Ja jūs to saprotat, tad neviens uzdevums šajā tēmā jūs nemulsinās.

Tie "triki", par kuriem jūs uzzināsit, palīdzēs jums atrisināt konkrētas (dažas) prototipu problēmas. UzKā papildu rīks šīs metodes, protams, ir ērti lietojamas. Problēmu var atrisināt 2-3 reizes ātrāk un ietaupīt laiku C daļas risināšanai.

Visu to labāko!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Par ģeometrisko nozīmi ir uzrakstīts daudz teoriju. Es neiedziļināšos funkcijas pieauguma atvasināšanā, atgādināšu galveno uzdevumu izpildei:

Atvasinājums pie x ir leņķiskais koeficients pieskare funkcijas y = f(x) grafikam šajā punktā, tas ir, tā ir slīpuma leņķa pieskare pret x asi.

Nekavējoties paņemsim eksāmena uzdevumu un sāksim to saprast:

Uzdevums numurs 1. Attēlā redzams funkciju grafiks y = f(x) un tā pieskare punktā ar abscisu x0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.
Kurš steidzas un nevēlas saprast paskaidrojumus: izveidojiet jebkuru šādu trīsstūri (kā parādīts zemāk) un sadaliet stāvošo pusi (vertikāli) ar guļošo (horizontālo), un jūs būsiet laimīgs, ja neaizmirsīsit par zīmi (ja taisne samazinās (→ ↓), tad atbildei jābūt ar mīnusu, ja taisne palielinās (→), tad atbildei jābūt pozitīvai!)

Jums jāatrod leņķis starp pieskares un X asi, sauksim to par α: mēs novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla X asij jebkurā vietā caur grafika pieskari, mēs iegūstam tādu pašu leņķi.

Punktu x0 labāk neņemt, jo jums būs nepieciešams liels palielināmais stikls, lai noteiktu precīzas koordinātas.

Ņemot jebkuru taisnleņķa trijstūri (attēlā ieteikti 3 varianti), atrodam tgα (leņķi ir vienādi, kā atbilstoši), t.i. iegūstam funkcijas f(x) atvasinājumu punktā x0. Kāpēc tā?

Ja velkam pieskares citos punktos x2, x1 utt. pieskares būs dažādas.

Atgriezīsimies 7. klasē, lai izveidotu taisnu līniju!

Taisnes vienādojumu sniedz vienādojums y = kx + b , kur

k - slīpums attiecībā pret X asi.

b ir attālums starp krustošanās punktu ar Y asi un sākumpunktu.

Taisnes atvasinājums vienmēr ir vienāds: y" = k.

Neatkarīgi no tā, kurā līnijas punktā mēs ņemtu atvasinājumu, tas nemainīsies.

Tāpēc atliek tikai atrast tgα (kā minēts iepriekš: mēs sadalām stāvošo pusi ar guļošo pusi). Mēs sadalām pretējo kāju ar blakus esošo, iegūstam, ka k \u003d 0,5. Taču, ja grafiks samazinās, koeficients ir negatīvs: k = −0,5.

Iesaku pārbaudīt otrais veids:
Lai definētu taisnu līniju, var izmantot divus punktus. Atrodiet jebkuru divu punktu koordinātas. Piemēram, (-2;-2) un (2;-4):

Vienādojumā y = kx + b y un x vietā aizstājiet punktu koordinātas:

-2 = -2k + b

Atrisinot šo sistēmu, iegūstam b = −3, k = −0,5

Secinājums: Otrā metode ir garāka, taču tajā jūs neaizmirsīsit par zīmi.

Atbilde: - 0,5

Uzdevums numurs 2. Attēlā redzams atvasinātais grafiks funkcijas f(x). Uz x ass ir atzīmēti astoņi punkti: x1, x2, x3, ..., x8. Cik no šiem punktiem atrodas uz pieaugošās funkcijas f(x) intervāliem?

Ja funkcijas grafiks samazinās - atvasinājums ir negatīvs (un otrādi).

Ja funkcijas grafiks palielinās, atvasinājums ir pozitīvs (un otrādi).

Šīs divas frāzes palīdzēs jums izlemt lielākā daļa uzdevumus.

Paskaties uzmanīgi jums tiek dots atvasinājuma vai funkcijas zīmējums, un pēc tam izvēlieties vienu no divām frāzēm.

Mēs izveidojam funkcijas shematisku grafiku. Jo mums ir dots atvasinājuma grafiks, tad kur tas ir negatīvs, funkcijas grafiks samazinās, kur pozitīvs, palielinās!

Izrādās, ka 3 punkti atrodas uz pieauguma zonām: x4; x5; x6.

Atbilde: 3

Uzdevums numurs 3. Funkcija f(x) ir noteikta intervālā (-6; 4). Attēlā redzams tā atvasinājuma grafiks. Atrodiet tā punkta abscisu, kurā funkcija iegūst lielāko vērtību.

Iesaku vienmēr veidot tā, kā funkcionē grafiks, ar šādām bultiņām vai shematiski ar zīmēm (kā 4. un 5.):

Acīmredzot, ja grafiks palielinās līdz -2, tad maksimālais punkts ir -2.

Atbilde: -2

Uzdevums numurs 4. Attēlā parādīts funkcijas f(x) grafiks un divpadsmit punkti uz x ass: x1, x2, ..., x12. Cik no šiem punktiem funkcijas atvasinājums ir negatīvs?

Uzdevums ir apgriezts, ņemot vērā funkcijas grafiku, shematiski jāizveido, kā izskatīsies funkcijas atvasinājuma grafiks, un jāaprēķina, cik punktu atradīsies negatīvajā diapazonā.

Pozitīvi: x1, x6, x7, x12.

Negatīvs: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Atbilde: 7

Cita veida uzdevums, kad jautā par kaut kādām šausmīgām "ekstrēmībām"? Jums nebūs grūti atrast, kas tas ir, bet es paskaidrošu grafikiem.

Uzdevums numurs 5. Attēlā parādīts intervālā (-16; 6) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodi funkcijas f(x) ekstrēmu punktu skaitu nogrieznē [-11; 5].

Ievērojiet diapazonu no -11 līdz 5!

Pievērsīsim savas spožās acis uz plāksni: dots funkcijas atvasinājuma grafiks => tad ekstrēmas ir krustošanās punkti ar X asi.

Atbilde: 3

Uzdevums numurs 6. Attēlā parādīts intervālā (-13; 9) definētās funkcijas f (x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu intervālā [-12; 5].

Ievērojiet diapazonu no -12 līdz 5!

Uz plāksnīti var skatīties ar vienu aci, maksimālais punkts ir ekstrēms, lai pirms tā atvasinājums būtu pozitīvs (funkcija palielinās), bet pēc tam atvasinājums ir negatīvs (funkcija samazinās). Šie punkti ir apvilkti ar apli.

Bultiņas parāda, kā darbojas funkcijas grafiks.

Atbilde: 3

Uzdevums numurs 7. Attēlā parādīts intervālā (-7; 5) definētas funkcijas f(x) grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kur funkcijas f(x) atvasinājums ir vienāds ar 0.

Varat aplūkot augstāk redzamo tabulu (atvasinājums ir nulle, kas nozīmē, ka tie ir ekstremāli punkti). Un šajā uzdevumā ir dots funkcijas grafiks, kas nozīmē, ka jums ir jāatrod lēciena punktu skaits!

Un jūs varat, kā parasti: mēs izveidojam atvasinājuma shematisku grafiku.

Atvasinājums ir nulle, kad funkciju grafiks maina virzienu (no pieaugoša uz samazinošu un otrādi)

Atbilde: 8

Uzdevums numurs 8. Attēlā redzams atvasinātais grafiks funkcija f(x), kas definēta intervālā (-2; 10). Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus f(x). Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.

Izveidosim funkcijas shematisku grafiku:

Kur tas palielinās, mēs iegūstam 4 veselus skaitļus: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Atbilde: 22

Uzdevums numur 9. Attēlā redzams atvasinātais grafiks funkcija f(x), kas definēta intervālā (-6; 6). Atrodiet punktu skaitu f(x), kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y = 2x + 13 vai sakrīt ar to.

Mums ir dots atvasinājuma grafiks! Tas nozīmē, ka mūsu tangenss arī ir “jāpārtulko” atvasinājumā.

Pieskares atvasinājums: y" = 2.

Tagad izveidosim abus atvasinājumus:

Pieskares krustojas trīs punktos, tāpēc mūsu atbilde ir 3.

Atbilde: 3

Uzdevums numurs 10. Attēlā parādīts funkcijas f (x) grafiks, un atzīmēti punkti -2, 1, 2, 3. Kurā no šiem punktiem atvasinājuma vērtība ir mazākā? Lūdzu, norādiet šo punktu savā atbildē.

Uzdevums ir nedaudz līdzīgs pirmajam: lai atrastu atvasinājuma vērtību, jums ir jāizveido šī grafika pieskares punktā un jāatrod koeficients k.

Ja līnija samazinās, k< 0.

Ja līnija palielinās, k > 0.

Padomāsim par to, kā koeficienta vērtība ietekmēs taisnes slīpumu:

Ja k = 1 vai k = − 1, grafiks būs vidū starp x un y asīm.

Jo tuvāk X-asij taisne, jo tuvāk koeficients k nullei.

Jo tuvāk līnija ir Y asij, jo tuvāk koeficients k ir bezgalībai.

Punktā -2 un 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>tur būs mazākā atvasinājuma vērtība

Atbilde: 1

Uzdevums numurs 11. Līnija ir pieskares y = 3x + 9 funkcijas y = x³ + x² + 2x + 8 grafikam. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Līnija būs pieskares grafikam, kad grafiki ir kopīgs punkts, kā arī to atvasinājumi. Pielīdziniet grafiku un to atvasinājumu vienādojumus:

Atrisinot otro vienādojumu, iegūstam 2 punktus. Lai pārbaudītu, kurš no tiem ir piemērots, mēs katru no x aizstājam pirmajā vienādojumā. Derēs tikai viens.

Es nevēlos atrisināt kubisko vienādojumu, bet gan kvadrātveida vienādojumu saldai dvēselei.

Tas ir tikai tas, ko pierakstīt atbildē, ja saņemat divas "normālas" atbildes?

Sākotnējās diagrammās aizstājot x (x) y \u003d 3x + 9 un y \u003d x³ + x² + 2x + 8, jums vajadzētu iegūt to pašu Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Pa labi! Tātad x=1 būs atbilde

12. uzdevums. Taisne y = − 5x − 6 ir pieskares funkcijas ax² + 5x − 5 grafikam. Atrodi .

Līdzīgi mēs pielīdzinām funkcijas un to atvasinājumus:

Atrisināsim šo sistēmu attiecībā uz mainīgajiem a un x :

Atbilde: 25

Eksāmena pirmajā daļā uzdevums ar atvasinājumiem tiek uzskatīts par vienu no grūtākajiem, tomēr ar nelielu vērīgumu un jautājuma izpratni jums izdosies, un jūs paaugstināsiet šī uzdevuma izpildes procentu!

Izlaiduma darbs in IZMANTOT veidlapu 11 klasniekiem tajā noteikti ir uzdevumi robežu aprēķināšanai, funkcijas atvasinājuma samazināšanas un palielināšanas intervāliem, ekstremālo punktu atrašanai un grafiku zīmēšanai. Labas zināšanas par šo tēmu ļauj pareizi atbildēt uz vairākiem eksāmena jautājumiem un nepiedzīvot grūtības turpmākajā profesionālajā apmācībā.

Pamati diferenciālrēķins viena no galvenajām matemātikas tēmām mūsdienu skola. Viņa pēta atvasinājuma izmantošanu, lai pētītu mainīgo atkarības - tieši ar atvasinājumu palīdzību jūs varat analizēt funkcijas palielināšanos un samazināšanos, neatsaucoties uz zīmējumu.

Visaptveroša absolventu sagatavošana par nokārtojot eksāmenu uz izglītības portāls"Shkolkovo" palīdzēs dziļi izprast diferenciācijas principus - detalizēti izprast teoriju, pētīt risinājumu piemērus tipiski uzdevumi un izmēģināt spēkus patstāvīgā darbā. Palīdzēsim novērst nepilnības zināšanās - precizēt izpratni par tēmas leksiskajiem jēdzieniem un lielumu atkarībām. Studenti varēs atkārtot, kā atrast monotonitātes intervālus, kas nozīmē funkcijas atvasinājuma pieaugumu vai kritumu noteiktā intervālā, kad robežpunkti ir iekļauti, nevis iekļauti atrastajos intervālos.

Pirms uzsākt tiešu tematisko problēmu risināšanu, iesakām vispirms doties uz sadaļu "Teorētiskā atsauce" un atkārtot jēdzienu definīcijas, noteikumus un tabulas formulas. Šeit varat arī izlasīt, kā atvasinātajā grafikā atrast un ierakstīt katru pieaugošo un samazinošo funkciju intervālu.

Visa piedāvātā informācija ir sniegta vispieejamākajā veidā, lai to saprastu praktiski no nulles. Vietne piedāvā materiālus uztverei un asimilācijai vairākos dažādas formas– lasīšana, video skatīšanās un tiešās apmācības pieredzējušu skolotāju vadībā. Profesionāli pedagogi viņi detalizēti pastāstīs, kā ar analītiskām un grafiskām metodēm atrast funkcijas atvasinājuma pieauguma un samazinājuma intervālus. Vebināru laikā būs iespējams uzdot jebkuru interesējošo jautājumu gan teorētiski, gan konkrētu problēmu risināšanā.

Atceroties tēmas galvenos punktus, aplūkojiet funkcijas atvasinājuma palielināšanas piemērus, līdzīgi kā eksāmena opciju uzdevumi. Lai nostiprinātu apgūto, ieskaties “Katalogā” – šeit to atradīsi praktiskie vingrinājumi priekš patstāvīgs darbs. Sadaļā tiek atlasīti uzdevumi dažādi līmeņi grūtības prasmju attīstībā. Katram no tiem, piemēram, ir pievienoti risinājuma algoritmi un pareizās atbildes.

Izvēloties sadaļu "Konstruktors", studenti varēs praktizēt funkcijas atvasinājuma palielināšanas un samazināšanas pētīšanu uz reālā IZMANTOT opcijas, pastāvīgi atjaunināts, ņemot vērā nesenās izmaiņas un inovācijas.

Noteiktā intervālā funkcijai ir 2 maksimumi un 2 minimumi, kopā 4 galējības. Uzdevums Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Risinājums Noteiktā intervālā funkcijas atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc funkcija šajā intervālā palielinās. Risinājums Ja atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli un tā tuvumā maina zīmi, tad tas ir galējības punkts.

Atvasinātā instrumenta vērtības aprēķins. Divu punktu metode

1. Izpētiet funkciju, izmantojot atvasinājuma grafiku. Funkcija y=f(x) samazinās uz intervāliem (x1;x2) un (x3;x4). Izmantojot atvasinājuma y=f ‘(x) grafiku, var salīdzināt arī funkcijas y=f(x) vērtības.

Apzīmēsim šos punktus kā A (x1; y1) un B (x2; y2). Pareizi uzrakstiet koordinātas - tas ir risinājuma galvenais punkts, un jebkura kļūda šeit noved pie nepareizas atbildes.

AT fiziskā sajūta atvasinājums ir jebkura procesa izmaiņu ātrums. Materiālais punkts kustas taisni saskaņā ar likumu x(t) = t²-13t+23, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, ko mēra no kustības sākuma.

Pieskares riņķim, elipsei, hiperbolai, parabolai.

Atgādināšu, ka tas izklausās šādi: funkciju sauc par intervāla palielināšanu/samazināšanu, ja lielākais funkcijas arguments atbilst lielākai/mazākai funkcijas vērtībai. Bet paskatieties, lūdzu, savu risinājumu uzdevumam 7089. Tur, norādot pieauguma intervālus, robežas netiek iekļautas. Ņemiet vērā, ka ir dots atvasinājuma grafiks. Kā parasti: caurdurtais punkts neatrodas diagrammā, tajā esošās vērtības neeksistē un netiek ņemtas vērā. Labi sagatavoti bērni atšķir jēdzienus "atvasinājums" un "otrais atvasinājums". Jūs mulsinat: ja atvasinājums pagriezās uz 0, tad punktā funkcijai varētu būt minimums vai maksimums. Negatīvās vērtības atvasinājums atbilst intervāliem, kuros funkcija f(x) samazinās.

Līdz šim mēs esam nodarbojušies ar grafiku pieskares vienādojumu atrašanu vienvērtības funkcijas formas y = f(x) dažādos punktos.

Zemāk esošajā attēlā ir parādīti trīs faktiski dažādi sekanti (punkti A un B ir atšķirīgi), taču tie sakrīt un tiek doti ar vienu vienādojumu. Bet tomēr, ja mēs sākam no definīcijas, tad līnija un tās sekanta līnija sakrīt. Sāksim atrast saskares punktu koordinātas. Lūdzam pievērst uzmanību, jo vēlāk to izmantosim, aprēķinot saskares punktu ordinātas. Hiperbola ar centru punktā un virsotnēm un tiek dota ar vienādību (attēls zemāk pa kreisi), un ar virsotnēm un - vienādība (attēls zemāk labajā pusē). Rodas loģisks jautājums, kā noteikt, kurai no funkcijām punkts pieder. Lai uz to atbildētu, mēs aizvietojam koordinātas katrā vienādojumā un redzam, kura no vienādībām pārvēršas par identitāti.

Dažreiz skolēni jautā, kāda ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir vienīgais kopīgais punkts ar grafiku šajā sadaļā, turklāt, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā pieskares aplim. Atradīsim. Mēs atceramies, ka tangenss akūts leņķis iekšā taisnleņķa trīsstūris vienāds ar pretējās kājas attiecību pret blakus esošo. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari. Bet kā atrast atvasinājumu, ja funkcija ir dota nevis pēc grafika, bet ar formulu?