Tādējādi oriģinālajam attēlam oriģinālam ir forma

Šis rezultāts sakrīt ar (23).

3. Atrast diferenciālvienādojuma risinājumu
, izpildot sākotnējos nosacījumus y(0) = y"(0) = 0.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam Duhamel integrāli. Vispirms atradīsim risinājumu
diferenciālvienādojums
. Attēlam atbilstošais operatora vienādojums
ir forma

vai
. No šejienes mēs atrodam

. Mēs attēlojam iegūto daļu kā vienkāršu daļu summu
. Atradīsim koeficientus
. Lai to izdarītu, mēs samazinām daļskaitļus labajā pusē līdz kopsaucējam un iegūstam skaitītāju vienādību

Lai atrastu koeficientus, vispirms izmantojam daļējo vērtību metodi. Liekam
. Tad saņemam
. Liekam
. Tad saņemam
. Lai noteiktu vērtību pielīdzināt koeficientus pakāpei pa kreisi un pa labi (24):
. Sekojoši,
. Tāpēc attēls izskatās kā
. Saskaņā ar tabulu mēs atrodam atbilstošo oriģinālu
.. no šejienes

. (25)

Saskaņā ar formulu (13) sākotnējā diferenciālvienādojuma risinājums
ir neatņemama sastāvdaļa

, (26)

- (27)

sākotnējā vienādojuma labajā pusē. Ņemiet vērā, ka (26) tiek izmantota divu funkciju konvolūcijas simetrijas īpašība.

Aizvietojot (25) un (27) ar (26), mēs iegūstam

Sekojoši,

. (28)

Atrisināsim šo problēmu, izmantojot Mathcad

Apzīmē
cauri
(atcerieties, ka programmā Mathcad kompleksais mainīgais apzīmē ar )

Atradīsim oriģinālu
, tad ielieciet
un atrodiet atvasinājumu attiecībā uz no funkcijas

Aprēķināt
, kur
ir sākotnējā vienādojuma labā puse.

Labo pusi var vienkāršot

Šis rezultāts sakrīt ar izteiksmi (28), kas iegūta iepriekš.

Ņemot vērā, ka divu funkciju konvolūcija nav atkarīga no to secības, varam arī aprēķināt
saskaņā ar formulu (26) formā

Rezultāts ir diezgan apgrūtinoša izteiksme. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus šajā izteiksmē un vienkāršojam rezultātu

Šis rezultāts ir arī samazināts līdz formai (28)

4. Atrisiniet Košī problēmu, izmantojot darbības metodi:

(29)

(30)

Risinājums. Atsaucoties uz,

,

mēs iegūstam operatora vienādojumu formā

No šejienes attēls

(31)

Polinoms
ir saknes
,
, un līdz ar to arī izteiksme
pēc pirmās un pēdējās daļskaitļu summas vienkāršošanas to pārvērš formā

(32)

Lai iegūtu oriģinālu
attēlam
, jums ir jāsadala (32) iekļautās daļas vienkāršās. Atradīsim šo paplašinājumu, izmantojot Mathcad

Daudzās matemātiskās analīzes problēmās tiek aplūkotas situācijas, kurās katrs vienas telpas punkts tiek piešķirts kādam citas (vai tās pašas) telpas punktam. Telpas var būt abstraktas, kurās "punkti" faktiski ir funkcijas. Atbilstība starp diviem punktiem tiek noteikta, izmantojot transformāciju vai operatoru. Operatoru teorijas uzdevums ietver detalizētu dažāda veida transformāciju un to īpašību aprakstu un klasifikāciju, kā arī simbolisku metožu izstrādi, kas ļauj minimizēt un vienkāršot aprēķinus. Parasti operatoru teoriju pielieto telpām, kurās ir atļauta punktu saskaitīšana vai reizināšana, t.i. lineāras telpas, grupas, gredzeni, lauki utt.

Problēmas un pielietojumi.

Ļaujiet D un R ir reālas lineāras vai vektoru telpas, kas nav obligāti atšķirīgas. To elementi ir vektori, tāpēc divu elementu summa un elementa reizinājums ar skalāru ir definēti un atbilst parastajiem vektoru nosacījumiem. Ierobežoto bāzu esamība iekšā D un R nav nepieciešams. Ļaujiet r, vektors R, atbilst vektoram d no D. Mēs apzīmējam šo korespondenci T(d) = r vai Td = r. Tad T sauc par domēna operatoru D un diapazons R. Operators T ir sadales, ja

kur λ un λ" ir jebkuri reāli skaitļi, un d un d"- jebkuri elementi no D. Ja D un R ir topoloģiskās vektortelpas, kurās λd un d+d" ir nepārtrauktas darbības, tad sadales nepārtraukto operatoru sauc par lineāro operatoru. Ja J satur D un R, tad T 2 (d) ir definēts kā T(T(d)) un ir definēts līdzīgi T n(d), ja visām šīm darbībām ir jēga.

Operacionālais aprēķins ļauj veikt abstraktus problēmu formulējumus un vispārināt tādas matemātiskās analīzes sadaļas kā diferenciālvienādojumu un integrālvienādojumu teorija. Mūsdienu kvantu teorijas problēmas ir kļuvušas par spēcīgu stimulu operatoru teorijas attīstībai. Vispilnīgākie rezultāti iegūti sadales operatoriem t.s. Hilberta telpa. Interese par šo jomu lielā mērā ir saistīta ar šādu operatoru attēlošanu ar integrālām transformācijām.

Divi svarīgi sadales operatori ir diferenciācijas operatori lpp un integrācija lpp- viens. Lineāro telpu elementi D un Ršajā gadījumā būs mainīgā funkcijas x. Mums ir

kur m un n ir nenegatīvi veseli skaitļi. Tā kā integrācija noved pie patvaļīgas konstantes parādīšanās, lpp –1 lpp ne vienmēr ir tā pati darbība lpp 0 . Formālie noteikumi šādu operatoru apvienošanai sniedzas līdz J. Būlam (1815–1864); piemēram,

Hevisīda aprēķinos, ko izstrādājis O. Hevisīds (1850–1925), telpa D ierobežota ar funkciju apjomu f(x), identiski vienāds ar nulli negatīvam x. Galvenā loma ir funkcijai 1( x), vienāds ar 0 negatīvam x un 1 — nenegatīviem x. Šeit ir daži Heaviside aprēķina "noteikumi":

Ja n! aizstāt gamma funkciju Г( n+ 1), tad pirmais no noteikumiem paliek spēkā neveselam skaitlim n(gamma funkcijas definīcija cm. FUNKCIJA).

Par galveno operacionālā aprēķina rezultātu tiek uzskatīta teorēma par kompozīciju jeb konvolūciju, saskaņā ar kuru, ja F 1 (lpp)1(x) = f 1 (x) un F 2 (lpp)1(x) = f 2 (x), tad

Piemērojot konvolūcijas teorēmu uz p a plkst a≠ 0, –1, –2,..., var definēt daļējās kārtas integrāciju vai diferenciāciju. Piemēram, apsveriet izteiksmi

kur ir funkcija y(x) un tā pirmā n– 1 atvasinājumi pazūd, kad x= 0. Ļaujiet y(x) = Y(lpp)1(x), g(x) = G(lpp)1(x). Pieņemt

Izliksimies tā f(x) = F(lpp) –1 1(x). Tad

Standarta noteikumi ietver dažādus algoritmus, kas saistīti ar asimptotisko rindu racionālo funkciju elementārās daļas izvēršanu utt. Par praksi y(x) = Y(lpp)1(x) bieži tiek rakstīts kā y(x) ~ Y(lpp) vai .

V. Volteras (1860–1940) slēgtā cikla funkciju teorija noved pie tādiem pašiem vispārīgiem rezultātiem. Līdzīgas teorijas ir konstruētas arī citiem operatoriem, piemēram, priekš x(d/dx) un vispārīgākām situācijām ar vairākām operācijām Volterra, Pinkerle u.c.. Lietišķajiem matemātiķiem Heaviside operacionālā aprēķina galvenā priekšrocība ir transcendentālo problēmu samazināšana ar neatkarīgu mainīgo. x uz algebriskām problēmām funkcijām atkarībā no lpp. Visbiežāk Heaviside metodi izmanto, lai atrisinātu diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, starpības vienādojumus un integrālvienādojumus ar kodolu. K(x, t) = K(x – t). Vispārīgā gadījumā, kad operacionālā aprēķina metodes tiek paplašinātas līdz sarežģītākiem vienādojumiem, tiek zaudēts "tīrās algebrizācijas" raksturs.

Stingrs koeficienta pamatojums F(lpp)1(x) = f (x) ir dota Laplasa vai Furjē integrāļu transformāciju izteiksmē vai abstrakti, operatoru izteiksmē noteiktās lineārās topoloģiskās telpās, piemēram, Hilberta telpā. Šī pieeja ļāva noteikt nosacījumus heiristisko noteikumu piemērojamībai.

Kā atrisināt diferenciālvienādojumu
operatīvais aprēķins?

Šajā nodarbībā tiks detalizēti analizēts tipisks un plaši izplatīts kompleksās analīzes uzdevums - atrašana konkrēta DE 2. kārtas risinājumam ar nemainīgiem koeficientiem ar operacionālā aprēķina metodi. Atkal un atkal es atbrīvoju jūs no aizspriedumiem, ka materiāls ir neiedomājami sarežģīts un nepieejams. Tas ir smieklīgi, bet, lai apgūtu piemērus, jūs, iespējams, nespēsit atšķirt, integrēt un pat nezināt, ko kompleksie skaitļi. Nepieciešamas pieteikšanās prasmes nenoteikto koeficientu metode, kas ir detalizēti apspriests rakstā Daļējo racionālo funkciju integrācija. Patiesībā uzdevuma stūrakmens ir parastās algebriskās darbības, un esmu pārliecināts, ka materiāls ir pieejams pat skolēnam.

Pirmkārt, kodolīga teorētiskā informācija par aplūkojamo matemātiskās analīzes sadaļu. Galvenais punkts operatīvais aprēķins sastāv no sekojošām: funkcija derīgs mainīgais, izmantojot t.s Laplass pārveido parādīts funkcija aptverošs mainīgs :

Terminoloģija un apzīmējumi:
funkcija tiek izsaukta oriģināls;
funkcija tiek izsaukta attēlu;
lielais burts apzīmē Laplasa transformācija.

Vienkāršiem vārdiem sakot, saskaņā ar noteiktiem noteikumiem reāla funkcija (oriģināla) ir jāpārvērš par sarežģītu funkciju (attēlu). Bultiņa norāda uz šo transformāciju. Un paši "noteikti noteikumi" tādi ir Laplasa transformācija, ko izskatīsim tikai formāli, ar ko pilnīgi pietiks problēmu risināšanai.

Ir iespējama arī apgrieztā Laplasa transformācija, kad attēls tiek pārveidots par oriģinālu:

Kāpēc tas viss ir vajadzīgs? Vairākās augstākās matemātikas problēmās var būt ļoti izdevīgi pāriet no oriģināliem uz attēliem, jo ​​šajā gadījumā problēmas risinājums ir ievērojami vienkāršots (joks). Un mēs apsvērsim tikai vienu no šīm problēmām. Ja esat nodzīvojis, lai redzētu operatīvo aprēķinu, tad formulējumam jums ir jābūt pazīstamam:

Atrodiet konkrētu risinājumu nehomogēnam otrās kārtas vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem dotajiem sākuma nosacījumiem.

Piezīme: dažreiz diferenciālvienādojums var būt viendabīgs: , tam iepriekš minētajā formulējumā ir piemērojama arī operatīvā aprēķina metode. Tomēr praktiskos piemēros 2. kārtas viendabīga DE ir ārkārtīgi reti, un tālāk mēs runāsim par nehomogēniem vienādojumiem.

Un tagad tiks analizēta trešā metode - DE risinājums, izmantojot operatīvo aprēķinu. Vēlreiz uzsveru faktu, ka runa ir par konkrēta risinājuma atrašanu, Turklāt, sākotnējiem nosacījumiem ir stingri noteikta forma("X" ir vienādi ar nulli).

Starp citu, par "X". Vienādojumu var pārrakstīt šādā formā:
, kur "x" ir neatkarīgs mainīgais un "y" ir funkcija. Es par to nerunāju nejauši, jo aplūkojamajā problēmā visbiežāk tiek izmantoti citi burti:

Tas nozīmē, ka neatkarīgā mainīgā lomu spēlē mainīgais "te" (nevis "x"), un funkcijas lomu spēlē mainīgais "x" (nevis "y").

Es saprotu, ka tas, protams, ir neērti, taču labāk ir pieturēties pie apzīmējuma, kas atrodams lielākajā daļā problēmu grāmatu un rokasgrāmatu.

Tātad, mūsu uzdevums ar citiem burtiem ir rakstīts šādi:

Atrodiet konkrētu risinājumu nehomogēnam otrās kārtas vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem dotajiem sākuma nosacījumiem .

Uzdevuma jēga vispār nav mainījusies, mainījušies tikai burti.

Kā atrisināt šo problēmu ar operatīvā aprēķina metodi?

Pirmkārt, jums būs nepieciešams oriģinālu un attēlu tabula. Tas ir galvenais lēmumu pieņemšanas rīks, un bez tā jūs nevarat iztikt. Tāpēc, ja iespējams, mēģiniet izdrukāt norādīto atsauces materiālu. Es nekavējoties paskaidrošu, ko nozīmē burts “pe”: sarežģīts mainīgais (parastā “ze”). Lai gan šim faktam nav īpašas nozīmes problēmu risināšanā, “pe” ir tik “pe”.

Izmantojot tabulu, oriģināli ir jāpārvērš dažos attēlos. Tam seko virkne tipisku darbību, un tiek izmantota apgrieztā Laplasa transformācija (arī tabulā). Tādējādi tiks atrasts vēlamais konkrētais risinājums.

Visi uzdevumi, kas ir jauki, tiek atrisināti pēc diezgan stingra algoritma.

1. piemērs

, ,

Risinājums: Pirmajā solī mēs pāriesim no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem. Izmantosim kreiso pusi.

Vispirms tiksim galā ar sākotnējā vienādojuma kreiso pusi. Laplasa transformācijai linearitātes noteikumi, tāpēc mēs ignorējam visas konstantes un atsevišķi strādājam ar funkciju un tās atvasinājumiem.

Saskaņā ar tabulas formulu Nr. 1 mēs pārveidojam funkciju:

Pēc formulas Nr.2 , ņemot vērā sākotnējo nosacījumu , mēs pārvēršam atvasinājumu:

Saskaņā ar formulu Nr. 3, ņemot vērā sākotnējos nosacījumus, mēs pagriežam otro atvasinājumu:

Neļaujieties apjukumam no zīmēm!

Atzīšos, ka pareizāk ir teikt nevis “formulas”, bet “pārvērtības”, bet vienkāršības labad ik pa laikam tabulas aizpildīšanu nosaukšu par formulām.

Tagad tiksim galā ar labo pusi, kurā ir polinoms. Sakarā ar to pašu linearitātes noteikumi Laplass pārveido, mēs strādājam ar katru terminu atsevišķi.

Mēs skatāmies uz pirmo terminu: - tas ir neatkarīgais mainīgais "te", reizināts ar konstanti. Ignorējiet konstanti un, izmantojot tabulas vienumu Nr. 4, veiciet transformāciju:

Mēs skatāmies uz otro termiņu: -5. Kad konstante tiek atrasta viena pati, tad to vairs nav iespējams izlaist. Ar vienu konstanti viņi to dara: skaidrības labad to var attēlot kā reizinājumu: , un vienībai tiek piemērota transformācija:

Tādējādi visiem diferenciālvienādojuma elementiem (oriģināliem), izmantojot tabulu, tiek atrasti atbilstošie attēli:

Aizstājiet atrastos attēlus sākotnējā vienādojumā:

Nākamais uzdevums ir izteikt operatora lēmums caur visu pārējo, proti, caur vienu frakciju. Šajā gadījumā ieteicams ievērot šādu procedūru:

Vispirms atveriet iekavas kreisajā pusē:

Mēs sniedzam līdzīgus terminus kreisajā pusē (ja tādi ir). Šajā gadījumā pievienojiet skaitļus -2 un -3. Manekeni stingri iesaka neizlaist šo posmu:

Kreisajā pusē mēs atstājam terminus, kuros ir klāt, pārējos nosacījumus pārnesam pa labi ar zīmes maiņu:

Kreisajā pusē izņemam operatora risinājumu, labajā pusē izteiksmi apvienojam ar kopsaucēju:

Kreisajā pusē esošais polinoms ir jāņem vērā (ja iespējams). Mēs atrisinām kvadrātvienādojumu:

Pa šo ceļu:

Mēs atiestatām uz labās puses saucēju:

Mērķis ir sasniegts - operatora risinājums tiek izteikts vienas daļdaļas izteiksmē.

Otrā darbība. Izmantojot nenoteikto koeficientu metode, vienādojuma operatora risinājums ir jāpaplašina elementāro daļskaitļu summā:

Pielīdziniet koeficientus attiecīgajām pakāpēm un atrisiniet sistēmu:

Ja ir kādas grūtības ar lūdzu sekojiet līdzi rakstiem Daļēji racionālas funkcijas integrācija un Kā atrisināt vienādojumu sistēmu? Tas ir ļoti svarīgi, jo frakcionēšana būtībā ir vissvarīgākā problēmas daļa.

Tātad tiek atrasti koeficienti: , un operatora risinājums mums parādās izjauktā veidā:

Ņemiet vērā, ka konstantes netiek rakstītas daļskaitļu skaitītājos. Šis rakstīšanas veids ir labāks par . Un tas ir izdevīgāk, jo pēdējā darbība notiks bez neskaidrībām un kļūdām:

Pēdējais uzdevuma solis ir pāriet no attēliem uz atbilstošiem oriģināliem, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju. Izmantojiet labo kolonnu oriģinālu un attēlu tabulas.

Varbūt ne visi saprot pārvērtības. Šeit tiek izmantota tabulas 5. punkta formula:. Ja sīkāk: . Faktiski līdzīgos gadījumos formulu var mainīt: . Jā, un visas rindkopas Nr.5 tabulas formulas ir ļoti viegli pārrakstīt līdzīgā veidā.

Pēc apgrieztās pārejas uz sudraba šķīvja ar zilu apmali tiek iegūts vēlamais konkrētais DE risinājums:

Tas bija:

Tas kļuva:

Atbilde: privāts risinājums:

Kad laiks atļauj, vienmēr ir ieteicams veikt pārbaudi. Pārbaude tiek veikta pēc standarta shēmas, kas jau ir aplūkota nodarbībā. 2. kārtas nehomogēni diferenciālvienādojumi. Atkārtosim:

Pārbaudīsim sākotnējā nosacījuma izpildi:
- veikta.

Atradīsim pirmo atvasinājumu:

Pārbaudīsim otrā sākotnējā nosacījuma izpildi:
- veikta.

Atradīsim otro atvasinājumu:

Aizstājējs , un sākotnējā vienādojuma kreisajā pusē:

Tiek iegūta sākotnējā vienādojuma labā puse.

Secinājums: uzdevums tika izpildīts pareizi.

Neliels piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

2. piemērs

Izmantojot operatīvo aprēķinu, atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu dotajiem sākuma nosacījumiem.

Noslēguma uzdevuma piemērs nodarbības beigās.

Biežākais viesis diferenciālvienādojumos, kā daudzi jau sen ir pamanījuši, ir eksponenti, tāpēc apskatīsim dažus piemērus ar viņiem, radiniekiem:

3. piemērs

, ,

Risinājums: Ar Laplasa transformācijas tabulas palīdzību (tabulas kreisā puse) pāriesim no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem.

Vispirms apskatīsim vienādojuma kreiso pusi. Pirmā atvasinājuma nav. Nu un ko? Lieliski. Mazāk darba. Ņemot vērā sākotnējos nosacījumus, pēc tabulas formulām Nr. 1,3 atrodam attēlus:

Tagad mēs skatāmies uz labo pusi: - divu funkciju reizinājums. Lai izmantotu priekšrocības linearitātes īpašības Laplasa transformācija, jums ir jāatver iekavas: . Tā kā konstantes ir produktos, mēs uz tām iegūstam punktus, un, izmantojot tabulas formulu grupu Nr. 5, mēs atrodam attēlus:

Aizstājiet atrastos attēlus sākotnējā vienādojumā:

Atgādinu, ka nākamais uzdevums ir izteikt operatora risinājumu ar vienu datni.

Kreisajā pusē atstājam terminus, kuros ir klāt, atlikušos nosacījumus pārnesam uz labo pusi. Tajā pašā laikā labajā pusē mēs sākam lēnām apvienot daļskaitļus līdz kopsaucējam:

Mēs to ievietojam iekavās kreisajā pusē, labajā pusē mēs apvienojam izteiksmi līdz kopsaucējam:

Kreisajā pusē tiek iegūts nesadalāms polinoms. Ja polinoms nefaktorizējas, tad viņš, nabadziņš, nekavējoties jāmet labās puses apakšā, iebetonējis kājas baseinā. Un skaitītājā atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus:

Ir pienācis visgrūtākais posms: nenoteikto koeficientu metode vienādojuma operatora risinājumu paplašinām elementārdaļiņu summā:


Pa šo ceļu:

Pievērsiet uzmanību tam, kā frakcija tiek sadalīta: Drīzumā paskaidrošu, kāpēc tas tā ir.

Pabeigt: pārejiet no attēliem uz atbilstošajiem oriģināliem, izmantojiet tabulas labo kolonnu:

Divās apakšējās transformācijās tika izmantotas tabulas formulas Nr. 6 un 7, un daļa iepriekš tika sadalīta tikai "pielāgošanai" tabulas transformācijām.

Rezultātā konkrēts risinājums:

Atbilde: vēlamais konkrēts risinājums:

Līdzīgs piemērs risinājumam "dari pats":

4. piemērs

Atrast konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu ar operatīvā aprēķina metodi.

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

4. piemērā viens no sākotnējiem nosacījumiem ir nulle. Tas noteikti vienkāršo risinājumu, un ideālākais variants ir tad, ja abi sākotnējie nosacījumi ir nulle: . Šajā gadījumā atvasinājumi tiek pārveidoti par attēliem bez astes:

Kā jau minēts, vissarežģītākais problēmas tehniskais aspekts ir frakcijas paplašināšana nenoteikto koeficientu metode, un manā rīcībā ir diezgan laikietilpīgi piemēri. Tomēr es nevienu neiebiedēšu ar monstriem, apskatīsim vēl pāris tipiskākas vienādojuma šķirnes:

5. piemērs

Izmantojot operacionālā aprēķina metodi, atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem.
, ,

Risinājums: Izmantojot Laplasa transformācijas tabulu, pāriesim no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem. Ņemot vērā sākotnējos nosacījumus :

Arī ar labo pusi nav problēmu:

(Atgādinu, ka reizinātāja konstantes tiek ignorētas)

Aizvietojiet iegūtos attēlus sākotnējā vienādojumā un veiciet standarta darbības, kuras, es ceru, jau esat labi pastrādājis:

Mēs izņemam konstanti saucējā ārpus frakcijas, pats galvenais, tad neaizmirstiet par to:

Pārdomāju, vai no skaitītāja izņemt papildu divnieku, tomēr, novērtējot, nonācu pie secinājuma, ka šis solis praktiski nevienkāršot turpmāko lēmumu.

Uzdevuma iezīme ir iegūtā daļa. Šķiet, ka tā sadalīšanās būs ilga un sarežģīta, taču iespaids ir mānīgs. Protams, ir sarežģītas lietas, bet jebkurā gadījumā uz priekšu, bez bailēm un šaubām:

Faktam, ka daži koeficienti izrādījās daļēji, nevajadzētu būt neērtam, šī situācija nav nekas neparasts. Ja tikai skaitļošanas tehnika nepieviltu. Turklāt vienmēr ir iespēja pārbaudīt atbildi.

Rezultātā operatora risinājums:

Pāriesim no attēliem uz atbilstošajiem oriģināliem:

Tātad privāts risinājums:

EKSPLUATĀCIJAS KALKUSI- lietišķās matemātiskās analīzes metožu kopums, kas ļauj ekonomiski un tieši ved uz mērķi iegūt risinājumus lineāriem diferenciālvienādojumu, kā arī atšķirības un dažu veidu integrālvienādojumu. Šajā sakarā operatīvā aprēķinu metodes tiek plaši izmantotas mehānikā, elektrotehnikā, automatizācijā un citās ļoti dažādās zinātnes un tehnikas nozarēs. Operacionālais aprēķins balstās uz funkcionālās transformācijas ideju: reāla mainīgā t funkcija, kas definēta argumenta pozitīvām vērtībām, ko sauc par sākotnējo funkciju vai oriģinālu, ir saistīta ar cita mainīgā p funkciju, ko sauc. attēlu, izmantojot lineāro integrālo transformāciju. Līdzīgu transformāciju "oriģināls - attēls" var veikt tā, lai sākotnējo funkciju diferenciācijas un integrācijas darbības atbilstu algebriskām darbībām attēla apgabalā. Tas ļauj, izmantojot visvienkāršākās algebriskās darbības, atrast sākotnējo diferenciālvienādojumu atrisinājumu attēlus, pēc tam meklēt atbilstošo sākotnējo funkciju, t.i., risinājums tiek veikts, izmantojot dažus vienkāršus noteikumus un lielāko daļu “katalogu”. bieži sastopami attēli. Sarežģītākos uzdevumos ir jāizmanto apgrieztā funkcionālā transformācija: attēls ir oriģināls. Pirmie darbi, kas bija veltīti operatīvajiem aprēķiniem, parādījās pagājušā gadsimta vidū. Krievu matemātiķis M. E. Vaščenko-Zaharčenko monogrāfijā “Simboliskais aprēķins un tā pielietojums lineāro diferenciālvienādojumu integrēšanai”, kas publicēts 1862. gadā Kijevā, noteica un daļēji atrisināja metodes, kas vēlāk kļuva pazīstama kā operatīvā, galvenās problēmas. . Operāciju aprēķinu sistemātiska pielietošana fizisko un tehnisko problēmu risināšanā sākās ar angļu zinātnieka O.Hevisīda darba parādīšanos 1892. gadā. Operacionālā aprēķina būtību var ilustrēt ar piemēru ar reālā mainīgā t sākotnējo pa daļām nepārtrauktu funkciju klasi f(t), kas visbiežāk sastopamas lietišķajās problēmās, kas definētas pie tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o ir skaitļi neatkarīgi no t. Ja p=s+iσ ir kāds komplekss skaitlis, tad saskaņā ar norādītajiem funkcijai f(t) noteiktajiem ierobežojumiem integrālis

eksistē un attēlo p regulāru funkciju pusplaknē Re p>s o, ko sauc par funkcijas f(t) Laplasa integrāli.
Ar likumu ieviestā funkcija F (p):

sauc par sākotnējās funkcijas attēlu vai oriģinālo f(t). Vairākas attēla īpašības (**), piemēram, atvasinājuma f’ (t) attēls:

un integrāļa attēli

padara acīmredzamu, ka transformācija (*) pārvērš diferenciācijas un integrācijas darbības reizināšanas un dalīšanas operācijās ar komplekso mainīgo p. Izmantojot attēla pamatīpašības, tiek apkopoti dažu vienkāršāko funkciju attēli - attēlu "katalogs". Vienkāršāko funkciju attēlu "katalogs" un Heaviside dekompozīcijas teorēmas, kas ļauj atrast sākotnējo funkciju, kad attēls F (p) ir polinoms vai divu polinomu attiecība, ļauj vienkāršāk atrast risinājumu liela grupa parasto lineāro diferenciālvienādojumu un diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Bet daudzi uzdevumi noved pie attēliem, kurus nevar reducēt uz tiem, kas ir "katalogā". Ir vispārējs līdzeklis sākotnējās funkcijas konstruēšanai no tās attēla - tā sauktā Rīmaņa-Melina inversijas formula.