Viena no interesantākajām tēmām ģeometrijā no skolas kursa ir "Quadangles" (8. klase). Kādi šādu figūru veidi pastāv, kādas īpašas īpašības tām piemīt? Kas ir unikāls četrstūriem ar deviņdesmit grādu stūriem? Apskatīsim šo visu.

Kādu ģeometrisku figūru sauc par četrstūri

Daudzstūrus, kas sastāv no četrām malām un attiecīgi četrām virsotnēm (stūriem), Eiklīda ģeometrijā sauc par četrstūriem.

Interesanta ir šāda veida figūru nosaukuma vēsture. Krievu valodā lietvārds "četrstūris" tiek veidots no frāzes "četri stūri" (tāpat kā "trijstūris" - trīs stūri, "piecstūris" - pieci stūri utt.).

Tomēr latīņu valodā (caur kuru daudzi ģeometriski termini nonāca lielākajā daļā pasaules valodu) to sauc par četrstūri. Šis vārds ir veidots no skaitļa četrinieks (četri) un lietvārda latus (puse). Tātad mēs varam secināt, ka seno cilvēku vidū šis daudzstūris tika saukts tikai par "četrpusīgu".

Starp citu, šāds nosaukums (ar uzsvaru uz četrām pusēm, nevis stūriem šāda veida figūrās) ir saglabājies dažās mūsdienu valodās. Piemēram, angļu valodā - quadrilateral un franču valodā - quadrilatère.

Tajā pašā laikā lielākajā daļā slāvu valodu aplūkotais figūru veids joprojām tiek identificēts pēc leņķu skaita, nevis malām. Piemēram, slovāku valodā (štvoruholník), bulgāru valodā (“chetirigalnik”), baltkrievu valodā (“chatyrokhkutnik”), ukraiņu valodā (“chotirikutnik”), čehu valodā (čtyřúhelník), bet poļu valodā četrstūri sauc ar skaitli puses - czworoboczny.

Kādi četrstūra veidi tiek pētīti skolas mācību programmā

Mūsdienu ģeometrijā ir 4 veidu daudzstūri ar četrām malām.

Tomēr dažu no tiem pārāk sarežģīto īpašību dēļ ģeometrijas stundās skolēni tiek iepazīstināti tikai ar diviem veidiem.

• Paralēlogramma.Šāda četrstūra pretējās malas ir pa pāriem paralēlas viena otrai un attiecīgi arī ir vienādas pa pāriem.
• Trapece (trapecveida vai trapecveida).Šis četrstūris sastāv no divām pretējām malām, kas ir paralēlas viena otrai. Tomēr pārējiem sānu pāriem šīs funkcijas nav.

Skolas ģeometrijas kursā neapgūtie četrstūru veidi

Papildus iepriekšminētajam ir vēl divi četrstūru veidi, ar kuriem skolēni netiek iepazīstināti ģeometrijas stundās to īpašās sarežģītības dēļ.

• Deltveida (pūķis)- figūra, kurā katrs no diviem blakus esošo malu pāriem ir vienāds garumā. Šāds četrstūris ieguva savu nosaukumu tāpēc, ka pēc izskata tas ļoti atgādina grieķu alfabēta burtu - “delta”.
• Antiparalelogramma- šis skaitlis ir tikpat sarežģīts kā tā nosaukums. Tajā divas pretējās malas ir vienādas, bet tajā pašā laikā tās nav paralēlas viena otrai. Turklāt šī četrstūra garās pretējās malas krustojas viena ar otru, tāpat kā abu pārējo, īsāko malu paplašinājumi.

Paralelogramu veidi

Aplūkojot galvenos četrstūra veidus, ir vērts pievērst uzmanību tā pasugām. Tātad visi paralelogrami savukārt ir sadalīti četrās grupās.

• Klasiskais paralelograms.
• Rombs (rombs)- četrstūrveida figūra ar vienādām malām. Tā diagonāles krustojas taisnā leņķī, sadalot rombu četros vienādos taisnleņķa trīsstūros.
• Taisnstūris. Nosaukums runā pats par sevi. Tā kā tas ir četrstūris ar taisniem leņķiem (katrs no tiem ir vienāds ar deviņdesmit grādiem). Tās pretējās malas ir ne tikai paralēlas viena otrai, bet arī vienādas.
• Kvadrāts (kvadrāts). Tāpat kā taisnstūris, tas ir četrstūris ar taisniem leņķiem, bet tā visas malas ir vienādas viena ar otru. Šis skaitlis ir tuvu rombam. Tātad var apgalvot, ka kvadrāts ir romba un taisnstūra krustojums.

Taisnstūra īpašās īpašības

Ņemot vērā skaitļus, kuros katrs leņķis starp malām ir vienāds ar deviņdesmit grādiem, ir vērts vairāk pakavēties pie taisnstūra. Tātad, kādas tam piemīt īpašas iezīmes, kas to atšķir no citiem paralelogramiem?

Lai apgalvotu, ka aplūkojamais paralelograms ir taisnstūris, tā diagonālēm jābūt vienādām viena ar otru un katram no leņķiem jābūt taisniem. Turklāt tā diagonāļu kvadrātam jāatbilst šī attēla divu blakus esošo malu kvadrātu summai. Citiem vārdiem sakot, klasiskais taisnstūris sastāv no diviem taisnleņķa trijstūriem, un tajos, kā zināms, aplūkojamā četrstūra diagonāle darbojas kā hipotenūza.

Pēdējā no uzskaitītajām šīs figūras pazīmēm ir arī tās īpašais īpašums. Papildus tam ir arī citi. Piemēram, tas, ka pētāmā četrstūra visas malas ar taisniem leņķiem vienlaikus ir tā augstumi.

Turklāt, ja ap jebkuru taisnstūri ir novilkts aplis, tā diametrs būs vienāds ar ierakstītās figūras diagonāli.

Starp citām šī četrstūra īpašībām ir tas, ka tas ir plakans un nepastāv ne-eiklīda ģeometrijā. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādā sistēmā nav četrstūra figūru, kuru leņķu summa ir vienāda ar trīs simti sešdesmit grādiem.

Laukums un tā īpašības

Apstrādājot taisnstūra zīmes un īpašības, ir vērts pievērst uzmanību otrajam zinātnei zināmajam četrstūrim ar taisniem leņķiem (tas ir kvadrāts).

Faktiski tas pats taisnstūris, bet ar vienādām malām, šim skaitlim ir visas tās īpašības. Bet atšķirībā no tā kvadrāts atrodas ne-eiklīda ģeometrijā.

Turklāt šim skaitlim ir citas atšķirīgas iezīmes. Piemēram, tas, ka kvadrāta diagonāles ir ne tikai vienādas viena ar otru, bet arī krustojas taisnā leņķī. Tādējādi kvadrāts, tāpat kā rombs, sastāv no četriem taisnleņķa trijstūriem, kuros tas ir sadalīts ar diagonālēm.

Turklāt šis skaitlis ir simetriskākais starp visiem četrstūriem.

Kāda ir četrstūra leņķu summa

Ņemot vērā Eiklīda ģeometrijas četrstūru iezīmes, ir vērts pievērst uzmanību to leņķiem.

Tātad katrā no iepriekš minētajiem skaitļiem, neatkarīgi no tā, vai tam ir taisni leņķi vai nav, to kopējā summa vienmēr ir vienāda - trīs simti sešdesmit grādi. Šī ir unikāla šāda veida figūras atšķirīgā iezīme.

Četrstūru perimetrs

Noskaidrojot, kāda ir četrstūra leņķu summa un citas šāda veida figūru īpašās īpašības, ir vērts zināt, kādas formulas vislabāk izmantot, lai aprēķinātu to perimetru un laukumu.

Lai noteiktu jebkura četrstūra perimetru, jums vienkārši jāsaskaita visu tā malu garums.

Piemēram, KLMN attēlā tā perimetru var aprēķināt, izmantojot formulu: P \u003d KL + LM + MN + KN. Ja šeit aizvietojat skaitļus, jūs saņemsiet: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Gadījumā, ja attiecīgais skaitlis ir rombs vai kvadrāts, lai atrastu perimetru, formulu var vienkāršot, vienkārši reizinot vienas tās malas garumu ar četriem: P \u003d KL x 4. Piemēram: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Laukuma četrstūra formulas

Izdomājot, kā atrast jebkuras figūras perimetru ar četriem stūriem un malām, ir vērts apsvērt populārākos un vienkāršākos veidus, kā atrast tās laukumu.

Citas četrstūru īpašības: ierakstīti un ierobežoti apļi

Ņemot vērā četrstūra kā Eiklīda ģeometrijas figūras iezīmes un īpašības, ir vērts pievērst uzmanību spējai aprakstīt vai ierakstīt apļus tā iekšpusē:

• Ja figūras pretējo leņķu summas ir katra simts astoņdesmit grādi un ir pa pāriem vienādas viena ar otru, tad ap šādu četrstūri var brīvi aprakstīt apli.
• Saskaņā ar Ptolemaja teorēmu, ja aplis ir norobežots ārpus daudzstūra ar četrām malām, tad tā diagonāļu reizinājums ir vienāds ar dotās figūras pretējo malu reizinājumu summu. Tādējādi formula izskatīsies šādi: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Ja izveido četrstūri, kurā pretējo malu summas ir vienādas viena ar otru, tad tajā var ierakstīt apli.

Noskaidrojot, kas ir četrstūris, kādi tā veidi pastāv, kuriem no tiem ir tikai taisni leņķi starp malām un kādas īpašības tiem piemīt, ir vērts atcerēties visu šo materiālu. Jo īpaši formulas, lai atrastu apskatīto daudzstūru perimetru un laukumu. Galu galā šādas formas skaitļi ir vieni no visizplatītākajiem, un šīs zināšanas var būt noderīgas aprēķiniem reālajā dzīvē.

Definīcija. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.

Īpašums. Paralelogrammā pretējās malas ir vienādas un pretējie leņķi ir vienādi.

Īpašums. Paralelograma diagonāles sadala uz pusēm ar krustpunktu.

1 paralelograma zīme. Ja četrstūra divas malas ir vienādas un paralēlas, tad četrstūris ir paralelograms.

2 paralelograma zīme. Ja četrstūra pretējās malas ir vienādas pa pāriem, tad četrstūris ir paralelograms.

3 paralelograma zīme. Ja četrstūrī diagonāles krustojas un krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm, tad šis četrstūris ir paralelograms.

Definīcija. Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas malas nav paralēlas. Tiek sauktas paralēlās malas pamatojums.

Trapecveida sauc vienādsānu (viensānu) ja tā malas ir vienādas. Vienādsānu trapecē leņķi pie pamatiem ir vienādi.

taisnstūrveida.

trapeces viduslīnija. Vidējā līnija ir paralēla bāzēm un vienāda ar to pussummu.

Taisnstūris

Definīcija.

Īpašums. Taisnstūra diagonāles ir vienādas.

Taisnstūra zīme. Ja paralelograma diagonāles ir vienādas, tad paralelograms ir taisnstūris.

Definīcija.

Īpašums. Romba diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un sadala tā leņķus uz pusēm.

Definīcija.

Kvadrāts ir noteikta veida taisnstūris un arī noteikta veida rombs. Tāpēc tam ir visas savas īpašības.

Īpašības:
1. Visi laukuma stūri ir taisni

Četrstūris visus noteikumus

Atslēgvārdi:
četrstūris, izliekts, leņķu summa, četrstūra laukums

četrstūris sauc figūru, kas sastāv no četriem punktiem un četriem segmentiem, kas tos virknē savieno. Šajā gadījumā neviens no šiem punktiem nedrīkst atrasties uz vienas taisnas līnijas, un tos savienojošie segmenti nedrīkst krustoties.

• Četrstūra virsotnes sauc kaimiņos ja tie ir vienas tās malas gali.
• Virsotnes, kas nav kaimiņi , sauca pretī .
• Tiek saukti taisnes segmenti, kas savieno četrstūra pretējās virsotnes diagonāles .
• Tiek sauktas četrstūra malas, kas nāk no vienas virsotnes kaimiņos ballītēm.
• Tiek sauktas puses, kurām nav kopīgā gala pretī ballītēm.
• Četrstūris tiek saukts izliekts , ja tas atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret taisni, kurā ir kāda no tās malām.

Četrstūru veidi

1. Paralēlogramma Četrstūris ar paralēlām pretējām malām
   • Taisnstūris paralelograms ar visiem taisnajiem leņķiem
   • Rombs - paralelograms ar vienādām malām
   • Kvadrāts - taisnstūris ar vienādām malām
2. Trapece - četrstūris, kura divas malas ir paralēlas un pārējās divas malas nav paralēlas
3. Deltveida Četrstūris, kura divi blakus esošo malu pāri ir vienādi

Četrstūri

četrstūris sauc figūru, kas sastāv no četriem punktiem un četriem segmentiem, kas tos virknē savieno. Šajā gadījumā neviens no šiem punktiem neatrodas uz vienas taisnes, un tos savienojošie segmenti nekrustojas.

pretī. pretī.

Četrstūru veidi

Paralēlogramma

Paralēlogramma sauc par četrstūri, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.

Paralelogrammas īpašības

• pretējās puses ir vienādas;
• pretējie leņķi ir vienādi;
• diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu malu kvadrātu summu:

Paralelogrammas iezīmes

Trapece Tiek saukts četrstūris, kurā divas pretējās malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatojums un neparalēlas malas puses. Tiek saukts segments, kas savieno malu viduspunktus vidējā līnija.

Trapecveida sauc vienādsānu(vai vienādsānu), ja tā malas ir vienādas.

Tiek saukta trapece ar vienu taisnu leņķi taisnstūrveida.

Trapecveida īpašības

Trapeces pazīmes

Taisnstūris

Taisnstūris Paralelogramu sauc, ja visi leņķi ir taisni.

Taisnstūra īpašības

Taisnstūra iezīmes

Paralelograms ir taisnstūris, ja:

1. Viens no tā stūriem ir pareizs.
2. Tās diagonāles ir vienādas.

Rombs Paralelogramu sauc, ja visas malas ir vienādas.

Romba īpašības

• visas paralelograma īpašības;
• diagonāles ir perpendikulāras;

Romba pazīmes

Kvadrāts Tiek saukts taisnstūris, kura visas malas ir vienādas.

Kvadrātveida īpašības

• visi laukuma stūri ir pareizi;
• kvadrāta diagonāles ir vienādas, savstarpēji perpendikulāras, krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm un kvadrāta stūri ir sadalīti uz pusēm.

Kvadrātveida zīmes

Pamatformulas

S=d 1 d 2 grēks

Paralēlogramma
a un b- blakus esošās puses; - leņķis starp tiem; h a - augstums uz sāniem a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 grēks

Trapece
a un b- pamatojums; h- attālums starp tiem; l- vidējā līnija .

Taisnstūris

S=d 1 d 2 grēks

S = a 2 grēks

S=d 1 d 2

Kvadrāts
d- pa diagonāli.

www.univer.omsk.su

Četrstūru īpašības. Četrstūru veidi. Patvaļīgu četrstūru īpašības. Paralelogrammas īpašības. Romba īpašības. Taisnstūra īpašības. Kvadrātveida īpašības. trapecveida īpašības. Apmēram 7-9 klase (13-15 gadi)

Četrstūru īpašības. Četrstūru veidi. Patvaļīgu četrstūru īpašības.
Paralelogrammas īpašības. Romba īpašības. Taisnstūra īpašības. Kvadrātveida īpašības. trapecveida īpašības.

Četrstūru veidi:

• Paralēlogramma ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas

• Rombs ir paralelograms ar vienādām malām.

• Taisnstūris ir paralelograms ar visiem taisnajiem leņķiem.

• Kvadrāts ir taisnstūris ar vienādām malām.

Patvaļīgu četrstūru īpašības:

Paralelogrammas īpašības:

Romba īpašības:

Taisnstūra īpašības:

Kvadrātveida īpašības:

Trapeces īpašības:

Konsultācijas un tehniskās
vietnes atbalsts: Zavarka Team

Četrstūris visus noteikumus

Neeiklīda ģeometrija, ģeometrija līdzīga ģeometrijai Eiklīds ar to, ka tā nosaka figūru kustību, bet atšķiras no Eiklīda ģeometrijas ar to, ka viens no pieciem tās postulātiem (otrais vai piektais) ir aizstāts ar tā noliegumu. Viena no Eiklīda postulātiem (1825) noliegšana bija nozīmīgs notikums domas vēsturē, jo tas kalpoja kā pirmais solis ceļā uz relativitātes teorija.

Eiklida otrais postulāts apgalvo, ka jebkuru līnijas posmu var pagarināt uz nenoteiktu laiku. Eiklīds acīmredzot uzskatīja, ka šis postulāts satur arī apgalvojumu, ka taisnei ir bezgalīgs garums. Tomēr "eliptiskajā" ģeometrijā jebkura taisne ir ierobežota un, tāpat kā aplis, ir slēgta.

Piektais postulāts nosaka, ka, ja taisne krusto divas noteiktas taisnes tā, ka divi iekšējie leņķi vienā tās pusē ir mazāki par diviem taisniem leņķiem summā, tad šīs divas taisnes, ja tās tiek pagarinātas uz nenoteiktu laiku, krustosies tajā pusē, kur šo leņķu summa ir mazāka par divu taisnu līniju summu. Bet "hiperboliskajā" ģeometrijā var pastāvēt taisne CB (skat. att.), kas punktā C ir perpendikulāra noteiktai taisnei r un krusto citu taisni s akūtā leņķī punktā B, bet, neskatoties uz to, bezgalīgās taisnes r un s nekad nekrustosies.

No šiem pārskatītajiem postulātiem izrietēja, ka trijstūra leņķu summa, kas vienāda ar 180° Eiklīda ģeometrijā, ir lielāka par 180° eliptiskajā ģeometrijā un mazāka par 180° hiperboliskajā ģeometrijā.

Četrstūris

Četrstūris ir daudzstūris, kas satur četras virsotnes un četras malas.

Četrstūris, ģeometriskā figūra - daudzstūris ar četriem stūriem, kā arī jebkurš objekts, šīs formas ierīce.

Tiek sauktas divas četrstūra malas, kas nav blakus pretī. Tiek izsauktas arī divas virsotnes, kas nav blakus pretī.

Četrstūri ir izliekti (piemēram, ABCD) un
neizliekta (A 1 B 1 C 1 D 1).

Četrstūru veidi

• Paralēlogramma- četrstūris, kurā visas pretējās malas ir paralēlas;
• Taisnstūris- četrstūris ar visiem taisnajiem leņķiem;
• Rombs- četrstūris, kurā visas malas ir vienādas;
• Kvadrāts- četrstūris, kurā visi leņķi ir taisni un visas malas ir vienādas;
• Trapece- četrstūris ar divām paralēlām pretējām malām;
• DeltveidaČetrstūris, kura divi blakus esošo malu pāri ir vienādi.

Paralēlogramma

Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas.

Paralēlogramma (no grieķu paralēles — paralēla un grama — līnija), t.i., atrodas uz paralēlām taisnēm. Speciālie paralelograma gadījumi ir taisnstūris, kvadrāts un rombs.

• pretējās puses ir vienādas;
• pretējie leņķi ir vienādi;
• krustpunkta diagonāles dala uz pusēm;
• vienai malai blakus esošo leņķu summa ir 180°;
• diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu malu kvadrātu summu.

Četrstūris ir paralelograms, ja:

1. Tās divas pretējās malas ir vienādas un paralēlas.
2. Pretējās puses ir vienādas pa pāriem.
3. Pretējie leņķi ir vienādi pa pāriem.
4. Krustojuma punkta diagonāles tiek dalītas uz pusēm.

Taisnstūris

Taisnstūris ir paralelograms ar visiem taisnajiem leņķiem.

• pretējās puses ir vienādas;
• pretējie leņķi ir vienādi;
• krustpunkta diagonāles dala uz pusēm;
• vienai malai blakus esošo leņķu summa ir 180°;
• diagonāles ir vienādas.

Paralelograms ir taisnstūris, ja:

1. Viens no tā stūriem ir pareizs.
2. Tās diagonāles ir vienādas.

Rombs ir paralelograms, kura visas malas ir vienādas.

• pretējās puses ir vienādas;
• pretējie leņķi ir vienādi;
• krustpunkta diagonāles dala uz pusēm;
• vienai malai blakus esošo leņķu summa ir 180°;
• diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu malu kvadrātu summu;
• diagonāles ir perpendikulāras;
• diagonāles ir tā leņķu bisektrise.

Paralelograms ir rombs, ja:

1. Tās divas blakus esošās malas ir vienādas.
2. Tās diagonāles ir perpendikulāras.
3. Viena no diagonālēm ir tās leņķa bisektrise.

Kvadrāts ir taisnstūris, kura visas malas ir vienādas.

• visi laukuma stūri ir pareizi;
• kvadrāta diagonāles ir vienādas, savstarpēji perpendikulāras, krustošanās punkts ir sadalīts uz pusēm un kvadrāta stūri ir sadalīti uz pusēm.

1. Taisnstūris ir kvadrāts, ja tam ir kāda romba īpašība.

Trapece ir četrstūris, kurā divas pretējās malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.

Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatiem, bet neparalēlās malas sauc par tās malām. Nozaru, kas savieno malu viduspunktus, sauc par viduslīniju.

Trapeci sauc par vienādsānu (vai vienādsānu), ja tās malas ir vienādas.

Trapeci ar vienu taisnleņķi sauc par taisnleņķa trapeci.

• tā viduslīnija ir paralēla pamatnēm un vienāda ar to pussummu;
• ja trapece ir vienādsānu, tad tās diagonāles ir vienādas un leņķi pie pamatnes ir vienādi;
• ja trapece ir vienādsānu, tad ap to var aprakstīt apli;
• ja pamatu summa ir vienāda ar malu summu, tad tajā var ierakstīt apli.

1. Četrstūris ir trapece, ja tā paralēlās malas nav vienādas

DeltveidaČetrstūris ar diviem vienāda garuma malu pāriem. Atšķirībā no paralelograma, divi blakus esošo malu pāri nav vienādi, bet gan divi blakus esošo malu pāri. Deltveida kauls ir veidots kā pūķis.

• Leņķi starp nevienāda garuma malām ir vienādi.
• Deltoīda diagonāles (vai to pagarinājumi) krustojas taisnā leņķī.
• Apli var ierakstīt jebkurā izliektā deltveida muskulī, turklāt, ja delts nav rombs, tad ir vēl viens aplis, kas skar visu četru malu paplašinājumus. Deltoīdam, kas nav izliekts, var izveidot riņķa līniju, kas pieskaras divām lielākām malām un divu mazāku malu paplašinājumiem, un apli, kas pieskaras divām mazākām malām un divu lielāku malu paplašinājumiem.

• Ja leņķis starp deltveida kaula nevienādām malām ir taisna līnija, tad tajā var ierakstīt apli (aprakstītais deltveida muskulis).
• Ja deltveida muskuļa pretējo malu pāris ir vienādi, tad šāds deltveida muskulis ir rombs.
• Ja deltveida muskuļa pretējo malu pāris un abas diagonāles ir vienādi, tad deltveida muskulis ir kvadrāts. Ierakstīts deltveida muskulis ar vienādām diagonālēm ir arī kvadrāts.

Ģeometrijas rašanās aizsākās senos laikos un bija saistīta ar cilvēka darbības praktiskajām vajadzībām (vajadzību izmērīt zemi, izmērīt dažādu ķermeņu tilpumus utt.).

Vienkāršākā ģeometriskā informācija un jēdzieni bija zināmi Senajā Ēģiptē. Šajā periodā ģeometriskie apgalvojumi tika formulēti noteikumu veidā, kas sniegti bez pierādījumiem.

No 7. gadsimta pirms mūsu ēras e. līdz mūsu ēras 1. gadsimtam e. ģeometrija kā zinātne strauji attīstījās senajā Grieķijā. Šajā periodā notikusi ne tikai dažādas ģeometriskās informācijas uzkrāšana, bet arī izstrādāta ģeometrisko apgalvojumu pierādīšanas metodika, kā arī veikti pirmie mēģinājumi formulēt ģeometrijas primāros pamatnoteikumus (aksiomas), no kuriem daudz dažādu ģeometrisko. apgalvojumi ir iegūti, izmantojot tīri loģisku spriešanu. Ģeometrijas attīstības līmenis Senajā Grieķijā ir atspoguļots Eiklida darbā "Sākums".

Šajā grāmatā pirmo reizi tika mēģināts dot planimetrijas sistemātisku konstrukciju, pamatojoties uz nenoteiktiem ģeometriskiem pamatjēdzieniem un aksiomām (postulātiem).

Īpašu vietu matemātikas vēsturē ieņem piektais Eiklida postulāts (paralēlu līniju aksioma). Matemātiķi ilgu laiku nesekmīgi mēģināja atvasināt piekto postulātu no pārējiem Eiklida postulātiem, un tikai 19. gadsimta vidū, pateicoties N. I. Lobačevska, B. Rīmaņa un J. Bojaja pētījumiem, kļuva skaidrs, ka piektais postulāts nav atvasināms no pārējiem, un Eiklida piedāvātā aksiomu sistēma nav vienīgā iespējamā.

Eiklida "Elementiem" bija milzīga ietekme uz matemātikas attīstību. Vairāk nekā divus tūkstošus gadu šī grāmata bija ne tikai ģeometrijas mācību grāmata, bet arī kalpoja par sākumpunktu daudziem matemātikas pētījumiem, kuru rezultātā radās jaunas neatkarīgas matemātikas nozares.

Sistemātiska ģeometrijas konstrukcija parasti tiek veikta saskaņā ar šādu plānu:

es Ir uzskaitīti galvenie ģeometriskie jēdzieni, kas ieviesti bez definīcijām.

II. Ir dots ģeometrijas aksiomu formulējums.

III. Uz aksiomu un ģeometrisko pamatjēdzienu pamata tiek formulētas citas ģeometriskās koncepcijas un teorēmas.

1. Nosaukuma Neeiklīda ģeometrija izcelsme?
2. Kādas formas sauc par četrstūriem?
3. Paralelograma īpašības?
4. Četrstūru veidi?

Izmantoto avotu saraksts

1. A.G. Cipkins. Matemātikas rokasgrāmata
2. “Vienotais valsts eksāmens 2006. Matemātika. Izglītības un apmācības materiāli studentu sagatavošanai / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavi rediģētā krājuma galveno sacensību uzdevumu risināšana matemātikā"

Darbs pie nodarbības

Jūs varat uzdot jautājumu par mūsdienu izglītību, izteikt ideju vai atrisināt steidzamu problēmu plkst Izglītības forums kur starptautiski tiekas jaunas domas un darbības izglītības padome. Izveidojot emuārs, Jūs ne tikai uzlabosiet savu kompetenta skolotāja statusu, bet arī sniegsiet nozīmīgu ieguldījumu nākotnes skolas attīstībā. Izglītības vadītāju ģilde atver durvis augstākā līmeņa speciālistiem un aicina sadarboties pasaulē labāko skolu radīšanas virzienā.

Populārs:

• 282.pants. Naida vai naida kurināšana, kā arī cilvēka cieņas pazemošana
• Uzņēmuma īpašuma nodokļa kalkulators Kā aprēķināt uzņēmumu īpašuma nodokli Mainīta avansa maksājumu aprēķina forma. Sākot ar pārskatu par 2017. gada pirmo pusgadu, uzņēmumu īpašuma nodokļa aprēķinā […]
• ekoloģijas likumi Vairāk nekā 100 gadu visaptverošas populāciju un kopienu izpētes laikā ir uzkrāts milzīgs daudzums faktu. Starp tiem - liels skaits, kas atspoguļo nejaušas vai neregulāras parādības un procesus. Bet ne […]
• Pensiju nodrošināšanas iespējas obligātajā pensiju apdrošināšanas sistēmā Līdz 2015. gada beigām 1967. gadā dzimušie un jaunāki pilsoņi varēja izvēlēties, vai turpināt pensiju veidošanu […]
• Zemkopības ministrijas Rīkojums 549 Reģistrēts Krievijas Federācijas Tieslietu ministrijā 2009. gada 5. martā N 13476 KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS LAUKSAIMNIECĪBAS MINISTRIJA, datēts ar 2008. gada 16. decembri N 532 PAR KLASIFATATURĀCIJAS KLASIFATURĀCIJAS FIARAZESTĀRAS APSTIPRINĀŠANU UN […]
• Pensiju palielināšana bērniem invalīdiem no 2018. gada 1. janvāra Iedzīvotāju pensiju nodrošināšana ir valsts pienākums. Tas ir teikts valsts likumu kodeksā - Satversmē. Starp invalīdiem, kuriem nepieciešams […]
• AS RZD A/S "KRIEVIJAS DZELZCEĻI" iekšējās kārtības noteikumi 2012.gada 26.jūlija RĪKOJUMS N 87 PAR PASAŽIERU ATTĪSTĪBAS REĢIONĀLO PAKALPOJUMU (NODAĻAS) IEKŠĒJĀ DARBA NOTEIKUMA APSTIPRINĀŠANU
• Pozitīvisma kā filozofiskas kustības 3 posmu likums izriet no priekšstata, ka lielākā daļa zināšanu par pasauli, cilvēku un sabiedrību tiek iegūta īpašās zinātnēs, ka "pozitīvajai" zinātnei ir jāatsakās no mēģinājumiem […]

Ar četriem stūriem un četrām malām. Četrstūri veido slēgta polilīnija, kas sastāv no četrām saitēm, un tā plaknes daļa, kas atrodas polilīnijas iekšpusē.

Četrstūra apzīmējumu veido burti tā virsotnēs, nosaucot tos secībā. Piemēram, viņi saka vai raksta: četrstūris ABCD :

Četrstūrī ABCD punktus A, B, C un D-Šo četrstūra virsotnes, segmenti AB, BC, CD un DA - puses.

Tiek sauktas virsotnes, kas pieder vienai pusei kaimiņos, tiek izsauktas virsotnes, kas nav blakus pretī:

Četrstūrī ABCD virsotnes A un B, B un C, C un D, D un A atrodas blakus, un virsotnes A un C, B un D- pretī. Leņķus, kas atrodas blakus virsotnēs, sauc arī par blakus esošajiem, bet pretējās virsotnēs - par pretējiem.

Četrstūra malas var sadalīt arī pa pāriem blakus un pretējās malās: malas, kurām ir kopīga virsotne, sauc kaimiņos(vai saistīti), malas, kurām nav kopīgu virsotņu - pretī:

ballītes AB un BC, BC un CD, CD un DA, DA un AB atrodas blakus, un malas AB un DC, AD un BC- pretī.

Ja pretējās virsotnes ir savienotas ar segmentu, tad šāds segments tiks izsaukts četrstūra diagonāle. Ņemot vērā, ka četrstūrī ir tikai divi pretējo virsotņu pāri, tad diagonāles var būt tikai divas:

Segmenti AC un BD- diagonāles.

Apsveriet galvenos izliekto četrstūru veidus:

• Trapece- četrstūris, kurā viens pretējo malu pāris ir paralēli viens otram, bet otrs pāris nav paralēls.
  • Vienādsānu trapece- trapece, kuras malas ir vienādas.
  • Taisnstūra trapecveida forma Trapece ar vienu no taisnajiem leņķiem.
• ParalēlogrammaČetrstūris, kurā abi pretējo malu pāri ir paralēli viens otram.
  • Taisnstūris Paralelograms, kurā visi leņķi ir vienādi.
  • Rombs Paralelograms ar vienādām malām.
  • Kvadrāts Paralelograms ar vienādām malām un leņķiem. Kvadrāts var būt gan taisnstūris, gan rombs.

Izliektu četrstūru stūru īpašības

Visiem izliektajiem četrstūriem ir šādas divas īpašības:

1. Jebkurš iekšējais leņķis, kas mazāks par 180°.
2. Iekšējo leņķu summa ir 360°.

Nodarbības tēma

• Četrstūra definīcija.

Nodarbības mērķi

• Izglītojoši - zināšanu atkārtošana, vispārināšana un pārbaude par tēmu: “Četrstūri”; pamatprasmju attīstīšana.
• Attīstoša - attīstīt skolēnu uzmanību, neatlaidību, neatlaidību, loģisko domāšanu, matemātisko runu.
• Izglītojoši – nodarbības laikā izkopt vērīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību, neatkarību.

Nodarbības mērķi

• Veidot prasmes četrstūra veidošanā, izmantojot mēroga joslu un zīmēšanas trīsstūri.
• Pārbaudiet studentu spēju risināt problēmas.

Nodarbības plāns

1. Vēstures atsauce. Neeiklīda ģeometrija.
2. Četrstūris.
3. Četrstūru veidi.

Neeiklīda ģeometrija

Neeiklīda ģeometrija, ģeometrija līdzīga ģeometrijai Eiklīds ar to, ka tā nosaka figūru kustību, bet atšķiras no Eiklīda ģeometrijas ar to, ka viens no pieciem tās postulātiem (otrais vai piektais) ir aizstāts ar tā noliegumu. Viena no Eiklīda postulātiem (1825) noliegšana bija nozīmīgs notikums domas vēsturē, jo tas kalpoja kā pirmais solis ceļā uz relativitātes teorija.

Eiklida otrais postulāts apgalvo, ka jebkuru līnijas posmu var pagarināt uz nenoteiktu laiku. Eiklīds acīmredzot uzskatīja, ka šis postulāts satur arī apgalvojumu, ka taisnei ir bezgalīgs garums. Tomēr "eliptiskajā" ģeometrijā jebkura taisne ir ierobežota un, tāpat kā aplis, ir slēgta.

Piektais postulāts nosaka, ka, ja taisne krusto divas noteiktas taisnes tā, ka divi iekšējie leņķi vienā tās pusē ir mazāki par diviem taisniem leņķiem summā, tad šīs divas taisnes, ja tās tiek pagarinātas uz nenoteiktu laiku, krustosies tajā pusē, kur šo leņķu summa ir mazāka par divu taisnu līniju summu. Bet "hiperboliskajā" ģeometrijā var pastāvēt taisne CB (skat. att.), kas punktā C ir perpendikulāra noteiktai taisnei r un krusto citu taisni s akūtā leņķī punktā B, bet, neskatoties uz to, bezgalīgās taisnes r un s nekad nekrustosies.

No šiem pārskatītajiem postulātiem izrietēja, ka trijstūra leņķu summa, kas vienāda ar 180° Eiklīda ģeometrijā, ir lielāka par 180° eliptiskajā ģeometrijā un mazāka par 180° hiperboliskajā ģeometrijā.

Četrstūris

Priekšmeti > Matemātika > Matemātika 8. klase

Izliekts četrstūris ir figūra, kas sastāv no četrām malām, kas savienotas viena ar otru virsotnēs, veidojot četrus leņķus kopā ar malām, savukārt pats četrstūris vienmēr atrodas vienā plaknē attiecībā pret taisni, uz kuras atrodas viena no tā malām. Citiem vārdiem sakot, visa figūra atrodas vienā pusē no jebkuras tās malas.

Saskarsmē ar

Kā redzat, definīciju ir diezgan viegli atcerēties.

Pamatīpašības un veidi

Gandrīz visas mums zināmās figūras, kas sastāv no četriem stūriem un malām, var attiecināt uz izliektiem četrstūriem. Var atšķirt sekojošo:

1. paralelograms;
2. kvadrāts;
3. taisnstūris;
4. trapecveida;
5. rombs.

Visas šīs figūras vieno ne tikai tas, ka tās ir četrstūrveida, bet arī tas, ka tās ir arī izliektas. Vienkārši apskatiet diagrammu:

Attēlā parādīta izliekta trapece. Šeit var redzēt, ka trapece atrodas tajā pašā plaknē vai vienā segmenta pusē. Ja veicat līdzīgas darbības, jūs varat uzzināt, ka visās pārējās pusēs trapece ir izliekta.

Vai paralelograms ir izliekts četrstūris?

Augšpusē ir paralelograma attēls. Kā redzams no attēla, paralelograms ir arī izliekts. Ja paskatās uz attēlu attiecībā uz līnijām, uz kurām atrodas segmenti AB, BC, CD un AD, kļūst skaidrs, ka tas vienmēr atrodas vienā plaknē no šīm līnijām. Paralelograma galvenās iezīmes ir tādas, ka tā malas ir pa pāriem paralēlas un vienādas, tāpat kā pretējie leņķi ir vienādi viens ar otru.

Tagad iedomājieties kvadrātu vai taisnstūri. Pēc galvenajām īpašībām tie ir arī paralelogrami, tas ir, visas to malas ir izvietotas pa pāriem paralēli. Tikai taisnstūra gadījumā malu garums var būt dažāds, un leņķi ir taisni (vienāds ar 90 grādiem), kvadrāts ir taisnstūris, kurā visas malas ir vienādas un arī leņķi ir taisni, savukārt garumi paralelograma malas un leņķi var būt dažādi.

Rezultātā četrstūra visu četru stūru summa jābūt vienādam ar 360 grādiem. Vienkāršākais veids, kā to noteikt, ir taisnstūris: visi četri taisnstūra stūri ir taisni, tas ir, vienādi ar 90 grādiem. Šo 90 grādu leņķu summa dod 360 grādus, citiem vārdiem sakot, ja 4 reizes saskaita 90 grādus, iegūst vēlamo rezultātu.

Izliekta četrstūra diagonāļu īpašība

Izliekta četrstūra diagonāles krustojas. Patiešām, šo parādību var novērot vizuāli, paskatieties uz attēlu:

Attēlā pa kreisi ir parādīts neizliekts četrstūris vai četrstūris. Kā vēlies. Kā redzat, diagonāles nekrustojas, vismaz ne visas. Labajā pusē ir izliekts četrstūris. Šeit jau ir novērota diagonāļu īpašība krustoties. To pašu īpašību var uzskatīt par četrstūra izliekuma zīmi.

Citas četrstūra īpašības un izliekuma pazīmes

Konkrēti, saskaņā ar šo terminu ir ļoti grūti nosaukt kādas konkrētas īpašības un pazīmes. Ir vieglāk izolēt pēc dažāda veida šāda veida četrstūriem. Jūs varat sākt ar paralelogramu. Mēs jau zinām, ka šī ir četrstūra figūra, kuras malas ir pa pāriem paralēlas un vienādas. Tajā pašā laikā šeit ir iekļauta arī paralelograma diagonāļu īpašība krustoties savā starpā, kā arī pašas figūras izliekuma zīme: paralelograms vienmēr atrodas vienā plaknē un vienā pusē relatīvi. uz kādu no tās pusēm.

Tātad, Galvenās iezīmes un īpašības ir zināmas:

1. četrstūra leņķu summa ir 360 grādi;
2. figūru diagonāles krustojas vienā punktā.

Taisnstūris. Šim skaitlim ir tādas pašas īpašības un pazīmes kā paralelogramam, taču visi tā leņķi ir vienādi ar 90 grādiem. Līdz ar to nosaukums, taisnstūris.

Kvadrāts, tas pats paralelograms, bet tā stūri ir pareizi, piemēram, taisnstūrī. Šī iemesla dēļ kvadrātu reti sauc par taisnstūri. Bet galvenā kvadrāta atšķirīgā iezīme papildus jau iepriekš uzskaitītajām ir tā, ka visas četras tā malas ir vienādas.

Trapecveida forma ir ļoti interesanta figūra.. Šis ir arī četrstūris un arī izliekts. Šajā rakstā trapecveida forma jau ir apskatīta, izmantojot zīmējuma piemēru. Ir skaidrs, ka viņa ir arī izliekta. Galvenā atšķirība un attiecīgi trapeces zīme ir tā, ka tās malas var nebūt vienādas viena ar otru garumā, kā arī leņķi pēc vērtības. Šajā gadījumā figūra vienmēr paliek vienā plaknē attiecībā pret jebkuru no taisnēm, kas savieno jebkuras divas tās virsotnes gar figūras segmentiem.

Rombs ir tikpat interesanta figūra. Daļēji rombu var uzskatīt par kvadrātu. Romba pazīme ir fakts, ka tā diagonāles ne tikai krustojas, bet arī sadala romba stūrus uz pusēm, un pašas diagonāles krustojas taisnā leņķī, tas ir, tās ir perpendikulāras. Ja romba malu garumi ir vienādi, tad arī diagonāles krustpunktā tiek dalītas uz pusēm.

Deltoīdi vai izliekti rombīdi (rombi) var būt dažādi sānu garumi. Bet tajā pašā laikā joprojām tiek saglabātas gan paša romba galvenās īpašības un iezīmes, gan izliekuma pazīmes un īpašības. Tas ir, mēs varam novērot, ka diagonāles sadala stūrus un krustojas taisnā leņķī.

Šodienas uzdevums bija apsvērt un saprast, kas ir izliektie četrstūri, kas tie ir un to galvenās pazīmes un īpašības. Uzmanību! Ir vērts vēlreiz atgādināt, ka izliekta četrstūra leņķu summa ir 360 grādi. Piemēram, figūru perimetrs ir vienāds ar visu figūru veidojošo segmentu garumu summu. Četrstūru perimetra un laukuma aprēķināšanas formulas tiks aplūkotas turpmākajos rakstos.

Izliekto četrstūru veidi