Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu no punktiem. Vispārīgais taisnes vienādojums: apraksts, piemēri, problēmu risināšana

Doti divi punkti M(X 1 ,Plkst 1) un N(X 2,y 2). Atradīsim taisnes vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem.

Tā kā šī līnija iet caur punktu M, tad saskaņā ar formulu (1.13) tā vienādojumam ir forma

Plkst – Y 1 = K(X-x 1),

Kur K ir nezināmais slīpums.

Šī koeficienta vērtību nosaka no nosacījuma, ka vēlamā taisne iet caur punktu N, kas nozīmē, ka tā koordinātas atbilst vienādojumam (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

No šejienes jūs varat atrast šīs līnijas slīpumu:

,

Vai pēc konversijas

(1.14)

Formula (1.14) definē Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem M(X 1, Y 1) un N(X 2, Y 2).

Konkrētajā gadījumā, kad punkti M(A, 0), N(0, B), BET ¹ 0, B¹ 0, atrodas uz koordinātu asīm, vienādojumam (1.14) ir vienkāršāka forma

Vienādojums (1.15) sauca Taisnas līnijas vienādojums segmentos, šeit BET un B apzīmē segmentus, kas nogriezti ar taisnu līniju uz asīm (1.6. attēls).

1.6.attēls

Piemērs 1.10. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem M(1, 2) un B(3, –1).

. Saskaņā ar (1.14) vajadzīgās taisnes vienādojumam ir forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Pārnesot visus terminus uz kreiso pusi, mēs beidzot iegūstam vēlamo vienādojumu

3X + 2Y – 7 = 0.

Piemērs 1.11. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M(2, 1) un līniju krustošanās punkts X+ Y- 1 = 0, X – g+ 2 = 0.

. Līniju krustošanās punkta koordinātas atrodam, kopā risinot šos vienādojumus

Ja mēs saskaitām šos vienādojumus pa vārdam, mēs iegūstam 2 X+ 1 = 0, no kurienes . Aizvietojot atrasto vērtību jebkurā vienādojumā, mēs atrodam ordinātu vērtību Plkst:

Tagad uzrakstīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem (2, 1) un :

vai .

Līdz ar to vai -5( Y – 1) = X – 2.

Visbeidzot, mēs iegūstam vajadzīgās taisnes vienādojumu formā X + 5Y – 7 = 0.

Piemērs 1.12. Atrodiet vienādojumu taisnai līnijai, kas iet caur punktiem M(2.1) un N(2,3).

Izmantojot formulu (1.14), iegūstam vienādojumu

Tam nav jēgas, jo otrais saucējs ir nulle. No problēmas stāvokļa var redzēt, ka abu punktu abscisēm ir vienāda vērtība. Tādējādi vajadzīgā līnija ir paralēla asij OY un tā vienādojums ir: x = 2.

komentēt . Ja, rakstot taisnes vienādojumu pēc formulas (1.14), viens no saucējiem izrādās vienāds ar nulli, tad vajadzīgo vienādojumu var iegūt, pielīdzinot atbilstošo skaitītāju ar nulli.

Apsvērsim citus veidus, kā plaknē iestatīt taisnu līniju.

1. Pieņemsim, ka vektors, kas nav nulle, ir perpendikulārs noteiktai taisnei L, un punkts M 0(X 0, Y 0) atrodas uz šīs līnijas (1.7. attēls).

1.7.attēls

Apzīmē M(X, Y) patvaļīgs punkts uz līnijas L. Vektori un Ortogonāls. Izmantojot šo vektoru ortogonalitātes nosacījumus, iegūstam vai BET(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Mēs esam ieguvuši taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0 ir perpendikulāra vektoram . Šo vektoru sauc Normāls vektors uz taisnu līniju L. Iegūto vienādojumu var pārrakstīt kā

Ak + Wu + Ar= 0, kur Ar = –(BETX 0 + Autors 0), (1.16),

Kur BET un AT ir normālā vektora koordinātas.

Iegūstam vispārīgo taisnes vienādojumu parametriskā formā.

2. Taisni plaknē var definēt šādi: vektors, kas nav nulle, ir paralēls noteiktai taisnei L un punkts M 0(X 0, Y 0) atrodas uz šīs līnijas. Atkal ņemiet patvaļīgu punktu M(X, y) uz taisnas līnijas (1.8. attēls).

1.8.attēls

Vektori un kolineārs.

Pierakstīsim šo vektoru kolinearitātes nosacījumu: , kur T ir patvaļīgs skaitlis, ko sauc par parametru. Rakstīsim šo vienādību koordinātēs:

Šos vienādojumus sauc Parametriskie vienādojumi Taisni. Izslēgsim no šiem vienādojumiem parametru T:

Šos vienādojumus var uzrakstīt formā

. (1.18)

Iegūto vienādojumu sauc Taisnes kanoniskais vienādojums. Vektora zvans Virziena vektors taisns .

komentēt . Ir viegli redzēt, ka if ir līnijas normālais vektors L, tad tā virziena vektors var būt vektors , jo , t.i.

Piemērs 1.13. Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0(1, 1) paralēli 3. līnijai X + 2Plkst– 8 = 0.

Lēmums . Vektors ir normāls vektors dotajām un vēlamajām līnijām. Izmantosim taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0 ar dotu normālvektoru 3( X –1) + 2(Plkst– 1) = 0 vai 3 X + 2 g- 5 \u003d 0. Mēs saņēmām vajadzīgās taisnes vienādojumu.

Lai taisne iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur punktu M 1, ir forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k - joprojām nav zināms koeficients.

Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), tad šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Šeit mēs atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k vienādojumā (10.6) iegūstam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2:

Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ja x 1 \u003d x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y I) un M 2 (x 2, y 2), ir paralēla y asij. Tā vienādojums ir x = x 1 .

Ja y 2 \u003d y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y \u003d y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla x asij.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0), bet Oy asi - punktā M 2 (0; b). Vienādojumam būs šāda forma:
tie.
. Šo vienādojumu sauc taisnes vienādojums segmentos, jo cipari a un b norāda, kurus posmus taisne nogriež uz koordinātu asīm.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram

Atrodiet taisnes vienādojumu, kas iet cauri dots punkts Mo (x O; y o) ir perpendikulārs dotajam nulles vektoram n = (A; B).

Paņemiet patvaļīgu punktu M(x; y) uz taisnes un apsveriet vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. att.). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: tas ir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Tiek izsaukts vienādojums (10.8). taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, kas ir perpendikulārs dotajam vektoram .

Vektoru n = (A; B), kas ir perpendikulārs taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .

Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C \u003d -Ax o - Vu o - brīvais loceklis. Vienādojums (10.9) ir taisnas līnijas vispārējais vienādojums(skat. 2. att.).

1. att. 2. att

Taisnes kanoniskie vienādojumi

,

Kur
ir tā punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un
- virziena vektors.

Otrās kārtas apļa līknes

Aplis ir visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums R centrēts uz punktu
:

Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar izcelsmi, vienādojums izskatīsies šādi:

Elipse

Elipse ir plaknes punktu kopa, attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem punktiem un , ko sauc par perēkļiem, ir nemainīga vērtība
, lielāks par attālumu starp perēkļiem
.

Elipses kanoniskajam vienādojumam, kuras fokuss atrodas uz Vērša ass un kuras izcelsme ir vidū starp perēkļiem, ir šāda forma
G de a galvenās pusass garums; b ir mazās pusass garums (2. att.).

Taisnes līnijas īpašības Eiklīda ģeometrijā.

Ir bezgala daudz līniju, kuras var novilkt caur jebkuru punktu.

Caur jebkuriem diviem punktiem, kas nesakrīt, ir tikai viena taisne.

Divas nesakrītošas ​​līnijas plaknē vai nu krustojas vienā punktā, vai arī ir

paralēli (seko no iepriekšējās).

3D telpā ir trīs iespējas. relatīvā pozīcija divas taisnas līnijas:

• līnijas krustojas;

• taisnas līnijas ir paralēlas;

• taisnas līnijas krustojas.

Taisni līnija- pirmās kārtas algebriskā līkne: Dekarta koordinātu sistēmā taisne

plaknē ir dots ar pirmās pakāpes vienādojumu (lineārais vienādojums).

Vispārējais vienādojums taisni.

Definīcija. Jebkuru plaknes līniju var norādīt ar pirmās kārtas vienādojumu

Ah + Wu + C = 0,

un nemainīgs A, B tajā pašā laikā nav vienāds ar nulli. Šo pirmās kārtas vienādojumu sauc ģenerālis

taisnās līnijas vienādojums. Atkarībā no konstantu vērtībām A, B un Ar Ir iespējami šādi īpaši gadījumi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- līnija iet caur izcelsmi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pēc + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij Ak

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- taisna līnija, kas ir paralēla asij OU

. B = C = 0, A ≠ 0- līnija sakrīt ar asi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- līnija sakrīt ar asi Ak

Taisnas līnijas vienādojumu var attēlot dažādas formas atkarībā no jebkura dotā

sākotnējie nosacījumi.

Taisnes vienādojums ar punktu un normālu vektoru.

Definīcija. Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B)

perpendikulāri taisnei, kas dota vienādojumā

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(1, 2) perpendikulāri vektoram (3, -1).

Lēmums. Sastādām pie A \u003d 3 un B \u003d -1 taisnes vienādojumu: 3x - y + C \u003d 0. Lai atrastu koeficientu C

iegūtajā izteiksmē aizvietojam dotā punkta A koordinātes. Iegūstam: 3 - 2 + C = 0, tāpēc

C = -1. Kopā: vēlamais vienādojums: 3x - y - 1 \u003d 0.

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem.

Telpā ir doti divi punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M2 (x 2, y 2, z 2), tad taisnās līnijas vienādojums,

iet caur šiem punktiem:

Ja kāds no saucējiem ir vienāds ar nulli, atbilstošais skaitītājs ir jāiestata vienāds ar nulli. Uz

plaknē, iepriekš uzrakstītais taisnes vienādojums ir vienkāršots:

ja x 1 ≠ x 2 un x = x 1, ja x 1 = x 2 .

Frakcija = k sauca slīpuma koeficients taisni.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem A(1, 2) un B(3, 4).

Lēmums. Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam:

Taisnes vienādojums ar punktu un slīpumu.

Ja taisnes vispārīgais vienādojums Ah + Wu + C = 0 izveido formu:

un nozīmēt , tad tiek izsaukts iegūtais vienādojums

taisnas līnijas ar slīpumu k vienādojums.

Punkta taisnes un virziena vektora vienādojums.

Pēc analoģijas ar punktu, kurā tiek ņemts vērā taisnes vienādojums caur normālu vektoru, varat ievadīt uzdevumu

taisne caur punktu un taisnes virziena vektors.

Definīcija. Katrs vektors, kas nav nulle (α 1 , α 2), kuras sastāvdaļas atbilst nosacījumam

Aα 1 + Bα 2 = 0 sauca taisnes virziena vektors.

Ah + Wu + C = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu taisnei ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A(1, 2).

Lēmums. Mēs meklēsim vajadzīgās taisnes vienādojumu formā: Ax + By + C = 0. Saskaņā ar definīciju,

koeficientiem jāatbilst šādiem nosacījumiem:

1 * A + (-1) * B = 0, t.i. A = B.

Tad taisnas līnijas vienādojumam ir šāda forma: Ax + Ay + C = 0, vai x + y + C / A = 0.

plkst x=1, y=2 mēs saņemam C/ A = -3, t.i. vēlamais vienādojums:

x + y - 3 = 0

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.

Ja taisnes vispārējā vienādojumā Ah + Wu + C = 0 C≠0, tad, dalot ar -C, iegūstam:

vai, kur

ģeometriskā sajūta koeficienti, jo koeficients a ir krustošanās punkta koordināte

taisni ar asi Ak, a b- taisnes krustošanās punkta koordinātas ar asi OU.

Piemērs. Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums x - y + 1 = 0. Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos.

C = 1, a \u003d -1, b = 1.

Normāls taisnes vienādojums.

Ja vienādojuma abas puses Ah + Wu + C = 0 dalīt ar skaitli , ko sauc

normalizējošais faktors, tad mēs saņemam

xcosφ + ysinφ - p = 0 -taisnas līnijas normāls vienādojums.

Normalizējošā koeficienta zīme ± jāizvēlas tā, lai μ * C< 0.

R- perpendikula garums, kas samazināts no sākuma līdz līnijai,

a φ - leņķis, ko veido šis perpendikuls ar ass pozitīvo virzienu Ak.

Piemērs. Dots taisnes vispārīgais vienādojums 12x - 5g - 65 = 0. Nepieciešams rakstīt Dažādi veidi vienādojumi

šī taisnā līnija.

Šīs taisnes vienādojums segmentos:

Šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dalīt ar 5)

Taisnas līnijas vienādojums:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Jāņem vērā, ka ne katru taisni var attēlot ar vienādojumu segmentos, piemēram, taisnes,

paralēli asīm vai iet caur izcelsmi.

Leņķis starp līnijām plaknē.

Definīcija. Ja ir dotas divas rindas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tad akūts leņķis starp šīm līnijām

tiks definēts kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnas līnijas ir perpendikulāras,

ja k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorēma.

Tieša Ah + Wu + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir paralēli, ja koeficienti ir proporcionāli

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ja arī С 1 \u003d λС, tad līnijas sakrīt. Divu taisnes krustošanās punkta koordinātas

tiek atrasti kā risinājums šo līniju vienādojumu sistēmai.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu, ir perpendikulārs noteiktai taisnei.

Definīcija. Līnija, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un perpendikulāri līnijai y = kx + b

attēlots ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai.

Teorēma. Ja tiek dots punkts M(x 0, y 0), tad attālums līdz līnijai Ah + Wu + C = 0 definēts kā:

Pierādījums. Ļaujiet punktu M 1 (x 1, y 1)- perpendikula pamatne nokrita no punkta M par doto

tiešā veidā. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Sistēmas otrais vienādojums ir taisnes vienādojums, kas iet caur doto punktu M 0 perpendikulāri

dotā līnija. Ja mēs pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem. Rakstā" " Es apsolīju jums analizēt otro veidu, kā atrisināt piedāvātās problēmas atvasinājuma atrašanai, izmantojot dotu funkciju grafiku un šī grafika tangensu. Mēs izpētīsim šo metodi , Nepalaid garām! Kāpēc Nākamais?

Fakts ir tāds, ka tur tiks izmantota taisnas līnijas vienādojuma formula. Protams, varētu vienkārši parādīt šo formulu un ieteikt to apgūt. Bet labāk ir paskaidrot, no kurienes tas nāk (kā tas tiek iegūts). Tas ir nepieciešams! Ja esat to aizmirsis, ātri atjaunojiet tonebūs grūti. Viss ir sīkāk aprakstīts zemāk. Tātad mums ir divi punkti A koordinātu plaknē(x 1; y 1) un B (x 2; y 2) caur norādītajiem punktiem tiek novilkta taisna līnija:

Šeit ir tiešā formula:

*Tas ir, aizvietojot punktu konkrētās koordinātas, iegūstam vienādojumu formā y=kx+b.

** Ja šī formula ir vienkārši “iegaumēta”, tad pastāv liela varbūtība sajaukt ar indeksiem, kad X. Turklāt indeksus var apzīmēt dažādos veidos, piemēram:

Tāpēc ir svarīgi saprast nozīmi.

Tagad šīs formulas atvasinājums. Viss ir ļoti vienkārši!

Trijstūri ABE un ACF ir līdzīgi ass stūris(pirmā līdzības pazīme taisnie trīsstūri). No tā izriet, ka atbilstošo elementu attiecības ir vienādas, tas ir:

Tagad mēs vienkārši izsakām šos segmentus kā punktu koordinātu atšķirību:

Protams, nebūs kļūdu, ja elementu attiecības rakstīsit citā secībā (galvenais ir saglabāt atbilstību):

Rezultāts ir tāds pats taisnes vienādojums. Tas ir viss!

Tas ir, neatkarīgi no tā, kā tiek apzīmēti paši punkti (un to koordinātas), saprotot šo formulu, jūs vienmēr atradīsit taisnas līnijas vienādojumu.

Formulu var izsecināt, izmantojot vektoru īpašības, taču atvasināšanas princips būs tāds pats, jo mēs runāsim par to koordinātu proporcionalitāti. Šajā gadījumā darbojas tā pati taisnleņķa trīsstūru līdzība. Manuprāt, iepriekš aprakstītais secinājums ir saprotamāks)).

Skatīt izvadi, izmantojot vektora koordinātas >>>

Uz koordinātu plaknes izveido taisni, kas iet caur diviem dotajiem punktiem A (x 1; y 1) un B (x 2; y 2). Atzīmēsim patvaļīgu punktu C uz taisnes ar koordinātām ( x; y). Mēs arī apzīmējam divus vektorus:

Ir zināms, ka vektoriem, kas atrodas uz paralēlām taisnēm (vai uz vienas līnijas), to atbilstošās koordinātas ir proporcionālas, tas ir:

- mēs rakstām atbilstošo koordinātu attiecību vienādību:

Apsveriet piemēru:

Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām (2;5) un (7:3).

Jūs pat nevarat izveidot līniju pašu. Mēs izmantojam formulu:

Ir svarīgi, lai jūs uztverat korespondenci, veidojot attiecību. Jūs nevarat kļūdīties, ja rakstāt:

Atbilde: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Lai pārliecinātos, ka iegūtais vienādojums ir atrasts pareizi, noteikti pārbaudiet to - aizvietojiet tajā datu koordinātas punktu stāvoklī. Jums vajadzētu iegūt pareizu vienādību.

Tas ir viss. Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.

Ar cieņu Aleksandrs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Šis raksts turpina tēmu par taisnas līnijas vienādojumu plaknē: apsveriet šāda veida vienādojumu kā taisnas līnijas vispārējo vienādojumu. Definēsim teorēmu un sniegsim tās pierādījumu; Noskaidrosim, kas ir nepilnīgs taisnes vispārīgais vienādojums un kā veikt pārejas no vispārējā vienādojuma uz cita veida taisnes vienādojumiem. Mēs nostiprināsim visu teoriju ar ilustrācijām un praktisku problēmu risināšanu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Uz plaknes ir dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y.

1. teorēma

Jebkurš pirmās pakāpes vienādojums, kura forma ir A x + B y + C \u003d 0, kur A, B, C ir daži reāli skaitļi (A un B vienlaikus nav vienādi ar nulli), nosaka taisni taisnstūra koordinātu sistēma plaknē. Savukārt jebkura taisnstūra koordinātu sistēmas taisne plaknē tiek noteikta ar vienādojumu, kura forma ir A x + B y + C = 0 noteiktai vērtību kopai A, B, C.

Pierādījums

Šī teorēma sastāv no diviem punktiem, mēs pierādīsim katru no tiem.

1. Pierādīsim, ka vienādojums A x + B y + C = 0 definē taisni plaknē.

Lai ir kāds punkts M 0 (x 0 , y 0), kura koordinātes atbilst vienādojumam A x + B y + C = 0 . Tādējādi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Atņemiet no vienādojuma A x + B y + C \u003d 0 kreisās un labās puses vienādojuma A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 kreiso un labo pusi, iegūstam jaunu vienādojumu, kas izskatās kā A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Tas ir vienāds ar A x + B y + C = 0 .

Iegūtais vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ir nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoru n → = (A, B) un M 0 M → = (x - x) perpendikularitātei. 0, y - y 0) . Tādējādi punktu kopa M (x, y) taisnstūra koordinātu sistēmā definē taisni, kas ir perpendikulāra vektora n → = (A, B) virzienam. Var pieņemt, ka tas tā nav, bet tad vektori n → = (A, B) un M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtu perpendikulāri, un vienādība A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtu patiesība.

Tāpēc vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definē noteiktu līniju taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē un līdz ar to arī ekvivalento vienādojumu A x + B y + C \u003d 0 definē to pašu līniju. Tādējādi esam pierādījuši teorēmas pirmo daļu.

1. Pierādīsim, ka jebkura taisnstūra koordinātu sistēmas taisne plaknē var tikt uzrādīta ar pirmās pakāpes vienādojumu A x + B y + C = 0 .

Noliksim taisnstūrveida koordinātu sistēmā plaknē taisni a; punkts M 0 (x 0 , y 0), caur kuru iet šī taisne, kā arī šīs taisnes normālvektors n → = (A , B) .

Lai pastāv arī kāds punkts M (x , y) - taisnes peldošais punkts. Šajā gadījumā vektori n → = (A , B) un M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ir perpendikulāri viens otram, un to skalārais reizinājums ir nulle:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Pārrakstīsim vienādojumu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definēsim C: C = - A x 0 - B y 0 un visbeidzot iegūstam vienādojumu A x + B y + C = 0.

Tātad, mēs esam pierādījuši teorēmas otro daļu, un mēs esam pierādījuši visu teorēmu kopumā.

1. definīcija

Vienādojums, kas izskatās kā A x + B y + C = 0 -Šo taisnas līnijas vispārējais vienādojums plaknē taisnstūra koordinātu sistēmāO x y .

Pamatojoties uz pierādīto teorēmu, varam secināt, ka taisne, kas dota uz plaknes fiksētā taisnstūra koordinātu sistēmā, un tās vispārējais vienādojums ir nesaraujami saistīti. Citiem vārdiem sakot, sākotnējā līnija atbilst tās vispārīgajam vienādojumam; taisnes vispārējais vienādojums atbilst noteiktai taisnei.

No teorēmas pierādījuma arī izriet, ka koeficienti A un B mainīgajiem x un y ir taisnes normālvektora koordinātes, ko dod taisnes A x + B y + vispārējais vienādojums. C = 0.

Apsveriet konkrētu taisnas līnijas vispārējā vienādojuma piemēru.

Dots vienādojums 2 x + 3 y - 2 = 0, kas atbilst taisnei dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā. Šīs līnijas normālais vektors ir vektors n → = (2, 3) . Zīmējumā uzzīmējiet noteiktu taisnu līniju.

Var strīdēties arī par to: taisni, ko redzam zīmējumā, nosaka vispārīgais vienādojums 2 x + 3 y - 2 = 0, jo šim vienādojumam atbilst visu dotās taisnes punktu koordinātas.

Vienādojumu λ A x + λ B y + λ C = 0 varam iegūt, reizinot abas vispārējā taisnes vienādojuma puses ar skaitli λ, nevis nulle. Iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vispārējam vienādojumam, tāpēc tas aprakstīs to pašu līniju plaknē.

2. definīcija

Pilnīgs taisnas līnijas vispārējais vienādojums- šāds līnijas A x + B y + C \u003d 0 vispārīgs vienādojums, kurā skaitļi A, B, C nav nulle. Pretējā gadījumā vienādojums ir nepilnīgs.

Analizēsim visas taisnes nepilnīgā vispārējā vienādojuma variācijas.

1. Ja A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, vispārējais vienādojums kļūst B y + C \u003d 0. Šāds nepilnīgs vispārīgs vienādojums definē taisnstūra koordinātu sistēmā O x y taisnu līniju, kas ir paralēla O x asij, jo jebkurai x reālajai vērtībai mainīgais y pieņems vērtību - C B . Citiem vārdiem sakot, līnijas A x + B y + C \u003d 0 vispārīgais vienādojums, kad A \u003d 0, B ≠ 0, nosaka to punktu (x, y) lokusu, kuru koordinātas ir vienādas ar to pašu skaitli. - C B .
2. Ja A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, vispārējais vienādojums kļūst par y \u003d 0. Šāds nepilnīgs vienādojums definē x asi O x .
3. Ja A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, mēs iegūstam nepilnīgu vispārīgo vienādojumu A x + C \u003d 0, kas nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla y asij.
4. Ļaujiet A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, tad nepilnīgais vispārējais vienādojums būs x \u003d 0, un tas ir koordinātu līnijas O y vienādojums.
5. Visbeidzot, kad A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, nepilnīgais vispārējais vienādojums iegūst formu A x + B y \u003d 0. Un šis vienādojums apraksta taisnu līniju, kas iet caur izcelsmi. Patiešām, skaitļu pāris (0 , 0) atbilst vienādībai A x + B y = 0 , jo A · 0 + B · 0 = 0 .

Grafiski ilustrēsim visus iepriekšminētos taisnās līnijas nepilnīgā vispārējā vienādojuma veidus.

1. piemērs

Ir zināms, ka dotā taisne ir paralēla y asij un iet caur punktu 2 7 , - 11 . Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vispārīgo vienādojumu.

Lēmums

Taisni, kas ir paralēla y asij, dod vienādojums formā A x + C \u003d 0, kurā A ≠ 0. Nosacījums norāda arī tā punkta koordinātas, caur kuru taisne iet, un šī punkta koordinātas atbilst nepilnīgā vispārējā vienādojuma A x + C = 0 nosacījumiem, t.i. vienlīdzība ir pareiza:

A 2 7 + C = 0

No tā ir iespējams noteikt C, dodot A kādu vērtību, kas nav nulle, piemēram, A = 7 . Šajā gadījumā mēs iegūstam: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Mēs zinām abus koeficientus A un C, aizstājam tos vienādojumā A x + C = 0 un iegūstam vajadzīgo taisnes vienādojumu: 7 x - 2 = 0

Atbilde: 7 x - 2 = 0

2. piemērs

Zīmējumā redzama taisna līnija, ir nepieciešams pierakstīt tās vienādojumu.

Lēmums

Dotais zīmējums ļauj viegli ņemt sākotnējos datus problēmas risināšanai. Zīmējumā redzam, ka dotā līnija ir paralēla O x asij un iet caur punktu (0 , 3).

Taisni, kas ir paralēla abscisai, nosaka nepilnīgs vispārīgais vienādojums B y + С = 0. Atrodiet B un C vērtības. Punkta (0, 3) koordinātas, jo caur to iet dotā taisne, apmierinās taisnes vienādojumu B y + С = 0, tad ir spēkā vienādība: В · 3 + С = 0. Iestatīsim B uz kādu vērtību, kas nav nulle. Teiksim, B \u003d 1, šajā gadījumā no vienādības B · 3 + C \u003d 0 mēs varam atrast C: C \u003d - 3. Mēs izmantojam zināmās vērtības B un C, iegūstam vajadzīgo taisnes vienādojumu: y - 3 = 0.

Atbilde: y-3 = 0.

Vispārīgs vienādojums taisnei, kas iet caur noteiktu plaknes punktu

Dotā taisne iziet caur punktu M 0 (x 0, y 0), tad tās koordinātas atbilst taisnes vispārīgajam vienādojumam, t.i. vienādība ir patiesa: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Atņemiet šī vienādojuma kreiso un labo pusi no vispārējās kreisās un labās puses pilnīgs vienādojums taisni. Mēs iegūstam: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, šis vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vispārīgajam, iet caur punktu M 0 (x 0, y 0) un tam ir normāls vektors n → \u003d (A, B) .

Iegūtais rezultāts ļauj uzrakstīt taisnes vispārīgo vienādojumu taisnes normālā vektora koordinātām un šīs taisnes noteikta punkta koordinātām.

3. piemērs

Dots punkts M 0 (- 3, 4), caur kuru taisne iet, un šīs taisnes normālais vektors n → = (1 , - 2) . Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vienādojumu.

Lēmums

Sākotnējie nosacījumi ļauj iegūt nepieciešamos datus vienādojuma sastādīšanai: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Pēc tam:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problēmu varēja atrisināt savādāk. Taisnes vispārīgajam vienādojumam ir forma A x + B y + C = 0 . Dotais normāls vektors ļauj iegūt koeficientu A un B vērtības, tad:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Tagad atrodiet C vērtību, izmantojot ko nosaka nosacījums uzdevuma punkts M 0 (- 3 , 4), caur kuru iet līnija. Šī punkta koordinātas atbilst vienādojumam x - 2 · y + C = 0 , t.i. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Tādējādi C = 11. Nepieciešamais taisnās līnijas vienādojums ir šāds: x - 2 · y + 11 = 0 .

Atbilde: x - 2 y + 11 = 0 .

4. piemērs

Dota taisne 2 3 x - y - 1 2 = 0 un punkts M 0, kas atrodas uz šīs taisnes. Ir zināma tikai šī punkta abscisa, un tā ir vienāda ar - 3. Nepieciešams noteikt dotā punkta ordinātas.

Lēmums

Noteiksim punkta M 0 koordinātu apzīmējumu kā x 0 un y 0 . Sākotnējie dati norāda, ka x 0 \u003d - 3. Tā kā punkts pieder noteiktai taisnei, tad tā koordinātas atbilst šīs taisnes vispārīgajam vienādojumam. Tad būs patiesa šāda vienlīdzība:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definējiet y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atbilde: - 5 2

Pāreja no vispārējā taisnes vienādojuma uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Kā zināms, plaknē ir vairāki vienas un tās pašas taisnes vienādojuma veidi. Vienādojuma veida izvēle ir atkarīga no problēmas apstākļiem; iespējams izvēlēties savam risinājumam ērtāko. Šeit ļoti noder prasme pārveidot viena veida vienādojumu cita veida vienādojumā.

Vispirms apsveriet pāreju no vispārējā vienādojuma formā A x + B y + C = 0 uz kanonisko vienādojumu x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ja A ≠ 0, tad terminu B y pārnesam uz vispārējā vienādojuma labo pusi. Kreisajā pusē mēs izņemam A no iekavām. Rezultātā iegūstam: A x + C A = - B y .

Šo vienādību var uzrakstīt kā proporciju: x + C A - B = y A .

Ja B ≠ 0, vispārējā vienādojuma kreisajā pusē atstājam tikai terminu A x, pārējos pārnesam uz labo pusi, iegūstam: A x \u003d - B y - C. Mēs izņemam - B no iekavām, pēc tam: A x \u003d - B y + C B.

Pārrakstīsim vienādību kā proporciju: x - B = y + C B A .

Protams, iegūtās formulas nav jāiegaumē. Pietiek zināt darbību algoritmu, pārejot no vispārējā vienādojuma uz kanonisko.

5. piemērs

Ir dots taisnes 3 y - 4 = 0 vispārīgais vienādojums. Tas ir jāpārvērš par kanonisko vienādojumu.

Lēmums

Mēs rakstām sākotnējo vienādojumu kā 3 y - 4 = 0 . Tālāk mēs rīkojamies pēc algoritma: termins 0 x paliek kreisajā pusē; un labajā pusē mēs izņemam - 3 no iekavām; mēs iegūstam: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Iegūto vienādību ierakstīsim kā proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tādējādi mēs esam ieguvuši kanoniskās formas vienādojumu.

Atbilde: x - 3 = y - 4 3 0.

Lai pārvērstu taisnās līnijas vispārējo vienādojumu parametriskajā vienādojumu, vispirms pāriet uz kanoniskā forma, un pēc tam pāreja no taisnās līnijas kanoniskā vienādojuma uz parametriskajiem vienādojumiem.

6. piemērs

Taisni nosaka vienādojums 2 x - 5 y - 1 = 0 . Pierakstiet šīs līnijas parametriskos vienādojumus.

Lēmums

Veiksim pāreju no vispārējā vienādojuma uz kanonisko:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Tagad ņemsim abas iegūtā kanoniskā vienādojuma daļas, kas vienādas ar λ, tad:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atbilde:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vispārējo vienādojumu var pārveidot par taisnās līnijas vienādojumu ar slīpumu y = k x + b, bet tikai tad, ja B ≠ 0. Pārejai kreisajā pusē mēs atstājam terminu B y , pārējie tiek pārnesti uz labo pusi. Mēs iegūstam: B y = - A x - C . Sadalīsim abas iegūtās vienādības daļas ar B , kas atšķiras no nulles: y = - A B x - C B .

7. piemērs

Ir dots taisnes vispārīgais vienādojums: 2 x + 7 y = 0 . Šis vienādojums ir jāpārvērš par slīpuma vienādojumu.

Lēmums

Veiksim nepieciešamās darbības saskaņā ar algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 g - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atbilde: y = - 2 7 x .

No taisnas līnijas vispārējā vienādojuma pietiek vienkārši iegūt vienādojumu segmentos, kuru forma ir x a + y b \u003d 1. Lai veiktu šādu pāreju, mēs pārnesam skaitli C uz vienādības labo pusi, sadalām abas iegūtās vienādības daļas ar - С un, visbeidzot, pārnesam mainīgo x un y koeficientus uz saucējiem:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8. piemērs

Ir nepieciešams pārvērst taisnes x - 7 y + 1 2 = 0 vispārīgo vienādojumu par taisnes vienādojumu posmos.

Lēmums

Pārvietosim 1 2 uz labo pusi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Sadaliet ar -1/2 abas vienādojuma puses: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atbilde: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Kopumā arī apgrieztā pāreja ir vienkārša: no cita veida vienādojumiem uz vispārīgo.

Taisnas līnijas vienādojumu segmentos un vienādojumu ar slīpumu var viegli pārveidot par vispārīgu, vienkārši savācot visus vienādojuma kreisajā pusē esošos terminus:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonisko vienādojumu pārvērš vispārīgajā saskaņā ar šādu shēmu:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Lai pārietu no parametriskā, vispirms tiek veikta pāreja uz kanonisko un pēc tam uz vispārējo:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9. piemērs

Ir doti taisnes x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriskie vienādojumi. Ir nepieciešams pierakstīt šīs līnijas vispārīgo vienādojumu.

Lēmums

Veiksim pāreju no parametriskajiem vienādojumiem uz kanoniskajiem:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pārejam no kanoniskā uz vispārīgo:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atbilde: y — 4 = 0

10. piemērs

Dots taisnes vienādojums posmos x 3 + y 1 2 = 1. Ir nepieciešams veikt pāreju uz vispārējs skats vienādojumi.

Lēmums:

Vienkārši pārrakstīsim vienādojumu vajadzīgajā formā:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atbilde: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Vispārīga taisnes vienādojuma sastādīšana

Iepriekš mēs teicām, ka vispārējo vienādojumu var uzrakstīt ar zināmām normālā vektora koordinātām un tā punkta koordinātām, caur kuru līnija iet. Šāda taisne tiek definēta ar vienādojumu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Tajā pašā vietā mēs analizējām atbilstošo piemēru.

Tagad apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri, kurā vispirms nepieciešams noteikt normālvektora koordinātas.

11. piemērs

Dota taisne, kas ir paralēla taisnei 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Zināms arī punkts M 0 (4 , 1), caur kuru iet dotā taisne. Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vienādojumu.

Lēmums

Sākotnējie nosacījumi norāda, ka taisnes ir paralēlas, tad kā taisnes, kuras vienādojums ir jāuzraksta, normālo vektoru, mēs ņemam taisnes n → = (2, - 3) virzošo vektoru: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu taisnas līnijas vispārējo vienādojumu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atbilde: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12. piemērs

Dotā taisne iet caur sākuma punktu perpendikulāri taisnei x - 2 3 = y + 4 5 . Nepieciešams uzrakstīt dotās taisnes vispārīgo vienādojumu.

Lēmums

Dotās līnijas normālvektors būs taisnes x - 2 3 = y + 4 5 virzošais vektors.

Tad n → = (3 , 5) . Taisne iet caur izcelsmi, t.i. caur punktu O (0, 0) . Sastādām dotās taisnes vispārīgo vienādojumu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atbilde: 3 x + 5 y = 0 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter