Ja leņķis ir akūts, tad koeficients. Funkcijas grafika pieskares vienādojums. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Iepriekšējā nodaļā tika parādīts, ka, izvēloties noteiktu koordinātu sistēmu plaknē, mēs varam analītiski izteikt aplūkojamās taisnes punktus raksturojošās ģeometriskās īpašības ar vienādojumu starp pašreizējām koordinātām. Tādējādi mēs iegūstam līnijas vienādojumu. Šajā nodaļā tiks aplūkoti taisnu līniju vienādojumi.

Lai formulētu taisnas līnijas vienādojumu Dekarta koordinātās, jums kaut kā jāiestata nosacījumi, kas nosaka tās pozīciju attiecībā pret koordinātu asīm.

Vispirms mēs ieviešam taisnes slīpuma jēdzienu, kas ir viens no lielumiem, kas raksturo taisnes pozīciju plaknē.

Par taisnes slīpuma leņķi pret Vērša asi sauksim leņķi, par kādu Ox ass jāpagriež, lai tā sakristu ar doto taisni (vai izrādītos tai paralēla). Kā parasti, mēs apsvērsim leņķi, ņemot vērā zīmi (zīmi nosaka griešanās virziens: pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienam). Tā kā Vērša ass papildu pagriešana par 180° leņķi to atkal apvienos ar taisni, tad taisnes slīpuma leņķi pret asi var izvēlēties neviennozīmīgi (līdz daudzkārtņiem).

Šī leņķa pieskare ir noteikta unikāli (jo, mainot leņķi uz, tā pieskare nemainās).

Taisnes slīpuma leņķa pieskare pret x asi sauc par taisnes slīpumu.

Slīpums raksturo taisnes virzienu (šeit mēs nenošķiram divus savstarpēji pretējus taisnes virzienus). Ja slīpums ir taisns nulle, tad līnija ir paralēla x asij. Ar pozitīvu slīpumu taisnās līnijas slīpuma leņķis pret x asi būs akūts (šeit mēs uzskatām par mazāko pozitīva vērtība slīpuma leņķis) (39. att.); šajā gadījumā, jo lielāks ir slīpums, jo lielāks ir tā slīpuma leņķis pret Vērša asi. Ja slīpums ir negatīvs, tad taisnes slīpuma leņķis pret x asi būs neass (40. att.). Ņemiet vērā, ka taisnei, kas ir perpendikulāra x asij, nav slīpuma (leņķa tangensa nepastāv).

Līnija y \u003d f (x) būs pieskares diagrammai, kas parādīta attēlā punktā x0, ja tā iet caur punktu ar koordinātām (x0; f (x0)) un tai ir slīpums f "(x0). Atrodiet šāds koeficients, zinot pieskares pazīmes, nav grūti.

Jums būs nepieciešams

• - matemātikas uzziņu grāmata;
• - vienkāršs zīmulis;
• - piezīmju grāmatiņa;
• - transportieri;
• - kompass;
• - pildspalva.

Instrukcija

Ja vērtība f’(x0) neeksistē, tad vai nu tangenses nav, vai arī tā iet vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma klātbūtne punktā x0 ir saistīta ar nevertikālas pieskares esamību, kas ir saskarē ar funkcijas grafiku punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā pieskares slīpums būs vienāds ar f "(x0). Tādējādi tas kļūst skaidrs ģeometriskā nozīme atvasinājums - pieskares slīpuma aprēķins.

Uzzīmējiet papildu pieskares, kas saskartos ar funkcijas grafiku punktos x1, x2 un x3, kā arī atzīmējiet šo pieskares veidotos leņķus ar abscisu asi (šāds leņķis tiek skaitīts pozitīvā virzienā no ass līdz pieskarei līnija). Piemēram, leņķis, tas ir, α1, būs akūts, otrais (α2) ir neass, bet trešais (α3) ir nulle, jo pieskares līnija ir paralēla OX asij. Šajā gadījumā strupā leņķa tangensa ir negatīva, akūta leņķa pieskare ir pozitīva, un tg0 rezultāts ir nulle.

Piezīme

Pareizi nosakiet pieskares veidoto leņķi. Lai to izdarītu, izmantojiet transportieri.

Noderīgs padoms

Divas slīpas līnijas būs paralēlas, ja to slīpumi ir vienādi; perpendikulāri, ja šo pieskares slīpumu reizinājums ir -1.

Avoti:

• Funkcijas grafika pieskare

Kosinuss, tāpat kā sinuss, tiek saukts par "tiešajām" trigonometriskajām funkcijām. Pieskares (kopā ar kotangensu) pievieno citam pārim, ko sauc par "atvasinājumiem". Ir vairākas šo funkciju definīcijas, kas ļauj atrast pieskares doto zināma vērtība tādas pašas vērtības kosinuss.

Instrukcija

Atņemiet koeficientu no vienības ar dotā leņķa kosinusu, kas pacelts līdz vērtībai, un no rezultāta iegūstiet kvadrātsakni - tā būs leņķa pieskares vērtība, kas izteikta ar tā kosinusu: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Tajā pašā laikā pievērsiet uzmanību tam, ka formulā kosinuss atrodas daļskaitļa saucējā. Neiespējamība dalīt ar nulli izslēdz šīs izteiksmes izmantošanu leņķiem, kas vienādi ar 90°, kā arī atšķirību no šīs vērtības ar 180° reizinājumiem (270°, 450°, -90° utt.).

Ir arī alternatīvs veids pieskares aprēķināšana no zināmās kosinusa vērtības. To var izmantot, ja nav ierobežojumu citu lietošanai. Lai ieviestu šo metodi, vispirms nosaka leņķa vērtību no zināmas kosinusa vērtības – to var izdarīt, izmantojot arkosinusa funkciju. Pēc tam vienkārši aprēķiniet iegūtās vērtības leņķa tangensu. Kopumā šo algoritmu var uzrakstīt šādi: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ir vēl viena eksotiska iespēja, izmantojot kosinusa un pieskares definīciju caur taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem. Kosinuss šajā definīcijā atbilst aplūkojamajam leņķim blakus esošās kājas garuma attiecībai pret hipotenūzas garumu. Zinot kosinusa vērtību, var izvēlēties tai atbilstošos šo divu malu garumus. Piemēram, ja cos(α)=0,5, tad blakus esošo var pieņemt vienādu ar 10 cm, bet hipotenūzu - 20 cm. Konkrētiem skaitļiem šeit nav nozīmes - jūs saņemsiet to pašu un pareizību ar visām vērtībām, kurām ir vienādas. Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, nosakiet trūkstošās puses - pretējās kājas - garumu. Viņa būs vienlīdzīga kvadrātsakne no starpības starp kvadrātveida hipotenūzas un zināmās kājas garumiem: √(20²-10²)=√300. Pēc definīcijas tangenss atbilst pretējo un blakus esošo kāju garumu attiecībai (√300/10) - aprēķiniet to un iegūstiet atrasto pieskares vērtību, izmantojot klasisko kosinusa definīciju.

Avoti:

• kosinuss caur tangentes formulu

Viens no trigonometriskās funkcijas, visbiežāk apzīmē ar burtiem tg, lai gan sastopami arī apzīmējumi tan. Vienkāršākais veids ir attēlot tangensu kā sinusa attiecību leņķis līdz tā kosinusam. Šī ir nepāra periodiska un nevis nepārtraukta funkcija, kuras katrs cikls ir vienāds ar skaitli Pi, un pārtraukuma punkts atbilst pusei no šī skaitļa.

Matemātikā viens no parametriem, kas raksturo taisnes pozīciju Dekarta koordinātu plaknē, ir šīs taisnes slīpums. Šis parametrs raksturo taisnes slīpumu pret x asi. Lai saprastu, kā atrast slīpumu, vispirms atcerieties taisnes vienādojuma vispārējo formu XY koordinātu sistēmā.

Kopumā jebkuru līniju var attēlot ar izteiksmi ax+by=c, kur a, b un c ir patvaļīgi reāli skaitļi, bet obligāti a 2 + b 2 ≠ 0.

Ar vienkāršu pārveidojumu palīdzību šādu vienādojumu var novest formā y=kx+d, kurā k un d ir reāli skaitļi. Skaitlis k ir slīpums, un šāda veida taisnas līnijas vienādojumu sauc par vienādojumu ar slīpumu. Izrādās, ka, lai atrastu slīpumu, jums vienkārši jāatved sākotnējais vienādojums iepriekš minētajā formā. Lai labāk izprastu, apsveriet konkrētu piemēru:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 36x - 18y = 108

Risinājums: pārveidosim sākotnējo vienādojumu.

Atbilde: Vēlamais šīs līnijas slīpums ir 2.

Ja vienādojuma pārveidošanas laikā mēs ieguvām izteiksmi ar tipu x = const un rezultātā nevaram attēlot y kā funkciju no x, tad mums ir darīšana ar taisni, kas ir paralēla X asij. šāda taisne ir vienāda ar bezgalību.

Līnijām, kas izteiktas ar vienādojumu, piemēram, y = const, slīpums ir nulle. Tas ir raksturīgi taisnām līnijām, kas ir paralēlas x asij. Piemēram:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Risinājums: sākotnējā vienādojumā mēs iegūstam vispārīgu formu

24x + 12g - 12g + 28 = 4

No iegūtās izteiksmes nav iespējams izteikt y, tāpēc šīs taisnes slīpums ir vienāds ar bezgalību, un pati līnija būs paralēla Y asij.

ģeometriskā sajūta

Lai labāk saprastu, apskatīsim attēlu:

Attēlā redzams y = kx tipa funkcijas grafiks. Lai vienkāršotu, ņemam koeficientu c = 0. Trijstūrī OAB malas BA attiecība pret AO būs vienāda ar slīpumu k. Tajā pašā laikā attiecība VA/AO ir akūtā leņķa α collu tangenss taisnleņķa trīsstūris OAV. Izrādās, ka taisnes slīpums ir vienāds ar leņķa pieskari, ko šī taisne veido ar koordinātu režģa x asi.

Atrisinot uzdevumu, kā atrast taisnas līnijas slīpumu, mēs atrodam leņķa tangensu starp to un koordinātu režģa x asi. Robežgadījumi, kad apskatāmā līnija ir paralēla koordinātu asīm, apstiprina iepriekš minēto. Patiešām, taisnei, kas aprakstīta ar vienādojumu y=const, leņķis starp to un x asi ir vienāds ar nulli. Nulles leņķa tangenss arī ir nulle, un slīpums arī ir nulle.

Taisnēm, kas ir perpendikulāras x asij un aprakstītas ar vienādojumu x=const, leņķis starp tām un x asi ir 90 grādi. Pieskares pareizā leņķī ir vienāds ar bezgalību, un līdzīgu taisnu līniju slīpums ir vienāds ar bezgalību, kas apstiprina iepriekš rakstīto.

Pieskares slīpums

Izplatīts, praksē bieži sastopams uzdevums ir arī atrast funkcijas grafika pieskares slīpumu kādā punktā. Pieskares ir taisna līnija, tāpēc arī tai ir attiecināms slīpuma jēdziens.

Lai noskaidrotu, kā atrast pieskares slīpumu, mums būs jāatgādina atvasinājuma jēdziens. Jebkuras funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir skaitliski konstante vienāds ar tangensu leņķis, kas veidojas starp šīs funkcijas grafika norādītā punkta pieskari un abscisu asi. Izrādās, ka, lai noteiktu pieskares slīpumu punktā x 0, mums ir jāaprēķina sākotnējās funkcijas atvasinājuma vērtība šajā punktā k \u003d f "(x 0). Apskatīsim piemēru:

Uzdevums: Atrast funkcijas y = 12x 2 + 2xe x pieskares slīpumu pie x = 0,1.

Risinājums: atrodiet sākotnējās funkcijas atvasinājumu vispārīgā formā

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atbilde: Vēlamais slīpums punktā x \u003d 0,1 ir 4,831

Tēmas turpinājums par taisnes vienādojumu plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojuma tēmu. Apsveriet definīcijas, iegūstiet pašu vienādojumu, atklājiet attiecības ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests problēmu risināšanas piemēros.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi ar to slīpumu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret asi O x, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Ja līnija ir paralēla Vērsim vai tajā notiek sakritība, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Taisnas līnijas slīpums ir dotās taisnes slīpuma tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas iegūstam, ka k = t g α . Ja līnija ir paralēla Vērsim, tiek teikts, ka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas pareizā leņķa atrašanās vietas variācijas attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, ir jāpiemēro slīpuma koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa tangenss plaknē.

Lēmums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120 °. Pēc definīcijas jums jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3 .

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients, bet ir jāatrod slīpuma leņķis pret x asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k . Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar slīpumu, kas vienāds ar 3.

Lēmums

No nosacījuma, ka slīpums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķinus veic pēc formulas α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3 .

Lēmums

Ja par slīpuma apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Atbilde: 5 pi 6.

Formas y \u003d k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja detalizēti apsveram taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, ko dod vienādojums ar slīpumu, kas izskatās kā y \u003d k x + b. Šajā gadījumā tas nozīmē, ka jebkura līnijas punkta koordinātas atbilst vienādojumam. Ja punkta M koordinātas M 1 (x 1, y 1) aizstājam vienādojumā y \u003d k x + b, tad šajā gadījumā līnija iet caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie punkta. līnija.

4. piemērs

Dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1 . Aprēķināt, vai punkti M 1 (3 , 0) un M 2 (2 , - 2) pieder dotajai taisnei.

Lēmums

Nepieciešams dotajā vienādojumā aizvietot punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Vienādība ir patiesa, tāpēc punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 koordinātas (2, - 2), tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, kas iet caur M 1 (0 , b) , aizstāšana radīja vienādību formā b = k · 0 + b ⇔ b = b . No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar slīpumu y = k · x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α .

Apsveriet, piemēram, taisnu līniju, kas definēta, izmantojot slīpumu, kas dots formā y = 3 · x - 1 . Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni pa O x ass pozitīvo virzienu. No tā var redzēt, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) .

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) . Lai noņemtu skaitli b, no kreisās un labās puses ir jāatņem vienādojums ar slīpuma koeficientu. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par vienādojumu taisnei ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Sastādiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), ar slīpumu, kas vienāds ar - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. No šejienes taisnes vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x +7.

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5) paralēli taisnei y \u003d 2 x - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir sakrītoši slīpuma leņķi, tāpēc slīpuma koeficienti ir vienādi. Lai atrastu slīpumu no dots vienādojums, ir jāatgādina tās pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2 . Mēs sastādām vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnas līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Šāds vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tam ir ne pārāk ērts apzīmējums. Lai to izdarītu, tas ir jāiesniedz citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k · x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot cita veida vienādojumus.

Mēs varam iegūt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu plaknē, izmantojot taisnes ar slīpumu vienādojumu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Taisnes līnijas ar slīpumu vienādojums ir kļuvis par dotās taisnes kanonisko vienādojumu.

7. piemērs

Novietojiet taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Lēmums

Mēs aprēķinām un attēlojam taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma veidā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k x + b, bet tam ir nepieciešamas transformācijas: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Tiek veikta pāreja no vispārējā taisnas līnijas vienādojuma uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes formas y = 1 7 x - 2 vienādojums. Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1 , 7) ir normāls taisnes vektors?

Lēmums

Lai to atrisinātu, ir jāpārslēdzas uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi n → = 1 7 , - 1 , tātad 1 7 x - y - 2 = 0 . Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1 , 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7 , - 1 , jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n → . No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1 , 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors , kas nozīmē , ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru .

Atbilde: Ir

Atrisināsim problēmu apgriezti šai problēmai.

Nepieciešams pārcelties no vispārējs skats vienādojums A x + B y + C = 0, kur B ≠ 0, uz slīpuma vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Dots taisnes vienādojums formā 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Iegūstiet vienādojumu noteiktai līnijai ar slīpumu.

Lēmums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts formas x a + y b \u003d 1 vienādojums, ko sauc par taisnes vienādojumu segmentos vai kanonisko formu x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Tas ir jāatrisina attiecībā pret y, tikai tad iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar slīpumu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

10. piemērs

Ir taisne, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1 . Izveidojiet vienādojuma formu ar slīpumu.

Lēmums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu nepieciešamo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Formas x - 2 2 \u003d y + 1 5 taisnās līnijas vienādojums tiek nogādāts formā ar slīpumu.

Lēmums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo šim nolūkam:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, jāieved taisnes x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ parametriskie vienādojumi. kanoniskais vienādojums taisna līnija, tikai pēc tam varat pāriet uz vienādojumu ar slīpuma koeficientu.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Lēmums

Jums ir jāpāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs rakstām šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka taisnes slīpums ir vienāds ar 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2 .

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Attēlā parādīts taisnes slīpuma leņķis un slīpuma koeficienta vērtība dažādām taisnes atrašanās vietas iespējām attiecībā pret taisnstūra koordinātu sistēmu.

Taisnes slīpuma atrašana zināmā slīpuma leņķī pret Vērša asi nesagādā nekādas grūtības. Lai to izdarītu, pietiek atcerēties slīpuma koeficienta definīciju un aprēķināt slīpuma leņķa tangensu.

Piemērs.

Atrodiet līnijas slīpumu, ja tās slīpuma leņķis pret x asi ir vienāds ar .

Lēmums.

Pēc nosacījuma. Pēc tam, pēc taisnes slīpuma definīcijas, mēs aprēķinām .

Atbilde:

Uzdevums atrast taisnas līnijas slīpuma leņķi pret x asi ar zināmu slīpumu ir nedaudz grūtāks. Šeit ir jāņem vērā slīpuma koeficienta zīme. Kad taisnās līnijas slīpuma leņķis ir akūts un tiek atrasts kā . Kad taisnas līnijas slīpuma leņķis ir neass un to var noteikt pēc formulas .

Piemērs.

Nosakiet taisnas līnijas slīpuma leņķi pret x asi, ja tās slīpums ir 3.

Lēmums.

Tā kā pēc nosacījuma slīpums ir pozitīvs, taisnās līnijas slīpuma leņķis pret Vērša asi ir akūts. Mēs to aprēķinām pēc formulas.

Atbilde:

Piemērs.

Taisnās līnijas slīpums ir . Nosakiet taisnās līnijas slīpuma leņķi pret asi Ox.

Lēmums.

Apzīmē k ir taisnes slīpums, ir šīs taisnes slīpuma leņķis pret Ox ass pozitīvo virzienu. Kā , tad izmantojam formulu šādas formas taisnes slīpuma leņķa atrašanai . Mēs aizstājam datus no nosacījuma ar to: .

Atbilde:

Taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums.

Līnijas vienādojums ar slīpumu ir forma , kur k ir taisnes slīpums, b ir kāds reāls skaitlis. Taisnes un slīpuma vienādojumu var izmantot, lai norādītu jebkuru taisni, kas nav paralēla Oy asij (taisnei, kas ir paralēla y asij, slīpums nav definēts).

Apskatīsim frāzes nozīmi: "taisni uz plaknes fiksētā koordinātu sistēmā dod vienādojums ar formas slīpumu". Tas nozīmē, ka vienādojumu apmierina jebkura līnijas punkta koordinātas, nevis citu plaknes punktu koordinātas. Tādējādi, ja, aizstājot punkta koordinātas, tiek iegūta pareizā vienādība, tad taisne iet caur šo punktu. Pretējā gadījumā punkts neatrodas uz līnijas.

Piemērs.

Taisni uzrāda vienādojums ar slīpumu . Vai punkti arī pieder šai līnijai?

Lēmums.

Aizvietojiet punkta koordinātas sākotnējā taisnas līnijas vienādojumā ar slīpumu: . Mēs esam ieguvuši pareizo vienādību, tāpēc punkts M 1 atrodas uz taisnes.

Aizvietojot punkta koordinātas, mēs iegūstam nepareizu vienādību: . Tādējādi punkts M 2 neatrodas uz taisnes.

Atbilde:

Punkts M 1 pieder līnijai, M 2 nepieder.

Jāņem vērā, ka taisne, kas definēta ar taisnes vienādojumu ar slīpumu , iet caur punktu, jo, aizstājot tās koordinātas vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: .

Tādējādi taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums nosaka taisnu līniju plaknē, kas iet caur punktu un veido leņķi ar abscisu ass pozitīvo virzienu, un .

Piemēram, uzzīmēsim taisnu līniju, ko nosaka taisnes vienādojums ar formas slīpumu. Šī līnija iet caur punktu un tai ir slīpums radiānos (60 grādi) uz Vērša ass pozitīvo virzienu. Tās slīpums ir .

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu.

Tagad mēs atrisināsim ļoti svarīgu uzdevumu: iegūsim taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu k un iet caur punktu .

Tā kā līnija iet caur punktu , tad vienādība . Skaitlis b mums nav zināms. Lai no tā atbrīvotos, no taisnes ar slīpumu vienādojuma kreisās un labās daļas atņemam attiecīgi pēdējās vienādības kreiso un labo daļu. To darot, mēs iegūstam . Šī vienlīdzība ir vienādojums taisnai līnijai ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur noteiktu punktu.

Apsveriet piemēru.

Piemērs.

Uzrakstiet taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu, šīs taisnes slīpums ir -2.

Lēmums.

No tā stāvokļa, kāds mums ir . Tad taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums pieņems formu .

Atbilde:

Piemērs.

Uzrakstiet taisnes vienādojumu, ja ir zināms, ka tā iet caur punktu un slīpuma leņķis pret Ox ass pozitīvo virzienu ir .

Lēmums.

Pirmkārt, mēs aprēķinām taisnās līnijas slīpumu, kuras vienādojumu mēs meklējam (šādu problēmu mēs atrisinājām šī raksta iepriekšējā punktā). A-prior . Tagad mums ir visi dati, lai uzrakstītu taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu:

Atbilde:

Piemērs.

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei.

Lēmums.

Acīmredzami, ka paralēlo līniju slīpuma leņķi pret asi Ox sakrīt (ja nepieciešams, skat. rakstu paralēlās līnijas), tāpēc paralēlo līniju slīpuma koeficienti ir vienādi. Tad taisnes slīpums, kura vienādojums mums jāiegūst, ir vienāds ar 2, jo taisnes slīpums ir 2. Tagad mēs varam sastādīt nepieciešamo taisnas līnijas ar slīpumu vienādojumu:

Atbilde:

Pāreja no taisnes vienādojuma ar slīpuma koeficientu uz citiem taisnes vienādojuma veidiem un otrādi.

Ņemot vērā visas zināšanas, taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu ne vienmēr ir ērti lietojams, risinot problēmas. Dažos gadījumos problēmas ir vieglāk atrisināt, ja taisnes vienādojums tiek parādīts citā formā. Piemēram, taisnes ar slīpumu vienādojums neļauj uzreiz pierakstīt taisnes virzošā vektora koordinātas vai taisnes normālā vektora koordinātas. Tāpēc jāiemācās pāriet no taisnes ar slīpumu vienādojuma uz citiem šīs taisnes vienādojuma veidiem.

No taisnas līnijas ar slīpumu vienādojuma ir viegli iegūt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu formas plaknē . Lai to izdarītu, mēs pārnesam terminu b no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi ar pretējo zīmi, pēc tam sadalām abas iegūtās vienādības daļas ar slīpumu k:. Šīs darbības noved mūs no taisnas līnijas ar slīpumu vienādojuma pie taisnes kanoniskā vienādojuma.

Piemērs.

Dodiet vienādojumu taisnai līnijai ar slīpumu uz kanonisko formu.

Lēmums.

Veiksim nepieciešamās pārvērtības: .

Atbilde:

Piemērs.

Taisni dod vienādojums taisne ar slīpumu . Vai vektors ir šīs līnijas normāls vektors?

Lēmums.

Lai atrisinātu šo problēmu, pāriesim no taisnas līnijas ar slīpumu vienādojuma uz šīs taisnes vispārīgo vienādojumu: . Mēs zinām, ka taisnes vispārējā vienādojumā mainīgo x un y priekšā esošie koeficienti ir šīs taisnes normālā vektora atbilstošās koordinātes, tas ir, taisnes normālvektors. . Acīmredzot vektors ir kolineārs pret vektoru , jo attiecība ir patiesa (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tādējādi sākotnējais vektors ir arī līnijas normāls vektors , un tāpēc ir normāls vektors un sākotnējā līnija .

Atbilde:

Jā, tā ir.

Un tagad mēs atrisināsim apgriezto uzdevumu - problēmu par taisnes vienādojumu uz plaknes vienādojumā ar taisni ar slīpumu.

No vispārējā taisnās līnijas vienādojuma , kur , ir ļoti viegli pāriet uz slīpuma vienādojumu. Šim nolūkam jums ir nepieciešams vispārējais vienādojums tieša apņēmība attiecībā uz y . Tajā pašā laikā mēs iegūstam. Iegūtā vienādība ir taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar .