Matemātiskās problēmas tiek izmantotas daudzās zinātnēs. Tie ietver ne tikai fiziku, ķīmiju, inženierzinātnes un ekonomiku, bet arī medicīnu, ekoloģiju un citas disciplīnas. Viena svarīga koncepcija, kas jāapgūst, lai atrastu risinājumus svarīgām dilemmām, ir funkcijas atvasinājums. Tā fizisko nozīmi nemaz nav tik grūti izskaidrot, kā varētu šķist jautājuma būtībā nezinātājam. Pietiek, ja atrodat piemērotus piemērus īsta dzīve un parastās ikdienas situācijās. Faktiski ikviens autobraucējs katru dienu tiek galā ar līdzīgu uzdevumu, skatoties spidometrā, nosakot viņa automašīnas ātrumu noteiktā momentā un noteiktā laikā. Galu galā tieši šajā parametrā slēpjas atvasinājuma fiziskās nozīmes būtība.

Kā atrast ātrumu

Jebkurš piektklasnieks var viegli noteikt cilvēka ātrumu uz ceļa, zinot nobraukto attālumu un brauciena laiku. Lai to izdarītu, pirmā no norādītajām vērtībām tiek dalīta ar otro. Bet ne katrs jaunais matemātiķis to zina Šis brīdis atrod funkcijas un argumenta pieauguma attiecību. Patiešām, ja mēs iedomāsimies kustību grafika veidā, novietojot ceļu pa y asi un laiku pa abscisu, tas būs tieši tāds.

Taču gājēja vai jebkura cita objekta ātrums, ko nosakām lielā celiņa posmā, uzskatot kustību par vienmērīgu, var labi mainīties. Fizikā ir daudz kustību veidu. To var veikt ne tikai ar pastāvīgu paātrinājumu, bet patvaļīgi palēnināt un palielināt. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā līniju, kas apraksta kustību, vairs nebūs taisna līnija. Grafiski tas var iegūt vissarežģītākās konfigurācijas. Bet jebkuram no diagrammas punktiem mēs vienmēr varam uzzīmēt pieskares lineāro funkciju.

Lai precizētu nobīdes maiņas parametru atkarībā no laika, nepieciešams samazināt izmērītos segmentus. Kad tie kļūst bezgalīgi mazi, aprēķinātais ātrums būs momentāns. Šī pieredze palīdz mums definēt atvasinājumu. No šādas spriešanas loģiski izriet arī tā fiziskā nozīme.

Ģeometrijas ziņā

Ir zināms, ka ko lielāks ātrums Jo stāvāks ir nobīdes atkarības no laika grafiks un līdz ar to arī grafika pieskares slīpuma leņķis kādā noteiktā punktā. Šādu izmaiņu indikators var būt leņķa pieskare starp x asi un pieskares līniju. Tas ir tas, kurš nosaka atvasinājuma vērtību un tiek aprēķināts pēc pretējās un blakus esošās kājas garumu attiecības taisnleņķa trīsstūris, ko veido no kāda punkta uz x asi nomests perpendikuls.

Tas ir ģeometriskā nozīme pirmais atvasinājums. Fiziskais atklājas tajā, ka pretējās kājas vērtība mūsu gadījumā ir nobrauktais attālums, bet blakus esošās – laiks. To attiecība ir ātrums. Un atkal mēs nonākam pie secinājuma, ka momentānais ātrums, kas tiek noteikts, kad abas spraugas mēdz būt bezgalīgi mazas, ir būtība, kas norāda uz tā fizisko nozīmi. Otrais atvasinājums šajā piemērā būs ķermeņa paātrinājums, kas savukārt parāda ātruma izmaiņu pakāpi.

Atvasinājumu atrašanas piemēri fizikā

Atvasinājums ir jebkuras funkcijas izmaiņu ātruma rādītājs, pat ja mēs nerunājam par kustību vārda tiešā nozīmē. Lai to skaidri parādītu, ņemsim dažus konkrētus piemērus. Pieņemsim, ka strāvas stiprums atkarībā no laika mainās saskaņā ar šādu likumu: es= 0,4t2. Ir jāatrod šī parametra izmaiņu ātruma vērtība procesa 8. sekundes beigās. Ņemiet vērā, ka pati vēlamā vērtība, kā var spriest no vienādojuma, nepārtraukti palielinās.

Risinājumam ir jāatrod pirmais atvasinājums, kura fiziskā nozīme tika aplūkota iepriekš. Šeit dI/ dt = 0,8 t. Tālāk mēs to atrodam vietnē t=8 , mēs iegūstam, ka ātrums, ar kādu notiek strāvas stipruma izmaiņas, ir vienāds ar 6,4 A/ c. Šeit tiek uzskatīts, ka strāvas stiprumu mēra ampēros un laiku attiecīgi sekundēs.

Viss ir maināms

Redzams pasaule, kas sastāv no matērijas, pastāvīgi mainās, atrodoties kustībā, kas tajā plūst dažādi procesi. Lai tos aprakstītu, varat izmantot lielāko daļu dažādas iespējas. Ja tos vieno atkarība, tad tie ir matemātiski uzrakstīti kā funkcija, kas skaidri parāda to izmaiņas. Un tur, kur ir kustība (lai kādā formā to izpaustos), pastāv arī atvasinājums, kura fizisko nozīmi mēs šobrīd aplūkojam.

Šajā sakarā šāds piemērs. Pieņemsim, ka ķermeņa temperatūra mainās saskaņā ar likumu T=0,2 t 2 . Jums vajadzētu atrast tā sildīšanas ātrumu 10. sekundes beigās. Problēma tiek atrisināta līdzīgi kā aprakstīts iepriekšējā gadījumā. Tas ir, mēs atrodam atvasinājumu un aizstājam to ar vērtību t= 10 , saņemam T= 0,4 t= 4. Tas nozīmē, ka galīgā atbilde ir 4 grādi sekundē, tas ir, karsēšanas process un temperatūras izmaiņas, mērot grādos, notiek tieši šādā ātrumā.

Praktisku uzdevumu risinājums

Protams, reālajā dzīvē viss ir daudz sarežģītāk nekā teorētiskajās problēmās. Praksē lielumu vērtību parasti nosaka eksperimenta laikā. Šajā gadījumā tiek izmantoti instrumenti, kas mērījumu laikā sniedz rādījumus ar noteiktu kļūdu. Tāpēc aprēķinos ir jārisina aptuvenās parametru vērtības un jāizmanto neērtu skaitļu noapaļošana, kā arī citi vienkāršojumi. Ņemot to vērā, mēs atkal pievērsīsimies problēmām par atvasinājuma fizisko nozīmi, ņemot vērā, ka tie ir tikai sava veida matemātisks modelis vissarežģītākajiem dabā notiekošajiem procesiem.

Izvirdums

Iedomājieties, ka izvirda vulkāns. Cik bīstams viņš var būt? Lai atbildētu uz šo jautājumu, ir jāņem vērā daudzi faktori. Mēs centīsimies ņemt vērā vienu no tiem.

No "ugunīgā briesmoņa" mutes akmeņi tiek mesti vertikāli uz augšu, sākot ar sākotnējo ātrumu no brīža, kad tie iziet ārā, ir jāaprēķina, cik augstu tie var sasniegt.

Lai atrastu vēlamo vērtību, mēs sastādām vienādojumu augstuma H atkarībai no citiem lielumiem, mērot metros. Tie ietver sākotnējo ātrumu un laiku. Paātrinājuma vērtību uzskata par zināmu un aptuveni vienādu ar 10 m/s 2 .

Daļējs atvasinājums

Tagad aplūkosim funkcijas atvasinājuma fizisko nozīmi no nedaudz cita leņķa, jo vienādojumā var būt nevis viens, bet vairāki mainīgie. Piemēram, iepriekšējā uzdevumā no vulkāna ventilācijas atveres izmesto akmeņu augstuma atkarību noteica ne tikai laika raksturlielumu izmaiņas, bet arī vērtība. sākotnējais ātrums. Pēdējais tika uzskatīts par nemainīgu, fiksētu vērtību. Bet citos uzdevumos ar pavisam citiem nosacījumiem viss varētu būt savādāk. Ja ir vairāki lielumi, no kuriem atkarīga sarežģīta funkcija, aprēķini tiek veikti saskaņā ar tālāk norādītajām formulām.

Biežā atvasinājuma fiziskā nozīme jānosaka tāpat kā parastajā gadījumā. Tas ir ātrums, ar kādu funkcija mainās noteiktā punktā, palielinoties mainīgā parametram. To aprēķina tā, ka visas pārējās sastāvdaļas tiek ņemtas par konstantēm, tikai viena tiek uzskatīta par mainīgo. Tad viss notiek pēc parastajiem noteikumiem.

Izprotot atvasinājuma fizisko nozīmi, nav grūti minēt sarežģītu un sarežģītu problēmu risināšanas piemērus, uz kuriem atbildi var atrast ar šādām zināšanām. Ja mums ir funkcija, kas apraksta degvielas patēriņu atkarībā no automašīnas ātruma, mēs varam aprēķināt, pie kādiem pēdējā parametriem benzīna patēriņš būs vismazākais.

Medicīnā jūs varat paredzēt, kā tas reaģēs cilvēka ķermenis uz ārsta izrakstītajām zālēm. Zāļu lietošana ietekmē dažādus fizioloģiskos parametrus. Tie ietver izmaiņas asinsspiediens, pulss, ķermeņa temperatūra un daudz kas cits. Tie visi ir atkarīgi no lietotās devas. zāles. Šie aprēķini palīdz prognozēt ārstēšanas gaitu gan labvēlīgos izpausmēs, gan nevēlamos negadījumos, kas var letāli ietekmēt izmaiņas pacienta organismā.

Neapšaubāmi, ir svarīgi izprast atvasinājuma fizisko nozīmi tehniskos jautājumos, jo īpaši elektrotehnikā, elektronikā, projektēšanā un būvniecībā.

Bremzēšanas attālumi

Apskatīsim nākamo problēmu. Braucot nemainīgā ātrumā, automašīnai, tuvojoties tiltam, 10 sekundes pirms iebraukšanas nācās samazināt ātrumu, kā to pamanīja vadītājs ceļazīme, aizliedzot kustību ar ātrumu, kas lielāks par 36 km/h. Vai vadītājs pārkāpa noteikumus, ja bremzēšanas ceļu var aprakstīt ar formulu S = 26t - t 2 ?

Aprēķinot pirmo atvasinājumu, atrodam ātruma formulu, iegūstam v = 28 - 2t. Tālāk mēs aizstājam vērtību t=10 norādītajā izteiksmē.

Tā kā šī vērtība tika izteikta sekundēs, ātrums izrādās 8 m / s, kas nozīmē 28,8 km / h. Tas ļauj saprast, ka vadītājs sāka laicīgi samazināt ātrumu un nav pārkāpis ceļu satiksmes noteikumus un līdz ar to arī ātruma zīmē norādīto ierobežojumu.

Tas pierāda atvasinājuma fiziskās nozīmes nozīmi. Šīs problēmas risināšanas piemērs parāda šī jēdziena lietojuma plašumu dažādās dzīves jomās. Tai skaitā ikdienas situācijās.

Atvasinājums ekonomikā

Pirms 19. gadsimta ekonomisti galvenokārt nodarbojās ar vidējiem rādītājiem neatkarīgi no tā, vai tas bija darba ražīgums vai produkcijas cena. Bet no kāda brīža ierobežojošās vērtības kļuva vairāk nepieciešamas, lai šajā jomā veiktu efektīvas prognozes. Tie ietver robežlietderību, ienākumus vai izmaksas. To izpratne deva impulsu pilnīgi jauna rīka izveidei ekonomiskie pētījumi kas pastāv un attīstījās vairāk nekā simts gadus.

Lai veiktu šādus aprēķinus, kur dominē tādi jēdzieni kā minimums un maksimums, vienkārši ir jāsaprot atvasinājuma ģeometriskā un fiziskā nozīme. Starp radītājiem teorētiskā bāzeŠīs disciplīnas var saukt par tādiem ievērojamiem angļu un austriešu ekonomistiem kā W. S. Jevons, K. Menger u.c. Protams, robežvērtības ekonomiskajos aprēķinos ne vienmēr ir ērti lietojamas. Un, piemēram, ceturkšņa pārskati ne vienmēr iekļaujas esošo shēmu, bet tomēr šādas teorijas pielietošana daudzos gadījumos ir noderīga un efektīva.

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

• Radīt apstākļus studentiem jēgpilnai asimilācijai par atvasinājuma fizisko nozīmi.
• Veicināt atvasinājuma praktiskās izmantošanas prasmju un iemaņu veidošanos dažādu fizisko problēmu risināšanai.

Attīstās:

• Veicināt matemātiskā redzesloka attīstību, izziņas interesi skolēnu vidū, atklājot tēmas praktisko nepieciešamību un teorētisko nozīmi.
• Nodrošiniet apstākļus studentu garīgo prasmju uzlabošanai: salīdziniet, analizējiet, vispāriniet.

Izglītības:

• Veicināt interesi par matemātiku.

Nodarbības veids: Nodarbība jaunu zināšanu apguvē.

Darba formas: frontāls, individuāls, grupa.

Aprīkojums: Dators, interaktīvā tāfele, prezentācija, mācību grāmata.

Nodarbības struktūra:

1. Laika organizēšana nodarbības mērķa noteikšana
2. Jauna materiāla apgūšana
3. Jauna materiāla primārā fiksācija
4. Patstāvīgs darbs
5. Nodarbības kopsavilkums. Atspulgs.

Nodarbību laikā

es Organizatoriskais moments, nodarbības mērķa izvirzīšana (2 min.)

II. Jauna materiāla apgūšana (10 min.)

Skolotājs: Iepriekšējās nodarbībās iepazināmies ar atvasinājumu aprēķināšanas noteikumiem, mācījāmies atrast atvasinājumus no lineāras, pakāpes, trigonometriskās funkcijas. Mēs uzzinājām, kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Šodien nodarbībā uzzināsim, kur šis jēdziens tiek pielietots fizikā.

Šim nolūkam mēs atceramies atvasinājuma definīciju (2. slaids)

Tagad pievērsīsimies fizikas kursam (3. slaids)

Studenti apspriež un atceras fiziski jēdzieni un formulas.

Ļaujiet ķermenim kustēties saskaņā ar likumu S(t)=f(t) Aplūkosim ķermeņa noieto ceļu laikā no t 0 līdz t 0 + Δ t, kur Δt ir argumenta pieaugums. Brīdī t 0 ķermenis izgājis ceļu S(t 0), momentā t 0 +Δt - ceļu S(t 0 +Δt). Tāpēc ķermenis laikā Δt ir nogājis ceļu S(t 0 +Δt) –S(t 0), t.i. mēs saņēmām funkcijas pieaugumu. Ķermeņa vidējais ātrums šajā laika periodā υ==

Jo īsāks laika intervāls t, jo precīzāk varam noskaidrot, ar kādu ātrumu ķermenis kustas brīdī t. Ļaujot t → 0, mēs iegūstam momentāno ātrumu - skaitliskā vērtībaātrums šīs kustības brīdī t.

υ= , pie Δt → 0 ātrums ir attāluma atvasinājums attiecībā pret laiku.

4. slaids

Atcerieties paātrinājuma definīciju.

Izmantojot iepriekš minēto materiālu, varam secināt, ka pie t a(t)= υ’(t) paātrinājums ir ātruma atvasinājums.

Turklāt uz interaktīvās tāfeles parādās strāvas stipruma, leņķiskā ātruma, EML utt. formulas. Studenti aizpilda šo fizisko lielumu momentānās vērtības, izmantojot atvasinājuma jēdzienu. (Ar prombūtni interaktīvā tāfele izmantot prezentāciju)

5.-8. slaidi

Secinājumu izdara skolēni.

Secinājums:(9. slaids) Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums. (Ceļa funkcijas, koordinātas, ātrums, magnētiskā plūsma utt.)

υ (x) \u003d f '(x)

Skolotājs: Mēs redzam, ka attiecības starp kvantitatīvās īpašības plašu fizikas pētīto procesu klāstu, tehniskās zinātnes, ķīmija, ir analoga ceļa un ātruma attiecībai. Var dot daudz uzdevumu, kuru risināšanai nepieciešams arī atrast noteiktas funkcijas izmaiņu ātrumu, piemēram: atrast šķīduma koncentrāciju noteiktā brīdī, atrast šķidruma plūsmas ātrumu, ķermeņa rotācijas leņķiskais ātrums, lineārais blīvums punktā utt. Tagad mēs atrisināsim dažas no šīm problēmām.

III. Iegūto zināšanu nostiprināšana (darbs grupās) (15 min.)

Ar sekojošu analīzi pie tāfeles

Pirms uzdevumu risināšanas noskaidro fizikālo lielumu mērvienības.

Ātrums - [m/s]
Paātrinājums — [m/s 2]
Spēks — [N]
Enerģija — [J]

1. uzdevuma grupa

Punkts pārvietojas saskaņā ar likumu s(t)=2t³-3t (s ir attālums metros, t ir laiks sekundēs). Aprēķināt punkta ātrumu, tā paātrinājumu laikā 2s

2. uzdevuma grupa

Spararats griežas ap asi saskaņā ar likumu φ(t)= t 4 -5t. Atrodiet tā leņķisko ātrumu ω laikā 2s (φ ir griešanās leņķis radiānos, ω ir leņķiskais ātrums rad/s)

3. uzdevuma grupa

Ķermenis ar masu 2 kg kustas taisnā līnijā saskaņā ar likumu x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Atrast ķermeņa ātrumu un tā kinētiskā enerģija 3 s pēc kustības sākuma. Kāds spēks iedarbojas uz ķermeni šajā laika momentā? (t mēra sekundēs, x ir metros)

4. uzdevums

Dot Commits svārstīgas kustības saskaņā ar likumu x(t)=2sin3t. Pierādīt, ka paātrinājums ir proporcionāls x-koordinātai.

IV. Patstāvīgs uzdevumu Nr.272, 274, 275, 277 risinājums

[A.N.Kolmogorovs, A.M.Abramovs u.c. "Algebra un analīzes sākums 10.-11.klasei"] 12 min

Ņemot vērā:	Lēmums:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Atbilde: t=6c; υ(6)= 18m/s

Funkcijas f (x) atvasinājums punktā x0 ir robeža (ja tāda pastāv) funkcijas pieauguma attiecībai punktā x0 pret argumenta Δx pieaugumu, ja argumenta pieaugumam ir tendence nulle, un to apzīmē ar f '(x0). Funkcijas atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Funkcijas atvasinājumam ir šāda fiziskā nozīme: funkcijas atvasinājums in dots punkts- funkcijas izmaiņu ātrums noteiktā punktā.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Atvasinājums punktā x0 ir vienāds ar funkcijas y=f(x) grafika pieskares slīpumu šajā punktā.

Atvasinājuma fiziskā nozīme. Ja punkts pārvietojas pa x asi un tā koordināte mainās atbilstoši x(t) likumam, tad punkta momentānais ātrums:

Diferenciāļa jēdziens, tā īpašības. Diferencēšanas noteikumi. Piemēri.

Definīcija. Funkcijas diferenciālis kādā punktā x ir galvenā, lineārā funkcijas pieauguma daļa.Funkcijas diferenciālis y = f(x) ir vienāds ar tās atvasinājuma un neatkarīgā mainīgā x ( inkrementa) reizinājumu. arguments).

Tas ir rakstīts šādi:

vai

Or


Diferenciālās īpašības
Diferenciāļa īpašības ir līdzīgas atvasinājuma īpašībām:





Uz diferenciācijas pamatnoteikumi ietver:
1) konstantā koeficienta izņemšana no atvasinājuma zīmes
2) summas atvasinājums, starpības atvasinājums
3) funkciju reizinājuma atvasinājums
4) divu funkciju koeficienta atvasinājums (daļdaļas atvasinājums)

Piemēri.
Pierādīsim formulu: Pēc atvasinājuma definīcijas mums ir:

No robežas pārejas zīmes var izņemt patvaļīgu faktoru (tas ir zināms no robežas īpašībām), tāpēc

Piemēram: Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Lēmums: Mēs izmantojam noteikumu par reizinātāja izņemšanu no atvasinājuma zīmes :

Diezgan bieži vispirms ir jāvienkāršo diferencējamās funkcijas forma, lai izmantotu atvasinājumu tabulu un atvasinājumu atrašanas noteikumus. Sekojošie piemēri to skaidri apstiprina.

Diferenciācijas formulas. Diferenciāļa pielietojums aptuvenos aprēķinos. Piemēri.

Diferenciāļa izmantošana aptuvenos aprēķinos ļauj izmantot diferenciāli aptuveniem funkciju vērtību aprēķiniem.
Piemēri.
Izmantojot diferenciāli, aprēķiniet aptuveni
Lai aprēķinātu dotā vērtība pielietot formulu no teorijas
Ieviesīsim funkciju un attēlosim doto vērtību formā
pēc tam Aprēķināt

Aizvietojot visu formulā, mēs beidzot iegūstam
Atbilde:

16. L'Hopital noteikums par nenoteiktību izpaušanu formā 0/0 vai ∞/∞. Piemēri.
Divu bezgalīgi mazu vai divu bezgalīgi lielu daudzumu attiecības robeža ir vienāda ar to atvasinājumu attiecības robežu.

1)

17. Funkciju palielināšana un samazināšanās. funkcijas galējība. Algoritms monotonitātes un ekstrēma funkcijas izpētei. Piemēri.

Funkcija palielinās intervālā, ja jebkuriem diviem šī intervāla punktiem, saistītās attiecības, nevienlīdzība ir patiesa. T.i., lielāka vērtība arguments atbilst lielākai funkcijas vērtībai, un tā grafiks iet “no apakšas uz augšu”. Demonstrācijas funkcija laika gaitā pieaug

Tāpat arī funkcija samazinās par intervālu, ja par jebkuriem diviem dotā intervāla punktiem tā, ka , Nevienlīdzība ir patiesa. Tas nozīmē, ka lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai, un tās grafiks iet “no augšas uz leju”. Mūsu samazinās ar intervāliem, samazinās ar intervāliem .

Ekstrēmi Punktu sauc par funkcijas y=f(x) maksimālo punktu, ja nevienādība ir patiesa visiem x no tās apkārtnes. Tiek izsaukta funkcijas vērtība maksimālajā punktā funkcijas maksimums un apzīmē .
Punktu sauc par funkcijas y=f(x) minimālo punktu, ja nevienādība ir patiesa visiem x no tās apkārtnes. Tiek izsaukta funkcijas vērtība minimālajā punktā funkcijas minimums un apzīmē .
Punkta apkārtne tiek saprasta kā intervāls , kur ir pietiekami mazs pozitīvs skaitlis.
Minimālos un maksimālos punktus sauc par ekstremālajiem punktiem, un funkciju vērtības, kas atbilst galējībām, sauc par funkciju ekstremitāte.

Lai izpētītu funkciju par vienmuļību izmantojiet šādu diagrammu:
- Atrodiet funkcijas apjomu;
- Atrast funkcijas atvasinājumu un atvasinājuma domēnu;
- Atrodiet atvasinājuma nulles, t.i. argumenta vērtība, pie kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli;
- Atzīmējiet uz skaitļu līnijas vispārējā daļa funkcijas domēns un tās atvasinājuma domēns, un uz tā - atvasinājuma nulles;
- Noteikt atvasinājuma zīmes katrā no iegūtajiem intervāliem;
- Pēc atvasinājuma zīmēm noteikt, kādos intervālos funkcija palielinās un kādos samazinās;
- Ierakstiet atbilstošās atstarpes, atdalot tās ar semikolu.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas y = f(x) izpētei monotonitātei un ekstrēmumam:
1) Atrodiet atvasinājumu f ′(x).
2) Atrodiet funkcijas y = f(x) stacionāros (f ′(x) = 0) un kritiskos (f ′(x) neeksistē) punktus.
3) Atzīmējiet stacionāros un kritiskos punktus uz skaitļu līnijas un nosakiet atvasinājuma zīmes uz iegūtajiem intervāliem.
4) Izdarīt secinājumus par funkcijas monotonitāti un tās galējībām.

18.Funkcijas izliekums. Līkuma punkti. Funkcijas izliekuma (ieliekuma) pārbaudes algoritms Piemēri.

izliekts uz leju uz X intervāla, ja tā grafiks atrodas ne zemāk par tā tangensu jebkurā X intervāla punktā.

Diferencējamo funkciju sauc izliekts uz augšu uz X intervāla, ja tā grafiks neatrodas augstāk par tā tangensu jebkurā X intervāla punktā.

Punktu formulu sauc grafika lēciena punkts funkcija y \u003d f (x), ja dotajā punktā funkcijas grafikam ir pieskare (tā var būt paralēla Oy asij) un ir tāda punkta formulas apkārtne, kurā grafiks funkcijai ir dažādi izliekuma virzieni pa kreisi un pa labi no punkta M.

Izliekuma intervālu atrašana:

Ja funkcijai y=f(x) ir ierobežots otrais atvasinājums intervālā X un ja nevienādība (), tad funkcijas grafikam ir izliekums, kas vērsts uz leju (uz augšu) uz X.
Šī teorēma ļauj atrast funkcijas ieliekuma un izliekuma intervālus, jums tikai jāatrisina nevienādības un attiecīgi sākotnējās funkcijas definīcijas jomā.

Piemērs: noskaidrojiet intervālus, kuros funkcijas grafiksNoskaidro intervālus, kuros funkcijas grafiks ir izliekums, kas vērsts uz augšu, un izliekums, kas vērsts uz leju. ir izliekums, kas vērsts uz augšu, un izliekums, kas vērsts uz leju.
Lēmums:Šīs funkcijas domēns ir visa reālo skaitļu kopa.
Atradīsim otro atvasinājumu.

Otrā atvasinājuma definīcijas apgabals sakrīt ar sākotnējās funkcijas definīcijas apgabalu, tāpēc, lai noskaidrotu ieliekuma un izliekuma intervālus, pietiek atrisināt un attiecīgi. Tāpēc funkcija ir uz leju izliekta intervāla formulā un uz augšu izliekta intervāla formulā.

19) Funkcijas asimptotes. Piemēri.

Tiešais zvans vertikālā asimptote funkcijas grafiks, ja vismaz viena no robežvērtībām vai ir vienāda ar vai .

komentēt. Līnija nevar būt vertikāla asimptote, ja funkcija ir nepārtraukta pie . Tāpēc funkcijas pārtraukuma punktos jāmeklē vertikālās asimptotes.

Tiešais zvans horizontālā asimptote funkcijas grafiks, ja vismaz viena no robežvērtībām vai ir vienāda ar .

komentēt. Funkcijas grafikam var būt tikai labā horizontālā asimptote vai tikai kreisā.

Tiešais zvans slīps asimptote funkcijas if grafiks

PIEMĒRS:

Exercise. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Lēmums. Funkciju darbības joma:

a) vertikālās asimptotes: taisna līnija ir vertikāla asimptote, jo

b) horizontālās asimptotes: funkcijas robežu atrodam bezgalībā:

tas ir, nav horizontālu asimptotu.

c) slīpi asimptoti:

Tādējādi slīpais asimptots ir: .

Atbilde. Vertikālā asimptote ir taisna līnija.

Slīpa asimptote ir taisna līnija.

20) Vispārējā shēma funkciju izpēte un grafiks. Piemērs.

a.
Atrodiet funkcijas ODZ un pārtraukuma punktus.

b. Atrodiet funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

2. Veikt funkcijas izpēti, izmantojot pirmo atvasinājumu, tas ir, atrast funkcijas galējos punktus un pieauguma un samazināšanās intervālus.

3. Izpētīt funkciju, izmantojot otrās kārtas atvasinājumu, tas ir, atrast funkcijas grafa lēciena punktus un tās izliekuma un ieliekuma intervālus.

4. Atrodiet funkcijas grafa asimptotus: a) vertikāli, b) slīpi.

5. Pamatojoties uz pētījumu, izveidojiet funkcijas grafiku.

Ņemiet vērā, ka pirms zīmēšanas ir lietderīgi noteikt, vai dotā funkcija ir pāra vai nepāra.

Atcerieties, ka funkcija tiek izsaukta pat tad, ja, mainoties argumenta zīmei, funkcijas vērtība nemainās: f(-x) = f(x) un funkciju sauc par nepāra, ja f(-x) = -f(x).

Šajā gadījumā pietiek izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku pozitīvas vērtības arguments, kas pieder ODZ. Plkst negatīvas vērtības argumentu, grafiks tiek pabeigts, pamatojoties uz to, ka pāra funkcijai tas ir simetrisks pret asi Oy, un nepāra attiecībā uz izcelsmi.

Piemēri. Izpētiet funkcijas un veidojiet to grafikus.

Funkciju darbības joma D(y)= (–∞; +∞). Breika punktu nav.

Asu krustpunkts Vērsis: x = 0,y= 0.

Funkcija ir nepāra, tāpēc to var pētīt tikai intervālā , un tās arguments ir [x] vienībās, tad atvasinājumu (ātrumu) mēra vienībās.

6. uzdevums

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, kur x t t= 9s.

Atvasinājuma atrašana
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Tādējādi esam ieguvuši ātruma atkarību no laika. Lai atrastu ātrumu noteiktā laika brīdī, tā vērtība ir jāaizstāj iegūtajā formulā:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Atbilde: 60

komentēt: Pārliecināsimies, ka neesam kļūdījušies ar daudzumu izmēriem. Šeit attāluma mērvienība (funkcija) [x] = metrs, laika vienība (funkcijas arguments) [t] = sekunde, tātad atvasinājuma vienība = [m/s], t.i. atvasinājums dod ātrumu tieši tajās vienībās, kuras ir minētas problēmas jautājumā.

7. uzdevums

Materiālais punkts saskaņā ar likumu pārvietojas pa taisnu līniju x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, kur x- attālums no atskaites punkta metros, t- laiks sekundēs, mērot no kustības sākuma. Atrodiet tā ātrumu (metros sekundē) attiecīgajā brīdī t= 3s.

Atvasinājuma atrašana
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Iegūtajā formulā aizvietojam doto laika momentu
x"(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

Atbilde: 59

8. uzdevums

Materiālais punkts saskaņā ar likumu pārvietojas pa taisnu līniju x(t) = t 2 − 13t+ 23, kur x- attālums no atskaites punkta metros, t- laiks sekundēs, mērot no kustības sākuma. Kurā brīdī (sekundēs) viņas ātrums bija vienāds ar 3 m/s?

Atvasinājuma atrašana
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Ar iegūto formulu doto ātrumu pielīdzinām vērtībai 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs nosakām, kurā brīdī vienādība ir patiesa.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Atbilde: 8

9. uzdevums

Materiālais punkts saskaņā ar likumu pārvietojas pa taisnu līniju x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, kur x- attālums no atskaites punkta metros, t- laiks sekundēs, mērot no kustības sākuma. Kurā brīdī (sekundēs) viņas ātrums bija vienāds ar 2 m/s?

Atvasinājuma atrašana
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Mēs arī izveidojam vienādojumu:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Šis ir kvadrātvienādojums, ko var atrisināt, izmantojot diskriminantu vai Vietas teorēmu. Šeit, manuprāt, otrs veids ir vieglāks:
t 1 + t 2 = 6; t viens · t 2 = −7.
To ir viegli uzminēt t 1 = −1; t 2 = 7.
Atbildē ieliekam tikai pozitīvo sakni, jo laiks nevar būt negatīvs.

Apsveriet patvaļīgu taisni, kas iet caur funkcijas grafika punktu - punktu A (x 0, f (x 0)) un krustojot grafiku kādā punktā B(x; f(x )). Šādu taisnu līniju (AB) sauc par sekantu. No ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x; BC \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Kopš AC || Vērsis , tad Р ALO = Р BAC = β (atbilstoši paralēlei). BetÐ ALO ir sekanta AB slīpuma leņķis pret Ox ass pozitīvo virzienu. nozīmē, tgβ = k - slīpums tiešā AB.

Tagad mēs samazināsim ∆x, t.i. ∆x→ 0. Šajā gadījumā punkts B tuvosies punktam A saskaņā ar grafiku, un griezējs AB rotēs. Sekanta AB ierobežojošā pozīcija pie ∆х→ 0 būs taisna līnija ( a ), ko sauc par funkcijas y = grafika tangensu f(x) punktā A.

Ja vienādībā pārejam uz robežu kā ∆х → 0 tg β =∆ y /∆ x , tad iegūstam

vai tg a \u003d f "(x 0), kopš
a - Ox ass pozitīvā virziena pieskares slīpuma leņķis

, pēc atvasinājuma definīcijas. Bet tg a = k ir pieskares slīpums, tātad k = tg a \u003d f "(x 0).

Tātad atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir šāda:

Funkcijas atvasinājums punktā x 0 ir vienāds ar slīpumu pieskares funkcijas grafikam, kas novilkta punktā ar abscisu x 0 .

Atvasinājuma fiziskā nozīme.

Apsveriet punkta kustību pa taisnu līniju. Ļaujiet norādīt punkta koordinātas jebkurā laika brīdī x(t ). Ir zināms (no fizikas kursa), ka Vidējais ātrums uz noteiktu laiku [ t0; t0 + ∆t ] ir vienāds ar šajā laika periodā nobrauktā attāluma attiecību pret laiku, t.i.

Vav = ∆x /∆t . Pārejam līdz robežai pēdējā vienādībā kā ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - momentānais ātrums laikā t 0, ∆t → 0.

un lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (pēc atvasinājuma definīcijas).

Tātad, n(t) = x "(t).

Atvasinājuma fiziskā nozīme ir šāda: funkcijas atvasinājums y = f( x) punktāx 0 ir funkcijas izmaiņu ātrums f(x) punktāx 0

Atvasinājumu izmanto fizikā, lai atrastu ātrumu no zināmas koordinātu funkcijas laikā, paātrinājumu no zināmas ātruma funkcijas laikā.

u (t) \u003d x "(t) - ātrums,

a(f) = n "(t ) - paātrinājums vai

a (t) \u003d x "(t).

Ja ir zināms materiāla punkta kustības likums pa apli, tad ir iespējams atrast leņķisko ātrumu un leņķisko paātrinājumu rotācijas kustības laikā:

φ = φ (t ) - leņķa maiņa no laika,

ω = φ "(t ) - leņķiskais ātrums,

ε = φ "(t ) - leņķiskais paātrinājums vaiε \u003d φ "(t).

Ja ir zināms nehomogēna stieņa masas sadalījuma likums, tad var atrast nehomogēna stieņa lineāro blīvumu:

m \u003d m (x) - masa,

x н , l - stieņa garums,

p = m "(x) - lineārais blīvums.

Ar atvasinājuma palīdzību tiek risināti uzdevumi no elastības un harmonisko vibrāciju teorijas. Jā, saskaņā ar Huka likumu

F = - kx , x - mainīgas koordinātas, k - atsperes elastības koeficients. Liekotω 2 = k/m , saņemam diferenciālvienādojums atsperes svārsts x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

kur ω = √k /√m svārstību frekvence ( l/c ), k - atsperes stīvums ( H/m).

Formas y vienādojums" +ω 2 g = 0 sauc par harmonisko svārstību vienādojumu (mehānisko, elektrisko, elektromagnētisko). Šādu vienādojumu risinājums ir funkcija

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) vai y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), kur

A ir svārstību amplitūda,ω - cikliskā frekvence,

φ 0 - sākuma fāze.