Ո՞ր եռամսյակներում է կոտանգենսը դրական: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները՝ հավասարություն, տարօրինակություն, պարբերականություն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների նշաններն ըստ եռամսյակների
Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա անկյունների հաշվում:
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)
Գրեթե նույնն է, ինչ նախորդ դասում։ Կան կացիններ, շրջան, անկյուն, ամեն ինչ կզակ-չինա։ Քառորդների ավելացված թվեր (մեծ քառակուսի անկյուններում) - առաջինից չորրորդ: Եվ հետո հանկարծ ով չգիտի: Ինչպես տեսնում եք, քառորդներ (դրանք նաև կոչվում են գեղեցիկ բառ«քառորդներ») համարակալված են շարժման դեմ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ. Ավելացված անկյունների արժեքներ առանցքների վրա: Ամեն ինչ պարզ է, ոչ մի խորամանկություն:
Եվ ավելացրեց կանաչ սլաք: Պլյուսով. Ի՞նչ նկատի ունի նա: Հիշեցնեմ, որ անկյունի ֆիքսված կողմը միշտ գամված OH դրական առանցքի վրա: Այսպիսով, եթե մենք ոլորում ենք անկյունի շարժվող կողմը գումարած սլաք, այսինքն. աճող եռամսյակների թվերով, անկյունը դրական կհամարվի:Օրինակ, նկարում պատկերված է +60° դրական անկյուն:
Եթե հետաձգենք անկյունները մեջ հակառակ կողմը, ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, անկյունը կհամարվի բացասական:Սավառնեք նկարի վրա (կամ հպեք պլանշետի նկարին), կտեսնեք կապույտ սլաք՝ մինուսով: Սա անկյունների բացասական ընթերցման ուղղությունն է։ Որպես օրինակ ներկայացված է բացասական անկյուն (-60°): Եվ դուք նույնպես կտեսնեք, թե ինչպես են փոխվել առանցքների թվերը ... Ես դրանք նույնպես թարգմանել եմ բացասական անկյուններով: Քառորդների համարակալումը չի փոխվում։
Այստեղ սովորաբար սկսվում են առաջին թյուրիմացությունները։ Ինչու այդպես!? Իսկ եթե շրջանագծի վրա բացասական անկյունը համընկնում է դրականի հետ։ Իսկ ընդհանրապես, ստացվում է, որ շարժական կողմի նույն դիրքը (կամ թվի շրջանագծի կետը) կարելի է անվանել և՛ բացասական, և՛ դրական անկյուն։
Այո՛։ Հենց ճիշտ. Ենթադրենք, 90 աստիճանի դրական անկյունը վերցնում է շրջան հենց նույնը դիրքը որպես մինուս 270 աստիճանի բացասական անկյուն: Դրական անկյունը, օրինակ, +110 ° աստիճան է հենց նույնը դիրքը, քանի որ բացասական անկյունը -250° է:
Ոչ մի խնդիր. Ամեն ինչ ճիշտ է։) Անկյունի դրական կամ բացասական հաշվարկի ընտրությունը կախված է հանձնարարության պայմանից։ Եթե պայմանը ոչինչ չի ասում պարզ տեքստ անկյան նշանի մասին (ինչպես «որոշել ամենափոքրը դրականանկյուն» և այլն), այնուհետև մենք աշխատում ենք մեզ հարմար արժեքներով։
Բացառություն (և ինչպե՞ս առանց դրանց ?!) եռանկյունաչափական անհավասարություններն են, բայց այնտեղ մենք կյուրացնենք այս հնարքը։
Եվ հիմա մի հարց ձեզ համար. Ինչպե՞ս կարող եմ իմանալ, որ 110° անկյան դիրքը նույնն է, ինչ -250° անկյան դիրքը:
Ակնարկեմ, որ դա պայմանավորված է ամբողջական շրջանառությամբ։ 360°-ում... Պարզ չէ՞: Այնուհետև գծում ենք շրջան։ Նկարում ենք թղթի վրա։ Անկյունի նշում մասին 110°։ Եվ հավատալորքան է մնում մինչև ամբողջական շրջադարձը: Մնաց 250°...
Հասկացա? Եվ հիմա - ուշադրություն: Եթե 110° և -250° անկյունները զբաղեցնում են շրջանագիծը նույնը
պաշտոն, հետո ի՞նչ։ Այո, այն փաստը, որ անկյունները 110 ° են և -250 ° հենց նույնը
սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս:
Նրանք. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) և այլն: Հիմա սա իսկապես կարևոր է: Եվ ինքնին - կան բազմաթիվ առաջադրանքներ, որտեղ անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները, և որպես հիմք հետագա կրճատման բանաձևերի և եռանկյունաչափության այլ բարդությունների մշակման համար:
Իհարկե, ես պատահականորեն վերցրեցի 110 ° և -250 °, զուտ օրինակ: Այս բոլոր հավասարությունները գործում են շրջանագծի վրա նույն դիրքը զբաղեցնող ցանկացած անկյունի համար: 60° և -300°, -75° և 285° և այլն: Անմիջապես նշում եմ, որ այս զույգերի անկյունները. բազմազան.Բայց նրանք ունեն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. նույնը.
Կարծում եմ՝ հասկանում ես, թե որոնք են բացասական անկյունները։ Դա բավականին պարզ է. Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ դրական հաշվարկ է: Ճանապարհին դա բացասական է: Դիտարկենք անկյունը դրական կամ բացասական կախված է մեզանից. Մեր ցանկությունից. Դե, և ավելին առաջադրանքից, իհարկե... Հուսով եմ, դուք հասկանում եք, թե ինչպես կարելի է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում շարժվել բացասականից դեպի դրական անկյուններ և հակառակը: Գծե՛ք շրջան, մոտավոր անկյուն և տեսե՛ք, թե որքան է պակասում մինչև լրիվ շրջադարձը, այսինքն. մինչև 360 °:
360°-ից մեծ անկյուններ:
Եկեք զբաղվենք 360 °-ից մեծ անկյուններով: Իսկ նման բաներ պատահո՞ւմ են։ Կան, իհարկե։ Ինչպե՞ս դրանք նկարել շրջանագծի վրա: Խնդիր չկա! Ենթադրենք, մենք պետք է հասկանանք, թե որ քառորդում է ընկնելու 1000 ° անկյունը: Հեշտությամբ! Մենք մեկ ամբողջական պտույտ ենք կատարում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (անկյունը մեզ տրվել է դրական): Հետ ոլորել 360°: Դե, եկեք առաջ շարժվենք: Եվս մեկ շրջադարձ - այն արդեն 720 ° է: Որքա՞ն է մնացել։ 280°։ Ամբողջական շրջադարձի համար դա բավարար չէ ... Բայց անկյունը ավելի քան 270 ° է, և սա երրորդ և չորրորդ եռամսյակի սահմանն է: Այսպիսով, մեր 1000° անկյունը ընկնում է չորրորդ քառորդի մեջ: Ամեն ինչ.
Ինչպես տեսնում եք, դա բավականին պարզ է. Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ 1000°-ի և 280°-ի անկյունը, որը մենք ստացել ենք՝ հրաժարվելով «լրացուցիչ» լրիվ պտույտներից, խիստ ասած. բազմազանանկյունները. Բայց այս անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հենց նույնը! Նրանք. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° և այլն: Եթե ես սինուս լինեի, այս երկու անկյունների տարբերությունը չէի նկատի...
Ինչո՞ւ է այս ամենը անհրաժեշտ։ Ինչու՞ պետք է անկյունները թարգմանել մեկից մյուսը: Այո, բոլորը նույնն են:) Արտահայտությունները պարզեցնելու համար: Արտահայտությունների պարզեցումը, ըստ էության, դպրոցական մաթեմատիկայի հիմնական խնդիրն է։ Դե, ճանապարհին գլուխը մարզվում է։)
Դե, պարապե՞նք:)
Մենք պատասխանում ենք հարցերին. Սկզբում պարզ.
1. Ո՞ր քառորդում է ընկնում -325° անկյունը։
2. Ո՞ր քառորդում է ընկնում 3000° անկյունը:
3. Ո՞ր քառորդում է ընկնում -3000° անկյունը:
Խնդիր կա? Կամ անապահովություն. Մենք գնում ենք 555 բաժին, Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով: Այնտեղ, հենց այս դասի առաջին դասին գործնական աշխատանք...» ամեն ինչ մանրամասնված է ... Մեջ այդպիսինանորոշության հարցեր չպետք է!
4. Ո՞րն է մեղքի նշանը555°.
5. Ո՞րն է tg555° նշանը:
Որոշվա՞ծ է Գերազանց! Կասկածե՞ր։ Անհրաժեշտ է 555... Ի դեպ, այնտեղ դուք կսովորեք, թե ինչպես գծել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափ շրջանագծի վրա: Շատ օգտակար բան.
Իսկ հիմա ավելի խելացի հարցերը։
6. sin777° արտահայտությունը հասցրե՛ք ամենափոքր դրական անկյան սինուսին:
7. cos777° արտահայտությունը բերեք ամենամեծ բացասական անկյան կոսինուսին:
8. cos(-777°) արտահայտությունը փոխարկե՛ք ամենափոքր դրական անկյան կոսինուսին:
9. sin777° արտահայտությունը բերեք ամենամեծ բացասական անկյան սինուսին:
Ի՞նչ, 6-9-րդ հարցերը տարակուսած են: Ընտելացիր, քննության վրա տենց ձեւակերպումներ չկան... Թող լինի, ես կթարգմանեմ։ Միայն քեզ համար!
«Նվազեցնել արտահայտությունը մինչև ...» բառերը նշանակում են փոխակերպել արտահայտությունն այնպես, որ դրա արժեքը չի փոխվելա տեսքըփոփոխվել է առաջադրանքին համապատասխան. Այսպիսով, 6-րդ և 9-րդ առաջադրանքներում մենք պետք է ստանանք սինուս, որի ներսում գտնվում է ամենափոքր դրական անկյունը.Մնացած ամեն ինչ նշանակություն չունի։
Պատասխանները կտամ հերթականությամբ (մեր կանոնների խախտմամբ): Բայց ինչ անել, կա ընդամենը երկու նշան, և միայն չորս քառորդ ... Դուք չեք ցրվի տարբերակների մեջ:
6. մեղք57°.
7.cos(-57°):
8.cos57°.
9.-sin (-57°)
Ենթադրում եմ, որ 6-9-րդ հարցերի պատասխանները որոշ մարդկանց շփոթեցրել են։ Հատկապես - մեղք (-57°), չէ՞) Իրոք, անկյունները հաշվելու տարրական կանոններում սխալների տեղ կա... Այդ իսկ պատճառով ես ստիպված էի դաս անել՝ «Ինչպե՞ս որոշել ֆունկցիաների նշանները և անկյուններ տալ եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Բաժին 555. 4-9 առաջադրանքները դասավորված են: Լավ դասավորված, բոլոր թակարդներով: Եվ նրանք այստեղ են:)
Հաջորդ դասին մենք կզբաղվենք առեղծվածային ռադիաններով և «Փի» թվով։ Իմացեք, թե ինչպես հեշտությամբ և ճիշտ փոխարկել աստիճանները ռադիանի և հակառակը: Եվ մենք կզարմանանք, երբ հայտնաբերենք, որ այս տարրական տեղեկատվությունը կայքում արդեն բավական է լուծել որոշ ոչ ստանդարտ եռանկյունաչափական գլուխկոտրուկներ:
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)
կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Դասի տեսակը:գիտելիքների համակարգում և միջանկյալ հսկողություն:
Սարքավորումներ: եռանկյունաչափական շրջան, թեստեր, առաջադրանքներով քարտեր։
Դասի նպատակները.համակարգել ուսումնասիրվածը տեսական նյութըստ սինուսի, կոսինուսի, անկյան շոշափողի սահմանումների. ստուգել այս թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների յուրացման աստիճանը և գործնականում կիրառելը:
Առաջադրանքներ.
- Ընդհանրացնել և համախմբել անկյան սինուս, կոսինուս և շոշափող հասկացությունները:
- Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բարդ պատկերացում կազմելու համար:
- Նպաստել ուսանողների մոտ եռանկյունաչափական նյութ ուսումնասիրելու ցանկության և անհրաժեշտության զարգացմանը. զարգացնել հաղորդակցության մշակույթը, խմբով աշխատելու կարողությունը և ինքնակրթության անհրաժեշտությունը:
«Ով անում և մտածում է իր երիտասարդությունից, նա
հետո դառնում է ավելի հուսալի, ավելի ուժեղ, խելացի:
(Վ. Շուկշին)
ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ
I. Կազմակերպչական պահ
Դասարանը ներկայացված է երեք խմբերով. Յուրաքանչյուր խումբ ունի խորհրդատու:
Ուսուցիչը զեկուցում է դասի թեմայի, նպատակների և խնդիրների մասին:
II. Գիտելիքների ակտուալացում (ճակատային աշխատանք դասարանի հետ)
1) Աշխատեք խմբերով առաջադրանքների վրա.
1. Ձևակերպե՛ք մեղքի անկյունի սահմանումը:
– Ի՞նչ նշաններ ունի sin α-ն յուրաքանչյուր կոորդինատային քառորդում:
-Ի՞նչ արժեքներով է իմաստ ունի sin α արտահայտությունը, և ի՞նչ արժեքներ կարող է ունենալ այն:
2. Երկրորդ խումբը նույն հարցերն են cos α-ի համար:
3. Երրորդ խումբը պատասխաններ է պատրաստում նույն tg α և ctg α հարցերի վերաբերյալ:
Այս պահին երեք աշակերտ ինքնուրույն աշխատում են գրատախտակի մոտ բացիկների վրա (տարբեր խմբերի ներկայացուցիչներ):
Քարտ թիվ 1.
Գործնական աշխատանք.
Օգտագործելով միավորի շրջանակը, հաշվարկեք sin α, cos α և tg α արժեքները 50, 210 և -210 անկյան համար:
Քարտ թիվ 2.
Որոշի՛ր արտահայտության նշանը՝ tg 275; co 370; մեղք 790; tg 4.1 և մեղք 2.
Քարտ թիվ 3.
1) Հաշվել.
2) Համեմատեք՝ cos 60 և cos 2 30 - sin 2 30
2) բանավոր.
ա) Առաջարկվում են մի շարք թվեր՝ 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Նրանցից ոմանք ավելորդ են։ Ո՞ր հատկությունն է sin α կամ cos α-ն կարող է արտահայտել այս թվերը (Կարո՞ղ է sin α-ն կամ cos α-ն վերցնել այս արժեքները):
բ) Արդյո՞ք արտահայտությունը իմաստ ունի. cos (-); մեղք2; tg3:ctg (-5); ; ctg0;
ctg (-π). Ինչո՞ւ։
գ) Կա՞ նվազագույնը և ամենաբարձր արժեքըմեղք կամ cos, tg, ctg.
դ) Ճի՞շտ է:
1) α = 1000 II քառորդի անկյունն է;
2) α \u003d - 330-ը IV քառորդի անկյունն է:
ե) Թվերը համապատասխանում են միավոր շրջանագծի նույն կետին:
3) Գրատախտակի աշխատանք
#567 (2; 4) - Գտեք արտահայտության արժեքը
#583 (1-3) Որոշի՛ր արտահայտության նշանը
Տնային աշխատանք:սեղան նոթատետրում: Թիվ 567(1, 3) թիվ 578
III. Լրացուցիչ գիտելիքների ձեռքբերում. Եռանկյունաչափությունը ձեռքի ափի մեջ
Ուսուցիչ:Պարզվում է, որ անկյունների սինուսների և կոսինուսների արժեքները «կան» են ձեր ափի մեջ: Մեկնեք ձեր ձեռքը (ցանկացած) և հնարավորինս տարածեք ձեր մատները (ինչպես պաստառի վրա): Հրավիրված է մեկ ուսանող։ Մենք չափում ենք մեր մատների միջև եղած անկյունները։
Վերցվում է եռանկյուն, որտեղ կա 30, 45 և 60 90 անկյուն, և անկյան գագաթը կիրառում ենք մեր ձեռքի ափի մեջ գտնվող Լուսնի բլրի վրա: Լուսնի լեռը գտնվում է փոքր մատի ընդարձակման խաչմերուկում և բութ մատը. Մի կողմը միացնում ենք փոքրիկ մատով, իսկ մյուս կողմը՝ մյուս մատներից մեկով։
Ստացվում է, որ փոքր մատի և բթամատի միջև անկյունը 90 է, փոքր մատի և մատնեմատի միջև՝ 30, փոքր մատի և միջնամատի միջև՝ 45, փոքր մատի և ցուցամատի միջև՝ 60։ սա բոլոր մարդկանց համար է առանց բացառության
Փոքր մատի համարը 0 - համապատասխանում է 0-ին,
անանուն թիվ 1 - համապատասխանում է 30,
միջին թիվ 2 - համապատասխանում է 45,
ինդեքս թիվ 3 - համապատասխանում է 60,
մեծ թիվ 4 - համապատասխանում է 90-ին։
Այսպիսով, մենք ունենք 4 մատ մեր ձեռքին և հիշում ենք բանաձևը.
մատի համարը |
Անկյուն |
Իմաստը |
|
||
|
||
|
Սա պարզապես մնեմոնիկ կանոն է: Ընդհանուր առմամբ, sin α-ի կամ cos α-ի արժեքը պետք է անգիր իմանալ, բայց երբեմն այս կանոնը կօգնի դժվարին պահերին:
Գտեք cos-ի կանոն (անկյունները առանց փոփոխության, բայց հաշվելով բութ մատից): Ֆիզիկական դադար՝ կապված sin α կամ cos α նշանների հետ:
IV. ZUN-ի ձուլման ստուգում
Անկախ աշխատանք հետադարձ կապով
Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է թեստ (4 տարբերակ), և պատասխանների թերթիկը նույնն է բոլորի համար:
Փորձարկում
Տարբերակ 1
1) Շառավիղը պտտման ո՞ր անկյան տակ կգտնի նույն դիրքը, ինչ պտտվելիս 50 անկյան տակ:
2) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ 4cos 60 - 3sin 90:
3) Թվերից ո՞րն է զրոյից փոքր՝ sin 140, cos 140, sin 50, tg 50:
Տարբերակ 2
1) Պտտման ո՞ր անկյան տակ շառավիղը կգրավի նույն դիրքը, ինչ 10 անկյան տակ պտտվելիս:
2) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ 4cos 90 - 6sin 30:
3) Թվերից ո՞րն է զրոյից մեծ՝ sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240):
Տարբերակ 3
1) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ 2ctg 45 - 3cos 90:
2) Թվերից ո՞րն է զրոյից փոքր՝ sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140:
3) Որ քառորդի անկյունն է α անկյունը, եթե sin α > 0, cos α< 0.
Տարբերակ 4
1) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ tg 60 - 6ctg 90:
2) Թվերից ո՞րն է զրոյից փոքր՝ sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250։
3) Որ քառորդի անկյունն է α անկյունը, եթե ctg α< 0, cos α> 0.
ԲԱՅՑ |
Բ |
AT |
Գ |
Դ |
Ե |
ԵՎ |
Վ |
Եվ |
Լ |
Մ |
|
Հ |
Օ |
Պ |
Ռ |
ԻՑ |
Տ |
ժամը |
Ֆ |
X |
Վ |
Յու |
Ի |
(բառը եռանկյունաչափությունն է բանալին)
V. Տեղեկություններ եռանկյունաչափության պատմությունից
Ուսուցիչ:Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի բավականին կարևոր ճյուղ է մարդու կյանքի համար։ Ժամանակակից տեսքեռանկյունաչափությունը տվել է 18-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլերը, ով ծնունդով շվեյցարացի է։ երկար տարիներով աշխատել է Ռուսաստանում և եղել է Պետերբուրգի ԳԱ անդամ։ Նա ներկայացրեց հայտնի սահմանումներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներձեւակերպված ու ապացուցված հայտնի բանաձեւեր, դրանք կսովորենք ավելի ուշ։ Էյլերի կյանքը շատ հետաքրքիր է, և ես ձեզ խորհուրդ եմ տալիս ծանոթանալ Յակովլևի «Լեոնարդ Էյլեր» գրքից։
(Ուղերձ տղաներին այս թեմայով)
VI. Ամփոփելով դասը
Tic-tac-toe խաղ
Մասնակցում են երկու ամենաակտիվ ուսանողները։ Նրանց աջակցում են խմբերը։ Առաջադրանքների լուծումը գրանցվում է նոթատետրում։
Առաջադրանքներ
1) Գտեք սխալը
ա) մեղք 225 = - 1.1 գ) մեղք 115< О
բ) cos 1000 = 2 դ) cos (– 115) > 0
2) Անկյունն արտահայտեք աստիճաններով
3) Ռադիաններով արտահայտեք անկյունը 300
4) Որն է ամենամեծը և ամենափոքր արժեքըկարող է ունենալ 1+ sin α արտահայտությունը;
5) Որոշի՛ր արտահայտության նշանը՝ մեղք 260, կոս 300։
6) Թվային շրջանագծի ո՞ր քառորդում է կետը
7) Որոշի՛ր արտահայտության նշանները՝ cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390.
8) Հաշվել.
9) Համեմատեք՝ մեղք 2 և մեղք 350
VII. Դասի արտացոլում
Ուսուցիչ:Որտե՞ղ կարող ենք հանդիպել եռանկյունաչափությանը:
9-րդ դասարանի ո՞ր դասերին և նույնիսկ հիմա եք օգտագործում sin α, cos α հասկացությունները; tgα; ctg α և ինչ նպատակով:
Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը կախված է բացառապես կոորդինատային քառորդից, որում գտնվում է թվային արգումենտը։ Անցյալ անգամ մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է արգումենտները վերածել ռադիանի չափման աստիճանի չափման (տե՛ս «Անկյան ռադիանի և աստիճանի չափումը» դասը), այնուհետև որոշել այս նույն կոորդինատային քառորդը: Այժմ անդրադառնանք, ըստ էության, սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի նշանի սահմանմանը։
α անկյան սինուսը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի օրդինատն է (կորդինատը y), որը առաջանում է, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան միջով։
α անկյան կոսինուսը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի աբսցիսա է (x կոորդինատ), որը առաջանում է, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան միջով։
α անկյան շոշափողը սինուսի և կոսինուսի հարաբերությունն է։ Կամ, համարժեքորեն, y կոորդինատի հարաբերակցությունը x կոորդինատին:
Նշում` sin α = y ; cosα = x; tgα = y: x.
Այս բոլոր սահմանումները ձեզ ծանոթ են ավագ դպրոցի հանրահաշվի դասընթացից: Այնուամենայնիվ, մեզ հետաքրքրում են ոչ թե բուն սահմանումները, այլ այն հետևանքները, որոնք առաջանում են եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա: Նայել:
Կապույտ գույնը ցույց է տալիս OY առանցքի դրական ուղղությունը (օրդինատների առանցք), կարմիրը ցույց է տալիս OX առանցքի (աբսցիսային առանցքի) դրական ուղղությունը: Այս «ռադարի» վրա ակնհայտ են դառնում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները։ Մասնավորապես:
- sin α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ II կոորդինատային քառորդում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ, ըստ սահմանման, սինուսը օրդինատ է (y կոորդինատ): Իսկ y կոորդինատը դրական կլինի հենց I և II կոորդինատային եռամսյակներում.
- cos α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ IV կոորդինատային քառորդում: Որովհետև միայն այնտեղ x կոորդինատը (դա նաև աբսցիսա է) զրոյից մեծ կլինի.
- tg α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ III կոորդինատային քառորդում: Սա բխում է սահմանումից. ի վերջո, tg α = y : x , ուստի այն դրական է միայն այն դեպքում, երբ x և y նշանները համընկնում են: Սա տեղի է ունենում 1-ին կոորդինատային քառորդում (այստեղ x > 0, y > 0) և 3-րդ կոորդինատային քառորդում (x< 0, y < 0).
Պարզության համար մենք նշում ենք յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանները՝ սինուս, կոսինուս և տանգենս, առանձին «ռադարի» վրա։ Ստանում ենք հետևյալ պատկերը.
Նշում. իմ հիմնավորման մեջ ես երբեք չեմ խոսել չորրորդ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ կոտանգենսի մասին: Փաստն այն է, որ կոտանգենսի նշանները համընկնում են շոշափողի նշանների հետ. այնտեղ հատուկ կանոններ չկան։
Այժմ ես առաջարկում եմ դիտարկել B11 խնդիրների նման օրինակներ փորձնական քննությունմաթեմատիկայից, որը տեղի ունեցավ 2011 թվականի սեպտեմբերի 27-ին Լավագույն միջոցըտեսությունը հասկանալը պրակտիկա է: Ցանկալի է շատ պրակտիկա: Իհարկե, առաջադրանքների պայմանները փոքր-ինչ փոխվեցին։
Առաջադրանք. Որոշեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և արտահայտությունների նշանները (գործառույթների արժեքներն ինքնին պետք չէ հաշվի առնել).
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tan (5π/3);
- sin (3π/4) cos(5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos(7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6):
Գործողությունների պլանը հետևյալն է. նախ՝ մենք բոլոր անկյունները ռադիանի չափից վերածում ենք աստիճանի չափման (π → 180°), այնուհետև տեսնում ենք, թե որ կոորդինատային քառորդում է ստացված թիվը։ Իմանալով եռամսյակները, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել նշանները `համաձայն նոր նկարագրված կանոնների: Մենք ունենք:
- մեղք (3π/4) = մեղք (3 180°/4) = մեղք 135°: Քանի որ 135° ∈, սա անկյուն է II կոորդինատային քառորդից: Բայց երկրորդ եռամսյակում սինուսը դրական է, ուստի sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°: Որովհետեւ 210° ∈, սա անկյուն է III կոորդինատային քառորդից, որտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են: Հետևաբար, cos (7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°: Քանի որ 300° ∈ , մենք գտնվում ենք չորրորդ քառորդում, որտեղ տանգենսը տանում է բացասական արժեքներ. Հետևաբար tg (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = մեղք (3 180°/4) cos (5 180°/6) = մեղք 135° cos 150°: Եկեք զբաղվենք սինուսով. քանի որ 135° ∈ , սա երկրորդ քառորդն է, որի սինուսները դրական են, այսինքն. sin (3π/4) > 0. Այժմ աշխատում ենք կոսինուսի հետ՝ 150° ∈ - կրկին երկրորդ քառորդ, այնտեղ կոսինուսները բացասական են։ Հետևաբար cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°: Մենք նայում ենք կոսինուսին. 120° ∈ II կոորդինատային քառորդն է, ուստի cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Կրկին ստացանք արտադրանք, որի մեջ տարբեր նշանների գործոններ. Քանի որ «մինուս, գումարած գումարը տալիս է մինուս», մենք ունենք՝ cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = մեղք (5 180°/6) cos (7 180°/4) = մեղք 150° cos 315°: Մենք աշխատում ենք սինուսի հետ՝ սկսած 150° ∈ , մենք խոսում ենք II կոորդինատային քառորդի մասին, որտեղ սինուսները դրական են։ Հետևաբար, sin (5π/6) > 0: Նմանապես, 315° ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, այնտեղ կոսինուսները դրական են: Հետևաբար, cos (7π/4) > 0: Ստացանք երկու դրական թվերի արտադրյալ. նման արտահայտությունը միշտ դրական է: Մենք եզրակացնում ենք՝ sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°: Բայց 135° ∈ անկյունը երկրորդ քառորդն է, այսինքն. tan (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Քանի որ «մինուս գումարածը տալիս է մինուս նշան», մենք ունենք՝ tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°: Մենք նայում ենք կոտանգենսի արգումենտին. 240° ∈ III կոորդինատային քառորդն է, հետևաբար ctg (4π/3) > 0: Նմանապես, շոշափողի համար մենք ունենք՝ 30° ∈ I կոորդինատային քառորդն է, այսինքն. ամենահեշտ անկյունը. Հետևաբար, tg (π/6) > 0: Կրկին ստացանք երկու դրական արտահայտություն. դրանց արտադրյալը նույնպես դրական կլինի: Հետևաբար ctg (4π/3) tg (π/6) > 0:
Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանիսին դժվար առաջադրանքներ. Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը պարզելուց բացի, այստեղ պետք է մի փոքր հաշվարկ անել, ճիշտ այնպես, ինչպես դա արվում է իրական խնդիրներում B11: Սկզբունքորեն, դրանք գրեթե իրական առաջադրանքներ են, որոնք իսկապես հայտնաբերվում են մաթեմատիկայի քննության ժամանակ:
Առաջադրանք. Գտե՛ք sin α, եթե sin 2 α = 0,64 և α ∈ [π/2; π].
Քանի որ sin 2 α = 0,64, մենք ունենք՝ sin α = ±0,8: Մնում է որոշել՝ պլյուս թե մինուս։ Ըստ ենթադրության՝ α ∈ [π/2; π] II կոորդինատային քառորդն է, որտեղ բոլոր սինուսները դրական են: Հետեւաբար, sin α = 0.8 - նշանների հետ անորոշությունը վերացված է:
Առաջադրանք. Գտեք cos α, եթե cos 2 α = 0,04 և α ∈ [π; 3π/2]:
Մենք գործում ենք նույն կերպ, այսինքն. քաղվածք Քառակուսի արմատ cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Ըստ ենթադրության՝ α ∈ [π; 3π/2], այսինքն. Խոսքը III կոորդինատային եռամսյակի մասին է։ Այնտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են, ուստի cos α = −0,2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք sin α, եթե sin 2 α = 0,25 և α ∈:
Ունենք՝ sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5: Կրկին նայում ենք անկյունին. α ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, որում, ինչպես գիտեք, սինուսը բացասական կլինի: Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք. sin α = −0,5:
Առաջադրանք. Գտեք tg α, եթե tg 2 α = 9 և α ∈:
Ամեն ինչ նույնն է, միայն շոշափողի համար: Վերցնում ենք քառակուսի արմատը՝ tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3: Բայց պայմանով, α ∈ անկյունը I կոորդինատային քառորդն է: Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, ներառյալ. շոշափող, կան դրական, այնպես որ tg α = 3: Վերջ:
Հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ. Ահա թե ինչպես է այն հնչում.Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։
Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները ներկայումս շարունակվում են՝ պարադոքսների էության մասին ընդհանուր կարծիքի գալու համար գիտական համայնքմինչ այժմ դա հնարավոր չի եղել ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, նոր ֆիզիկական և փիլիսոփայական մոտեցումներ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների կիրառման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես ժամանակի դանդաղում է, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:
Եթե շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը նախորդից տասն անգամ պակաս է։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։
Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով այն ունի հետևյալ տեսքը.
Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին անհրաժեշտ է հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ։ Հաջորդ ժամանակային միջակայքում, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։
Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։
Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.
Թռչող նետն անշարժ է, քանի որ ժամանակի ամեն պահի այն հանգստանում է, և քանի որ հանգստի մեջ է ամեն պահի, միշտ հանգստանում է:
Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսայն հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ թռչող սլաքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահի կանգնում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ անհրաժեշտ է միաժամանակ երկու լուսանկար՝ արված տիեզերքի տարբեր կետերից, բայց դրանցից շարժման փաստը չես կարող որոշել (բնականաբար, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի քեզ): Ինչի վրա եմ ուզում կենտրոնանալ Հատուկ ուշադրություն, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք հետազոտության տարբեր հնարավորություններ են տալիս:
չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ
Շատ լավ է, որ տարբերությունները set-ի և multiset-ի միջև նկարագրված են Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք.
Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտը չի կարող ունենալ երկու միանման տարր», բայց եթե հավաքածուում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»։ Նմանատիպ աբսուրդի տրամաբանություն զգայական էակներերբեք չհասկանալ. Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որում միտքը բացակայում է «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։
Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամրջի փորձարկումների ժամանակ նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե կամուրջը փլուզվեց, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:
Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:
Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այստեղ մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար։ Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և դնում մեր սեղանի վրա՝ տարբեր կույտերի մեջ, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և տալիս մաթեմատիկոսին իր «մաթեմատիկական աշխատավարձի հավաքածուն»։ Մաթեմատիկան բացատրում ենք, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը։ Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:
Նախ կգործի պատգամավորների տրամաբանությունը՝ «դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև, կսկսվեն հավաստիացումները, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր թղթադրամների համարներ, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույնական տարրեր: Դե, մենք աշխատավարձը հաշվում ենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի ջղաձգորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներհասանելի տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...
Իսկ հիմա ես ամենաշատն ունեմ հետաքրքրություն Հարցրեքորտե՞ղ է այն սահմանը, որից այն կողմ բազմախմբի տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ։
Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտերը: Դաշտերի տարածքը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն միաժամանակ և՛ բազմախումբ է, և՛ բազմաբնույթ: Որքանո՞վ ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շալլերը իր թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։
Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մեկ հարցին՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։
կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ
Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց նրանք դրա համար շամաններ են, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան։
Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք: Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որով կարելի է գտնել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը։ Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել տարրական կարգով:
Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, ենթադրենք ունենք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։
1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք թվային գրաֆիկական նշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։
3. Անհատական գրաֆիկական նիշերը վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։
4. Գումարի՛ր ստացված թվերը։ Հիմա դա մաթեմատիկան է:
12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամանների «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են։ Բայց սա դեռ ամենը չէ:
Մաթեմատիկայի տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք մենք գրում թիվը։ Այսպիսով, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ԻՑ մեծ թվով 12345 Ես չեմ ուզում գլուխս խաբել, հաշվի առեք 26 թիվը հոդվածի մասին: Այս թիվը գրենք երկուական, ութնյակային, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերում։ Մենք յուրաքանչյուր քայլ մանրադիտակի տակ չենք դիտարկելու, մենք դա արդեն արել ենք։ Եկեք նայենք արդյունքին:
Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նման է ուղղանկյունի մակերեսը մետրերով և սանտիմետրերով գտնելը ձեզ բոլորովին այլ արդյունքներ կտա:
Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ . Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակվում այն, ինչը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից, ոչինչ գոյություն չունի: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար՝ ոչ։ Իրականությունը միայն թվերով չէ:
Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե նույն մեծության տարբեր չափման միավորներով նույն գործողությունները հանգեցնում են տարբեր արդյունքներդրանք համեմատելուց հետո, ուրեմն դա մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։
Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի արժեքից, օգտագործված չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։
Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելիս հոգիների անորոշ սրբությունն ուսումնասիրելու համար: Նիմբուս վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:
Իգական... Վերևում լուսապսակ և ներքև սլաքը արական է:
Եթե դուք ունեք նման դիզայներական ստեղծագործություն, որը փայլում է ձեր աչքի առաջ օրը մի քանի անգամ,
Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.
Անձամբ ես ինքս ինձ վրա ջանք եմ գործադրում թուխ մարդու մեջ տեսնել մինուս չորս աստիճան (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կազմություն. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Իսկ այս աղջկան ես հիմար չեմ համարում, ով ֆիզիկա չգիտի։ Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման աղեղային կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները մեզ անընդհատ դա են սովորեցնում: Ահա մի օրինակ.
1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թափող մարդ» է կամ «քսանվեց» թիվը տասնվեցական համակարգհաշվում. Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։
Հղման տվյալներ տանգենսի (tg x) և կոտանգենսի (ctg x) համար: Երկրաչափական սահմանում, հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր: Շոշափողների և կոտանգենսների, ածանցյալների, ինտեգրալների, շարքերի ընդլայնումների աղյուսակ: Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով: Կապը հիպերբոլիկ ֆունկցիաների հետ:
Երկրաչափական սահմանում
|ԲԴ| - A կետում կենտրոնացած շրջանագծի աղեղի երկարությունը:
α-ն ռադիաններով արտահայտված անկյունն է։
Շոշափող ( tgα) եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է հիպոթենուսի և ոտքի միջև α անկյունից ուղղանկյուն եռանկյուն, հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հարակից ոտքի երկարությանը |AB| .
Կոտանգենս ( ctgα) եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հակառակ ոտքի երկարությամբ |մ.թ.ա.| .
Շոշափող
Որտեղ n- ամբողջ.
AT Արևմտյան գրականությունշոշափողը սահմանվում է հետևյալ կերպ.
.
;
;
.
Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = tg x
Կոտանգենս
Որտեղ n- ամբողջ.
Արևմտյան գրականության մեջ կոտանգենսը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Ընդունվել է նաև հետևյալ նշումը.
;
;
.
Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = ctg x
Տանգենսի և կոտանգենսի հատկությունները
Պարբերականություն
y= ֆունկցիաներ tg xև y= ctg xՊարբերական են՝ π ժամանակահատվածով։
Պարիտետ
Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները կենտ են:
Սահմանման և արժեքների տիրույթներ՝ աճող, նվազող
Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում (տե՛ս շարունակականության ապացույցը): Տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում ( n- ամբողջ թիվ):
| y= tg x | y= ctg x | |
| Շրջանակ և շարունակականություն | ||
| Արժեքների տիրույթ | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Աճող | - | |
| Նվազող | - | |
| Ծայրահեղություններ | - | - |
| Զրոներ, y= 0 | ||
| y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0 | y= 0 | - |
Բանաձևեր
Արտահայտություններ սինուսով և կոսինուսով
;
;
;
;
;
Գումարի և տարբերության շոշափողի և կոտանգենսի բանաձևերը
Մնացած բանաձևերը հեշտ է ձեռք բերել, օրինակ
շոշափողների արտադրյալ
Շոշափողների գումարի և տարբերության բանաձևը
Այս աղյուսակը ցույց է տալիս շոշափողների և կոտանգենսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար: 
Արտահայտություններ բարդ թվերով
Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների առումով
;
;
Ածանցյալներ
; .
.
n-րդ կարգի ածանցյալը ֆունկցիայի x փոփոխականի նկատմամբ.
.
> > > շոշափողի բանաձևերի ստացում; կոտանգենտի համար > > >
Ինտեգրալներ
Ընդլայնումներ շարքերի մեջ
X-ի ուժերով տանգենսի ընդլայնումը ստանալու համար անհրաժեշտ է ընդունել ընդլայնման մի քանի անդամ. հզորության շարքգործառույթների համար մեղք xև cos xև այս բազմանդամները բաժանեք միմյանց, . Սա հանգեցնում է հետևյալ բանաձևերի.
ժամը .
ժամը .
որտեղ B n- Բեռնուլիի թվեր. Դրանք որոշվում են կամ կրկնվող հարաբերությունից.
;
;
որտեղ.
Կամ ըստ Լապլասի բանաձևի. 
Հակադարձ գործառույթներ
Տանգենսին և կոտանգենսին հակադարձ ֆունկցիաները համապատասխանաբար արկտանգենս և արկոտանգենս են:
Arctangent, arctg
, որտեղ n- ամբողջ.
Arc tangent, arcctg
, որտեղ n- ամբողջ.
Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.
G. Korn, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ հետազոտողների և ճարտարագետների համար, 2012 թ.