Ֆորմալ տրամաբանության պարադոքսներ և տրամաբանական սխալներ. Զվարճալի տրամաբանական պարադոքսներ Պարադոքսներ տրամաբանության մեջ
Գիտնականներն ու մտածողները վաղուց են սիրում զվարճացնել իրենց և իրենց գործընկերներին անլուծելի խնդիրներ դնելով և ամենատարբեր պարադոքսներ ձևակերպելով: Այս մտքի փորձերից մի քանիսը մնում են արդիական հազարավոր տարիներ, ինչը ցույց է տալիս շատ հայտնի գիտական մոդելների և «անցքերի» անկատարությունը ընդհանուր ընդունված տեսություններում, որոնք երկար ժամանակ համարվում էին հիմնարար: Հրավիրում ենք ձեզ խորհելու ամենահետաքրքիր ու զարմանալի պարադոքսների մասին, որոնք, ինչպես հիմա ասում են, «փչեցին» ավելի քան մեկ սերնդի տրամաբանագետների, փիլիսոփաների և մաթեմատիկոսների:
1. Ապորիա «Աքիլլեսը և կրիան».
Աքիլլեսի և կրիայի պարադոքսը այն պարադոքսներից է (տրամաբանորեն ճիշտ, բայց հակասական պնդումներ), որոնք ձևակերպել է հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ.թ.ա. 5-րդ դարում։ Դրա էությունը հետևյալն է՝ լեգենդար հերոս Աքիլլեսը որոշել է մրցել կրիայի հետ վազքում։ Ինչպես գիտեք, կրիաները արագությամբ չեն տարբերվում, ուստի Աքիլլեսը հակառակորդին 500 մ հարված տվեց։ Երբ կրիան հաղթահարում է այս տարածությունը, հերոսը սկսում է հետապնդել 10 անգամ ավելի արագությամբ, այսինքն՝ մինչ կրիան սողում է 50 մ։ , Աքիլեսը կարողանում է վազել տվյալ 500 մ բարձրության վրա : Այնուհետև վազորդը հաղթահարում է հաջորդ 50 մ, բայց այս պահին կրիան հետ է սողում ևս 5 մ, թվում է, թե Աքիլլեսը պատրաստվում է հասնել նրան, բայց հակառակորդը դեռ առաջ է և մինչ նա վազում է 5 մ, նրան հաջողվում է. առաջ անցնել ևս կես մետր և այլն: Նրանց միջև հեռավորությունը անսահմանորեն կրճատվում է, բայց տեսականորեն հերոսին երբեք չի հաջողվում հասնել դանդաղ կրիայի հետ, այն շատ չէ, բայց միշտ առաջ է նրանից։
Իհարկե, ֆիզիկայի տեսանկյունից պարադոքսն իմաստ չունի. եթե Աքիլլեսը շատ ավելի արագ շարժվի, նա, այնուամենայնիվ, առաջ կգնա, այնուամենայնիվ, Զենոնը, նախ և առաջ, ցանկացավ իր հիմնավորումներով ցույց տալ, որ իդեալականացված մաթեմատիկական հասկացությունները. «Կետը տարածության մեջ» և «ժամանակի պահը» այնքան էլ հարմար չեն իրական շարժմանը ճիշտ կիրառելու համար: Ապորիան բացահայտում է անհամապատասխանությունը մաթեմատիկորեն հիմնավոր գաղափարի միջև, որ տարածության և ժամանակի ոչ զրոյական միջակայքերը կարող են անորոշ ժամանակով բաժանվել (այնպես որ կրիան միշտ պետք է առաջ մնա) և այն իրականության միջև, որտեղ հերոսը, իհարկե, հաղթում է մրցավազքը:
2. Ժամանակի հանգույցի պարադոքս
Ժամանակի ճամփորդությունը նկարագրող պարադոքսները վաղուց ոգեշնչման աղբյուր են դարձել գիտաֆանտաստիկ գրողների և գիտաֆանտաստիկ ֆիլմերի ու հեռուստաշոուների ստեղծողների համար: Ժամանակի հանգույցի պարադոքսների մի քանի տարբերակներ կան, նման խնդրի ամենապարզ և պատկերավոր օրինակներից մեկը տրվել է Մասաչուսեթսի համալսարանի պրոֆեսոր Դեյվիդ Թումիի «Նոր ժամանակի ճանապարհորդները» գրքում:
Պատկերացրեք, որ ժամանակի ճանապարհորդը գրախանութից գնել է Շեքսպիրի Համլետի օրինակը: Հետո նա գնաց Անգլիա Կույս Եղիսաբեթ I թագուհու օրոք և, գտնելով Ուիլյամ Շեքսպիրին, նրան գիրք հանձնեց։ Նա վերաշարադրեց այն և հրատարակեց որպես իր ստեղծագործություն։ Անցնում են հարյուրավոր տարիներ, Համլետը թարգմանվում է տասնյակ լեզուներով, անվերջ վերահրատարակվում, իսկ օրինակներից մեկը հայտնվում է հենց այն գրախանութում, որտեղ ժամանակի ճամփորդը գնում է այն և տալիս Շեքսպիրին, ով կրկնօրինակում է, և այլն... Ո՞ւմ պետք է հաշվել այս դեպքում՝ անմահ ողբերգության հեղինակի՞ն։
3. Աղջկա և տղայի պարադոքսը
Հավանականությունների տեսության մեջ այս պարադոքսը կոչվում է նաև «Պարոն Սմիթի երեխաները» կամ «Միսիս Սմիթի խնդիրները»։ Այն առաջին անգամ ձեւակերպել է ամերիկացի մաթեմատիկոս Մարտին Գարդները՝ Scientific American ամսագրի համարներից մեկում։ Գիտնականները տասնամյակներ շարունակ վիճում են պարադոքսի շուրջ, և կան դրա լուծման մի քանի ուղիներ: Խնդրի մասին մտածելուց հետո կարող եք առաջարկել ձեր սեփական տարբերակը։
Ընտանիքն ունի երկու երեխա, և հաստատ հայտնի է, որ նրանցից մեկը տղա է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկրորդ երեխան նույնպես արական սեռի է։ Առաջին հայացքից պատասխանը միանգամայն ակնհայտ է՝ 50-ից 50, կա՛մ իսկապես տղա է, կա՛մ աղջիկ, շանսերը պետք է հավասար լինեն։ Խնդիրն այն է, որ երկու երեխա ունեցող ընտանիքների համար կան երեխաների սեռերի չորս հնարավոր համակցություններ՝ երկու աղջիկ, երկու տղա, մեծ տղա և փոքր աղջիկ, և հակառակը՝ մեծ աղջիկ և փոքր տղա։ Առաջինը կարելի է բացառել, քանի որ երեխաներից մեկը հաստատ տղա է, բայց այս դեպքում հնարավոր է երեք տարբերակ, ոչ թե երկու, և հավանականությունը, որ երկրորդ երեխան նույնպես տղա է, երեքից մեկ հնարավորություն է։
4. Jourdain-ի քարտի պարադոքս
20-րդ դարի սկզբին բրիտանացի տրամաբան և մաթեմատիկոս Ֆիլիպ Ժուրդենի առաջադրած խնդիրը կարելի է համարել հայտնի ստախոս պարադոքսի տարատեսակներից մեկը։
Պատկերացրեք՝ դուք ձեր ձեռքերում բացիկ եք պահում, որտեղ գրված է. «Բացիկի հետևի հայտարարությունը ճիշտ է»։ Քարտը շուռ տալով բացահայտվում է «Մյուս կողմի հայտարարությունը կեղծ է» արտահայտությունը։ Ինչպես հասկանում եք, կա հակասություն՝ եթե առաջին պնդումը ճիշտ է, ապա ճիշտ է նաև երկրորդը, բայց այս դեպքում առաջինը պետք է կեղծ լինի։ Եթե բացիկի առաջին կողմը կեղծ է, ապա երկրորդի արտահայտությունը նույնպես չի կարող ճշմարիտ համարվել, ինչը նշանակում է, որ առաջին հայտարարությունը նորից ճշմարիտ է դառնում... Ստախոսի պարադոքսի էլ ավելի հետաքրքիր տարբերակը հաջորդ պարբերությունում է։
5. Սոփիզմ «Կոկորդիլոս».
Երեխայի հետ մայրը կանգնած է գետի ափին, հանկարծ կոկորդիլոսը լողալով մոտենում է նրանց ու երեխային քարշ տալիս ջուրը։ Անմխիթար մայրը խնդրում է վերադարձնել իր երեխային, ինչին կոկորդիլոսը պատասխանում է, որ համաձայնում է ողջ-առողջ վերադարձնել նրան, եթե կինը ճիշտ պատասխանի իր հարցին. Պարզ է, որ կինը երկու պատասխան ունի՝ այո կամ ոչ։ Եթե նա պնդում է, որ կոկորդիլոսն իրեն կտա երեխային, ապա ամեն ինչ կախված է կենդանուց. պատասխանը ճիշտ համարելով՝ առևանգողը երեխային բաց կթողնի, բայց եթե ասի, որ մայրը սխալվել է, ապա նա չի տեսնի։ երեխային՝ համաձայն պայմանագրի բոլոր կանոնների.
Կնոջ բացասական պատասխանը էապես բարդացնում է ամեն ինչ. եթե պարզվի, որ դա ճիշտ է, ապա առևանգողը պետք է կատարի գործարքի պայմանները և ազատ արձակի երեխային, սակայն այս կերպ մոր պատասխանը չի համապատասխանի իրականությանը։ Նման պատասխանի կեղծությունն ապահովելու համար կոկորդիլոսին անհրաժեշտ է երեխային վերադարձնել մորը, սակայն դա հակասում է պայմանագրին, քանի որ նրա սխալը պետք է երեխային թողնի կոկորդիլոսին։
Հարկ է նշել, որ կոկորդիլոսի առաջարկած գործարքը պարունակում է տրամաբանական հակասություն, ուստի նրա խոստումն անկատար է։ Հռետոր, մտածող և քաղաքական գործիչ Կորաքս Սիրակուզացին, ով ապրել է մ.թ.ա. 5-րդ դարում, համարվում է այս դասական սոփիզմի հեղինակը։
6. Ապորիա «Դիխոտոմիա»
Մեկ այլ պարադոքս Զենոն Ելեայի կողմից, որը ցույց է տալիս շարժման իդեալականացված մաթեմատիկական մոդելի սխալը: Խնդիրը կարելի է այսպես դնել. ենթադրենք, դուք սկսել եք գնալ ձեր քաղաքի ինչ-որ փողոցով սկզբից մինչև վերջ: Դա անելու համար դուք պետք է հաղթահարեք դրա առաջին կեսը, ապա մնացած կեսը, ապա հաջորդ հատվածի կեսը և այլն: Այլ կերպ ասած, դուք քայլում եք ամբողջ տարածության կեսը, այնուհետև քառորդը, մեկ ութերորդը, մեկ տասնվեցերորդը - ուղու նվազող հատվածների թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն, քանի որ մնացած ցանկացած մասը կարելի է բաժանել երկուսի, ինչը նշանակում է, որ անհնար է գնա ամբողջ ճանապարհը: Ձևակերպելով առաջին հայացքից ինչ-որ տեղից հեռու պարադոքս՝ Զենոնը ցանկանում էր ցույց տալ, որ մաթեմատիկական օրենքները հակասում են իրականությանը, քանի որ իրականում դուք հեշտությամբ կարող եք անցնել ամբողջ տարածությունը՝ առանց հետքի:
7. Ապորիա «Թռչող նետ»
Զենոն Ելեայի հայտնի պարադոքսն անդրադառնում է շարժման և ժամանակի բնույթի մասին գիտնականների պատկերացումների ամենախորը հակասություններին։ Ապորիան ձևակերպված է հետևյալ կերպ. աղեղից արձակված նետը մնում է անշարժ, քանի որ ցանկացած պահի հանգչում է առանց շարժվելու։ Եթե ժամանակի յուրաքանչյուր պահի սլաքը գտնվում է հանգստի վիճակում, ապա այն միշտ գտնվում է հանգստի վիճակում և ընդհանրապես չի շարժվում, քանի որ ժամանակի մեջ չկա այն պահը, երբ սլաքը շարժվում է տարածության մեջ:
Մարդկության նշանավոր ուղեղները դարեր շարունակ փորձել են լուծել թռչող նետի պարադոքսը, բայց տրամաբանական տեսանկյունից դա միանգամայն ճիշտ է։ Այն հերքելու համար անհրաժեշտ է բացատրել, թե ինչպես կարող է վերջավոր ժամանակային ինտերվալը բաղկացած լինել ժամանակի անսահման թվով պահերից. նույնիսկ Արիստոտելը, ով համոզիչ կերպով քննադատեց Զենոնի ապորիան, չկարողացավ ապացուցել դա: Արիստոտելը իրավացիորեն մատնանշեց, որ ժամանակի ժամանակահատվածը չի կարող համարվել որոշ անբաժանելի մեկուսացված պահերի գումար, սակայն շատ գիտնականներ կարծում են, որ նրա մոտեցումը խորությամբ չի տարբերվում և չի հերքում պարադոքսի գոյությունը: Հարկ է նշել, որ թռչող նետի խնդիրը դնելով, Զենոնը չէր ձգտում հերքել շարժման հնարավորությունը, որպես այդպիսին, այլ հակասություններ բացահայտել իդեալիստական մաթեմատիկական հասկացությունների մեջ։
8. Գալիլեոյի պարադոքսը
Գիտության երկու նոր ճյուղերի վերաբերյալ իր «Զրույցներ և մաթեմատիկական ապացույցներ» գրքում Գալիլեո Գալիլեյն առաջարկեց մի պարադոքս, որը ցույց է տալիս անսահման բազմությունների հետաքրքիր հատկությունները: Գիտնականը երկու հակասական դատողություն է ձևակերպել. Նախ, կան թվեր, որոնք այլ ամբողջ թվերի քառակուսիներն են, օրինակ՝ 1, 9, 16, 25, 36 և այլն։ Կան այլ թվեր, որոնք չունեն այս հատկությունը՝ 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 և այլն։ Այսպիսով, կատարյալ քառակուսիների և սովորական թվերի ընդհանուր թիվը պետք է ավելի մեծ լինի, քան միայն կատարյալ քառակուսիների թիվը: Երկրորդ դատողություն՝ յուրաքանչյուր բնական թվի համար կա իր ճշգրիտ քառակուսին, իսկ յուրաքանչյուր քառակուսու համար՝ ամբողջ թվով քառակուսի արմատ, այսինքն՝ քառակուսիների թիվը հավասար է բնական թվերի թվին։
Ելնելով այս հակասությունից՝ Գալիլեոն եզրակացրեց, որ տարրերի քանակի մասին դատողությունը կիրառվում է միայն վերջավոր բազմությունների համար, չնայած հետագայում մաթեմատիկոսները ներկայացրեցին բազմության ուժի հայեցակարգը. .
9. Կարտոֆիլի պարկի պարադոքս
Ենթադրենք, ինչ-որ ֆերմերի մոտ կա մի պարկ կարտոֆիլ, որը կշռում է ուղիղ 100 կգ։ Հետազոտելով դրա պարունակությունը՝ ֆերմերը հայտնաբերում է, որ պարկը պահվել է խոնավության մեջ՝ դրա զանգվածի 99%-ը ջուր է, իսկ մնացած նյութերի 1%-ը, որոնք պարունակում են կարտոֆիլը։ Նա որոշում է կարտոֆիլը մի փոքր չորացնել, որպեսզի ջրի պարունակությունը իջնի մինչև 98% և տոպրակը տեղափոխի չոր տեղ։ Հաջորդ օրը պարզվում է, որ մեկ լիտր (1 կգ) ջուր իսկապես գոլորշիացել է, բայց պարկի քաշը 100-ից նվազել է 50 կգ-ի, ինչպե՞ս կարող է դա լինել։ Հաշվարկենք՝ 100 կգ-ի 99%-ը կազմում է 99 կգ, ինչը նշանակում է, որ չոր մնացորդի զանգվածի և ջրի զանգվածի հարաբերակցությունն ի սկզբանե եղել է 1/99։ Չորացնելուց հետո ջուրը պարունակում է պարկի ընդհանուր զանգվածի 98%-ը, ինչը նշանակում է, որ չոր մնացորդի զանգվածի հարաբերակցությունը ջրի զանգվածին այժմ 1/49 է։ Քանի որ մնացորդի զանգվածը չի փոխվել, մնացած ջուրը կշռում է 49 կգ։
Իհարկե, ուշադիր ընթերցողն անմիջապես կհայտնաբերի հաշվարկների մեջ կոպիտ մաթեմատիկական սխալ. երևակայական կատակերգական «կարտոֆիլի պարկը» կարելի է համարել հիանալի օրինակ, թե ինչպես է առաջին հայացքից օգտագործել «տրամաբանական» և «գիտականորեն աջակցվող»: պատճառաբանելով, դուք կարող եք բառացիորեն զրոյից կառուցել մի տեսություն, որը հակասում է ողջախոհությանը: իմաստը:
10 Raven Paradox
Խնդիրը հայտնի է նաև որպես Հեմփելի պարադոքս՝ այն ստացել է իր երկրորդ անվանումը՝ ի պատիվ գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Հեմփելի՝ իր դասական տարբերակի հեղինակի։ Խնդիրը շատ պարզ ձևակերպված է՝ յուրաքանչյուր ագռավ սև է։ Այստեղից հետևում է, որ այն, ինչ սև չէ, չի կարող ագռավ լինել։ Այս օրենքը կոչվում է տրամաբանական հակադրություն, այսինքն՝ եթե որոշակի «Ա» նախադրյալն ունի «Բ» հետևանք, ապա «Բ»-ի ժխտումը համարժեք է «Ա»-ի ժխտմանը։ Եթե մարդը տեսնում է սև ագռավ, դա ամրապնդում է նրա համոզմունքը, որ բոլոր ագռավները սև են, ինչը միանգամայն տրամաբանական է, սակայն, համաձայն հակադրության և ինդուկցիայի սկզբունքի, տրամաբանական է պնդել, որ ոչ սև առարկաների դիտարկումը (ասենք. , կարմիր խնձոր) նույնպես ապացուցում է, որ բոլոր ագռավները սև են ներկված։ Այսինքն, այն փաստը, որ մարդը ապրում է Սանկտ Պետերբուրգում, վկայում է, որ նա Մոսկվայում չի ապրում։
Տրամաբանության տեսանկյունից պարադոքսը կատարյալ է թվում, բայց այն հակասում է իրական կյանքին. կարմիր խնձորները ոչ մի կերպ չեն կարող հաստատել այն փաստը, որ բոլոր ագռավները սև են:
Ինչպես է աշխատում ուղեղային փոստը՝ հաղորդագրությունների փոխանցում ուղեղից ուղեղ ինտերնետի միջոցով
Աշխարհի 10 առեղծվածները, որոնք գիտությունը վերջապես բացահայտել է
Իվին Ալեքսանդր Արխիպովիչ տրամաբանության օրենքների համաձայն
ԻՆՉ Է ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՊԱՐԱԴՈՔՍԸ.
Տրամաբանական պարադոքսների սպառիչ ցուցակ գոյություն չունի, և դա անհնար է:
Դիտարկված պարադոքսները մինչ այժմ հայտնաբերված բոլորի միայն մի մասն են։ Հավանական է, որ ապագայում շատ այլ և նույնիսկ բոլորովին նոր տեսակներ կհայտնաբերվեն: Պարադոքսի գաղափարն այնքան էլ որոշակի չէ, որ հնարավոր լինի կազմել առնվազն արդեն հայտնի պարադոքսների ցանկը:
«Բազմությունների տեսական պարադոքսները շատ լուրջ խնդիր են, սակայն, ոչ թե մաթեմատիկայի, այլ ավելի շուտ տրամաբանության և իմացաբանության համար», - գրում է ավստրիացի մաթեմատիկոս և տրամաբան Կ. Գոդելը: «Տրամաբանությունը անհամապատասխան է. Տրամաբանական պարադոքսներ չկան,- ասում է խորհրդային մաթեմատիկոս Դ.Բոչվարը։ -Նման հակասությունները երբեմն էական են լինում, երբեմն՝ բանավոր։ Հարցը հիմնականում նրանում է, թե կոնկրետ ինչ է նշանակում «տրամաբանական պարադոքս»:
Տրամաբանական պարադոքսների անհրաժեշտ հատկանիշը տրամաբանական բառարանն է։ Պարադոքսները, որոնք տրամաբանական են, պետք է ձևակերպվեն տրամաբանական տերմիններով։ Այնուամենայնիվ, տրամաբանության մեջ տերմինները տրամաբանական և արտատրաբանական բաժանելու հստակ չափանիշներ չկան։ Տրամաբանությունը, որը վերաբերում է հիմնավորման ճիշտությանը, ձգտում է նվազագույնի հասցնել այն հասկացությունները, որոնցից կախված է գործնականում կիրառվող եզրակացությունների ճիշտությունը: Բայց այս նվազագույնը միանշանակ կանխորոշված չէ։ Բացի այդ, ոչ տրամաբանական հայտարարությունները կարող են ձևակերպվել նաև տրամաբանական տերմիններով: Արդյոք կոնկրետ պարադոքսը օգտագործում է միայն զուտ տրամաբանական նախադրյալներ, միշտ չէ, որ հնարավոր է միանշանակ որոշել:
Տրամաբանական պարադոքսները խստորեն առանձնացված չեն մյուս բոլոր պարադոքսներից, ինչպես վերջիններս հստակորեն չեն տարբերվում այն ամենից, ինչ ոչ պարադոքսալ է և համահունչ գերակշռող գաղափարներին։
Տրամաբանական պարադոքսների ուսումնասիրության սկզբում թվում էր, թե դրանք կարող են տարբերվել դեռևս չուսումնասիրված տրամաբանության որոշ դիրքի կամ կանոնի խախտմամբ։ Նման կանոնի դերը հավակնելու համար հատկապես ակտիվ էր Բ.Ռասելի ներդրած «արատավոր շրջանի սկզբունքը»։ Այս սկզբունքը սահմանում է, որ օբյեկտների հավաքածուն չի կարող պարունակել անդամներ, որոնք սահմանվում են միայն նույն հավաքածուի կողմից:
Բոլոր պարադոքսներն ունեն մեկ ընդհանուր բան՝ ինքնակիրառություն կամ շրջանաձևություն: Դրանցից յուրաքանչյուրում խնդրո առարկա առարկան բնութագրվում է առարկաների որոշակի հավաքածուով, որին պատկանում է ինքը: Եթե առանձնացնենք, օրինակ, մարդուն որպես դասի ամենախորամանկին, ապա դա անում ենք մի շարք մարդկանց օգնությամբ, որոնց պատկանում է նաև այս մարդը («իր դասի» օգնությամբ): Եվ եթե ասում ենք. «Այս հայտարարությունը կեղծ է», մենք բնութագրում ենք մեզ հետաքրքրող հայտարարությունը հղում անելով այն բոլոր կեղծ հայտարարությունների ամբողջությանը, որը ներառում է այն:
Բոլոր պարադոքսներում տեղի է ունենում ինքնակիրառություն, ինչը նշանակում է, որ կա, ասես, շրջանի շարժում, որը վերջում տանում է դեպի ելակետ։ Փորձելով բնութագրել մեզ հետաքրքրող օբյեկտը, մենք դիմում ենք այն առարկաների ամբողջությանը, որը ներառում է այն: Սակայն պարզվում է, որ իր որոշակիության համար նա ինքնին կարիք ունի քննարկվող օբյեկտի և առանց դրա հստակ հասկանալի չէ։ Այս շրջանակում, թերեւս, պարադոքսների աղբյուրն է։
Իրավիճակը, սակայն, բարդանում է նրանով, որ նման շրջանակ գոյություն ունի նաև բազմաթիվ բոլորովին ոչ պարադոքսալ փաստարկներում։ Շրջանաձևը ամենատարածված, անվնաս և միևնույն ժամանակ հարմար արտահայտման ձևերի հսկայական բազմազանություն է: «Բոլոր քաղաքներից ամենամեծը», «բոլոր բնական թվերից ամենափոքրը», «երկաթի ատոմի էլեկտրոններից մեկը» և այլն, ցույց են տալիս, որ ինքնակիրառման ամեն դեպք չէ, որ հանգեցնում է հակասության, և որ դա կարևոր է ոչ միայն սովորական լեզվով, այլ նաև գիտության լեզվով։
Այդպիսով, ինքնակիրառվող հասկացությունների կիրառմանն ուղղակի հղումը բավարար չէ պարադոքսները վարկաբեկելու համար: Որոշ լրացուցիչ չափանիշ է անհրաժեշտ՝ պարադոքսի հանգեցնող ինքնակիրառությունը դրա բոլոր մյուս դեպքերից առանձնացնելու համար։
Այս ուղղությամբ բազմաթիվ առաջարկներ են եղել, սակայն շրջանաձևության հաջող հստակեցում չի գտնվել: Պարզվեց, որ անհնար է շրջանաձևությունը բնութագրել այնպես, որ յուրաքանչյուր շրջանաձև դատողություն տանում է պարադոքսի, և յուրաքանչյուր պարադոքս ինչ-որ շրջանաձև դատողության արդյունք է։
Տրամաբանության ինչ-որ կոնկրետ սկզբունք գտնելու փորձը, որի խախտումը կլիներ բոլոր տրամաբանական պարադոքսների տարբերակիչ հատկանիշը, ոչ մի հստակ բանի չհանգեցրեց։
Պարադոքսների ինչ-որ դասակարգումը, անկասկած, օգտակար կլիներ՝ դրանք բաժանելով տեսակների և տեսակների, խմբավորելով որոշ պարադոքսներ և հակադրելով դրանք մյուսներին: Սակայն այս դեպքում էլ կայուն ոչինչ ձեռք չի բերվել։
Անգլիացի տրամաբան Ֆ.Ռեմսին, որը մահացել է 1930 թվականին, երբ նա դեռ քսանյոթ տարեկան չէր, առաջարկեց բոլոր պարադոքսները բաժանել շարահյուսական և իմաստայինի։ Առաջինը ներառում է, օրինակ, Ռասելի պարադոքսը, երկրորդը՝ «ստախոսի», Գրելինգի պարադոքսները և այլն։
Ըստ Ֆ.Ռեմսիի, առաջին խմբի պարադոքսները պարունակում են միայն տրամաբանությանը կամ մաթեմատիկային պատկանող հասկացությունները։ Վերջիններս ներառում են այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են «ճշմարտություն», «սահմանվածություն», «անվանում», «լեզու», որոնք խիստ մաթեմատիկական չեն, այլ ավելի շուտ կապված են լեզվաբանության կամ նույնիսկ գիտելիքի տեսության հետ։ Իմաստային պարադոքսները կարծես թե պարտական են ոչ թե տրամաբանության ինչ-որ սխալի, այլ որոշ ոչ տրամաբանական հասկացությունների անորոշության կամ երկիմաստության, հետևաբար նրանց առաջադրած խնդիրները վերաբերում են լեզվին և պետք է լուծվեն լեզվաբանությամբ։
Ֆ. Ռեմսիին թվում էր, որ մաթեմատիկոսներին և տրամաբաններին պետք չէ հետաքրքրել իմաստային պարադոքսները:
Հետագայում, սակայն, պարզվեց, որ ժամանակակից տրամաբանության ամենակարևոր արդյունքներից մի քանիսը ստացվել են հենց այս «ոչ տրամաբանական» պարադոքսների ավելի խորը ուսումնասիրության հետ կապված։
Ֆ. Ռեմսիի առաջարկած պարադոքսների բաժանումը սկզբում լայնորեն կիրառվել է և որոշակի նշանակություն ունի նաև այժմ։ Միևնույն ժամանակ, գնալով պարզ է դառնում, որ այս բաժանումը բավականին անորոշ է և հիմնված է հիմնականում օրինակների վրա, այլ ոչ թե պարադոքսների երկու խմբերի խորը համեմատական վերլուծության վրա։ Իմաստային հասկացություններն այժմ լավ սահմանված են, և դժվար է չընդունել, որ այդ հասկացություններն իսկապես տրամաբանական են: Իմաստաբանության զարգացման հետ մեկտեղ, որը սահմանում է իր հիմնական հասկացությունները բազմությունների տեսության տեսանկյունից, Ֆ. Ռեմսիի կողմից արված տարբերակումն ավելի ու ավելի է լղոզվում:
Պատմական և տրամաբանական մեթոդներ Մեծ հաշվով գիտական գիտելիքների էմպիրիկ մակարդակն ինքնին բավարար չէ իրերի էության մեջ ներթափանցելու համար, ներառյալ հասարակության գործունեության և զարգացման օրինաչափությունները: Որոշակի փուլում, երբ ավելի քան
Կարնապի տրամաբանական պոզիտիվիզմը Տրամաբանական պոզիտիվիզմը էմպիրիզմի փոփոխված ձև է։ Էմպիրիզմն իր մաքուր ձևով այն վարդապետությունն է, որ ամբողջ գիտելիքը բխում է զգայական փորձից: Տրամաբանական պոզիտիվիզմը մեկ կարևոր կետում ավելի թույլ է թվում, քան ավելի ուժեղ, բայց ավելի ուժեղ
2.9. Տրամաբանական քառակուսի Պարզ համեմատելի դրույթների միջև փոխհարաբերությունները սխեմատիկորեն պատկերված են տրամաբանական քառակուսու միջոցով, որը մշակվել է միջնադարյան տրամաբանների կողմից: Ինչպես տեսնում եք, քառակուսու գագաթները նշանակում են չորս տեսակի պարզ դատողություններ, իսկ նրա կողմերը և
ԳԼՈՒԽ 2 ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՎԱՐՔԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ Տրամաբանական վարքագծայինիզմը տեսությունն է, որ հոգեկան վիճակում լինելը նշանակում է լինել վարքային վիճակում: Մտածել, հուսալ, ընկալել, հիշել և այլն: -Այս ամենը պետք է հասկանալ կամ վարքագիծ, կամ տիրապետում
3. Տրամաբանական վերլուծություն (Բ. Ռասել) Բերտրան Ռասելը (1872–1970) աշխարհահռչակ անգլիացի գիտնական, փիլիսոփա և հասարակական գործիչ է։ Տասնվեց տարեկանում նա կարդաց իր կնքահոր՝ Ջ. Ս. Միլի ինքնակենսագրությունը, որը մեծ տպավորություն թողեց նրա վրա։ պերու միլա
2. Տրամաբանական պոզիտիվիզմ 1922 թվականին Վիեննայի համալսարանի բնական փիլիսոփայության ամբիոնում, որը Է.Մախի մահից հետո ղեկավարում էր պրոֆեսոր Մ. գիտություն և փիլիսոփայություն։ Այս խումբը մտնում է
§ 1. Բ.Ռասելի տրամաբանական ատոմիզմը Տրամաբանական պոզիտիվիզմի «պապերն» են Մուրը և Ռասելը։ Մուրի (1873-1958) դերը սովորաբար ընդգծվում է անգլիացի հետազոտողների կողմից։ Այն բաղկացած էր նրանից, որ նա ուշադրություն հրավիրեց փիլիսոփաների կողմից օգտագործվող բառերի և հայտարարությունների նշանակության վերլուծությանը:
2. Տրամաբանական փլուզում - Այն, ինչ կարելի է ցույց տալ կամ ապացուցել, դա ինչ-որ հատուկ բանի վերջնական իմացությունն է: Գոյություն և տրանսցենդենցիան՝ այս էության իմաստով, գոյություն չունեն։ Եթե մտածենք դրանց մասին, ապա միտքը ստանում է տրամաբանական ձևեր, որոնք
Հետազոտության «տրամաբանական» և «պատմական» մեթոդներ «Կապիտալում» հատկապես իր չորրորդ հատորում արտացոլվել է առարկայի տեսության տրամաբանական կառուցման և դրա ուսումնասիրության պատմական մեթոդների փոխհարաբերության իմացաբանական կարևոր խնդիր. -ից
II. ԼԵԶՎԻ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄ Մաթեմատիկայի տեսական կառուցման համար մշակվել է նոր տրամաբանություն։ Վիեննայի շրջանակում այն ընդհանուր առմամբ դարձավ գիտության տեսության ստեղծման միջոց։ Ի տարբերություն մաքուր տրամաբանության, կիրառական տրամաբանությունն օգտագործվում էր փիլիսոփայականը կատարելագործելու համար
ԻՆՉ Է ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՊԱՐԱԴՈՔՍԸ. Չկա տրամաբանական պարադոքսների սպառիչ ցանկ։ Դիտարկված տրամաբանական պարադոքսները մինչ այժմ հայտնաբերված բոլորի միայն մի մասն են։ Հավանական է, որ ապագայում դեռ շատերը կբացվեն:
Տրամաբանական պոզիտիվիզմ Առաջին և երկրորդ համաշխարհային պատերազմների միջև ընկած ժամանակահատվածում առաջ են քաշվել փիլիսոփայական նոր գաղափարներ։ Նրանցից շատերը խթանվեցին ոչ դասական ֆիզիկայի զարգացմամբ և տրամաբանական պոզիտիվիզմի կողմից լուրջ իմացաբանական վերլուծության առարկա դարձան։
15. ԱՆՎԵՐՋ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԲԱՌԱՐԱՆ բ Սրանով ավարտվում է մեր կարճ զեկույցը տրամաբանության մեջ անվերջ փոքրերի մեթոդի կիրառման վերաբերյալ։ Ավելի շուտ սա հաղորդագրություն չէ, այլ ընդամենը առաջարկ, միայն համեստ ակնարկ մի տարածքի, որը չի կարող հսկայական չլինել։ Տրամաբանությունն ու մաթեմատիկան չեն
3. Աստծո Թագավորության աստվածաբանական բնավորությունը Հին Կտակարանի և հուդայականության ավանդույթում Աստծո Արքայության գալուստը նշանակում է Աստծո գալուստը: Էսխատոլոգիական հույսի կենտրոնը Աստծո կողմից որոշված և իրականացված «Յահվեի օրն» էր, այն օրը, երբ Աստված կլինի «ամեն ինչ ամեն ինչում», երբ
Գիտնականներն ու մտածողները վաղուց են սիրում զվարճացնել իրենց և իրենց գործընկերներին անլուծելի խնդիրներ դնելով և ամենատարբեր պարադոքսներ ձևակերպելով: Այս մտքի փորձերից մի քանիսը մնում են արդիական հազարավոր տարիներ, ինչը ցույց է տալիս շատ հայտնի գիտական մոդելների և «անցքերի» անկատարությունը ընդհանուր ընդունված տեսություններում, որոնք երկար ժամանակ համարվում էին հիմնարար:
Հրավիրում ենք ձեզ խորհելու ամենահետաքրքիր ու զարմանալի պարադոքսների մասին, որոնք, ինչպես հիմա ասում են, «փչեցին» ավելի քան մեկ սերնդի տրամաբանագետների, փիլիսոփաների և մաթեմատիկոսների:
1. Ապորիա «Աքիլլեսը և կրիան».
Աքիլլեսի և կրիայի պարադոքսը այն պարադոքսներից է (տրամաբանորեն ճիշտ, բայց հակասական պնդումներ), որոնք ձևակերպել է հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին մ.թ.ա. 5-րդ դարում։ Դրա էությունը հետևյալն է՝ լեգենդար հերոս Աքիլլեսը որոշել է մրցել կրիայի հետ վազքում։ Ինչպես գիտեք, կրիաները արագությամբ չեն տարբերվում, ուստի Աքիլլեսը հակառակորդին 500 մ հարված տվեց։ Երբ կրիան հաղթահարում է այս տարածությունը, հերոսը սկսում է հետապնդել 10 անգամ ավելի արագությամբ, այսինքն՝ մինչ կրիան սողում է 50 մ։ , Աքիլեսը կարողանում է վազել տվյալ 500 մ բարձրության վրա : Այնուհետև վազորդը հաղթահարում է հաջորդ 50 մ, բայց այս պահին կրիան հետ է սողում ևս 5 մ, թվում է, թե Աքիլլեսը պատրաստվում է հասնել նրան, բայց հակառակորդը դեռ առաջ է և մինչ նա վազում է 5 մ, նրան հաջողվում է. առաջ անցնել ևս կես մետր և այլն: Նրանց միջև հեռավորությունը անսահմանորեն կրճատվում է, բայց տեսականորեն հերոսին երբեք չի հաջողվում հասնել դանդաղ կրիայի հետ, այն շատ չէ, բայց միշտ առաջ է նրանից։
© www.student31.ru
Իհարկե, ֆիզիկայի տեսանկյունից պարադոքսն իմաստ չունի. եթե Աքիլլեսը շատ ավելի արագ շարժվի, նա, այնուամենայնիվ, առաջ կգնա, այնուամենայնիվ, Զենոնը, նախ և առաջ, ցանկացավ իր հիմնավորումներով ցույց տալ, որ իդեալականացված մաթեմատիկական հասկացությունները. «Կետը տարածության մեջ» և «ժամանակի պահը» այնքան էլ հարմար չեն իրական շարժմանը ճիշտ կիրառելու համար: Ապորիան բացահայտում է անհամապատասխանությունը մաթեմատիկորեն հիմնավոր գաղափարի միջև, որ տարածության և ժամանակի ոչ զրոյական միջակայքերը կարող են անորոշ ժամանակով բաժանվել (այնպես որ կրիան միշտ պետք է առաջ մնա) և այն իրականության միջև, որտեղ հերոսը, իհարկե, հաղթում է մրցավազքը:
2. Ժամանակի հանգույցի պարադոքս
Դեյվիդ Թումիի «Նոր ժամանակի ճանապարհորդները»:
Ժամանակի ճամփորդությունը նկարագրող պարադոքսները վաղուց ոգեշնչման աղբյուր են դարձել գիտաֆանտաստիկ գրողների և գիտաֆանտաստիկ ֆիլմերի ու հեռուստաշոուների ստեղծողների համար: Ժամանակի հանգույցի պարադոքսների մի քանի տարբերակներ կան, նման խնդրի ամենապարզ և պատկերավոր օրինակներից մեկը տրվել է Մասաչուսեթսի համալսարանի պրոֆեսոր Դեյվիդ Թումիի «Նոր ժամանակի ճանապարհորդները» գրքում:
Պատկերացրեք, որ ժամանակի ճանապարհորդը գրախանութից գնել է Շեքսպիրի Համլետի օրինակը: Հետո նա գնաց Անգլիա Կույս Եղիսաբեթ I թագուհու օրոք և, գտնելով Ուիլյամ Շեքսպիրին, նրան գիրք հանձնեց։ Նա վերաշարադրեց այն և հրատարակեց որպես իր ստեղծագործություն։ Անցնում են հարյուրավոր տարիներ, Համլետը թարգմանվում է տասնյակ լեզուներով, անվերջ վերահրատարակվում, իսկ օրինակներից մեկը հայտնվում է հենց այն գրախանութում, որտեղ ժամանակի ճամփորդը գնում է այն և տալիս Շեքսպիրին, ով կրկնօրինակում է, և այլն... Ո՞ւմ պետք է հաշվել այս դեպքում՝ անմահ ողբերգության հեղինակի՞ն։
3. Աղջկա և տղայի պարադոքսը
Մարտին Գարդներ / © www.post-gazette.com
Հավանականությունների տեսության մեջ այս պարադոքսը կոչվում է նաև «Պարոն Սմիթի երեխաները» կամ «Միսիս Սմիթի խնդիրները»։ Այն առաջին անգամ ձեւակերպել է ամերիկացի մաթեմատիկոս Մարտին Գարդները՝ Scientific American ամսագրի համարներից մեկում։ Գիտնականները տասնամյակներ շարունակ վիճում են պարադոքսի շուրջ, և կան դրա լուծման մի քանի ուղիներ: Խնդրի մասին մտածելուց հետո կարող եք առաջարկել ձեր սեփական տարբերակը։
Ընտանիքն ունի երկու երեխա, և հաստատ հայտնի է, որ նրանցից մեկը տղա է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկրորդ երեխան նույնպես արական սեռի է։ Առաջին հայացքից պատասխանը միանգամայն ակնհայտ է՝ 50-ից 50, կա՛մ իսկապես տղա է, կա՛մ աղջիկ, շանսերը պետք է հավասար լինեն։ Խնդիրն այն է, որ երկու երեխա ունեցող ընտանիքների համար կան երեխաների սեռերի չորս հնարավոր համակցություններ՝ երկու աղջիկ, երկու տղա, մեծ տղա և փոքր աղջիկ, և հակառակը՝ մեծ աղջիկ և փոքր տղա։ Առաջինը կարելի է բացառել, քանի որ երեխաներից մեկը հաստատ տղա է, բայց այս դեպքում հնարավոր է երեք տարբերակ, ոչ թե երկու, և հավանականությունը, որ երկրորդ երեխան նույնպես տղա է, երեքից մեկ հնարավորություն է։
4. Jourdain-ի քարտի պարադոքս
20-րդ դարի սկզբին բրիտանացի տրամաբան և մաթեմատիկոս Ֆիլիպ Ժուրդենի առաջադրած խնդիրը կարելի է համարել հայտնի ստախոս պարադոքսի տարատեսակներից մեկը։
Ֆիլիպ Ժուրդեն
Պատկերացրեք՝ դուք ձեր ձեռքերում բացիկ եք պահում, որտեղ գրված է. «Բացիկի հետևի հայտարարությունը ճիշտ է»։ Քարտը շուռ տալով բացահայտվում է «Մյուս կողմի հայտարարությունը կեղծ է» արտահայտությունը։ Ինչպես հասկանում եք, կա հակասություն՝ եթե առաջին պնդումը ճիշտ է, ապա ճիշտ է նաև երկրորդը, բայց այս դեպքում առաջինը պետք է կեղծ լինի։ Եթե բացիկի առաջին կողմը կեղծ է, ապա երկրորդի արտահայտությունը նույնպես չի կարող ճշմարիտ համարվել, ինչը նշանակում է, որ առաջին հայտարարությունը նորից ճշմարիտ է դառնում... Ստախոսի պարադոքսի էլ ավելի հետաքրքիր տարբերակը հաջորդ պարբերությունում է։
5. Սոփիզմ «Կոկորդիլոս».
Երեխայի հետ մայրը կանգնած է գետի ափին, հանկարծ կոկորդիլոսը լողալով մոտենում է նրանց ու երեխային քարշ տալիս ջուրը։ Անմխիթար մայրը խնդրում է վերադարձնել իր երեխային, ինչին կոկորդիլոսը պատասխանում է, որ համաձայնում է ողջ-առողջ վերադարձնել նրան, եթե կինը ճիշտ պատասխանի իր հարցին. Պարզ է, որ կինը երկու պատասխան ունի՝ այո կամ ոչ։ Եթե նա պնդում է, որ կոկորդիլոսն իրեն կտա երեխային, ապա ամեն ինչ կախված է կենդանուց. պատասխանը ճիշտ համարելով՝ առևանգողը երեխային բաց կթողնի, բայց եթե ասի, որ մայրը սխալվել է, ապա նա չի տեսնի։ երեխային՝ համաձայն պայմանագրի բոլոր կանոնների.
© Սիրակուզացի Կորաքս
Կնոջ բացասական պատասխանը էապես բարդացնում է ամեն ինչ. եթե պարզվի, որ դա ճիշտ է, ապա առևանգողը պետք է կատարի գործարքի պայմանները և ազատ արձակի երեխային, սակայն այս կերպ մոր պատասխանը չի համապատասխանի իրականությանը։ Նման պատասխանի կեղծությունն ապահովելու համար կոկորդիլոսին անհրաժեշտ է երեխային վերադարձնել մորը, սակայն դա հակասում է պայմանագրին, քանի որ նրա սխալը պետք է երեխային թողնի կոկորդիլոսին։
Հարկ է նշել, որ կոկորդիլոսի առաջարկած գործարքը պարունակում է տրամաբանական հակասություն, ուստի նրա խոստումն անկատար է։ Հռետոր, մտածող և քաղաքական գործիչ Կորաքս Սիրակուզացին, ով ապրել է մ.թ.ա. 5-րդ դարում, համարվում է այս դասական սոփիզմի հեղինակը։
6. Ապորիա «Դիխոտոմիա»
© www.student31.ru
Մեկ այլ պարադոքս Զենոն Ելեայի կողմից, որը ցույց է տալիս շարժման իդեալականացված մաթեմատիկական մոդելի սխալը: Խնդիրը կարելի է այսպես դնել. ենթադրենք, դուք սկսել եք գնալ ձեր քաղաքի ինչ-որ փողոցով սկզբից մինչև վերջ: Դա անելու համար դուք պետք է հաղթահարեք դրա առաջին կեսը, ապա մնացած կեսը, ապա հաջորդ հատվածի կեսը և այլն: Այլ կերպ ասած, դուք քայլում եք ամբողջ տարածության կեսը, այնուհետև քառորդը, մեկ ութերորդը, մեկ տասնվեցերորդը - ուղու նվազող հատվածների թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն, քանի որ մնացած ցանկացած մասը կարելի է բաժանել երկուսի, ինչը նշանակում է, որ անհնար է գնա ամբողջ ճանապարհը: Ձևակերպելով առաջին հայացքից ինչ-որ տեղից հեռու պարադոքս՝ Զենոնը ցանկանում էր ցույց տալ, որ մաթեմատիկական օրենքները հակասում են իրականությանը, քանի որ իրականում դուք հեշտությամբ կարող եք անցնել ամբողջ տարածությունը՝ առանց հետքի:
7. Ապորիա «Թռչող նետ»
Զենոն Ելեայի հայտնի պարադոքսն անդրադառնում է շարժման և ժամանակի բնույթի մասին գիտնականների պատկերացումների ամենախորը հակասություններին։ Ապորիան ձևակերպված է հետևյալ կերպ. աղեղից արձակված նետը մնում է անշարժ, քանի որ ցանկացած պահի հանգչում է առանց շարժվելու։ Եթե ժամանակի յուրաքանչյուր պահի սլաքը գտնվում է հանգստի վիճակում, ապա այն միշտ գտնվում է հանգստի վիճակում և ընդհանրապես չի շարժվում, քանի որ ժամանակի մեջ չկա այն պահը, երբ սլաքը շարժվում է տարածության մեջ:
© www.academic.ru
Մարդկության նշանավոր ուղեղները դարեր շարունակ փորձել են լուծել թռչող նետի պարադոքսը, բայց տրամաբանական տեսանկյունից դա միանգամայն ճիշտ է։ Այն հերքելու համար անհրաժեշտ է բացատրել, թե ինչպես կարող է վերջավոր ժամանակային ինտերվալը բաղկացած լինել ժամանակի անսահման թվով պահերից. նույնիսկ Արիստոտելը, ով համոզիչ կերպով քննադատեց Զենոնի ապորիան, չկարողացավ ապացուցել դա: Արիստոտելը իրավացիորեն մատնանշեց, որ ժամանակի ժամանակահատվածը չի կարող համարվել որոշ անբաժանելի մեկուսացված պահերի գումար, սակայն շատ գիտնականներ կարծում են, որ նրա մոտեցումը խորությամբ չի տարբերվում և չի հերքում պարադոքսի գոյությունը: Հարկ է նշել, որ թռչող նետի խնդիրը դնելով, Զենոնը չէր ձգտում հերքել շարժման հնարավորությունը, որպես այդպիսին, այլ հակասություններ բացահայտել իդեալիստական մաթեմատիկական հասկացությունների մեջ։
8. Գալիլեոյի պարադոքսը
Գալիլեո Գալիլեյ / © Վիքիմեդիա
Գիտության երկու նոր ճյուղերի վերաբերյալ իր «Զրույցներ և մաթեմատիկական ապացույցներ» գրքում Գալիլեո Գալիլեյն առաջարկեց մի պարադոքս, որը ցույց է տալիս անսահման բազմությունների հետաքրքիր հատկությունները: Գիտնականը երկու հակասական դատողություն է ձևակերպել. Նախ, կան թվեր, որոնք այլ ամբողջ թվերի քառակուսիներն են, օրինակ՝ 1, 9, 16, 25, 36 և այլն։ Կան այլ թվեր, որոնք չունեն այս հատկությունը՝ 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 և այլն։ Այսպիսով, կատարյալ քառակուսիների և սովորական թվերի ընդհանուր թիվը պետք է ավելի մեծ լինի, քան միայն կատարյալ քառակուսիների թիվը: Երկրորդ դատողություն՝ յուրաքանչյուր բնական թվի համար կա իր ճշգրիտ քառակուսին, իսկ յուրաքանչյուր քառակուսու համար՝ ամբողջ թվով քառակուսի արմատ, այսինքն՝ քառակուսիների թիվը հավասար է բնական թվերի թվին։
Ելնելով այս հակասությունից՝ Գալիլեոն եզրակացրեց, որ տարրերի քանակի մասին դատողությունը կիրառվում է միայն վերջավոր բազմությունների համար, չնայած հետագայում մաթեմատիկոսները ներկայացրեցին բազմության ուժի հայեցակարգը. .
9. Կարտոֆիլի պարկի պարադոքս
© nieidealne-danie.blogspot.com
Ենթադրենք, ինչ-որ ֆերմերի մոտ կա մի պարկ կարտոֆիլ, որը կշռում է ուղիղ 100 կգ։ Հետազոտելով դրա պարունակությունը՝ ֆերմերը հայտնաբերում է, որ պարկը պահվել է խոնավության մեջ՝ դրա զանգվածի 99%-ը ջուր է, իսկ մնացած նյութերի 1%-ը, որոնք պարունակում են կարտոֆիլը։ Նա որոշում է կարտոֆիլը մի փոքր չորացնել, որպեսզի ջրի պարունակությունը իջնի մինչև 98% և տոպրակը տեղափոխի չոր տեղ։ Հաջորդ օրը պարզվում է, որ մեկ լիտր (1 կգ) ջուր իսկապես գոլորշիացել է, բայց պարկի քաշը 100-ից նվազել է 50 կգ-ի, ինչպե՞ս կարող է դա լինել։ Հաշվարկենք՝ 100 կգ-ի 99%-ը կազմում է 99 կգ, ինչը նշանակում է, որ չոր մնացորդի զանգվածի և ջրի զանգվածի հարաբերակցությունն ի սկզբանե եղել է 1/99։ Չորացնելուց հետո ջուրը պարունակում է պարկի ընդհանուր զանգվածի 98%-ը, ինչը նշանակում է, որ չոր մնացորդի զանգվածի հարաբերակցությունը ջրի զանգվածին այժմ 1/49 է։ Քանի որ մնացորդի զանգվածը չի փոխվել, մնացած ջուրը կշռում է 49 կգ։
Իհարկե, ուշադիր ընթերցողն անմիջապես կհայտնաբերի հաշվարկների մեջ կոպիտ մաթեմատիկական սխալ. երևակայական կատակերգական «կարտոֆիլի պարկը» կարելի է համարել հիանալի օրինակ, թե ինչպես է առաջին հայացքից օգտագործել «տրամաբանական» և «գիտականորեն աջակցվող»: պատճառաբանելով, դուք կարող եք բառացիորեն զրոյից կառուցել մի տեսություն, որը հակասում է ողջախոհությանը: իմաստը:
10 Raven Paradox
Կարլ Գուստավ Հեմպել / © Վիքիմեդիա
Խնդիրը հայտնի է նաև որպես Հեմփելի պարադոքս՝ այն ստացել է իր երկրորդ անվանումը՝ ի պատիվ գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Հեմփելի՝ իր դասական տարբերակի հեղինակի։ Խնդիրը շատ պարզ ձևակերպված է՝ յուրաքանչյուր ագռավ սև է։ Այստեղից հետևում է, որ այն, ինչ սև չէ, չի կարող ագռավ լինել։ Այս օրենքը կոչվում է տրամաբանական հակադրություն, այսինքն՝ եթե որոշակի «Ա» նախադրյալն ունի «Բ» հետևանք, ապա «Բ»-ի ժխտումը համարժեք է «Ա»-ի ժխտմանը։ Եթե մարդը տեսնում է սև ագռավ, դա ամրապնդում է նրա համոզմունքը, որ բոլոր ագռավները սև են, ինչը միանգամայն տրամաբանական է, սակայն, համաձայն հակադրության և ինդուկցիայի սկզբունքի, տրամաբանական է պնդել, որ ոչ սև առարկաների դիտարկումը (ասենք. , կարմիր խնձոր) նույնպես ապացուցում է, որ բոլոր ագռավները սև են ներկված։ Այսինքն, այն փաստը, որ մարդը ապրում է Սանկտ Պետերբուրգում, վկայում է, որ նա Մոսկվայում չի ապրում։
Տրամաբանության տեսանկյունից պարադոքսը կատարյալ է թվում, բայց այն հակասում է իրական կյանքին. կարմիր խնձորները ոչ մի կերպ չեն կարող հաստատել այն փաստը, որ բոլոր ագռավները սև են:
Այստեղ մենք արդեն ունեինք ձեզ հետ պարադոքսների ընտրանի -, ինչպես նաև մասնավորապես, և Հոդվածի բնօրինակը գտնվում է կայքում InfoGlaz.rfՀղում դեպի այն հոդվածը, որտեղից պատրաստված է այս պատճենը.
Հայտնի է, որ խնդրի ձևակերպումը հաճախ ավելի կարևոր և դժվար է, քան այն լուծելը։ «Գիտության մեջ,— գրում է անգլիացի քիմիկոս Ֆ. Սոդին,— ճիշտ դրված խնդիրը կեսից ավելին լուծված է։ Հոգեկան պատրաստման գործընթացը, որը պահանջվում է պարզելու, որ որոշակի խնդիր կա, հաճախ ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան առաջադրանքը:
Խնդիրային իրավիճակի դրսևորման և իրականացման ձևերը շատ բազմազան են։ Դա միշտ չէ, որ բացահայտվում է ուղղակի հարցի տեսքով, որն առաջացել է ուսումնասիրության հենց սկզբում։ Խնդիրների աշխարհը նույնքան բարդ է, որքան դրանք առաջացնող ճանաչողության գործընթացը: Ստեղծագործական մտածողության հիմքում խնդիրների բացահայտումն է: Պարադոքսներն ամենահետաքրքիր դեպքն են անուղղակի, անտարակույս խնդիրների առաջադրման եղանակների: Պարադոքսները տարածված են գիտական տեսությունների զարգացման սկզբնական փուլերում, երբ առաջին քայլերն արվում են դեռևս չուսումնասիրված տարածքում, և որոնվում են դրան մոտեցման ամենաընդհանուր սկզբունքները:
Պարադոքսներ և տրամաբանություն
Լայն իմաստով պարադոքսը այն դիրքորոշումն է, որը կտրուկ տարբերվում է ընդհանուր ընդունված, հաստատված, ուղղափառ կարծիքներից: «Ընդհանուր առմամբ ճանաչված կարծիքները և այն, ինչը համարվում է վաղուցվա գործ, առավել հաճախ արժանի են հետազոտության» (Գ. Լիխտենբերգ): Պարադոքսը նման հետազոտության սկիզբն է։
Ավելի նեղ և մասնագիտացված իմաստով պարադոքսը երկու հակադիր, անհամատեղելի պնդումներ են, որոնցից յուրաքանչյուրի համար կան թվացյալ համոզիչ փաստարկներ։
Պարադոքսի ամենասուր ձևը հականոմինիա է, պատճառաբանություն, որն ապացուցում է երկու պնդումների համարժեքությունը, որոնցից մեկը մյուսի ժխտումն է։
Պարադոքսները հատկապես հայտնի են ամենախիստ և ճշգրիտ գիտություններում՝ մաթեմատիկա և տրամաբանություն: Եվ սա պատահական չէ։
Տրամաբանությունը վերացական գիտություն է։ Դրանում չկան փորձեր, նույնիսկ փաստեր՝ բառի սովորական իմաստով։ Իր համակարգերը կառուցելիս տրամաբանությունը, ի վերջո, բխում է իրական մտածողության վերլուծությունից: Բայց այս վերլուծության արդյունքները սինթետիկ են, չտարբերակված։ Դրանք առանձին գործընթացների կամ իրադարձությունների հայտարարություններ չեն, որոնք տեսությունը պետք է բացատրի: Ակնհայտ է, որ նման վերլուծությունը չի կարելի անվանել դիտարկում՝ միշտ նկատվում է կոնկրետ երեւույթ։
Կառուցելով նոր տեսություն՝ գիտնականը սովորաբար ելնում է փաստերից, այն ամենից, ինչ կարելի է դիտարկել փորձի ժամանակ։ Որքան էլ ազատ լինի նրա ստեղծագործական երևակայությունը, այն պետք է հաշվի առնի մեկ անփոխարինելի հանգամանք. տեսությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, եթե այն համաձայնում է իր առնչվող փաստերին: Տեսությունը, որը չի համաձայնում փաստերի և դիտարկումների հետ, հեռու է և արժեք չունի:
Բայց եթե չկան փորձեր տրամաբանության մեջ, չկան փաստեր և չկան բուն դիտարկում, ապա ի՞նչն է հետ պահում տրամաբանական ֆանտազիան: Ի՞նչ գործոններ, եթե ոչ փաստեր, հաշվի են առնվում նոր տրամաբանական տեսություններ ստեղծելիս։
Տրամաբանական տեսության և իրական մտածողության պրակտիկայի միջև անհամապատասխանությունը հաճախ բացահայտվում է քիչ թե շատ սուր տրամաբանական պարադոքսի, իսկ երբեմն նույնիսկ տրամաբանական հականոմիայի տեսքով, որը խոսում է տեսության ներքին անհամապատասխանության մասին։ Սա պարզապես բացատրում է տրամաբանության մեջ պարադոքսներին տրվող նշանակությունը և այն մեծ ուշադրությունը, որ նրանք վայելում են դրանում։
«Սուտասան» պարադոքսի տարբերակները
Բոլոր տրամաբանական պարադոքսներից ամենահայտնին և թերևս ամենահետաքրքիրը «Սուտասան» պարադոքսն է: Հենց նա է փառաբանել Միլետոսցի Եվբուլիդեսի անունը, ով հայտնաբերել է այն:
Կան այս պարադոքսի կամ հականոմի տարբերակները, որոնցից շատերը միայն առերեւույթ պարադոքսալ են:
«Սուտասան»-ի ամենապարզ տարբերակում մարդն ասում է միայն մեկ արտահայտություն՝ «ստում եմ»: Կամ ասում է. «Այն հայտարարությունը, որ ես հիմա անում եմ, սուտ է»։ Կամ՝ «Այս հայտարարությունը սուտ է»։
Եթե հայտարարությունը սուտ է, ապա խոսնակն ասել է ճշմարտությունը, հետևաբար նրա ասածը սուտ չէ։ Եթե հայտարարությունը սուտ չէ, և բանախոսը պնդում է, որ այն կեղծ է, ապա այս հայտարարությունը սուտ է։ Ստացվում է, ուրեմն, որ եթե խոսողը ստում է, ապա նա ասում է ճշմարտությունը, և հակառակը։
Միջնադարում տարածված էր հետևյալ ձևակերպումը.
«Պլատոնի ասածը սուտ է», - ասում է Սոկրատեսը:
«Այն, ինչ ասել է Սոկրատեսը, ճշմարտությունն է», - ասում է Պլատոնը:
Հարց է առաջանում՝ դրանցից ո՞րն է արտահայտում ճշմարտությունը, իսկ ո՞րն է սուտը։
Եվ ահա այս պարադոքսի ժամանակակից պարադոքսը. Ենթադրենք, որ բացիկի ճակատային մասում գրված են միայն «Այս քարտի մյուս կողմում գրված է ճշմարիտ հայտարարություն»: Հասկանալի է, որ այս խոսքերը բովանդակալից հայտարարություն են ներկայացնում։ Շրջելով քարտը՝ կա՛մ պետք է գտնենք խոստացված հայտարարությունը, կա՛մ այն չկա։ Եթե ետևում գրված է, ուրեմն կամ ճիշտ է, կամ ոչ։ Այնուամենայնիվ, հետևի կողմում գրված է «Այս բացիկի մյուս կողմում կեղծ հայտարարություն է գրված» և ոչ ավելին: Ենթադրենք, որ ճակատային մասի հայտարարությունը ճշմարիտ է: Այնուհետև հետևի հայտարարությունը պետք է լինի ճշմարիտ, և հետևաբար առջևի հայտարարությունը պետք է լինի կեղծ: Բայց եթե ճակատի հայտարարությունը կեղծ է, ապա հետևի հայտարարությունը նույնպես պետք է կեղծ լինի, և հետևաբար, ճակատի հայտարարությունը պետք է լինի ճշմարիտ: Արդյունքը պարադոքս է.
Ստախոս պարադոքսը հսկայական տպավորություն թողեց հույների վրա: Եվ հեշտ է հասկանալ, թե ինչու: Հարցը, որ այն տալիս է առաջին հայացքից, բավականին պարզ է թվում. ստու՞մ է նա, ով միայն ասում է, որ ստում է։ Բայց «այո» պատասխանը տանում է դեպի «ոչ» պատասխանը և հակառակը։ Իսկ արտացոլումն ամենևին էլ չի պարզաբանում իրավիճակը։ Հարցի պարզության և նույնիսկ առօրյայի հետևում այն բացահայտում է որոշ անհասկանալի և անչափելի խորություն:
Նույնիսկ լեգենդ կա, որ ոմն Ֆիլիտ Կոսսկին, որը հուսահատ էր լուծել այս պարադոքսը, ինքնասպան է եղել: Ասում են նաև, որ հին հույն հայտնի տրամաբաններից մեկը՝ Դիոդորոս Կրոնոսը, արդեն անկման տարիներին, երդվել է չուտել մինչև չգտնի «Սուտասանի» լուծումը և շուտով մահացավ՝ ոչինչ չհասցնելով։
Միջնադարում այս պարադոքսը վերաբերվում էր այսպես կոչված անորոշ նախադասություններին և դառնում համակարգված վերլուծության առարկա։
Նոր ժամանակներում «Սուտասանը» երկար ժամանակ ուշադրություն չէր գրավում։ Նրանք լեզվի օգտագործման հետ կապված որևէ, նույնիսկ աննշան դժվարություններ չեն տեսել։ Եվ միայն մեր, այսպես ասած, ժամանակակից ժամանակներում տրամաբանության զարգացումը վերջապես հասել է մի մակարդակի, երբ հնարավոր է դարձել խիստ ձևակերպել այն խնդիրները, որոնք կարծես թե կանգնած են այս պարադոքսի հետևում։
Այժմ «Սուտասան»-ը` այս տիպիկ նախկին սոփիզմը, հաճախ անվանում են տրամաբանական պարադոքսների արքա: Նրան է նվիրված գիտական ծավալուն գրականություն։ Եվ այնուամենայնիվ, ինչպես շատ այլ պարադոքսների դեպքում, այնքան էլ պարզ չէ, թե ինչ խնդիրներ են թաքնված դրա հետևում և ինչպես ազատվել դրանից:
Լեզու և մետալեզու
Այժմ «Սուտասանը» սովորաբար համարվում է այն դժվարությունների բնորոշ օրինակը, որին հանգեցնում է երկու լեզուների խառնաշփոթը. լեզուն, որով խոսվում է մի իրականության մասին, որը գտնվում է դրանից դուրս, և լեզուն, որով խոսում է հենց դրա մասին։ առաջին լեզուն.
Առօրյա լեզվով այս մակարդակների միջև տարբերություն չկա. մենք խոսում ենք նույն լեզվով իրականության և լեզվի մասին: Օրինակ, մարդը, ում մայրենի լեզուն ռուսերենն է, մեծ տարբերություն չի տեսնում «ապակին թափանցիկ է» և «Ճիշտ է, որ ապակին թափանցիկ է» արտահայտությունների միջև, թեև դրանցից մեկը խոսում է ապակու մասին, իսկ մյուսը հայտարարությունների մասին. ապակի.
Եթե ինչ-որ մեկը պատկերացում ունենար աշխարհի մասին մի լեզվով խոսելու անհրաժեշտության մասին, իսկ մեկ այլ լեզվով այս լեզվի հատկությունների մասին, նա կարող էր օգտագործել երկու տարբեր գոյություն ունեցող լեզուներ, ասենք ռուսերենը և անգլերենը: Ուղղակի «Կովը գոյական է» ասելու փոխարեն ես կասեի «Կովը գոյական է», իսկ «Ապակին թափանցիկ չէ» արտահայտությունը կեղծ է» կասեի՝ «Ապակին թափանցիկ չէ» պնդումը կեղծ է։ «. Երկու տարբեր լեզուների այս կիրառմամբ աշխարհի մասին ասվածն ակնհայտորեն կտարբերվի այն լեզվից, որով խոսվում է աշխարհի մասին: Իրոք, առաջին հայտարարությունները վերաբերելու են ռուսերենին, իսկ երկրորդը՝ անգլերենին։
Եթե հետագայում մեր լեզուների մասնագետը կցանկանա խոսել որոշ հանգամանքների մասին, որոնք արդեն վերաբերում են անգլերենին, նա կարող է օգտագործել այլ լեզու: Ասենք գերմաներեն։ Այս վերջինի մասին խոսելու համար կարելի է դիմել, ասենք, իսպաներենին և այլն։
Ստացվում է, հետևաբար, լեզուների մի տեսակ սանդուղք կամ հիերարխիա, որոնցից յուրաքանչյուրն օգտագործվում է շատ որոշակի նպատակով. առաջինում խոսում են օբյեկտիվ աշխարհի մասին, երկրորդում՝ այս առաջին լեզվի մասին, երրորդ - երկրորդ լեզվի մասին և այլն: Լեզուների նման տարբերակումն ըստ իրենց կիրառման բնագավառի հազվադեպ երեւույթ է առօրյա կյանքում: Բայց գիտություններում, որոնք, ինչպես տրամաբանությունը, զբաղվում են հատուկ լեզուներով, երբեմն դա շատ օգտակար է ստացվում։ Աշխարհի մասին խոսելու համար օգտագործվող լեզուն սովորաբար կոչվում է առարկայական լեզու: Լեզուն, որն օգտագործվում է առարկայի լեզուն նկարագրելու համար, կոչվում է մետալեզու:
Հասկանալի է, որ եթե լեզուն ու մետալեզուն այս կերպ սահմանազատվեն, ապա «ստում եմ» արտահայտությունն այլեւս չի կարող ձեւակերպվել։ Այն խոսում է ռուսերեն ասվածի կեղծ լինելու մասին, և, հետևաբար, պատկանում է մետալեզուին և պետք է արտահայտվի անգլերենով։ Մասնավորապես, այն պետք է հնչի այսպես. «Այն, ինչ ես խոսում եմ ռուսերեն, կեղծ է» («Այն, ինչ ես ասում եմ ռուսերեն, կեղծ է»); այս անգլերեն հայտարարությունն իր մասին ոչինչ չի ասում, և ոչ մի պարադոքս չի առաջանում:
Լեզվի և մետալեզու տարբերակումը հնարավորություն է տալիս վերացնել «Սուտասան» պարադոքսը։ Այսպիսով, հնարավոր է դառնում ճիշտ, առանց հակասության սահմանել ճշմարտության դասական հասկացությունը. ճշմարիտ է այն պնդումը, որը համապատասխանում է իր նկարագրած իրականությանը:
Ճշմարտության հասկացությունը, ինչպես և մյուս բոլոր իմաստաբանական հասկացությունները, ունի հարաբերական բնույթ. այն միշտ կարելի է վերագրել որոշակի լեզվի:
Ինչպես ցույց տվեց լեհ տրամաբան Ա. Տարսկին, ճշմարտության դասական սահմանումը պետք է ձևակերպվի ավելի լայն լեզվով, քան այն լեզվով, որի համար այն նախատեսված է: Այլ կերպ ասած, եթե ուզում ենք նշել, թե ինչ է նշանակում «տվյալ լեզվի մեջ ճշմարիտ պնդում» արտահայտությունը, պետք է, բացի այս լեզվի արտահայտություններից, օգտագործենք նաև արտահայտություններ, որոնք չկան դրանում։
Տարսկին ներկայացրեց իմաստային փակ լեզվի հայեցակարգը։ Նման լեզուն իր արտահայտություններից բացի ներառում է նրանց անունները, ինչպես նաև, ինչը կարևոր է ընդգծել, հայտարարություններ դրանում ձևակերպված նախադասությունների ճշմարտացիության մասին:
Իմաստային փակ լեզվում լեզվի և մետալեզու միջև սահման չկա: Դրա միջոցներն այնքան հարուստ են, որ թույլ են տալիս ոչ միայն ինչ-որ բան պնդել արտալեզվական իրականության մասին, այլև գնահատել նման հայտարարությունների իսկությունը։ Այս միջոցները բավարար են, մասնավորապես, լեզվում «Սուտասան» հականոմինիան վերարտադրելու համար։ Իմաստային առումով փակ լեզուն, այսպիսով, պարզվում է, որ ինքն իրեն հակասող է: Յուրաքանչյուր բնական լեզու ակնհայտորեն փակ է իմաստային առումով:
Անտիոմիան և, հետևաբար, ներքին անհամապատասխանությունը վերացնելու միակ ընդունելի միջոցը, ըստ Տարսկու, իմաստային առումով փակ լեզվի օգտագործումից հրաժարվելն է։ Այս ճանապարհն ընդունելի է, իհարկե, միայն արհեստական, ֆորմալացված լեզուների դեպքում, որոնք թույլ են տալիս հստակ բաժանում լեզվի և մետալեզուների։ Բնական լեզուներում, իրենց անհասկանալի կառուցվածքով և ամեն ինչի մասին նույն լեզվով խոսելու ունակությամբ, այս մոտեցումն այնքան էլ իրատեսական չէ։ Անիմաստ է բարձրացնել այս լեզուների ներքին հետևողականության հարցը։ Նրանց հարուստ արտահայտչական հնարավորություններն ունեն նաև իրենց բացասական կողմերը՝ պարադոքսները։
Պարադոքսի այլ լուծումներ
Այսպիսով, կան հայտարարություններ, որոնք խոսում են իրենց իսկ ճշմարտության կամ կեղծիքի մասին: Այն միտքը, որ նման հայտարարությունները իմաստ չունեն, շատ հին է: Այն պաշտպանել է հին հունական տրամաբան Խրիսիպպոսը։
Միջնադարում անգլիացի փիլիսոփա և տրամաբան Ու. Այս հայտարարությունից ուղղակիորեն հակասություն է բխում. Եթե յուրաքանչյուր առաջարկություն կեղծ է, ապա նույնն է նաև բուն առաջարկը. բայց որ դա կեղծ է, նշանակում է, որ ամեն առաջարկ չէ, որ կեղծ է: Նման իրավիճակ է «Յուրաքանչյուր հայտարարություն ճշմարիտ է» հայտարարության դեպքում։ Այն նաև պետք է դասակարգվի որպես անիմաստ և նաև հանգեցնում է հակասության. եթե յուրաքանչյուր պնդում ճշմարիտ է, ապա այս պնդման ժխտումն ինքնին նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն՝ այն պնդումը, որ ոչ բոլոր պնդումներն են ճշմարիտ։
Ինչո՞ւ, այնուամենայնիվ, հայտարարությունը չի կարող իմաստալից խոսել իր իսկության կամ կեղծիքի մասին:
Արդեն XIV դարի ֆրանսիացի փիլիսոփա Օքհեմի ժամանակակիցն է։ Ջ.Բուրիդանը համաձայն չէր իր որոշման հետ։ Անիմաստության մասին սովորական պատկերացումների տեսանկյունից՝ «Սուտ եմ ասում», «Յուրաքանչյուր հայտարարություն ճիշտ է (սուտ)» և այլն։ բավականին բովանդակալից. Ինչ կարող ես մտածել, ինչ կարող ես ասել, սա Բուրիդանի ընդհանուր սկզբունքն է: Մարդը կարող է մտածել իր ասածի ճշմարտացիության մասին, ինչը նշանակում է, որ կարող է խոսել դրա մասին։ Իրենց մասին ոչ բոլոր հայտարարություններն են անիմաստ։ Օրինակ՝ «Այս նախադասությունը գրված է ռուսերեն» արտահայտությունը ճիշտ է, իսկ «Այս նախադասության մեջ տասը բառ կա» հայտարարությունը սխալ է։ Եվ երկուսն էլ կատարյալ իմաստ ունեն։ Եթե ընդունվում է, որ հայտարարությունը կարող է խոսել իր մասին, ապա ինչո՞ւ այն ի վիճակի չէ իմաստալից խոսել իր այնպիսի հատկության մասին, ինչպիսին ճշմարտությունն է։
Ինքը՝ Բուրիդանը, «ստում եմ» հայտարարությունը ոչ թե անիմաստ, այլ սուտ է համարել։ Նա դա հիմնավորեց այսպես. Երբ մարդը հաստատում է առաջարկը, նա դրանով իսկ պնդում է, որ այն ճիշտ է: Եթե նախադասությունն ինքն իր մասին ասում է, որ այն ինքնին կեղծ է, ապա այն ավելի բարդ արտահայտության կրճատ ձևակերպումն է, որը հաստատում է և՛ դրա ճշմարտացիությունը, և՛ կեղծիքը: Այս արտահայտությունը հակասական է և, հետևաբար, կեղծ: Բայց դա ոչ մի կերպ անիմաստ չէ։
Բուրիդանի փաստարկը դեռ երբեմն համոզիչ է համարվում։
«Սուտասանի» պարադոքսի լուծման այլ ուղղություններ էլ կան քննադատության, որը մանրամասն մշակել է Տարսկին։ Արդյո՞ք այս տիպի պարադոքսների դեմ հակաթույն չկա իմաստապես փակ լեզուներում, և բոլոր բնական լեզուները նույնպես:
Եթե դա այդպես լիներ, ապա ճշմարտության հասկացությունը կարող էր միայն խիստ ձևակերպվել ֆորմալացված լեզուներով: Միայն դրանցում է հնարավոր տարբերակել օբյեկտիվ լեզուն, որով մարդիկ խոսում են շրջապատող աշխարհի մասին, և այն մետալեզուն, որով խոսում են այս լեզվի մասին։ Լեզուների այս հիերարխիան ձևավորվել է մայրենի լեզվի օգնությամբ օտար լեզվի յուրացման հիման վրա: Նման հիերարխիայի ուսումնասիրությունը հանգեցրեց շատ հետաքրքիր եզրակացությունների, և որոշ դեպքերում դա էական է։ Բայց դա բնական լեզվով գոյություն չունի։ Դա նրան վարկաբեկո՞ւմ է։ Եվ եթե այո, ապա որքանո՞վ: Չէ՞ որ դրանում դեռ օգտագործվում է ճշմարտություն հասկացությունը և սովորաբար առանց որևէ բարդության։ Արդյո՞ք հիերարխիայի ներդրումը միակ միջոցն է վերացնելու պարադոքսները, ինչպիսին Ստախոսն է:
1930-ականներին այս հարցերի պատասխանները, անկասկած, դրական էին թվում։ Սակայն այժմ չկա նախկին միաձայնություն, թեև լեզուն «շերտավորելու» միջոցով այս տեսակի պարադոքսները վերացնելու ավանդույթը շարունակում է գերիշխող մնալ։
Վերջերս եսակենտրոն արտահայտություններն ավելի ու ավելի մեծ ուշադրություն են գրավում։ Դրանք պարունակում են «ես», «սա», «այստեղ», «հիմա» բառեր, և դրանց ճշմարտացիությունը կախված է նրանից, թե երբ, ում կողմից, որտեղ են դրանք օգտագործվում:
«Այս հայտարարությունը կեղծ է» հայտարարության մեջ հայտնվում է «սա» բառը: Ո՞ր օբյեկտին է այն վերաբերում: «Սուտասան»-ը կարող է ցույց տալ, որ «դա» բառը չի վերաբերում տվյալ հայտարարության իմաստին: Բայց հետո ինչի՞ն է դա վերաբերում, ի՞նչ է նշանակում։ Իսկ ինչո՞ւ այս իմաստը դեռևս չի կարելի նշանակել «սա» բառով։
Այստեղ չմանրամասնելով՝ հարկ է միայն նշել, որ եսակենտրոն արտահայտությունների վերլուծության համատեքստում «Սուտասանը» լցված է բոլորովին այլ բովանդակությամբ, քան նախկինում էր։ Պարզվում է, որ նա այլեւս չի զգուշացնում լեզվի ու մետալեզու խառնաշփոթի դեմ, այլ մատնանշում է վտանգները՝ կապված «սա» բառի և նմանատիպ եսակենտրոն բառերի չարաշահման հետ։
Հարցերը, որոնք դարերի ընթացքում կապված են եղել «Սուտասանի» հետ, արմատապես փոխվել են՝ կախված նրանից, թե այն դիտվել է որպես երկիմաստության օրինակ, թե արտաքուստ որպես լեզվի և մետալեզու խառնուրդի օրինակ, կամ, վերջապես, որպես արտահայտություն. եսակենտրոն արտահայտությունների չարաշահման տիպիկ օրինակ։ Եվ վստահություն չկա, որ այլ խնդիրներ ապագայում չեն կապվի այս պարադոքսի հետ։
Ժամանակակից հայտնի ֆիննական տրամաբան և փիլիսոփա Հ. ֆոն Ռայթը «Սուտասան» թեմայով իր աշխատության մեջ գրել է, որ այս պարադոքսը ոչ մի կերպ չպետք է ընկալվի որպես տեղական, մեկուսացված խոչընդոտ, որը կարող է վերացվել մտքի մեկ հնարամիտ շարժումով: Սուտը շոշափում է տրամաբանության և իմաստաբանության ամենակարևոր թեմաներից շատերը: Սա ճշմարտության սահմանումն է, հակասության և ապացույցների մեկնաբանությունը և մի ամբողջ շարք կարևոր տարբերություններ՝ նախադասության և դրանով արտահայտված մտքի միջև, արտահայտության օգտագործման և դրա հիշատակման, անվան իմաստի և այն առարկան, որը նշանակում է.
Իրավիճակը նման է այլ տրամաբանական պարադոքսների հետ կապված։ «Տրամաբանության հակասությունները,- գրում է ֆոն Ռայթը,- մեզ տարակուսանքի մեջ են գցել իրենց հայտնագործությունից ի վեր և, հավանաբար, միշտ կհարմարեցնեն մեզ: Դրանք, կարծում եմ, պետք է դիտարկենք ոչ այնքան որպես լուծման սպասող խնդիրներ, որքան մտքի անսպառ հումք։ Դրանք կարևոր են, քանի որ դրանց մասին մտածելը շոշափում է ողջ տրամաբանության, հետևաբար և ողջ մտքի ամենահիմնարար հարցերը»:
«Սուտասանի» մասին այս զրույցի ավարտին կարելի է հիշել մի հետաքրքիր դրվագ այն ժամանակներից, երբ դեռ ֆորմալ տրամաբանությունը սովորեցնում էին դպրոցում։ 1940-ականների վերջին հրատարակված տրամաբանության դասագրքում ութերորդ դասարանի աշակերտներին որպես տնային առաջադրանք, այսպես ասած, որպես տաքացում, խնդրեցին գտնել այս պարզ արտաքինի մեջ թույլ տրված սխալը՝ «Ես ստում եմ»: Եվ, թող տարօրինակ չթվա, ենթադրվում էր, որ դպրոցականների մեծամասնությունը հաջողությամբ հաղթահարել է նման խնդիրը։
2. Ռասելի պարադոքսը
Արդեն մեր դարում հայտնաբերված պարադոքսներից ամենահայտնին Բ.Ռասելի հայտնաբերած և Գ.Ֆերգեին ուղղված նամակում նրա հայտնած հականոմիան է։ Նույն հականոմինիան Գյոթինգենում միաժամանակ քննարկել են գերմանացի մաթեմատիկոսներ Զ. Զերմելոն և Դ. Հիլբերտը։
Գաղափարը օդում էր, և դրա հրապարակումը պայթող ռումբի տպավորություն թողեց: Այս պարադոքսը մաթեմատիկայի մեջ առաջացրել է, ըստ Հիլբերտի, լիակատար աղետի էֆեկտ։ Ամենապարզ և ամենակարևոր տրամաբանական մեթոդները, ամենատարածված և օգտակար հասկացությունները վտանգի տակ են։
Անմիջապես ակնհայտ դարձավ, որ ոչ տրամաբանության մեջ, ոչ էլ մաթեմատիկայի մեջ, իրենց գոյության ողջ երկար պատմության ընթացքում, հստակորեն մշակված որևէ բան, որը կարող էր հիմք ծառայել հականոմիականությունը վերացնելու համար: Ակնհայտորեն անհրաժեշտ էր շեղվել սովորական մտածելակերպից: Բայց որտեղի՞ց և ի՞նչ ուղղությամբ։ Որքա՞ն արմատական պետք է լիներ տեսականության հաստատված ուղիների մերժումը:
Անտինոմի հետագա ուսումնասիրությամբ համոզմունքը սկզբունքորեն նոր մոտեցման անհրաժեշտության մեջ անշեղորեն աճում էր: Դրա հայտնաբերումից կես դար անց տրամաբանության և մաթեմատիկայի հիմունքների մասնագետներ Լ. Ֆրենկելը և Ի. Բար-Հիլելը առանց որևէ վերապահումների արդեն հայտարարել են.
Ժամանակակից ամերիկացի տրամաբան Հ. Քարրին մի փոքր ավելի ուշ գրել է այս պարադոքսի մասին. «19-րդ դարում հայտնի տրամաբանության առումով իրավիճակը պարզապես հակասում էր բացատրությանը, թեև, իհարկե, մեր կրթված դարում կարող են լինել մարդիկ, ովքեր տեսնում են (կամ. կարծում են, որ տեսնում են), ո՞րն է սխալը:
Ռասելի պարադոքսն իր սկզբնական տեսքով կապված է բազմություն կամ դաս հասկացության հետ։
Կարող ենք խոսել տարբեր առարկաների բազմությունների մասին, օրինակ՝ բոլոր մարդկանց բազմության կամ բնական թվերի բազմության մասին։ Առաջին բազմության տարրը կլինի ցանկացած անհատ, երկրորդի տարրը՝ յուրաքանչյուր բնական թիվ: Կարելի է նաև ինքնին բազմությունները դիտարկել որպես որոշ առարկաներ և խոսել բազմությունների հավաքածուների մասին: Կարելի է նույնիսկ ներկայացնել այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են բոլոր բազմությունների ամբողջությունը կամ բոլոր հասկացությունների ամբողջությունը:
Սովորական կոմպլեկտների հավաքածու
Ինչ վերաբերում է կամայականորեն վերցված ցանկացած հավաքածուի, խելամիտ է թվում հարցնել՝ դա իր սեփական տարրն է, թե ոչ: Կոմպլեկտները, որոնք իրենց որպես տարր չեն պարունակում, կկոչվեն սովորական: Օրինակ՝ բոլոր մարդկանց բազմությունը մարդ չէ, ինչպես ատոմների բազմությունը ատոմ չէ։ Կոմպլեկտները, որոնք պատշաճ տարրեր են, անսովոր կլինեն: Օրինակ՝ բոլոր բազմությունները միավորող բազմությունը բազմություն է և հետևաբար պարունակում է իրեն որպես տարր:
Այժմ դիտարկենք բոլոր սովորական հավաքածուների հավաքածուն: Քանի որ կոմպլեկտ է, կարելի է նաև հարցնել՝ սովորական է, թե անսովոր։ Պատասխանը, սակայն, հուսահատեցնող է. Եթե այն սովորական է, ապա ըստ սահմանման այն պետք է պարունակի իրեն որպես տարր, քանի որ պարունակում է բոլոր սովորական բազմությունները։ Բայց սա նշանակում է, որ դա անսովոր հավաքածու է։ Այն ենթադրությունը, որ մեր հավաքածուն սովորական հավաքածու է, հետևաբար, հանգեցնում է հակասության: Այնպես որ, դա չի կարող նորմալ լինել: Մյուս կողմից, դա նույնպես չի կարող արտասովոր լինել. անսովոր հավաքածուն իրեն պարունակում է որպես տարր, իսկ մեր հավաքածուի տարրերը միայն սովորական հավաքածուներ են։ Արդյունքում մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ բոլոր սովորական բազմությունների բազմությունը չի կարող լինել ոչ սովորական, ոչ արտասովոր։
Այսպիսով, բոլոր բազմությունների բազմությունը, որոնք պատշաճ տարրեր չեն, պատշաճ տարր է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դա այդպիսի տարր չէ: Սա ակնհայտ հակասություն է։ Եվ դա ստացվել է ամենահավանական ենթադրությունների հիման վրա ու անվիճելի թվացող քայլերի օգնությամբ։
Հակասությունն ասում է, որ նման հավաքածու պարզապես գոյություն չունի։ Բայց ինչու դա չի կարող գոյություն ունենալ: Ի վերջո, այն բաղկացած է առարկաներից, որոնք բավարարում են հստակ սահմանված պայմանը, և պայմանն ինքնին ինչ-որ կերպ բացառիկ կամ անհասկանալի չի թվում: Եթե այդքան պարզ և հստակ սահմանված բազմությունը չի կարող գոյություն ունենալ, ապա իրականում ո՞րն է տարբերությունը հնարավոր և անհնար բազմությունների միջև: Դիտարկվող լրակազմի չգոյության մասին եզրակացությունը հնչում է անսպասելի և անհանգստություն է ներշնչում։ Այն ամորֆ և քաոսային է դարձնում մեր ընդհանուր պատկերացումը բազմության մասին, և երաշխիք չկա, որ այն չի կարող առաջացնել որոշ նոր պարադոքսներ:
Ռասելի պարադոքսն ուշագրավ է իր ծայրահեղ ընդհանրությամբ։ Դրա կառուցման համար բարդ տեխնիկական հայեցակարգեր պետք չեն, քանի որ որոշ այլ պարադոքսների դեպքում բավարար են «կոմպլեկտ» և «կոմպլեկտի տարր» հասկացությունները։ Բայց այս պարզությունը պարզապես խոսում է դրա հիմնարար բնույթի մասին. այն շոշափում է բազմությունների մասին մեր դատողությունների ամենախորը հիմքերը, քանի որ խոսում է ոչ թե որոշ հատուկ դեպքերի, այլ ընդհանրապես բազմությունների մասին։
Պարադոքսի այլ տարբերակներ
Ռասելի պարադոքսը հատուկ մաթեմատիկական չէ: Այն օգտագործում է հավաքածու հասկացությունը, բայց չի շոշափում հատուկ մաթեմատիկայի հետ կապված որևէ հատուկ հատկություն:
Սա ակնհայտ է դառնում, երբ պարադոքսը վերաձեւակերպվում է զուտ տրամաբանական առումով:
Յուրաքանչյուր սեփականությունից կարելի է, ամենայն հավանականությամբ, հարցնել՝ կիրառելի է արդյոք այն իր համար, թե ոչ:
Տաք լինելու հատկությունը, օրինակ, իրեն չի վերաբերում, քանի որ ինքն իրեն տաք չէ. կոնկրետ լինելու հատկությունը նույնպես իրեն չի վերաբերում, քանի որ այն վերացական հատկություն է։ Բայց վերացական լինելու հատկությունը, վերացական լինելը կիրառելի է ինքն իր համար։ Եկեք այս հատկությունները անկիրառելի անվանենք իրենց համար անկիրառելի: Կիրառու՞մ է արդյոք սեփական անձի նկատմամբ անկիրառելի լինելու հատկությունը։ Ստացվում է, որ անկիրառելիությունն անկիրառելի է միայն այն դեպքում, եթե դա այդպես չէ։ Սա, իհարկե, պարադոքսալ է։
Ռասելի հականոմի տրամաբանական, սեփականության հետ կապված տարբերակը նույնքան պարադոքսալ է, որքան մաթեմատիկական, բազմությունների հետ կապված տարբերակը:
Ռասելն առաջարկեց նաև իր հայտնաբերած պարադոքսի հետևյալ հայտնի տարբերակը.
Պատկերացրեք, որ մի գյուղի ավագանին վարսավիրի պարտականությունները սահմանել է այսպես՝ սափրվել գյուղի բոլոր այն տղամարդկանց, ովքեր իրենք չեն թրաշվում, և միայն այս տղամարդկանց։ Արդյո՞ք նա ինքն իրեն պետք է սափրվի: Եթե այդպես է, ապա դա վերաբերելու է նրանց, ովքեր սափրվում են, իսկ ովքեր սափրվում են, նա չպետք է սափրվի։ Եթե ոչ, նա կպատկանի նրանց, ովքեր չեն սափրվում իրենց, և, հետևաբար, նա ստիպված կլինի սափրվել ինքն իրեն: Այսպիսով, մենք հանգում ենք այն եզրակացության, որ այս վարսավիրն ինքն իրեն սափրվում է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ինքն իրեն չսափրվի: Սա, իհարկե, անհնար է։
Վարսավիրի մասին վեճը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ այդպիսի վարսավիր գոյություն ունի։ Ստացված հակասությունը նշանակում է, որ այս ենթադրությունը կեղծ է, և չկա այնպիսի գյուղացի, ով կսափրի բոլորին, և միայն այն գյուղացիները, ովքեր չեն սափրվում:
Վարսավիրի պարտականություններն առաջին հայացքից հակասական չեն թվում, ուստի եզրակացությունը, որ մեկը չի կարող լինել, որոշ չափով անսպասելի է թվում։ Սակայն այս եզրակացությունը պարադոքսալ չէ։ Այն պայմանը, որը պետք է բավարարի գյուղի վարսավիրը, ըստ էության, հակասական է և, հետևաբար, անհնարին։ Գյուղում նման վարսահարդար չի կարող լինել նույն պատճառով, որ այնտեղ մարդ չկա, ով իրենից մեծ կլիներ կամ ծնվեր իր ծնունդից առաջ։
Վարսավիրի մասին վեճը կարելի է անվանել կեղծ պարադոքս։ Իր ընթացքով, դա խիստ նման է Ռասելի պարադոքսին, և հենց դա է դարձնում այն հետաքրքիր: Բայց դա դեռ իրական պարադոքս չէ։
Նույն կեղծ պարադոքսի մեկ այլ օրինակ է հայտնի կատալոգի փաստարկը։
Որոշ գրադարան որոշեց կազմել մատենագիտական գրացուցակ, որը կներառի բոլոր այն և միայն այն մատենագիտական կատալոգները, որոնք իրենց մասին հղումներ չեն պարունակում: Արդյո՞ք նման գրացուցակը պետք է պարունակի հղում ինքն իրեն:
Հեշտ է ցույց տալ, որ նման կատալոգ ստեղծելու գաղափարն իրագործելի չէ. այն պարզապես չի կարող գոյություն ունենալ, քանի որ այն պետք է միաժամանակ ներառի հղում իրեն և չներառի:
Հետաքրքիր է նշել, որ բոլոր դիրեկտորիաների ցուցակագրումը, որոնք իրենց մասին հղումներ չեն պարունակում, կարելի է համարել անվերջ, անվերջ գործընթաց: Ասենք, որ ինչ-որ պահի կազմվել է գրացուցակ, ասենք K1, ներառյալ բոլոր մյուս դիրեկտորիաները, որոնք իրենց մասին հղումներ չեն պարունակում: K1-ի ստեղծմամբ հայտնվեց ևս մեկ գրացուցակ, որն իրեն հղում չի պարունակում: Քանի որ նպատակը բոլոր դիրեկտորիաների ամբողջական կատալոգ կազմելն է, որոնք իրենց մասին չեն նշում, ակնհայտ է, որ K1-ը լուծում չէ: Նա չի նշում այս գրացուցակներից մեկը՝ ինքն իրեն։ Ներառելով իր մասին այս հիշատակումը K1-ում, մենք ստանում ենք K2 կատալոգը: Այն նշում է K1-ը, բայց ոչ K2-ը: Նման հիշատակում K2-ին ավելացնելով՝ ստանում ենք KZ, որը կրկին ամբողջական չէ՝ ինքն իրեն չնշելու պատճառով։ Եվ առանց վերջի:
3. Գրելլինգի և Բերիի պարադոքսները
Հետաքրքիր տրամաբանական պարադոքս են հայտնաբերել գերմանացի տրամաբաններ Կ. Գրելինգը և Լ. Նելսոնը (Գրելինգի պարադոքս): Այս պարադոքսը կարելի է շատ պարզ ձևակերպել.
Ինքնաբանական և հետերոլոգիական բառեր
Հատկություններ նշող որոշ բառեր ունեն հենց այն հատկությունը, որը նրանք անվանում են: Օրինակ, «ռուս» ածականն ինքնին ռուսերեն է, «բազմավանկը» ինքնին բազմավանկ է, իսկ «հինգ վանկ»-ն ինքնին ունի հինգ վանկ: Նման բառերը, որոնք վերաբերում են իրենց, կոչվում են ինքնաիմաստ կամ ինքնաբանական:
Այդպիսի բառերն այնքան էլ շատ չեն, ածականների ճնշող մեծամասնությունը չունի այն հատկությունները, որոնք անվանում են։ «Նյու»-ն, իհարկե, նոր չէ, «hot»-ը տաք է, «մեկ վանկ»-ը միավանկ է, իսկ «անգլերեն»-ը՝ անգլերեն: Բառերը, որոնք չունեն իրենց նշանակած հատկությունը, կոչվում են այլանուններ կամ հետերոլոգիական։ Ակնհայտ է, որ բոլոր ածականները, որոնք նշանակում են հատկություններ, որոնք կիրառելի չեն բառերի համար, կլինեն հետերոլոգիական:
Ածականների այս բաժանումը երկու խմբի թվում է պարզ և անառարկելի: Այն կարող է տարածվել գոյականների վրա՝ «բառը» բառ է, «գոյականը»՝ գոյական, բայց «ժամացույցը» ժամացույց չէ, իսկ «բայը» բայ չէ։
Պարադոքս է առաջանում հենց որ հարց է տրվում՝ երկու խմբերից որի՞ն է պատկանում «հետերոլոգիական» ածականն ինքնին։ Եթե դա ինքնաբանական է, ապա այն ունի իր նշած հատկությունը և պետք է լինի հետերոլոգիական: Եթե այն հետերոլոգիական է, այն չունի այն հատկությունը, որն անվանում է, և հետևաբար պետք է լինի ինքնաբանական: Պարադոքս կա.
Այս պարադոքսի անալոգիայով հեշտ է ձևակերպել նույն կառուցվածքի այլ պարադոքսներ։ Օրինակ՝ ինքնասպան անձնավորություն է, ով սպանում է ամեն ոչ ինքնասպանության, և չի սպանում ոչ մի ինքնասպանության։
Պարզվեց, որ Գրելիգի պարադոքսը միջնադարում հայտնի էր որպես արտահայտության հականոմինիա, որն ինքն իրեն չի անվանում։ Կարելի է պատկերացնել ժամանակակից ժամանակներում սոփիզմների և պարադոքսների նկատմամբ վերաբերմունքը, եթե պատասխան պահանջող և աշխույժ բանավեճի պատճառ դարձած խնդիրը հանկարծ մոռացվեր և վերագտնվեր միայն հինգ հարյուր տարի հետո։
Մեկ այլ, արտաքուստ պարզ հականոմի մատնանշեց մեր դարասկզբին Դ.Բերին։
Բնական թվերի բազմությունը անսահման է։ Այս թվերի այն անունների հավաքածուն, որոնք առկա են, օրինակ, ռուսերեն լեզվով և պարունակում են, ասենք, հարյուրից պակաս բառ, վերջավոր է: Սա նշանակում է, որ կան այնպիսի բնական թվեր, որոնց համար ռուսերենում հարյուրից պակաս բառից բաղկացած անուններ չկան։ Այս թվերի մեջ ակնհայտորեն կա ամենափոքր թիվը։ Այն չի կարելի անվանել հարյուրից պակաս բառ պարունակող ռուսերեն արտահայտությամբ։ Բայց արտահայտությունը՝ «Ամենափոքր բնական թիվը, որի բարդ անվանումը ռուսերենում գոյություն չունի, որը բաղկացած է հարյուրից պակաս բառից», հենց այս թվի անունն է։ Այս անունը նոր է ձևակերպվել ռուսերեն և պարունակում է ընդամենը տասնինը բառ։ Ակնհայտ պարադոքս. անվանված համարը պարզվեց այն համարը, որի անունը չկա:
4. Անլուծելի վեճ
Հայտնի պարադոքսի հիմքում ընկած է մի փոքրիկ դեպք, որը տեղի է ունեցել ավելի քան երկու հազար տարի առաջ և մինչ օրս չի մոռացվել:
Հայտնի սոփեստ Պրոտագորասը, ով ապրել է V դ. մ.թ.ա. կար Եվաթլուս անունով մի ուսանող, ով սովորում էր իրավաբանություն։ Նրանց միջեւ կնքված պայմանագրի համաձայն՝ Էվաթլուսը պետք է վճարեր մարզումների համար միայն այն դեպքում, եթե հաղթեր իր առաջին դատը։ Եթե նա տանուլ է տալիս այս գործընթացին, նա ընդհանրապես պարտավոր չէ վճարել։ Սակայն ուսումն ավարտելուց հետո Էվաթլը չի մասնակցել գործընթացներին։ Դա բավականին երկար տեւեց, ուսուցչի համբերության բաժակը լցվեց, եւ նա դատական հայց ներկայացրեց իր աշակերտի դեմ։ Այսպիսով, Euathlus-ի համար սա առաջին փորձությունն էր։ Պրոտագորասն իր պահանջը հիմնավորեց այսպես.
«Ինչպիսին էլ լինի դատարանի որոշումը, Euathlus-ը պետք է վճարի ինձ։ Նա կամ կհաղթի իր առաջին փորձությունը, կամ կպարտվի: Եթե նա հաղթի, նա կվճարի մեր պայմանագրի ուժով։ Եթե պարտվի, ապա կվճարի այս որոշման համաձայն։
Ըստ երևույթին, Եվաթլուսը ընդունակ ուսանող էր, քանի որ նա պատասխանեց Պրոտագորասին.
-Իսկապես, ես կամ հաղթում եմ գործընթացին, կամ կորցնում եմ այն։ Եթե հաղթեմ, դատարանի որոշումն ինձ կազատի վճարելու պարտավորությունից։ Եթե դատարանի վճիռն իմ օգտին չլինի, ապա ես պարտվել եմ իմ առաջին գործը և չեմ վճարի մեր պայմանագրի ուժով։
Լուծումներ Protagoras-ի և Euathlus Paradox-ի համար
Հարցի այս շրջադարձից շփոթված՝ Պրոտագորասը հատուկ էսսե է նվիրել Էվաթլուսի հետ այս վեճին՝ «Դատավարություն վճարման համար»։ Ցավոք, այն, ինչպես Պրոտագորասի գրածների մեծ մասը, մեզ չհասավ։ Այնուամենայնիվ, պետք է հարգանքի տուրք մատուցել Պրոտագորասին, ով անմիջապես խնդիր զգաց մի պարզ դատական միջադեպի հետևում, որն արժանի է հատուկ ուսումնասիրության:
Գ.Լայբնիցը, որն ինքը կրթությամբ իրավաբան էր, նույնպես լրջորեն էր վերաբերվում այս վեճին։ Իր դոկտորական ատենախոսության մեջ նա փորձել է ապացուցել, որ բոլոր գործերը, նույնիսկ ամենաբարդները, ինչպես Պրոտագորասի և Եվաթլուսի դատավարությունը, պետք է ճիշտ լուծում գտնեն ողջախոհության հիման վրա։ Ըստ Լայբնիցի՝ դատարանը պետք է մերժի Պրոտագորասին հայցը ժամանակին չներկայացնելու համար, բայց, այնուամենայնիվ, նրան թողնի իրավունքը՝ հետագայում, մասնավորապես, շահած առաջին գործընթացից հետո, Էվաթլից գումար պահանջելու։
Այս պարադոքսի բազմաթիվ այլ լուծումներ են առաջարկվել։
Նրանք անդրադարձել են, մասնավորապես, այն փաստին, որ դատարանի վճիռն ավելի մեծ ուժ պետք է ունենա, քան երկու անձանց միջև կնքված մասնավոր պայմանագիրը։ Կարելի է պատասխանել, որ առանց այս համաձայնության, որքան էլ այն չնչին թվա, չէր լինի ոչ դատարան, ոչ նրա որոշումը։ Ի վերջո, դատարանը պետք է իր որոշումը կայացնի հենց իր առիթով և դրա հիման վրա։
Նրանք նաև դիմեցին այն ընդհանուր սկզբունքին, որ յուրաքանչյուր աշխատանք, հետևաբար Պրոտագորասի աշխատանքը, պետք է վճարվի։ Բայց հայտնի է, որ այս սկզբունքը միշտ էլ բացառություններ է ունեցել, հատկապես ստրկատիրական հասարակության մեջ։ Ավելին, դա ուղղակի կիրառելի չէ վեճի կոնկրետ իրավիճակի համար. ի վերջո, Պրոտագորասը, երաշխավորելով կրթության բարձր մակարդակ, ինքն էլ հրաժարվեց վճարումներ ընդունել առաջին գործընթացում իր աշակերտի ձախողման դեպքում։
Երբեմն նրանք այսպես են խոսում. Ե՛վ Պրոտագորասը, և՛ Եվաթլուսը երկուսն էլ ճիշտ են մասամբ, և նրանցից ոչ մեկն ընդհանրապես: Նրանցից յուրաքանչյուրը հաշվի է առնում իր համար ձեռնտու հնարավորությունների միայն կեսը։ Ամբողջական կամ համապարփակ դիտարկումը բացում է չորս հնարավորություն, որոնցից միայն կեսն է ձեռնտու վիճաբանողներից մեկին: Այս հնարավորություններից որն է իրականանում, դա կորոշի ոչ թե տրամաբանությունը, այլ կյանքը։ Եթե դատավորների վճիռն ավելի շատ ուժ կունենա, քան պայմանագիրը, Euathl-ը ստիպված կլինի վճարել միայն այն դեպքում, եթե նա պարտվի գործընթացում, այսինքն. դատարանի որոշման ուժով։ Եթե, այնուամենայնիվ, մասնավոր պայմանագիրը դրվի ավելի բարձր, քան դատավորների որոշումն է, ապա Պրոտագորասը վճարում կստանա միայն այն դեպքում, երբ գործընթացը կորցնի Evatlus-ին, այսինքն. Պրոտագորասի հետ պայմանավորվածության ուժով։
Կյանքի այս կոչը վերջապես շփոթում է ամեն ինչ։ Ինչո՞վ, եթե ոչ տրամաբանությամբ, կարող են առաջնորդվել դատավորները այն պայմաններում, երբ բոլոր համապատասխան հանգամանքները լիովին պարզ են։ Իսկ ինչպիսի՞ ղեկավարություն կլինի, եթե դատարանի միջոցով վճարումներ պահանջող Պրոտագորասը դրան հասնի միայն գործընթացում պարտվելով։
Սակայն Լայբնիցի լուծումը, որը սկզբում համոզիչ է թվում, մի փոքր ավելի լավն է, քան տրամաբանության ու կյանքի անորոշ հակադրումը։ Ըստ էության, Լայբնիցն առաջարկում է հետադարձ կերպով փոխել պայմանագրի ձևակերպումը և սահմանել, որ Euathlus-ի հետ կապված առաջին հայցը, որի արդյունքը կորոշի վճարման հարցը, չպետք է լինի Պրոտագորասի դատավարությունը: Այս միտքը խորն է, բայց կապված չէ կոնկրետ դատարանի հետ։ Եթե նախնական պայմանագրում նման կետ լիներ, դատավարության կարիք ընդհանրապես չէր լինի։
Եթե այս դժվարության լուծմամբ կարելի է հասկանալ այն հարցի պատասխանը, թե Եվաթլուսը պետք է վճարի Պրոտագորասին, թե ոչ, ապա այս բոլորը, ինչպես և մնացած բոլոր հնարավոր լուծումները, իհարկե, անհիմն են։ Դրանք ոչ այլ ինչ են, քան շեղում վեճի էությունից, դրանք, այսպես ասած, սոփեստական հնարքներ են ու խորամանկություն անելանելի ու անլուծելի իրավիճակում։ Որովհետև ոչ ողջախոհությունը, ոչ էլ սոցիալական հարաբերություններին վերաբերող որևէ ընդհանուր սկզբունքներ չեն կարող լուծել վեճը:
Անհնար է համատեղ իրականացնել պայմանագիրն իր սկզբնական տեսքով և դատարանի որոշումը, ինչպիսին էլ որ լինի վերջինս։ Դա ապացուցելու համար բավական են պարզ տրամաբանական միջոցներ։ Նույն միջոցներով կարելի է նաև ցույց տալ, որ պայմանագիրը, չնայած իր բոլորովին անմեղ տեսքին, ինքնին հակասական է։ Դա պահանջում է տրամաբանորեն անհնարին առաջարկի իրականացում. Euathlus-ը և՛ պետք է վճարի ուսման համար, և՛ միևնույն ժամանակ չվճարի:
Կանոններ, որոնք տանում են դեպի փակուղի
Մարդկային միտքը, որը սովոր է ոչ միայն իր ուժին, այլև իր ճկունությանը և նույնիսկ հնարամտությանը, դժվարանում է, իհարկե, հաշտվել այս բացարձակ անհույսության հետ և ընդունել, որ իրեն փակուղի են գցել։ Սա հատկապես դժվար է, երբ փակուղին ստեղծում է հենց միտքը. այն, այսպես ասած, սայթաքում է և ընկնում սեփական ցանցերը: Այնուամենայնիվ, պետք է խոստովանել, որ երբեմն, և ի դեպ, ոչ այնքան հազվադեպ, ինքնաբուխ ձևավորված կամ գիտակցաբար ներդրված համաձայնություններն ու կանոնների համակարգերը հանգեցնում են անլուծելի, անելանելի իրավիճակների։
Շախմատային վերջին կյանքից մի օրինակ ևս մեկ անգամ կհաստատի այս միտքը։
Շախմատի մրցումների միջազգային կանոնները շախմատիստներին պարտավորեցնում են քայլ առ քայլ արձանագրել խաղը հստակ և ընթեռնելի: Մինչև վերջերս կանոնակարգում ասվում էր, որ ժամանակի սղության պատճառով մի քանի քայլի ձայնագրությունը բաց թողած շախմատիստը պետք է «հենց իր ժամանակի դժվարությունն ավարտվի, անհապաղ լրացնի ձևաթուղթը` գրի առնելով բաց թողնված քայլերը»։ Այս հրահանգի հիման վրա 1980 թվականի շախմատի օլիմպիադայի (Մալթա) մի դատավոր ընդհատեց խաղը, որն ընթանում էր դժվարին ժամանակներում և կանգնեցրեց ժամացույցը՝ հայտարարելով, որ հսկիչ քայլերն արվել են, և, հետևաբար, ժամանակն է դնելու. խաղերի գրառումներն ըստ հերթականության.
«Բայց ներեցեք ինձ», - բացականչեց մասնակիցը, որը պարտվելու շեմին էր և խաղի վերջում հաշվում էր միայն կրքերի սրման վրա, - ի վերջո, դեռ ոչ մի դրոշ չի ընկել և ոչ ոք չի կարող երբեք (ինչպես. կանոններում նույնպես գրված է) կարող է ասել, թե քանի քայլ է արվել։
Սակայն մրցավարին աջակցեց գլխավոր մրցավարը, ով ասաց, որ, իրոք, քանի որ ժամանակի անախորժությունն ավարտվել է, անհրաժեշտ է, հետևելով կանոնների տառին, սկսել արձանագրել բաց թողնված քայլերը։
Այս իրավիճակում վիճելն անիմաստ էր. կանոններն իրենք տանում էին փակուղի։ Մնում էր միայն այնպես փոխել նրանց ձեւակերպումը, որ հետագայում նմանատիպ դեպքեր չառաջանան։
Դա արվել է Շախմատի միջազգային ֆեդերացիայի համագումարում, որը տեղի էր ունենում միաժամանակ. «հենց որ ժամանակն անցնի» բառերի փոխարեն այժմ կանոններն ասում են՝ «հենց դրոշը ցույց է տալիս վերջը». ժամանակի»։
Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես վարվել փակուղային իրավիճակների հետ: Անօգուտ է վիճել, թե որ կողմն է ճիշտ. վեճն անլուծելի է, և դրանում հաղթող չի լինի։ Մնում է միայն հաշտվել ներկայի հետ և հոգ տանել ապագայի մասին։ Դա անելու համար հարկավոր է վերաձեւակերպել օրիգինալ համաձայնագրերը կամ կանոնները այնպես, որ դրանք ոչ մեկին չտանեն նույն անելանելի դրության մեջ:
Իհարկե, նման գործելաոճը անլուծելի վեճի լուծում կամ անելանելի իրավիճակից ելք չէ։ Դա ավելի շուտ կանգառ է անհաղթահարելի խոչընդոտի և նրա շուրջը գտնվող ճանապարհի դիմաց։
Պարադոքս «Կոկորդիլոս և մայրիկ».
Հին Հունաստանում շատ տարածված էր կոկորդիլոսի և մոր պատմությունը, որն իր տրամաբանական բովանդակությամբ համընկավ «Պրոտագորաս և Էվաթլուս» պարադոքսի հետ։
Կոկորդիլոսը խլել է երեխային գետի ափին կանգնած եգիպտուհուց. Երեխային վերադարձնելու իր խնդրանքին՝ կոկորդիլոսը, ինչպես միշտ կոկորդիլոսի արցունք թափելով, պատասխանեց.
«Ձեր դժբախտությունը հուզեց ինձ, և ես ձեզ հնարավորություն կտամ հետ բերել ձեր երեխային: Գուշակիր՝ կտամ քեզ, թե ոչ։ Եթե ճիշտ պատասխանես, երեխային կվերադարձնեմ։ Եթե չգուշակեք, հետ չեմ տա։
Մտածելով՝ մայրը պատասխանեց.
Դուք ինձ չեք տա երեխային:
«Դուք դա չեք ստանա», - եզրափակեց կոկորդիլոսը: Դու կա՛մ ասացիր ճշմարտությունը, կա՛մ չասացիր։ Եթե ճիշտ է, որ ես չեմ հրաժարվի երեխայից, ապա չեմ հրաժարվի նրանից, քանի որ հակառակ դեպքում դա ճիշտ չի լինի։ Եթե ասվածը ճիշտ չէ, ուրեմն դուք չեք կռահել, իսկ ես երեխային համաձայնությամբ չեմ տա։
Սակայն այս պատճառաբանությունը մորը համոզիչ չի թվացել.
-Բայց եթե ես ճիշտն ասեցի, ուրեմն երեխային ինձ կտաք, ինչպես պայմանավորվել ենք։ Եթե ես չեմ կռահել, որ երեխային չեք տա, ուրեմն պետք է տվեք ինձ, հակառակ դեպքում ասածս չի լինի իրականությանը չհամապատասխանող։
Ո՞վ է ճիշտ՝ մայրը, թե՞ կոկորդիլոսը: Ինչի՞ն է պարտավորեցնում կոկորդիլոսին տրված խոստումը. Երեխային տալո՞ւ, թե՞ ընդհակառակը չտալու համար։ Եվ երկուսին էլ միաժամանակ։ Այս խոստումը հակասական է ինքն իրեն, և, հետևաբար, այն չի կարող իրականացվել տրամաբանության օրենքների ուժով:
Միսիոները հայտնվեց մարդակերների հետ և ժամանեց ճաշելու ճիշտ ժամանակին: Թողնում են, որ ինքը ընտրի, թե իրեն ինչպես են ուտելու։ Դա անելու համար նա պետք է ինչ-որ հայտարարություն արտասանի՝ պայմանով, որ եթե այս պնդումը ճշմարիտ է պարզվի, կեփեն, իսկ եթե սուտ է, կխորովեն։
Ի՞նչ պետք է ասի միսիոները:
Իհարկե, նա պետք է ասի. «Ինձ կտապակեք»։
Եթե նա իսկապես տապակված է, ապա կպարզվի, որ նա ճշմարտությունն է ասել, և հետևաբար նրան պետք է եփել։ Եթե նա եփվի, ապա նրա հայտարարությունը սուտ կլինի, և նրան պետք է պարզապես տապակել։ Կանիբալները ելք չեն ունենա՝ «տապակելուց» հաջորդում է «եփել» և հակառակը։
Խորամանկ միսիոների այս դրվագը, անշուշտ, Պրոտագորասի և Եվաթլուսի միջև վեճի ևս մեկ պարաֆրազ է։
Սանչո Պանսայի պարադոքսը
Հին Հունաստանում հայտնի մի հին պարադոքս Դոն Կիխոտում ներկայացվում է Մ. Սերվանտեսի կողմից: Սանչո Պանսան դարձել է Բարատարիա կղզու կառավարիչը և ղեկավարում է դատարանը։
Առաջինը, ով գալիս է նրա մոտ, ինչ-որ այցելու է և ասում. «Ավագ, որոշակի կալվածքը երկու մասի է բաժանում խորը գետով… Այսպիսով, այս գետի վրայով մի կամուրջ գցեցին, և հենց այդ եզրին կանգնած է կախաղան և դատարանի նման մի բան կա, որտեղ սովորաբար նստում են չորս հոգի, դատավորներ, և դատում են գետի, կամուրջի և ամբողջ կալվածքի սեփականատիրոջ կողմից տրված օրենքի հիման վրա, որն օրենքն այսպես է կազմված. ով որ ստում է, առանց որևէ ներողամտության, ուղարկեք հենց այնտեղ գտնվող կախաղանն ու մահապատժի ենթարկեք։ Այն ժամանակվանից, երբ այս օրենքն իր ողջ խստությամբ հրապարակվեց, շատերին հաջողվեց անցնել կամրջով, ու հենց որ դատավորները գոհացան, որ անցորդները ճշմարտությունն են ասում, բաց թողեցին։ Բայց մի օր մի մարդ, ով երդվել էր, երդվեց և ասաց. Այս երդումը շփոթեցրեց դատավորներին, և նրանք ասացին. «Եթե այս մարդուն թույլ տան անարգել գործել, ապա դա կնշանակի, որ նա խախտել է երդումը և, ըստ օրենքի, ենթակա է մահվան. եթե նրան կախենք, ուրեմն նա երդվել է, որ եկել է միայն այս կախաղանից կախվելու համար, հետևաբար, նրա երդումը, պարզվում է, սուտ չէ, և նույն օրենքի հիման վրա պետք է թույլ տալ նրան անցնել։ Եվ այսպես, ես հարցնում եմ ձեզ, ավագ մարզպետ, ի՞նչ պետք է անեն դատավորները այս մարդու հետ, որովհետև նրանք դեռ տարակուսած են և տատանվում…
Սանչոն առաջարկեց, երևի ոչ առանց խորամանկության, որ ճշմարտությունն ասողի կեսին բաց թողնեն, իսկ ստախոսին՝ կախաղան հանեն, և այդպիսով բոլոր ձևերով պահպանվեն կամուրջն անցնելու կանոնները։ Այս հատվածը հետաքրքիր է մի քանի առումներով.
Նախ, դա հստակ ցույց է տալիս այն փաստը, որ պարադոքսում նկարագրված անհուսալի իրավիճակը կարող է բախվել - և ոչ թե զուտ տեսականորեն, այլ գործնականում - եթե ոչ իրական մարդ, ապա գոնե գրական հերոս:
Սանչո Պանսայի առաջարկած ելքը, իհարկե, պարադոքսի լուծում չէր։ Բայց սա ընդամենը լուծումն էր, որին մնում էր միայն դիմել իր պաշտոնում։
Ժամանակին Ալեքսանդր Մակեդոնացին խորամանկ գորդյան հանգույցը արձակելու փոխարեն, որը դեռ ոչ ոքի չի հաջողվել, ուղղակի կտրեց այն։ Սանչոն նույնն արեց։ Փազլն իր պայմաններով լուծելու փորձն անօգուտ էր. այն ուղղակի անլուծելի էր: Մնում էր հրաժարվել այս պայմաններից և ներկայացնել ձերը:
Եվ մի պահ. Այս դրվագով Սերվանտեսը հստակորեն դատապարտում է միջնադարյան արդարադատության չափազանց ֆորմալ սանդղակը, որը ներծծված է սխոլաստիկ տրամաբանության ոգով: Բայց որքա՜ն տարածված էին նրա ժամանակներում, և դա մոտ չորս հարյուր տարի առաջ էր, տրամաբանության ոլորտից ստացված տեղեկությունները։ Այս պարադոքսը գիտի ոչ միայն ինքը՝ Սերվանտեսը։ Գրողը գտնում է, որ իր հերոսին՝ անգրագետ գյուղացուն, կարելի է վերագրել կարողություն՝ հասկանալու, որ իր առջեւ անլուծելի խնդիր է դրված։
5. Այլ պարադոքսներ
Վերոնշյալ պարադոքսները փաստարկներ են, որոնց արդյունքը հակասություն է։ Բայց տրամաբանության մեջ կան նաև այլ տեսակի պարադոքսներ։ Նրանք նաև մատնանշում են որոշ դժվարություններ և խնդիրներ, բայց դա անում են ավելի քիչ կոշտ և անզիջում: Այդպիսին են, մասնավորապես, ստորև քննարկվող պարադոքսները։
Անճշգրիտ հասկացությունների պարադոքսներ
Ոչ միայն բնական լեզվի, այլև գիտության լեզվի հասկացությունների մեծ մասը ճշգրիտ չեն, կամ, ինչպես նաև կոչվում են, լղոզված: Հաճախ դա դառնում է թյուրիմացության, վեճերի կամ նույնիսկ ուղղակի փակուղու պատճառ:
Եթե հայեցակարգը ճշգրիտ չէ, ապա օբյեկտների տարածքի սահմանը, որի համար այն կիրառելի է, զուրկ է հստակությունից, լղոզված: Վերցնենք, օրինակ, «կույտ» հասկացությունը։ Մեկ հատիկը (ավազահատիկ, քար և այլն) դեռ կույտ չէ։ Հազար հատիկն արդեն, ակնհայտորեն, փունջ է։ Իսկ երեք հատիկե՞ր: Իսկ տասը. Քանի՞ հատիկ է ավելացվում կույտ առաջացնելու համար: Ոչ շատ պարզ: Նույն կերպ պարզ չէ, թե որ հատիկի հեռացմամբ է կույտը վերանում։
«մեծ», «ծանր», «նեղ» և այլն էմպիրիկ բնութագրիչները ճշգրիտ չեն: Նման սովորական հասկացությունները, ինչպիսիք են «իմաստուն մարդ», «ձի», «տուն» և այլն, ճշգրիտ չեն:
Չկա ավազահատիկ, որը հեռացնելով կարելի է ասել, որ իր հեռացմամբ մնացածն այլեւս տուն կոչվել։ Բայց, ի վերջո, դա կարծես նշանակում է, որ տան աստիճանական ապամոնտաժման ոչ մի պահի` ընդհուպ մինչև դրա իսպառ անհետացումը, հիմքեր չկան հայտարարելու, որ տուն չկա: Եզրակացությունն ակնհայտորեն պարադոքսալ է և հուսահատեցնող։
Հեշտ է նկատել, որ կույտի գոյացման անհնարինության մասին վեճն իրականացվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի հայտնի մեթոդով։ Մեկ հատիկը կույտ չի կազմում։ Եթե n հատիկները կույտեր չեն կազմում, ապա n+1 հատիկները կույտեր չեն կազմում։ Հետեւաբար, ոչ մի շարք հատիկներ չեն կարող կույտեր առաջացնել:
Զավեշտալի եզրակացությունների տանող այս և նմանատիպ ապացույցների հնարավորությունը նշանակում է, որ մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքը սահմանափակ շրջանակ ունի։ Այն չպետք է օգտագործվի ոչ ճշգրիտ, անորոշ հասկացություններով պատճառաբանելիս:
Լավ օրինակ, թե ինչպես կարող են այս հասկացությունները հանգեցնել անլուծելի վեճերի, մի հետաքրքիր դատավարություն է, որը տեղի ունեցավ 1927 թվականին Միացյալ Նահանգներում: Քանդակագործ Ք.Բրանկուսին դիմել է դատարան՝ պահանջելով իր աշխատանքները արվեստի գործեր ճանաչել։ Ցուցահանդեսի համար Նյու Յորք ուղարկված աշխատանքների թվում էր «Թռչուն» քանդակը, որն այժմ համարվում է աբստրակտ ոճի դասական։ Այն մոտ մեկուկես մետր բարձրությամբ հղկված բրոնզից մոդուլացված սյուն է, որը ոչ մի արտաքին նմանություն չունի թռչնի հետ։ Մաքսավորները կտրականապես հրաժարվել են Բրանկուզիի աբստրակտ ստեղծագործությունները արվեստի գործեր ճանաչելուց։ Դրանք դրել են «Մետաղյա հիվանդանոց եւ կենցաղային սպասք» խորագրի տակ ու ծանր մաքսատուրք են սահմանել։ Վրդովված Բրանկուսին դատի է տվել.
Մաքսայինն աջակցել են արվեստագետներ՝ Ազգային ակադեմիայի անդամներ, ովքեր պաշտպանել են արվեստի ավանդական մեթոդները։ Նրանք դատավարության ժամանակ հանդես են եկել որպես պաշտպանական կողմի վկաներ և կտրականապես պնդել, որ «Թռչունը» որպես արվեստի գործ ներկայացնելու փորձը պարզապես խաբեություն է։
Այս հակամարտությունը վառ կերպով ընդգծում է «արվեստի գործ» հասկացության հետ գործելու դժվարությունը։ Քանդակը ավանդաբար համարվում է կերպարվեստի ձև։ Սակայն քանդակային պատկերի նմանության աստիճանը բնօրինակին կարող է տարբեր լինել շատ լայն սահմաններում։ Իսկ ո՞ր պահին է քանդակագործական պատկերը, գնալով հեռանալով բնօրինակից, դադարում արվեստի գործ լինելուց և դառնում «մետաղյա սպասք»։ Այս հարցին նույնքան դժվար է պատասխանել, որքան այն հարցին, թե որտեղ է սահմանը տան և նրա ավերակների միջև, պոչով ձիու և անպոչ ձիու միջև և այլն: Ի դեպ, մոդեռնիստները հիմնականում համոզված են, որ քանդակը արտահայտիչ ձևի առարկա է, և այն ամենևին էլ պարտադիր չէ, որ կերպար լինի։
Այսպիսով, անճշգրիտ հասկացությունների հետ աշխատելը որոշակի զգուշություն է պահանջում: Ավելի լավ չի՞ լինի ընդհանրապես խուսափել դրանցից։
Գերմանացի փիլիսոփա Է.Հուսերլը հակված էր գիտելիքներից պահանջել այնպիսի ծայրահեղ խստություն և ճշգրտություն, որը նույնիսկ մաթեմատիկայի մեջ չկա: Այս կապակցությամբ Հուսերլի կենսագիրները հեգնանքով են հիշում մի դեպք, որը նրա հետ պատահել է մանկության տարիներին։ Նրան դանակ են նվիրել, և որոշելով շեղբը հնարավորինս սուր դարձնել, նա սրել է այն, մինչև սայրից ոչինչ չմնաց։
Շատ իրավիճակներում ավելի ճշգրիտ հասկացությունները նախընտրելի են ոչ ճշգրիտ հասկացություններից: Օգտագործված հասկացությունները պարզաբանելու սովորական ցանկությունը միանգամայն արդարացված է։ Բայց դա, իհարկե, պետք է ունենա իր սահմանները։ Նույնիսկ գիտության լեզվով ասած, հասկացությունների մի զգալի մասը ճշգրիտ չէ։ Եվ դա կապված է ոչ թե առանձին գիտնականների սուբյեկտիվ ու պատահական սխալների, այլ հենց գիտական գիտելիքների բնույթի հետ։ Բնական լեզվով ասած՝ անհստակ հասկացությունները ճնշող են. սա խոսում է, ի թիվս այլ բաների, նրա ճկունության և թաքնված ուժի մասին: Յուրաքանչյուր ոք, ով պահանջում է առավելագույն ճշգրտություն բոլոր հասկացություններից, վտանգի տակ է մնում ընդհանրապես առանց լեզվի: «Բառերը զրկեք որևէ երկիմաստությունից, անորոշությունից,- գրում է ֆրանսիացի գեղագետ Ժ. Ժուբերը,- դրանք վերածեք միանիշ թվերի. խաղը կթողնի խոսքը, և դրա հետ մեկտեղ պերճախոսությունն ու պոեզիան. այն ամենը, ինչ շարժական է և փոփոխական: հոգու ջերմությունը, չի կարողանում գտնել իր արտահայտությունը: Բայց ինչ եմ ասում՝ զրկել... ավելին կասեմ։ Խոսքը զրկեք ցանկացած անճշտությունից, և դուք կկորցնեք նույնիսկ աքսիոմները:
Երկար ժամանակ և՛ տրամաբանները, և՛ մաթեմատիկոսները ուշադրություն չէին դարձնում անորոշ հասկացությունների և դրանց համապատասխան բազմությունների հետ կապված դժվարություններին: Հարցը դրվեց հետևյալ կերպ. հասկացությունները պետք է ճշգրիտ լինեն, և ցանկացած անորոշ բան արժանի չէ լուրջ հետաքրքրության։ Վերջին տասնամյակներում, սակայն, այս չափազանց խիստ վերաբերմունքը կորցրել է իր գրավչությունը։ Կառուցվում են տրամաբանական տեսություններ, որոնք հատուկ հաշվի են առնում ոչ ճշգրիտ հասկացությունների հետ հիմնավորման եզակիությունը:
Ակտիվորեն զարգանում է այսպես կոչված անորոշ բազմությունների, առարկաների անորոշորեն սահմանված հավաքածուների մաթեմատիկական տեսությունը։
Անճշտության խնդիրների վերլուծությունը քայլ է տրամաբանությունը սովորական մտածողության պրակտիկային մոտեցնելու ուղղությամբ։ Եվ կարելի է ենթադրել, որ դա ավելի շատ հետաքրքիր արդյունքներ կբերի։
Ինդուկտիվ տրամաբանության պարադոքսներ
Չկա, թերևս, տրամաբանության որևէ հատված, որն իր պարադոքսները չունենա։
Ինդուկտիվ տրամաբանությունն ունի իր պարադոքսները, որոնց դեմ ակտիվորեն, բայց մինչ այժմ առանց մեծ հաջողությունների են պայքարում գրեթե կես դար։ Հատկապես հետաքրքրություն է ներկայացնում ամերիկացի փիլիսոփա Կ.Հեմփելի հայտնաբերած հաստատման պարադոքսը: Բնական է համարել, որ ընդհանուր դրույթները, մասնավորապես գիտական օրենքները հաստատվում են իրենց դրական օրինակներով։ Եթե, ասենք, դիտարկվի «All A is B» դրույթը, ապա դրա դրական օրինակները կլինեն օբյեկտները, որոնք ունեն A և B հատկություններ: Մասնավորապես, «Բոլոր ագռավները սև են» դրույթի համար օժանդակ օրինակներ են այն առարկաները, որոնք և՛ ագռավներ են, և՛ ագռավներ: Սեվ. Այս հայտարարությունը հավասարազոր է, սակայն, «Բոլոր բաները, որոնք սև չեն, ագռավ չեն» պնդմանը, և վերջինիս հաստատումը պետք է լինի նաև առաջինի հաստատումը: Բայց «Ագռավ չէ ամեն ինչ սև չէ» հաստատում է ոչ սև առարկայի յուրաքանչյուր դեպք, որը ագռավ չէ։ Պարզվում է, հետեւաբար, «Կովը սպիտակ է», «Կոշիկները շագանակագույն են» դիտարկումները եւ այլն։ հաստատեք «Բոլոր ագռավները սև են» հայտարարությունը:
Անսպասելի պարադոքսալ արդյունք է բխում անմեղ թվացող տարածքներից:
Նորմերի տրամաբանության մեջ նրա մի շարք օրենքներ մտահոգություն են առաջացնում։ Երբ դրանք բովանդակալից ձևակերպվում են, ակնհայտ է դառնում դրանց անհամապատասխանությունը ճիշտ և սխալ սովորական հասկացությունների հետ։ Օրինակ՝ օրենքներից մեկում ասվում է, որ «Նամակ ուղարկիր» հրամանից։ հաջորդում է «Նամակն ուղարկել կամ այրել» հրամանը։
Մեկ այլ օրենքում ասվում է, որ եթե անձը խախտել է իր պարտականություններից մեկը, նա իրավունք է ստանում անել այն, ինչ ուզում է։ Մեր տրամաբանական ինտուիցիան չի ուզում համակերպվել այս կարգի «պարտավորական օրենքների» հետ։
Գիտելիքի տրամաբանության մեջ շատ է քննարկվում տրամաբանական ամենագիտության պարադոքսը։ Նա պնդում է, որ մարդը գիտի այն բոլոր տրամաբանական հետևանքները, որոնք բխում են իր ստանձնած դիրքերից։ Օրինակ, եթե մարդը գիտի Էվկլիդեսի երկրաչափության հինգ պոստուլատները, ապա, հետևաբար, նա գիտի այս ամբողջ երկրաչափությունը, քանի որ դա բխում է դրանցից։ Բայց դա այդպես չէ: Մարդը կարող է համաձայնվել պոստուլատների հետ և միևնույն ժամանակ չկարողանալ ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը և հետևաբար կասկածել, որ այն ընդհանուր առմամբ ճիշտ է։
6. Ինչ է տրամաբանական պարադոքսը
Տրամաբանական պարադոքսների սպառիչ ցուցակ գոյություն չունի, և դա անհնար է:
Դիտարկված պարադոքսները մինչ այժմ հայտնաբերված բոլորի միայն մի մասն են։ Հավանական է, որ ապագայում կհայտնաբերվեն շատ այլ պարադոքսներ և նույնիսկ դրանց բոլորովին նոր տեսակներ: Պարադոքսի գաղափարն այնքան էլ որոշակի չէ, որ հնարավոր լինի կազմել առնվազն արդեն հայտնի պարադոքսների ցանկը:
«Բազմությունների տեսական պարադոքսները շատ լուրջ խնդիր են, սակայն, ոչ թե մաթեմատիկայի, այլ ավելի շուտ տրամաբանության և իմացաբանության համար», - գրում է ավստրիացի մաթեմատիկոս և տրամաբան Կ. Գոդելը: «Տրամաբանությունը անհամապատասխան է. Տրամաբանական պարադոքսներ չկան»,- ասում է մաթեմատիկոս Դ. Բոչվարը։ Նման հակասությունները երբեմն զգալի են, երբեմն՝ բանավոր։ Հարցը հիմնականում նրանում է, թե կոնկրետ ինչ է նշանակում տրամաբանական պարադոքս:
Տրամաբանական պարադոքսների առանձնահատկությունը
Տրամաբանական պարադոքսների անհրաժեշտ հատկանիշը տրամաբանական բառարանն է։
Պարադոքսները, որոնք տրամաբանական են, պետք է ձևակերպվեն տրամաբանական տերմիններով։ Այնուամենայնիվ, տրամաբանության մեջ տերմինները տրամաբանական և ոչ տրամաբանական բաժանելու հստակ չափանիշներ չկան։ Տրամաբանությունը, որը վերաբերում է հիմնավորման ճիշտությանը, ձգտում է նվազագույնի հասցնել այն հասկացությունները, որոնցից կախված է գործնականում կիրառվող եզրակացությունների ճիշտությունը: Բայց այս նվազագույնը միանշանակ կանխորոշված չէ։ Բացի այդ, ոչ տրամաբանական հայտարարությունները կարող են ձևակերպվել նաև տրամաբանական տերմիններով: Արդյոք կոնկրետ պարադոքսը օգտագործում է միայն զուտ տրամաբանական նախադրյալներ, միշտ չէ, որ հնարավոր է միանշանակ որոշել:
Տրամաբանական պարադոքսները խստորեն առանձնացված չեն մյուս բոլոր պարադոքսներից, ինչպես վերջիններս հստակորեն չեն տարբերվում այն ամենից, ինչ ոչ պարադոքսալ է և համահունչ գերակշռող գաղափարներին։
Տրամաբանական պարադոքսների ուսումնասիրության սկզբում թվում էր, թե դրանք կարող են տարբերվել դեռևս չուսումնասիրված տրամաբանության որոշ դիրքի կամ կանոնի խախտմամբ։ Նման կանոնի դերին հավակնելու համար հատկապես ակտիվ էր Բ.Ռասելի ներդրած արատավոր շրջանի սկզբունքը։ Այս սկզբունքը սահմանում է, որ օբյեկտների հավաքածուն չի կարող պարունակել անդամներ, որոնք սահմանվում են միայն նույն հավաքածուի կողմից:
Բոլոր պարադոքսներն ունեն մեկ ընդհանուր բան՝ ինքնակիրառություն կամ շրջանաձևություն: Դրանցից յուրաքանչյուրում խնդրո առարկա առարկան բնութագրվում է առարկաների որոշակի հավաքածուով, որին պատկանում է ինքը: Եթե մենք ընտրում ենք, օրինակ, ամենախորամանկ մարդուն, ապա դա անում ենք մարդկանց այն բնակչության օգնությամբ, որին պատկանում է այս մարդը: Եվ եթե ասում ենք. «Այս հայտարարությունը կեղծ է», մենք բնութագրում ենք մեզ հետաքրքրող հայտարարությունը հղում անելով այն բոլոր կեղծ հայտարարությունների ամբողջությանը, որը ներառում է այն:
Բոլոր պարադոքսներում կա հասկացությունների ինքնակիրառություն, ինչը նշանակում է, որ կա, ասես, շարժում շրջանով, որը վերջում տանում է դեպի ելակետ։ Փորձելով բնութագրել մեզ հետաքրքրող օբյեկտը, մենք դիմում ենք այն առարկաների ամբողջությանը, որը ներառում է այն: Սակայն պարզվում է, որ իր որոշակիության համար նա ինքնին կարիք ունի քննարկվող օբյեկտի և առանց դրա հստակ հասկանալի չէ։ Այս շրջանակում, թերեւս, պարադոքսների աղբյուրն է։
Իրավիճակը, սակայն, բարդանում է նրանով, որ նման շրջանակ գոյություն ունի բազմաթիվ բոլորովին ոչ պարադոքսալ փաստարկներում։ Շրջանաձևը ամենատարածված, անվնաս և միևնույն ժամանակ հարմար արտահայտման ձևերի հսկայական բազմազանություն է: «Բոլոր քաղաքներից ամենամեծը», «բոլոր բնական թվերից ամենափոքրը», «երկաթի ատոմի էլեկտրոններից մեկը» և այլն, ցույց են տալիս, որ ինքնակիրառման ամեն դեպք չէ, որ հանգեցնում է հակասության, և որ դա կարևոր է ոչ միայն սովորական լեզվով, այլ նաև գիտության լեզվով։
Այդպիսով, ինքնակիրառվող հասկացությունների կիրառմանն ուղղակի հղումը բավարար չէ պարադոքսները վարկաբեկելու համար: Որոշ լրացուցիչ չափանիշ է անհրաժեշտ՝ պարադոքսի հանգեցնող ինքնակիրառությունը դրա բոլոր մյուս դեպքերից առանձնացնելու համար։
Այս ուղղությամբ բազմաթիվ առաջարկներ են եղել, սակայն շրջանաձևության հաջող հստակեցում չի գտնվել: Պարզվեց, որ անհնար է շրջանաձևությունը բնութագրել այնպես, որ յուրաքանչյուր շրջանաձև դատողություն տանում է պարադոքսի, և յուրաքանչյուր պարադոքս ինչ-որ շրջանաձև դատողության արդյունք է։
Տրամաբանության ինչ-որ կոնկրետ սկզբունք գտնելու փորձը, որի խախտումը կլիներ բոլոր տրամաբանական պարադոքսների տարբերակիչ հատկանիշը, ոչ մի հստակ բանի չհանգեցրեց։
Պարադոքսների ինչ-որ դասակարգումը, անկասկած, օգտակար կլիներ՝ դրանք բաժանելով տեսակների և տեսակների, խմբավորելով որոշ պարադոքսներ և հակադրելով դրանք մյուսներին: Սակայն այս դեպքում էլ կայուն ոչինչ ձեռք չի բերվել։
Անգլիացի տրամաբան Ֆ.Ռեմսին, որը մահացել է 1930 թվականին, երբ նա դեռ քսանյոթ տարեկան չէր, առաջարկեց բոլոր պարադոքսները բաժանել շարահյուսական և իմաստայինի։ Առաջինը ներառում է, օրինակ, Ռասելի պարադոքսը, երկրորդը՝ «Սուտասանի», Գրելինգի պարադոքսները և այլն։
Ըստ Ռեմսիի՝ առաջին խմբի պարադոքսները պարունակում են միայն տրամաբանությանը կամ մաթեմատիկային պատկանող հասկացություններ։ Վերջիններս ներառում են այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են «ճշմարտություն», «սահմանվածություն», «անվանում», «լեզու», որոնք խիստ մաթեմատիկական չեն, այլ ավելի շուտ կապված են լեզվաբանության կամ նույնիսկ գիտելիքի տեսության հետ։ Իմաստային պարադոքսները կարծես թե պարտական են ոչ թե տրամաբանության ինչ-որ սխալի, այլ որոշ ոչ տրամաբանական հասկացությունների անորոշության կամ երկիմաստության, հետևաբար նրանց առաջադրած խնդիրները վերաբերում են լեզվին և պետք է լուծվեն լեզվաբանությամբ։
Ռեմսիին թվում էր, որ մաթեմատիկոսներին և տրամաբաններին պետք չէ հետաքրքրել իմաստային պարադոքսները: Հետագայում պարզվեց, սակայն, որ ժամանակակից տրամաբանության ամենակարևոր արդյունքներից մի քանիսը ստացվել են հենց այս ոչ տրամաբանական պարադոքսների ավելի խորը ուսումնասիրության հետ կապված:
Ռեմսիի առաջարկած պարադոքսների բաժանումը սկզբում լայնորեն կիրառվում էր և որոշ կարևորություն է պահպանում նույնիսկ այժմ։ Միևնույն ժամանակ, գնալով պարզ է դառնում, որ այս բաժանումը բավականին անորոշ է և հիմնված է հիմնականում օրինակների վրա, այլ ոչ թե պարադոքսների երկու խմբերի խորը համեմատական վերլուծության վրա։ Իմաստային հասկացություններն այժմ լավ սահմանված են, և դժվար է չընդունել, որ այդ հասկացություններն իսկապես տրամաբանական են: Իմաստաբանության զարգացման հետ մեկտեղ, որը սահմանում է իր հիմնական հասկացությունները բազմությունների տեսության տեսանկյունից, Ռեմսիի կողմից արված տարբերակումն ավելի ու ավելի է լղոզվում:
Պարադոքսներ և ժամանակակից տրամաբանություն
Տրամաբանության համար ի՞նչ եզրակացություններ են բխում պարադոքսների առկայությունից:
Նախ, մեծ թվով պարադոքսների առկայությունը խոսում է տրամաբանության ուժի մասին՝ որպես գիտության, այլ ոչ թե նրա թուլության մասին, ինչպես կարող է թվալ։
Պատահական չէր, որ պարադոքսների բացահայտումը համընկավ ժամանակակից տրամաբանության ամենաինտենսիվ զարգացման շրջանի և նրա ամենամեծ հաջողությունների հետ։
Առաջին պարադոքսները հայտնաբերվել են դեռևս տրամաբանության՝ որպես հատուկ գիտության, ի հայտ գալուց առաջ։ Շատ պարադոքսներ են հայտնաբերվել միջնադարում։ Հետագայում, սակայն, պարզվեց, որ դրանք մոռացվել են և վերագտնվել արդեն մեր դարում։
Միջնադարյան տրամաբանները տեղյակ չէին միայն 19-րդ դարի երկրորդ կեսին գիտության մեջ ներմուծված «կոմպլեկտ» և «բազմության տարր» հասկացություններին։ Բայց պարադոքսների ախորժակը միջնադարում այնքան էր հղկվել, որ արդեն այդ վաղ ժամանակներում որոշակի մտահոգություններ էին արտահայտվում ինքնակիրառելի հասկացությունների վերաբերյալ։ Դրա ամենապարզ օրինակը «սեփական տարրը լինելու» հասկացությունն է, որն ի հայտ է գալիս այսօրվա շատ պարադոքսներում:
Սակայն նման մտավախությունները, ինչպես ընդհանրապես պարադոքսների մասին բոլոր նախազգուշացումները, մինչև մեր դարը համակարգված և որոշակի չէին: Դրանք չհանգեցրին սովորական մտածելակերպի և արտահայտվելու որևէ հստակ առաջարկի։
Միայն ժամանակակից տրամաբանությունն է մոռացությունից հանել պարադոքսների խնդիրը, հայտնաբերել կամ վերագտնել կոնկրետ տրամաբանական պարադոքսների մեծ մասը։ Նա այնուհետև ցույց տվեց, որ տրամաբանությամբ ավանդաբար ուսումնասիրված մտածողության ձևերը լիովին անբավարար են պարադոքսները վերացնելու համար և մատնանշեց դրանց դեմ պայքարի սկզբունքորեն նոր մեթոդներ:
Պարադոքսները կարևոր հարց են դնում. իրականում որտեղի՞ց են մեզ ձախողում հայեցակարգի ձևավորման և հիմնավորման որոշ սովորական մեթոդներ: Չէ՞ որ դրանք լրիվ բնական ու համոզիչ էին թվում, մինչև պարզվեց, որ պարադոքսալ էին։
Պարադոքսները խաթարում են այն համոզմունքը, որ տեսական մտածողության սովորական մեթոդներն ինքնին և առանց դրանց նկատմամբ որևէ հատուկ վերահսկողության ապահովում են հուսալի առաջընթաց դեպի ճշմարտությունը:
Պահանջելով տեսականության չափազանց դյուրահավատ մոտեցման արմատական փոփոխություն՝ պարադոքսները տրամաբանության կոշտ քննադատությունն են իր միամիտ, ինտուիտիվ ձևով: Նրանք խաղում են գործոնի դեր, որը վերահսկում և սահմանափակումներ է դնում տրամաբանության դեդուկտիվ համակարգերի կառուցման ճանապարհին։ Եվ նրանց այս դերը կարելի է համեմատել փորձի դերի հետ, որը ստուգում է վարկածների ճիշտությունը այնպիսի գիտություններում, ինչպիսիք են ֆիզիկան և քիմիան, և ստիպում է նրանց փոփոխություններ կատարել այդ վարկածներում։
Տեսության մեջ պարադոքսը խոսում է դրա հիմքում ընկած ենթադրությունների անհամատեղելիության մասին: Այն գործում է որպես հիվանդության ժամանակին հայտնաբերված ախտանիշ, առանց որի այն կարելի էր անտեսել:
Իհարկե, հիվանդությունը դրսևորվում է բազմաթիվ ձևերով, և ի վերջո հնարավոր է այն բացահայտել առանց պարադոքսների նման սուր ախտանիշների։ Օրինակ, բազմությունների տեսության հիմքերը կվերլուծվեն և կհղկվեն, նույնիսկ եթե այս ոլորտում պարադոքսներ չհայտնաբերվեն: Բայց չէր լինի այն սրությունն ու հրատապությունը, որով դրանում հայտնաբերված պարադոքսները բարձրացնեին բազմությունների տեսությունը վերանայելու խնդիր։
Պարադոքսներին նվիրված է լայնածավալ գրականություն, առաջարկվել են մեծ թվով բացատրություններ։ Բայց այս բացատրություններից ոչ մեկը համընդհանուր ընդունված չէ, և չկա ամբողջական համաձայնություն պարադոքսների ծագման և դրանցից ազատվելու վերաբերյալ:
«Վերջին վաթսուն տարիների ընթացքում հարյուրավոր գրքեր և հոդվածներ են նվիրված պարադոքսները լուծելու նպատակին, բայց արդյունքները զարմանալիորեն վատ են՝ համեմատած ծախսած ջանքերի հետ», - գրում է Ա. Ֆրենկելը: «Կարծես,- եզրափակում է պարադոքսների իր վերլուծությունը Հ. Քարրին,- որ տրամաբանության ամբողջական բարեփոխում է պահանջվում, և մաթեմատիկական տրամաբանությունը կարող է դառնալ այս բարեփոխման իրականացման հիմնական գործիքը»:
Պարադոքսների վերացում և բացատրություն
Պետք է նշել մեկ կարևոր տարբերություն.
Պարադոքսների վերացումն ու դրանց լուծումը նույն բանը չէ։ Որոշակի տեսությունից հանել պարադոքսը նշանակում է վերակառուցել այն այնպես, որ պարադոքսալ պնդումն անապացուցելի է դրանում։ Յուրաքանչյուր պարադոքս հիմնված է մեծ թվով սահմանումների, ենթադրությունների և փաստարկների վրա: Նրա եզրակացությունը տեսականորեն հիմնավորումների որոշակի շղթա է։ Ֆորմալ առումով, կարելի է կասկածի տակ դնել դրա ցանկացած օղակ, հրաժարվել դրանից և դրանով իսկ կոտրել շղթան և վերացնել պարադոքսը: Շատ աշխատանքներում դա արվում է և սահմանափակվում այսքանով։
Բայց սա դեռ պարադոքսի լուծումը չէ։ Դա բացառելու ճանապարհ գտնելը բավարար չէ, պետք է համոզիչ կերպով հիմնավորել առաջարկվող լուծումը։ Պարադոքսի տանող ինչ-որ քայլի կասկածը պետք է հիմնավոր լինի։
Նախևառաջ, պարադոքսալ հայտարարության ածանցման ժամանակ օգտագործվող որոշ տրամաբանական միջոցներից հրաժարվելու որոշումը պետք է կապված լինի տրամաբանական ապացույցի բնույթի և այլ տրամաբանական ինտուիցիաների վերաբերյալ մեր ընդհանուր նկատառումների հետ: Եթե դա այդպես չէ, ապա պարադոքսի վերացումը պարզվում է, որ զուրկ է ամուր ու կայուն հիմքերից և վերածվում է գերակշռող տեխնիկական առաջադրանքի։
Ավելին, ենթադրության մերժումը, նույնիսկ եթե այն վերացնում է որոշակի պարադոքս, ինքնաբերաբար չի երաշխավորում բոլոր պարադոքսների վերացումը: Սա հուշում է, որ պարադոքսներին հերթով չի կարելի «որսալ»։ Դրանցից մեկի բացառումը միշտ պետք է այնքան արդարացված լինի, որ որոշակի երաշխիք լինի, որ նույն քայլով կվերանան մյուս պարադոքսները։
Ամեն անգամ, երբ հայտնաբերվում է պարադոքս, գրում է Ա. Տարսկին, «մենք պետք է հիմնովին վերանայման ենթարկենք մեր մտածելակերպը, մերժենք որոշ ենթադրություններ, որոնց մենք հավատում էինք, և բարելավենք մեր օգտագործած փաստարկների մեթոդները: Մենք դա անում ենք՝ փորձելով ոչ միայն ձերբազատվել հակասություններից, այլ նաև կանխել նորերի ի հայտ գալը։
Եվ վերջապես, չափազանց շատ կամ չափազանց ուժեղ ենթադրությունների չմտածված և անզգույշ մերժումը պարզապես կարող է հանգեցնել նրան, որ թեև պարադոքսներ չի պարունակում, բայց կստացվի, որ այն շատ ավելի թույլ տեսություն է, որն ունի միայն որոշակի հետաքրքրություն:
Ո՞րը կարող է լինել նվազագույն, ամենաքիչ արմատական միջոցառումների շարքը հայտնի պարադոքսներից խուսափելու համար:
Տրամաբանական քերականություն
Ճշմարիտ ու կեղծ նախադասությունների հետ մեկտեղ առանձնացնելն է նաև անիմաստ նախադասությունները։ Այս ուղին որդեգրել է Բ.Ռասելը։ Պարադոքսալ պատճառաբանությունը նրա կողմից անիմաստ է հայտարարվել՝ պատճառաբանելով, որ դրանք խախտում են տրամաբանական քերականության պահանջները։ Ամեն նախադասություն, որը չի խախտում սովորական քերականության կանոնները, իմաստալից չէ, այն պետք է բավարարի նաև հատուկ, տրամաբանական քերականության կանոններին։
Ռասելը կառուցեց տրամաբանական տիպերի տեսություն, մի տեսակ տրամաբանական քերականություն, որի խնդիրն էր վերացնել բոլոր հայտնի հակասությունները։ Հետագայում այս տեսությունը էականորեն պարզեցվեց և կոչվեց տեսակների պարզ տեսություն։
Տեսակների տեսության հիմնական գաղափարը տրամաբանորեն տարբեր տեսակի օբյեկտների տեղաբաշխումն է, դիտարկվող օբյեկտների մի տեսակ հիերարխիայի կամ սանդուղքի ներդրումը: Ամենացածր կամ զրոյական տեսակը ներառում է առանձին օբյեկտներ, որոնք սահմանված չեն: Առաջին տեսակը ներառում է զրոյական տիպի օբյեկտների հավաքածուներ, այսինքն. անհատներ; երկրորդին - անհատների հավաքածուներ և այլն: Այլ կերպ ասած, տարանջատում են առարկաները, առարկաների հատկությունները, առարկաների հատկությունների հատկությունները և այլն: Միաժամանակ որոշակի սահմանափակումներ են մտցվում առաջարկների կառուցման վրա։ Հատկություններ կարող են վերագրվել օբյեկտներին, հատկությունների հատկությունները հատկություններին և այլն: Բայց անհնար է իմաստալից պնդել, որ օբյեկտներն ունեն հատկությունների հատկություններ:
Եկեք մի շարք առաջարկություններ վերցնենք.
Այս տունը կարմիր է։
Կարմիրը գույն է:
Գույնը օպտիկական երևույթ է։
Այս նախադասություններում «այս տուն» արտահայտությունը նշանակում է որոշակի առարկա, «կարմիր» բառը ցույց է տալիս այս օբյեկտին բնորոշ հատկությունը, «գույն լինել»՝ այս հատկության հատկությանը («կարմիր լինել») և « լինել օպտիկական երևույթ» - ցույց է տալիս «եղիր կարմիր» հատկությանը պատկանող «եղիր գույն» գույքի հատկությունը։ Այստեղ մենք գործ ունենք ոչ միայն առարկաների և դրանց հատկությունների, այլ նաև հատկությունների («կարմիր լինելու հատկությունն ունի գույն լինելու հատկություն») և նույնիսկ հատկությունների հատկությունների հետ։
Վերոնշյալ շարքի բոլոր երեք նախադասությունները, իհարկե, իմաստալից են։ Դրանք կառուցված են տիպերի տեսության պահանջներին համապատասխան։ Եվ ասենք «Այս տունը գույն է» նախադասությունը խախտում է այս պահանջները։ Այն օբյեկտին վերագրում է այն հատկանիշը, որը կարող է պատկանել միայն հատկություններին, բայց ոչ առարկաներին: Նմանատիպ խախտում կա «Այս տունը օպտիկական երեւույթ է» նախադասության մեջ։ Այս երկու առաջարկներն էլ պետք է անիմաստ համարել։
Տեսակների պարզ տեսությունը վերացնում է Ռասելի պարադոքսը: Այնուամենայնիվ, Ստախոսի և Բերիի պարադոքսները վերացնելու համար պարզապես դիտարկվող առարկաները տեսակների բաժանելն այլևս բավարար չէ։ Անհրաժեշտ է որոշակի լրացուցիչ պատվերներ մտցնել հենց տեսակի շրջանակներում:
Պարադոքսների վերացմանը կարելի է հասնել նաև՝ խուսափելով չափազանց մեծ հավաքածուների օգտագործումից, որոնք նման են բոլոր կոմպլեկտների հավաքածուին: Այս ուղին առաջարկել է գերմանացի մաթեմատիկոս Է.Զերմելոն, ով պարադոքսների առաջացումը կապում է բազմությունների անսահմանափակ կառուցման հետ։ Թույլատրելի բազմությունները նրա կողմից սահմանվել են աքսիոմների ինչ-որ ցանկով, որոնք ձևակերպվել են այնպես, որ դրանցից հայտնի պարադոքսներ չգտնվեն։ Միևնույն ժամանակ, այս աքսիոմները բավականաչափ ուժեղ էին, որպեսզի դրանցից բխեն դասական մաթեմատիկայի սովորական փաստարկները, բայց առանց պարադոքսների։
Ո՛չ այս երկուսը, ո՛չ էլ պարադոքսների վերացման մյուս առաջարկված ուղիները ընդհանուր առմամբ ընդունված չեն։ Չկա ընդհանուր համոզմունք, որ առաջարկված տեսություններից որևէ մեկը լուծում է տրամաբանական պարադոքսները և ոչ թե դրանք պարզապես անտեսում է առանց խորը բացատրության: Պարադոքսների բացատրության խնդիրը դեռ բաց է և դեռ կարևոր։
Պարադոքսների ապագան
Անցյալ դարի մեծագույն տրամաբան Գ.Ֆրեգեն, ցավոք, շատ վատ բնավորություն ուներ։ Բացի այդ, նա անվերապահ էր և նույնիսկ դաժան էր իր ժամանակակիցների հասցեին քննադատություններին:
Թերևս դա էր պատճառը, որ նրա ներդրումը մաթեմատիկայի տրամաբանության և հիմքում երկար ժամանակ ճանաչման չարժանացավ։ Եվ երբ հայտնի դարձավ նրան, երիտասարդ անգլիացի տրամաբան Բ.Ռասելը գրեց նրան, որ հակասություն է առաջանում համակարգում, որը հրատարակվել է իր «Թվաբանության հիմնարար օրենքները» գրքի առաջին հատորում: Այս գրքի երկրորդ հատորն արդեն տպագրվում էր, և Ֆրեգեն կարող էր դրան ավելացնել միայն հատուկ հավելված, որտեղ նա ուրվագծեց այս հակասությունը (հետագայում անվանվեց «Ռասելի պարադոքս») և խոստովանեց, որ ի վիճակի չէ վերացնել այն։
Այնուամենայնիվ, այս ճանաչման հետևանքները ողբերգական էին Ֆրեգեի համար։ Նա ապրեց ամենամեծ ցնցումը. Եվ թեև նա այն ժամանակ ընդամենը 55 տարեկան էր, բայց տրամաբանության վերաբերյալ մեկ այլ նշանակալից աշխատություն չհրատարակեց, թեև ապրեց ավելի քան քսան տարի։ Նա նույնիսկ չարձագանքեց Ռասելի պարադոքսի պատճառած աշխույժ քննարկմանը և որևէ կերպ չարձագանքեց այս պարադոքսի բազմաթիվ առաջարկվող լուծումներին։
Նոր հայտնաբերված պարադոքսների կողմից մաթեմատիկոսների և տրամաբանների վրա թողած տպավորությունը լավ արտահայտեց Դ. Հիլբերտը. Մտածեք դրա մասին. մաթեմատիկայի մեջ՝ որոշակիության և ճշմարտության այդ մոդելը, հասկացությունների ձևավորումը և եզրակացությունների ընթացքը, ինչպես բոլորն ուսումնասիրում, սովորեցնում և կիրառում են դրանք, հանգեցնում են անհեթեթության: Որտեղ փնտրել հուսալիություն և ճշմարտություն, եթե նույնիսկ մաթեմատիկական մտածողությունն ինքնին սխալ է գործում:
Ֆրեգեն տասնիններորդ դարավերջի տրամաբանության տիպիկ ներկայացուցիչն էր՝ զերծ ամեն տեսակի պարադոքսներից, տրամաբանությունից, վստահ իր հնարավորությունների վրա և հավակնելով լինել խստության չափանիշ նույնիսկ մաթեմատիկայի համար։ Պարադոքսները ցույց տվեցին, որ իբր տրամաբանությամբ ձեռք բերված բացարձակ խստությունը ոչ այլ ինչ էր, քան պատրանք։ Նրանք անհերքելիորեն ցույց տվեցին, որ տրամաբանությունը, այն ինտուիտիվ ձևով, որն ուներ դարասկզբին, խորը վերանայման կարիք ունի:
Մոտ մեկ դար է անցել այն պահից, երբ սկսվել է պարադոքսների աշխույժ քննարկումը։ Ձեռնարկված տրամաբանության վերանայումը, սակայն, չհանգեցրեց դրանց միանշանակ լուծմանը։
Եվ միևնույն ժամանակ, նման պետությունն այսօր դժվար թե որևէ մեկին մտահոգի։ Ժամանակի ընթացքում պարադոքսների նկատմամբ վերաբերմունքը դարձել է ավելի հանգիստ և նույնիսկ ավելի հանդուրժող, քան դրանց հայտնաբերման ժամանակ: Միայն պարադոքսները չէ, որ դարձել են ծանոթ բան: Եվ, իհարկե, ոչ թե համակերպվել են դրանց հետ։ Դրանք դեռևս մնում են տրամաբանների ուշադրության կենտրոնում, դրանց լուծումների որոնումները ակտիվորեն շարունակվում են։ Իրավիճակը փոխվեց առաջին հերթին այն պատճառով, որ պարադոքսները պարզվեցին, այսպես ասած, տեղայնացված։ Նրանք գտել են իրենց որոշակի, թեև անհանգիստ տեղը տրամաբանական ուսումնասիրությունների լայն շրջանակում: Պարզ դարձավ, որ բացարձակ խստությունը, ինչպես այն ներկայացվում էր անցյալ դարի վերջին և նույնիսկ երբեմն այս դարասկզբին, սկզբունքորեն անհասանելի իդեալ է։
Հասկացվեց նաև, որ պարադոքսների որևէ խնդիր չկա, որը միայնակ է: Դրանց հետ կապված խնդիրները տարբեր տեսակի են և ազդում են ըստ էության տրամաբանության բոլոր հիմնական հատվածների վրա։ Պարադոքսի բացահայտումը ստիպում է մեզ ավելի խորը վերլուծել մեր տրամաբանական ինտուիցիան և զբաղվել տրամաբանության գիտության հիմքերի համակարգված վերամշակմամբ: Ընդ որում, պարադոքսներից խուսափելու ցանկությունը ոչ միակ, ոչ էլ նույնիսկ, գուցե, գլխավոր խնդիրն է։ Թեև դրանք կարևոր են, սակայն տրամաբանության կենտրոնական թեմաների շուրջ խորհելու առիթ են միայն։ Շարունակելով պարադոքսների համեմատությունը հիվանդության առանձնապես ընդգծված ախտանիշների հետ, կարելի է ասել, որ պարադոքսներն անմիջապես վերացնելու ցանկությունը նման կլինի նման ախտանիշները հեռացնելու ցանկությանը, առանց բուն հիվանդության համար մեծ անհանգստության: Պահանջվում է ոչ միայն պարադոքսների լուծումը, այլ դրանց բացատրությունը, ինչը խորացնում է մտածողության տրամաբանական օրինաչափությունների մեր ըմբռնումը:
7. Մի քանի պարադոքսներ, կամ ինչ տեսք ունի դրանց
Եվ եզրափակելու համար տրամաբանական պարադոքսների այս հակիրճ քննարկումը, այստեղ կան մի քանի խնդիրներ, որոնց մասին ընթերցողին օգտակար կլինի խորհել: Պետք է որոշել, թե տրված հայտարարություններն ու պատճառաբանությունները իսկապես տրամաբանական պարադոքսներ են, թե միայն թվում են: Դա անելու համար, ակնհայտորեն, պետք է ինչ-որ կերպ վերակառուցել սկզբնաղբյուրը և փորձել դրանից հակասություն քաղել՝ նույն բանի և՛ հաստատումը, և՛ ժխտումը նույն բանի վերաբերյալ: Եթե պարադոքս հայտնաբերվի, կարող եք մտածել, թե ինչն է առաջացնում դրա առաջացումը և ինչպես վերացնել այն: Դուք նույնիսկ կարող եք փորձել նույն տիպի ձեր պարադոքսը հորինել, այսինքն. կառուցված նույն սխեմայով, բայց այլ հասկացությունների հիման վրա։
1. Նա, ով ասում է. «Ես ոչինչ չգիտեմ», անում է թվացյալ պարադոքսալ, ինքնահակասական հայտարարություն։ Նա փաստում է, ըստ էության, «Ես գիտեմ, որ ոչինչ չգիտեմ»։ Բայց գիտելիքը, որ գիտելիք չկա, դեռ գիտելիք է։ Սա նշանակում է, որ բանախոսը մի կողմից վստահեցնում է, որ ինքը գիտելիք չունի, իսկ մյուս կողմից՝ հենց դրա պնդմամբ ասում է, որ գիտելիք ունի։ Ի՞նչ կա այստեղ։
Անդրադառնալով այս դժվարությանը, կարելի է հիշել, որ Սոկրատեսն ավելի զգույշ արտահայտել է նմանատիպ միտք։ Նա ասաց. «Ես միայն գիտեմ, որ ոչինչ չգիտեմ»։ Մյուս կողմից, մեկ այլ հին հույն՝ Մետրոդորոսը, լիակատար համոզվածությամբ պնդում էր. «Ես ոչինչ չգիտեմ և նույնիսկ չգիտեմ, որ ոչինչ չգիտեմ»։ Այս հայտարարության մեջ պարադոքս կա՞:
2. Պատմական իրադարձությունները եզակի են. Պատմությունը, եթե կրկնվում է, հայտնի արտահայտության համաձայն՝ առաջին անգամ նման է ողբերգության, իսկ երկրորդ անգամ՝ ֆարսի։ Պատմական իրադարձությունների յուրահատկությունից երբեմն բխում է այն միտքը, որ պատմությունը ոչինչ չի սովորեցնում: «Պատմության միգուցե ամենամեծ դասը,- գրում է Օ. Հաքսլին,- իրոք կայանում է նրանում, որ ոչ ոք երբևէ ոչինչ չի սովորել պատմությունից»:
Դժվար թե այս միտքը ճիշտ լինի։ Անցյալը հենց այն է, ինչ ուսումնասիրվում է հիմնականում ներկան ու ապագան ավելի լավ հասկանալու համար։ Ուրիշ բան, որ անցյալի «դասերը», որպես կանոն, միանշանակ չեն։
Արդյո՞ք այն համոզմունքը, որ պատմությունը ոչինչ չի սովորեցնում, հակասական չէ: Ի վերջո, դա ինքնին բխում է պատմությունից՝ որպես իր դասերից մեկը։ Ավելի լավ չէ՞ր լինի, որ այս գաղափարի կողմնակիցներն այն ձևակերպեին այնպես, որ դա իրենց չվերաբերի. իրի՞նը»
3. «Ապացույց, որ ապացույցներ չկան». Սա կարծես թե հակասական հայտարարություն է. դա ապացույց է, կամ ենթադրում է արդեն կատարված ապացույց («ապացուցվել է, որ…»), և միաժամանակ պնդում է, որ ապացույց չկա։
Հայտնի հնագույն թերահավատ Սեքստուս Էմպիրիկուսը առաջարկել է հետևյալ լուծումը. վերոնշյալ հայտարարության փոխարեն ընդունել «Ապացուցված է, որ այլ ապացույց չկա» (կամ՝ «Ապացուցված է, որ այլ ապացուցված բան չկա». քան սա»): Բայց չէ՞ որ սա պատրանքային ելք է։ Ի վերջո, պնդվում է, ըստ էության, որ կա միայն մեկ և միակ ապացույց՝ որևէ ապացույցի չգոյության ապացույց («Կա մեկ և միակ ապացույց. ապացույցը, որ այլ ապացույցներ չկան»): Ուրեմն ի՞նչ է իրենից ներկայացնում ապացույցի գործողությունը, եթե, դատելով այս պնդումից, այն հնարավոր է եղել իրականացնել միայն մեկ անգամ։ Ամեն դեպքում, Սեքստուսի սեփական կարծիքը ապացույցների արժեքի վերաբերյալ այնքան էլ բարձր չէր: Նա, մասնավորապես, գրել է. «Ինչպես նրանք, ովքեր անում են առանց ապացույցների, ճիշտ են, այնպես էլ նրանք, ովքեր, հակված լինելով կասկածելու, անհիմն հակառակ կարծիք են հայտնում»։
4. «Ոչ մի հայտարարություն բացասական չէ», կամ ավելի պարզ՝ «բացասական հայտարարություններ չկան»։ Սակայն այս արտահայտությունն ինքնին հայտարարություն է և ստույգ բացասական։ Պարադոքս է թվում. Այս հայտարարության ո՞ր վերաձեւակերպումը կարող էր խուսափել պարադոքսից:
Միջնադարյան փիլիսոփա և տրամաբան Ժ. Էշը, ինչպես ցանկացած այլ կենդանի, ձգտում է ընտրել երկու բաներից լավագույնը: Երկու թեւերը բոլորովին չեն տարբերվում միմյանցից, և, հետևաբար, նա չի կարող գերադասել դրանցից որևէ մեկին։ Սակայն այս «բուրիդան էշը» չկա հենց Բուրիդանի գրվածքներում։ Տրամաբանության մեջ Բուրիդանը հայտնի է, և մասնավորապես՝ սոֆիզմների մասին իր գրքով։ Այն պարունակում է մեր թեմային առնչվող հետևյալ եզրակացությունը. ոչ մի հայտարարություն բացասական չէ. հետևաբար, կա բացասական առաջարկ. Արդարացվա՞ծ է արդյոք այս եզրակացությունը։
5. Հայտնի է Ն.Վ.Գոգոլի նկարագրությունը Նոզդրևի հետ Չիչիկովի շաշկի խաղի մասին։ Նրանց խաղն այդպես էլ չավարտվեց, Չիչիկովը նկատեց, որ Նոզդրյովը խաբում է և հրաժարվեց խաղալ՝ վախենալով պարտվելուց։ Վերջերս սեւագիր մասնագետը վերակառուցեց այս խաղի ընթացքը խաղացողների խոսքերից և ցույց տվեց, որ Չիչիկովի դիրքորոշումը դեռ անհույս չէ։
Ենթադրենք, որ Չիչիկովը, այնուամենայնիվ, շարունակեց խաղը և ի վերջո հաղթեց խաղը՝ չնայած գործընկերոջ խաբեությանը։ Պայմանագրի համաձայն՝ պարտվող Նոզդրյովը Չիչիկովին պետք է տար հիսուն ռուբլի և «մի միջին դասի լակոտ կամ ոսկե նշան ժամացույցի համար»։ Բայց Նոզդրյովը, ամենայն հավանականությամբ, կհրաժարվեր վճարել՝ մատնանշելով, որ ինքն է խաբել ամբողջ խաղը, և կանոններով չխաղալը, կարծես թե, խաղ չէ։ Չիչիկովը կարող էր առարկել, որ խարդախության մասին խոսելն այստեղ անտեղի է. պարտվողն ինքը խաբել է, ինչը նշանակում է, որ նա պետք է վճարի առավել եւս։
Իսկապես, Նոզդրյովը պետք է վճարեր նման իրավիճակում, թե ոչ։ Մի կողմից՝ այո, որովհետեւ նա պարտվեց։ Բայց մյուս կողմից՝ ոչ, քանի որ կանոնների համաձայն խաղը ամենևին էլ խաղ չէ. Նման «խաղում» չի կարող լինել հաղթող կամ պարտվող։ Եթե Չիչիկովն ինքը խաբեր, Նոզդրյովը, բնականաբար, պարտավոր չէր վճարի։ Բայց, այնուամենայնիվ, պարտվող Նոզդրյովն է խաբել ...
Այստեղ ինչ-որ պարադոքսալ բան է զգացվում՝ «մի կողմից...», «մյուս կողմից...», և, առավել ևս, երկու կողմից էլ հավասարապես համոզիչ է, թեև այս կողմերն անհամատեղելի են։
Նոզդրյովը դեռ պետք է վճարի՞, թե՞ ոչ։
6. «Յուրաքանչյուր կանոն ունի բացառություններ». Բայց այս հայտարարությունն ինքնին կանոն է։ Ինչպես մնացած բոլոր կանոնները, այն պետք է ունենա բացառություններ: Նման բացառություն ակնհայտորեն կլինի «Կան կանոններ, որոնք բացառություններ չունեն» կանոնը։ Մի՞թե ամեն ինչի մեջ պարադոքս չկա։ Նախորդ օրինակներից ո՞րն է նման այս երկու կանոններին: Արդյո՞ք կարելի է այսպես տրամաբանել. յուրաքանչյուր կանոն ունի բացառություններ. Արդյո՞ք դա նշանակում է, որ կան կանոններ առանց բացառությունների:
7. «Ամեն ընդհանրացում սխալ է». Հասկանալի է, որ այս պնդումն ամփոփում է ընդհանրացման մտավոր գործողության փորձը և ինքնին ընդհանրացում է։ Ինչպես մյուս բոլոր ընդհանրացումները, այն պետք է սխալ լինի։ Այնպես որ, պետք է լինեն ճշմարիտ ընդհանրացումներ։ Այնուամենայնիվ, ճի՞շտ է այսպես վիճելը. յուրաքանչյուր ընդհանրացում սխալ է, հետևաբար կան ճշմարիտ ընդհանրացումներ։
8. Որոշ գրող ստեղծել է «Բոլոր ժանրերին էպատաֆիա», որը կոչված է ապացուցելու, որ գրական ժանրերը, որոնց միջև տարբերությունն այդքան հակասություններ առաջացրեց, մեռած են և չեն կարող հիշվել:
Բայց էպատաժը, մինչդեռ, նաև որոշակի ժանր է, տապանաքարերի արձանագրությունների ժանրը, որը զարգացել է հին ժամանակներում և մտել գրականության մեջ որպես մի տեսակ էպիգրամ.
Այստեղ ես հանգստանում եմ՝ Ջիմի Հոգգ:
Թող Աստված ների ինձ իմ մեղքերը,
Ի՞նչ կանեի, եթե լինեի Աստված
Իսկ նա հանգուցյալ Ջիմմի Հոգն է։
Այսպիսով, բոլոր ժանրերի էպատաժը, առանց բացառության, մեղք է գործում, կարծես անհամապատասխանությամբ: Ո՞րն է այն վերաձեւակերպելու լավագույն միջոցը:
9. «Երբեք մի ասա երբեք»: Արգելելով օգտագործել «երբեք» բառը, դուք պետք է օգտագործեք այս բառը երկու անգամ:
Նույնը կարծես թե խորհուրդն է. «Ժամանակն է, որ «ժամանակն է» ասողները այլ բան ասեն, քան «ժամանակն է»։
Նման խորհուրդների մեջ կա՞ յուրօրինակ անհամապատասխանություն, և կարելի՞ է խուսափել դրանից:
10. «Մի հավատա» պոեմում, որը տպագրվել է, իհարկե, «Հեգնական պոեզիա» բաժնում, դրա հեղինակը խորհուրդ է տալիս ոչնչի չհավատալ.
... Մի հավատացեք կրակի կախարդական ուժին.(Վ. Պրուդովսկի)
Այն այրվում է, մինչ դրա մեջ վառելափայտ են դրված:
Մի հավատացեք ոսկեգույն ձիուն
Ոչ մի քաղցր կոճապղպեղի համար:
Մի հավատացեք այդ աստղային նախիրներին
Շտապում է անվերջանալի հորձանուտում:
Բայց ի՞նչ կմնա քեզ այդ ժամանակ։
Մի հավատացեք իմ ասածին.
Մի հավատացեք.
Բայց արդյո՞ք իրական է այս ընդհանուր անհավատությունը: Ըստ երևույթին, դա հակասական է և, հետևաբար, տրամաբանորեն անհնարին:
11. Ենթադրենք, հակառակ տարածված կարծիքի, դեռ կան անհետաքրքիր մարդիկ։ Եկեք մտովի հավաքենք դրանք և նրանցից ընտրենք հասակով ամենափոքրը, կամ քաշով ամենամեծը, կամ մի այլ «ամենա...»: Հետաքրքիր կլիներ նայել այս մարդուն, ուստի մենք նրան անտեղի ներառեցինք անհետաքրքիրների ցանկում։ Բացառելով այն, մնացածների մեջ կրկին կգտնենք «հենց…» նույն իմաստով և այլն։ Եվ այս ամենը այնքան ժամանակ, քանի դեռ մեկ մարդ է մնացել, որի հետ համեմատվելու չկա։ Բայց պարզվում է, որ հենց դա է նրան հետաքրքրում։ Արդյունքում գալիս ենք այն եզրակացության, որ անհետաքրքիր մարդիկ չկան։ Իսկ վեճը սկսվեց նրանից, որ այդպիսի մարդիկ կան։
Կարելի է, մասնավորապես, փորձել անհետաքրքիր մարդկանց մեջ գտնել ամենաանհետաքրքիրը բոլոր անհետաքրքիրներից։ Դրանում նա, անկասկած, հետաքրքիր կլինի, և նրան պետք է բացառել անհետաքրքիր մարդկանցից։ Մնացածների մեջ, էլի, ամենաքիչ հետաքրքիրն է, և այլն։
Այս փաստարկների մեջ միանշանակ պարադոքսի երանգ կա։ Այստեղ կա՞ սխալ, և եթե այո, ապա ո՞րն է այն:
12. Ենթադրենք, որ ձեզ տրվել է դատարկ թերթիկ և հանձնարարվել է դրա վրա նկարագրել այս թերթիկը: Դուք գրում եք՝ սա ուղղանկյուն թերթ է, սպիտակ, այսինչ չափսերի, պատրաստված սեղմված փայտի մանրաթելից և այլն։
Նկարագրությունը կարծես ամբողջական է։ Բայց դա ակնհայտորեն թերի է։ Նկարագրման գործընթացում օբյեկտը փոխվեց. դրա վրա հայտնվեց տեքստ: Ուստի նկարագրությանը անհրաժեշտ է նաև ավելացնել. բացի այդ, այս թղթի վրա գրված է՝ սա ուղղանկյուն ձևի թերթ է, սպիտակ... և այլն։ մինչեւ անվերջություն.
Այստեղ պարադոքս է թվում, այնպես չէ՞:
Հայտնի մանկական ոտանավոր.
Քահանան շուն ուներ
Նա սիրում էր նրան
Նա մի կտոր միս կերավ
Նա սպանել է նրան։
Սպանվել և թաղվել է
Իսկ գրատախտակին նա գրել է.
«Քահանան շուն ուներ...»:
Կարո՞ղ է այս շունասեր փոփը երբևէ ավարտել իր տապանաքարը: Արդյո՞ք այս գրության կազմը նման չէ իր վրա թղթի թերթիկի ամբողջական նկարագրությանը։
13. Հեղինակներից մեկն այս «նուրբ» խորհուրդն է տալիս. «Եթե փոքր հնարքները թույլ չեն տալիս հասնել քո ուզածին, դիմիր մեծ հնարքների»։ Այս խորհուրդն առաջարկվում է «Առևտրի հնարքներ» խորագրի ներքո։ Բայց արդյոք նա իսկապես այդ հնարքներից մեկն է: Չէ՞ որ «փոքրիկ հնարքները» չեն օգնում, և հենց այս պատճառով պետք է դիմել այս խորհրդին։
14. Խաղը նորմալ ենք անվանում, եթե այն ավարտվում է վերջավոր թվով շարժումներով: Նորմալ խաղերի օրինակներ են շախմատը, շաշկին, դոմինոն. այդ խաղերը միշտ ավարտվում են կամ կողմերից մեկի հաղթանակով, կամ ոչ-ոքիով: Ոչ նորմալ խաղը շարունակվում է անվերջ՝ առանց արդյունքի։ Ներկայացնենք նաև սուպերխաղ հասկացությունը. նման խաղի առաջին քայլն է որոշել, թե որ խաղը պետք է խաղալ: Եթե, օրինակ, ես և դու մտադիր ենք սուպեր խաղ խաղալ, և ես պատկանում եմ առաջին քայլին, կարող եմ ասել՝ արի շախմատ խաղանք։ Այնուհետև դուք ի պատասխան կատարում եք շախմատային պարտիայի առաջին քայլը, ասենք, e2 - e4, և մենք շարունակում ենք խաղը մինչև այն ավարտվի (մասնավորապես, մրցաշարի կանոնակարգով նախատեսված ժամանակի ավարտի պատճառով): Որպես իմ առաջին քայլ, ես կարող եմ առաջարկել խաղալ տիկ-տակ-թոյ և այլն: Բայց իմ ընտրած խաղը պետք է նորմալ լինի. դուք չեք կարող ընտրել այնպիսի խաղ, որը նորմալ չէ:
Խնդիր է առաջանում՝ սուպերխաղն ինքնին նորմա՞լ է, թե՞ ոչ։ Ենթադրենք, որ սա սովորական խաղ է։ Քանի որ այն կարող է ընտրել սովորական խաղերից որևէ մեկը որպես իր առաջին քայլը, կարող եմ ասել. «Եկեք խաղանք սուպեր խաղը»: Դրանից հետո սուպերխաղը սկսվել է, և դրանում հաջորդ քայլը ձերն է։ Դուք իրավունք ունեք ասելու՝ եկեք սուպեր խաղ խաղանք։ Կարող եմ կրկնել. «Եկեք խաղանք սուպեր խաղը» և այդպիսով գործընթացը կարող է անվերջ շարունակվել։ Ուստի սուպերխաղը չի տարածվում նորմալ խաղերի վրա։ Բայց քանի որ սուպերխաղը նորմալ չէ, ես չեմ կարող սուպերխաղ առաջարկել սուպերխաղում իմ առաջին քայլով; Ես պետք է ընտրեմ նորմալ խաղը։ Բայց նորմալ խաղի ընտրությունը, որն ավարտ ունի, հակասում է ապացուցված փաստին, որ սուպերխաղը նորմալներին չի պատկանում։
Այսպիսով, սուպերխաղը նորմալ խաղ է, թե ոչ:
Այս հարցին պատասխանելիս, իհարկե, պետք չէ գնալ զուտ բանավոր տարբերակումների հեշտ ճանապարհով։ Ամենապարզ ձևն է ասել, որ նորմալ խաղը խաղ է, իսկ սուպեր խաղը պարզապես կատակ է:
Ուրիշ ի՞նչ պարադոքսներ է հիշեցնում սուպերխաղի և՛ նորմալ, և՛ միաժամանակ աննորմալ լինելու այս պարադոքսը:
գրականություն
Բայֆ Ջ.Կ. Տրամաբանական առաջադրանքներ. - Մ., 1983:
Bourbaki N. Էսսեներ մաթեմատիկայի պատմության վերաբերյալ. - Մ., 1963։
Gardner M. Եկեք գուշակեք: - Մ.: 1984 թ.
Իվին Ա.Ա. Ըստ տրամաբանության օրենքների. - Մ., 1983:
Կլինի Ս.Կ. Մաթեմատիկական տրամաբանություն. - Մ., 1973:
Սմալյան Ռ.Մ. Ինչ է այս գրքի անունը: - Մ.: 1982 թ.
Սմալյան Ռ.Մ. Արքայադուստր, թե՞ վագր. - Մ.: 1985 թ.
Frenkel A., Bar-Hillel I. Բազմությունների տեսության հիմքերը. - Մ., 1966։
թեստի հարցեր
Ի՞նչ նշանակություն ունեն պարադոքսները տրամաբանության համար։
Ի՞նչ լուծումներ են առաջարկվել ստախոս պարադոքսի համար:
Որո՞նք են իմաստային փակ լեզվի առանձնահատկությունները:
Ո՞րն է շատ սովորական հավաքածուների պարադոքսի էությունը:
Արդյո՞ք լուծում կա Պրոտագորասի և Եվաթլուսի միջև վեճին: Ի՞նչ լուծումներ են առաջարկվել այս վեճի համար։
Ո՞րն է ոչ ճշգրիտ անունների պարադոքսի էությունը:
Ո՞րը կարող է լինել տրամաբանական պարադոքսների առանձնահատկությունը։
Տրամաբանության համար ի՞նչ եզրակացություններ են բխում տրամաբանական պարադոքսների առկայությունից:
Ո՞րն է տարբերությունը պարադոքսը վերացնելու և բացատրելու միջև: Ո՞րն է տրամաբանական պարադոքսների ապագան:
Ռեֆերատների և զեկույցների թեմաներ
Տրամաբանական պարադոքսի հայեցակարգը
The Liar Paradox
Ռասելի պարադոքսը
Պարադոքս «Պրոտագորաս և Եվաթլուս»
Պարադոքսների դերը տրամաբանության զարգացման գործում
Պարադոքսների լուծման հեռանկարները
Տարբերությունը լեզվի և մետալեզուների միջև
Պարադոքսների վերացում և լուծում
Հայտնի է, որ խնդրի ձևակերպումը հաճախ ավելի կարևոր և դժվար է, քան այն լուծելը։ «Գիտության մեջ,— գրում է անգլիացի քիմիկոս Ֆ. Սոդին,— ճիշտ դրված խնդիրը կեսից ավելին լուծված է։ Հոգեկան պատրաստման գործընթացը, որը պահանջվում է պարզելու, որ որոշակի խնդիր կա, հաճախ ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան առաջադրանքը:
Խնդիրային իրավիճակի դրսևորման և իրականացման ձևերը շատ բազմազան են։ Դա միշտ չէ, որ բացահայտվում է ուղղակի հարցի տեսքով, որն առաջացել է ուսումնասիրության հենց սկզբում։ Խնդիրների աշխարհը նույնքան բարդ է, որքան դրանք առաջացնող ճանաչողության գործընթացը: Ստեղծագործական մտածողության հիմքում խնդիրների բացահայտումն է: Պարադոքսներն ամենահետաքրքիր դեպքն են անուղղակի, անտարակույս խնդիրների առաջադրման եղանակների: Պարադոքսներտարածված են գիտական տեսությունների զարգացման սկզբնական փուլերում, երբ առաջին քայլերն արվում են դեռևս չուսումնասիրված տարածքում և յուրացվում են դրան մոտեցման ամենաընդհանուր սկզբունքները:
Լայն իմաստով պարադոքս -այս դիրքորոշումը կտրուկ հակասում է ընդհանուր ընդունված, հաստատված, ուղղափառ կարծիքներին: «Ընդհանուր ընդունված կարծիքները և այն, ինչը համարվում է երկարաժամկետ որոշման հարց, առավել հաճախ արժանի են հետազոտության» (Գ. Լիխտենբերգ): Պարադոքսը նման հետազոտության սկիզբն է։
Պարադոքս ավելի նեղ և հատուկ իմաստով.դրանք երկու հակադիր, անհամատեղելի հայտարարություններ են, որոնցից յուրաքանչյուրի համար կան թվացյալ համոզիչ փաստարկներ։
Պարադոքսի ամենածայրահեղ ձևն է հականոմիա,փաստարկ, որն ապացուցում է երկու պնդումների համարժեքությունը, որոնցից մեկը մյուսի ժխտումն է։
Պարադոքսները հատկապես հայտնի են ամենախիստ և ճշգրիտ գիտություններում՝ մաթեմատիկա և տրամաբանություն: Եվ դա պատահական չէ։
Տրամաբանությունը վերացական սարդ է։ Դրանում չկան փորձեր, նույնիսկ փաստեր՝ բառի սովորական իմաստով։ Կառուցելով իր համակարգերը՝ տրամաբանությունը, ի վերջո, բխում է իրական մտածողության վերլուծությունից: Ըստ այս վերլուծության արդյունքների, դրանք սինթետիկ են, չտարբերակված: Դրանք առանձին գործընթացների կամ իրադարձությունների հայտարարություններ չեն, որոնք տեսությունը պետք է բացատրի: Ակնհայտ է, որ նման վերլուծությունը չի կարելի անվանել դիտարկում՝ միշտ նկատվում է կոնկրետ երեւույթ։
Կառուցելով նոր տեսություն՝ գիտնականը սովորաբար ելնում է փաստերից, այն ամենից, ինչ կարելի է դիտարկել փորձի ժամանակ։ Որքան էլ ազատ լինի նրա ստեղծագործական երևակայությունը, այն պետք է հաշվի առնի մեկ անփոխարինելի հանգամանք. տեսությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, եթե այն համաձայնում է իր առնչվող փաստերին: Տեսությունը, որը չի համաձայնում փաստերի և դիտարկումների հետ, հեռու է և արժեք չունի:
Բայց եթե չկան փորձեր տրամաբանության մեջ, չկան փաստեր և չկան բուն դիտարկում, ապա ի՞նչն է հետ պահում տրամաբանական ֆանտազիան: Ի՞նչ գործոններ, եթե ոչ փաստեր, հաշվի են առնվում նոր տրամաբանական տեսություններ ստեղծելիս։
Տրամաբանական տեսության և իրական մտածողության պրակտիկայի միջև անհամապատասխանությունը հաճախ բացահայտվում է քիչ թե շատ սուր տրամաբանական պարադոքսի, իսկ երբեմն նույնիսկ տրամաբանական հականոմիայի տեսքով, որը խոսում է տեսության ներքին անհամապատասխանության մասին։ Սա պարզապես բացատրում է տրամաբանության մեջ պարադոքսներին տրվող նշանակությունը և այն մեծ ուշադրությունը, որ նրանք վայելում են դրանում։
«Տրամաբանական պարադոքսների արքան».
Բոլոր տրամաբանական պարադոքսներից ամենահայտնին և թերևս ամենահետաքրքիրը «Սուտասան» պարադոքսն է: Հենց նա է փառաբանել Միլետոսցի Եվբուլիդեսի անունը, ով հայտնաբերել է այն:
Կան այս պարադոքսի կամ հականոմի տարբերակները, որոնցից շատերը պարադոքսալ են միայն արտաքին տեսքով:
«Սուտասան»-ի ամենապարզ տարբերակում մարդն ասում է միայն մեկ արտահայտություն՝ «ստում եմ»: Կամ ասում է. «Այն հայտարարությունը, որ ես հիմա անում եմ, սուտ է»։ Կամ՝ «Այս հայտարարությունը սուտ է»։
Եթե հայտարարությունը սուտ է, ապա խոսնակն ասել է ճշմարտությունը, հետևաբար նրա ասածը սուտ չէ։ Եթե հայտարարությունը սուտ չէ, և բանախոսը պնդում է, որ այն կեղծ է, ապա այս հայտարարությունը սուտ է։ Ստացվում է, ուրեմն, որ եթե խոսողը ստում է, ապա նա ասում է ճշմարտությունը, և հակառակը։
Միջնադարում տարածված էր հետևյալ ձևակերպումը.
- - Պլատոնի ասածը սուտ է, ասում է Սոկրատեսը:
- «Այն, ինչ ասել է Սոկրատեսը, ճշմարտությունն է», - ասում է Պլատոնը: Հարց է առաջանում՝ դրանցից ո՞րն է արտահայտում ճշմարտությունը, իսկ ո՞րն է սուտը։
Եվ ահա այս պարադոքսի ժամանակակից պարադոքսը. Ենթադրենք, որ բացիկի ճակատային մասում գրված են միայն «Ճշմարիտ հայտարարություն գրված է այս քարտի մյուս կողմում»։ Հասկանալի է, որ այս խոսքերը բովանդակալից հայտարարություն են ներկայացնում։ Շրջելով քարտը՝ կա՛մ պետք է գտնենք խոստացված հայտարարությունը, կա՛մ այն չկա։ Եթե ետևում գրված է, ուրեմն կամ ճիշտ է, կամ ոչ։ Այնուամենայնիվ, հետևի կողմում գրված է «Այս բացիկի մյուս կողմում կեղծ հայտարարություն է գրված» և ոչ ավելին: Ենթադրենք, որ ճակատային մասի հայտարարությունը ճշմարիտ է: Այնուհետև հետևի հայտարարությունը պետք է լինի ճշմարիտ, և հետևաբար առջևի հայտարարությունը պետք է լինի կեղծ: Բայց եթե ճակատի հայտարարությունը կեղծ է, ապա հետևի հայտարարությունը նույնպես պետք է կեղծ լինի, և հետևաբար, ճակատի հայտարարությունը պետք է լինի ճշմարիտ: Արդյունքը պարադոքս է.
Ստախոս պարադոքսը հսկայական տպավորություն թողեց հույների վրա: Եվ հեշտ է հասկանալ, թե ինչու: Հարցը, որ այն տալիս է առաջին հայացքից, բավականին պարզ է թվում. արդյոք նա ստախոս է, ով միայն ասում է, որ ստում է: Բայց «այո» պատասխանը տանում է դեպի «ոչ» պատասխանը և հակառակը։ Իսկ արտացոլումն ամենևին էլ չի պարզաբանում իրավիճակը։ Հարցի պարզության և նույնիսկ առօրյայի հետևում այն բացահայտում է որոշ անհասկանալի և անչափելի խորություն:
Նույնիսկ լեգենդ կա, որ ոմն Ֆիլիտ Կոսսկին, որը հուսահատ էր լուծել այս պարադոքսը, ինքնասպան է եղել: Ասում են նաև, որ հին հույն հայտնի տրամաբաններից մեկը՝ Դիոդորոս Կրոնոսը, արդեն անկում ապրող տարիներին, երդվել է չուտել մինչև չգտնի «Սուտասանի» լուծումը և շուտով մահացավ՝ ոչինչ չհասցնելով։
Միջնադարում այս պարադոքսը վերաբերվում էր այսպես կոչված անորոշ նախադասություններին և դառնում համակարգված վերլուծության առարկա։
Եվ երկար ժամանակ «Սուտասան»-ը երկար ժամանակ ուշադրություն չէր գրավում։ Նրանք լեզվի օգտագործման հետ կապված որևէ, նույնիսկ աննշան դժվարություններ չեն տեսել։ Եվ միայն մեր, այսպես կոչված, ժամանակակից ժամանակներում տրամաբանության զարգացումը վերջապես հասել է մի մակարդակի, երբ հնարավոր է դարձել խիստ ձևակերպել այն խնդիրները, որոնք կարծես թե կանգնած են այս պարադոքսի հետևում։
Այժմ «Սուտասան»-ը` այս տիպիկ նախկին սոփիզմը, հաճախ անվանում են տրամաբանական պարադոքսների արքա: Նրան է նվիրված գիտական ծավալուն գրականություն։ Եվ, այնուամենայնիվ, ինչպես շատ այլ պարադոքսների դեպքում, այնքան էլ պարզ չէ, թե ինչ խնդիրներ են թաքնված դրա հետևում և ինչպես ազատվել դրանից։