Ինչպես որոշել թվի նշանը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի մեջ: եռանկյունաչափական շրջան. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական արժեքները

Հղման տվյալներ տանգենսի (tg x) և կոտանգենսի (ctg x) համար: Երկրաչափական սահմանում, հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր: Շոշափողների և կոտանգենսների, ածանցյալների, ինտեգրալների, շարքերի ընդլայնումների աղյուսակ: Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով: Կապը հիպերբոլիկ ֆունկցիաների հետ:

Երկրաչափական սահմանում

|ԲԴ| - A կետում կենտրոնացած շրջանագծի աղեղի երկարությունը:
α-ն ռադիաններով արտահայտված անկյունն է։

Շոշափող ( tgα) եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյան տակ, հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հարակից ոտքի երկարությանը |AB| .

Կոտանգենս ( ctgα) եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հակառակ ոտքի երկարությամբ |մ.թ.ա.| .

Շոշափող

Որտեղ n- ամբողջ.

AT Արևմտյան գրականությունշոշափողը սահմանվում է հետևյալ կերպ.
.
;
;
.

Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = tg x

Կոտանգենս

Որտեղ n- ամբողջ.

Արևմտյան գրականության մեջ կոտանգենսը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Ընդունվել է նաև հետևյալ նշումը.
;
;
.

Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = ctg x

Տանգենսի և կոտանգենսի հատկությունները

Պարբերականություն

y= ֆունկցիաներ tg xև y= ctg xՊարբերական են՝ π ժամանակահատվածով։

Պարիտետ

Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները կենտ են:

Սահմանման և արժեքների տիրույթներ՝ աճող, նվազող

Շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում (տե՛ս շարունակականության ապացույցը): Տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում ( n- ամբողջ թիվ):

Բանաձևեր

Արտահայտություններ սինուսով և կոսինուսով

; ;
; ;
;

Գումարի և տարբերության շոշափողի և կոտանգենսի բանաձևերը

Մնացած բանաձևերը հեշտ է ձեռք բերել, օրինակ

շոշափողների արտադրանք

Շոշափողների գումարի և տարբերության բանաձևը

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս շոշափողների և կոտանգենսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար:

Արտահայտություններ բարդ թվերով

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների առումով

;
;

Ածանցյալներ

; .

.
n-րդ կարգի ածանցյալը ֆունկցիայի x փոփոխականի նկատմամբ.
.
> > > շոշափողի բանաձևերի ստացում; կոտանգենտի համար > > >

Ինտեգրալներ

Ընդլայնումներ շարքերի մեջ

X-ի ուժերով տանգենսի ընդլայնումը ստանալու համար անհրաժեշտ է ընդունել ընդլայնման մի քանի անդամ. հզորության շարքգործառույթների համար մեղք xև cos xև այս բազմանդամները բաժանեք միմյանց, . Սա հանգեցնում է հետևյալ բանաձևերի.

ժամը .

ժամը .
որտեղ B n- Բեռնուլիի թվեր. Դրանք որոշվում են կամ կրկնվող հարաբերությունից.
;
;
որտեղ.
Կամ ըստ Լապլասի բանաձևի.

Հակադարձ գործառույթներ

Տանգենսին և կոտանգենսին հակադարձ ֆունկցիաները համապատասխանաբար արկտանգենս և արկոտանգենս են:

Arctangent, arctg

, որտեղ n- ամբողջ.

Arc tangent, arcctg

, որտեղ n- ամբողջ.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.
G. Korn, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ հետազոտողների և ճարտարագետների համար, 2012 թ.

Թույլ է տալիս հաստատել մի շարք բնութագրական արդյունքներ. սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հատկությունները. Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք երեք հիմնական հատկություններին. Դրանցից առաջինը ցույց է տալիս α անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները՝ կախված նրանից, թե որ կոորդինատային քառորդ անկյունն է α։ Հաջորդը, մենք դիտարկում ենք պարբերականության հատկությունը, որը սահմանում է α անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների անփոփոխությունը, երբ այս անկյունը փոխվում է պտույտների ամբողջ քանակով: Երրորդ հատկությունն արտահայտում է α և -α հակադիր անկյունների սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների փոխհարաբերությունը:

Եթե ​​ձեզ հետաքրքրում է սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի ֆունկցիաների հատկությունները, ապա դրանք կարելի է ուսումնասիրել հոդվածի համապատասխան բաժնում։

Էջի նավարկություն.

Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները քառորդներով

Այս պարբերության ներքևում կգտնվի «կոորդինատային քառորդի I, II, III և IV անկյունը» արտահայտությունը։ Եկեք բացատրենք, թե որոնք են այս անկյունները:

Վերցնենք միավոր շրջան, վրան նշենք A(1, 0) մեկնարկային կետը և պտտենք այն O կետի շուրջ α անկյան տակ, մինչդեռ ենթադրենք, որ հասնում ենք A 1 կետին (x, y):

Նրանք դա ասում են α անկյունը կոորդինատային քառորդի I, II, III, IV անկյունն էեթե A 1 կետը գտնվում է համապատասխանաբար I, II, III, IV եռամսյակներում. եթե α անկյունն այնպիսին է, որ A 1 կետը ընկած է Ox կամ Oy կոորդինատային ուղիղներից որևէ մեկի վրա, ապա այս անկյունը չի պատկանում չորս քառորդներից որևէ մեկին:

Պարզության համար ներկայացնում ենք գրաֆիկական նկարազարդում։ Ստորև բերված գծագրերը ցույց են տալիս 30, -210, 585 և -45 աստիճանի պտտման անկյունները, որոնք համապատասխանաբար կոորդինատային քառորդների I, II, III և IV անկյուններն են:

անկյունները 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...աստիճանները չեն պատկանում կոորդինատային քառորդներից որևէ մեկին:

Հիմա եկեք պարզենք, թե որ նշաններն ունեն α պտտման անկյան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները՝ կախված նրանից, թե որ քառորդ անկյունն է α։

Սինուսի և կոսինուսի համար դա հեշտ է անել:

Ըստ սահմանման α անկյան սինուսը A 1 կետի օրդինատն է։ Ակնհայտ է, որ I և II կոորդինատային եռամսյակներում այն ​​դրական է, իսկ III և IV եռամսյակներում՝ բացասական։ Այսպիսով, α անկյան սինուսը I և II քառորդներում ունի գումարած նշան, իսկ III և VI քառորդներում՝ մինուս:

Իր հերթին α անկյան կոսինուսը A 1 կետի աբսցիսա է։ I և IV եռամսյակներում դրական է, իսկ II և III եռամսյակներում՝ բացասական։ Հետևաբար, α անկյան կոսինուսի արժեքները I և IV քառորդներում դրական են, իսկ II և III քառորդներում՝ բացասական։

Նշանները շոշափողի և կոտանգենսի քառորդներով որոշելու համար պետք է հիշել դրանց սահմանումները՝ շոշափողը A 1 կետի օրդինատի հարաբերությունն է աբսցիսային, իսկ կոտանգենսը՝ A 1 կետի աբսցիսայի հարաբերակցությունը օրդինատին: Հետո սկսած թվերի բաժանման կանոններնույնի հետ և տարբեր նշաններհետևում է, որ շոշափողն ու կոտանգենսը ունեն գումարած նշան, երբ A 1 կետի աբսցիսային և օրդինատների նշանները նույնն են, և ունեն մինուս նշան, երբ A 1 կետի աբսցիսա և օրդինատները տարբեր են։ Այսպիսով, անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը I և III կոորդինատային քառորդներում ունեն + նշան, իսկ II և IV քառորդներում՝ մինուս:

Իրոք, օրինակ, առաջին քառորդում A 1 կետի և՛ աբսցիսա x, և՛ y օրդինատը դրական են, ապա և՛ x/y, և՛ y/x գործակիցը դրական են, հետևաբար, շոշափողն ու կոտանգենսը ունեն + նշան. . Իսկ երկրորդ քառորդում x աբսցիսան բացասական է, իսկ y օրդինատը դրական է, հետևաբար և՛ x/y, և՛ y/x բացասական են, որտեղից շոշափողը և կոտանգենսը ունեն մինուս նշան:

Անցնենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի հաջորդ հատկությանը:

Պարբերականության հատկություն

Այժմ մենք կվերլուծենք, թերևս, անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի ամենաակնառու հատկությունը։ Այն բաղկացած է հետևյալից. երբ անկյունը փոխվում է ամբողջական պտույտների ամբողջ թվով, այս անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները չեն փոխվում:

Սա հասկանալի է. երբ անկյունը փոխվում է պտույտների ամբողջ թվով, մենք միշտ A ելակետից կհասնենք միավոր շրջանագծի A 1 կետին, հետևաբար, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները մնում են: անփոփոխ, քանի որ A 1 կետի կոորդինատներն անփոփոխ են։

Բանաձևերի միջոցով սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի դիտարկվող հատկությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ sin(α+2 π z)=sinα, cos(α+2 π z)=cosα, tg(α+2 π z) =tgα, ctg(α+2 π z)=ctgα, որտեղ α-ն ռադիաններով պտտման անկյունն է, z-ը ցանկացած է, որի բացարձակ արժեքը ցույց է տալիս լրիվ պտույտների թիվը, որով փոխվում է α անկյունը, և նշանը. z թիվը ցույց է տալիս ուղղության շրջադարձը:

Եթե ​​α պտտման անկյունը տրված է աստիճաններով, ապա այս բանաձևերը կվերագրվեն որպես sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360° z)=cosα, tg(α+360° z)=tgα, ctg(α+360° z)=ctgα .

Եկեք օրինակներ բերենք այս գույքի օգտագործման վերաբերյալ: Օրինակ, , ինչպես , ա . Ահա ևս մեկ օրինակ. կամ .

Այս հատկությունը, կրճատման բանաձևերի հետ միասին, շատ հաճախ օգտագործվում է «մեծ» անկյունների սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները հաշվարկելիս:

Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի համարվող հատկությունը երբեմն կոչվում է պարբերականության հատկություն։

Հակառակ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունները

Թող А 1 կետը լինի Ա(1, 0) սկզբնական կետի O կետի շուրջ α անկյան պտտման արդյունքում ստացված կետը, իսկ А 2 կետը՝ А կետի անկյան տակ պտտվելու արդյունքը։ −α անկյան հակառակ.

Հակառակ անկյունների սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների հատկությունը հիմնված է բավականին ակնհայտ փաստի վրա՝ վերը նշված A 1 և A 2 կետերը կամ համընկնում են (at) կամ գտնվում են սիմետրիկորեն Ox առանցքի նկատմամբ: Այսինքն, եթե A 1 կետն ունի կոորդինատներ (x, y) , ապա A 2 կետը կունենա կոորդինատներ (x, −y): Այստեղից, ըստ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումների, գրում ենք և.
Համեմատելով դրանք՝ հանգում ենք սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և հակադիր անկյունների α և −α ձևի սինուսների հարաբերություններին։
Սա դիտարկվող հատկությունն է բանաձևերի տեսքով։

Եկեք օրինակներ բերենք այս գույքի օգտագործման վերաբերյալ: Օրինակ՝ հավասարությունները և .

Մնում է միայն նշել, որ հակադիր անկյունների սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների հատկությունը, ինչպես նախորդ հատկությունը, հաճախ օգտագործվում է սինուսի, կոսինուսի, տանգենտի և կոտանգենսի արժեքները հաշվարկելիս և թույլ է տալիս լիովին հեռանալ: բացասական կողմերից.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:Պրոց. 9 բջիջների համար: միջին դպրոց / Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա; Էդ. Ս.Ա.Տելյակովսկի.- Մ.: Լուսավորություն, 1990.- 272 էջ: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:
• Բաշմակով Մ.Ի.Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: միջին դպրոց - 3-րդ հրատ. - Մ.: Լուսավորություն, 1993. - 351 էջ: հիվանդ. - ISBN 5-09-004617-4։
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Բազմազան. Դրանցից մի քանիսն այն մասին են, թե որ քառորդներում է կոսինուսը դրական և բացասական, որ քառորդներում է սինուսը դրական և բացասական: Ամեն ինչ պարզ է դառնում, եթե դուք գիտեք, թե ինչպես հաշվարկել այս գործառույթների արժեքը տարբեր անկյուններև ծանոթ է գրաֆիկի վրա ֆունկցիաների գծագրման սկզբունքին:

Որո՞նք են կոսինուսի արժեքները

Եթե ​​նկատի ունենանք, ապա կունենանք հետևյալ հարաբերակցությունը, որը որոշում է այն՝ անկյան կոսինուսը ահարակից BC ոտքի և AB հիպոթենուսի հարաբերությունն է (նկ. 1). cos ա= BC / AB.

Օգտագործելով նույն եռանկյունը՝ կարող եք գտնել անկյան, շոշափողի և կոտանգենսի սինուսը: Սինուսը կլինի հակառակ ոտքի AC անկյան հարաբերակցությունը AB հիպոթենուզային: Անկյան շոշափողը հայտնաբերվում է, եթե ցանկալի անկյան սինուսը բաժանվում է նույն անկյան կոսինուսի վրա. փոխարինելով սինուսը և կոսինուսը գտնելու համապատասխան բանաձևերը՝ ստանում ենք, որ tg ա\u003d AC / մ.թ.ա. Կոտանգենսը, որպես շոշափողին հակադարձ ֆունկցիա, կգտնվի այսպես՝ ctg ա= BC/AC.

Այսինքն, անկյան նույն արժեքների համար պարզվել է, որ ուղղանկյուն եռանկյունում կողմի հարաբերակցությունը միշտ նույնն է: Թվում է, թե պարզ դարձավ, թե որտեղից են այս արժեքները, բայց ինչու են բացասական թվեր ստացվում:

Դա անելու համար հարկավոր է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում դիտարկել եռանկյուն, որտեղ կան և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ.

Պարզ է քառորդների մասին, որտեղ է, որը

Որո՞նք են դեկարտյան կոորդինատները: Եթե ​​խոսենք երկչափ տարածության մասին, ապա մենք ունենք երկու ուղղորդված ուղիղներ, որոնք հատվում են O կետում, սա աբսցիսայի առանցքն է (Ox) և օրդինատների առանցքը (Oy): O կետից ուղիղ գծի ուղղությամբ դրական թվեր են, իսկ մեջ հակառակ կողմը- բացասական: Ի վերջո, դրանից ուղղակիորեն կախված է, թե որ քառորդներում է կոսինուսը դրական, իսկ համապատասխանաբար որում՝ բացասական։

Առաջին քառորդ

Եթե ​​տեղադրված է ուղղանկյուն եռանկյունառաջին քառորդում (0 o-ից մինչև 90 o), որտեղ x և y առանցքներն ունեն դրական արժեքներ(AO և VO հատվածները գտնվում են առանցքների վրա, որտեղ արժեքներն ունեն «+» նշան), այնուհետև և՛ սինուսը, և՛ կոսինուսը նույնպես դրական արժեքներ կունենան, և նրանց նշանակվում է գումարած նշանով արժեք: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե եռանկյունը տեղափոխեք երկրորդ քառորդ (90 o-ից մինչև 180 o):

Երկրորդ քառորդ

Մենք տեսնում ենք, որ y առանցքի երկայնքով AO-ն ստացել է բացասական արժեք: Անկյան կոսինուս աայժմ ունի այս կողմը մինուսի նկատմամբ, և, հետևաբար, դրա վերջնական արժեքը դառնում է բացասական: Ստացվում է, որ որ քառորդում է կոսինուսը դրական, կախված է եռանկյան դրվածքից Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Եվ այս դեպքում անկյան կոսինուսը բացասական արժեք է ստանում։ Բայց սինուսի համար ոչինչ չի փոխվել, քանի որ նրա նշանը որոշելու համար անհրաժեշտ է OB-ի կողմը, որն այս դեպքում մնաց գումարած նշանով։ Ամփոփենք առաջին երկու եռամսյակները.

Պարզելու համար, թե որ քառորդներում է կոսինուսը դրական և որում՝ բացասական (ինչպես նաև սինուսը և այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները), պետք է նայել, թե որ նշանն է վերագրված այս կամ այն ​​ոտքին։ Անկյան կոսինուսի համար ա AO ոտքը կարևոր է, սինուսի համար՝ OB:

Առաջին եռամսյակն առայժմ միակն է, որը պատասխանում է այն հարցին. «Ո՞ր եռամսյակներում է սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ դրական»։ Հետագայում տեսնենք, թե արդյոք այս երկու գործառույթների նշանում ավելի շատ զուգադիպություններ կլինեն։

Երկրորդ եռամսյակում AO ոտքը սկսեց բացասական արժեք ունենալ, ինչը նշանակում է, որ կոսինուսը դարձավ բացասական: Դրական արժեք է պահվում սինուսի համար:

երրորդ եռամսյակ

Այժմ երկու ոտքերը AO-ն և OB-ն դարձել են բացասական: Հիշեք կոսինուսի և սինուսի հարաբերությունները.

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

Տվյալ կոորդինատային համակարգում AB-ն միշտ ունի դրական նշան, քանի որ այն ուղղված չէ առանցքներով սահմանված երկու կողմերից որևէ մեկին: Բայց ոտքերը դարձել են բացասական, ինչը նշանակում է, որ երկու ֆունկցիաների արդյունքը նույնպես բացասական է, քանի որ եթե դուք կատարում եք թվերով բազմապատկման կամ բաժանման գործողություններ, որոնցից մեկը և միայն մեկն ունի մինուս նշան, ապա արդյունքը նույնպես կլինի այս նշանով։ .

Արդյունքը այս փուլում.

1) Ո՞ր քառորդում է կոսինուսը դրական: Երեքից առաջինում.

2) Ո՞ր քառորդում է սինուսը դրական: Երեքից առաջինում և երկրորդում:

Չորրորդ եռամսյակ (270 o-ից մինչև 360 o)

Այստեղ AO ոտքը կրկին ձեռք է բերում գումարած նշանը, հետևաբար նաև կոսինուսը:

Սինուսի համար ամեն ինչ դեռ «բացասական» է, քանի որ ՈԲ ոտքը մնաց O-ի մեկնարկային կետից ցածր:

գտածոներ

Հասկանալու համար, թե որ քառորդներում է կոսինուսը դրական, բացասական և այլն, պետք է հիշել կոսինուսի հաշվարկման հարաբերակցությունը՝ անկյան հարևան ոտքը՝ բաժանված հիպոթենուսով։ Որոշ ուսուցիչներ առաջարկում են հիշել սա՝ k (osine) \u003d (k) անկյուն: Եթե ​​հիշում եք այս «խաբեությունը», ապա ինքնաբերաբար հասկանում եք, որ սինուսը ոտքի անկյան և հիպոթենուսի հակառակ հարաբերակցությունն է։

Հիշել, թե որ քառորդներում է կոսինուսը դրական, իսկ որը՝ բացասական, բավականին դժվար է։ Կան բազմաթիվ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, և դրանք բոլորն ունեն իրենց արժեքները: Բայց, այնուամենայնիվ, արդյունքում՝ դրական արժեքներ սինուսի համար՝ 1, 2 քառորդ (0 o-ից մինչև 180 o); կոսինուսի համար 1, 4 քառորդ (0 o-ից մինչև 90 o և 270 o-ից մինչև 360 o): Մնացած եռամսյակներում գործառույթներն ունեն մինուս արժեքներ:

Թերևս ինչ-որ մեկի համար ավելի հեշտ կլինի հիշել, թե որ նշանն է, ըստ ֆունկցիայի պատկերի։

Սինուսի համար կարելի է տեսնել, որ զրոյից մինչև 180 o գագաթը գտնվում է sin (x) արժեքների գծից, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան այստեղ դրական է: Կոսինուսի համար նույնն է՝ որ քառորդում է կոսինուսը դրական (լուսանկար 7), իսկ որում՝ բացասական, կարելի է տեսնել cos (x) առանցքի վերևից ներքև գիծը տեղափոխելով։ Արդյունքում մենք կարող ենք հիշել սինուսի, կոսինուսի ֆունկցիաների նշանը որոշելու երկու եղանակ.

1. Ըստ մեկին հավասար շառավղով երևակայական շրջանագծի (չնայած, իրականում կարևոր չէ, թե որքան է շրջանագծի շառավիղը, բայց դասագրքերում ամենից հաճախ այս օրինակն է բերվում. դա հեշտացնում է ընկալելը, բայց. Միևնույն ժամանակ, եթե չնշեք, որ դա կարևոր չէ, երեխաները կարող են շփոթվել):

2. Համաձայն (x)-ից ֆունկցիայի կախվածության պատկերի x արգումենտից հենց ինքը, ինչպես վերջին նկարում։

Օգտագործելով առաջին մեթոդը, դուք կարող եք ՀԱՍԿԱՆԵԼ, թե կոնկրետ ինչից է կախված նշանը, և մենք դա մանրամասն բացատրեցինք վերևում: Նկար 7-ը, որը կառուցված է այս տվյալների վրա, լավագույնս պատկերացնում է ստացված ֆունկցիան և նրա նշանի անդամակցությունը:

Եթե ​​դուք արդեն ծանոթ եք եռանկյունաչափական շրջան , և դուք պարզապես ցանկանում եք թարմացնել առանձին տարրեր ձեր հիշողության մեջ, կամ դուք լիովին անհամբեր եք, ապա ահա այն, .

Այստեղ մենք ամեն ինչ մանրամասն կվերլուծենք քայլ առ քայլ։

Եռանկյունաչափական շրջանակը շքեղություն չէ, այլ անհրաժեշտություն

Եռանկյունաչափություն շատերը կապված են անանցանելի թավուտի հետ: Այնքան իմաստներ հանկարծ կուտակվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այնքան շատ բանաձևեր ... Բայց դա նման է, - սկզբում չստացվեց, և ... անջատված և շարունակական ... բացարձակ թյուրիմացություն ...

Շատ կարևոր է ձեռքով չթողնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները,- ասում են, սփռին միշտ կարելի է արժեհամակարգով նայել։

Եթե ​​դուք անընդհատ նայում եք եռանկյունաչափական բանաձևերի արժեքներով աղյուսակին, եկեք ձերբազատվեք այս սովորությունից:

Կփրկի մեզ! Դուք կաշխատեք դրա հետ մի քանի անգամ, իսկ հետո այն ինքնուրույն կհայտնվի ձեր գլխում: Ինչու՞ է այն ավելի լավ, քան սեղանը: Այո, աղյուսակում դուք կգտնեք սահմանափակ թվով արժեքներ, բայց շրջանագծի վրա՝ ԱՄԵՆ ԻՆՉ:

Օրինակ, ասենք, նայելով Եռանկյունաչափական բանաձևերի արժեքների ստանդարտ աղյուսակ , որը, ասենք, 300 աստիճանի սինուսն է կամ -45:

Ոչ մի կերպ... դուք, իհարկե, կարող եք միանալ նվազեցման բանաձևեր... Եվ նայելով եռանկյունաչափական շրջանին՝ հեշտությամբ կարող եք պատասխանել նման հարցերի։ Եվ շուտով կիմանաք, թե ինչպես:

Իսկ առանց եռանկյունաչափական շրջանագծի եռանկյունաչափական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս՝ ընդհանրապես ոչ մի տեղ:

Եռանկյունաչափական շրջանի ներածություն

Գնանք կարգով։

Նախ գրեք հետևյալ թվերի շարքը.

Իսկ հիմա սա.

Եվ վերջապես այս մեկը.

Իհարկե, պարզ է, որ, ըստ էության, առաջին տեղում է, երկրորդ տեղում է, իսկ վերջինում՝։ Այսինքն՝ մեզ ավելի շատ կհետաքրքրի շղթան։

Բայց որքան գեղեցիկ է ստացվել: Այդ դեպքում մենք կվերականգնենք այս «հրաշալի սանդուղքը»։

Իսկ ինչի՞ն է դա մեզ պետք:

Այս շղթան սինուսի և կոսինուսի հիմնական արժեքներն են առաջին եռամսյակում:

Եկեք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գծենք միավորի շառավիղի շրջան (այսինքն՝ վերցնում ենք երկայնքով ցանկացած շառավիղ և դրա երկարությունը հայտարարում ենք միավոր)։

«0-Start» ճառագայթից մենք մի կողմ ենք դնում սլաքի ուղղությամբ (տես Նկ.) անկյունները:

Մենք ստանում ենք շրջանագծի համապատասխան կետերը: Այսպիսով, եթե կետերը նախագծենք առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա, ապա վերը նշված շղթայից կստանանք հենց արժեքները:

Ինչու՞ է այդպես, հարցնում ես:

Եկեք ամեն ինչ չքանդենք. Հաշվի առեք սկզբունքը, որը թույլ կտա հաղթահարել այլ, նմանատիպ իրավիճակներ։

AOB եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է . Եվ մենք գիտենք, որ անկյան դիմաց ընկած է հիպոթենուսից երկու անգամ փոքր ոտք (մեր հիպոթենուսը = շրջանագծի շառավիղը, այսինքն՝ 1):

Հետևաբար, AB= (և հետևաբար՝ OM=): Եվ Պյութագորասի թեորեմով

Հուսով եմ, որ հիմա ինչ-որ բան պարզ է:

Այսպիսով, B կետը կհամապատասխանի արժեքին, իսկ M կետը կհամապատասխանի արժեքին

Նմանապես առաջին եռամսյակի մնացած արժեքների հետ:

Ինչպես հասկանում եք, մեզ (եզներին) ծանոթ առանցքը կլինի կոսինուսի առանցք, և առանցքը (oy) - sinus առանցք . ավելի ուշ:

Կոսինուսի առանցքի զրոյից ձախ (սինուսի առանցքի վրա զրոյից ցածր) իհարկե բացասական արժեքներ կլինեն:

Ուրեմն, ահա այն, Ամենազորը, առանց որի ոչ մի տեղ եռանկյունաչափության մեջ։

Բայց ինչպես օգտագործել եռանկյունաչափական շրջանակը, մենք կխոսենք:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը կախված է բացառապես կոորդինատային քառորդից, որում գտնվում է թվային արգումենտը։ Անցյալ անգամ մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է արգումենտները վերածել ռադիանի չափման աստիճանի չափման (տե՛ս «Անկյան ռադիանի և աստիճանի չափումը» դասը), այնուհետև որոշել այս նույն կոորդինատային քառորդը: Այժմ անդրադառնանք, ըստ էության, սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի նշանի սահմանմանը։

α անկյան սինուսը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի օրդինատն է (կորդինատը y), որը առաջանում է, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան միջով։

α անկյան կոսինուսը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի աբսցիսա է (x կոորդինատ), որը առաջանում է, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան միջով։

α անկյան շոշափողը սինուսի և կոսինուսի հարաբերությունն է։ Կամ, համարժեքորեն, y կոորդինատի հարաբերակցությունը x կոորդինատին:

Նշում` sin α = y ; cosα = x; tgα = y: x.

Այս բոլոր սահմանումները ձեզ ծանոթ են ավագ դպրոցի հանրահաշվի դասընթացից: Սակայն մեզ հետաքրքրում են ոչ թե բուն սահմանումները, այլ այն հետևանքները, որոնք առաջանում են եռանկյունաչափական շրջանի վրա։ Նայել:

Կապույտ գույնը ցույց է տալիս OY առանցքի դրական ուղղությունը (օրդինատների առանցք), կարմիրը ցույց է տալիս OX առանցքի (աբսցիսային առանցքի) դրական ուղղությունը: Այս «ռադարի» վրա ակնհայտ են դառնում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները։ Մասնավորապես:

1. sin α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ II կոորդինատային քառորդում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ, ըստ սահմանման, սինուսը օրդինատ է (y կոորդինատ): Իսկ y կոորդինատը դրական կլինի հենց I և II կոորդինատային եռամսյակներում.
2. cos α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ IV կոորդինատային քառորդում: Որովհետև միայն այնտեղ x կոորդինատը (դա նաև աբսցիսա է) զրոյից մեծ կլինի.
3. tg α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ III կոորդինատային քառորդում: Սա բխում է սահմանումից. ի վերջո, tg α = y : x , ուստի այն դրական է միայն այն դեպքում, երբ x և y նշանները համընկնում են: Սա տեղի է ունենում 1-ին կոորդինատային քառորդում (այստեղ x > 0, y > 0) և 3-րդ կոորդինատային քառորդում (x< 0, y < 0).

Պարզության համար մենք նշում ենք յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանները՝ սինուս, կոսինուս և տանգենս, առանձին «ռադարի» վրա։ Ստանում ենք հետևյալ պատկերը.

Նշում. իմ հիմնավորման մեջ ես երբեք չեմ խոսել չորրորդ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ կոտանգենսի մասին: Փաստն այն է, որ կոտանգենսի նշանները համընկնում են շոշափողի նշանների հետ. այնտեղ հատուկ կանոններ չկան։

Այժմ ես առաջարկում եմ դիտարկել B11 խնդիրների նման օրինակներ փորձնական քննությունմաթեմատիկայից, որը տեղի ունեցավ 2011 թվականի սեպտեմբերի 27-ին Լավագույն միջոցըտեսությունը հասկանալը պրակտիկա է: Ցանկալի է շատ պրակտիկա: Իհարկե, առաջադրանքների պայմանները փոքր-ինչ փոխվեցին։

Առաջադրանք. Որոշեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և արտահայտությունների նշանները (գործառույթների արժեքներն ինքնին պետք չէ հաշվի առնել).

1. sin (3π/4);
2. cos (7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin (3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6):

Գործողությունների պլանը հետևյալն է. նախ՝ մենք բոլոր անկյունները ռադիանի չափից վերածում ենք աստիճանի չափման (π → 180°), այնուհետև տեսնում ենք, թե որ կոորդինատային քառորդում է ստացված թիվը։ Իմանալով եռամսյակները, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել նշանները `համաձայն նոր նկարագրված կանոնների: Մենք ունենք:

1. մեղք (3π/4) = մեղք (3 180°/4) = մեղք 135°: Քանի որ 135° ∈, սա անկյուն է II կոորդինատային քառորդից: Բայց երկրորդ եռամսյակում սինուսը դրական է, ուստի sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°: Որովհետեւ 210° ∈, սա անկյուն է III կոորդինատային քառորդից, որտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են: Հետևաբար, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°: Քանի որ 300° ∈ մենք գտնվում ենք IV քառորդում, որտեղ շոշափողը բացասական արժեքներ է ընդունում: Հետևաբար tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = մեղք (3 180°/4) cos (5 180°/6) = մեղք 135° cos 150°: Եկեք զբաղվենք սինուսով. քանի որ 135° ∈ , սա երկրորդ քառորդն է, որի սինուսները դրական են, այսինքն. sin (3π/4) > 0. Այժմ աշխատում ենք կոսինուսի հետ՝ 150° ∈ - կրկին երկրորդ քառորդ, այնտեղ կոսինուսները բացասական են։ Հետևաբար cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°: Մենք նայում ենք կոսինուսին. 120° ∈ II կոորդինատային քառորդն է, ուստի cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Կրկին ստացանք արտադրանք, որի մեջ տարբեր նշանների գործոններ. Քանի որ «մինուս, գումարած գումարը տալիս է մինուս», մենք ունենք՝ cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = մեղք (5 180°/6) cos (7 180°/4) = մեղք 150° cos 315°: Մենք աշխատում ենք սինուսի հետ՝ սկսած 150° ∈ , մենք խոսում ենք II կոորդինատային քառորդի մասին, որտեղ սինուսները դրական են։ Հետևաբար, sin (5π/6) > 0: Նմանապես, 315° ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, այնտեղ կոսինուսները դրական են: Հետևաբար, cos (7π/4) > 0: Ստացանք երկու դրական թվերի արտադրյալ. նման արտահայտությունը միշտ դրական է: Մենք եզրակացնում ենք՝ sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°: Բայց 135° ∈ անկյունը երկրորդ քառորդն է, այսինքն. tan (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Քանի որ «մինուս գումարածը տալիս է մինուս նշան», մենք ունենք՝ tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°: Մենք նայում ենք կոտանգենսի արգումենտին. 240° ∈ III կոորդինատային քառորդն է, հետևաբար ctg (4π/3) > 0: Նմանապես, շոշափողի համար մենք ունենք՝ 30° ∈ I կոորդինատային քառորդն է, այսինքն. ամենահեշտ անկյունը. Հետևաբար, tg (π/6) > 0: Կրկին ստացանք երկու դրական արտահայտություն. դրանց արտադրյալը նույնպես դրական կլինի: Հետևաբար ctg (4π/3) tg (π/6) > 0:

Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանիսին դժվար առաջադրանքներ. Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը պարզելուց բացի, այստեղ պետք է մի փոքր հաշվարկ անել, ճիշտ այնպես, ինչպես դա արվում է իրական խնդիրներում B11: Սկզբունքորեն, դրանք գրեթե իրական առաջադրանքներ են, որոնք իսկապես հայտնաբերվում են մաթեմատիկայի քննության ժամանակ:

Առաջադրանք. Գտե՛ք sin α, եթե sin 2 α = 0,64 և α ∈ [π/2; π].

Քանի որ sin 2 α = 0,64, մենք ունենք՝ sin α = ±0,8: Մնում է որոշել՝ պլյուս թե մինուս։ Ըստ ենթադրության՝ α ∈ [π/2; π] II կոորդինատային քառորդն է, որտեղ բոլոր սինուսները դրական են: Հետեւաբար, sin α = 0.8 - նշանների հետ անորոշությունը վերացված է:

Առաջադրանք. Գտեք cos α, եթե cos 2 α = 0,04 և α ∈ [π; 3π/2]:

Մենք գործում ենք նույն կերպ, այսինքն. քաղվածք Քառակուսի արմատ cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Ըստ ենթադրության՝ α ∈ [π; 3π/2], այսինքն. Խոսքը III կոորդինատային եռամսյակի մասին է։ Այնտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են, ուստի cos α = −0,2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք sin α, եթե sin 2 α = 0,25 և α ∈:

Ունենք՝ sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5: Կրկին նայում ենք անկյունին. α ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, որում, ինչպես գիտեք, սինուսը բացասական կլինի: Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք. sin α = −0,5:

Առաջադրանք. Գտեք tg α, եթե tg 2 α = 9 և α ∈:

Ամեն ինչ նույնն է, միայն շոշափողի համար: Վերցնում ենք քառակուսի արմատը՝ tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3: Բայց պայմանով, α ∈ անկյունը I կոորդինատային քառորդն է: Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, ներառյալ. շոշափող, կան դրական, այնպես որ tg α = 3: Վերջ: