2 värähtelevä liike. Tärinä ja aallot

Fysiikassa on erilaisia ​​värähtelytyyppejä, joille on ominaista tietyt parametrit. Harkitse niiden tärkeimpiä eroja, luokittelua eri tekijöiden mukaan.

Perusmääritelmät

Värähtely ymmärretään prosessina, jossa säännöllisin väliajoin liikkeen pääominaisuuksilla on samat arvot.

Tällaisia ​​värähtelyjä kutsutaan jaksollisiksi, joissa perussuureiden arvot toistetaan säännöllisin väliajoin (värähtelyjakso).

Erilaiset värähtelyprosessit

Tarkastellaanpa perusfysiikassa esiintyvien värähtelyjen päätyyppejä.

Vapaat tärinät ovat sellaisia, joita esiintyy järjestelmässä, joka ei ole alttiina ulkoisille muuttuville vaikutuksille alkuiskun jälkeen.

Esimerkiksi vapaat tärinät on matemaattinen heiluri.

sellaiset mekaanisia tärinöitä, jotka syntyvät järjestelmässä ulkoisen muuttuvan voiman vaikutuksesta.

Luokituksen ominaisuudet

Tekijä: fyysinen luonne erottaa seuraavat värähtelyliikkeet:

• mekaaninen;
• lämpö;
• sähkömagneettinen;
• sekoitettu.

Ympäristön kanssa vuorovaikutusvaihtoehdon mukaan

Värähtelytyypit vuorovaikutuksessa ympäristöön erottaa useita ryhmiä.

Pakotettuja värähtelyjä ilmenee järjestelmässä ulkoisen jaksollisen toiminnan vaikutuksesta. Esimerkkeinä tämän tyyppisestä värähtelystä voimme harkita käsien liikettä, lehtiä puissa.

Pakotetuissa harmonisissa värähtelyissä voi ilmetä resonanssi, jossa klo samat arvot ulkoisen toiminnan taajuus ja oskillaattori jyrkästi amplitudin kasvulla.

Omat tärinät järjestelmässä vaikutuksen alaisena sisäisiä voimia sen jälkeen, kun se on poistettu tasapainosta. Yksinkertaisin vapaan värähtelyn muunnos on kierteeseen ripustetun tai jouseen kiinnitetyn kuorman liike.

Itsevärähtelyjä kutsutaan tyypeiksi, joissa järjestelmällä on tietty marginaali Mahdollinen energia tulee tekemään värähtelyjä. tunnusmerkki Niiden syynä on se, että amplitudille ovat ominaisia ​​itse järjestelmän ominaisuudet, eivät alkuolosuhteet.

Satunnaisissa värähtelyissä ulkoisella kuormalla on satunnainen arvo.

Värähtelyliikkeiden perusparametrit

Kaikilla värähtelytyypeillä on tiettyjä ominaisuuksia, jotka on mainittava erikseen.

Amplitudi on suurin poikkeama tasapainoasennosta, vaihtelevan arvon poikkeama, se mitataan metreinä.

Jakso on yhden täydellisen värähtelyn aika, jonka jälkeen järjestelmän ominaisuudet toistuvat sekunneissa laskettuna.

Taajuus määräytyy värähtelyjen lukumäärän mukaan aikayksikköä kohti, se on kääntäen verrannollinen värähtelyjaksoon.

Värähtelyvaihe kuvaa järjestelmän tilaa.

Harmonisille värähtelyille ominaista

Tämäntyyppiset värähtelyt tapahtuvat kosinin tai sinin lain mukaan. Fourier onnistui osoittamaan, että mikä tahansa jaksollinen värähtely voidaan esittää harmonisten muutosten summana laajentamalla tiettyä funktiota

Esimerkkinä voidaan harkita heiluria, jolla on tietty jakso ja syklinen taajuus.

Mikä on ominaista tällaisille värähtelytyypeille? Fysiikka tarkastelee idealisoitua järjestelmää, joka koostuu aineellisesta pisteestä, joka on ripustettu painottomaan venymättömään langaan, ja se värähtelee painovoiman vaikutuksesta.

Tällaisilla värähtelytyypeillä on tietty määrä energiaa, ne ovat yleisiä luonnossa ja tekniikassa.

Pitkittyneessä värähtelevässä liikkeessä sen massakeskipisteen koordinaatit muuttuvat ja vaihtovirralla virran ja jännitteen arvo piirissä muuttuu.

Harmonisia värähtelyjä on erilaisia ​​niiden fysikaalisen luonteen mukaan: sähkömagneettisia, mekaanisia jne.

Ravistelu toimii pakotettuna värähtelynä ajoneuvoa, joka liikkuu epätasaisella tiellä.

Tärkeimmät erot pakotetun ja vapaan tärinän välillä

Tämäntyyppiset sähkömagneettiset värähtelyt eroavat toisistaan fyysiset ominaisuudet. Keskivastuksen ja kitkavoimien läsnäolo johtaa vapaiden värähtelyjen vaimentamiseen. Pakotetun värähtelyn tapauksessa energiahäviöt kompensoidaan sen lisäsyötöllä ulkoisesta lähteestä.

Jousiheilurin jakso vertaa rungon massaa ja jousen jäykkyyttä. Matemaattisen heilurin tapauksessa se riippuu langan pituudesta.

Tunnetulla jaksolla on mahdollista laskea värähtelyjärjestelmän luonnollinen taajuus.

Tekniikassa ja luonnossa on vaihteluita erilaisia ​​arvoja taajuuksia. Esimerkiksi heiluri, joka heiluu Pyhän Iisakin katedraali Pietarin taajuus on 0,05 Hz, kun taas atomeilla se on useita miljoonia megahertsejä.

Tietyn ajan kuluttua havaitaan vapaiden värähtelyjen vaimeneminen. Siksi pakkovärähtelyjä käytetään todellisessa käytännössä. Niillä on kysyntää erilaisissa tärinäkoneissa. Täryvasara on isku-värähtelykone, joka on tarkoitettu putkien, paalujen ja muiden metallirakenteiden lyömiseen maahan.

Sähkömagneettiset värähtelyt

Värähtelytilojen ominaisuudet sisältävät tärkeimpien fyysisten parametrien analysoinnin: varaus, jännite, virran voimakkuus. Alkeisjärjestelmänä, jota käytetään sähkömagneettisten värähtelyjen tarkkailuun, on värähtelypiiri. Se muodostetaan kytkemällä käämi ja kondensaattori sarjaan.

Kun piiri on suljettu, siinä tapahtuu vapaita sähkömagneettisia värähtelyjä, jotka liittyvät jaksollisiin muutoksiin sähkövaraus kondensaattorissa ja käämin virrassa.

Ne ovat ilmaisia, koska niitä suoritettaessa ei ole ulkoista vaikutusta, vaan käytetään vain itse piiriin varastoitunutta energiaa.

Ulkoisen vaikutuksen puuttuessa havaitaan tietyn ajan kuluttua sähkömagneettisen värähtelyn vaimeneminen. Syynä tähän ilmiöön on kondensaattorin asteittainen purkautuminen sekä käämin todellisuudessa oleva vastus.

Tästä syystä todellisessa piirissä esiintyy vaimennettuja värähtelyjä. Kondensaattorin varauksen vähentäminen johtaa energia-arvon laskuun verrattuna sen alkuperäiseen arvoon. Vähitellen se vapautuu lämmön muodossa liitäntäjohtoihin ja käämiin, kondensaattori purkautuu kokonaan ja sähkömagneettinen värähtely on valmis.

Tieteen ja tekniikan vaihteluiden merkitys

Kaikki liikkeet, joissa on tietty toistoaste, ovat värähtelyjä. Esimerkiksi matemaattiselle heilurille on tunnusomaista systemaattinen poikkeama molempiin suuntiin alkuperäisestä pystyasennosta.

Jousiheilurin kohdalla yksi täydellinen värähtely vastaa sen liikettä ylös ja alas alkuasennosta.

Sähköpiirissä, jossa on kapasitanssi ja induktanssi, kondensaattorin levyillä on toistoa. Mikä on värähtelevien liikkeiden syy? Heilurin toiminta johtuu siitä, että painovoima saa sen palaamaan alkuperäiseen asentoonsa. Jousimallin tapauksessa samanlaisen toiminnon suorittaa jousen elastinen voima. Tasapainoasennon ohittaessa kuormalla on tietty nopeus, joten se liikkuu hitaudella keskimääräisen tilan ohi.

Sähköiset värähtelyt voidaan selittää potentiaalierolla, joka on varatun kondensaattorin levyjen välillä. Vaikka se on täysin tyhjä, virta ei katoa, se latautuu.

AT moderni teknologia käytetään vaihteluja, jotka eroavat merkittävästi luonteeltaan, toistoasteeltaan, luonteeltaan sekä esiintymismekanismiltaan.

Mekaanisia värähtelyjä aiheuttavat soittimien kielet, meren aallot ja heiluri. Reagenssien pitoisuuden muutokseen liittyvät kemialliset vaihtelut otetaan huomioon suoritettaessa erilaisia ​​vuorovaikutuksia.

Sähkömagneettisten värähtelyjen avulla voidaan luoda erilaisia ​​teknisiä laitteita, esimerkiksi puhelin, ultraääni-lääkinnälliset laitteet.

Kefeidien kirkkauden vaihtelut ovat erityisen kiinnostavia astrofysiikassa, ja tutkijat eri maista tutkivat niitä.

Johtopäätös

Kaikentyyppiset värähtelyt liittyvät läheisesti valtavaan määrään teknisiä prosesseja ja fysikaalisia ilmiöitä. Hienoja ne ovat käytännön arvoa lentokoneiden rakentamisessa, laivanrakennuksessa, rakentamisessa asuinkompleksit, sähkötekniikka, radioelektroniikka, lääketiede, perustieteet. Esimerkki tyypillisestä värähtelyprosessista fysiologiassa on sydänlihaksen liike. Mekaanisia värähtelyjä esiintyy orgaanisessa ja epäorgaanisessa kemiassa, meteorologiassa ja myös monissa muissa luonnontieteissä.

Ensimmäiset matemaattisen heilurin tutkimukset suoritettiin 1600-luvulla, ja 1800-luvun loppuun mennessä tiedemiehet pystyivät vahvistamaan sähkömagneettisten värähtelyjen luonteen. Venäläinen tiedemies Alexander Popov, jota pidetään radioviestinnän "isänä", suoritti kokeensa juuri sähkömagneettisten värähtelyjen teorian, Thomsonin, Huygensin ja Rayleighin tutkimustulosten perusteella. Hän onnistui löytämään käytännön käyttöä sähkömagneettisia aaltoja, käytä niitä radiosignaalin lähettämiseen pitkän matkan päähän.

Akateemikko P. N. Lebedev suoritti monien vuosien ajan kokeita, jotka liittyivät korkeataajuisten sähkömagneettisten värähtelyjen tuottamiseen vaihtelevilla sähkökentillä. Lukuisten kokeiden kautta, jotka liittyvät erilaisia ​​tyyppejä vaihteluiden vuoksi tutkijat onnistuivat löytämään alueita, joilla niitä voidaan käyttää optimaalisesti moderni tiede ja tekniikka.

Lab #3

"Jousen kimmokertoimen määritys jousiheilurin avulla"

UDC 531.13(07)

Värähtelevän liikkeen lakeja tarkastellaan jousiheilurin esimerkissä. Kertoimen määrittämiseksi annetaan ohjeita laboratoriotyön tekemiseen kovuus jouset dynaamisilla menetelmillä. Dan analyysi tyypillisiä tehtäviä aiheesta "Harmoniset värähtelyt. Harmonisten värähtelyjen lisäys.

Teoreettinen johdanto

Värähtelevä liike on yksi yleisimmistä luonnon liikkeistä. Siihen liittyvät ääniilmiöt, vaihtovirta, sähkömagneettiset aallot. Värähtelyjä aiheuttavat erilaisten koneiden ja laitteiden yksittäiset osat, kiinteiden aineiden, nesteiden ja kaasujen atomit ja molekyylit, ihmisten ja eläinten sydänlihakset jne.

epäröintiä kutsutaan fysikaaliseksi prosessiksi, jolle on tunnusomaista tähän prosessiin liittyvien fyysisten suureiden toistuminen ajassa. Heilurin tai heilahteen liike, sydänlihaksen supistukset, vaihtovirta ovat kaikki esimerkkejä värähtelevistä järjestelmistä.

Värähtelyjä pidetään jaksollisina, jos fyysisten suureiden arvot toistetaan säännöllisin väliajoin, ns ajanjaksoa T. Kutsutaan järjestelmän suorittamien täydellisten värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti taajuus v. Ilmeisesti T = 1/v. Taajuus mitataan hertseinä (Hz). 1 hertsin taajuudella järjestelmä tekee 1 värähtelyn sekunnissa.

Yksinkertaisin värähtelyliike on vapaa harmoninen värähtely. vapaa, tai oma Niitä kutsutaan värähtelyiksi, jotka syntyvät järjestelmässä sen jälkeen, kun ulkoiset voimat ovat saaneet sen pois tasapainosta, jotka eivät jatkossa osallistu järjestelmän liikkeeseen. Ajoittain muuttuvan läsnäolo ulkoiset voimat puhelut järjestelmässä pakotettuja tärinöitä.

Harmoninen kutsutaan vapaiksi värähtelyiksi, jotka tapahtuvat elastisen voiman vaikutuksesta kitkan puuttuessa. Hooken lain mukaan pienillä muodonmuutoksilla kimmovoima on suoraan verrannollinen kappaleen x siirtymiseen tasapainoasennosta ja kohdistuu tasapainoasentoon: F ex. = - κx, jossa κ on kimmokerroin mitattuna N/m, ja x on kappaleen siirtymä tasapainoasennosta.

Voimia, jotka eivät ole luonteeltaan elastisia, mutta jotka ovat ulkonäöltään samanlaisia ​​kuin siirtymäriippuvuus, kutsutaan lähes elastinen(lat. quasi - oletettavasti). Tällaiset voimat aiheuttavat myös harmonisia värähtelyjä. Esimerkiksi kvasielastiset voimat vaikuttavat elektroneihin värähtelypiirissä aiheuttaen harmonisia sähkömagneettisia värähtelyjä. Esimerkki kvasielastisesta voimasta voi olla myös matemaattisen heilurin painovoimakomponentti pienillä poikkeamakulmilla pystysuorasta.

Harmoninen värähtelyyhtälö. Anna kehon massan m kiinnitetty jousen päähän, jonka massa on pieni verrattuna rungon massaan. Värähtelevää kappaletta kutsutaan oskillaattoriksi (latinaksi oscillum - oscillation). Anna oskillaattorin liukua vapaasti ja ilman kitkaa vaakasuuntaista ohjainta pitkin, jota pitkin suuntaamme koordinaattiakselin OX (kuva 1). Koordinaattien origo sijoitetaan kohtaan, joka vastaa kehon tasapainoasemaa (kuva 1, a). Kohdista vaakasuora voima vartaloon F ja siirrä se tasapainoasennosta oikealle koordinaattipisteeseen X. Jousen venyminen ulkoisen voiman vaikutuksesta aiheuttaa elastisen voiman F ynp ilmaantumisen siihen. , suunnattu tasapainoasentoon (kuva 1, b). Jos nyt poistamme ulkoisen voiman F, silloin kimmovoiman vaikutuksesta keho saa kiihtyvyyden a, siirtyy tasapainoasentoon ja kimmovoima pienenee ja tulee tasapainoasennossa nollaksi. Tasapainoasennon saavutettuaan keho ei kuitenkaan pysähdy siihen vaan liikkuu liike-energiansa ansiosta vasemmalle. Jousi puristetaan uudelleen, elastinen voima kohdistuu oikealle. Kun kappaleen kineettinen energia muutetaan puristetun jousen potentiaalienergiaksi, kuormitus pysähtyy, alkaa sitten liikkua oikealle ja prosessi toistuu.

Eli jos ei-jaksollisen liikkeen aikana keho ohittaa kunkin lentoradan pisteen vain kerran liikkuen yhteen suuntaan, niin värähtelevän liikkeen aikana yhden täydellisen värähtelyn aikana kussakin liikeradan pisteessä, paitsi äärimmäisissä kohdissa, keho tapahtuu kahdesti : kerran ajetaan eteenpäin, muina aikoina taaksepäin.

Kirjoitetaan Newtonin toinen laki oskillaattorille: ma= Fynp. , missä

F-kontrolli = –κ x (1)

"–"-merkki kaavassa osoittaa, että siirtymällä ja voimalla on vastakkaiset suunnat, toisin sanoen jouseen kohdistuvaan kuormaan vaikuttava voima on verrannollinen sen siirtymiseen tasapainoasennosta ja on aina suunnattu tasapaino-asentoon. Suhteellisuuskerrointa "κ" kutsutaan joustokertoimeksi. Numeerisesti se on yhtä suuri kuin voima, joka aiheuttaa jousen muodonmuutoksen, jolloin sen pituus muuttuu yhdellä. Joskus sitä kutsutaan kovuuskerroin.

Koska kiihtyvyys on kappaleen siirtymän toinen derivaatta, tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

, tai
(2)

Yhtälö (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

, (3)

jossa yhtälön molemmat puolet on jaettu massalla m ja esitteli merkinnän:

(4)

On helppo tarkistaa korvaamalla, että ratkaisu täyttää tämän yhtälön:

x \u003d A 0 cos (ω 0 t + φ 0) , (5)

missä A 0 on kuorman amplitudi tai maksimi siirtymä tasapainoasennosta, ω 0 on kulma- tai syklinen taajuus, joka voidaan ilmaista jaksona T luonnolliset värähtelyt kaavan mukaan
(Katso alempaa).

Arvo φ \u003d φ 0 + ω 0 t (6), joka on kosinimerkin alla ja mitataan radiaaneina, on ns. värähtelyvaihe tällä hetkellä t, ja φ 0 - alkuvaihe. Vaihe on luku, joka määrittää värähtelevän pisteen siirtymän suuruuden ja suunnan tietyllä hetkellä. Kohdasta (6) nähdään, että

. (7)

Siten ω 0:n arvo määrittää vaiheenmuutosnopeuden ja sitä kutsutaan syklinen taajuus. Se liittyy tavalliseen puhtauteen kaavan mukaan

Jos vaihe muuttuu 2π radiaania, niin trigonometriasta tiedetään kosini saa alkuperäisen arvonsa ja siten myös siirtymä saa alkuperäisen arvonsa X. Mutta koska aika muuttuu yhdellä jaksolla, käy niin

ω 0 ( t + T) + φ 0 = (ω 0 t + φ 0) + 2π

Laajentamalla sulkuja ja peruuttamalla vastaavia termejä, saamme ω 0 T= 2π tai
. Mutta koska (4)
, niin saamme:
. (9)

Tällä tavalla, kehon värähtelyjakso, ripustettu jouseen, kuten kaavasta (8), ei riipu värähtelyjen amplitudista, vaan riippuu kehon massasta ja kimmokertoimesta(tai kovuus) jouset.

Differentiaaliyhtälö harmoniset värähtelyt:
,

Luonnollinen pyöreä taajuus värähtelyt, jotka määräytyvät värähtelyjärjestelmän luonteen ja parametrien mukaan:

–
- aineelliselle pisteelle, jolla on massa m, värähtelee kvasi-elastisen voiman vaikutuksesta, jolle on tunnusomaista kimmokerroin (jäykkyys) k;

–
-matemaattiselle heilurille, jolla on pituus l;

–
- sähkömagneettisille värähtelyille piirissä, jossa on kapasitanssi FROM ja induktanssi L.

TÄRKEÄ MUISTIINPANO

Nämä kaavat ovat oikeita pienille poikkeamille tasapainoasennosta.

Nopeus harmoniselle värähtelylle:

.

Kiihtyvyys harmoniselle värähtelylle:

kokonaisenergiaa harmoninen värähtely:

.

KOKEELLINEN OSA

Harjoitus 1

Jousiheilurin luonnollisen värähtelyjakson riippuvuuden määrittäminen kuorman massasta

1. Ripusta paino johonkin jousista ja siirrä heiluri tasapainosta noin 1 - 2 cm.

2. Kun olet antanut kuorman värähtää vapaasti, mittaa aikaväli sekuntikellolla t, jonka aikana heiluri tekee n (n = 15 - 25) täydellistä värähtelyä
. Selvitä heilurin heilahdusjakso jakamalla mittaamasi aika heilahdusten lukumäärällä. Suuremman tarkkuuden saamiseksi mittaa vähintään 3 kertaa ja laske värähtelyjakson keskiarvo.

Merkintä: Varmista, että kuormassa ei ole sivuttaisvärähtelyjä, eli että heilurin värähtelyt ovat täysin pystysuoraa.

3. Toista mittaukset muilla painoilla. Kirjaa mittaustulokset taulukkoon.

4. Piirrä heilurin värähtelyjakson riippuvuus kuorman massasta. Kaavio on yksinkertaisempi (suora viiva), jos tavaroiden massan arvot on piirretty vaaka-akselille ja neliön jakson arvot on piirretty pystyakselille.

Tehtävä 2

Jousen kimmokertoimen määritys dynaamisella menetelmällä

1. Ripusta yhteen jousista 100 g:n paino, poista se tasapainoasennosta 1 - 2 cm ja määritä 15 - 20 täydellisen värähtelyn ajan jälkeen heilurin värähtelyjakso valitulla kuormalla. käyttämällä kaavaa
. Kaavasta
laske jousen kimmokerroin.

2. Tee samanlaiset mittaukset painoilla 150 g - 800 g (varusteista riippuen), määritä kimmokerroin kullekin tapaukselle ja laske jousen kimmokertoimen keskiarvo. Kirjaa mittaustulokset taulukkoon.

Tehtävä 3. Laboratoriotöiden tulosten mukaan (tehtävät 1 - 3):

- selvitä heilurin syklisen taajuuden arvo ω 0 .

– vastaa kysymykseen: riippuuko heilurin värähtelyjen amplitudi kuorman massasta.

Ota käyttöön suoritettaessa saatu kaavio tehtävät 1, mielivaltainen piste ja piirrä siitä kohtisuorat, kunnes se leikkaa akselit Om ja O T 2. Määritä arvot tälle pisteelle m ja T 2 ja kaavan mukaan
laske jousen kimmokertoimen arvo.

Sovellus

LYHYT TEOREETTISET TIEDOT

LISÄÄMÄLLÄ HARMONISIA VÄRINTÄÄJÄ

Amplitudi MUTTA tuloksena oleva värähtely, joka saadaan laskemalla yhteen kaksi yhtä suoraa pitkin tapahtuvaa värähtelyä, joilla on samat taajuudet ja amplitudit A 1 ja A 2, määritetään kaavalla

missä φ 0, 1, φ 0, 2 - alkuvaiheet.

Alkuvaihe Tuloksena olevan värähtelyn φ 0 voidaan löytää kaavalla

tg
.

lyö jotka johtuvat kahden värähtelyn summasta x 1 =A cos2π ν 1 t esiintyy yhtä suoraa pitkin erilaisilla, mutta arvoltaan lähellä olevilla taajuuksilla ν 1 ja ν 2 kuvataan kaavalla

x= x 1 + x 2 + 2A cos π (ν 1 - ν 2) t cosπ(ν 1 +ν 2) t.

Ratayhtälö piste, joka osallistuu kahteen keskenään kohtisuoraan samantaajuiseen värähtelyyn amplitudeilla MUTTA 1 ja MUTTA 2 ja alkuvaiheet φ 0, 1 ja φ 0, 2:

Jos alkuvaiheiden φ 0, 1 ja φ 0, 2 värähtelykomponentit ovat samat, niin liikeratayhtälö saa muotoa
. Jos alkuvaiheet eroavat π:llä, niin lentoratayhtälöllä on muoto
. Nämä ovat origon läpi kulkevien suorien yhtälöitä, toisin sanoen näissä tapauksissa piste liikkuu suorassa linjassa. Muissa tapauksissa liike tapahtuu ellipsiä pitkin. Vaihe-erolla
tämän ellipsin akselit sijaitsevat akseleita pitkin OX ja OY ja lentoratayhtälöstä tulee
. Tällaisia ​​värähtelyjä kutsutaan elliptisiksi. Kun A 1 \u003d A 2 \u003d A x 2 + y 2 \u003d A 2. Tämä on ympyrän yhtälö, ja värähtelyjä kutsutaan pyöreiksi. Muille taajuuksien ja vaihe-erojen arvoille värähtelypisteen liikerata muodostaa oudon muotoisia käyriä, ns. Lissajous-hahmot.

TYYPILLISTEN TEHTÄVIEN ANALYYSI

TIETTYÄ AIHEESSA

Tehtävä 1. Materiaalipisteen värähtelykaaviosta seuraa, että nopeusmoduuli hetkellä t = 1/3 s on ...

Kuvassa näkyvä harmonisen värähtelyn jakso on 2 sekuntia. Tämän värähtelyn amplitudi on 18 cm, joten riippuvuus x(t) voidaan kirjoittaa muodossa x(t) = 18sin π t. Nopeus on yhtä suuri kuin funktion derivaatta X(t) ajan kanssa v(t) = 18π cos π t. Korvaamalla t = (1/3) s, saamme v(1/3) = 9π (cm/s).

Oikea on vastaus: 9 π cm/s.

Kaksi samansuuntaista harmonista värähtelyä lasketaan yhteen samoilla jaksoilla ja samoilla amplitudeilla A 0 . Eron kohdalla
tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on...

Ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti, jos käytetään vektorimenetelmää tuloksena olevan värähtelyn amplitudin ja vaiheen määrittämiseen. Tätä varten esitämme yhden lisätyistä värähtelyistä vaakasuuntaisena vektorina, jolla on amplitudi MUTTA yksi . Rakennamme tämän vektorin lopusta toisen vektorin amplitudilla MUTTA 2 niin, että se muodostaa kulman
ensimmäisen vektorin kanssa. Tällöin ensimmäisen vektorin alusta viimeisen loppuun vedetyn vektorin pituus on yhtä suuri kuin tuloksena olevan värähtelyn amplitudi, ja tuloksena olevan vektorin muodostama kulma ensimmäisen vektorin kanssa määrittää niiden välisen eron. vaiheet. Vastaava vektorikaavio tehtävän ehto, näkyy kuvassa. Tämä osoittaa välittömästi, että tuloksena olevan värähtelyn amplitudi sisään
kertaa kunkin summatun värähtelyn amplitudi.

Oikea on vastaus:
.

Piste M värähtelee samanaikaisesti harmonisen lain mukaan koordinaattiakseleita pitkin VAI NIIN ja OY eri amplitudeilla mutta samoilla taajuuksilla. Vaihe-erolla π/2, pisteen liikerata M näyttää:

Ehdossa annetulla vaihe-erolla ratayhtälö on ellipsiyhtälö, vähennettynä koordinaattiakseleiksi, ja ellipsin puoliakselit ovat yhtä suuria kuin vastaavat värähtelyamplitudit (katso teoreettiset tiedot).

Oikea on vastaus: 1.

Kaksi identtisesti suunnattua saman ajanjakson harmonista värähtelyä amplitudilla A 1 \u003d 10 cm ja A 2 \u003d 6 cm lisätään yhdeksi värähtelyksi, jonka amplitudi on A res \u003d 14 cm. Vaihe-ero
summattu värähtely on yhtä suuri kuin...

Tässä tapauksessa on kätevää käyttää kaavaa . Korvaamalla tehtäväehdon tiedot siihen, saamme:
.

Tämä kosiniarvo vastaa
.

Oikea vastaus on: .

Testikysymykset

1. Mitä värähtelyjä kutsutaan harmonisiksi? 2. Mikä on vaimentamattomien harmonisten värähtelyjen kuvaaja? 3. Mitkä ovat harmonisen värähtelyprosessin arvot? 4. Anna esimerkkejä värähtelevistä liikkeistä biologiasta ja eläinlääketieteestä. 5. Kirjoita yhtälö harmonisille värähtelyille. 6. Kuinka saada lauseke jousiheilurin värähtelevän liikkeen ajanjaksolle?

KIRJALLISUUS

Grabovsky R. I. Fysiikan kurssi. -M.: valmistua koulusta, 2008, osa I, 27–30 kohta.

Fysiikan ja biofysiikan perusteet. Zhuravlev A. I., Belanovsky A. S., Novikov V. E., Oleshkevich A. A. ja muut - M., Mir, 2008, ch. 2.

Trofimova T. I. Fysiikan kurssi: Oppikirja opiskelijoille. yliopistot. - M.: MGAVMiB, 2008. - Ch. kahdeksantoista.

Trofimova T. I. Fysiikka taulukoissa ja kaavoissa: Proc. yliopisto-opiskelijoiden tuki. - 2. painos, korjattu. - M.: Bustard, 2004. - 432 s.

Translaatio- ja pyörimisliikkeen ohella värähtelevä liike on tärkeässä roolissa makro- ja mikromaailmassa.

Erota kaoottiset ja jaksolliset värähtelyt. Jaksottaisille värähtelyille on ominaista se, että värähtelevä järjestelmä kulkee tietyin yhtäläisin aikavälein samojen asemien läpi. Esimerkki on ihmisen kardiogrammi, joka on tallenne sydämen sähköisten signaalien vaihteluista (kuva 2.1). Kardiogrammista voi erottaa värähtelyjakso, nuo. aika T yksi täydellinen keinu. Mutta jaksollisuus ei ole värähtelyjen yksinomainen ominaisuus, se on myös oskillaatioiden hallussa pyörivä liike. Tasapainoasennon olemassaolo on mekaanisen värähtelevän liikkeen ominaisuus, kun taas pyörimiselle on ominaista ns. välinpitämätön tasapaino (hyvin tasapainotettu pyörä tai peliruletti pyöritettynä pysähtyy mihin tahansa asentoon tasatodennäköisyydellä). Mekaanisissa värähtelyissä missä tahansa asennossa, paitsi tasapainoasennossa, syntyy voima, joka pyrkii palauttamaan värähtelyjärjestelmän alkuasentoonsa, ts. palauttava voima, aina suunnattu tasapainoasentoon. Kaikkien kolmen ominaisuuden olemassaolo erottaa mekaanisen tärinän muista liikkeistä.

Riisi. 2.1.

Harkitse erityisiä esimerkkejä mekaanisista tärinöistä.

Kiinnitämme teräsviivaimen toisen pään ruuvipuristimeen ja vedämme toisen vapaana sivulle ja vapautamme sen. Elastisten voimien vaikutuksesta viivain palaa alkuperäiseen asentoonsa, joka on tasapainoasema. Tämän asennon (joka on tasapainoasento) läpi kulkiessaan viivaimen kaikilla pisteillä (paitsi kiinnitettyä osaa) on tietty nopeus ja tietty määrä liike-energiaa. Inertialla viivaimen värähtelevä osa ohittaa tasapainoasennon ja toimii kineettisen energian vähenemisen vuoksi sisäisiä elastisia voimia vastaan. Tämä johtaa järjestelmän potentiaalisen energian kasvuun. Kun liike-energia on täysin käytetty, potentiaalienergia saavuttaa maksiminsa. Kuhunkin värähtelypisteeseen vaikuttava kimmovoima saavuttaa myös maksiminsa ja suuntautuu tasapainoasentoon. Tämä on kuvattu potentiaalikäyrien kielellä kohdissa 1.2.5 (relaatio (1.58)), 1.4.1 ja myös kohdassa 1.4.4 (katso kuva 1.31). Tätä toistetaan, kunnes järjestelmän mekaaninen kokonaisenergia muuttuu sisäiseksi energiaksi (hiukkasten värähtelyjen energiaksi kiinteä runko) eivätkä hajoa ympäröivään tilaan (muista, että vastusvoimat ovat dissipatiivisia voimia).

Tarkasteltavassa liikkeessä on siis tilojen toistoa ja voimia (elastisuusvoimia), jotka pyrkivät palauttamaan järjestelmän tasapainoasentoon. Siksi viivain värähtelee.

Toinen hyvin tunnettu esimerkki on heilurin värähtely. Heilurin tasapainoasento vastaa sen painopisteen alinta asentoa (tässä asennossa painovoiman aiheuttama potentiaalienergia on minimaalinen). Taivutetussa asennossa pyörimisakselin ympärillä oleva voimamomentti vaikuttaa heiluriin ja pyrkii palauttamaan heilurin tasapainoasentoon. Tässä tapauksessa on myös kaikki merkit värähtelevästä liikkeestä. On selvää, että painovoiman puuttuessa (painottomuuden tilassa) yllä olevat ehdot eivät täyty: painottomuuden tilassa ei ole painovoimaa ja tämän voiman palautusmomenttia. Ja tässä heiluri, saatuaan työntö, liikkuu ympyrässä, eli se ei värähtele, vaan pyörii.

Tärinä ei voi olla vain mekaanista. Joten voimme esimerkiksi puhua induktorin kanssa rinnakkain kytketyn kondensaattorin levyjen varausvaihteluista (värähtelypiirissä) tai kondensaattorin sähkökentän voimakkuudesta. Niiden muutos ajan myötä kuvataan yhtälöllä, niin, joka määrittää mekaanisen siirtymän heilurin tasapainoasennosta. Ottaen huomioon, että samat yhtälöt voivat kuvata mitä erilaisimpien fysikaalisten suureiden värähtelyjä, on erittäin kätevää tarkastella värähtelyjä riippumatta siitä, mikä fysikaalinen suure vaihtelee. Tämä synnyttää analogiajärjestelmän, erityisesti sähkömekaanisen analogian. Varmuuden vuoksi otamme toistaiseksi huomioon mekaaniset tärinät. Vain jaksolliset vaihtelut otetaan huomioon, jolloin vaihteluprosessissa muuttuvien fyysisten suureiden arvot toistetaan säännöllisin väliajoin.

Jakson käänteisluku T värähtelyt (sekä yhden täydellisen kierroksen aika pyörimisen aikana), ilmaisee täydellisten värähtelyjen lukumäärän aikayksikköä kohti, ja on ns. taajuus(se on vain taajuus, se mitataan hertseinä tai s -1)

(värähtelyillä samalla tavalla kuin pyörivällä liikkeellä).

Kulmanopeus suhteutetaan kaavan (2.1) taajuuteen v

mitattuna rad/s tai s -1.

On luonnollista aloittaa värähtelyprosessien analyysi yksinkertaisimmista värähtelyjärjestelmien tapauksista yhden vapausasteen kanssa. Vapausasteiden lukumäärä on riippumattomien muuttujien määrä, joka tarvitaan määrittämään täysin tietyn järjestelmän kaikkien osien sijainti avaruudessa. Jos esimerkiksi heilurin värähtelyt (kuormitus lankaan jne.) rajoittuvat tasoon, jossa heiluri voi vain liikkua, ja jos heilurin lanka on venymätön, riittää, että asetetaan vain yksi kulma. kierteen poikkeama pystysuorasta tai vain siirtymän määrä tasapainoasennosta - jousen yhteen suuntaan värähtelevä kuorma määrittää täysin sen asennon. Tässä tapauksessa sanomme, että tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi vapausaste. Samalla heilurilla on kaksi vapausastetta, jos se voi olla missä tahansa paikassa sen pallon pinnalla, jolla sen liikerata on. Kolmiulotteiset värähtelyt ovat myös mahdollisia, kuten esimerkiksi atomien lämpövärähtelyt kidehilassa (katso kohta 10.3). Prosessin analysoimiseksi todellisessa fysikaalisessa järjestelmässä valitsemme sen mallin ja rajoitamme tutkimuksen etukäteen useisiin olosuhteisiin.

• Tästä eteenpäin värähtelyjaksoa merkitään samalla kirjaimella kuin kineettistä energiaa - T (älä sekoita!).
• Luku 4 " Molekyylifysiikka» vapausasteiden lukumäärälle annetaan toinen määritelmä.

Värähtelyominaisuus

Vaihe määrittää järjestelmän tilan, nimittäin koordinaatin, nopeuden, kiihtyvyyden, energian jne.

Syklinen taajuus kuvaa värähtelyvaiheen muutosnopeutta.

Värähtelyjärjestelmän alkutila on tunnusomaista alkuvaihe

Värähtelyamplitudi A on suurin siirtymä tasapainoasennosta

Kausi T- tämä on ajanjakso, jonka aikana piste suorittaa yhden täydellisen värähtelyn.

Värähtelytaajuus on täydellisten värähtelyjen lukumäärä aikayksikköä t kohti.

Taajuus, syklinen taajuus ja värähtelyjakso liittyvät toisiinsa

Värähtelytyypit

Suljetuissa järjestelmissä esiintyviä värähtelyjä kutsutaan vapaa tai oma vaihtelut. Värähtelyjä, jotka syntyvät ulkoisten voimien vaikutuksesta, kutsutaan pakko. Siellä on myös itsevärähtelyjä(automaattisesti pakotettu).

Jos tarkastellaan värähtelyjä muuttuvien ominaisuuksien mukaan (amplitudi, taajuus, jakso jne.), niin ne voidaan jakaa harmoninen, häipyminen, kasvaa(sekä sahahammas, suorakaiteen muotoinen, monimutkainen).

Todellisissa järjestelmissä vapaiden värähtelyjen aikana tapahtuu aina energiahäviöitä. Mekaanista energiaa käytetään esimerkiksi ilmanvastusvoimien voittamiseksi. Kitkavoiman vaikutuksesta värähtelyamplitudi pienenee, ja hetken kuluttua värähtely lakkaa. On selvää, että mitä suurempi vastustusvoima liikettä vastaan, sitä nopeammin värähtelyt pysähtyvät.

Pakotettu tärinä. Resonanssi

Pakotetut värähtelyt ovat vaimentamattomia. Siksi on tarpeen täydentää energiahäviöitä jokaisella värähtelyjaksolla. Tätä varten on tarpeen vaikuttaa värähtelevään kappaleeseen ajoittain muuttuvalla voimalla. Pakotetut värähtelyt suoritetaan taajuudella, joka on yhtä suuri kuin ulkoisen voiman muutosten taajuus.

Pakotettu tärinä

Pakotettujen mekaanisten värähtelyjen amplitudi saavuttaa suurin arvo siinä tapauksessa, että käyttövoiman taajuus on sama kuin värähtelyjärjestelmän taajuus. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssi.

Esimerkiksi, jos vedät ajoittain johtoa ajoissa omilla värähtelyillään, huomaamme sen värähtelyjen amplitudin lisääntymisen.

Jos märkää sormea ​​liikutetaan lasin reunaa pitkin, lasista kuuluu soivia ääniä. Vaikka sormi ei ole havaittavissa, se liikkuu ajoittain ja siirtää energiaa lasiin lyhyin purskein, mikä saa lasin värisemään.

Myös lasin seinät alkavat värähdellä siihen suunnattuna. ääniaalto taajuudella, joka on yhtä suuri kuin omansa. Jos amplitudi tulee erittäin suureksi, lasi saattaa jopa rikkoutua. F.I. Chaliapinin laulun aikana koetun resonanssin vuoksi kattokruunujen kristalliriipukset tärisivät (resonoivat). Resonanssin syntyminen voidaan jäljittää kylpyhuoneessa. Jos laulat eritaajuisia ääniä pehmeästi, resonanssi tapahtuu yhdellä taajuuksista.

AT Soittimet resonaattorien roolia hoitavat osat heidän koteloistaan. Ihmisellä on myös oma resonaattori - tämä on suuontelo, joka vahvistaa syntyviä ääniä.

Resonanssiilmiö on otettava huomioon käytännössä. Joissakin tilanteissa siitä voi olla hyötyä, toisissa se voi olla haitallista. Resonanssiilmiöt voivat aiheuttaa peruuttamattomia vaurioita erilaisille mekaanisille järjestelmille, kuten väärin suunniteltuja siltoja. Joten vuonna 1905 Pietarin egyptiläinen silta romahti, kun ratsaslentue kulki sen läpi, ja vuonna 1940 Tacoma-silta Yhdysvalloissa romahti.

Resonanssiilmiötä käytetään, kun pienen voiman avulla on tarpeen saada suuri lisäys värähtelyjen amplitudissa. Esimerkiksi suuren kellon raskas kieli voidaan heilauttaa suhteellisen pienellä voimalla taajuudella, joka on yhtä suuri kuin kellon luonnollinen taajuus.

Siksi värähtelyjen ja aaltojen yleinen teoria on mukana näiden kuvioiden tutkimisessa. Perimmäinen ero aalloista: värähtelyjen aikana ei tapahdu energian siirtoa, nämä ovat niin sanotusti "paikallisia" muunnoksia.

Luokitus

Valinta eri tyyppejä värähtelyt riippuvat värähtelyprosessien (oskillaattorit) järjestelmien korostetuista ominaisuuksista.

Käytettyjen matemaattisten laitteiden mukaan

• Epälineaariset värähtelyt

Taajuuden mukaan

Näin ollen jaksolliset värähtelyt määritellään seuraavasti:

Fyysisen luonteen perusteella

• Mekaaninen(ääni, värinä)
• sähkömagneettinen(valo, radioaallot, lämpö)
• sekoitettu tyyppi- edellä mainittujen yhdistelmät

Vuorovaikutuksen luonteesta ympäristön kanssa

• Pakko- järjestelmässä esiintyvät vaihtelut ulkoisen jaksoittaisen vaikutuksen vaikutuksesta. Esimerkkejä: lehdet puissa, käden nostaminen ja laskeminen. Pakotetuilla värähtelyillä voi tapahtua resonanssiilmiö: värähtelyjen amplitudin voimakas kasvu, kun oskillaattorin luonnollinen taajuus on sama kuin ulkoisen vaikutuksen taajuus.
• Ilmainen (tai oma)- nämä ovat värähtelyjä järjestelmässä sisäisten voimien vaikutuksesta sen jälkeen, kun järjestelmä on poistettu tasapainosta (todellisissa olosuhteissa vapaat värähtelyt vaimentuvat aina). Yksinkertaisimpia esimerkkejä vapaasta tärinästä ovat jouseen kiinnitetyn kuorman tai kierteeseen ripustetun kuorman värähtelyt.
• Itsevärähtelyt- värähtelyt, joissa järjestelmässä on potentiaalienergiavarasto, joka kuluu värähtelyihin (esimerkki tällaisesta järjestelmästä on mekaaninen kello). Tyypillinen ero Itsevärähtely pakotetuista värähtelyistä on, että niiden amplitudi määräytyy itse järjestelmän ominaisuuksien, ei alkuehtojen mukaan.
• Parametrinen- vaihtelut, joita esiintyy, kun mikä tahansa värähtelyjärjestelmän parametri muuttuu ulkoisen vaikutuksen seurauksena.

Vaihtoehdot

Värähtelyjakso T (\displaystyle T\,\ !} ja taajuus f (\displaystyle f\,\ !}- vastavuoroiset arvot;

Ympyrä- tai syklisissä prosesseissa käytetään "taajuusominaisuuden" sijaan käsitettä pyöreä (syklinen) taajuus ω (\displaystyle \omega \,\ !} (rad/s, Hz, s −1), joka näyttää värähtelyjen määrän per 2 π (\displaystyle 2\pi ) aikayksiköt:

• Puolueellisuus- kehon poikkeama tasapainoasennosta. Nimitys X, Mittayksikkö - mittari.
• Värähtelyvaihe- määrittää siirtymän milloin tahansa, eli määrittää värähtelyjärjestelmän tilan.

Novelli

Harmoniset värähtelyt on tunnettu 1600-luvulta lähtien.

Termiä "relaksaatiovärähtelyt" ehdotti vuonna 1926 van der Pol. Tällaisen termin käyttöönoton perusteli vain se seikka, että kaikki tällaiset vaihtelut näyttivät tietylle tutkijalle liittyvän "rentoutumisajan" olemassaoloon - toisin sanoen käsitykseen, että sillä tieteen kehityksen historiallisella hetkellä vaikutti. ymmärrettävin ja yleisin. Useiden edellä lueteltujen tutkijoiden kuvaamien uudentyyppisten värähtelyjen keskeinen ominaisuus oli, että ne poikkesivat merkittävästi lineaarisista, mikä ilmeni ensisijaisesti poikkeamana tunnetusta Thomsonin kaavasta. Varovainen historiallinen tutkimus osoitti, että van der Pol vuonna 1926 ei ollut vielä tietoinen siitä, että fyysinen ilmiö"relaksaatiovärähtelyt" vastaa Poincarén "rajasyklin" esittämää matemaattista käsitettä, ja hän ymmärsi tämän vasta vuonna 1929 julkaistun A. A. Andronovin julkaisun jälkeen.

Ulkomaiset tutkijat tunnustavat sen tosiasian, että Neuvostoliiton tutkijoiden joukossa L. I. Mandelstamin opiskelijat saavuttivat maailmankuulua, joka julkaisi vuonna 1937 ensimmäisen kirjan, jossa he tekivät yhteenvedon. nykyaikaista tietoa lineaarisista ja epälineaarisista värähtelyistä. Neuvostoliiton tiedemiehet kuitenkin ei hyväksynyt van der Polin ehdottamaa termiä "relaksaatiovärähtelyt". He pitivät parempana Blondelin käyttämää termiä "epäjatkuva liike", osittain siksi, että sen oli tarkoitus kuvata näitä värähtelyjä hitaiden ja nopeiden järjestelmien suhteen. Tämä lähestymistapa on kypsä vasta yksittäisen häiriöteorian yhteydessä.» .

Lyhyt kuvaus värähtelyjärjestelmien päätyypeistä

Lineaariset värähtelyt

Tärkeä värähtelytyyppi on harmoniset värähtelyt - värähtelyt, jotka tapahtuvat sinin tai kosinin lain mukaan. Kuten Fourier totesi vuonna 1822, mikä tahansa jaksollinen värähtely voidaan esittää harmonisten värähtelyjen summana laajentamalla vastaava funktio