Funktion derivaatan arvo pisteessä on yhtä suuri kuin. Etsi funktion derivaatan arvo pisteestä x0

11.10.2019

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

fyysinen merkitys johdannainen: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki ovat ymmärtäneet, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . keskinopeus joksikin aikaa:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Päätös:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastellaan ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerrotaan sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä se kuulostaa, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Takana Lyhytaikainen autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman ohjauksen ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Tuloksena ongelmien ratkaisemisesta yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden johdannaisten löytämisessä määrittämällä derivaatta argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, ilmestyi derivaattataulukko ja tarkasti määritellyt differentiaatiosäännöt. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) työskentelivät ensimmäisinä johdannaisten löytämisen alalla.

Siksi meidän aikanamme minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi ei tarvitse laskea edellä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, vaan tarvitsee vain käyttää taulukkoa. johdannaisista ja differentiointisäännöistä. Seuraava algoritmi sopii derivaatan löytämiseen.

Löytääksesi johdannaisen, tarvitset ilmaisun vetomerkin alle hajottaa yksinkertaisia toimintoja ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot liittyvät toisiinsa. Edelleen löydämme alkeisfunktioiden derivaatat derivaattataulukosta ja kaavat tulon, summan ja osamäärän derivaateille - differentiaatiosäännöistä. Taulukko johdannaisista ja differentiointisäännöistä on annettu kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Differentiointisäännöistä selviää, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ts.

Derivaatataulukosta selviää, että "X":n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi ja sinin derivaatta on kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summassa ja löydämme ongelman ehdon vaatiman derivaatan:

Esimerkki 2 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Differentioi summan derivaatana, jossa toinen termi vakiokertoimella, se voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

Jos on vielä kysymyksiä siitä, mistä jokin tulee, ne pääsääntöisesti selviävät johdannaistaulukon ja yksinkertaisimmat differentiointisäännöt lukemisen jälkeen. Olemme menossa heidän luokseen juuri nyt.

Taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisista

1. Vakion (luvun) derivaatta. Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200...), joka on funktiolausekkeessa. Aina nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "x". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa
3. Tutkinnon johdannainen. Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on muunnettava ei-neliöjuuret potenssiksi.
4. Muuttujan johdannainen potenssiin -1
5. Johdannainen neliöjuuri
6. Sinijohdannainen
7. Kosinijohdannainen
8. Tangenttiderivaata
9. Kotangentin derivaatta
10. Arsinin derivaatta
11. Arkkikosinin derivaatta
12. Arktangentin derivaatta
13. Käänteisen tangentin derivaatta
14. Luonnollisen logaritmin derivaatta
15. Logaritmisen funktion derivaatta
16. Eksponentin derivaatta
17. Eksponentiaalisen funktion derivaatta

Erottamisen säännöt

1. Summan tai erotuksen johdannainen
2. Tuotteen johdannainen
2a. Johdannainen lausekkeesta kerrottuna vakiotekijällä
3. Osamäärän derivaatta
4. Monimutkaisen funktion derivaatta

Sääntö 1Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa , sitten samassa kohdassa funktiot

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi differentioituvaa funktiota eroavat toisistaan vakiolla, niin niiden derivaatat ovat, eli

Sääntö 2Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa, silloin niiden tuote on myös erotettavissa samassa pisteessä

nuo. kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen ja toisen derivaatan summa.

Seuraus 1. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä:

Seuraus 2. Useiden differentioituvien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin tekijän ja kaikkien muiden derivaatan tulojen summa.

Esimerkiksi kolmelle kertoimelle:

Sääntö 3Jos toimii

erottuva jossain vaiheessa ja , niin tässä vaiheessa myös niiden osamäärä on differentioituva.u/v ja

nuo. kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on edellisen osoittajan neliö .

Mistä etsiä muilta sivuilta

Kun tuotteen derivaatta ja osamäärä todellisissa tehtävissä löydetään, on aina tarpeen soveltaa useita differentiaatiosääntöjä kerralla, joten artikkelissa on enemmän esimerkkejä näistä derivaatoista."Tuotteen ja osamäärän johdannainen".

Kommentti. Vakiota (eli lukua) ei pidä sekoittaa termiksi summassa ja vakiotekijänä! Termin tapauksessa sen derivaatta on nolla, ja vakiotekijän tapauksessa se otetaan pois derivaattojen etumerkistä. Tämä on tyypillinen virhe, joka tapahtuu alkuvaiheessa oppimisen johdannaisia, mutta kun ne ratkaisevat useita yksi-kaksikomponenttisia esimerkkejä, keskivertoopiskelija ei enää tee tätä virhettä.

Ja jos sinulla on termi, kun erotat tuotteen tai osamäärän u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ja siksi koko termi on yhtä suuri kuin nolla (tällaista tapausta analysoidaan esimerkissä 10) .

Toinen yleinen virhe on kompleksisen funktion derivaatan mekaaninen ratkaisu yksinkertaisen funktion derivaatana. Niin kompleksisen funktion derivaatta on omistautunut erillinen artikkeli. Mutta ensin opimme löytämään johdannaisia yksinkertaisista funktioista.

Matkan varrella et tule toimeen ilman lausekkeiden muunnoksia. Tätä varten sinun on ehkä avattava uusissa Windows-käyttöoppaat Toimet, joilla on voimia ja juuria ja Toiminnot murtoluvuilla .

Jos etsit ratkaisuja johdannaisille, joilla on potenssit ja juuret, eli milloin funktio näyttää , noudata sitten oppituntia "Murtolukujen summan johdannainen potenssien ja juurien kanssa".

Jos sinulla on tehtävä, kuten , niin olet oppitunnilla "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Vaiheittaiset esimerkit - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Määritämme funktion lausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakiotekijän. Sovellamme tulojen erottelusääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen summa ja toisen funktion tulojen summa:

Seuraavaksi sovelletaan summan differentiaatiosääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme kussakin summassa toinen termi miinusmerkillä. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka derivaatta on yhtä suuri, että vakion (luku), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Joten "x" muuttuu yhdeksi ja miinus 5 - nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan kahdella, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x":n derivaatta. Saamme seuraavat johdannaisten arvot:

Korvaamme löydetyt derivaatat tulojen summaksi ja saamme koko tehtävän ehdon vaatiman funktion derivaatan:

Esimerkki 4 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme osamäärän erottamiseen kaavaa: kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan sekä osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on entisen osoittajan neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet esimerkin 2 osoittajan tekijöiden derivaatan. Älä myöskään unohda, että tulo, joka on osoittajan toinen tekijä, otetaan nykyisessä esimerkissä miinusmerkillä:

Jos etsit ratkaisuja sellaisiin ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuva kasa juuria ja asteita, kuten esim. sitten tervetuloa tunnille "Johdannainen murtolukujen summasta potenssien ja juurien kanssa" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden johdannaisista trigonometriset funktiot, eli kun funktio näyttää tältä , sitten sinulla on oppitunti "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijöistä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka derivaattaan tutustuimme derivaattataulukossa. Tuloerosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Esimerkki 6 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Esimerkissä 4 toistetun ja sovelletun osamäärän differentiaatiosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Poistaaksesi osoittajan murto-osan kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla.

Esimerkki 1

Viite: Seuraavat funktion merkitsemistavat ovat vastaavia: Joissakin tehtävissä on kätevää nimetä toiminto "pelaajaksi" ja joissakin "ef from x".

Ensin löydämme johdannaisen:

Esimerkki 2

Laske funktion derivaatta pisteessä

, , täysi toimintotutkimus jne.

Esimerkki 3

Laske funktion derivaatta pisteessä . Etsitään ensin johdannainen:

No se on täysin eri asia. Laske derivaatan arvo pisteessä:

Jos et ymmärrä, kuinka johdannainen löydettiin, palaa aiheen kahteen ensimmäiseen oppituntiin. Jos arctangentin ja sen merkityksen kanssa on vaikeuksia (väärinkäsityksiä), välttämättä opiskella menetelmällinen materiaali Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet- aivan viimeinen kappale. Koska arktangentteja riittää vielä opiskelija-ikään.

Esimerkki 4

Laske funktion derivaatta pisteessä .

Funktion kaavion tangentin yhtälö

Edellisen kappaleen vahvistamiseksi harkitse tangentin löytämisen ongelmaa funktiografiikka tässä tilanteessa. Tapasimme tämän tehtävän koulussa, ja se löytyy myös korkeamman matematiikan kurssista.

Harkitse "esittelyn" perusesimerkkiä.

Kirjoita yhtälö funktion kaavion tangentille kohdassa, jossa on abskissa. Annan heti valmiin graafisen ratkaisun ongelmaan (käytännössä tämä ei ole useimmissa tapauksissa välttämätöntä):

Tangentin tarkan määritelmän antaa funktion derivaatan määritelmät, mutta kunnes hallitsemme tekninen osa kysymys. Varmasti melkein jokainen ymmärtää intuitiivisesti, mikä tangentti on. Jos selität "sormilla", funktion kaavion tangentti on suoraan, joka koskee funktion kuvaajaa in ainoa kohta. Tässä tapauksessa kaikki lähellä olevat suoran pisteet sijaitsevat mahdollisimman lähellä funktion kuvaajaa.

Tapauksemme mukaan: kohdassa tangentti (vakiomerkintä) koskettaa funktion kuvaajaa yhdessä pisteessä.

Ja meidän tehtävämme on löytää suoran yhtälö.

Toiminnon derivaatta pisteessä

Kuinka löytää funktion derivaatta pisteestä? Tämän tehtävän sanamuodosta seuraa kaksi ilmeistä kohtaa:

1) On tarpeen löytää johdannainen.

2) On tarpeen laskea derivaatan arvo tietyssä pisteessä.

Esimerkki 1

Laske funktion derivaatta pisteessä

Ohje: Seuraavat funktion merkitsemistavat ovat vastaavia:

Joissakin tehtävissä on kätevää nimetä toiminto "pelaajaksi" ja joissakin "ef from x".

Ensin löydämme johdannaisen:

Toivon, että monet ovat jo sopeutuneet löytämään tällaisia johdannaisia suullisesti.

Toisessa vaiheessa laskemme derivaatan arvon pisteessä:

Pieni lämmittelyesimerkki itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 2

Laske funktion derivaatta pisteessä

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Tarve löytää derivaatta pisteestä syntyy seuraavissa tehtävissä: funktion kaavion tangentin rakentaminen (seuraava kappale), ääripään funktion tutkimus , kaavion taivutusfunktion tutkimus , täysi toimintotutkimus jne.

Mutta kyseinen tehtävä tapahtuu valvoa työtä ja itsestään. Ja yleensä tällaisissa tapauksissa toiminto annetaan melko monimutkaisesti. Harkitse tässä yhteydessä kahta muuta esimerkkiä.

Esimerkki 3

Laske funktion derivaatta kohdassa.
Etsitään ensin johdannainen:

Derivaata periaatteessa löytyy ja vaadittu arvo voidaan korvata. Mutta en todellakaan halua tehdä mitään. Lauseke on hyvin pitkä, ja "x":n arvo on murtoluku. Siksi yritämme yksinkertaistaa johdannaistamme mahdollisimman paljon. Tässä tapauksessa yritetään pelkistää kolme viimeistä termiä yhteiseksi nimittäjäksi: kohdassa.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki.

Kuinka löytää funktion F(x) derivaatan arvo Ho-pisteestä? Kuinka ratkaista se yleisesti?

Jos kaava on annettu, etsi derivaatta ja korvaa X-nolla X:n sijaan. Kreivi
Jos me puhumme o b-8 KÄYTÄ, kuvaajaa, niin sinun on löydettävä kulman tangentti (terävä tai tylppä), joka muodostaa tangentin X-akselille (käyttämällä suorakulmaisen kolmion mentaalista rakennetta ja määrittämällä kulman tangentti)

Timur adilkhodzhaev

Ensinnäkin sinun on päätettävä merkki. Jos piste x0 on koordinaattitason alaosassa, niin vastauksen etumerkki on miinus, ja jos se on korkeampi, niin +.
Toiseksi sinun on tiedettävä, mikä on tange suorakaiteen muotoisessa suorakulmiossa. Ja tämä on vastakkaisen puolen (jalan) suhde viereiseen sivuun (myös jalkaan). Maalauksessa on yleensä muutamia mustia jälkiä. Näistä merkeistä teet suorakulmainen kolmio ja löytää vivahteita.

Kuinka löytää funktion f x derivaatan arvo pisteestä x0?

ei ole erityistä kysymystä - 3 vuotta sitten

Yleisessä tapauksessa, jotta voidaan löytää funktion derivaatan arvo jollekin muuttujalle missä tahansa pisteessä, on välttämätöntä erottaa annettu funktio tämän muuttujan suhteen. Sinun tapauksessasi muuttujalla X. Laita tuloksena olevaan lausekkeeseen X:n sijaan x:n arvo siihen pisteeseen, jolle sinun on löydettävä derivaatan arvo, ts. korvaa sinun tapauksessasi nolla X ja laske tuloksena oleva lauseke.

No, halusi ymmärtää tämä asia, mielestäni, ansaitsee epäilemättä +, jonka esitin puhtaalla omallatunnolla.

Tällainen derivaatan löytämisen ongelman muotoilu esitetään usein kiinnittämään materiaalia derivaatan geometriseen merkitykseen. Tietyn funktion kuvaaja on ehdotettu, täysin mielivaltainen eikä yhtälöllä annettu, ja sen on löydettävä derivaatan (ei itse derivaatan!) arvo määritellystä pisteestä X0. Tätä varten muodostetaan tangentti annetulle funktiolle ja etsitään sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Sitten tämän tangentin yhtälö laaditaan muodossa y=kx+b.

Tässä yhtälössä kerroin k ja on derivaatan arvo. jää vain löytää kertoimen b arvo. Tätä varten löydämme y:n arvon kohdassa x \u003d o, olkoon sen yhtä suuri kuin 3 - tämä on kertoimen b arvo. Korvaamme X0:n ja Y0:n arvot alkuperäiseen yhtälöön ja löydämme k - derivaatan arvomme tässä vaiheessa.

Jos noudatamme määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyssuhteen raja. y argumentin Δ lisäykseen x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä laskea tällä kaavalla esimerkiksi funktion derivaatta f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomautamme, että ns. alkeisfunktiot voidaan erottaa kaikista funktioiden valikoimasta. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia lausekkeita, joiden johdannaisia on laskettu ja syötetty taulukkoon pitkään. Tällaiset funktiot ja niiden johdannaiset ovat riittävän helppoja muistaa.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla lueteltuja. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niitä ei ole vaikea muistaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Jatkuva	f(x) = C, C ∈ R	0 (kyllä, kyllä, nolla!)
Aste rationaalisen eksponentin kanssa	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synti x	cos x
Kosini	f(x) = cos x	- synti x(miinus sini)
Tangentti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentti	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
luonnollinen logaritmi	f(x) = loki x	1/x
Mielivaltainen logaritmi	f(x) = loki a x	1/(x ln a)
Eksponentti funktio	f(x) = e x	e x(mikään ei muuttunut)

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa ja paljon muuta. Näin ilmaantuu uusia toimintoja, jotka eivät enää ole kovin alkeellisia, mutta myös erotettavissa tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Anna toiminnot f(x) ja g(x), joiden johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa "negatiivisen elementin" käsite. Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2+ synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cosx;

Väittelemme samalla tavalla funktion puolesta g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko"\u003e yhtä suuri kuin johdannaisten tulo. Mutta viikunat sinulle! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta usein unohtuu. Eikä vain koululaiset, vaan myös opiskelijat. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaava tämä ei muutu. Ilmeisesti funktion ensimmäinen kerroin g(x) on polynomi, ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että viimeisessä vaiheessa johdannainen faktoroidaan. Muodollisesti tämä ei ole välttämätöntä, mutta useimpia johdannaisia ei lasketa yksinään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen merkit selvitetään ja niin edelleen. Tällaisessa tapauksessa on parempi, että lauseke on jaettu tekijöihin.

Jos toimintoja on kaksi f(x) ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös johdannaisen:

Ei heikko, eihän? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Mutta näin! Tämä on yksi monimutkaisimmista kaavoista - et voi selvittää sitä ilman pulloa. Siksi on parempi tutkia sitä erityisillä esimerkeillä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Jokaisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä on alkeisfunktiot, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteisesti laskemme osoittajan tekijöihin - tämä yksinkertaistaa vastausta suuresti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puoli kilometriä pitkä kaava. Esimerkiksi funktion ottaminen riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2+ln x. Se käy ilmi f(x) = synti ( x 2+ln x) on monimutkainen funktio. Hänellä on myös johdannainen, mutta sen löytäminen ei onnistu yllä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti.

Kuinka olla? Tällaisissa tapauksissa muuttujan korvaaminen ja kompleksisen funktion derivaatan kaava auttavat:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan merkillä t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se erityisillä esimerkeillä, joilla Yksityiskohtainen kuvaus jokainen askel.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2+ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin saadaan alkeisfunktio f(x) = e x. Siksi teemme korvauksen: olkoon 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Käänteisen vaihdon suorittaminen: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti pitää vaihtaa. x 2+ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2+ln x. Sitten:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut summan derivaatan laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän termin "johdannainen" sijaan sanaa "halvaus". Esimerkiksi veto summasta on yhtä suuri kuin summa vedot. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Täten johdannaisen laskennassa päästään eroon juuri näistä vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvin toimia murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0,5 . Mutta entä jos juuren alla on jotain hankalaa? Jälleen tulee monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisia rakenteita testeissä ja kokeissa.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme vaihdon: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teemme käänteisen vaihdon: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille:

Yhden muuttujan funktion derivaatta.

Johdanto.

Todellinen metodologinen kehitys Suunniteltu teollisuus- ja rakennustekniikan tiedekunnan opiskelijoille. Ne on koottu matematiikan kurssin ohjelmaan liittyen kohtaan "Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta".

Kehitykset edustavat yhtä metodologista opasta, joka sisältää: lyhyet teoreettiset tiedot; "tyypilliset" tehtävät ja harjoitukset yksityiskohtaisine ratkaisuineen ja selityksineen; ohjausvaihtoehdot.

Lisäharjoitukset jokaisen kappaleen lopussa. Tällainen kehitysrakenne tekee niistä sopivia osion itsenäiseen hallintaan mahdollisimman vähäisellä opettajan avusta.

§yksi. Johdannan määritelmä.

Mekaaninen ja geometrinen merkitys

johdannainen.

Derivaatan käsite on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä, ja se syntyi jo 1600-luvulla. Derivaatan käsitteen muodostumiseen liittyy historiallisesti kaksi ongelmaa: muuttuvan liikkeen nopeuden ongelma ja käyrän tangentin ongelma.

Nämä tehtävät niistä huolimatta erilaista sisältöä, johtavat samaan matemaattiseen operaatioon, joka on suoritettava funktiolle. Tämä operaatio on saanut matematiikassa erityisen nimen. Sitä kutsutaan funktion erottamisoperaatioksi. Differentiointioperaation tulosta kutsutaan derivaatiksi.

Eli funktion y=f(x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen
klo
.

Johdannainen merkitään yleensä seuraavasti:
.

Siis määritelmän mukaan

Symboleja käytetään myös merkitsemään johdannaista
.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Jos s=s(t) on aineellisen pisteen suoraviivaisen liikkeen laki, niin
on tämän pisteen nopeus hetkellä t.

Johdannan geometrinen merkitys.

Jos funktiolla y=f(x) on derivaatta pisteessä , sitten kaltevuus tangentti funktion kuvaajalle pisteessä
on yhtä suuri
.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta
pisteessä =2:

1) Annetaan piste = 2 lisäys
. Huomaa, että.

2) Etsi funktion inkrementti pisteessä =2:

3) Laadi funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:

Etsitään suhteen raja at
:

Täten,
.

§ 2. Joidenkin johdannaiset

yksinkertaisimmat toiminnot.

Opiskelijan tulee oppia laskemaan tiettyjen funktioiden derivaatat: y=x,y= ja yleensä y= .

Etsi funktion y=x derivaatta.

nuo. (x)′=1.

Etsitään funktion derivaatta

Johdannainen

Anna olla
sitten

Potenssifunktion derivaattojen lausekkeissa on helppo havaita kuvio
kohdassa n = 1,2,3.

Siten,

. (1)

Tämä kaava pätee mille tahansa todelliselle n:lle.

Erityisesti kaavaa (1) käyttämällä meillä on:

;

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta

Tämä funktio on muodon funktion erikoistapaus

klo
.

Kaavaa (1) käyttämällä meillä on

Funktioiden y=sin x ja y=cos x derivaatat.

Olkoon y=sinx.

Jakamalla ∆x, saamme

Ylitämme rajan muodossa ∆x→0, meillä on

Olkoon y=cosx .

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0, saamme

;
. (2)

§3. Erottamisen perussäännöt.

Harkitse erottelusääntöjä.

Lause1 . Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, niin niiden summa on myös tässä pisteessä differentioituva, ja summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdettujen termien summa: (u+v)"=u"+v".(3 )

Todistus: harkitse funktiota y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumentin x inkrementti ∆x vastaa funktioiden u ja v inkrementtejä ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Sitten funktiota y kasvatetaan

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Siten,

Joten (u+v)"=u"+v.

Lause2. Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, on myös niiden tulo samassa pisteessä, jolloin tuotteen derivaatta saadaan seuraavalla kaavalla : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Todistus: Olkoon y=uv, missä u ja v ovat joitain x:n differentioituvia funktioita. Kasvataan x:ää ∆x:llä, silloin u kasvatetaan ∆u:lla, v:llä ∆v ja y:llä ∆y.

Meillä on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), tai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siksi ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Täältä

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0 ja ottaen huomioon, että u ja v eivät ole riippuvaisia ∆x:stä, meillä on

Lause 3. Kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka nimittäjä on jakajan neliö, ja osoittaja on erotus jakajan derivaatan tulon ja jakajan tulon välillä. osinko jakajan johdannaisella, ts.

Jos
sitten
(5)