Tarkastellaan ensin kahden muuttujan funktion tapausta. Funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen äärisumma pisteessä $M_0(x_0;y_0)$ on tämän funktion ääriarvo, joka saavutetaan sillä ehdolla, että muuttujat $x$ ja $y$ Tämän pisteen läheisyys täyttää rajoitusyhtälön $\ varphi(x,y)=0$.

Nimi "ehdollinen" ääripää johtuu siitä, että muuttujille asetetaan lisäehto $\varphi(x,y)=0$. Jos yhteysyhtälöstä on mahdollista ilmaista yksi muuttuja toiseksi, niin ehdollisen ääripään määritysongelma pelkistyy yhden muuttujan funktion tavallisen ääripään ongelmaksi. Jos esimerkiksi $y=\psi(x)$ seuraa rajoitusyhtälöstä, niin korvaamalla $y=\psi(x)$ arvolla $z=f(x,y)$, saadaan yhden muuttujan $ funktio. z=f\left (x,\psi(x)\oikea)$. Yleensä tästä menetelmästä on kuitenkin vähän hyötyä, joten tarvitaan uusi algoritmi.

Lagrange-kertoimien menetelmä kahden muuttujan funktioille.

Lagrangen kertoimien menetelmä on, että ehdollisen äärisumman löytämiseksi Lagrange-funktio koostuu: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametri $\lambda $ kutsutaan Lagrange-kertoimeksi ). Tarvittavat äärimmäiset ehdot on annettu yhtälöjärjestelmällä, josta kiinteät pisteet määritetään:

$$ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(tasattu)\oikea.$$

Etumerkki $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Jos kiinteässä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla $z=f(x,y)$ on ehdollinen minimi tässä pisteessä, mutta jos $d^2F< 0$, то условный максимум.

On toinenkin tapa määrittää ääripään luonne. Rajoitusyhtälöstä saadaan: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, joten missä tahansa kiinteässä pisteessä meillä on:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\oikea)$$

Toinen tekijä (sijaitsee suluissa) voidaan esittää tässä muodossa:

$\left|:n elementit \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (taulukko) \right|$, joka on Lagrangen funktion Hessian. Jos $H > 0$, niin $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 dollaria, ts. meillä on funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen minimi.

Huomautus $H$-determinantin muodosta. näytä piilota

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Tässä tilanteessa yllä muotoiltu sääntö muuttuu seuraavasti: jos $H > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, ja $H:lle< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmi ehdollisen ääripään kahden muuttujan funktion tutkimiseksi

1. Muodosta Lagrange-funktio $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Ratkaise järjestelmä $ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(tasattu)\oikea.$
3. Määritä ääripään luonne kussakin edellisessä kappaleessa löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Voit tehdä tämän käyttämällä jotakin seuraavista tavoista:
   • Muodosta determinantti $H$ ja selvitä sen etumerkki
   • Ottaen huomioon rajoitusyhtälön, laske $d^2F$:n etumerkki

Lagrange-kerroinmenetelmä n muuttujan funktioille

Oletetaan, että meillä on $n$ muuttujien $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ rajoitusyhtälöiden funktio ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Merkitään Lagrange-kertoimia muodossa $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, muodostamme Lagrange-funktion:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Tarvittavat ehdot ehdollisen ääripään olemassaololle annetaan yhtälöjärjestelmällä, josta löydetään stationääristen pisteiden koordinaatit ja Lagrangen kertoimien arvot:

$$\left\(\begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(tasattu) \right.$$

Edellisen $d^2F$ avulla on mahdollista selvittää, onko funktiolla ehdollinen minimi vai ehdollinen maksimi löydetyssä pisteessä, kuten ennenkin. Jos löydetyssä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, mutta jos $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matriisideterminantti $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpisteet & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( matriisi) \right|$ punaisella korostettuna $L$-matriisissa on Lagrange-funktion Hessian. Käytämme seuraavaa sääntöä:

• Jos kulman alaikäisten merkit ovat $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriisit $L$ osuvat yhteen merkin $(-1)^m$ kanssa, jolloin tutkittava stationäärinen piste on funktion $ ehdollinen minimipiste z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jos kulman alaikäisten merkit ovat $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vuorottelee ja mollin $H_(2m+1)$ etumerkki on sama kuin luvun $(-1)^(m+1) )$, silloin tutkittu stationäärinen piste on funktion $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ehdollinen maksimipiste.

Esimerkki #1

Etsi funktion $z(x,y)=x+3y$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x^2+y^2=10$.

Tämän ongelman geometrinen tulkinta on seuraava: tason $z=x+3y$ applikaatiosta on löydettävä suurin ja pienin arvo sen pisteille, jotka leikkaavat sen sylinterin $x^2+y^2 kanssa. = 10 dollaria.

On hieman vaikeaa ilmaista yhtä muuttujaa toiseksi rajoitusyhtälöstä ja korvata se funktiolla $z(x,y)=x+3y$, joten käytämme Lagrangen menetelmää.

Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, muodostamme Lagrange-funktion:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\osittais x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä Lagrange-funktion stationääripisteiden määrittämiseksi:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tasattu)\oikea.$$

Jos oletetaan $\lambda=0$, niin ensimmäinen yhtälö on: $1=0$. Tuloksena oleva ristiriita sanoo, että $\lambda\neq 0$. Ehdolla $\lambda\neq 0$, ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä saamme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Korvaamalla saadut arvot kolmanteen yhtälöön, saamme:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(tasattu) \oikea.\\ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(tasattu) $$

Joten järjestelmässä on kaksi ratkaisua: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Tätä varten laskemme determinantin $H$ kussakin pisteessä.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vasen| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Pisteessä $M_1(1;3)$ saamme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, joten pisteessä $M_1(1;3)$ funktiolla $z(x,y)=x+3y$ on ehdollinen maksimi, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Vastaavasti pisteestä $M_2(-1;-3)$ löydämme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40 $. Koska $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Huomaan, että sen sijaan, että laskettaisiin determinantin $H$ arvo jokaisessa pisteessä, on paljon kätevämpää avata se yleisellä tavalla. Jotta teksti ei sotkeutuisi yksityiskohdilla, piilotan tämän menetelmän huomautuksen alle.

Determinantti $H$-merkintä yleisessä muodossa. näytä piilota

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\oikea) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\oikea). $$

Periaatteessa on jo selvää, mikä merkki $H$:lla on. Koska mikään pisteistä $M_1$ tai $M_2$ ei ole sama kuin origo, niin $y^2+x^2>0$. Siksi merkki $H$ on vastapäätä merkkiä $\lambda$. Voit myös suorittaa laskelmat:

$$ \begin(tasattu) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\oikea)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\oikea)=-40. \end(tasattu) $$

Kysymys ääripään luonteesta stationaarisissa pisteissä $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ voidaan ratkaista ilman determinanttia $H$. Etsi $d^2F$ merkki kustakin kiinteästä pisteestä:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\oikea) $$

Huomautan, että merkintä $dx^2$ tarkoittaa täsmälleen $dx$ korotettuna toiseen potenssiin, ts. $\left(dx\right)^2$. Tästä syystä meillä on $dx^2+dy^2>0$, joten arvolle $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ saadaan $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Vastaus: pisteessä $(-1;-3)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=-10$. Pisteessä $(1;3)$ funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=10$

Esimerkki #2

Etsi funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x+y=0$.

Ensimmäinen tapa (Lagrangen kertoimien menetelmä)

Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x+y$ muodostamme Lagrange-funktion: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(tasattu) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(tasattu)\oikea.$$

Ratkaisemalla järjestelmän saamme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Meillä on kaksi kiinteää pistettä: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä käyttämällä determinanttia $H$.

$$ H=\vasen| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pisteessä $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, joten tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Tutkimme ääripään luonnetta kussakin pisteessä eri menetelmällä, joka perustuu $d^2F$:n etumerkkiin:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Rajoitusyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Koska $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, niin $M_1(0;0)$ on funktion $z(x,y)=3y^3+ ehdollinen minimipiste 4x^ 2-xy$. Vastaavasti $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Toinen tapa

Rajoitusyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $y=-x$. Korvaamalla $y=-x$ funktioon $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saadaan jokin muuttujan $x$ funktio. Merkitään tämä funktio $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Näin ollen pelkistimme kahden muuttujan funktion ehdollisen ääripään löytämisen ongelmaksi yhden muuttujan funktion ääripään määrittämisen ongelmaksi.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Sai pisteet $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Lisätutkimusta tunnetaan yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskennan kulusta. Tutkimalla $u_(xx)^("")$ merkkiä kussakin paikallaan olevassa pisteessä tai tarkistamalla $u_(x)^(")$ etumerkin muutos löydetyissä pisteissä, saadaan samat johtopäätökset kuin ensimmäisen Esimerkiksi tarkistusmerkki $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10. $$

Koska $u_(xx)^("")(M_1)>0$, niin $M_1$ on funktion $u(x)$ minimipiste, kun taas $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alkaen $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Toiminnon $u(x)$ arvot annetussa yhteysehdossa osuvat yhteen funktion $z(x,y)$ arvojen kanssa, ts. funktion $u(x)$ löydetyt ääripäät ovat funktion $z(x,y)$ haluttuja ehdollisia ääripäitä.

Vastaus: pisteessä $(0;0)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=0$. Pisteessä $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funktiolla on ehdollinen maksimi, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä, jossa selvitetään ääripään luonne määrittämällä $d^2F$ merkki.

Esimerkki #3

Etsi funktion $z=5xy-4$ maksimi- ja minimiarvot, jos muuttujat $x$ ja $y$ ovat positiivisia ja täyttävät rajoitusyhtälön $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0$.

Muodosta Lagrange-funktio: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Etsi Lagrange-funktion kiinteät pisteet:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(tasattu) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(tasattu) \right.$$

Kaikki muut muunnokset suoritetaan ottaen huomioon $x > 0; \; y > 0$ (tämä määrätään ongelman ehdoista). Toisesta yhtälöstä ilmaisemme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja korvaamme löydetyn arvon ensimmäisellä yhtälöllä: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Korvaamalla $x=2y$ kolmanteen yhtälöön saadaan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Koska $y=1$, sitten $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstreemin luonne pisteessä $(2;1)$ määräytyy $d^2F$:n merkistä.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Koska $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, niin:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Periaatteessa tässä voidaan välittömästi korvata kiinteän pisteen $x=2$, $y=1$ ja parametrin $\lambda=-10$ koordinaatit, jolloin saadaan:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \oikea)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Kuitenkin muissa ehdollisen ääripään ongelmissa voi olla useita paikallaan olevia pisteitä. Tällaisissa tapauksissa on parempi esittää $d^2F$ yleisessä muodossa ja korvata sitten kunkin löydetyn kiinteän pisteen koordinaatit tuloksena olevaan lausekkeeseen:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Korvaamalla $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saamme:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Koska $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Vastaus: pisteessä $(2;1)$ funktiolla on ehdollinen maksimi, $z_(\max)=6$.

Seuraavassa osassa tarkastellaan Lagrange-menetelmän soveltamista useiden muuttujien funktioihin.

Riittävä ehto kahden muuttujan funktion ääripäälle

1. Olkoon funktio jatkuvasti differentioituva jossain pisteen ympäristössä ja sillä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat (puhdas ja sekoitettu).

2. Merkitään toisen asteen determinantilla

äärimmäisen muuttujan luentofunktio

Lause

Jos piste koordinaatteineen on funktion kiinteä piste, niin:

A) Kun se on paikallisen ääripisteen piste ja paikallisessa maksimissa - paikallinen minimi;

C) kun piste ei ole paikallinen ääripiste;

C) jos, ehkä molemmat.

Todiste

Kirjoitamme funktiolle Taylor-kaavan rajoittaen itsemme kahteen jäseneen:

Koska lauseen ehdon mukaan piste on stationäärinen, ovat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat nolla, ts. ja. Sitten

Merkitse

Sitten funktion lisäys saa muotoa:

Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen (puhtaiden ja sekoitettujen) jatkuvuudesta johtuen lauseen ehdon mukaisesti pisteessä voimme kirjoittaa:

Missä tai; ,

1. Anna ja, ts. tai.

2. Kerrotaan funktion lisäys ja jaetaan sillä, saadaan:

3. Täydennä suluissa olevaa lauseketta summan täysneliöön:

4. Suluissa oleva lauseke ei ole negatiivinen, koska

5. Siksi, jos ja siten, ja, sitten ja, siis määritelmän mukaan piste on paikallisen minimin piste.

6. Jos ja tarkoittaa ja, niin määritelmän mukaan piste, jolla on koordinaatit, on paikallinen maksimipiste.

2. Tarkastellaan neliötrinomia, sen diskriminanttia, .

3. Jos, niin on sellaisia ​​pisteitä, että polynomi

4. Toiminnon kokonaislisäys pisteessä I:ssä saadun lausekkeen mukaisesti, kirjoitetaan muodossa:

5. Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen jatkuvuudesta johtuen lauseen ehdolla pisteessä voidaan kirjoittaa, että

siksi on olemassa pisteen ympäristö, jossa minkä tahansa pisteen neliötrinomi on suurempi kuin nolla:

6. Harkitse - pisteen lähialuetta.

Valitaan mikä tahansa arvo, joten se on pointti. Olettaen, että funktion lisäyksen kaavassa

Mitä saamme:

7. Siitä lähtien.

8. Väittelemällä samalla tavalla juuria, saamme, että missä tahansa pisteen -naapurustossa on piste, jolle pisteen läheisyydessä se ei siis säilytä merkkiä, joten pisteessä ei ole ääripäätä.

Kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo

Kahden muuttujan funktion ääripäätä etsittäessä tulee usein esiin ongelmia, jotka liittyvät ns. ehdolliseen ääripäähän. Tämä käsite voidaan selittää esimerkillä kahden muuttujan funktiosta.

Olkoon funktio ja suora L tasossa 0xy. Tehtävänä on löytää suoralta L sellainen piste P (x, y), jossa funktion arvo on suurin tai pienin verrattuna tämän funktion arvoihin suoran L pisteissä, jotka sijaitsevat lähellä Piste P. Tällaisia ​​pisteitä P kutsutaan ehdollisiksi ääripistefunktioiksi suoralla L. Toisin kuin tavallisessa ääripisteessä, funktion arvoa ehdollisen ääripisteen pisteessä verrataan funktion arvoihin, joita ei ole kaikissa pisteissä. joillakin sen naapurustoilla, mutta vain niillä, jotka sijaitsevat linjalla L.

On aivan selvää, että tavallisen ääripään piste (he sanovat myös ehdoton ääripää) on myös minkä tahansa tämän pisteen läpi kulkevan suoran ehdollisen ääripään piste. Päinvastoin ei tietenkään pidä paikkaansa: ehdollinen ääripääpiste ei välttämättä ole tavanomainen ääripääpiste. Havainnollistetaan, mitä on sanottu esimerkillä.

Esimerkki #1. Funktion kuvaaja on ylempi pallonpuolisko (kuva 2).

Riisi. 2.

Tällä funktiolla on maksimi origossa; se vastaa puolipallon kärkeä M. Jos viiva L on pisteiden A ja B kautta kulkeva suora (sen yhtälö), niin on geometrisesti selvää, että tämän suoran pisteille funktion maksimiarvo saavutetaan pisteiden A ja B välissä olevassa pisteessä. B. Tämä on ehdollinen ääriarvo (maksimi) pistefunktiot tällä viivalla; se vastaa pallonpuoliskolla olevaa pistettä M 1, ja kuvasta voidaan nähdä, ettei tässä voi olla kyse mistään tavallisesta ääripäästä.

Huomaa, että suljetun alueen funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman viimeisessä osassa on löydettävä funktion ääriarvot tämän alueen rajalta, ts. jollakin rivillä ja siten ratkaisee ehdollisen ääripään ongelman.

Määritelmä 1. He sanovat, että missä on ehdollinen tai suhteellinen maksimi (minimi) pisteessä, joka täyttää yhtälön: jos jollakin, joka täyttää yhtälön, epäyhtälö

Määritelmä 2. Muodon yhtälöä kutsutaan rajoitusyhtälöksi.

Lause

Jos funktiot ja ovat jatkuvasti differentioituvia pisteen läheisyydessä ja osittaisderivaata ja piste ovat funktion ehdollisen ääripään piste rajoitusyhtälön suhteen, niin toisen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin nolla:

Todiste

1. Koska lauseen ehdon, osittaisen derivaatan ja funktion arvon mukaan, niin jossain suorakulmiossa

implisiittinen funktio määritelty

Kahden muuttujan kompleksisella funktiolla pisteessä on siis paikallinen ääriarvo tai.

2. Todellakin, ensimmäisen kertaluvun differentiaalikaavan invarianssiominaisuuden mukaan

3. Kytkentäyhtälö voidaan esittää tässä muodossa, mikä tarkoittaa

4. Kerro yhtälö (2) ja (3) ja lisää ne

Siksi milloin

mielivaltainen. h.t.d.

Seuraus

Kahden muuttujan funktion ehdollisten ääripisteiden etsiminen käytännössä suoritetaan ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä

Joten yllä olevassa esimerkissä nro 1 viestintäyhtälöstä meillä on. Täältä on helppo tarkistaa, mikä saavuttaa maksimin . Mutta sitten viestinnän yhtälöstä. Saamme geometrisesti löydetyn pisteen P.

Esimerkki #2. Etsi funktion ehdolliset ääripisteet rajoitusyhtälön suhteen.

Etsitään annetun funktion osittaiset derivaatat ja yhteysyhtälö:

Tehdään toisen asteen determinantti:

Kirjataan ylös yhtälöjärjestelmä ehdollisten ääripisteiden löytämiseksi:

näin ollen funktiolla on neljä ehdollista ääripääpistettä koordinaatteineen: .

Esimerkki #3. Etsi funktion ääripisteet.

Kun osittaiset derivaatat nollaan: , löydämme yhden stationaarisen pisteen - origon. Tässä,. Siksi piste (0, 0) ei myöskään ole ääripiste. Yhtälö on hyperbolisen paraboloidin yhtälö (kuva 3), kuva osoittaa, että piste (0, 0) ei ole ääripiste.

Riisi. 3.

Funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella

1. Olkoon funktio määritelty ja jatkuva rajoitetussa suljetussa alueella D.

2. Olkoon funktiolla äärelliset osittaiset derivaatat tällä alueella lukuun ottamatta alueen yksittäisiä pisteitä.

3. Weierstrassin lauseen mukaisesti tällä alueella on piste, jossa funktio saa suurimmat ja pienimmät arvot.

4. Jos nämä pisteet ovat alueen D sisäpisteitä, on selvää, että niillä on maksimi tai minimi.

5. Tässä tapauksessa meille kiinnostavat kohdat ovat ääripään epäilyttäviä kohtia.

6. Funktio voi kuitenkin ottaa myös suurimman tai minimiarvon alueen D rajalla.

7. Löytääksesi funktion suurimman (pienimmän) arvon alueella D, sinun on löydettävä kaikki sisäiset pisteet, jotka ovat epäilyttäviä ääripäälle, laskettava niissä olevan funktion arvo ja verrattava sitten funktion arvoon kohdassa alueen rajapisteet, ja suurin kaikista löydetyistä arvoista on suurin suljetulla alueella D.

8. Tapaa paikallisen maksimin tai minimin löytämiseksi käsiteltiin aiemmin kohdassa 1.2. ja 1.3.

9. On vielä harkittava menetelmää funktion enimmäis- ja vähimmäisarvojen löytämiseksi alueen rajalta.

10. Kahden muuttujan funktion tapauksessa alue osoittautuu yleensä käyrän tai useamman käyrän rajoittamaksi.

11. Tällaista käyrää (tai useampaa käyrää) pitkin muuttujat ja joko riippuvat toisistaan ​​tai molemmat riippuvat yhdestä parametrista.

12. Näin ollen rajalla funktio osoittautuu riippuvaiseksi yhdestä muuttujasta.

13. Menetelmää yhden muuttujan funktion suurimman arvon löytämiseksi käsiteltiin aiemmin.

14. Olkoon alueen D raja parametriyhtälöillä:

Tällöin tällä käyrällä kahden muuttujan funktio on parametrin kompleksifunktio: . Tällaiselle funktiolle suurin ja pienin arvo määritetään menetelmällä, jolla määritetään yhden muuttujan funktion suurin ja pienin arvo.

Esimerkki

Etsi funktion ääriarvo edellyttäen, että se X ja klo liittyvät suhteeseen: . Geometrisesti ongelma tarkoittaa seuraavaa: ellipsillä
kone
.

Tämä ongelma voidaan ratkaista seuraavasti: yhtälöstä
löytö
X:

edellyttäen että
, pelkistettynä ongelmaan löytää yhden muuttujan funktion ääriarvo väliltä
.

Geometrisesti ongelma tarkoittaa seuraavaa: ellipsillä saatu ylittämällä sylinteri
kone
, on löydettävä sovelluksen enimmäis- tai vähimmäisarvo (Kuva 9). Tämä ongelma voidaan ratkaista seuraavasti: yhtälöstä
löytö
. Korvaamalla löydetyn y:n arvon tason yhtälöön saadaan yhden muuttujan funktio X:

Siten funktion ääripään löytämisen ongelma
edellyttäen että
, pelkistettynä ongelmaan löytää yhden muuttujan funktion ääriarvo segmentiltä.

Niin, ehdollisen ääripään löytämisen ongelma on tavoitefunktion ääripään löytämisen ongelma
, edellyttäen, että muuttujat X ja klo rajoituksen alaisena
nimeltään yhteysyhtälö.

Sanomme sen piste
, joka täyttää rajoitusyhtälön, on paikallisen ehdollisen maksimin piste (minimi), jos siellä on lähiö
niin että mihin tahansa pisteeseen
, jonka koordinaatit täyttävät rajoitusyhtälön, epäyhtälö pätee.

Jos viestintäyhtälöstä on mahdollista löytää lauseke klo, sitten korvaamalla tämän lausekkeen alkuperäisellä funktiolla, muutamme jälkimmäisen yhden muuttujan kompleksiseksi funktioksi X.

Yleinen menetelmä ehdollisen ääripääongelman ratkaisemiseksi on Lagrangen kerroinmenetelmä. Luodaan apufunktio, missä ─ joku numero. Tätä toimintoa kutsutaan Lagrange-toiminto, a ─ Lagrange-kerroin. Siten ehdollisen ääripään löytämisen ongelma on rajoittunut paikallisten ääripistepisteiden löytämiseen Lagrange-funktiolle. Mahdollisen ääripään pisteiden löytämiseksi on tarpeen ratkaista 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta x, y ja.

Silloin tulee käyttää seuraavaa riittävää ääripään ehtoa.

LAUSE. Olkoon piste Lagrange-funktion mahdollisen ääripään piste. Oletamme, että pisteen läheisyydessä
funktioista on jatkuvat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat ja . Merkitse

Sitten jos
, sitten
─ funktion ehdollinen ääripiste
rajoitusyhtälön kohdalla
sillä välin jos
, sitten
─ ehdollinen vähimmäispiste, jos
, sitten
─ ehdollisen maksimin piste.

§kahdeksan. Gradientti ja suuntaderivaata

Anna toiminnon
määritelty jollain (avoimella) alueella. Harkitse mitä tahansa kohtaa
tämä alue ja mikä tahansa suunnattu suora (akseli) kulkee tämän pisteen läpi (kuva 1). Anna olla
- jokin muu tämän akselin piste,
- välisen segmentin pituus
ja
, otettu plusmerkillä, jos suunta
osuu yhteen akselin suunnan kanssa , ja miinusmerkillä, jos niiden suunnat ovat vastakkaiset.

Anna olla
lähestyy loputtomasti
. Raja

nimeltään funktion derivaatta
kohti (tai akselia pitkin ) ja se on merkitty seuraavasti:

.

Tämä derivaatta luonnehtii funktion "muutosnopeutta" pisteessä
kohti . Erityisesti ja tavalliset osittaiset johdannaiset ,voidaan myös ajatella johdannaisina "suunnan suhteen".

Oletetaan nyt, että funktio
on jatkuvia osittaisia ​​johdannaisia ​​tarkasteltavalla alueella. Anna akselin muodostaa kulmia koordinaattiakseleiden kanssa
ja . Tehtyjen oletusten mukaan suuntajohdannainen on olemassa ja ilmaistaan ​​kaavalla

.

Jos vektori
asettaa sen koordinaatit
, sitten funktion derivaatta
vektorin suuntaan
voidaan laskea kaavalla:

.

Vektori koordinaatteineen
nimeltään gradienttivektori toimintoja
pisteessä
. Gradienttivektori osoittaa funktion nopeimman kasvun suunnan tietyssä pisteessä.

Esimerkki

Annettu funktio , piste A(1, 1) ja vektori
. Etsi: 1) grad z pisteessä A; 2) derivaatta pisteessä A vektorin suunnassa .

Tietyn funktion osittaiset derivaatat pisteessä
:

;
.

Sitten funktion gradienttivektori tässä vaiheessa on:
. Gradienttivektori voidaan kirjoittaa myös käyttämällä vektorilaajennusta ja :

. Funktiojohdannainen vektorin suuntaan :

Niin,
,
.◄

Määritelmä1: Funktiolla sanotaan olevan paikallinen maksimi pisteessä, jos pisteellä on sellainen naapuruus, että mille tahansa pisteelle M koordinaattien kanssa (x, y) epätasa-arvo täyttyy: . Tässä tapauksessa eli funktion lisäys< 0.

Määritelmä2: Funktiolla sanotaan olevan paikallinen minimi pisteessä, jos pisteellä on sellainen naapuri, että mille tahansa pisteelle M koordinaattien kanssa (x, y) epätasa-arvo täyttyy: . Tässä tapauksessa eli funktion inkrementti > 0.

Määritelmä 3: Paikalliset minimi- ja maksimipisteet kutsutaan ääripisteet.

Ehdolliset ääripäät

Monen muuttujan funktion äärimmäisyyksiä etsittäessä tulee usein esiin ongelmia, jotka liittyvät ns ehdollinen äärimmäinen. Tämä käsite voidaan selittää esimerkillä kahden muuttujan funktiosta.

Olkoon funktio ja suora annettu L pinnalla 0xy. Tehtävänä on linjata L löytää sellainen kohta P(x, y), jossa funktion arvo on suurin tai pienin verrattuna tämän funktion arvoihin suoran kohdissa L sijaitsee pisteen lähellä P. Sellaisia ​​kohtia P nimeltään ehdolliset ääripisteet linjatoiminnot L. Toisin kuin tavallinen ääripistepiste, ehdollisen ääripisteen funktion arvoa verrataan funktioarvoihin, joita ei verrata funktion arvoihin kaikissa sen naapuruston pisteissä, vaan vain niissä, jotka ovat suoralla. L.

On aivan selvää, että tavanomaisen ääripään piste (he myös sanovat ehdoton ääripää) on myös ehdollinen ääripiste jokaiselle tämän pisteen kautta kulkevalle suoralle. Päinvastoin ei tietenkään pidä paikkaansa: ehdollinen ääripääpiste ei välttämättä ole tavanomainen ääripääpiste. Selitän tämän yksinkertaisella esimerkillä. Funktion kuvaaja on ylempi pallonpuolisko (Liite 3 (Kuva 3)).

Tällä funktiolla on maksimi origossa; se vastaa huippua M pallonpuoliskot. Jos linja L pisteiden läpi kulkee viiva MUTTA ja AT(hänen yhtälön x+y-1=0), silloin on geometrisesti selvää, että tämän suoran pisteille funktion maksimiarvo saavutetaan pisteiden välissä olevassa pisteessä MUTTA ja AT. Tämä on funktion ehdollisen ääripään (maksimi) piste annetulla rivillä; se vastaa pallonpuoliskolla olevaa pistettä M 1, ja kuvasta voidaan nähdä, ettei tässä voi olla kyse mistään tavallisesta ääripäästä.

Huomaa, että suljetun alueen funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman viimeisessä osassa meidän on löydettävä funktion ääriarvot tämän alueen rajalta, ts. jollakin rivillä ja siten ratkaisee ehdollisen ääripään ongelman.

Jatketaan nyt käytännön etsinnässä funktion Z= f(x, y) ehdollisen ääripään pisteitä edellyttäen, että muuttujat x ja y liittyvät yhtälöön (x, y) = 0. Tämä relaatio on kutsutaan rajoitusyhtälöksi. Jos yhteysyhtälöstä y voidaan ilmaista eksplisiittisesti x:llä: y \u003d (x), saamme yhden muuttujan funktion Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Kun olet löytänyt x:n arvon, jolla tämä funktio saavuttaa ääripään, ja määrittämällä sitten y:n vastaavat arvot yhteysyhtälöstä, saamme ehdollisen ääripään halutut pisteet.

Joten yllä olevassa esimerkissä viestintäyhtälöstä x+y-1=0 saadaan y=1-x. Täältä

On helppo tarkistaa, että z saavuttaa maksiminsa kohdassa x = 0,5; mutta sitten yhteysyhtälöstä y=0.5, ja saadaan vain geometrisista näkökohdista löydetty piste P.

Ehdollinen ääripäätehtävä ratkaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti, vaikka rajoitusyhtälö voidaan esittää parametriyhtälöillä x=x(t), y=y(t). Korvaamalla x:n ja y:n lausekkeet tähän funktioon, tulemme jälleen ongelmaan löytää yhden muuttujan funktion ääriarvo.

Jos rajoitusyhtälöllä on monimutkaisempi muoto, emmekä voi eksplisiittisesti ilmaista yhtä muuttujaa toisella emmekä korvata sitä parametrisilla yhtälöillä, niin ehdollisen ääripään löytämisongelma vaikeutuu. Jatkamme oletusta, että funktion z= f(x, y) lausekkeessa muuttuja (x, y) = 0. Funktion z= f(x, y) kokonaisderivaata on yhtä suuri:

Missä on derivaatta y`, joka löytyy implisiittisen funktion differentiaatiosäännöstä. Ehdollisen ääripään pisteissä löydetyn kokonaisderivaatan on oltava yhtä suuri kuin nolla; tämä antaa yhden yhtälön, joka yhdistää x:n ja y:n. Koska niiden on myös täytettävä rajoitusyhtälö, saamme kahden yhtälöjärjestelmän, jossa on kaksi tuntematonta

Muunnetaan tämä järjestelmä paljon mukavammaksi kirjoittamalla ensimmäinen yhtälö suhteessa ja ottamalla käyttöön uusi apu-tuntematon:

(Eteen on sijoitettu miinusmerkki mukavuuden vuoksi). Näistä yhtäläisyyksistä on helppo siirtyä seuraavaan järjestelmään:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

joka yhdessä rajoitusyhtälön (x, y) = 0 kanssa muodostaa kolmen yhtälöjärjestelmän tuntemattomien x, y ja.

Nämä yhtälöt (*) on helpoimmin muistaa seuraavan säännön avulla: löytääkseen pisteitä, jotka voivat olla funktion ehdollisen ääripään pisteitä

Z= f(x, y) rajoitusyhtälöllä (x, y) = 0, sinun on muodostettava apufunktio

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Missä on jokin vakio, ja tee yhtälöitä löytääksesi tämän funktion ääripisteet.

Määritetty yhtälöjärjestelmä toimittaa pääsääntöisesti vain tarpeelliset ehdot, ts. ei jokainen x- ja y-arvopari, joka täyttää tämän järjestelmän, ole välttämättä ehdollinen ääripiste. En anna riittäviä ehtoja ehdollisille ääripisteille; hyvin usein ongelman sisältö itsessään viittaa siihen, mikä löydetty kohta on. Kuvattua tekniikkaa ehdollisen ääripään ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan Lagrangen kertoimien menetelmäksi.

Olkoon funktio z - f(x, y) määritelty jossain alueella D ja olkoon Mo(xo, y0) tämän alueen sisäpiste. Määritelmä. Jos on olemassa sellainen luku, että epäyhtälö on tosi kaikille, jotka täyttävät ehdot, niin pistettä Mo(xo, yo) kutsutaan funktion f(x, y) paikallisen maksimin pisteeksi; jos kuitenkin kaikille Dx, Du täyttää ehdot | silloin pistettä Mo(x0, y0) kutsutaan hienoksi paikalliseksi minimiksi. Toisin sanoen piste M0(x0, y0) on funktion f(x, y) maksimi- tai minimipiste, jos pisteen A/o(x0, y0) 6-naapuri on olemassa siten, että tämän naapuruston pisteet M(x, y), funktion inkrementti säilyttää merkin. Esimerkkejä. 1. Funktiolle piste on minimipiste (kuva 17). 2. Funktiolle piste 0(0,0) on maksimipiste (kuva 18). 3. Funktiolle piste 0(0,0) on paikallinen maksimipiste. 4 Todellakin on olemassa pisteen 0(0, 0) ympäristö, esimerkiksi säde j (ks. kuva 19), jonka missä tahansa pisteessä, eri kuin pisteessä 0(0, 0), funktion f(x, y) arvo pienempi kuin 1 = Otamme huomioon vain funktioiden tiukan maksimi- ja minimipisteet, kun tiukka epäyhtälö tai tiukka epäyhtälö pätee kaikkiin pisteisiin M(x) y) jostain pisteytetystä 6-naapurialueesta. piste Mq. Funktion arvoa maksimipisteessä kutsutaan maksimipisteeksi ja funktion arvoa minimipisteessä tämän funktion minimiksi. Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja itse funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi. Lause 11 (välttämätön ehto ääripäälle). If-funktio Usean muuttujan funktion ääriarvo Käsite usean muuttujan funktion ääripäästä. Ekstreemin välttämättömät ja riittävät ehdot Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden suurimmalla ja pienimmällä arvolla on ääriarvo pisteessä, jolloin tässä vaiheessa jokainen osaderivaata ja u joko häviää tai ei ole olemassa. Olkoon funktiolla z = f(x) y) ääriarvo pisteessä M0(x0, y0). Annetaan muuttujalle y arvo yo. Tällöin funktio z = /(x, y) on yhden muuttujan x funktio. Koska kohdassa x = xo sillä on ääriarvo (maksimi tai minimi, kuva 20), niin sen derivaatta suhteessa x = "o, | (*o,l>)" on nolla tai ei ole olemassa. Samalla tavalla varmistamme, että) tai on nolla, tai ei ole olemassa. Pisteitä, joissa = 0 ja u = 0 tai ei ole olemassa, kutsutaan funktion kriittiset pisteet z = Dx, y. Pisteitä, joissa $£ = u = 0, kutsutaan myös funktion stationääripisteiksi. Lause 11 ilmaisee vain välttämättömät ehdot ääripäälle, jotka eivät ole riittäviä. 18 Kuva 20 immt derivaatat, jotka häviävät klo. Mutta tämä toiminto on melko ohut imvat "straumum. Todellakin, funktio on yhtä suuri kuin nolla pisteessä 0(0, 0) ja ottaa pisteet M(x, y), niin lähellä pistettä 0(0, 0) kuin haluat, kkk positiiviset ja negatiiviset arvot. Sille, joten pisteissä pisteissä (0, y) mielivaltaisen pienille pisteille, tämän tyyppistä pistettä 0(0, 0) kutsutaan minimax-pisteeksi (kuva 21). Riittävät ehdot kahden muuttujan funktion ääripäälle ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella. Lause 12 (riittävät ehdot sumeiden muuttujien ääripäälle). Olkoon piste Mo(xo, y0) funktion f(x, y) stationaarinen piste, ja jossain pisteen / läheisyydessä, mukaan lukien itse piste Mo, funktiolla f(r, y) on jatkuvat osittaiset derivaatat ylös. toiseen järjestykseen mukaan lukien. Sitten "1) pisteessä Mq(xq, V0) funktiolla f(x, y) on maksimi, jos determinantti on tässä pisteessä 2) pisteessä Mo(x0, V0) funktiolla f(x, y) on minimi, jos pisteessä Mo(xo, yo) funktiolla f(x, y) ei ole ääripäätä, jos D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) funktion f(x, y) ääripää voi olla tai ei. Tässä tapauksessa tarvitaan lisätutkimuksia. Todistamme vain lauseen väitteet 1) ja 2). Kirjoitetaan funktiolle /(i, y) toisen asteen Taylor-kaava: missä. Olettaen, mistä on selvää, että inkrementin D/ etumerkki määräytyy trinomin etumerkillä (1) oikealla puolella, eli toisen differentiaalin d2f etumerkillä. Merkitään lyhyyden vuoksi. Tällöin yhtäläisyys (l) voidaan kirjoittaa seuraavasti: Olkoon pisteessä MQ(so, y0) pisteen M0(s0,yo) ympäristö. Jos ehto (pisteessä A/0) täyttyy, ja jatkuvuuden vuoksi derivaatta /,z(s,y) säilyttää etumerkkinsä jossain pisteen Af0 ympäristössä. Alueella, jossa A ∆ 0, meillä on 0 jossain pisteen M0(x0) y0 läheisyydessä), silloin trinomin AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 etumerkki osuu yhteen pisteen C merkin A kanssa, ei voi olla eri etumerkkejä). Koska summan AAs2 + 2BAxAy + CAy2 etumerkki pisteessä (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) määrää eron etumerkin, päädymme seuraavaan johtopäätökseen: jos funktio f(s, y) paikallaan oleva piste (s0, yo) täyttää ehdon, niin riittävän pienille || eriarvoisuus säilyy. Siten pisteessä (sq, y0) funktiolla /(s, y) on maksimi. Mutta jos ehto täyttyy stationaaripisteessä (s0, yo), niin kaikille riittävän pieni |Ar| ja |Tee| epäyhtälö on tosi, mikä tarkoittaa, että funktiolla /(s, y) on minimipisteessä (niin, yo). Esimerkkejä. 1. Tutki funktiota 4 ääripäälle Käyttäen ääripäälle tarvittavia ehtoja, etsimme funktion stationäärisiä pisteitä. Tätä varten etsimme osittaiset derivaatat u ja rinnastamme ne nollaan. Saamme yhtälöjärjestelmän, josta - kiinteä piste. Käytetään nyt lausetta 12. Meillä on Tästä syystä pisteessä Ml on ääripää. Koska tämä on minimi. Jos muunnamme funktion g muotoon, niin on helppo nähdä, että oikea puoli (")" on minimaalinen, kun on tämän funktion ehdoton minimi. 2. Tutki ääripään funktiota Löydämme funktion stationaariset pisteet, joille muodostamme yhtälöjärjestelmän täältä siten, että piste on stationaarinen. Koska lauseen 12 mukaan pisteessä M ei ole ääriarvoa. * 3. Tutki funktiota ääripäälle. Etsi funktion stationaariset pisteet. Yhtälöjärjestelmästä saamme sen, niin että piste on paikallaan. Lisäksi meillä on niin, että Lause 12 ei anna vastausta kysymykseen ääripään olemassaolosta tai puuttumisesta. Tehdään se näin. Funktiolle kaikista muista pisteistä kuin pisteestä siten, että määritelmän mukaan pisteessä A/o(0,0) funktiolla r on absoluuttinen minimi. Analogisella kuivauksella todetaan, että funktiolla on maksimi pisteessä, mutta funktiolla ei ole pisteessä ääriarvoa. Olkoon η riippumattoman muuttujan funktio differentioituva pisteessä Pistettä Mo kutsutaan funktion if stationaariksi pisteeksi Lause 13 (riittävä ehto ääripäälle). Olkoon funktio määritelty ja sillä on jatkuvat toisen asteen osittaisderivaatat jossain lähistöllä hienoviivan Mc(xi..., joka on stationaarinen hienofunktio, jos neliömuoto (funktion f toinen differentiaali hienossa piste on positiivinen määrätty (negatiivinen määrätty), funktion f minimipiste (vastaavasti hienomaksimi) on hieno Jos toisen asteen muoto (4) on merkkivuorotteleva, niin hienossa LG0:ssa ei ole ääripäätä. extremum Tähän mennessä olemme pyrkineet löytämään funktion paikallisen ääripään koko määrittelyalueelta, kun funktion argumentteja ei sido mitkään lisäehdot. Olkoon funktio z \u003d / (x, y) määritelty alueella D. Oletetaan, että tällä alueella on annettu käyrä L ja on tarpeen löytää vain funktion f (x> y) ääriarvo niiden arvojen joukossa, jotka vastaavat käyrän L pisteitä. Samoja ääripäitä kutsutaan funktion z = f(x) y) ehdollisiksi ääriarvoiksi käyrällä L. Määritelmä Sanotaan, että pisteessä, joka sijaitsee käyrällä L, funktiolla /(x, y) on ehdollinen maksimi (minimi), jos epäyhtälö toteutuu, vastaavasti kaikissa pisteissä M(s, y) käyrä L, jotka kuuluvat johonkin pisteen M0(x0, Yo) lähiympäristöön. ) ja poikkeaa pisteestä M0 (Jos käyrä L on annettu yhtälöllä, niin ongelmana on funktion r - f(x, y) ehdollisen ääripään löytäminen käyrältä! voidaan muotoilla seuraavasti: etsi funktion x = /(z, y) ääriarvo alueelta D, edellyttäen, että Siten funktion z = y ehdollista ääripistettä etsittäessä argumentteja zn ei voida enää ottaa huomioon. riippumattomina muuttujina: niitä yhdistää relaatio y ) = 0, jota kutsutaan rajoitusyhtälöksi. Selvittääksemme eron m «* D y:n välillä ehdottomana ja ehdollisena ääripäänä, katsotaanpa toista esimerkkiä, funktion ehdotonta maksimiarvoa (kuva 1). 23) on yhtä suuri kuin yksi ja saavutetaan pisteessä (0,0). Se vastaa täsmälleen M - pvvboloidin kärkeä. Lisätään rajoitusyhtälö y = j. Tällöin ehdollinen maksimi on ilmeisesti yhtä suuri, ja se saavutetaan pisteessä (o, |) ja se vastaa pvvboloidin kärkeä Afj, joka on pvvboloidin ja tason y = j leikkausviiva. Kun kyseessä on ehdoton minimi s, meillä on pienin sovellus kaikista pinnan eksplikteistä * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv ehdollinen - vain vllkvt-pisteiden joukossa pvrboloidv, jotka vastaavat suoran y = j pistettä * ei xOy-tasosta. Yksi menetelmistä funktion ehdollisen ääripään löytämiseksi läsnä ollessa ja yhteydessä on seuraava. Määrittele yhteysyhtälö y)-0 y argumentin x yksiarvoiseksi differentioituvaksi funktioksi: Kun funktioon korvataan funktio y:n sijaan, saadaan funktio yhden argumentin funktio, jossa yhteysehto on jo otettu huomioon. . Funktion (ehdoton) ääripää on haluttu ehdollinen ääripää. Esimerkki. Etsi funktion ääriarvo ehdolla Usean muuttujan funktion ääriarvo Usean muuttujan funktion ääripään käsite. Tarvittavat ja riittävät ehdot ääriarvolle Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden suurimmat ja pienimmät arvot A \u003d 1 - kriittinen piste;, jolloin saadaan funktion r ehdollinen minimi (kuva 24). Osoitetaan toinen tapa ratkaista ehdollisen ääripään ongelma, jota kutsutaan Lagrange-kerroinmenetelmäksi. Olkoon funktion ehdollisen ääripään piste yhteyden läsnä ollessa. Oletetaan, että yhteysyhtälö määrittelee ainutlaatuisen jatkuvasti differentioituvan funktion jossakin pisteen ympäristössä xi. Olettaen, että saadaan, että funktion /(r, ip(x)) derivaatan x:n suhteen pisteessä xq on oltava nolla tai, mikä vastaa tätä, funktion f (x, y) differentiaali ) pisteessä Mo "O) Yhteysyhtälöstä saamme (5) Sitten dx:n mielivaltaisuudesta johtuen yhtälöt (6) ja (7) ilmaisevat ehdottoman ääripään ehdot Lagrange-funktioksi kutsutun funktion pisteessä. Siten funktion / (x, y) ehdollisen ääripään piste on välttämättä Lagrange-funktion stationaarinen piste, jossa A on jokin numeerinen kerroin. Tästä saamme säännön ehdollisten ääriarvojen löytämiseksi: löytääksemme pisteitä, jotka voivat olla funktion absoluuttisen ääripään pisteitä yhteyden läsnäollessa, 1) muodostamme Lagrange-funktion, 2) yhtäläisemme tämän funktion derivaatat ja W. nollaan ja lisäämällä yhteysyhtälön tuloksena oleviin yhtälöihin, saadaan kolmen yhtälön systeemi, josta saamme A:n arvot ja mahdollisten ääripisteiden koordinaatit x, y. Kysymys ehdollisen ääripään olemassaolosta ja luonteesta ratkaistaan ​​tutkimalla Lagrange-funktion toisen differentiaalin etumerkkiä tarkasteltavalle arvojärjestelmälle x0, Yo, A, joka on saatu (8) ehdolla. että Jos, niin pisteessä (x0, Yo) funktiolla f(x, y ) on ehdollinen maksimi; jos d2F > 0 - niin ehdollinen minimi. Erityisesti, jos paikallaan olevassa pisteessä (xo, J/o) funktion F(x, y) determinantti D on positiivinen, niin pisteessä (®o, V0) on funktion ehdollinen maksimi /( x, y) if, ja funktion /(x, y) ehdollinen minimi, jos Esimerkki. Palataan vielä edellisen esimerkin ehtoihin: etsitään funktion ääriarvo, jos x + y = 1. Ratkaisemme ongelman Lagrangen kertoimella. Lagrange-funktion muoto on tässä tapauksessa Stainien pisteiden löytämiseksi muodostetaan järjestelmä Järjestelmän kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaan, että x = y. Sitten järjestelmän kolmannesta yhtälöstä (kytkentäyhtälöstä) saadaan selville, että x - y = j - mahdollisen ääripään pisteen koordinaatit. Tässä tapauksessa (osoitetaan, että A \u003d -1. Siten Lagrange-funktio. on funktion * \u003d x2 + y2 ehdollinen minimipiste sillä ehdolla, että Lagrangin funktiolla ei ole ehdotonta ääripäätä. P ( x, y) ei vielä tarkoita ehdollisen ääripään puuttumista funktiolle /(x, y) yhteyden läsnä ollessa Esimerkki: Etsi funktion ääripää ehdon y alla 4 Muodosta Lagrange-funktio ja kirjoita järjestelmä A:n ja mahdollisten ääripisteiden koordinaattien määrittämiseksi: y = A = 0. Siten vastaava Lagrange-funktio on muotoa Pisteessä (0, 0) funktiolla F(x, y; 0) ei ole ehdoton ääripää, mutta funktion ehdollinen ääripää . "Lagrangen kertoimien menetelmä siirretään useiden argumenttien funktioiden tapaukseen / Etsitään funktion ääripää yhteysyhtälöiden Sostaalyaem läsnä ollessa Lagrange-funktio jossa A|, Az,..., A ", - ei tietyt vakiotekijät. Vertaamalla nollaan kaikki funktion F ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ja lisäämällä saatuihin yhtälöihin yhteysyhtälöt (9), saadaan n + m yhtälöjärjestelmä, josta määritetään Ab A3|..., Am ja koordinaatit x\) x2) . » xn ehdollisen ääripään mahdollista pistettä. Kysymys siitä, ovatko Lagrangen menetelmällä löydetyt pisteet todella ehdollisia ääripisteitä, voidaan usein ratkaista fysikaalisten tai geometristen näkökohtien perusteella. 15.3. Jatkuvien funktioiden maksimi- ja minimiarvot Vaaditaan funktion maksimi (pienin) arvo z = /(x, y) jatkuva jossain laajennetussa rajoitetussa alueella D. Lauseen 3 mukaan tällä alueella on piste (xo, V0), jossa funktio saa suurimman (pienimmän) arvon. Jos piste (xo, y0) on alueen D sisällä, niin funktiolla / on maksimi (minimi) siinä, joten tässä tapauksessa meille kiinnostava piste sisältyy funktion /(x) kriittisiin pisteisiin. , y). Funktio /(x, y) voi kuitenkin saavuttaa suurimman (pienimmän) arvonsa alueen rajalla. Siksi, jotta löydettäisiin suurin (pienin) arvo, jonka funktio z = /(x, y) ottaa rajatulla suljetulla alueella 2), on löydettävä kaikki tämän alueen sisällä saavutetut funktion maksimit (minimit). , sekä funktion suurin (pienin) arvo tämän alueen rajalla. Suurin (pienin) kaikista näistä luvuista on funktion z = /(x, y) haluttu maksimi (pienin) arvo alueella 27. Osoitetaan kuinka tämä tehdään differentioituvan funktion tapauksessa. Prmmr. Etsi alueen 4 funktion suurin ja pienin arvo. Löydämme funktion kriittiset pisteet alueen D sisältä. Tätä varten laadimme yhtälöjärjestelmän. Tästä saadaan x \u003d y "0, niin, että piste 0 (0,0) on funktion x kriittinen piste. Koska Etsitään nyt funktion suurimmat ja pienimmät arvot alueen D rajalta Г. Rajan puolelta meillä on niin, että y \u003d 0 on kriittinen piste, ja koska \u003d sitten tässä pisteen funktion z \u003d 1 + y2 minimiarvo on yksi. Janan G" päissä pisteissä (, meillä on. Symmetrianäkökohtia käyttämällä saamme samat tulokset rajan muille osille. Lopuksi saadaan: funktion pienin arvo z \u003d x2 + y2 in alue "B" on yhtä suuri kuin nolla ja se saavutetaan sisäpisteen 0( 0, 0) alueella, ja tämän funktion maksimiarvo, joka on kaksi, saavutetaan rajan neljässä pisteessä (kuva 25) Kuva 25 Harjoitusfunktiot: Etsi funktioiden osittaisderivaatat ja niiden kokonaisdifferentiaalit: Etsi kompleksisten funktioiden derivaatat: 3 Etsi J. Usean muuttujan funktion ääriarvo Usean muuttujan funktion ääripään käsite Tarvittavat ja riittävät ehdot ääriarvo Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden suurimmat ja pienimmät arvot 34. Käyttämällä kompleksisen funktion derivaatan kaavaa kaksi muuttujaa, etsi ja funktiot: 35. Käyttämällä kaavaa kompleksisen funktion derivaatta varten Etsi kahdesta muuttujasta |J ja funktiot: Etsi jj implisiittiset funktiot: 40. Etsi tangenttikäyrän kaltevuus suoran x = 3 leikkauspisteessä. 41. Etsi pisteet, joissa x-käyrän tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. . Etsi ja Z seuraavissa tehtävissä: Kirjoita pinnan tangenttitason ja normaalin yhtälöt: 49. Kirjoita pinnan x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 tangenttitasojen yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​tason x + kanssa 4y + 6z \u003d 0. Etsi laajennuksen ensimmäiset kolme tai neljä termiä Taylorin kaavalla : 50. y pisteen (0, 0) läheisyydestä. Käyttäen funktion ääripään määritelmää, tutki seuraavat funktiot ääripäälle:). Käyttämällä riittäviä ehtoja kahden muuttujan funktion ääripäälle, tutki funktion ääripää: 84. Etsi funktion z \u003d x2 - y2 suurin ja pienin arvo suljetussa ympyrässä 85. Etsi suurin ja pienin funktion * \u003d x2y (4-x-y) arvot kolmiossa, jota rajoittavat viivat x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Määritä pienimmän pinta-alan omaavan suorakaiteen muotoisen ulkouima-altaan mitat edellyttäen, että sen tilavuus on yhtä suuri kuin V. 87. Määritä suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön mitat, jonka kokonaispinta-ala on maksimitilavuus 5. Vastaukset 1. ja | Neliö, jonka muodostavat janat x sivuineen. 3. Samakeskisten renkaiden perhe 2= 0,1,2,... .4. Koko taso, lukuun ottamatta suorien y pisteitä. Tason osa, joka sijaitsee paraabelin y \u003d -x? yläpuolella. 8. Ympyräpisteet x. Koko taso suoria viivoja lukuun ottamatta x Radikaalilauseke on ei-negatiivinen kahdessa tapauksessa j * ^ tai j x ^ ^, mikä vastaa vastaavasti ääretöntä epäyhtälöiden sarjaa. Määritelmäalue on varjostetut neliöt (kuva 26) ; l joka vastaa ääretöntä sarjaa Funktio määritellään pisteissä. a) Suoran x yhdensuuntaiset suorat b) Samakeskiset ympyrät, joiden keskipiste on origo. 10. a) paraabelit y) paraabelit y a) paraabelit b) hyperabelit | .Lenes xc. 13. Prim - yhden ontelon hyperboloidit, jotka pyörivät Oz-akselin ympäri; ja ovat kaksiarkkisia hyperboloideja Oz-akselin ympärillä, molemmat pintaperheet on erotettu kartiolla; Ei ole rajaa, b) 0. 18. Olkoon y = kxt sitten z lim z = -2, joten pisteessä (0,0) annetulla funktiolla ei ole rajaa. 19. a) Piste (0,0); b) piste (0,0). 20. a) Katkoviiva - ympyrä x2 + y2 = 1; b) katkoviiva on suora y \u003d x. 21. a) Katkoviivat - koordinaattiakselit Ox ja Oy; b) 0 (tyhjä joukko). 22. Kaikki pisteet (m, n), joissa ja n ovat kokonaislukuja